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整数模n乘法群
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记法
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整数模n 环记作 或 （即整数环模去理想 nZ = (n) ，由 n 的倍数组成）或  因作者所喜，它的单位群可能记为   或类似的记号，本文采用
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2 的幂次
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模 2 只有一个互质同余类1，所以_NEWLINE_ 平凡。_NEWLINE_模 4 有两个互质同余类，1 和 3，所以  两元循环群。_NEWLINE_模 8 有四个互质同余类，1, 3, 5 和 7，每个平方都是1，所以  Klein 四元群。_NEWLINE_模 16 有八个互质同余类，1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 和 15。 为 2-扭子群（即每个元素的平方为1），所以  不是循环群。3的幂次： 是一个4 阶子群，5 的幂次也是，。所以 。 _NEWLINE_以上 8 和 16 的讨论对高阶幂次2ᵏ, k > 2 也成立：_NEWLINE_ 是 2-扭子群（所以  不是循环）而 3 的幂次是一个2ᵏ⁻ ² 子群，所以 。
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奇质数的幂
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对奇质数的幂pᵏ，此群是循环群：
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阶数
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群的阶数由欧拉函数给出： （OEIS中的数列A000010）_NEWLINE_这是直积中各循环阶数的乘积。
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指数
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指数为卡迈克尔函数，（OEIS中的数列A002322），即这些循环群的阶数的最小公倍数。这意味着如果a 和 n 互质，
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生成元
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是循环群当且仅当 这在n 为奇质数的幂次、奇质数幂次2 倍、2 和 4 成立，此时也称一个生成元为模 n 的原根。_NEWLINE_因为所有 n = 1, 2, ..., 7 是循环群，上述结论的另一种说法是：如果 n < 8 那么  有原根；如果 n ≥ 8，且不能被4 或者两个不同的奇质数整除， 有原根。( A033948 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 17, 18, 19, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 34, 37, 38, 41, 43, 46, 47, 49, 50, ... )_NEWLINE_一般情形每个直积因子循环有一个生成元。