1 Dersin Adı İTÜ LİSANSÜSTÜ DERS KATALOG FORMU (GRADUATE COURSE CATALOGUE FORM) Course Name Kodu (Code) MAT 609 Enstitü/ABD/Program (Institute/ Department/Program) Dersin Türü (Course Type) REEL ANALİZ II Yarıyılı Kredisi (Semester) (Local Credits) Güz (Fall) AKTS Kredisi (ECTS Credits) REAL ANALYSIS II Ders Türü (Course Type) Doktora ( Ph.D. ) Matematik Mühendisliği (Mathematics Engineering) Seçimli ( Elective) Dersin Dili (Course Language) Türkçe (Turkish) Dersin İçeriği (Course Description) Ölçü Uzayları, Ölçülebilir Fonksiyonlar, Integrasyon, Genel Yakınsaklık Teoremleri, İşaretli Ölçüler, Radon-Nikodym Teoremi, L P Uzayları, Dış Ölçü ve Ölçülebilirlik, Genişleme Teoremi, Lebesgue-Stieltjes İntegrali, Çarpım Ölçüleri, Integral Operatörleri, Sıfır Ölçülü Kümelerle Genişleme, Caratheodory Dış Ölçüsü, Hausdorff Ölçüleri. Measure Spaces, Measurable Functions, Integration, General Convergence Theorems, Signed Measures, The Radon-Nikodym Theorem, The L P Spaces, Outer Measure and Measurability, The Extension Theorem, The Lebesgue-Stieltjes Integral, Product Measures, Integral Operators, Extension by Sets of Measure Zero, Caratheodory Outer Measure, Hausdorff Measures. Dersin Amacı (Course Objectives) 1. Reel Analiz in yüksek seviyeli konularından bazılarını öğretmek, 2. Reel Analiz ile ilgili araştırma yapmak isteyen yüksek lisans veya doktora öğrencileri için gerekli altyapıyı oluşturmak. 1. To teach some of the high-level topics of Real Analysis, 2. To form the necessary background for the graduate students who wish to do research on Real Analysis. Dersin Öğrenme Çıktıları (Course Learning Outcomes) Bu dersi başarıyla tamamlayan bir öğrenciden, I. Reel Analiz in temel kavramları II. Genel Yakınsaklık Teoremleri, İşaretli Ölçüler, III. Radon-Nikodym Teoremi, L P Uzayları, IV. Genişleme Teoremi, Sıfır Ölçülü Kümelerle Genişleme, V. Caratheodory Dış Ölçüsü, Hausdorff Ölçüleri konularını öğrenmiş olması beklenmektedir. A student completing this course succesfully is expected to have learned the topics: I. Basic Concepts of Real Analysis II. General Convergence Theorems, Signed Measures, III. The Radon-Nikodym Theorem, The L P Spaces, IV. The Extension Theorem, Extension by Sets of Measure Zero V. Caratheodory Outer Measure, Hausdorff Measures.
2 Kaynaklar (References) 1. Royden, H. L. (1988). Real Analysis, Prentice-Hall, Inc., 3.sürüm. 2. Kolmogorov, A. N. ve Fomin, S.V. (1970). Introductory Real Analysis, New York: Dover Publications. 3. Rudin, W. (1987). Real and Complex Analysis, McGraw-Hill. 4. Folland, G.B. (1999). Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Wiley-Blackwell; 2. sürüm. 5. Aliprantis, C. D. ve Burkinshaw, O. (1998). Principles of Real Analysis, Academic Press, 3. sürüm. Ödevler ve Projeler (Homework & Projects) Laboratuar Uygulamaları (Laboratory Work) Bilgisayar Kullanımı (Computer Use) Diğer Uygulamalar (Other Activities) KONU SUNUMU (4. haftada başlamak üzere) TOPIC PRESENTATION Başarı Değerlendirme Sistemi Faaliyetler (Activities) (Assessment Criteria) Yıl İçi Sınavları (Midterm Exams) Başarı değerlendirme sisteminde Kısa Sınavlar dersin çıktılarının olabildiğince (Quizzes) kantitatif ölçülmesine olanak Ödevler sağlayan ölçme yöntemleri (Homework) kullanılmalıdır. Projeler (Projects) Dönem Ödevi/Projesi (Term Paper/Project) Laboratuar Uygulaması (Laboratory Work) Diğer Uygulamalar (Other Activities) Final Sınavı (Final Exam) *Yukarıda Belirtilen Sayılar Minimum Olup Yerine Getirilmesi Zorunludur Adedi* (Quantity) Değerlendirmedeki Katkısı, % (Effects on Grading, %)
