b'\n_START_ARTICLE_\nHist\xc3\xb3ria da aritm\xc3\xa9tica\n_START_PARAGRAPH_\nA hist\xc3\xb3ria da aritm\xc3\xa9tica abrange o per\xc3\xadodo a partir do surgimento da contagem antes da defini\xc3\xa7\xc3\xa3o formal dos n\xc3\xbameros e opera\xc3\xa7\xc3\xb5es aritm\xc3\xa9ticas sobre eles por um sistema de axiomas. A aritm\xc3\xa9tica - a ci\xc3\xaancia dos n\xc3\xbameros, suas propriedades e rela\xc3\xa7\xc3\xb5es - \xc3\xa9 uma das ci\xc3\xaancias matem\xc3\xa1ticas b\xc3\xa1sicas, sendo est\xc3\xa1 intimamente relacionada com \xc3\xa1lgebra e teoria dos n\xc3\xbameros._NEWLINE_A aritm\xc3\xa9tica tornou-se uma necessidade pr\xc3\xa1tica, a longo prazo, para medidas simples e c\xc3\xa1lculos. A primeira informa\xc3\xa7\xc3\xa3o confi\xc3\xa1vel sobre o conhecimento aritm\xc3\xa9tica \xc3\xa9 encontrada nos monumentos hist\xc3\xb3ricos do Antigo Egito e na Babil\xc3\xb4nia, relativa ao 3\xc2\xb0-2\xc2\xb0 mil\xc3\xaanio a.C. Os matem\xc3\xa1ticos gregos tiveram grande contribui\xc3\xa7\xc3\xa3o para o desenvolvimento da aritm\xc3\xa9tica, particularmente os pitag\xc3\xb3ricos, que tentaram usar n\xc3\xbameros para identificar todas as leis do mundo. Na Idade M\xc3\xa9dia, as principais \xc3\xa1reas de aplica\xc3\xa7\xc3\xa3o da aritm\xc3\xa9tica eram o com\xc3\xa9rcio e os c\xc3\xa1lculos aproximados. A aritm\xc3\xa9tica desenvolveu-se principalmente na \xc3\x8dndia e pa\xc3\xadses isl\xc3\xa2micos, e s\xc3\xb3 depois veio para a Europa Ocidental. Na astronomia n\xc3\xa1utica do s\xc3\xa9culo XVII, a mec\xc3\xa2nica, os c\xc3\xa1lculos de navega\xc3\xa7\xc3\xa3o, os c\xc3\xa1lculos de neg\xc3\xb3cios mais complexos criaram novas solicita\xc3\xa7\xc3\xb5es aritm\xc3\xa9ticas para a t\xc3\xa9cnica de computa\xc3\xa7\xc3\xa3o e deram um impulso promovendo seu desenvolvimento._NEWLINE_As bases te\xc3\xb3ricas do n\xc3\xbamero como representa\xc3\xa7\xc3\xa3o associadas principalmente com a defini\xc3\xa7\xc3\xa3o de um n\xc3\xbamero natural e axiomas de Peano foram formuladas em 1889. Foram seguidos pela defini\xc3\xa7\xc3\xa3o estrita de n\xc3\xbameros racionais, reais, negativos e complexos. A expans\xc3\xa3o adicional do conceito de n\xc3\xbamero s\xc3\xb3 foi poss\xc3\xadvel nos casos de falhas de algumas das leis de aritm\xc3\xa9tica.\n_START_SECTION_\nAntigo Egito\n_START_PARAGRAPH_\nInforma\xc3\xa7\xc3\xb5es b\xc3\xa1sicas sobre matem\xc3\xa1tica eg\xc3\xadpcia baseada no Papiro de Rhind, que \xc3\xa9 uma sinopse do escriba eg\xc3\xadpcio Ahmesa (s\xc3\xa9culo XVIII-XVII A.C.) e do Papiro de Moscou. Ambos os papiros pertence \xc3\xa0 era do Imp\xc3\xa9rio M\xc3\xa9dio. As informa\xc3\xa7\xc3\xb5es sobre os textos matem\xc3\xa1ticos do Novo Reino, bem como os reinos primeiros e antigos, n\xc3\xa3o sobreviveu. Papiros matem\xc3\xa1ticos do Antigo Egito foram feitas para fins de ensino, contendo problemas com solu\xc3\xa7\xc3\xb5es, informa\xc3\xa7\xc3\xb5es de apoio e as regras de resolu\xc3\xa7\xc3\xa3o n\xc3\xbameros inteiros e fra\xc3\xa7\xc3\xb5es, contento progress\xc3\xb5es aritm\xc3\xa9ticas e geom\xc3\xa9tricas, assim como suas equa\xc3\xa7\xc3\xb5es._NEWLINE_Os eg\xc3\xadpcios usavam o sistema decimal. Numera\xc3\xa7\xc3\xa3o hierogl\xc3\xadfica era aditiva sinais especiais de 1, 10, 100, 1000 e assim por diante at\xc3\xa9 dez milh\xc3\xb5es, enquanto nos sinais hier\xc3\xa1ticos surgiram para os n\xc3\xbameros de um a nove, para as dezenas, centenas e milhares, e caracteres especiais para fra\xc3\xa7\xc3\xb5es da forma 1/n ou fra\xc3\xa7\xc3\xb5es al\xc3\xadquotas (fra\xc3\xa7\xc3\xa3o eg\xc3\xadpcia)._NEWLINE_Textos matem\xc3\xa1ticos eg\xc3\xadpcios focam o c\xc3\xa1lculo e as dificuldades que nele surgem, o que depende em grande medida dos m\xc3\xa9todos de resolu\xc3\xa7\xc3\xa3o de problemas. Os eg\xc3\xadpcios usavam as opera\xc3\xa7\xc3\xb5es aritm\xc3\xa9ticas, como adi\xc3\xa7\xc3\xa3o, duplica\xc3\xa7\xc3\xa3o e adi\xc3\xa7\xc3\xa3o de fra\xc3\xa7\xc3\xb5es a um. Qualquer multiplica\xc3\xa7\xc3\xa3o e divis\xc3\xa3o inteira sem qualquer res\xc3\xadduo foram realizados com opera\xc3\xa7\xc3\xb5es repetitivas de duplica\xc3\xa7\xc3\xa3o, resultando em c\xc3\xa1lculos complicados, que foram assistidos por certos membros da seq\xc3\xbc\xc3\xaancia 1, 2, 4, 8, 16, ... No Egito, foram usados \xe2\x80\x8b\xe2\x80\x8bapenas fra\xc3\xa7\xc3\xa3o em al\xc3\xadquotas, e todas as outras fra\xc3\xa7\xc3\xb5es decompostas no valor de al\xc3\xadquotas. No Papiro Rhind apresentam-se tabelas de tais expans\xc3\xb5es por formas de fra\xc3\xa7\xc3\xb5es , os c\xc3\xa1lculos com fra\xc3\xa7\xc3\xb5es restantes vem com a opera\xc3\xa7\xc3\xa3o de duplica\xc3\xa7\xc3\xa3o. Ao determinar a \xc3\xa1rea de uma superf\xc3\xadcie, o volume de um cubo ou encontrar o lado de uma \xc3\xa1rea em fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de sua \xc3\xa1rea, os eg\xc3\xadpcios enfrentaram os problemas da exponencia\xc3\xa7\xc3\xa3o e extra\xc3\xa7\xc3\xa3o de raiz, embora os nomes destas opera\xc3\xa7\xc3\xb5es ainda n\xc3\xa3o eram como os conhecemos.\n_START_SECTION_\nBabil\xc3\xb4nia\n_START_PARAGRAPH_\nTextos matem\xc3\xa1ticos cuneiformes babil\xc3\xb4nicos usaram sistema de numera\xc3\xa7\xc3\xa3o sexagesimal, caracter\xc3\xadstico dos sum\xc3\xa9rios, e representados em um livro did\xc3\xa1tico que inclui metodologias da multiplica\xc3\xa7\xc3\xa3o de n\xc3\xbameros ("tabuadas") contendo n\xc3\xbameros e resultados de valores de 1 a 59, bem como tabelas de n\xc3\xbameros inversos, t\xc3\xa1buas de quadrados e cubos de n\xc3\xbameros naturais, c\xc3\xa1lculos de porcentagens e fra\xc3\xa7\xc3\xb5es base. H\xc3\xa1 mais de tr\xc3\xaas centenas de tabuletas com textos, problemas matem\xc3\xa1ticos e tabelas num\xc3\xa9ricas. A matem\xc3\xa1tica babil\xc3\xb4nica \xc3\xa9 caracterizada pelo uso extensivo de tabelas._NEWLINE_Na Babil\xc3\xb4nia, apareceu pela primeira vez a numera\xc3\xa7\xc3\xa3o posicional consistente. Os primeiros cinquenta e nove n\xc3\xbameros foram registrados com a repeti\xc3\xa7\xc3\xa3o de personagens e dezenas de unidades necess\xc3\xa1rias v\xc3\xa1rias vezes. Da mesma forma foram registrados m\xc3\xbaltiplos de sessenta \xc3\xa0 esquerda do primeiro conjunto. Mais tarde, este arranjo foi estendido para todo o n\xc3\xbamero do formul\xc3\xa1rio  e . Al\xc3\xa9m disso, introduziu-se um sinal babil\xc3\xb4nio denotando zero quando da grafia do n\xc3\xbamero._NEWLINE_Adi\xc3\xa7\xc3\xa3o e subtra\xc3\xa7\xc3\xa3o na Babil\xc3\xb4nia eram as mesmas que aquelas a\xc3\xa7\xc3\xb5es em sistema posicional decimal com a diferen\xc3\xa7a de que a transi\xc3\xa7\xc3\xa3o para o pr\xc3\xb3ximo n\xc3\xadvel era necess\xc3\xa1ria para o sistema de base, e para as unidades e dezenas. Devido \xc3\xa0 grande base dos babil\xc3\xb4nios n\xc3\xa3o utilizava-se uma \xc3\xbanica tabela de multiplica\xc3\xa7\xc3\xa3o at\xc3\xa9 59, que cont\xc3\xaam um grande n\xc3\xbamero de elementos, e uma variedade de tabelas de n\xc3\xbameros de 1 a 59 sobre os n\xc3\xbameros 1, 2, 3, \xe2\x80\xa6 19, 20, 30, 40, 50 , tamb\xc3\xa9m chamada de "capital". Na opera\xc3\xa7\xc3\xa3o de divis\xc3\xa3o dos babil\xc3\xb4nios n\xc3\xa3o era, portanto, dada muita aten\xc3\xa7\xc3\xa3o para as mesas de desenho de rec\xc3\xadprocos, ou seja, n\xc3\xbameros gerados quando dividido-se 60 2, 3, 40 .. No caso de divis\xc3\xa3o, dando fra\xc3\xa7\xc3\xa3o infinita, primeiro escrevia-se que h\xc3\xa1 um n\xc3\xbamero inverso, e depois, dado um valor aproximado._NEWLINE_Ao resolver problemas aritm\xc3\xa9ticos os babil\xc3\xb4nios invocavam propor\xc3\xa7\xc3\xa3o e progress\xc3\xa3o. Eles conheciam a f\xc3\xb3rmula para a soma dos termos de uma progress\xc3\xa3o aritm\xc3\xa9tica, as regras para a soma de uma progress\xc3\xa3o geom\xc3\xa9trica, resolvendo o problema dos juros. Na Babil\xc3\xb4nia, conhecia-se uma quantidade de trios pitag\xc3\xb3ricos, mas os m\xc3\xa9todos que usavam para encontr\xc3\xa1-los \xc3\xa9 desconhecido. Em geral, o problema de encontrar solu\xc3\xa7\xc3\xb5es inteiros eracionais da equa\xc3\xa7\xc3\xa3o  refere-se \xc3\xa0 teoria dos n\xc3\xbameros. Problemas geom\xc3\xa9tricos conduziram \xc3\xa0 necessidade de aproximar a raiz quadrada, utilizando a regra  e m\xc3\xa9todos iterativos para a prossecu\xc3\xa7\xc3\xa3o da aproxima\xc3\xa7\xc3\xa3o do resultado.