Gram-Schmidt Ortogonalleştirme Metodunun Geometrik Yorumu - Matematiksel
Ceyda Cevahir 11 Mayıs 2017	Bir yorum bırakın 3,000 Görüntülenme
Gram – Schmidt ortogonalleştirme metodu lineer cebir ve sayısal analiz derslerinde çokça kullandığımız bir yöntemdir ve bize birçok açıdan kolaylık sağlamaktadır. Bu yöntem iki matematikçinin ismini taşır: Jorgen Pedersen Gram ve Erhard Schmidt. Ancak daha öncesinde Laplace ve Cauchy’nin çalışmalarında Gram-Schmidt metodunun kullanıldığı görülmüştür.
Elinize iki kalem alın. Bunları birbirine dik hale getirin. Şimdi elinize üç kalem alın bu üç kalemin her birini birbirine dik hale getirin. Bunları yaparken yaptığınız aşamaları anlamaya çalışın. Elimize dört kalem alsak bunları birbirine dik hale getirmeye çalışsak. Ne dersiniz? İşte bu üç boyutlu uzayda imkansız ancak dördüncü boyutta mümkün olabilir. Aslında bunları yaparken kullandığınız metod Gram-Schmit dikleştirme(ortogonalleştirme) metodu. Bu kalemlerin boyu bir birim olacak şekilde keserseniz de birbirine dik ortonormal dediğimiz sistemi elde edersiniz. Şimdi matematiksel olarak bakalım nasıl yapılıyor.
Bu yöntemi açıklamadan önce bir kaç kavramdan kısaca bahsedelim.
V bir iç çarpım uzayı ve olmak üzere vektör sistemindeki herhangi iki vektör birbirine dik ise bu vektör sistemine ortogonal vektör sistemi denir.
Yani; için ise ortogonal vektör sistemidir.
Ayrıca ortogonal vektör sistemi için
vektör sistemine ortonormal vektör sistemi denir.
Yani; için, ise ortonormal vektör sistemidir. Burada
dır ve Kronecker Deltası olarak adlandırılır.
Gram Schmidt Ortogonalleştirme Metodu (Ortonormalleştirme Metodu):
Bu metodun esası; bir iç çarpım uzayında lineer bağımsız (birbiri cinsinden yazılamayan) bir vektör sisteminden önce bir ortogonal vektör sistemi daha sonra da ortonormal bir vektör sistemi elde etmektir.
V n boyutlu bir iç çarpım uzayı olsun. için olmak üzere lineer bağımsız bir vektör sistemini alalım. Gram-Schmidt metodu yardımıyla ortogonal vektör sistemi elde edilir. Bu ortogonal vektör sistemindeki her vektör kendi normuna bölünerek ortonormal vektör sistemi elde edilir yani, olmak üzere
şeklindeki vektörlerden oluşan ortonormal vektör sistemi elde edilir:
Gram-Schmidt yönteminin geometrik anlamı nedir ?
Geometrik anlamını anlatırken iç çarpım fonksiyonunun geometrik yorumundan faydalanacağız.
Bir vektör aldığımızda;
İki vektör aldığımızda;
İlk önce vektörünün vektörü üzerine dik izdüşümü (iç çarpımın geometrik yorumudur) alınır. dik izdüşüm uzunluğu birim vektörü ile çarpılır. Elde edilen vektör den çıkartılarak vektörüne dik olan vektörü elde edilir.
Üç vektör aldığımızda;
lineer bağımsız vektör sisteminden ortogonal vektör sistemi elde edilir. Bu ortogonal vektör sistemindeki her vektör kendi normuna bölünerek
şeklinde ortonormal vektör sistemi elde edilir.
Gram-Schmidt yönteminde lineer bağımsız vektör sistemini matris formatında yazıp bu matrise A
bu lineer bağımsız sisteminden elde edilen ortogonal vektörler matrise Q
diyelim. Q ortogonal bir matristir ve ortogonal bir matrisin tersi transpozuna eşittir. . Bu çok önemli mi ? Evet. İşlem olarak kolaylık sağlayacaktır. Çünkü matrisin elemanları çok büyük değere sahip olduğunda tersini almak çok külfetli iken transpozunu almak aksine çok kolay olacaktır. şeklinde çarpanlarına ayrılabilir ve R üst üçgensel matristir.
Önceki Mutlu Son Problemi
Sonraki Üç Uzaylı Bilmecesini Çözebilecek misiniz?