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K-L 轉換
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K-L转换(Karhunen-Loève Transform)是建立在统计特性基础上的一种转换，它是均方差(MSE, Mean Square Error)意义下的最佳转换，因此在资料压缩技术中占有重要的地位。_NEWLINE_K-L转换名称来自Kari Karhunen和Michel Loève。_NEWLINE_K-L转换是对输入的向量x，做一个正交变换，使得输出的向量得以去除数据的相关性。_NEWLINE_然而，K-L转换虽然具有均方差(MSE)意义下的最佳转换，但必须事先知道输入的讯号，并且需经过一些繁杂的数学运算，例如协方差(covariance)以及特征向量(eigenvector)的计算。因此在工程实践上K-L转换并没有被广泛的应用，不过K-L转换是理论上最佳的方法，所以在寻找一些不是最佳、但比较好实现的一些转换方法时，K-L转换能够提供这些转换性能的评价标准。_NEWLINE_以处理图片为范例，在K-L转换途中，图片的能量会变得集中，有助于压缩图片，但是实际上，KL转算为input-dependent，即需要对每张输入图片存下一个转换机制，每张图都不一样，这在实务应用上是不实际的。
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原理
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KL转换属于正交转换，其处输入讯号的原理如下：_NEWLINE_对输入向量做KL传换后，输出向量之元素间(, 和为之元素的index)的相关性为零，即：_NEWLINE_展开上式并做消去：_NEWLINE_如果，因为KL转换式线性转换的关系，，则可以达成以下式，所以这里得输入向量之平均值需为，所以KLT是专门用于随机程序的分析：_NEWLINE_其中，即输出向量不同元素相关性为。_NEWLINE_回到矩阵表示形式，令为KL转换矩阵，使：_NEWLINE_以和表示之covariance矩阵：_NEWLINE_因为，直接等于covariance矩阵：_NEWLINE_其中为之covariance矩阵。_NEWLINE_如果要使，则必须为对角线矩阵，即对角线上之值皆为，所以必须将传换成对角线矩阵，即的每一行皆为之特征向量。_NEWLINE_K-L转换的目的是将原始数据做转换，使得转换后资料的相关性最小。若输入数据为一维：_NEWLINE_其中eₙ为输入讯号x共变异数矩阵(covariance matrix)Cₓ的特征向量(eigenvector)_NEWLINE_若输入讯号x为二维：
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KLT与PCA的区别
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KLT和Principle component analysis (PCA)有相似的特性，二者之间有很细微的差异，其中KLT专门处理随机性的讯号，但PCA则没有这个限制。对PCA而言，这里假设输入讯号为ㄧ向量，输入向量在乘上转换矩阵之前，会先将输入向量扣去平均值，即:_NEWLINE_PCA会根据之covariance矩阵来选择特征向量做为转换矩阵之内容：_NEWLINE_其中为对角线矩阵且对角线值为特征值。_NEWLINE_由上述可见PCA和KLT之差异在于有没有减去平均值，这是由于输入资料分布的限制造成的，当输入向量支平均值为零时，二这者没有差异。
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应用
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在影像的压缩上，目的是要将原始的影像档用较少的资料量来表示，由于大部分的影像并不是随机的分布，相邻的像素(Pixal)间存在一些相关性，如果我们能找到一种可逆转换(reversible transformation)，它可以去除数据的相关性，如此一来就能更有效地储存资料，由于K-L转换是一种线性转换，并有去除资料相关性的特性，便可以将它应用在影像的压缩上。此外，由于K-L转换具有将讯号转到特征空间(eigenspace)的特性，因此也可以应用在人脸辨识上。
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 参考文献
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1.  Ding, J. J. (2017). Advanced Digital Signal Processing [Powerpoint slides] http://djj.ee.ntu.edu.tw/ADSP8.pdf_NEWLINE_2.  Gerbrands,  J.J., On the relationships between SVD, KLT, and PCA, Pattern Recogn., 14 (1981), pp. 375-381