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拓扑学
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历史
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拓扑学开始于对几何上特定问题的研究。李昂哈德·欧拉于1736年有关柯尼斯堡七桥问题的论文被认为是现代拓扑学的第一份学术著作。_NEWLINE_“拓扑学”一词于1847年由利斯廷在《Vorstudien zur Topologie》一书中提出。拓扑学的英文于1883年在自然杂志上对利斯廷的讣文中第一次出现，用来区分“…定性的几何学，于主要被以定量关系对待的一般几何学中”。不过，上述用词都与现代对拓扑学的定义不完全相同。_NEWLINE_现代拓扑学主要依靠集合论的概念。集合论由格奥尔格·康托尔于19世纪后半所发展。除了建立起集合论的基本概念外，康托尔亦将欧氏空间里的点集合作为他对傅里叶级数之研究的一部分。_NEWLINE_儒勒·昂利·庞加莱于1895年发表论文《相位分析》（Analysis Situs），引进同伦与同调的概念，这些概念现在被认为是代数拓扑的一部分。_NEWLINE_统合格奥尔格·康托尔、维多·沃尔泰拉、西萨尔·阿尔泽拉、雅克·阿达马与朱利奥·阿斯科利等人对函数空间的成果，莫里斯·弗雷歇于1906年引入度量空间的概念。度量空间现在被认为是一般拓扑空间的特例。于1914年，费利克斯·豪斯多夫提出“拓扑空间”一词，并给出现代称之豪斯多夫空间的定义。今日的拓扑空间之定义为豪斯多夫空间稍微的推广，由卡齐米日·库拉托夫斯基于1922年所给出。_NEWLINE_有关更进一步的发展，请见点集拓扑学与代数拓扑学。
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连续函数与同胚
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拓扑空间之间的函数被称为“连续”的，若任一开集合的原像均为开集合。若函数将实数映射至实数（两个空间均具有标准拓扑），则其连续之定义等价于微积分内对连续之定义。若一连续函数为一对一且满射，且若其反函数亦为连续，则该函数称之为同胚，且该函数的定义域被称为同胚于其值域。另一种说法为，该函数具有至拓扑的自然延伸。若两个空间同胚，则两者具有相同的拓扑性质，且被认为在拓扑上是相同的。立方体与球体同胚，咖啡杯与甜甜圈亦同。不过，圆圈并不同胚于甜甜圈。
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流形
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因为拓扑空间极为多变且奇特，许多拓扑学的领域会专注于被称为流形的更为熟悉之空间。“流形”是一个拓扑空间，在每一点附近都类似欧氏空间。更确切地说，每个 维流形上的点均有个与 维欧氏空间同胚之邻域。线与圆是一维流形，而双扭线不是。二维流形亦称之为曲面，例子包括平面、球体、环面等可以在三维空间实现的曲面，以及克莱因瓶与实投影平面等无法在三维空间实现之曲面。
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一般拓扑学
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一般拓扑学是拓扑学的分支，处理用于拓扑学的基本集合论定义与建构。一般拓扑学是拓扑学内大多数分支的基础，包括微分拓扑学、几何拓扑学与代数拓扑学。一般拓扑学又称为点集拓扑学。_NEWLINE_点集拓扑学的基本概念为“连续性”、“紧致性”与“连通性”。直观来看，连续函数将邻近的点映射至邻近的点上。紧致集合为可被有限多个任意小之集合覆盖之集合。连通集合为不能被分成两个拆开之部分的集合。“邻近”、“任意小”与“拆开”等词都可以透过使用开集合来精确定义。若改变了开集合的定义，连续函数、紧致集合与连通集合的定义亦会改变。每个对“开集合”定义之选择均是一个“拓扑”。具拓扑之集合称之为“拓扑空间”。_NEWLINE_“度量空间”是个可为距离指配一个被称为“度量”之数值的一类拓扑空间。拥有度量能简化许多证明，而许多常见的拓扑空间也都是度量空间。
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代数拓扑学
