b'\n_START_ARTICLE_\nDiferencialna ena\xc4\x8dba\n_START_PARAGRAPH_\nDiferenci\xc3\xa1lna en\xc3\xa1\xc4\x8dba je v matematiki ena\xc4\x8dba neznane funkcije ene ali ve\xc4\x8d spremenljivk, ki povezuje njene vrednosti z njenimi prvimi ali vi\xc5\xa1jimi odvodi. Diferencialne ena\xc4\x8dbe so poleg matematike pomembne na razli\xc4\x8dnih podro\xc4\x8djih, na primer v tehniki, fiziki, kemiji, astronomiji, biologiji ali ekonomiji. Pojavljajo se v znanosti in tehnologiji, kadar je znana ali predpostavljena deterministi\xc4\x8dna povezava med nekaterimi zvezno spremenljivimi koli\xc4\x8dinami, opisanimi s funkcijami, in njihovimi hitrostmi sprememb, izra\xc5\xbeenimi z odvodi._NEWLINE_V klasi\xc4\x8dni mehaniki se gibanje telesa \xc4\x8dasovno opi\xc5\xa1e z njegovo lego in hitrostjo. Newtonovi zakoni gibanja omogo\xc4\x8dajo povezavo med lego, hitrostjo, pospe\xc5\xa1kom in razli\xc4\x8dnimi silami, ki delujejo na telo, in izra\xc5\xbeajo to povezavo v obliki diferencialne ena\xc4\x8dbe za neznano lego telesa kot funkcijo \xc4\x8dasa. V mnogo primerih se lahko to diferencialno ena\xc4\x8dbo re\xc5\xa1i eksplicitno, kar vodi do zakona o gibanju._NEWLINE_Zgled modeliranja problema iz stvarnega sveta je dolo\xc4\x8ditev hitrost padanja krogle skozi zrak ob upo\xc5\xa1tevanju gravitacije in zra\xc4\x8dnega upora. Pospe\xc5\xa1ek krogle proti tlem je te\xc5\xbeni pospe\xc5\xa1ek zmanj\xc5\xa1an za pojemanje zaradi zra\xc4\x8dnega upora. Gravitacija je konstantna, zra\xc4\x8dni upor pa je sorazmeren s hitrostjo krogle. To pomeni da je pospe\xc5\xa1ek krogle, ki je odvod njene hitrosti, odvisen od hitrosti. Iskanje hitrosti kot funkcije \xc4\x8dasa zahteva re\xc5\xa1itev diferencialne ena\xc4\x8dbe._NEWLINE_Diferencialne ena\xc4\x8dbe se matemati\xc4\x8dno raziskujejo z ve\xc4\x8d razli\xc4\x8dnih zornih kotov. Pri tem so najbolj pomembne njihove re\xc5\xa1itve, funkcije za katero ena\xc4\x8dbe veljajo. Re\xc5\xa1itve z eksplicitnimi zvezami obstajajo le za najpreprostej\xc5\xa1e diferencialne ena\xc4\x8dbe. Mnogo zna\xc4\x8dilnosti re\xc5\xa1itev dane diferencialne ena\xc4\x8dbe se lahko dolo\xc4\x8di brez da bi se poiskalo njeno to\xc4\x8dno obliko. \xc4\x8ce za re\xc5\xa1itev sklenjena formula ne obstaja, se lahko dobi re\xc5\xa1itev z numeri\xc4\x8dnim pribli\xc5\xbekom s pomo\xc4\x8djo ra\xc4\x8dunalnika. Teorija dinami\xc4\x8dnih sistemov poudarja kakovostno analizo sistemov, ki jih opisujejo diferencialne ena\xc4\x8dbe, razvili pa so mnogo numeri\xc4\x8dnih metod za dolo\xc4\x8devanje re\xc5\xa1itev z dano stopnjo to\xc4\x8dnosti.\n_START_SECTION_\nSmeri raziskovanja\n_START_PARAGRAPH_\nRaziskovanje diferencialnih ena\xc4\x8db je \xc5\xa1iroko podro\xc4\x8dje v \xc4\x8disti in uporabni matematiki, fiziki in tehniki. Vse te discipline se ukvarjajo z zna\xc4\x8dilnostmi razli\xc4\x8dnih diferencialnih ena\xc4\x8db. \xc4\x8cista matematika se osredoto\xc4\x8da na obstoj in edinstvenost re\xc5\xa1itev, uporabna matematika pa poudarja razloge za rabo metod s pribli\xc5\xbenimi re\xc5\xa1itvami. Z diferencialnimi ena\xc4\x8dbami se modelirajo prakti\xc4\x8dno vsi