b'\n_START_ARTICLE_\nGrupa\n_START_PARAGRAPH_\nGr\xc3\xbapa je v matematiki eden od osnovnih pojmov sodobne algebre. Grupe tvorijo temelj drugim algebrskim strukturam, kot so obsegi in vektorski prostori, in so pomembne pri raziskovanju simetrije v vseh njenih oblikah.\n_START_SECTION_\nRacionalna \xc5\xa1tevila z mno\xc5\xbeenjem?\n_START_PARAGRAPH_\nImejmo mno\xc5\xbeico racionalnih \xc5\xa1tevil Q, to je tak\xc5\xa1no mno\xc5\xbeico \xc5\xa1tevil a/b, v kateri so a in b cela \xc5\xa1tevila in b \xe2\x89\xa0 0, ter operacijo mno\xc5\xbeenja, ozna\xc4\x8deno z *. Ali je par (Q,*) grupa? Ne. Racionalno \xc5\xa1tevilo 0 pripada mno\xc5\xbeici Q vendar nima multiplikativnega obratnega elementa. Kakor (Z,*) je tudi (Q,*) polgrupa(asociativen grupoid) in ni grupa._NEWLINE_\xc4\x8ce privzamemo, da sta a \xe2\x89\xa0 0 in b \xe2\x89\xa0 0,  mno\xc5\xbeica ne vsebuje \xc5\xa1tevila 0 in jo ozna\xc4\x8dimo z Q\\{0}). V tem primeru par (Q\\{0},*) tvori grupo. Obratni element a/b je b/a. Lahko enostavno preverimo tudi druge aksiome.\n_START_SECTION_\nMatri\xc4\x8dne grupe\n_START_PARAGRAPH_\n\xc4\x8ce je n poljubno pozitivno celo \xc5\xa1tevilo, lahko premislimo o mno\xc5\xbeici vseh obrnljivih n \xc3\x97 n matrik iz mno\xc5\xbeice realnih \xc5\xa1tevil. To je grupa z matri\xc4\x8dnim mno\xc5\xbeenjem kot operacijo grupe. Imenuje se splo\xc5\xa1na linearna grupa, GL(n). Geometrijsko vsebuje vse kombinacije transformacij vrtenja, zrcaljenja, raztezanja in krivljenja n razse\xc5\xbenega evklidskega prostora preko dane nepomi\xc4\x8dne to\xc4\x8dke (izhodi\xc5\xa1\xc4\x8da)._NEWLINE_\xc4\x8ce se omejimo na matrike z determinantami enakimi 1, dobimo novo grupo, posebno linearno grupo, SL(n). Ta geometrijsko vsebuje vse elemente GL(n), ki ohranjajo tako smer in prostornino razli\xc4\x8dnih geometrijskih teles v evklidskem prostoru._NEWLINE_\xc4\x8ce pa se omejimo na ortogonalne matrike, dobimo ortogonalno grupo, O(n). Ta geometrijsko vsebuje vse kombinacije vrtenj in zrcaljenj z nepomi\xc4\x8dnim izhodi\xc5\xa1\xc4\x8dem. To so prav transformacije, ki ohranjajo dol\xc5\xbeine in kote._NEWLINE_\xc4\x8ce zdru\xc5\xbeimo obe omejitvi, dobimo posebno ortogonalno grupo SO(n), ki vsebuje samo vrtenja._NEWLINE_Vse te grupe so prvi primeri neskon\xc4\x8dnih neabelovih grup, ki so tudi Liejeve grupe._NEWLINE_\xc4\x8ce to posplo\xc5\xa1imo na matrike s kompleksnimi \xc5\xa1tevili, dobimo \xc5\xa1e ve\xc4\x8d uporabnih Liejevih grup, ko je enotska grupa U(n). Tak\xc5\xa1ne grupe lahko obravnavamo tudi popolnoma algebrsko z matrikami iz kateregakoli obsega, vendar tak\xc5\xa1ne grupe niso Liejeve.