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凱萊定理
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在群论中，凯莱定理，以阿瑟·凯莱命名，声称所有群G 同构于在G上的对称群的子群。这可以被理解为G在G的元素上的群作用的一个例子。_NEWLINE_集合G的置换是任何从G到G的双射函数；所有这种函数的集合形成了在函数复合下的一个群，叫做“G上的对称群”并写为Sym(G)。_NEWLINE_凯莱定理通过把任何群（包括无限群比如(R,+)）都当作某个底层集合的置换群，把所有群都放在了同一个根基上。因此，对置换群成立的定理对于一般群也成立。
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历史
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Burnside 将其归功于Jordan，但是 Eric Nummela争论说这个定理的名字“凯莱定理”事实上是合适的。凯莱在他最初介绍群概念的1854年论文中证明了定理中的对应是一一对应，但是没能明确的证明它是同态(因此是同构)。但是，Nummela提示大家注意凯莱让当时的数学界知道了这个结果，因此比Jordan要提前了16年。
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另一个的证明
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另一个证明使用了群作用的语言。考虑群为G-集合，可以证明它有置换表示。_NEWLINE_首先假设带有。则根据G-轨道分类这个群作用是（也叫做轨道-稳定集定理）。_NEWLINE_现在这个表示是忠实的，如果是单射，就是说，如果的核是平凡的。假设 ∈ ker ，则，通过置换表示和群作用的等价性。但是因为 ∈ ker , 并因此ker 是平凡的。则im 并因此利用第一同构定理得出结论。
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对正规群表示的注记
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单位元对应于恒等置换。所有其他的群元素对应于不留下任何元素不变的置换。会因为这也适用于群元素的幂，小于这个元素的阶，每个元素对应于由相同长度的环构成的置换：这个长度是这个元素的阶。在每个环中的元素形成了这个元素生成的子群的左陪集。