﻿ İDEA / EUKLİDES
Anahatlarda Euklides'in Öğeler'i
Bu anahatlarda yalnızca TANIMLAR, KONUTLAMALAR, ve ORTAK KAVRAMLAR bulunuyor.
Danışılan çeviriler Clemens Thaer (1933) ve Thomas L. Heath (1908) tarafından.
‘‘Usdışı geometriler’’ (sözde non-Euclidean geometriler) "usdışı mekanik" (özel ve genel görelilik kuramları) türetme girişiminin yan-ürünleridir. Uzayın fizikselleştirilmesi geometrinin de fizikselleştirilmesini ister. Bu ekzotik dönüşümü bir yana atarsak, hiperbolik ve elliptik geometriler düzlem geometri ile çatışamaz ya da onu çürütemez ve genel Geometri başlığı altına düşer. Bu düzeye dek Geometri henüz tam olarak Euklides’in ve başka Yunanlı düşünürlerin onu bıraktığı yerdedir. Eksiksiz bir Geometri Bilimi üretebilmek ilk tanımından başlayarak tüm yapının saltık olarak varsayımsız bir kavramsal düzlemde kurulmasına bağlıdır. Euklides’in Geometrisi ussal düşüncenin en güzel ve eğitici örneği olarak görülür, çünkü doğal usu bir belitler düzleminden kavramsal düşüncenin kendisinin düzlemine doğru eğitir. Bilimin asıl probleminin varsayımları temizlemek, nesnel ussallığı salt kendi doğasının terimlerinde kavramak ve insan usunda bir kez daha yeniden üretmek olduğu düzeye dek, Geometride de çözülmeyi bekleyen sorunlar vardır.
KİTAP I KİTAP II KİTAP III KİTAP IV KİTAP V
KİTAP VI KİTAP VII KİTAP VIII KİTAP IX KİTAP X
KİTAP XI KİTAP XII KİTAP XIII
(BAĞLANTISIZ KİTAPLARDA TANIM VB. BULUNMUYOR)
Shmeion estin, ou meroV ouqen.
Martianus Capella — İS 5’inci yy — şöyle çevirir: ‘‘Punctum est cuius pars nihil est :: Nokta parçası hiçbirşey olandır.’’ Bu çeviri de semantik olarak eşit ölçüde geçerlidir. Eğer noktanın parçası hiçbirşey ise, kendisi de hiçbirşeydir diyerek karşı çıkılırsa, bu çözümsüz ‘‘analitik’’ yoruma karşı noktanın gerçekten de hiçbirşey olduğunu belirtmek gerekir: Hiçbirşey iken bir konumda, uzayda olmak noktanın doğasıdır. Hegel nokta için onun ‘‘Uzayın ‘olumsuzluğu,’ dahası Uzayın Uzayda koyulan olumsuzluğu’’ olduğunu belirtir.
Nokta, her kavram durumunda olduğu gibi, analitik düşünce için yalın olanın kendisidir çünkü çözümlenecek hiçbir tasarımsal içeriği yoktur. Duyular ne denli zorlanırsa zorlansın, sezgi ne denli derinleşirse derinleşsin, tüm tasarımsal düşünme en yalın uzaysal kavram konusunda bütünüyle güçsüz olduğunu gösterir. Gerçekte burada analitik çözümlemenin kendisinin yalnızca görgül çözümleme olduğu, dışsal bağıntıları çözmek ile ilgilendiği, gerçek çözümleme ile bir ilgisinin olmadığı da görülür.
Aristoteles noktanın ‘‘bir çizginin başlangıcı’’ olarak ya da ‘‘bir çizginin ucu’’ olarak tanımlarının bilimsel olmadığını, çünkü bu tanımın önsel olanı sonsal olan ile açıkladığını söylerler. Pisagorcular noktayı ‘‘konumu olan monad’’ olarak tanımlarlar, bu çok daha iyidir, ve Aristoteles bunu kabul eder (monad ve nokta bölünemez olmakla bir ama birincinin konumsuz ve ikincinin konumlu olması ile ayrılır). Ama burada da "monad" ya da "bir" bütünüyle gereksizdir ve "Uzayın olumsuzlanması" böyle bir fazlalığa gerek duymaz.
Bölünemez olmanın ilk tasarımsal sonucu çizginin noktalardan üretilemeyeceği, analitik düşüncenin yaptığı gibi bir çizgideki ya da bir yüzeydeki noktaların sayılamayacağı gibi apaçıklıklardır. Bir nokta, der, Aristoteles, zamandaki ‘şimdi’ gibidir: ‘Şimdi’ zamanın bir parçası değildir, yalnızca başlangıcı ya da sonu ya da bölünmesidir — tıpkı bir çizgi durumunda olduğu gibi. Nokta tasarımsal olarak ancak devim yoluyla bir çizgi yaratabilir.
