b'\n_START_ARTICLE_\nPonto limite\n_START_PARAGRAPH_\nEm matem\xc3\xa1tica, um ponto limite ou ponto de acumula\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xa9 um ponto em um conjunto que pode ser aproximado t\xc3\xa3o bem quanto se queira por infinitos outros pontos do conjunto._NEWLINE_Por defini\xc3\xa7\xc3\xa3o, todo ponto de acumula\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xa9 um ponto de fecho.\n_START_SECTION_\nDefini\xc3\xa7\xc3\xa3o no conjunto dos n\xc3\xbameros reais (R)\n_START_PARAGRAPH_\nA defini\xc3\xa7\xc3\xa3o de ponto de acumula\xc3\xa7\xc3\xa3o no conjunto dos n\xc3\xbameros reais \xc3\xa9 um caso especial da defini\xc3\xa7\xc3\xa3o para espa\xc3\xa7o topol\xc3\xb3gico porque no R estamos lidando com uma reta (uma dimens\xc3\xa3o), e n\xc3\xa3o com um espa\xc3\xa7o com v\xc3\xa1rias dimens\xc3\xb5es. Por isso, a "vizinhan\xc3\xa7a" do ponto s\xc3\xb3 pode estar \xc3\xa0 direita ou \xc3\xa0 esquerda deste ponto, e n\xc3\xa3o acima ou abaixo, por exemplo, como poderia acontecer em espa\xc3\xa7os com duas dimens\xc3\xb5es._NEWLINE_Considere um conjunto X contido em R (X\\subset\\mathbb{R}, ou seja, X \xc3\xa9 um subconjunto de R, podendo ser inclusive o pr\xc3\xb3prio R). Um n\xc3\xbamero "a" pertencente a R chama-se ponto de acumula\xc3\xa7\xc3\xa3o do conjunto X quando todo intervalo aberto de centro a (a-\\epsilon , a +\\epsilon )\\,\\! cont\xc3\xa9m algum ponto x pertencente a X diferente de "a". Simplificadamente, a \xc3\xa9 um ponto de acumula\xc3\xa7\xc3\xa3o de um conjunto X \\,\\!  quanto toda vizinhan\xc3\xa7a de "a" cont\xc3\xa9m algum elemento (diferente de a) que perten\xc3\xa7a a X. Se X for igual a R (ou seja, o conjunto considerado \xc3\xa9 a reta inteira dos n\xc3\xbameros reais), ent\xc3\xa3o todo elemento de X=R \xc3\xa9 ponto de acumula\xc3\xa7\xc3\xa3o, pois toda vizinhan\xc3\xa7a de qualquer elemento de X=R cont\xc3\xa9m uma infinidade de elementos de X=R.\n_START_SECTION_\nTeorema\n_START_PARAGRAPH_\nDados X\\subset\\mathbb{R} e a\\in\\mathbb{R}, as seguintes afirma\xc3\xa7\xc3\xb5es s\xc3\xa3o equivalentes:_NEWLINE_1)x\\in X\' (O ponto A \xc3\xa9 ponto de acumula\xc3\xa7\xc3\xa3o de X)._NEWLINE_2) a= \\lim_{n \\to \\infty}x_n , onde  x_n \xc3\xa9 uma sequ\xc3\xaancia de elementos de X, dois a dois distintos._NEWLINE_3)Todo intervalo aberto contendo a possui uma infinidade de elementos de X.'