b'\n_START_ARTICLE_\nRiemannova domneva\n_START_SECTION_\nPosledice Riemannove domneve\n_START_PARAGRAPH_\nPrakti\xc4\x8dna raba Riemannove domneve vklju\xc4\x8duje ve\xc4\x8d predlogov, ki veljajo, \xc4\x8de je Riemannova domneva pravilna, in tiste, ki naj bi bili njej enakovredni.\n_START_SECTION_\nIzklju\xc4\x8dena tretja mo\xc5\xbenost\n_START_PARAGRAPH_\nNekatere posledice Riemannove domneve so tudi posledice njene negacije, in so zato izreki. V svoji razpravi o izrekih Hecheja, Deuringa, Mordella in Heilbronna Ireland in Rosen pravita:_NEWLINE_\xc2\xbbTukaj je metoda dokaza resni\xc4\x8dno neverjetna. \xc4\x8ce je posplo\xc5\xa1ena Riemannova domneva pravilna, potem je izrek pravilen. \xc4\x8ce je posplo\xc5\xa1ena Riemannova domneva nepravilna, potem je izrek pravilen. Zato je izrek pravilen!!\xc2\xab\xc2\xa0\xc2\xa0 \xc2\xa0 (klicaja sta v izvirniku)_NEWLINE_Treba je biti previden pri razumevanju kaj je mi\xc5\xa1ljeno, da je posplo\xc5\xa1ena Riemannova domneva nepravilna: treba je to\xc4\x8dno navesti kateri razred Dirichletovih vrst ima protiprimer.\n_START_SECTION_\nDirichletova L-vrsta in drugi obsegi\n_START_PARAGRAPH_\nRiemannova domneva se lahko posplo\xc5\xa1i z zamenjavo Riemannove funkcije \xce\xb6 s formalno podobnimi, vendar veliko splo\xc5\xa1nej\xc5\xa1imi globalnimi L-funkcijami. V tem \xc5\xa1ir\xc5\xa1em pogledu se pri\xc4\x8dakuje, da imajo netrivialne ni\xc4\x8dle globalnih L-funkcij realni del enak 1/2. Te domneve namesto klasi\xc4\x8dne Riemannove domneve le za Riemannovo funkcijo \xce\xb6 ka\xc5\xbeejo resni\xc4\x8dno pomembnost Riemannove domneve v matematiki._NEWLINE_Posplo\xc5\xa1ena Riemannova domneva raz\xc5\xa1iri Riemannovo domnevo na vse Dirichletove L-funkcije. Iz nje \xc5\xa1e posebej izhaja, da Sieglove ni\xc4\x8dle (ni\xc4\x8dle L-funkcij med 1/2 in 1) ne obstajajo._NEWLINE_Raz\xc5\xa1irjena Riemannova domenva raz\xc5\xa1iri Riemannovo domnevo za vse Dedekindove funkcije \xce\xb6 obsegov algebrskih \xc5\xa1tevil. Raz\xc5\xa1irjena Riemannova domneva za abelovsko raz\xc5\xa1iritev racionalnih \xc5\xa1tevil je enakovredna posplo\xc5\xa1eni Riemannovi domnevi. Tudi Riemannovo domnevo se lahko raz\xc5\xa1iri na L-funkcije Heckejevih karakterjev obsegov._NEWLINE_Velika Riemannova domneva raz\xc5\xa1iri Riemannovo domnevo na vse avtomorfne funkcije \xce\xb6, kot so Mellinove transformacije Heckejevih lastnih form.\n_START_SECTION_\nAritmeti\xc4\x8dna funkcija \xce\xb6 aritmeti\xc4\x8dnih shem in njihovi L-faktorji\n_START_PARAGRAPH_\nAritmeti\xc4\x8dne funkcije \xce\xb6 posplo\xc5\xa1ijo Riemannovo in Dedekindove funkcije \xce\xb6 kakor tudi funkcije \xce\xb6 varietet \xc4\x8dez kon\xc4\x8dne obsege na vsako aritmeti\xc4\x8dno shemo ali shemo kon\xc4\x8dnega tipa \xc4\x8dez cela \xc5\xa1tevila. Aritmeti\xc4\x8dna funkcija \xce\xb6 regularno povezane enakorazse\xc5\xbene