Hiç kuşkusuz noktanın tanımında ‘‘çizgi’’nin kullanılması bu tanımların sağın kuramsal tanımlar olarak amaçlanmadığını, yalnızca soyut düşünme alıştırmaları olduğun gösterir. Nokta konusunda kavramsal olarak söylenebilecek tek şey ‘‘uzayın saltık olumsuzlanması’’ olduğudur. ‘‘Konum’’ bu kavramın kendisinde bütünüyle ‘‘belirsiz’’ olarak imlenir; ama ‘belirli yer’ olarak anlaşılması ölçüsünde yine bir petitio principiidir ki gerçekte daha ileriye, boyuta yapılan bir göndermeyi varsayar ve kavram olması gerektiği gibi ya da bütünüyle olumsuz olmaz.
Görgücü yorumlar kavramı doğadaki fiziksel ‘nokta’lardan türettiğimiz konusunda birleşirler. Burada gerçekte eytişimsel olanın, kendinde bir çelişki olanın ‘‘algı’’ ya da ‘‘duyum’’undan vb. söz ettikleri ölçüde bu ‘‘uslamlamaları’’ izleme sıkıntısına girmeyebiliriz.
2. Çizgi genişliksiz uzunluktur.
Grammh de mhkoV atlates.
Eine Linie ist breitenlose Länge.
Bu tanım da Platon’a yüklenir. Proclus haklı olarak noktanın ‘olumsuz’ tanımına karşın, ilk kez çizgi ile irdelemeye olumlu bir kavramın, ‘boyut’ kavramının girdiğini belirtir. Gerçekte çizginin kendisi boyuttan başka birşey değildir. Proclus’un tanımı ‘‘tek boyutta büyülük’’ ya da ‘‘tek yolda/yönde uzamlı büyüklük’’tür; yine ‘‘bir noktanın akışı’’ ya da devimdeki yoludur. Açıktır ki ‘‘genişliksiz’’ olmak ‘‘tek boyutta’’ olmayı anlatır. Aristoteles ayrıca çizginin tanımını ‘‘bir yüzeyin ucu’’ olarak ta verir.
Çizginin noktanın devimi ile üretilmesi biçimindeki tasarımsal tanıma karşı yalnızca çizginin noktanın karşıtı olduğu, nokta olmayan olduğu anımsatılabilir. (Çizginin öyle üretilmesinin dışsal bir ‘‘devim’’ kavramını gerektirmesi yine böyle tanımların sağın olarak amaçlanmadıklarını gösterir.) Genişlik ve uzunluk kavramları bu nicelik alanında hiç kuşkusuz bütünüyle geçerlidir. Ama uzunluğun ‘‘genişliksiz’’ olmadığını belirtmekle Euklides açıktır ki anlatımı tanıma katmaktan çok ‘‘sezgisel’’ ya da ‘‘tasarımsal’’ düşünmeye bir engelleme getirmeyi amaçlar (tıpkı nokta tanımında parça ve dolayısıyla bütün kavramlarının aynı amaçla dışsal olarak kullanılması gibi). Gene de Aristoteles bu tanıma ‘‘cinsi olumsuzlama’’ ile böldüğü için haklı olarak karşı çıkar (cins iki karşıt yüklemi birden taşımaz).
Euklides çizgilerin sınıflandırmasını atlar ve eğri çizgi daha sonra bir dairenin tanımında ele alınır.
3. Çizginin uçları noktalardır.
Grammhs de perata shmeia.
4. Doğru çizgi üzerindeki noktalar ile düz olarak uzanan çizgidir.
Euqeia grammh estin, htiV ex itou toiV ef eathV shmeioiV keitai.
Eine gerade Linie (Strecke) ist eine solche, die zu den Punkten auf ihr gleichmäßig liegt.
htiV ex ‘‘evenly/düz olarak’’ ya da ‘‘gleichmäßig/bakışık olarak’’
Proclus: Yalnızca doğru çizgi (eğriler değil) üzerindeki noktalar arasındakine eşit bir uzaklığı kaplar.
‘‘Bir doğru çizgi üzerindeki noktalar ile ‘‘düz’’ olarak uzanan bir çizgidir’’ olarak çevrildiğinde tanımdan anlam çıkarmanın güç olduğu düşünülür, ve Savile’nin anlayamadıklarını kabul etmesi böyle bir yoruma bağlı olabilir.
‘‘Üzerindeki noktalar ile düz olarak uzanmak’’
Aslında tanımlanacak olan şeyin kendisi budur ve Euklides’in bunu gözden kaçırması söz konusu değildir. Ama bu bölümün çevirisi konusunda çözülemeyen sorunlar vardır.
Euklides’ten önce bilinen biricik doğru çizgi tanımı Platon’a ait ‘‘duyusal’’ tanımdır: Bir ucundan doğru olarak bakıldığında ‘‘ortası uçlarını örten’’ çizgi. Aristoteles Platon’dan söz etmeksizin tanımı benzer terimlerde alıntılar. Euklides duyusal bir gönderme kullanmaz, ama ‘‘bakışık’’ olarak yorumlanacak anlatım Platon’un ‘‘orta’’ kavramına dayanır.
‘‘bir eşitlik temelinde’’ ya da ‘‘doğada bir eşitlik üzerinde olma’’ deyimleri Platon ve Aristoteles’te Euklides’in kullandığı sözcüklere benzer sözcükler ile bulunur. Buradan ‘‘bakışık’’ anlatımına geçmek güç değildir.
ex ison sözcükleri
—‘‘düz olarak yerleştirilmiş (dengelenmiş)’’
Bu durumda: ‘‘üzerindeki noktalar ile (ya da noktalar açısından) düz olarak uzanan’’ olarak alınabilir — ki pek yararlı değildir.
