b'\n_START_ARTICLE_\nTeorema de Mann-Wald\n_START_PARAGRAPH_\nEm teoria das probabilidades, o teorema de Mann\xe2\x80\x93Wald ou teorema do mapeamento cont\xc3\xadnuo afirma que fun\xc3\xa7\xc3\xb5es cont\xc3\xadnuas preservam os limites mesmo se seus argumentos forem sequ\xc3\xaancias de vari\xc3\xa1veis aleat\xc3\xb3rias. Uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o cont\xc3\xadnua, na defini\xc3\xa7\xc3\xa3o do matem\xc3\xa1tico alem\xc3\xa3o Eduard Heine, \xc3\xa9 uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o que mapeia sequ\xc3\xaancias convergentes em sequ\xc3\xaancias convergentes: se , ent\xc3\xa3o . O teorema de Mann\xe2\x80\x93Wald afirma que isto tamb\xc3\xa9m ser\xc3\xa1 verdadeiro se substituirmos a sequ\xc3\xaancia determin\xc3\xadstica  por uma sequ\xc3\xaancia de vari\xc3\xa1veis aleat\xc3\xb3rias  e substituirmos a no\xc3\xa7\xc3\xa3o padr\xc3\xa3o de converg\xc3\xaancia de n\xc3\xbameros reais () por um dos tipos de converg\xc3\xaancia de vari\xc3\xa1veis aleat\xc3\xb3rias. O teorema recebe este nome em homenagem ao matem\xc3\xa1tico norte-americano Henry Mann e ao matem\xc3\xa1tico romeno Abraham Wald, que o provaram pela primeira vez em 1943.\n_START_SECTION_\nProva\n_START_PARAGRAPH_\nEspa\xc3\xa7os  e  est\xc3\xa3o equipados com certas m\xc3\xa9tricas. Para simplificar, denotaremos ambas as m\xc3\xa9tricas usando a nota\xc3\xa7\xc3\xa3o , ainda que as m\xc3\xa9tricas possam ser arbitr\xc3\xa1rias e n\xc3\xa3o necessariamente euclidianas.\n_START_SECTION_\nConverg\xc3\xaancia em probabilidade\n_START_PARAGRAPH_\nFixe um arbitr\xc3\xa1rio . Ent\xc3\xa3o, para qualquer , considere o conjunto  como:_NEWLINE_Este \xc3\xa9 o conjunto de pontos de continuidade  da fun\xc3\xa7\xc3\xa3o , para o qual \xc3\xa9 poss\xc3\xadvel encontrar, na interior da -vizinhan\xc3\xa7a de , um ponto que mapeia fora da -vizinhan\xc3\xa7a de . Por defini\xc3\xa7\xc3\xa3o de continuidade, este conjunto encolhe conforme  vai a zero, de modo que ._NEWLINE_Agora suponha que . Isto implica que, pelo menos, uma das afirma\xc3\xa7\xc3\xb5es seguintes \xc3\xa9 verdadeira: ou , ou , ou . Em termos de probabilidades, isto pode ser escrito como:_NEWLINE_Do lado da m\xc3\xa3o direta, o primeiro converge a zero conforme  para qualquer  fixo, pela defini\xc3\xa7\xc3\xa3o de converg\xc3\xaancia em probabilidade da sequ\xc3\xaancia . O segundo termo converge a zero conforme , j\xc3\xa1 que o conjunto  encolhe a um conjunto vazio. O \xc3\xbaltimo termo \xc3\xa9 identicamente igual a zero pela pressuposi\xc3\xa7\xc3\xa3o do teorema. Por isso, a conclus\xc3\xa3o \xc3\xa9 que:_NEWLINE_o que significa que  converge a  em probabilidade.\n_START_SECTION_\nConverg\xc3\xaancia quase certa\n_START_PARAGRAPH_\nPor defini\xc3\xa7\xc3\xa3o de continuidade da fun\xc3\xa7\xc3\xa3o ,_NEWLINE_em cada ponto  em que  \xc3\xa9 cont\xc3\xadnua. Por isso,_NEWLINE_,_NEWLINE_porque a intersec\xc3\xa7\xc3\xa3o de dois eventos quase certos \xc3\xa9 quase certa._NEWLINE_Por defini\xc3\xa7\xc3\xa3o, conclu\xc3\xadmos que  converge a  quase certamente.'