b'\n_START_ARTICLE_\nPoliomina\n_START_SECTION_\nInduktivni algoritmi\n_START_PARAGRAPH_\nVsako poliomino reda n + 1 se lahko dobi z dodajanjem celice k poliomini reda n. Od tod izhajajo induktivni algoritmi za tvorjenje poliomin._NEWLINE_Najbolj preprosto se lahko v seznam poliomin reda n dodajajo kvadrati k vsaki poliomini na vsako mo\xc5\xbeno mesto. Poliomina reda n + 1, ki pri tem nastane, ni dvojnica tiste, ki se jo je \xc5\xbee na\xc5\xa1lo. Izbolj\xc5\xa1ave pri urejevanju \xc5\xa1tetja in ozna\xc4\x8devanje sosednjih kvadratov, ki se jih ne bi smelo upo\xc5\xa1tevati, zmanj\xc5\xa1ajo \xc5\xa1tevilo potrebnih primerov za preverjanje dvojnikov. Ta metoda se lahko uporablja za pre\xc5\xa1tevanje tako prostih kot tudi negibnih poliomin._NEWLINE_Bolj\xc5\xa1o metodo, ki jo je opisal Redelmeier, je ve\xc4\x8d avtorjev uporabilo kot na\xc4\x8din ne samo \xc5\xa1tetja poliomin (brez zahteve, da se vse poliomine reda n ohranjajo pri \xc5\xa1tetju tistih reda n + 1), ter tudi dokazalo zgornje meje za njihovo \xc5\xa1tevilo. Osnovna zamisel je, da se za\xc4\x8dne z enim samim kvadratom, in se od tod rekurzivno dodaja kvadrate. Odvisno od podrobnosti se lahko \xc5\xa1teje vsako n-omino n-krat, enkrat od za\xc4\x8detka vsakega njenega n-tega kvadrata, ali pa se jih \xc5\xa1teje vsako enkrat._NEWLINE_Pri najenostavnej\xc5\xa1emu izvajanju se dodaja samo en kvadrat na enkrat. Za\xc4\x8dne se z enim kvadratom, o\xc5\xa1tevil\xc4\x8di se sosednje kvadrate v smeri urinega kazalca od zgoraj, 1, 2, 3 in 4. Sedaj se izbere \xc5\xa1tevilo med 1 in 4, in se na tem mestu doda kvadrat. Potem se o\xc5\xa1tevil\xc4\x8di neo\xc5\xa1tevil\xc4\x8dene sosednje kvadrate in se za\xc4\x8dne s 5. Potem se izbere \xc5\xa1tevilko ve\xc4\x8djo od prej izbrane \xc5\xa1tevilke in se doda ta kvadrat. Nadaljuje se z izbiranjem \xc5\xa1tevilke ve\xc4\x8dje od \xc5\xa1tevila trenutnega kvadrata, se doda ta kvadrat, ter se nato \xc5\xa1tevil\xc4\x8di nove sosednje kvadrate. Ko se tvori n kvadratov, se tvori n-omino. Ta metoda zagotavlja, da se vsako negibno poliomino \xc5\xa1teje to\xc4\x8dno n-krat, enkrat od vsakega za\xc4\x8detnega kvadrata. Lahko se jo optimira, da se \xc5\xa1teje vsako poliomino samo enkrat, in ne n-krat. Za\xc4\x8dne se z za\xc4\x8detnim kvadratom, se ga ozna\xc4\x8di kot levo najni\xc5\xbeje le\xc5\xbee\xc4\x8dega v poliomini. Ne \xc5\xa1tevil\xc4\x8di se drugih kvadratov, ki so v spodnji vrstici, ali levo od kvadrata v isti vrstici. To razli\xc4\x8dico je opisal Redelmeier._NEWLINE_Pri \xc5\xa1tetju prostih poliomin je treba po tvorjenju vsake n-omine preveriti simetrije. Vendar je hitreje tvoriti simetri\xc4\x8dne poliomine lo\xc4\x8deno (z razli\xc4\x8dico te metode) in dolo\xc4\x8diti \xc5\xa1tevilo prostih poliomin z Burnsideovo lemo.