b'\n_START_ARTICLE_\nTransformada de Legendre\n_START_PARAGRAPH_\nA transformada de Legendre consiste em uma transforma\xc3\xa7\xc3\xa3o matem\xc3\xa1tica que, quando aplicada sobre uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o  sabidamente diferenci\xc3\xa1vel em rela\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xa0s suas vari\xc3\xa1veis independentes  , fornece como resultado uma nova equa\xc3\xa7\xc3\xa3o na qual as derivadas parciais  associadas, e n\xc3\xa3o as vari\xc3\xa1veis  em si, figuram como vari\xc3\xa1veis independentes. A nova equa\xc3\xa7\xc3\xa3o consiste na "mesma" equa\xc3\xa7\xc3\xa3o inicial, mas agora "em uma forma reescrita", . A Transformada de Legendre realiza-se sempre de forma que nunca se perca qualquer informa\xc3\xa7\xc3\xa3o presente na equa\xc3\xa7\xc3\xa3o original, devendo as mesmas informa\xc3\xa7\xc3\xb5es estarem sempre contidas na nova equa\xc3\xa7\xc3\xa3o.\n_START_SECTION_\nA Transformada de Legendre e a Termodin\xc3\xa2mica\n_START_PARAGRAPH_\nA Transformada de Legendre encontra enorme aplica\xc3\xa7\xc3\xa3o em uma \xc3\xa1rea da F\xc3\xadsica conhecida por Termodin\xc3\xa2mica, \xc3\xa1rea que tem por objetivo o estudo dos sistemas constitu\xc3\xaddos por "infinitos" entes f\xc3\xadsicos, mol\xc3\xa9culas em uma amostra confinada de g\xc3\xa1s, a exemplo.\n_START_SECTION_\nEqua\xc3\xa7\xc3\xa3o fundamental e Equa\xc3\xa7\xc3\xa3o de estado\n_START_PARAGRAPH_\nEm termodin\xc3\xa2mica, cada sistema em estudo \xc3\xa9 descrito por uma equa\xc3\xa7\xc3\xa3o matem\xc3\xa1tica conhecida por equa\xc3\xa7\xc3\xa3o fundamental, uma equa\xc3\xa7\xc3\xa3o que ret\xc3\xa9m em si todas as informa\xc3\xa7\xc3\xb5es f\xc3\xadsicas associadas a este sistema. O conceito de equa\xc3\xa7\xc3\xa3o fundamental reside no fato de, uma vez estabelecida a fronteira do sistema - o seu volume -, o n\xc3\xbamero de entes que o comp\xc3\xb5em - o seu conte\xc3\xbado material -, e a energia interna do sistema - o seu conte\xc3\xbado em energia -, as condi\xc3\xa7\xc3\xb5es deste sistema no equil\xc3\xadbrio termodin\xc3\xa2mico encontram-se por estas grandezas (e algumas outras em sistemas mais complexos, como os magn\xc3\xa9ticos) ent\xc3\xa3o completamente determinadas, sendo obviamente calcul\xc3\xa1veis a partir das mesmas._NEWLINE_As informa\xc3\xa7\xc3\xb5es f\xc3\xadsicas, quando necess\xc3\xa1rias, podem ser extra\xc3\xaddas da equa\xc3\xa7\xc3\xa3o fundamental empregando-se um formalismo matem\xc3\xa1tico inerente ao estudo da termodin\xc3\xa2mica. A exemplo, para sistemas simples, no formalismo da entropia, a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o fundamental para a entropia S em um g\xc3\xa1s ideal ser\xc3\xa1 dependente das grandezas volume (V), n\xc3\xbamero de part\xc3\xadculas (e n\xc3\xa3o de moles) N, e da Energia Interna U: . No formalismo da energia, isolando-se a energia interna U em  tem-se facilmente , tamb\xc3\xa9m uma equa\xc3\xa7\xc3\xa3o fundamental. Qualquer informa\xc3\xa7\xc3\xa3o f\xc3\xadsica, incluindo-se as equa\xc3\xa7\xc3\xb5es de estado, a exemplo a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o de Clapeyron  e a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o