b'\n_START_ARTICLE_\n\xc3\x81rea\n_START_SECTION_\nUnidades\n_START_PARAGRAPH_\nCada unidade de comprimento tem uma unidade de \xc3\xa1rea correspondente, igual \xc3\xa0 \xc3\xa1rea do quadrado que tem por lado esse comprimento. Desta forma, as \xc3\xa1reas podem ser medidas em metros quadrados (\xc2\xb2), cent\xc3\xadmetros quadrados (cm\xc2\xb2), mil\xc3\xadmetros quadrados (mm\xc2\xb2), quil\xc3\xb3metros quadrados (km\xc2\xb2), p\xc3\xa9s quadrados (ft\xc2\xb2), jardas quadradas (yd\xc2\xb2), milhas quadradas (mi\xc2\xb2), e assim por diante. Algebricamente, estas unidades s\xc3\xa3o os quadrados  das unidades de comprimento correspondentes._NEWLINE_A unidade do Sistema Internacional para \xc3\xa1rea \xc3\xa9 o metro quadrado, que \xc3\xa9 considerado uma unidade derivada de SI.\n_START_SECTION_\nHist\xc3\xb3ria\n_START_PARAGRAPH_\nAcredita-se que as necessidades cotidianas, tais como as divis\xc3\xb5es de terra para o plantio \xc3\xa0s margens dos rios, a constru\xc3\xa7\xc3\xa3o de resid\xc3\xaancias, assim como os estudos relativos aos movimentos dos astros inserem-se no contexto de atividades ligadas \xc3\xa0 geometria e desenvolvidas pelos seres humanos ao longo da evolu\xc3\xa7\xc3\xa3o humana._NEWLINE_Dentre os principais matem\xc3\xa1ticos da antiguidade respons\xc3\xa1veis pelo desenvolvimento da geometria destacam-se Tales de Mileto (VI a. C.), na Gr\xc3\xa9cia, importando a geometria utilizada pelos eg\xc3\xadpcios; Pit\xc3\xa1goras, conhecido pelo teorema aplicado ao tri\xc3\xa2ngulo ret\xc3\xa2ngulo que recebeu o seu nome e aperfei\xc3\xa7oou o conceito de demonstra\xc3\xa7\xc3\xa3o matem\xc3\xa1tica da \xc3\xa9poca. E, ainda nesse s\xc3\xa9culo, "os Elementos\xe2\x80\x9d de Euclides trouxeram inova\xc3\xa7\xc3\xb5es consistentes quanto aos m\xc3\xa9todos utilizados na antiguidade e que v\xc3\xaam contribuindo h\xc3\xa1 mais de 20 s\xc3\xa9culos para o desenvolvimento das ci\xc3\xaancias, baseando-se em tr\xc3\xaas conceitos b\xc3\xa1sicos, tais como ponto, reta e c\xc3\xadrculo, como tamb\xc3\xa9m nos cinco postulados. \xc3\x89 um sistema axiom\xc3\xa1tico que surge de conceitos e proposi\xc3\xa7\xc3\xb5es aceitos sem demonstra\xc3\xa7\xc3\xa3o, conhecidos como, postulados e axiomas._NEWLINE_Uma curiosidade interessante dentro do trabalho com \xc3\xa1reas diz respeito ao corpo humano como unidade. Assim, palmos, p\xc3\xa9s, passos, bra\xc3\xa7as e c\xc3\xbabitos, foram algumas das primeiras unidades de medida utilizadas direta ou indiretamente. Aproximadamente em 3500 a. C., per\xc3\xadodo em que iniciavam-se a constru\xc3\xa7\xc3\xa3o dos primeiros templos na Mesopot\xc3\xa2mia e no Egito, os respons\xc3\xa1veis por tais projetos sentiram a necessidade de encontrar unidades de medidas mais regulares e