b"\n_START_ARTICLE_\nDiferencialna topologija\n_START_PARAGRAPH_\nDiferenci\xc3\xa1lna topolog\xc3\xadja je matemati\xc4\x8dna disciplina, ki obravnava diferenciabilne funkcije (preslikave) in diferenciabilne mnogoterosti. Je tesno povezana s sorodnim podro\xc4\x8djem, diferencialno geometrijo, skupaj pa predstavljata geometrijsko teorijo diferenciabilnih mnogoterosti. Diferencialna topologija raziskuje (globalne) geometrijske invariante brez metri\xc4\x8dnih ali simplekti\xc4\x8dnih form. _NEWLINE_Mnogoterost je topolo\xc5\xa1ki prostor, ki krajevno izgleda kot n-razse\xc5\xbeni kartezi\xc4\x8dni prostor . Sestavljen je iz kosov , zlepljenih med seboj s homeomorfizmi. \xc4\x8ce so ti homeomorfizmi diferenciabilni, dobimo diferenciabilno mnogoterost.\n_START_SECTION_\nOpis in pregled\n_START_PARAGRAPH_\nDiferencialna topologija obravnava zna\xc4\x8dilnosti in strukture, ki za opredelitev zahtevajo le gladko strukturo na mnogoterosti. Gladke mnogoterosti so 'mehkej\xc5\xa1e' od mnogoterosti z dodatnimi geometrijskimi strukturami, katere so lahko ovire za dolo\xc4\x8dene vrste ekvivalenc in deformacij, ki obstajajo v diferencialni topologiji. Prostornina in riemannovska ukrivljenost sta na primer invarianti s katerima se lahko razlo\xc4\x8duje razli\xc4\x8dne geometrijske strukture na isti gladki mnogoterosti, oziroma dolo\xc4\x8dene mnogoterosti je mo\xc4\x8d gladko \xc2\xbbporavnati\xc2\xab, kar pa mogo\xc4\x8de zahteva popa\xc4\x8denje prostora in vpliv na ukrivljenost ali prostornino._NEWLINE_Gladke mnogoterosti so na drugi strani bolj toge od topolo\xc5\xa1kih. Milnor je leta 1956 odkril, da imajo nekatere sfere ve\xc4\x8d kot eno gladko strukturo (glej eksoti\xc4\x8dna sfera in Donaldsonov izrek). Tedaj je osupnil topologe s konstrukcijo eksoti\xc4\x8dne diferenciabilne strukture na 7-sferi, ki je gladka mnogoterost, homeomorfna, vendar ne difeomorfna . Kervaire je obravnaval topolo\xc5\xa1ke mnogoterosti brez kakr\xc5\xa1nekoli gladke strukture. Nekatere konstrukcije teorije gladkih mnogoterosti, kot je npr. obstoj tangentnih sve\xc5\xbenjev, se lahko izvedejo v topolo\xc5\xa1kem smislu, nekatere pa ne._NEWLINE_Eden od glavnih predmetov v diferencialni topologiji je raziskovanje posebnih vrst gladkih preslikav med mnogoterostmi, potopitve (imerzije) in submerzije, ter preseki podmnogoterosti prek transverzalnosti. \xc5\xa0e splo\xc5\xa1neje se raziskujejo zna\xc4\x8dilnosti in invariante gladkih mnogoterosti, ki jih prena\xc5\xa1ajo difeomorfizmi, \xc5\xa1e ena posebna vrsta gladkih preslikav. Morseova teorija je samostojna veja diferencialne topologije, kjer se topolo\xc5\xa1ke informacije o mnogoterosti izvajajo iz sprememb v rangu jacobiana funkcije.\n_START_SECTION_\nRazvoj\n_START_PARAGRAPH_\nMed intuitivne predhodnike in za\xc4\x8detnike diferencialne topologije sodijo Betti, Riemann, Klein, Poincar\xc3\xa9 in von Dyck. Kot samostojno podro\xc4\x8dje se je diferencialna topologija za\xc4\x8dela po\xc4\x8dasi razvijati v za\xc4\x8detku 20. stoletja, intenzivneje pa v 1950-tih z deli Hurewicza, Whiteheada, Pontrjagina, Foxa, Whitneyja, Thoma, Kervairea, Smalea, Milnorja, Hirscha, Novikova, Thurstona, Donaldsona in drugih. V zadnjem obdobju se je pokazala globlja povezava med diferencialno topologijo in fiziko (teorija strun), kjer je med drugim gonilna sila Witten. Thom, Milnor, Smale, Novikov, Thurston in Witten so prejemniki Fieldsove medalje, Milnor pa tudi Abelove nagrade. Med pomembne slovenske raziskovalce na podro\xc4\x8dju diferencialne topologije sodijo: Lukman, Mr\xc4\x8dun, Pave\xc5\xa1i\xc4\x87, Vrabec.