EPR Çift Yarık Deneyi - Çift Yarık Deneyi
'Konu Dışı Başlıklar' forumunda SeLeN tarafından 14 Mart 2011 tarihinde açılan konu
EPR Çift Yarık Deneyi - Çift Yarık Deneyi konusu
Çift Yarık Deneyi - EPR Çift Yarık Deneyi
EPR Çift Yarık Deneyi
1803′te ve 1807′de İngiliz Thomas Young ( 1773-1829) ışık dalgalarının girişimini gösteren deney sonuçlarını yayımladı. Deneyinde bir pencere pancurunda bulunan bir delikten gelen ince bir demet halindeki Güneş ışınlarının,bir mukavva parçası üzerindeki iki ince paralel yarık üzerine düşmesini sağladı. Yarıkların ilerisine konulan bir gözetleme ekranı üzerinde saçaklar denilen aydınlık ve karanlık bölgelerin birbirini izlediği bir desen gözledi. Onun bu saçakları gözlemesi ve ışığın bir dalga olrduğu kanısına varması,ona ilk kez ışığın dalga boyunu hesaplama şansını verdi.Bu deneye göre iki yarık özdeş dalgalar gönderen iki ışık kaynağı gibi davranır. Parlak saçaklar bu konuda doğru gelen dalgaların birbirini kuvvetlendirmesinden dolayıdır.
Kuantum kuramının en ilginç deneylerinden birisi çift yarık deneyidir. Bu deneyi ustaların ağzından size sunacağım. Burada ışığın elektron gibi elektronun da ışık gibi davrandığını,ikisinin de aynı ölçüde acayip olduğunu göreceğiz. Bir boncuk gibi düşündüğümüz parçacıkların (örneğin fotonun ve elektronun) aynı anda iki delikten geçtiğini göreceğiz. “Ama nasıl olur,ya şu delikten ya bu delikten geçmiş olmalı. Atladığımız bir şey olmalı. Bir kere daha denesek!..” diyeceksiniz. Her seferinde parçacık aynı anda iki delikten geçecek. Burada “bilimin doğal olmayan doğası” bir kere daha bizi sarsacak. Elektronların tenis toplarına ışığın da su dalgalarına hiç benzemediğini göreceğiz. Doğanın bizim gördüğümüzden daha harikalar yarattığını görerek şaşıracağız. Kim bilir bütün bunlar, bize daha ne kadar çok çalışmamız gerektiğini düşündürür. Dosyamızda iki büyük usta konuyu anlatacak: Richard Feynman ve Roger Penrose.
Kuantum fikirleri,sağduyu diyebileceğimiz şeyi tam kalbinden vurur. Bu fikirlerden en önemlisi ünlü “çift yarık” deneyidir. Feynman’ın bu deneyi çözümlemesi,bilimsel açıklama tarihinde bir klasik olmuştur. Kuantum mekaniği açısından doğanın yorumunu, büyük fizikçi Richard Philip Feynman(1918-1988)dan (1965 Nobel)sunuyorum:
İşlerin başka türlü olmasını beklemek için bir neden yoktur. Çünkü,günlük yaşamdaki deneyimler çok yavaş hareket eden şeylerle ya da çok özel koşullarla ilgilidir; dolaysıyla doğadaki çok kısıtlı olguları temsil ederler. Doğal olguların ancak çok küçük bir bölümü doğrudan deneyim yoluyla anlaşılabilir. Daha geniş bir bakış açısını ancak hassas ölçümler ve dikkatli denemeler sonucu kazanırız. O zaman da hiç beklenmeyen şeyler görürüz; tahmin edebildiğimizden çok farklı, hayal edebileceğimizden öte şeyler… Hayal gücümüz, sonuna kadar gerilir;kurgu romanlarda olduğu gibi gerçekte varolmayan şeyler hayal etmek değil, varolan şeyleri kavramak için. Konuşmak istediğim konu da budur.
