b'\n_START_ARTICLE_\nTransformada de Laplace\n_START_PARAGRAPH_\nEm matem\xc3\xa1tica, a transformada de Laplace \xc3\xa9 uma transformada integral ep\xc3\xb3nimo a seu descobridor, o matem\xc3\xa1tico e astr\xc3\xb4nomo Pierre-Simon Laplace (/l\xc9\x99\xcb\x88pl\xc9\x91\xcb\x90s/), que utilizou uma forma semelhante em seus trabalhos de Teoria da Probabilidade. Sua teoria foi mais a fundo desenvolvida entre o s\xc3\xa9culo 19 e o in\xc3\xadcio do s\xc3\xa9culo 20 por Maty\xc3\xa1\xc5\xa1 Lerch, Oliver Heaviside e Thomas John I\'Anson Bromwich._NEWLINE_A transformada gera uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de vari\xc3\xa1vel  (frequ\xc3\xaancia) a partir de uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de vari\xc3\xa1vel  (tempo) e vice-versa._NEWLINE_Dada uma simples descri\xc3\xa7\xc3\xa3o matem\xc3\xa1tica ou funcional de entrada  ou sa\xc3\xadda  de um sistema, a transformada de Laplace fornece uma descri\xc3\xa7\xc3\xa3o alternativa que, em um grande n\xc3\xbamero de casos, diminui a complexidade do processo de an\xc3\xa1lise do comportamento do sistema ou em sintetizar um novo sistema baseado em caracter\xc3\xadsticas espec\xc3\xadficas. Nesse sentido, a transformada de Laplace converte equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diferencial em equa\xc3\xa7\xc3\xa3o alg\xc3\xa9brica e convolu\xc3\xa7\xc3\xa3o em multiplica\xc3\xa7\xc3\xa3o._NEWLINE_A atual aplica\xc3\xa7\xc3\xa3o da transformada (principalmente em engenharia) foi inicialmente descoberta durante a Segunda Guerra Mundial e substituiu o C\xc3\xa1lculo operacional._NEWLINE_Quando fala-se em "transformada de Laplace" sem especifica\xc3\xa7\xc3\xa3o, geralmente refere-se \xc3\xa0 forma unilateral. A transformada de Laplace \xc3\xa9 originalmente definida pela forma bilateral, em que  e . Assim, a transformada unilateral  em que qualquer argumento \xc3\xa9 m\xc3\xbaltiplo da fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de Heaviside,   torna-se apenas um caso especial devido ao intervalo de dom\xc3\xadnio da fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de Heaviside._NEWLINE_A transformada de Laplace da fun\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xa9 uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de ,que representa a frequ\xc3\xaancia, utilizamos ent\xc3\xa3o como nota\xc3\xa7\xc3\xa3o a letra mai\xc3\xbascula para a transformada e letra min\xc3\xbascula para a fun\xc3\xa7\xc3\xa3o. _NEWLINE_Ex:  ou ._NEWLINE_Para calcular a transformada de Laplace de uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o aplicamos a integral e definimos algumas condi\xc3\xa7\xc3\xb5es para podermos tirar o limite._NEWLINE_Ex: _NEWLINE_, por\xc3\xa9m esse limite s\xc3\xb3 existe se o ._NEWLINE_Ent\xc3\xa3o conclui-se que:_NEWLINE_Agora se considerarmos que  realizando as integra\xc3\xa7\xc3\xb5es necess\xc3\xa1rias (por partes) conclu\xc3\xadmos que:_NEWLINE_=_NEWLINE_=_NEWLINE_=_NEWLINE_Com isso conclu\xc3\xadmos uma express\xc3\xa3o para a transformada de :_NEWLINE_A transformada de Laplace possui diversas aplica\xc3\xa7\xc3\xb5es na ci\xc3\xaancia e na tecnologia.