\n_START_SECTION_\nMetoda s prenosno matriko\n_START_PARAGRAPH_\nNajsodobnej\xc5\xa1i algoritem za \xc5\xa1tetje negibnih poliomin je odkril Iwan Jensen. Izbolj\xc5\xa1ava metode Andrewa Conwayja je eksponentno hitrej\xc5\xa1a od predhodnih metod, \xc4\x8deprav je \xc4\x8das njenega izvajanja \xc5\xa1e vedno eksponeneten v n._NEWLINE_Conwayjeva in Jensenova razli\xc4\x8dica metode s prenosno matriko obsega \xc5\xa1tetje \xc5\xa1tevila poliomin z dolo\xc4\x8deno \xc5\xa1irino. Ra\xc4\x8dunanje \xc5\xa1tevila za vse \xc5\xa1irine da skupno \xc5\xa1tevilo poliomin. Osnovna zamisel za metodo je, da se obravnavajo mo\xc5\xbene za\xc4\x8detne vrstice, nato pa se dolo\xc4\x8di najmanj\xc5\xa1e \xc5\xa1tevilo kvadratov potrebnih za tvorjenje poliomine z dano \xc5\xa1irino. Skupaj z rabo rodovnih funkcij je s tem postopkom mo\xc5\xbeno pre\xc5\xa1teti ve\xc4\x8d poliomin na enkrat, zaradi \xc4\x8desar je tudi veliko hitrej\xc5\xa1i od drugih metod, kjer so mora tvoriti vsaka poliomina._NEWLINE_\xc4\x8ceprav ima izvrsten \xc4\x8das izvajanja, algoritem uporablja eksponentno koli\xc4\x8dino pomnilnika (za n nad 50 je potrebnih ve\xc4\x8d GB pomnilnika), je te\xc5\xbeji za programiranje od drugih metod, trenutno pa ni primeren tudi za \xc5\xa1tetje prostih polionim.\n_START_SECTION_\nProste poliomine\n_START_PARAGRAPH_\nPribli\xc5\xbeka za \xc5\xa1tevilo negibnih in prostih poliomin sta povezana na preprost na\xc4\x8din. Prosta poliomina brez simetrij (zasuka ali zrcaljenja) odgovarja osmim negibnim poliominam, in za velike n je ve\xc4\x8dina n-omin brez simetrij. Zaradi tega je \xc5\xa1tevilo negibnih n-omin pribli\xc5\xbeno enako 8-kratnemu \xc5\xa1tevilu prostih n-omin. Ko se n ve\xc4\x8da, je ta pribli\xc5\xbeek eksponentno to\xc4\x8dnej\xc5\xa1i.\n_START_SECTION_\nPosebni razredi poliomin\n_START_PARAGRAPH_\nZa \xc5\xa1tetje posebnih razredov poliomin obstajajo to\xc4\x8dni obrazci, na primer za konveksne ali usmerjene poliomine.\n_START_SECTION_\nEnakoli\xc4\x8dnost\n_START_PARAGRAPH_\nPoliomina je enakoli\xc4\x8dna, \xc4\x8de je njena povr\xc5\xa1ina enaka njenemu obsegu. Enakoli\xc4\x8dno poliomino mora sestavljati sodo \xc5\xa1tevilo kvadratov. Mo\xc5\xbeno je vsako sodo \xc5\xa1tevilo ve\xc4\x8dje od 15. 16-omina v obliki kvadrata 4 \xc3\x97 4 in 18-omina v obliki pravokotnika 3 \xc3\x97 6 sta na primer obe enakoli\xc4\x8dni. Za poliomine z manj kot 15-imi kvadrati je obseg vedno ve\xc4\x8dji od povr\xc5\xa1ine.