b'\n_START_ARTICLE_\nModelo de aritm\xc3\xa9tica n\xc3\xa3o padr\xc3\xa3o\n_START_PARAGRAPH_\nNa l\xc3\xb3gica matem\xc3\xa1tica, um modelo da aritm\xc3\xa9tica n\xc3\xa3o-padr\xc3\xa3o \xc3\xa9 um modelo da (primeira-ordem) aritm\xc3\xa9tica de Peano que cont\xc3\xa9m n\xc3\xbameros n\xc3\xa3o-padr\xc3\xb5es. O modelo padr\xc3\xa3o da aritm\xc3\xa9tica consiste do conjunto dos n\xc3\xbameros naturias {0,1,2,3,...}. Os elementos de qualquer modelo da aritm\xc3\xa9tica de Peano s\xc3\xa3o ordenados linearmente e possuem um segmento isom\xc3\xb3rfico inicial aos n\xc3\xbameros naturais comuns. Um modelo n\xc3\xa3o-padr\xc3\xa3o \xc3\xa9 um modelo que n\xc3\xa3o possui elementos adicionais fora do seu segmento inicial. A constru\xc3\xa7\xc3\xa3o de tais modelos se d\xc3\xa1 por conta de Thoralf Skolem (1934).\n_START_SECTION_\nExist\xc3\xaancia\n_START_PARAGRAPH_\nExistem v\xc3\xa1rios m\xc3\xa9todos que podem ser usados para provar a exist\xc3\xaancia de um modelo aritm\xc3\xa9tico n\xc3\xa3o-padr\xc3\xa3o.\n_START_SECTION_\nDo teorema da compaccidade\n_START_PARAGRAPH_\nA exist\xc3\xaancia de modelos aritm\xc3\xa9ticos n\xc3\xa3o-padr\xc3\xb5es pode ser demonstrada atrav\xc3\xa9s de uma aplica\xc3\xa7\xc3\xa3o do teorema da compaccidade. Para fazer isso, um conjunto de axiomas P* \xc3\xa9 definido em uma linguagem incluindo a linguagem da aritm\xc3\xa9tica de Peano com mais um s\xc3\xadmbolo de constante x. Os axiomas consistem dos axiomas da aritm\xc3\xa9tica de Peano mais um conjunto infinito de axiomas: para cada numeral n, o axioma x > n \xc3\xa9 inclu\xc3\xaddo. Qualquer subconjunto finito desses axiomas s\xc3\xa3o satisfeitos por um modelo que \xc3\xa9 o modelo padr\xc3\xa3o da aritm\xc3\xa9tica mais a constante x interpretada como algum n\xc3\xbamero maior do que qualquer n\xc3\xbamero mencionado no subconjunto finito de P*. Desse modo, pelo teorema da compaccidade existe um modelo que satisfaz todos os axiomas de P*. J\xc3\xa1 que qualquer modelo de P* \xc3\xa9 um modelo de P (uma vez que um modelo de um conjunto de axiomas obviamente tamb\xc3\xa9m \xc3\xa9 um modelo para qualquer subconjunto daquele conjunto de axiomas), n\xc3\xb3s temos que nosso modelo estendido \xc3\xa9 tamb\xc3\xa9m um modelo para os axiomas de Peano. O elemento desse modelo que corresponde a x n\xc3\xa3o pode ser um n\xc3\xbamero padr\xc3\xa3o, pois como dito ele \xc3\xa9 maior do que qualquer n\xc3\xbamero padr\xc3\xa3o._NEWLINE_Usando m\xc3\xa9todos mais complexos, \xc3\xa9 poss\xc3\xadvel construir modelos n\xc3\xa3o-padr\xc3\xb5es que possuem propriedades mais complicadas. Por exemplo, existem modelos da aritm\xc3\xa9tica de Peano em que o teorema de Goodstein falha. Pode ser provado na teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel que o teorema de Goodstein funciona para qualquer modelo padr\xc3\xa3o, portanto um modelo em que o teorema de Goodstein falha tem que ser n\xc3\xa3o-padr\xc3\xa3o.