Bağlantı (matematik) - Vikipedi
Başlığın diğer anlamları için Bağlantı sayfasına bakınız.
Geometride bir bağlantı kavramı, paralel ve tutarlı bir şekilde bir eğri veya eğriler ailesi boyunca veri taşıma kesin fikri oluşturur.Modern geometrinin bağlantılarının türlerinin çeşitleri vardır,bir verinin ne türü bağlı olarak taşınmak isteniyor?Örneğin,en temel tip bir afin bağlantı,bir eğri boyunca bir noktadan bir manifolduna tanjant vektörler taşınması için bir araç verir . Belirli bir yönde bir vektör alanının sonsuz taşınması:Bir afin bağlantı tipik olarak vektör alanlarının yönlü türevlerinin alınması için bir vasıta sağlayan bir eşdeğişken türev şeklinde verilir. Bunlar bir noktada yerel geometri ile başka bir noktada yerel geometri arasındaki bir karşılaştırmaya izin verir çünkü bağlantılar büyük ölçüde modern geometride merkezi bir önem taşımaktadır.Sonsuz ve yerel teorisi:Diferansiyel Geometri kendi içinde iki ana gruba ayrılır bağlantı teması üzerinde çeşitli varyasyonları kucaklar.Öncelikle paralel taşınım ve holonomi kavramları ile yerel teori kendini ilgilendirir.Sonsuz teorisi geometrik verilerin farklılaşması ile ilgilenmektedir.Böylece kovaryant türev bir manifoldu başka bir vektör alanının boyunca bir vektör alanının bir türevini belirten bir yoludur .Bir Cartan bağlantısı diferansiyel formları ve Lie grupları kullanarak bağlantı kuramının bazı varsayımlarını formüle etmenin bir yoludur.Bir Ehresmann bağlantısı fiber demeti veya alanın hareketinin izin verdiği yönü belirten bir temel demet içinde bir bağlantıdır.Bir Koszul bağlantısı bir vektör demeti(paketi) türevi genelleştirici bir bağlantıdır . Bağlantılar ayrıca eğrilik ( ayrıca eğrilik tensörü ve eğrilik formu ve burulma tensörü) gibi geometrik değişmezlerin uygun formülasyonlarına izin verir.
1 Alıştırma: koordinatların uygunsuzluğu
2 Bağlantıların tarihi araştırması
3 Olası yaklaşımlar
Alıştırma: koordinatların uygunsuzluğu[değiştir | kaynağı değiştir]
Paralel taşınım (siyah okun)bir küresi üzerindedir.Farklı yönler içinde paralel taşınımlar sırasıyla mavi ve takiben kırmızı oklar gösteriliyor ama aynı alt sağ noktada sonlanıyor.Aslında bu aynı yöndeki nokta en sonda değil kürenin eğriliğinin bir fonksiyonudur.
Paralel taşınım ın aracı olarak şu sorunu düşünün:Kuzey kutbunda S küresine bir tanjant vektör veriliyor, ve kürenin diğer noktalarına bu vektörü hareketli bir şekilde tanımlamış olduğunu varsayalım. Safça,uygun bakım uygulandığı sürece bu özel bir koordinat sistemi kullanılarak yapılabilir. Ancak, koordinatların bir sistemde tanımlı paralel taşınımı için başka bir koordinat sistemi kabul edilemez. Daha uygun bir paralel ulaşım için sistemi dönme altında kürenin simetrisini kullanmaktır.Kuzey kutbunda verilen bir vektör göz önüne alındığında, eksenel dönme olmadan kuzey kutbunda verilen bir eğri boyunca böyle bir şekilde kürenin dönmesi ile eğri boyunca hareket ederek bu vektör taşınabilir.Paralel taşınımın bu ikinci ve son aracı küre üzerinde Levi-Civita bağlantısıdır.İki farklı eğri aynı başlangıç ve bitiş noktasına sahiptir, ve bir v katı vektör bir dönme ile birinci eğri boyunca hareket ettirildiğinde, eğri terminal noktada elde edilen ikinci v katı vektör boyunca hareket eden vektörden farklı olacaktır.Bu olgu, kürenin eğriliğini gösterir. Paralel ulaşımı görselleştirmek için kullanılan basit bir mekanik cihaz güney-işaretleme arabasıdır. Örneğin, S toparsal izdüşüm ile koordinatlar verildiğini varsayalım. S bakışıyla R3 içindeki birim vektörler oluşturuluyorsa S koordinatının yamaları bir çift taşır: kuzey kutbunun bir yakın komşuluğunda tek ve güney kutbunun diğer
sırasıyla kuzey kutbun U0 ve güney kutbunun U1 bir yakınkomşuluğunu kapsar. Diyelimki R3içinde X, Y, Z olsun ortam koordinatları olsun.Bunlar φ0 ve φ1 ise elimizde tersleri var
böylece koordinat geçiş fonksiyonu