b'\n_START_ARTICLE_\nTrigonometria esf\xc3\xa9rica\n_START_SECTION_\nA esfera\n_START_PARAGRAPH_\nUma esfera E, de centro no ponto (a,b,c) e raio k, \xc3\xa9 dom\xc3\xadnio de R\xc2\xb3 definido por todos pontos no espa\xc3\xa7o tridimensional que cumprem com a seguinte defini\xc3\xa7\xc3\xa3o:\n_START_SECTION_\nC\xc3\xadrculo m\xc3\xa1ximo\n_START_PARAGRAPH_\nA intersec\xc3\xa7\xc3\xa3o de uma esfera com um plano que contenha seu centro gera um c\xc3\xadrculo m\xc3\xa1ximo e uma circunfer\xc3\xaancia m\xc3\xa1xima sobre a superf\xc3\xadcie da esfera. Um c\xc3\xadrculo m\xc3\xa1ximo divide a esfera em dois hemisf\xc3\xa9rios iguais. A dist\xc3\xa2ncia entre dois pontos da superf\xc3\xadcie da esfera, unidos por um arco de c\xc3\xadrculo m\xc3\xa1ximo, \xc3\xa9 a menor entre eles, e denomina-se distancia ortodr\xc3\xb4mica. Como exemplos de c\xc3\xadrculos m\xc3\xa1ximos, temos na superf\xc3\xadcie terrestre os meridianos e a linha do equador.\n_START_SECTION_\nVolume e superf\xc3\xadcie das esferas\n_START_PARAGRAPH_\nO volume de uma esfera \xc3\xa9 o volume de revolu\xc3\xa7\xc3\xa3o produzida por um semi c\xc3\xadrculo que gira ao redor do di\xc3\xa2metro. Segundo esta defini\xc3\xa7\xc3\xa3o, se o seu raio \xc3\xa9 r, seu volume ser\xc3\xa1:_NEWLINE_A superf\xc3\xadcie \xc3\xa9 a superf\xc3\xadcie lateral de um corpo de revolu\xc3\xa7\xc3\xa3o e ser\xc3\xa1 dada por:\n_START_SECTION_\nDom\xc3\xadnio sobre a superf\xc3\xadcie esf\xc3\xa9rica\n_START_PARAGRAPH_\nUm dom\xc3\xadnio de superf\xc3\xadcie esf\xc3\xa9rica \xc3\xa9 uma \xc3\xa1rea sobre a superf\xc3\xadcie da esfera, limitado pela curvas dessa superf\xc3\xadcie.\n_START_SECTION_\nTri\xc3\xa2ngulo esf\xc3\xa9rico\n_START_PARAGRAPH_\nSe tr\xc3\xaas pontos da superf\xc3\xadcie esf\xc3\xa9rica s\xc3\xa3o unidos por arcos de c\xc3\xadrculo m\xc3\xa1ximo, menores que 180\xc2\xba, a figura obtida denomina-se tri\xc3\xa2ngulo esf\xc3\xa9rico. Os lados do pol\xc3\xadgono assim formado se expressam por conveni\xc3\xaancia como \xc3\xa2ngulos cujos v\xc3\xa9rtices s\xc3\xa3o o centro da esfera e n\xc3\xa3o por sua longitude. Este arco medido em radianos e multiplicado pelo raio da esfera \xc3\xa9 a longitude do arco. Em um tri\xc3\xa2ngulo esf\xc3\xa9rico os \xc3\xa2ngulos cumprem que: 180\xc2\xb0 <  +  +  < 540\xc2\xb0.\n_START_SECTION_\nF\xc3\xb3rmula do seno\n_START_PARAGRAPH_\nOs senos dos lados s\xc3\xa3o proporcionais a os senos dos \xc3\xa2ngulos opostos.\n_START_SECTION_\nF\xc3\xb3rmula da cotangente\n_START_PARAGRAPH_\nA f\xc3\xb3rmula da cotangente tamb\xc3\xa9m se denomina f\xc3\xb3rmula de elementos consecutivos. Ver na figura os seguintes elementos consecutivos:_NEWLINE_\xc3\xa2ngulo  lado  \xc3\xa2ngulo  lado  _NEWLINE_Cosseno dos elementos centrais \xc3\xa9 igual a: menos seno do \xc3\xa2ngulo m\xc3\xa9dio pela cotangente do outro \xc3\xa2ngulo.\n_START_SECTION_\nMatrizes das f\xc3\xb3rmulas de um tri\xc3\xa2ngulo esf\xc3\xa9rico\n_START_PARAGRAPH_\nO conjunto das f\xc3\xb3rmulas do seno, do cosseno (conhecido por alguns como segunda e primeira f\xc3\xb3rmula de Bessel), e a tercei f\xc3\xb3rmula de Bessel, podem ser expressas da seguinte forma matricial:_NEWLINE_sendo a, b y c os lados; y A, B y C os \xc3\xa2ngulos do tri\xc3\xa2ngulo esf\xc3\xa9rico.\n_START_SECTION_\nTri\xc3\xa2ngulo esf\xc3\xa9rico ret\xc3\xa2ngulo\n_START_PARAGRAPH_\nO tri\xc3\xa2ngulo esf\xc3\xa9rico com pelo menos um \xc3\xa2ngulo reto se denomina tri\xc3\xa2ngulo ret\xc3\xa2ngulo. Em um tri\xc3\xa2ngulo esf\xc3\xa9rico seus tr\xc3\xaas \xc3\xa2ngulos podem ser retos, em cujo caso, a soma \xc3\xa9 270\xc2\xb0. Em todos os outros casos essa soma excede os 180\xc2\xb0 e a esse excesso se denomina excesso esf\xc3\xa9rico; se expressa pela f\xc3\xb3rmula: E: E = ++ - 180\xc2\xb0._NEWLINE_Qualquer tri\xc3\xa2ngulo esf\xc3\xa9rico pode descompor-se em dois tri\xc3\xa2ngulos esf\xc3\xa9ricos ret\xc3\xa2ngulos.'