b'\n_START_ARTICLE_\nAbstraktni politop\n_START_PARAGRAPH_\nAbstraktni politop je v matematiki struktura, ki se obravnava kot kombinatori\xc4\x8dna oblika obi\xc4\x8dajnega politopa, \xc4\x8de se zanemari mnogo njegovih zna\xc4\x8dilnosti kot so koti, dol\xc5\xbeine robov itd. Ne obstaja evklidski prostor, ki bi jih moral vsebovati._NEWLINE_Izraz politop je posplo\xc5\xa1itev pojmov mnogokotnik in polieder na podro\xc4\x8dje poljubnega \xc5\xa1tevila razse\xc5\xbenosti.\n_START_SECTION_\nObi\xc4\x8dajni in abstraktni politop\n_START_PARAGRAPH_\nV evklidski geometriji je zgornjih \xc5\xa1est \xc5\xa1tirikotnikov popolnoma enakih (glej sliko na desni)._NEWLINE_V teh primerih so povezave med elementi enake ne glede na fizi\xc4\x8dni izgled povezav. Za tak\xc5\xa1ne elemente velja, da so kombinatori\xc4\x8dno ekvivalentni. Ta ekvivalenca je vklju\xc4\x8dena v sam pojem abstraktnega politopa. Zaradi tega so tudi vsi zgornji politopi enaki. Re\xc4\x8de se tudi, da so izomorfni ali\xc2\xa0\xc2\xbbstrukturo ohranjajo\xc4\x8di.\xc2\xab_NEWLINE_Zna\xc4\x8dilnosti, ki so merljive v obi\xc4\x8dajnih politopih, kot so koti, dol\xc5\xbeine robov, po\xc5\xa1evnost in konveksnost nimajo pomena pri abstraktnih politopih. Drugi obi\xc4\x8dajni pojmi se lahko uporabijo, vendar ne vedno na enak na\xc4\x8din. Poskrbeti je treba za to kaj velja za obi\xc4\x8dajne politope, ki niso abstraktni. Zgled: obi\xc4\x8dajni politop je pravilen, \xc4\x8de so vse njegove facete in slike ogli\xc5\xa1\xc4\x8d pravilne, kar za abstraktne politope to ne velja.\n_START_SECTION_\nPolitopi kot poseti\n_START_PARAGRAPH_\nPolitopi imajo razse\xc5\xbenostno hierahijo razen abstraktnih politopov. Tako imajo po vrsti ogli\xc5\xa1\xc4\x8da, robovi in stranske ploskve razse\xc5\xbenosti 0, 1 in 2. Sama kocka pa je trirazse\xc5\xbena._NEWLINE_V abstraktni teoriji pojem ranga nadome\xc5\xa1\xc4\x8da pojem razse\xc5\xbenost. Tako imajo ogli\xc5\xa1\xc4\x8da rang q in robovi rang 1._NEWLINE_Izraz stranska ploskev se uporablja za element poljubnega ranga, za ogli\xc5\xa1\xc4\x8da z rangom 0 ter robov z rangom 1 in ne samo za stranske ploskve z rangom 2. Poljubni element z rangom k se imenuje k-stranska ploskev._NEWLINE_Lahko se definira politope kot mno\xc5\xbeico stranskih ploskev P z relacijo ureditve <, ki zado\xc5\xa1\xc4\x8da dolo\xc4\x8denim dodatnim aksiomom. Mno\xc5\xbeica P se imenuje strogo delno urejena mno\xc5\xbeica ali poset._NEWLINE_Kadar je F < G velja, da je F podstranska ploskev za G ali tudi G ima podstransko ploskev F._NEWLINE_Lahko se re\xc4\x8de, da sta F in G incidentna, \xc4\x8de je F = G ali F < G ali G < F.\n_START_SECTION_\nNajmanj\xc5\xa1a in najve\xc4\x8dja stranska ploskev\n_START_PARAGRAPH_\nPodobno kot sta pojma ni\xc4\x8dle in neskon\xc4\x8dnosti nujna v matematiki, bi bilo koristno tudi, \xc4\x8de bi vsak politop imel najmanj\xc5\xa1o in najve\xc4\x8djo stransko ploskev. Najmanj\xc5\xa1a stranska ploskev bi bila podstranska ploskev vseh drugih stranskih ploskev. Najve\xc4\x8dja stranska ploskev bi bila tista, ki je podstranska vseh ostalih._NEWLINE_V resnici ima politop samo eno stransko ploskev. V tem primeru pa bi bili obe isti._NEWLINE_Najve\xc4\x8dja in najmanj\xc5\xa1a stranska ploskev se imenujeta tudi nelastni stranski ploskvi, vse druge pa se imenujejo lastne._NEWLINE_Najmanj\xc5\xa1a stranska ploskev se imenuje tudi ni\xc4\x8delna stranska ploskev, ker nima ogli\xc5\xa1\xc4\x8d kot podstranskih ploskev.