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纳什均衡
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发展历史
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纳什平衡的命名来由为美国数学家约翰·福布斯·纳什。该概念的其中一个版本已知最早于1838年被安托万·奥古斯丁·库尔诺运用于他的寡占理论中。在库尔诺的理论中，商行们需选择合适的产量以获得最大利润，然而一家商行的理想产量取决于其他商行的产量。当每一家商行的理想产量都需要根据已知其他商行的产量来做出调整，以达到最大利润时，一种纯策略的纳什平衡——库尔诺平衡就形成了。在分析平衡稳定性的过程中，库尔诺还提出了最适反应动态（或最佳反应动态）的概念。然而纳什对平衡的定义比库尔诺的更为广泛，也比帕勒托效率平衡的定义更为广泛，因为纳什的定义没有针对“形成哪种平衡最为理想”作出评判。_NEWLINE_与此相反，现代博弈论中的纳什平衡概念是用混合策略来定义的，其中的参与者倾向于符合概率分布，而非动作合理性。约翰·冯·诺伊曼和摩根斯顿在1944年出版的《博弈论与经济行为》（英语：Theory of Games and Economic Behavior）一书中提出混合策略纳什平衡的概念，然而他们的分析局限于零和博弈这一特例。书中表明对于任何零和博弈，只要动作集合有限，就存在混合策略纳什平衡。纳什在1951年发表了文章《非合作博弈》（英语：Non-Cooperative Games），意在定义上述这种混合策略纳什平衡，并证明这样一场博弈至少存在一个（混合策略）纳什平衡。之所以纳什对上述存在性的证明能够比冯·诺伊曼的更具普遍性，关键在于他对平衡所下的定义。根据纳什的说法，“平衡点是当其余参与者的策略保持不变时，能够令参与者的混合策略最大化其收益的一个n元组”。在1950年发表的一篇论文中，仅凭着将问题置于该框架中的做法，纳什就成功运用了角谷不动点定理；在1951年发表的改版论文中，纳什运用了布劳威尔不动点定理。上述两者共同证明了，存在至少一种混合策略的策略组合（英语：strategy profile），能够针对有限参与者博弈（不一定是零和博弈）的情况自我映射，即一种不需要为提高收益而变更策略的策略组合。_NEWLINE_自纳什平衡概念形成以来，已经有博弈理论家发现，在某些情况下该概念所做的预测颇具误导性（或缺乏唯一性）。这些理论家提出了许多相关的解概念（也称为纳什平衡的“微调”），意在弥补纳什平衡概念中已知的瑕疵。其中一个尤为重要的问题是，某些纳什平衡所依据的并非“实质性”威胁。1965年赖因哈德·泽尔腾提出子博弈完全平衡，以排除基于非实质性威胁的平衡。纳什平衡的其他延伸概念阐述了重复博弈产生的影响，或信息不完整对博弈的影响。然而，后人的微调与延伸都用到了一个关键性理解，也是纳什概念的存在基础：一切平衡概念都是在分析在每个参与者都考虑其他参与者的决定的情况下，最终选择是什么。