b'\n_START_ARTICLE_\nConjunto de Mandelbrot\n_START_SECTION_\nRela\xc3\xa7\xc3\xa3o com os conjuntos de Julia\n_START_PARAGRAPH_\nO conjunto de Mandelbrot foi criado por Beno\xc3\xaet Mandelbrot como um \xc3\xadndice ao conjunto de Julia: cada ponto no plano complexo corresponde a um conjunto de Julia diferente. Os pontos que pertencem ao conjunto de Mandelbrot correspondem precisamente aos conjuntos de Julia conexos, e os pontos fora do conjunto de Mandelbrot correspondem aos conjuntos de Julia desconexos._NEWLINE__NEWLINE_Intuitivamente, os conjuntos de Julia "interessantes" correspondem aos pontos pr\xc3\xb3ximos \xc3\xa0 fronteira do conjunto de Mandelbrot; pontos mais internos ao conjunto de Mandelbrot correspondem a formas geom\xc3\xa9tricas relativamente simples, enquanto os pontos mais externos lembram poeira rodeada por manchas de cores. Alguns programas, como o Fractint, permitem que o usu\xc3\xa1rio escolha um ponto e veja o conjunto de Julia correspondente, tornando f\xc3\xa1cil a navega\xc3\xa7\xc3\xa3o. Um dos descansos de tela do pacote xscreensaver apresenta uma anima\xc3\xa7\xc3\xa3o dos diversos conjuntos de Julia relativos a um ponto que fica dan\xc3\xa7ando na tela._NEWLINE_O conjunto de Mandelbrot tamb\xc3\xa9m "cont\xc3\xa9m" estruturas muito semelhantes aos conjuntos de Julia; de fato, para qualquer valor c, a regi\xc3\xa3o do conjunto de Mandelbrot ao redor de c lembra o centro do conjunto de Julia com par\xc3\xa2metro c.\n_START_SECTION_\nCiclos Peri\xc3\xb3dicos no conjunto de Mandelbrot\n_START_PARAGRAPH_\nDentro do conjunto de Mandelbrot, a itera\xc3\xa7\xc3\xa3o da sequ\xc3\xaancia z\xe2\x82\x99\xe2\x82\x8a\xe2\x82\x81= z\xe2\x82\x99\xc2\xb2+c evolui de modo diferente para diferentes valores de c. Para valores de c no centro da grande cardi\xc3\xb3ide, as itera\xc3\xa7\xc3\xb5es convergem para um ponto. Para valores de c dentro do grande bolbo \xc3\xa0 esquerda do cardi\xc3\xb3ide, as itera\xc3\xa7\xc3\xb5es convergem para um ciclo de per\xc3\xadodo 2. Para os outros bolbos, as itera\xc3\xa7\xc3\xb5es convergem para ciclos com diferentes per\xc3\xadodos, de acordo com o n\xc3\xbamero mostrado na figura seguinte. _NEWLINE_Note que no bolbo que fica exatamente no meio entre o bolbo com n=2 e o bolbo com n=3, o per\xc3\xadodo do ciclo \xc3\xa9 n=2+3=5; no bolbo entre o bolbo com n=2 e o bolbo com n=5, o per\xc3\xadodo do ciclo \xc3\xa9 n=2+5=7; no bolbo entre o bolbo com n=2 e o bolbo com n=7, o per\xc3\xadodo do ciclo \xc3\xa9 n=2+7=9. De fato, h\xc3\xa1 nesse quadrante do cardi\xc3\xb3ide tantos bolbos quanto a quantidade de n\xc3\xbameros reais entre 2 e 3!_NEWLINE_Se observarmos o movimento dos pontos num ciclo do bolbo com n=5, vemos que o ciclo salta sempre 2 componentes no sentido anti-hor\xc3\xa1rio em cada itera\xc3\xa7\xc3\xa3o. Podemos ent\xc3\xa3o designar esse ciclo pelo n\xc3\xbamero racional 2/5 e dizer que o ciclo roda em torno de um ponto central numa rota\xc3\xa7\xc3\xa3o de 2/5 de revolu\xc3\xa7\xc3\xa3o por cada itera\xc3\xa7\xc3\xa3o. E esse bolbo pode ser designado por \xc2\xabbolbo 2/5\xc2\xbb._NEWLINE_Usando esta designa\xc3\xa7\xc3\xa3o, torna-se claro que os bolbos prim\xc3\xa1rios est\xc3\xa3o ordenados em ordem crescente em rela\xc3\xa7\xc3\xa3o a este n\xc3\xbamero de rota\xc3\xa7\xc3\xa3o: 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2. Para sabermos o n\xc3\xbamero de rota\xc3\xa7\xc3\xa3o de um bolbo interm\xc3\xa9dio, basta somar os numeradores e os denominadores separadamente:_NEWLINE_entre o bolbo 2/5 e o bolbo 1/2, h\xc3\xa1 o bolbo 3/7. Existe tamb\xc3\xa9m um outro bolbo 4/9 ainda menor entre o bolbo 1/2 e o bolbo 3/7._NEWLINE_Os bolbos est\xc3\xa3o ordenados