b'\n_START_ARTICLE_\nEqua\xc3\xa7\xc3\xb5es de movimento\n_START_SECTION_\nGraus de liberdade e espa\xc3\xa7o de fase\n_START_PARAGRAPH_\nNos sistemas din\xc3\xa2micos existe sempre um \xc3\xbanico grau de liberdade (uma coordenada ou \xc3\xa2ngulo para determinar a posi\xc3\xa7\xc3\xa3o) e duas vari\xc3\xa1veis de estado que s\xc3\xa3o a vari\xc3\xa1vel associada a esse grau de liberdade e a sua derivada em ordem ao tempo (velocidade ou velocidade angular)._NEWLINE_Num sistema com  graus de liberdade, existem  vari\xc3\xa1veis independentes dependentes do tempo, chamadas coordenadas generalizadas, que ser\xc3\xa3o identificadas pelas letras: , , , . _NEWLINE_Essas vari\xc3\xa1veis poder\xc3\xa3o ser comprimentos, \xc3\xa2ngulos ou qualquer outra grandeza. A derivada em ordem ao tempo de cada uma dessas vari\xc3\xa1veis s\xc3\xa3o as velocidades generalizadas: , , ._NEWLINE_O espa\xc3\xa7o de fase tem dimens\xc3\xb5es e cada ponto nesse espa\xc3\xa7o tem coordenadas (). _NEWLINE_A velocidade de fase, em cada ponto do espa\xc3\xa7o de fase, tem  componentes, (). _NEWLINE_Para poder calcular essa velocidade de fase em qualquer ponto do espa\xc3\xa7o de fase, \xc3\xa9 necess\xc3\xa1rio ter  equa\xc3\xa7\xc3\xb5es para as acelera\xc3\xa7\xc3\xb5es generalizadas  em fun\xc3\xa7\xc3\xa3o das coordenadas e velocidades generalizadas, equa\xc3\xa7\xc3\xb5es essas que s\xc3\xa3o denominadas equa\xc3\xa7\xc3\xb5es de movimento._NEWLINE__NEWLINE_As equa\xc3\xa7\xc3\xb5es de movimento podem ser determinadas identificando todas as for\xc3\xa7as externas, em forma vetorial, e aplicando a segunda lei de Newton. No entanto, em sistemas com v\xc3\xa1rios graus de liberdade e com muitas for\xc3\xa7as esses procedimento pode tornar-se complicado; neste cap\xc3\xadtulo ser\xc3\xa1 introduzido um m\xc3\xa9todo mais simples de obter as equa\xc3\xa7\xc3\xb5es de movimento.\n_START_SECTION_\nSistemas conservativos\n_START_PARAGRAPH_\nNa pr\xc3\xa1tica, os sistemas conservativos s\xc3\xa3o muito raros. No entanto, um sistema idealizado em que n\xc3\xa3o existem for\xc3\xa7as n\xc3\xa3o conservativas \xc3\xa9 muito \xc3\xbatil para estudar o movimento e caraterizar o sistema. O efeito das for\xc3\xa7as n\xc3\xa3o conservativas pode ser adicionado mais tarde no sistema ideal conservativo. Galileo Galilei foi um pioneiro no estudo de sistemas idealizados; imaginando como seria o movimento de um objeto sem for\xc3\xa7as de atrito e a queda livre sem resist\xc3\xaancia do ar, conseguiu descobrir a lei da in\xc3\xa9rcia e a acelera\xc3\xa7\xc3\xa3o da gravidade que mais tarde serviram de base a Isaac Newton para descobrir as leis do movimento._NEWLINE_Considere-se um bloco de massa  sobre uma superf\xc3\xadcie horizontal, ligado a uma mola el\xc3\xa1stica horizontal de constante el\xc3\xa1stica , tal como mostra a figura ao lado. Na situa\xc3\xa7\xc3\xa3o idealizada em que o atrito entre o bloco e a superf\xc3\xadcie for nulo, a energia mec\xc3\xa2nica do sistema de bloco e mola permaneceria constante._NEWLINE_Existe um \xc3\xbanico grau de liberdade, que pode ser a posi\xc3\xa7\xc3\xa3o  do centro do bloco, ao longo de um eixo horizontal com origem na posi\xc3\xa7\xc3\xa3o em que a mola n\xc3\xa3o est\xc3\xa1 nem esticada nem comprimida. A energia mec\xc3\xa2nica do sistema \xc3\xa9,_NEWLINE_e, por ser constante, a sua derivada em ordem ao