b'\n_START_ARTICLE_\nTeoria ing\xc3\xaanua dos conjuntos\n_START_PARAGRAPH_\nNa matem\xc3\xa1tica abstrata, a teoria ing\xc3\xaanua dos conjuntos foi o primeiro desenvolvimento da teoria dos conjuntos, que foi mais tarde remodelada cuidadosamente como a teoria axiom\xc3\xa1tica dos conjuntos. A teoria ing\xc3\xaanua dos conjuntos se distingue da teoria axiom\xc3\xa1tica dos conjuntos pelo fato de que a primeira conta com a compreens\xc3\xa3o informal dos conjuntos como cole\xc3\xa7\xc3\xb5es de objetos, chamado de elementos ou membros do conjunto, enquanto a \xc3\xbaltima usa somente fatos sobre conjuntos e seus membros demonstr\xc3\xa1veis a partir de listas definidas de axiomas (derivado do nosso entendimento a respeito de cole\xc3\xa7\xc3\xb5es de objetos e dos seus membros, mas escritos com cuidado para v\xc3\xa1rios prop\xc3\xb3sitos, incluindo, mas n\xc3\xa3o limitados a evitar os conhecidos paradoxos). Os conjuntos s\xc3\xa3o de grande import\xc3\xa2ncia na matem\xc3\xa1tica; de fato, em tratamentos formais modernos, a maioria dos objetos matem\xc3\xa1ticos (n\xc3\xbameros, rela\xc3\xa7\xc3\xb5es, fun\xc3\xa7\xc3\xb5es, etc) s\xc3\xa3o definidos em termos de conjuntos.\n_START_SECTION_\nIntrodu\xc3\xa7\xc3\xa3o\n_START_PARAGRAPH_\nA teoria ing\xc3\xaanua dos conjuntos foi criada no final do s\xc3\xa9culo XIX por Georg Cantor para permitir que matem\xc3\xa1ticos trabalhassem de forma consistente com conjuntos infinitos._NEWLINE_Como se verificou, a suposi\xc3\xa7\xc3\xa3o de que se poderiam realizar opera\xc3\xa7\xc3\xb5es quaisquer sobre conjuntos levou a paradoxos tais como o paradoxo de Russell. Em resposta, a teoria axiom\xc3\xa1tica dos conjuntos foi desenvolvida para determinar precisamente quais opera\xc3\xa7\xc3\xb5es seriam permitidas e em quais. Hoje, quando os matem\xc3\xa1ticos falam sobre "teoria dos conjuntos" como uma \xc3\xa1rea, geralmente querem dizer teoria axiom\xc3\xa1tica dos conjuntos. As aplica\xc3\xa7\xc3\xb5es informais da teoria do conjunto em outras \xc3\xa1reas s\xc3\xa3o referidas algumas vezes como aplica\xc3\xa7\xc3\xb5es da "teoria ing\xc3\xaanua dos conjuntos", mas s\xc3\xa3o geralmente entendidas como justific\xc3\xa1veis em termo de um sistema axiom\xc3\xa1tico (normalmente a teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel)._NEWLINE_\xc3\x89 importante observar que alguns acreditam que a teoria dos conjuntos de Georg Cantor n\xc3\xa3o esteve realmente implicada nos paradoxos (este \xc3\xa9 um assunto que continuar\xc3\xa1 em discuss\xc3\xa3o). Cantor estava ciente de alguns paradoxos e n\xc3\xa3o parecia acreditar que eles tirariam o cr\xc3\xa9dito de sua teoria. Frege axiomatizou explicitamente uma teoria na qual a vers\xc3\xa3o formalizada da teoria ing\xc3\xaanua dos conjuntos pode ser interpretada, e \xc3\xa9 sobre uma teoria formal que Bertrand Russell se dirigiu realmente quando apresentou o paradoxo de