exatamente como os n\xc3\xbameros racionais pois h\xc3\xa1 um bolbo p/q para cada n\xc3\xbamero racional entre 0 e 1 e, al\xc3\xa9m disso, est\xc3\xa3o ordenados corretamente \xc3\xa0 volta do bolbo principal no sentido anti-hor\xc3\xa1rio, come\xc3\xa7ando em zero na c\xc3\xbaspide. Na parte de baixo, os ciclos rodam no sentido hor\xc3\xa1rio. _NEWLINE_ Na figura \xc3\xa0 esquerda, representa-se sobre o conjunto de Mandelbrot a evolu\xc3\xa7\xc3\xa3o da sequ\xc3\xaancia z\xe2\x82\x99\xe2\x82\x8a\xe2\x82\x81= z\xe2\x82\x99\xc2\xb2+c a partir de diferentes valores de c. _NEWLINE__NEWLINE_(Note-se que, embora sejam interessantes do ponto de vista gr\xc3\xa1fico, estas representa\xc3\xa7\xc3\xb5es das diferentes evolu\xc3\xa7\xc3\xb5es sobrepostas ao conjunto de Mandelbrot n\xc3\xa3o s\xc3\xa3o muito correctas conceptualmente visto estas ocorrerem no espa\xc3\xa7o de fase de um sistema din\xc3\xa2mico e n\xc3\xa3o no espa\xc3\xa7o de par\xc3\xa2metros de polin\xc3\xb4mios quadr\xc3\xa1ticos, como o conjunto de Mandelbrot.)\n_START_SECTION_\nDesenhando o conjunto\n_START_PARAGRAPH_\nPode-se mostrar que uma vez que o valor absoluto de z \xe2\x82\x99 \xc3\xa9 maior que 2 (na forma cartesiana, quando x\xe2\x82\x99\xc2\xb2 + y\xe2\x82\x99\xc2\xb2 > 2\xc2\xb2) a sequ\xc3\xaancia tender\xc3\xa1 ao infinito e, portanto, c n\xc3\xa3o pertence ao conjunto de Mandelbrot. Este valor, conhecido como valor de fuga, permite o t\xc3\xa9rmino dos c\xc3\xa1lculos para pontos que n\xc3\xa3o pertencem ao conjunto de Mandelbrot. Para aqueles que pertencem ao conjunto, ou seja, valores de c para os quais z\xe2\x82\x99 n\xc3\xa3o tende ao infinito, o c\xc3\xa1lculo nunca ir\xc3\xa1 terminar. Portanto, o c\xc3\xa1lculo deve ser terminado ap\xc3\xb3s um certo n\xc3\xbamero de itera\xc3\xa7\xc3\xb5es determinado pelo programa. Isso resulta numa imagem que \xc3\xa9 apenas uma representa\xc3\xa7\xc3\xa3o aproximada do conjunto verdadeiro. Hobbistas aprendem rapidamente a reconhecer as imperfei\xc3\xa7\xc3\xb5es nas imagens geradas, onde pontos que n\xc3\xa3o pertencem ao conjunto de Mandelbrot s\xc3\xa3o inclu\xc3\xaddos na representa\xc3\xa7\xc3\xa3o do conjunto devido ao n\xc3\xbamero insuficiente de itera\xc3\xa7\xc3\xb5es executadas pelo algoritmo. Nestas situa\xc3\xa7\xc3\xb5es, \xc3\xa9 poss\xc3\xadvel reajustar o programa para que seja executado um n\xc3\xbamero maior de itera\xc3\xa7\xc3\xb5es ao custo de tornar o processo mais lento devido ao aumento da quantidade de c\xc3\xa1lculos para os pontos que pertencem ao conjunto. _NEWLINE_Infelizmente, o n\xc3\xbamero de itera\xc3\xa7\xc3\xb5es necess\xc3\xa1rias para a representa\xc3\xa7\xc3\xa3o perfeita do conjunto \xc3\xa9 infinito. Al\xc3\xa9m disso, o conjunto ocupa uma regi\xc3\xa3o cont\xc3\xadnua do plano de Argand-Gauss que, portanto, \xc3\xa9 imposs\xc3\xadvel de ser representada fielmente em uma imagem pixelizada (espa\xc3\xa7o discretizado).\n_START_SECTION_\nAdicionando cor\n_START_PARAGRAPH_\nMatematicamente falando, as imagens dos conjuntos de Mandelbrot e de Julia s\xc3\xa3o em "branco e preto", no sentido de que um ponto est\xc3\xa1 ou dentro ou fora do conjunto em quest\xc3\xa3o. Entretanto, a maioria das imagens geradas por computador s\xc3\xa3o desenhadas em cores. No m\xc3\xa9todo de renderiza\xc3\xa7\xc3\xa3o mais comum, para os pontos que divergem para o infinito e que, portanto, n\xc3\xa3o fazem parte do conjunto, as cores refletem o n\xc3\xbamero de itera\xc3\xa7\xc3\xb5es necess\xc3\xa1rias para atingirem uma certa dist\xc3\xa2ncia da origem. Isso cria formas conc\xc3\xaantricas, cada uma sendo uma melhor aproxima\xc3\xa7\xc3\xa3o para o conjunto de Mandelbrot em