b'\n_START_ARTICLE_\nMenor (\xc3\xa1lgebra linear)\n_START_PARAGRAPH_\nEm \xc3\xa1lgebra linear, um menor de uma matriz A \xc3\xa9 o determinante de alguma matriz quadrada, obtida a partir de A pela remo\xc3\xa7\xc3\xa3o de uma ou mais de suas linhas ou colunas. Menores obtidos pela remo\xc3\xa7\xc3\xa3o de exatamente uma linha e uma coluna de matrizes quadradas (primeiros menores) s\xc3\xa3o requeridos para calcular cofatores de matrizes, que por sua vez, s\xc3\xa3o \xc3\xbateis para calcular o determinante e a inversa de matrizes quadradas.\n_START_SECTION_\nPrimeiros menores\n_START_PARAGRAPH_\nSe A \xc3\xa9 uma matriz quadrada, ent\xc3\xa3o o menor da entrada na i-\xc3\xa9sima linha e j-\xc3\xa9sima coluna (tamb\xc3\xa9m chamado de menor (i,j), ou de primeiro menor) \xc3\xa9 o determinante da submatriz formada ao eliminar a i-\xc3\xa9sima linha e a j-\xc3\xa9sima coluna. Este n\xc3\xbamero \xc3\xa9 geralmente indicado por Mi,j. O cofator (i,j) \xc3\xa9 obtido multiplicando-se o menor por _NEWLINE_Para ilustrar essas defini\xc3\xa7\xc3\xb5es, considere a seguinte matriz 3 por 3,_NEWLINE_Para calcular o menor M\xe2\x82\x82\xe2\x82\x83 e o cofactor C\xe2\x82\x82\xe2\x82\x83, encontra-se o determinante da matriz que resulta ao remover a linha 2 e a coluna 3 da matriz acima._NEWLINE_Assim, o cofator da entrada (2,3) \xc3\xa9\n_START_SECTION_\nDefini\xc3\xa7\xc3\xa3o geral\n_START_PARAGRAPH_\nSeja A uma matriz m \xc3\x97 n e k um n\xc3\xbamero inteiro com 0 < k \xe2\x89\xa4 m, e k \xe2\x89\xa4 n. Um menor k \xc3\x97 k de A, tamb\xc3\xa9m chamado de determinante menor de ordem k de A ou, se  (n-k):\xc3\xa9simo determinante menor de A, frequentemente omitindo a palavra "determinante" e \xc3\xa0s vezes substituindo a palavra "ordem" por "grau", \xc3\xa9 o determinante de uma matriz k \xc3\x97 k obtida de A eliminando m \xe2\x88\x92 k linhas e n \xe2\x88\x92 k colunas. \xc3\x80s vezes o termo \xc3\xa9 usado para se referir \xc3\xa0 matriz k \xc3\x97 k obtida a partir de A como acima (excluindo m \xe2\x88\x92 k linhas e n \xe2\x88\x92 k colunas), mas ela deveria ser chamada apenas de submatriz (quadrada) de A, deixando o termo "menor" para se referir ao determinante desta matriz. Para uma matriz A como acima, h\xc3\xa1 um total de  menores de tamanho k \xc3\x97 k. Um menor de ordem zero \xc3\xa9 muitas vezes definido como sendo 1. Para uma matriz quadrada, o zer\xc3\xa9simo menor \xc3\xa9 apenas o determinante da matriz._NEWLINE_Sejam   sequ\xc3\xaancias ordenadas (em ordem natural, como geralmente \xc3\xa9 assumido ao falar de menores, salvo indica\xc3\xa7\xc3\xa3o em contr\xc3\xa1rio) de \xc3\xadndices, e denote-as por  e  respectivamente. O menor  correspondente a estas escolhas de \xc3\xadndices \xc3\xa9 denotado por  ou  ou  ou  ou  (em que o (i) denota a sequ\xc3\xaancia de \xc3\xadndices I etc.), dependendo da fonte. Tamb\xc3\xa9m h\xc3\xa1 dois tipos de nota\xc3\xa7\xc3\xb5es usadas na literatura: por menor associado \xc3\xa0s sequ\xc3\xaancias ordenadas de \xc3\xadndices I e J, alguns autores querem dizer o determinante da matriz que \xc3\xa9 formada como acima, pegando os elementos da matriz original das linhas cujos \xc3\xadndices est\xc3\xa3o em I e cujas colunas est\xc3\xa3o em J, enquanto que outros autores se referem a um menor associado a I e J como sendo o determinante da matriz formada a partir da matriz original removendo as linhas em I e as colunas em J. Deve-se sempre checar a fonte consultada para saber qual conven\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xa9 utilizada. Neste artigo, utiliza-se a defini\xc3\xa7\xc3\xa3o inclusiva, escolhendo os elementos das linhas de I e colunas de J. A exce\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xa9 o primeiro menor ou o menor (i,j) descrito acima; neste caso, a nota\xc3\xa7\xc3\xa3o exclusiva  \xc3\xa9 padr\xc3\xa3o em toda a literatura e tamb\xc3\xa9m \xc3\xa9 usada neste artigo.\n_START_SECTION_\nComplemento\n_START_PARAGRAPH_\nO complemento Bijk...,pqr..., de um menor, Mijk...,pqr..., de uma matriz quadrada, A, \xc3\xa9 formado pelo determinante da matriz A da qual todas as linhas (ijk...) e colunas (pqr...) associadas com Mijk...,pqr... foram removidas. O complemento do primeiro menor de um elemento a\xe1\xb5\xa2\xe2\xb1\xbc \xc3\xa9 apenas esse elemento.