Şöyle bir çeviri de olanaklıdır: Üzerindeki noktalarda (ya da noktalar yoluyla) düz olarak (ya da biçimdeş/eşbiçimli olarak) uzanan (ya da yerleştirilen)’’ demektir.
Bir Almanca çeviride ilk biçim şöyle önerilir (Max Simon): ‘‘die Gerade liegt in gleicher Weise wie ihre Punkte :: Doğru çizgi noktaları ile aynı yolda uzanır.’’
İkinci biçim: ‘‘die Gerade liegt für (durch) ihre Punkte gelichmäßig :: Doğru çizgi noktaları için (yoluyla) bakışık olarak uzanır.’’
Platon’un görsel tanımındaki ipuçları metni yorumlama konusunda daha yararlı ölçütler verir, ve Euklides’in çıkış noktasının da bu tanım olduğu düşünülebilir. Burada sorunu kapatmamaya özen göstererek yalnızca kendi mantığı içinde irdeleyebiliriz.
Analitik olarak, bir çizgi kavramında uçların varlığı uçların uçları olduğu bir üçüncü öğeyi, bir ara noktayı, ya da daha tam olarak bir ‘‘uzunluk’’ olan noktayı imler. Doğru çizgi ve eğri çizgi arasındaki ayrım bu ara terimin iki uç ile ilişkisine bağlıdır, ve bu noktalar bir doğru üzerinde ya da bir eğri üzerinde olabilir. Platon’un görsel tanımında orta nokta uç noktalar tarafından örtülür (görülmesi engellenir). Bu duyusal öğeyi bir yana bırakırsak, ve tanımda ‘‘doğruluk/düzlük’’ kavramının kullanıldığını varsayarsak, o zaman yine bir sonsalın önsel olarak kullanılması durumu olacaktır. ‘‘Bakışık’’ kavramı ise tasarım yetisine sorunun çözümünü hiç kuşkusuz hemen sunar. Ama bakışıklık yalnızca doğruluğu değil ama eğriliği de kabul eder.
Kant ‘‘en kısalık’’ kavramının çizgi açısından sentetik olduğunu söyler ve bunda doğruluk ve eğrilik kavramlarının da çizgi açısından sentetik olduğunu imlenir. Bu öğeler çizgi kavramının çözümlemesinden çıkartılamazlar, ve çözümleme bize yalnızca uçları ve ortayı vermişti.
Eğer bu uzunluk sonsuz küçük niceliğe indirgenirse — ki bu durumda kendisi bir birim ya da nokta olmanın kıyısında durur ama nokta değildir — doğruluk bu orta noktanın uç noktalarla uzaklığının yalnızca eşit değil ama ‘‘en kısa’’ olmasını gerektirir. Böylece doğru çizgi iki uç noktanın orta noktaya uzaklıklarının ‘‘en kısa’’ olma durumunu anlatır. Platon’un tanımında çizginin her iki yarısının uzunluğu ilgisizdir, yeter ki bir uzunluk olsun.
‘‘Eşit uzunluk/nicelik’’ kavramı Hume’un ‘görsel’ nicelik yorumlarına uygun olarak ‘‘usdışı geometri’’nin yadsıdığı bir kavramdır. Yukarıdaki uslamlamada ‘‘uzunluk’’ kavramı olanaklı ‘‘en kısa’’ olana, bir çatışkı noktasına indirgendiği için, bu kuşkulu eşitlik sorununu da ilgilendirmez. (Yine Newton da yiten niceliklerin oranında aynı çatışkı noktasında durulduğunu gösterir ve buradaki eytişimi açık olarak belirtir, bkz. ‘‘Principia,’’ Lemma 11 (Ek Çıkarsama).
Doğru çizgi kavramını düşünen usun mantıksal sürecini çözümlemek nokta durumundaki güçlükle karşılaştırılamayacak denli büyüktür. Ve sorunun çözümü yalnızca bu sürecin olanaklı kılınması için gereken kavramları saptamaktır. ‘‘Doğru çizgi’’ kavramı gerçekte çizgi kavramının kendisinin bir tipidir, ve kavram kabul edildiğinde tanım için gereken şey bir özelliktir. Ama özelliğin kendisi elde edilen kavramlar arasındaki bir ilişkidir, ve yalnızca bu ön kavramlar aracılığıyla verilmelidir, bir petitio principii olarak geçiştirilmemelidir. Düzlük, düzgünlük, eşbiçimlilik ya da biçimdeşlik, eş yönlülük vb. gibi terimlerden yararlanamayız çünkü tanımlanacak olan kavramın kendisi bu terimlerin kendilerinin kökenleridir.
Geometrinin ‘‘belitli yöntemi’’ sürekli olarak aynı sorunu yaratır, ve sağın bir mantıksal çıkarsamadan, eytişimin eksiksiz uygulanışından yoksun kaldığı sürece yeni belitlerin getirilmesi ya da kimilerinin atılması, eskilerin yeniden düzenlenmesi gibi reformlarla bu bilim Euklides’te usun doğal işleyişinin ona vermiş olduğu bu en iyi biçimden daha öteye gidemez.
