b'\n_START_ARTICLE_\nKvadratni koren \xc5\xa1tevila 5\n_START_SECTION_\nDokaz z neskon\xc4\x8dnim spustom\n_START_PARAGRAPH_\nDokaz iracionalnosti kvadratnega korena \xc5\xa1tevila 5 vsebuje Fermatovo metodo nesko\xc4\x8dnega spusta:_NEWLINE_Predpostavi se, da je  racionalno \xc5\xa1tevilo in se ga izrazi s pokraj\xc5\xa1animi \xc4\x8dleni (kot popolnoma okraj\xc5\xa1ani ulomek)  za naravni \xc5\xa1tevili m in n._NEWLINE_Tako se lahko  izrazi z ni\xc5\xbejimi \xc4\x8dleni od  kot , kar je protislovje. Oba izraza z ulomkoma sta enaka, ker \xc4\x8de se ju izena\xc4\x8di, kri\xc5\xbeem pomno\xc5\xbei in pokraj\xc5\xa1a enake aditivne \xc4\x8dlene, velja:  in , kar je po premisi pravilno. Drugi izraz z ulomkoma za  ima najmanj\xc5\xa1e \xc4\x8dlene, ker s primerjanjem imenovalcev velja , ker je , ker je  in . \xc5\xa0tevec in imenovalec v drugem izrazu z ulomkoma sta pozitivna, ker je  in .\n_START_SECTION_\nGeometrija\n_START_PARAGRAPH_\nGeometri\xc4\x8dno  odgovarja diagonali pravokotnika, katere stranici imata dol\xc5\xbeini 1 2, kar je razvidno iz Pitagorovega izreka. Ta pravokotnik se dobi z razpolovitvijo kvadrata, ali z zdru\xc5\xbeitvijo dveh enakih kvadratov ob eno stranico. Skupaj z algebrskim izrazom med  in \xce\xa6 to tvori osnovo za geometrijsko konstrukcijo zlatega pravokotnika iz kvadrata, in za konstrukcijo pravilnega petkotnika s podano dol\xc5\xbeino stranice, (saj je razmerje med stranico in diagonalo v pravilnem petkotniku enako \xce\xa6)._NEWLINE_\xc4\x8ce se tvori diedrski pravi kot z dvema enakima kvadratoma, ki razpolavljata pravokotnik 1:2, se lahko vidi, da  odgovarja tudi razmerju med dol\xc5\xbeino robu kocke in najkraj\xc5\xa1i razdalji med enim njenim ogli\xc5\xa1\xc4\x8dem do nasprotnega pri pre\xc4\x8dnem rezu povr\xc5\xa1ine kocke (najkraj\xc5\xa1a razdalja pri pre\xc4\x8dnem rezu skozi notranjost kocke odgovarja dol\xc5\xbeini diagonale kocke, ki je enaka produktu med \xe2\x88\x9a3 in robom)._NEWLINE_\xc5\xa0tevilo  se lahko algebrsko in geometri\xc4\x8dno pove\xc5\xbee s \xe2\x88\x9a2 in \xe2\x88\x9a3, saj je enako dol\xc5\xbeini hipotenuze pravokotnega trikotnika z dol\xc5\xbeinama katet  in , kar spet izhaja iz Pitagorovega izreka. Pravokotni trikotniki s tak\xc5\xa1nimi razmerji se lahko najdejo znotraj kocke: stranica poljubnega trikotnika, ki jo dolo\xc4\x8da sredi\xc5\xa1\xc4\x8dna to\xc4\x8dka kocke, eno od njenih ogli\xc5\xa1\xc4\x8d in razpolovi\xc5\xa1\xc4\x8de stranice na eni ploskvi, ki vsebuje tisto ogli\xc5\xa1\xc4\x8de in mu je nasprotna \xe2\x80\x93 njihovo razmerje je enako ::. To sledi iz geometrijske povezave med kocko in koli\xc4\x8dinami  (razmerje med robom in diagonalo ploskve, ali razdalja med nasprotnimi robovi),  (razmerje med robom in diagonalo kocke) in  (razmerje omenjeno zgoraj)._NEWLINE_Pravokotnik z dol\xc5\xbeinama stranic v razmerju 1: se imenuje pravokotnik korena \xc5\xa1tevila 5 in spada v dru\xc5\xbeino korenskih pravokotnikov, podmno\xc5\xbeice dinami\xc4\x8dnih pravokotnikov, ki imajo za osnovo \xc5\xa1tevila  (= 1), , ,  (= 2), , ... in so zapovrstjo skonstruirani z diagonalo predhodnega korenskega pravokotnika z za\xc4\x8detkom pri kvadratu. Pravokotnik korena \xc5\xa1tevila 5 je \xc5\xa1e posebej znan, ker se lahko razdeli na kvadrat in dva skladna zlata pravokotnika (razse\xc5\xbenosti 1/\xce\xa6 \xc3\x97 1), ali na dva zlata pravokotnika razli\xc4\x8dnih velikosti (razse\xc5\xbenosti 1/\xce\xa6 \xc3\x97 1 in 1 \xc3\x97 \xce\xa6). Lahko se razstavi tudi na dva skladna zlata pravokotnika (razse\xc5\xbenosti 1 \xc3\x97 \xce\xa6), katerih prese\xc4\x8di\xc5\xa1\xc4\x8de tvori kvadrat. Vse to se lahko vidi kot geometrijska predstavitev algebrskih povezav med , \xce\xa6 in 1/\xce\xa6, omenjenih zgoraj. Pravokotnik korena \xc5\xa1tevila 5 se lahko skonstruira iz pravokotnika 1:2 (pravokotnika korena \xc5\xa1tevila 4) ali neposredno iz kvadrata v smislu podobnem za zlati pravokotnik prikazanem na sliki, pri \xc4\x8demer se dol\xc5\xbeina loka  raz\xc5\xa1iri na obe strani.'