
_START_ARTICLE_
实射影平面
_START_SECTION_
实射影平面浸入三维空间
_START_PARAGRAPH_
射影平面不能嵌入（这要求没有自交）三维空间，不过可以浸入（局部邻域没有自交点）。伯伊曲面（Boy's surface）是浸入的一个实例。_NEWLINE_罗马曲面（Roman surface）是从射影平面到三维空间一个更加退化的映射，包含一个交叉帽（cross-cap）。同样对具有一个交叉套的球面也成立。_NEWLINE_射影平面不能嵌入三维欧几里得空间，可作如下证明：假设可以嵌入，由广义若尔当曲线定理它将在三维欧几里得空间中围出一个紧区域。向外的单位法向量场将给出边界流形的一个定向，但边界流形就是射影平面，它是不可定向的。这是一个矛盾，从而我们所假设的嵌入必定是错误的。_NEWLINE_实射影平面的一个多面体半形表示是四面半六面体。_NEWLINE_从相反的方向来看，立方体半形、十二面体半形以及二十面体半形、抽象正则多面体（abstract regular polychora），都可以构造成射影平面中的正则图形。
_START_SECTION_
齐次坐标
_START_PARAGRAPH_
平面中的直线集合可以用齐次坐标表示。直线ax+by+c=0可以表示为[a:b:c]。这些坐标有等价关系，对所有非零d，[a:b:c] = [da:db:dc]。从而相同直线的不同表示dax+dby+dc=0有同样的坐标。坐标集合[a:b:1]给出了通常实平面，而坐标集合[a:b:0]定义了一个无穷远直线。
_START_SECTION_
嵌入4维空间
_START_PARAGRAPH_
射影平面可嵌入一个4维欧几里得空间。考虑是2维球面由对径关系得到的商。考虑由给出的函数。将这个映射限制在区域上，因为它是一个二次多项式，故可分解，给出一个映射，并且这个映射是嵌入。注意到这个嵌入有一个到的投影，即罗马曲面。
_START_SECTION_
高阶亏格
_START_PARAGRAPH_
基本多边形一文提供了高阶亏格实射影平面的一个描述。