b"\n_START_ARTICLE_\nGrandijeva vrsta\n_START_SECTION_\nMarchetti\n_START_PARAGRAPH_\nPo objavi druge izdaje Grandijeve knjige Quadratura je med prvimi kritiziral njegovo delo Alessandro Marchetti. Morda ga je pri tem bolj vodila ljubosumnost kot pa drugi razlogi. Marchetti je menil, da je izjava, da lahko da vsota neskon\xc4\x8dnega \xc5\xa1tevila ni\xc4\x8del kon\xc4\x8dno koli\xc4\x8dino, absurdna. Iz Grandijeve obravnave je pokazal na nevarnost, ki jo spro\xc5\xbei teolo\xc5\xa1ko sklepanje. Matematika sta se za\xc4\x8dela medsebojno obto\xc5\xbeevati v nizu odprtih pisem. Njun spor se je kon\xc4\x8dal \xc5\xa1ele z Marchettijevo smrtjo leta 1714.\n_START_SECTION_\nLeibniz\n_START_PARAGRAPH_\nS pomo\xc4\x8djo in spodbudo Antonia Magliabechija je Grandi poslal kopijo Quadrature iz leta 1703 Leibnizu. Prilo\xc5\xbeil je tudi pismo, v katerem je izrazil pohvale in ob\xc4\x8dudovanje do mojstrovega dela. Leibniz je prejel in prebral to prvo izdajo leta 1705. Delo je imenoval neizvirno in manj napredni\xc2\xa0\xc2\xbbposkus\xc2\xab\xc2\xa0svojega ra\xc4\x8duna. Grandijeva obravnava vrste 1 \xe2\x88\x92 1 + 1 \xe2\x88\x92 1 + \xc2\xb7\xc2\xb7\xc2\xb7 ni vzbudila Leibnizeve pozornosti do leta 1711, skoraj ob koncu njegovega \xc5\xbeivljenja, ko mu je Christian von Wolff poslal pismo v Marchettijevo korist, v katerem je opisal problem in ga prosil za mnenje.\n_START_SECTION_\nReakcije\n_START_PARAGRAPH_\nKo je von Wolff Leibnizu prvi\xc4\x8d postavil vpra\xc5\xa1nje o Grandijevi vrsti, je bil nagnjen k skepticizmu skupaj z Marchettijem. Ko je v sredini leta 1712 prebral Leibnizev odgovor, je bil tako zadovoljen z re\xc5\xa1itvijo, da je posku\xc5\xa1al raz\xc5\xa1iriti metodo z aritmeti\xc4\x8dno sredino na druge divergentne vrste, kot je na primer vrsta 1 \xe2\x88\x92 2 + 4 \xe2\x88\x92 8 + \xc2\xb7\xc2\xb7\xc2\xb7. Leibnizeva intuicija je pomagala, da ni te re\xc5\xa1itve razvil naprej tako dale\xc4\x8d, in je odpisal, da je bila von Wolffova zamisel sicer zanimiva, vendar napa\xc4\x8dna zaradi ve\xc4\x8d razlogov. Eden od njih je bil, da morajo \xc4\x8dleni v vrsti z vsoto, preiti v 0, \xc4\x8detudi se lahko vrsto 1 \xe2\x88\x92 1 + 1 \xe2\x88\x92 1 + \xc2\xb7\xc2\xb7\xc2\xb7 izrazi kot limito tak\xc5\xa1ne vrste._NEWLINE_Leibniz je opisal Grandijevo vrsto skupaj s splo\xc5\xa1nim problemom konvergence in divergence v pismih Nicholasu Bernoulliju leta 1712 in zgodaj leta 1713. Jacques Dutka je predlagal, da je to dopisovanje skupaj z Nicholasovim zanimanjem za verjetnost, vzpodbudilo Nicholasa, da