da energia  (n= 3; 5; ... ) para o caso dos gases ideais, pode ser facilmente extra\xc3\xaddas da equa\xc3\xa7\xc3\xa3o fundamental._NEWLINE_Repare que as duas equa\xc3\xa7\xc3\xb5es anteriores, a de Clapeyron  e a da energia , em fun\xc3\xa7\xc3\xa3o das grandezas tomadas como independentes, s\xc3\xa3o equa\xc3\xa7\xc3\xb5es de estado e n\xc3\xa3o equa\xc3\xa7\xc3\xb5es fundamentais do sistema, e portanto n\xc3\xa3o ret\xc3\xa9m em si, quando isoladas, todas as informa\xc3\xa7\xc3\xb5es necess\xc3\xa1rias \xc3\xa0 determina\xc3\xa7\xc3\xa3o de todas as propriedades f\xc3\xadsicas do sistema. Caso conhe\xc3\xa7am-se as equa\xc3\xa7\xc3\xb5es de estado de um sistema pode-se obter uma, e em consequ\xc3\xaancia - mediante transformadas de Legendre - todas as equa\xc3\xa7\xc3\xb5es fundamentais do sistema, mas para isto \xc3\xa9 necess\xc3\xa1rio que conhe\xc3\xa7am-se de antem\xc3\xa3o todas as equa\xc3\xa7\xc3\xb5es de estado do sistema, sem aus\xc3\xaancia de nenhuma delas. A t\xc3\xadtulo de curiosidade a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o fundamental para um sistema composto por N part\xc3\xadculas de um g\xc3\xa1s ideal confinados em um volume V e com energia interna U \xc3\xa9, na representa\xc3\xa7\xc3\xa3o entr\xc3\xb3pica, com  representando a constante de Boltzman e c uma constante, e a menos de constante(s) acompanhando a grandeza N com unidade(s) definida(s) de forma a tornar correta a an\xc3\xa1lise dimensional, n\xc3\xa3o explicitamente indicadas aqui :_NEWLINE_Isolando-se U, tem-se, na representa\xc3\xa7\xc3\xa3o da energia:_NEWLINE_Verifica-se experimentalmente, entretanto, que as grandezas intensivas como a press\xc3\xa3o  , temperatura , e potencial qu\xc3\xadmico  ( onde  ,  e  no formalismo termodin\xc3\xa2mico da energia) s\xc3\xa3o muito mais acess\xc3\xadveis por medidas experimentais do que as grandezas extensivas como o volume V, entropia S e n\xc3\xbamero de part\xc3\xadculas N. Seria portanto extremamente conveniente, em acordo com a situa\xc3\xa7\xc3\xa3o, principalmente em situa\xc3\xa7\xc3\xb5es onde uma ou mais destas permane\xc3\xa7am constantes, que a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o fundamental pudesse ser reescrita, sem perda de informa\xc3\xa7\xc3\xa3o, em fun\xc3\xa7\xc3\xa3o destas grandezas intensivas.\n_START_SECTION_\nCom uma vari\xc3\xa1vel\n_START_PARAGRAPH_\nA exemplo, aplicar-se-\xc3\xa1 a transformada de Legendre \xc3\xa0 fun\xc3\xa7\xc3\xa3o _NEWLINE_Tem-se, seguindo-se os passos da tabela anterior:_NEWLINE_Da linha 2:_NEWLINE_Logo, para a linha 3: _NEWLINE_e _NEWLINE_Da linha 4: _NEWLINE_Eliminando-se X e Y:_NEWLINE_resulta em:_NEWLINE_Assim, a Transformada de Legendre para  \xc3\xa9  _NEWLINE_A transforma\xc3\xa7\xc3\xa3o inversa ficar\xc3\xa1 a cargo do leitor.