b'\n_START_ARTICLE_\nTeorema do n\xc3\xbacleo e da imagem\n_START_PARAGRAPH_\nEm matem\xc3\xa1tica, mais especificamente em \xc3\xa1lgebra linear, o teorema do n\xc3\xbacleo e da imagem, em sua forma mais simples, afirma que o posto e a nulidade de uma matriz t\xc3\xaam como soma o n\xc3\xbamero de colunas da matriz. Especificamente, se A \xc3\xa9 uma matriz m-por-n (com m linhas e n colunas) sobre um corpo, ent\xc3\xa3o:_NEWLINE__NEWLINE_Isto tamb\xc3\xa9m se aplica a transforma\xc3\xa7\xc3\xb5es lineares. Sejam V e W espa\xc3\xa7os vetoriais sobre algum corpo e seja T\xc2\xa0: V \xe2\x86\x92 W uma transforma\xc3\xa7\xc3\xa3o linear. Ent\xc3\xa3o o posto de T \xc3\xa9 a dimens\xc3\xa3o da imagem de T e a nulidade de T \xc3\xa9 a dimens\xc3\xa3o do n\xc3\xbacleo de T, ent\xc3\xa3o tem-se:_NEWLINE__NEWLINE_ou, equivalentemente,_NEWLINE__NEWLINE_Pode-se refinar esta afirma\xc3\xa7\xc3\xa3o (por meio do lema de splitting ou a prova abaixo) para que seja sobre um isomorfismo de espa\xc3\xa7os, em vez de apenas sobre as respectivas dimens\xc3\xb5es._NEWLINE_Mais geralmente, pode-se considerar a imagem, o n\xc3\xbacleo, a co-imagem e o co-n\xc3\xbacleo, que est\xc3\xa3o relacionados pelo teorema fundamental da \xc3\xa1lgebra linear.\n_START_SECTION_\nDemonstra\xc3\xa7\xc3\xb5es\n_START_PARAGRAPH_\nSer\xc3\xa3o apresentadas duas demonstra\xc3\xa7\xc3\xb5es. A primeira utiliza a nota\xc3\xa7\xc3\xa3o das transforma\xc3\xa7\xc3\xb5es lineares, mas pode ser facilmente adaptada para matrizes escrevendo T(x) = Ax, onde A \xc3\xa9 m \xc3\x97 n. A segunda prova examina o sistema homog\xc3\xaaneo Ax = 0 associado a uma matriz A m \xc3\x97 n de posto r e mostra explicitamente que existe um conjunto de n \xe2\x88\x92 r solu\xc3\xa7\xc3\xb5es linearmente independentes que geram o espa\xc3\xa7o nulo de A. Essas provas tamb\xc3\xa9m est\xc3\xa3o dispon\xc3\xadveis no livro de Banerjee e Roy (2014)_NEWLINE_Primeira demonstra\xc3\xa7\xc3\xa3o: Suponha que  forma uma base de ker T. Pode-se estender esta base para formar uma base de V:  Como a dimens\xc3\xa3o de ker T \xc3\xa9 m e a dimens\xc3\xa3o de V \xc3\xa9 m + n, \xc3\xa9 suficiente mostrar que a dimens\xc3\xa3o da image of T (im T) \xc3\xa9 n._NEWLINE_Para ver que  \xc3\xa9 uma base de im T, seja v um vetor arbitr\xc3\xa1rio em V. Existe uma \xc3\xbanica sequ\xc3\xaancia de escalares tais que:_NEWLINE__NEWLINE_Assim,  gera im T._NEWLINE_Agora, \xc3\xa9 preciso mostrar que esta lista n\xc3\xa3o tem redund\xc3\xa2ncias; isto \xc3\xa9, que  \xc3\xa9 linearmente independente. Pode-se fazer isso mostrando que uma combina\xc3\xa7\xc3\xa3o linear destes vetores \xc3\xa9 zero se, e somente se, os coeficientes de cada vetor s\xc3\xa3o zero. Seja:_NEWLINE__NEWLINE_Ent\xc3\xa3o, como u\xe1\xb5\xa2 geram ker T, existe um conjunto de escalares d\xe1\xb5\xa2 tais que:_NEWLINE__NEWLINE_Mas, como  \xc3\xa9 uma base de V, todos os