Gittikçe artan bu kargaşa 1925/1926′da kuantum mekaniği için doğru denklemlerin bulunmasıyla çözüme kavuştu. Elektronların ve ışığın nasıl davrandıklarını artık biliyoruz. Nasıl mı davranıyorlar? Parçacık gibi davrandıklarını söylersem yanlış izlenime yol açmış olurum. Dalga gibi davranışlar dersem yine aynı şey. Onlar kendilerine özgü, benzeri olmayan bir şekilde hareket eder. Teknik olarak buna “kuantum mekaniksel bir davranma biçimi” diyebiliriz. Bu, daha önce gördüğünüz hiçbir şeye benzemeyen bir davranış biçimidir. Daha önce gördüğünüz şeylerle edindiğiniz deneyimler eksiksiz değildir. Çok küçük ölçekteki şeylerin davranışı için söyleyeceğimiz tek şey, onların farklı davrandıklarıdır. Bir atom, bir yay ucuna asılmış sallanan bir ağırlık gibi davranmaz. Küçücük gezegenlerin yörüngeler üzerinde hareket ettikleri minyatür bir güneş sistemi gibi de davranmaz. Çekirdeği saran bir bulut veya sis tabakasına da pek benzemez. Daha önce gördüğünüz hiçbir şeye benzemeyen bir şekilde davranır.
Kuantum mekaniğinin bütün sırlarını içeren bu tek deneyle sizi doğanın tuhaflıkları,gizemleri ve paradoksları ile yüz yüze getireceğim. Kuantum mekaniğinde karşılaşılacak herhangi başka bir durumun “İki delikle yapılan deneyi anımsıyor musunuz? Bu da aynı şey” diyerek açıklanabileceği anlaşılmıştır. Şimdi sizlere iki delikle yapılan deneyi anlatacağım. Deney bu anlaşılmaz şeyin tümünü içeriyor. Hiçbir şeyi atlamayacağım ve size doğayı en zarif ve zor şekliyle, bütün çıplaklığıyla ortaya koyacağım…
Werner Heisenberg( 1901-1976),kuantum mekaniği yasalarını bulduğu zaman,bir şeyin farkına vardı: Keşfettiği yasalar, ancak deneme yetimize,daha önce fark etmediğimiz bazı temel sınırlamalar konulduğu zaman tutarlı oluyorlardı. Başka bir deyişle deneylerde istediğiniz ölçüde hassas olamazsınız. Heisenberg bir belirsizlik ilkesi öne sürdü. Bizim deneyimiz içeriğinde onu şöyle ifade edebiliriz(Kendisi farklı bir şekilde ifade etti. Ancak,ikisi tamamen denktir; birinden diğerine geçebilirsiniz): “Elektronun hangi delikten geçtiğini saptayan ve aynı zamanda elektronu girişim düzenini yok edecek ölçüde etkilenmeyen bir cihaz yapmak olanaksızdır.” Hiç kimse bunu önleyecek bir yol bulamamıştır. Hepinizin elektronun hangi delikten geçtiğini saptayacak yöntemler keşfetmek için sabırsızlandığımızdan eminim; ancak, bunların her biri dikkatle incelendiğinde bir aksaklık olduğunu göreceksiniz. Elektronu etkilemeden buna başarabileceğinizi düşünebilirsiniz;ama daima bir aksaklık ortaya çıkacaktır ve her zaman eğrilerdeki farklılığa,elektronun hangi delikten geçtiğini saptayan cihazların yol açtığı ortaya çıkacaktır.