\n_START_SECTION_\nHassejev diagram\n_START_PARAGRAPH_\nManj\xc5\xa1i poseti in politopi se pogosto najla\xc5\xbeje prika\xc5\xbeejo s pomo\xc4\x8djo Hassejevega diagrama. Po dogovoru se stranske ploskve istega ranga prika\xc5\xbeejo na istem navpi\xc4\x8dnem nivoju. Vsaka \xc4\x8drta med stranskimi ploskvami ozna\xc4\x8duje par F, G tako, da je F < G, kjer je F pod G v diagramu._NEWLINE_Politop se pogosto prika\xc5\xbee kot graf, obeh (Hassejevega diagrama in grafa) pa se ne sme ena\xc4\x8diti. Graf ima ogli\xc5\xa1\xc4\x8da in robove, nima pa drugih stranskih ploskev. V splo\xc5\xa1nem imajo lahko razli\xc4\x8dni politopi tudi iste grafe. Za ve\xc4\x8dino politopov za ostale stranske ploskve s pomo\xc4\x8djo sklepanja ni mo\xc5\xbeno dobiti iz grafa._NEWLINE_Razen tega Hassejev diagram popolnoma opisuje katerikoli poset. Vsa struktura je prikazana v Hassejevem diagramu. Izomorfni politopi se prikazujejo s Hassejevimi diagrami in obratno.\n_START_SECTION_\nDaljica\n_START_PARAGRAPH_\nDaljica je poset, ki ima najmanj\xc5\xa1o stransko ploskev oziroma dve 0-stranski ploskvi ter najve\xc4\x8djo stransko ploskev. Zgled: {\xc3\xb8, a, b, ab}. Sledi, da imata ogli\xc5\xa1\xc4\x8di a in b rang 0 in da ima najve\xc4\x8dja stranska ploskev ab (poset) rang enak 1.\n_START_SECTION_\nZastave\n_START_PARAGRAPH_\nZastava je najve\xc4\x8dja veriga stranskih ploskev oziroma polno urejena mno\xc5\xbeica \xce\xa8._NEWLINE_Zgled:{\xc3\xb8, a, ab, abc} je zastava v trikotniku abc._NEWLINE_Dodatno zahtevamo \xc5\xa1e, da za dani politop, vse zastave vsebujejo isto \xc5\xa1tevilo stranskih ploskev. Poseti v splo\xc5\xa1nem ne zado\xc5\xa1\xc4\x8dajo tej zahtevi. Zgled: poset {\xc3\xb8,\xc2\xa0a,\xc2\xa0b,\xc2\xa0bc,\xc2\xa0abc} ima 2 zastavi neenakih velikosti in tako ni politop.\n_START_SECTION_\nSlike ogli\xc5\xa1\xc4\x8d\n_START_PARAGRAPH_\nSlika ogli\xc5\xa1\xc4\x8d v danem ogli\xc5\xa1\xc4\x8du V je (n\xe2\x88\x921)-sekcija F\xe2\x82\x99/V, kjer je F\xe2\x82\x99 najve\xc4\x8dja stranska ploskev._NEWLINE_Zgled: v trikotniku abc je slika ogli\xc5\xa1\xc4\x8d pri b, abc/b je {b, ab, bc, abc}, kar pa je daljica. Slika ogli\xc5\xa1\xc4\x8d kocke so trikotniki.\n_START_SECTION_\nRang < 2\n_START_PARAGRAPH_\nObstaja samo po eden politop za vsak rang -1, 0 in 1. To so po vrsti ni\xc4\x8delni politop, to\xc4\x8dka in daljica._NEWLINE_Za n \xe2\x89\xa4 1 so vsi n-deli politopa n politopi. Stranske ploskve ranga 0 in 1 politopa se imenujejo ogli\xc5\xa1\xc4\x8da in robovi.\n_START_SECTION_\nRang = 2\n_START_PARAGRAPH_\nZa vsak p za katerega velja 3 \xe2\x89\xa4 p <  je abstraktni ekvivalent tradicionalnega mnogokotnika s p ogli\xc5\xa1\xc4\x8di in p robovi ali p-kotnik. Za p = 3, 4, 5,... je po vrsti trikotnik, kvadrat, petkotnik, ..._NEWLINE_Za p = 2 je dvokotnik in za p =  se dobi apeirogon.\n_START_SECTION_\nHozoedri in hozotopi\n_START_PARAGRAPH_\nDvokotnik je posplo\xc5\xa1itev hozoedra in ve\xc4\x8d razse\xc5\xbenih hozotopov, ki jih realiziramo kot sferne poliedre. Vsi teselirajo sfero.\n_START_SECTION_\nProjektivni politopi\n_START_PARAGRAPH_\nZgledi neobi\xc4\x8dajnih abstraktnih poliedrov so polkocka (glej sliko), poloktaeder, poldodekaeder in polikozaeder. To so dvojniki platonskih teles. Lahko se jih realizira kot projektivne poliedre. Vsi teselirajo realno projektivno ravnino._NEWLINE_Polkocka je zgled tega kako se zapis s sliko ogli\xc5\xa1\xc4\x8da ne more uporabiti za definicijo politopa. Vse 2-stranske ploskve in 3-stranske ploskve imajo isto skupino ogli\xc5\xa1\xc4\x8d.\n_START_SECTION_\nDualnost\n_START_PARAGRAPH_\nVsak politop ima tudi svoj dual. Hassejev diagram duala je tisti, ki ima prvotni diagram obrnjen tako, da je zgornji del spodaj. V n-politopu se vsaka prvotna k-stranska ploskev preslika v (n-k-1)-stransko ploskev duala. To pomeni, da se n-stranska ploskev preslika v (-1)-stransko ploskev. Dual duala je izomorfen izvirniku._NEWLINE_Politop sebidualnemu politopu je isti politop. To pomeni, da je izomorfen svojemu dualu. Torej je Hassejev diagram sebidualnemu politopu simetri\xc4\x8den okrog vodoravne osi na polovici med vrhom in dnom. Zgled: kvadratna piramida je sebidualna.'