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广义相对论中的开普勒问题
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历史背景-爱因斯坦的直觉
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1859年，法国天文学家勒维耶发现水星的实际轨道进动与预期的并不十分相符：即使考虑到太阳系中其他行星的影响，实际的进动速度还是要比牛顿的经典理论稍微快一点。这个误差相当小，大约为每世纪43弧度秒，但这还是要比测量引起的误差每世纪0.1弧度秒大很多。勒维耶立刻意识到他这一发现的重要性，并向更多的物理学家和天文学家寻求解释。在当时提出的一些经典解释包括，行星际尘埃、太阳本身未被观测到的椭球性、水星未被观测到的卫星，甚至假想的水内行星“祝融星”等。在这些解释被一一否决后，有些物理学家提出了更激进的猜想，认为牛顿的引力平方反比律并不严格成立。例如某些人提出定律中的指数并不严格为2，而某些人如亨德里克·洛伦兹提出牛顿的万有引力定律应增加与速度有关的引力势修正项。_NEWLINE_1905年，爱因斯坦提出了狭义相对论，这一理论否决了任何超过光速传播的效应的可能性；不过同时，这也暗示了相对论的基本假设和牛顿天体力学的矛盾。拉普拉斯早先在其研究中证明，如果引力相互作用不是超距的（即传播是瞬时的），行星的运动将不再严格满足动量守恒定律（类似于电磁相互作用中一部分动量要传递给电磁相互作用的媒介子，引力相互作用中也需要携带动量的媒介子）。从牛顿力学的观点来看，如果引力相互作用只能以有限速度传播，那么在任意时刻，行星受到的来自太阳的引力将不会指向太阳所在的即时位置，而是在若干时间之前的位置。在经典力学的基础上，拉普拉斯推导出当引力以光速传播时太阳系是不稳定的，并只能维持并不太长时间的存在。而对太阳系的实际观测表明，如果引力的传播速度确实存在一个上限，根据经典力学这个上限将比光速高出好几个数量级。_NEWLINE_这种矛盾引出了建立一个替代牛顿引力理论的新理论的需求，这个新理论需要满足狭义相对论的基本假设，并且在相对论效应可忽略时能够和牛顿的引力理论相容。1907年爱因斯坦确认了建立一个狭义相对论的后继理论的必要性，这个理论能够同时包含狭义相对论的基本假设和万有引力相互作用。在1907年至1915年间，爱因斯坦在等效原理的基础上逐渐发展了他的新理论。根据等效原理，一个均匀引力场对在其内所有物体的作用都是相同的，因此这个引力场将不能被一个处于自由落体状态的观察者观测到。归纳而言，所有局部的引力效应都可以在一个直线加速的非惯性参考系中体现出来，这个原理反过来也成立，即加速参考系等效于一个局部的引力场。这样看来，引力和离心力以及科里奥利力等惯性力这样的“虚拟力”有相类似的效应：惯性力都来源于一个加速的非惯性系，并且和物体的惯性质量成正比，引力亦然（由于惯性质量和引力质量等价）。想要在等效原理的基础上将万有引力和狭义相对论的基本假设统一起来，需要牺牲的是经典力学中习以为常的基本假设：我们所处的时空是一个符合欧几里得几何的平直时空。爱因斯坦使用的是一种更广义的几何学：黎曼几何，在黎曼几何描述下的时空可以是弯曲的。经过八年的研究，他成功得到了一个能够包含引力理论的更具功能的相对论性理论：广义相对论。广义相对论要求时空是弯曲的，这种时空的弯曲性是引力的体现，也是一种物理上的实在，这和惯性力不过是假想的“虚力”完全不同。广义相对论首先成功解释了水星近日点的进动误差并预言了光线在太阳引力场中的偏折，这个预言在广义相对论发表之后得到了实验证实。
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稳定圆轨道
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这是2e₂ = 2e₃ = −e₁的特殊情形，即方程有两个根相等并且是负值，而第三个根是正值。在这种情况下有两个相同的实根e = e₂ = e₄，这个解对应着经典的圆轨道，即上面得到的半径为的轨道，并且我们看到一定大于。这样的圆轨道之所以稳定，是因为对方程参数的一个微扰只会让这两个实根略微不等，从而得到准椭圆轨道解。例如对处于稳定圆轨道上粒子的一个微小扰动会将它推到准椭圆轨道上去并逐渐开始进动。
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非束缚（散射）轨道
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轨道半径趋于无穷大对应着粒子飞向无限远处，这时等于-1/12。这样的非束缚轨道对应着两个实根的值分别落在-1/12两侧，即 e₂ ≤ −1/12 ≤ ζ ≤ e₃。