je septembra 1713 podal sanktpeterbur\xc5\xa1ki paradoks, v katerem tudi nastopajo divergentne vrste._NEWLINE_Pierre-Simon Laplace je v svojem delu Essai Philosophique sur les Probabilit\xc3\xa9s povezal Grandijevo vrsto z Leibnizevim videnjem\xc2\xa0\xc2\xbbslike Stvarjenja v svoji dvoji\xc5\xa1ki aritmetiki\xc2\xab, tako da je Leibniz pisal jezuitskemu misijonarju Claudiu Filippu Grimaldiju, dvornemu matematiku cesarja Kansija na Kitajskem, v upanju, da se bosta cesarjevo zanimanje za znanost in matemati\xc4\x8dni\xc2\xa0\xc2\xbbznak stvarjenja\xc2\xab\xc2\xa0povezala in pomagala spreobrniti narod v kr\xc5\xa1\xc4\x8danstvo. Laplace je pripomnil:\xc2\xa0\xc2\xbbTo anegdoto zapisujem le zaradi tega, da poka\xc5\xbeem kako dale\xc4\x8d lahko predsodki o mladoletnosti speljejo velike mo\xc5\xbee.\xc2\xab\n_START_SECTION_\nVarignon\n_START_PARAGRAPH_\nPierre Varignon je obravnaval Grandijevo vrsto v svojem poro\xc4\x8dilu Pr\xc3\xa9cautions \xc3\xa0 prendre dans l'usage des Suites ou Series infinies r\xc3\xa9sultantes\xe2\x80\xa6. Eden od ciljev tega \xc4\x8dlanka je bil pokazati na divergenco Grandijeve vrste in raz\xc5\xa1iriti razpravo Jakoba Bernoullija iz leta 1696._NEWLINE_Zadnja razli\xc4\x8dica Varignonovega \xc4\x8dlanka ima datum 16. februar 1715. Pojavila se je v izdaji M\xc3\xa9mories Francoske akademije znanosti, objavljeni leta 1718. \xc4\x8ceprav se je Varignonovo poro\xc4\x8dilo pojavilo relativno pozno, v njem ni omenjeno Leibnizevo zgodnej\xc5\xa1e delo. Ve\xc4\x8dina Pr\xc3\xa9cautions je bila napisana okrobra 1712, ko je bil Varignon zunaj Pariza. Knjiga o magi\xc4\x8dnih kvadratih Trait\xc3\xa9 des Quarr\xc3\xa9s sublimes Abb\xc3\xa9ja Poignarda iz leta 1704 je v krogih blizu Akademije postala zelo priljubljena. Druga predelana in raz\xc5\xa1irjena izdaja je imela 336 strani. Da je lahko Varignon v miru prebral Trait\xc3\xa9, je moral odditi na pode\xc5\xbeelje za skoraj dva meseca, kjer je pisal o Grandijevi vrsti v relativni osami. Ko se je vrnil v Pariz, je kmalu ugotovil, da je Leibniz odlo\xc4\x8dil v prid Grandiju. Ker je bil lo\xc4\x8den od svojih virov, je moral Varignon ponovno pregledati svoj \xc4\x8dlanek in vklju\xc4\x8diti navedek o Jakobu Bernoulliju. Namesto da bi upo\xc5\xa1teval Leibnizevo delo, je v pripisu svojemu poro\xc4\x8dilu, navedel, da je bil navedek edina predelava, ki jo je naredil v Parizu, in, da, \xc4\x8de so se pojavile druge raziskave o tej temi, mora po\xc4\x8dakati na poro\xc4\x8dila o njih._NEWLINE_Jean le Rond d'Alembert je leta 1751 v Enciklopediji ponovil pogled, da je Grandijevo razmi\xc5\xa1ljanje na podlagi deljenja spodbil Varignon leta 1715. Dejansko je d'Alembert pripisal problem\xc2\xa0\xc2\xbbGuidu Ubaldusu,\xc2\xab\xc2\xa0kar \xc5\xa1e vedno v\xc4\x8dasih napa\xc4\x8dno omenjajo.