A409 Astronomide Sayısal ÇözümlemeVI. Nümerik Türev
İleri Türev FormülleriTaylor serisi Birinci türevi çekersek ; Taylor serisi İkinci türevi çeker ve 1. türev ifadesinde yerine koyarsak ;
İleri Türev Formülleri
Geri Türev Formülleri Taylor serisi
Merkezi Türev FormülleriTaylor serileri Taraf tarafa çıkarır birinci türevi çekersek ; Taraf tarafa toplar İkinci türevi çekersek ;
Merkezi Türev Formülleri
Türev Formülleri Örnek : İleri Türev Formülü GeriTürev FormülüMerkezi Türev Formülü
Richardson EkstrapolasyonuGördüğünüz gibi nümerik türevin hassasiyetini arttırmanın bir yolu daha fazla sayıda nokta almak (Taylor serisinde daha derine gitmek), bir diğeri ise adım saysını (h'yi) küçültmektir. Bir başka yol ise iki türev tahminine dayanarak bir üçüncüsünü hesaplamak üzere Richardson ekstrapolasyonunu kullanmaktır. Burada D(h2) ve D(h1), iki farklı adım büyüklüğü (h1,h2) için ileri, geri ya da merkezi türev formülleri kullanılarak elde edilen türevleri göstermektedir. Aynı tekniği integral hesabı için de kulanmak mümkündür.! Örnek : Aşağıdaki fonksiyonun x=0.5 noktasındaki türevini h1=0.5 ve h2=0.25 adım büyüklükleri için birinci dereceden merkezi türev formüllerini ve Richardson ekstrapolasyon formülünü kullanarak hesaplayınız.
Eş Olmayan Aralıklar İçin Türev FormülleriLagrange İnterpolasyon formülünü el alıp ; Türevini alacak olursak ; Bu şekilde bir xi noktasındaki türevi ondan bir sonraki ve bir önceki noktayı kullanarak elde edebiliriz! Üstelik bu nokta ile diğer noktalar arasındaki uzaklık da aynı olmak zorunda değil!
Eş Olmayan Aralıklar İçin Türev Formülleri
Eş Olmayan Aralıklar İçin Türev FormülleriÖrnek : Aşağıdaki fonksiyonun x=0.5 noktasındaki türevini h1=0.5 adım büyüklüğü için Lagrange interpolasyonundan yararlanarak hesaplayınız.
Eş Olmayan Aralıklar İçin Türev FormülleriÖrnek : Aşağıdaki fonksiyonun x=0.5 noktasındaki türevini h2=0.25 adım büyüklüğü için Lagrange interpolasyonundan yararlanarak hesaplayınız.
Kaynaklar Numerical Methods for Engineers 6th ed., Steven C. Chapra, Raymond P. Canale, McGraw Hill, 2010 Numerical Methods, Rao V. Dukkipati, New Age International, 2010 Numerical Analysis Using Matlab and Excel 3rd ed., Steven T. Karris, Orchard Publications, 2007
Benzer bir sunumlar A409 Astronomide Sayısal Çözümleme
SONLU ELEMANLAR DERS 6.