
_START_ARTICLE_
跡
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例子
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设有矩阵：_NEWLINE_它的迹是：_NEWLINE_ = 3 + 9 + 4 = 16
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矩阵迹数和特征多项式
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一个的方形矩阵的特征多项式定义为减去倍的单位矩阵后所得到的矩阵的行列式：_NEWLINE_特征多项式是一个关于的n次多项式，它的常数项是的行列式的值，最高次项是，而接下来的n-1次项就是，也就是说：
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矩阵迹数与特征值
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当系数域是代数闭域时（否则可以将系数域扩展到其代数闭包上来看），特征多项式有n个根，它可以表达成：_NEWLINE_其中的是特征多项式的不同的根，而是这些根在特征多项式里的重数，称为代数重数。显然，所有代数重数加起来等于n。一方面，特征多项式的根就是矩阵的特征值，而另一方面，借由根与多项式系数的关系可以知道：特征多项式的所有的根加起来等于矩阵的迹数。所以矩阵的迹数是矩阵的所有特征值（按照代数重数计算）的和。_NEWLINE_如果将矩阵写成它的若尔当标准型的话，也可以看出这一点，因为若尔当标准型的特征多项式的所有的根（包括重根）就是对角线上的所有元素。_NEWLINE_如果不区分相同或不同的特征值的话，上述关系也可以写成：_NEWLINE_其中的是矩阵的特征值。 而且有：
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线性映射的迹数
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设系数域为的是一个有限维的向量空间，维数是n。给定任一线性映射，可以定义此一映射的迹数为其变换矩阵的迹，即选定的一个基底并用对应于此基底的一个方形矩阵描述，再定义这个方形矩阵的迹数为的迹数。这个定义下的迹数和所选取的基无关：只需要注意到不同的基底的选取实际上等价于对变换矩阵做一次相似变换，而两个相似的矩阵的迹数是一样的。因此这样的定义是自洽的。_NEWLINE_另外一种定义涉及到行列式的性质。考虑的一个基底，以及函数：_NEWLINE_根据行列式理论，这个函数也是一个行列式型的函数，也就是说存在一个只取决于的量，使得_NEWLINE_可以证明，这个纯量就等于之前定义的的迹数。
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迹的梯度
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由迹的定义可知迹可以看作是矩阵的实标量函数，所以我们可以通过求实标量函数的梯度来求迹的梯度。