\n_START_SECTION_\nGr\xc3\xa9cia antiga\n_START_PARAGRAPH_\nInicialmente, os gregos usaram a numera\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xa1tica, que usava s\xc3\xadmbolos para os n\xc3\xbameros. Este sistema \xc3\xa9 descrito em gram\xc3\xa1ticas pelo historiador Aelius Herodianus, de um rei Herodes, no s\xc3\xa9culo II a.C.. Com numera\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xa1tica registra-se os resultados dos c\xc3\xa1lculos no \xc3\xa1baco. Ao longo do tempo, a numera\xc3\xa7\xc3\xa3o foi substitu\xc3\xaddo pela alfab\xc3\xa9tica compacta, ou j\xc3\xb4nica. A numera\xc3\xa7\xc3\xa3o j\xc3\xb4nica usou as 24 letras do alfabeto grego e tr\xc3\xaas letras extras de tratamento \xc3\xa0s unidades de 1 a 9, dezenas de 10 a 90 e centenas de 100 a 900 (lan\xc3\xa7adas a partir de cartas de circula\xc3\xa7\xc3\xa3o utilizadas para designar n\xc3\xbameros 6, 90, 900 ). Para distinguir o n\xc3\xbamero de cartas sobre eles colocavam a linha. Para gravar o n\xc3\xbamero 1000 utilizando o mesmo s\xc3\xadmbolo para a unidade, mas com um tra\xc3\xa7o na parte inferior esquerda. Esta \xc3\xa9 uma reminisc\xc3\xaancia de um sistema posicional, mas a transi\xc3\xa7\xc3\xa3o final ocorreu. Acredita-se que tal sistema dificultava c\xc3\xa1lculos complexos, mas em 1882 o historiador da Matem\xc3\xa1tica franc\xc3\xaas Paul Tannery chegou \xc3\xa0 conclus\xc3\xa3o de que a abordagem correta do sistema de numera\xc3\xa7\xc3\xa3o grego n\xc3\xa3o \xc3\xa9 muito diferente dos c\xc3\xa1lculos decimais mais r\xc3\xa1pidos._NEWLINE_O desenvolvimento da aritm\xc3\xa9tica grega deve-se principalmente \xc3\xa0 escola pitag\xc3\xb3rica. Pitagoreanos acreditavam em primeiro lugar, que a propor\xc3\xa7\xc3\xa3o de quaisquer dois segmentos podia ser expressa em termos da rela\xc3\xa7\xc3\xa3o de n\xc3\xbameros inteiros, consequentemente, a geometria representava a aritm\xc3\xa9tica de n\xc3\xbameros racionais. Usar uma rela\xc3\xa7\xc3\xa3o semelhante \xc3\xa0 harmonia da m\xc3\xbasica levou os pitag\xc3\xb3ricos \xc3\xa0 conclus\xc3\xa3o de que todas as leis do mundo podiam ser expressas em termos de n\xc3\xbameros e aritm\xc3\xa9tica seria necess\xc3\xa1ria a fim de formular um relacionamento e construir um modelo do mundo. Em particular, o pitag\xc3\xb3rico Arquitas de Tarento escreveu: "Aritm\xc3\xa9tica, para a [minha] opini\xc3\xa3o, \xc3\xa9 entre outras ci\xc3\xaancias muito distinta em perfei\xc3\xa7\xc3\xa3o do conhecimento; e a geometria [\xc3\xa9 perfeita porque] \xc3\xa9 mais clara, pois a geometria considera qualquer [coisa].\xe2\x80\x9d_NEWLINE_Os pitag\xc3\xb3ricos consideravam unicamente os n\xc3\xbameros inteiros positivos, e acreditavam que o n\xc3\xbamero de unidades de montagem. As unidades eram indivis\xc3\xadveis e dispostas em corpos geom\xc3\xa9tricos regulares. Pitag\xc3\xb3ricos definiam a caracter\xc3\xadstica de "n\xc3\xbameros figurados ou agrupados" ("triangulares", "quadrados" e outros). Ao estudar as propriedades dos n\xc3\xbameros, eles os dividiam em pares e \xc3\xadmpares (como um sinal de divisibilidade por dois), primos e compostos. Foram, provavelmente, os pitag\xc3\xb3ricos, utilizando apenas divisibilidade por dois que foram capazes de provar que, se  \xc3\xa9 um n\xc3\xbamero primo, ent\xc3\xa3o   \xc3\xa9 um n\xc3\xbamero perfeito. A demonstra\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xa9 dada na obra "Os Elementos" de Euclides (IX, 36). Somente no s\xc3\xa9culo XVIII, Leonhard Euler provou que outros n\xc3\xbameros perfeitos existem, mas a quest\xc3\xa3o de que se existem infinitos n\xc3\xbameros perfeitos ainda n\xc3\xa3o foi resolvida. Pitag\xc3\xb3ricos tamb\xc3\xa9m desenvolveram uma f\xc3\xb3rmula e encontraram um n\xc3\xbamero infinito de solu\xc3\xa7\xc3\xb5es inteiras da equa\xc3\xa7\xc3\xa3o , os chamados trios pitag\xc3\xb3ricos  (a apresenta\xc3\xa7\xc3\xa3o da primeira f\xc3\xb3rmula que determina os trios pitag\xc3\xb3ricos \xc3\xa9 atribu\xc3\xadda a Plat\xc3\xa3o, que dedicou muita aten\xc3\xa7\xc3\xa3o a aritm\xc3\xa9tica, ou a ci\xc3\xaancia dos n\xc3\xbameros )._NEWLINE_Sabe-se que entre os pitag\xc3\xb3ricos houve a doutrina dos n\xc3\xbameros racionais, ou a rela\xc3\xa7\xc3\xa3o dos segmentos, mas esta doutrina e suas demonstra\xc3\xa7\xc3\xb5es n\xc3\xa3o sobreviveram. No entanto, sobreviveram provas da incomensurabilidade da diagonal e o lado do quadrado unidade. Esta descoberta significa que a propor\xc3\xa7\xc3\xa3o de inteiros n\xc3\xa3o \xc3\xa9 suficiente para expressar as rela\xc3\xa7\xc3\xb5es de todos os segmentos e que, nesta base, \xc3\xa9 imposs\xc3\xadvel construir uma geometria m\xc3\xa9trica. O primeiro pertence \xc3\xa0 doutrina das irracionalidades. Teeteto de Atenas, aluno de S\xc3\xb3crates, determinou que, para a superf\xc3\xadcie, cuja \xc3\xa1rea \xc3\xa9 expressa por um n\xc3\xbamero n\xc3\xa3o-quadrado, o lado \xc3\xa9 incomensur\xc3\xa1vel da \xc3\xa1rea de superf\xc3\xadcie unit\xc3\xa1ria (de valor igual a unidade). Em outras palavras, determinou o tipo de irracionalidade  . Da mesma forma, definiu a irracionalidade  da diagonal para o cubo unidade (proporcional \xc3\xa0 raiz quadrada de 3)._NEWLINE_A teoria geral da divisibilidade apareceu em 399 a.C. e. pertence, evidentemente, tamb\xc3\xa9m a Teeteto de Atenas. Euclides dedicou seu livro VII e parte do livro IX, \xc2\xabEu comecei". A teoria baseia-se no  algoritmo de Euclides para encontrar o m\xc3\xa1ximo divisor comum de dois inteiros. A consequ\xc3\xaancia deste algoritmo \xc3\xa9 a possibilidade de expandir qualquer n\xc3\xbamero em fatores primos (\xe2\x80\x9cfatorar\xe2\x80\x9d), bem como a singularidade desta decomposi\xc3\xa7\xc3\xa3o. A lei da singularidade de fatora\xc3\xa7\xc3\xa3o privilegiada \xc3\xa9 a base da aritm\xc3\xa9tica dos n\xc3\xbameros inteiros. O algoritmo de Euclides para determinar os quocientes parciais da expans\xc3\xa3o da frac\xc3\xa3o racional de um n\xc3\xbamero racional. No entanto, o conceito de fra\xc3\xa7\xc3\xa3o racional peri\xc3\xb3dica n\xc3\xa3o era possu\xc3\xaddo pelos gregos._NEWLINE_Seguindo Euclides para n\xc3\xbameros racionais, ao contr\xc3\xa1rio, inteiros sempre tem poss\xc3\xadvel divis\xc3\xa3o. Na Gr\xc3\xa9cia, era-se capaz de operar com fra\xc3\xa7\xc3\xb5es da forma , som\xc3\xa1-las e subtra\xc3\xad-las, levando a um denominador comum, multiplicar e dividir, bem como subtrair. Em constru\xc3\xa7\xc3\xb5es te\xc3\xb3ricas gregos partiam de uma unidade indivis\xc3\xadvel e n\xc3\xa3o tratavam de fra\xc3\xa7\xc3\xb5es de uma unidade, e a rela\xc3\xa7\xc3\xa3o de n\xc3\xbameros inteiros. Por estas rela\xc3\xa7\xc3\xb5es definiram o conceito de proporcionalidade, que rompe todos as rela\xc3\xa7\xc3\xb5es em classes disjuntas. Na antiga Gr\xc3\xa9cia, determinava-se o menor par de todos tendo a mesma \xe2\x80\x9catitude\xe2\x80\x9d, ou um \xe2\x80\x98casal\xe2\x80\x99, em que os n\xc3\xbameros s\xc3\xa3o relativamente primos, o que corresponde ao conceito de fra\xc3\xa7\xc3\xa3o irredut\xc3\xadvel._NEWLINE_O problema da constru\xc3\xa7\xc3\xa3o de uma medida finita e a determina\xc3\xa7\xc3\xa3o de um n\xc3\xbamero real foi uma crise cient\xc3\xadfica no s\xc3\xa9culo V a.C.,  e a solu\xc3\xa7\xc3\xa3o desses dilemas conduziu todas as escolas filos\xc3\xb3ficas da Gr\xc3\xa9cia Antiga. Mostrar todas as dificuldades em resolver esses problemas conseguiu Zen\xc3\xa3o de Eleia em seus paradoxos ou aporias. Novos fundamentos da matem\xc3\xa1tica foram sugeridos por Eudoxo de Cnido. Formulou uma conceitua\xc3\xa7\xc3\xa3o mais geral do que o n\xc3\xbamero: o conceito de magnitudes geom\xc3\xa9tricas - por exemplo, a \xc3\xa1rea do segmento, o volume. Para quantidades homog\xc3\xaaneas Eudoxo determinou a fun\xc3\xa7\xc3\xa3o da rela\xc3\xa7\xc3\xa3o entre os axiomas de ordem e introduziu o axioma, conhecido como o axioma de Arquimedes. Essa abordagem nos permitiu determinar os valores de rela\xc3\xa7\xc3\xb5es arbitr\xc3\xa1rias, o que resolve o problema da incomensurabilidade ent\xc3\xa3o conhecido. No