b'\n_START_ARTICLE_\nEqua\xc3\xa7\xc3\xa3o da onda\n_START_PARAGRAPH_\nA equa\xc3\xa7\xc3\xa3o da onda \xc3\xa9 uma equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diferencial parcial linear de segunda ordem importante que descreve a propaga\xc3\xa7\xc3\xa3o das ondas \xe2\x80\x93 tais como ocorrem na f\xc3\xadsica \xe2\x80\x93 tais como ondas sonoras, luminosas ou aqu\xc3\xa1ticas. Ela surge em \xc3\xa1reas como a ac\xc3\xbastica, eletromagnetismo, e din\xc3\xa2mica dos fluidos. Historicamente, o problema de uma corda vibrante como as de um instrumento musical foi estudado por Jean le Rond d\'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, e Joseph-Louis Lagrange.\n_START_SECTION_\nIntrodu\xc3\xa7\xc3\xa3o\n_START_PARAGRAPH_\nEqua\xc3\xa7\xc3\xb5es de onda s\xc3\xa3o exemplos de equa\xc3\xa7\xc3\xb5es diferenciais parciais hiperb\xc3\xb3licas, mas existem muitas varia\xc3\xa7\xc3\xb5es._NEWLINE_Na sua forma mais simples, a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o de onda diz respeito a uma vari\xc3\xa1vel de tempo t, uma ou mais vari\xc3\xa1veis \xe2\x80\x8b\xe2\x80\x8bespaciais x\xe2\x82\x81, x\xe2\x82\x82, \xe2\x80\xa6, x\xe2\x82\x99, e uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o escalar u = u (x\xe2\x82\x81, x\xe2\x82\x82, \xe2\x80\xa6, x\xe2\x82\x99; t), cujos valores poderiam modelar o deslocamento de uma onda. A equa\xc3\xa7\xc3\xa3o de onda para u \xc3\xa9:_NEWLINE_onde \xe2\x88\x87\xc2\xb2 \xc3\xa9 o (espacial) Laplaciano e onde c \xc3\xa9 uma constante fixa._NEWLINE__NEWLINE_Solu\xc3\xa7\xc3\xb5es desta equa\xc3\xa7\xc3\xa3o que s\xc3\xa3o inicialmente zero, fora de alguma regi\xc3\xa3o restrita, propagar-se-\xc3\xa3o na regi\xc3\xa3o a uma velocidade fixa em todas as dire\xc3\xa7\xc3\xb5es espaciais, assim como ondas f\xc3\xadsicas a partir de uma perturba\xc3\xa7\xc3\xa3o localizada, a constante c \xc3\xa9 identificada com a velocidade de propaga\xc3\xa7\xc3\xa3o da onda. Esta equa\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xa9 linear, da mesma forma que a soma de quaisquer duas solu\xc3\xa7\xc3\xb5es \xc3\xa9 novamente uma solu\xc3\xa7\xc3\xa3o: na f\xc3\xadsica esta propriedade \xc3\xa9 chamada princ\xc3\xadpio da superposi\xc3\xa7\xc3\xa3o._NEWLINE_A equa\xc3\xa7\xc3\xa3o sozinha n\xc3\xa3o especifica uma solu\xc3\xa7\xc3\xa3o, uma solu\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xbanica \xc3\xa9 normalmente obtida pela fixa\xc3\xa7\xc3\xa3o de um problema com outras condi\xc3\xa7\xc3\xb5es, tais como condi\xc3\xa7\xc3\xb5es iniciais, que prescrevem o valor e a velocidade da onda. Outra classe importante de problemas especifica as condi\xc3\xa7\xc3\xb5es de contorno, para as quais as solu\xc3\xa7\xc3\xb5es representam ondas estacion\xc3\xa1rias, ou harm\xc3\xb4nicos, an\xc3\xa1logos aos harm\xc3\xb4nicos de instrumentos musicais._NEWLINE_Para modelos de