b'\n_START_ARTICLE_\nLagrangeeva to\xc4\x8dka\n_START_PARAGRAPH_\nLagrangeeve t\xc3\xb3\xc4\x8dke [lagr\xc3\xa1n\xc5\xbeeve ~] (tudi L-to\xc4\x8dke ali libracijske to\xc4\x8dke) v nebesni mehaniki predstavljajo pet leg v medplanetarnem prostoru, v katerih lahko re\xc4\x8demo, da manj\xc5\xa1e telo, na katerega vpliva le gravitacija, teoreti\xc4\x8dno miruje glede na dve ve\xc4\x8dji telesi, kot na primer satelit glede na Zemljo in Luno. To\xc4\x8dke ustrezajo geosinhronem tiru v smislu, da omogo\xc4\x8dajo telesu obstati v\xc2\xa0\xc2\xbbnepomi\xc4\x8dni\xc2\xab\xc2\xa0legi v prostoru, ne da bi pri tem kro\xc5\xbeilo, kjer se njegova lega neprestano spreminja.\n_START_SECTION_\nOdkritje Lagrangeevih to\xc4\x8dk\n_START_PARAGRAPH_\nLagrangeeve to\xc4\x8dke so tehni\xc4\x8dno gledano stacionarne re\xc5\xa1itve problema treh teles. Imenujejo se po Josephu-Louisu de Lagrangeu, ki je leta 1772 raziskal problem treh teles. Za dve telesi, ki kro\xc5\xbeita okrog svojega masnega sredi\xc5\xa1\xc4\x8da, obstaja pet leg v prostoru, kamor je mo\xc4\x8d postaviti tretje telo s primerno zanemarljivo maso, tako da bo ohranjalo svojo lego relativno glede na telesi. V opazovalnem sistemu, ki kro\xc5\xbei z enako periodo kot telesi, bosta gravitacijski polji masivnih teles skupaj s centrifugalno silo v ravnovesju v Lagrangeevih to\xc4\x8dkah, kar omogo\xc4\x8da, da tretje telo zaradi ni\xc4\x8dnega pospe\xc5\xa1ka miruje relativno glede na drugi dve telesi._NEWLINE_Lagrange je najprej hotel najti na\xc4\x8din za la\xc5\xbeje izra\xc4\x8dunavanje gravitacijskih vplivov med poljubnim \xc5\xa1tevilom teles v sistemu, saj iz klasi\xc4\x8dne mehanike izhaja, da v tak\xc5\xa1nem sistemu telesa kro\xc5\xbeijo kaoti\xc4\x8dno vse dokler ne pride do trka ali pa je telo izvr\xc5\xbeeno iz sistema, tako da lahko pride do ravnovesja. Sistem z enim telesom je trivialen, saj je komaj stati\xc4\x8den relativno nase. Sistem dveh teles je preprosto re\xc5\xa1iti, saj telesi kro\xc5\xbeita okrog skupnega gravitacijskega sredi\xc5\xa1\xc4\x8da. \xc4\x8cim pa dodamo \xc5\xa1e eno telo, postanejo matemati\xc4\x8dni ra\xc4\x8duni zelo zapleteni. Razmere se \xc5\xa1e poslab\xc5\xa1ajo, \xc4\x8de \xc5\xbeelimo izra\xc4\x8dunati vsak gravitacijski vpliv med dvema telesoma v vsaki to\xc4\x8dki vzdol\xc5\xbe njegove poti._NEWLINE_Lagrange je hotel najti preprostej\xc5\xa1o re\xc5\xa1itev. Zaklju\xc4\x8dil je s preprostim privzetkom:\xc2\xa0\xc2\xbbPot telesa je dolo\xc4\x8dena s potjo, kjer je akcija vseskozi najmanj\xc5\xa1a\xc2\xab\xc2\xa0(na\xc4\x8delo najmanj\xc5\xa1e akcije). Pri tem je treba potencialno energijo od\xc5\xa1teti od kineti\xc4\x8dne. Na ta na\xc4\x8din je Lagrange na novo opredelil klasi\xc4\x8dno Newtonovo mehaniko z Lagrangeevo mehaniko. Z novim na\xc4\x8dinom je predpostavil, kako bo tretje telo z zanemarljivo maso kro\xc5\xbeilo okrog drugih dveh teles, ki sta \xc5\xbee kro\xc5\xbeili okrog skupnega sredi\xc5\xa1\xc4\x8da. V posebnih nepomi\xc4\x8dnih to\xc4\x8dkah se telo relativno na drugi dve telesi ne giblje._NEWLINE_V splo\xc5\xa1nej\xc5\xa1em primeru elipti\xc4\x8dnih tirov v istem smislu ni nepomi\xc4\x8dnih to\xc4\x8dk, saj so bolj podobne Lagrangeevi\xc2\xa0\xc2\xbbpovr\xc5\xa1ini\xc2\xab. Lagrangeeve to\xc4\x8dke