Bu, doğanın temel bir özelliğidir ve bize her şey için geçerli olan bir şey anlatır. Eğer yarın yeni bir parçacık,”kaon”, keşfedilirse-gerçekte kaon keşfedilmiştir;onu sırf isim vermek için kullandım-ve onun elektronla etkileşimini elektronun hangi delikten geçtiğini bulmak için kullanırsam,bu yeni parçacığın davranışı hakkında,sanırım,önceden bildiğim bir şey vardır: Elektronun hangi delikten geçtiğini saptayabiliyorsam,onun bu işi elektronu etkilemeden,girişim olan bir düzenden girişim olmayan bir düzene değiştirmeden yapabilecek bir özelliğe sahip olamayacağı. Bu nedenle belirsizlik ilkesi bilinmeyen nesnelerin birçok özelliklerini önceden tahmin etmemizi sağlayan, genel bir ilke olarak kullanılabilir. Bu özellikler,benzer şekilde,sınırlıdırlar.
A önermesine dönelim. “Elektronlar ya bir delikten ya da öbüründen geçmeye zorunludurlar”.
Yarıkların,bir fotonun her ikisinden aynı anda geçmesini sağlayacak kadar birbirine yakın olmaları gerekmez. Yarıklar birbirinden ne kadar uzak olursa olsun bir kuantum parçacığının ‘aynı anda iki yerde’ bulunabildiğini anlamak için,iki yarık deneyinden biraz farklı tasarımlanmış bir deney ortamı düşündüm. Daha önce olduğu gibi,tek tek foton yollayan monokromatik bir ışık kaynağımız olsun; fakat bu kez ışığı bir çift ince uzun yarıktan geçirmek yerine,ışık demetini 45 derece açıyla konumlanmış yarı saydam bir aynadan yansıtalım.(Yarı saydam ayna, üzerine düşen ışığın tam yarısını geçirirken,diğer yarısını yansıtan bir aynadır). Işığın aynaya düşmesiyle fotonun dalga fonksiyonu ikiye ayrılarak,bir bölümü yan tarafa yansıtılır ve geriye kalan bölümü fotonun geliş yönünde ilerlemeye devam eder. Dalga fonksiyonu tıpkı iki yarık deneyinde olduğu gibi yine iki sivri tepe kazanmıştır. Fakat şimdi bu iki tepe noktası birbirinden çok daha geniş bir mesafeyle ayrılmış olup,tepelerden birisi yansıtılan fotonu, diğeri ise iletilen fotonu tanımlar. Üstelik,zaman ilerledikçe,bu sivri tepeler arasındaki uzaklık da artar ve sonsuza gider. Dalga fonksiyonunun iki bölümünün uzaya kaçtığını ve bütün bir yıl beklediğimizi varsayın. Bu durumda,fotonun dalga fonksiyonunun iki tepe noktası arasında bir ışık yılı uzaklık bulunacaktır. Nasıl oluyorsa,foton kendini birbirinden bir ışık yılından daha uzak iki yerde aynı anda buluyor!Böyle bir tanımı ciddiye almak için neden var mı? Fotonun herhangi bir noktada bulunması için yüzde 50,bir başka noktada bulunması içi yüzde 50 olasılığa sahip olduğunu düşünebilir miyiz? Hayır,düşünemeyiz! ne kadar uzun yol almış olursa olsun foton demetinin iki bölümünün geriye yansımaları olasılığı ve böylece birbirleriyle karşılaşılarak,iki seçeneğe ait olasılıkların içermediği girişim etkilerini yaratmaları olasılığı her zaman vardır. Işık demetinin her bir bölümünün,ışık demetlerini tekrar başlangıç noktasında biraraya getirecek şekilde konumlanmış,tam yansıtıcı birer aynayla karşılaştıklarını düşünün. Karşılaşma noktasına başka bir yarı saydam ayna yerleştirelim ve bu aynayı bir öncekiyle aynı açıda konumladığımızı varsayalım. Işık doğruları üstüne iki fotosel yerleştirirsek(1 ve 2) ne gözleriz? Fotonun bir yolu izleme olasılığı yüzde 50,öteki yolu izleme olasılığı yüzde 50 olsaydı,detektörlerden birinin fotonu kaydetme olasılığı yüzde 50,diğer detektörün kaydetme olasılığı yüzde 50 olurdu. Ancak bu hiç de böyle olmuyor. İzlenebilecek iki yol, tamamıyla aynı uzunlukta iseler fotonun,ilk hareket yönü doğrultusundaki 1 Dedektörüne ulaşma olasılığı yüzde 100,diğer 2 dedektörüne ulaşma olasılığı yüzde 0 olur ve kuşkusuz foton 1 dedektörüne çarpacaktır!(Bunu,iki yarık deneyi için biraz önce verdiğimiz sarmal tarifinden yararlanarak anlayabiliriz).