\n_START_SECTION_\nRabe poliomin\n_START_PARAGRAPH_\nPoliomine so pospe\xc5\xa1ile raziskave v ra\xc4\x8dunalni\xc5\xa1tvu in razvedrilni matematiki. Problemi se velikokrat nana\xc5\xa1ajo na pokritje (tlakovanje) dolo\xc4\x8denega obmo\xc4\x8dja ali celotne ravnine s poliominami ali pregibanje poliomin za tvorjenje drugih oblik. Gardner je predlagal ve\xc4\x8d preprostih iger z mno\xc5\xbeico prostih pentomin in \xc5\xa1ahovnico. Nekatere razli\xc4\x8dice sestavljanke sudoku imajo obmo\xc4\x8dja v obliki poliomin na mre\xc5\xbei. Ra\xc4\x8dunalni\xc5\xa1ka igra Tetris temelji na sedmih enostranskih tetrominah. V igri so imenovane \xc2\xbbtetrimine\xc2\xab. Igra na deski Blokus uporablja vseh 21 prostih poliomin vse do pentomin.\n_START_SECTION_\nPokritje obmo\xc4\x8dij z mno\xc5\xbeico poliomin\n_START_PARAGRAPH_\nV sestavljankah je obi\xc4\x8dajno treba pokriti dano obmo\xc4\x8dje z dano mno\xc5\xbeico poliomin, kot na primer 12 prostih pentomin. Golombova in Gardnerjeva knjiga imata veliko zgledov. Tipi\xc4\x8dna sestavljanka je pokritje pravokotnika 6 \xc3\x97 10 z 12-imi prostimi pentominami. Vseh 2339 re\xc5\xa1itev sta leta 1960 prva na\xc5\xa1la. Colin in Jenifer Haselgrove._NEWLINE_\xc4\x8ce so dovoljene mnogokratne kopije poliomin v mno\xc5\xbeici, je Golomb definiral hierarhijo razli\xc4\x8dnih obmo\xc4\x8dij, ki jih lahko mno\xc5\xbeica pokrije, kot na primer pravokotniki, trakovi in celotna ravnina. Pokazal je, da je problem pokritja ravnine s poliominami iz dane mno\xc5\xbeice _NEWLINE_neodlo\xc4\x8dljiv s preslikavnimi mno\xc5\xbeicami Wangovih tlakovcev v mno\xc5\xbeice poliomin.\n_START_SECTION_\nPokritje obmo\xc4\x8dij s kopijami ene poliomine\n_START_PARAGRAPH_\nV drugem razredu problemov je vpra\xc5\xa1anje ali kopije dane poliomine pokrijejo pravokotnik, in \xc4\x8de, katere pravokotnike lahko. Tak\xc5\xa1ne probleme so \xc5\xa1e posebej obse\xc5\xbeno raziskovali za dolo\xc4\x8dene poliomine. Na voljo so razpredelnice rezultatov za posamezne poliomine. Klarner in G\xc3\xb6bel sta pokazala, da za vsako poliomino obstaja kon\xc4\x8dna mno\xc5\xbeica tak\xc5\xa1nih prvotnih pravokotnikov, ki jih pokrije, da se lahko vsi drugi pravokotniki, ki jih pokrije, pokrijejo s temi prvotnimi pravokotniki._NEWLINE_Poleg pravokotnikov je Golomb podal svojo hierarhijo za posamezne poliomine: poliomina lahko pokrije pravokotnik, poltrak, ukrivljeni trak, pove\xc4\x8dano lastno kopijo, kvadrant, trak, polravnino, celotno ravnino, dolo\xc4\x8dene kombinacije ali ni\xc4\x8d od tega. Med njimi sta dolo\xc4\x8deni posledici, obe o\xc4\x8ditni. \xc4\x8ce na primer poliomina pokrije polravnino, pokrije tudi celotno ravnino. In, \xc4\x8de poliomina pokrije pove\xc4\x8dano lastno kopijo, potem pokrije kvadrant. Poliomine do reda vse do 6 so karakterizirane v tej hierarhiji s statusom ene heksamine, za katero se je kasneje izkazalo, da pokrije pravokotnik, kar je bilo do tedaj nere\xc5\xa1eno._NEWLINE_Leta 2001 sta Cristopher Moore in John Michael Robson pokazala, da je problem pokritja ene poliomine s kopijami druge NP-poln.