Download "Temel İstatistik. Y.Doç.Dr. İbrahim Turan Mart Tanımlayıcı İstatistik. Dağılımları Tanımlayıcı Ölçüler Dağılış Ölçüleri"
Batur Soner Toker
1 Temel İstatistik Tanımlayıcı İstatistik Dağılımları Tanımlayıcı Ölçüler Dağılış Ölçüleri Y.Doç.Dr. İbrahim Turan Mart 2011
2 DAĞILIM / YAYGINLIK ÖLÇÜLERİ Verilerin değişkenlik durumu ve dağılışın şeklini tespit için kullanılan ölçülerdir. Dağılım Aralığı / Genişliği (Range) Varyans Standart sapma Varyasyon katsayısı Standart Hata
3 1- Dağılım Aralığı / Genişliği / Ranj (Range) En büyük ölçümle en küçük ölçüm arasındaki farktır. DG = Max Min Dağılım aralığı sınıf aralığını saptamakta kullanılır. DG / 15 < Sınıf Aralığı < DG / 8
4 Dağılım Aralığı / Genişliği / Ranj (Range) Bir sınıftaki ranjın büyük çıkması sınıfın heterojenliğini gösterir. Bu da ölçülen özellik bakımından testin ayırt ediciliğinin iyi olduğunu gösterir. Aynı zamanda testin ayırt ediciliğini artırdığı için testin güvenilir olduğunu gösterir. Ayırt edicilik için ranj en az testteki soru sayısının yarısı kadar olmalıdır. Örneğin 40 soruluk bir testte; 40/2 = 20 den büyük olması gerekir.
5 2- Varyans (Varience) Dağılımdaki tüm verilerin aritmetik ortalamaya ile olan farklarının toplamının veri sayısına bölümüdür. Standart Sapmanın karesi varyansı verir. Örnek Varyansı: S 2 Popülasyon Varyansı: 2
6 3- Standart Sapma (Standard Deviation) Dağılımdaki tüm verilerin aritmetik ortalamaya ile olan farklarının karelerinin ortalamasının kareköküdür. Varyansın karekökü standart sapmayı verir. Örnek için: S S, S D, Popülasyon için:
7 Standart Sapma ve Varyansın Hesaplanması 1. Aritmetik ortalama hesaplanır. 2.Her ölçümün aritmetik ortalamadan farkı alınır. 3. Farkların kareleri alınıp toplanır. 4. Bulunan toplam, öğrenci sayısına bölünerek ölçümlere ait varyans bulunur. 5. Hesaplanan varyansın karekökü alınarak standart sapma bulunur.
9 Normal Dağılım Standart Sapma İlişkisi 68, 95, 99.7 kuralı Puanların % 68 i 1 SD sınırları içinde % 95 i 2 SD sınırları içinde % 99.7 si 3 SD sınırları içinde yer alır.
10 Standart Sapma Değeri Büyükse Testin ayırt ediciliği yüksektir. Grup heterojendir. Puanlar arasındaki farklar fazladır. Öğrenci puanlarının sınıf ortalamasından farkı fazladır.
11 Standart Sapma Değeri Küçükse Testin ayırt ediciliği düşüktür. Grup homojendir. Puanlar arasındaki farklar azdır. Öğrenci puanlarının sınıf ortalamasından farkı azdır.
12 4- Varyasyon Katsayısı Varyasyon katsayısı standart sapmanın aritmetik ortalamaya oranıdır. S V K = X 100 X
13 5- Standart Hata Aritmetik ortalamada oluşan hatanın belirlenmesi için kullanılır. Standart hata, örneklem aritmetik ortalamasının hatasını ifade eder. SEM = S n
14 Standart Hata Evrenin / Popülasyonun tamamı söz konusu olduğunda standart hatadan söz edilemez. Örneklem ortalaması standart hatası ile birlikte ifade edilmelidir.