\n_START_SECTION_\nDos teoremas da incompletude\n_START_PARAGRAPH_\nOs teoremas da incompletude de G\xc3\xb6del tamb\xc3\xa9m implicam a exist\xc3\xaancia de modelos da aritm\xc3\xa9tica n\xc3\xa3o-padr\xc3\xa3o. Os teoremas da incompletude mostram que uma dada senten\xc3\xa7a G, as senten\xc3\xa7as de G\xc3\xb6del da aritm\xc3\xa9tica de Peano, n\xc3\xa3o \xc3\xa9 nem prov\xc3\xa1vel nem n\xc3\xa3o-prov\xc3\xa1vel na aritm\xc3\xa9tica de Peano. Pelo teorema da completude de G\xc3\xb6del, isso significa qu G \xc3\xa9 falsa em algum modelo da aritm\xc3\xa9tica de Peano. Contudo, G \xc3\xa9 verdade no modelo padr\xc3\xa3o da aritm\xc3\xa9tica, e portanto qualquer modelo em que G \xc3\xa9 falso tem que ser um modelo n\xc3\xa3o-padr\xc3\xa3o. Assim, satisfazer ~G \xc3\xa9 uma condi\xc3\xa7\xc3\xa3o suficiente para um modelo ser n\xc3\xa3o-padr\xc3\xa3o. Esta n\xc3\xa3o \xc3\xa9 uma condi\xc3\xa7\xc3\xa3o necess\xc3\xa1ria, contudo; para qualquer senten\xc3\xa7a G de G\xc3\xb6del, existem modelos da artim\xc3\xa9tica em que G \xc3\xa9 verdade para todas as cardinalidades.\n_START_SECTION_\nInsalubridade aritm\xc3\xa9tica para modelos com ~G verdadeira\n_START_PARAGRAPH_\nAssumindo que a aritm\xc3\xa9tica \xc3\xa9 consistente, a aritm\xc3\xa9tica com ~G tamb\xc3\xa9m \xc3\xa9 consistente. Por\xc3\xa9m, uma vez que ~G significa que a aritm\xc3\xa9tica \xc3\xa9 inconsistente, o resultado n\xc3\xa3o ser\xc3\xa1 \xcf\x89-consistente (porque ~G \xc3\xa9 falso e isso viola a \xcf\x89-consist\xc3\xaancia).\n_START_SECTION_\nDe um ultraproduto\n_START_PARAGRAPH_\nUm outro modo de construir um modelo n\xc3\xa3o-padr\xc3\xa3o \xc3\xa9 atrav\xc3\xa9s de um ultraproduto. Uma constru\xc3\xa7\xc3\xa3o t\xc3\xadpica usa todas as sequ\xc3\xaancias dos n\xc3\xbameros naturais, .Identificar duas sequ\xc3\xaancias se elas s\xc3\xa3o compat\xc3\xadveis com um conjunto de \xc3\xadndices, os quais s\xc3\xa3o membros de um ultrafiltro fixo n\xc3\xa3o-principal. O resultado \xc3\xa9 um modelo aritm\xc3\xa9tico n\xc3\xa3o-padr\xc3\xa3o. Isso pode ser identificado com n\xc3\xbameros hipernaturais.\n_START_SECTION_\nEstrutura de modelos n\xc3\xa3o-padr\xc3\xb5es cont\xc3\xa1veis\n_START_PARAGRAPH_\nOs modelos de ultraprodutos s\xc3\xa3o incont\xc3\xa1veis (j\xc3\xa1 que s\xc3\xa3o baseados em um produto infinito de , portanto, sequ\xc3\xaancias infinitas de n\xc3\xbameros). Contudo, pelo teorema de L\xc3\xb6wenheim\xe2\x80\x93Skolem t\xc3\xaam que existir modelos da aritm\xc3\xa9tica n\xc3\xa3o-padr\xc3\xb5es que s\xc3\xa3o cont\xc3\xa1veis. Uma maneira de definir tal modelo \xc3\xa9 usando a l\xc3\xb3gica de segunda ordem._NEWLINE_Qualquer modelo aritm\xc3\xa9tico cont\xc3\xa1vel n\xc3\xa3o-padr\xc3\xa3o tem tipo de ordena\xc3\xa7\xc3\xa3o \xcf\x89 + (\xcf\x89* + \xcf\x89) \xc2\xb7 \xce\xb7, onde \xcf\x89 \xc3\xa9 o tipo da ordena\xc3\xa7\xc3\xa3o dos n\xc3\xbameros