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欧拉方程 (流体动力学)
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历史
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第一份印有欧拉方程的出版物是欧拉的论文《流体运动的一般原理》（Principes généraux du mouvement des fluides），发表于1757年，刊载于《柏林科学院论文集》（Mémoires de l'Academie des Sciences de Berlin）。它们是最早被写下来的一批偏微分方程。在欧拉发表他的研究之时，方程组只有动量方程及连续性方程，因此只能完整描述非压缩性流体；在描述可压缩性流体时，会因条件不足而不能提供唯一解。在1816年，皮埃尔-西蒙·拉普拉斯添加了一条方程，第三条方程后来被称为绝热条件。_NEWLINE_在十九世纪的后半期，科学家们发现，与能量守恒相关的方程在任何时间都得被遵守，而绝热条件则只会在有平滑解的情况下会被遵守，因为该条件是由平滑解时的基础定律所造成的后果。在发现了狭义相对论之后，能量密度、质量密度及应力这三个概念，被统一成应力-能量张量这一个概念；而能量及动量也同样被统一成一个概念——能量-动量张量。
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冲击波
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欧拉方程为非线性双曲方程，而它们的通解为波。与海浪一样，由欧拉方程所描述的波碎掉后，所谓的冲击波就会形成；这是一种非线性效应，所以其解为多值函数（即函数内的某自变量会产生多个因变量）。物理上这代表构建微分方程时所用的假设已经崩溃，如果要从方程上取得更多信息，就必须回到更基础的积分形式。然后，在构建弱解时，需要使用蓝金-雨果尼厄冲击波条件，在流动的物理量中避开不连续点“跳跃”，上述物理量有密度、速度、压力及熵。物理量很少会出现不连续性；在现实的流动中，黏性会把这些不连续点平滑化。_NEWLINE_许多领域都有研究冲击波的传播，尤其是出现流动处于足够高速的领域，例如空气动力学及火箭推进。
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一维中的方程
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在某些问题中，特别是分析导管中的可压缩流，或是当流动呈圆柱或球状对称的时候，一维欧拉方程都是很有用的近似法。一般来说，解欧拉方程会用到黎曼的特征线法。首先需要找出特征线，这条曲线位于两个独立变量（即x及t）所构成的平面上，在这条线上偏微分方程（PDE）会退化成常微分方程（ODE）。欧拉方程的数值解法非常倚赖特征线法。