Russell._NEWLINE_\xc3\x89 \xc3\xbatil estudar conjuntos de forma ing\xc3\xaanua de modo a desenvolver a facilidade para trabalhar com eles. Al\xc3\xa9m disso, uma compreens\xc3\xa3o clara dos conceitos de teoria dos conjuntos do ponto de vista ing\xc3\xaanuo \xc3\xa9 importante como um primeiro est\xc3\xa1gio de entendimento para os axiomas formais da teoria dos conjuntos._NEWLINE_Este artigo trata da teoria ing\xc3\xaanua. Os conjuntos s\xc3\xa3o definidos informalmente e algumas de suas propriedades s\xc3\xa3o investigadas._NEWLINE_O termo "teoria ing\xc3\xaanua dos conjuntos" nem sempre se refere \xc3\xa0 teoria inconsistente de Frege. Pode se referir \xc3\xa0 teoria usual dos conjuntos apresentada informalmente, como no caso do conhecido livro de Halmos Teoria Ing\xc3\xaanua dos Conjuntos, o qual consiste realmente numa apresenta\xc3\xa7\xc3\xa3o informal da teoria axiom\xc3\xa1tica dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel.\n_START_SECTION_\nConjuntos, pertin\xc3\xaancia e igualdade\n_START_PARAGRAPH_\nNa teoria ing\xc3\xaanua dos conjuntos, um conjunto \xc3\xa9 descrito como uma cole\xc3\xa7\xc3\xa3o bem definida de objetos. Estes objetos s\xc3\xa3o chamados de elementos ou membros do conjunto. Objetos podem ser qualquer coisa: n\xc3\xbameros, povos, outros conjuntos, etc. Por exemplo, 4 \xc3\xa9 um membro do conjunto de todos os inteiros pares. Claramente, o conjunto de n\xc3\xbameros pares \xc3\xa9 infinitamente grande; n\xc3\xa3o h\xc3\xa1 qualquer exig\xc3\xaancia de que um conjunto seja finito._NEWLINE_Se x \xc3\xa9 um membro de A, ent\xc3\xa3o se diz tamb\xc3\xa9m que x pertence a A, ou que x est\xc3\xa1 em A. Em tal caso, escrevemos x  A. (O s\xc3\xadmbolo "" \xc3\xa9 uma deriva\xc3\xa7\xc3\xa3o do \xc3\xa9psilon do alfabeto grego, "\xce\xb5", introduzido por Peano em 1888). O s\xc3\xadmbolo  \xc3\xa9 usado para escrever x  A, para dizer que "x n\xc3\xa3o est\xc3\xa1 em A" ou que "x n\xc3\xa3o pertence a A"._NEWLINE_Dois conjuntos A e B s\xc3\xa3o definidos como iguais quando eles t\xc3\xaam exatamente os mesmos elementos, isto \xc3\xa9, se cada elemento de A for um elemento de B e cada elemento de B for um elemento de A. (Ver axioma da extensionalidade). Desta forma, um conjunto \xc3\xa9 completamente determinado por seus elementos; sua descri\xc3\xa7\xc3\xa3o n\xc3\xa3o \xc3\xa9 importante. Por exemplo, o conjunto com elementos 2, 3 e 5 \xc3\xa9 igual ao conjunto de todos os n\xc3\xbameros primos menores do que 6. Se os conjuntos A e B s\xc3\xa3o iguais, este fato \xc3\xa9 denotado simbolicamente como A\xc2\xa0=\xc2\xa0B (como de costume)._NEWLINE_H\xc3\xa1 tamb\xc3\xa9m um conjunto vazio, geralmente denotado por  e \xc3\xa0s vezes por : um conjunto sem quaisquer membros. Uma vez que um conjunto \xc3\xa9 determinado completamente por seus elementos, s\xc3\xb3 haver um conjunto vazio. (Ver axioma do conjunto vazio.)