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新里曼理论
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新里曼理论（Neo-Riemannian theory）是一些现代音乐理论学家，例如戴维·勒温，布赖恩·海尔（Brian Hyer），理查德·孔恩与亨利·科朗彭霍沃尔（Henry Klumpenhouwer）等人所发表的某些松散观点的集合。这些观点均在不借助相对主音关系的条件下，致力于构造一种和声之间的直接联系。最初被研究的和声是大小三和弦；之后，新里曼理论将研究范围拓展到一般的不协和的和弦。声部进行的效率可被用于规范化地表征和声接近度（harmonic proximity）；例如，若比较C大三和弦和E小三和弦，即可发现两个和弦只有一个音不同，而这两个不同的音之间只有半音的差距，因此这两个和弦被认为在和声上是相互接近的。相近的和声之间的运动可由简单的变换（transformations）来描述。例如，从C大三和弦到E小三和弦的运动（或从E小三和弦到C大三和弦），可由“L”变换来实现。延伸出的和声进行可以在一个几何平面上特征性地表示出来，由此描绘出表示整个和声关系的系统。大家还未就新里曼理论的核心达成共识：到底是平滑的声部进行，还是变换，亦或是通过几何进行映射的关系系统。在浪漫主义晚期音乐（包括舒伯特、李斯特、瓦格纳和布鲁克纳的音乐）的和声实践的分析中，新里曼理论常常被援引，因为这些音乐中出现了高度的半音创作手法。_NEWLINE_新里曼理论得名于胡戈·里曼（1849–1919），他的用于联系各个三和弦的“二元（dualist）”系统取自于早期的19世纪和声理论家。术语“二元论（dualism）”强调了大调与小调可相互转换的关系；即小三和弦是“倒影”的大三和弦。这种二元性造成了右图中音阶方向的不同。在1880年代，里曼提出了变换系统（system of transformations），将三和弦直接两两联系在一起。David Lewin（1933–2003）在他的文章《Amfortas's Prayer to Titurel and the Role of D in Parsifal》（1984）以及他的一本具有影响力的书——《Generalized Musical Intervals and Transformations》（1987）中独立于里曼最初的构想，不把二元性作为前提的情况下，重新发展了这一方面的工作。1990年代与2000年代后续的发展，将数学系统进一步整合到理论的基本原则中，并且加入了二十世纪的音乐作品以及音乐心理学，极大地拓宽了新里曼理论的研究范围。
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图形表示
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新里曼理论的变换可以通过一些相关的几何结构来进行建模。里曼调性网络（Riemannian Tonnetz，如右图所示）将音高沿着三条单纯轴（simplicial axes）排列为一个平面阵列（planar array）；这三条单纯轴对应着三种和谐音程；铺满调性网络的三角形表示着大三和弦和小三和弦。共用一条边的三角形所表示的两个三和弦共用两个相同的音符，因此上一节的主要变换也可以被表示成调性网络中的最小运动。不同于之前历史上的某些音乐理论学家，新里曼理论一般假设异名同音等价（G♯ = A♭），使平面的调性网络图可被卷曲为一个环面。_NEWLINE_新里曼理论中也讨论了另一种调性几何结构，其将传统调性网络中特定的性质分离出来或是进行延伸扩充。Richard Cohn 发展了超六音系统（Hyper Hexatonic system）用于描述在分离的大三和弦循环之内和之间的运动。他将其规范化地表示为“极大平滑性（maximal smoothness）”。Jack Douthett 发明了另一种几何图像，方块舞蹈（Cube Dance）；它表征了音调网络的几何对偶。顶点（而非三角形）被用来表示三和弦（Douthett 和 Steinbach，1998），其间插入增三和弦，允许更加平滑的声部进行。_NEWLINE_许多与新里曼理论相关的几何表示通过Clifton Callender、Ian Quinn 和 Dmitri Tymoczko 提出的连续的声部连接空间（continuous voice-leading space）被合并到一个更加一般的框架中。