b'\n_START_ARTICLE_\nDesigualdade triangular\n_START_PARAGRAPH_\nA desigualdade triangular tem origem na geometria euclidiana e refere-se ao teorema que afirma que, num tri\xc3\xa2ngulo, o comprimento de um dos lados \xc3\xa9 sempre inferior \xc3\xa0 soma dos comprimentos dos outros dois lados. No texto cl\xc3\xa1ssico Os Elementos, de Euclides, este teorema \xc3\xa9 a Proposi\xc3\xa7\xc3\xa3o 20 do Livro I. \xc3\x89 nada mais que uma reformula\xc3\xa7\xc3\xa3o do conceito intuitivo de que \xc3\xa9 mais curto o caminho reto/recto entre A e B que o caminho de A at\xc3\xa9 C somado ao de C at\xc3\xa9 B.\n_START_SECTION_\nTeorema\n_START_PARAGRAPH_\nEm , quaisquer que sejam , tem-se:_NEWLINE_Havendo igualdade se e s\xc3\xb3 se  com  . _NEWLINE_Note que  est\xc3\xa1 inclu\xc3\xaddo mas  n\xc3\xa3o.\n_START_SECTION_\nDemonstra\xc3\xa7\xc3\xa3o\n_START_PARAGRAPH_\nUtilizando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, prova-se o teorema facilmente._NEWLINE_Tem-se (utilizando propriedades do produto interno):_NEWLINE_ (I)_NEWLINE_Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz aplicada em (I):_NEWLINE_Tendo em conta que a norma \xc3\xa9 um valor n\xc3\xa3o-negativo, segue que:_NEWLINE_ Q.E.D._NEWLINE_A segunda parte do teorema decorre diretamente da aplica\xc3\xa7\xc3\xa3o da desigualdade de Cauchy-Schwarz (atentar no segundo termo do lado direito da equa\xc3\xa7\xc3\xa3o).'