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代數數論
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在数学中，代数数论是数论的一支，其中我们将“数”的概念延伸，以解决具体的数论问题。我们在代数数论中考虑代数数，这类数是有理系数多项式的根。与此相关的概念是数域，这是有理数域的有限扩张。在此框架下能推广整数为代数整数，并研究一个数域里的代数整数。_NEWLINE_代数整数在加法、减法与乘法下构成一个环，但整数的许多性质并不能推广到一般数域里的代数整数上，其中一个例子是素约数分解的唯一性（又称算术基本定理），这是十九世纪数学家试图证明费马大定理时遇到的主要阻碍，然而代数数论的应用不仅止于此。数学中一些较深入的理论有助于让我们了解代数数与代数整数的性质——包括伽罗瓦理论、伽罗瓦上同调、类域论、表示理论与L-函数的相关理论等等。_NEWLINE_数论中的许多问题可借由“模 p”（其中 p 为素数）来研究。这套技术导向p进数的建构，而p进数是局部域的例子；局部域的研究运用了一些研究数域时的相同方法，但是通常更容易处理。一般数域上的陈述常与各个局部域上的相应陈述有关，例如哈瑟原理：“一个有理系数二次方程在有理数域上有解，当且仅当它在实数上及在每个素数p 之 p进数域上有解”。这类结果往往被称作局部-整体原理，其中“局部”意指局部域，而“整体”意指数域。
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素元和素点
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（根据类域论，因K为有理域Q时OK才有唯一分解，以下K=Q，注意有理域Q和有理数域不同，实域R和实数域不同）_NEWLINE_在OK素理想的概念的一个重要的推广是理想论，也叫赋值论，这两种方法之间的关系如下：_NEWLINE_运算为通常的绝对值函数|·|，映射有理域Q→实域R的，令绝对值函数|·|ₚ:  定义称为p-adic绝对赋值，p∈Z中的素数。由奥斯特洛夫斯基的定理，所有p-adic绝对赋值对Q是等价类,p-adic绝对赋值可看成类似通常素数。更普遍的，代数数域K的绝对赋值称为一个素点。K中素元分两类：像p-adic绝对赋值|·|ₚ这种等价类是有限的，被称为有限素元（有限素点）。而通过复域C的模|·|方式定义的素元可看成复域C一个无限子集，被称为无限素元（或无限素点）。因此，一般表示Q的素元集合为{2，3，5，7，...，∞}，在这种情况下|·|∞是有理域Q的素元（素点）。_NEWLINE_K的无限素元可有嵌入同态K→C（即非零的环同态，从K到C）。具体来说，可把嵌入分成两个不相交的子集，那些像在R中算一个子集S1，其余的为另一子集S2。S1的每个嵌入σ：K→R，对应唯一一个和通常绝对值一样的绝对赋值;这种方式产生的一个素元的被称为一个实素元（或实素点）。S2的一个嵌入τ：是K→C不包含在R中的的像，可以形成另一个唯一的嵌入τ，称为共轭嵌入，组成的复共轭映射为τ的C→C.而此绝对赋值为复数的模：|z| = |z| 。这样的素元叫一个复素元（或复素点）。这样无限素元的集合的描述如下：每个无限素元对应到一个唯一的嵌入σ：K→R，或一对共轭嵌入τ，τ：K→C.实素点素数表示为r₁ ，复素点表示为r₂，嵌入ķ→C的总数为r₁+2r₂，（事实上，等于K/ Q的扩张次数：[K：Q]）。
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局部域
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在素点w对数域K完备化给出了一个完全域。如果赋值是阿基米德赋值，得到R或C，都是完全域。如果非阿基米德赋值，则是有理素元的离散赋值，得到有限扩张Kw / Qₚ: ：这离散赋值域也是一个完全域，且是有限剩余域。_NEWLINE_局部方法简化了域的算术，能局部研究问题。例如克罗内克韦伯定理，可以轻松地从局部状态进行。局部域的研究背后的哲学，主要是出于几何方法。在代数几何，可通过对极大理想的点集局部化的变量研究入手。而全局信息，可通过局部化综合在一起得出。在代数数论，局部研究问题是主要方法之一，通过在数域代数中对整数环的素元入手，再对分式域研究得出全局信息。
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主要结果
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理想类群阶的有限性问题。代数数论一个经典结论是：代数数域的理想类群阶有限。_NEWLINE_理想类群阶大小叫类数，常记为h。