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极限 (数学)
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序列的极限
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对于序列（sequence）随着n的增大，从0的右侧越来越接近0，于是可以认为0是这个序列的极限（虽然这个结论是正确的，但是它仍需要证明）。_NEWLINE_柯西（Cauchy）在19世纪给出了极限的严格定义：_NEWLINE_设，对于任意的正实数，存在自然数，使得当时，有，用符号来表示即_NEWLINE_则称数列收敛于，记作。_NEWLINE_直观地说，这就说明序列的元素（element）随着n的增大越来越靠近，因为上面的绝对值也可以用来刻画距离。当然这并不是说每一项都比前一项更为靠近。而且更一般地说，不是所有的序列都有极限的。如果一个序列是有极限的，我们称这个数列收敛，否则称其为发散。可以证明，如果一个序列是收敛的，那么它有且仅有一个极限。_NEWLINE_序列的极限和函数（function）的极限之间的关系是相当密切的。一方面，序列的极限可以直接理解为一个定义在自然数集合上的函数趋于无穷时候的极限。另一方面，一个函数在处的极限（如果存在），与序列的极限是相同的。
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拓扑网的极限
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在引入网的概念下，上述的定义可以毫无障碍地推广到任何拓扑空间。事实上，现代数学中的极限概念就是定义在拓扑空间上的，上述的例子都是拓扑空间的具体化。
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符号史
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极限的符号为lim，它出自拉丁文limit（界限）的前三个字母。_NEWLINE_在1786年出版的德国人浏伊连（S. L'Huilier）的书中，第一次使用这个符号。不过，“x趋于a”当时都记作“x=a”，直到20世纪人们才逐渐用“→”替代“=”。_NEWLINE_英国近代数学家哈代是第一个使用现代极限符号的人。