b'\n_START_ARTICLE_\nAxioma da escolha\n_START_SECTION_\nDescri\xc3\xa7\xc3\xa3o intuitiva\n_START_PARAGRAPH_\nO axioma da escolha diz que se voc\xc3\xaa tiver uma cole\xc3\xa7\xc3\xa3o de cestas, cada qual contendo pelo menos um objeto, ent\xc3\xa3o \xc3\xa9 poss\xc3\xadvel afirmar a exist\xc3\xaancia de um conjunto, o conjunto de escolha, que cont\xc3\xa9m exatamente um objeto de cada cesta\xe2\x80\x94mesmo que haja um n\xc3\xbamero infinito de cestas e n\xc3\xa3o haja nenhuma regra que estabele\xc3\xa7a qual objeto de cada cesta deve ser escolhido para formar parte desse conjunto._NEWLINE_Por exemplo, voc\xc3\xaa n\xc3\xa3o precisa do axioma da escolha para escolher um sapato de cada par, dentre um n\xc3\xbamero infinito de pares de sapatos. \xc3\x89 poss\xc3\xadvel estabelecer uma regra como: pegar sempre o p\xc3\xa9 direito para formar um outro conjunto. Por outro lado, para escolher uma meia de cada par, dentre um n\xc3\xbamero infinito de pares, \xc3\xa9 necess\xc3\xa1rio utilizar o axioma da escolha. Sendo as meias de cada par iguais, n\xc3\xa3o \xc3\xa9 poss\xc3\xadvel estabelecer uma regra. O axioma da escolha afirma que o conjunto de escolha existe e cont\xc3\xa9m uma meia de cada par._NEWLINE_Em geral, a partir de uma cole\xc3\xa7\xc3\xa3o finita de conjuntos n\xc3\xa3o vazios, disjuntos dois-a-dois, pode ser demonstrada a exist\xc3\xaancia de um conjunto de escolha com os demais axiomas de ZF sem usar o axioma da escolha, usando um argumento por indu\xc3\xa7\xc3\xa3o. Por outra parte, se temos uma fam\xc3\xadlia infinita de conjuntos n\xc3\xa3o vazios, disjuntos dois-a-dois, mas temos uma regra que permita escolher um elemento de cada conjunto da cole\xc3\xa7\xc3\xa3o, como no caso dos sapatos ou de pares de n\xc3\xbameros inteiros (escolhemos o menor), tamb\xc3\xa9m n\xc3\xa3o precisamos do axioma da escolha para afirmar a exist\xc3\xaancia do conjunto de escolha. Entretanto, quando n\xc3\xa3o acontecem nenhuma dessas dois casos, o axioma da escolha afirma a exist\xc3\xaancia do conjunto de escolha, resultando, em certo sentido, uma escolha arbitr\xc3\xa1ria, incluso quando o conjunto de escolha \xc3\xa9 infinito._NEWLINE_Uma das raz\xc3\xb5es pela qual alguns matem\xc3\xa1ticos n\xc3\xa3o gostam do axioma da escolha \xc3\xa9 que ele implica a exist\xc3\xaancia de objetos bizarros e contra-intuitivos. Um exemplo \xc3\xa9 o paradoxo de Banach\xe2\x80\x93Tarski. Este paradoxo estabelece que \xc3\xa9 poss\xc3\xadvel dividir uma esfera s\xc3\xb3lida tridimensional em um n\xc3\xbamero finito de peda\xc3\xa7os e com estes peda\xc3\xa7os construir duas esferas, do mesmo tamanho da original.