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内积空间
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另外的定义和言论
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多数数学家要求内积在第一个参数上是线性的而在第二个参数上是共轭线性的，下文中也接受这种约定。很多物理学家接受相反的约定。这种改变是非实质性的，但是相反的定义提供了与量子力学中的狄拉克符号更平滑的连接，现在也偶尔被数学家使用。某些作者接受约定的写法表示在第一个分量是线性的而的写法表示在第二个分量上是线性的，尽管这种约定并不普遍。_NEWLINE_选择或作为内积空间的标量域是有原因的。首先，这个域要包含一个有全序关系的子域，否则就无法谈论“非负性”，因此它的特征必须是零。(因为任何有序域都有这样的特征值)这样就排除了所有的有限域。这个标量域需要有其他的结构，例如众所周知的同构。更一般地，或二次封闭的子域会满足这样的假设，例如代数数；担当它是一个真子域时(既非也非)，甚至有限维内积空间也不会度量完备。相反，或上的所有有限维内积空间，如在量子计算中所使用的，自动是度量上完备的，因此是希尔伯特空间。_NEWLINE_在某些情况下，必须考虑非负半定半双线性形式。这意味着只要求非负。
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实数的乘法
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内积的一个简单的例子是实数的乘法：。如果将实数域看成一维的实向量空间，那么可以验证：实数乘法满足内积的各种性质。