b'\n_START_ARTICLE_\nWaveshaper\n_START_SECTION_\nFuncionamento\n_START_PARAGRAPH_\nWaveshaping \xc3\xa9 uma forma de modular um sinal sonoro (onda) passando-o por uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o n\xc3\xa3o-linear escolhida adequadamente. A fun\xc3\xa7\xc3\xa3o f (chamada fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de transfer\xc3\xaancia) distorce a forma de onda de entrada, transformando-a em uma forma diferente. A nova forma depende da forma de onda de entrada, da fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de transfer\xc3\xaancia e, principalmente, da amplitude do sinal de entrada. Como a amplitude da onda de entrada afeta a forma da onda de sa\xc3\xadda (e, portanto, o timbre), isso nos possibilita uma maneira f\xc3\xa1cil de criar uma fam\xc3\xadlia de timbres que varia continuamente, atrav\xc3\xa9s da simples varia\xc3\xa7\xc3\xa3o do n\xc3\xadvel de entrada da transforma\xc3\xa7\xc3\xa3o. Por esta raz\xc3\xa3o, costuma-se incluir um controle de amplitude como parte da opera\xc3\xa7\xc3\xa3o waveshaping._NEWLINE_A amplitude da sen\xc3\xb3ide \xc3\xa9 chamada de \xc3\xadndice de waveshaping. Em muitas situa\xc3\xa7\xc3\xb5es, um \xc3\xadndice pequeno resulta em distor\xc3\xa7\xc3\xb5es relativamente pequenas (portanto, em uma sa\xc3\xadda aproximadamente senoidal), enquanto um \xc3\xadndice maior propicia um timbre mais rico e distorcido. Um exemplo familiar de Waveshaping \xc3\xa9 o em que f equivale a uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de corte. Este exemplo mostra claramente como a amplitude de entrada - o \xc3\xadndice - pode afetar a forma de onda de sa\xc3\xadda. A fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de corte passa sua entrada inalterada para a sa\xc3\xadda desde que ela se mantenha no intervalo determinado. Ent\xc3\xa3o, quando a entrada (neste caso uma sen\xc3\xb3ide) n\xc3\xa3o excede o intervalo determinado, a sa\xc3\xadda \xc3\xa9 a mesma que a entrada. Mas quando a entrada cresce al\xc3\xa9m do limite, ela \xc3\xa9 limitada e, conforme a amplitude do sinal aumenta, o efeito dessa a\xc3\xa7\xc3\xa3o de corte \xc3\xa9 progressivamente mais \xe2\x80\x9cgrave\xe2\x80\x9d. Para uma entrada senoidal de amplitude decrescente, por exemplo, a sa\xc3\xadda evolui de uma forma de onda quase quadrada no in\xc3\xadcio para uma sen\xc3\xb3ide pura no final. Este efeito \xc3\xa9 bem conhecido por quem j\xc3\xa1 tocou um instrumento ligado a um amplificador com overdrive. Quanto mais alta for a entrada, mais distorcida ser\xc3\xa1 a sa\xc3\xadda. Por esta raz\xc3\xa3o, waveshaping \xc3\xa0s vezes tamb\xc3\xa9m \xc3\xa9 chamada s\xc3\xadntese de distor\xc3\xa7\xc3\xa3o._NEWLINE_Uma maneira muito mais simples de analisar a situa\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xa9 considerando uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de transfer\xc3\xaancia_NEWLINE_f(x)= x\xc2\xb2_NEWLINE_Para uma entrada senoidal,_NEWLINE_x[n]=a*cos(\xcf\x89n+\xc3\x98)_NEWLINE_obtemos f[x(n)] = a\xc2\xb2/2 * (1 + cos(2\xcf\x89n+2\xc3\x98))._NEWLINE_Se a amplitude for igual a um, isso causar\xc3\xa1 uma modula\xc3\xa7\xc3\xa3o em anel da sen\xc3\xb3ide por uma sen\xc3\xb3ide de mesma frequ\xc3\xaancia e o resultado ser\xc3\xa1 uma sa\xc3\xadda de sinal DC (frequ\xc3\xaancia nula) somado a um sinal de ao menos duas vezes a frequ\xc3\xaancia original. Contudo, neste exemplo de waveshaping, ao contr\xc3\xa1rio da situa\xc3\xa7\xc3\xa3o na modula\xc3\xa7\xc3\xa3o em anel, a amplitude da sa\xc3\xadda cresce com o quadrado da entrada._NEWLINE_Mantendo a mesma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de transfer\xc3\xaancia, consideramos agora o efeito do envio de uma combina\xc3\xa7\xc3\xa3o de duas sen\xc3\xb3ides com amplitudes and a e \xc3\x98 e freq\xc3\xbc\xc3\xaancias angulares \xce\xb1 e \xce\xb2. Para simplificar, vamos omitir os termos de fase inicial. Fazemos:_NEWLINE_x[n] = a*cos(\xce\xb1n)+ b*cos(\xce\xb2n)_NEWLINE_e passando isso por f, o resultado \xc3\xa9_NEWLINE_f(x[n]) = a\xc2\xb2/2 * (1+cos(2\xce\xb1n)) + \xce\xb2\xc2\xb2/2 * (1+cos(2\xce\xb2n)) + ab[cos((\xce\xb1+\xce\xb2)n)+cos((\xce\xb1-\xce\xb2)n)]._NEWLINE_Os dois primeiros termos s\xc3\xa3o somente o que obter\xc3\xadamos caso pass\xc3\xa1ssemos as duas senoides separadamente. O terceiro termo adv\xc3\xa9m do produto dos dois termos de entrada._NEWLINE_f(x+y) = x\xc2\xb2+2xy+y\xc2\xb2_NEWLINE_Este efeito, chamado intermodula\xc3\xa7\xc3\xa3o, torna-se cada vez mais dominante conforme o n\xc3\xbamero de termos na entrada aumenta; se houver k senoides na entrada haver\xc3\xa1 apenas k termos \xe2\x80\x9cdiretos\xe2\x80\x9d no produto, mas haver\xc3\xa1 (k\xc2\xb2-k)/2 termos de intermodula\xc3\xa7\xc3\xa3o._NEWLINE_Em compara\xc3\xa7\xc3\xa3o com a modula\xc3\xa7\xc3\xa3o em anel, que \xc3\xa9 uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o linear do sinal de entrada, waveshaping n\xc3\xa3o \xc3\xa9 linear. Fomos capazes de analisar os processos lineares considerando sua a\xc3\xa7\xc3\xa3o separadamente em todos os componentes da entrada, mas no caso n\xc3\xa3o-linear tamb\xc3\xa9m temos de considerar as intera\xc3\xa7\xc3\xb5es entre os componentes. Os resultados s\xc3\xa3o muito mais complexos e algumas vezes bem mais ricos sonoramente, contudo s\xc3\xa3o tamb\xc3\xa9m mais dif\xc3\xadceis de compreender ou prever. De forma geral, podemos demonstrar que uma entrada peri\xc3\xb3dica, n\xc3\xa3o importa qu\xc3\xa3o complexa, repetir-se-\xc3\xa1 com o mesmo per\xc3\xadodo: se o per\xc3\xadodo for de \xcf\x84 modo que_NEWLINE_x[n+\xcf\x84]=x[n]_NEWLINE_ent\xc3\xa3o, obtemos imediatamente_NEWLINE_f(x[n+\xcf\x84])=f(x[n])_NEWLINE_(em