\n_START_SECTION_\nDiferencialna topologija in diferencialna geometrija\n_START_PARAGRAPH_\nDiferencialno topologijo in diferencialno geometrijo opredeljuje njuna podobnost. Obe prvenstveno raziskujeta zna\xc4\x8dilnosti diferenciabilnih mnogoterosti, v\xc4\x8dasih z razli\xc4\x8dnimi strukturami._NEWLINE_Ena od glavnih razlik le\xc5\xbei v naravi problemov, ki jih posamezna disciplina \xc5\xbeeli obravnavati. Po enem pogledu se diferencialna topologija razlikuje od diferencialne geometrije po raziskovanju ve\xc4\x8dino tistih problemov, ki so po bistvu globalni. Iz zornega kota diferencialne topologije sta na primer svitkasti krof in kavna skodelica v nekem smislu enaka. To je po bistvu globalni pogled, po katerem z opazovanjem samo drobcenega (krajevnega) kosa enega ali drugega objekta ni mo\xc4\x8d razlo\xc4\x8diti ali sta ta dva objekta enaka v tem smislu. Zato je treba opazovati celotni (globalni) objekt._NEWLINE_Iz zornega kota diferencialne geometrije sta krof in kavna skodelica razli\xc4\x8dna, ker ni mo\xc4\x8d zavrteti kavno skodelico tako, da se njena postavitev ujame s krofovo. To je tudi globalni na\xc4\x8din obravnavanja problema. Pomembna razlika pa je, da geometrija za odlo\xc4\x8ditev oblike objekta ne potrebuje celotnega objekta. Z opazovanjem le drobnega dela ro\xc4\x8daja skodelice se lahko odlo\xc4\x8di da se kavna skodelica razlikuje od krofa, ker je ro\xc4\x8daj tanj\xc5\xa1i (oziroma bolj ukrivljen) kot katerikoli del krofa._NEWLINE_Diferencialna topologija, re\xc4\x8deno zgo\xc5\xa1\xc4\x8deno, raziskuje strukture na mnogoterostih, ki v nekem smislu nimajo zanimive krajevne strukture. Diferencialna geometrija pa raziskuje strukture na mnogoterostih, ki imajo zanimivo (ali v\xc4\x8dasih celo infinitezimalno) strukturo._NEWLINE_Bolj matemati\xc4\x8dno gledano je problem konstruiranja difeomorfizma med dvema mnogoterostima enakih razse\xc5\xbenosti inherentno globalen, ker sta krajevno dve tak\xc5\xa1ni mnogoterosti vedno difeomorfni. Enako je problem ra\xc4\x8dunanja koli\xc4\x8dine na mnogoterosti, ki je invarianta pod diferenciabilno preslikavo, inherentno globalen, ker bo vsaka krajevna invarianta trivialna v smislu, da je \xc5\xbee izkazana v topologiji . \xc5\xa0e ve\xc4\x8d, diferencialna topologija se ne omejuje nujno na raziskovanje difeomorfizma. Simplekti\xc4\x8dna topologija, poddisciplina diferencialne topologije, raziskuje globalne zna\xc4\x8dilnosti simplekti\xc4\x8dnih mnogoterosti. Diferencialna geometrija raziskuje probleme, ki so lahko krajevni ali globalni, in imajo vedno kak\xc5\xa1ne netrivialne krajevne zna\xc4\x8dilnosti. Zaradi tega lahko diferencialna geometrija raziskuje diferenciabilne mnogoterosti, opremljenimi s povezanostjo, metriko, (ki je lahko riemannovska, psevdoriemannovska ali Finslerjeva), posebno vrsto porazdelitve (kot je npr. struktura CR) in podobno._NEWLINE_To razlikovanje med diferencialno geometrijo in diferencialno topologijo je vseeno zamegljeno pri vpra\xc5\xa1anjih, ki se posebej nana\xc5\xa1ajo na invariante krajevnega difeomorfizma, kot je npr. tangentni prostor v to\xc4\x8dki. Diferencialna topologija se ukvarja tudi s tak\xc5\xa1nimi vpra\xc5\xa1anji, ki se posebej nana\xc5\xa1ajo na zna\xc4\x8dilnosti diferenciabilnih preslikav na , na primer tangentni sve\xc5\xbeenj, tokovni sve\xc5\xbenji, Whitneyjev izrek o raz\xc5\xa1iritvi itd._NEWLINE_Kljub temu pa razlikovanje postane jasnej\xc5\xa1e v abstraktnem okolju. Diferencialna topologija je raziskovanje (infinitezimalnih, krajevnih in globalnih) zna\xc4\x8dilnosti struktur na mnogoterostih, ki so brez netrivialnih krajevnih modulov, diferencialna geometrija pa je raziskovanje (infinitezimalnih, krajevnih in globalnih) zna\xc4\x8dilnosti struktur na mnogoterostih, ki imajo netrivialne krajevne module."