Uploaded by picaco09
saveSave semih dilek For Later
Akkanlar Mekanii: Temelleri ve Uygulamalar, kinci Bask
Yunus A. Cengel, John M. Cimbala McGraw-Hill, 2010
Blm 5 KTLE, BERNOULLI VE ENERJ DENKLEMLER
Rzgar trbinleri tarlalar rzgardan kinetik enerji elde edip ve onu da elektrik enerjisine dntrmek iin dnyann her yerinde ina edilmektedirler. Bir rzgar trbininin tasarmnda, ktle, enerji, momentum ve asal momentum dengelerinden yararlanlr. Bernoulli denklemi de n tasarm aamasnda kullanlabilir.
Bir ak sistemine giren ve kan debileri dengeleyebilmek iin ktle denklemini uygulayabilmesiniz. Mekanik enerjinin farkl trlerini tanyabilmeli ve enerji dnm verimleriyle ile ilgili ilemleri yapabilmelisiniz Bernoulli denkleminin kullanmn ve snrlarn anlayabilmeli ve bu denklemi farkl trlerdeki ak trleri zmede kullanabilmelisiniz. Ykler cinsinden ifade edilebilen enerji denklemiyle alabilmeli ve bu denklemi trbin k gcn ve gerekli pompalama gcn belirlemede kullanabilmelisiniz.
Ktle korunumu, enerji korunumu ve momentum korunumu yasalar gibi pek ok korunum yasalarna daha nceden ainasnz. Tarihsel olarak, korunum yasalar ille defa kapal sistem ya da sadece sistem olarak adlandrlan, belirli miktardaki bir maddeye uygulanmtr ve daha sonra bu sistem uzayda kontrol hacmi olarak adlandrlan blgelere geniletilmitir. Bir proses sresince herhangi bir korunumlu byklk denge durumunda olacandan korunum bantlarndan denge denklemleri olarak da sz edilmektedir. EKL 5-1 Bu Pelton arkl hidrolik trbin gibi, birok akm makineleri ktle, enerji ve momentumun korunumu ilkeleri uygulanarak analiz edilir.
Zamanla deien kapal bir sistem iin ktle korunumu bants, proses sresince sistemin ktlesinin sabit kalacan ak bir ekilde gsteren msys = sabit veya dmsys/dt = 0 eklindeki bir ifade ile belirtilir. Bir kontrol hacmi (CV) iin ktle dengesi, birim zamandaki geiler cinsinden,
kontrol hacmine giren ve kan toplam ktlesel debilerdir kontrol hacmi snrlan ierisindeki ktle miktarnn deiim hzdr. Sreklilik denklemi: Akkanlar mekaniinde, diferansiyel bir kontrol hacmi iin yazlan ktlenin korunumu denklemi genellikle sreklilik denklemi olarak adlandrlr.
Lineer Momentum Denklemi
Lineer momentum: Bir cismin hznn ve ktlesinin vektrel arpm cismin dorusal momentumu ya da sadece cismin momentumu olarak adlandrlr V hzyla hareket eden m ktleli bir cismin momentumu mV'dir. Newtonun ikinci kanunu: Newton'un ikinci yasasna gre bir cismin ivmesi cisme etki eden net kuvvet ile doru orantl; cismin ktlesi ile ters orantldr ve cismin momentumunun deiim hz cisme etki eden net kuvvete eittir. Momentumun korunumu: Bir sistemin momentumu sisteme etki eden net kuvvet sfr olduunda sabit kalr ve bylece, sistemin momentumu korunmu olur. Lineer momentum denklemi: Akkanlar mekaniinde, Newton'un ikinci yasasndan sz ederken genellikle asal momentum denklemi ile birlikte dorusal momentum denklemi deyimi kullanlr.
Enerjinin korunumu ilkesi (enerji dengesi): Bir proses esnasnda sisteme giren veya kan net enerji, sistemin enerji miktarndaki deiime eittir. Enerji kapal bir sistem snrndan s ya da i olarak geebilir. Kontrol hacimlerinde ktlesel debi yoluyla da enetji geii grlr .
kontrol hacmine birim zamanda giren ve kan toplam enerjilerdir kontrol hacminin snrlar ierisindeki enerjinin deiim hzdr Akkanlar mekaniinde, enerjinin sadece mekanik formlar ile ilgileneceiz.
52 KTLENN KORUNUMU
Ktlenin korunumu: Ktle de enerji gibi korunum zelliine sahiptir ve bir proses boyunca ne yaratlabilir ne de yok edilebilir. Kapal sistem: Proses boyunca sistemin ktlesi sabit kalr. Kontrol hacimleri: kontrol hacminin snrlarndan ktle geii olabilir, dolaysyla biz kontrol hacmine giren ve kan ktle miktarlarm hesaplamalyz.
Kimyasal reaksiyonlar boyunca dahi ktle korunur. Ktle m ve enerji E birbirine dntrlebilir: burada c n hz c = 2.9979108 m/s Enerji deiimine bal ktle deiimi ihmal edilebilir.
Ktlesel ve Hacimsel Debiler
Ktlesel debi: Bir en-kesit alanndan birim zamanda akan ktle miktarna ktlesel debi denir . Diferansiyel ktlesel debi
Nokta fonksiyonlar iin kesin diferansiyel
Yrnge fonksiyonlar yaklak diferansiyel Bir yzey iin dik hz Vn hzn yzeye dik bileenidir.
Ortalama hz Vavg, bir en-kesitteki Vn hzlarnn olarak ortalama deeri tanmlanr.
Hacimsel debi bir en-kesitten birim zamanda geen akkan hacmidir.
Ktlenin korunumu ilkesi
Bir kontrol hacminin ktle korunumu ilkesi: t zaman aralnda kontrol hacmine giren veya kan net ktle geii, t sresinde kontrol hacmi ierisindeki net ktle deiimine, (arta ya da azalmaya) eittir eklinde ifade edilir.
Kontrol hacminden giren ve kan toplam ktlesel debi kontrol hacmi snrlar ierisindeki ktle miktarnn deiim hz Ktle dengesi herhangi bir prosesin herhangi bir kontrol hacmine uygulanabilir.
