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度量空间
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在数学中，度量空间是个具有距离函数的集合，该距离函数定义集合内所有元素间之距离。此一距离函数被称为集合上的度量。_NEWLINE_度量空间中最符合人们对于现实直观理解的为三维欧几里得空间。事实上，“度量”的概念即是欧几里得距离四个周知的性质之推广。欧几里得度量定义了两点间之距离为连接这两点的直线段之长度。此外，亦存在其他的度量空间，如椭圆几何与双曲几何，而在球体上以角度量测之距离亦为一度量。狭义相对论使用双曲几何的双曲面模型，作为速度之度量空间。 _NEWLINE_度量空间还能导出开集与闭集之类的拓扑性质，这导致了对更抽象的拓扑空间之研究。
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历史
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莫里斯·弗雷歇在1906年于著作《Sur quelques points du calcul fonctionnel》, Rendic. Circ. Mat. Palermo 22(1906) 1–74 中引入了度量空间。
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完备空间
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度量空间M 称之为完备的，若每个柯西序列均收敛于M 内，亦即：若 ，其中 n 与 m 各自趋近于无限大，则存在某个，使得 。_NEWLINE_每个欧氏空间都是完备的，而且该空间的每个闭子集也都是完备空间。使用绝对值度量 的有理数集合则不是完备的。_NEWLINE_每个度量空间都有个在同构意义下唯一的完备化空间。该完备化空间是个完备空间，给定之度量空间为其稠密子集。例如，实数是有理数的完备化空间。_NEWLINE_若 X 是空间空间M 内的完备子集，则 X 在 M 内是封闭的。而实际上，一个空间是完备的，当且仅当该空间在任何包含该空间的度量空间内都是封闭的。_NEWLINE_每个完备度量空间都是个贝尔空间。
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有界与完全有界空间
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度量空间M 被称为有界的，如果存在某个数r，使得对于所有M 中的x 和 y 有 d(x,y) ≤ r。r 最小可能的值称之为M 的直径。空间 M 称之为预紧致的或完全有界的，如果对于所有r > 0 存在有限多个半径为r 的开球，其并集覆盖M。因为这些球为有限个，所以该空间的直径亦为有限值，从而得出(使用三角不等式)所有完全有界空间都是有界的。但逆命题不成立，因为任何无限集合均可给定其离散度量(上面第一个例子)，使得该空间是有界的，但不是完全有界的。_NEWLINE_须注意，在讨论实数空间的区间及欧氏空间的区域时，有时会将有界集合指为“有限区间”或“有限区域”。不过，有界性与“有限”之间一般并无关连；有限通常意含着有界，但反之不一定成立。
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紧致空间
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度量空间M 是紧致的，若每个M 内的序列均有个子序列，会收敛于M 内的一点。这称为序列紧致性，且在度量空间（但不是一般拓扑空间）里，这等价于可数紧致与以开覆盖定义之紧致性等拓扑性质。_NEWLINE_紧致度量空间的例子包括具绝对值度量的闭区间[0,1]、所有具有限多个点的度量空间，以及康托尔集。每个紧致集合的闭子集亦是紧致的。_NEWLINE_一度量空间为紧致的，当且仅当该空间是完备的，且为完全有界的。这即是所谓的海涅－博雷尔定理。须注意，紧致性仅决取于拓扑，而有界性则决取于度量。_NEWLINE_勒贝格数引理表示，对于紧致度量空间M 内的每个开覆盖，均存在一个“勒贝格数”δ，使得每个M 内直径 < δ 的子集均会被包含于某些覆盖内。_NEWLINE_每个紧致度量空间均为第二可数，且是康托尔集的连续像。（后者由帕维尔·亚历山德罗夫与帕维尔·萨穆伊洛维奇·乌雷松所证得。）
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局部紧致与常态空间
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度量空间M称为局部紧致的，如果每一点都有一个紧致邻域。欧氏空间为局部紧纱的，但无限维巴拿赫空间则不是。_NEWLINE_度量空间M称为常态（proper）的，如果每个闭球都是紧致的。常态空间是完备且局部紧致的，但局部紧致空间未必是常态的。
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连通性
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度量空间M 是连通的，若唯一同时开放或封闭的子集只有空集与M 本身。_NEWLINE_度量空间M 是路径连通的，若对于M 内的任两点x、y，均存在一个连续映射，其中 f(0)=x 且 f(1)=y。每个路径连通空间都是连通的，但反之通常不成立。_NEWLINE_上述性质均有相对的局部定义：局部连通空间与局部路径连通空间。_NEWLINE_单连通空间在某一层面上来说，可说是个没有“洞”的空间。
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可分空间
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一度量空间称之为可分空间，若该空间有可数稠密子集。典型的例子为实数或任何一个欧氏空间。对于度量空间（但不包括一般拓扑空间）可分性等价于第二可数，亦等价于林德勒夫性质。
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度量空间之间的映射类型
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假设 (M₁,d₁) 与 (M₂,d₂) 为两个度量空间。
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拓扑性质
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度量空间是个仿紧致豪斯多夫空间，因此是个正规空间（且实际上是个完美正规空间）。度量空间也是个第一可数空间，因为可使用具有理数半径的球作为该空间的基。_NEWLINE_依据提策扩展定理，每个度量空间都能具有单位分解，且每个定义于度量空间的闭子集上之连续实数值函数均能扩展成整个空间的连续映射。每个定义于度量空间的子集上之实数值利普希茨连续映射亦能扩展成整个空间的利普希茨连续映射。_NEWLINE_度量空间M 上的度量拓扑是使得 映射至非负实数的度量d 为连续之最粗糙拓扑。
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距离的连续性
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值得注意的是，在一个空间 中，距离映射 在上述任何一个积度量 下均是一致连续的，且特别是，在  下的积拓扑会是连续的。