rela\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xa0 camada exterior._NEWLINE_Um esquema de cores poss\xc3\xadvel \xc3\xa9 pintar de preto os pontos que divergem rapidamente, ter as cores mais claras ao centro da imagem e um gradiente de tons de cinza (ou de qualquer outra cor de prefer\xc3\xaancia) sendo que os pontos mais pr\xc3\xb3ximos de branco s\xc3\xa3o os que divergem mais vagarosamente._NEWLINE_Para determinar se o ponto Z\xe2\x82\x80 pertence ao conjunto de Mandelbrot (tradicionalmente representado em preto) ou se est\xc3\xa1 fora do conjunto (colorido de acordo com sua velocidade de escape), a dist\xc3\xa2ncia de Z\xe1\xb5\xa2 deve ser calculada a cada itera\xc3\xa7\xc3\xa3o:_NEWLINE_Se , ent\xc3\xa3o . Note que uma das muitas otimiza\xc3\xa7\xc3\xb5es poss\xc3\xadveis no c\xc3\xa1lculo de mandelbrots pode se aplicar aqui. Em vez de testar se , podemos simplesmente testar se  evitando, desse modo, a opera\xc3\xa7\xc3\xa3o de c\xc3\xa1lculo da raiz quadrada.\n_START_SECTION_\nAlguns detalhes do conjunto de Mandelbrot\n_START_PARAGRAPH_\nfeitos com base num applet de JAVA\n_START_SECTION_\nArte e o Conjunto de Mandelbrot\n_START_PARAGRAPH_\nAlgumas pessoas t\xc3\xaam o hobby de buscar no conjunto de Mandelbrot figuras interessantes. Elas t\xc3\xaam cole\xc3\xa7\xc3\xb5es de figuras, junto com as respectivas cordenadas utilizadas para ger\xc3\xa1-las. Por exemplo, a imagem \xc3\xa0 direita \xc3\xa9 um close centrado nas coordenadas (0.282, -0.01). Abaixo h\xc3\xa1 mais exemplos de belas regi\xc3\xb5es do conjunto de Mandelbrot:_NEWLINE_H\xc3\xa1 muitos programas para gera\xc3\xa7\xc3\xa3o de fractais dispon\xc3\xadveis gratuitamente na internet assim como implementa\xc3\xa7\xc3\xb5es livres. H\xc3\xa1, por exemplo, aqueles feitos por Stephen Ferguson (Sterling Fractal e a s\xc3\xa9rie Tierazon). Muitas pessoas escrevem seus pr\xc3\xb3prios programas de gera\xc3\xa7\xc3\xa3o de fractais para que possam ter a maior mobilidade poss\xc3\xadvel no processo de gera\xc3\xa7\xc3\xa3o das imagens.\n_START_SECTION_\nOutros Conjuntos de Mandelbrot\n_START_PARAGRAPH_\nQuando as pessoas falam sobre o conjunto de Mandelbrot, elas frequentemente se referem ao conjunto descrito acima. Entretanto, qualquer fun\xc3\xa7\xc3\xa3o mapeada a partir de, ou para, o campo complexo possui um conjunto de Mandelbrot que indica, para cada ponto, se o conjunto de Julia correspondente \xc3\xa0quela fun\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xa9 ou n\xc3\xa3o conexo._NEWLINE_Exemplo:_NEWLINE_Seja ._NEWLINE_Para cada valor de c, desenhamos o conjunto de Julia  de , e determinamos se ele \xc3\xa9 conexo ou n\xc3\xa3o. Se  for conexo, ent\xc3\xa3o c pertence ao conjunto de Mandelbrot de {}, sen\xc3\xa3o, c n\xc3\xa3o pertence ao conjunto._NEWLINE_Isto tamb\xc3\xa9m pode ser generalizado para conjuntos de Julia parametrizados por mais de dois n\xc3\xbameros reais. Por exemplo, uma fam\xc3\xadlia de conjuntos de Julia parametrizada por tr\xc3\xaas n\xc3\xbameros reais ser\xc3\xa1 associada a um conjunto de Mandelbrot tridimensional. Claramente, as figuras geradas nos casos bidimensionais s\xc3\xa3o, em geral, mais facilmente visualiz\xc3\xa1veis.\n_START_SECTION_\nO Conjunto de Mandelbrot e a m\xc3\xbasica\n_START_PARAGRAPH_\nA banda australiana GangGajang tem uma m\xc3\xbasica Time (and the Mandelbrot set), ou Tempo (e o conjunto de Mandelbrot), onde o termo Mandelbrot set (Conjunto de Mandelbrot) \xc3\xa9 livremente usado. _NEWLINE_O cantor americano Jonathan Coulton tem uma can\xc3\xa7\xc3\xa3o intitulada Mandelbrot Set, ou Conjunto de Mandelbrot, versando sobre a hist\xc3\xb3ria do conjunto de Mandelbrot assim como a do pr\xc3\xb3prio Beno\xc3\xaet Mandelbrot.'