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塞邁雷迪定理
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历史
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范德瓦尔登定理是塞迈雷迪定理的先驱，其于1927 年获证。_NEWLINE_塞迈雷迪定理中， k = 1 和 k = 2 的情况显然成立。 k = 3 的结论关乎萨莱姆-斯宾塞集（不包含3 项等差数列的整数子集）的大小。1953 年，克劳斯·罗特 利用类似哈代-李特尔伍德圆法的方法，证明了k = 3 的结论。1969 年，塞迈雷迪·安德烈利用组合学方法证明了k = 4 的情况。在 1972 年，罗特利用类似自己证明k = 3 的情况的方法，给出了k = 4 的情况的另证。_NEWLINE_塞迈雷迪于1975 年给出了适用于所有k 的证明。 他巧妙地扩展了自己先前对k = 4 的情况的组合论证，艾狄胥称该证明为“组合学推理的杰作”("a masterpiece of combinatorial reasoning"). 定理亦有若干其他证明，较重要的有：1977 年希勒尔·菲斯滕贝格利用遍历理论给出的证明，以及 2001 年高尔斯结合傅里叶分析和组合数学给出的证明。陶哲轩称塞迈雷迪定理的众多证明为“罗塞塔石碑”，因为它们连结了几个乍看之下迥异的数学分支。
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推广
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希勒尔·菲斯滕贝格和伊扎克·卡茨内勒松利用遍历理论整明了塞迈雷迪定理的高维推广。 高尔斯、沃伊杰赫·勒德尔和约泽夫·斯科肯(Jozef Skokan)  ，以及布兰登·纳格(Brendan Nagle)、 勒德尔和马蒂亚斯·沙赫特 ，和陶哲轩给出了各自的组合学证明。_NEWLINE_亚历山大·莱布门(Alexander Leibman)  和维塔利·别尔格尔松 给出定理对多项式列的推广：若 的上密度为正，且 为满足的整值多项式，则存在无穷多组使得对都有 莱布门和别尔格尔松的结果同样适用于高维的情况。_NEWLINE_塞迈雷迪定理的有限性版本可推广至有限的加法群上，例如有限域上的向量空间。 定理在有限域上的类比，是有助理解原定理（在正整数集上）的模型。 所谓封顶集问题，就是要找出向量空间所包含的无3 项等差数列的最大子集的大小，即塞迈雷迪定理当k = 3 时的界限。_NEWLINE_格林-陶定理断言，存在任意长的质数等差数列。此结论不能由塞迈雷迪定理推出，因为质数集的密度为0. 本·格林和陶哲轩在其证明中引入了“相对性”（英语：relative) 的塞迈雷迪定理，该定理适用于任意具特定伪随机性的整数子集（允许密度为0)。大卫·康伦，雅各布·福克斯和赵宇飞 (Yufei Zhao)其后亦给出了适用于更一般情况的相对性塞迈雷迪定理。_NEWLINE_埃尔德什等差数列猜想可以推出塞迈雷迪定理和格林-陶定理。