fizikalni, tehni\xc4\x8dni ali biolo\xc5\xa1ki procesi, od gibanj v nebesni mehaniki do konstruiranja mostov ali medsebojnih vplivov med nevroni. Diferencialne ena\xc4\x8dbe, ki se uporabljajo pri re\xc5\xa1evanju problemov iz stvarnega \xc5\xbeivljenja, niso nujno neposredno re\xc5\xa1ljive \xe2\x80\x93 nimajo sklenjenih re\xc5\xa1itev. Namesto sklenjenih se lahko vzamejo pribli\xc5\xbene numeri\xc4\x8dne re\xc5\xa1itve._NEWLINE_Raziskujejo se tudi posplo\xc5\xa1ene re\xc5\xa1itve (na podlagi \xc5\xa1ibkih odvodov), vrsta re\xc5\xa1itev, ki niso nujno povsod odvedljive. Ta raz\xc5\xa1iritev je velikokrat potrebna za obstoj re\xc5\xa1itve in je tudi posledica bolj fizikalno smiselnih zna\xc4\x8dilnosti ali re\xc5\xa1itev, kot na primer mo\xc5\xbena prisotnost udarov za ena\xc4\x8dbe hiperboli\xc4\x8dnega tipa._NEWLINE_Raziskovanje stabilnosti re\xc5\xa1itev diferencialnih ena\xc4\x8dbe obravnava teorija stabilnosti.\n_START_SECTION_\nPovezava z diferen\xc4\x8dnimi ena\xc4\x8dbami\n_START_PARAGRAPH_\nTeorija in praksa diferencialnih ena\xc4\x8db je tesno povezana s teorijo diferen\xc4\x8dnih ena\xc4\x8db, v katerih koordinate zavzemajo samo nezvezne vrednosti in vrednosti neznane funkcije ali funkcij dolo\xc4\x8da iteracijsko na osnovi vrednosti v sosednjih koordinatah. \xc5\xa0tevilne metode za numeri\xc4\x8dno re\xc5\xa1evanje diferencialnih ena\xc4\x8db ali za preverjanje njihovih zna\xc4\x8dilnosti temeljijo na re\xc5\xa1itvah enakovrednih diferen\xc4\x8dnih ena\xc4\x8dbe, ki so temelj vseh ra\xc4\x8dunalni\xc5\xa1ko dobljenih re\xc5\xa1itev.\n_START_SECTION_\nUporabe\n_START_PARAGRAPH_\nVeliko temeljnih zakonov fizike in kemije je mogo\xc4\x8de zapisati v obliki diferencialne ena\xc4\x8dbe. V biologiji in ekonomiji se diferencialne ena\xc4\x8dbe uporabljajo za opisovanje kompleksnih sistemov. Matemati\xc4\x8dno ozadje diferencialnih ena\xc4\x8db se je sprva odkrivalo v okviru ved, ki so njim lastne probleme izrazile definirali v obliki diferencialnih ena\xc4\x8db in kjer so re\xc5\xa1itve na\xc5\xa1le neposredno uporabo. Vendar pa lahko razli\xc4\x8dni problemi, v\xc4\x8dasih s poreklom iz precej razli\xc4\x8dnih znanstvenih podro\xc4\x8dij, pripeljejo do enakovrednih diferencialnih ena\xc4\x8db. V teh primerih je mogo\xc4\x8de matemati\xc4\x8dno teorijo teh ena\xc4\x8db razumeti kot poenotenje na eno in isto na\xc4\x8delo, ki tvori ozadje v\xc4\x8dasih zelo razli\xc4\x8dnim pojavom. Zgledi so \xc5\xa1irjenje svetlobe skozi vakuum, \xc5\xa1irjenje zvoka skozi ozra\xc4\x8dje, in \xc5\xa1irjenje valov na povr\xc5\xa1ini ribnika. Vse tri pojave se lahko opi\xc5\xa1e z valovno ena\xc4\x8dbo (parcialno diferencialno ena\xc4\x8dbo drugega reda), kar omogo\xc4\x8da, da se v svetlobi in zvoku prepozna iste poteze valov, kot so znani od valov na vodni povr\xc5\xa1ini. Teorijo prevajanja toplote, kot jo je razvil Joseph Fourier, sloni na parcialni diferencialni ena\xc4\x8dbi drugega reda, tako imenovani difuzijski ena\xc4\x8dbi. Izkazalo se je, da se \xc5\xa1tevilne difuzijske procese, ki so si na videz zelo razli\xc4\x8dni, lahko opi\xc5\xa1e z eno in isto ena\xc4\x8dbo: Tako je na primer mogo\xc4\x8de ena\xc4\x8dbo Black-Scholesa, ki opisuje \xc4\x8dasovni razvoj tr\xc5\xbene cene delni\xc5\xa1kih opcij, pretvoriti v difuzijsko ena\xc4\x8dbo, oziroma re\xc5\xa1itve difuzijske ena\xc4\x8dbe je mogo\xc4\x8de interpretirati s stali\xc5\xa1\xc4\x8da cen opcij.