\n_START_SECTION_\nRegi\xc3\xa3o de converg\xc3\xaancia\n_START_PARAGRAPH_\nDada um fun\xc3\xa7\xc3\xa3o em que a sua integral \xc3\xa9 definida por:  definida somente para n\xc3\xbameros reais positivos, e se convergir para algum valor, a integral ser\xc3\xa1 a transformada de Laplace da fun\xc3\xa7\xc3\xa3o . Que \xc3\xa9 representada por .\n_START_SECTION_\nCondi\xc3\xa7\xc3\xa3o de exist\xc3\xaancia\n_START_PARAGRAPH_\nA integral que define a transformada de Laplace nem sempre converge e, nesse caso, dizemos que a fun\xc3\xa7\xc3\xa3o n\xc3\xa3o possui transformada de Laplace. As fun\xc3\xa7\xc3\xb5es e s\xc3\xa3o algumas fun\xc3\xa7\xc3\xb5es que n\xc3\xa3o possuem transformada de Laplace._NEWLINE_ Dizemos que uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o  \xc3\xa9 de ordem exponencial  se existem constantes ,  e  tal que , . _NEWLINE_As fun\xc3\xa7\xc3\xb5es , e s\xc3\xa3o de ordem exponencial pois_NEWLINE_Tal teorema apresenta condi\xc3\xa7\xc3\xb5es suficientes para exist\xc3\xaancia da transformada de Laplace. Estas condi\xc3\xa7\xc3\xb5es n\xc3\xa3o s\xc3\xa3o, contudo, necess\xc3\xa1rias. Por exemplo, a fun\xc3\xa7\xc3\xa3o  n\xc3\xa3o \xc3\xa9 cont\xc3\xadnua na origem(sequer \xc3\xa9 limitada quando ) mas admite uma transformada de Laplace._NEWLINE_Comportamento no Infinito:_NEWLINE_Demonstra\xc3\xa7\xc3\xa3o: Por defini\xc3\xa7\xc3\xa3o,_NEWLINE__NEWLINE_Estabelecendo u = s.t , obtemos:_NEWLINE__NEWLINE_Considerando que \xc3\xa9 limitada, existe tal que , portanto_NEWLINE__NEWLINE_Logo,  quando resultando\n_START_SECTION_\nFun\xc3\xa7\xc3\xa3o de Heaviside\n_START_PARAGRAPH_\nA fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de Heaviside \xc3\xa9 nula para um argumento negativo, unit\xc3\xa1ria para um argumento positivo, respeita a rela\xc3\xa7\xc3\xa3o  e pode ser definida como_NEWLINE_Ao efetuar-se a mudan\xc3\xa7a de vari\xc3\xa1vel , obt\xc3\xa9m-se a fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de Heaviside com descontinuidade em :_NEWLINE_Torna-se, naturalmente, importante notar que a fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de Heaviside n\xc3\xa3o existe em . Para isso, quando for necess\xc3\xa1rio defini-la neste ponto, toma-se a "fun\xc3\xa7\xc3\xa3o rampa" como aproxima\xc3\xa7\xc3\xa3o cont\xc3\xadnua:_NEWLINE_Talvez a mais importante aplica\xc3\xa7\xc3\xa3o da fun\xc3\xa7\xc3\xa3o da Heaviside seja a fun\xc3\xa7\xc3\xa3o pulso.