exatas, usaram ent\xc3\xa3o como base de medida as partes do corpo de apenas um homem (por exemplo, o rei) e com tais medidas confeccionaram r\xc3\xa9guas de madeiras e metal, ou ainda com n\xc3\xb3s, as quais destacaram-se como as primeiras medidas oficiais de comprimento._NEWLINE_O c\xc3\xa1lculo de \xc3\xa1reas iniciou-se possivelmente pela pr\xc3\xa1tica da arrecada\xc3\xa7\xc3\xa3o de impostos pelos sacerdotes, os quais calculavam intuitivamente a extens\xc3\xa3o dos campos s\xc3\xb3 pela observa\xc3\xa7\xc3\xa3o visual, com o tempo observaram trabalhadores revestindo uma parte retangular do ch\xc3\xa3o com pedras quadradas e perceberam que para determinar a quantidade de pedras, seria suficiente contar a quantidade de quadrados de uma fileira e multiplicar pelo n\xc3\xbamero de fileiras existentes, dando origem assim \xc3\xa0 f\xc3\xb3rmula para o c\xc3\xa1lculo da \xc3\xa1rea de um ret\xc3\xa2ngulo, sendo esta obtida a partir produto da base pela altura._NEWLINE_Logo ap\xc3\xb3s, desenvolveram uma f\xc3\xb3rmula para o c\xc3\xa1lculo da \xc3\xa1rea de um tri\xc3\xa2ngulo, fundados num pensamento bastante geom\xc3\xa9trico, no qual tinham a \xc3\xa1rea de um quadrado ou ret\xc3\xa2ngulo e dividindo-os ao meio em diagonal obtinham a \xc3\xa1rea do tri\xc3\xa2ngulo, assim a \xc3\xa1rea do tri\xc3\xa2ngulo \xc3\xa9 dada pela metade da \xc3\xa1rea do quadrado ou do ret\xc3\xa2ngulo. Quando o terreno n\xc3\xa3o tinha a forma retangular ou triangular, os primeiros cart\xc3\xb3grafos e agrimensores, utilizavam a triangula\xc3\xa7\xc3\xa3o, que consistia num processo de divis\xc3\xa3o da \xc3\xa1rea em tri\xc3\xa2ngulos, cuja soma de suas \xc3\xa1reas representava o total da \xc3\xa1rea._NEWLINE_No entanto, esse processo de triangula\xc3\xa7\xc3\xa3o apresentava alguns pequenos erros, ao medir a \xc3\xa1rea de terrenos n\xc3\xa3o planos ou com curvas. Surgiu assim a necessidade de calcular o comprimento da circunfer\xc3\xaancia e a \xc3\xa1rea do c\xc3\xadrculo. Com uma corda pequena ou grande sendo girada em torno de um ponto fixo tinha-se a figura de um circunfer\xc3\xaancia. Essa corda, medida que conhecemos como raio da circunfer\xc3\xaancia, tinha alguma rela\xc3\xa7\xc3\xa3o com o comprimento da circunfer\xc3\xaancia, assim, tomando essa corda e observando quantas vezes ela caberia na circunfer\xc3\xaancia, perceberam que cabia pouco mais de seis vezes e um quarto, independente do seu tamanho. Desta forma conclu\xc3\xadram que o comprimento da circunfer\xc3\xaancia poderia ser dado por 6,28 vezes a medida do raio o que corresponde ao que calculamos hoje quando fazemos , onde  vale aproximadamente ._NEWLINE_Quanto \xc3\xa0 \xc3\xa1rea do c\xc3\xadrculo, por volta de 2000 anos a.C., conta-se que Am\xc3\xb3sis, um escriba