dolo\xc4\x8dene \xc4\x8dasovno v vsaki to\xc4\x8dki v kro\xc5\xbenem primeru tvorijo nepomi\xc4\x8dne elipti\xc4\x8dne tire, ki so podobni tirom masivnih teles. To je posledica 2. Newtonovega zakona (), kjer je G = m v (G gibalna koli\xc4\x8dina, m masa in v hitrost) invarianta, \xc4\x8de sta sila in lega pove\xc4\x8dana za isti faktor. Telo v Lagrangeevi to\xc4\x8dki kro\xc5\xbei z isto periodo kot drugi dve masivnej\xc5\xa1i telesi v kro\xc5\xbenem primeru, kar pomeni, da je razmerje gravitacijske sile na radialno razdaljo enako kot za drugi dve telesi. To dejstvo je neodvisno od kro\xc5\xbenosti tirov in pomeni, da so elipti\xc4\x8dni tiri, v katerih so Lagrangeeve to\xc4\x8dke, re\xc5\xa1itve ena\xc4\x8dbe gibanja tretjega telesa._NEWLINE_V \xc4\x8dasu Lagrangeevega odkritja tak\xc5\xa1ne gravitacijsko stabilne razporeditve niso poznali. Max Wolf je leta 1906 odkril 588. asteroid Ahil, ki je bil prvi predstavnik Jupitrove Trojanske skupine asteroidov. Wolf je odkril \xc5\xa1e druga dva Trojanca, Nestorja leta 1908 in Priama leta 1917.\n_START_SECTION_\nStabilnost\n_START_PARAGRAPH_\nPrve tri Lagrangeeve to\xc4\x8dke so tehni\xc4\x8dno stabilne le v ravnini pravokotni na premico med dvema telesoma. To se najlep\xc5\xa1e vidi pri opazovanju to\xc4\x8dke L\xe2\x82\x81. Telo, ki je odmaknjeno pravokotno od sredi\xc5\xa1\xc4\x8dne premice bo \xc4\x8dutilo silo, ki ga bo vlekla proti to\xc4\x8dki ravnovesja. To je zaradi tega, ker bosta stranski komponenti te\xc5\xbenosti obeh mas povzro\xc4\x8dili to silo, komponenti vzdol\xc5\xbe osi pa jo bosta uravnove\xc5\xa1ali. \xc4\x8ce pa se telo, ki le\xc5\xbei v to\xc4\x8dki L\xe2\x82\x81, premakne bli\xc5\xbeje eni od mas, bo gravitacijski plivlak nanj ve\xc4\x8dji, in ga bo potisnilo bli\xc5\xbeje. Podobno je pri plimskih silah._NEWLINE_\xc4\x8ceprav so L\xe2\x82\x81, L\xe2\x82\x82 in L\xe2\x82\x83 neznatno nestabilne, se poka\xc5\xbee, da je mo\xc4\x8d najti periodi\xc4\x8dne tire okrog teh to\xc4\x8dk, vsaj v omejenem problemu treh teles. Ti popolnoma periodi\xc4\x8dni tiri, znani kot\xc2\xa0\xc2\xbbhalo\xc2\xab\xc2\xa0tiri, ne obstajajo v polnem dinami\xc4\x8dnem sistemu n-teles kot je Oson\xc4\x8dje. Kvaziperiodi\xc4\x8dni (omejeni, vendar ne natan\xc4\x8dno ponavljajo\xc4\x8di) Lissajousevi tiri obstajajo v splo\xc5\xa1nem sistemu n-teles. Te kvaziperiodi\xc4\x8dne tire so uporabile vse dosedanje vesoljske odprave libracijskih to\xc4\x8dk. \xc4\x8ceprav niso popolnoma stabilne, jih je mo\xc4\x8d z dokaj zmernim trudom ohranjati, tako da lahko vesoljsko plovilo dovolj dolgo ostane v \xc5\xbeelenem Lissajousevem tiru. Vsaj za odprave v to\xc4\x8dki L\xe2\x82\x81 sistema Sonce-Zemlja je dejansko za\xc5\xbeeleno, da ima Lissajousev tir plovila ve\xc4\x8djo amplitudo (100.000 do 200.000\xc2\xa0km), namesto da sedi v libracijski to\xc4\x8dki, saj je tako lahko stran od premice med Soncem in Zemljo, kar zmanj\xc5\xa1uje Son\xc4\x8dev vpliv na komunikacijske povezave z Zemljo. Druga zanimiva in uporabna lastnost kolinearnih libracijskih to\xc4\x8dk in z njimi povezanih Lissajousevih tirov je, da slu\xc5\xbeijo kot\xc2\xa0\xc2\xbbpristop\xc2\xab\xc2\xa0za nadzor kaoti\xc4\x8dnih poti medplanetarne transportne mre\xc5\xbee._NEWLINE_Z razliko od kolinearnih libracijskih