b'\n_START_ARTICLE_\nTeorema das ra\xc3\xadzes racionais\n_START_SECTION_\nAplica\xc3\xa7\xc3\xa3o\n_START_PARAGRAPH_\nO teorema \xc3\xa9 usado para determinar se um polin\xc3\xb4mio tem alguma raiz racional e, em caso afirmativo, encontr\xc3\xa1-las. Uma vez que o teorema imp\xc3\xb5e que o numerador e o denominador de ra\xc3\xadzes racionais irredut\xc3\xadveis sejam divisores de certos n\xc3\xbameros, todas as combina\xc3\xa7\xc3\xb5es poss\xc3\xadveis de divisores podem ser verificadas e as ra\xc3\xadzes racionais ser\xc3\xa3o encontradas, ou ser\xc3\xa1 determinado que n\xc3\xa3o existem ra\xc3\xadzes racionais. Se uma ou mais forem encontradas, eles podem fatoradas do polin\xc3\xb4mio, resultando em um polin\xc3\xb4mio de menor grau cujas ra\xc3\xadzes tamb\xc3\xa9m s\xc3\xa3o ra\xc3\xadzes do polin\xc3\xb4mio original.\n_START_SECTION_\nEqua\xc3\xa7\xc3\xa3o c\xc3\xbabica\n_START_PARAGRAPH_\nA equa\xc3\xa7\xc3\xa3o c\xc3\xbabica geral_NEWLINE__NEWLINE_com coeficientes inteiros tem tr\xc3\xaas solu\xc3\xa7\xc3\xb5es no plano complexo. Se for conclu\xc3\xaddo por meio do teste das ra\xc3\xadzes racionais que n\xc3\xa3o existem solu\xc3\xa7\xc3\xb5es racionais, ent\xc3\xa3o a \xc3\xbanica forma de expressar as solu\xc3\xa7\xc3\xb5es algebricamente\xc2\xa0\xc3\xa9 usando\xc2\xa0ra\xc3\xadzes c\xc3\xbabicas. Mas se o teste encontra tr\xc3\xaas solu\xc3\xa7\xc3\xb5es racionais ent\xc3\xa3o as ra\xc3\xadzes c\xc3\xbabicas s\xc3\xa3o evitadas. E se existir exatamente uma solu\xc3\xa7\xc3\xa3o racional r\xc2\xa0ent\xc3\xa3o (x \xe2\x80\x93 r) pode ser fatorado do polin\xc3\xb4mio c\xc3\xbabico usando a divis\xc3\xa3o longa de polin\xc3\xb4mios, deixando um polin\xc3\xb4mio quadr\xc3\xa1tico\xc2\xa0cujas duas ra\xc3\xadzes s\xc3\xa3o as outras duas ra\xc3\xadzes da equa\xc3\xa7\xc3\xa3o c\xc3\xbabica; e estas podem ser encontradas usando a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o quadr\xc3\xa1tica, novamente, evitando o uso de ra\xc3\xadzes c\xc3\xbabicas.\n_START_SECTION_\nPrimeira demonstra\xc3\xa7\xc3\xa3o\n_START_PARAGRAPH_\nSeja_NEWLINE__NEWLINE_Suponha que  para certos n\xc3\xbameros primos entre si  :_NEWLINE_Se ambos os membros forem multiplicados por  , o termo constante for movido para o lado direito, e for colocado em evid\xc3\xaancia um fator  do lado esquerdo, obt\xc3\xa9m-se_NEWLINE_Observa-se que  divide . Mas  e  s\xc3\xa3o primos entre si e portanto  e  tamb\xc3\xa9m s\xc3\xa3o, ent\xc3\xa3o pelo lema de Euclides (em sua forma generalizada) ele deve dividir o fator restante  do produto._NEWLINE_Se em vez disso o termo l\xc3\xadder for movido para a direita e for colocado em evid\xc3\xaancia um fator q no lado esquerdo, obt\xc3\xa9m-se_NEWLINE__NEWLINE_E por raz\xc3\xb5es semelhantes, pode-se concluir que q divide a\xe2\x82\x99.\n_START_SECTION_\nDemonstra\xc3\xa7\xc3\xa3o usando o lema de Gauss\n_START_PARAGRAPH_\nNo caso de existir um fator n\xc3\xa3o-trivial dividindo todos os coeficientes do polin\xc3\xb4mio, pode-se dividi-lo pelo maior divisor comum dos coeficientes, de modo a obter um polin\xc3\xb4mio primitivo no sentido do lema de Gauss; isto n\xc3\xa3o altera o conjunto das ra\xc3\xadzes racionais e s\xc3\xb3 refor\xc3\xa7a as condi\xc3\xa7\xc3\xb5es de divisibilidade. Aquele lema diz que se o polin\xc3\xb4mio \xc3\xa9 fator\xc3\xa1vel em Q[X] ent\xc3\xa3o ele tamb\xc3\xa9m \xc3\xa9 fator\xc3\xa1vel em Z[X] como um produto de polin\xc3\xb4mios primitivos. Agora, qualquer raiz racional p/q corresponde a um fator de grau 1 em Q[X] do polin\xc3\xb4mio, e o seu representante primitivo \xc3\xa9 qx \xe2\x88\x92 p, supondo que p e q s\xc3\xa3o primos entre si. Mas qualquer m\xc3\xbaltiplo de qx \xe2\x88\x92 p em Z[X] tem o termo l\xc3\xadder divis\xc3\xadvel por q e o termo constante divis\xc3\xadvel por p, o que comprova a afirma\xc3\xa7\xc3\xa3o. Este argumento mostra que, mais geralmente, pode ser suposto que qualquer fator irredut\xc3\xadvel de P tem coeficientes inteiros, e os coeficientes l\xc3\xadder e constante dividindo os coeficientes correspondentes de P.