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定向 (向量空間)
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定义
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设 V 是一个实向量空间，b₁ 和 b₂ 是 V 的两个有序基。线性代数中一个标准结论说存在惟一一个线性变换 A : V → V，将 b₁ 变为b₂。如果 A 的行列式为正，则称基b₁ 与 b₂ 有相同定向（或一致定向）；不然它们有相反的定向。有相同定向的性质在V 的所有有序基上定义了一个等价关系。如果 V 非零，恰好存在两个由这个等价关系决定的等价类。V 上一个定向是将其中一类置为+1 而另一类为-1 的一个规定。_NEWLINE_每个有序基在一个等价类之中。故选取V 的一个有序基决定了一个定向：选取的这个基的定向类规定为正的。例如：Rⁿ 上的标准基在Rⁿ 上给出了一个标准定向。V 与 Rⁿ 之间选取一个线性同构可给出V 的一个定向。_NEWLINE_基中元素的顺序是关键。顺序不同的两个基可差某个置换。它们可能有相同或相反的定向，取决于这个置换的符号 ±1。这是因为置换矩阵的行列式等于相应置换的符号。
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多重线性代数
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对任意n-维实向量空间V，我们可构造V 的 k-次外幂，记作ΛᵏV。这是一个维数为(n,k) 的向量空间。故向量空间ΛⁿV （称为最高外幂）的维数为1。即 ΛⁿV 就是实直线。这条直线上没有先天的选取哪个方向是正的。一个定向就是这样一个选取。任何非零线性形式 ω on ΛⁿV 决定了V 的一个定向，当 ω(x) > 0 时规定x 是正定向的。为了与基本的看法联系起来，我们说正定向基是那些ω 取正数的（因为 ω 是一个n-形式，我们可在n 个向量的有序基上取值，给出R 中一个元素）。形式 ω 称为一个定向形式（orientation form）。如果 {eᵢ} 是 V 先给定的基而{eᵢ*} 是对偶基，则给出标准定向的定向形式是e₁*∧e₂*∧…∧eₙ*。_NEWLINE_这与行列式观点的联系是：一个自同构 的行列式可解释为在最高外幂上的诱导作用。
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李群论
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设 B 是 V 的所有有序基集合。则一般线性群 GL(V) 自由传递作用在 B 上（花哨的语言，B 是一个GL(V)-torsor）。这意味着作为一个流形 B （非典范地）同构于GL(V)。注意到群GL(V) 不是连通的，而有两个连通分支，对于于变换的行列式的正负号（除了 GL₀，这是平凡群故只有一个连通分支；这对应于一个零维向量空间的典范定向）。GL(V) 的单位分支记作GL⁺(V)，由所有正行列式的变换组成。GL⁺(V) 在 B 上的作用不是传递的：有两个轨道，分别对应于B 的连通分支。这两个轨道恰是上面所说的等价类。因为 B 没有特定的元素（即一个特别的基），故没有自然选取哪个分支是正的。将其与GL(V) 对比，后者有一个特别的分支：单位分支。B 与 GL(V) 之间选取一个特别的同胚等价于选取一个特别的基，从而决定了一个定向。_NEWLINE_更形式地：， 中 n-标架的斯蒂弗尔流形（Stiefel manifold）是一个-torsor，所以  是  上一个torsor，即它是两个点，选取其中一个便是一个定向。
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流形上的定向
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我们也可以讨论流形上的定向。n-维可微流形M 上每一点p 有一个切空间 TₚM，这是一个n-维实向量空间。每个这样的向量空间可规定一个定向。但是我们想知道是否可以选取定向使得它们从点到点“光滑变化”。由于某些拓扑限制，当在某些情形是可能的。在切空间上存在一个光滑定向的流形称为可定向的。关于流形的定向，参见可定向性一文。