在这个始于2004年的工作中，Callender 描述了一种连续空间；连续空间中的一个点代表着一个三音符“和弦类型”（例如“大三和弦”）；利用这个空间可以为“连续变换”（即音符可以从一个音符连续地滑向另一个的变换）建模。之后，Tymoczko 展示了Callender空间中的路径同构于声部进行的某些特定类型；“单独T联系（individually T related）”声部进行在Tymoczko 于2008年发表的论文中被提到。同时，Tymoczko 发展了更相似于新里曼理论中的空间的一族。在Tymoczko空间中，点表示任意大小的某个特定和弦（例如C大三和弦），而不是更为一般的和弦类型（例如大三和弦）。最后，Callender、Quinn 和 Tymoczko 同时提出了一个统一的框架，将这些表示着广泛音乐理论性质的几何空间联系在一起。_NEWLINE_和声表音符布局是现代的一种创建图形化表示音乐界面的实现手段。_NEWLINE_2011年，Gilles Baroin 提出了Planet-4D模型。这是基于图论的一个可视化系统，将传统的调性网络嵌入到一个4D超球体上。最近提出的调性网络的另一个连续版本——同时有原形式和二元形式——叫做相位环面（Torus of phases）。更为细致的乐理分析，例如对早期浪漫主义音乐的分析，可以在相位环面上实现。
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批评
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新里曼理论学家常常用三种基本LPR变换的组合来分析和弦进行。C大三和弦到E大三和弦的进行会被分析为L-P变换；此变换也可将C小三和弦变为A♭小三和弦。然而，通过变换定义出的和声间距并不能完美地反映出声部进行。例如，根据新里曼理论的共同音保留（common-tone preservation）优先的原则，C大三和弦距离F大三和弦比距离F小三和弦近（从C大三和弦变换到F大三和弦需经过R-L两次变换，而变换到F小三和弦需经过R-L-P三次变换）。但是，从半音声部进行的角度来看，F小三和弦相比于F大三和弦距离C大三和弦近；因为只要将F小三和弦上的两个音移动半音就可以变为C大三和弦（A♭->G 与 F->E），而F大三和弦需要移动三个半音才能变为C大三和弦。因此，LPR变换无法用于考虑IV-iv-I进行（19世纪的一个基本和声套路）的声部进行效率。关于共同音也能得出相似的结论：在调性网络上，F小三和弦与E♭小三和弦一样，需经三次变换才能从C大三和弦变换而来，然而F小三和弦与C大三和弦已经有一个共同音了，E♭小三和弦和C大三和弦却没有共同音。_NEWLINE_上述矛盾的背后是关于最多的共同音，或是最短的声部进行总距离是否能最大化和声临近度（harmonic proximity）的不同意见。例如，R变换将某个音移动了一个全音，而N变换或S变换则是将某个音移动半音。当共同音最大化比较优先的时候，R变换的效率较高；若通过假设单音移动来测量声部进行的效率，则三种变换的效率是一样的。早期的新里曼理论同时采用了这两种概念。最近的工作已把这两者分离开，独立于共同音保留的原则，单方面地只通过对声部进行邻近度的分析来测量和声距离。由此产生的问题是，初级变换和次级变换会分辨不清。早在1992年，Jack Douthett 建立了一个三和弦间声部进行的准确几何模型。这个模型是通过在R变换相关的三和弦之间内插增三和弦——一种被他称作“方块舞蹈（Cube Dance）”的机制——建立起来的。虽然 Douthett 的图像在1998年就已发表，它作为声部进行模型的优越性直到更晚的时候，由于Callender、Quinn 和 Tymoczko 在几何相关工作的涉及，才为人所知。实际上直到2009年，对方块舞蹈与新里曼理论调性网络的详细比较才出现。在这一系列的研究中，三元变换（triadic transformations）不再像在早期新里曼理论中一样具有基本的地位。声部进行邻近度衍生出的几何表示取得了中心地位；而LPR变换成为了特定类型套路的一种启发性的思考方式（而不是作为像是定义的性质）。_NEWLINE_虽说如此，在所有二十四种里曼三元变换中，相比于其他任何的变换组合，LPR变换的长度与半音声部进行距离更为相关。例如，若只使用L变换和R变换来测定三和弦之间的距离，上述例子的情况下产生的矛盾数量比使用L、P、R三种变换要来得多。这也在某种程度上体现了初级变换和次级变换的不同。