\n_START_SECTION_\nPrimeiro\n_START_PARAGRAPH_\nNo polin\xc3\xb4mio_NEWLINE__NEWLINE_qualquer raiz racional totalmente reduzida deveria ter um numerador que divide exatamente em 1 e um denominador que divide exatamente em 2. Assim, as \xc3\xbanicas ra\xc3\xadzes racionais poss\xc3\xadveis s\xc3\xa3o \xc2\xb11/2 e \xc2\xb11; como nenhuma destas quantidade anula o polin\xc3\xb4mio, ele n\xc3\xa3o possui ra\xc3\xadzes racionais.\n_START_SECTION_\nSegundo\n_START_PARAGRAPH_\nNo polin\xc3\xb4mio_NEWLINE__NEWLINE_as \xc3\xbanicas ra\xc3\xadzes racionais poss\xc3\xadveis deveriam ter um numerador que divide 6 e um denominador que divide 1, limitando as possibilidades a \xc2\xb11, \xc2\xb12, \xc2\xb13, \xc2\xb16. Destes, 1, 2 e -3 anulam o polin\xc3\xb4mio e, portanto, s\xc3\xa3o suas ra\xc3\xadzes racionais. (Na verdade, essas s\xc3\xa3o as suas \xc3\xbanicas ra\xc3\xadzes pois uma equa\xc3\xa7\xc3\xa3o c\xc3\xbabica tem apenas tr\xc3\xaas ra\xc3\xadzes; em geral, um polin\xc3\xb4mio poderia ter algumas ra\xc3\xadzes racionais e algumas irracionais.)\n_START_SECTION_\nTerceira\n_START_PARAGRAPH_\nTodas as ra\xc3\xadzes racionais do polin\xc3\xb4mio_NEWLINE__NEWLINE_devem estar entre os n\xc3\xbameros indicados simbolicamente por_NEWLINE__NEWLINE_o que resulta em uma lista com as 8 poss\xc3\xadveis respostas:_NEWLINE__NEWLINE_Estes candidatos a raiz podem ser testados utilizando-se o m\xc3\xa9todo de Horner (por exemplo). Neste caso em particular h\xc3\xa1 exatamente uma raiz racional. Se um candidato a raiz n\xc3\xa3o anula o polin\xc3\xb4mio, ele pode ser usado para reduzir a lista de candidatos remanescentes.Por exemplo, x = 1 n\xc3\xa3o funciona, j\xc3\xa1 que neste caso o valor do polin\xc3\xb4mio \xc3\xa9 igual a 1. Isto significa que a substitui\xc3\xa7\xc3\xa3o x = 1 + t produz um polin\xc3\xb4mio em t com termo constante 1, enquanto que o coeficiente de t\xc2\xb3 continua a ser o mesmo que o coeficiente de x\xc2\xb3. A aplica\xc3\xa7\xc3\xa3o do teorema das ra\xc3\xadzes racionais produz ent\xc3\xa3o as seguintes possibilidades para as ra\xc3\xadzes em t:_NEWLINE__NEWLINE_Portanto,_NEWLINE__NEWLINE_Candidatos a raiz que n\xc3\xa3o ocorrem em ambas as listas s\xc3\xa3o descartados. A lista de candidatos a ra\xc3\xadzes racionais fica ent\xc3\xa3o reduzida a apenas x = 2 e x = 2/3._NEWLINE_Se k ra\xc3\xadzes racionais s\xc3\xa3o encontradas (k \xe2\x89\xa5 1), o m\xc3\xa9todo de Horner tamb\xc3\xa9m produzir\xc3\xa1 um polin\xc3\xb4mio de grau n\xc2\xa0\xe2\x88\x92\xc2\xa0k cujas ra\xc3\xadzes, juntamente com as ra\xc3\xadzes racionais, s\xc3\xa3o exatamente as ra\xc3\xadzes do polin\xc3\xb4mio original. Tamb\xc3\xa9m pode ocorrer de nenhum dos candidatos ser uma solu\xc3\xa7\xc3\xa3o; neste caso, a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o que iguala o polin\xc3\xb4mio a 0 n\xc3\xa3o tem solu\xc3\xa7\xc3\xa3o racional. Se a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o n\xc3\xa3o possui um termo constante a\xe2\x82\x80, ent\xc3\xa3o 0 \xc3\xa9 uma das solu\xc3\xa7\xc3\xb5es racionais da equa\xc3\xa7\xc3\xa3o.'