aritmeti\xc4\x8dne sheme s Kroneckerjevo razse\xc5\xbenostjo n se lahko faktorizira v produkt ustrezno definiranih L-faktorjev in pomo\xc5\xbenega faktorja. \xc4\x8ce se privzame funkcijska ena\xc4\x8dba in meromorfno nadaljevanje, posplo\xc5\xa1ena Riemannova domneva za L-faktor pravi, da njegove ni\xc4\x8dle znotraj kriti\xc4\x8dnega traku  le\xc5\xbeijo na osrednji premici. Ustrezno temu posplo\xc5\xa1ena Riemannova domneva za aritmeti\xc4\x8dno funkcijo \xce\xb6 regularno povezane enakorazse\xc5\xbene aritmeti\xc4\x8dne sheme pravi, da njene ni\xc4\x8dle znotraj kriti\xc4\x8dnega traku le\xc5\xbeijo na navpi\xc4\x8dnih premicah  in njeni poli znotraj kriti\xc4\x8dnega traku na navpi\xc4\x8dnih premicah . To je znano za sheme v pozitivni karakteristiki in izhaja iz Deligneovega rezultata,, vendar ostaja popolnoma neznano za ni\xc4\x8delno karakteristiko.\n_START_SECTION_\nIharove funkcije \xce\xb6\n_START_PARAGRAPH_\nIharova funkcija \xce\xb6 kon\xc4\x8dnega grafa je analogon Selbergove funkcije \xce\xb6, ki jo je prvi\xc4\x8d uvedel Ihara v kontekstu diskretnih podgrup p-adi\xc4\x8dne specialne linearne grupe dva krat dva. Regularni kon\xc4\x8dni graf je Ramanud\xc5\xbeanov graf, matemati\xc4\x8dni model u\xc4\x8dinkovitih komunikacijskih mre\xc5\xbe, \xc4\x8de in samo \xc4\x8de za Iharovo funkcijo \xce\xb6 velja analogon Riemannove domneve, kot je pokazal Sunada.\n_START_SECTION_\nMontgomeryjeva domneva o parni korelaciji\n_START_PARAGRAPH_\nMontgomery je leta 1973 predlagal domnevo o parni korelaciji, da je lahko korelacijska funkcija (ustrezno normaliziranih) ni\xc4\x8del funkcije \xce\xb6 enaka kot tiste lastnih vrednosti slu\xc4\x8dajne hermitske matrike. Odlyzko je leta 1987 pokazal, da to podpirajo numeri\xc4\x8dni izra\xc4\x8duni velikega obsega teh korelacijskih funkcij._NEWLINE_Montgomery je (s privzetkom Riemannove domneve) pokazal, da je vsaj 2/3 od vseh ni\xc4\x8del enostavnih. Povezana domneva je, da so vse ni\xc4\x8dle funkcije \xce\xb6 enostavne (oziroma bolj splo\xc5\xa1no nimajo netrivialnih celo\xc5\xa1tevilskih linearnih relacij med svojimi imaginarnimi deli). Dedekindove funkcje \xce\xb6 obsegov algebrskih \xc5\xa1tevil, ki posplo\xc5\xa1ijo Riemannovo funkcijo \xce\xb6, imajo obi\xc4\x8dajno mnogokratne kompleksne ni\xc4\x8dle. To je zato, ker se Dedekindove funkcije \xce\xb6 faktorizirajo kot produkt potenc Artinovih L-funkcij, tako da Artinove L-funkcije v\xc4\x8dasih dajo mnogokratne ni\xc4\x8dle Dedekindovih funkcij \xce\xb6. Drug primer funkcij \xce\xb6 z mnogokratnimi ni\xc4\x8dlami so L-funkcije kak\xc5\xa1nih elipti\xc4\x8dnih krivulj: te imajo lahko mnogokratne ni\xc4\x8dle v realni to\xc4\x8dki svoje kriti\xc4\x8dne premice; Birch-Swinnerton-Dyerjeva domneva predvideva, da je multiplikativnost te ni\xc4\x8dle rang elipti\xc4\x8dne krivulje.