b'\n_START_ARTICLE_\nBernoullijevo \xc5\xa1tevilo\n_START_PARAGRAPH_\nBernoullijeva \xc5\xa1tev\xc3\xadla [bern\xc3\xbalijeva ~] so v matematiki zaporedje racionalnih \xc5\xa1tevil. Veliko se uporabljajo v teoriji \xc5\xa1tevil in so v tesni zvezi z vrednostmi Riemannove funkcije \xce\xb6 pri negativnih celih argumentih._NEWLINE_V Evropi je \xc5\xa1tevila prvi raziskoval Jakob Bernoulli I., po katerem jih je imenoval de Moivre. Njegov rezultat je bil objavljen po njegovi smrti v delu Umetnost domnevanja (Ars Conjectandi) leta 1713. Pred njim jih je neodvisno odkril \xc5\xbee Kova Seki. Tudi njegov rezultat je bil objavljen po njegovi smrti v njegovem delu Kacujo Sampo leta 1712. Kova Seki ni predstavil svojo metodo kot formulo na podlagi zaporedja konstant._NEWLINE_Pojavljajo se v Taylorjevih vrstah za funkciji tangens in hiperboli\xc4\x8dni tangens, v Euler-Maclaurinovi formuli in v izrazih za nekatere vrednosti Riemannove funkcije \xce\xb6._NEWLINE_V opombi v delu Ade Byron o analiti\xc4\x8dnem stroju iz leta 1842 je bil prvi\xc4\x8d opisan algoritem za ra\xc4\x8dunalni\xc5\xa1ko ra\xc4\x8dunanje Bernoullijevih \xc5\xa1tevil, kar pomeni, da so bila Bernoullijeva \xc5\xa1tevila predmet prvega objavljenega ra\xc4\x8dunalni\xc5\xa1kega programa.\n_START_SECTION_\nAritmeti\xc4\x8dne zna\xc4\x8dilnosti Bernoullijevih \xc5\xa1tevil\n_START_PARAGRAPH_\nBernoullijeva \xc5\xa1tevila lahko izrazimo z Riemannovo funkcijo \xce\xb6 kot B\xe2\x82\x99 = \xe2\x88\x92 n\xce\xb6(1 \xe2\x88\x92 n) za cele n > 1 (formula je odmaknjena za predznak pri n = 1, saj je \xce\xb6(0) = -1/2) kar jih tesno povezuje v vrednostmi funkcije \xce\xb6 za negativne celo\xc5\xa1tevilske argumente. Zaradi tega lahko pri\xc4\x8dakujemo, da bodo imela, in dejansko tudi imajo globoke aritmeti\xc4\x8dne zna\xc4\x8dilnosti, kar je odkril Kummer pri re\xc5\xa1evanju Fermatovega velikega izreka. _NEWLINE_Zna\xc4\x8dilnost deljivosti Bernoullijevih \xc5\xa1tevil je povezana z idealnimi razrednimi grupami ciklotomskig obsegov prek Kummerjevega izreka in njegove mo\xc4\x8dnej\xc5\xa1e oblike v Herbrand-Ribetovem izreku in z razrednimi \xc5\xa1tevili realnih kvadratnih obsegov prek Ankeny-Artin-\xc4\x8covlove kongruence. Obstaja tudi povezava z algebrsko K-teorijo; \xc4\x8de je c\xe2\x82\x99 \xc5\xa1tevec B\xe2\x82\x99/2n, je red  enak \xe2\x88\x92c\xe2\x82\x82\xe2\x82\x99 za lihe n in 2c\xe2\x82\x82\xe2\x82\x99 za sode n._NEWLINE_Z deljivostjo je povezan tudi von Staudt-Clausenov izrek, ki pravi, da, \xc4\x8de pri\xc5\xa1tejemo 1/p k B\xe2\x82\x99 za vsako tak\xc5\xa1no pra\xc5\xa1tevilo p, da p \xe2\x88\x92 1 deli n, dobimo celo \xc5\xa1tevilo. To ejstvo takoj dopu\xc5\xa1\xc4\x8da ozna\xc4\x8ditev imenovalcev neni\xc4\x8delnih Bernoullijevih \xc5\xa1tevil B\xe2\x82\x99 kot produkt vseh tak\xc5\xa1nih pra\xc5\xa1tevil p, da p \xe2\x88\x92 1 deli n. Pri tem so \xc5\xa1tevci deljivi brez kvadrata in deljivi s 6._NEWLINE_Po Agoh-Giugovi domnevi je p pra\xc5\xa1tevilo tedaj in le tedaj, \xc4\x8de je pB\xe2\x82\x9a\xe2\x88\x921 kongruentno z \xe2\x88\x921 mod p.\n_START_SECTION_\nU\xc4\x8dinkovito ra\xc4\x8dunanje Bernoullijevih \xc5\xa1tevil mod p\n_START_PARAGRAPH_\nPri nekaterih uporabah je priro\xc4\x8dno znati ra\xc4\x8dunati Bernoullijeva \xc5\xa1tevila B\xe2\x82\x80 prek B\xe2\x82\x9a\xc2\xa0\xe2\x88\x92\xc2\xa03 modulo p, kjer je p pra\xc5\xa1tevilo. Na primer pri ugotavljanju resni\xc4\x8dnosti Vandiverjeve domneve za  p, ali le za dolo\xc4\x8devanje ali je p iregularno pra\xc5\xa1tevilo. Vandiverjeva domneva je preverjena za . Tak\xc5\xa1ni izra\xc4\x8duni niso izvedljivi z zgornjimi rekurzijskimi formulami, ker bi bilo potrebnih vsaj (konstantno ve\xc4\x8dkratno) p\xc2\xb2 aritmeti\xc4\x8dnih operacij. Na sre\xc4\x8do so razvili hitrej\xc5\xa1e metode (Buhler idr), ki zahtevajo le O(p (log p)\xc2\xb2) operacij (glej zapis z velikim O).'