Işık yılıyla ölçülen uzaklıklara dayalı böyle bir eney kuşkusuz yapılmamıştır ama varsayılan sonuçtan hiç de ciddi şekilde kuşku duyulmamaktadır(geleneksel kuantum fizikçilerine göre!). Bir kaç metrelik uzaklıklara dayalı benzer deneyler yapılmıştır ve sonuçlar kuantum mekaniksel öngörülerle gerçekten tam bir uyum içerisindedir(bkz.Wheeler 1983). Fotonun yarı yansıtıcı bir aynayla ilk ve son karşılaşması arasında fotonun varoluşunun ‘gerçekliği’ hakkında böyle bir deney bize ne bildirir? Fotonun bir anlamda,aynı anda her iki yolu da gerçekten izlemiş olması kaçınılmaz görünüyor! Çünkü fotonun izlediği iki yoldan birine soğurucu bir ekran yerleştirilse 1veya 2 noktalarına ulaşılması olasılığı eşit olur;fakat her iki yol açık olduğu(ve eşit uzunlukta olduğu) takdirde yalnız 1 noktasına ulaşılabilir. Yollardan birinin kapatılması durumunda yalnız 2 noktasına ulaşılabilir! Her iki yol açıksa foton, 2′ye ulaşmasına izin verilmediğini bir şekilde ‘bilir’;demek ki her iki yolun varolduğunu aslında bilmektedir. Niels Bohr’un iki ölçme arasında fotona hiç bir somut anlam yüklenemeyeceği görüşü bana,foton durumlarının gerçekliği hakkında aşırı kötümser bir görüş gibi geliyor. Fotonun konumu hakkındaki gerçeği tanımlamamız için kuantum mekaniği bize bir dalga fonksiyonu sunmaktadır ve yarı saydam aynalar arasında fotonun dalga fonksiyonu iki sivri tepeli durumda olup iki tepe noktası arasındaki uzaklık bazen büyük boyutlara ulaşabilmektedir(Kralın Yeni Usu-2,s:129-131)
Işık söndürüldüğünde girişimin elde edileceği bir deney düzenlediğimi varsayalım. Sonra,ışık olduğu zaman bile elektronun hangi delikten geçtiğini bilemeyeceğimi söylüyorum. Bildiğim tek şey, ya bu deliğe ya da öbürüne baktığım. Hangi delikten geçeceğini önceden bilmemi sağlayan bir yol yok. Sözün kısası,gelecek tahmin edilemez. Elde olan herhangi bir bilgiyi kullanarak elektronun hangi delikten geçeceğini veya hangi delikte görüneceğini herhangi bir şekilde bilmek olanaksızdır. Bunun bir anlamı da şudur: Fizikçinin başlangıçtaki amacı-herkesin varsaydığı gibi- belirli koşullar altında daha sonra ne olacağını tahmin edebilmek için yeterli bilgiye sahip olmak idiyse,artık bundan vazgeçmiş gibidir. İşte koşullar: elektron kaynağı,güçlü ışık kaynağı,iki deliği olan tungsten levha. Şimdi bana elektronu hangi deliğin arkasında göreceğimi söyleyebilir misiniz? Bir teoriye göre,elektronun hangi delikten geçeceğinin bilinememe nedeni,bunun daha önceden,kaynaktaki bazı karmaşık şeylerle önceden belirlenmiş olması,hangi delikten geçeceğine karar veren iç çarklar,iç vitesler bulunmasıdır. Olasılık yarı yarıyadır;tıpkı bir zar gibi rastgele düşer. Fizik henüz tamamlanmış değildir;yeterince eksik bir duruma geldiğinde hangi delikten geçeceğini tahmin edebileceğiz. Buna “gizli değişkenler teorisi” deniliyor. Bu teori doğru olamaz;tahmin yapamama nedenimiz ayrıntılı bilgi eksikliğinden ileri gelmiyor.