alguns casos especiais, a sa\xc3\xadda pode repetir a um subm\xc3\xbaltiplo do \xcf\x84, o que nos fornecer\xc3\xa1 uma harm\xc3\xb4nica da entrada como resultado; veremos isso ocorrer mais a frente)._NEWLINE_Combina\xc3\xa7\xc3\xb5es de tons peri\xc3\xb3dicos em intervalos consonantes dar\xc3\xa3o origem a produtos de distor\xc3\xa7\xc3\xa3o nas subharmonicas. Por exemplo, se dois sinais peri\xc3\xb3dicos e est\xc3\xa3o separados de uma quarta musical (ou seja, se seus per\xc3\xadodos est\xc3\xa3o na propor\xc3\xa7\xc3\xa3o 4:3), ent\xc3\xa3o a soma das duas repeti\xc3\xa7\xc3\xb5es na taxa mais baixa ser\xc3\xa1 dada pela subharm\xc3\xb4nica comum (rever). Nas equa\xc3\xa7\xc3\xb5es, ter\xc3\xadamos:_NEWLINE_x[t+\xcf\x84/3]=x[t]_NEWLINE_y[t+\xcf\x84/4]=y[t]_NEWLINE_o que implica_NEWLINE_x[t+\xcf\x84] + y[t+\xcf\x84] = x[t]+y[t]_NEWLINE_e assim a soma distorcida f(x+y) iria se repetir ap\xc3\xb3s um per\xc3\xadodo \xcf\x84:_NEWLINE_f(x+y)[n+\xcf\x84]=f(x+y)[n]._NEWLINE_Isto \xc3\xa9 vivenciado pelo guitarrista que liga o amplificador em \xe2\x80\x9coverdrive\xe2\x80\x9d e toca as cordas abertas si e mi agudo em conjunto: o produto de distor\xc3\xa7\xc3\xa3o indica o mesmo que o mi grave, que est\xc3\xa1 duas oitavas abaixo do agudo._NEWLINE_Para obter uma an\xc3\xa1lise um pouco mais expl\xc3\xadcita dos efeitos da waveshaping em um sinal de entrada, \xc3\xa0s vezes \xc3\xa9 \xc3\xbatil escrever a fun\xc3\xa7\xc3\xa3o f como uma s\xc3\xa9rie finita ou infinita de energia:_NEWLINE_f(x)=f0+f1*x+f2*x\xc2\xb2+f3*x\xc2\xb3+..._NEWLINE_Se o sinal de entrada x[n] \xc3\xa9 uma senoide, a*cos(\xcf\x89n), podemos considerar a a\xc3\xa7\xc3\xa3o dos termos acima separadamente:_NEWLINE_f(x[n])=f0+a*f1*cos(\xcf\x89n)+a\xc2\xb2*f2*cos\xc2\xb2(\xcf\x89n)+a\xc2\xb3*f3*cos\xc2\xb3(\xcf\x89n)+..._NEWLINE_Uma vez que os termos de ordem superior s\xc3\xa3o multiplicados por pot\xc3\xaancias superiores da amplitude , um valor mais baixo de refor\xc3\xa7ar\xc3\xa1 os termos anteriores mais fortemente; um valor superior far\xc3\xa1 os termos de ordem superior mais proeminentes. O espectro individual de cada termo pode ser encontrado atrav\xc3\xa9s da aplica\xc3\xa7\xc3\xa3o da f\xc3\xb3rmula do produto do cosseno repetidamente:_NEWLINE_1=cos(0)_NEWLINE_x[n]=cos(\xcf\x89n)_NEWLINE_x\xc2\xb2[n]=1/2+1/2*cos(2\xcf\x89n)_NEWLINE_x\xc2\xb3[n]=1/3*cos(-\xcf\x89n)+2/4*cos(\xcf\x89n)+1/4*cos(3\xcf\x89n)_NEWLINE_x^4[n]=1/8*cos(-2\xcf\x89n)+3/8*cos(0)+3/8*cos(2\xcf\x89n)+1/8*cos(4\xcf\x89n)_NEWLINE_x^5[n]=1/16*cos(-3\xcf\x89n)+4/16*cos(-\xcf\x89n)+6/16*cos(\xcf\x89n)+4/16*cos(3\xcf\x89n)+1/16*cos(5\xcf\x89n)_NEWLINE_e assim por diante. O peso relativo dos componentes ser\xc3\xa1 reconhecido como o tri\xc3\xa2ngulo de Pascal. Cada k-\xc3\xa9sima linha pode ser aproximada por uma curva de Gauss cujo desvio