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向量丛
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向量丛(vector bundle)也翻译成向量束，是数学，特别是几何学，上的一种几何结构，在空间X（X 可以是拓扑空间、流形或代数簇）的每一点指定(或"黏上")一个向量空间(比如 )，而这些向量空间“粘起来”又构成一个新的拓扑空间（或流形，或代数簇）。_NEWLINE_在 X 之上的向量丛最简单的例子是，X×，另一个较复杂的典型的例子是微分流形的切丛(tangent bundle)：对流形的每一点"黏"上流形在该点的切空间。_NEWLINE_另一个例子是法丛：给定一个平面上的光滑曲线，可在曲线的每一点附上和曲线垂直的直线；这就是曲线的"法丛"。_NEWLINE_向量丛定义中的向量空间主要常见的是实空间()跟复空间()，分别称作实向量丛跟复向量丛。复向量丛可以视为一种带有附加结构的实向量丛。_NEWLINE_向量丛是纤维丛的一种。
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截面和局部自由层
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给定一个向量丛π : E → X， 和 X 的开子集U，我们可以考虑这个向量丛 在U 上的截面，也就是连续函数s : U → E 满足 (π∘s)=idU。本质上，截面在U 的每一点指定一个向量，且这向量属于在该点的纤维，即 s(x) ∈ π⁻¹（x) ，并且要求这种指定要有连续性(或可微性，依讨论空间而有所不同)。_NEWLINE_例如，微分流形的切丛的截面就是流形上的向量场("微分"流形上一般会要求向量场可微)。_NEWLINE_令 F(U) 为U上所有截面的集合. F(U)中至少有个元素s，称作零截面(zero section)，这个截面函数s 会把U 的每一点x 都映射到向量空间π⁻¹（x）中的零向量。使用每点的加法和数乘，F(U)本身也构成了向量空间。这些向量空间的总和就是X 上的向量空间的层(shelf)。_NEWLINE_若 s 属于F(U) 而 α : U → R是 U 上的连续函数，则αs 依然属于集合F(U)。我们可以看到F(U) 是一个U 上的连续实值函数的环上的模，进一步讲，若OX表示X上连续函数的层结构，则F是OX-模的一个层._NEWLINE_不是OX-模的每个层都是以这种方式从向量丛的导的：只有局部自由层可以从这种方法得到。（理由：局部的，我们要找一个投影U × Rⁿ → U的一个截面，这些恰好是连续函数U → Rⁿ,并且这一函数是连续函数U → Rn-元组.）_NEWLINE_更进一步讲：X上的实向量丛的范畴是等价于OX-模的局部自由和有限生成的层的。_NEWLINE_所以我们可以将向量丛视为位于OX-模的层的范畴内；而后者是可交换的，所以我们可以计算向量丛的射的核。
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向量丛上的操作
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两个X上的在同一个域上的向量丛，有一个惠特尼和,在每点的纤维为那两个丛的纤维的直积。同样，纤维向量积和对偶空间丛也可以这样引入。
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变种和推广
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向量丛是纤维丛的特例。_NEWLINE_光滑向量丛定义为满足E和X是光滑流形，π : E → X是光滑映射，而局部平凡化映射φ是微分同胚的向量丛。_NEWLINE_把实向量空间换成复向量空间(complex vector space, 既标量为复数的向量空间)，就得到了复向量丛(complex vector bundle)。这是结构群的约化的特例。也可以用其他拓扑域上的向量空间，但相对比较少见。_NEWLINE_除了有限维的向量空间以外，如果纤维是某个巴拿赫空间（而不仅是Rⁿ），就可以得到巴拿赫丛.