Işığı yakmazsam girişimi elde edeceğimi söyledim. Bu girişim olgusunu elde ettiğim koşul var ise onu Delik 1 ve Delik 2’den geçme bağlamında değerlendirmem olanaksızdır; çünkü bu girişim eğrisi çok basit ve diğer iki olasılık eğrisinin katkısı göz önüne alındığında matematiksel olarak çok farklıdır. Eğer ışık yanarken bir elektronun hangi delikten geçeceğini saptama olanağımız olsaydı, o zaman ışığın yanıp yanmaması bir fark yaratmazdı. Kaynakta varolan,gördüğümüz, ve bize onun Delik 1 veya Delik 2’den geçeceğini söylememize olanak veren çarkları ışık yokken elektronun hangi delikten geçtiğini söyleyebilirdik. Bunu yapabilseydik elde edeceğimiz eğri Delik 1’den ve Delik 2′den geçenlerin toplamı olarak ifade edilebilirdi;ama edilemiyor. Demek ki ışık açık olsun olmasın, deneyin ışıksız ortamda girişim oluşturacak şekilde düzenlendiği herhangi bir durumda,elektronun hangi delikten geçeceğine dair önceden bilgi sahibi olmak olanaksız olmalıdır. Doğanın yapısında olasılık varmış gibi görünmesi bizim iç çarklar,iç karışıklıklar konusundaki bilgisizliğimizden kaynaklanmıyor. Bu sanki doğanın iç yapısında varolan bir şey. Birisi bunu şöyle ifade etmişti: “elektronun ne yönde gideceğini doğanın kendisi bile bilmiyor.”
Bir zamanlar bir filozof “Bilimin varolabilmesi için benzer koşulların benzer sonuçlara yol açması gereklidir” demişti. İyi ama açmıyorlar. Her seferinde aynı koşullarla durumu belirliyorsunuz ve elektronu hangi delik arkasında göreceğinizi kestiremiyorsunuz. Ancak benzer koşulların her zaman benzer sonuçlar vermemesine karşın,bilim varlığını sürdürüyor. Ne olacağını önceden tam olarak bilememek bizi mutsuz yapıyor. İnsanın bilmesinin zorunlu olduğu çok tehlikeli ve ciddi durumlar olabilir;ama yine de bunları önceden bilemiyorsunuz. Örneğin bir fotoelektrik pil ve tek bir elektronun geçebileceği bir düzen kurabiliriz- kurmasak daha iyi olur,ama kurabiliriz. Eğer elektronu Delik 1’in arkasından görürsek atom bombasını harekete geçirip Üçüncü Dünya Savaşı’nın başlatabiliriz. Ama eğer onu Delik 2’nin arkasında görürsek barış antenleri çıkıp savaşı bir süre erteleyecektir. O zaman, bilim ne denli ilerlese de,insanın geleceği,önceden kestiremeyeceği bir şeye bağımlı olacaktır. Gelecek, önceden bilinemez.
Kuantum kuramına göre bu deneyin sonucunu şu şekilde açıklamaktayız: Foton, kaynakla ekran arasında seyir halindeyken içinde bulunduğu kuantum hali, yarıkların birinden ya da diğerinden geçmesiyle belirlenen durum değil, daha çok ikisinin karmaşık sayılardan oluşan çarpanlarla oranlanan gizemli bir birleşimidir….
