b'\n_START_ARTICLE_\nProjektivna geometrija\n_START_PARAGRAPH_\nProjektivna geometrija je posplo\xc5\xa1ena geometrija, ki poleg obi\xc4\x8dajnih to\xc4\x8dk kot povsem enakovredne obravnava \xc5\xa1e to\xc4\x8dke v neskon\xc4\x8dnosti._NEWLINE_Prve zamisli na tem podro\xc4\x8dju je razvil G\xc3\xa9rard Desargues, njegovo delo pa je pozneje nadaljeval zlasti Jean-Victor Poncelet.\n_START_SECTION_\nOsnove projektivne geometrije\n_START_PARAGRAPH_\nGlavna zamisel projektivne geometrije je na\xc4\x8delo, ki so ga slikarji \xc5\xbee zdavnaj spoznali pri upodabljanju perspektive: dve vzporedni premici se sekata v neskon\xc4\x8dnosti._NEWLINE_Po tem na\xc4\x8delu dobimo projektivno geometrijo iz afine geometrije tako, da vsakemu snopu vzporednih premic priredimo to\xc4\x8dko v neskon\xc4\x8dnosti - ta to\xc4\x8dka je potem edino prese\xc4\x8di\xc5\xa1\xc4\x8de tega snopa vzporednic. Dodajanje to\xc4\x8dk v neskon\xc4\x8dnosti se izka\xc5\xbee za koristno zaradi la\xc5\xbejega opisovnja geometrijskih zna\xc4\x8dilnosti: \xc4\x8de moramo pri afini (in tudi pri evklidski) geometriji posebej opisati, kaj velja za vzporedni premici, in posebej, kaj velja za premici, ki se sekata, lahko v projektivni gometriji oboje zdru\xc5\xbeimo v isti opis._NEWLINE_Premico, ki smo ji dodali (eno) to\xc4\x8dko v neskon\xc4\x8dnosti, imenujemo projektivna premica._NEWLINE_Ravnino, ki smo ji dodali za celo premico to\xc4\x8dk v neskon\xc4\x8dnosti (v vsaki smeri po eno to\xc4\x8dko), imenujemo projektivna ravnina._NEWLINE_(Trirazse\xc5\xbeni) prostor, ki smo mu dodali za celo ravnino to\xc4\x8dk v neskon\xc4\x8dnosti, imenujemo (trirazse\xc5\xbeni) projektivni prostor._NEWLINE_Postopek lahko seveda posplo\xc5\xa1imo tudi na n-razse\xc5\xbeni prostor.\n_START_SECTION_\nProjektivne preslikave\n_START_PARAGRAPH_\nTemelj projektivne geometrije predstavljajo projektivne preslikave ali projektivnosti (tudi: kolineacije). To so bijektivne preslikave, ki ohranjajo kolinearnost v projektivnem smislu (torej: vklju\xc4\x8dno z neskon\xc4\x8dnimi to\xc4\x8dkami). Pojmi, ki jih projektivne preslikave ohranjajo, so invariante projektivne geometrije. Pomembna invarianta je dvorazmerje to\xc4\x8dk A, B, C in D._NEWLINE_\xc4\x8ce to\xc4\x8dke n-razse\xc5\xbe\xc5\xbenega projektivnega prostora s pomo\xc4\x8djo homogenih koordinat zapi\xc5\xa1emo z vektorji razse\xc5\xbenosti n+1, lahko projektivno transformacijo zapi\xc5\xa1emo kot obrnljivo matriko razse\xc5\xbenosti (n+1)\xc3\x97(n+1).\n_START_SECTION_\nMerjenje v projektivni geometriji\n_START_PARAGRAPH_\nProjektivna geometrija sama po sebi ne govori o merjenju razdalj in kotov. Mo\xc5\xbeno pa je vpeljati razli\xc4\x8dne funkcije, ki v projektivni geometriji igrajo vlogo metrike._NEWLINE_Eden od najuspe\xc5\xa1nej\xc5\xa1ih pristopov na tem podro\xc4\x8dju je projektivna metrika definirana na podlagi dvorazmerja. Ta funkcija ni metrika v smislu aksiomov metrike, vendar pa ima nekatere zna\xc4\x8dilnosti razdalje. Pri primerni izbiri dolo\xc4\x8denih parametrov, lahko s pomo\xc4\x8djo te metrike vpeljemo v projektivno geometrijo razli\xc4\x8dne geometije, ki jih imenujemo Cayley-Kleinove geometrije._NEWLINE_Cayley-Kleinove geometrije se delijo na devet osnovnih tipov. Najbolj znane tri med njimi so: evklidska geometrija, hiperboli\xc4\x8dna geometrija in elipti\xc4\x8dna geometrija.'