b'\n_START_ARTICLE_\nPolgrupa\n_START_SECTION_\nZgradba polgrup\n_START_PARAGRAPH_\nVeliko pojmov nam pomaga pri razumevanju zgradbe polgrup. Zaradi jedrnatosti bomo operacijo polgrupe izrazili z omejitvijo v kateri xy ozna\xc4\x8dujeta rezultat operacije grupe na urejeni par (x, y). \xc4\x8ce sta A in B podmno\xc5\xbeici kak\xc5\xa1ne polgrupe, potem AB ozna\xc4\x8duje mno\xc5\xbeico { ab | a  A in b  B }._NEWLINE_Podmno\xc5\xbeica A polgrupe S se imenuje podpolgrupa, \xc4\x8de je zaprta za operacijo polgrupe, oziroma AA je podmno\xc5\xbeica A. \xc4\x8ce je mno\xc5\xbeica A neprazna, se imenuje desni ideal, kadar je AS podmno\xc5\xbeica A, in levi ideal, kadar je SA podmno\xc5\xbeica A. \xc4\x8ce je A hkrati levi in desni ideal, se imenuje ideal (ali dvosmerni ideal). Presek dveh idealov je spet ideal, zato ima lahko polgrupa najmanj\xc5\xa1i ideal. Vse neprazne kon\xc4\x8dne polgrupe imajo najmanj\xc5\xa1i ideal. Primer polgrupe brez najmanj\xc5\xa1ega ideala je mno\xc5\xbeica pozitivnih celih \xc5\xa1tevil zaprta za se\xc5\xa1tevanje. Najmanj\xc5\xa1i ideal komutativne polgrupe, kadar obstaja, je grupa._NEWLINE_\xc4\x8ce je S polgrupa, je presek katerekoli zbirke podpolgrup S tudi podpolgrupa S. Tako podpolgrupe S tvorijo celotno mre\xc5\xbeo. Za poljubno podmno\xc5\xbeico A grupe S obstaja najmanj\xc5\xa1a podpolgrupa T grupe S, ki vsebuje A. Re\xc4\x8demo, da A rodi (generira) T. Element x polgrupe S rodi podpolgrupo { x\xe2\x81\xbf | n je pozitivno celo \xc5\xa1tevilo }. \xc4\x8ce je tak\xc5\xa1na podpolgrupa kon\xc4\x8dna, re\xc4\x8demo da ima x kon\xc4\x8dno mo\xc4\x8d, druga\xc4\x8de pa ima neskon\xc4\x8dno mo\xc4\x8d. Polgrupa je periodi\xc4\x8dna, \xc4\x8de imajo vsi njeni elementi kon\xc4\x8dno mo\xc4\x8d. Kon\xc4\x8dne polgrupe so vse periodi\xc4\x8dne. Polgrupa, ki jo rodi samo en element, se imenuje enorodna (monorodna) (ali cikli\xc4\x8dna). \xc4\x8ce je enorodna polgrupa neskon\xc4\x8dna je izomorfna polgrupi mno\xc5\xbeici pozitivnih celih \xc5\xa1tevil, zaprti za se\xc5\xa1tevanje. \xc4\x8ce pa je kon\xc4\x8dna, mora vsebovati idempotent in to natanko enega. Tako ima vsaka neprazna periodi\xc4\x8dna polgrupa vsaj en idempotent._NEWLINE_Podpolgrupa, ki je hkrati grupa, se imenuje podgrupa. Med podgrupami in polgrupami ter njihovimi idempotenti obstaja zelo tesna povezava. Vsaka podgrupa vsebuje natanko en idempotent, namre\xc4\x8d nevtralni element (identiteto) podgrupe. Za vsak idempotent e polgrupe obstaja edina najve\xc4\x8dja podgrupa, ki vsebuje e. Vsaka najve\xc4\x8dja podgrupa nastane na ta na\xc4\x8din, zato obstaja enoli\xc4\x8dna zveza med idempotenti in najve\xc4\x8djimi podgrupami. (Omeniti moramo, da je tukaj pojem najve\xc4\x8dje podgrupe razli\xc4\x8den kot v teoriji grup. V teoriji grup je t. i. \xc2\xbbnajve\xc4\x8dja podgrupa\xc2\xab\xc2\xa0v resnici najve\xc4\x8dja prava podgrupa. \xc4\x8ce jo obravnavamo kot polgrupo, ima grupa samo eno najve\xc4\x8djo podgrupo, in to prav samo sebe.)'