Buna göre her iki seçeneğin de önlerindeki çarpanların karmaşık sayı olması önemlidir. Birbirini götürmelerinin meydana gelmesinin nedeni budur. Belki fotonun davranışını seçeneklerden birini ya da diğerini yapma olasılığı cinsinden açıklayabileceğiniz,bu yüzden W ve Z çarpanlarının reel sayılardan oluşan olasılık çarpanları olması gerektiğini düşünebilirsiniz. Ancak bu yorum doğru değildir. Çünkü W ve Z karmaşıktır. Kuantum mekaniğine göre bu önemli bir noktadır. Kuantum parçacıklarının doğasındaki dalga özelliğini,seçeneklere ait ” olasılık dalgaları” cinsinden açıklayamazsınız. Bunlar seçeneklere ait karmaşık dalgalardır. Buna göre karmaşık sayılar hem eksi bir sayının karekökünü, hem de bildiğimiz reel sayıları içeren sayılardır. Genel olarak karmaşık sayı, sadece gerçel(reel) sayılarla sadece sanal ( imajiner) sayıların bir birleşimidir;örneğin 2+3 kare kök(-1)=2+3i.. Kuantum kuramının temellerinin inşasında bu sayıların da işin içine girmiş olması,insanların zihninde,bu kuramın soyut ve anlaşılmaz türden bir şey olduğu kanaatinin uyanmasına yol açmaktadır. Halbuki karmaşık sayıları bir kez benimsediğinizde,hele bir de Argand diyagramından yararlanarak türlü işlemler yapmaya da alıştıysanız,artık sizin için hayli somut nesneler durumuna gelmektedirler. Böylelikle siz de eskisi kadar aldırış etmemeyi öğrenmiş olursunuz.
Öte yandan bu olayı klasik seviyede büyüttüğünüzde bütün kuralları değiştirmiş olursunuz. Klasik seviyeye büyütmekten kastım,üstteki U seviyesinden alttaki C seviyesine geçiştir. Söz gelimi ekranda beliren bir noktayı gözlemlemekle yaptığımız şey, fiziksel olarak böyle bir duruma karşılık gelmektedir. Küçük ölçekte meydana gelen bir olay,klasik seviyede gerçek olarak gözlenebilecek daha büyük ölçekli bir olay meydana getirmek üzere fitili ateşlemektedir. Starndart kuantum kuramıyla çalışanlar bu noktada,tombaladan çıkarırcasına,kimsenin pek fazla sözünü etmek istemediği bir şey ortaya atarlar. Bu şey dalga fonksiyonunun çökmesi veya hal vektörünün indirgenmesi olarak bilinir. Bu yönteme karşılık olarak R harfini kullandım. Bu noktada yaptığımız şey üniter gelişimle ilgili olarak yapılandan tamamıyla farklıdır.İki seçeneğin üst üste bindirilmesi amacıyla iki karmaşık sayıya bakar ve modüllerinin karesini alırsınız; yani Argand düzleminde her iki noktanın merkez noktasına olan uzaklıklarının karesini hesaplarsınız. Böylece kareleri alınan bu iki modül, iki seçeneğe ait olasılıkların oranını verir. Ancak bu yol, yalnızca “bir ölçüm yapmanız”,bir başka deyişle,”bir gözlem yapmanız” durumunda geçerlidir. Burada izlenen yol,olayın U seviyesinden C seviyesine büyütülmesi olarak düşünülebilir. şte bu aşamada kuralları değiştirmiş olursunuz. Artık lineer tarzda üst üste binmeler geçerli değildir. Bir de bakmışsınız,bu modüllerin karelerinin oranı size vere vere olasılıkları vermiştir. Belirlenmezciliği işin içine bulaştırdığınız tek yer işte bu U seviyesinden C seviyesine geçiş aşamasıdır. Yani belirlenemezcilik R ile birlikte devreye girmektedir. U seviyesinde kalındığı sürece her şey belirlenircidir. Kuantum mekaniği yalnızca,”ölçüm yapma” denilen işlemi gerçekleştirmeniz durumunda belirlenmezci bir hal alır.