\n_START_SECTION_\nRestri\xc3\xa7\xc3\xa3o a conjuntos finitos\n_START_PARAGRAPH_\nO enunciado do Axioma da Escolha n\xc3\xa3o especifica se a cole\xc3\xa7\xc3\xa3o de conjuntos n\xc3\xa3o-vazios \xc3\xa9 finita ou infinita, e ent\xc3\xa3o implica que toda cole\xc3\xa7\xc3\xa3o finita de conjuntos n\xc3\xa3o-vazios tem uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de escolha. Entretanto, este caso particular \xc3\xa9 um teorema da Teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel sem o Axioma da Escolha (ZF); ela \xc3\xa9 facilmente provada por indu\xc3\xa7\xc3\xa3o matem\xc3\xa1tica. No caso ainda mais simples de uma cole\xc3\xa7\xc3\xa3o de um conjunto, uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de escolha corresponde a apenas um elemento, ent\xc3\xa3o este exemplo do Axioma da Escolha diz que todo conjunto n\xc3\xa3o-vazio tem um elemento; isso \xc3\xa9 v\xc3\xa1lido trivialmente. O Axioma da Escolha pode ser visto como afirmando a generaliza\xc3\xa7\xc3\xa3o dessa propriedade, j\xc3\xa1 evidente para cole\xc3\xa7\xc3\xb5es finitas, para cole\xc3\xa7\xc3\xb5es arbitr\xc3\xa1rias.\n_START_SECTION_\nUso\n_START_PARAGRAPH_\nAt\xc3\xa9 o final do s\xc3\xa9culo XIX, o Axioma da Escolha foi sempre usado implicitamente, embora ainda n\xc3\xa3o formalmente definido. Por exemplo, depois de estabelecido que o conjunto X cont\xc3\xa9m apenas conjuntos n\xc3\xa3o-vazios, um matem\xc3\xa1tico poderia dizer "seja F(s) ser um dos membros de s para todo s em X."  Em geral, \xc3\xa9 imposs\xc3\xadvel provar que F existe sem o Axioma da Escolha, mas isso parece ter passado despercebido at\xc3\xa9 Zermelo._NEWLINE_Nem toda situa\xc3\xa7\xc3\xa3o requer o Axioma da Escolha. Para conjuntos finitos X, o Axioma da Escolha segue dos outros axiomas da teoria dos conjuntos. Nesse caso \xc3\xa9 equivalente a dizer que se tivermos v\xc3\xa1rias caixas (um n\xc3\xbamero finito), cada uma contendo pelo menos um item, ent\xc3\xa3o podemos escolher exatamente um item de cada caixa. Claramente podemos fazer isso: Come\xc3\xa7amos pela primeira caixa, escolhemos um item; vai para a segunda caixa, escolhe um item; e assim sucessivamente. O n\xc3\xbamero de caixas \xc3\xa9 finito, ent\xc3\xa3o eventualmente nosso procedimento de escolha ir\xc3\xa1 terminar. O resultado \xc3\xa9 uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de escolha expl\xc3\xadcita: uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o que pega a primeira caixa para o primeiro elemento que escolhemos, a segunda caixa para o segundo elemento que escolhemos, e assim sucessivamente. (Uma prova formal para todos os conjuntos finitos usaria o princ\xc3\xadpio da indu\xc3\xa7\xc3\xa3o matem\xc3\xa1tica para provar "para todo n\xc3\xbamero natural k, toda fam\xc3\xadlia de k conjuntos n\xc3\xa3o-vazios tem uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de escolha.") Esse m\xc3\xa9todo n\xc3\xa3o pode, entretanto, ser usado para mostrar que toda fam\xc3\xadlia cont\xc3\xa1vel de conjuntos n\xc3\xa3o-vazios tem uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de escolha, como \xc3\xa9 afirmada pelo axioma da escolha cont\xc3\xa1vel. Se o m\xc3\xa9todo \xc3\xa9 aplicado a uma sequ\xc3\xaancia