Romeo Juliet'i Seviyor mu?- Bayes Teoremi – Matematiksel
Anasayfa/MATEMATİK HER YERDE/Romeo Juliet’i Seviyor mu?- Bayes Teoremi
William Shakespeare tarafından yazılmış oyunlardan biri olan Romeo ve Juliet, sadece bir aşk hikayesi olmaktan çıkmış aynı zamanda matematiğe de konu olmuş bir eserdir. İşin meraklıları istatistik ve matematikte sıklıkla karşımıza çıkan Bayes Teoremi ile Romeo ve Juliet aşkına farklı bir perspektifle bakarak, onu hesaba dökmeyi denemişlerdir. Peki bu analizi nasıl yapmışlardır? Bayes Teoremi’ nin yapısıyla Romeo ve Juliet’ in aşkını ölçmek mümkün müdür?
Matematikçi Thomas Bayes’ in kendi adını taşıyan Bayes Teoremi, olasılık esaslıdır. Koşullu olasılıklar ve ön olasılıklar içeren bu teoremde genel olarak şöyle bir formül kullanılır:
P(A|B)= [ P(B|A). P(A) ] / P(B)
Aslında bakarsanız bu formülde pay kısmı A ve B olayının kesişiminin olasılığıdır yani yazdığımız formüle kendimiz de ulaşabiliriz. P(B|A)’ ya da bakıyor olsaydık, pay kısmının A ve B olayının kesişimi olduğunu görecektik ki burada sadece paydada P(A) değişikliğini görecektik. Her iki durumda da yani P(A|B) için de P(B|A) içinde küçük bir içler-dışlar çarpımıyla formülümüzü yukarıdaki gibi derli toplu yazmak mümkün.
Burada; P(A|B) ifadesi, B olayının gerçekleştiği biliniyorken A olayının gerçekleşme olasılığını gösterir ve verilmiş B için A’ nın koşullu olasılığı olarak ifade edilir.
P(A) terimine A için ön olasılık denebilir. Çünkü B olayı hakkında önceden herhangi bir bilgiyi içermemektedir.
Benzer şekilde P(B|A) ifadesi de verilmiş bir A için B’ nin koşullu olasılığı adını taşır. Yani, A biliniyorken B’nin olasılığı P(B) terimi B olayı için ön olasılıktır. P(B) ‘ yi [ P(B|A). P(A) ] + [ P(B|A’). P(A’) ] olarak da yazabiliriz. Burada P(A’), A olayının olmama olasılığıdır. Yani B olayının olasılığı, A olayının gerçekleşmesi durumundaki B’nin olasılığı ve A olayının gerçekleşmemesi durumundaki B olayının olasılığının toplamına eşit olmaktadır.
Peki neden böyle olaylar için olasılık konusu üzerinden tahminler yürütüyoruz? Çünkü olasılığın kendisi belirsizliğin tahmini sonuçlarıyla ilgilenir. Olasılıklar matematikçilerin alanı olmasının yanı sıra gündelik hayatta da her insanı muhakkak ilgilendirir. Çünkü günlük yaşantımızda (örneğin finansta, sağlıkta vb. karar alırken) gelecekteki risklerden korunma amaçlı kendimizi ister istemez olasılıklar içinde buluveririz. Kışın dışarıya çıkarken hava durumu tahminleri yaparak şemsiye alıp almamaya karar verdiğimizde bile olasılık hesabı yapıyoruz aslında. Ya da bir keşif yolculuğu yapmak isteseniz, elinizdeki para ile kaç ülke gezebilme ihtimaliniz olduğunu yine olasılık kullanarak hesaplarsınız. Elbette ki evdeki hesap çarşıya uymayabilir, çünkü her olayın olmama olasılığı da mevcuttur.
Olasılığa biraz daha matematiksel bir gözlükten bakarsak olayların önemini daha iyi kavrayabiliriz. İstenilen sonuçların tüm sonuçlara bölünmesiyle elde edilen olasılığın, 0 ve 1 arasında olabilmesi doğal olarak karşımıza çıkan bir sonuçtur. Olasılığın tam olarak 0 ve 1 olabilmesi ise imkansız ve kesin olayların sonucudur. Bir zar atma deneyinde 7 sonucuna ulaşma isteğinizi A olayı olarak adlandırsanız, elbette bu olayın olasılığı yani P(A)’ nız 0 yani imkansız bir olay olacaktır. Çünkü bu deneyde edinebileceğiniz muhtemel 6 sonucun hiçbirinde 7 rakamına ulaşamayız. Diğer yandan aynı mantıkla 2+2’nin 4’e eşit olması olayının kesin bir olay olduğunu da matematiksel (felsefi açıdan yorumlamadıkça) olarak tespit etmemiz mümkündür.