\n_START_SECTION_\nRed\xc4\x8denje in nove vrednosti\n_START_PARAGRAPH_\nNavkljub samozavestnemu tonu v svojih \xc4\x8dlankih je Euler med svojim dopisovanjem z Nicholasom Bernoullijem izrazil dvom o divergentnih vrstah. Trdil je, da njegova poskusna definicija ni nikoli zatajila, vendar je Bernoulli pokazal na jasno slabost: definicija ne dolo\xc4\x8da kako naj dolo\xc4\x8dimo kon\xc4\x8den izraz, ki generira dano neskon\xc4\x8dno vrsto. To ni samo prakti\xc4\x8dna te\xc5\xbeava, ampak bi bilo teoreti\xc4\x8dno pogubno, \xc4\x8de bi vrsto generirala dva izraza z razli\xc4\x8dnima vrednostima. Eulerjeva obravnava vrste 1 \xe2\x88\x92 1 + 1 \xe2\x88\x92 1 + \xc2\xb7\xc2\xb7\xc2\xb7 le\xc5\xbei na njegovem trdnem prepri\xc4\x8danju, da je 1/2 edina mo\xc5\xbena vrednost za vsoto vrste. Kaj pa, \xc4\x8de obstajajo druge?_NEWLINE_Leta 1745 je Euler v pismu Christianu Goldbachu trdil, da ne pozna nobenega tak\xc5\xa1nega protiprimera, pa tudi Bernoulli ni podal nobenega. Nekaj desetletij kasneje, ko je Jean-Charles Callet kon\xc4\x8dno zagovarjal protiprimer, so namignili na vrsto 1 \xe2\x88\x92 1 + 1 \xe2\x88\x92 1 + \xc2\xb7\xc2\xb7\xc2\xb7. Ozadje zamisli se je za\xc4\x8delo z Danielom Bernoullijem leta 1771.\n_START_SECTION_\nFrobenius in sodobna matematika\n_START_PARAGRAPH_\nZadnji znanstveni \xc4\x8dlanek, ki ga je motivirala vrsta 1 \xe2\x88\x92 1 + 1 \xe2\x88\x92 1 + \xc2\xb7\xc2\xb7\xc2\xb7, se lahko ozna\xc4\x8di kot prvi \xc4\x8dlanek sodobne zgodovine divergentnih vrst. Ferdinand Georg Frobenius je objavil \xc4\x8dlanek\xc2\xa0\xc2\xbbO Leibnizevih vrstah\xc2\xab\xc2\xa0(Ueber die Leibnitzsche Reihe) leta 1880. Na\xc5\xa1el je Leibnizevo staro pismo von Wolffu, in ga navedel skupaj s \xc4\x8dlankom Josepha Ludwiga Raabeja iz leta 1836, ki je izmenoma \xc4\x8drpal iz zamisli Leibniza in Daniela Bernoullija._NEWLINE_Frobeniusov kratek \xc4\x8dlanek z le dvema stranema se je za\xc4\x8del z navedbo iz Leibnizeve obravnave vrste 1 \xe2\x88\x92 1 + 1 \xe2\x88\x92 1 + \xc2\xb7\xc2\xb7\xc2\xb7. Sklepal je, da je Leibniz dejansko navajal posplo\xc5\xa1itev Abelovega izreka. Rezultat, znan kot Frobeniusov izrek, ima v sodobnem jeziku preprosto obliko: vsaka vrsta, ki ima Ces\xc3\xa0rovo vsoto, ima tudi Abelovo vsoto, in obe sta enaki. Zgodovinar Giovanni