b'\n_START_ARTICLE_\n\xc3\x81lgebra de Hopf\n_START_PARAGRAPH_\nEm matem\xc3\xa1tica, uma \xc3\xa1lgebra de Hopf, assim chamada em refer\xc3\xaancia a Heinz Hopf, \xc3\xa9 uma estrutura que \xc3\xa9 simultaneamente uma \xc3\xa1lgebra (associativa unital), uma co-\xc3\xa1lgebra, e tem um anti-automorfismo, com estas estruturas compat\xc3\xadveis._NEWLINE_\xc3\x81lgebras de Hopf ocorrem naturalmente na topologia alg\xc3\xa9brica, onde elas se originaram e est\xc3\xa3o relacionadas com o conceito de H-espa\xc3\xa7o, na teoria de esquemas de grupo, na teoria de grupos (atrav\xc3\xa9s do conceito de anel de grupo), e em diversos outros lugares, tornando-as talvez o tipo mais familiar de bi-\xc3\xa1lgebra. \xc3\x81lgebras de Hopf tamb\xc3\xa9m s\xc3\xa3o estudadas por si s\xc3\xb3, com muito trabalho tanto em classes espec\xc3\xadficas de exemplos quanto em problemas de classifica\xc3\xa7\xc3\xa3o.\n_START_SECTION_\nDefini\xc3\xa7\xc3\xa3o formal\n_START_PARAGRAPH_\nFormalmente, uma \xc3\xa1lgebra de Hopf \xc3\xa9 uma bi-\xc3\xa1lgebra H sobre um corpo K juntamente com uma aplica\xc3\xa7\xc3\xa3o K-linear  (chamada de ant\xc3\xadpoda) tal que o seguinte diagrama comuta:_NEWLINE_Aqui, \xce\x94 \xc3\xa9 a co-multiplica\xc3\xa7\xc3\xa3o da bi-\xc3\xa1lgebra, \xe2\x88\x87 sua multiplica\xc3\xa7\xc3\xa3o, \xce\xb7 sua unidade e \xce\xb5 sua co-unidade. Na nota\xc3\xa7\xc3\xa3o sem somas de Sweedler, esta propriedade pode ser expressa como_NEWLINE_Como se faz com \xc3\xa1lgebras, pode-se substituir na defini\xc3\xa7\xc3\xa3o acima o corpo subjacente K por um anel comutativo R._NEWLINE_A defini\xc3\xa7\xc3\xa3o de \xc3\xa1lgebra de Hopf \xc3\xa9 auto-dual (como reflexo da simetria do diagrama anterior), de modo que se for definido um dual de H (que \xc3\xa9 sempre poss\xc3\xadvel se H tiver dimens\xc3\xa3o finita), ent\xc3\xa3o ele \xc3\xa9 automaticamente uma \xc3\xa1lgebra de Hopf.'