3 DERS PLANI Hafta Konular 1 Ölçü Uzayları, I 2 Ölçülebilir Fonksiyonlar I 3 Integrasyon I 4 Genel Yakınsaklık Teoremleri II 5 İşaretli Ölçüler II 6 Radon-Nikodym Teoremi III 7 L P Uzayları III 8 L P Uzayları III 9 Dış Ölçü ve Ölçülebilirlik, Dış Genişleme Teoremi IV 10 Lebesgue-Stieltjes İntegrali IV 11 Çarpım Ölçüleri, Integral Operatörleri IV 12 Sıfır Ölçülü Kümelerle Genişleme IV 13 Caratheodory Dış Ölçüsü V 14 Hausdorff Ölçüleri V Dersin Çıktıları COURSE PLAN Weeks Topics 1 Measure Spaces I 2 Measurable Functions I 3 Integration I 4 General Convergence Theorems II 5 Signed Measures II 6 The Radon-Nikodym Theorem III 7 The L P Spaces III 8 The L P Spaces III 9 Outer Measure and Measurability, The Extension Theorem IV 10 The Lebesgue-Stieltjes Integral IV 11 Product Measures, Integral Operators IV 12 Extension by Sets of Measure Zero IV 13 Caratheodory Outer Measure V 14 Hausdorff Measures V Course Outcomes
4 Dersin Matematik Mühendisliği Doktora Programıyla İlişkisi İTÜ Matematik Mühendisliği ABD Doktora Programı Çıktıları i. Yüksek lisans yeterliliklerine dayalı olarak, alanındaki güncel ve ileri düzeydeki bilgileri özgün düşünce ve/veya araştırma ile uzmanlık düzeyinde geliştirebilme, derinleştirebilme ve alanına yenilik getirecek özgün tanımlara ulaşabilme (bilgi). Katkı Seviyesi ii. Alanının ilişkili olduğu disiplinlerarası etkileşimi kavrayabilme; yeni ve karmaşık fikirleri analiz, sentez ve değerlendirmede uzmanlık gerektiren bilgileri kullanarak özgün sonuçlara ulaşabilme (bilgi). iii. Alanındaki yeni bilgileri sistematik bir yaklaşımla değerlendirebilme ve kullanabilme (beceri). iv. Alanına yenilik getiren, yeni bir düşünce, yöntem, tasarım ve/veya uygulama geliştirebilme ya da bilinen bir düşünce, yöntem, tasarım ve/veya uygulamayı farklı bir alana uygulayabilme, özgün bir konuyu araştırabilme, kavrayabilme tasarlayabilme, uyarlayabilme ve uygulayabilme (beceri). v. Yeni ve karmaşık düşüncelerin eleştirel analizini, sentezini ve değerlendirmesini yapabilme (beceri) vi. vii. Alanı ile ilgili çalışmalarda araştırma yöntemlerini kullanabilmede üst düzey beceriler kazanmış olma (beceri). Alanına yenilik getiren, yeni bir düşünce, yöntem, tasarım ve/veya uygulama geliştiren ya da bilinen bir düşünce, yöntem, tasarım ve/veya uygulamayı farklı bir alana uygulayan özgün bir çalışmayı bağımsız olarak gerçekleştirerek alanındaki ilerlemeye katkıda bulunabilme (Bağımsız Çalışabilme ve Sorumluluk Alabilme Yetkinliği). viii. Alanı ile ilgili en az birer adet bilimsel makaleyi ulusal ve uluslararası hakemli dergilerde yayınlayarak veya özgün bir yapıt üreterek ya da yorumlayarak alanındaki bilginin sınırlarını genişletebilme (Bağımsız Çalışabilme ve Sorumluluk Alabilme Yetkinliği). ix. Özgün ve disiplinlerarası sorunların çözümlenmesini gerektiren ortamlarda liderlik yapabilme (Bağımsız Çalış. ve Sorum. Alabilme Yet.). x. Yaratıcı ve eleştirel düşünme, sorun çözme ve karar verme gibi üst düzey zihinsel süreçler kullanarak alanı ile ilgili yeni düşünce ve yöntemler geliştirebilme (Öğrenme Yetkinliği). xi. Sosyal ilişkileri ve bu ilişkileri yönlendiren normları eleştirel bir bakış açısıyla inceleyebilme, geliştirebilme ve gerektiğinde değiştirmeye yönelik eylemleri yönetebilme (İletişim ve Sosyal Yetkinlik). xii. xiii. xiv. xv. xvi. Uluslararası platformlarda, uzman kişiler ile alanındaki konuların tartışılmasında özgün görüşlerini savunabilme ve alanındaki yetkinliğini gösteren etkili bir iletişim kurabilme (İletişim ve Sosyal Yetkinlik). Bir yabancı dili en az Avrupa Dil Portföyü C1 Genel Düzeyi nde kullanarak ileri düzeyde yazılı, sözlü ve görsel iletişim kurabilme ve tartışabilme (İletişim ve Sosyal Yetkinlik). Alanındaki bilimsel, teknolojik sosyal veya kültürel ilerlemeleri tanıtarak, yaşadığı toplumun bilgi toplumu olma ve bunu sürdürebilme sürecine katkıda bulunabilme (Alana Özgü Yetkinlik). Alanı ile ilgili karşılaşılan sorunların çözümünde stratejik karar verme süreçlerini kullanarak işlevsel etkileşim kurabilme (Alana Özgü Yetkinlik). Alanı ile ilgili konularda karşılaşılan toplumsal, bilimsel, kültürel ve etik sorunların çözümüne katkıda bulunabilme ve bu değerlerin gelişimini destekleyebilme (Alana Özgü Yetkinlik). 1: Az, 2. Kısmi, 3. Tam
