b"\n_START_ARTICLE_\nTeorija grup\n_START_PARAGRAPH_\nTeor\xc3\xadja gr\xc3\xbap je matemati\xc4\x8dna disciplina, nastala v 19. stoletju, ki se ukvarja s preu\xc4\x8devanjem simetrije med abstraktnimi strukturami, tako imenovanimi grupami. Teorija grup velja za predhodnico sodobne matematike v tem, da je lo\xc4\x8dila predstavitev pojma (npr. realna \xc5\xa1tevila) od njegove notranje strukture (ra\xc4\x8dunska pravila v grupah). Na primer, grupa, ki nastane iz operacij vrtenja pravilnega n-kotnika v ravnini za kot, ki je mnogokratnik 360\xc2\xb0/2n, zado\xc5\xa1\xc4\x8da istim zakonom, kot se\xc5\xa1tevanje celih \xc5\xa1tevil po modulu n. Nevtralni element - kot ni\xc4\x8dla za se\xc5\xa1tevanje - bi bil v njej ne-obrat ali obrat za kot 0\xc2\xb0.\n_START_SECTION_\nZgodovina\n_START_PARAGRAPH_\nDana\xc5\xa1nja teorija grup zgodovinsko izvira iz treh disciplin: iz teorije algebrskih ena\xc4\x8db, teorije \xc5\xa1tevil in geometrije. Med prvimi so podro\xc4\x8dje teorije grup raziskovali Euler, Gauss, Lagrange, Abel in Galois. Galois velja za prvega matematika, ki je teorijo grup in teorijo obsegov zdru\xc5\xbeil v enotno Galoisovo teorijo._NEWLINE_Zgodnja omemba zamisli se pojavlja pri problemu iskanja ena\xc4\x8dbe m-te stopnje, ki ima za svoje ni\xc4\x8dle m ni\xc4\x8del dane ena\xc4\x8dbe n-te stopnje (). Za preproste primere je problem mo\xc4\x8d slediti do Huddeja (1659). Saunderson (1740) je opazil, da dolo\xc4\x8ditev faktorjev bikvadratnega izraza nujno vodi v ena\xc4\x8dbo \xc5\xa1este stopnje. Zamisel sta nato razdelala \xc5\xa1e Le S\xc5\x93ur (1748) in Waring (1762 do 1782)._NEWLINE_Skupne temelje za teorijo ena\xc4\x8db na podlagi grupe permutacij je postavil Lagrange (1770, 1771), na tem pa je bila zgrajena teorija substitucij. Odkril je, da so ni\xc4\x8dle vseh resolvent (r\xc3\xa9solvantes, r\xc3\xa9duites), ki jih je preu\xc4\x8deval, racionalne funkcije ni\xc4\x8del ustreznih ena\xc4\x8db. Za preu\xc4\x8devanje zna\xc4\x8dilnosti teh funkcij je izna\xc5\xa1el kombinatori\xc4\x8dno \xc5\xa1tetje (Calcul des Combinaisons). Lagrangeev sodobnik Vandermonde je v svojem delu (1770) prav tako nakazal prihajajo\xc4\x8do teorijo._NEWLINE_Ruffini (1799) je sku\xc5\xa1al dokazati, da je nemogo\xc4\x8de re\xc5\xa1iti ena\xc4\x8dbe pete in vi\xc5\xa1jih stopenj. Ruffini je razlikoval med tem, \xc4\x8demur se danes re\xc4\x8de netranzitivne in tranzitivne, ter neprimitivne in primitivne grupe, ter (1801) uporabljal grupo ena\xc4\x8dbe pod imenom\xc2\xa0\xc2\xbbzbirka permutacij\xc2\xab\xc2\xa0(l'assieme della permutazioni). Objavil je tudi pismo, ki mu ga je pisal Abbati Marescotti, v katerem je razvidna zamisel o grupah._NEWLINE_Galois je raziskoval povezavo med ni\xc4\x8dlami ena\xc4\x8db in grupo permutacij, ter prispeval k teoriji kongruenc in elipti\xc4\x8dnih funkcij. Prvi\xc4\x8d je na podro\xc4\x8dju teorije grup objavljal komaj 18-leten (1829), a za te prispevke se matemati\xc4\x8dna srenja ni zmenila do leta 1846, ko je Liouville zbral in Galoiseva dela posmrtno izdal._NEWLINE_Cayley in Cauchy sta se med prvimi zavedla pomembnosti te teorije in prispevala \xc5\xa1tevilne pomembne izreke. Teorijo so raz\xc5\xa1irjali Serret, Camille Jordan in Netto (1882). Ostali matematiki, ki so se v 19. stoletju ukvarjali s teorijo grup, so bili \xc5\xa1e Bertrand, Hermite, Frobenius, Kronecker in Mathieu._NEWLINE_Sodobno definicijo grupe je leta 1882 podal von Dyck._NEWLINE_\xc5\xa0tudij tega, \xc4\x8demur danes re\xc4\x8demo Liejeve grupe in njihove diskretne podgrupe, kot transformacijske grupe, je sistemati\xc4\x8dno za\xc4\x8del Lie leta 1884; pri delu so mu sledili Killing, Study, Schur, Maurer in Cartan. Nezvezno teorijo (diskretnih grup) so zgradili Klein, Lie, Poincar\xc3\xa9, in Picard, posebej glede modularnih form in monodromije._NEWLINE_Druge pomembne matematike na tem podro\xc4\x8dju vklju\xc4\x8dujejo Artina, Emmy Noether, Sylowa, in mnoge druge.\n_START_SECTION_\nHitri pregled rabe\n_START_PARAGRAPH_\nGrupe se uporabljajo v vsej matematiki in znanosti, pogosto zato, da zajamejo notranjo simetrijo drugih struktur, v obliki grupe avtomorfizmov. Notranjo simetrijo strukture navadno povezujemo z neko nespremenljivo zna\xc4\x8dilnostjo; tako nabor transformacij, ki to nespremenljivo zna\xc4\x8dilnost ohranjajo, skupaj z operacijo kompozituma transformacij, tvorita tako imenovano simetrijsko grupo._NEWLINE_V Galoisovi teoriji, ki predstavlja zgodovinski izvor zamisli grupe, grupe uporabljamo za opisovanje simetrij ena\xc4\x8db, ki jim zado\xc5\xa1\xc4\x8dajo re\xc5\xa1itve polinomske ena\xc4\x8dbe. Re\xc5\xa1ljive grupe tako imenujemo zato, ker v tej teoriji igrajo pomembno vlogo._NEWLINE_Abelove grupe le\xc5\xbeijo pod mnogimi drugimi strukturami, ki jih preu\xc4\x8dujemo v abstraktni algebri: kolobarji, obsegi in moduli._NEWLINE_V algebrski topologiji grupe uporabljamo za opisovanje invariant topolo\xc5\xa1kih prostorov (ime torzijska podgrupa neskon\xc4\x8dne grupe ka\xc5\xbee na zapu\xc5\xa1\xc4\x8dino te discipline). Re\xc4\x8de se jim\xc2\xa0\xc2\xbbinvariantni\xc2\xab, ker so definirani na tak na\xc4\x8din, da se ne spreminjajo, \xc4\x8de prostor izpostavimo nekaterim deformacijam. Zgledi vklju\xc4\x8dujejo fundamentalne, homolo\xc5\xa1ke in kohomolo\xc5\xa1ke grupe._NEWLINE_V \xc5\xa1tudiju diferencialnih ena\xc4\x8db in mnogoterosti so pomembna zamisel Liejeve grupe; te kombinirajo analizo in teorijo grup in so zato pravi objekti za opis simetrije analiti\xc4\x8dnih struktur. Analiza na teh in drugih grupah se imenuje harmoni\xc4\x8dna analiza._NEWLINE_V kombinatoriki se za poenostavitev pre\xc5\xa1tevanja mno\xc5\xbeice objektov pogosto uporabljata zamisel permutacijske grupe in delovanja grupe; posebej glej Burnsideova lema._NEWLINE_Razumevanje teorije grup je pomembno tudi v naravoslovju. V kemiji se grupe uporabljajo za razvrstitev kristalnih struktur, pravilnih teles, in simetrije molekul. V fiziki so pomembne, ker opisujejo simetrije, ki jih domnevno upo\xc5\xa1teva fizikalni zakon. Fiziki se \xc5\xa1e posebej zanimajo za upodobitev grup, posebej Liejevih grup, saj te upodobitve pogosto ka\xc5\xbeejo na\xc2\xa0\xc2\xbbmo\xc5\xbene\xc2\xab\xc2\xa0fizikalne teorije. Zgleda sta standardni model in teorija umeritve."