fen\xc3\xb4menos de onda dispersivos, aqueles em que a velocidade de propaga\xc3\xa7\xc3\xa3o da onda varia com a frequ\xc3\xaancia da onda, a constante c passa a ter a velocidade de fase:_NEWLINE_A equa\xc3\xa7\xc3\xa3o da onda el\xc3\xa1stica em tr\xc3\xaas dimens\xc3\xb5es descreve a propaga\xc3\xa7\xc3\xa3o de ondas em meio el\xc3\xa1stico isotr\xc3\xb3pico homog\xc3\xaaneo. A maioria dos materiais s\xc3\xb3lidos s\xc3\xa3o el\xc3\xa1sticos, por isso esta equa\xc3\xa7\xc3\xa3o descreve fen\xc3\xb4menos como as ondas s\xc3\xadsmicas na Terra e as ondas de ultra-som usados \xe2\x80\x8b\xe2\x80\x8bpara detectar falhas em materiais. Enquanto linear, esta equa\xc3\xa7\xc3\xa3o tem uma forma mais complexa do que as equa\xc3\xa7\xc3\xb5es acima, como deve contabilizar movimento tanto longitudinal e transversal:_NEWLINE_em que:_NEWLINE_\xce\xbb e \xce\xbc s\xc3\xa3o os chamados par\xc3\xa2metros Lam\xc3\xa9 descrevendo as propriedades el\xc3\xa1sticas do meio,_NEWLINE_\xcf\x81 \xc3\xa9 a densidade,_NEWLINE_f \xc3\xa9 a fun\xc3\xa7\xc3\xa3o fonte (for\xc3\xa7a motriz),_NEWLINE_e u \xc3\xa9 o vetor de deslocamento._NEWLINE_Nota-se que nesta equa\xc3\xa7\xc3\xa3o, tanto a for\xc3\xa7a quanto o deslocamento s\xc3\xa3o grandezas vetorias . Assim, esta equa\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xa9 conhecida como a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o de onda do vetor._NEWLINE_Varia\xc3\xa7\xc3\xb5es da equa\xc3\xa7\xc3\xa3o de onda tamb\xc3\xa9m s\xc3\xa3o encontrados na mec\xc3\xa2nica qu\xc3\xa2ntica, f\xc3\xadsica de plasma e relatividade geral.\n_START_SECTION_\nSolu\xc3\xa7\xc3\xa3o geral\n_START_PARAGRAPH_\nPara uma  equa\xc3\xa7\xc3\xa3o de onda unidimensional \xc3\xa9 incomum que sua  equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diferencial parcial envolva uma solu\xc3\xa7\xc3\xa3o geral relativamente simples de ser encontrada. Desse modo,definindo novas vari\xc3\xa1veis\xe2\x80\x8b\xe2\x80\x8b:_NEWLINE_muda a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o de onda em_NEWLINE_o que leva a solu\xc3\xa7\xc3\xa3o geral:_NEWLINE_ou equivalentemente:_NEWLINE_Em outras palavras, as solu\xc3\xa7\xc3\xb5es da equa\xc3\xa7\xc3\xa3o de onda 1D s\xc3\xa3o somas de um certo "viajando" fun\xc3\xa7\xc3\xa3o F e uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o G. "viajar" significa que a forma destas fun\xc3\xa7\xc3\xb5es arbitr\xc3\xa1rias individuais no que diz respeito a X permanece, no entanto, as fun\xc3\xa7\xc3\xb5es s\xc3\xa3o deslocadas para a direita( fun\xc3\xa7\xc3\xa3o F) ou esquerda ( fun\xc3\xa7\xc3\xa3o G) a raz\xc3\xa3o ct. Isso foi obtido por Jean le Rond d\'Alembert._NEWLINE_Outra forma de chegar a este resultado \xc3\xa9  notar que a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o de onda pode ser reescrita como:_NEWLINE_e, portanto:_NEWLINE_Estas duas \xc3\xbaltimas