\n_START_SECTION_\nCom duas ou mais vari\xc3\xa1veis\n_START_PARAGRAPH_\nA t\xc3\xadtulo de ilustra\xc3\xa7\xc3\xa3o calcular-se-\xc3\xa1 a energia livre de Helmholtz  para um g\xc3\xa1s ideal partindo-se da equa\xc3\xa7\xc3\xa3o fundamental para a energia interna ._NEWLINE_Conforme antes apresentado (e mantidas as mesmas ressalvas), para um g\xc3\xa1s monoat\xc3\xb4mico ideal constitu\xc3\xaddo por N part\xc3\xadculas confinadas em um volume V e com uma entropia interna S:_NEWLINE_da qual busca-se a energia de Helmholtz F, a ser calculada como:_NEWLINE_mediante substitui\xc3\xa7\xc3\xa3o da vari\xc3\xa1vel S pela sua respectiva conjugada, T._NEWLINE_Pelo formalismo termodin\xc3\xa2mico tem-se que:_NEWLINE_onde os \xc3\xadndices V e N enfatizam que as grandezas volume V e quantidade de part\xc3\xadculas N devem ser tratadas como constantes na derivada parcial. Procedendo-se o c\xc3\xa1lculo da derivada ter-se-\xc3\xa1:_NEWLINE_Isolando-se a entropia como fun\xc3\xa7\xc3\xa3o da temperatura e demais grandezas ter-se-\xc3\xa1:_NEWLINE_a ser substitu\xc3\xadda em_NEWLINE_o que resulta em:_NEWLINE_Uma simples inspe\xc3\xa7\xc3\xa3o na equa\xc3\xa7\xc3\xa3o anterior, mesmo sem simplific\xc3\xa1-la, permite a conclus\xc3\xa3o de que a fun\xc3\xa7\xc3\xa3o F j\xc3\xa1 encontra-se dependente apenas das vari\xc3\xa1veis T, V e N, conforme pretendido._NEWLINE_Procendo com os c\xc3\xa1lculos, ter-se-\xc3\xa1:_NEWLINE_o que, com mais algumas simplifica\xc3\xa7\xc3\xb5es, resulta em:_NEWLINE_que \xc3\xa9 a Energia Livre de Helmholtz para um g\xc3\xa1s ideal, uma equa\xc3\xa7\xc3\xa3o fundamental com exatamente as mesmas informa\xc3\xa7\xc3\xb5es contidas na equa\xc3\xa7\xc3\xa3o original para a energia interna.\n_START_SECTION_\nLagrangianas e Hamiltonianos\n_START_PARAGRAPH_\nNo contexto da mec\xc3\xa2nica cl\xc3\xa1ssica o princ\xc3\xadpio de Lagrange_NEWLINE_garante que uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o particular, a Lagrangiana do sistema, caracteriza-o completamente no que se refira \xc3\xa0 sua din\xc3\xa2mica. A Lagrangiana \xc3\xa9 uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de 2r vari\xc3\xa1veis, r coordenadas generalizadas e r velocidades generalizadas, e desempenha em mec\xc3\xa2nica, de forma similar ao de  na termodin\xc3\xa2mica, o papel de equa\xc3\xa7\xc3\xa3o fundamental para a din\xc3\xa2mica:_NEWLINE_Sendo uma equa\xc3\xa7\xc3\xa3o fundamental, aplicando-se o formalismo da mec\xc3\xa2nica Lagrangiana pode-se ent\xc3\xa3o chegar \xc3\xa0s equa\xc3\xa7\xc3\xb5es diferenciais e posteriormente \xc3\xa0s equa\xc3\xa7\xc3\xb5es hor\xc3\xa1rias que descrevem toda a din\xc3\xa2mica do sistema em quest\xc3\xa3o._NEWLINE_A transformada de Legendre aplica-se tamb\xc3\xa9m \xc3\xa0 Lagrangiana. Neste contexto, o momento generalizado  conjugado \xc3\xa0 correspondente velocidade  \xc3\xa9 definido como a deriva parcial da lagrangiana em rela\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xa0 respectiva velocidade  (k<=r):_NEWLINE_Caso deseje-se substituir como vari\xc3\xa1veis independentes todas as velocidades pelos correspondentes momentos, devem-se fazer Transformadas de Legendre em rela\xc3\xa7\xc3\xa3o a todas as velocidades. Assim, introduz-se uma nova fun\xc3\xa7\xc3\xa3o, chamada Hamiltoniano, definida por:_NEWLINE_Um novo formalismo din\xc3\xa2mico, a mec\xc3\xa2nica hamiltoniana, pode ent\xc3\xa3o ser empregada em termos da nova equa\xc3\xa7\xc3\xa3o fundamental _NEWLINE_As hamiltonianas s\xc3\xa3o particularmente importantes no estudo da mec\xc3\xa2nica qu\xc3\xa2ntica.