\n_START_SECTION_\nFun\xc3\xa7\xc3\xa3o Delta de Dirac\n_START_PARAGRAPH_\nPara entender matematicamente a fun\xc3\xa7\xc3\xa3o Delta de Dirac, \xc3\xa9 conveniente utilizar a fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de Heaviside, com a condi\xc3\xa7\xc3\xa3o de que , ou seja,_NEWLINE_Analogamente \xc3\xa0 fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de Heaviside, para representar um impulso num instante de tempo que n\xc3\xa3o zero, realiza-se um deslocamento na equa\xc3\xa7\xc3\xa3o,_NEWLINE_Considera-se ent\xc3\xa3o o Delta como o limite da fun\xc3\xa7\xc3\xa3o  em um curto curto intervalo de tempo, quando o par\xc3\xa2metro  tende a zero, isto \xc3\xa9, _NEWLINE_Assim, define-se a fun\xc3\xa7\xc3\xa3o Delta de Dirac como_NEWLINE_Algumas propriedades fundamentais do Delta de Dirac para a transformada de Laplace s\xc3\xa3o:\n_START_SECTION_\nL\n          \n        \n        \n          {\n          \n            \xce\xb4\n            (\n            t\n            \xe2\x88\x92\n            a\n            )\n          \n          }\n        \n        =\n        \n          e\n          \n            \xe2\x88\x92\n            a\n            s\n          \n        \n      \n    \n    {\\displaystyle {\\mathcal {L}}\\left\\{\\delta (t-a)\\right\\}=e^{-as}}\n  \nAplica\xc3\xa7\xc3\xa3o do Delta de Dirac\n_START_PARAGRAPH_\nUma aplica\xc3\xa7\xc3\xa3o em engenharia para a fun\xc3\xa7\xc3\xa3o Delta de Dirac, se d\xc3\xa1 na utiliza\xc3\xa7\xc3\xa3o da Equa\xc3\xa7\xc3\xa3o do Helmholtz, usada para c\xc3\xa1lculos de um sistema barragem albufeira, na qual o termo Albufeira significa uma \xc3\xa1rea coberta de \xc3\xa1gua, que foi retida pela constru\xc3\xa7\xc3\xa3o de uma barragem ou at\xc3\xa9 mesmo uma represa num rio, formando uma esp\xc3\xa9cie de lago artificial. Pode ser tamb\xc3\xa9m utilizada para modelagem de \xc3\xa1guas subterr\xc3\xa2nea principalmente de aqu\xc3\xadferos, onde a fun\xc3\xa7\xc3\xa3o representa a vaz\xc3\xa3o bombeada por um po\xc3\xa7o em um ponto espec\xc3\xadfico.\n_START_SECTION_\nPropriedades\n_START_PARAGRAPH_\nA transformada de Laplace possui in\xc3\xbameras propriedades operacionais que permitem a exist\xc3\xaancia tanto da transformada direta quanto da inversa, para uma ampla gama de fun\xc3\xa7\xc3\xb5es observadas na ci\xc3\xaancia. Suas propriedades s\xc3\xa3o:\n_START_SECTION_\nLinearidade\n_START_PARAGRAPH_\nA transformada de Laplace \xc3\xa9 um operador linear:_NEWLINE_Demonstra\xc3\xa7\xc3\xa3o (REAMAT):_NEWLINE_Portanto, tem-se que:\n_START_SECTION_\nL\n          \n        \n        {\n        \xce\xb1\n        f\n        (\n        t\n        )\n        +\n        \xce\xb2\n        g\n        (\n        t\n        )\n        }\n        \xc2\xa0\n        \n          \n            \xc2\xa0\n            =\n          \n        \n        \n          \n            L\n          \n        \n        {\n        \xce\xb1\n        f\n        (\n        t\n        )\n        }\n        +\n        \n          \n            L\n          \n        \n        {\n        \xce\xb2\n        g\n        (\n        t\n        )\n        }\n      \n    \n    {\\displaystyle {\\mathcal {L}}\\{\\alpha f(t)+\\beta g(t)\\}\\ {\\overset {=}{\\ }}{\\mathcal {L}}\\{\\alpha f(t)\\}+{\\mathcal {L}}\\{\\beta g(t)\\}}\n  \nM\xc3\xa9todo das fra\xc3\xa7\xc3\xb5es parciais para calcular transformadas inversas\n_START_PARAGRAPH_\nSuponha que P(X) e Q(x) s\xc3\xa3o polin\xc3\xb4mios tais que o grau de P \xc3\xa9 menor que o grau de Q. O polin\xc3\xb4mio Q(x) pode ser fatorado em polin\xc3\xb4mios de graus um e dois:_NEWLINE_com isso podemos encontrar constantes tais que:_NEWLINE_esse m\xc3\xa9todo \xc3\xa9 usado para calcular integrais de fun\xc3\xa7\xc3\xb5es racionais e transformadas inversas de Laplace.\n_START_SECTION_\nDeslocamento na frequ\xc3\xaancia\n_START_PARAGRAPH_\nConhecida como deslocamento ou transla\xc3\xa7\xc3\xa3o do eixo s, \xc3\xa9 poss\xc3\xadvel conhecer a transformada de m\xc3\xbaltiplos exponenciais de uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o  desde que conhe\xc3\xa7amos a sua transformada, isto \xc3\xa9,\n_START_SECTION_\nTransformada de Laplace de uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de per\xc3\xadodo T\n_START_PARAGRAPH_\nSe  \xc3\xa9 uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o cont\xc3\xadnua por partes, de ordem exponencial e peri\xc3\xb3dica de per\xc3\xadodo . Ent\xc3\xa3o a transformada de Laplace existe e \xc3\xa9 da forma\n_START_SECTION_\nTransformada de Fourier\n_START_PARAGRAPH_\nA transformada de Fourier continua e equivalente a avalia\xc3\xa7\xc3\xa3o bilateral da transformada de Laplace com argumentos imagin\xc3\xa1rios _NEWLINE_A defini\xc3\xa7\xc3\xa3o de Fourier requer o prefixo na fun\xc3\xa7\xc3\xa3o reversa da transformada de fourier. Esta rela\xc3\xa7\xc3\xa3o entre as transformadas de Fourier e Laplace e comumente usada para determinar o espectro de frequ\xc3\xaancia de um sinal ou de um sistema din\xc3\xa2mico_NEWLINE_A rela\xc3\xa7\xc3\xa3o a cima e valida somente se a regi\xc3\xa3o de converg\xc3\xaancia de F(s) contem o eixo imagin\xc3\xa1rio,\n_START_SECTION_\nTabela de transformadas de Laplace\n_START_PARAGRAPH_\nA tabela prov\xc3\xaa as transformadas de Laplace para as fun\xc3\xa7\xc3\xb5es mais comuns de uma vari\xc3\xa1vel. Para defini\xc3\xa7\xc3\xb5es e exemplos, veja a nota explanat\xc3\xb3ria no fim da tabela._NEWLINE_Porque a transformada de Laplace \xc3\xa9 um operador linear:_NEWLINE_ A transformada de Laplace de uma soma \xc3\xa9 a soma das transformadas de Laplace de cada termo._NEWLINE_ A transformada de Laplace de um m\xc3\xbaltiplo de uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xa9 o m\xc3\xbaltiplo vezes a transformada de Laplace da fun\xc3\xa7\xc3\xa3o.