Einstein’ın aynı konudaki uslamlamaları için bkz. Özel ve Genel Görelilik Kuramı Üzerine, § 1.
5. Yüzey yalnızca uzunluk ve genişliği olandır.
6. Yüzeyin uçları çizgilerdir.
7. Düzlem yüzey üzerinde doğru çizgiler ile düz olarak uzanan yüzeydir.
Tanım çizginin tanımı ile sözel olarak da aynı yapıdadır. Proclus’un başka tanımları (yalnızca kırmızıda): 1. En sonuna dek gerilmiş yüzey. Fiziksel bir kavram ve bir de eylem içeren bu tanımı Proclus Euklides’in tanımına eşdeğer bulur. 2. Aynı uçları olanların tümünden en küçük yüzey. Bu Arşimedes’den alıntıdır. 3. Tüm parçalarına doğru bir çizginin uyduğu yüzey. Vb.
Gauss’un Bessel’e bir mektubuna göre düzlem bir yüzey öyle bir yüzeydir ki, üzerinde iki nokta alınırsa, onları birleştiren doğru çizgi bütünüyle yüzeyde yatar tanımı gerekenden daha çoğunu kapsar.
Hiç kuşkusuz en iyi tanım en yalın tanımdır. Ama gerçek tanım kavramın kendi kendisini tanımlamasıdır. Düzlem için gereken biricik varsayım doğru çizgidir. Ya da, eğer bu biraz kapalı görünüyorsa, doğru çizginin diyalektiği noktayı da kapsadığını gösterir. Ve doğru çizgi ve nokta yüzeyin belirlenimi için yeterli kıpılardır.
8. Düzlem açı bir noktada buluşan ve düz bir çizgi üzerinde uzanmayan iki çizginin bir düzlem üzerinde birbirine eğimidir.
9. Ve açıyı sınırlayan çizgiler düz olduklarında açıya doğrusal açı denir.
10. Düz bir çizgi üzerine çizilen doğru bir çizgi bitişik açıları birbirine eşit kıldığında, eşit açılardan her biri diktir ve ötekinin üzerinde duran doğru çizgiye üzerinde durduğu çizgiye dik denir.
11. Bir geniş açı bir dik açıdan büyük bir açıdır.
12. Bir dar açı bir dik açıdan küçük bir açıdır.
13. Bir sınır herhangi birşeyin bir ucu olandır.
14. Bir şekil herhangi bir sınır ya da sınırlar tarafından sınırlanandır.
15. Bir daire tek bir çizgi tarafından öyle bir yolda sınırlanan bir düzlem şekildir ki, şeklin içersinde yatan noktalar arasındaki tek bir noktadan çizginin üzerine düşen tüm doğru çizgiler birbirine eşittir.
16. Ve noktaya dairenin özeği denir.
17. Dairenin bir çapı özekten geçerek çizilen ve her iki yönde dairenin çevresi tarafından sonlandırılan herhangi bir doğru çizgidir, ve böyle bir doğru çizgi ayrıca daireyi ikiye böler.
18. Bir yarım-daire çap ve onun tarafından kesilen çember ile kapatılan şekildir. Ve yarım-dairenin özeği daireninki ile aynıdır.
19. Doğruçizgili şekiller doğru çizgiler tarafından sınırlanan şekillerdir, ve üç-kenarlı şekiller üç çizgi tarafından sınırlanan, dört-kenarlı şekiller dört çizgi tarafından sınırlanan, ve çok-kenarlı şekiller dört doğru çizgiden daha çoğu tarafından sınırlanan şekillerdir.
20. Üç kenarlı şekillerden, bir eşkenar üçgen üç kenarı eşit olan, bir ikizkenar üçgen yalnızca iki kenarı eşit olan, ve bir eşitsiz kenarlı üçgen üç kenarı eşitsiz olan üçgendir.
21. Bundan başka, üç kenarlı şekillerden, bir dik-açılı üçgen bir dik açısı olan, bir geniş-açılı üçgen bir geniş açısı olan, ve bir dar-açılı üçgen üç dar açısı olan üçgendir.
22. Dörtgen şekillerden,
bir kare hem eş-kenarlı hem de dik-açılı olandır;
bir dikdörtgen dik-açılı olan ama eş-kenarlı olmayandır;
bir eşkenar dörtgen (Rombus) eş-kenarlı olan ama dik-açılı olmayandır; ve
bir koşutkenar (Romboid) karşı kenar ve açıları birbirine eşit olan ama ne eş-kenar ne de dik-açılı olan dörtgendir.
Bunların dışında kalan dörtgenlere yamuklar diyelim.
23. Koşut doğru çizgiler aynı düzlemde olduklarında ve her iki yönde de sonsuza dek uzatıldıklarında her iki yönde de birbirleri ile buluşmazlar.
