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無理數
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不知是否是无理数的数
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、等，事实上，对于任何非零整数及，不知道是否无理数。_NEWLINE_无理数与无理数的四则运算的结果往往不知道是否无理数，只有、等除外。_NEWLINE_我们亦不知道、、、欧拉-马歇罗尼常数或卡塔兰常数是否无理数。
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无理数集的特性
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无理数集是不可数集（因有理数集是可数集而实数集是不可数集）。无理数集是个不完备的拓扑空间，它是与所有正数数列的集拓扑同构的，当中的同构映射是无理数的连分数开展。因而贝尔纲定理可以应用在无数间的拓扑空间上。
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证明
  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
  
是无理数
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证：_NEWLINE__NEWLINE_假设是有理数，并且令，是最简分数。_NEWLINE_两边平方，得到。将此式改写为，可见为偶数。_NEWLINE_因为平方运算保持奇偶性，所以只能为偶数。设，其中为整数。_NEWLINE_代入可得。同理可得亦为偶数。_NEWLINE_这与为最简分数的假设矛盾，_NEWLINE_所以是有理数的假设不成立。
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证明
  
    
      
        
          
            2
          
        
        +
        
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}
  
是无理数
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证：_NEWLINE_假设是有理数，两边平方得到_NEWLINE_其中因为是有理数，所以也是有理数。_NEWLINE_透过证明为无理数的方法，其中为一非完全平方数_NEWLINE_可以证明是无理数_NEWLINE_同样也推出是无理数_NEWLINE_但这又和是有理数互相矛盾_NEWLINE_所以是一无理数
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证明
  
    
      
        
          
            2
          
        
        +
        
          
            3
          
        
        +
        
          
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}}
  
是无理数
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证：_NEWLINE_同样，假设是有理数，两边平方后得到_NEWLINE_，_NEWLINE_于是是有理数。两边再次平方，得：_NEWLINE_，_NEWLINE_于是_NEWLINE_由于是有理数，所以_NEWLINE_透过证明形如的数是无理数的方法，得出也是一无理数_NEWLINE_但这结果明显和与皆为有理数出现矛盾，故为无理数_NEWLINE_另一种证明：_NEWLINE_同样假设是有理数，_NEWLINE_，两边平方：_NEWLINE_透过证明形如的数是无理数的方法，得出是一无理数_NEWLINE_也是矛盾的。
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证明
  
    
      
        
          
            2
          
        
        +
        
          
            3
          
        
        +
        
          
            5
          
        
        +
        
          
            7
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt {7}}}
  
是无理数
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证：_NEWLINE_，两边平方得到：_NEWLINE_，得到为一有理数_NEWLINE_，两边继续平方：_NEWLINE_由于，皆为有理数_NEWLINE_设，亦为有理数_NEWLINE_透过证明形如的数是无理数的方法，可知为无理数_NEWLINE_这和是有理数冲突_NEWLINE_所以得证为一无理数