tempo dever\xc3\xa1 ser nula:_NEWLINE_Excluindo os pontos de equil\xc3\xadbrio em que  \xc3\xa9 nula, a partir dessa equa\xc3\xa7\xc3\xa3o obt\xc3\xa9m-se a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o de movimento do oscilador harm\xc3\xb4nico simples,_NEWLINE_essa equa\xc3\xa7\xc3\xa3o, junto com , s\xc3\xa3o as equa\xc3\xa7\xc3\xb5es de evolu\xc3\xa7\xc3\xa3o do sistema:_NEWLINE_Repare-se que a resolu\xc3\xa7\xc3\xa3o das equa\xc3\xa7\xc3\xb5es de evolu\xc3\xa7\xc3\xa3o permite encontrar as express\xc3\xb5es para  e  em fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de  e a express\xc3\xa3o da energia mec\xc3\xa2nica \xc3\xa9 a express\xc3\xa3o que relaciona  com  diretamente.\n_START_SECTION_\nOsciladores acoplados\n_START_PARAGRAPH_\nO m\xc3\xa9todo descrito na se\xc3\xa7\xc3\xa3o anterior, para obter a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o de movimento a partir da express\xc3\xa3o da energia mec\xc3\xa2nica, pode ser usado tamb\xc3\xa9m em sistemas com v\xc3\xa1rios graus de liberdade. _NEWLINE_Um exemplo \xc3\xa9 o sistema da figura ao lado, com duas molas de constantes el\xc3\xa1sticas  e , em que foram pendurados dois pequenos cilindros de massas  e  _NEWLINE_As coordenadas  e  s\xc3\xa3o as posi\xc3\xa7\xc3\xb5es dos centros de gravidade dos dois cilindros, medidas na dire\xc3\xa7\xc3\xa3o vertical e no sentido de baixo para cima. Como essas duas vari\xc3\xa1veis s\xc3\xa3o independentes, trata-se de um sistema com dois graus de liberdade. _NEWLINE_As quatro vari\xc3\xa1veis de estado s\xc3\xa3o ,  e as velocidades dos dois cilindros,  e ._NEWLINE_\xc3\x89 conveniente medir  e  a partir de origens diferentes, como se mostra na figura anterior, colocando as duas origens nos pontos onde estar\xc3\xa3o os centros de massa dos dois cilindros, quando nenhuma das duas molas estiver nem esticada nem comprimida._NEWLINE_Desprezando as massas das molas em compara\xc3\xa7\xc3\xa3o com as massas dos cilindros, a energia cin\xc3\xa9tica \xc3\xa9 unicamente a soma das energias cin\xc3\xa9ticas dos cilindros e a energia potencial grav\xc3\xadtica ser\xc3\xa1 a soma das energias potenciais dos cilindros. A elonga\xc3\xa7\xc3\xa3o da mola de cima \xc3\xa9 igual a  e a elonga\xc3\xa7\xc3\xa3o da mola de baixo \xc3\xa9 . A energia mec\xc3\xa2nica total do sistema \xc3\xa9,_NEWLINE_em que  e  s\xc3\xa3o as alturas dos dois pontos onde foram fixadas as origens das coordenadas  e . Ignorando a resist\xc3\xaancia do ar, a energia permanecer\xc3\xa1 constante e a sua derivada em ordem ao tempo dever\xc3\xa1 ser nula:_NEWLINE_Como as duas velocidades generalizadas  e  s\xc3\xa3o independentes, variando uma em quanto a outra permanece fixa, a express\xc3\xa3o anterior dever\xc3\xa1 permanecer nula. _NEWLINE_Ou seja, as duas derivadas parciais da express\xc3\xa3o anterior, em ordem a  e  dever\xc3\xa3o ser nulas:_NEWLINE_Essas s\xc3\xa3o as duas equa\xc3\xa7\xc3\xb5es de movimento, que tamb\xc3\xa9m podem ser escritas,_NEWLINE_existe um \xc3\xbanico ponto de equil\xc3\xadbrio, em que essas duas derivadas s\xc3\xa3o nulas, com coordenadas:_NEWLINE_Essas coordenadas correspondem \xc3\xa0s posi\xc3\xa7\xc3\xb5es onde os cilindros estar\xc3\xa3o quando as for\xc3\xa7as el\xc3\xa1sticas das molas equilibrarem os pesos dos cilindros. _NEWLINE_\xc3\x89 poss\xc3\xadvel eliminar o termo constante  nas duas equa\xc3\xa7\xc3\xb5es de movimento, por meio da substitui\xc3\xa7\xc3\xa3o de vari\xc3\xa1veis , , que transforma as equa\xc3\xa7\xc3\xb5es em,_NEWLINE_a soma dos tr\xc3\xaas \xc3\xbaltimos termos em cada equa\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xa9 zero, pela defini\xc3\xa7\xc3\xa3o do ponto de equil\xc3\xadbrio, obtendo-se,_NEWLINE_as outras duas equa\xc3\xa7\xc3\xb5es de evolu\xc3\xa7\xc3\xa3o s\xc3\xa3o  e  (as derivadas de  e  s\xc3\xa3o iguais \xc3\xa0s derivadas de  e ).