entanto, Eudoxo n\xc3\xa3o formulou um an\xc3\xa1logo do axioma da continuidade, que \xc3\xa9 por isso que a quest\xc3\xa3o da comensurabilidade n\xc3\xa3o foi totalmente decidido. Eudoxo tamb\xc3\xa9m n\xc3\xa3o especificou valores para opera\xc3\xa7\xc3\xb5es aritm\xc3\xa9ticas. Finalmente combinou o conceito do n\xc3\xbamero e magnitude (ou mais precisamente, a rela\xc3\xa7\xc3\xa3o com o valor da unidade padr\xc3\xa3o), como apresenta Isaac Newton, em "Aritm\xc3\xa9tica Universal" (Arithmetica Universalis, 1707). No entanto, a constru\xc3\xa7\xc3\xa3o de Eudoxo \xc3\xa9 pr\xc3\xb3ximo \xc3\xa0 defini\xc3\xa7\xc3\xa3o posterior de um n\xc3\xbamero real dada por Richard Dedekind para carta na qual Rudolf Lipschitz requisita uma nova defini\xc3\xa7\xc3\xa3o._NEWLINE_Ap\xc3\xb3s as conquistas de Alexandre, o Grande, o centro da ci\xc3\xaancia grega mudou-se para Alexandria. A dificuldade fundamental do tempo s\xc3\xa3o "Os Elementos" de Euclides de Alexandria, obra composta de treze livros. Livro V \xc3\xa9 dedicado \xc3\xa0 teoria das rela\xc3\xa7\xc3\xb5es de Eudoxo, o livro VI - as rela\xc3\xa7\xc3\xb5es de comunica\xc3\xa7\xc3\xa3o com os segmentos de opera\xc3\xa7\xc3\xa3o de multiplica\xc3\xa7\xc3\xa3o ou a constru\xc3\xa7\xc3\xa3o de paralelogramos, os livros VII-IX - a teoria de n\xc3\xbameros inteiros e racionais, tamb\xc3\xa9m considerado como linhas, o livro X - a classifica\xc3\xa7\xc3\xa3o irracional sobre Theaetetus._NEWLINE_No trabalho de Arquimedes o m\xc3\xa9todo do \xe2\x80\x9cO Contador de Areia\xe2\x80\x9d foi desenvolvido para a express\xc3\xa3o de um grande n\xc3\xbamero arbitrariamente. Seu projeto permite que se construa uma s\xc3\xa9rie de primeira ordem (at\xc3\xa9 ), em seguida, a segunda ordem (de  at\xc3\xa9 ) e, ainda, ao mesmo tempo pode ser expandido. Arquimedes tamb\xc3\xa9m mostra que o n\xc3\xbamero de gr\xc3\xa3os em uma esfera, cujo di\xc3\xa2metro \xc3\xa9 inferior a 10 mil vezes maior que o di\xc3\xa2metro da Terra n\xc3\xa3o excede ._NEWLINE_Com o passar do tempo, rumo \xc3\xa0 Idade M\xc3\xa9dia, a aritm\xc3\xa9tica da Gr\xc3\xa9cia antiga, a matem\xc3\xa1tica como um todo, declinou. Novos conhecimentos s\xc3\xb3 aparecem no s\xc3\xa9culo I-II a.C.. No s\xc3\xa9culo III come\xc3\xa7ou a constru\xc3\xa7\xc3\xa3o da \xc3\xa1lgebra de Diofanto de Alexandria n\xc3\xa3o confiando na geometria e aritm\xc3\xa9tica. Diofanto tamb\xc3\xa9m expandiu a \xc3\xa1rea do n\xc3\xbamero com os n\xc3\xbameros negativos. Diofanto trabalhou na resolu\xc3\xa7\xc3\xa3o de equa\xc3\xa7\xc3\xb5es indeterminadas em n\xc3\xbameros racionais, no cruzamento da teoria dos n\xc3\xbameros e geometria alg\xc3\xa9brica.\n_START_SECTION_\nRoma antiga\n_START_PARAGRAPH_\nO sistema de numera\xc3\xa7\xc3\xa3o romano n\xc3\xa3o era bem adequado para a computa\xc3\xa7\xc3\xa3o. Caracteres num\xc3\xa9ricos romanos apareceram posteriormente ao alfabeto e n\xc3\xa3o s\xc3\xa3o descendentes de suas anota\xc3\xa7\xc3\xb5es de cunho exclusivamente matem\xc3\xa1tico. Acredita-se que os n\xc3\xbameros originais de 1 a 9 s\xc3\xa3o, respectivamente, o n\xc3\xbamero de linhas na vertical, e a seu tra\xc3\xa7o cruzado significava o n\xc3\xbamero vezes dez (da\xc3\xad o n\xc3\xbamero X). Consequentemente, para obter o n\xc3\xbamero 100 anula-se a barra duas vezes. Subsequentemente, houve a simplifica\xc3\xa7\xc3\xa3o do sistema. Atualmente, ele \xc3\xa9 usado em casos especiais, como por exemplo em: s\xc3\xa9culo XIX, Caterina II, VI Congresso e outros.\n_START_SECTION_\nChina\n_START_PARAGRAPH_\nNo s\xc3\xa9culo II a.C. foram criados o "Tratado sobre o p\xc3\xb3lo de medi\xc3\xa7\xc3\xa3o" (astronomia) e \xe2\x80\x9cOs nove cap\xc3\xadtulos sobre a arte matem\xc3\xa1tica" (um livro para agrimensores, engenheiros, funcion\xc3\xa1rios p\xc3\xbablicos e comerciantes) \xe2\x80\x94 as mais antigas obras de matem\xc3\xa1tica existentes da China. Juntamente com uma s\xc3\xa9rie de mais livros escritos nos s\xc3\xa9culos III-IV, eles formaram os "Dez tratados cl\xc3\xa1ssicos" que foram reimpressos por longo per\xc3\xadodo inalterados. Para a matem\xc3\xa1tica do s\xc3\xa9culo XIV a China apresenta um conjunto de algoritmos num\xc3\xa9ricos para resolver um quadro de contagem._NEWLINE_No centro da numera\xc3\xa7\xc3\xa3o chinesa est\xc3\xa1 um princ\xc3\xadpio multiplicativo: como um sistema de numera\xc3\xa7\xc3\xa3o posicional, s\xc3\xa3o escritos a partir de cima para baixo ou da esquerda para a direita, enquanto que o sinal de milhares de milhares distancia-se mais para o n\xc3\xbamero de centenas - um sinal de centenas, com o n\xc3\xbamero de dezenas - um sinal de uma d\xc3\xbazia - e no final o n\xc3\xbamero de unidades. Para executar opera\xc3\xa7\xc3\xb5es aritm\xc3\xa9ticas usa-se calculador suanpan e varas de contagem. Na placa de contagem usa-se registro posicional. Ao mesmo tempo, de acordo com o matem\xc3\xa1tico chin\xc3\xaas do s\xc3\xa9culo III Sun Tzu, "nos m\xc3\xa9todos que s\xc3\xa3o usados \xe2\x80\x8b\xe2\x80\x8bna an\xc3\xa1lise convencional, especialmente [deve] se reunir com valores: unidades de dezenas verticais, horizontais; s\xc3\xa3o centenas, milhares e dezenas t\xc3\xaam a mesma apar\xc3\xaancia, dezenas de milhares e centenas, tamb\xc3\xa9m "._NEWLINE_As opera\xc3\xa7\xc3\xb5es aritm\xc3\xa9ticas de adi\xc3\xa7\xc3\xa3o e subtra\xc3\xa7\xc3\xa3o, produzidas na placa de contagem, n\xc3\xa3o exigiram tabelas adicionais para tabela de multiplica\xc3\xa7\xc3\xa3o dos mesmos, como 1 x 1 a 9 x 9. A\xc3\xa7\xc3\xb5es de multiplica\xc3\xa7\xc3\xa3o e divis\xc3\xa3o produzidas a partir dos valores mais significativos, e os resultados intermedi\xc3\xa1rios s\xc3\xa3o removidas do tabuleiro, o que torna imposs\xc3\xadvel a verifica\xc3\xa7\xc3\xa3o. A princ\xc3\xadpio, as opera\xc3\xa7\xc3\xb5es de multiplica\xc3\xa7\xc3\xa3o e divis\xc3\xa3o s\xc3\xa3o independentes, mas, a esse tempo, Sun Tzu fez sua revis\xc3\xa3o. Quase simultaneamente com os n\xc3\xbameros inteiros e as fra\xc3\xa7\xc3\xb5es apareceu, j\xc3\xa1 no s\xc3\xa9culo II a.C. opera\xc3\xa7\xc3\xb5es com fra\xc3\xa7\xc3\xb5es bem desenvolvidos. Para a adi\xc3\xa7\xc3\xa3o e subtra\xc3\xa7\xc3\xa3o de produto utilizando os denominadores, a multiplica\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xa9 geometricamente definida como a \xc3\xa1rea de um ret\xc3\xa2ngulo, a divis\xc3\xa3o tamb\xc3\xa9m foi associado com o problema da divis\xc3\xa3o de uma \xc3\xa1rea, com o n\xc3\xbamero de participantes na divis\xc3\xa3o podendo ser fracionado. No s\xc3\xa9culo V a.C. Zhang Qiu Jian substituiu a divis\xc3\xa3o por multiplica\xc3\xa7\xc3\xa3o por uma fra\xc3\xa7\xc3\xa3o invertida, enquanto que a fra\xc3\xa7\xc3\xa3o foi vista como um par de n\xc3\xbameros, ajudado pelo uso da placa de contagem. J\xc3\xa1 no s\xc3\xa9culo III a.C. na China havia decimais, aos qual foi dado um valor aproximado de valores irracionais._NEWLINE_Na China, foram capazes de resolver problemas usando as regras de duas posi\xc3\xa7\xc3\xb5es erradas, que os europeus atribu\xc3\xadram \xc3\xa0 ci\xc3\xaancia indiana. Por substitui\xc3\xa7\xc3\xa3o por dois valores diferentes no lado esquerdo da equa\xc3\xa7\xc3\xa3o  para o lado direito a receber dois valores diferentes, dos quais utilizando-se propor\xc3\xa7\xc3\xb5es poderia se encontrar uma solu\xc3\xa7\xc3\xa3o para . Os chineses usaram uma op\xc3\xa7\xc3\xa3o quando do lado direito h\xc3\xa1 excesso ou defici\xc3\xaancia. Para a resolu\xc3\xa7\xc3\xa3o de sistemas de equa\xc3\xa7\xc3\xb5es lineares foi necess\xc3\xa1ria a introdu\xc3\xa7\xc3\xa3o de n\xc3\xbameros negativos. Eles aplicaram na placa varas de uma cor diferente, e outra tinta sobre a carta ou barra. Al\xc3\xa9m disso, os n\xc3\xbameros negativos t\xc3\xaam um nome especial. Para eles, as regras foram formuladas para opera\xc3\xa7\xc3\xb5es de adi\xc3\xa7\xc3\xa3o e subtra\xc3\xa7\xc3\xa3o, com subtra\xc3\xa7\xc3\xa3o determinada, em primeiro lugar. Inicialmente, os n\xc3\xbameros negativos foram utilizados apenas na conta e no final dos c\xc3\xa1lculos foram removidas do tabuleiro, em seguida, os estudiosos chineses come\xc3\xa7aram a interpret\xc3\xa1-los como uma d\xc3\xadvida ou escassez.