b"\n_START_ARTICLE_\nCantorjeva mno\xc5\xbeica\n_START_PARAGRAPH_\nCantorjeva mno\xc5\xbeica je v matematiki fraktal, v katerem se pojavljajo le realna \xc5\xa1tevila med 0 in 1. Mno\xc5\xbeico je uvedel nem\xc5\xa1ki matematik Georg Ferdinand Cantor._NEWLINE_Cantorjeva mno\xc5\xbeica je dolo\xc4\x8dena z neprestanim odstranjevanjem srednje tretjine daljice. Za\xc4\x8dne se z enotskim intervalom [0,\xc2\xa01] in se odstrani njegovo srednjo tretjino. Ostane [0,\xc2\xa01/3] \xe2\x88\xaa [2/3,\xc2\xa01]. V neskon\xc4\x8dnem koraku se odstrani vse \xc2\xbbsrednje tretjine\xc2\xab\xc2\xa0preostalih odsekov. Cantorjeva mno\xc5\xbeica vsebuje vse to\xc4\x8dke v intervalu [0,\xc2\xa01], ki se jih ni odstranilo v tem neskon\xc4\x8dnem procesu.\n_START_SECTION_\nNekrajne to\xc4\x8dke v Cantorjevi mno\xc5\xbeici\n_START_PARAGRAPH_\nZdi se, da bodo v mno\xc5\xbeici ostale le krajne to\xc4\x8dke, vendar je to napa\xc4\x8dno. \xc5\xa0tevilo 1/4 je na primer v spodnji tretjini in zato v prvem koraku ne pade iz mno\xc5\xbeice. Ker ni nikoli v eni od sredinskih tretjin, ostane v mno\xc5\xbeici, in tudi ni ena od krajnih to\xc4\x8dk katerekoli srednje tretjine.\n_START_SECTION_\nCantorjeva mno\xc5\xbeica je ne\xc5\xa1tevna\n_START_PARAGRAPH_\nLahko se poka\xc5\xbee, da v mno\xc5\xbeici ostane enako \xc5\xa1tevilo to\xc4\x8dk kot \xc5\xa1tevilo odstranjenih to\xc4\x8dk. Pri tem naj se to\xc4\x8dke v intervalu [0,\xc2\xa01] misli zapisane v troji\xc5\xa1kem sistemu z osnovo 3. Na ta na\xc4\x8din se lahko 1/3 zapi\xc5\xa1e kot 0,1 in 2/3 kot 0,2. \xc4\x8ce se odstrani vse med 1/3 in 2/3, je to isto kot \xc4\x8de bi se v troji\xc5\xa1kem sistemu odstranilo vse med 0,1 in 0,2. To pomeni, da se vsako troji\xc5\xa1ko decimalko, oblike 0,1xxxxxx, odstrani iz mno\xc5\xbeice, razen tiste, kjer je vsak x enak 0 ali vsak x 2 \xe2\x80\x93 to sta krajni to\xc4\x8dki._NEWLINE_Ker je troji\xc5\xa1ko 0,1 = 0,02222222..., se lahko \xc5\xa1tevilo predstavi brez \xc5\xa1tevila 1 na kateremkoli mestu. Glej Cantorjev diagonalni dokaz._NEWLINE_V naslednjem koraku se v intervalih [0,\xc2\xa00,1] in [0,2,\xc2\xa01] odstrani njuni srednji tretjini. V tem primeru se odstrani vse med 0,01 in 0,02 v prvem, in vse med 0,21 in 0,22 v drugem. Ali z drugimi besedami, vse z 1 na drugem mestu takoj za to\xc4\x8dko. Ko se kon\xc4\x8da, so \xc5\xa1tevila, ki preostanejo tista, ki se jih troji\xc5\xa1ko lahko zapi\xc5\xa1e brez '1' na poljubnem mestu._NEWLINE_\xc4\x8ce se pove \xc5\xa1e druga\xc4\x8de, Cantorjeva mno\xc5\xbeica vsebuje vsa \xc5\xa1tevila med 0 in 1, ki se jih troji\xc5\xa1ko lahko zapi\xc5\xa1e s \xc5\xa1tevilkami 0 in 2. Zato se lahko \xc5\xa1tevila v Cantorjevi mno\xc5\xbeici preslika v \xc5\xa1tevila v [0,\xc2\xa01], kjer se v troji\xc5\xa1kem zapisu zamenja vsako 2 z 1, in se rezultat obravnava dvoji\xc5\xa1ko. Zato je v Cantorjevi mno\xc5\xbeici toliko to\xc4\x8dk, kolikor jih je v [0,\xc2\xa01] in Cantorjeva mno\xc5\xbeica je ne\xc5\xa1tevna. Ker je mno\xc5\xbeica krajnih to\xc4\x8dk odstranjenih odsekov \xc5\xa1tevna, mora v Cantorjevi mno\xc5\xbeici obstajati \xc5\xa1tevno mnogo \xc5\xa1tevil, ki niso krajne to\xc4\x8dke odsekov. Kakor je zapisano zgoraj, je en zgled \xc5\xa1tevilo 1/4, ki se ga lahko troji\xc5\xa1ko zapi\xc5\xa1e kot 0,02020202020...\n_START_SECTION_\nCantorjeva mno\xc5\xbeica je fraktal\n_START_PARAGRAPH_\nCantorjeva mno\xc5\xbeica je prototip fraktala. Mno\xc5\xbeica je samopodobna, ker je enaka dvema kopijama same sebe, \xc4\x8de se vsako kopijo skr\xc4\x8di za faktor 1/3 in se prestavi. Njena Hausdorff-Bezikovi\xc4\x8deva razse\xc5\xbenost je enaka ln(2)/ln(3). Cantorjevo mno\xc5\xbeico se lahko tvori s presekom preproge Sierpi\xc5\x84skega z eno od njenih poljubnih telesnih simetral.