\n_START_SECTION_\nEnergia cin\xc3\xa9tica de rota\xc3\xa7\xc3\xa3o\n_START_PARAGRAPH_\nNo movimento de transla\xc3\xa7\xc3\xa3o de um corpo r\xc3\xadgido, em cada instante todas as partes do corpo deslocam-se com a mesma velocidade  e, com tal, a energia cin\xc3\xa9tica total \xc3\xa9 igual a um meio da massa total vezes o valor da velocidade ao quadrado. _NEWLINE_No caso mais geral do movimento de rota\xc3\xa7\xc3\xa3o sobreposto \xc3\xa0 transla\xc3\xa7\xc3\xa3o, para calcular a energia cin\xc3\xa9tica total ser\xc3\xa1 necess\xc3\xa1rio ter em conta que as velocidades de diferentes partes do objeto s\xc3\xa3o diferentes. _NEWLINE_A velocidade de cada ponto no corpo, em fun\xc3\xa7\xc3\xa3o da velocidade angular  e da velocidade  de um ponto fixo no corpo r\xc3\xadgido, \xc3\xa9:_NEWLINE_em que  \xc3\xa9 a posi\xc3\xa7\xc3\xa3o do ponto relativa ao ponto de refer\xc3\xaancia O._NEWLINE_A energia cin\xc3\xa9tica total obt\xc3\xa9m-se somando a energia de todas as partes infinitesimais do corpo r\xc3\xadgido, com massa ,_NEWLINE_O valor da velocidade ao quadrado \xc3\xa9,_NEWLINE_O m\xc3\xb3dulo de  \xc3\xa9 , em que  \xc3\xa9 a dist\xc3\xa2ncia desde o ponto at\xc3\xa9 um eixo que passa pelo ponto O, paralelo a . substituindo na express\xc3\xa3o da energia cin\xc3\xa9tica,_NEWLINE_O integral no primeiro termo \xc3\xa9 igual \xc3\xa0 massa total . No centro de massa, o \xc3\xbanico referencial em que o valor m\xc3\xa9dio do vetor posi\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xa9 nulo \xc3\xa9 o referencial em que a origem est\xc3\xa1 exatamente no centro de massa. Assim sendo, se o ponto de refer\xc3\xaancia O for o centro de massa, o terceiro integral ser\xc3\xa1 nulo e obt\xc3\xa9m-se_NEWLINE_em que  \xc3\xa9 o momento de in\xc3\xa9rcia em rela\xc3\xa7\xc3\xa3o a um eixo que passa pelo centro de massa, paralelo a .\n_START_SECTION_\nEsfera num plano inclinado\n_START_PARAGRAPH_\nUm exemplo em que existe rota\xc3\xa7\xc3\xa3o plana combinada com acelera\xc3\xa7\xc3\xa3o do centro de massa \xc3\xa9 o caso de uma esfera, de massa  e raio , que desce num plano inclinado, como na figura abaixo. _NEWLINE_Se a esfera rola sem deslizar, o \xc3\xa2ngulo de rota\xc3\xa7\xc3\xa3o  estar\xc3\xa1 relacionado com a dist\xc3\xa2ncia percorrida pelo centro de massa C, para rodas que rolam sem derrapar:_NEWLINE_conclui-se ent\xc3\xa3o que o sistema tem um \xc3\xbanico grau de liberdade, que pode ser o \xc3\xa2ngulo  que a esfera roda desde o instante inicial no topo do plano inclinado. _NEWLINE_O valor da velocidade angular \xc3\xa9  e o valor da velocidade do centro de massa \xc3\xa9 ._NEWLINE_Escolhendo a posi\xc3\xa7\xc3\xa3o inicial, no topo do plano inclinado, como o ponto onde a energia potencial grav\xc3\xadtica \xc3\xa9 nula, ap\xc3\xb3s ter percorrido a dist\xc3\xa2ncia  a esfera ter\xc3\xa1 descido uma altura , em que  \xc3\xa9 o \xc3\xa2ngulo de inclina\xc3\xa7\xc3\xa3o do plano inclinado._NEWLINE_A energia mec\xc3\xa2nica total \xc3\xa9,_NEWLINE_Enquanto a esfera role sem derrapar, a for\xc3\xa7a de atrito com a superf\xc3\xadcie do plano ser\xc3\xa1 atrito est\xc3\xa1tico, que n\xc3\xa3o altera a energia mec\xc3\xa2nica. A for\xc3\xa7a de atrito est\xc3\xa1tico, tal como a for\xc3\xa7a de rea\xc3\xa7\xc3\xa3o normal, s\xc3\xa3o for\xc3\xa7as de liga\xc3\xa7\xc3\xa3o que ter\xc3\xa3o os valores necess\xc3\xa1rios para manter a transla\xc3\xa7\xc3\xa3o ao longo da superf\xc3\xadcie do plano e a rela\xc3\xa7\xc3\xa3o entre o \xc3\xa2ngulo de rota\xc3\xa7\xc3\xa3o e a dist\xc3\xa2ncia percorrida. Se alguma dessas for\xc3\xa7as n\xc3\xa3o tivesse o valor necess\xc3\xa1rio para manter esse tipo de movimento, o \xc3\xa2ngulo e a dist\xc3\xa2ncia percorrida tornavam-se dois graus de liberdade independentes._NEWLINE_Ignorando a resist\xc3\xaancia do ar, a energia mec\xc3\xa2nica conserva-se e a sua derivada em ordem ao tempo dever\xc3\xa1 ser nula. Tendo em conta que o momento de in\xc3\xa9rcia da esfera em rela\xc3\xa7\xc3\xa3o ao seu centro de massa \xc3\xa9 , derivando em ordem ao tempo e igualando a zero, obt\xc3\xa9m-se a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o de movimento,_NEWLINE_e a express\xc3\xa3o para a acelera\xc3\xa7\xc3\xa3o angular  \xc3\xa9,_NEWLINE_Se a esfera parte do repouso, no ponto inicial a sua energia cin\xc3\xa9tica \xc3\xa9 nula e, na parte mais baixa do plano inclinado toda a energia potencial grav\xc3\xadtica perdida,  ter\xc3\xa1 sido convertida em energia cin\xc3\xa9tica:_NEWLINE_e a velocidade do centro de massa C, no fim do plano inclinado, ser\xc3\xa1,\n_START_SECTION_\nSistemas conservativos com v\xc3\xa1rios graus de liberdade\n_START_PARAGRAPH_\nSempre que a energia cin\xc3\xa9tica dependa unicamente das velocidades generalizadas e a energia potencial dependa unicamente das coordenadas generalizadas, as derivadas parciais de , em ordem \xc3\xa0s velocidades generalizadas, ser\xc3\xa3o todas nulas. Em outros casos mais gerais isso j\xc3\xa1 n\xc3\xa3o ser\xc3\xa1 certo e ser\xc3\xa1 preciso aplicar as equa\xc3\xa7\xc3\xb5es de Lagrange para encontrar as equa\xc3\xa7\xc3\xb5es de movimento._NEWLINE_Um exemplo com dois graus de liberdade, \xc3\xa9 o sistema com duas roldanas fixas e uma roldana m\xc3\xb3vel ilustrado na figura ao lado, em que as massas das duas roldanas fixas \xc3\xa9 , a massa da roldana m\xc3\xb3vel \xc3\xa9 , a massa do cilindro do lado esquerdo \xc3\xa9 , a massa do cilindro do lado direito \xc3\xa9  e a massa do cilindro do meio mais o suporte da roldana m\xc3\xb3vel \xc3\xa9 . Pretende-se determinar as acelera\xc3\xa7\xc3\xb5es dos 3 cilindros._NEWLINE_As posi\xc3\xa7\xc3\xb5es dos centros de massa dos dois cilindros nos extremos podem ser identificadas pelas vari\xc3\xa1veis  e  escolhidas na figura. A posi\xc3\xa7\xc3\xa3o do centro da roldana m\xc3\xb3vel \xc3\xa9 identificado com a vari\xc3\xa1vel . _NEWLINE_A posi\xc3\xa7\xc3\xa3o do cilindro do meio ser\xc3\xa1 igual a  mais uma constante. Como existe uma restri\xc3\xa7\xc3\xa3o, que o comprimento do fio seja constante, unicamente duas dessas vari\xc3\xa1veis ser\xc3\xa3o independentes e pode escolher-se  como vari\xc3\xa1vel dependente. Se o fio n\xc3\xa3o desliza sobre as roldanas, a velocidade angular de cada roldana dever\xc3\xa1 ser igual \xc3\xa0 velocidade do fio, relativa ao centro da roldana, dividida pelo raio da roldana.Assim sendo, o sistema tem dois graus de liberdade,  e .