to\xc4\x8dk L1/2/3, sta trikotni\xc5\xa1ki to\xc4\x8dki L4/5 v stabilnem ravnovesju (primerjaj \xc4\x8dudni atraktor), \xc4\x8de je razmerje mas M\xe2\x82\x81/M\xe2\x82\x82 > 24,96. To je v primeru sistemov Sonce/Zemlja in Zemlja/Luna, \xc4\x8deprav za sistem Zemlja/Luna v manj\xc5\xa1i meri. \xc4\x8ce je telo v teh to\xc4\x8dkah zmoteno se odmakne stran od to\xc4\x8dk, zaradi Coriolisove sile pa se njegova pot pretvori v stabilni tir okrog to\xc4\x8dke, podobno fi\xc5\xbeolu, gledano iz vrte\xc4\x8dega koordinatnega sistema.\n_START_SECTION_\nZgledi v Oson\xc4\x8dju\n_START_PARAGRAPH_\nV sistemu Sonce-Jupiter je ve\xc4\x8d tiso\xc4\x8d asteroidov, ki spadajo v Jupitrovo Trojansko skupino. Nahajajo se v to\xc4\x8dkah L\xe2\x82\x84 in L\xe2\x82\x85. Podobno je mo\xc4\x8d najti telesa v sistemih Sonce-Saturn, Sonce-Mars, Sonce-Neptun, Jupitrovem in Saturnovem sistemu. V trojanskih to\xc4\x8dkah sistema Sonce-Zemlja niso na\xc5\xa1li ve\xc4\x8djih teles. Na\xc5\xa1li so le oblake prahu. Podobni oblaki prahu so verjetno prisotni v trojanskih to\xc4\x8dkah L\xe2\x82\x84 in L\xe2\x82\x85 v Zemljinem sistemu._NEWLINE_Asteroid 5261 Eureka, ki sta ga leta 1990 odkrila David H. Levy in Henry E. Holt na palomarskem observatoriju, je prvi znani primer Trojanca v sistemu Sonce-Mars. Prednja\xc4\x8di pred Marsom v to\xc4\x8dki L\xe2\x82\x85. V sistemu Sonce-Mars so na\xc5\xa1li vsaj pet teles v to\xc4\x8dki L\xe2\x82\x85 in enega v L\xe2\x82\x84._NEWLINE_Saturnova naravna satelita Helena in Polidevk se gibljeta azimutalno okrog Lagrangeevih to\xc4\x8dk, kjer Polidevkov tir ka\xc5\xbee najve\xc4\x8dje odstopanje, 32\xc2\xb0 od Dionine to\xc4\x8dke L\xe2\x82\x85. Tetija in Diona sta ve\xc4\x8d kot stokrat masivnej\xc5\xa1a kot njuni\xc2\xa0\xc2\xbbspremljevalci\xc2\xab, Saturn pa je \xc5\xa1e za par velikostnih stopenj masivnej\xc5\xa1i, tako da je njegov sistem stabilen.\n_START_SECTION_\nDrugi sotiri\n_START_PARAGRAPH_\nZemljino spremljevalno telo, asteroid 3753 Kruitne, ki ga je odkril Duncan Waldron leta 1986 na Observatoriju Siding Spring v Avstraliji s 1200\xc2\xa0mm Britanskim Schmidtovim daljnogledom, se giblje v tiru okrog Zemlje, ki spominja na Trojansko, vendar ne \xc4\x8disto tako kot pravi Trojanec. Nekateri ga imenujejo Zemljina\xc2\xa0\xc2\xbbdruga luna\xc2\xab. Asteroid se giblje v eni od dveh dovoljenih tinicah okrog Sonca, in ju pri bli\xc5\xbenjih sre\xc4\x8danjih z Zemljo periodi\xc4\x8dno zamenjuje. Ko se pribli\xc5\xbea Zemlji, dobi orbitalno energijo od Zemlje in preide v ve\xc4\x8dji tir z vi\xc5\xa1jo energijo. Pozneje ga Zemlja dohiti in mu vzame energijo, tako da asteroid pade nazaj v manj\xc5\xa1i, hitrej\xc5\xa1i tir, nato se spet pribli\xc5\xbea Zemlji. Njegovo gibanje v tirnu, imenovanem podkvasti tir, ne vpliva na dol\xc5\xbeino Zemljinega leta, saj je Zemljina masa toliko ve\xc4\x8dja._NEWLINE_Tudi Saturnova naravna satelita Epimetej in Jan se gibljeta podobno. Imata isti masi in izmeni\xc4\x8dno spreminjata tira. Jan je v grobem sicer \xc5\xa1tirikrat masivnej\xc5\xa1i, vendar je dovolj lahek, da se lahko njegov tir spreminja. Podobno stanje je znano kot orbitalna resonanca, v katerem imajo kro\xc5\xbee\xc4\x8da telesa zaradi skupnih vplivov periode s podobnim celo\xc5\xa1tevilskim razmerjem'