\n_START_SECTION_\nKlasi\xc4\x8dna mehanika\n_START_PARAGRAPH_\nDokler je sila, ki deluje na delec, znana, Newtonov drugi zakon za opis gibanja delca zadostuje. Ko so enkrat na voljo za vsako silo, ki deluje na delec, na voljo neodvisni opisi, jih je mogo\xc4\x8de nadomestiti v Newtonovem drugem zakonu, pri \xc4\x8demer se problem poenostavi na obi\xc4\x8dajno diferencialno ena\xc4\x8dbo, ki se imenuje ena\xc4\x8dbe gibanja.\n_START_SECTION_\nElektrodinamika\n_START_PARAGRAPH_\nMaxwellove ena\xc4\x8dbe so niz delnih diferencialnih ena\xc4\x8db, ki skupaj z zakonom Lorentzeve sile tvorijo temelj klasi\xc4\x8dne elektrodinamike, klasi\xc4\x8dne optike, in elektri\xc4\x8dnih vezij. Ta podro\xc4\x8dja so po drugi strani temelj sodobnih elektri\xc4\x8dnih in komunikacijskih tehnologij. Maxwellove ena\xc4\x8dbe opisujejo, kako elektri\xc4\x8dna in magnetna polja nastajajo in kako se spreminjajo pod vplivom elektri\xc4\x8dnih nabojev in tokov. James Clerk Maxwell, \xc5\xa1kotski fizik in matematik, katerega ime nosijo, je med 1861 in 1862 objavil zgodnjo obliko teh ena\xc4\x8db.\n_START_SECTION_\nSplo\xc5\xa1na relativnost\n_START_PARAGRAPH_\nEinsteinove ena\xc4\x8dbe polja (EFE, znane tudi skraj\xc5\xa1ano kot \xc2\xbbEinsteinove ena\xc4\x8dbe\xc2\xab) so niz desetih delnih diferencialnih ena\xc4\x8db, v splo\xc5\xa1ni teoriji relativnosti Alberta Einsteina. Opisujejo vpliv te\xc5\xbenosti na opazovani sistem zaradi ukrivljenosti prostor-\xc4\x8dasa, katere vzrok sta snov in energija.\n_START_SECTION_\nKvantna mehanika\n_START_PARAGRAPH_\nV mehaniki kvantnih sistemov (kadar gre za atome, molekule, osnovne delce, proste, vezane ali lokalizirane) velja Schr\xc3\xb6dingerjeva ena\xc4\x8dba. Ne gre ve\xc4\x8d za preprosto algebrsko ena\xc4\x8dbo kot je Newtonov zakon klasi\xc4\x8dne mehanike, temve\xc4\x8d na splo\xc5\xa1no za linearno parcialno diferencialno ena\xc4\x8dbo, ki opisuje, kaj se s \xc4\x8dasom dogaja z valovno funkcijo sistema.\n_START_SECTION_\nEna\xc4\x8dbi roparica-plen\n_START_PARAGRAPH_\nLotka-Volterrovi ena\xc4\x8dbi, znani tudi kot ena\xc4\x8dbi roparica-plen, sta par nelinearnih diferencialne ena\xc4\x8dbe, ki se pogosto uporabljata za opis dinamike biolo\xc5\xa1kih sistemov, z dvema vrstama interakcije, ki opisujeta odnos med predatorjem in njegovo \xc5\xbertvijo, na primer med lisicami na samotnem otoku na eni strani in zajci na drugi strani, pa tudi dogajanja v celi\xc4\x8dni biologiji.\n_START_SECTION_\nKemija\n_START_PARAGRAPH_\nEna\xc4\x8dba za hitrost kemijske reakcije je diferencialna ena\xc4\x8dba, ki povezuje hitrost reakcije s koncentracijami ali tlaki reaktantov in konstantami (obi\xc4\x8dajno so to reakcijski koeficienti in redi delne reakcije). Vrsto ena\xc4\x8dbe za dolo\xc4\x8den sistem se dolo\xc4\x8di tako, da se hitrost reakcije kombinira z masno bilanco sistema.'