Sradan bir banyo kveti iin ktle korunumu ilkesi
Ktlenin korunumu bantsnn tretilmesinde kullanlan diferansiyel kontrol hacmi dV ve diferansiyel kontrol yzeyi dA.
Kontrol hacmi ierisindeki ktlenin zamana bal deiim hz ile kontrol yzeyinden olan net ktle geiinin toplamnn sfra eit olduunu ifade eder.
Ktlenin korunumu ilkesi, Reynolds transport teoremindeki S deikenini ktle m ile, b deikenini de 1 (m birim ktle m iin = m/m = 1). ile deitirerek elde edilir.
Sonu ayn bile olsa, karmakla meydan vermemek iin bir kontrol yzeyi, ak kestii her yerde aka dik ynde seilmelidir.
Hareket eden veya ekil deitiren kontrol hacimleri
Daimi ak prosesleri iin ktle dengesi
Bir daimi ak prosesinde, kontrol hacmi ierisindeki ktle miktar zamanla deimez (mCV = sabit). Bu durumda, ktlenin korunumu ilkesi gerei kontrol hacmine giren toplam ktle miktar, kontrol hacmini terk eden toplam ktle miktarna eit olmaldr. Daimi ak proseslerini zmlerken, bizi ilgilendiren birim zamanda akan ktle miktar, yani ktlesel debi m 'dir. oklu giri k Tek akm Lleler, yayclar, trbinler, kompresrler ve pompalar gibi mhendislik uygulamalarnn bir ounda tek bir akm (tek giri ve k) vardr. ki-girili bir-kl daimi ak sistemi iin ktlenin korunumu ilkesi.
zel Durum: Sktrlamaz ak
Ktle korunumu bantlar, akkann sktrlamaz olduu durumlarda, genellikle svlar iin, daha da basitletirilebilir. Sktrlamaz ak Sktrlamaz ak (tek akml)
Hacmin korumu" ilkesi diye bir eyin olmadn hatrdan karamayz. Ancak svlarn daimi ak sz konusu olduunda, svlar genel olarak sktrlamaz (sabit younlua sahip) maddeler olduundan, giri ve ktaki hacimsel debileri de ktlesel debileri gibi sabittir. Bir daimi akta ktlesel debinin korunmas gerekli olmakla birlikte, hacimsel debinin korunmas art deildir.
rnek: Bir Bahe Hortumu Fskiyesinden Suyun Ak Azna fskiye taklm bir bahe, hortumu 10 galonluk (37.854 L) bir kovay suyla doldurmak iin kullanlyor. Borunun i ap 2 cm olup fskiye/knda ap 0.8 cm'ye dmektedir. Kovay suyla doldurmak 50 s aldna gre; (a) hortumdan geen suyun ktlesel ve hacimsel debilerini ve (b) suyun fskiye kndaki ortalama hzn belirleyiniz. ZM: Bir bahe hortumu, su kovasn doldurmak iin kullanlyor: Suyun ktlesel ve hacimsel debileri ile k hz belirlenecektir. Kabuller: 1 Su sktrlamaz bir maddedir: 2 Hortum ierisindeki ak daimidir: 3 ilem srasnda etrafa su sramamaktadr. zellikler Suyun younluunu 1000 kg/m3 =1 kg/L olarak alyoruz.. Analiz (a) 37.854 L suyun 50 s'de aktn dikkate alarak, suyun hacimsel ve ktlesel debileri:
(b) Hortumdan ve fskiyeden geen hacimsel debi sabittir. O zaman a kknda elde ettiimiz hacimsel debiyi fskiyenin kesit alanna blersek fskiye kndaki hz belirlemi oluruz.
rdeleme: Hortumdaki suyun ortalama hznn 2,4 m/s olduu kolaylkla gsterilebilir., o halde, fskiye suyun hzn 6 kattan fazla arttrmaktadr.
rnek: Bir Tanktan Su Boaltlmas 0.914 m. apnda, 1.219 m yksekliinde ve st yzeyi atmosfere ak silindirik bir tank balangta su ile doludur. Tankn taban kenarnda bulunan boaltma tapas ekiliyor ve 1.27 cm apndaki bir su jeti dar fkryor (ekil 5-13). Su jetinin ortalama hz V=(2gh)0.5 bantsyla verilmektedir. Burada, tank iindeki suyun delik merkezinden dolan ykseklii (deiken), g yerekimi ivmesidir. Tank.iindeki su seviyesinin tabandan itibaren 0.609 m ykseklie dmesi iin geecek olan sreyi belirleyiniz. Analiz: Suyun kaplad hacmi kontrol hacmi olarak dnelim. Kontrol hacminin boyutu su seviyesi azaldka kldnden, bu deiken bir kontrol hacmidir, (Kontrol hacmini, boalan suyun yerini havann aldn gz ard ederek, tankn i: hacminden ibaret sabit bir kontrol hacmi olarak da dnebilirdik.) Kontrol hacmi ierisindeki zellikler (kte miktar gibi) zamanla deitii iin bunun daimi olmayan bir ak problemi olduu aka grlmektedir. Zamanla deien bir kontrol iin ktlenin korunumu bants
eklinde ifade edilir. lem srasnda kontrol hacmine ktle girii yoktur ve boaltlan suyun ktlesel debisi,
eklinde yazlabilir. Burada, mcv= D2jet/4 su jetinin en-kesit alandr ve sabittir.
Suyun younluunun sabit olduu gz nne alnrsa, herhangi bir anda tank ierisindeki suyun ktlesi mcv= V= Atank h (3) burada Atank= D2tank/4 silindirik tankn taban alan. Denklem (2) ve (3), ktle dengesi ifadesi denklem (1)de yerine yerletirilirse aadaki eitlik elde edilir.
ifadesini elde ederiz. Younluklar ve dier ortak terimler sadeletirilerek, deikenler taraf tarafa ayrlrsa t=0'da h=h0 ve t= t'de h=h2 snr artlarnda integral alrsa
ve soruda verilen deerleri yerine koyarsak, suyu boaltmak iin geecek olan sre,
olarak belirlenir. yleyse, tankn yars boaltma tapas ekildikten 12.6 dakika sonra boalacaktr. rdeleme: h2 = 0 yazlmak suretiyle ayn bant kullanlarak tankn iindeki suyun tamamnn boaltlmas iin geecek olan sre t=43.1 dakika olarak bulunur. Tankn alt yarsn boaltmak tankn st yarsn boaltmaktan daha ok zaman alr. Bu durum, suyun ortalama boaltma hznn, azalan h deeriyle azalmasndan kaynaklanmaktadr.
