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复数 (数学)
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等量关系
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复数中的虚数是无法比较大小的，即两个虚数只有相等和不等两种等量关系。_NEWLINE_两个复数是相等的，当且仅当它们的实部是相等的并且它们的虚部是相等的。就是说，设,,,为实数，则当且仅当并且。
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复平面
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先把坐标轴画出来，横的叫实轴，竖的叫虚轴，然后确定0的位置，可以用二维空间来表示出来。_NEWLINE__NEWLINE_复数可以被看作在被称为阿甘得图（得名于让-罗贝尔·阿冈，也叫做高斯平面）的二维笛卡尔坐标系内的一个点或位置向量。这个点也就是这个复数可以用笛卡尔（直角）坐标指定。复数的笛卡尔坐标是实部和虚部。复数的笛卡尔坐标表示叫做复数的“笛卡尔形式”、“直角形式”或“代数形式”。
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复数运算的几何解释
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考虑一个平面。一个点是原点0。另一个点是单位1。_NEWLINE_两个点A和B的和是点X = A + B使得顶点0, A, B的三角形和顶点A, B, X的三角形是全等的。_NEWLINE_两个点A和B的积是点X = AB使得顶点0, 1, A的三角形和顶点0, B, X的三角形是相似的。_NEWLINE_点A的共轭复数是点X = A*使得顶点0, 1, A的三角形和顶点0, 1, X的三角形相互是镜像。
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极坐标形式
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作为替代，复数可以用极坐标来指定。极坐标是叫做绝对值或模的和叫做的辐角的。对于，任何值的都描述同一个数。要得到唯一的表示，常规的选择是设置。对于辐角模以后是唯一的；就是说，如果复数辐角的两个值只相差精确的的整数倍数，则它们被认为是等价的。要得到唯一表示，常规的选择是限制在区间内，就是。复数的极坐标表示叫做复数的“极坐标形式”。
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实向量空间
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可以视作二维实线性空间。不同于实数域，复数域上不可能有与其算术相容的全序：并非有序域。
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不可排序
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在上不可能建立与其加法及乘法相容之全序关系，即不存在一全序使得对于任意复数，有。
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复指数幂
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计算一个实数的复数幂是可以的。可以定义为。
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复分析
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研究复变函数的理论称为复分析。它在应用数学和其他数学分支上都有许多实际应用。实分析和数论的结果，最自然的证明经常是以复分析的技巧完成（例子可见素数定理）。_NEWLINE_复变函数的图像是四维的，所以不像实变函数般可以用平面图像表示。要表示复变函数的图像，可以用有颜色的三维图像表达四维资讯，或者以动画表示函数对复平面的动态变换。
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反常积分
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在应用层面，复分析常用以计算某些实值的反常积分，借由复值函数得出。方法有多种，见围道积分方法。
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量子力学
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量子力学中复数是十分重要的，因其理论是建基于复数域上无限维的希尔伯特空间。
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相对论
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如将时间变量视为虚数的话便可简化一些狭义和广义相对论中的时空度量 (Metric)方程。
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应用数学
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实际应用中，求解给定差分方程模型的系统，通常首先找出线性差分方程对应的特征方程的所有复特征根r，再将系统以形为f(t)= eʳᵗ的基函数的线性组合表示。
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流体力学
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复函数于流体力学中可描述二维势流。
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分形
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一些分形如曼德博集合和茹利亚集（Julia set）是建基于复平面上的点的。
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复数的平方根
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复数的平方根是可以计算的。其公式为。