b'\n_START_ARTICLE_\nAlgoritmo de autovalor\n_START_PARAGRAPH_\nEm an\xc3\xa1lise num\xc3\xa9rica, um dos problemas mais importantes \xc3\xa9 projetar algoritmos eficientes e est\xc3\xa1veis para encontrar os autovalor de uma matriz, ou para um operador linear cont\xc3\xadnuo (por exemplo, os autovetores do hamiltoniano de um sistema qu\xc3\xa2ntico particular, s\xc3\xa3o os diferentes autoestados de energia de que o sistema e os seus autovalores s\xc3\xa3o os n\xc3\xadveis de energia correspondentes). Esses algoritmos de autovalores tamb\xc3\xa9m podem encontrar autovetores.\n_START_SECTION_\nN\xc3\xbamero de condicionamento\n_START_PARAGRAPH_\nQualquer problema de c\xc3\xa1lculo num\xc3\xa9rico pode ser visto como uma an\xc3\xa1lise de uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc6\x92 para um valor de entrada x. O n\xc3\xbamero de condicionamento \xce\xba(\xc6\x92, x) do problema \xc3\xa9 a raz\xc3\xa3o do erro relativo no resultado da fun\xc3\xa7\xc3\xa3o e do erro relativo de entrada, e varia com ambas a fun\xc3\xa7\xc3\xa3o e a entrada. O n\xc3\xbamero de condicionamento descreve como erros crescem durante o c\xc3\xa1lculo. Seu logaritmo de base 10 diz quantos digitos a menos de precis\xc3\xa3o existem no resultado que existe do que existia na entrada. O n\xc3\xbamero condicional \xc3\xa9 um melhor cen\xc3\xa1rio. Ele reflete a instabilidade  constru\xc3\xadda no problema, independente de como ele se resolve. Nenhum algoritmo pode produzir resultados mais precisos do que o indicado pelo n\xc3\xbamero de condicionamento, exceto por sorte. No entanto, um algoritmo mal preparado pode produzir resultados significativamente piores. Por exemplo, como mencionado abaixo, o problema de encontrar autovalores para matrizes normais \xc3\xa9 sempre bem condicionado. No entanto, o problema de encontrar as ra\xc3\xadzes de um polin\xc3\xb4mio pode ser bem mal condicionado. Assim, algoritmos de autovalor que trabalham para encontrar as ra\xc3\xadzes do polin\xc3\xb4mio caracter\xc3\xadstico pode ser mal condicionado mesmo quando o problema n\xc3\xa3o \xc3\xa9._NEWLINE_Para o problema de resolver a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o linear Av = b onde A \xc3\xa9 invert\xc3\xadvel, o n\xc3\xbamero de condicionamento \xce\xba(A\xe2\x81\xbb\xc2\xb9, b) \xc3\xa9 dado por ||A||\xe2\x82\x92\xe2\x82\x9a||A\xe2\x81\xbb\xc2\xb9||\xe2\x82\x92\xe2\x82\x9a, onde ||  ||\xe2\x82\x92\xe2\x82\x9a  \xc3\xa9 a norma operacional subordinada a norma euclidiana normal em C \xe2\x81\xbf. Como esse n\xc3\xbamero \xc3\xa9 independente de b e \xc3\xa9 o mesmo para A e A\xe2\x81\xbb\xc2\xb9, \xc3\xa9 normalmente chamado de n\xc3\xbamero de condicionamento \xce\xba(A) da matriz A. Esse valor \xce\xba(A) tamb\xc3\xa9m \xc3\xa9 o valor absoluto da raz\xc3\xa3o do maior autovalor de A e do menor. Se