equa\xc3\xa7\xc3\xb5es s\xc3\xa3o chamadas equa\xc3\xa7\xc3\xb5es de adven\xc3\xa7\xc3\xa3o, uma "viajando" para a esquerda e a outra \xc3\xa0 direita, ambos com velocidade constante c._NEWLINE_Por um problema de valor inicial, as fun\xc3\xa7\xc3\xb5es arbitr\xc3\xa1rias F e G podem ser determinadas para satisfazer as condi\xc3\xa7\xc3\xb5es iniciais:_NEWLINE__NEWLINE_O resultado \xc3\xa9 a f\xc3\xb3rmula D\'Alembert:_NEWLINE_No sentido cl\xc3\xa1ssico, se f (x)\xe2\x88\x88 C\xe1\xb5\x8f e g(x) \xe2\x88\x88 C\xe1\xb5\x8f\xe2\x81\xbb\xc2\xb9 , ent\xc3\xa3o u(t, x) \xe2\x88\x88 C\xe1\xb5\x8f. No entanto, as formas de onda F e G podem tamb\xc3\xa9m ser fun\xc3\xa7\xc3\xb5es generalizadas, como por exemplo a fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de delta. Nesse caso, a solu\xc3\xa7\xc3\xa3o pode ser interpretado como um impulso que se desloca para a direita ou para a esquerda._NEWLINE_A equa\xc3\xa7\xc3\xa3o b\xc3\xa1sica de onda \xc3\xa9 uma equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diferencial linear e por isso vai aderir ao princ\xc3\xadpio da sobreposi\xc3\xa7\xc3\xa3o. Isto significa que o deslocamento de l\xc3\xadquido causada por dois ou mais ondas \xc3\xa9 a soma dos deslocamentos que teriam sido causadas por cada onda individual. Al\xc3\xa9m disso, o comportamento de uma onda pode ser analisada pela divis\xc3\xa3o da onda em componentes, por exemplo, a transformada de Fourier quebra uma onda em componentes senoidais.\n_START_SECTION_\nProblema de Valor Inicial e de Fronteira\n_START_PARAGRAPH_\nO Problema de Valor Inicial e de Fronteira (PVIF) a seguir se trata do problema da corda el\xc3\xa1stica com extremidades fixas e sem a a\xc3\xa7\xc3\xa3o de for\xc3\xa7as externas, tal PVIF consiste no seguinte:_NEWLINE_onde f e g s\xc3\xa3o fun\xc3\xa7\xc3\xb5es tais que_NEWLINE__NEWLINE_A solu\xc3\xa7\xc3\xa3o deste PVIF \xc3\xa9 dada pela soma das solu\xc3\xa7\xc3\xb5es dos problemas da corda el\xc3\xa1stica com deslocamento inicial n\xc3\xa3o-nulo e da corda el\xc3\xa1stica com velocidade inicial n\xc3\xa3o-nula. Para solucionar ambos os problemas, \xc3\xa9 utilizado o m\xc3\xa9todo da separa\xc3\xa7\xc3\xa3o de vari\xc3\xa1veis. _NEWLINE_O problema da corda el\xc3\xa1stica com deslocamento inicial n\xc3\xa3o-nulo consiste em:_NEWLINE_Usando o m\xc3\xa9todo de separa\xc3\xa7\xc3\xa3o de vari\xc3\xa1veis, a solu\xc3\xa7\xc3\xa3o deste PVIF \xc3\xa9_NEWLINE__NEWLINE_Enquanto o problema da corda el\xc3\xa1stica com velocidade inicial n\xc3\xa3o-nula \xc3\xa9:_NEWLINE_mais uma vez pelo m\xc3\xa9todo da separa\xc3\xa7\xc3\xa3o de vari\xc3\xa1veis, temos a solu\xc3\xa7\xc3\xa3o_NEWLINE__NEWLINE_Portanto, temos que a solu\xc3\xa7\xc3\xa3o do PVIF da corda el\xc3\xa1stica com extremidades fixas e sem a a\xc3\xa7\xc3\xa3o de for\xc3\xa7as externas_NEWLINE_com os coeficientes de Fourier calculados por e vistos anteriormente.'