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代数拓扑学为数学的一个分支，使用抽象代数里的工具来研究拓扑空间。其基本目标为寻找代数不变量，以分类同胚意义下的拓扑空间，但最常分类的是同伦等价下的拓扑空间。_NEWLINE_其中最重要的不变量有同伦群、同调与上同调。_NEWLINE_虽然代数拓扑学主要是使用代数来研究拓扑问题，但使用拓扑学来解决代数问题，有时也是有可能的。例如，代数拓扑数能轻易地证明自由群的任一个子群仍是个自由群。
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微分拓扑学
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微分拓扑学是一门学科，研究在微分流形上的可微函数，与微分几何密切相关，并一齐组成微分流形的几何理论。_NEWLINE_更具体来说，微分拓扑考虑只依靠定义在流形上之光滑结构的性质与结构。可在光滑流形上附加额外的几何结构，以用来阻碍存在于微分拓扑中的某几类等价与形变。例如，体积与黎曼曲率是可区分相同光滑流形上的不同几何结构之不变量；亦即，虽然可光滑地“摊平”某些流形，但可能需要扭曲空间，并影响其曲率或体积。
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几何拓扑学
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几何拓扑学是拓扑学的一个分支，主要侧重于低维（即二维、三维与四维）流形及其与几何之互动的研究，但亦包括部分较高维拓扑。几何拓扑学的研究主题包括可定向性、柄分解、局部平坦与平面及高维商弗力士定理。_NEWLINE_在高维拓扑里，特征类是个基本的不变量，割补理论是其重要理论。_NEWLINE_低维拓扑具有强烈几何含意，体现在二维的单值化定理里，这个曲面都有一个常数曲率的度量；几何上来说，每个曲面都会是下面3 种几何的其中一种：正曲率/球面、零曲率/平面、负曲率/双曲面。三维的几何化猜想（现为定理）表示，每个三维流形都可被分解成数个质流形，而每个质流形都会是八种几何的其中一种。_NEWLINE_二维拓扑可被视为具单一变量的复几何（在黎曼曲面里为复曲线）来研究。透过单值化定理，每类共形的度量都会等价于一个唯一的复流形。而四维拓扑则可被视为具有二个变量的复几何（复曲面）来研究，虽然不是每个四维流形都能有一个复结构。
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推广
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有时需要用到拓扑学里的工具时，不一定存在“点的集合”。在无点拓扑学里，考虑改以开集合的格来作为该理论的基本概念；而格罗滕迪克拓扑则是个定义在任意范畴上的结构，允许在这些范畴上定义出层，以及一般上同调理论的定义。
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生物学
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纽结理论是拓扑学的一个分支，用于生物学中，以研究DNA内特定酵素的影响。这些酵素会切断、扭曲且重新连接DNA，形成电泳速率较慢的可观察结果。拓扑学也被用于演化生物学里，以表示表现型与基因型间的关系。基因型的改变对表现型的改变之影响方式，可决定是否只需少数的突变，即可呈现出极为不同的表现型来。
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物理学
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在物理学里，拓扑学被用于量子场论及宇宙论等领域。_NEWLINE_拓扑量子场论（或称拓扑场论）是一个用来计算拓扑不变量的量子场论。_NEWLINE_虽然拓扑量子场论是由物理学家所发明，但亦与数学相关，与代数拓扑学里的纽结理论及四维流形之理论，以及代数几何里的模空间之理论等，均有关连。唐纳森、琼斯、维腾与孔采维奇等菲尔兹奖得主，其工作均与拓扑场论有关。_NEWLINE_在宇宙论里，拓扑学可用来描述宇宙的整体形状。这个领域被称为时空拓扑学。
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机器人
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机器人的各种可能姿势可透过被称为位形空间的流形来描述。在运动规划里，会找出在位形空间内两个点间的路径。这些路径表示机器人关节等部分移至所需位置与姿势的运动。