\n_START_SECTION_\nExpans\xc3\xa3o do determinante por cofatores\n_START_PARAGRAPH_\nOs cofatores aparecem com destaque na f\xc3\xb3rmula de Laplace para a expans\xc3\xa3o de determinantes, que \xc3\xa9 um m\xc3\xa9todo para calcular grandes maiores determinantes em fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de determinantes menores. Dado uma matriz  de ordem  o determinante de A (representado por det(A)) pode ser escrito como a soma dos cofatores de qualquer linha ou coluna da matriz multiplicados pelas entradas que os geraram. Em outras palavras, a expans\xc3\xa3o por cofatores ao longo da j\xc3\xa9sima coluna \xc3\xa9:_NEWLINE_A expans\xc3\xa3o por cofatores ao longo da i\xc3\xa9sima linha resulta em:\n_START_SECTION_\nInversa de uma matriz\n_START_PARAGRAPH_\nPode-se escrever a inversa de uma matriz invert\xc3\xadvel calculando-se os cofatores por meio da regra de Cramer, como segue. A matriz formada por todos os cofatores de uma matriz quadrada A \xc3\xa9 chamada de matriz de cofatores (tamb\xc3\xa9m chamada de comatriz):_NEWLINE_Ent\xc3\xa3o a inversa de A \xc3\xa9 a transposta da matriz de cofatores vezes o rec\xc3\xadproco do determinante de A:_NEWLINE_A transposta da matriz de cofatores \xc3\xa9 chamada de matriz adjunta (tamb\xc3\xa9m considerada como a adjunta cl\xc3\xa1ssica) de A._NEWLINE_A f\xc3\xb3rmula acima pode ser generalizada da seguinte forma: Sejam   sequ\xc3\xaancias ordenadas (na ordem natural) de \xc3\xadndices (aqui, A \xc3\xa9 uma matriz ). Ent\xc3\xa3o_NEWLINE__NEWLINE_em que  denotam as sequ\xc3\xaancias ordenadas de \xc3\xadndices (os \xc3\xadndices est\xc3\xa3o na ordem natural de magnitude como acima) complementares a  de modo que cada \xc3\xadndice  aparece exatamente uma vez em  ou em  mas n\xc3\xa3o em ambos (analogamente para  e ) e  denota o determinante da submatriz de A formada escolhendo as linhas do conjunto  de \xc3\xadndices e as colunas do conjunto  de \xc3\xadndices. Al\xc3\xa9m disso,  Uma demonstra\xc3\xa7\xc3\xa3o simples \xc3\xa9 dada em termos do produto wedge. De fato,_NEWLINE_em que  s\xc3\xa3o os vetores da base. Fazendo a a\xc3\xa7\xc3\xa3o de  comem ambos os membros, obt\xc3\xa9m-se_NEWLINE_Pode-se verificar que o sinal \xc3\xa9  e \xc3\xa9 determinado pela soma dos elementos em\n_START_SECTION_\nAbordagem da \xc3\xa1lgebra multilinear\n_START_PARAGRAPH_\nEm \xc3\xa1lgebra multilinear \xc3\xa9 dado um tratamento alg\xc3\xa9brico, mais sistem\xc3\xa1tico, do conceito de menor usando produto wedge: os k-menores de uma matriz s\xc3\xa3o as entradas na k-\xc3\xa9sima aplica\xc3\xa7\xc3\xa3o pot\xc3\xaancia exterior._NEWLINE_Se \xc3\xa9 feito um produto wedge com k colunas de uma matriz de cada vez, os menores k \xc3\x97 k aparecem como as componentes dos k-vetores resultantes. Por exemplo, os menores 2 \xc3\x97 2 da matriz_NEWLINE__NEWLINE_s\xc3\xa3o \xe2\x88\x9213 (para as duas primeiras linhas), \xe2\x88\x927 (para a primeira e \xc3\xbaltima linha), e 5 (para as duas \xc3\xbaltimas linhas). Agora, considere o produto wedge_NEWLINE__NEWLINE_em que as duas express\xc3\xb5es correspondem \xc3\xa0s duas colunas de nossa matriz. Usando as propriedades do produto wedge, mais especificamente o fato dele de que ele \xc3\xa9 bilinear e que_NEWLINE__NEWLINE_e_NEWLINE__NEWLINE_a express\xc3\xa3o pode ser simplificada para_NEWLINE__NEWLINE_em que os coeficientes coincidem com os menores calculados anteriormente.\n_START_SECTION_\nUma observa\xc3\xa7\xc3\xa3o sobre as diferentes nota\xc3\xa7\xc3\xb5es\n_START_PARAGRAPH_\nEm alguns livros  \xc3\xa9 utilizado o termo adjunto em vez de cofator. Al\xc3\xa9m disso, ele \xc3\xa9 indicado por A\xe1\xb5\xa2\xe2\xb1\xbc e definido da mesma forma que o cofator:_NEWLINE_Usando esta nota\xc3\xa7\xc3\xa3o, a matriz inversa \xc3\xa9 escrita desta forma:_NEWLINE_Tenha em mente que o adjunto n\xc3\xa3o \xc3\xa9 a adjunta. Na terminologia moderna, a "adjunta" de uma matriz se refere mais frequentemente ao operador adjunto correspondente.'