c\xe1\xb5\xa2, d\xe1\xb5\xa2 devem ser zero. Portanto,  \xc3\xa9 linearmente independente e de fato uma base de im T. Isto prova que a dimens\xc3\xa3o de im T \xc3\xa9 n, como desejado._NEWLINE_Em termos mais abstratos, a aplica\xc3\xa7\xc3\xa3o T\xc2\xa0: V \xe2\x86\x92 im T cinde._NEWLINE_Segunda demonstra\xc3\xa7\xc3\xa3o: Seja A uma matriz m \xc3\x97 n com r colunas linearmente independentes (isto \xc3\xa9 o posto de A \xc3\xa9 r). Ser\xc3\xa1 mostrado que: (i) existe um conjunto de n \xe2\x88\x92 r solu\xc3\xa7\xc3\xb5es linearmente independentes para o sistema homog\xc3\xaaneo Ax = 0, e (ii) que toda outra solu\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xa9 uma combina\xc3\xa7\xc3\xa3o linear destas n \xe2\x88\x92 r solu\xc3\xa7\xc3\xb5es. Em outras palavras, ser\xc3\xa1 produzida uma matriz X de ordem n \xc3\x97 (n \xe2\x88\x92 r) cujas colunas formam uma base do espa\xc3\xa7o nulo de A._NEWLINE_Sem perda de generalidade, assuma que as primeiras r colunas de A s\xc3\xa3o linearmente independentes. Ent\xc3\xa3o, pode-se escrever A = [A\xe2\x82\x81:A\xe2\x82\x82], em que A\xe2\x82\x81 \xc3\xa9 m \xc3\x97 r com r vetores colunas linearmente independentes e A\xe2\x82\x82 \xc3\xa9 m \xc3\x97 (n \xe2\x88\x92 r), sendo cada uma de suas n \xe2\x88\x92 r colunas combina\xc3\xa7\xc3\xb5es lineares das colunas de A\xe2\x82\x81. Isto significa que A\xe2\x82\x82 = A\xe2\x82\x81 B para alguma matriz B (ver fatora\xc3\xa7\xc3\xa3o de posto) e, assim, A = [A\xe2\x82\x81:A\xe2\x82\x81B]. Seja  em que  \xc3\xa9 a matriz matriz identidade (n \xe2\x88\x92 r) \xc3\x97 (n \xe2\x88\x92 r). Note que X \xc3\xa9 uma matriz n \xc3\x97 (n \xe2\x88\x92 r) que satisfaz_NEWLINE__NEWLINE_Portanto, cada uma das n \xe2\x88\x92 r colunas de X s\xc3\xa3o solu\xc3\xa7\xc3\xb5es particulares de Ax = 0. Al\xc3\xa9m disso, as n \xe2\x88\x92 r colunas de X s\xc3\xa3o linearmente independentes, pois Xu = 0 implica u = 0:_NEWLINE__NEWLINE_Portanto, os vetores coluna de X constituem um conjunto de n \xe2\x88\x92 r solu\xc3\xa7\xc3\xb5es linearmente independentes de Ax = 0._NEWLINE_A seguir ser\xc3\xa1 provado que qualquer solu\xc3\xa7\xc3\xa3o de Ax = 0 tem de ser uma combina\xc3\xa7\xc3\xa3o linear das colunas de X. Para isso, seja _NEWLINE_qualquer vetor tal que Au = 0. Note que como as colunas de A\xe2\x82\x81 s\xc3\xa3o linearmente independentes, A\xe2\x82\x81x = 0 implica x = 0. Portanto,_NEWLINE__NEWLINE_Isso prova que qualquer vetor u que \xc3\xa9 uma solu\xc3\xa7\xc3\xa3o de Ax = 0 tem de ser uma combina\xc3\xa7\xc3\xa3o linear das n \xe2\x88\x92 r solu\xc3\xa7\xc3\xb5es especiais dadas pelas colunas de X. E j\xc3\xa1 foi mostrado que as colunas de X s\xc3\xa3o linearmente independentes. Assim, as colunas de X constituem uma base para o espa\xc3\xa7o nulo de A. Por conseguinte, a nulidade de A \xc3\xa9 n \xe2\x88\x92 r. Como r \xc3\xa9 igual ao posto de A, segue-se que rk(A) + nul(A) = n. QED.'