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賦範向量空間
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定义
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一个半赋范向量空间（E,p）由一个向量空间E 以及一个E 上的半范数 p 构成。_NEWLINE_一个赋范向量空间（E,||·||）由一个向量空间E 以及一个E 上的范数 ||·|| 构成。
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线性变换和对偶空间
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在赋范向量空间之间的线性变换中，最重要的是连续线性变换，赋范向量空间和连续线性变换一起构成一个范畴。_NEWLINE_范数自身，作为函数，是连续的。任意两个有限维的赋范向量空间之间的线性变换也都是连续的。_NEWLINE_两个赋范向量空间之间的一个等距变换 f 是指使得对任意向量v 都有||f(v)|| = ||v|| 的线性变换。保距变换总是连续的单射。如果两个赋范向量空间之间的一个等距变换是满射，那么称其为一个等距同构。两个保距同构的赋范向量空间在拓扑的意义上可以说是相等的（拥有相同的性质；在一者中成立的命题，在另一者中也成立）。_NEWLINE_对于在域 K 上的赋范向量空间（E,||·||），我们可以考虑它关于||·||的对偶空间 E* ，也就是所有从E 射到K 的连续线性变换（一般称为“函子”）构成的空间。对于一个函子 ，定义它的范数是的上确界，其中 v 是 E 中范数为1 的所有向量。由于函子是连续的，这个上确界存在。这样我们就将E* 定义成为一个赋范向量空间。_NEWLINE_关于赋范向量空间上的连续线性函子有哈恩-巴拿赫定理。