Örnekler ve gösterim
Bir dizi genellikle tanım kümesi sayılabilen toplam sıralı kümelerden oluşan bir fonksiyon olarak tanımlanabilir. Reel analizde bir dizi, N (veya ) doğal sayılarından R (veya ) reel sayılarına kadar olan alt kümedeki bir fonksiyondur. Başka bir ifade ile dizi, f(n) : N → R haritasıdır. Daha önce ifade edilen gösterimleri doğrulamak için, an = f(n) veya yalnızca an : N → R yazılabilir.
Karmaşık analizde dizi, N doğal sayılarından (veya ℂ veya ) karmaşık sayılarına kadar olan bir harita olarak tanımlanır. Topolojide dizi, genellikle doğal sayılar alt kümesinden topolojik uzayına kadar olan fonksiyonları tanımlar.
n sonlu uzunluklu bir dizi, n demetli olarak ta adlandırılır. Hiçbir ögesi olmayan ( ) boş dizi de bir sonlu dizidir. Normalde sonsuz dizi kavramı, bir yönde sonsuz olan bir diziyi ifade ederken; sonlu dizi, diğer yönde birinci ögesi olan, fakat son ögesi olmayan bir dizidir. Her iki yönde de ya birinci ya da sonuncu ögesi olan sonsuz dizi, çift sonsuz dizi, veya iki yönlü sonsuz dizi olarak adlandırılır. Örneğin; tüm tam sayılardan oluşan bir kümedeki fonksiyonun dizisinin tüm ( …, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8… ) çift tam sayıları, çift sonsuzdur. Bu dizi, olarak ifade edilemez. Sonuçta, bir çift sonsuz dizi Z deki bir harita olarak tanımlanabilir.
Bir dizinin her bir terimi, bir önceki terimden büyük eşitse, buna monotonik artma denir. dizisinde tüm n ∈ N oluyorsa, dizi şöyle yazılabilir: an ≤ an+1 . Eğer peşpeşe gelen terimlerin her biri, önceki terimden büyükse (>), "dizi tam monotonik artıyor" denir. Eğer peşpeşe gelen terimlerin her biri, önceki terimden küçük eşit ise, "dizi monotonik azalıyor" denir. Eğer peşpeşe gelen terimlerin her biri, önceki terimden küçükse "dizi tam monotonik azalıyor" denir. Eğer bir dizi ya artıyor ya da azalıyorsa, "dizi monotondur" denir. Bu monotonik fonksiyonun genel kavramının özel durumudur.
Limitler ve yakınsaklık
Bir dizisi sonsuza yaklaşıyorsa, veya şeklinde yazılır.
Eğer bir dizi sonsuza yaklaşıyorsa veya eksi sonsuz ise, dizi ıraksaktır ve şeklinde yazılır.
an ∈ R olursa ve dizi formunda yazılabiliyorsa, bu diziyi N indis kümesi ile şöyle yazabiliriz: (an). Bu diziler gerçel analizde sıkça kullanılır.
Tüm 'ler bazı 'lerden daha büyük ise ve oluyorsa, olur
(Sıkıştırma teoremi) Tüm için oluyorsa ve ise, olur.