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有限生成阿貝爾群
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分类
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有限生成阿贝尔群的基本定理（它是在主理想整环上的有限生成模的结构定理的特殊情况）可以用两种方式陈述（类似于PID）:
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等价
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这些陈述是等价的，因为中国剩馀定理声称 Zₘ 同构于Zⱼ 和 Zₖ 的直和，当且仅当j 和 k 互素并且 m = jk。
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推论
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不同陈述的基本定理说明了有限生成阿贝尔群是有限秩的自由阿贝尔群和有限阿贝尔群的直和，此两者都是唯一（不别同构之异）。有限阿贝尔群就是G 的挠子群。G 的秩定义为G 的无挠部分的秩，这就是上面公式中的数n。_NEWLINE_基本定理的推论是所有有限生成无挠阿贝尔群是自由阿贝尔群。有限生成条件在这里是本质性的：Q 是无挠但非自由阿贝尔群。_NEWLINE_有限生成阿贝尔群的所有子群和因子群也是有限生成阿贝尔群。有限生成阿贝尔群和群同态一起形成了阿贝尔范畴，它是阿贝尔群范畴的子范畴。
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非有限生成阿贝尔群
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注意不是所有有限秩的阿贝尔群都是有限生成的；秩-1 群 Q 就是一个例子，而Z₂ 的可数个复本的直和给出的秩-0 群是另一个例子。