A \xc3\xa9 unit\xc3\xa1ria, ent\xc3\xa3o ||A||\xe2\x82\x92\xe2\x82\x9a = ||A\xe2\x81\xbb\xc2\xb9||\xe2\x82\x92\xe2\x82\x9a = 1, logo \xce\xba(A) = 1. Para matrizes gerais, a norma operacional \xc3\xa9 dif\xc3\xadcil de se calcular. Por isso, outras normas matriciais s\xc3\xa3o usadas normalmente para estimar o n\xc3\xbamero de condicionamento._NEWLINE_Para o problema do autovalor, Bauer e Fike provaram\xc2\xa0que, se\xc2\xa0\xce\xbb\xc2\xa0\xc3\xa9 um autovalor de uma matriz\xc2\xa0diagonaliz\xc3\xa1vel\xc2\xa0n \xc3\x97 n\xc2\xa0\xc2\xa0A\xc2\xa0com matriz autovetor\xc2\xa0V, ent\xc3\xa3o, o erro absoluto no c\xc3\xa1lculo de\xc2\xa0\xce\xbb\xc2\xa0\xc3\xa9 delimitado pelo produto de\xc2\xa0\xce\xba(V)\xc2\xa0e o erro absoluto em A.\xc2\xa0Como resultado, o n\xc3\xbamero de condicionamento para encontrar\xc2\xa0\xce\xbb\xc2\xa0\xc3\xa9\xc2\xa0\xce\xba(\xce\xbb, A) = \xce\xba(V) = ||V ||\xe2\x82\x92\xe2\x82\x9a ||V \xe2\x81\xbb\xc2\xb9||\xe2\x82\x92\xe2\x82\x9a. Se A\xc2\xa0\xc3\xa9 uma matriz normal, ent\xc3\xa3o\xc2\xa0V \xc3\xa9 unit\xc3\xa1ria, e\xc2\xa0\xce\xba(\xce\xbb, A) = 1. Assim, o problema do autovalor para todas as matrizes normais \xc3\xa9 bem condicionado._NEWLINE_O n\xc3\xbamero de condicionamento para o problema de encontrar o autoespa\xc3\xa7o de uma matriz normal A\xc2\xa0correspondente a um autovalor\xc2\xa0\xce\xbb tem sido mostrado ser inversamente proporcional \xc3\xa0 dist\xc3\xa2ncia m\xc3\xadnima entre\xc2\xa0\xce\xbb e os outros distintos autovalores de A.\xc2\xa0Em particular, o problema do autoespa\xc3\xa7o para matrizes normais \xc3\xa9 bem condicionado para autovalores isolados. Quando autovalores n\xc3\xa3o s\xc3\xa3o isolados, o melhor que se pode esperar \xc3\xa9 identificar a extens\xc3\xa3o de todos os autovetores de autovalores pr\xc3\xb3ximos.\n_START_SECTION_\nAlgoritmos\n_START_PARAGRAPH_\nQualquer polin\xc3\xb4mio m\xc3\xb4nico \xc3\xa9 o polin\xc3\xb4mio caracter\xc3\xadstico de sua matriz companheira. Portanto, um algoritmo geral para encontrar os autovalores tamb\xc3\xa9m pode ser usado para encontrar as ra\xc3\xadzes de polin\xc3\xb4mios. O\xc2\xa0teorema de Abel-Ruffini\xc2\xa0mostra que qualquer algoritmo para dimens\xc3\xb5es maiores do que 4 deve ser ou infinito, ou envolver fun\xc3\xa7\xc3\xb5es de maior complexidade do que opera\xc3\xa7\xc3\xb5es aritm\xc3\xa9ticas elementares e pot\xc3\xaancias fraccion\xc3\xa1rias. Por este motivo, os algoritmos que calculam exatamente autovalores em um n\xc3\xbamero finito de passos s\xc3\xb3 existem para algumas classes especiais de matrizes. Para matrizes gerais, os algoritmos s\xc3\xa3o\xc2\xa0iterativos, produzindo melhores solu\xc3\xa7\xc3\xb5es aproximadas com cada itera\xc3\xa7\xc3\xa3o._NEWLINE_Alguns algoritmos de produzir cada autovalor, outros v\xc3\xa3o produzir alguns, ou apenas um. No