Şimdi yeniden karmaşık sayılara dönelim. İlk bakışta insana boş boş oturan soyut şeylermiş gibi gözükseler de,modüllerinin karelerini alır almaz olasılık değerine dönüştüklerini görürsünüz. Aslına bakılırsa çoğu kez sağlam bir geometrik yapıları vardır. Anlamlarına daha iyi vakıf olabilmeniz için size bir örnek vermek istiyorum. Ancak önce kuantum mekaniği hakkında birkaç şeyi daha hatırlatacağım. Dirac parantezleri adıyla bilinen şu acayip görünüşlü ünlü parantezleri kullanacağım. Bu parantezler,sistemin halini belertmek için basit birer gösterimdir. IA> gösterimini kullanmakla,sistemin A ile belirtilen kuantum halinde olduğunu anlatmaya çalışmaktayım. Yani parantez içindeki ifade kuantum halinin bir gösteriminden ibarettir. Çoğu zaman sistemin tümünün kuantum mekaniksel hali Psi ile gösterilir. Bu, sistemin diğer hallerinin bir üst üste binmesidir… Kuantum mekaniğinde sayıların kendi büyüklükleriyle,oranlarıyla ilgilendiğimiz kadar ilgilenmiyoruz. Kuantum mekaniğinde şöyle bir kural vardır: Kuantum halini bir karmaşık sayıyla çarpmanız (bu karmaşık sayı sıfır olmadığı sürece) fiziksel açıdan durumu değiştirmeyecektir. Bir başka deyişle,bizin için fiziksel açıdan doğrudan anlamı olan tek şey bu karmaşık sayıların oranıdır. R işin içine girdiğinde peşin olduğumuz şey olasılıklardır,bu amaçla modüllerin karelerinin oranına ihtiyacımız vardır. Ama kuantum seviyesinde kalsak ve bu karmaşık sayıların modüllerini hesaplamasak dahi,oranlarına belli bir anlam yükleyebiliriz. Riman küresi,karmaşık sayıları bir küre üzerinde temsil etmenin bir yoludur. Daha doğrusu burada sadece karmaşık sayıların kendileriyle değil, oranlarıyla da ilgilenmekteyiz. Oranlar söz konusu olduğunda dikkatli olmak zorundayız. Çünkü paydadaki sayı sıfır olduğunda oran sonsuzlaşır. O yüzden biz bu sonsuzluk durumunu da göz önüne almak zorundayız. Sonsuzluk durumuyla birlikte bütün karmaşık sayıları,bu yakışıklı izdüşüm yardımıyla bir küre üzerine yerleştirebiliriz. Burada Argand düzlemi,küreyi kürenin ekvatoru konumunda bulunan birim çember seviyesinde kesen ekvator düzlemidir. Hiç kuşkusuz,ekvator düzlemi üzerinde bulunan her noktayı,kürenin güney kutbuna göre izdüşüm alarak Riemann küresi üzerine izdüşümleyebiliriz. Bu izdüşüm işlemi sonucunda Riemann küresinin güney kutbu,diyagramdan da anlaşılabileceği gibi,Argand düzlemine göre ‘sonsuza karşılık gelen nokta’dır.
Spinli parçacıklara ilişkin olarak yapılan bu inceleme, aslında bize başka bir şey anlatmaktadır: Aşağı spin ve yukarı spin hallerinde bir keramet yoktur. Canımın istediği ekseni sola sağa öne veya arkaya seçmekte serbestim;hiçbir şey değişmeyecektir. Demek oluyor ki (seçilen iki spin hali birbirine zıt yönlü olduğu sürece)hangi iki halle işe başladığımızın önemi yoktur. Kuantum mekaniğinde işleyen kurallara göre hangi spin haline adım atarsanız atın, ilk ikisi kadar geçerlidir. Bu örneğin anlatmaya çalıştığı şey budur.(EPR Deneyi)