1 1) Giriş Ege Üniversitesi Elektrik Elektronik Mühendisliği Bölümü Kontrol Sistemleri II Dersi Pendulum Deneyi.../../2015 Bu deneyde amaç Linear Quadratic Regulator (LQR) ile döner ters sarkaç (rotary inverted pendulum) sisteminin kontrol etmektir. Kontrolün temel amacı sarkacı yukarı pozisyonda tutabilmektir. Bu deneyde yapılacak işlemler aşağıda sıralanmıştır; Dönen ters sarkacın matematiksel modelinin çıkarılması LQR yönteminin kullanılması Matlab-Simulink yardımıyla gerçek zamanlı sistem kontrolü sarkaç sarkaç enkoderi Eyleyici ve enkoderi Bağlantı kolu Şekil 1 döner ters sarkaç sistemi Döner ters sarkaç sistemi şekil-1 de görülmektedir. Sistemin bir eyleyicisi bulunmaktadır. Bu eyleyici ile sarkaç dolaylı olarak hareket ettirilmektedir. Sarkacın biri düşey biri de dik olmak üzere iki denge noktası vardır. Düşey denge noktasında sistem kararlıdır fakat dik pozisyonda kararsızdır. Kontrolcü yardımıyla sistemin dik durumda sabit tutulması sağlanacaktır. Sistem parametreleri tablo1 de verilmiştir. Tablo 1 sistem parametreleri Bağlantı kolu açısı rad Sarkaç boyu m Bağlantı kolu ağırlığı Bağlantı kolu boyu kg m Sarkaç ataleti 5.7e-5 Kg m 2 Yer çekim ivmesi 9.81 m s 2 Bağlantı kolu ataleti 5.7e-5 Kg m 2 Motor iç direnci 8.4 ohm Sarkaç açısı rad Motor akım-tork katsayısı Nm/A Sarkaç ağırlığı 0.024kg Motor back-emf katsayısı Vs/rad
2 Sistemin matematiksel modeli Euler-Lagrange yöntemi ile çıkarılabilir. Bu yöntemde sistemin toplam kinetik enerjisiyle (T) potansiyel enerjisinin (V) farkını Lagrangian (L) olarak tanımlarız. Ve Euler- Lagrange denklemine göre sistemi yazabiliriz. = = Döner sarkaç sistemi için genelleştirilmiş koordinatlara göre Euler-Lagrange denklemleri aşağıdaki gibi olur. Q1 ve Q2 için koordinatlara uygulanan kuvvetleri yazacağız. açısı için hem motorun kuvveti hem de negatif yönde sürtünme vardır. açısı için eyleyici olmadığından sadece negatif sürtünme vardır. Lagrangian ın türevini Euler-Lagrange denklemine göre alırsak ve bunları kuvvetlere (Q1,Q2) eşitlersek döner sarkacın hareket denklemlerini bulmuş oluruz. Motorun gerilime bağlı tork denklemi de aşağıda verilmiştir. Denklemler incelediğinde, sistemin iki adet ikinci derece diferansiyel denklemden oluştuğu görülmektedir. Dolayısıyla sistemi birinci derece denklemlere dönüştürürsek dört denklem olması gerekir. Bu da dört sistem değişkeni olması gerektiğini gösterir. = [ ]
3 Döner sarkacın hareket denklemlerine baktığımızda cos ve iki sistem değişkenin çarpımı görülmektedir. Dolayısıyla bu doğrusal olmayan yapı sistemi = + formunda yazmamıza engel olur. Sistemi çalışma noktasında doğrusallaştırmamız gerekir. Amacımız sarkacı dik pozisyonda tutmak olduğu için doğrusallaştırırsak. Doğrusal hareket denklemleri elde edilir. açısı 0 derece olacaktır. Bu noktaya göre Döner ters sarkacın doğrusal hareket denklemlerini çözülürse aşağıdaki gibi bulunur. ( = 0 = 0) 2) Doğrusal Sistem Modeli Doğrusal hareket denklemlerini State-space denklemlerine dönüştürmek istersek denklemlerimizi ve statelerimiz aşağıdaki gibi olacaktır. Ön çalışma 1 Döner ters sarkacın doğrusal hareket denklemlerini kullanarak parametrik olarak state matrislerini bulunuz. Çözümünüzü Çalışmalar başlığındaki gerekli yere yazınız. Bulduğunuz state matrislerindeki parametrelere tablo1 deki sayısal değerleri yazarak sonuçları aşağıda verilen A ve B matrisleriyle karşılaştırınız.