padr\xc3\xa3o (medida de largura) \xc3\xa9 proporcional \xc3\xa0 raiz quadrada de k._NEWLINE_Os termos de frequ\xc3\xaancia negativa (que t\xc3\xaam sido mostrados separadamente aqui para maior clareza) devem ser combinados com os termos positivos; o envelope espectral \xc3\xa9 dobrado sobre si mesmo, da mesma forma como no exemplo com modula\xc3\xa7\xc3\xa3o em anel._NEWLINE_Enquanto os coeficientes fk forem todos maiores ou iguais a zero, as amplitudes das senoides nas expans\xc3\xb5es acima tamb\xc3\xa9m o ser\xc3\xa3o._NEWLINE_Nesse caso, todas as fases ser\xc3\xa3o alteradas coerentemente \xc3\xa0 varia\xc3\xa7\xc3\xa3o de \xce\xb1, ent\xc3\xa3o teremos uma amplia\xc3\xa7\xc3\xa3o do espectro (e possivelmente um aumento dr\xc3\xa1stico de amplitude) com valores crescentes de \xce\xb1._NEWLINE_Por outro lado, se alguns dos s\xc3\xa3o positivos e outros negativos, as expans\xc3\xb5es diferentes ir\xc3\xa3o interferir destrutivamente, o que resultar\xc3\xa1 numa evolu\xc3\xa7\xc3\xa3o espectral de sonoridade mais complicada. Note tamb\xc3\xa9m que as expans\xc3\xb5es sucessivas cont\xc3\xaam apenas apenas parciais pares ou \xc3\xadmpares. Se a fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de transfer\xc3\xaancia (em forma de s\xc3\xa9rie) contiver apenas expoentes pares:_NEWLINE_f(x)=f0+f2*x^2+f4*x^4+..._NEWLINE_ent\xc3\xa3o o resultado, tendo apenas parciais pares, vai soar uma oitava mais alta do que a sen\xc3\xb3ide de entrada. Se apenas pot\xc3\xaancias \xc3\xadmpares aparecem na expans\xc3\xa3o de f(x), ent\xc3\xa3o a sa\xc3\xadda conter\xc3\xa1 apenas parciais \xc3\xadmpares. Mesmo se f n\xc3\xa3o puder ser expresso exatamente como uma s\xc3\xa9rie de pot\xc3\xaancia (por exemplo, a fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de corte da figura 5,3 ), ainda \xc3\xa9 verdade que, se f \xc3\xa9 uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o par, isto \xc3\xa9, se_NEWLINE_f(-x)=f(x)_NEWLINE_obteremos apenas harm\xc3\xb4nicas pares e se f \xc3\xa9 uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xadmpar,_NEWLINE_f(-x)=-f(x)_NEWLINE_obtemos harm\xc3\xb4nicas \xc3\xadmpares._NEWLINE_Muitos truques matem\xc3\xa1ticos t\xc3\xaam sido propostos para uso de waveshaping como gerador de espectros especificados. Ocorre que voc\xc3\xaa pode gerar sen\xc3\xb3ides puras, em qualquer harm\xc3\xb4nico da fundamental usando um polin\xc3\xb4mio Chebyshef como uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de transfer\xc3\xaancia [ Leb79 ], e a partir da\xc3\xad voc\xc3\xaa pode construir qualquer espectro est\xc3\xa1tico desejado. A gera\xc3\xa7\xc3\xa3o de fam\xc3\xadlias de espectros atrav\xc3\xa9s do waveshaping de uma sen\xc3\xb3ide de amplitude vari\xc3\xa1vel torna-se mais complicada, apesar de v\xc3\xa1rios casos especiais interessantes serem encontrados.'