eg\xc3\xadpcio, se prop\xc3\xb4s a determinar a \xc3\xa1rea de um c\xc3\xadrculo, pensando inicialmente em calcular a \xc3\xa1rea de um quadrado e obter o n\xc3\xbamero de vezes que essa \xc3\xa1rea caberia na \xc3\xa1rea do c\xc3\xadrculo. Depois para definir qual seria esse quadrado, considerou mais adequado utilizar o quadrado cujo lado tivesse a mesma medida do raio do c\xc3\xadrculo do qual se desejava calcular a \xc3\xa1rea, assim procedendo provou que o quadrado se inseria no c\xc3\xadrculo entre tr\xc3\xaas e quatro vezes, o que representava uma aproxima\xc3\xa7\xc3\xa3o de tr\xc3\xaas vezes e um s\xc3\xa9timo, o que atualmente consideramos aproximado a 3,14 vezes. Desta forma determinou a \xc3\xa1rea do c\xc3\xadrculo multiplicando a \xc3\xa1rea do quadrado por 3,14, situa\xc3\xa7\xc3\xa3o que utilizamos atualmente com , com  valendo aproximadamente ._NEWLINE_Na Gr\xc3\xa9cia, aproximadamente em 500 a. C. foram fundadas as primeiras universidades. Neste per\xc3\xadodo Tales e seu disc\xc3\xadpulo Pit\xc3\xa1goras organizaram, desenvolveram e aplicaram todo o conhecimento da Babil\xc3\xb4nia, Et\xc3\xbarria, Egito e \xc3\x8dndia \xc3\xa0 matem\xc3\xa1tica, navega\xc3\xa7\xc3\xa3o e religi\xc3\xa3o. Neste per\xc3\xadodo, crescia a curiosidade e a procura por livros de geometria, o conhecimento do Universo ampliava-se velozmente e a escola de Pit\xc3\xa1goras fez afirma\xc3\xa7\xc3\xb5es quanto \xc3\xa0 forma da Terra identificando-a como esf\xc3\xa9rica ao inv\xc3\xa9s de plana. Surgiram novas constru\xc3\xa7\xc3\xb5es geom\xc3\xa9tricas, e suas \xc3\xa1reas e per\xc3\xadmetros eram agora f\xc3\xa1ceis de calcular.\n_START_SECTION_\nAplica\xc3\xa7\xc3\xb5es\n_START_PARAGRAPH_\nPode-se operacionalizar as \xc3\xa1reas de algumas figuras planas e utiliz\xc3\xa1-las em algumas aplica\xc3\xa7\xc3\xb5es \xc3\xbateis. Evidentemente, associa-se \xc3\xa1rea de uma figura plana a um n\xc3\xbamero positivo, o qual expressa o espa\xc3\xa7o do plano ocupado por ela.\n_START_SECTION_\nNota\xc3\xa7\xc3\xa3o\n_START_PARAGRAPH_\nUsa-se a escrita  para indicar a \xc3\xa1rea de um pol\xc3\xadgono de  v\xc3\xa9rtices. Vale lembrar que em qualquer pol\xc3\xadgono o n\xc3\xbamero de v\xc3\xa9rtices \xc3\xa9 igual ao n\xc3\xbamero de lados.\n_START_SECTION_\nPropriedade 1\n_START_PARAGRAPH_\nDois tri\xc3\xa2ngulos de mesma base e mesma altura t\xc3\xaam \xc3\xa1reas iguais._NEWLINE_Demonstra\xc3\xa7\xc3\xa3o: Dadas duas retas paralelas  e , a uma dist\xc3\xa2ncia , marcamos sobre a reta , os pontos  e , e sobre a reta , marcamos os pontos,  e , conforme figura abaixo._NEWLINE_Essa \xc3\xa9 uma consequ\xc3\xaancia do corol\xc3\xa1rio: Sejam  e  tri\xc3\xa2ngulos tais que . Ent\xc3\xa3o ._NEWLINE_Analisando as \xc3\xa1reas dos tri\xc3\xa2ngulos  e , temos que:_NEWLINE_Assim, como  e a dist\xc3\xa2ncia de  a  dada por , se  e  pertencem a reta  e  pertence a reta , obtendo um ponto qualquer  sobre a reta , temos , portanto os dois tri\xc3\xa2ngulos  e  possuem a mesma base  e a mesma altura , logo suas \xc3\xa1reas s\xc3\xa3o iguais.