b'\n_START_ARTICLE_\nTo\xc4\x8dkovna grupa\n_START_PARAGRAPH_\nTo\xc4\x8dkovna grupa je v geometriji skupina geometrijskih simetrij (izometrij), v katerih ostane to\xc4\x8dka negibna.\n_START_SECTION_\nSplo\xc5\xa1no\n_START_PARAGRAPH_\nTo\xc4\x8dkovne grupe lahko obstajajo v evklidskem prostoru katere koli razse\xc5\xbenosti. Diskretne dvorazse\xc5\xbene to\xc4\x8dkovne grupe ali rozetne grupe se uporabljajo za opis simetrij ornamenta. Trirazse\xc5\xbene to\xc4\x8dkovne grupe se na \xc5\xa1iroko uporabljajo v kemiji, predvsem za opis simetrij molekule in molekularnih orbital, ki tvorijo kovalentne vezi. To\xc4\x8dkovne grupe se v tej zvezi imenujejo tudi molekularne to\xc4\x8dkovne grupe._NEWLINE_\xc5\xa0tevilo diskretnih to\xc4\x8dkovnih grup v vsakem \xc5\xa1tevilu razse\xc5\xbenosti je neskon\xc4\x8dno, kristalografski restrikcijski izrek pa dokazuje, da je s translacijsko simetrijo zdru\xc5\xbeljivo samo kon\xc4\x8dno \xc5\xa1tevilo to\xc4\x8dkovnih grup. V eni razse\xc5\xbenosti je njihovo \xc5\xa1tevilo enako 2, v dveh razse\xc5\xbenostih 10 in v treh razse\xc5\xbenostih 32. Trirazse\xc5\xbene to\xc4\x8dkovne grupe se imenujejo tudi kristalografske to\xc4\x8dkovne grupe.\n_START_SECTION_\nDvorazse\xc5\xbene to\xc4\x8dkovne grupe\n_START_PARAGRAPH_\nDvorazse\xc5\xbene to\xc4\x8dkovne grupe so razdeljene v dve skupini glede na to, ali so sestavljene samo iz rotacij ali pa je vanje vklju\xc4\x8deno tudi zrcaljenje. Cikli\xc4\x8dne grupe C\xe2\x82\x99 (abstraktne grupe tipa Z\xe2\x82\x99) so sestavljene iz rotacij s korakom 360\xc2\xba/n in vseh celo\xc5\xa1tevil\xc4\x8dnih mnogokratnikov. \xc5\xa0tirino\xc5\xbeni stol na primer ima simetrijsko grupo C\xe2\x82\x84, ki je sestavljena iz \xc5\xa1tirih rotacij za 0\xc2\xba, 90\xc2\xba, 180\xc2\xba in 270\xc2\xba. Simetrijska grupa kvadrata spada v dru\xc5\xbeino diedrskih grup D\xe2\x82\x99 (abstraktna grupa tipa Dih\xe2\x82\x99), v kateri je enako \xc5\xa1tevilo zrcaljenj in rotacij. Neskon\xc4\x8dna rotacijska simetrija kroga vsebuje tudi zrcalno simetrijo, vendar je kro\xc5\xbena grupa S\xe2\x82\x81 formalno lo\xc4\x8dena od grupe Dih(S\xe2\x82\x81), ker slednja eksplicitno vklju\xc4\x8duje zrcaljenje._NEWLINE_Neskon\xc4\x8dne grupe niso nujno tudi zvezne. Tak\xc5\xa1en je primer grupa vseh celo\xc5\xa1tevil\xc4\x8dnih mnogokratnikov rotacije s korakom 360\xc2\xb0/\xe2\x88\x9a2, ki ne vklju\xc4\x8duje rotacije za 180\xc2\xb0. Homogenost do poljubno majhnega nivoja podrobnosti v pre\xc4\x8dni smeri se lahko odvisno od aplikacije obravnava kot popolna homogenost v tej smeri in se v primeru teh simetrijskih grup lahko zanemari._NEWLINE_C\xe2\x82\x99 in D\xe2\x82\x99 za n = 1, 2, 3, 4, in 6 se lahko kombinirata s translacijsko simetrijo, v\xc4\x8dasih tudi ve\xc4\x8d kot v eni smeri, tako da se \xc5\xa1tevilo dvorazse\xc5\xbenih grup pove\xc4\x8da z 10 na 17.\n_START_SECTION_\nZaklju\xc4\x8dek\n_START_PARAGRAPH_\nV vsaki razse\xc5\xbenosti d je zvezna grupa vseh mo\xc5\xbenih negibnih to\xc4\x8dk izometrij ortogonalna grupa, ozna\xc4\x8dena z O(d). Vsaka njena zvezna podgrupa vseh mo\xc5\xbenih rotacij je posebna ortogonalna grupa, ozna\xc4\x8dena z SO(d). Oznake se ne ujemajo s Sch\xc3\xb6nfliesovim zapisom, ampak so dogovorjene oznake iz teorije Liejevih grup.'