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积分
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严格定义
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定义积分的方法不止一种，各种定义之间也不是完全等价的。其中的差别主要是在定义某些特殊的函数：在某些积分的定义下这些函数不可积分，但在另一些定义之下它们的积分存在。然而有时也会因为教学的原因造成定义上的差别。最常见的积分定义是黎曼积分和勒贝格积分。
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性质
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通常意义上的积分都满足一些基本的性质。以下的在黎曼积分意义上表示一个区间，在勒贝格积分意义下表示一个可测集合。
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保号性
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如果一个函数在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。作为推论，如果两个上的可积函数和相比， （几乎）总是小于等于，那么的（勒贝格）积分也小于等于的（勒贝格）积分。 _NEWLINE_如果黎曼可积的非负函数在上的积分等于0，那么除了有限个点以外，。如果勒贝格可积的非负函数在上的积分等于0，那么几乎处处为0。如果中元素的测度等于0，那么任何可积函数在上的积分等于0。  _NEWLINE_函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同。如果对中任意元素，可积函数在上的积分总等于（大于等于）可积函数在上的积分，那么几乎处处等于（大于等于）。
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路径积分与曲面积分
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路径积分也称曲线积分，可以看作是区间上积分的推广。积分的范围不是区间（直线段），而是高维空间中的有向曲线。后者称为积分路径。路径积分有很多种类，当积分路径为闭合曲线时，称为环路积分或围道积分。路径积分的被积函数可以是标量函数（标量场）或向量函数（向量场）。如果被积函数F是一个梯度场，那么F的曲线积分与所取的路径无关，而只与路径的起点和终点的选取有关。与路径积分类似，平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。路径积分和曲面积分是物理学中很重要的工具，例如计算电场或重力场中的做功、量子力学中计算粒子出现的概率，会用到路径积分。流体力学中计算流体的流量、电力学中使用高斯定律计算电场和电荷分布时，会用到曲面积分。