1. Her noktadan her noktaya bir doğru çizgi çizmek.
2. Bir doğru çizgide bir sonlu doğru çizgiyi sürekli olarak uzatmak.
3. Herhangi bir özek ve uzaklık ile bir çember çizmek.
4. Tüm dik açıların birbirine eşit olması.
5. Eğer iki doğru çizgi üzerine düşen bir doğru çizgi aynı yanda oluşan iç açıları iki dik açıdan daha küçük yapıyorsa, iki doğru çizginin, eğer sonsuza dek uzatılırlarsa, açıların iki dik açıdan daha küçük olduğu yanda kesişmeleri.
Tanıtlanamayan bir teorem olarak görülen ünlü postulat budur. Başka biçimlerde de anlatılır:
— Verili bir noktadan verili bir doğru çizgiye yalnızca tek bir koşut çizgi çizilebilir, ve,
— Kesişen iki doğru çizgi bir ve aynı doğru çizgiye koşut olamaz.
ORTAK KAVRAMLAR (BELİTLER)
1. Aynı şeye eşit olan şeyler birbirine de eşittir.
2. Eğer eşitlere eşitler eklenirse, bütünler eşittir.
3. Eğer eşitlerden eşitler çıkarılırsa, kalanlar eşittir.
4. Birbiri ile düşümdeşen şeyler birbirine eşittir.
1. Herhangi bir dikaçılı koşutkenarın dik açıyı sınırlayan iki doğru çizgi tarafından sınırlandığı söylenir.
2. Ve bir koşutkenar alanda onun köşegeni çevresindeki iki ekli koşutkenarlardan her birine gnomon denir.
Aristoteles Kategoriler’de gnomonu şöyle tanımlar (15 a 305): ‘‘Bir kare çevresine bir gnomon eklendiği zaman büyüklükte artar, ama [şekilde] değişmez.’’
Herodotus’a göre (II, 109) Yunanlılar ‘gnomon’u Babillilerden öğrendiler. Suidas’a göre ‘gnomon’u Yunanistan’a getiren Anaximander (İÖ 611-545) oldu. Gnomon zamanın güneşin neden olduğu gölgelere dayanarak ölçülmesi ile ilgilidir. Bir karenin bir köşesinden bir kare kesildiği zaman geriye kalan şekil bir gnomondur (bir kareye eklendiği zaman onun büyüklüğünü arttırır ama şeklini değiştirmez).
1. Eşit daireler çapları eşit olanlar, ya da yarıçapları eşit olanlardır.
2. Çember ile buluşan ve uzatıldığında çemberi kesmeyen bir doğru çizginin bir çembere değdiği söylenir.
3. Buluştuklarında kesişmeyen çemberlerin birbirine teğet olduğu söylenir.
4. Bir dairede doğru çizgilere özekten çizilen dikeyler eşit olunca özekten eşit uzaklıkta oldukları söylenir.
5. Ve üzerine daha büyük dikeyin düştüğü çizginin daha büyük bir uzaklıkta olduğu söylenir.
6. Bir daire dilimi bir doğru çizgi ve bir çember parçası tarafından sınırlanan şekildir.
7. Bir dilim açısı bir doğru çizgi ve bir çember parçası tarafından sınırlanan açıdır.
8. Bir dilimdeki açı, dilimin çember parçası üzerinde bir nokta alındığı ve ondan doğru çizgiler dilimin tabanı olan doğru çizginin uçlarına birleştirildiği zaman, böyle birleşen doğru çizgiler tarafından sınırlanan açıdır.
9. Ve, açıyı sınırlayan doğru çizgiler bir çember parçası kopardıkları zaman, açının o çember parçası üzerinde durduğu söylenir.
10. Bir daire kesimi, dairenin özeğinde bir açı çizildiği zaman, açıyı sınırlayan doğru çizgilerin ve onlar tarafından koparılan çember parçasının sınırladığı şekildir.
11. Dairelerin benzer dilimleri eşit açıları kabul eden ya da içlerinde açıların birbirlerine eşit olduğu dilimlerdir.
1. Bir doğruçizgili şeklin bir doğru çizgili şeklin içine çizildiği söylenir, eğer içe çizilen şeklin ilgili açıları içine çizildiği şeklin karşılık düşen kenarları üzerinde yatıyorsa.
2. Benzer olarak, bir şeklin bir şeklin çevresine çizildiği söylenir, eğer çevreye çizilen şeklin ilgili kenarları çevresine çizildiği şeklin ilgili açıları içinden geçiyorsa.
3. Bir doğruçizgili şeklin bir daire içine çizildiği söylenir, eğer içe çizilen şeklin her bir açısı dairenin çevresi üzerinde yatıyorsa.
4. Bir dikdörtgen şeklin bir çemberin çevresine çizildiği söylenir, eğer çevreye çizilen şeklin her bir kenarı dairenin çevresine değiyorsa.
5. Benzer olarak bir dairenin bir şeklin içine çizildiği söylenir, eğer dairenin çevresi içine çizildiği şeklin her bir kenarına değiyorsa.
6. Bir dairenin bir şeklin çevresine çizildiği söylenir, eğer dairenin çevresi çevresinde çizildiği şeklin her bir açısının içinden geçiyorsa.
