
_START_ARTICLE_
拉普拉斯-龍格-冷次向量
_START_SECTION_
历史
_START_PARAGRAPH_
在重要的开普勒问题中，LRL矢量是一个运动常数，时常用来描述天文轨道，例如行星的运动。然而，物理学家对它并不熟悉，这很可能是因为与动量与角动量相比，它的物理内涵比较难以被直觉地理解。因此，在过去三个世纪里，它曾被重复地发现过许多次。1710年，在一个不著名的意大利学刊里，雅各布·赫尔曼最先发表了关于LRL矢量的论文。在推导一个轨道方程的过程中，他计算出LRL矢量的大小，  是保守的；并且推导出此案例与椭圆轨道离心率的关系。稍后，赫尔曼把这结果告诉约翰·伯努利，他的恩师。伯努利又更进一步地推导出LRL矢量的方向。这样，LRL矢量得到了它的现代形式。所以，不容质疑地，LRL矢量是赫尔曼和伯努利共同发现的。_NEWLINE_在那个世纪末尾，皮埃尔-西蒙·拉普拉斯又重新地发现了LRL矢量的保守性；稍微不同地，他的导引使用的是分析方法，而不是几何方法。十九世纪中叶，威廉·哈密顿推导出全等的离心率矢量。他用离心率矢量来证明，在平方反比有心力作用下，速端曲线显示出，粒子动量矢量的头部呈圆形移动  （参阅图3）。二十世纪初，约西亚·吉布斯，应用矢量分析，推导出同样的矢量。后来，卡尔·龙格将吉布斯的导引，纳入自己所写的一本广受欢迎的，关于矢量的，德文教科书内，成为其中的一个例题。1924年，威廉·楞次发表了一篇关于氢原子的旧量子论的论文。在这篇论文中，他引用龙格所写的教科书的例题为参考。1926年，沃尔夫冈·泡利用LRL矢量与矩阵力学，而不是薛定谔方程，来推导氢原子的光谱。这杰作说服了大多数物理学家，使他们觉得量子力学理论是正确的。
_START_SECTION_
运动常数与超级可积分性
_START_PARAGRAPH_
在开普勒问题里，两个矢量，与一个标量加起来一共有七个常数标量。它们之间的相关性表达于与这两个公式。因为的大小可以由角动量与能量计算出来。再者，必须垂直于。所以，只能贡献1个运动常数。_NEWLINE_由于有上述两个关系公式，这物理系统一共有五个独立的运动常数。这结果与设定粒子轨道所需的六个初始条件（粒子的初始位置矢量与初始速度矢量，每一个矢量有三个分量）相符合，原因是运动常数不涉及初始时间（视六个初始条件函数的参数为自变量初始时间。用其中的一个初始条件函数除去这自变量；将此初始条件函数当作一个自变量，则剰余五个初始条件函数，函数的参数为新自变量）。_NEWLINE_因为运动方程是二阶微分方程，一个拥有 自由度的物理系统，需要个初始条件来设定解答。由于运动常数不涉及初始时间，这物理系统最多只能拥有个运动常数。一个拥有超过个运动常数的物理系统称为超级可积分系统；而一个拥有个运动常数的物理系统称为最大超级可积分系统。哈密顿-亚可比方程的解答，采用任意一种坐标系统，最多只能求得个运动常数。_NEWLINE_开普勒问题拥有三个自由度（）与五个运动常数；开普勒问题的系统是最大超级可积分系统；采用球坐标或抛物线坐标，哈密顿－亚可比方程都是可积分的；这论据，稍后会有详细的解释。最大超级可积分系统可以用对易关系来量子化，这论据，稍后也会又更明了的说明。
_START_SECTION_
开普勒问题LRL矢量恒定的证明
_START_PARAGRAPH_
以下几种导引可以证明，在平方反比有心力下，LRL矢量守恒。