\n_START_SECTION_\nSubconjuntos\n_START_PARAGRAPH_\nDado dois conjuntos A e B n\xc3\xb3s dizemos que A \xc3\xa9 um subconjunto de B se todo elemento de A \xc3\xa9 tamb\xc3\xa9m um elemento de B. Percebe-se que, em particular, B \xc3\xa9 um subconjunto de si pr\xc3\xb3prio; um subconjunto de B que n\xc3\xa3o \xc3\xa9 igual a B \xc3\xa9 chamado subconjunto pr\xc3\xb3prio._NEWLINE_Se A \xc3\xa9 um subconjunto de B, ent\xc3\xa3o pode-se dizer tamb\xc3\xa9m que B \xc3\xa9 um superconjunto de A, que A est\xc3\xa1 contido em B, ou que B cont\xc3\xa9m A. Em s\xc3\xadmbolos, A  B significa que A \xc3\xa9 um subconjunto de B, e B  A significa que B \xc3\xa9 um superconjunto de A. Alguns autores utilizam  e  para subconjuntos, e outros usam estes s\xc3\xadmbolos somente para subconjuntos pr\xc3\xb3prios. Para uma maior clareza, pode-se explicitamente usar os s\xc3\xadmbolos  e  para indicar n\xc3\xa3o igualdade. Nesta enciclop\xc3\xa9dia,  e  s\xc3\xa3o usados para subconjuntos enquanto  e  s\xc3\xa3o reservados para subconjuntos pr\xc3\xb3prios._NEWLINE_Como uma ilustra\xc3\xa7\xc3\xa3o, seja  o conjunto dos n\xc3\xbameros reais,  o conjunto dos inteiros, I o conjunto dos inteiros \xc3\xadmpares, e seja P o conjunto de atuais ou antigos presidentes dos Brasil. Ent\xc3\xa3o I \xc3\xa9 um subconjunto de ,  \xc3\xa9 um subconjunto de  e (por conseguinte) I \xc3\xa9 um subconjunto de  onde, em todos os casos, subconjunto pode ser lido como subconjunto pr\xc3\xb3prio. Note que nem todos os conjuntos s\xc3\xa3o compar\xc3\xa1veis desta maneira. Por exemplo, n\xc3\xa3o \xc3\xa9 o caso nem que  seja subconjunto de P, nem que P seja um subconjunto de ._NEWLINE_Segue imediatamente da defini\xc3\xa7\xc3\xa3o acima de igualdade de conjuntos, que dados dois conjuntos A e B, A = B se e somente se A  B e B  A. De fato, isto \xc3\xa9 frequentemente dado como a pr\xc3\xb3pria defini\xc3\xa7\xc3\xa3o de igualdade. Geralmente, ao se tentar demonstrar que dois conjuntos s\xc3\xa3o iguais, objetiva-se mostrar estas duas inclus\xc3\xb5es._NEWLINE_O conjunto de todos subconjuntos de um dado conjunto A \xc3\xa9 chamado de conjunto das partes de A e \xc3\xa9 denotado por  ou . Se o conjunto A tem n elementos, ent\xc3\xa3o  ter\xc3\xa1  elementos. Observe que o conjunto vazio \xc3\xa9 um subconjunto de todo conjunto (a afirma\xc3\xa7\xc3\xa3o de que todos os elementos do conjunto vazio s\xc3\xa3o tamb\xc3\xa9m membros de algum conjunto A \xc3\xa9 vacuamente verdadeiro, pois n\xc3\xa3o h\xc3\xa1 elementos no conjunto vazio).