7. Bir doğru çizginin bir daireye uyduğu söylenir, eğer uçları dairenin çemberi üzerinde ise.
Bu kitaba bir notun yazarı olduğu düşünülen Proclus geometri, aritmetik, müzik ve tüm matematiksel bilime eşit ölçüde uygulanabilir genel orantı kuramını kapsayan bu kitabın Platon’un öğretmeni olan Eudoxus’un buluşu olduğunu söyler. Hiç kuşkusuz onu da önceleyen çalışmalar vardı ve Pisagorcular sayılarla ilgili olarak böyle bir kuram geliştirmişlerdi ve aritmetik, geometrik ve harmonik ortaları ayırdediyorlardı. Buluşlar Babil’e, Mısır’a dek gider.
Nice ve Nicelik kavramları arasındaki ayrım antik Yunanca’da da Türkçe’de olduğu gibidir. Modern gündelik kullanım ‘Nice’ kavramını düşerek ‘ne kadar’ ya da İngilizce durumunda ‘how much’’ anlatımını yeğler. Yunanca ‘‘pelikos/nice’’ için Heath ‘‘how great’’ karşılığını verir (pelikotes ise ‘‘nicelik’’tir). Yine Wallace Hegel’in Mantık Bilimi’ni İngilizce’ye çevirisinde Latince ‘‘Quantum/Nice’’ sözcüğünün yanına ‘‘How much’’ karşılığını ekleme gereğini duyar. Türkçe’de ‘‘Nicelik’’ sözcüğünün ‘‘Nice’’den türetilmesi ‘‘Nice’’nin verdiği ‘‘doğal’’ anlam temelinde olanaklı olmuştur.
Nitelik için de durum bütünüyle benzerdir, ve her iki durumda da sözcüklere köken olan sözcüklerin kendilerinin birer soru anlatımı olmaları — nite, nice — bu sözcüklerin adlar olarak kullanılmasını engellemiştir.
‘Quantum’ sözcüğünün modern yazgısı, sık sık ‘parçacık’ olarak anlaşılması sözcüğün bütünüyle ilgisiz bir metamorfozudur. Ve gene de dilbilimsel soruna yabancı fizik yazarlarının sık sık ‘quantum’ sözcüğünün doğal anlamında kullanılmasına içerlerledikleri görülür.
1. Bir büyüklük daha büyük olanı ölçtüğü zaman bir büyüklüğün bir parçası, daha büyük olanın daha küçüğüdür.
2. Daha büyük olan daha küçük tarafından ölçüldüğü zaman daha küçük olanın bir çokluğudur.
3. Bir oran aynı türden iki büyüklük arasında büyüklük açısından bir tür ilişkidir.
4. Çoğaltıldıklarında birbirlerini aşmaya yetenekli büyüklüklerin bir oranları olduğu söylenir.
5. Birinci büyüklüğün ikinci ile, üçüncünün dördüncü ile aynı oranda olduğu söylenir, eğer birincinin ve üçüncünün hangi eş-katı alınırsa alınsın, ve ikincinin ve dördüncünün hangi eş-katı alınırsa alınsın, karşılık düşen bir düzende sırayla alındıklarında, ilk eş-katlılar ikinci eş-katlıları benzer olarak geçiyor, ya da benzer olarak onlara eşit oluyor, ya da benzer olarak onlardan küçük kalıyorsa.
6. Aynı oranı taşıyan büyüklüklere orantılı denir.
7. Eş-katlılardan birinci büyüklüğün çokluğu ikincinin çokluğunu geçtiği, ama üçüncünün çokluğu dördüncünün çokluğunu geçmediği zaman, birincinin ikinciye üçüncünün dördüncüye olduğundan daha büyük bir oranı olduğu söylenir.
8. Üç terimde bir orantı en az olanaklı olandır.
9. Üç büyüklük orantılı olduğu zaman, birincinin üçüncüye ikinciye olanın çifte oranını taşıdığı söylenir.
10. Dört büyüklük [sürekli olarak] orantılı olduğu zaman, birincinin dördüncüye ikinciye taşıdığının üçlü oranını taşıdığı söylenir, ve orantı ne olursa olsun, bu böyle sürer.
11. Karşılık düşen büyüklükler terimi öncekiler için öncekiler ile ilişki içinde, ve sonrakiler için sonrakiler ile ilişki içinde kullanılır.
12. Almaşık oran öncekini önceki ile ilişki içinde ve sonrakini sonraki ile ilişki içinde almak demektir.
13. Ters oran önceki olarak sonrakini sonraki olarak önceki ile ilişki içinde almak demektir.
14. Bir oranın bileşimi öncekini sonraki ile birlikte kendi başına sonraki ile ilişki içinde bir olarak almak demektir.
15. Bir oranın ayrılması öncekinin sonrakini aştığı fazlalığı kendi başına sonraki ile ilişki içinde almak demektir.
16. Bir oranın evrilmesi öncekini öncekinin sonrakini aştığı fazlalık ile ilişki içinde almak demektir.
17. Eğer çeşitli büyüklükler ve çoklukta onlara eşit bir başka küme varken bu sonuncular ikişer ikişer alındıklarında ilk büyüklükler arasında birincinin sonuncuya oranı ikinci büyüklüklerde birincinin sonuncuya oranı gibiyse bir eşitlikte oran doğar.
Ya da, başka bir deyişle, bu uç terimleri ara terimlerin uzaklaştırılmaları dolayısıyla almak demektir.