53 MEKANK ENERJ VE VERM
Mekanik enerji, ideal trbin gibi ideal mekanik makineler ile tamamen ve dorudan mekanik ie dntrlebilen enerji formu olarak tanmlanabilir. Akan bir akkann birim ktle bana mekanik enerjisi Ak enerjisi + kinetik enerji + potansiyel enerji Mekanik enerji deiimi:
Bir ak esnasnda akkann basnc, younluu, hz ve ykseklii deimedii srece mekanik enerjisi de deimez. Enerji kayplarnn olmad hallerde, mekanik enerji deiimi akkana verilen (eer emech > 0 ise) veya akkandan ekilen (eer emech < 0 ise) mekanik ii gstermektedir.
Mekanik enerji, nemli s transferi veya enerji dnm iermeyen aklar rnein yeraltndaki bir tankdan arabaya benzin ak iin yararl bir kavramdr.
Mekanik enerji, ideal bir jeneratr ile balantl ideal bir hidrolik trbinle gsterilir. Geri dnmsz kayplarn yokluun en byk retilen g (a) yukar akm deposundan a akm deposuna doru serbest su yzeyindeki deiim (b) Yukar akmdan trbinin aa akmna doru su basncndaki dme.
Bir deponun tabanndaki suyun mekanik enerjisi, deponun serbest yzeyi de dahil olmak zere herhangi bir derinlikteki mekanik enerjisine eittir.
Mil ii: Mekanik enerjinin akkana aktarlmas veya akkandan ekilmesi
genellikle dnen bir mil ile gerekletirilir ve bu yzden mekanik iten genellikle mil ii olarak sz edilir. Bir pompa veya fan ounlukla bir elektrik motordan mil iini alr ve akkana mekanik enerji olarak en az kaypla aktarr. Trbin akkann mekanik enerjisini mil iine dntrr.
Bir makinenin veya prosesin mekanik verimi
Akkann mekanik enerjisi ve akkana verilen ya da akkandan ekilen mekanik i arasndaki dnm oran pompa verimi ve trbin verimi olarak adlandrlr ,
Bir fann mekanik verimi, havann fan kndaki kinetik enerjisinin verilen mekanik enerjiye orandr.
Motor Verimi Jeneratr Verimi Pompa-Motor toplam verimi Trbin-Jeneratr toplam verimi:
Trbin-jeneratr grubunun toplam verimi, trbin verimi ile jeneratr veriminin arpmdr ve akkann mekanik enerjisinin elektrik enerjisine dnm orann gsterir.
Tm verimler yzde 0 ile yzde 100 aralnda tanmlanr. Alt snr deer olan yzde 0, giren tm mekanik enerjinin ya da elektriksel enerjinin sl enerjiye dnt anlamna gelir ve bu durumda makine bir elektrikli stc gibi alr. st snr deeri yzde 100 ise, srtnme ve dier tersinmezlikler olmadan tam ; bir dnmn gerekletiini ve dolaysyla mekanik enerjinin ya da elektrik "enerjisinin sl enerjiye dnmnn olmadn gsterir.
Sadece mekanik enerji formlarn ve mil ii dnmlerini ieren sistemler iin enerji korunumu
Emech, loss : Mekanik enerjinin s enerjisine srtnme gibi tersinmezliklere bal dnm. Ak problemlerinin ou enerjinin sadece mekanik formlarn ierir ve bu tr problemler mekanik enerji dengesi kullanlarak zlebilir.
rnek 5.3: Bir hidrolik trbin jeneratr grubunun performans
Byk bir gldeki su, ekilde gsterildii gibi su derinliinin 50 m olduu bir yere bir hidrolik trbin-jeneratr grubu yerletirmek suretiyle elektrik retilmek iin kullanlacaktr. Su, trbine 5000, kg/s'lik ktlesel debi ile girmektedir. retilen elektrik gc 1862 kW olarak lldne ve jeneratr yerimi yzde 95 olduuna gre (a) trbin jeneratr grubunun toplam verimini (b) trbinin mekanik verimini, (c) trbinden jeneratre verilen mil gcn belirleyiniz. ZM: Bir hidrolik trbin-jeneratr grubu gl suyundan elektrik retmede kullanlacaktr, Toplam verim, trbin verimi ve mil gc belirlenecektir. Kabuller: 1) Gldeki su seviyesi deimemektedir. 2 Trbin kndaki suyun mekanik enerjisi ihmal edilebilir, . zellikler: (Suyun younluu = 1000 kg/m3 alnabilir. Analiz: Uygunluk asndan, gln tabann referans dzlemi olarak alabiliriz. Bu durumda, suyun kinetik ve potansiyel enerjileri sfr olur ve suyun birim ktle bana mekanik enerjisinde meydana gelen deiim,
Bu durumda, akkandan trbine aktarlan mekanik enerji ve toplam verim;
(b) Toplam verim ve jeneratr verimini bildiimizden, trbinin mekanik verimini aadaki gibi belirleyebiliriz
(c) Alnan mil gc ise mekanik verim tanmndan belirlenebilir.
rdeleme: Gl trbine 2455 kW'lk enerji salar, trbin bu enerjinin 1964 kW'lk ksmn mil iine dntrr ve mil ii de 1862 kW'lk elektrik gc reten jeneratr tahrik eder. Elemanlar arasndaki geilerde tersinmez kayplarn olduuna dikkat ediniz.
