b'\n_START_ARTICLE_\nTeorema de Artin-Schreier\n_START_PARAGRAPH_\nTeorema de Artin-Schreier, em \xc3\xa1lgebra abstrata, \xc3\xa9 um teorema a respeito de corpos algebricamente fechados, ou seja, aqueles em que todo polin\xc3\xb4mio tem uma raiz, que diz que uma grande classe destes corpos podem ser constru\xc3\xaddos de forma an\xc3\xa1loga \xc3\xa0 constru\xc3\xa7\xc3\xa3o dos n\xc3\xbameros complexos a partir dos n\xc3\xbameros reais.\n_START_SECTION_\nMotiva\xc3\xa7\xc3\xa3o\n_START_PARAGRAPH_\nO conjunto dos n\xc3\xbameros complexos, , \xc3\xa9 algebricamente fechado, e \xc3\xa9 uma extens\xc3\xa3o finita dos n\xc3\xbameros reais , ou seja, \xc3\xa9 poss\xc3\xadvel escrever todos elementos de  por express\xc3\xb5es da forma , em que os elementos  s\xc3\xa3o n\xc3\xbameros complexos fixos, e os n\xc3\xbameros  s\xc3\xa3o n\xc3\xbameros reais quaisquer. No caso, \xc3\xa9 trivial verificar esta propriedade, pois todo n\xc3\xbamero complexo z pode ser escrito como z = a + b i, ou seja, temos que z\xe2\x82\x81 = 1 e z\xe2\x82\x82 = i._NEWLINE_Outro exemplo de corpo algebricamente fechado que \xc3\xa9 uma extens\xc3\xa3o finita \xc3\xa9 o corpo dos n\xc3\xbameros alg\xc3\xa9bricos: um elemento z deste corpo tamb\xc3\xa9m pode ser escrito como z = a + b i, em que a e b s\xc3\xa3o n\xc3\xbameros alg\xc3\xa9bricos reais._NEWLINE_O interessante destes dois casos \xc3\xa9 que eles s\xc3\xa3o t\xc3\xadpicos, e este \xc3\xa9 o resultado provado por Emil Artin e Otto Schreier em 1926. Ou seja, sempre que um corpo algebricamente fechado C for a extens\xc3\xa3o finita pr\xc3\xb3pria de um corpo F, ent\xc3\xa3o necessariamente os elementos de C podem ser escritos como z = a + b i, em que a e b s\xc3\xa3o elementos de F e i\xc2\xb2 = -1.\n_START_SECTION_\nEnunciado formal\n_START_PARAGRAPH_\nSeja F um corpo qualquer, que n\xc3\xa3o \xc3\xa9 algebricamente fechado, seja C o fecho alg\xc3\xa9brico de F. Ent\xc3\xa3o, se C \xc3\xa9 uma extens\xc3\xa3o finita de F, ent\xc3\xa3o F tem caracter\xc3\xadstica zero, C:F = 2 e C = F(i), com i\xc2\xb2 = -1._NEWLINE_Corol\xc3\xa1rio: nas condi\xc3\xa7\xc3\xb5es descritas acima, F \xc3\xa9 um corpo real fechado.\n_START_SECTION_\nEsbo\xc3\xa7o da demonstra\xc3\xa7\xc3\xa3o\n_START_PARAGRAPH_\nEm primeiro lugar, prova-se que C/F \xc3\xa9 uma extens\xc3\xa3o de Galois. Isto \xc3\xa9 feito por redu\xc3\xa7\xc3\xa3o ao absurdo: supondo-se que F tem caracter\xc3\xadstica l > 0, prova-se que F poderia ter extens\xc3\xb5es alg\xc3\xa9bricas de grau arbitr\xc3\xa1rio, contrariando o fato do seu fecho alg\xc3\xa9brico ser uma extens\xc3\xa3o finita._NEWLINE_Em seguida, prova-se que [[C:F]] = 2. Prova-se, primeiro, que [[C:F]] n\xc3\xa3o pode ser divis\xc3\xadvel nem por um primo \xc3\xadmpar p nem por 4, porque, se fosse, ent\xc3\xa3o existiria  em que [[C:K]] seria igual a p ou igual a 4._NEWLINE_O pr\xc3\xb3ximo passo \xc3\xa9 provar que, se [[C:K]] for um primo p, ent\xc3\xa3o p = 2, e que [[C:K]] n\xc3\xa3o pode ser quatro._NEWLINE_O \xc3\xbaltimo passo \xc3\xa9 mostrar que, se [[C:F]] = 2, ent\xc3\xa3o , portanto C = F(i). Isto \xc3\xa9 feito demonstrando que a e -a n\xc3\xa3o podem, ambos, serem quadrados em F._NEWLINE_Um dos resultados da demonstra\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xa9 que os quadrados em F s\xc3\xa3o fechados em rela\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xa0 adi\xc3\xa7\xc3\xa3o, ou seja, a soma de dois quadrados \xc3\xa9 um quadrado, o que permite definir, em F, um conjunto de n\xc3\xbameros positivos (os quadrados), de modo que F pode ser ordenado.'