\n_START_SECTION_\nConjuntos universais e complementos absolutos\n_START_PARAGRAPH_\nEm certos contextos podemos considerar todos os conjuntos como sendo subconjuntos de algum conjunto universal dado. Por exemplo, se estiv\xc3\xa9ssemos investigando propriedades dos n\xc3\xbameros reais  (e de subconjuntos de ), poder\xc3\xadamos ent\xc3\xa3o tomar  como nosso conjunto universal. \xc3\x89 importante compreender que um conjunto universal est\xc3\xa1 somente definido temporariamente pelo contexto; n\xc3\xa3o h\xc3\xa1 nenhum objeto como um conjunto "universal", isto \xc3\xa9, um "conjunto de todas as coisas" (ver Paradoxos abaixo)._NEWLINE_Dado um conjunto universal  e um subconjunto A de  podemos definir o complemento de A (em ) como:_NEWLINE_AC = { x  \xc2\xa0: x  A}._NEWLINE_Em outras palavras AC ("complemento de A"; algumas vezes denotado por A\', "A-linha") \xc3\xa9 o conjunto de todos os membros de  que n\xc3\xa3o s\xc3\xa3o membros de A. Assim dados ,  e I definido como na se\xc3\xa7\xc3\xa3o sobre subconjuntos, se  for o conjunto universal, ent\xc3\xa3o I C \xc3\xa9 o conjunto de inteiros pares, mas se  for o conjunto universal, ent\xc3\xa3o I C \xc3\xa9 o conjunto de todos os n\xc3\xbameros reais que s\xc3\xa3o inteiros e pares ou simplesmente n\xc3\xa3o inteiros..\n_START_SECTION_\nUni\xc3\xa3o, interse\xc3\xa7\xc3\xa3o e complementos relativos\n_START_PARAGRAPH_\nDado dois conjuntos A e B, podemos construir sua uni\xc3\xa3o. Este \xc3\xa9 o conjunto que consiste em todos os objetos que s\xc3\xa3o elementos de A ou de B ou de ambos (ver axioma da uni\xc3\xa3o). \xc3\x89 denotado por A  B._NEWLINE_A interse\xc3\xa7\xc3\xa3o de A e B \xc3\xa9 o conjunto de todos os objetos que est\xc3\xa3o tanto em A quanto em B. \xc3\x89 denotado por A  B._NEWLINE_Finalmente, o complemento relativo de B com rela\xc3\xa7\xc3\xa3o a A, tamb\xc3\xa9m conhecido como a diferen\xc3\xa7a entre os conjuntos A e B, \xc3\xa9 o conjunto de todos objetos que pertencem a A mas n\xc3\xa3o a B. \xc3\x89 denotado por A \\ B ou A - B. Simbolicamente, estes conjuntos s\xc3\xa3o respectivamente_NEWLINE_ _NEWLINE_ _NEWLINE_Note que A n\xc3\xa3o tem que ser um subconjunto de B para B \\ A fazer sentido; esta \xc3\xa9 a diferen\xc3\xa7a entre o complemento relativo e complemento absoluto definido na se\xc3\xa7\xc3\xa3o anterior._NEWLINE_Para ilustrar estas ideias, seja A \xc3\xa9 o conjunto das pessoas canhotas; e B \xc3\xa9 o conjunto de pessoas com cabelos loiros. Ent\xc3\xa3o A  B \xc3\xa9 o conjunto de todas as pessoas canhotas e loiras, enquanto A  B \xc3\xa9 o conjunto de todas as pessoas canhotas ou loiras ou ambas. A \\ B, por outro lado, \xc3\xa9 o conjunto de todas as pessoas que s\xc3\xa3o canhotas, mas n\xc3\xa3o s\xc3\xa3o loiras, enquanto, B \\ A \xc3\xa9 o conjunto de pessoas com cabelos loiros mas que n\xc3\xa3o s\xc3\xa3o canhotas._NEWLINE_Considere agora E como o conjunto de todos os seres humanos, e F como o conjunto de todas as coisas vivas com mais de 1000 anos de idade. O que \xc3\xa9 E  F neste caso? Nenhum ser humano est\xc3\xa1 acima de 1000 anos de idade, ent\xc3\xa3o, E  F deve ser o conjunto vazio { }._NEWLINE_Para qualquer conjunto A, o conjunto das partes  \xc3\xa9 uma \xc3\xa1lgebra booleana sob as opera\xc3\xa7\xc3\xb5es de uni\xc3\xa3o e interse\xc3\xa7\xc3\xa3o.'