infinita (X\xe1\xb5\xa2\xc2\xa0: i\xe2\x88\x88\xcf\x89) de conjuntos n\xc3\xa3o-vazios, uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xa9 obtida a cada etapa finita, mas n\xc3\xa3o existe uma etapa tal que uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de escolha seja constru\xc3\xadda para a fam\xc3\xadlia inteira, nenhuma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de escolha "limite" pode ser constru\xc3\xadda, em geral, na ZF sem o Axioma da Escolha.\n_START_SECTION_\nExemplos\n_START_PARAGRAPH_\nA natureza dos conjuntos n\xc3\xa3o-vazios individuais na cole\xc3\xa7\xc3\xa3o pode tornar poss\xc3\xadvel evitar o Axioma da Escolha para certas cole\xc3\xa7\xc3\xb5es infinitas. Por exemplo, suponha que cada membro da cole\xc3\xa7\xc3\xa3o X \xc3\xa9 um subconjunto n\xc3\xa3o-vazio dos n\xc3\xbameros naturais. Todo tal subconjunto tem um menor elemento, ent\xc3\xa3o para especificar nossa fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de escolha, podemos simplesmente dizer que ela mapeia cada conjunto para o menor elemento desse conjunto. Isso nos d\xc3\xa1 uma escolha definida de um elemento de cada conjunto, e torna desnecess\xc3\xa1rio aplicar o Axioma da Escolha._NEWLINE_A dificuldade aparece quando n\xc3\xa3o existe escolha natural dos elementos de cada conjunto. Se n\xc3\xa3o podemos fazer escolhas expl\xc3\xadcitas, como podemos saber que nosso conjunto existe? Por exemplo, suponha que X \xc3\xa9 o conjunto de todos os subconjuntos n\xc3\xa3o-vazios dos n\xc3\xbameros reais. Primeiro poder\xc3\xadamos tentar proceder como se X fosse finito. Se tentarmos escolher um elemento de cada conjunto, ent\xc3\xa3o, pelo fato de X ser infinito, nosso procedimento de escolha nunca vai acabar, e consequentemente, nunca estaremos aptos a produzir uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de escolha para todo X. Depois, poder\xc3\xadamos tentar especificar o menor elemento de cada conjunto. Mas, alguns subconjuntos dos n\xc3\xbamero reais n\xc3\xa3o possuem menor elemento. Por exemplo, o intervalo aberto (0,1) n\xc3\xa3o possui um menor elemento: se x pertence a (0,1), ent\xc3\xa3o x/2 tamb\xc3\xa9m pertence, e x/2 \xc3\xa9 sempre estritamente menor que x. Logo esta tentativa tamb\xc3\xa9m falha._NEWLINE_Adicionalmente, considere por exemplo o c\xc3\xadrculo unit\xc3\xa1rio S, e a a\xc3\xa7\xc3\xa3o sobre S por um grupo G consistindo de todas as rota\xc3\xa7\xc3\xb5es racionais. Essas s\xc3\xa3o rota\xc3\xa7\xc3\xb5es por \xc3\xa2ngulos que s\xc3\xa3o m\xc3\xbaltiplos racionais de \xcf\x80. Aqui G \xc3\xa9 cont\xc3\xa1vel enquanto S \xc3\xa9 incont\xc3\xa1vel. Segue que S quebra em incont\xc3\xa1veis \xc3\xb3rbitas sob G. Usando o Axioma da Escolha, podemos pegar um \xc3\xbanico ponto de cada \xc3\xb3rbita, obtendo um subconjunto incont\xc3\xa1vel X de S com a propriedade que todas as suas transla\xc3\xa7\xc3\xb5es por G s\xc3\xa3o disjuntos de X. Em outras