Üç boyutlu gerilimin matematiksel ifadesi
Bu konu başlığında, düzlemsel gerilim için anlattığımız eksen dönüşümlerini üç boyutlu gerilim durumunda (İngilizce: triaxial stress) nasıl yaptığımız üzerinde duracağız. Üç boyutlu gerilim durumunda işin içine 9 farklı gerilim değeri gireceği için, uyguladığımız matematiksel işlemler düzlemsel gerilime göre daha karmaşık bir hal alacak. Eğer henüz okumadıysanız, bu konu başlığını daha rahat kavrayabilmek için öncelikle iki boyutlu gerilim için uyguladığımız yaklaşımın anlatıldığı konu başlıklarına göz atmanızı tavsiye ederiz.
Konuya başlamadan önce, aşağıda anlatacağımız bu işlemlere neden ihtiyaç duyduğumuzu bir kez daha hatırlatalım. Bu işlemleri iki nedenle uyguluyor olabiliriz:
cisim üzerine etki eden gerilimin farklı bir eksen yönelimindeki normal ve kesme bileşenlerini bulmak için,
kesme gerilimlerinin sıfırlandığı yönelimde ortaya çıkan asal gerilimlerin değerlerini bulmak için.
Dolayısıyla, ya eksenler arasındaki yönelim farkını biliyor ve yeni eksenlerdeki gerilim bileşenlerini eksenler arasındaki açılara bakarak hesaplamak istiyoruz (yani 1. madde); ya da eksen yönelimini bilmeden, kesme gerilimlerinin sıfırlandığı asal yönlerdeki gerilim bileşenlerini, yani asal gerilimleri hesaplamak istiyoruz (yani 2. madde).
1. Eksen dönüşümü
İlk olarak 1. maddeye bakalım. Aşağıda soldaki resimde, üç boyutlu gerilim altındaki bir birim küp gösteriliyor. Bu küp üzerine etki eden gerilimin x, y ve z eksenleri üzerindeki bileşenlerini bildiğimizi varsayalım. Ardınan, bu gerilim değerlerinin, aşağıda sağda gösterilen x’y’z’ eksenleri üzerindeki bileşenlerini bulmaya çalışalım. Hatta, konuyu daha basit tutmak adına y’ ve z’ eksenlerindeki bileşenleri şimdilik göz ardı edip, sadece x’ yönündeki bileşenlerini bulmaya çalışalım. Burada dikkat etmemiz gereken önemli bir nokta var: x’ doğrultusunda sadece gerilimin bu eksen doğrultusunda uzanan normal bileşeni yer alabilir. Gerilimin kesme bileşenleri içinse, bu yöne dik konumlaran bir düzlem tanımlamamız gerekiyor; çünkü kesme gerilimleri normal gerilime dik konumlanan yüzeyler üzerine etki ediyor. Bu düzlem, aşağıda sağdaki resimde ABC düzlemi olarak gösteriliyor.
Öncelikle, x’ doğrultusuna dik duran ABC düzleminin yönelimini tarif etmemiz gerekiyor. Bir düzlemin yönelimini tarif etmek için, bu düzlemin normalinin (yani x’ yönünün) x, y ve z eksenleriyle yaptığı açılara bakıyoruz. Bu açıları derece cinsinden ifade etmek yerine, kosinüsleri üzerinden tarif etmeyi tercih ediyoruz. Çünkü, bir eksen sistemi üzerinde tarif edilen gerilimin farklı yönelimdeki bir eksen sistemi üzerindeki bileşenlerini hesaplarken, eksenler arasındaki açıların kosinüslerine ihtiyaç duyuyoruz. Aşağıdaki resimde, farklı yönelime sahip iki eksen sistemi arasındaki açıların, yön kosinüsleri üzerinden nasıl tanımlandığı gösteriliyor. Resimde sadece benzer eksenler arasındaki (x ve x’ gibi) yön kosinüsleri gösteriliyor. Fakat bu resme bakarak, örneğin x’ ve y arasındaki yön kosinüsünü nasıl bulabileceğimizi kolaylıkla çıkarabiliriz. Ufak bir egzersiz olarak, bu noktada biraz durup, tabloda gösterilen tüm yön kosinüslerini aşağıdaki eksenler arasında göstermenizi tavsiye ederiz (x’ ve y arasındaki yön kosinüsü ipucu olarak, yeşil renkle gösteriliyor).
Yukarıdaki tetrahedronunun diğer yüzeylerine etki eden gerilim bileşenlerini bulabilmemiz için, öncelikle tetrahedronun bütün yüzeylerinin alanlarını bilmemiz gerekiyor. ABC üçgeninin alanını ve bu üçgenin diğer eksenlerle yaptığı açıları bildiğimiz için, tetrahedronun diğer yüzeylerinin alanlarını kolaylıkla hesaplayabiliyoruz. Yön kosinüslerini kullanarak bu alanların nasıl hesaplandığı aşağıdaki resimde gösteriliyor. Pembe renkle gösterilen alanlar, ABC üçgeninin alanı, yani A cinsinden ifade ediliyor.
Tetrahedronun bütün yüzey alanlarını da bildiğimize göre, artık gerilimi bileşenlerine ayırabiliriz. Öncelikle, tetragonun ABC düzlemi üzerine etki eden gerilime bakalım: Aşağıdaki resimde ABC düzlemi üzerine etki eden gerilim p ile, bu gerilimin x, y ve z yönlerindeki bileşenleri ise px, py ve pz olarak gösteriliyor.
ABC düzlemine etki eden p geriliminin xyz eksenleri üzerindeki bileşenlerini (yani px, py ve pz) kuvvet dengesinden yola çıkarak, cisim üzerine etki eden gerilimin xyz eksenleri üzerindeki normal ve kesme bileşenleri cinsinden aşağıda gösterilen şekilde ifade ediyoruz.