\n_START_SECTION_\nExemplo\n_START_PARAGRAPH_\nInicialmente determinar-se-\xc3\xa1 a Lagrangiana e posteriormente o Hamiltoniano para um oscilador harm\xc3\xb4nico unidimensional constitu\xc3\xaddo de uma massa presa em uma das extremidades de a uma mola e apoiada em uma mesa sem atrito._NEWLINE_A Lagrangiana do sistema \xc3\xa9 definida no contexto da mec\xc3\xa2nica lagrangiana como a diferen\xc3\xa7a entre a energia cin\xc3\xa9tica T e a energia potencial U do sistema, o que para este presente caso resulta, considerado que s\xc3\xb3 h\xc3\xa1 energia potencial el\xc3\xa1stica no sistema:_NEWLINE_Nesta equa\xc3\xa7\xc3\xa3o,  representa a velocidade da part\xc3\xadcula associada \xc3\xa0 coordenada x._NEWLINE_A partir desta equa\xc3\xa7\xc3\xa3o fundamental pode-se, de posse do formalismo da mec\xc3\xa2nica lagrangiana e do Princ\xc3\xadpio de Lagrange, determinar a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o de movimento para a massa._NEWLINE_Para fins de compara\xc3\xa7\xc3\xa3o das solu\xc3\xa7\xc3\xb5es, a solu\xc3\xa7\xc3\xa3o no formalismo lagrangiano \xc3\xa9 apresentado abaixo, partindo-se para tal do Princ\xc3\xadpio de Lagrange que afirma, sendo_NEWLINE_ tem-se, com i=1,2,..._NEWLINE_que:_NEWLINE_Para o problema em quest\xc3\xa3o:_NEWLINE_O que, substitu\xc3\xaddo na equa\xc3\xa7\xc3\xa3o para o Princ\xc3\xadpio de Lagrange, fornece:_NEWLINE_, que \xc3\xa9 a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diferencial para o sistema em estudo._NEWLINE_A solu\xc3\xa7\xc3\xa3o desta equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diferencial leva a uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o hor\xc3\xa1ria cossenoidal para o movimento da massa no oscilador harm\xc3\xb4nico simples considerado (para a solu\xc3\xa7\xc3\xa3o, consulte o artigo dedicado)._NEWLINE_onde _NEWLINE_Procura-se agora chegar a uma mesma solu\xc3\xa7\xc3\xa3o atrav\xc3\xa9s do formalismo da mec\xc3\xa2nica hamiltoniana._NEWLINE_O Hamiltoniano para o sistema pode ser obtida atrav\xc3\xa9s da Transformada de Legendre aplicada \xc3\xa0 Lagrangiana, conforme descrito anteriormente._NEWLINE_Seguindo-se os passos prescritos, o momento generalizado associado \xc3\xa0 velocidade  \xc3\xa9:_NEWLINE_de onde, isolando-se _NEWLINE_Determinando-se o Hamiltoniano H atrav\xc3\xa9s de_NEWLINE_tem-se, j\xc3\xa1 eliminando-se  em favor de P:_NEWLINE_Resolvendo, chega-se ao Hamiltoniano do sistema, uma equa\xc3\xa7\xc3\xa3o fundamental que cont\xc3\xa9m igualmente todas as informa\xc3\xa7\xc3\xb5es necess\xc3\xa1rias sobre a din\xc3\xa2mica do sistema:_NEWLINE_Aplicar-se-\xc3\xa1 agora o formalismo da mec\xc3\xa2nica hamiltoniana a fim de se comparar os resultados._NEWLINE_As equa\xc3\xa7\xc3\xb5es diferenciais de movimento no formalismo de Hamilton s\xc3\xa3o, j\xc3\xa1 adaptadas ao problema unidimensional com vari\xc3\xa1veis x e P (fez-se q=x para tal):_NEWLINE_Da primeira tem-se:_NEWLINE_ donde_NEWLINE_ para um sistema com massa constante._NEWLINE_Substituindo na segunda:_NEWLINE_e por fim_NEWLINE_que \xc3\xa9 a mesma equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diferencial antes obtida pelo formalismo lagrangiano, o que leva \xc3\xa0 mesma solu\xc3\xa7\xc3\xa3o j\xc3\xa1 apresentada, obviamente.'