palavras, o c\xc3\xadrculo fica particionado em uma cole\xc3\xa7\xc3\xa3o cont\xc3\xa1vel de conjuntos disjuntos, que s\xc3\xa3o dois a dois congruentes. Agora \xc3\xa9 f\xc3\xa1cil convencer-se que o conjunto X poderia n\xc3\xa3o ser mensur\xc3\xa1vel por uma medida aditiva cont\xc3\xa1vel. Da\xc3\xad n\xc3\xa3o se pode esperar encontrar um algoritmo para encontrar um ponto em cada \xc3\xb3rbita, sem usar o Axioma da Escolha. Veja conjuntos n\xc3\xa3o-mensur\xc3\xa1veis para mais detalhes._NEWLINE_A raz\xc3\xa3o pela qual est\xc3\xa1vamos aptos a escolher menores elementos de subconjuntos dos n\xc3\xbameros naturais, \xc3\xa9 o fato de que os n\xc3\xbameros naturais s\xc3\xa3o bem ordenados: todo subconjunto n\xc3\xa3o-vazio dos n\xc3\xbameros naturais tem um \xc3\xbanico menor elemento sob a ordena\xc3\xa7\xc3\xa3o natural. Algu\xc3\xa9m poderia dizer, "Mesmo que a ordena\xc3\xa7\xc3\xa3o usual dos n\xc3\xbameros reais n\xc3\xa3o funcione, talvez seja poss\xc3\xadvel encontrar encontrar uma ordena\xc3\xa7\xc3\xa3o diferente dos n\xc3\xbameros reais tal que ela seja uma boa ordena\xc3\xa7\xc3\xa3o. Ent\xc3\xa3o nossa fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de escolha pode escolher o menor elemento de todo conjunto sob nossa ordena\xc3\xa7\xc3\xa3o incomum." O problema ent\xc3\xa3o torna-se construir uma boa ordena\xc3\xa7\xc3\xa3o, que aparenta necessitar o Axioma da Escolha para sua exist\xc3\xaancia; todo conjunto pode ser bem ordenado se e somente se o Axioma da Escolha \xc3\xa9 v\xc3\xa1lido.\n_START_SECTION_\nCr\xc3\xadtica e aceita\xc3\xa7\xc3\xa3o\n_START_PARAGRAPH_\nUma prova que exige o axioma da escolha pode estabelecer a exist\xc3\xaancia de um objeto sem explicitamente definir o objeto na linguagem da teoria dos conjuntos. Por exemplo, enquanto o Axioma da Escolha implica que existe uma boa ordena\xc3\xa7\xc3\xa3o dos n\xc3\xbameros reais, existem modelos da teoria dos conjuntos com o Axioma da Escolha no qual \xc3\xa9 imposs\xc3\xadvel definir uma boa ordena\xc3\xa7\xc3\xa3o dos reais. Semelhantemente, embora um subconjunto dos reais que n\xc3\xa3o \xc3\xa9 Lebesgue mensur\xc3\xa1vel pode ser provado existir usando o Axioma da Escolha, \xc3\xa9 consistente que tal conjunto n\xc3\xa3o \xc3\xa9 defin\xc3\xadvel._NEWLINE_O Axioma da Escolha produz esses intang\xc3\xadveis (objetos que s\xc3\xa3o provados existir, mas que n\xc3\xa3o podem ser explicitamente constru\xc3\xaddos), que podem conflitar com alguns princ\xc3\xadpios filos\xc3\xb3ficos. Pelo fato de n\xc3\xa3o existir boa ordena\xc3\xa7\xc3\xa3o can\xc3\xb4nica de todos os conjuntos, uma constru\xc3\xa7\xc3\xa3o que baseia-se em uma boa ordena\xc3\xa7\xc3\xa3o pode n\xc3\xa3o produzir um resultado can\xc3\xb4nico, mesmo que um resultado can\xc3\xb4nico seja desejado (como \xc3\xa9 sempre o caso na teoria das categorias). Isso vem sendo usado como um argumento contra o uso do Axioma da Escolha._NEWLINE_Apesar