rnek 5.4: Salnm Hareketi Yapan Bir elik Bilye in Enerjinin Korunumu
Bir elik bilyenin ekil 5-19'da gsterilen, yarap A olan yarm kre eklindeki bir kase iindeki hareketi incelenecektir. Bilye balangta noktasnda tutuluyor ve daha sonra serbest braklyor. Bilyenin srtnmesiz ve gerek hareket durumlar iin enerjinin korunumu bantlarn elde ediniz. ZM: Bir elik bilye kasenin iine serbest braklyor: Enerji dengesi iin bantlar elde edilecektir. Kabuller: Hareket srtnmesizdir ve bunun sonucu olarak, bilye, kase ve hava arasndaki srtnmeler ihmal edilmektedir. Analiz: Bilye serbest brakldnda yer ekiminin etkisiyle aaya doru ivmelenir ve kasenin dibindeki B noktasnda maksimum hzna (ve en dk ykseklie) ular ve daha sonra kar taraftaki C noktasna doru hareket eder. Srtnmenin olmad ideal koullarda, bilye A ve C arasnda salnm hareketi yapacaktr. Gerek hareket, bilyenin kinetik ve potansiyel enerjilerinin srtnmeyi yenerek birbirlerine dnmn ierir. Herhangi bir hal deiimine urayan bir sistem iin genel enerji dengesi,
Bu durumda, bilyenin 1 noktas ile 2 noktas arasnda gerekleen hareketi iin enerji dengesi,
yada, s veya ktle ile bir enerji geii ve bilyenin i enerjisinde bir deiim olmadndan (srtnmeden kaynaklanan s evre havasna yitmektedir),
haline gelir. Srtnme ii terimi wfriction ou zaman sl enerjiye dnen (kayp) mekanik enerjiyi gsterdii iin eloss olarak ifade edilir. Hareketin srtnmesiz kabul edildii idealletirilmi durumlar iin ise son bant,
olacaktr. Buradaki sabitin deeri C = gh'dir. Yani srtnme etkileri ihmal edilebilir lduunda, bilyenin potansiyel ve kinetik enerjilerinin toplam sabittir. rdeleme: Kukusuz bu sonu bu ve bir duvar saati sarkacnn salnm hareketi benzeri baka prosesler iin enerjinin korunumu denkleminin daha sezgisel ve uygun bir formudur.
54 BERNOULLI DENKLEM
Bernoulli denklemi: Basn, hz ve ykseklik arasndaki ilikiyi temsil eden yaklak bir bantdr ve net srtnme kuvvetlerinin ihmal edilebilir olduu daimi, sktrlamaz ak blgelerinde geerlidir. Basitliine ramen, akkanlar mekaniinde ok gl bir ara olduu kantlanmtr. Bernoulli yaklam genellikle, ak hareketinin basn ve yer ekimi kuvvetlerinin birleik etkileri ile ynlendirildii, snr tabakalar ve art izleri dnda kalan ak blgelerinde kullanldr.
Bernoulli denklemi, sadece net viskoz kuvvetlerin atalet, yerekimi veya basn kuvvetlerine oranla ihmal edilebilecek derecede kk olduu Viskoz olmayan ak blgelerinde geerli olan temsili bir denklemdir. Bu tr blgeler, snr tabaka ve art islerinin dnda grlr.
Bir akkan paracnn ivmesi
ki-boyutlu akta ivme, bir akm izgisi boyunca akm yn (teetsel) ivmesi as ve akm izgisine dik yndeki normal ivme an (an = V2/R) olarak ikiye ayrlabilir. Akm yn ivmesinin alam izgisi boyunca hzn byklndeki, dik ivmenin ise hzn ynndeki deiimden kaynaklanr. Dz bir yrnge boyunca hareket eden paracklar iin, erilik yarap sonsuz olduundan ve bu ynde herhangi bir deiim meydana gelmediinden an= 0 olur.
Daimi akta ivmenin hza bal deiimi
Daimi ak esnasnda, bir akkan sabit bir noktada zamanla ivmelenmese de konumuna bal olarak ivmelenebilir. 33
Bernoulli denkleminin tretilmesi
Bir akkan paracna akm izgisi boyunca etkiyen kuvvetler
Daimi sktrlamaz ak:
Sktrlabilirlik ve srtnme etkileri ihmal edildiinde, bir akkan paracnn bir akm izgisi boyunca daimi ak srasnda, kinetik, potansiyel ve ak enerjilerinin toplam sabit kalr.
Ayn akm izgisi zerindeki herhangi iki nokta iin Bernoulli denklemi:
Bernoulli denklemi sktrlamaz ak kabulyle karlmtr ve bu yzden nemli sktrlabilirlik etkilerinin bulunduu aklar iin kullanlmamaldr.
Bernoulli denklemi mekanik enerji dengesi olarak ele alnabilir Mekanik enerjinin sl enerjiye ya da sl enerjinin mekanik enerjiye dnmn iermeyen sistemler iin genel enerjinin korunumu ilkesinin edeeridir ve bu ekilde mekanik ve sl enerji ayr ayr korunur. Bernoulli denklemi srtnmenin ihmal edildii daimi, sktrlamaz ak esnasnda mekanik enerjinin farkl formlarnn birbirlerine dntn, ancak toplamlarnn her zaman sabit kaldn ifade eder. Bu tr aklarda mekanik enerjiyi duyulur sl (i) enerjiye dntren srtnme olmadndan mekanik enerji yitimi yoktur. Tretilmesinde pek ok snrlayc yaklamlarn yaplmasna ramen, Bernoulli denklemi ile birok uygulamal ak problemi kabul edilebilir bir hassasiyetle zmlenebildii iin, bu denklem uygulamada yaygn olarak kullanlr.
Bernoulli denklemi, bir akkan paracnn bir akm izgisi boyunca daimi ak esnasnda kinetik, potansiyel ve ak enerjilerinin toplamnn sabit kaldn ifade eder.
Akm izgilerine dik ynde kuvvet dengesi
Daimi ve sktrlamaz ak iin, akm izgisine dik yndeki (n-yn) kuvvet dengesinden;
Dz bir izgi boyunca olan ak iin, R ve P/ + gz = constantdir. Sabit ya da durgun bir akkan ktlesi iin dey mesafe ile hidrostatik basncn deiimini gsteren P = gz + constant ekline indirgenir.
