b'\n_START_ARTICLE_\nHiperboli\xc4\x8dna geometrija\n_START_PARAGRAPH_\nHiperboli\xc4\x8dna geometrija ali geometrija Loba\xc4\x8devskega je najbolj znana in zgodovinsko tudi prva odkrita neevklidska geometrija. Odkrila sta jo isto\xc4\x8dasno in neodvisno eden od drugega Nikolaj Ivanovi\xc4\x8d Loba\xc4\x8devski in J\xc3\xa1nos Bolyai. Po odkriteljih jo imenujemo tudi geometrija Bolyai-Loba\xc4\x8devskega.\n_START_SECTION_\nVzporednice\n_START_PARAGRAPH_\nIzka\xc5\xbee se, da skozi to\xc4\x8dko T, ki ne le\xc5\xbei na p, poteka celo neskon\xc4\x8dno mnogo premic, ki ne sekajo premice p in jih zato imenujemo vzporednice. Vzporednice sestavljajo \xc5\xa1op premic, omejen z dvema mejnima premicama. Ti dve mejni premici imenujemo asimptotski vzporednici - vsaka od njiju se namre\xc4\x8d asimptotsko pribli\xc5\xbeuje premici p. Ostale vzporednice imenujemo hipervzporednice (ali tudi ultravzporednice)._NEWLINE_Posebnost vzporednic je tudi lastnost, da razdalja med vzporednicama ni stalno enaka. \xc4\x8ce gre za hipervzporednici, je razdalja med njima na nekem mestu najmanj\xc5\xa1a (tam obstaja edina skupna pravokotnica teh dveh premic), levo in desno od tega mesta pa se hipervzporednici oddaljujeta ena od druge. Pri asimptoti\xc4\x8dnih vzporednicah je mesto najmanj\xc5\xa1e razdalje dose\xc5\xbeeno v neskon\xc4\x8dnosti.\n_START_SECTION_\nPovezava z evklidsko geometrijo\n_START_PARAGRAPH_\nPri majhnih razdaljah se hiperboli\xc4\x8dna geometrija ne razlikuje od evklidske. Razlike pridejo do izraza \xc5\xa1ele pri velikih razdaljah. Mo\xc5\xbeno je, da je geometrija vesolja okoli nas hiperboli\xc4\x8dna, vendar pa tega ne opazimo, ker v zemeljskem merilu nikoli ne sre\xc4\x8damo dovolj velikih razdalj._NEWLINE_\xc4\x8ce bi bilo vesolje hiperboli\xc4\x8dno in bi bila naravna dol\xc5\xbeinska enota velika nekaj metrov (ali tudi do nekaj kilometrov), bi zgoraj opisane lastnosti zlahka opazili oziroma izmerili._NEWLINE_\xc4\x8ce pa je vesolje okoli nas hiperboli\xc4\x8dno in naravna dol\xc5\xbeinska enota meri nekaj milijonov kilometrov (ali celo ve\xc4\x8d svetlobnih let), potem so zgoraj opisani u\xc4\x8dinki v zemeljskem merilu zanemarljivo majhni in jih v praksi ni mogo\xc4\x8de izmeriti.\n_START_SECTION_\nModeli hiperboli\xc4\x8dne geometrije\n_START_PARAGRAPH_\nZaradi la\xc5\xbejega vizuelnega predstavljanja so matematiki izdelali ve\xc4\x8d modelov hiperboli\xc4\x8dne geometrije. Zaradi preprostosti si bomo ogledali nekaj modelov ravninske hiperboli\xc4\x8dne geometrije. Obstajajo tudi ustrezni prostorski modeli, vendar si jih je te\xc5\xbeje predstavljati.\n_START_SECTION_\nPoincar\xc3\xa9jev kro\xc5\xbeni model\n_START_PARAGRAPH_\nTudi v Poincar\xc3\xa9jevem modelu si predstavljamo hiperboli\xc4\x8dno ravnino kot notranjost enotskega kroga v koordinatnem sistemu. Za hiperboli\xc4\x8dne premice vzamemo premere enotskega kroga in kro\xc5\xbene loke, ki so pravokotni na mejno enotsko kro\xc5\xbenico._NEWLINE_Poincar\xc3\xa9jev model prikazuje premice na nekoliko neobi\xc4\x8dajen na\xc4\x8din, vendar pa dosti bolj nazorno predstavlja kote v hiperboli\xc4\x8dni ravnini.\n_START_SECTION_\nPsevdosfera\n_START_PARAGRAPH_\nHiperboli\xc4\x8dno ravnino lahko dobro ponazorimo s psevdosfero. To je ploskev, ki ima konstantno negativno Gau\xc3\x9fovo ukrivljenost \xe2\x88\x921/R\xc2\xb2 (to je neke vrste analogija s sfero z radijem R, ki ima Gau\xc3\x9fovo ukrivljenost +1/R\xc2\xb2). Hiperboli\xc4\x8dne premice v tem modelu ponazorimo z geodetkami na psevdosferi.\n_START_SECTION_\nKrivulje v hiperboli\xc4\x8dni geometriji\n_START_PARAGRAPH_\nV hiperboli\xc4\x8dni ravnini lahko definiramo kro\xc5\xbenico enako kot v evklidski geometriji (mno\xc5\xbeica to\xc4\x8dk, ki so enako oddaljene od sredi\xc5\xa1\xc4\x8da). Obstaja pa \xc5\xa1e nekaj krivulj, ki jih v evklidski geometriji ne poznamo (oz. niso krivulje) in imajo podobno vlogo kot kro\xc5\xbenice.\n_START_SECTION_\nHipercikel\n_START_PARAGRAPH_\nHipercikel je mno\xc5\xbeica ravninskih to\xc4\x8dk, ki so enako oddaljene od dane premice p. V evklidski geometriji je ustrezna mno\xc5\xbeica to\xc4\x8dk sestavljena iz dveh premic, v hiperboli\xc4\x8dni geometriji pa je to krivulja._NEWLINE_Hipercikel je pravokoten na vse premice, ki so pravokotne na p._NEWLINE_Ustrezna posplo\xc5\xa1itev v prostorski geometriji je ploskev, ki se imenuje hipersfera.\n_START_SECTION_\nHorocikel\n_START_PARAGRAPH_\nHorocikel (tudi horicikel) je krivulja, ki je pravokotna na vse asimptotske vzporednice, ki se stekajo proti isti to\xc4\x8dki._NEWLINE_Ustrezna posplo\xc5\xa1itev v prostorski geometriji je ploskev, ki se imenuje horosfera (ali tudi horisfera). Ta ploskev je zanimiva zato, ker je notranja geometrija, ki jo dolo\xc4\x8dajo geodetke, enaka evklidski geometriji - to je model evklidske geometrije v hiperboli\xc4\x8dni gometriji.'