\n_START_SECTION_\nAritm\xc3\xa9tica na Idade M\xc3\xa9dia\n_START_PARAGRAPH_\nNa Idade M\xc3\xa9dia, a matem\xc3\xa1tica se desenvolve principalmente em pa\xc3\xadses isl\xc3\xa2micos, Biz\xc3\xa2ncio e da \xc3\x8dndia, e s\xc3\xb3 depois vem para a Europa Ocidental. Uma das principais \xc3\xa1reas de matem\xc3\xa1tica neste momento s\xc3\xa3o a aritm\xc3\xa9tica, c\xc3\xa1lculos e ensinamentos de aproxima\xc3\xa7\xc3\xb5es comerciais sobre o n\xc3\xbamero.\n_START_SECTION_\n\xc3\x8dndia\n_START_PARAGRAPH_\nO sistema de numera\xc3\xa7\xc3\xa3o posicional (dez algarismos, incluindo o zero) foi introduzido na \xc3\x8dndia. Com ele foi permitido o desenvolvimento de regras relativamente simples de opera\xc3\xa7\xc3\xb5es aritm\xc3\xa9ticas. Os pesquisadores acreditam que na \xc3\x8dndia o sistema de posicionamento foi introduzido pela primeira vez o mais tardar no in\xc3\xadcio de nossa era. No entanto, devido ao fato de os indianos utilizarem materiais fr\xc3\xa1geis para a escrita, poucos documentos resultantes deste per\xc3\xadodo sobreviveram. Um documento aut\xc3\xaantico, utilizando a numera\xc3\xa7\xc3\xa3o posicional, \xc3\xa9 considerado o manuscrito Bakhshaliyskaya (ou Bakhshali, em ingl\xc3\xaas), que pertence ao s\xc3\xa9culo XII._NEWLINE_Para expressar n\xc3\xbameros inteiros na \xc3\x8dndia j\xc3\xa1 utilizava-se o sistema decimal. Primeiro foram as figuras na carta Karosti (Kharosthi), em que foram escritos da direita para a esquerda, e depois na Escrita brami, em que foram escritos da esquerda para a direita. Ambas as vers\xc3\xb5es usam o princ\xc3\xadpio de adi\xc3\xa7\xc3\xa3o para n\xc3\xbameros at\xc3\xa9 100 e multiplicador para valores maiores. No entanto, em brami utiliza-se caracteres especiais para os n\xc3\xbameros de 1 a 9. Na base deste sistema foram concebidos modernos n\xc3\xbameros letras devan\xc3\xa1gari (ou "letras divinas"), que foram utilizadas no sistema decimal posicional. At\xc3\xa9 o ano de 595 utilizava-se um primeiro n\xc3\xbamero de entrada, que usava nove d\xc3\xadgitos, n\xc3\xa3o sendo inclu\xc3\xaddo o zero. Por conveni\xc3\xaancia em c\xc3\xa1lculos, Ariabata utilizou registros de n\xc3\xbameros com sinais usando-se de letras em s\xc3\xa2nscrito. Em 662, o bispo crist\xc3\xa3o s\xc3\xadrio Severus Sebokht afirmou: "Eu n\xc3\xa3o vou tocar em ci\xc3\xaancia os indianos... seu sistema num\xc3\xa9rico que ultrapassa qualquer descri\xc3\xa7\xc3\xa3o. Eu s\xc3\xb3 quero dizer que o projeto \xc3\xa9 realizado por meio de nove personagens"._NEWLINE_Opera\xc3\xa7\xc3\xb5es aritm\xc3\xa9ticas b\xc3\xa1sicas na \xc3\x8dndia foram consideradas, como a adi\xc3\xa7\xc3\xa3o, a subtra\xc3\xa7\xc3\xa3o, a multiplica\xc3\xa7\xc3\xa3o, a divis\xc3\xa3o, em quadratura e do cubo, as ra\xc3\xadzes quadradas e c\xc3\xbabicas, que foram desenvolvidos pelas regras. Os c\xc3\xa1lculos foram realizados em placa contando com gr\xc3\xa3os de areia ou p\xc3\xb3, ou simplesmente no ch\xc3\xa3o escrevendo-se com varas. C\xc3\xa1lculos intermedi\xc3\xa1rios foram apagados, resultando na incapacidade de se verificar usando a opera\xc3\xa7\xc3\xa3o inversa, que era usada em vez de utilizar a prova dos noves. Os indianos conheciam fra\xc3\xa7\xc3\xb5es e foram capazes de realizar opera\xc3\xa7\xc3\xb5es sobre elas, a propor\xc3\xa7\xc3\xa3o de progress\xc3\xa3o. J\xc3\xa1 a partir do s\xc3\xa9culo VII a.C. eles usaram n\xc3\xbameros negativos, interpretando-as como uma d\xc3\xadvida, assim como n\xc3\xbameros irracionais. Eles foram atra\xc3\xaddos pela soma de s\xc3\xa9ries num\xc3\xa9ricae, em particular, exemplos de progress\xc3\xb5es aritm\xc3\xa9ticas e geom\xc3\xa9tricas est\xc3\xa3o dispon\xc3\xadveis no "Vedas", e no s\xc3\xa9culo XVI Narayana Pandit fez um somat\xc3\xb3rio mais geral._NEWLINE_Os matem\xc3\xa1ticos indianos Ariabata, Brahmagupta e Bhaskara resolveram equa\xc3\xa7\xc3\xb5es diofantinas do tipo  em n\xc3\xbameros inteiros. Al\xc3\xa9m disso, eles resolveram em inteiros equa\xc3\xa7\xc3\xb5es da forma , que foi a maior conquista de matem\xc3\xa1ticos indianos na teoria dos n\xc3\xbameros. Posteriormente, esta equa\xc3\xa7\xc3\xa3o e seu caso especial quando  atraiu a aten\xc3\xa7\xc3\xa3o de Fermat, Euler e Lagrange. A proposta pelo m\xc3\xa9todo de Lagrange para encontrar solu\xc3\xa7\xc3\xb5es foi obtida de maneira aproximada pelos indianos.\n_START_SECTION_\nPa\xc3\xadses isl\xc3\xa2micos\n_START_PARAGRAPH_\nNos s\xc3\xa9culos IX-X, o centro cient\xc3\xadfico isl\xc3\xa2mico era Bagd\xc3\xa1, onde trabalharam al-Khwarizmi, al-Marwazi, al-Fargani, Thabit Ibn Qurra, Ibrahim ibn Sinan e Al-Battani. Mais tarde, houve novos centros de pesquisa em Bucara, Cor\xc3\xa1smia e Cairo, onde trabalhou Ibn S\xc4\xabn\xc4\x81 (nome latinizado Avicena), Al-Biruni e Abu Kamil al-Misri, e, em seguida, em Isfahan e Maragha, onde trabalharam Omar Khayy\xc4\x81m e Nasir al-Din al-Tusi. No s\xc3\xa9culo XV o novo centro de pesquisa foi criada em Samarcanda, em que trabalhou Ghiyas al-Din al-Kashi. Centros de matem\xc3\xa1tica na costa noroeste da \xc3\x81frica e da Pen\xc3\xadnsula Ib\xc3\xa9rica desempenharam um papel importante na dissemina\xc3\xa7\xc3\xa3o do conhecimento na Europa._NEWLINE_Os \xc3\xa1rabes usaram dois tipos de numera\xc3\xa7\xc3\xa3o: posicional alfab\xc3\xa9tica e decimal. A numera\xc3\xa7\xc3\xa3o alfab\xc3\xa9tica embora semelhante ao grego antigo, mas retornou ao alfabeto semita.[66] No in\xc3\xadcio do s\xc3\xa9culo IX, Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi escreveu um livro "Sobre o contar dos indianos". O livro cont\xc3\xa9m resolu\xc3\xa7\xc3\xa3o de problemas pr\xc3\xa1ticos "de v\xc3\xa1rios tipos e variedades" e foi o primeiro livro escrito usando a nota\xc3\xa7\xc3\xa3o posicional, antes que os dados utilizados para os c\xc3\xa1lculos estivessem apenas nem t\xc3\xa1buas de contagem. No s\xc3\xa9culo XII Adelardo de Bath (Espanha) e John Sevelskim (Inglaterra), realizaram duas tradu\xc3\xa7\xc3\xb5es de livros para o latim. Seu original n\xc3\xa3o foi preservado, mas em 1857 sob o nome de "Alhorezmi incluindo o \xc3\xadndio", foi publicado em uma tradu\xc3\xa7\xc3\xa3o latina. Em seu tratado descreve como realizar com a ajuda de numerais indianos na placa de contagem opera\xc3\xa7\xc3\xb5es aritm\xc3\xa9ticas, como adi\xc3\xa7\xc3\xa3o, subtra\xc3\xa7\xc3\xa3o, duplica\xc3\xa7\xc3\xa3o, multiplica\xc3\xa7\xc3\xa3o, divis\xc3\xa3o e raiz quadrada. Multiplica\xc3\xa7\xc3\xa3o de fra\xc3\xa7\xc3\xb5es como a divis\xc3\xa3o, considerou o uso de propor\xc3\xa7\xc3\xb5es:  multiplicado por  sendo que esse era o mesmo que procurar , tal que . Esta teoria baseia-se na aritm\xc3\xa9tica \xc3\xa1rabe. No entanto, houve outro c\xc3\xa1lculo de fra\xc3\xa7\xc3\xb5es que representem qualquer fra\xc3\xa7\xc3\xa3o como a soma das fra\xc3\xa7\xc3\xb5es al\xc3\xadquotas._NEWLINE_Entre os anos 952-953, Abu al-Hasan Ahmad Abu\'l-Hasan al-Uqlidisi em seu trabalho "O livro da divis\xc3\xa3o em aritm\xc3\xa9ticas indianas" usando decimais, dividiu os n\xc3\xbameros \xc3\xadmpares e realizou alguns outros c\xc3\xa1lculos, mas este livro n\xc3\xa3o tem qualquer impacto sobre o desenvolvimento. No in\xc3\xadcio do s\xc3\xa9culo XV al-Kashi tinha a inten\xc3\xa7\xc3\xa3o de construir um sistema de fra\xc3\xa7\xc3\xb5es em que todas as opera\xc3\xa7\xc3\xb5es seriam realizadas como com n\xc3\xbameros inteiros e estariam dispon\xc3\xadveis para aqueles que n\xc3\xa3o sabem, "O c\xc3\xa1lculo de astr\xc3\xb4nomos". Em 1427, al-Kashi descreveu o sistema decimal, que se espalhou na Europa ap\xc3\xb3s Simon Stevin em 1585. Assim, al-Kashi formulou as regras b\xc3\xa1sicas das opera\xc3\xa7\xc3\xb5es com fra\xc3\xa7\xc3\xb5es decimais, as f\xc3\xb3rmulas para  traduzi-los em sexagesimal e vice-versa._NEWLINE_Nos trabalhos de al-Khwarizmi h\xc3\xa1 a t\xc3\xa9cnica comum de extrair a raiz quadrada, a extra\xc3\xa7\xc3\xa3o de ra\xc3\xadzes c\xc3\xbabicas com Kushyar Gilani, o desenvolvimento total de m\xc3\xa9todos para o c\xc3\xa1lculo das ra\xc3\xadzes envolvida por Omar Khayyam. A primeira descri\xc3\xa7\xc3\xa3o da extra\xc3\xa7\xc3\xa3o de ra\xc3\xadzes de qualquer grau de um inteiro \xc3\xa9 