Bu eşitlikleri, eski eksenlerdeki normal ve kesme gerilimlerini, etki ettikleri alanları da dikkate alıp toplayarak yazıyoruz. Eşitliklerdeki yön kosinüsleri ise, tetrahedronun diğer yüzeylerinin alanlarını ABC üçgeni cinsinden ifade ettiğimiz için eşitliklere giriyor.
Gerekli bütün eşitlikleri yazdığımıza göre, artık p geriliminin x’ ekseni üzerindeki bileşenini bulabiliriz. Yukarıdaki resimde gösterilen x’ doğrultusu, xyz eksenlerine göre rastgele konumlanmış bir doğrultu olduğu için, hem px‘in, hem py‘nin, hem de pz‘nin x’ doğrultusunda birer bileşeninin olması gerekiyor. p geriliminin x’ doğrultusundaki bileşenini bulmak için, bu üç bileşeni, x’ doğrultusu ile yaptıkları açıların kosinüslerini dikkate alarak topluyoruz. Böylece, x’ doğrultusundaki normal gerilimin aşağıda gösterilen ifadesine ulaşmış oluyoruz.
Diğer yönler (y’ ve z’) için de aynı yaklaşımı kullanarak, gerilimin diğer eksenler üzerindeki bütün bileşenlerini bulabiliyoruz
2. Asal gerilimlerin bulunması
Asal gerilimleri bulabilmek için yukarıda px, py ve pz için yazdığımız denklemlerin çözümlerine ihtiyaç duyuyoruz. Burada bir parantez açıp, bu denklem grubunu, ya da matematiksel terminolojide ifade ettiğimiz şekliyle denklem sistemini nasıl çözebileceğimize bakalım. Öncelikle, denklem sistemi ile ne kastettiğimizi açıklayarak başlayalım. Aynı değişkenlere, fakat farklı katsayılara sahip bir denklem grubunu bir sistem olarak değerlendiriyoruz. Örnek olarak yukarıdaki denklem sistemindeki tüm eşitlikler aynı değişkenlere (a11, a21 ve a31), fakat farklı katsayılara (σx ya da τxy gibi) sahip. Bu özelliklere sahip bir denklem grubunu bir sistem olarak ele aldığımızda, teker teker çözme şansımız olmayan bu denklemleri bir sistem içerisinde çözebilmemiz mümkün oluyor. Yukarıdaki denklem sistemindeki katsayılar değişkenlerle çarpım durumunda olduğu ve bütün değişkenler birinci dereceden kuvvetleriyle denklemlerde bulundukları için, bu denklemleri lineer, yani doğrusal olarak adlandırıyoruz.
Bu doğrusal denklemleri bir sistem içerisinde çözülebilir hale getirebilmemiz için, öncelikle bütün denklemleri sıfıra eşit olacakları şekilde yeniden yazmamız gerekiyor. Çünkü, denklemleri bu şekilde yazdığımız zaman, bütün katsayıları bir determinant içerisinde toplayarak çözüme ulaşabiliyoruz.
Sıfıra eşitlediğimiz bu denklemlere, matematiksel terminolojide homojen lineer denklem adını veriyoruz. Dikkat ederseniz, bu denklemlerdeki değişkenlerin, yani yön kosinüslerinin sıfırdan farklı değerlere sahip olması gerekiyor. Çünkü bir yön kosinüsünün sıfır olması, o doğrultuda bir yön değişimi olmadığı anlamına geliyor. Bu örnekteki üç yön kosinüsü birden sıfır değerini alamayacağı için (çünkü üçünün de sıfır olması eksenlerde bir değişme olmadığı anlamına geliyor), bu değişkenlerin sahip olduğu katsayılarının determinantının sıfıra eşit olması gerekiyor.
Bu determinantın çözümü de bize aşağıdaki eşitliği veriyor.
Ulaştığımız bu polinomun üçüncü dereceden olması nedeniyle üç köke sahip olması gerektiğini biliyoruz. Bu eşitliği çözerek elde edeceğimiz işte bu üç kök, bize üç asal gerilimin (σ1, σ2, σ3) sayısal değerlerini veriyor.
Asal gerilimler, bildiğiniz gibi sabit değerlere sahip nicelikler. Yukarıdaki denklemin köklerinin (yani asal gerilimlerin) sabit olabilmesi için, denklemdeki I1, I2 ve I3 katsayılarının da, eksen yönelimi her nasıl değiştirilirse değiştirilsin, daima sabit değerlere sahip olması gerekiyor. Bu zorunluluk nedeniyle bu katsayılara sabit katsayı (İngilizce: invariant coefficient) adını veriyoruz. Bu sabit katsayıları yukarıdaki determinantın çözümünden yola çıkarak aşağıdaki şekilde ifade edebiliyoruz.
Bu sabit katsayılardan, bir cisim üzerine etki eden gerilim bileşenlerini kullanarak asal gerilimlerin sayısal değerlerini bulmak için faydalanıyoruz. Eğer cisme etki eden gerilimin normal ve kesme bileşenlerini biliyorsak, bu değerleri kullanarak I1, I2 ve I3 sabit katsayılarının değerlerine ulaşabiliyoruz. Bu katsayıları yukarıdaki üçüncü derece denkleme yerleştirip, denklemin köklerini hesapladığımızda da asal gerilimlerin sayısal değerlerine ulaşmış oluyoruz.
Sonraki sayfa: Üç boyutlu gerilim için Mohr çemberi (dairesi)
Önceki sayfa: Mohr çemberi ve asal gerilimler