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双电子积分 (量子化学)
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双电子积分的基本形式
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双电子积分的基本形式是这样的：_NEWLINE_其中的、表示参与积分的单电子波函数；、表示电子坐标，其中包含三个方向的笛卡儿坐标和一个自旋坐标；即上面提到的双电子算子。_NEWLINE_也可以用狄拉克符号来简写上述双电子积分：_NEWLINE_两者在数学上是完全一样的。
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物理符号与化学符号
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对于使用算子的双电子积分，由于在量子化学中出现的频率极高，因而使用专门的符号来表示，即所谓物理符号和化学符号
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物理符号
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物理符号的形式是，有时也简单表示为，这一表示等价于：_NEWLINE_分布在表示中单竖线之前的是取复共轭的轨道波函数，分布在单竖线之后的是不取复共轭的轨道波函数，在竖线同一侧的两个波函数中，位于左则的一个波函数其变量为；位于右则的波函数变量为，也就是。_NEWLINE_我们注意到电子座标及是可交换的，所以_NEWLINE_=_NEWLINE_在此基础上可以进一步定义更加复杂的物理符号：_NEWLINE_这一表示也可改写如下:_NEWLINE_其中为交换电子1及电子2的算子。 考虑到电子坐标的等价性和符号本身的数学意义，物理符号有如下性质：
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化学符号
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化学符号的形式是，有时候也简单地表示为，这一表示等价于：_NEWLINE_分布在表示中单竖线之前的是电子坐标为的轨道波函数，分布在单竖线之后的是电子坐标为；的轨道波函数，在竖线同一侧的两个波函数中，位于左则的一个波函数须取复共轭，并在积分中位于算子的左侧位于右则的波函数不取复共轭，并在积分中位于算子的右侧。也就是，与物理符号相同的是，两个同样数字的（同样电子座标）的轨域中，靠左边的是取复共轭，靠右边的是没取的。_NEWLINE_由于电子1与电子2的交换不影响积分结果。所以我们有。而在量子化学计算里，波函数通常是实数，因此有。_NEWLINE_组合以上关系，共有八种交换对称：_NEWLINE_ _NEWLINE_与物理符号一样，化学符号也有更进一步的形式：_NEWLINE_由于将相同变量的波函数集中在符号的一侧，因而化学符号在使用中比物理符号更方便，在量子化学计算中，出现的频率更高。_NEWLINE_在实际应用中还有约化掉自旋函数的化学符号：_NEWLINE_在这个积分中，参与积分的轨道波函数仅仅含有空间部分，积分的变量也仅仅含有空间笛卡儿坐标，自旋函数以及自旋坐标被分离后单独积分了，而空间函数的积分规则与化学符号完全一致。
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物理符号与化学符号的关系
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由两者的表示规则可以得出两者之间的关系为：