
_START_ARTICLE_
伽羅瓦上同調
_START_PARAGRAPH_
在数学中，伽罗瓦上同调是一套用群上同调研究伽罗瓦群的作用的技术。具体言之，假设伽罗瓦群 作用在一个群（通常是数论中出现的代数结构，如  等等）上，伽罗瓦上同调研究相关的群上同调 。这些群通常具有重要的数论或算术代数几何意义。_NEWLINE_伽罗瓦上同调是现代代数数论的基石之一。
_START_SECTION_
在代数数论中的应用
_START_PARAGRAPH_
伽罗瓦上同调最早在1950年代被提出，主要与克劳德·谢瓦莱在类域论上的工作相关。这套理论的目的在以群上同调“代数地”阐释类域论，避免使用L-函数。哈瑟原理在伽罗瓦上同调的框架下能得到清晰的描述。
_START_SECTION_
在代数几何中的应用
_START_PARAGRAPH_
伽罗瓦上同调关系到算术代数几何中的许多重要问题，例如椭圆曲线上的整点个数。作为下降理论在平展拓扑上的应用，第一个伽罗瓦上同调群分类了概形  上的扭子，这是主丛在代数几何上的推广。借着下降理论，可以用伽罗瓦上同调研究二次型式、中心单代数与 Severi-Brauer 簇等等结构。