b'\n_START_ARTICLE_\nPra\xc5\xa1tevilski izrek\n_START_SECTION_\nMetodologija dokaza\n_START_PARAGRAPH_\nV predavanju o pra\xc5\xa1tevilih za \xc5\xa1ir\xc5\xa1o javnost je Tao, prejemnik Fieldsove medalje leta 2006, opisal pesni\xc5\xa1ki pristop dokaza pra\xc5\xa1tevilskega izreka s poslu\xc5\xa1anjem pra\xc5\xa1tevilske \xc2\xbbglasbe\xc2\xab. Za\xc4\x8dne se z \xc2\xbbzvo\xc4\x8dnim valovanjem\xc2\xab, ki je \xc2\xbbglasno\xc2\xab\xc2\xa0pri pra\xc5\xa1tevilih in tiho pri sestavljenih \xc5\xa1tevilih - to je von Mangoldtova aritmeti\xc4\x8dna funkcija \xce\x9b(n), ki ni ne multiplikativna in ne aditivna. Potem se analizira njegove note, oziroma frekvence, s procesom, sorodnim Fourierovi transformaciji \xe2\x80\x93 to je Mellinova transformacija. Potem se doka\xc5\xbee, kar je te\xc5\xbeek del, da se dolo\xc4\x8dene \xc2\xbbnote\xc2\xab\xc2\xa0v tej glasbi ne morejo pojaviti. Ta izklju\xc4\x8ditev dolo\xc4\x8denih not vodi do pra\xc5\xa1tevilskega izreka. Po Tau ta dokaz vodi do bolj globljega vpogleda v porazdelitev pra\xc5\xa1tevil kot elementarni dokazi, opisani spodaj .\n_START_SECTION_\nElementarni dokazi\n_START_PARAGRAPH_\nV za\xc4\x8detku 20. stoletja so dokaz poenostavili Landau in drugi matematiki. V prvi polovici 20. stoletja je nekaj matematikov verjelo, da obstaja hierarhija tehnik v matematiki in, da je pra\xc5\xa1tevilski izrek \xc2\xbbgloboki\xc2\xab\xc2\xa0izrek, za katerega dokaz je potrebna kompleksna analiza. Metode s samo realnimi spremenljivkami niso veljale za ustrezne. Hardy je bil znani \xc4\x8dlan te skupine. _NEWLINE_Formulacijo tega prepri\xc4\x8danja je deloma omajal dokaz pra\xc5\xa1tevilskega izreka, ki je temeljil na Wienrovem tauberskem izreku iz teorije divergentnih vrst iz leta 1932, \xc4\x8deprav bi bilo mo\xc4\x8d ozna\xc4\x8diti \xc2\xbbglobino\xc2\xab\xc2\xa0Wienrovega izreka kot enako metodam kompleksne analize. Predstava \xc2\xbbelementarnega dokaza\xc2\xab\xc2\xa0v teoriji \xc5\xa1tevil ni to\xc4\x8dno dolo\xc4\x8dena, vendar se zdi da po navadi v grobem ustreza dokazom, ki jih je mo\xc4\x8d izvesti v Peanovi aritmetiki, in ne v mo\xc4\x8dnej\xc5\xa1ih teorijah kot je na primer aritmetika drugega reda. Obstajajo izjave Peanove aritmetike, ki jih je mo\xc4\x8d dokazati v aritmetiki drugega reda, ne pa v aritmetiki prvega reda. Tak\xc5\xa1en zgled je na primer Paris-Harringtonov izrek. Druga\xc4\x8de pa so v praksi tak\xc5\xa1ni izreki redki. _NEWLINE_Selberg je na\xc5\xa1el elementarni dokaz pra\xc5\xa1tevilskega izreka leta 1949, ki je uporabljal le prijeme iz teorije \xc5\xa1tevil. Erd\xc5\x91s je skoraj isto\xc4\x8dasno uporabil njegove zamisli in razdelal malo druga\xc4\x8den elementarni dokaz. Selbergovo delo je umirilo pojem \xc2\xbbglobine\xc2\xab\xc2\xa0za pra\xc5\xa1tevilski izrek, in je pokazalo da so tehni\xc4\x8dno \xc2\xbbelementarne\xc2\xab\xc2\xa0metode (oziroma Peanova aritmetika) mo\xc4\x8dnej\xc5\xa1e kot so sprva pri\xc4\x8dakovali. Leta 1956 Gordon dokazal pra\xc5\xa1tevilski izrek s pomo\xc4\x8djo Stirlingove aproksimacije za velike . Leta 2001 je Sudac pokazal, da je mo\xc4\x8d pra\xc5\xa1tevilski izrek dokazati v primitivno rekurzivni aritmetiki, veliko \xc5\xa1ibkej\xc5\xa1i teoriji kot je Peanova aritmetika._NEWLINE_Avigad in sodelavci so leta 2005 napisali ra\xc4\x8dunalni\xc5\xa1ko razli\xc4\x8dico tega elementarnega dokaza v interaktivnem sistemu dokazovanja izrekov Isabelle.'