encontrado no livro de al-Tusi "Cole\xc3\xa7\xc3\xa3o de aritm\xc3\xa9tica usando placas e p\xc3\xb3" (1265). O sistema \xc3\xa9 essencialmente o mesmo que o esquema de Horner proposto no s\xc3\xa9culo XIX, quando a parte  situa-se aproximadamente na forma de  . Al\xc3\xa9m disso, al-Tusi forneceu uma tabela de coeficientes binomiais de uma forma semelhante ao tri\xc3\xa2ngulo de Pascal. Muita aten\xc3\xa7\xc3\xa3o foi dada nos pa\xc3\xadses \xc3\xa1rabes aos n\xc3\xbameros irracionais e c\xc3\xa1lculos aproximados. Al-Khwarizmi produziu por opera\xc3\xa7\xc3\xb5es simples com a radicia\xc3\xa7\xc3\xa3o, que \xc3\xa9 mais simples do que os segmentos d\xc3\xadspares utilizados na Gr\xc3\xa9cia antiga. Desenvolve-se a teoria das propor\xc3\xa7\xc3\xb5es submetida \xc3\xa0 an\xc3\xa1lise cr\xc3\xadtica. Em particular, Omar Khayyam em 1077, em seu tratado "Coment\xc3\xa1rio para as dificuldades na introdu\xc3\xa7\xc3\xa3o do livro de Euclides", apresenta que a defini\xc3\xa7\xc3\xa3o grega antiga n\xc3\xa3o reflete a verdadeira ess\xc3\xaancia das propor\xc3\xa7\xc3\xb5es. Khayyam deu uma nova defini\xc3\xa7\xc3\xa3o de propor\xc3\xa7\xc3\xa3o, introduziu a rela\xc3\xa7\xc3\xa3o "mais" e "menos" para generalizar a no\xc3\xa7\xc3\xa3o de um n\xc3\xbamero real positivo. Os n\xc3\xbameros negativos n\xc3\xa3o foram populares com os matem\xc3\xa1ticos \xc3\xa1rabes._NEWLINE_Para resolver os problemas \xc3\xa1rabes apreciavam a regra tripla, vinda da \xc3\x8dndia e descrita, juntamente com v\xc3\xa1rias outras t\xc3\xa9cnicas em "O Livro do Indiano Rashika", de al-Biruni, a regra das duas disposi\xc3\xa7\xc3\xb5es falsas veio da China e recebeu justificativa te\xc3\xb3rica no "Livro do estado da falsa posi\xc3\xa7\xc3\xa3o dupla" de Costa ben Luca._NEWLINE_O sucesso da ci\xc3\xaancia isl\xc3\xa2mica na teoria dos n\xc3\xbameros foi menos significativa. Eles foram capazes de resolver as equa\xc3\xa7\xc3\xb5es do primeiro e segundo grau em n\xc3\xbameros inteiros, conheciam as regras de constru\xc3\xa7\xc3\xa3o de trios pitag\xc3\xb3ricos, e pela primeira vez foi feita uma declara\xc3\xa7\xc3\xa3o de que a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o  era geralmente insol\xc3\xbavel em n\xc3\xbameros racionais, o que \xc3\xa9 um caso especial do chamado \xc3\xbaltimo teorema de Fermat. A prova prevista desta afirma\xc3\xa7\xc3\xa3o n\xc3\xa3o foi preservada, sendo considerada em nossos dias como atribu\xc3\xadda a Euler.\n_START_SECTION_\nBiz\xc3\xa2ncio\n_START_PARAGRAPH_\nO primeiro matem\xc3\xa1tico crist\xc3\xa3o bizantino era Ant\xc3\xaamio de Trales, que viveu no s\xc3\xa9culo VI. A aritm\xc3\xa9tica bizantina foi influenciada pelas obras de matem\xc3\xa1ticos \xc3\xa1rabes e gregos. A Miguel Pselo, que viveu no s\xc3\xa9culo XI, pertence um ensaio sobre a aritm\xc3\xa9tica, onde toca os n\xc3\xbameros e as rela\xc3\xa7\xc3\xb5es de classifica\xc3\xa7\xc3\xa3o, bem como os principais nomes, graus, chamando ao mesmo tempo  \xe2\x80\x9cprimeiro inef\xc3\xa1vel", e \xc2\xa0\xe2\x80\x94 a "segunda inexprim\xc3\xadvel", que diz que Pselo conhecia e usava o sistema multiplicativo em que os expoentes s\xc3\xa3o expressos em produto e n\xc3\xa3o acrescentando, como era anteriormente. A M\xc3\xa1ximo Planudes, que viveu no s\xc3\xa9culo XIII, pertencem coment\xc3\xa1rios para o "Aritm\xc3\xa9tica" de Diofante, e "Aritm\xc3\xa9tica ao longo das linhas dos \xc3\xadndios". No s\xc3\xa9culo XIV Jo\xc3\xa3o Pediasimos  escreveu v\xc3\xa1rios tratados sobre aritm\xc3\xa9tica, destacando suas perguntas dif\xc3\xadceis, Ravda Nikolai Artavazd levou ao m\xc3\xa9todo de c\xc3\xa1lculo dos dedos das m\xc3\xa3os e um m\xc3\xa9todo aproximado para extrair ra\xc3\xadzes quadradas, e Isaac Argir, comentou sobre os primeiros seis livros dos "Elementos" de Euclides e construiu uma extra\xc3\xa7\xc3\xa3o de tabela de ra\xc3\xadzes quadradas para os n\xc3\xbameros at\xc3\xa9 102 utilizando as fra\xc3\xa7\xc3\xb5es sexagesimais.\n_START_SECTION_\nAm\xc3\xa9rica\n_START_PARAGRAPH_\nNa Am\xc3\xa9rica Central, usou-se principalmente o sistema num\xc3\xa9rico vigesimal. Sacerdotes maias na pen\xc3\xadnsula de Iucat\xc3\xa3 usavam-no em c\xc3\xa1lculos abstratos (relacionados a simbolismo religioso, com enormes n\xc3\xbameros de \xe2\x80\x9cciclos\xe2\x80\x9d de seus mitos de cria\xc3\xa7\xc3\xa3o) e em c\xc3\xa1lculos do calend\xc3\xa1rio maia. Entre as limita\xc3\xa7\xc3\xb5es de seus m\xc3\xa9todos e resultados, certos c\xc3\xa1lculos, ainda que sofisticados em t\xc3\xa9cnica e exatos resultados, s\xc3\xb3 atingem o n\xc3\xbamero 19 como um de seus fatores, e com o uso de uma raz\xc3\xa3o adicional para utilizar o n\xc3\xbamero 5. O calend\xc3\xa1rio maia era um sistema posicional, onde cada item foi localizado relacionado com uma divindade e com um determinado n\xc3\xbamero de caracteres. Ao escrever uma divindade n\xc3\xa3o a est\xc3\xa1 representando, e para designar um lugar vazio foi usado como um s\xc3\xadmbolo de um escudo aberto ou o olho. Na Am\xc3\xa9rica do Sul, para o registro de n\xc3\xbameros foi usada numera\xc3\xa7\xc3\xa3o nodal, ou um conjunto de \xe2\x80\x9cquipos\xe2\x80\x9d._NEWLINE_C\xc3\xa1lculos aritm\xc3\xa9ticos foram realizadas utilizando yupana, que \xc3\xa9 um an\xc3\xa1logo do \xc3\xa1baco, no entanto, devido ao sistema de aritm\xc3\xa9tica com n\xc3\xbameros espec\xc3\xadficos, n\xc3\xa3o relacionado com c\xc3\xa1lculos astron\xc3\xb4micos, teve fraco desenvolvimento.\n_START_SECTION_\nEuropa Ocidental\n_START_PARAGRAPH_\nNo feudalismo inicial na Europa Ocidental n\xc3\xa3o necessitava da ci\xc3\xaancia n\xc3\xa3o ir al\xc3\xa9m das quest\xc3\xb5es de aritm\xc3\xa9tica pr\xc3\xa1tica e geometria. Os livros de \xe2\x80\x9cartes liberais\xe2\x80\x9d continham uma introdu\xc3\xa7\xc3\xa3o para as sete artes liberais, incluindo aritm\xc3\xa9tica. Foram as obras mais populares de Bo\xc3\xa9cio, que datam do s\xc3\xa9culo VI, que, entre outras coisas, traduziram para o latim a "Aritm\xc3\xa9tica" de Nic\xc3\xb4maco de Gerasa com seus pr\xc3\xb3prios exemplos num\xc3\xa9ricos e uma parte dos "Elementos" de Euclides sem prova rigorosa._NEWLINE_Atrav\xc3\xa9s da Espanha e Sic\xc3\xadlia no s\xc3\xa9culo X come\xc3\xa7ou-se a amarrar os la\xc3\xa7os cient\xc3\xadficos com o mundo \xc3\xa1rabe. Neste momento, os cientistas visitaram o monge Gerbert, da Catal\xc3\xbania, que mais tarde se tornou o papa Silvestre II. A ele s\xc3\xa3o creditadas obras como o "Livro da divis\xc3\xa3o de n\xc3\xbameros" e "Regras da conta no \xc3\xa1baco." Em ambos os livros os n\xc3\xbameros s\xc3\xa3o representados por palavras escritas ou algarismos romanos. Gerbert chamou c\xc3\xa1lculos sobre o \xc3\xa1baco de "abatsistami"._NEWLINE_Nos s\xc3\xa9culos XII-XIII na Europa, havia tradu\xc3\xa7\xc3\xb5es latinas de livros \xc3\xa1rabes em aritm\xc3\xa9tica. Tradu\xc3\xa7\xc3\xb5es b\xc3\xa1sicas foram feitas do \xc3\xa1rabe para a Pen\xc3\xadnsula Ib\xc3\xa9rica, em Toledo, sob o patroc\xc3\xadnio do arcebispo Raimundo I, bem como em Barcelona e Seg\xc3\xb3via. As representa\xc3\xa7\xc3\xb5es nos livros de numera\xc3\xa7\xc3\xa3o decimais posicional foram chamadas de "algoristami" em homenagem ao matem\xc3\xa1tico al-Khwarizmi na forma Latina. Aos poucos, o novo sistema prevaleceu. Sua principal vantagem \xc3\xa9 a simplifica\xc3\xa7\xc3\xa3o das opera\xc3\xa7\xc3\xb5es aritm\xc3\xa9ticas. No entanto, na Alemanha, Fran\xc3\xa7a e Inglaterra, os novos n\xc3\xbameros n\xc3\xa3o seriam adotados antes do final do s\xc3\xa9culo XV._NEWLINE_Esse conhecimento chegou at\xc3\xa9 Leonardo Fibonacci, italiano de Pisa, que viveu no s\xc3\xa9culo XIII. Em sua principal obra "Liber Abaci" (Livro dos \xc3\x81bacos), escrito em 1202, ele se tornou um defensor do sistema de numera\xc3\xa7\xc3\xa3o indiano e m\xc3\xa9todos de c\xc3\xa1lculo no \xc3\xa1baco considerando-os um desvio de uma caminho mais correto. Cinco cap\xc3\xadtulos do livro s\xc3\xa3o dedicados \xc3\xa0 aritm\xc3\xa9tica dos n\xc3\xbameros inteiros. Fibonacci usou zero como um n\xc3\xbamero real, realizou \xe2\x80\x9cprovas dos nove\xe2\x80\x9d, sabia dos m\xc3\xa9todos para determina\xc3\xa7\xc3\xa3o da divisibilidade por 