1961 yılında Kayseri'de doğdu. Öğrenim hayatına, ilkokul ve ortaokuldan sonra Endüstri Meslek Lisesi Elektronik Bölümü'nde devam etti. 1984 yılında Erciyes Üniversitesi Mühendislik Fakültesi, Elektronik Mühendisliği Bölümü'nden mezun olan Mustafa Çelik, iş hayatına özel sektörde faaliyet gösteren bir fabrikada Teknik Müdür olarak başladı. Askerlik dönüşü kardeşi ile birlikte kendi işini kuran Mustafa Çelik, halen ortaklarıyla birlikte kurduğu Bilişim Sektörü, Endüstriyel Gazlar ve Madencilik Sektörü, Turizm Sektörü ve e-ticaret Sektöründe faaliyet gösteren şirketlerin kurucu ortağıdır.
AK Parti'nin kuruluşunda aktif görev üstlenen Mustafa Çelik, 2001-2004 yılları arasında Kocasinan'da Kurucu İlçe Başkanlığı görevinde bulunmuştur. 2005-2009 yıllarında teşkilatlanmadan sorumlu İl Başkan Yardımcılığı ve sonrasında da bir süre Disiplin Kurulu Başkanlığı yapan Mustafa Çelik, 2004 yılından beri Kocasinan ve Büyükşehir Belediyeleri'nde meclis üyeliği görevinde bulunmuş, Büyükşehir Belediye Meclisi'nde Ulaşım Komisyonu ve Denetim Komisyonu Başkanlıklarını yürütmüştür. Muradiye Vakfı, Kayseri Ticaret Odası ve MÜSİAD gibi kuruluşlarda yönetim kurullarında bulunan Mustafa Çelik, ayrıca bazı gönüllü kültür teşekkülleri ile Abdullah Gül Üniversitesini desteklemek amacıyla kurulmuş olan Abdullah Gül Üniversitesini Destekleme Vakfının Mütevelli Heyet üyesidir.
30 Mart 2014 tarihinde yapılan yerel seçimlerde Kocasinan Belediye Başkanlığı'na seçilen Mustafa Çelik, 15 Şubat 2015 tarihinde Büyükşehir Belediye Meclisi'nde yapılan seçimler sonucu Büyükşehir Belediye Başkanı olmuştur.
Mustafa Çelik evli ve 4 çocuk babasıdır.