b"\n_START_ARTICLE_\nEqua\xc3\xa7\xc3\xa3o de Riccati\n_START_PARAGRAPH_\nA Equa\xc3\xa7\xc3\xa3o de Riccati, cujo nome \xc3\xa9 uma homenagem ao Conde Jacopo Francesco Riccati, \xc3\xa9 uma equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diferencial ordin\xc3\xa1ria n\xc3\xa3o linear, de primeira ordem, da forma:_NEWLINE__NEWLINE_  {dy \\over dx} = a(x) + b(x) y + c(x) y^2_NEWLINE_onde a(x), b(x) e c(x) s\xc3\xa3o tr\xc3\xaas fun\xc3\xa7\xc3\xb5es que dependem de x. _NEWLINE_Se conhecermos uma solu\xc3\xa7\xc3\xa3o particular da equa\xc3\xa7\xc3\xa3o, por exemplo y_1, a seguinte mudan\xc3\xa7a de vari\xc3\xa1vel transformar\xc3\xa1 a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o em equa\xc3\xa7\xc3\xa3o linear_NEWLINE__NEWLINE_  y = y_1 + \\frac{1}{v} \\qquad \\Longrightarrow \\qquad_NEWLINE_  {dy \\over dx} = {dy_1 \\over dx} - \\frac{1}{v^2} {dv \\over dx}\n_START_SECTION_\nExemplo\n_START_PARAGRAPH_\nEncontre a solu\xc3\xa7\xc3\xa3o geral da seguinte equa\xc3\xa7\xc3\xa3o sabendo que y_1(x) \xc3\xa9 solu\xc3\xa7\xc3\xa3o particular_NEWLINE__NEWLINE_ y' = e^x y^2 - y + e^{-x} \\qquad y_1(x) = -e^{-x} \\cot x_NEWLINE_Trata-se de uma equa\xc3\xa7\xc3\xa3o de Riccati e para a resolver usamos a seguinte substitui\xc3\xa7\xc3\xa3o_NEWLINE__NEWLINE_  y = y_1 + \\frac{1}{v} \\qquad\\Longrightarrow\\qquad_NEWLINE_  y' = y_1' - \\frac{v'}{v^2}_NEWLINE_\xc3\xa9 conveniente n\xc3\xa3o substituir y_1 pela fun\xc3\xa7\xc3\xa3o dada, j\xc3\xa1 que o fato desta ser solu\xc3\xa7\xc3\xa3o da equa\xc3\xa7\xc3\xa3o simplificar\xc3\xa1 os resultados. Substituindo na equa\xc3\xa7\xc3\xa3o de Riccati obtemos_NEWLINE__NEWLINE_\\begin{align}_NEWLINE_  y_1' - \\frac{v'}{v^2} &=& e^x \\left(y_1^2 + 2\\frac{y_1}{v} + \\frac{1}{v^2}_NEWLINE_    \\right) - y_1 - \\frac{1}{v} + e^{-x}\\\\_NEWLINE_    v^2 \\left( y_1' - e^x y_1^2 + y_1 - e^{-x} \\right) &=&_NEWLINE_    v' + \\left(2 y_1 e^x - 1 \\right) v + e^x_NEWLINE_\\end{align}_NEWLINE_como y_1 \xc3\xa9 solu\xc3\xa7\xc3\xa3o, o termo nos par\xc3\xaantesis no lado esquerdo \xc3\xa9 zero e obt\xc3\xa9m-se a seguinte equa\xc3\xa7\xc3\xa3o linear para v(x)_NEWLINE__NEWLINE_  v' - (2 \\cot x + 1) v = - e^x_NEWLINE_o fator integrante desta equa\xc3\xa7\xc3\xa3o linear \xc3\xa9_NEWLINE__NEWLINE_  \\mu(x) = \\exp \\int(-1 - 2 \\cot x) d x = \\exp\\left[-x - 2 \\ln(\\sin_NEWLINE_             x)\\right] = \\frac{e^{-x}}{\\sin^2 x}_NEWLINE_multiplicando os dois lados da equa\xc3\xa7\xc3\xa3o linear por \\mu e seguindo os passos explicados na se\xc3\xa7\xc3\xa3o sobre equa\xc3\xa7\xc3\xb5es lineares_NEWLINE__NEWLINE_\\begin{align}_NEWLINE_  && \\mu v' - (2 cot x + 1)\\mu v = - \\csc^2 x\\\\_NEWLINE_  && {d \\over dx}(u v) = - \\csc^2 x\\\\_NEWLINE_  && u v = \\cot x + c\\\\_NEWLINE_  && v = e^x \\sin^2 x (\\cot x + c) = e^x \\sin x (\\cos x + c \\sin x)\\\\_NEWLINE_  _NEWLINE_  && y = y_1 + \\frac{1}{v} = \\frac{e^{-x}}{\\sin x} \\left( -\\cos x_NEWLINE_    \\frac{1}{\\cos x + c \\sin x} \\right) \\\\_NEWLINE_  && y = e^{-x} \\frac{\\sin x - c \\cos x}{\\cos x + c \\sin x}_NEWLINE_\\end{align}_NEWLINE_a solu\xc3\xa7\xc3\xa3o geral est\xc3\xa1 constitu\xc3\xadda por esta \xc3\xbaltima fam\xc3\xadlia de fun\xc3\xa7\xc3\xb5es, junto com a solu\xc3\xa7\xc3\xa3o particular y_1"