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模型范畴
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在数学、尤其是同伦论中，模型范畴是带有弱等价、纤维化和上纤维化这三类态射的范畴，是从传统的拓扑空间或链复形的同伦范畴（即导出范畴）中抽象化得来。模型范畴的概念最初由丹尼尔·奎伦引入。_NEWLINE_近年来，模型范畴的语言应用到了代数K理论和代数几何的部分研究中。在这些分支中，使用同伦论的研究方法得出过深刻的结果。
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动机
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模型范畴提供了研究同伦论的一个自然的环境：拓扑空间的范畴就是一个模型范畴，其中同伦正是一般意义上的同伦。相似地，许多可以视为拓扑空间的对象也往往带有模型范畴结构，例如单纯集合的范畴。_NEWLINE_另一个模型范畴是R-模的链复形，其中R 是可交换环。在这个意义下的同伦论正是同调代数。如此同调即可视为同伦的一种，因而使得将同调向群和R-代数等的推广成为可能：这也是模型范畴理论最初的主要应用之一。由于这个特例涉及的是同调，对一般的闭模型范畴的研究有时则被视作同伦代数。
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拓扑空间
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拓扑空间范畴Top带有一个模型范畴，以塞尔纤维化为纤维化，和以弱同伦等价为弱等价。然而上纤维化则与通常的上纤维化稍有不同，而是更小的一类、满足对非循环的塞尔纤维化的左提升性质的映射。等价地，上纤维化是相对胞复形的收缩；见如Hovey的Model Categories一书。_NEWLINE_这并不是Top上仅有的模型范畴结构——一般而言给定的范畴上可以有许多种不同的模型范畴。如拓扑空间范畴就带有另一种模型范畴结构，以胡列维茨纤维化为纤维化，以标准的上纤维化为上纤维化，和以（强）同伦等价为弱等价。
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更多例子
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其它带有模型结构的范畴的例子包括所有小范畴的范畴，单纯集合或格罗滕迪克site上的单纯预层的范畴，拓扑谱的范畴，及单纯谱或小格罗滕迪克site上的单纯谱预层范畴。_NEWLINE_范畴中的单纯对象常常是模型范畴的来源；例如，单纯可交换环或单纯R-模都带有自然模型结构。这是因为在单纯集合和这些范畴之间有伴随函子对（由遗忘函子和自由函子给出），而在好的情况模型结构可以通过这样的伴随对来赋予。_NEWLINE_单纯模型范畴 是指一个单纯范畴，并带有与自身单纯结构共容的模型结构。_NEWLINE_给定任意范畴C 和模型范畴M，基于一些额外的假设，函子范畴Fct(C ,M )（亦称M 中的C-图表）也是一个模型范畴。事实上，函子范畴总有两 套不同的模型结构供考虑。第一种被称为“投射模型结构”，其中纤维化和弱等价分别是那些每一个C 中的对象都对应于M 中的纤维化和弱等价的自然变换。对偶地，“内射模型结构”的构造相似，只是取上纤维化和弱等价代替纤维化和弱等价。在这两套结构中，第三类态射都由适当的提升条件给出。在某些情况下，例如当C 是一个Reedy范畴时，还有第三套介于投射和内射结构之间的模型结构。_NEWLINE_在一个给定的模型范畴中，可以通过迫使某些映射成为弱等价，从而在同一个基范畴中得到一套新的模型范畴结构；这个操作称为Bousfield局部化。例如，单纯层范畴上的模型结构可以通过对单纯预层上的模型结构进行Bousfield局部化得到。_NEWLINE_Denis-Charles Cisinski发展出了一套预层范畴上模型结构的一般理论；这推广了单纯集合，因后者不过是单纯范畴上的预层。
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一些构造
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因为始对象和终对象分别是空图表的上极限和极限，由上完备性和完备性可知任一闭模型范畴都有一始对象与一终对象。给定模型范畴中的对一个对象X，若从始对象到X 的唯一映射是上纤维化，则称X 为上纤维子。对应地，若从X 到终对象的唯一映射是纤维化，则称X 为纤维子。_NEWLINE_如果Z 和X 是一个模型范畴中的对象，Z 是上纤维子，且存在从Z 到X 的弱等价，那么称Z 为X 的上纤维子替换。相似地，如果Z 是纤维子，且存在从X 到Z 的弱等价，那么称Z 为X 的纤维子替换。一般来说，模型范畴中的对象并非都是纤维子或上纤维子，仅是偶尔如此。例如，在单纯集合的标准模型范畴中所有对象都是上纤维子，而在拓扑空间的标准模型范畴中所有对象都是纤维子。值得注意的是，每个对象都同时有一个纤维子替换和一个上纤维子替换。_NEWLINE_借助圆柱对象可定义左同伦，而借助路径空间对象则可定义右同伦，而当域为上纤维子、陪域为纤维子时，这两个概念等价。在这个情况下，同伦构成了模型范畴中态射集上的等价关系，因而给出了态射集上的同伦类。
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基于提升性质对纤维化和上纤维化的描述
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上纤维化可描述成对所有非循环纤维化具有左提升性质的映射，而非循环上纤维化则是对所有纤维化具有左提升性质的映射。相似地，纤维化可描述成对所有非循环上纤维化具有右提升性质的映射，而非循环纤维化则是对所有上纤维化具有右提升性质的映射。在这个意义下，范畴的模型结构完全由弱等价加上纤维化或纤维化之一而唯一确定。
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同伦和同伦范畴
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模型范畴C 的同伦范畴是C 对于弱等价这类映射的局部化。这个同伦范畴的定义不取决于纤维化和上纤维化的选择，然而，纤维化和上纤维化这两类映射可用于给出同伦范畴的另一个描述，尤其可以避免一些在对一般范畴进行局部化时遇到的集合论问题。更精确的说，“模型范畴基本定理”声明，C 的同伦范畴等价于一个以C 中同为纤维子和上纤维子的对象为对象、以C 中态射的左同伦类（或等价地，右同伦类）为态射的范畴。（例如，见Hovey的Model Categories，定理1.2.10）_NEWLINE_将基本定理应用于标准的拓扑空间模型范畴，可得其同伦范畴等价于对象为CW复形、态射为连续映射的同伦类的范畴。“同伦范畴”因而得名。