b'\n_START_ARTICLE_\nElipti\xc4\x8dna krivulja\n_START_SECTION_\nZakon grupe\n_START_PARAGRAPH_\nZ dodajanjem to\xc4\x8dke v neskon\xc4\x8dnosti se dobi projektivna razli\xc4\x8dica krivulje. \xc4\x8ce sta  in  na krivulji, potem se lahko enoli\xc4\x8dno dolo\xc4\x8di tretjo to\xc4\x8dko, ki je na preseku krivulje s premico skozi  in . Kadar je premica tangenta na krivuljo v tej to\xc4\x8dki, takrat se to to\xc4\x8dko \xc5\xa1teje dvakrat. Kadar pa je premica vzporedna z y-osjo, se vzame kot da je to\xc4\x8dka v neskon\xc4\x8dnosti. Eden izmed teh pogojev velja za poljubni par to\xc4\x8dk na elipti\xc4\x8dni krivulji._NEWLINE_Lahko se uvede grupno operacijo, ki se jo ozna\xc4\x8di s "+", z naslednjimi zna\xc4\x8dilnostmi: naj bo to\xc4\x8dka v neskon\xc4\x8dnosti, ki se jo ozna\xc4\x8di z 0, to pa je nevtralni element grupe. \xc4\x8ce premica seka krivuljo v to\xc4\x8dkah ,  in  se zahteva, da je  v grupi. Da se prepri\xc4\x8dati, da pri tem krivulja postane Abelova grupa in tudi Abelova varieteta. Lahko se tudi doka\xc5\xbee, da mno\xc5\xbeica K-racionalnih to\xc4\x8dk tvori podgrupo te grupe. \xc4\x8ce se krivuljo ozna\xc4\x8di z , potem se podgrupo ozna\xc4\x8di z .\n_START_SECTION_\nElipti\xc4\x8dne krivulje nad racionalnimi \xc5\xa1tevili\n_START_PARAGRAPH_\nElipti\xc4\x8dna krivulja  nad obsegom racionalnih \xc5\xa1tevil je definirana tudi nad obsegom realnih \xc5\xa1tevil. Zaradi tega se lahko zakon se\xc5\xa1tevanja za tangento in sekanto uporabi tudi za krivuljo . Obrazci ka\xc5\xbeejo, da ima vsota dveh to\xc4\x8dk z racionalnimi koordinatami spet racionalne koordinate. Na ta na\xc4\x8din se lahko poka\xc5\xbee, da mno\xc5\xbeica racionalnih \xc5\xa1tevil krivulje  tvori podgrupo grup realnih to\xc4\x8dk krivulje .'