18. Üç büyüklük ve çoklukta onlara eşit bir başka küme varken, ilk büyüklükler arasında öncekinin sonrakine oranı ikinci büyüklükler arasında öncekinin sonrakine oranı gibiyse, bu arada ilk büyüklükler arasında sonrakinin bir üçüncüye oranı ikinci büyüklükler arasında bir üçüncünün öncekine oranı gibiyse, bir tedirgin oran doğar.
— Tanım 11’den başlayarak: öncekiler, hgoumena, sözel olarak ‘‘önde giden [terimler]’’, ve sonrakiler, epomena, ‘‘arkadan gelen [terimler]’’ demektir.
— Tanım 12’de oran A, B, C, D ... dizisinde düşünülüyor.
— Tanım 17’de ‘eşitlikte oran’; (di itou) sözel olarak ‘eşit bir uzaklıkta ya da aralıkta.’
— Tanım 18’de a, b, c ve A, B, C varken,
a ve b oranı B ve C oranı gibidir, ve
b ve c oranı A ve B oranı gibidir.
Tedirgin oran ‘oranların benzersiz olarak düzenlenmesi’ biçiminde Arşimedes’de de bulunur.
1. Benzer dörtgen betiler açıları tek tek eşit, ve eşit açıları yapan kenarlar orantılı olanlardır.
2. Bütün çizginin büyük dilime oranı büyüğün küçüğe oranı gibi olduğu zaman, bir doğru çizginin uçta ve orta oranda kesilmiş olduğu söylenir.
3. Herhangi bir betinin yüksekliği tepeden tabana çizilen diktir.
1. Bir birim varolan şeylerin her birine bir denmesini sağlayandır.
2. Bir sayı birimlerden oluşan bir çokluktur.
3. Bir sayı bir sayının bir parçası, büyüğün küçüğüdür, eğer büyük olanı ölçüyorsa;
4. ama parçalarıdır, eğer onu ölçmüyorsa.
5. Büyük sayı küçüğün bir çokluğudur, eğer küçük tarafından ölçülüyorsa.
6. Bir çift sayı iki eşit parçaya bölünebilendir.
7. Bir tek sayı iki eşit parçaya bölünebilir olmayan, ya da bir çift sayıdan bir birim ile ayrılandır.
8. Bir çift-kez çift sayı bir çift sayı tarafından bir çift kez ölçülendir.
9. Bir çift-kez tek sayı bir tek sayıya göre bir çift sayı tarafından ölçülendir.
10. Bir tek-kez tek sayı bir tek sayıya göre bir tek sayı tarafından ölçülendir.
11. Bir asal sayı salt bir birim tarafından ölçülendir.
12. Birbirlerine asal sayılar salt ortak bir ölçü olarak bir birim tarafından ölçülenlerdir.
13. Bir bileşik sayı belli bir sayı tarafından ölçülendir.
14. Birbirlerine bileşik sayılar ortak bir ölçü olarak bir sayı tarafından ölçülenlerdir.
15. Bir sayının bir sayıyı çarptığı söylenir, eğer çarpılan ötekinde olan birimler denli kendine eklenir ve böylece belli bir sayı üretilirse.
16. Ve, birbiri ile çarpılan iki sayı belli bir sayı oluşturduğu zaman, böyle üretilen sayıya düzlem denir, ve kenarları birbirini çarpmış olan sayılardır.
17. Ve, birbiri ile çarpılan üç sayı belli bir sayı oluşturduğu zaman, böyle üretilen sayıya katı denir, ve kenarları birbirini çarpmış olan sayılardır.
18. Bir kare sayı eşit tarafından çarpılmış eşittir, ya da iki eşit sayı tarafından kapsanan bir sayıdır.
19. Ve bir küp eşit tarafından ve yine eşit tarafından çarpılan eşittir, ya da üç eşit sayı tarafından kapsanan bir sayıdır.
20. Sayılar birinci ikincinin tıpkı üçüncünün dördüncünün olduğu o aynı çokluğu, ya da aynı parçası, ya da aynı parçaları olduğu zaman orantılıdır.
21. Benzer düzlem ve katı sayılar kenarları orantılı olanlardır.
22. Bir eksiksiz sayı kendi parçalarına eşit olandır.
1. Aynı ölçü ile ölçülen büyüklüklerin eşölçümlü ve herhangi bir ortak ölçüsü olamayanların eşölçümsüz oldukları söylenir.
2. Doğru çizgiler üzerlerindeki kareler aynı alan yoluyla ölçüldüğü zaman karede eşölçümlü, ve üzerlerindeki karelerin ortak bir ölçü olarak bir alanları olamadığı zaman karede eşölçümsüzdür.
3. Bu önsavlar ile, kimileri yalnızca uzunlukta, başkaları ise karede de olmak üzere, saptanan bir doğru çizgi ile sırasıyla eşölçümlü ve eşölçümsüz olan sonsuz çoklukta doğru çizginin varolduğu tanıtlanır. O zaman saptanan doğru çizgiye kesirli (oranlı), ve onunla ister uzunlukta ve karede isterse yalnızca karede eşölçümlü olan doğru çizgilere kesirli, ama onunla eşölçümsüz olanlara kesirsiz densin.
