b'\n_START_ARTICLE_\nTeorija mno\xc5\xbeic\n_START_PARAGRAPH_\nTeor\xc3\xadja mn\xc3\xb3\xc5\xbeic je osnovna matemati\xc4\x8dna disciplina, ki definira in preu\xc4\x8duje zna\xc4\x8dilnosti mno\xc5\xbeic in na kateri je zgrajena ve\xc4\x8dina sodobne matematike. \xc5\xa0tevilne matemati\xc4\x8dne discipline, kot so algebra, analiza, teorija mere, stohastika ali topologija, so zgrajene na teoriji mno\xc5\xbeic. Vrh tega je teorija mno\xc5\xbeic bistveno povezana tudi s predikatno logiko.\n_START_SECTION_\nNaivna teorija mno\xc5\xbeic\n_START_PARAGRAPH_\nZa utemeljitelja teorije mno\xc5\xbeic velja Georg Ferdinand Cantor. Po njegovi definiciji iz leta 1877 je mno\xc5\xbeica\xc2\xa0\xc2\xbbzdru\xc5\xbeitev dolo\xc4\x8denih, po videzu ali razmisleku dobro razlo\xc4\x8dljivih, objektov ki jim pravimo elementi mno\xc5\xbeice v eno celoto\xc2\xab. Teorijo mno\xc5\xbeic na podlagi te definicije so pozneje ozna\xc4\x8dili za naivno, saj vodi v protislovja; \xc5\xa1e posebej tam, kjer so uvedli mno\xc5\xbeice, ki bi kot element morale vsebovati same sebe. Najbolj znan je Russllova antinomija.\n_START_SECTION_\nTeorija tipov\n_START_PARAGRAPH_\nV izogib tem protislovjem je Russell sam predlagal postopno izgradnjo teorije mno\xc5\xbeic, in v ta namen leta 1903 skupaj z Whiteheadom razvil teorijo tipov. Po njej mora imeti mno\xc5\xbeica vedno vi\xc5\xa1ji tip kot njeni elementi. Izjav, kot je\xc2\xa0\xc2\xbbta mno\xc5\xbeica vsebuje sebe kot element\xc2\xab, se v tej teoriji sploh ne da izraziti._NEWLINE_Teorija tipov je bila pozneje nadgrajena v aksiomati\xc4\x8dno teorijo mno\xc5\xbeic. Za to teorijo se da dokazati, da je neprotislovna, a \xc5\xbeal njen jezikovni besednjak ni dovolj mo\xc4\x8dan, da bi z njim lahko zgradili vso matematiko.\n_START_SECTION_\nPosledice za matematiko kot znanost (Bourbaki)\n_START_PARAGRAPH_\nCantorjeva zasnova za matematike poznega 19. stoletja nikakor ni bila videti revolucionarna. Ogla\xc5\xa1anje logike kot matemati\xc4\x8dne discipline je bilo slabo. Posplo\xc5\xa1evanje na tej ravni se je zdelo odve\xc4\x8dno in, ko so se pri tem \xc5\xa1e pojavljale antinomije, te\xc4\x8dno. Poincar\xc3\xa9 se je posmehoval:\xc2\xa0\xc2\xbbLogika ni ni\xc4\x8d ve\xc4\x8d sterilna - zdaj je pri\xc4\x8da protislovjem.\xc2\xab_NEWLINE_V prvi tretjini 20. stoletja se je, najprej prete\xc5\xbeno med mladimi matematiki, splo\xc5\xa1no uveljavilo mnenje, da je teorija mno\xc5\xbeic klju\xc4\x8dno pomemben temelj za strukturiranje matematike. Presenetljivo je ta revalvacija potekala vzporedno s spoznanjem, da so obstoje\xc4\x8di problemi temeljne narave in na\xc4\x8delno neodlo\xc4\x8dljivi (glej G\xc3\xb6dlova izreka o neodlo\xc4\x8dljivosti). Kar se je strokovnjakom zdela kriza temeljev matematike, je komaj zadevalo ve\xc4\x8dino matemati\xc4\x8dnega dela._NEWLINE_Za to zavedanje so zna\xc4\x8dilni napori skupine matematikov pod skupnim psevdonimom Nicolas Bourbaki, ki so \xc5\xbeeleli vso matematiko utemeljiti na novih temeljih teorije mno\xc5\xbeic._NEWLINE_Odlo\xc4\x8ditev med mo\xc5\xbenimi temelji je bila sprejeta pragmati\xc4\x8dno: Zermelov sistem aksiomov brez tipov je bil takrat videti la\xc5\xbeji za uporabo kot Russllova teorija tipov. Danes je popolnoma sprejet kot temelj matematike.\n_START_SECTION_\nTeorija mno\xc5\xbeic in ra\xc4\x8dunalni\xc5\xa1tvo\n_START_PARAGRAPH_\nPodlaga za ra\xc4\x8dunalni\xc5\xa1tvo ne le\xc5\xbei v sami teoriji mno\xc5\xbeic ZFC, saj je ta tako zelo nekonstruktivna, da jo je komaj mo\xc4\x8d zajeti v pojmu algoritma. Zato so od 1970. let razvili konstruktivisti\xc4\x8dno ra\xc4\x8dunanje, ki vsebuje pojme klasifikacije podatkovnih tipov, itd. Uveljavilo se je prepri\xc4\x8danje, da so te teorije po univerzalnosti in obsegu uporabe enako primerne kot teorija mno\xc5\xbeic.'