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抽象代数
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抽象代数作为数学的一门学科，主要研究对象是代数结构，比如群、环、域、模、向量空间、格与域代数。“抽象代数”一词出现于20世纪初，作为与其他代数领域相区别之学科。_NEWLINE_代数结构与其相关之同态，构成数学范畴。范畴论是用来分析与比较不同代数结构的强大形式工具。_NEWLINE_泛代数是一门与抽象代数有关之学科，研究将各类代数视为整体所会有的性质与理论。例如，泛代数研究群的整体理论，而不会研究特定的群。
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近世代数
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19世纪末20世纪初，在数学方法上有了巨大的转变。抽象代数于20世纪初开始出现，被称为“近世代数”。对抽象代数的研究受到数学上对严谨的更多要求所趋动。一开始，整个数学（及大部分的自然科学）所依靠的古典代数之假设，改采公理系统之形式。不再满足于研究具体对象之性质，数学家开始将其注意力转至一般理论。某些代数结构的形式定义开始于19世纪出现。例如，各类置换群的结论可被视为“抽象群”的一般概念有关之一般性定理的特例。对不同数学对象之结构与分类等问题，开始成为了研究焦点。_NEWLINE_这些过程发生在所有的数学领域内，但在代数里尤其显著。以基本运算及公理写成的形式定义开始加诸于许多基本代数结构之上，如群、环与域等。因此，群论与环论开始在纯数学里占有一席之地。在代数的研究上，恩斯特·斯坦尼兹研究过一般的域、大卫·希尔伯特、埃米尔·阿廷与埃米·诺特研究过可交换群与一般的环，恩斯特·库默尔、利奥波德·克罗内克与理察·戴德金研究过可交换环的理想，以及费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯与伊赛·舒尔研究过群的表示理论。上述研究定义出了抽象代数的范范。这些在19世纪末20世纪初的发展于巴特尔·范·德·瓦尔登所著，于1930年至1931年出版的两卷专著《现代代数》（Moderne algebra）中有系统中呈现出，在数学世界里，“代数”这个词的意义是如何由“方程理论”换变成“代数结构理论”的。
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应用
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因为其一般性，抽象代数运用于许多数学与科学领域之中。例如，代数拓扑即使用代数对象来研究拓扑学。最近（2006年）被证明出之庞加莱猜想表示，一个流形的基本群（握有连通性的资讯）可用来确认一个流形是否为一球面。代数数论研究各种广义化整数集合之数环。使用代数数论里的工具，安德鲁·怀尔斯证明出费马最后定理。_NEWLINE_在物理学里，群用来表示对称运算，且使用群论可以算化许多微分方程。在规范理论里，要求局部对称可用来减少描述系统所须之方程。描述这些对称的群称为李群，而对李群与李代数之研究亦揭示出许多物理系统内的知识；例如，在一理论中载力粒子（force carriers）的数量会等于李代数的维度，且当李代数是不可交换时，玻色子才是与其传递的力作用。