Dz bir akm izgisi boyunca olan daimi, sktrlamaz aktaki basncn ykseklikle deiimi, durgun akkandaki gibidir (Ancak ak erisel bir yrnge izliyorsa bu durum geerli deildir).
Daimi olmayan sktrlabilir ak
Daimi olmayan sktrlabilir ak iin Bernoulli denklemi:
Statik, Dinamik ve Durma Basnlar
Bernoulli denklemi, bir akkan paracnn bir akm izgisi boyunca daimi ak esnasnda ak, kinetik ve potansiyel enerjilerinin toplamnn sabit kaldn ifade eder. Bu nedenle, ak esnasnda akkann kinetik ve potansiyel enerjileri ak enerjisine dnerek (ya da tam tersi) basn deiimine neden olabilir. Bernoulli denklemindeki her bir terim younluk p ile arplrsa;
P statik basntr (dinamik etkileri iermez); akkann gerek termodinamik basncn ifade eder ve termodinamik ve zellik tablolarnda kullanlan basnla ayndr. pV2/2 dinamik basntr; hareket halindeki bir akkan izentropik olarak durmaya zorlandnda akkanda meydana gelen basn artm ifade eder. gz hidrostatik basntr, deeri seilen referans seviyesine bal olduundan tam anlamyla belirli bir basnc ifade etmez, ykseldiin yani akkan arlnn basn zerindeki etkilerini hesaba katar. Statik, dinamik ve hidrostatik basnlarn toplam toplam basn olarak adlandrlr. Bu yzden, Bernoulli denklemi bir akm izgisi boyunca toplam basncn sabit kaldn belirtir.
Durma Basnc: ak ierisindeki bir noktada akkan izentropik olarak durmaya zorlayan basnc ifade eder.
Bir Pitot-statik tpnn yakndan ekilen fotoraf: Durma basnc delii ile be evresel statik basn deliinden ikisi grlmektedir.
Piyezometre tb Statik, dinamik ve durma basnlar.
zen gsterilmeden alan bir statik basn delii, statik basncn yanl okunmasyla sonulanabilir.
Renklendirilmi akkan ile bir kanadn yukar akmda oluturulan k izgileri: ak daimi olduunda k izgileri, akm izgileri ve yrnge izgileriyle ayndr. ekilde durma akm izgisi gsterilmitir.
Bernoulli denkleminin kullanmndaki kstlamalar
1. Daimi ak: Bernoulli denklemi sadece daimi aka uygulanabilirdir 2. Srtnmesiz ak: Ne kadar kk olursa olsun her akta bir miktar srtnme vardr ve srtnme etkileri ihmal edilebilir veya edilemez. 3. Mil iinin olmamas: Bernoulli denklemi bir akm izgisi boyunca hareket eden akkan parac zerine uygulanan kuvvet dengesinden tretilmitir. Bu yzden Bernoulli denklemi pompa, trbin, fan ya da baka bir makine ya da ark gibi alam izgilerinin bozulmasna neden olan ve akkan paracklaryla enerji etkileimine giren makinelerin bulunduu ak kesimlerinde uygulanamaz. Gz nne alnan ak kesiminde bu makinelerin bulunmas durumunda, mil ii giri kn hesaba katmak iin bunun yerine enerji denklemi kullanlmaldr. 4. Sktrlamaz ak: Bernoulli denkleminin tretilirken younluk sabit alnr. Bu art, svlarda ve ayrca Mach says 0.3 'ten kk olan gazlarda salanr. 5. Is geiinin olmamas: Gazn younluu scaklkla ters orantldr ve bu nedenle Bernoulli denklemi stma ve soutma kesimleri gibi nemli oranda scaklk deiimlerinin sz konusu olduu ak blgelerinde kullanlmamaldr. 6. Bir alam izgisi boyunca ak: Kelimenin tam anlamyla Bernoulli denklemi bir akm izgisi boyunca uygulanabilir ve C sabiti, genellikle farkl akm izgileri iin farkl deerler alr. Fakat, ak blgesinin dnmsz olduu ve bu nedenle evrilirinin olumad ak alanlarnda C sabitinin deeri tm akm izgileri iin ayn kalr. 42
Bir ak kesiminde akm izgili yapy bozarak Bernoulli denklemini geersiz klan elemanlar ve srtnme etkileri
Ak dnmsz ise, Bernoulli denklemi akm boyunca herhangi iki nokta arasnda (sadece ayn akm izgisinde deil) uygulanabilir hale gelir.
Hidrolik Eim izgisi (HGL) and Enerji Eim izgisi (EGL)
Mekanik enerji seviyesini, genelde Bernoulli denklemindeki farkl terimlerin grselletirilmesini kolaylatrmak iin ykseklikleri kullanarak grafikle gsteririz. Bu, Bernoulli denklemindeki her bir terimi g'ye blmek suretiyle gerekletirilir:
P/g basn yk; P statik basncn meydana getiren akkan stunu yksekliini temsil eder. V2/2g hz yk; akkann srtnmesiz serbest dmesi srasnda V hzna ulamas iin gerekli olan ykseklii temsil eder. z ykseklik yk; akkann potansiyel enerjisini temsil eder.
Bernoulli denkleminin bir alternatif formu da ykler cinsinden ifade edilir: Bir akm izgisi boyunca basn, hz ve ykseklik yklerinin toplam sabittir.
Hidrolik eim izgisi, P/g + z Statik basn ve ykseklik yklerinin
toplamn ifade eden izgidir.
Enerji eim izgisi (EGL), P/g + V2/2g + z Akkann toplam ykn
ifade eden izgidir
Dinamik yk, V2/2g EGL ve HGL arasndaki fark.
Bir depoya bal yaycl yatay bir borudan suyun serbest boalm iin hidrolik eim izgisi (HGL) ve enerji eim izgisi (EGL).