2, 3, 5, 9, trouxe a um denominador comum da fra\xc3\xa7\xc3\xa3o usando o menor m\xc3\xbaltiplo comum dos denominadores, exp\xc3\xb4s a regra de tr\xc3\xaas, as regras de cinco, sete, nove, e outras vari\xc3\xa1veis. Em regras de propor\xc3\xa7\xc3\xb5es, resolveu problemas que envolvem a mistura, operado pela soma da s\xc3\xa9rie, incluindo uma das s\xc3\xa9ries de retorno e da sequ\xc3\xaancia de Fibonacci, explicou o m\xc3\xa9todo de c\xc3\xa1lculo aproximado de ra\xc3\xadzes quadradas e c\xc3\xbabicas. No "Livro dos \xc3\xa1bacos" s\xc3\xa3o dadas em conjunto com a evid\xc3\xaancia de uma variedade de m\xc3\xa9todos e objetivos, que s\xc3\xa3o amplamente utilizados nos escritos de matem\xc3\xa1ticos posteriores._NEWLINE_O professor na Universidade de Oxford, o mestre Thomas Bradwardine (in\xc3\xadcio do s\xc3\xa9culo XIV), que se tornou mais tarde Arcebispo da Cantu\xc3\xa1ria, o livro pertence a "aritm\xc3\xa9tica te\xc3\xb3rica", que \xc3\xa9 uma vers\xc3\xa3o abreviada de "aritm\xc3\xa9tica" de Bo\xc3\xa9cio. Al\xc3\xa9m disso, o pensador em seu trabalho sobre os mecanismos do uso da "metade", com base no qual o matem\xc3\xa1tico franc\xc3\xaas Nicole d\'Oresme desenvolveu a doutrina do expoente fracion\xc3\xa1rio em seu tratado "Rela\xc3\xa7\xc3\xb5es de algorismos", e foi para o conceito de expoentes irracionais, que pode ser celebrado entre inteiro o suficiente perto e fracion\xc3\xa1rio, e realizou uma generaliza\xc3\xa7\xc3\xa3o de exponencia\xc3\xa7\xc3\xa3o com expoentes fracion\xc3\xa1rios positivos. Seus trabalhos foram publicados apenas no s\xc3\xa9culo XIX._NEWLINE_Em 1484 o manuscrito foi publicado pela bachelor francesa de medicina Nicolas Chuquet em "Ci\xc3\xaancia dos n\xc3\xbameros em tr\xc3\xaas partes", em que ele, em particular, compara o trabalho dos membros de uma progress\xc3\xa3o aritm\xc3\xa9tica e a soma de uma progress\xc3\xa3o geom\xc3\xa9trica, em antecipa\xc3\xa7\xc3\xa3o a logaritmos, considera casos de raiz do primeiro grau de si mesma e usa expoentes negativo e zero. Em 1487 Luca Pacioli escreveu o seu "A quantidade [de conhecimento] em aritm\xc3\xa9tica, geometria, rela\xc3\xa7\xc3\xb5es e da proporcionalidade". Nesse livro, publicado em Veneza em 1494, Pacioli delineou v\xc3\xa1rios m\xc3\xa9todos de opera\xc3\xa7\xc3\xb5es aritm\xc3\xa9ticas, aproveitando os s\xc3\xadmbolos alg\xc3\xa9bricos. Al\xc3\xa9m disso  Pacioli indicou o sinal , adi\xc3\xa7\xc3\xa3o, e subtra\xc3\xa7\xc3\xa3o \xe2\x80\x94 . Tamb\xc3\xa9m usou em n\xc3\xbameros negativos a express\xc3\xa3o "inferior a zero" e formulou a regra que muda o sinal quando multiplica-se n\xc3\xbameros._NEWLINE_O texto de Girolamo Cardano, "Grande Arte", no s\xc3\xa9culo XVI, introduziu o conceito de valores imagin\xc3\xa1rios, ou sof\xc3\xadsticos. Embora Cardano considerou-os in\xc3\xbateis, eles foram usados \xe2\x80\x8b\xe2\x80\x8bpor Rafael Bombelli para resolver equa\xc3\xa7\xc3\xb5es c\xc3\xbabicas, que tamb\xc3\xa9m introduziu a regra da multiplica\xc3\xa7\xc3\xa3o do imagin\xc3\xa1rio e os n\xc3\xbameros reais. No mesmo s\xc3\xa9culo na Europa estavam se espalhando o conceito e uso de decimais. Eles aparecem na obra de Fran\xc3\xa7ois Vi\xc3\xa8te, Immanuel Bonfils e Simon Stevin. Em 1585, em seu livro "A D\xc3\xa9cima", \xc3\xbaltima campanha para o uso generalizado de casas decimais. No mesmo ano em "Aritm\xc3\xa9tica", ele deu uma nova defini\xc3\xa7\xc3\xa3o de n\xc3\xbamero irracional como "por meio do qual \xc3\xa9 expresso o n\xc3\xbamero de todas as coisas\xe2\x80\x9d. Stevin considerou n\xc3\xbameros irracionais e em parte negativas, tais como estes, bem como fra\xc3\xa7\xc3\xb5es e pensou em unidades divis\xc3\xadveis._NEWLINE_Michael Stifel em sua "Aritm\xc3\xa9tica Completa" apresenta uma defini\xc3\xa7\xc3\xa3o de algoritmo e a raz\xc3\xa3o entre a rela\xc3\xa7\xc3\xa3o de divis\xc3\xa3o, tamb\xc3\xa9m d\xc3\xa1 uma interpreta\xc3\xa7\xc3\xa3o geom\xc3\xa9trica dos n\xc3\xbameros negativos ("menos do que nada") e faz uma analogia entre a introdu\xc3\xa7\xc3\xa3o dos n\xc3\xbameros negativos e irracionais. Em 1569, o professor franc\xc3\xaas Pierre de la Ram\xc3\xa9e, que foi proibido pelo decreto do rei de criticar Arist\xc3\xb3teles escreveu: "O curso de matem\xc3\xa1tica em o livro de trinta e um", que tentou dar a matem\xc3\xa1tica um novo estudo, baseado n\xc3\xa3o na geometria e aritm\xc3\xa9tica.\n_START_SECTION_\nAritm\xc3\xa9tica da Idade Moderna\n_START_PARAGRAPH_\nA navega\xc3\xa7\xc3\xa3o astron\xc3\xb4mica do s\xc3\xa9culo XVII, a mec\xc3\xa2nica, os c\xc3\xa1lculos de neg\xc3\xb3cios mais complexos criaram novas solicita\xc3\xa7\xc3\xb5es aritm\xc3\xa9ticas para a t\xc3\xa9cnica de computa\xc3\xa7\xc3\xa3o e deram um impulso para promover o desenvolvimento.\n_START_SECTION_\nAritm\xc3\xa9tica decimal e a extens\xc3\xa3o do conceito\n_START_PARAGRAPH_\nO conceito de n\xc3\xbamero sofreu uma mudan\xc3\xa7a significativa. Anteriormente o campo dos n\xc3\xbameros atribu\xc3\xada apenas apenas n\xc3\xbameros racionais positivos, e desde o s\xc3\xa9culo XVI, cada vez mais reconhece-se os n\xc3\xbameros irracionais e negativas. As "atualiza\xc3\xa7\xc3\xb5es" de Ren\xc3\xa9 Descartes em 1637 estabelecem uma liga\xc3\xa7\xc3\xa3o entre a aritm\xc3\xa9tica e as constru\xc3\xa7\xc3\xb5es geom\xc3\xa9tricas, utilizando propor\xc3\xa7\xc3\xb5es, em outras palavras, o n\xc3\xbamero \xc3\xa9 entendido no mesmo sentido que o de Euclides e as opera\xc3\xa7\xc3\xb5es aritm\xc3\xa9ticas s\xc3\xa3o equivalentes \xc3\xa0 busca da rela\xc3\xa7\xc3\xa3o desejada de comprimento para a rela\xc3\xa7\xc3\xa3o j\xc3\xa1 apresentada. A raz\xc3\xa3o de qualquer comprimento para a unidade, neste caso, \xc3\xa9 equivalente a um n\xc3\xbamero real, e os argumentos ser\xc3\xa3o verdadeiras tanto para compar\xc3\xa1veis \xe2\x80\x8b\xe2\x80\x8be para os segmentos d\xc3\xadspares. O pr\xc3\xb3prio Descartes trata esses \xc3\xbaltimos de "n\xc3\xbameros de surdos\xc2\xbb (nombres sourds). Isaac Newton em suas palestras divide-os em tr\xc3\xaas tipos: inteiros (medidos em unidades), fracion\xc3\xa1rios (m\xc3\xbaltiplos de uma unidade) e irracionais (incomensur\xc3\xa1veis com a unidade). Desde 1710 essa defini\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xa9 firmemente inserida em todos os livros texto._NEWLINE_A fra\xc3\xa7\xc3\xa3o peri\xc3\xb3dica apareceu no "C\xc3\xa1lculo Decimal"  (Logistica decimalis) de I.G. Beyer em 1603. os trabalhos sobre eles continuaram por Valais em "Tratado sobre \xc3\x81lgebra" (Treatise on Algebra), em 1685, onde se determinou que uma fra\xc3\xa7\xc3\xa3o irredut\xc3\xadvel , o n\xc3\xbamero de d\xc3\xadgitos ser\xc3\xa1 menor do que ou igual a . John Wallis tamb\xc3\xa9m mostra a imagem final com um denominador da forma ,  tamb\xc3\xa9m sabendo que \xc3\xa9 imposs\xc3\xadvel expressar os n\xc3\xbameros irracionais em fra\xc3\xa7\xc3\xb5es peri\xc3\xb3dicas._NEWLINE_No in\xc3\xadcio do s\xc3\xa9culo XVII John Napier inventou os logaritmos. O uso de logaritmos e o ponto decimal, a inclus\xc3\xa3o do conceito de aritm\xc3\xa9tica dos n\xc3\xbameros irracionais como uma sequ\xc3\xaancia de aproxima\xc3\xa7\xc3\xb5es racionais ampliou o \xc3\xa2mbito da aritm\xc3\xa9tica at\xc3\xa9 o final do s\xc3\xa9culo XVII e identificou a import\xc3\xa2ncia fundamental dessa ci\xc3\xaancia para o estudo das vari\xc3\xa1veis cont\xc3\xadnuas._NEWLINE_No s\xc3\xa9culo XVIII continuou-se a trabalhar com decimais, em particular com os decimais infinitos e peri\xc3\xb3dicos. O fato de qualquer fra\xc3\xa7\xc3\xa3o peri\xc3\xb3dica ser um n\xc3\xbamero racional, e que qualquer fra\xc3\xa7\xc3\xa3o irredut\xc3\xadvel contendo o denominador diferente dos dois e cinco fatores primos pode ser expandida numa peri\xc3\xb3dica, foi demonstrado na metade meio do s\xc3\xa9culo XVIII por Lambert. No trabalho de \xe2\x80\x9cPesquisa aritm\xc3\xa9tica\xe2\x80\x9d de Gauss utilizando a teoria de \xe2\x80\x9cres\xc3\xadduos de pot\xc3\xaancia\xe2\x80\x9d, foram  apresentadas propriedades mais profundas de fra\xc3\xa7\xc3\xb5es peri\xc3\xb3dicas. No entanto, os livros did\xc3\xa1ticos da \xc3\xa9poca que passam decimais afetadas n\xc3\xa3o o