15 Yer ve Dağılış Ölçüleri Arasındaki İlişki Aritmetik ortalama ile standart sapmanın arası büyürse, Heterojen yapı oluşur ve grup başarısı düşer. Aritmetik ortalama ile standart sapmanın arası küçülürse, Bir puan dağılımında puanlar arası fark (ranj) büyüdükçe, Homojen yapı oluşur ve grup başarısı artar. Standart sapmada büyür. Bir testten elde edilen puanların standart sapması büyüdükçe, Testin güvenirliği artar (Bkz. Standart hata formülü)
16 Aritmetik ortalamaya bağlı olarak verilen kararlar Grubun başarı düzeyi nedir? Grubun mutlak başarı düzeyi nedir? Öğrencilerin ortalama başarı düzeyi nedir? Öğrencilerin öğrenme düzeyi nedir? Standart sapmaya bağlı olarak verilen kararlar Başarılı ve başarısız sınıf (grup) hangisidir? Öğrencileri arasında farklılaşma var mı? ya da öğrencilerin öğrenme düzeyleri benzer mi? Grup ya da dağılım homojen mi, heterojen mi? Grup aritmetik ortalamaya ne kadar uzaktır? Ya da yakındır?
17 Merkezi Eğilim Ölçülerine Göre Dağılımlar - Çarpıklık - Basıklık
18 a) Çarpıklık (Skewness) Çarpıklık, bir dağılıma ilişkin ölçme sonuçlarının nasıl dağıldığı hakkında bilgi verir. Çarpıklık katsayısı aşağıdaki gibi hesaplanır:
19 1) Simetrik (Normal) Dağılım Ortalama = Tepe Değeri = Ortanca ise, dağılım simetrik dağılımdır.
20 Simetrik (Normal) Dağılım Çarpıklık değeri sıfırdır. Merkezi eğilim ölçülerine göre normal bir dağılımdır. Başarı açısından düzeyin normal olduğunu gösterir
21 Dağılım ortalamaya göre simetriktir. %50'si sağda, %50'si soldadır. Eğriyle X ekseni arasındaki toplam alan 1 birim karedir. Aritmetik ortalama, ortanca, tepe değer(mod) birbirine eşittir. Ortalama ile standart sapma arası deneklerin %68.2'sini Ortalama ile standart sapma arası deneklerin %95.44'ünü Ortalama ile standart sapma arası deneklerin %99.74'ünü kapsar.
22 2) Sağa Çarpık (Pozitif) Dağılım Tepe değeri < Ortanca < Ortalama ise, dağılım sağa-çarpık yani (+) yöne eğilimli dağılımdır.
23 Sağa Çarpık (Pozitif) Dağılım Çarpıklık değeri pozitiftir. Başarısız bir sınıfın dağılımıdır. Uygulanan sınav sınıfa zor gelmiştir. Genellikle öğretim sürecinin başında uygulanan seviye tespit sınavları için geçerlidir.
24 3) Sola Çarpık (Negatif) Dağılım Ortalama < Ortanca < Tepe değeri ise dağılım sola çarpıktır.
25 Sola Çarpık (Negatif) Dağılım Çarpıklık değeri negatiftir. Başarılı bir sınıfın dağılımıdır. Böyle bir sınıfta programın ve öğretimin hedefleri gerçekleşmiştir. Tam öğrenme modeline uygun sonuçlar gözlenmiştir. Uygulanan sınav sınıfa kolay gelmiştir. Genellikle öğretim süreci ya da ünite sonundaki sınavlar için geçerlidir.
26 b) Basıklık (Kurtosis) Basıklık bir sınıftaki değişim miktarının göstergesidir. Basıklık aşağıdaki gibi hesaplanır:
27 Aritmetik Ortalama Mod (Tepe) Medyan (Ortanca) Standart Sapma Türkçe Matematik Tarih Fizik Coğrafya ) Hangi derste dağılım normaldir? 2) Hangi derste grup homojendir ya da farklılaşma en düşük ya da öğrencilerin öğrenme düzeyi birbirine en yakındır? 3) Hangi derste grup heterojendir ya da farklılaşma en yüksek ya da öğrencilerin öğrenme düzeyi birbirine en uzaktır? 4) Ortalama öğrenme düzeyi ya da grup başarı düzeyi en yüksek olan ders hangisidir? 5) Ortalama öğrenme düzeyi ya da grup başarı düzeyi en düşük olan ders hangisidir?