entanto, mesmo estas algoritmos podem ser utilizados para localizar todos os autovalores. Uma vez que um autovalor\xc2\xa0\xce\xbb de uma matriz\xc2\xa0A foi identificado, ele pode ser usado para direcionar o algoritmo para uma solu\xc3\xa7\xc3\xa3o diferente da pr\xc3\xb3xima vez, ou para reduzir o problema a um que j\xc3\xa1 n\xc3\xa3o tem\xc2\xa0\xce\xbb como uma solu\xc3\xa7\xc3\xa3o._NEWLINE_O redirecionamento \xc3\xa9 feito deslocando-se: a substitui\xc3\xa7\xc3\xa3o de A\xc2\xa0com A - \xce\xbcI\xc2\xa0para alguma constante\xc2\xa0\xce\xbc. O autovalor encontrado para A - \xce\xbcI\xc2\xa0deve ter\xc2\xa0\xce\xbc\xc2\xa0adicionado de volta para obter um autovalor para A. Por exemplo, para o\xc2\xa0m\xc3\xa9todo das pot\xc3\xaancias,\xc2\xa0\xce\xbc = \xce\xbb. O m\xc3\xa9todo das pot\xc3\xaancias encontra o maior autovalor em valor absoluto, de modo que, mesmo quando\xc2\xa0\xce\xbb \xc3\xa9 apenas aproximado do autovalor, \xc3\xa9 improv\xc3\xa1vel que o m\xc3\xa9todo da pot\xc3\xaancia encontre uma segunda vez. Inversamente, m\xc3\xa9todos com base em itera\xc3\xa7\xc3\xa3o inversa\xc2\xa0encontram o menor autovalor, ent\xc3\xa3o\xc2\xa0\xce\xbc \xc3\xa9 escolhido distante de\xc2\xa0\xce\xbb e, espera-se, mais perto de algum outro autovalor._NEWLINE_A redu\xc3\xa7\xc3\xa3o pode ser realizada restringindo A para o espa\xc3\xa7o de coluna da matriz A - \xce\xbbI, que A transporta para si pr\xc3\xb3prio. Como A - \xce\xbbI \xc3\xa9 singular, o espa\xc3\xa7o de coluna \xc3\xa9 de menor dimens\xc3\xa3o. O algoritmo de autovalor pode, ent\xc3\xa3o, ser aplicada \xc3\xa0 matriz restrita. Este processo pode ser repetido at\xc3\xa9 que todos os autovalores s\xc3\xa3o encontrados._NEWLINE_Se um algoritmo de autovalor n\xc3\xa3o produz autovetores, uma pr\xc3\xa1tica comum \xc3\xa9 usar um algoritmo baseado em itera\xc3\xa7\xc3\xa3o inversa com\xc2\xa0\xce\xbc\xc2\xa0definido para uma aproxima\xc3\xa7\xc3\xa3o do autovalor. Isso ir\xc3\xa1 rapidamente convergir para o autovetor dos autovalores mais pr\xc3\xb3ximos de \xce\xbc. Para pequenas matrizes, uma alternativa \xc3\xa9 olhar para o espa\xc3\xa7o de coluna do produto de\xc2\xa0A - \xce\xbb\xe2\x80\x99I\xc2\xa0para cada um dos outros autovalores\xc2\xa0\xce\xbb\xe2\x80\x99.\n_START_SECTION_\nC\xc3\xa1lculo direto\n_START_PARAGRAPH_\nApesar de n\xc3\xa3o existir um algoritmo simples para calcular diretamente autovalores para matrizes gerais, existem in\xc3\xbameras classes especiais de matrizes nas quais os autovalores podem ser calculados diretamente. Estas incluem:\n_START_SECTION_\nMatrizes triangulares\n_START_PARAGRAPH_\nComo o determinante de uma\xc2\xa0matriz triangular\xc2\xa0\xc3\xa9 o produto de sua entradas diagonais, se\xc2\xa0T \xc3\xa9 triangular, ent\xc3\xa3o . Assim, os autovalores de T s\xc3\xa3o as suas entradas diagonais.'