b'\n_START_ARTICLE_\nGeometrijsko zaporedje\n_START_SECTION_\nPovezava z geometrijo in Evklidovo delo\n_START_PARAGRAPH_\nOsma in deveta knjiga Evklidovih Elementov prou\xc4\x8dujeta geometrijska zaporedja in dajeta ve\xc4\x8d njihovih zna\xc4\x8dilnosti._NEWLINE_Geometrijsko zaporedje se imenuje tako, ker je vsak \xc4\x8dlen geometrijska sredina dveh sosednjih \xc4\x8dlenov.\n_START_SECTION_\nElementi, deveta knjiga\n_START_PARAGRAPH_\nGeometrijsko zaporedje kvadratov 1, 2, 4, 8, 16, 32, \xe2\x80\xa6 (ali v dvoji\xc5\xa1kem sistemu, 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, \xe2\x80\xa6 ) je pomembno v teoriji \xc5\xa1tevil. Trditev 36 v deveti knjigi Elementov dokazuje, da, \xc4\x8de je vsota prvih n \xc4\x8dlenov tega zaporedja pra\xc5\xa1tevilo, potem je zmno\xc5\xbeek te vsote in n-tega \xc4\x8dlena popolno \xc5\xa1tevilo. Vsota prvih 5 \xc4\x8dlenov zaporedja je npr. 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31, kar je pra\xc5\xa1tevilo. Vsota 31 pomno\xc5\xbeena s 16 (5-i \xc4\x8dlen zaporedja) je enako 496, ki je popolno \xc5\xa1tevilo._NEWLINE_Trditev 35 v deveti knjigi dokazuje, da, \xc4\x8de se v geometrijski vrsti prvi \xc4\x8dlen od\xc5\xa1teje od drugega in zadnjega \xc4\x8dlena, je prese\xc5\xbeek drugega proti prvem enak prese\xc5\xbeku zadnjega proti predhodnim. To je enaka ugotovitev kot obrazec za geometrijsko vrsto zgoraj. \xc4\x8ce se to upo\xc5\xa1teva na geometrijsko zaporedje 31, 62, 124, 248, 496, (kjer so vsi \xc4\x8dleni pomno\xc5\xbeeni z 31), se vidi, da je 62 minus 31 enako kot 496 minus 31 proti vsoti 31, 62, 124, 248. Zato je vsota \xc5\xa1tevil 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 in 248 enaka 496, in vsa ta \xc5\xa1tevila delijo 496. Naj npr. p deli 496 in ni eno od teh \xc5\xa1tevil. Predpostavi se, da je pq enako 16 \xc2\xb7 31, oziroma 31 je proti q enako kot p proti 16. p tako ne more deliti 16, saj bi bilo eno od \xc5\xa1tevil: 1, 2, 4, 8 ali 16. Zato 31 ne more deliti q. In, ker 31 ne deli q in q meri 496, po osnovnem izreku aritmetike izhaja, da mora q deliti 16 in biti eno od \xc5\xa1tevil: 1, 2, 4, 8 ali 16. Naj je q enak 4, potem mora biti p enak 124, kar je nemogo\xc4\x8de, ker po domnevi p ni eno od \xc5\xa1tevil: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 ali 248.'