HGL ve EGL zerine notlar
Su depolan ve gller gibi durgun haldeki ktlelerde EGL ve HGL svnn serbest yzeyi ile akr. Byle durumlarda serbest yzeyin ykseklii z, hz ve statik basn (etkin basn) sfr olduundan, hem EGL hem de HGL'yi gsterir. EGL her zaman HGLnin V2/2g'lik dey mesafe kadar zerinde olur. Bu iki izgi hz azaldka birbirlerine yaklar ve hz arttka birbirlerinden uzaklar. Hz arttka HGL'nin ykseklii azalr ve tam tersi ekilde hz azaldka HGL'nin ykseklii artar. dealletirilmi Bernoulli-tipi o/afta, EGL yataydr ve ykseklii deimeden sabit kalr. Ak hz sabit olduunda HGL de yine ayn ekilde sabit kalr. Ak-kanal aknda HGL svnn serbest yzeyi ile akr ve EGL, V2/2g'lik dey mesafe kadar serbest yzeyin zerindedir. Boru knda basn yk sfrdr (atmosferik basn) ve bu nedenle HGL boru k ile akr Srtnme etkileri sonucunda (sl enerjiye dnm ile) oluan mekanik enerji kayplar, EGL ve HGL'nin ak ynnde aa doru eim kazanmasna neden olur. Eim boru ierisindeki yk kaybn verir. Bir vana gibi nemli oranda srtnme etkisi meydana getiren bir eleman, o noktada EGL ve HGL'de ani de neden olur. Ne zaman akkana mekanik enerji verilse, EGL ve HGL'de dik bir srama gzlenir. Yine ayn ekilde, ne zaman akkandan mekanik enerji ekilse (rnein bir trbin ile) EGL ve HGL'de dik bir d gzlenir.
dealletirilmi Bernoulli-tipi bir akta EGL yataydr ve ykseklii sabit kalr. Ancak, eer ak hz ak boyunca deiiyorsa HGL iin ayn durum sz konusu deildir.
Bir pompayla akkana mekanik enerji verildiinde EGL'de ve HGLde dik bir srama, bir trbin ile akkandan mekanik enerji ekildiinde ise EGL'dc ve HGL de dik bir d meydana gelir. HGLnin akkanla kesitii yerlerde akkann (etkin) basn sfrdr ve HGL'nin zerinde kalan ak kesimlerinde basn negatiftir (vakum basnc).
rnek: Byk bir tanktan su boaltm
rnek: Havaya su fkrmas
rnek: Yakt tankndan benzin ekilmesi
rnek: Pitot tbyle hz lm
rnek: Kasrga sebebiyle okyanus sularndaki ykselme
Linda kasrgasnn gz (1997 Pasifik okyanusun da Baja California yakn) uydu fotorafnda aka grlebilir.
rnek 5.10: Sktrlabilir Akis iin Bernoulli Denklemi Sktrlabilirlik etkilerini dikkate alarak (a) izotermal ve (b) izentropik hal deiimine urayan bir ideal gazn Bernoulli denklemini tretiniz. ZM zotermal ve izentropik hal deiimine urayan bir ideal gazn sktrlabilir ak iin Bernoulli denklemi tretilecektir. Kabuller: 1) Ak.daimidir ve srtnme etkileri ihmal edilebilir 2) Akkan bir ideal gazdr, dolaysyla P= RT bants kullanlabilir. 3) izentropik hal deiimi srasnda zgl slar sabittir ve dolaysyla deiim srasnda P/= sabittir. Analiz: (a) Sktrlabilirlik etkileri nemli olduunda ve ak sktrlamaz olarak kabul edilemediinde Bernoulli denklemi aadaki gibidir:
Sktrlabilirlik etkileri younluu (), basnca bal olarak ifade ederek ve Denklem 1'deki dP/ integralini alarak uygun ekilde hesaba katlabilir. Ancak, bunun iin P ve arasnda bir bant kurmak gerekir. Bir ideal gazn izotermal olarak genlemesi ya da skmas durumu iin, scaklk T= sabit olmak zere, = P/RT yi denklemde yerine koyarak, Denklem 1 kolayca integre edilebilir:
Bu banty Denklem 1'de yerine koyarsak istenen bant bulunmu olur. zotermal hal deiimi
(b) Sktrlabilir akn uygulamada yaygn olan bir baka rnei de, ideal gazlarn, lleler, yayclar ve trbin kanatlarndaki dar geitler gibi; yksek hzl akn,grld makinalerde karlalan izentropik akdr, izentropik: (tersinir ve adyabatik) ak bu makinelerde ele alnabilir ve P/k =C= sabit bantsyla tanmlanr. Burada, k gazn; zgl s orandr. P/k =C bantsndan 'yu ekersek; =C-1/k P1/k elde edilir. dP/ iin integral alnrsa,
ve Denklem 1 'de yerine koyulursa, bir ideal gazn daimi izentropik ve sktrlabilir ak iin Bernoulli denklemi aadaki gibi elde edilebilir. izentropik ak:
Bir gazn durma halinden (1 halindeki durma artlarndan) gz ard edilebilecek kadar kk bir ykseklik farknda ivmelenmesi uygulamada karlalan yaygn bir durumdur. Bu durumda, z1 = z2 ve V1=0'dr. deal gazlar iin = P/RT, izentropik ak iin P/k = sabit vs c=kRT ideal gazlar iin yerel ses hz olmak zere Mach saysnn Ma = V/c eklinde tanmlandn gz nne alarak denklem 4b aadaki gibi yazlabilir,
haline indirgenir. Burada, 1 hali durma hali, 2 hali ise ak boyunca herhangi bir haldir. rdeleme: Mach saysnn 0.3'ten kk olduu durumlarda, sktrlabilir ve sktrlamaz Bernoulli denklemlerinden elde edilen sonular arasndaki farkn yzde 2'den daha az olduu grlmektedir. Bu yzden, Ma 0.3 olduu; durumlarda ideal gazlarn ak sktrlamaz olarak kabul edilebilir. Standart koullardaki atmosferik havada bu, 100 m/s veya 360 km/h'lik ak hzna karlk gelir.
55 GENEL ENERJ DENKLEM
Termodinamiin birinci yasas (enerji korunumu prensibi): Bir proses esnasnda enerji yoktan var vardan yok edilemez; sadece form. deitirir.
Bir proses esnasnda sistemin enerji deiimi, sistem ile evre arasndaki net i ve s geiine eittir.
