Uploaded by sametaakgul
Euler yöntemi Euler yöntemi Taylor-serisinin sadece birinci dereceden terimini kullanan bir yöntemdir:
şeklinde düzenlenirse fonksiyonun x noktasındaki değerinin [x0,y(x0)] noktasından çizilen bir teğet ile elde edilmekte olduğu ve bu bakımdan bir miktar hata içereceği kolaylıkla görülebilir. Şayet h=x-x0 artımı yeterince küçük tutulursa hata küçük olacaktır. Bir kez x=x0+h noktasında y değeri elde edildikten sonra yeni bir adımda aynı hesap tekrar edilebilir:
Buradaki hata lokal hata olup, çok sayıda adım atıldıktan sonraki hata O(h) mertebesinde olacaktır.
Euler yönteminde x0 başlangıç noktasında hesaplanan birinci dereceden türev aslında gerçek fonsiyonun temsil ettiği eğrinin bu noktadaki teğetidir. bununla bir sonraki xn+1 noktasında elde edilecek türevin ortalamasını kullanarak şeklinde yapılabilir.Basit Euler yönteminin iyileştirilmesi Çoğu basit yöntemin sorunu adım uzunluğunun son derece küçük olmasına gereksinim duyulması ve büyük adım uzunluğunda yeterince doğru sonuç vermemesidir. türevin değeri aynı zamanda yn+1 büyüklüğüne bağlı olabilir ki çözümün bu aşamasında henüz yn+1 bilinmemektedir. Birinci aşamada basit Euler yöntemi ile yaklaşık bir yn+1 değeri elde edilecek. bu değer ve xn+1 birlikte kullanılarak y’n+1 türevi hesaplanacak. Euler yönteminde iyileştirme herhangi bir xn noktasındaki eğim yerine. daha sonra formülüyle yn+1 in yeni değeri hesaplanacaktır. Zira buradaki y’n+1 türevi xn+1 noktasındaki türev olup. Şekilde basit Euler yönteminin küçük bir ilave çabayla nasıl bir miktar iyileştirilebileceği görülmektedir. Ancak formülün bu şekilde doğrudan uygulanması mümkün değildir. Bu noktayı eğriye yaklaştırmanın. Bu teğet üzerinde x doğrultusunda h kadar ilerlenerek bulunan y1 noktası. . h adımının büyüklüğüne bağlı olarak eğrinin uzağına düşmektedir. yani daha doğru çözüm elde etmenin bir yolu x0 daki türev yerine ortalama bir türev kullanmaktır. Dolayısıyla çözüm iki aşamada gerçekleştirilecektir.
Bu noktada eğim hesaplanarak kullanılır.Basit Euler yöntemi için farklı bir iyileştirme yöntemi Yukarıda görüldüğü gibi iyileştirme yöntemi Euler yönteminde kullanılan eğimin ortalama bir değerini xn ve xn+1 noktalarındaki eğimler yardımıyla bulma esasına dayanmaktadır. Bu yöntemde integral adımının orta noktasındaki eğim ortalama eğim olarak kullanılır. . Bunun yukarıdakinden başka bir yolu da orta-nokta yöntemidir. Bunun için basit Euler yöntemiyle x+h/2 noktasında y değeri hesaplanır.