\n_START_SECTION_\nPokritje ravnine s kopijami ene poliomine\n_START_PARAGRAPH_\nVeliko so obravnavali tudi pokritje ravnine s kopijami ene poliomine. Leta 1965 so oznanili, da vse poliomine do heksomin in vse razen \xc5\xa1tirih heptomin pokrijejo ravnino. Nato je David Bird ugotovil, da vse razen 26 oktomin pokrijejo ravnino. Rawsthorne je odkril, da vse nonomine razen 235-ih pokrijejo ravnino. Tak\xc5\xa1ne rezultate so raz\xc5\xa1irili na vi\xc5\xa1je rede Rhoads (do reda 14) in drugi. Poliomine, ki pokrivajo ravnino, so klasificirali po simetrijah njihovih pokritij in po \xc5\xa1tevilu aspektov (orientacij) v katerih se tlakovci pojavljajo v njih._NEWLINE_Raziskovanje katere poliomine lahko pokrijejo ravnino je olaj\xc5\xa1ala raba Conwayjevega kriterija. Razen dveh nonomin vse pokrivajo\xc4\x8de poliomine do reda 9 tvorijo zaplato, za katero velja vsaj en tlakovec, pri \xc4\x8demer so izjeme pri vi\xc5\xa1jih redovih pogostej\xc5\xa1e._NEWLINE_Ve\xc4\x8d poliomin lahko pokrije ve\xc4\x8d lastnih kopij in ponavljanje tega procesa rekurzivno da pokritje ravnine z delilnimi plo\xc5\xa1\xc4\x8dicami (rep-tile). Za vsako pozitivno celo \xc5\xa1tevilo n se na primer lahko skombinira n\xc2\xb2 kopij L-tromine, L-tetromine ali P-pentomine v en ve\xc4\x8dji lik podoben manj\xc5\xa1i poliomini iz katere je bil oblikovan.\n_START_SECTION_\nPokritje skupnega lika z razli\xc4\x8dnimi poliominami\n_START_PARAGRAPH_\nProblem zdru\xc5\xbeljivosti i\xc5\xa1\xc4\x8de lik, ki ga lahko pokrijeta dve ali ve\xc4\x8d poliomin. Poliominsko zdru\xc5\xbeljivost so veliko raziskovali od 1990-ih. Jorge Luis Mireles in Giovanni Resta sta objavila spletni strani s sistemati\xc4\x8dnimi rezultati. Livio Zucca prikazuje rezultate za nekatere zapletene primere, kot so na primer tri razli\xc4\x8dne pentomine. Splo\xc5\xa1ni problem je lahko te\xc5\xbeek. Prvi zdru\xc5\xbeljivostni lik za pentomini L in X je bil objavljen leta 2005 in ima  80 poliomin obeh vrst. Za veliko parov poliomin so pokazali nezdru\xc5\xbeljivost s sistemati\xc4\x8dnim iz\xc4\x8drpavanjem. Ni znan noben algoritem za odlo\xc4\x8danje ali so poljubne poliomine zdru\xc5\xbeljive.\n_START_SECTION_\nMre\xc5\xbee teles\n_START_PARAGRAPH_\nOd poliomin lahko edino heksomine predstavljajo mre\xc5\xbeo telesa in sicer kocke. Od 35 prostih heksomin jih lahko 11 predstavlja mre\xc5\xbeo kocke.'