4. Ve saptanan doğru çizgi üzerindeki kareye kesirli ve onunla eş ölçümlü olan alanlara kesirli, ama onunla eşölçümsüz olanlara kesirsiz, ve onları üreten doğru çizgilere kesirsiz densin, eş deyişle, alanların kareler olmaları durumunda, kenarların kendilerine, ama başka doğru kenarlı şekiller olmaları durumunda, üzerlerinde onlara eşit kareler çizilen doğru çizgilere.
KİTAP ON BİR
1. Bir katı uzunluk, genişlik ve derinliği olandır.
2. Bir katının bir ucu bir yüzeydir.
3. Bir doğru çizgi onunla kesişen ve düzlemde olan tüm doğru çizgilerle dik açılar yaptığı zaman bir düzleme dik açılardadır.
4. İki düzlemden birinde düzlemlerin ortak kesimlerine dik açılarda çizilen doğru çizgiler geri kalan düzleme dik açılarda olduğu zaman bir düzlem bir düzleme dik açılardadır.
5. Bir doğru çizginin bir düzleme eğimi, doğru çizginin düzlemin üstüne yükselen ucundan düzleme çizilen bir dikey, ve böyle doğan noktadan doğru çizginin düzlemde olan ucuna birleştirilmiş bir doğru çizgi varsayıldığında, böyle çizilen doğru çizgi ile dik duran doğru çizgi tarafından sınırlanan açıdır.
6. Bir düzlemin bir düzleme eğimi aynı noktada ortak kesime dik açılarda çizilen ve her biri bir düzlemde olan doğru çizgiler tarafından sınırlanan dar açıdır.
7. Sözü edilen eğim açıları birbirine eşit olduğu zaman, bir düzlemin bir başkasına eğik olan bir başkası ile benzer eğimli olduğu söylenir.
8. Koşut düzlemler karşılaşmayan düzlemlerdir.
9. Benzer katı betiler çoklukta eşit benzer düzlemler tarafından sınırlanan betilerdir.
10. Eşit ve benzer katı betiler çoklukta ve büyüklükte eşit benzer düzlemler tarafından sınırlanan betilerdir.
11. Bir katı açı birbirleri ile birleşen ve aynı yüzeyde olmayan ikiden çok çizgi tarafından oluşturulan ve tüm çizgilere doğru olan eğimdir.
Başka türlü anlatırsak: Bir katı açı aynı düzlemde olmayan ikiden çok düzlem açı tarafından sınırlanan ve tek bir noktaya doğru çizilen açıdır.
12. Bir piramit düzlemler tarafından sınırlanan ve bir düzlemden tek bir noktaya çizilen bir katı betidir.
13. Bir prizma karşıt olan ikisi eşit, benzer ve koşut olan, ama geri kalanları birer paralelkenar olan yüzeyler tarafından sınırlanan bir katı cisimdir.
14. Çapı değişmeden kalan bir yarım daire döndürülür ve devindirilmeye başladığı aynı konuma yeniden getirilirse, böyle oluşturulan beti bir küredir.
15. Kürenin ekseni durağan kalan ve çevresinde yarım dairenin döndürüldüğü doğru çizgidir.
16. Kürenin özeği yarım daireninki ile aynıdır.
17. Kürenin bir çapı özekten çizilen ve her iki yönde kürenin yüzeyi tarafından sonlandırılan herhangi bir doğru çizgidir.
18. Bir dikaçılı üçgende dik açıyı yapan kenarlardan biri durağan kalırken, üçgen döndürülür ve devindirilmeye başladığı aynı konuma yeniden getirilirse, böyle oluşan beti bir konidir.
Ve, eğer durağan kalan doğru çizgi dik açının döndürülen kenarına eşit olursa, koni dikaçılı olacaktır; eğer, daha küçük olursa, geniş açılı; ve eğer daha büyük olursa, dar açılı.
19. Koninin ekseni durağan kalan ve çevresinde üçgenin döndürüldüğü doğru çizgidir.
20. Ve taban döndürülen doğru çizgi tarafından çizilen dairedir.
21. Bir dikdörtgen koşutkenarda dik açıyı yapan kenarlardan biri durağan kalırken koşutkenar döndürülür ve devindirilmeye başladığı aynı konuma yeniden getirilirse, böyle oluşan beti bir silindirdir.
22. Silindirin ekseni durağan kalan ve çevresinde koşutkenarın döndürüldüğü doğru çizgidir.
23. Ve tabanlar döndürülen ve birbirine karşıt olan iki kenar tarafından çizilen dairelerdir.
24. Benzer koniler ve silindirler eksenleri ve tabanlarının çapları orantılı olan koni ve silindirlerdir.
25. Bir küp altı eşit kare tarafından sınırlanan bir katı betidir.
26. Bir sekizgen sekiz eşit ve eşkenarlı üçgen tarafından sınırlanan bir katı betidir.
27. Bir yirmigen yirmi eşit ve eşkenarlı üçgen tarafından sınırlanan bir katı betidir.
28. Bir onikigen oniki eşit, eşkenarlı ve eşaçılı beşgen tarafından sınırlanan bir katı betidir.