mencionam. Fra\xc3\xa7\xc3\xb5es cont\xc3\xadnuas foram estudadas por Euler, que primeiro introduziu as t\xc3\xa9cnicas de transforma\xc3\xa7\xc3\xa3o de infinitas fra\xc3\xa7\xc3\xb5es cont\xc3\xadnuas em s\xc3\xa9ries infinitas, e, em seguida, dedicou um cap\xc3\xadtulo inteiro no primeiro volume de sua "Introdu\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xa0 An\xc3\xa1lise do Infinito", em 1748. A Euler pertence a prova de que cada n\xc3\xbamero racional pode ser representado como uma fra\xc3\xa7\xc3\xa3o cont\xc3\xadnua finita, e que uma fra\xc3\xa7\xc3\xa3o peri\xc3\xb3dica continua com unidades no numerador representa a raiz da equa\xc3\xa7\xc3\xa3o quadr\xc3\xa1tica. O reverso foi comprovado por Lagrange em 1768. No s\xc3\xa9culo XVIII com Euler e seus disc\xc3\xadpulos a aritm\xc3\xa9tica toma formas modernas._NEWLINE_Albert Girard e Descartes interpretaram os n\xc3\xbameros negativos geometricamente na dire\xc3\xa7\xc3\xa3o oposta do segmento. Apesar do fato de Descartes apresentar ra\xc3\xadzes negativos de equa\xc3\xa7\xc3\xb5es, juntamente com as ra\xc3\xadzes reais positivas (em oposi\xc3\xa7\xc3\xa3o a imagin\xc3\xa1ria), algumas propriedades de n\xc3\xbameros negativos por longo tempo permaneceram obscuras. Em 1\xc2\xb0 de setembro de 1742, Euler em uma carta a Nicholas Bernoulli primeiro avan\xc3\xa7ou a alega\xc3\xa7\xc3\xa3o de que as ra\xc3\xadzes de todas as equa\xc3\xa7\xc3\xb5es alg\xc3\xa9bricas s\xc3\xa3o da forma . Em 1747, em "Reflex\xc3\xb5es sobre a causa comum de ventos" D\'Alembert mostrou que . No "Estudo sobre as ra\xc3\xadzes imagin\xc3\xa1rias" de Euler, no entanto, um n\xc3\xbamero imagin\xc3\xa1rio \xc3\xa9 definido como aquele que "n\xc3\xa3o superior a zero ou inferior a zero ou igual a zero", e "algo imposs\xc3\xadvel." Ele prova o teorema que cada soma imagin\xc3\xa1ria forma um n\xc3\xbamero real  e o produto de um n\xc3\xbamero real  de . O problema foi resolvido pelas fun\xc3\xa7\xc3\xb5es individuais, a gama de opera\xc3\xa7\xc3\xb5es em n\xc3\xbameros imagin\xc3\xa1rios n\xc3\xa3o foi delineada. Al\xc3\xa9m disso, houve problemas com a interpreta\xc3\xa7\xc3\xa3o geom\xc3\xa9trica de n\xc3\xbameros imagin\xc3\xa1rios. A primeira tentativa foi feita por Wallis, que acreditava que o n\xc3\xbamero imagin\xc3\xa1rio de segmentos, perpendicular ao real  e foi o trabalho de Heinrich K\xc3\xbchn em 1753, em que considerava um lado n\xc3\xbamero imagin\xc3\xa1rio da \xc3\xa1rea com uma \xc3\xa1rea de negativo. Wallis conseguiu desenvolver, isoladamente, mas simultaneamente com Wessel e Argand na virada do s\xc3\xa9culos XVIII-XIX.\n_START_SECTION_\nCria\xc3\xa7\xc3\xa3o e desenvolvimento da teoria dos n\xc3\xbameros\n_START_PARAGRAPH_\nNa d\xc3\xa9cada de 30 do s\xc3\xa9culo XVII a teoria dos n\xc3\xbameros era colocada por Fermat como uma \xc3\xa1rea n\xc3\xa3o separada da aritm\xc3\xa9tica, e sua opini\xc3\xa3o era de que apenas seria um pouco afetada por Euclides e, possivelmente, por Diofanto. Trabalhos de Fermat eram engajados na solu\xc3\xa7\xc3\xa3o de equa\xc3\xa7\xc3\xb5es diofantinas e da divisibilidade de n\xc3\xbameros inteiros. Ele fez uma s\xc3\xa9rie de afirma\xc3\xa7\xc3\xb5es sem demonstra\xc3\xa7\xc3\xb5es, nomeadamente no pequeno teorema e no chamado \xc3\xbaltimo teorema de Fermat. Fermat n\xc3\xa3o tem nenhum trabalho especial sobre a teoria dos n\xc3\xbameros, e apresentam-se apenas em notas em correspond\xc3\xaancia, bem como coment\xc3\xa1rios \xc3\xa0 "Arim\xc3\xa9tica\xe2\x80\x9d de Diofanto._NEWLINE_S\xc3\xb3 depois de 70 anos Fermat atraiu a aten\xc3\xa7\xc3\xa3o de Euler, que estudou a teoria dos n\xc3\xbameros por v\xc3\xa1rias d\xc3\xa9cadas. A ela \xc3\xa9 dedicada quatro volumes e meio da s\xc3\xa9rie de 30 volumes de Euler sobre Matem\xc3\xa1tica. Euler estudou a generaliza\xc3\xa7\xc3\xa3o do pequeno teorema de Fermat, e a demonstra\xc3\xa7\xc3\xa3o do \xc3\xbaltimo teorema de Fermat para o caso . Euler foi o primeiro a ter aplicado a problemas da teoria dos n\xc3\xbameros outros ramos da matem\xc3\xa1tica, especialmente a an\xc3\xa1lise matem\xc3\xa1tica pelo Teorema de Euler na Teoria dos N\xc3\xbameros (Teorema do Tociente). Formulou um m\xc3\xa9todo de fun\xc3\xa7\xc3\xb5es geradoras, a identidade de Euler, bem como problemas associados com a adi\xc3\xa7\xc3\xa3o de n\xc3\xbameros primos._NEWLINE_Acredita-se que, ap\xc3\xb3s o trabalho de teoria dos n\xc3\xbameros de Euler, a teoria dos n\xc3\xbameros tornou-se uma ci\xc3\xaancia separada.\n_START_SECTION_\nEstudo dos problemas aritm\xc3\xa9ticos\n_START_PARAGRAPH_\nA partir das obras de geometria de Lobachevsky desencadeou-se um processo associado de revis\xc3\xa3o cr\xc3\xadtica dos fundamentos da matem\xc3\xa1tica, que aconteceu no s\xc3\xa9culo XIX. Mesmo no s\xc3\xa9culo XVIII, foram feitas tentativas para dar uma justificativa te\xc3\xb3rica do n\xc3\xbamero de v\xc3\xa1rios pontos de vista. No come\xc3\xa7o isso era apenas a aritm\xc3\xa9tica dos n\xc3\xbameros naturais, que s\xc3\xa3o usados \xe2\x80\x8b\xe2\x80\x8bpara uma variedade de axiomas e defini\xc3\xa7\xc3\xb5es que s\xc3\xa3o muitas vezes excessivas e insuficientes, enquanto em grande parte emprestadas dos "Os Elementos" de Euclides. \xc3\x89 tamb\xc3\xa9m o caso com as leis b\xc3\xa1sicas da aritm\xc3\xa9tica: leis comutativa e associativa para adi\xc3\xa7\xc3\xa3o e multiplica\xc3\xa7\xc3\xa3o mencionados muitas vezes, a lei distributiva para a multiplica\xc3\xa7\xc3\xa3o em rela\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xa0 adi\xc3\xa7\xc3\xa3o - menos e todas as cinco leis - s\xc3\xa3o extremamente raras. Leibniz primeiro definiu a tarefa de constru\xc3\xa7\xc3\xa3o dedutiva da aritm\xc3\xa9tica e, em particular, havia mostrado a necessidade de provar a igualdade "dois mais dois \xc3\xa9 igual a quatro" em seu "Novo Ensaio sobre o Entendimento Humano" em 1705. Na tentativa de resolver este problema e seus axiomas foi apresentada por Wolf em 1770, Schultz em 1790, Ohm em 1822, Grassmann em 1861 e, finalmente, Peano em 1889._NEWLINE_A complexidade das afirma\xc3\xa7\xc3\xb5es das principais divis\xc3\xb5es da aritm\xc3\xa9tica contrasta com a simplicidade de suas posi\xc3\xa7\xc3\xb5es iniciais. Apenas no meio do s\xc3\xa9culo XIX Grassmann escolheu  um sistema de axiomas b\xc3\xa1sicos que definem adi\xc3\xa7\xc3\xa3o e multiplica\xc3\xa7\xc3\xa3o. O sistema permite que voc\xc3\xaa visualize as disposi\xc3\xa7\xc3\xb5es restantes da aritm\xc3\xa9tica como uma consequ\xc3\xaancia l\xc3\xb3gica dos axiomas. Com base nos axiomas foram provadas as propriedades comutativa, associativa e as leis distributivas de adi\xc3\xa7\xc3\xa3o e multiplica\xc3\xa7\xc3\xa3o, o conceito de fra\xc3\xa7\xc3\xb5es como pares de n\xc3\xbameros inteiros com certas leis e compara\xc3\xa7\xc3\xb5es. O trabalho de Grassmann continuou o dos axiomas de Peano. Houve outras tentativas para se aproximar de uma fundamenta\xc3\xa7\xc3\xa3o te\xc3\xb3rica completa da aritm\xc3\xa9tica dos n\xc3\xbameros naturais, em especial o trabalho de Hilbert, enquanto n\xc3\xa3o surgia em 1932 a demonstra\xc3\xa7\xc3\xa3o dos teoremas de incompletude de G\xc3\xb6del._NEWLINE_Da mesma forma, tem havido tentativas de dar uma justificativa te\xc3\xb3rica das fra\xc3\xa7\xc3\xb5es racionais, para a qual havia dois conceitos: A parte igual da unidade ou a raz\xc3\xa3o de dois valores homog\xc3\xaaneos. Para fun\xc3\xa7\xc3\xb5es racionais necess\xc3\xa1rios para provar a lealdade para com as igualdades  e  (\xc2\xa0\xe2\x80\x94 n\xc3\xbamero natural), que foram usadas em adi\xc3\xa7\xc3\xa3o, subtra\xc3\xa7\xc3\xa3o e redu\xc3\xa7\xc3\xa3o de fra\xc3\xa7\xc3\xb5es. As igualdade era trivial na teoria das rela\xc3\xa7\xc3\xb5es, mas n\xc3\xa3o s\xc3\xa3o claras, independentemente da sua concep\xc3\xa7\xc3\xa3o. No entanto, elas apenas eram \xe2\x80\x9csentidas como verdade\xe2\x80\x9d. A aritm\xc3\xa9tica das fra\xc3\xa7\xc3\xb5es foi justificada por J. Tannery em 1894, em sua fra\xc3\xa7\xc3\xa3o modelo apresentando pares de n\xc3\xbameros inteiros._NEWLINE_Em 1758, na "Primeira funda\xc3\xa7\xc3\xa3o da aritm\xc3\xa9tica, geometria, trigonometria esf\xc3\xa9rica e plana e