\n_START_SECTION_\nProsta grupa z dvema generatorjema\n_START_PARAGRAPH_\nProsta grupa z dvema generatorjema a in b vsebuje vse kon\xc4\x8dne znakovne nize, ki jih lahko oblikujemo iz \xc5\xa1tirih znakov a, a\xe2\x81\xbb\xc2\xb9, b in b\xe2\x81\xbb\xc2\xb9 tako, da se noben a neposredno ne pojavi poleg a\xe2\x81\xbb\xc2\xb9 in noben b poleg b\xe2\x81\xbb\xc2\xb9. Dva tak\xc5\xa1na znakovna niza lahko pove\xc5\xbeemo in spremenimo v znakovni niz tega tipa s ponavljajo\xc4\x8do zamenjavo \xc2\xbbprepovedanega\xc2\xab\xc2\xa0podniza s praznim znakovnim nizom. Na primer: znakovni niz "a b a b\xe2\x81\xbb\xc2\xb9" povezan z znakovnim nizom "a b a b\xe2\x81\xbb\xc2\xb9 a" nam da znakovni niz "a b a b\xe2\x81\xbb\xc2\xb9 a\xe2\x81\xbb\xc2\xb9 a b a b\xe2\x81\xbb\xc2\xb9 a", ki ga skr\xc4\x8dimo na "a b a a b\xe2\x81\xbb\xc2\xb9 a". Preverimo lahko, da mno\xc5\xbeica tak\xc5\xa1nih znakovnih nizov s to operacijo tvori grupo z nevtralnim elementom, praznim znakovnim nizom \xce\xb5 \xe2\x89\xa1 "". Po navadi narekovaje opustimo, zaradi \xc4\x8desar potrebujemo znak &epsilon._NEWLINE_To je naslednji primer neskon\xc4\x8dne neabelove grupe._NEWLINE_Proste grupe so pomembne v algebrski topologiji. Prosto grupo z dvema generatorjema potrebujemo tudi pri dokazu Banach-Tarskijevega paradoksa.\n_START_SECTION_\n\xc5\xa0e nekaj primerov kon\xc4\x8dnih grup\n_START_PARAGRAPH_\nGlej seznam malih grup za \xc5\xa1e druge primere.\n_START_SECTION_\nUporabe\n_START_PARAGRAPH_\nGrupe uporabljamo v celotni matematiki, velikokrat za opis notranje simetrije drugih struktur, v obliki avtomorfizma grup._NEWLINE_V Galoisovi teoriji, ki je zgodovinsko gledano ze\xc4\x8detek pojma grupe, uporabljamo grupe za opis simetrij ena\xc4\x8db s polinomskimi koreni._NEWLINE_V algebrski topologiji uporabljamo grupe za opisovanje invariant v topolo\xc5\xa1kih prostorih. Imenujemo jih \xc2\xbbinvariante\xc2\xab, ker so dolo\xc4\x8dene na na\xc4\x8din, pri katerem se ne spremenijo, \xc4\x8de je prostor pod vplivom kak\xc5\xa1nega popa\xc4\x8denja (deformacije). Zgledi za tak\xc5\xa1ne grupe so: fundamentalna grupa, homolo\xc5\xa1ke grupe in kohomolo\xc5\xa1ke grupe._NEWLINE_Pojem Liejeve grupe je pomemben pri raziskovanju diferencialnih ena\xc4\x8db in mnogoterosti. S pojmoma zdru\xc5\xbeujemo analizo in teorijo grup in sta zato primerna objekta pri opisovanju simetrij analiti\xc4\x8dnih struktur. Analiza tak\xc5\xa1nih in podobnih grup se imenuje harmoni\xc4\x8dna analiza._NEWLINE_V kemiji uporabljamo grupe za opredelitev kristalnih zgradb, pravilnih poliedrov in simetrij molekul._NEWLINE_V fiziki so grupe pomembne ker opisujejo simetrije, katerim so podvr\xc5\xbeeni naravni zakoni. Fiziki se zelo zanimajo za prikaze grup, \xc5\xa1e posebej za Liejeve grupe, ker nakazujejo \xc2\xbbprimerne\xc2\xab\xc2\xa0fizikalne teorije._NEWLINE_Abelove grupe so osnova drugim strukturam, ki jih prou\xc4\x8duje abstraktna algebra kot so kolobarji, obsegi in moduli.\n_START_SECTION_\nPosplo\xc5\xa1itve\n_START_PARAGRAPH_\nLiejeve grupe, algebrske grupe in topolo\xc5\xa1ke grupe so primeri grupnih objektov: grupa kot strukture le\xc5\xbei v kategoriji._NEWLINE_Zakoni oblikovnih grup so dolo\xc4\x8dene oblikovne poten\xc4\x8dne vrste, katerih lastnosti so zelo podobne grupni operaciji._NEWLINE_V raziskovanju topolo\xc5\xa1kih in analiti\xc4\x8dnih struktur nastopajo grupoidi, ki so podobni grupam, s tem, da sestava (kompozicija) a * b ni nujno dolo\xc4\x8dena za vse elemente a in b. Grupoidi so posebna vrsta kategorij.'