Yani ele alabileceğimiz tüm A, B, C ve daha birçok olay için P(A), P(B), P(C)’ yi de bulabiliriz. Çünkü P(A) gibi bir olasılık değerine (A olayının olasılığı) ulaşabilmemiz için onu oluşturan bir A olayına ihtiyacımız vardır.
Romeo ile Juliet bir süredir görüşüyorlar ve bir gün sevgililer günü gelir. Romeo Juliet’e ya mücevher hediye edebilir, M, ya da ona bir serenat yapabilir, S.
Juliet mücevher ister. Doğrusu, Juliet ona bu isteğini iki hafta önce, Amerikan futbol ligi finalinin son yarım saatinde söylemişti. Juliet aynı zamanda Romeo’nun kendisini hala sevip sevmediği konusunda ilk kez şüpheye düşer. Buna L olayı diyelim: P(L) = 0.95
Soruda verilen bu olasılığa biraz edebi çerçeveden bakıp yorumlarsak belki matematiksel anlamı daha net ortaya çıkar. Biliyorsunuz ki bize bu eserlerde sonsuz, kesin, gerçek olan, bitmeyen ya da azalmayan aşk hikayelerinden bahsedilir genelde. Şimdi biz bu oranı yüksek bir oran gibi görebiliriz. Ancak burada edebiyattaki Romeo’yu düşünün. Juliet’in aşkından yandığını bildiğimiz, Juliet’in de böyle hissettiği Romeo…
Yıllardır dillerde, şarkılarda, benzetmelerde olan bu Romeo’nun kesin ve sonsuz aşkının 0.95 olması iyi midir kötü müdür? Evet oran yüksek, ancak bu Juliet için de bizler için de şüpheyi barındıran bir orana dönüşüyor.
Juliet, Romeo kendisini seviyorsa, ona P(M|L) = 0.80 olasılıkla mücevher vereceğini veya P(S|L) = 0.20 olasılıkla serenat yapacağını da biliyor (Bu sadece Juliet’’in düşündüğüdür, unutmayın ki Romeo Amerikan futbolunu da çok seviyor).
Eğer Romeo onu artık sevmiyorsa, P(S|L’) = 0.80 olasılığıyla Juliet’in ne sevdiği konusunda bir fikri olmayacak ya da ona bir serenat yapacaktır (veya daha gerçekçi bir şekilde, önceki sene Juliet’in istediği gülleri verebilir ya da sevgililer gününü tamamen unutabilir).
PEKİ BAŞTAKİ ŞÜPHE ORANINI HATIRLADINIZ MI?
Hatırlamalıyız, çünkü bize P(S|L’) = 0.80 oranını anlamada yardımcı oluyor. 0.95 Romeo’nun sevgisi, aşkı gibi gözükse de daha derinde olumsuz bir anlam içeriyor çünkü içinde şüpheyi barındıran, 0.05’lik bir eksilmenin yansımasıdır aslında. Yani P(L’) dir. O dev aşkın yalan çıkması ihtimalidir.
Eğer P(L’) gerçek olsaydı Juliet perspektifinden serenat ile karşılaşma oranı yüksek olacaktı yani P(S|L’) = 0.80 için Juliet derki; Eğer Romeo beni sevmiyorsa gerçekten de yüksek oranda serenat ile karşılaşmayı beklemeliyim.
(Not: Serenat yapmak Romeo için çok utanç verici olabilir ama aynı zamanda daha da ucuzdur). Sonuçta Romeo Juliet’ e serenat yapar. Juliet onu hemen terk etmeli mi? Bayes teoremine göre, Juliet’ in Romeo’nun eğilimi hakkında sonraki inancı aşağıdaki ilişki ile verilir:
P(L|S) = [P(S|L). P(L)] / [P(S|L). P(L) + P(S|L’). P(L’)] = [(1- 0.8). (0.95)] / [(1- 0.8). (0.95) + (0.8). (1- 0.95)]
Yani Juliet’in beklentileri serenatla sonuçlandıysa, Juliet’in Romeo’nun aşkından duyduğu şüphe nasıl bir değişime uğrayacak? Aşkını sınava tabi tutan Juliet için serenat yapılması koşulunda o büyük aşkın gerçekliğinin oranının yeni silüeti ne olacaktır? Özetle, bu oran aslında Juliet’in aşkının gerçekliği için aklından geçirdiği tüm zihinsel olasılıkların sonuçlarından bir parçadır.
Bu işlem sonucu yaklaşık olarak 0.826 bulunmuş ve şöyle bir yorum yapılmış: Bunun Juliet için iyi olup olmayacağına kendisinin karar vermesini bekleyeceğiz.
Gerçek hayatta, birçok insanın bu tür yargıları çok iyi değildir ve testlerin güvenirliğini gereğinden fazla önemseme eğilimindedirler. Bilişsel psikoloji literatüründe, bu durum “Temel-Oran Yanılgısı” olarak bilinir. Örneğimizdeki bu olasılıklar çok farklı ise, sezgilerdeki muhakemenin yanılgısı çok fena olabilir.