perspectivas", K\xc3\xa4stner pediu o apoio de todos os conceitos de aritm\xc3\xa9tica atrav\xc3\xa9s de um n\xc3\xbamero inteiro. Assim, determina-se no livro n\xc3\xbameros inteiros, fra\xc3\xa7\xc3\xb5es, n\xc3\xbameros negativos, decimais, n\xc3\xbameros irracionais, e s\xc3\xb3 ent\xc3\xa3o a teoria das rela\xc3\xa7\xc3\xb5es. Opera\xc3\xa7\xc3\xb5es em n\xc3\xbameros irracionais come\xc3\xa7aram a ser exploradas explorar, com base na sua aproxima\xc3\xa7\xc3\xa3o por fra\xc3\xa7\xc3\xb5es racionais. Ao mesmo tempo, a exist\xc3\xaancia de n\xc3\xbameros irracionais foi feita antecipadamente, e eles foram tratados como fora da sequ\xc3\xaancia de n\xc3\xbameros racionais. Para uma defini\xc3\xa7\xc3\xa3o de n\xc3\xbameros irracionais utilizados por Newton como a raz\xc3\xa3o de valores incomensur\xc3\xa1veis \xe2\x80\x8b\xe2\x80\x8b(tal defini\xc3\xa7\xc3\xa3o foi dada por Euler). Da mesma forma tratados os n\xc3\xbameros irracionais por P. Rakhmanov na "Nova teoria da deten\xc3\xa7\xc3\xa3o e propor\xc3\xa7\xc3\xb5es geom\xc3\xa9tricas quantidades proporcionais e incomensur\xc3\xa1veis, e, neste \xc3\xbaltimo caso com base na teoria de limites." E apenas na segunda metade do s\xc3\xa9culo XIX, existe uma teoria rigorosa dos n\xc3\xbameros reais formulada por M\xc3\xa9ray, Cantor, Dedekind e Weierstrass._NEWLINE_Na teoria da forma\xc3\xa7\xc3\xa3o dos n\xc3\xbameros negativos, o principal problema foi a afirma\xc3\xa7\xc3\xa3o de que o n\xc3\xbamero negativo \xc3\xa9 menor que zero, ent\xc3\xa3o n\xc3\xa3o \xc3\xa9 menos do que nada. Na defini\xc3\xa7\xc3\xa3o estrita de n\xc3\xbameros negativos faltava, embora tenham havido tentativas de formular regras de sinais ("menos vezes mais d\xc3\xa1 um sinal de menos" e "menos vezes menos d\xc3\xa1 mais"). O matem\xc3\xa1tico franc\xc3\xaas Carnot escreveu em 1813: "A Metaf\xc3\xadsica de regras assinala um estudo mais profundo mostrando que \xc3\xa9 talvez mais dif\xc3\xadcil do que a metaf\xc3\xadsica de quantidades infinitesimais; Normalmente, isso nunca foi provado de forma totalmente satisfat\xc3\xb3ria e, aparentemente, ela n\xc3\xa3o pode mesmo ser demonstrada de forma satisfat\xc3\xb3ria. " As primeiras tentativas para formular uma teoria de n\xc3\xbameros negativos foi feitas no meio do s\xc3\xa9culo XIX e pertencem a Hamilton e Grassmann._NEWLINE_A interpreta\xc3\xa7\xc3\xa3o geom\xc3\xa9trica dos n\xc3\xbameros complexos foi proposta por Caspar Wessel na "Experi\xc3\xaancia da representa\xc3\xa7\xc3\xa3o anal\xc3\xadtica de tend\xc3\xaancias e suas aplica\xc3\xa7\xc3\xb5es, principalmente para a solu\xc3\xa7\xc3\xa3o plana e pol\xc3\xadgonos esf\xc3\xa9ricos" em 1799. Wessel quis trabalhar com a dire\xc3\xa7\xc3\xa3o do segmento no plano, com a ajuda de opera\xc3\xa7\xc3\xb5es alg\xc3\xa9bricas, mas os n\xc3\xbameros reais s\xc3\xb3 permitem mudar na dire\xc3\xa7\xc3\xa3o oposta, mas n\xc3\xa3o especificar uma dire\xc3\xa7\xc3\xa3o arbitr\xc3\xa1ria. Wessel utilizou unidades b\xc3\xa1sicas , , ,  e, usando a regra da multiplica\xc3\xa7\xc3\xa3o, concluiu que . O trabalho de Wessel passou despercebido por cerca de 100 anos. Durante esse tempo, sua interpreta\xc3\xa7\xc3\xa3o dos n\xc3\xbameros imagin\xc3\xa1rios, foi apresentada por Jean-Robert Argand nos anos 1813-1814, Shayss em 1831 na "Teoria de res\xc3\xadduos biquadrados" e Hamilton em 1832, que construiu a teoria aritm\xc3\xa9tica, considerando os n\xc3\xbameros complexos como pares de reais._NEWLINE_Wessel tentou estender a teoria do espa\xc3\xa7o tridimensional, mas n\xc3\xa3o teve \xc3\xaaxito. A quest\xc3\xa3o permanece em aberto enquanto Hamilton n\xc3\xa3o construiu uma teoria de quat\xc3\xa9rnios, que quando multiplicado pela lei comutativa essa n\xc3\xa3o \xc3\xa9 cumprida. Neste estudo Weierstrass, Frobenius e Peirce revelaram que renunciar a qualquer das leis da aritm\xc3\xa9tica tem alguma expans\xc3\xa3o para al\xc3\xa9m do conceito de n\xc3\xbameros complexos.\n_START_SECTION_\nHist\xc3\xb3ria da aritm\xc3\xa9tica na R\xc3\xbassia\n_START_PARAGRAPH_\nNa R\xc3\xbassia, usa-se a analogia da numera\xc3\xa7\xc3\xa3o grega usando cir\xc3\xadlico ou glagol\xc3\xadtico. No entanto, ao contr\xc3\xa1rio de muitos povos que atribu\xc3\xadram valores num\xc3\xa9ricos em novas textos, na R\xc3\xbassia com algumas exce\xc3\xa7\xc3\xb5es continuou-se a usar letras gregas, ou similares. Os n\xc3\xbameros foram escritos na mesma maneira que acentuados, que est\xc3\xa1 entre o 15 primeiro sinal orientado para e em seguida, cinco a dez, enquanto entre os 25 - 2 em primeiro lugar, em seguida, para 5, a mais difundida sendo a numera\xc3\xa7\xc3\xa3o cir\xc3\xadlica. A aritm\xc3\xa9tica na R\xc3\xbassia foi chamada \xd1\x89\xd1\x91\xd1\x82\xd0\xbd\xd0\xb0\xd1\x8f \xd0\xbc\xd1\x83\xd0\xb4\xd1\x80\xd0\xbe\xd1\x81\xd1\x82\xd1\x8c (sabedoria \xe2\x80\x9csch\xd1\x91tnaya\xe2\x80\x9d), ou "Livro Negro", onde havia magia negra. Poucos podiam ler e entender livros sobre aritm\xc3\xa9tica, pois eles continham regras e c\xc3\xa1lculos aritm\xc3\xa9ticos que foram compostos por personagens obscuras._NEWLINE_Datam do s\xc3\xa9culo XI os problemas matem\xc3\xa1ticos de uma cole\xc3\xa7\xc3\xa3o "Verdade Russa" (\xd0\xa0\xd1\x83\xd1\x81\xd1\x81\xd0\xba\xd0\xb0\xd1\x8f \xd0\x9f\xd1\x80\xd0\xb0\xd0\xb2\xd0\xb4\xd0\xb0, Russkaya Pravda),  - os primeiros documentos matem\xc3\xa1ticos existentes da antiga R\xc3\xbassia, contendo problemas sobre res\xc3\xadduos (lixo), pecu\xc3\xa1ria e a quantidade de gr\xc3\xa3os e feno, colhidos a partir de determinadas \xc3\xa1reas. Um maior desenvolvimento da ci\xc3\xaancia foi interrompido com a invas\xc3\xa3o mongol-t\xc3\xa1rtara. No final do s\xc3\xa9culo XVI havia os livros \xe2\x80\x9cRecom na aritm\xc3\xa9tica grega\xe2\x80\x9d, \xe2\x80\x9cAlgorismos Alem\xc3\xa3es\xe2\x80\x9d, e em russo, \xe2\x80\x9cSabedoria Tsifirnaya Contando\xe2\x80\x9d, que, de acordo com Karamzin, foi a primeira aritm\xc3\xa9tica russa._NEWLINE_Acredita-se que os algarismos ar\xc3\xa1bicos foram introduzidas na R\xc3\xbassia ap\xc3\xb3s a primeira viagem ao exterior de Pedro I (denominada "Grande Embaixada"), quando em 1698 ele trouxe de Londres oficiais da Marinha. Um dos policiais foi Fergarson, que se acredita ter introduzido algarismos ar\xc3\xa1bicos na R\xc3\xbassia. Mas, na verdade, eles chegaram a R\xc3\xbassia muito antes de Pedro, em 1647, em Moscou, sob o czar Aleixo Romanov foram impressos em regulamentos militares russos, que costumavam conter algarismos ar\xc3\xa1bicos. Livros s\xc3\xa3o impressos em russo fora da R\xc3\xbassia contendo algarismos ar\xc3\xa1bicos, desde o in\xc3\xadcio do s\xc3\xa9culo XVI. No texto usando numera\xc3\xa7\xc3\xa3o eslava, e para os c\xc3\xa1lculos, algarismos \xc3\xa1rabes._NEWLINE_Em 1682, em Moscou, foi publicado o primeiro livro de conte\xc3\xbado matem\xc3\xa1tico "Lendo f\xc3\xa1cil, todo homem Kupuyuschy ou vendendo extremamente del\xc3\xadcias confort\xc3\xa1veis, o n\xc3\xbamero de todos os tipos de coisas\xe2\x80\x9d, que continha as tabelas de multiplica\xc3\xa7\xc3\xa3o at\xc3\xa9 100 e usava \xe2\x80\x8b\xe2\x80\x8ba numera\xc3\xa7\xc3\xa3o eslava. A segunda edi\xc3\xa7\xc3\xa3o deste livro foi lan\xc3\xa7ada em 1714 em S\xc3\xa3o Petersburgo, foi impresso, como Escrita Civil (grajdanka), e continha algarismos ar\xc3\xa1bicos. Em 1699, em Amsterd\xc3\xa3 publicou-se um livro "Resolu\xc3\xa7\xc3\xb5es r\xc3\xa1pidas e \xc3\xbateis em aritm\xc3\xa9tica, ou no ensino e aprendizagem de qualquer conta em qualquer combina\xc3\xa7\xc3\xa3o de coisas\xe2\x80\x9d - o primeiro livro de aritm\xc3\xa9tica em russo. O livro foi compilado por Ilya Fedorovich Kopievichem (ou Kopievsky) comerciante comissionado de Arkhangelsk. Ele n\xc3\xa3o satisfez o cliente, e n\xc3\xa3o recebeu comiss\xc3\xb5es pela distribui\xc3\xa7\xc3\xa3o._NEWLINE_Na R\xc3\xbassia, o primeiro livro de aritm\xc3\xa9tica, de Leonty Magnitsky, foi publicado em 1703. A "Aritm\xc3\xa9tica" de Magnitsky, depois no resto da Europa, usou a contagem associada em termos ao n\xc3\xbamero de dedos: os n\xc3\xbameros de 1 a 9 s\xc3\xa3o chamados de "dedos" - o zero, "nem", as dezenas - "comboios", e outros n\xc3\xbameros - "escritos".'