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易辛模型
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伊辛模型（英语：Ising model，/ˈaɪsɪŋ/，德语：[ˈiːzɪŋ]），是一个以物理学家恩斯特·伊辛为名的数学模型，用于描述物质的铁磁性。该模型中包含了可以用来描述单个原子磁矩的参数 ，其值只能为+1或-1，分别代表自旋向上或向下，这些磁矩通常会按照某种规则排列，形成晶格，并且在模型中会引入特定交互作用的参数，使得相邻的自旋互相影响。虽然该模型相对于物理现实是一个相当简化的模型，但它却和铁磁性物质一样会产生相变。事实上，一个二维的方晶格伊辛模型是已知最简单而会产生相变的物理系统。_NEWLINE_伊辛模型最早是由物理学家威廉·楞次在1920年发明的，他把该模型当成是一个给他学生恩斯特·伊辛的问题。伊辛在他一篇1924年的论文中求得了一维伊辛模型的解析解，并且证明它不会产生相变。 _NEWLINE_二维方晶格伊辛模型相对于一维的难出许多，因此其解析的描述在一段时间之后才在1943年由拉斯·昂萨格给出。一般来说，二维伊辛模型的解析解可由传递矩阵法求得，不过也有几个和量子场论有关的解法。对于大于三维的伊辛模型目前还没有找到解析解，但其近似解可由诸多方法求得，例如平均场论。
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简化
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一个常见的简化是假设没有外加的磁场作用在伊辛模型上，也就是说，对于所有的j∈Λ，hⱼ = 0 。利用这项简化，其哈密顿量可以写成:_NEWLINE_此时伊辛模型在反转所有自旋之下是对称的:一个外加的力场会破坏这种对称。_NEWLINE_另一个常见的简化是假设所有相邻晶格点的交互作用都是相等的，因此可以设Jᵢⱼ = J 对于所有相邻的i, j ∈Λ，而其哈密顿量可以写:
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特性
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被研究的最透彻伊辛模型是在d 维晶格上，平移不变、铁磁性并且无外加场的模型。也就是：Λ = Zᵈ, Jᵢⱼ = 1, h = 0。_NEWLINE_伊辛在他1924年的博士论文中，解决了在d=1 时的情况，这个一维的模型可以想像成一排的自旋 ，而每个自旋都只和它左右两边的自旋交互作用。这个一模型不会产生相变 _NEWLINE_，换句话说，对于所有正值的β，任意两自旋的相关系数 <σᵢσⱼ> 都对|i−j| 呈指数衰减:_NEWLINE_其中c(β)是一个只和β有关的函数。_NEWLINE_由此可知。这个系统是无序的。根据一维模型的结论，伊辛错误的认为任何维度的伊辛模型都不会有相变。但事实上，在二维或二维以上的模型中，该系统可以历经从无序相转变成有序相的相变。基本上在β值小(高温)时，系统处在无序相，而β值大(低温)时，系统处在有序相中。换句话说，当系统在有序相时：_NEWLINE_其中c'(β)也是一个只和β有关的函数。_NEWLINE_这个性质是首先被鲁道夫·佩尔斯(Rudolf Peierls)在1936年证明的_NEWLINE_，他的证法后来被称为佩尔斯论述(Peierls argument)。_NEWLINE_在零磁下的二维方晶格伊辛模型的解析解后来在1943年被昂萨格解出，他证明了该模型的相关函数和自由能可由一个无交互作用的格点费米子场(noninteracting lattice fermion)来界定。昂萨格在1949年发表了一个决定了自发磁化现象的公式，但却没有给出推导过程。后来是杨振宁在1951年发表了第一个正式的推导过程，其中里面用到了包括塞格极限定理和弗雷德霍姆行列式等数学工具。
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Metropolis 算法
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Metropolis–Hastings算法是在数值模拟伊辛模型时最常用的一种蒙特卡洛方法。这种方法首先要选定一个选择几率 g(μ, ν)，代表系统在状态μ下，在所有可能状态中选到状态ν的几率。另外还需定义出一个接受几率 A(μ, ν) ，也就是说当系统在状态μ下，接受系统跳到态ν的几率。如此的设计是为了让系统达到细致平衡。如果状态ν被接受了，则整个系统就会跳到状态ν，并且选择和决定下一个要跳到的状态。如果状态ν被没被接受，系统则留在状态μ，一样重新选择下一个要跳到的状态。这样的步骤一直重复直到某些条件达成为止，譬如说整个伊辛模型完全被磁化，也就是所有的自旋都只到同一个方向。另外在实行这种算法，有一点需要注意的是需要选到适当g(μ, ν) 以保证整个过程的遍历性(ergodicity)。_NEWLINE_在热平衡时，整个系统的能量只会有小幅度的扰动，这点促成了在演算时采用单一自旋反转法进行计算，也就是说每次系统转换其状态时，只改变其中一个自旋的方向。对自旋数很多的一伊辛模型来说，系统在不同的状态之间跳跃时，其能量改变的幅度都很小。事实上，对于每个晶格点都和c 个晶格点相邻的模型来说，每次能量改变的最大幅度为2cJ。此外，采用这种单一自旋反转法可以保证演算过程的遍历性，因为任意一个状态都可以借由逐次的反转相异的自旋，而变成任意其他状态。_NEWLINE_在下面的演算过程我们会采用周期性边界条件使的每个晶格点的相邻数c 都相等。
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将伊辛模型视为马尔可夫链
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将伊辛模型比拟为马尔可夫链是一件很容易的事情，因为下一刻状态ν 的转移几率Pβ(ν) 只和目前状态μ有关 。事实上，Metropolis 算法就是马尔可夫蒙特卡洛(Markov Chain Monte Carlo)的一个版本。而且因为演算时采用的是单一自旋反转法，每个状态可视为和另外L 个状态相连，而每一个状态转移则是将其中一个自旋反转。 此外，因为不同状态之间Hσ 变化只和相邻自旋的交互作用J 有关，所以伊辛模型也可视为选民模型的一种。