5 Relationship between the Course and Mathematics Engineering Ph. D. Engineering Curriculum 1: Little, 2. Partial, 3. Full Program Outcomes i. Developing and intensifying the current and high-level knowledge in the area with the use of original thinking and/or research processes and in a specialistic level, based upon the competency in M.S. level (knowledge). ii. Grasping the inter-disciplinary interaction related to one s area; reaching original results by using the specialistic knowledge in analyzing, synthesizing and evaluating new and complex ideas (knowledge). Level of Contribution iii. The ability to evaluate and use new information in the area with a systematical approach (skill). iv. Developing a new idea, method, design and/or application which brings about innovation in the area; or, applying a conventional idea, method, design and/or application to a different environment; researching, grasping, designing and applying an original subject (skill). v. The ability to critically analyze, synthesize and evaluate the new and complex ideas (skill). vi. Acquiring the most developed skills about using the research methods in studies in the related area (skill). vii. viii. ix. Contributing to the progress in the area by independently carrying out a study which uses a new idea, method, design and/or application which brings about innovation in the area; or, applying a conventional idea, method, design and/or application to a different environment (Competence to work independently and take responsibility). Expanding the limits of knowledge in the area by publishing at least one scientific article in an international peer reviewed journal and/or creating or interpreting an original work (Competence to work independently and take responsibility). Fulfilling the leader role in the environments where solutions are sought for the original and inter-disciplinary problems (Competence to work independently and take responsibility). x. Developing area-related new ideas and methods by making use of high level intellectual processes such as creative and critical thinking, problem solving and decision making (Learning Competence). xi. xii. xiii. xiv. xv. xvi. Ability to see and develop social relationships and the norms directing these relationships with a critical look and the ability to direct the actions to change these when necessary. (Communication and Social Competency). The ability to establish effective communication with experts in the international environments to discuss the area-related subjects and to defend original opinions, showing one s competency in the area (Communication and Social Competency). Proficiency in a foreign language at least European Language Portfolio C1 Level- and establishing written, oral and visual communication and developing argumentation skills with that language (Communication and Social Competency). Contributing to the society s state and progress towards being an information society by announcing and promoting the technological, scientific and social developments in one s area (Area Specific Competency). Ability to establish effective communication in the solving of the problems faced in the area, by using the strategic decision making processes (Area Specific Competency). Contributing to the solution of area-related social, scientific, cultural and ethical problems and promoting the development of these values (Area Specific Competency). Düzenleyen (Prepared by) İbrahim Kırat Tarih (Date) İmza (Signature)