Kısaca bize burada aşkın Bayes’ini hesaplatan bir örnek verme amacı olsa da, olasılıklar beklenen olaylara göre daha farklı sonuçlanabilir. Juliet için mücevher, aşkı kanıtlamada önem arz etse de metacı olmayan bir insan için bu olasılık daha düşük hesaplanabilir ve doğal olarak onun koşullu olasılığı da farklı bir sonuç verecektir. Böyle bir örnekte sonuç daha kompleks yorumlarla sürekli değişebilir.
Mesela Juliet için mücevher aşkın kanıtı, ve ona aşkını mücevherle kanıtlama olasılığını yüksek tutmuş, ancak Romeo’nun perspektifinden aşk meta ile ölçülmeyebilir. Ya da metacı olmayan bir kişi, mücevher beklemezken karşı tarafın önceki tecrübeleri onu mücevheri aşkın kanıtı olarak şartlandırdıysa iki tarafın perspektifinden ters orantılı olasılıklara ulaşmamız mümkündür. Tabi biz sorumuza bakınca, Romeo’nun sevgisiyle alakalı ilk kez şüpheye düşme olayı olsa da Juliet için, hala yüksek olasılıkta Romeo’nun onu sevdiğini düşünüyor. 0.95 olasılıkta Romeo’nun aşkına inanan Juliet için doğal olarak aşkın gerçek olmasına koşullanmış mücevherine kavuşma beklentisi de yüksek oluyor.
Matematiksel olarak serenat yapma durumunda aşkın gerçek olma olasılığı da Juliet’in beklentisinin aksine yüksek bir sonuç vermiş olsa da bu sonuç tamamen Juliet’in yorumlamasına göre değer kazanacaktır. Belki de buradaki çelişkiyi insanın duygusal ve kompleks bir canlı olması oluşturuyordur. Bu da dikkate alınması gereken bir olay olabilir ve olasılığı hesaplanabilir mi sizce?
Massachusetts Institute of Technology Introduction to Statistical Methods in Economics Spring 2009
Toplumsal Hafıza – İsmim Son Kez Anıldığında
Yaşam, 3 Harfli Sözcüklerden İbarettir!
Kendini, insanları, dünyayı tanıma ve anlama çabasında, belki de kaosta olan; filmin oyuncularından, dünya üzerindeki küçücük noktalardan biriyim. Pamukkale Üniversitesi ve AGH University of Science and Technology' de Uluslararası Ticaret ve Finans alanında kendimi eğitmeye çalıştım. Dokuz Eylül Üniversitesi'nde Ekonomi bölümünde yüksek lisansa devam ediyorum. Voleybol sporunda antrenör yardımcılığı yaptım ve lisanslı oynadım. Spora ve sanata düşkünüm. Resim yapmayı çok seviyorum. Klasik müziğe, doğaya, doğa sporlarına, felsefeye, psikolojiye, kitaplara ilgi duyuyorum. Okumayı, yazmayı, öğrenmeye çabalamayı çok seviyorum. Küçük yaşlardan itibaren birikmiş 8 veya 9 adet günlüğüm var. Amaçlı ve amaçsız yaşamanın çeşitli noktalardan artı ve eksileri olduğunu düşünsem dünyadaki her şeyin gelip geçici olduğuna inanıyorum. Yine de -her şeye rağmen- ben uzun süredir amacı olan insanlardanım.. Buradan enerji sağlayabiliyorum.. Bahsettiğim tüm 'bencil' bilgilerimi önemsiz sayıyorum. Sadece denizdeki kum tanelerinden biri olduğumun farkındayım. Ancak okyanusları merak etmekten vazgeçemiyorum.
Yeni Bir Stres Kaynağı: Sosyal Medya
‘Reddedilmek Neden Canımızı Acıtıyor?’
Özgür İradenin Varlığı Tartışması, Laplace’ın Şeytanı
Okuma Önerisi: Sorgulayan Denemeler – Bir Matematikçi Filozofun İzinde
Dünyanın En Kısa IQ Testi (23.531)
Atalarımız Bizim Gibi Uyumuyordu (21.717)
0 Faktöriyel Neden 1’e Eşittir? (21.176)
Derse Katılımı Arttırmak İçin 9 Yöntem (20.977)
İnsan Beynini Etkileyen 10 Roman (18.115)
Tarihteki En Müthiş 10 Matematikçi (17.248)
Çarpım Tablosu İçinde Saklanan Güzellik (17.193)
Sümerlerin Dünyayı Değiştiren 9 İcadı (17.181)
12 Yaşındaki Çocuktan Yedi İle Bölünebilme İçin Yeni Bir Yöntem (15.882)
Başarılı Bir Model: Singapur Matematiği (15.767)
ZİHİN AÇAN YAZILAR 405
BİLİME YÖN VERENLER 159