Is ile Enerji Geii
Is enerjisi: Gizli i enerji formlarnn sahip olduklar enerji Is geii: Scaklk farkndan dolay, bir sistemden dier bir sisteme olan sl enerji geiidir. Is geiinin yn her zaman yksek scaklktaki cisimden dk scaklktaki cisme dorudur. Adyabatik proses: Is geiinin olmad bir prosesdir. Is gei hz: Birim zamanda s geii
Scaklk fark s geiini meydana getiren etkidir. Scaklk fark arttka, s geiinin hz da artar.
ile Enerji Geii
Bir mesafe boyunca etki eden kuvvet ile meydana gelen enerji etkileimine i denir. Hareket halindeki bir piston, dnen bir mil, sistem snrlan ierisinden geen bir elektrik teli, sistem ile evre arasnda bir i etkileiminin olduunu gsterir. G: Birim zamanda yaplan itir. Otomobil motorlar hidrolik, buhar ve gaz trbinleri i retir; kompresrler, pompalar, fanlar ve kartrclar i tketir.
Wshaft Dnen milden aktarlan i Wpressure Kontrol yzeyi zerinde basn kuvvetleri tarafndan yaplan i Wviscous Kontrol yzeyi zerinde viskoz kuvvetlerin normal ve teetsel bileenlerinin yapt i Wother Elektrik, Manyetik yzey gerilimi gibi dier kuvvetlerin yaptklar i
Tork T, uygulanan F kuvvetiyle a moment kolu rn arpmna eittir. Bu kuvvet s mesafesi boyunca etkir Mil i Mil ile aktarlan g, birim zamandaki mil iidir.
Dnen mil ile enerji aktarm
Mil ii, uygulanan tork ve dnme says ile orantldr.
Basn kuvvetlerinin yaptklar i
(a) Bir piston-silindir dzeneindeki sistemin hareketli snrna ve (b) geliigzel ekle sahip bir sistemin diferansiyel yzey alanna etkiyen basn kuvveti.
Enerjinin korunumu denklemi, Reynolds transport teoreminde E yerine E ve b yerine de e koyarak elde edilir.
Tipik bir mhendislik probleminde, kontrol hacmi birok giri ve ka sahip olabilir; enerji her giriten ieri ve her ktan dar akar. Ayrca, enerji kontrol hacmine net s geii ve net mil ii olarak da girer.
56 DAM AKILARIN ENERJ ANALZ
Daimi ak esnasnda bir kontrol hacmine s ve i geileri ile birim zamanda olan net enerji geiinin, ktle ile birlikte giren ve kan enerji ak hzlarnn farkna eit olduunu belirtir.
Sadece tek giri ve tek kl bir kontrol hacmi ve enerji etkileimleri.
deal ak (mekanik enerji kayb yok): Bir ak sistemindeki mekanik enerji kayb, akn i enerjisindeki art ve bunun sonucu olarak akkan scaklndaki bir ykselme ile sonulanr.
Gerek ak(mekanik enerji kaybyla):
Tipik bir g retim yeri ok sayda boru, dirsek, valf, pompa, trbiniyle, tamam tersinilmeyen kayplara sahip.
Ykler Cinsinden Enerji denklemi
Pompa ve trbin ieren bir ak sistemi iin mekanik enerji ak diyagram. Dey boyutlar, edeer akkan stunu ykseklii, yani ykler cinsinden ifade edilen denklemdeki terime karlk gelen enerjiyi gstermektedir.
zel Durum: Mekanik i makinelerinin olmad ve srtnme kayplarnn ihmal edilebildii sktrlamaz ak
Borulama kayplar ihmal edilebilir olduunda, mekanik enerjinin ihmal edilebilir derecede kk bir miktarnn yitim olarak sl enerjiye dnm sz konusudur hL = emech loss, piping /g 0. Ayrca, pompa, trbin gibi mekanik i makinelerinin olmadnda hpump, u = hturbine, e = 0 Bylece 574 denklemi aadaki hake indirgenir
Bernoulli denklemi Newtonun ikinci hareket denklemi kullanlarak tretilmiti. Bylece, Bernoulli denklemi enerji denkleminin dejenere olmu hali olarak dnlebilir.
Kinetik Enerji Dzeltme Faktr,
Bir toplamn karesi, elemanlarnn karelerinin toplamna eit olmadndan bir akn V2/2 ifadesi ile elde edilen kinetik enerjisi akn gerek kinetik enerjisine eit deildir. Bu hata enerji denklemindeki V2/2 terimleri yerine
Vavg2/2 ( kinetik enerji dzeltme faktr)
Hzn radyal mesafe ile deiimini veren denklemleri kullanarak, yuvarlak bir boru ierisindeki tam gelimi laminer boru ak iin dzeltme faktrnn 2.0 olduu ve tam gelimi trblansl ak iin ise 1.04 ile 1.11 arasnda deitii gsterilebilir.
Bir en-kesitte gerek hz dalm V(r) ve ortalama hz dalm Vavgyi kullanarak kinetik enerji dzeltme faktrlerinim hesaplanmas.