\n_START_SECTION_\nTopolo\xc5\xa1ke in analiti\xc4\x8dne zna\xc4\x8dilnosti\n_START_PARAGRAPH_\nKakor ka\xc5\xbee zgornja vsota, je Cantorjeva mno\xc5\xbeica ne\xc5\xa1tevna, njena Lebesguova mera pa je enaka 0. Ker je Cantorjeva mno\xc5\xbeica komplement unije odprtih mno\xc5\xbeic, je sama zaprta podmno\xc5\xbeica mno\xc5\xbeice realnih \xc5\xa1tevil in je zato cel metri\xc4\x8dni prostor. Ker je tudi omejena, Heine-Borelov izrek zagotavlja, da mora biti kompaktna._NEWLINE_Izbere se poljubno to\xc4\x8dko v Cantorjevi mno\xc5\xbeici. V njeni poljubno majhni okolici, obstaja drugo \xc5\xa1tevilo, ki se ga lahko troji\xc5\xa1ko zapi\xc5\xa1e samo s \xc5\xa1tevilkami 0 in 2. Zaradi tega je vsaka to\xc4\x8dka v Cantorjevi mno\xc5\xbeici zbirna to\xc4\x8dka. V topologiji se zaprte mno\xc5\xbeice, kjer je vsaka to\xc4\x8dka zbirna, imenujejo tudi popolne mno\xc5\xbeice._NEWLINE_Spet se izbere poljubno to\xc4\x8dko iz Cantorjeve mno\xc5\xbeice, ki je sama podmno\xc5\xbeica enotskega intervala. Vsaka poljubno majhna okolica te to\xc4\x8dke vsebuje odprto mno\xc5\xbeico v enotskem intervalu, ki ni povezana s Cantorjevo mno\xc5\xbeico. Tako je Cantorjeva mno\xc5\xbeica nikjer gosta v enotskem intervalu in popolnoma nepovezana._NEWLINE_Kot kompakten popolnoma nepovezan Hausdorffov prostor je Cantorjeva mno\xc5\xbeica zgled Stoneovega prostora._NEWLINE_Vredno je omeniti, da je kot topolo\xc5\xa1ki prostor Cantorjeva mno\xc5\xbeica homeomorfna produktu \xc5\xa1tevno mnogo kopij prostora {0, 1}, kjer vsaka kopija nosi diskretno topologijo. S tem se lahko poka\xc5\xbee, da je Cantorjeva mno\xc5\xbeica homogena v smislu, da za dve poljubni to\xc4\x8dki x in y v Cantorjevi mno\xc5\xbeici C obstaja homeomorfizem f\xc2\xa0: C \xe2\x86\x92 C z f(x) = y. _NEWLINE_Cantorjeva mno\xc5\xbeica je tudi homeomorfna p-adi\xc4\x8dnim celim \xc5\xa1tevilom. \xc4\x8ce se odstrani iz nje eno to\xc4\x8dko, je homeomorfna p-adi\xc4\x8dnim \xc5\xa1tevilom._NEWLINE_Za Cantorjevo mno\xc5\xbeico velja: vsak neprazen popolnoma nepovezan popoln kompakten metri\xc4\x8dni prostor je homeomorfen Cantorjevi mno\xc5\xbeici. Glej Cantorjev prostor za podrobnosti o prostorih, ki so homeomorfna Cantorjevi mno\xc5\xbeici._NEWLINE_Cantorjeva mno\xc5\xbeica je \xc2\xbbuniverzalna v kategoriji kompaktnih metri\xc4\x8dnih prostorih\xc2\xab. To pomeni, da je vsak metri\xc4\x8dni prostor zvezna slika Cantorjeve mno\xc5\xbeice. To spoznanje ima pomembno vlogo v funkcionalni analizi.\n_START_SECTION_\nRazli\xc4\x8dice Cantorjeve mno\xc5\xbeice\n_START_PARAGRAPH_\nNamesto odstranjevanja srednje tretjine v vsakem intervalu Cantorjeve mno\xc5\xbeice, se lahko odstranjuje tudi odseke v poljubnem stalnem razmerju. Vse tak\xc5\xa1ne mno\xc5\xbeice so homeomorfne Cantorjevi mno\xc5\xbeici in njihova Lebesguova mere je enaka 0._NEWLINE_Z odstranjevanjem vedno manj\xc5\xa1ih odsekov se lahko tvori mno\xc5\xbeice, ki so homeomorfne Cantorjevi mno\xc5\xbeici in imajo pozitivno Lebesguovo mero, ter so \xc5\xa1e vedno nikjer goste.\n_START_SECTION_\nIz zgodovine\n_START_PARAGRAPH_\nV Cantorjevem \xc4\x8dasu je bila ta mno\xc5\xbeica abstrakten pojem. Cantor je pri\xc5\xa1el do nje zaradi prakti\xc4\x8dnih razlogov v raziskovanju mno\xc5\xbeice to\xc4\x8dk, kjer trigonometri\xc4\x8dne vrste ne bi konvergirale. Njeno odkritje ga je navedlo na razvoj abstraktne, splo\xc5\xa1ne teorije neskon\xc4\x8dnih mno\xc5\xbeic."