4 3) LQR LQR, durum geri besleme kontrol yöntemidir. Kontrol kuralını kullanılır. şeklinde K katsayısını maliyet fonksiyonunun (J) minimize edecek şekilde bulur. Dolayısıyla optimal bir kontrol yöntemidir. Q matrisi state sayısı kadar köşegen kare matristir. Ve R skaler sayısdır. Q matrisi statelerin maliyet fanksiyonundaki ağırlığını gösterir, R ise girişin maliyet fonksiyonundaki ağırlığını gösterir. Matlabda LQR fonksiyonu bulunmaktadır. Verilen A, B sistem matrisleri ve Q, R parametrelerine göre K kazanç değerlerin bulmaktadır. (detay için Matlab >> help lqr) 4) Simulasyon Çalışması pendulum_file_sim.slx (simulink dosya uzantısı eski sürümler için *.mdl yeni sürümler için *.slx dir. ) dosyası üzerinde LQR gain bloğu içine hesapladığınız K katsayıları yazınız. ( köşeli parantez içinde yazmayı unutmayınız.) Simülasyonu çalıştırmadan önce kullanılacak parametrelerin workspace de bulunması gerekiyor. Bunun için pendulum_setup.m dosyasını çalıştırmayı unutmayınız. Şekil 2 pendulum_file_sim simulasyon dosyası Ön çalışma 2 pendulum_setup.m dosyasının sonunda lqr katsayısını hesaplamanız gerekmektedir. Gerekli kodu yazarak K katsayılarını burada bulabilirsiniz. Bulduğunuz K katsayılarını simulasyonda deneyiniz. Faklı Q ve R parametrelerine göre kontrolcü davranışını gözlemlemeyiniz ve simülasyon sonuçlarını çalışmalar başlığındaki gerekli yere yazınız.
5 5) Laboratuvar Çalışması Ön çalışmada pendulum_file_sim.slx dosyası üzerinde yaptığınız işlemi pendulum_file_real.slx dosyası üzerinde tekrarlayınız. Bu dosya Quanser Qube servo kartı ile sinyal iletişimde bulunmaktadır. Simulink ile Quarc gerçek zamanlı sistem kontrolü hakkında dikkat edilmesi gereken bilgiler Quarc- Ekler kısmında bulunmaktadır. Şekil 3 "pendulum_file_real" simulink dosyası Deney çalışması 1 Ön çalışma 2 de kullandığınız Q ve R parametreleri için gerçek zamanlı kontrolü tekrarlayınız ve sonuçlarınızı çalışmalar başlığındaki gerekli yere yazınız. a) 6) Sorular b) c)
6 Çalışmalar Ön çalışma 1 Ön çalışma 2 Q R Ts OS Rise time kontrol sinyali max değeri
7 Durum değişkenlerinin ve kontrol sinyalinin değişimini çiziniz. Deney çalışması 1 Q R Ts OS Rise time kontrol sinyali max değeri
8 Durum değişkenlerinin ve kontrol sinyalinin değişimini çiziniz. a) Sorular b) c)
Fırçasız DC Motorun Optimal Durum-Uzayı Kontrolü
TOK 2014 Bildiri Kitabı 11-13 Eylül 2014, Kocaeli Fırçasız DC Motorun Optimal Durum-Uzayı Kontrolü Burak Kürkçü1, Coşku Kasnakoğlu2, Sabri Çetin3 1 Aselsan A.Ş bkurkcu@aselsan.com.tr 2 Tobb ETU kasnakoglu@etu.edu.tr