b'\n_START_ARTICLE_\nElementos Finitos na mec\xc3\xa2nica estrutural\n_START_PARAGRAPH_\nO objetivo do m\xc3\xa9todo dos elementos finitos na mec\xc3\xa2nica estrutural \xc3\xa9 encontrar uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o aproximada que satisfa\xc3\xa7a o sistema de equa\xc3\xa7\xc3\xb5es diferenciais da teoria da elasticidade, obedecendo \xc3\xa0s condi\xc3\xa7\xc3\xb5es de contorno do problema espec\xc3\xadfico, com um grau de precis\xc3\xa3o satisfat\xc3\xb3rio._NEWLINE_Por exemplo: uma barra de a\xc3\xa7o sujeita a esfor\xc3\xa7os, e fixada em uma das extremidades. Para geometrias simples podemos aplicar as f\xc3\xb3rmulas de resist\xc3\xaancia de materiais. Mas com se\xc3\xa7\xc3\xb5es vari\xc3\xa1veis e/ou detalhes como furos ou chavetas, isso n\xc3\xa3o \xc3\xa9 poss\xc3\xadvel. Sabemos pela teoria da elasticidade que a rela\xc3\xa7\xc3\xa3o entre tens\xc3\xb5es e deforma\xc3\xa7\xc3\xb5es resulta em um sistema de equa\xc3\xa7\xc3\xb5es diferenciais parciais._NEWLINE_A fun\xc3\xa7\xc3\xa3o vetorial u(x,y,z) \xc3\xa9 a solu\xc3\xa7\xc3\xa3o procurada e representa o deslocamento de cada ponto do s\xc3\xb3lido em rela\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xa0 condi\xc3\xa7\xc3\xa3o n\xc3\xa3o deformada. Conhecendo-se u, \xc3\xa9 poss\xc3\xadvel, atrav\xc3\xa9s de suas derivadas, determinar as deforma\xc3\xa7\xc3\xb5es e tens\xc3\xb5es em cada ponto da barra._NEWLINE_Um dos m\xc3\xa9todos de res\xc3\xadduos ponderados, normalmente o de Galerkin, \xc3\xa9 usado para determinar uma solu\xc3\xa7\xc3\xa3o aproximada. Entretanto, n\xc3\xa3o se procede na forma usual desse m\xc3\xa9todo, arbitrando-se um polin\xc3\xb4mio e determinando seus coeficientes por integra\xc3\xa7\xc3\xa3o ao longo de todo o volume da barra. _NEWLINE_Em vez disso, a barra \xc3\xa9 dividida em subdom\xc3\xadnios, formando uma malha, contendo elementos volum\xc3\xa9tricos (os elementos finitos) e n\xc3\xb3s na intercess\xc3\xa3o das linhas da malha (pode haver mais n\xc3\xb3s al\xc3\xa9m desses em elementos mais complexos)._NEWLINE_A fun\xc3\xa7\xc3\xa3o solu\xc3\xa7\xc3\xa3o aproximada para os deslocamentos, v\xc3\xa1lida para cada elemento, \xc3\xa9_NEWLINE_=, _NEWLINE_onde  \xc3\xa9 o n\xc3\xbamero de n\xc3\xb3s do elemento._NEWLINE_Cada uma das fun\xc3\xa7\xc3\xb5es  \xc3\xa9 definida de maneira a assumir o valor 1 nas coordenadas correspondentes ao n\xc3\xb3 , e 0 para os demais n\xc3\xb3s do elemento. S\xc3\xa3o tamb\xc3\xa9m iguais a zero em qualquer ponto da malha fora do elemento.  s\xc3\xa3o os coeficientes a determinar, conforme o m\xc3\xa9todo de Galerkin. _NEWLINE_Como pode ser observado, do modo como as fun\xc3\xa7\xc3\xb5es  s\xc3\xa3o constru\xc3\xaddas, os deslocamentos de cada n\xc3\xb3 em cada dire\xc3\xa7\xc3\xa3o coordenada coincidem com um dos coeficiente a determinar._NEWLINE_Isso porque, quando  s\xc3\xa3o as coordenadas do n\xc3\xb3, todas as fun\xc3\xa7\xc3\xb5es presentes nos somat\xc3\xb3rios, exceto  s\xc3\xa3o zero, e , portanto u.\n_START_SECTION_\nC\xc3\xa1lculo das integrais\n_START_PARAGRAPH_\nCom os resultados da se\xc3\xa7\xc3\xa3o anterior, as derivadas reais s\xc3\xa3o espressas em coordenadas locais, referentes ao elemento de refer\xc3\xaancia. Mas elas devem ser integradas ao longo do volume do elemento real. Essa transforma\xc3\xa7\xc3\xa3o de vari\xc3\xa1veis exige a substitui\xc3\xa7\xc3\xa3o de  por , onde  \xc3\xa9 o determinante da matriz jacobiana, e_NEWLINE_ \xc3\xa9 o elemento de integra\xc3\xa7\xc3\xa3o de volume do cubo de refer\xc3\xaancia._NEWLINE_Para codifica\xc3\xa7\xc3\xa3o em computador, o c\xc3\xa1lculo anal\xc3\xadtico dessas integrais n\xc3\xa3o \xc3\xa9 pr\xc3\xa1tico. Em vez disso usa-se a quadratura de Gauss, que transforma a integral num somat\xc3\xb3rio. Os limites das f\xc3\xb3rmulas de Gauss (entre -1 e 1) s\xc3\xa3o os limites do cubo de refer\xc3\xaancia. Essa integral num\xc3\xa9rica \xc3\xa9 exata no caso de elementos c\xc3\xbabicos n\xc3\xa3o distorcidos angularmente.'