b'\n_START_ARTICLE_\nEquiconsist\xc3\xaancia\n_START_SECTION_\nConsist\xc3\xaancia\n_START_PARAGRAPH_\nNa L\xc3\xb3gica Matem\xc3\xa1tica, teorias formais s\xc3\xa3o estudadas como objetos matem\xc3\xa1ticos. Como algumas teorias s\xc3\xa3o suficientemente poderosas para modelar diferentes objetos matem\xc3\xa1ticos, torna-se natural questionar sua pr\xc3\xb3pria consist\xc3\xaancia._NEWLINE_No come\xc3\xa7o do s\xc3\xa9culo 20, Hilbert prop\xc3\xb4s um programa cujo objetivo final era provar a consist\xc3\xaancia da Mat\xc3\xa9matica utilizando m\xc3\xa9todos matem\xc3\xa1ticos. Visto que a maioria das disciplinas matem\xc3\xa1ticas pode ser reduzida \xc3\xa0 aritm\xc3\xa9tica, o programa rapidamente se transformou em uma tentativa de se estabelecer a consist\xc3\xaancia da aritm\xc3\xa9tica por meio de m\xc3\xa9todos formaliz\xc3\xa1veis pela pr\xc3\xb3pria aritm\xc3\xa9tica._NEWLINE_Os Teoremas da Incompletude de G\xc3\xb6del mostram que o programa de Hilbert n\xc3\xa3o pode ser realizada: Se uma teoria consistente e recursivamente enumer\xc3\xa1vel \xc3\xa9 suficientemente forte para formalizar sua pr\xc3\xb3pria metamatem\xc3\xa1tica (se algo \xc3\xa9 uma prova ou n\xc3\xa3o), ou seja, suficientemente forte para modelar um fragmento fraco da aritm\xc3\xa9tica (aritm\xc3\xa9tica de Robinson bastaria, por exemplo), ent\xc3\xa3o a teoria n\xc3\xa3o pode provar sua pr\xc3\xb3pria consist\xc3\xaancia. Existem algumas ressalvas t\xc3\xa9cnicas como, por exemplo, quais requerimentos a senten\xc3\xa7a formal que representa a declara\xc3\xa7\xc3\xa3o metamatem\xc3\xa1tica "A teoria \xc3\xa9 consistente" precisa satisfazer. Contudo, se uma teoria (suficientemente forte) puder provar sua pr\xc3\xb3pria consist\xc3\xaancia, o resultado ser\xc3\xa1 que: ou n\xc3\xa3o existe um modo comput\xc3\xa1vel de identificar se uma senten\xc3\xa7a \xc3\xa9, de fato ou n\xc3\xa3o, um axioma pertencente \xc3\xa0 teoria, ou ent\xc3\xa3o a pr\xc3\xb3pria teoria \xc3\xa9 inconsistente (neste caso, a teoria poderia provar qualquer coisa, incluindo declara\xc3\xa7\xc3\xb5es falsas como sua pr\xc3\xb3pria consist\xc3\xaancia). Levando isso em conta, em vez da consist\xc3\xaancia absoluta, normalmente se considera a consist\xc3\xaancia relativa: Sejam S e T teorias formais. Assuma que S \xc3\xa9 uma teoria consistente. Ser\xc3\xa1 que isso implica que T \xc3\xa9 consistente? Em caso positivo, ent\xc3\xa3o T \xc3\xa9 consistente em rela\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xa0 S. Duas teorias s\xc3\xa3o equiconsistentes se cada uma \xc3\xa9 consistente em rela\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xa0 outra.\n_START_SECTION_\nFor\xc3\xa7a de consist\xc3\xaancia\n_START_PARAGRAPH_\nSe T \xc3\xa9 consistente em rela\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xa0 S, mas n\xc3\xa3o se sabe se S \xc3\xa9 consistente em rela\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xa0 T, ent\xc3\xa3o pode se afirmar que S tem maior for\xc3\xa7a de consist\xc3\xaancia que T. Quando se discute sobre as quest\xc3\xb5es geradas pelo conceito de for\xc3\xa7a de consist\xc3\xaancia, \xc3\xa9 necess\xc3\xa1rio aten\xc3\xa7\xc3\xa3o, pois a metateoria na qual a discuss\xc3\xa3o \xc3\xa9 englobada precisa ser cuidadosamente determinada. Para teorias no n\xc3\xadvel da aritm\xc3\xa9tica de segunda ordem, o programa da matem\xc3\xa1tica reversa apresenta muitas informa\xc3\xa7\xc3\xb5es. Quest\xc3\xb5es acerca da for\xc3\xa7a de consist\xc3\xaancia costumam fazer parte da teoria dos conjuntos, j\xc3\xa1 que esta \xc3\xa9 uma teoria recursiva que certamente pode modelar a maior parte da Matem\xc3\xa1tica. O conjunto usual de axiomas da teoria dos conjuntos \xc3\xa9 chamado de Axiomas de Zermelo-Fraenkel (ou ZFC). Quando um conjunto te\xc3\xb3rico de afirma\xc3\xa7\xc3\xb5es A \xc3\xa9 dito equiconsistente a outro B, isso significa que na metateoria (Aritm\xc3\xa9tica de Peano nesse caso) pode se provar que as teorias ZFC+A e ZFC+B s\xc3\xa3o equiconsistentes. Em geral, a aritm\xc3\xa9tica primitiva recursiva pode ser adotada como a metateoria em quest\xc3\xa3o, entretanto, mesmo que a metateoria fosse ZFC ou uma extens\xc3\xa3o desta, o conceito em si \xc3\xa9 significativo. Assim, o m\xc3\xa9todo de for\xc3\xa7amento permite que se mostre que as teorias ZFC, ZFC+CH e ZFC+\xc2\xacCH s\xc3\xa3o todas equiconsistentes._NEWLINE_Quando se discute sobre fragmentos de ZFC ou suas extens\xc3\xb5es (por exemplo, ZF, teoria dos conjuntos sem o axioma da escolha, ou ZF+AD, teoria dos conjuntos com o axioma da determina\xc3\xa7\xc3\xa3o), as ideias descritas acima est\xc3\xa3o conformemente adaptadas. Portanto, ZF \xc3\xa9 equiconsistente com ZFC, como mostrado por G\xc3\xb6del.'