\n_START_SECTION_\nAplica\xc3\xa7\xc3\xa3o: Oscilador Harm\xc3\xb4nico\n_START_PARAGRAPH_\nSeja um sistema massa mola de equa\xc3\xa7\xc3\xa3o  =  , onde  \xc3\xa9 a massa,  \xc3\xa9 a constante de hooke para a mola e  \xc3\xa9 a constante de atrito._NEWLINE_Os valores iniciais s\xc3\xa3o:_NEWLINE_ = posi\xc3\xa7\xc3\xa3o inicial_NEWLINE_ = velocidade inicial_NEWLINE_Usansdo a propriedade da Transformada de Laplace de uma derivada temos_NEWLINE_- -  +  +   - =._NEWLINE_Agora, isolando  e supondo o termo for\xc3\xa7ante  = 0, tem-se:_NEWLINE_= _NEWLINE__NEWLINE_A solu\xc3\xa7\xc3\xa3o do problema pode ser representado por = _NEWLINE_O sistema massa mola pode ser dividido em cinco situa\xc3\xa7\xc3\xb5es:_NEWLINE_i) Oscilador harm\xc3\xb4nico for\xc3\xa7ado: Quando h\xc3\xa1 for\xc3\xa7a externa: _NEWLINE_ii) Oscilador harm\xc3\xb4mico livre: Quando n\xc3\xa3o h\xc3\xa1 for\xc3\xa7a externa: _NEWLINE_iii) Subarmotecido livre: Quando _NEWLINE_iv) Superamortecido livre (): _NEWLINE_v) Criticamente amortecido livre\xc2\xa0:\n_START_SECTION_\nTransformada de Laplace para s\xc3\xa9ries de pot\xc3\xaancias\n_START_PARAGRAPH_\nTemos  a Fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de Bessel de ordem zero dada por:_NEWLINE_Calculando a transformada, temos:_NEWLINE_Logo,_NEWLINE_Podemos tamb\xc3\xa9m demonstrar a transformada de uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o t(k) que leva \xc3\xa0 Fun\xc3\xa7\xc3\xa3o gama . Para k>0, temos que:_NEWLINE_Onde:_NEWLINE_Aplicando a Transformada de Laplace, temos:_NEWLINE_Obtemos com a seguinte mudan\xc3\xa7a de vari\xc3\xa1veis \xc2\xa0:\n_START_SECTION_\nAplica\xc3\xa7\xc3\xb5es em equa\xc3\xa7\xc3\xb5es diferenciais\n_START_PARAGRAPH_\nAs diversas propriedades da transformada de Laplace possibilitam a transforma\xc3\xa7\xc3\xa3o de um grande n\xc3\xbamero de equa\xc3\xa7\xc3\xb5es diferenciais ordin\xc3\xa1rias em simples equa\xc3\xa7\xc3\xb5es alg\xc3\xa9bricas lineares. Alguns tipos mais comuns de equa\xc3\xa7\xc3\xb5es diferenciais s\xc3\xa3o:_NEWLINE_ Equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diferencial ordin\xc3\xa1ria com coeficientes constantes_NEWLINE_Artigo principal: Equa\xc3\xa7\xc3\xb5es diferenciais ordin\xc3\xa1rias com coeficientes constantes_NEWLINE_Exemplo: _NEWLINE_ Equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diferencial ordin\xc3\xa1ria com coeficientes n\xc3\xa3o constantes_NEWLINE_Artigo principal: Equa\xc3\xa7\xc3\xb5es diferenciais ordin\xc3\xa1rias com coeficientes vari\xc3\xa1veis_NEWLINE_Exemplo: _NEWLINE_ Sistema linear de equa\xc3\xa7\xc3\xb5es diferenciais ordin\xc3\xa1rias com coeficientes constantes_NEWLINE_Artigo principal: Sistema linear de equa\xc3\xa7\xc3\xb5es diferenciais ordin\xc3\xa1rias_NEWLINE_Exemplo: _NEWLINE_ Sistema linear de equa\xc3\xa7\xc3\xb5es diferenciais ordin\xc3\xa1rias com coeficientes n\xc3\xa3o constantes_NEWLINE_Artigo principal: Sistema linear de equa\xc3\xa7\xc3\xb5es diferenciais ordin\xc3\xa1rias_NEWLINE_Exemplo: _NEWLINE_Em muitas ocasi\xc3\xb5es s\xc3\xa3o necess\xc3\xa1rios valores iniciais para uma resolu\xc3\xa7\xc3\xa3o num\xc3\xa9rica dessas equa\xc3\xa7\xc3\xb5es diferenciais.\n_START_SECTION_\nAplica\xc3\xa7\xc3\xa3o em Circuitos RL e RC\n_START_PARAGRAPH_\nA aplica\xc3\xa7\xc3\xa3o da Transforma\xc3\xa7\xc3\xa3o de Laplace para resolu\xc3\xa7\xc3\xa3o de circuitos RL e RC \xc3\xa9 uma ferramenta interessante na resolu\xc3\xa7\xc3\xa3o das equa\xc3\xa7\xc3\xb5es diferenciais que expressam circuitos RC e RL, pois em determinados casos reduz a quantidade de an\xc3\xa1lises e simplifica\xc3\xa7\xc3\xb5es inerentes \xc3\xa0 resolu\xc3\xa7\xc3\xa3o de circuitos baseado na Teoria de Circuitos.  A exemplo do caso abaixo:_NEWLINE_Considerando o circuito RL com duas malhas ao lado:_NEWLINE_Aplicando lei de Kirchhoff, temos as seguintes express\xc3\xb5es:_NEWLINE_Como a tens\xc3\xa3o no indutor \xc3\xa9 dada pela express\xc3\xa3o: _NEWLINE_Considerando _NEWLINE_Chegamos as seguintes express\xc3\xb5es:_NEWLINE_- Dividindo as equa\xc3\xa7\xc3\xb5es (I) e (II) e organizando-as temos:_NEWLINE_Aplicando a Transforma\xc3\xa7\xc3\xa3o de Laplace:_NEWLINE_Chegamos ent\xc3\xa3o ao seguinte sistema:_NEWLINE_Para exemplificar uma solu\xc3\xa7\xc3\xa3o e a curva que refere-se a corrente i(t) no circuito, podemos tomar , para este caso temos a solu\xc3\xa7\xc3\xa3o a seguir\xc2\xa0:_NEWLINE_ e , assim aplicando a Transformada de Laplace inversa, voltando para o dom\xc3\xadnio do tempo, temos a seguinte resposta:_NEWLINE_ e A_NEWLINE_Como esperado, no dom\xc3\xadnio do tempo temos uma curva exponencial inicialmente e depois se torna constante, isso ocorre por que para  o indutor se comporta como um curto circuito, sua corrente ser\xc3\xa1 constante._NEWLINE_Agora vamos considerar o circuito RC:_NEWLINE_Ao circuito resistor/capacitor \xc3\xa9 aplicada uma tens\xc3\xa3o V(t) do tipo pulso:_NEWLINE_,_NEWLINE_ou seja, o circuito estava em repouso at\xc3\xa9 t=a e tens\xc3\xa3o V\xe2\x82\x92 foi aplicada entre t=a e t=b. O modelo para a corrente i(t) obedece a lei de Kirchoff:_NEWLINE_,_NEWLINE_onde q(t) \xc3\xa9 a carga no capacitor, 1/Cq(t) \xc3\xa9 a tens\xc3\xa3o no capacitor de capacit\xc3\xa2ncia C e Ri(t) \xc3\xa9 a tens\xc3\xa3o no resistor de resist\xc3\xaancia R. Vamos usar o fato de que  e  obtemos uma equa\xc3\xa7\xc3\xa3o integral para i(t): _NEWLINE_._NEWLINE_Para resolver esse problema de valor inicial, aplicamos a Transformada de Laplace e a propriedade da Transformada de Laplace da integral de uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o, que \xc3\xa9:_NEWLINE_e obtemos a seguinte express\xc3\xa3o: _NEWLINE_._NEWLINE_Fazendo , temos a seguinte equa\xc3\xa7\xc3\xa3o subsidi\xc3\xa1ria:_NEWLINE_._NEWLINE_Logo,_NEWLINE_._NEWLINE_A Transformada Inversa de \xc3\xa9: . Fazendo obtemos:_NEWLINE_._NEWLINE_Dessa forma, para calcular a fun\xc3\xa7\xc3\xa3o corrente i(t) usaremos a propriedade do deslocamento no eixo t da Transformada de Laplace:_NEWLINE_A fun\xc3\xa7\xc3\xa3o corrente i(t) \xc3\xa9:_NEWLINE_._NEWLINE_Podemos escrever a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o para a fun\xc3\xa7\xc3\xa3o corrente i(t) em uma nota\xc3\xa7\xc3\xa3o de fun\xc3\xa7\xc3\xa3o definida por partes, fazendo e :_NEWLINE_Podemos observar que A>0, B>0 e A<B. Assim, para t>b a corrente \xc3\xa9 negativa e se aproxima exponencialmente de zero. Essa \xc3\xa9 a corrente de descarga._NEWLINE_Para obter a carga q(t) no capacitor, usamos que  e obtemos a seguinte express\xc3\xa3o, tamb\xc3\xa9m em nota\xc3\xa7\xc3\xa3o de fun\xc3\xa7\xc3\xa3o definida por partes:\n_START_SECTION_\nAplica\xc3\xa7\xc3\xa3o em circuitos RLC\n_START_PARAGRAPH_\nCircuitos RLC s\xc3\xa3o modelados comumente por equa\xc3\xa7\xc3\xb5es diferenciais, os valores dos componentes que constituem o circuito(Capacitores, Resistores e Indutores) e a frequ\xc3\xaancia da fonte determinam o tipo de resposta do mesmo: Superamortecida, subamortecida e criticamente amortecida. Em geral essas equa\xc3\xa7\xc3\xb5es diferenciais s\xc3\xa3o de segunda ordem ou maior e podem ser resolvidas semelhantemente \xc3\xa0 resolu\xc3\xa7\xc3\xa3o de equa\xc3\xa7\xc3\xb5es diferenciais aplicando Transformada de Laplace._NEWLINE_As seguintes equa\xc3\xa7\xc3\xb5es modelam circuitos simples RLC paralelo e s\xc3\xa9rie respectivamente:_NEWLINE_ e _NEWLINE_Aplicando transformada de Laplace, considerando i(0) = 0 e i\'(0) = 0, v(0)=0 e v\'(0) =0:_NEWLINE_ e _NEWLINE_O que nos d\xc3\xa1 a seguinte equa\xc3\xa7\xc3\xa3o caracter\xc3\xadstica:_NEWLINE_ => Resposta Superamortecida_NEWLINE_ => Critica_NEWLINE_Complexos => Subamortecida\n_START_SECTION_\nAplica\xc3\xa7\xc3\xa3o no c\xc3\xa1lculo da deflex\xc3\xa3o em vigas sujeitas a cargas concentradas\n_START_PARAGRAPH_\nConsidere uma viga el\xc3\xa1stica horizontal de comprimento L\xc2\xa0de se\xc3\xa7\xc3\xa3o transversal e material el\xc3\xa1stico homog\xc3\xaaneo. Se aplicarmos uma carga no plano vertical atrav\xc3\xa9s da viga o eixo de simetria \xc3\xa9 dobrado. Colocamos o eixo horizontal \xc2\xa0com origem no extremo a esquerda da viga e, portanto, \xc2\xa0x= L \xc3\xa9 o outro extremo. Supomos que a viga est\xc3\xa1 sujeita a uma carga \xc2\xa0que provoca uma de\xef\xac\x82ex\xc3\xa3o em cada ponto x [0,L] . Logo, para pequenas de\xef\xac\x82ex\xc3\xb5es podemos aproximar a curvatura k(x)\xc2\xa0pela varia\xc3\xa7\xc3\xa3o