\n_START_SECTION_\nDruge funkcije \xce\xb6\n_START_PARAGRAPH_\nObstaja ve\xc4\x8d drugih primerov funkcij \xce\xb6 z analogoni Riemannove domneve, od katerih so nekateri \xc5\xbee dokazani. Gossove funkcije \xce\xb6 funkcijskih obsegov imajo Riemannovo domnevo, ki jo je dokazal Sheats leta 1998. Glavna domneva Ivasavove teorije, ki sta jo dokazala Mazur in Wiles za ciklotomske obsege, in Wiles za totalno realne obsege, istoveti ni\xc4\x8dle p-adi\xc4\x8dne L-funkcije z lastnimi vrednostmi operatorja, zato se jo lahko obravnava kot analogon Hilbert-P\xc3\xb3lyeve domneve za p-adi\xc4\x8dne L-funkcije.\n_START_SECTION_\nPoskusi dokaza Riemannove domneve\n_START_PARAGRAPH_\nVe\xc4\x8d matematikov je re\xc5\xa1evalo Riemannovo domnevo, vendar nobenega njihovega poskusa \xc5\xa1e niso sprejeli za pravilno re\xc5\xa1itev. Watkins navaja nekatere nepravilne re\xc5\xa1itve, ve\xc4\x8d pa jih pogosto najavijo.\n_START_SECTION_\nLee-Yangov izrek\n_START_PARAGRAPH_\nLee-Yangov izrek pravi, da vse ni\xc4\x8dle dolo\xc4\x8denih particijskih funkcij v statisti\xc4\x8dni mehaniki le\xc5\xbeijo na \xc2\xbbkriti\xc4\x8dni premici\xc2\xab\xc2\xa0z realnim delom enakim 0. To je vodilo do razglabljanja o povezavi z Riemannovo domnevo.\n_START_SECTION_\nNekomutativna geometrija\n_START_PARAGRAPH_\nConnes je leta 1999 in 2000 opisal povezavo med Riemannovo domnevo in nekomutativno geometrijo. Pokazal je, da bi iz ustreznega analogona Selbergove sledne formule za akcijo idelske razredne grupe na adelski razredni prostor izhajala Riemannova domneva. Nekaj od teh zamisli iz\xc4\x8drpno navaja Lapidus.\n_START_SECTION_\nHilbertovi prostori celih funkcij\n_START_PARAGRAPH_\nDe Branges je leta 1992 pokazal, da bi Riemannova domneva izhajala iz kriterija pozitivnosti na dolo\xc4\x8denem Hilbertovem prostoru celih funkcij. Vendar sta Conrey in Li leta 2000 pokazala, da potrebni kriteriji pozitivnosti ne veljajo.\n_START_SECTION_\nKvazikristali\n_START_PARAGRAPH_\nIz Riemannove domneve izhaja, da ni\xc4\x8dle funkcije \xce\xb6 tvorijo kvazikristal, kar pomeni porazdelitev nezvezne opore, katere Fourierova transformacija ima tudi nezvezno oporo. Dyson je leta 2009 predlagal poskus dokaza Riemannove domneve s klasifikacijo, oziroma vsaj z raziskovanjem 1-razse\xc5\xbenih kvazikristalov, ki imajo dosti bogatej\xc5\xa1o vsebino od na primer trirazse\xc5\xbenih. Nekateri menijo, da njegova definicija kvazikristalov ni ustrezna.\n_START_SECTION_\nAritmeti\xc4\x8dne funkcije \xce\xb6 modelov elipti\xc4\x8dnih krivulj \xc5\xa1tevilskih obsegov\n_START_PARAGRAPH_\n\xc4\x8ce se prestopi iz geometri\xc4\x8dne razse\xc5\xbenosti 1, na primer obsega algebrskih \xc5\xa1tevil, na geometri\xc4\x8dno razse\xc5\xbenost 2, na primer model elipti\xc4\x8dne krivulje \xc4\x8dez \xc5\xa1tevilski obseg, dvorazse\xc5\xbeni del posplo\xc5\xa1ene Riemannove domneve za aritmeti\xc4\x8dno funkcijo \xce\xb6 modela obravnava pole funkcije \xce\xb6. V razse\xc5\xbenosti 1 raziskovanje integrala \xce\xb6 v tateovi disertaciji ne vodi do novih pomembnih informacij o Riemannovi domnevi. V nasprotju s tem, Fesenkovo delo v razse\xc5\xbenosti 2 o dvorazse\xc5\xbeni posplo\xc5\xa1itvi Tateove disertacije vsebuje integralsko reprezentacijo integrala \xce\xb6, ki je tesno povezan s funkcijo \xce\xb6. V teh novih razmerah, ki v razse\xc5\xbenosti 1 niso mo\xc5\xbene, se lahko poli funkcije \xce\xb6 raziskujejo prek integrala \xce\xb6 in priklju\xc4\x8denih adelskih grup. Sorodna Fesenkova domneva iz leta 2010 o pozitivnosti \xc4\x8detrtega odvoda mejne funkcije povezane z integralom \xce\xb6 bistveno nakazuje polov del posplo\xc5\xa1ene Riemannove domneve. Suzuki  je leta 2011 dokazal, da zadnje skupaj z nekaterimi tehni\xc4\x8dnimi privzetki nakazuje Fesenkovo domnevo.\n_START_SECTION_\nMnogokratne funkcije \xce\xb6\n_START_PARAGRAPH_\nDelignejev dokaz Riemannove domneve \xc4\x8dez kon\xc4\x8dne obsege je uporabil funkcije \xce\xb6 produktov varietet, katerih ni\xc4\x8dle in poli odgovarjajo vsotam ni\xc4\x8del in polov izvirne funkcije \xce\xb6, da bi se omejili realni deli ni\xc4\x8del izvirne funkcije \xce\xb6. Po analogiji je Kurokava leta 1992 uvedel mnogokratne funkcije \xce\xb6, katerih ni\xc4\x8dle in poli odgovarjajo vsotam ni\xc4\x8del in polov Riemannove funkcije \xce\xb6. Da bi vrsta konvergirala, je omejil vsote ni\xc4\x8del ali polov z nenegativnim imaginarnim delom. Do sedaj znane meje ni\xc4\x8del ali polov mnogokratnih funkcij \xce\xb6 niso dovolj mo\xc4\x8dne, da bi dale ocene za ni\xc4\x8dle Riemannove funkcije \xce\xb6.\n_START_SECTION_\nNi\xc4\x8dle na kriti\xc4\x8dni premici\n_START_PARAGRAPH_\nHardy in Littlewood sta leta 1914 in 1921 pokazala, da obstaja neskon\xc4\x8dno mnogo ni\xc4\x8del na kriti\xc4\x8dni premici z upo\xc5\xa1tevanjem momentov dolo\xc4\x8denih funkcij povezanih s funkcijo \xce\xb6. Selberg je leta 1942 dokazal, da vsaj (majhen) pozitiven dele\xc5\xbe ni\xc4\x8del le\xc5\xbei na premici. Levinson je leta 1974 izbolj\xc5\xa1al to na eno tretjino ni\xc4\x8del s povezavo ni\xc4\x8del funkcije \xce\xb6 s tistimi iz odvoda. Conrey je leta 1989 to \xc5\xa1e izbolj\xc5\xa1al na dve petini ni\xc4\x8del._NEWLINE_Ve\xc4\x8dina ni\xc4\x8del le\xc5\xbei blizu kriti\xc4\x8dne premice. Bohr in Landau sta leta 1914 to\xc4\x8dneje pokazala, da za vsak pozitiven \xce\xb5, vse ni\xc4\x8dle, razen neskon\xc4\x8dno majhnega dele\xc5\xbea ni\xc4\x8del, le\xc5\xbei znotraj razdalje \xce\xb5 od kriti\xc4\x8dne premice. Ivi\xc4\x87 je leta 1985 dal ve\xc4\x8d to\xc4\x8dnej\xc5\xa1ih razli\xc4\x8dic tega rezultata, in jih imenoval ocene z ni\xc4\x8delno gostoto. Te omejujejo ni\xc4\x8dle v obmo\xc4\x8djih z imaginarnim delom najve\xc4\x8d T in realnim delom vsaj 1/2\xc2\xa0+\xc2\xa0\xce\xb5.'