desses fatos, a maioria dos matem\xc3\xa1ticos aceita o Axioma da Escolha como um princ\xc3\xadpio v\xc3\xa1lido para provar novos resultados em matem\xc3\xa1tica. O debate \xc3\xa9 suficientemente interessante, entretanto, que \xc3\xa9 considerado digno de nota quando um teorema em ZFC (ZF mais AC) \xc3\xa9 logicamente equivalente (com apenas os axiomas de ZF) ao Axioma da Escolha, e matem\xc3\xa1ticos procuram por resultados que necessitam que o Axioma da Escolha seja falso, embora esse tipo de dedu\xc3\xa7\xc3\xa3o seja menos comum que o tipo de dedu\xc3\xa7\xc3\xa3o que necessita que o Axioma da Escolha seja verdadeiro._NEWLINE_\xc3\x89 poss\xc3\xadvel provar v\xc3\xa1rios teoremas usando nem o Axiom da Escolha nem sua nega\xc3\xa7\xc3\xa3o; tais resultados ir\xc3\xa3o ser verdadeiros em qualquer modelo da Teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF), independentemente da verdade ou falsidade do axioma da escolha nesse modelo particular. A restri\xc3\xa7\xc3\xa3o a ZF torna qualquer reivindica\xc3\xa7\xc3\xa3o que baseia-se ou no Axioma da Escolha ou na sua nega\xc3\xa7\xc3\xa3o improv\xc3\xa1vel. Por exemplo, o paradoxo de Banach\xe2\x80\x93Tarski n\xc3\xa3o \xc3\xa9 nem prov\xc3\xa1vel nem disprov\xc3\xa1vel na ZF: \xc3\xa9 imposs\xc3\xadvel construir a decomposi\xc3\xa7\xc3\xa3o necess\xc3\xa1ria da bola unit\xc3\xa1ria em ZF, mas tamb\xc3\xa9m imposs\xc3\xadvel provar que tal decomposi\xc3\xa7\xc3\xa3o n\xc3\xa3o existe. Semelhantemente, todas as afirma\xc3\xa7\xc3\xb5es listadas abaixo que necessitam de escolha ou alguma vers\xc3\xa3o mais fraca para sua prova s\xc3\xa3o improv\xc3\xa1veis em ZF, mas desde que cada uma seja prov\xc3\xa1vel em ZFC, existem modelos de ZF em que cada afirma\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xa9 verdadeira. Afirma\xc3\xa7\xc3\xb5es como o paradoxo de Banach-Tarski podem ser reformuladas como afirma\xc3\xa7\xc3\xb5es condicionais, por exemplo, "Se AC vale, a decomposi\xc3\xa7\xc3\xa3o no paradoxo de Banach-Tarski existe." Tal afirma\xc3\xa7\xc3\xa3o condicional s\xc3\xa3o prov\xc3\xa1veis em ZF quando a afirma\xc3\xa7\xc3\xa3o original \xc3\xa9 prov\xc3\xa1vel em ZF e o Axioma da Escolha.\n_START_SECTION_\nConsist\xc3\xaancia relativa e independ\xc3\xaancia\n_START_PARAGRAPH_\nKurt G\xc3\xb6del demonstrou a consist\xc3\xaancia relativa do Axioma da Escolha com os demais axiomas de ZF, ou seja, Con(ZF)  Con(ZFC), onde Con(x) significa "x \xc3\xa9 consistente"._NEWLINE_A. Fraenkel e, de uma maneira precisa, A. Mostowski, demonstraram a independ\xc3\xaancia do Axioma da Escolha (AE) em Teoria de Conjuntos com \xc3\xa1tomos (urelementos, alem\xc3\xa3o:Urelemente), denominada ZFA, na qual n\xc3\xa3o vale o Axioma da Regularidade. Com efeito, usando modelos de permuta\xc3\xa7\xc3\xa3o demonstraram que, se ZFA \xc3\xa9 consistente, ent\xc3\xa3o ZFA + "existe um conjunto enumer\xc3\xa1vel de pares sem fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de escolha" tamb\xc3\xa9m \xc3\xa9 consistente._NEWLINE_Usando o m\xc3\xa9todo de forcing, por ele idealizado, Paul J. Cohen demonstrou a independ\xc3\xaancia relativa aos demais axiomas de ZF (incluindo o Axioma da Regularidade): Se ZF \xc3\xa9 consistente, ent\xc3\xa3o ZF + "existe um conjunto enumer\xc3\xa1vel de pares de conjuntos de n\xc3\xbameros reais sem fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de escolha" tamb\xc3\xa9m \xc3\xa9 consistente._NEWLINE_Um argumento dado em favor do uso do Axioma da Escolha \xc3\xa9 que \xc3\xa9 conveniente us\xc3\xa1-lo porque ele permite provar algumas proposi\xc3\xa7\xc3\xb5es simplificadoras que de outra maneira n\xc3\xa3o poderiam ser provadas. Muitos teoremas que podem ser provados usando escolha s\xc3\xa3o de uma eleg\xc3\xa2ncia geral: todo ideal em um anel est\xc3\xa1 contido em um ideal maximal, todo espa\xc3\xa7o vetorial possui uma base, e todo produto de espa\xc3\xa7os compactos \xc3\xa9 compacto. Sem o uso do Axioma da Escolha, esses teoremas poderiam n\xc3\xa3o ser validos para objetos matem\xc3\xa1ticos de grande cardinalidade._NEWLINE_A prova do  resultado da independ\xc3\xaancia tamb\xc3\xa9m mostra que uma grande classe de afirma\xc3\xa7\xc3\xb5es matem\xc3\xa1ticas, incluindo todas as afirma\xc3\xa7\xc3\xb5es que podem ser formuladas na linguagem da aritm\xc3\xa9tica de Peano, s\xc3\xa3o provadas em ZF se e somente se s\xc3\xa3o provadas em ZFC. Afirma\xc3\xa7\xc3\xb5es nessa classe incluem a afirma\xc3\xa7\xc3\xa3o que P = NP, a hip\xc3\xb3tese de Riemann, e muitos outros problemas matem\xc3\xa1ticos n\xc3\xa3o resolvidos. Quando algu\xc3\xa9m tenta resolver problemas desta classe, n\xc3\xa3o tem diferen\xc3\xa7a se ZF ou ZFC \xc3\xa9 empregada se a \xc3\xbanica quest\xc3\xa3o \xc3\xa9 a exist\xc3\xaancia de uma prova. \xc3\x89 poss\xc3\xadvel, entretanto, que exista uma prova menor de um teorema na ZFC do que na ZF.\n_START_SECTION_\nRela\xc3\xa7\xc3\xa3o com a hip\xc3\xb3tese do continuo\n_START_PARAGRAPH_\nO matem\xc3\xa1tico Kurt G\xc3\xb6del definiu um modelo de ZFC denominado o universo constru\xc3\xadvel, abreviado L, no qual valem a hip\xc3\xb3tese do continuo generalizada e o Axioma de Construtibilidade, V=L. Usando esse modelo mostrou que dentro da teoria ZFC n\xc3\xa3o se pode provar a nega\xc3\xa7\xc3\xa3o da hip\xc3\xb3tese do continuo se ZF \xc3\xa9 consistente. Por sua vez, Paul J. Cohen mostrou que a hip\xc3\xb3tese do continuo \xc3\xa9 independente dos axiomas da teoria ZFC, se eles forem consistentes._NEWLINE_No entanto, a hip\xc3\xb3tese do continuo generalizada implica o axioma da escolha na teoria ZF.