instant\xc3\xa2nea de , onde  \xc2\xa0\xc3\xa9 o \xc3\xa2ngulo entre o eixo x\xc2\xa0e a tangente, ou seja,_NEWLINE__NEWLINE_Como_NEWLINE__NEWLINE_Como o \xc3\xa9 pequeno, , portanto_NEWLINE__NEWLINE_Derivamos_NEWLINE__NEWLINE_Substitu\xc3\xadmos na primeira equa\xc3\xa7\xc3\xa3o, obtendo_NEWLINE__NEWLINE_Sendo E o m\xc3\xb3dulo de Young, I o momento de in\xc3\xa9rcia da viga e M(x) o momento fletor, substitu\xc3\xadmos a f\xc3\xb3rmula da lei de Hooke para materiais na equa\xc3\xa7\xc3\xa3o anterior._NEWLINE_Lei de Hooke:_NEWLINE__NEWLINE_derivamos a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o duas vezes_NEWLINE__NEWLINE_Sabendo que a varia\xc3\xa7\xc3\xa3o do momento de in\xc3\xa9rcia M(x) \xc3\xa9 a for\xc3\xa7a de cisalamento V(x)                   _NEWLINE_e a varia\xc3\xa7\xc3\xa3o da for\xc3\xa7a de cisalamento \xc3\xa9 a carga  _NEWLINE_Logo, _NEWLINE__NEWLINE_Substituindo na equa\xc3\xa7\xc3\xa3o anterior, temos a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o de Euler-Bernoulli_NEWLINE_Consideraremos uma viga engastada, ou seja:_NEWLINE__NEWLINE_A carga est\xc3\xa1 concentrada na posi\xc3\xa7\xc3\xa3o  e tem intensidade , sendo modelada pela seguinte express\xc3\xa3o:_NEWLINE__NEWLINE_Aplicando a transformada de Laplace na equa\xc3\xa7\xc3\xa3o que anteriormente foi derivada duas vezes, e usando o fato de que , obtemos_NEWLINE__NEWLINE_Substituindo ,  e  onde  e s\xc3\xa3o constantes a determinar:_NEWLINE__NEWLINE_portanto:\n_START_SECTION_\nAplica\xc3\xa7\xc3\xa3o em Rea\xc3\xa7\xc3\xb5es Qu\xc3\xadmicas\n_START_PARAGRAPH_\nConsidere o mecanismo simpli\xef\xac\x81cado de rea\xc3\xa7\xc3\xa3o qu\xc3\xadmica apresentado a seguir:_NEWLINE_onde a concentra\xc3\xa7\xc3\xa3o de R, S e T\xc2\xa0s\xc3\xa3o dadas em mol/l por x(t), y(t)\xc2\xa0e z(t), respectivamente e s\xc3\xa3o regidas pelo seguinte sistema de equa\xc3\xa7\xc3\xb5es diferenciais ordin\xc3\xa1rias:_NEWLINE_onde \xce\xb1 e \xce\xb3\xc2\xa0s\xc3\xa3o constantes positivas. Sabendo que as concentra\xc3\xa7\xc3\xb5es iniciais s\xc3\xa3o dadas por:_NEWLINE_Usando a teoria das Transformadas de Laplace, vamos obter a solu\xc3\xa7\xc3\xa3o dada pelas fun\xc3\xa7\xc3\xb5es x(t), y(t) e z(t) quando \xce\xb1 = 1, e \xce\xb3 = 2. Calculamos a Transformada de Laplace do sistema usando a propriedade da linearidade e da derivada:_NEWLINE_Da primeira equa\xc3\xa7\xc3\xa3o, temos:_NEWLINE_Da segunda equa\xc3\xa7\xc3\xa3o, temos:_NEWLINE_Da terceira equa\xc3\xa7\xc3\xa3o temos:_NEWLINE_Agora, podemos obter as fun\xc3\xa7\xc3\xb5es x(t), y(t)\xc2\xa0e z(t)\xc2\xa0atrav\xc3\xa9s da Transformada Inversa de Laplace:_NEWLINE_onde usamos a propiedade da convolu\xc3\xa7\xc3\xa3o na passagem da primeira para a segunda liha. _NEWLINE_A figura a seguir apresenta o gr\xc3\xa1fico das fu\xc3\xa7\xc3\xb5es x(t), y(t) e z(t).'