b'\n_START_ARTICLE_\nJules Richard\n_START_SECTION_\nParadoxo de Richard\n_START_PARAGRAPH_\nO paradoxo de Richard foi primeiro descrito em 1905 em uma carta para Louis Olivier, diretor do Revue g\xc3\xa9n\xc3\xa9rale des sciences pures et appliqu\xc3\xa9es. Foi publicado em 1905 no artigo intitulado Les Principes des math\xc3\xa9matiques et le probl\xc3\xa8me des ensembles. A Principia Mathematica de Alfred North Whitehead e Bertrand Russel o referencia junto a seis outros paradoxos ligados \xc3\xa0 auto-refer\xc3\xaancia. Em um dos mais importantes comp\xc3\xaandios de l\xc3\xb3gica matem\xc3\xa1tica, compilado por Jean van Heijenoort, o artigo \xc3\xa9 traduzido para ingl\xc3\xaas. O paradoxo pode ser interpretado como uma aplica\xc3\xa7\xc3\xa3o do argumento da diagonal de Cantor. Ele inspirou Kurt G\xc3\xb6del e Alan Turing em suas famosas obras. Kurt G\xc3\xb6del considerou seu teorema da incompletude como um an\xc3\xa1logo ao paradoxo de Richard, que, em sua vers\xc3\xa3o original, diz:_NEWLINE_Seja E o conjunto de n\xc3\xbameros reais que pode ser definido por um conjunto finito de palavras. Este conjunto \xc3\xa9 enumer\xc3\xa1vel. Seja p o n-\xc3\xa9simo n\xc3\xbamero do conjunto E; n\xc3\xb3s formamos um n\xc3\xbamero N tendo zero para a parte integral e p+ 1 para o n-\xc3\xa9simo decimal, se p n\xc3\xa3o \xc3\xa9 igual a 8 ou 9, e uni\xc3\xa3o no caso contr\xc3\xa1rio. Este n\xc3\xbamero N n\xc3\xa3o pertence ao conjunto E porque ele difere de qualquer n\xc3\xbamero neste conjunto, por exemplo do n-\xc3\xa9simo n\xc3\xbamero vizinho do n-\xc3\xa9simo digito. Por\xc3\xa9m N foi definido por um n\xc3\xbamero finito de palavras. Ele, portanto, deve pertencer ao conjunto E. Isto \xc3\xa9 uma contradi\xc3\xa7\xc3\xa3o._NEWLINE_Richard nunca apresentou este paradoxo em outra forma, por\xc3\xa9m existem v\xc3\xa1rias vers\xc3\xb5es diferentes, algumas apenas vagamente parecidas com a original. Algumas listadas a seguir.\n_START_SECTION_\nOutras vers\xc3\xb5es do paradoxo de Richard\n_START_PARAGRAPH_\n(A) A vers\xc3\xa3o exposta em Principia Mathematica por Whitehead e Russell \xc3\xa9 similar \xc3\xa0 vers\xc3\xa3o original de Richard, por\xc3\xa9m n\xc3\xa3o precisamente igual. Aqui o digito 9 \xc3\xa9 trocado pelo digito 0, para que entidades como 1.000... = 0.999... podem quebrar o resultado._NEWLINE_(B) Paradoxo de Berry, primeiramente mencionado em Principia Mathematica como o quinto de sete outros paradoxos, \xc3\xa9 creditado ao Sr. G. G. Berry da Biblioteca Bodleian. Ela usa \xe2\x80\x9cO primeiro n\xc3\xbamero inomin\xc3\xa1vel em menos de dez palavras\xe2\x80\x9d; na realidade, em ingl\xc3\xaas ela denota 111,777. Por\xc3\xa9m \xe2\x80\x9cO primeiro n\xc3\xbamero inomin\xc3\xa1vel em menos de dez palavras\xe2\x80\x9d \xc3\xa9 por si s\xc3\xb3 um nome consistindo de nove palavras; portanto pelo menos um inteiro n\xc3\xa3o nome\xc3\xa1vel em menos de dez palavras pode ser nomeado em nove palavras, o que \xc3\xa9 uma contradi\xc3\xa7\xc3\xa3o._NEWLINE_(C) Paradoxo de Berry com letras em vez de silabas \xc3\xa9 comummente relacionado ao conjunto de todos os n\xc3\xbameros naturais que podem ser definidas em menos de 100(ou qualquer outro n\xc3\xbamero grande) letras. J\xc3\xa1 que os n\xc3\xbameros naturais s\xc3\xa3o um conjunto bem-ordenado, deve existir o menor n\xc3\xbamero que n\xc3\xa3o pode ser definido com menos de 100 letras. Porem este n\xc3\xbamero acaba de ser definido com 64 letras incluindo espa\xc3\xa7os._NEWLINE_(D) Paradoxo de K\xc3\xb6nig tamb\xc3\xa9m foi publicado em 1905 por Julius K\xc3\xb6nig. Todos os n\xc3\xbameros reais que podem ser definidos por um n\xc3\xbamero finito de palavras formam um subconjunto dos n\xc3\xbameros reais. Se os n\xc3\xbameros reais podem ser bem-ordenados, ent\xc3\xa3o deve haver um primeiro n\xc3\xbamero real (de acordo com esta ordem) que n\xc3\xa3o pode ser definido por um n\xc3\xbamero finito de palavras. Mas o primeiro n\xc3\xbamero real que n\xc3\xa3o pode ser definido em um n\xc3\xbamero finito de palavras acaba de ser definido em um n\xc3\xbamero finito de palavras._NEWLINE_(E) O menor n\xc3\xbamero natural sem propriedades interessante adquire uma propriedade interessante devido \xc3\xa0 sua falta de propriedades interessante._NEWLINE_(F) um empr\xc3\xa9stimo do Paradoxo de Grelling-Nelson. O n\xc3\xbamero de todas as defini\xc3\xa7\xc3\xb5es finitas \xc3\xa9 cont\xc3\xa1vel. Em ordem lexical, n\xc3\xb3s obtemos uma sequ\xc3\xaancia de defini\xc3\xa7\xc3\xa3o D\xe2\x82\x81, D\xe2\x82\x82, D\xe2\x82\x83, ... Agora, uma defini\xc3\xa7\xc3\xa3o pode definir seu pr\xc3\xb3prio n\xc3\xbamero. Isto seria o caso se D\xe2\x82\x81 lesse "o menor n\xc3\xbamero natural". Pode ocorrer, que uma defini\xc3\xa7\xc3\xa3o n\xc3\xa3o descreve seu pr\xc3\xb3prio n\xc3\xbamero. Isto seria verdade se D\xe2\x82\x82 lesse "o menor n\xc3\xbamero natural". Al\xc3\xa9m disso, a senten\xc3\xa7a "esta defini\xc3\xa7\xc3\xa3o n\xc3\xa3o define seu n\xc3\xbamero" \xc3\xa9 uma defini\xc3\xa7\xc3\xa3o finita. Seja D\xe2\x82\x99. n \xc3\xa9 descrita por D\xe2\x82\x99? Se sim, ent\xc3\xa3o n\xc3\xa3o, se n\xc3\xa3o, ent\xc3\xa3o sim. O dilema \xc3\xa9 insatisfaz\xc3\xadvel.'