b'\n_START_ARTICLE_\nEqua\xc3\xa7\xc3\xa3o funcional (fun\xc3\xa7\xc3\xa3o L)\n_START_SECTION_\nTeoria\n_START_PARAGRAPH_\nUma teoria unificada destas equa\xc3\xa7\xc3\xb5es funcionais foi dada por Erich Hecke, e retomada na tese de Tate por John Tate. Hecke encontrou car\xc3\xa1teres generalizados de corpos num\xc3\xa9ricos, agora chamados de car\xc3\xa1teres de Hecke, para os quais sua prova (baseada nas fun\xc3\xa7\xc3\xb5es theta) tamb\xc3\xa9m funcionavam. Estes car\xc3\xa1teres e suas fun\xc3\xa7\xc3\xb5es L associadas s\xc3\xa3o agora entendidas como intimamente relacionadas a multiplica\xc3\xa7\xc3\xa3o complexa, como os car\xc3\xa1teres de Dirichlet s\xc3\xa3o a corpos ciclot\xc3\xb4micos._NEWLINE_Existem tamb\xc3\xa9m equa\xc3\xa7\xc3\xb5es para as fun\xc3\xa7\xc3\xb5es zeta locais, devidos a um n\xc3\xadvel fundamental para a (an\xc3\xa1loga da) dualidade de Poincar\xc3\xa9 em cohomologia etal. Os produto de Euler da fun\xc3\xa7\xc3\xa3o zeta de Hasse-Weil para uma variedade alg\xc3\xa9brica V sobre um corpo num\xc3\xa9rico K, formado por m\xc3\xb3dulo reduzido de ideais primos para obter fun\xc3\xa7\xc3\xb5es zeta locais, s\xc3\xa3o conjecturados como tendo uma equa\xc3\xa7\xc3\xa3o funcional global; mas esta \xc3\xa9 atualmente considerada fora de alcance, salvo em casos especiais. A defini\xc3\xa7\xc3\xa3o pode ser lida diretamente a partir da teoria da cohomologia \xc3\xa9tale, novamente; mas, em geral, alguns pressupostos provenientes da teoria da representa\xc3\xa7\xc3\xa3o autom\xc3\xb3rfica parece ser necess\xc3\xa1ria para obter a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o funcional. A conjectura Taniyama-Shimura foi um caso particular desta teoria geral. Por relacionar o fator gama em aspecto a teoria de Hodge, e estudos detalhados do esperado fator \xce\xb5 , a teoria como emp\xc3\xadrica tem sido levada a um estado bastante refinado, mesmo se demonstra\xc3\xa7\xc3\xb5es inequ\xc3\xadvocas estejam faltando.'