Ferraro je poudaril, da Frobenius dejansko ni izrazil izreka v tak\xc5\xa1ni obliki, in da ga Leibniz sploh ni navedel. Leibniz je branil povezavo divergentne vrste 1 \xe2\x88\x92 1 + 1 \xe2\x88\x92 1 + \xc2\xb7\xc2\xb7\xc2\xb7 z vrednostjo 1/2, Frobeniusov izrek pa je izra\xc5\xbeen z izrazi konvergentnih zaporedij in (\xce\xb5, \xce\xb4)-definicijo limite funkcije._NEWLINE_Frobeniusov izrek sta kmalu posplo\xc5\xa1ila Otto Ludwig H\xc3\xb6lder in Thomas Joannes Stieltjes leta 1882. Sodobnemu bralcu njuno delo spet mo\xc4\x8dno sugerira nove definicije vsote divergentnih vrst, vendar tega koraka \xc5\xa1e nista naredila. Ernesto Ces\xc3\xa0ro je prvi\xc4\x8d predlagal sistemati\xc4\x8dno definicijo leta 1890. Od tedaj so matematiki raziskali ve\xc4\x8d razli\xc4\x8dnih metod za vsote divergentnih vrst. Ve\xc4\x8dina od teh, \xc5\xa1e posebej preprostej\xc5\xa1e z zgodovinskimi vzporednicami, dajo za vsoto Grandijeve vrste vrednost 1/2. Druge, na katere je vplivalo delo Daniela Bernoullija, dajo za vsoto vrste druge vrednosti, pri nekaterih pa vsote sploh ni.\n_START_SECTION_\nDivergenca Grandijeve vrste\n_START_PARAGRAPH_\nV sodobni matematiki je vsota neskon\xc4\x8dne vrste definirana kot limita zaporedja njenih delnih vsot, \xc4\x8de obstaja. Zaporedje delnih vsot Grandijeve vrste je 1, 0, 1, 0, \xc2\xb7\xc2\xb7\xc2\xb7, in njegova vrednost se o\xc4\x8ditno ne pribli\xc5\xbeuje nobenemu \xc5\xa1tevilu, \xc4\x8deprav ima dve stekali\xc5\xa1\xc4\x8di, 0 in 1. Tako je Grandijeva vrsta divergentna._NEWLINE_Lahko se poka\xc5\xbee, da ni pravilno izvajati na videz ne\xc5\xa1kodljive operacije na vrstah, kot je na primer razvr\xc5\xa1\xc4\x8danje posameznih \xc4\x8dlenov, razen \xc4\x8de je vrsta absolutno konvergentna. Druga\xc4\x8de se lahko s tak\xc5\xa1nimi operacijami spremeni rezultat vsote vrste. V Grandijevi vrsti se lahko \xc4\x8dlene razvrsti tudi na druge na\xc4\x8dine in se dobi \xc5\xa1e druge rezultate, ne samo 0 in 1.\n_START_SECTION_\nIzmeni\xc4\x8dno razmikanje\n_START_PARAGRAPH_\nDejstvo, da je navadna Abelova vsota vrste 1 + 0 \xe2\x88\x92 1 + 1 + 0 \xe2\x88\x92 1 + \xc2\xb7\xc2\xb7\xc2\xb7 enaka 2/3, se lahko poda tudi kot (A, \xce\xbb)-vsoto izvirne vrste 1 \xe2\x88\x92 1 + 1 \xe2\x88\x92 1 + \xc2\xb7\xc2\xb7\xc2\xb7, kjer je (\xce\xbb\xe2\x82\x99) = (0, 2, 3, 5, 6, \xc2\xb7\xc2\xb7\xc2\xb7). Podobno je (A, \xce\xbb)-vsota vrste 1 \xe2\x88\x92 1 + 1 \xe2\x88\x92 1 + \xc2\xb7\xc2\xb7\xc2\xb7, kjer je (\xce\xbb\xe2\x82\x99) = (0, 1, 3, 4, 6, \xc2\xb7\xc2\xb7\xc2\xb7), enaka 1/3."