rnek 5.11: Srtnmenin Akkan Scakl ve Yk Kayb zerindeki Etkisi
Bir akkann adyabatik, bir ak blmnde daimi ye sktrlamaz ak esnasnda (a) srtnme gz ard edildiinde scaklnn sabit kaldn ve yk kayb olumadn, (b) srtnme etkileri gz nne alndnda scaklnn arttnn ve yk kayb meydana geldiini gsteriniz. Byle bir ak esnasnda akkann scakln drmenin mmkn olup olamayacam irdeleyiniz. ZM: Adyabatik bir ak blmnden geen daimi ve sktrlamaz ak incelenmektedir. Srtnmenin scaklk ve s kayb zerindeki etkileri belirlenecektir. Kabuller: Ak daimi ve sktrlamazdr. 2 Ak blm adyabatiktir dolaysyla, s geii yoktur. Analiz: Sktrlamaz bir ak esnasnda akkann younluu sabit kalr ve entropi deiimi;
ile verilir. Bu bant akkan ak blmnden giriteki 1. halinden, ktaki 2 haline doru akarken, akkanda birim ktle bana meydana gelen entropi deiimini gsterir. Entropi deiimi iki nedenden dolay meydana gelir: (1) s geii ve (2) tersinmezlikler. Dolaysyla, s geii olmadnda entropi deiimi sadece, etkisi daima entropiyi attracak ekilde olan tersinmezliklerden kaynaklanr:
(a) Srtnme ve evrinti gibi tersinmezlikler bulunmadnda adyabatik bir ak blmndeki (qnet in=0) entropi deiimi sfrdr ve bylece tersinir ak iin, Scaklk deiimi:
Mekanik enerji kayb: Yk kayb: olur.Bylece, isi geii ve srtnme etkileri ihmal edilebilir olduunda; (1) akkann scaklnn sabit kald, (2) bir mekanik enerjinin sl enerjiye dnmnn olmad ve (3) tersinmez yk kayplarnn olmad sonucuna varrz. (b) Srtnme gibi tersinmezlikler hesaba katldnda entropi deiimi sfrdan byk olur. Bylece, Scaklk deiimi: Mekanik enerji kayb: Yk kayb: olur. Bylece, ak adyabatik ve tersinmez olduunda; (1) akkann scaklnn artt, bir miktar mekanik; enerjinin sl. enerjiye dnt .ve (3). bir miktar tersinmez yk: kaybnn olutuu sonucuna varrz. rdeleme Daimi, sktrlamaz ve adyabatik ak esnasnda akkann scakln azaltmak; imkanszdr. nk, bu adyabatik bir sistemin entropisinin70 azaltlmasn gerektirir ve bu da termodinamiin ikinci yasasna aykrdr..
rnek : Pompadaki Pompalama Gc ve Srtnme Isnmas
Bir su datm ebekesinin pompasna, verimi yzde 90 olan 15 kW'lk: elektrik motoru ile g salanmaktadr. Pompadan 50 Ms'lik debiyle su gemektedir. Giri ve k borularnn aplar ayndr ve pompa boyunca olan ykseklik fark ihmal edilebilir. Pompann giri ve knda basnlar srasyla, 100 kPa ve 300 kPa (mutlak) olarak llyorsa; (a) pompann,mekanik verimini, (b) su pompa ierisinden geerken mekanik verimsizlikten dolay suda meydana gelen scaklk artn belirleyiniz. ZM: Pompann giri ve kndaki basnlar llmtr. Pompann mekanik verimi ya suda meydana gelen scaklk art belirlenecektir. Kabuller: 1) Ak daimi ve sktrlan azdr 2) Pompa harici bir motor ile tahrik ediliyor ve dolaysyla motorun rettii s atmosfere yaylyor. 3 Pompann, giri ve k arasndaki ykseklik fark ihmal edilebilir, z1=z2'dir. 4) Giri ve k borularnn aplar ayn olduundan giri ve ktaki hzlar ile kinetik enerji dzeltme faktrleri de birbirine eittir zellikler: Suyun younluunu 1 kg/L = 1000 kg/m3 ve zgl ssn 4.18 kJ/kgC olarak alyoruz.
Analiz: (a) Pompadan geen suyun ktlesel debisi, Motor 15 kW'lk g ekiyor ve yzde 90 verim ile alyor. 0 halde, motorun pompaya ilettii mekanik g (mil gc), alarak hesaplanr. Pompann mekanik verimini belirleyebilmek iin, akkan pompadan geerken akkann mekanik enerjisinde meydana gelen art bilmemiz gerekir ve bu da,
Denklemi sadeletirerek ve verilen deerleri yerine koyarak.
olarak bulunur. Buradan pompann mekanik verimi,
(b) Pompadan verilen 13.5 kW'lk mekanik gcn sadece 10 kW' akkana mekanik enerji olarak aktarlr. Geriye kalan 3.5 kW'lk ksm srtnme etkilerinden dolay sl enerjiye dnr ve bu "kayp" mekanik enerji, akkanda snma etkisi olarak kendini gsterir,
Bu mekanik verimsizlik nedeniyle akkanda meydana gelen scaklk art, sl enerji dengesinden belirlenebilir:
olarak bulunur. O halde su, pompadan geerken, mekanik verimsizlikten dolay suda 0.017 C'lik ok kk bir scaklk art meydana gelecektir. rdeleme: Gerek bir uygulamada ortaya kan s, pompann gvdesine buradan da evredeki havaya geeceinden suda meydana gelen scaklk art muhtemelen daha dk olacaktr. Eer pompa motorunun tamam su iine daldrlsayd motor verimsizliinden dolay1 havaya yaylan 1.5 kW'lk g de s olarak evredeki suya geerdi. Bu da su scaklnn daha da artmasna neden olurdu.
rnek: Barajdan Hidroelektrik G retimi
rnek: Bilgisayarn hava ile soutulmas iin fan seimi
3 ve 4 arasnda enerji denklemi
1 ve 2 arasnda enerji denklemi
rnek: Bir depo veya glden su pompalanmas
1 ve 2 arasndaki enerji denklemi
Ktlenin korunumu Lineer Momentum Denklemi Enerjinin Korunumu
Ktle ve Hacim Ak Debileri Ktlenin korunumu Hareket eden veya ekil deitiren kontrol hacimleri Daimi Ak Prosesleri iin Ktle Dengesi zel Durum: Sktrlmaz Ak
Mekanik Enerji ve Verim
Bir akkan paracnn ivmesi Bernoulli denkleminin tretilmesi Ak izgileri boyunca kuvvet dengesi Daimi olmayan sktrlabilir ak Statik, Dinamik ve Durma Basnlar Bernoulli denkleminin kullanmnn snrlar Hidrolik Eim izgisi (HGL) ve Enerji Eim izgisi (EGL) Bernouli denkleminin uygulamalar
Genel Enerji Denklemi
Is ile Enerji Geii, Q ile Enerji Geii, W Mil i Basn kuvvetlerinin yaptklar i
Daimi Aklarn Enerji Analizi
zel Durum: Mekanik Makinelerinin Olmad ve Srtnmenin hmal Edilebilir Olduu Sktrlamaz Ak Kinetik Enerji Dzeltme Faktr,