naturais padr\xc3\xb5es, \xcf\x89* \xc3\xa9 a ordena\xc3\xa7\xc3\xa3o dual (uma sequ\xc3\xaancia decrescente infinita) e \xce\xb7 \xc3\xa9 o tipo da ordena\xc3\xa7\xc3\xa3o dos n\xc3\xbameros racionais. Em outras palavras, um modelo n\xc3\xa3o-padr\xc3\xa3o cont\xc3\xa1vel come\xc3\xa7a com uma sequ\xc3\xaancia crescente infinita (os elementos padr\xc3\xb5es do modelo). Isso \xc3\xa9 seguido por uma cole\xc3\xa7\xc3\xa3o de "blocos", cada um de tipo de ordena\xc3\xa7\xc3\xa3o \xcf\x89* + \xcf\x89, o tipo de ordena\xc3\xa7\xc3\xa3o dos inteiros. Esses blocos s\xc3\xa3o ordenados densamente com o tipo de ordena\xc3\xa7\xc3\xa3o dos racionais. O resultado segue facilmente pois \xc3\xa9 f\xc3\xa1cil ver que n\xc3\xbameros n\xc3\xa3o-padr\xc3\xb5es t\xc3\xaam que ser densos e ordenados linearmentes sem fim, e os racionais s\xc3\xa3o os \xc3\xbanicos cont\xc3\xa1veis linearmente densos ordenados sem fim._NEWLINE_Logo, o tipo de ordena\xc3\xa7\xc3\xa3o dos modelos n\xc3\xa3o-padr\xc3\xb5es \xc3\xa9 conhecido. Contudo, as opera\xc3\xa7\xc3\xb5es aritm\xc3\xa9ticas s\xc3\xa3o muito mais complicadas._NEWLINE_\xc3\x89 f\xc3\xa1cil ver que as estruturas matem\xc3\xa1ticas diferem de \xcf\x89 + (\xcf\x89* + \xcf\x89) \xc2\xb7 \xce\xb7. Por exemplo, se u esta no modelo ent\xc3\xa3o m*u tamb\xc3\xa9m est\xc3\xa1, para qualquer m, n no segmento inicial N, u\xc2\xb2 ainda \xc3\xa9 maior do que m*u para qualquer m padr\xc3\xa3o finito._NEWLINE_Voc\xc3\xaa tamb\xc3\xa9m pode definir "ra\xc3\xadzes quadradas" como sendo o menor v tal que v\xc2\xb2 > 2*u. \xc3\x89 f\xc3\xa1cil ver que esses n\xc3\xa3o podem estar dentro dos n\xc3\xbameros finitos racioas m\xc3\xbaltiplos de u. Por m\xc3\xa9todos an\xc3\xa1lagos para an\xc3\xa1lises n\xc3\xa3o-padr\xc3\xb5es voc\xc3\xaa tamb\xc3\xa9m pode usar a aritm\xc3\xa9tica de Peano para definir uma aproxima\xc3\xa7\xc3\xa3o mais pr\xc3\xb3xima de m\xc3\xbaltiplos irracionais de um n\xc3\xbamero n\xc3\xa3o-padr\xc3\xa3o u tal como o m\xc3\xadnimo v com v > \xcf\x80*u (esses podem ser denifidos na aritm\xc3\xa9tica de Peano usando aproxima\xc3\xa7\xc3\xb5es racionais finitas n\xc3\xa3o-padr\xc3\xb5es de \xcf\x80 mesmo que o pr\xc3\xb3prio \xcf\x80 n\xc3\xa3o possa ser)._NEWLINE_Isso mostra que uma estrutura matem\xc3\xa1tica de um modelo n\xc3\xa3o-padr\xc3\xa3o cont\xc3\xa1vel \xc3\xa9 mais complexo do que a estrutura dos racionais. Contudo, existe mais que isso._NEWLINE_O teorema de Tennenbaum mostra que n\xc3\xa3o existe modelo cont\xc3\xa1vel n\xc3\xa3o-padr\xc3\xa3o da aritm\xc3\xa9tica de Peano o qual, ou a adi\xc3\xa7\xc3\xa3o ou a multipla\xc3\xa7\xc3\xa3o s\xc3\xa3o comput\xc3\xa1veis. Esse resultado, primeiro obtido por Stanley Tennenbaum em 1959, imp\xc3\xb5e uma limita\xc3\xa7\xc3\xa3o severa na habilidade de descrever concretamente as opera\xc3\xa7\xc3\xb5es aritm\xc3\xa9ticas de um modelo cont\xc3\xa1vel n\xc3\xa3o-padr\xc3\xa3o.'