\n_START_SECTION_\nPropriedade 2\n_START_PARAGRAPH_\nSe dois tri\xc3\xa2ngulos possuem mesma altura, ent\xc3\xa3o a raz\xc3\xa3o entre as suas \xc3\xa1reas \xc3\xa9 igual \xc3\xa0 raz\xc3\xa3o entre as suas bases._NEWLINE_Na tri\xc3\xa2ngulo , foi tra\xc3\xa7ada uma ceviana a partir do v\xc3\xa9rtice  intersectando o lado  no ponto , ficando assim determinados dois tri\xc3\xa2ngulos:  e , de mesma altura ._NEWLINE_Demonstra\xc3\xa7\xc3\xa3o: Fazendo a raz\xc3\xa3o entre as \xc3\xa1reas temos,_NEWLINE_Portanto,\n_START_SECTION_\nTri\xc3\xa2ngulos semelhantes\n_START_PARAGRAPH_\nDados dois tri\xc3\xa2ngulos semelhantes ABC e MNP, vamos analisar a raz\xc3\xa3o de semelhan\xc3\xa7a entre a raz\xc3\xa3o entre suas \xc3\xa1reas e sua raz\xc3\xa3o de semelhan\xc3\xa7a._NEWLINE_Sejam  e  dois tri\xc3\xa2ngulos semelhantes, sendo  a raz\xc3\xa3o de semelhan\xc3\xa7a entre seus lados:_NEWLINE_, ent\xc3\xa3o temos _NEWLINE_Demonstra\xc3\xa7\xc3\xa3o: Como  e , temos pelas \xc3\xa1reas dos tri\xc3\xa2ngulos:_NEWLINE_Portanto, dados dois tri\xc3\xa2ngulos com raz\xc3\xa3o de semelhan\xc3\xa7a  entre seus lados correspondentes, a raz\xc3\xa3o de semelhan\xc3\xa7a entre suas \xc3\xa1reas ser\xc3\xa1 .\n_START_SECTION_\n\xc3\x81rea de um trap\xc3\xa9zio\n_START_PARAGRAPH_\nNo trap\xc3\xa9zio  de altura , temos os lados paralelos  e , tal que_NEWLINE_ e ._NEWLINE_Demonstra\xc3\xa7\xc3\xa3o: Vamos supor, sem perda de generalidade, que , e tra\xc3\xa7ar pelo v\xc3\xa9rtice  um segmento paralelo ao lado  de forma que intercepte o lado  no ponto ._NEWLINE_Assim, como  e , temos o paralelogramo  de altura  e base , e temos ainda um tri\xc3\xa2ngulo  de base , e altura ._NEWLINE_Note que:_NEWLINE_Portanto,\n_START_SECTION_\n\xc3\x81rea de um losango\n_START_PARAGRAPH_\nDe acordo com o corol\xc3\xa1rio: Se ABCD \xc3\xa9 um losango de diagonais AC e BD, ent\xc3\xa3o ._NEWLINE_Demonstra\xc3\xa7\xc3\xa3o: Dado o losango , cujas diagonais interceptam-se no ponto , simult\xc3\xa2neamente, ponto m\xc3\xa9dio de ambas as diagonais  e ._NEWLINE_Como , os tri\xc3\xa2ngulos determinados pelas diagonais  e , s\xc3\xa3o is\xc3\xb3sceles e como  \xc3\xa9 ponto m\xc3\xa9dio destas diagonais, temos que, , , portanto os tri\xc3\xa2ngulos  e  s\xc3\xa3o congruentes pelo caso LAL, assim como os tri\xc3\xa2ngulos  e , pelo mesmo caso._NEWLINE_Sendo assim, vamos mostrar a \xc3\xa1rea do losango atrav\xc3\xa9s dos tri\xc3\xa2ngulos determinados pela diagonal ._NEWLINE_._NEWLINE_Como , temos:'