\n_START_SECTION_\nAxiomas mais fortes\n_START_PARAGRAPH_\nO axioma da construtibilidade e a hip\xc3\xb3tese generalizada do cont\xc3\xadnuo ambas implicam o Axioma da Escolha, mas s\xc3\xa3o estritamente mais fortes do que ele._NEWLINE_Na teoria das classes como na teoria dos conjuntos de Von Neumann\xe2\x80\x93Bernays\xe2\x80\x93G\xc3\xb6del e na teoria dos conjuntos de Morse-Kelley, existe um axioma poss\xc3\xadvel chamado de axioma da escolha global que \xc3\xa9 mais forte do que o Axioma da Escolha para conjuntos porque tamb\xc3\xa9m se aplica para classes pr\xc3\xb3prias. E o axioma da escolha global segue do axioma do tamanho limitado.\n_START_SECTION_\nFormas mais fracas\n_START_PARAGRAPH_\nExistem v\xc3\xa1rias afirma\xc3\xa7\xc3\xb5es mais fracas que n\xc3\xa3o s\xc3\xa3o equivalentes ao Axioma da Escolha, mas s\xc3\xa3o intimamente relacionadas. Um exemplo \xc3\xa9 o axioma da escolha dependente (DC). Um exemplo ainda mais fraco \xc3\xa9 o axioma da escolha cont\xc3\xa1vel (AC\xcf\x89 or CC), que afirma que uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de escolha existe conjunto cont\xc3\xa1vel de conjuntos n\xc3\xa3o-vazios. Esses axiomas s\xc3\xa3o suficientes para muitas provas em an\xc3\xa1lise matem\xc3\xa1tica elementar, e s\xc3\xa3o consistentes com alguns princ\xc3\xadpios, como a mensurabilidade de Lebesgue de todos os conjuntos de reais, que \xc3\xa9 disprov\xc3\xa1vel pelo Axioma da Escolha completo._NEWLINE_Outros axiomas mais fracos que o Axioma da Escolha incluem o teorema do ideal primo booleano e o axioma da uniformiza\xc3\xa7\xc3\xa3o. O anterior \xc3\xa9 equivalente em ZF a exist\xc3\xaancia de um ultrafiltro contendo cada filtro dado, provado por Tarski em 1930.\n_START_SECTION_\nFormas mais fortes da nega\xc3\xa7\xc3\xa3o de AC\n_START_PARAGRAPH_\nAgora, considere formas mais fortes da nega\xc3\xa7\xc3\xa3o de AC. Por exemplo, se abreviarmos por BP a afirma\xc3\xa7\xc3\xa3o que todo conjunto de n\xc3\xbameros reais tem a propriedade de Baire, ent\xc3\xa3o BP \xc3\xa9 mais forte que \xc2\xacAC, que afirma a inexist\xc3\xaancia de qualquer fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de escolha em talvez apenas um \xc3\xbanico conjunto de conjuntos n\xc3\xa3o-vazios. Perceba que nega\xc3\xa7\xc3\xb5es fortificadas podem ser compat\xc3\xadveis com formas enfraquecidas de AC. Por exemplo, ZF + DC + BP \xc3\xa9 consistente, se ZF for._NEWLINE_Tamb\xc3\xa9m \xc3\xa9 consistente com ZF + DC que todo conjunto de reais \xc3\xa9 Lebesgue mensur\xc3\xa1vel; entretanto, esse resultado de consist\xc3\xaancia, devido a Robert M. Solovay, n\xc3\xa3o pode ser provado em ZFC apenas, mas necessita de supor grandes cardinais (a exist\xc3\xaancia de um cardinal inacess\xc3\xadvel).O ainda mais forte axioma da determina\xc3\xa7\xc3\xa3o, ou AD, implica que todo conjunto de reais \xc3\xa9 Lebesgue mensur\xc3\xa1vel, tem a propriedade de Baire, e tem a propriedade do conjunto perfeito (todos esses tr\xc3\xaas resultados s\xc3\xa3o refutados por AC). ZF + DC + AD \xc3\xa9 consistente dado que um axioma para um cardinal grande forte \xc3\xa9 consistente (a exist\xc3\xaancia de infinitos deles cardinais de Woodin).'