\n_START_SECTION_\nP\xc3\xaandulo de Wilberforce\n_START_PARAGRAPH_\nO p\xc3\xaandulo de Wilberforce (figura ao lado) \xc3\xa9 constitu\xc3\xaddo por um cilindro pendurado de uma mola vertical muito comprida. Quando uma mola \xc3\xa9 esticada ou comprimida, cada espira muda ligeiramente de tamanho; no p\xc3\xaandulo de Wilberforce, o n\xc3\xbamero elevado de espiras na mola faz com que seja mais vis\xc3\xadvel essa mudan\xc3\xa7a, de forma que enquanto a mola oscila, tamb\xc3\xa9m se enrola ou desenrola, fazendo rodar o cilindro em rela\xc3\xa7\xc3\xa3o ao eixo_NEWLINE_vertical._NEWLINE_O sistema tem dois graus de liberdade, a altura  do centro de massa do cilindro e o \xc3\xa2ngulo de rota\xc3\xa7\xc3\xa3o do cilindro \xc3\xa0 volta do eixo vertical, . Se  e  s\xc3\xa3o escolhidos na posi\xc3\xa7\xc3\xa3o de equil\xc3\xadbrio, \xc3\xa9 poss\xc3\xadvel ignorar a energia potencial grav\xc3\xadtica que poder\xc3\xa1 ser eliminada das equa\xc3\xa7\xc3\xb5es com uma mudan\xc3\xa7a de vari\xc3\xa1veis, tal como foi feito no caso dos osciladores acoplados. A energia potencial el\xc3\xa1stica tem 3 termos, que dependem da elonga\xc3\xa7\xc3\xa3o da mola $z$ e do seu \xc3\xa2ngulo de rota\xc3\xa7\xc3\xa3o ; a energia mec\xc3\xa2nica total \xc3\xa9,_NEWLINE_em que ,  e  s\xc3\xa3o constantes el\xc3\xa1sticas da mola. Ignorando o atrito com o ar e outras for\xc3\xa7as dissipativas, a conserva\xc3\xa7\xc3\xa3o da energia mec\xc3\xa2nica implica,_NEWLINE_Como a energia cin\xc3\xa9tica depende unicamente das velocidades generalizadas e a energia potencial depende unicamente das coordenadas generalizadas, as equa\xc3\xa7\xc3\xb5es de movimento s\xc3\xa3o as duas derivadas parciais da equa\xc3\xa7\xc3\xa3o anterior em ordem a  e , que conduzem a:_NEWLINE_se o p\xc3\xaandulo \xc3\xa9 posto a oscilar, sem rodar, a amplitude das oscila\xc3\xa7\xc3\xb5es lineares decresce gradualmente, enquanto que o cilindro come\xc3\xa7a a rodar com oscila\xc3\xa7\xc3\xb5es de tor\xc3\xa7\xc3\xa3o que atingem uma amplitude m\xc3\xa1xima quando o cilindro deixa de se deslocar na vertical. A amplitude das oscila\xc3\xa7\xc3\xb5es de tor\xc3\xa7\xc3\xa3o come\xc3\xa7a logo a diminuir \xc3\xa0 medida que a oscila\xc3\xa7\xc3\xa3o linear cresce novamente. Essa intermit\xc3\xaancia entre deslocamento vertical e rota\xc3\xa7\xc3\xa3o repete-se indefinidamente._NEWLINE_A proje\xc3\xa7\xc3\xa3o do retrato de fase nas vari\xc3\xa1veis  e  \xc3\xa9 apresentada na figura abaixo._NEWLINE_Neste sistema existem duas frequ\xc3\xaancias angulares. A frequ\xc3\xaancia angular longitudinal e a frequ\xc3\xaancia angular de tor\xc3\xa7\xc3\xa3o,_NEWLINE_O cilindro num p\xc3\xaandulo de Wilberforce costuma ter quatro porcas que podem ser deslocadas, aumentando ou diminuindo o momento de in\xc3\xa9rcia, para conseguir que as duas frequ\xc3\xaancias fiquem muito pr\xc3\xb3ximas e o efeito de altern\xc3\xa2ncia entre oscila\xc3\xa7\xc3\xb5es lineares e rotacionais seja mais vis\xc3\xadvel. Os valores dos par\xc3\xa2metros usados no exemplo acima, foram escolhidos de forma a garantir duas frequ\xc3\xaancias iguais.\n_START_SECTION_\nSistemas com momento de in\xc3\xa9rcia vari\xc3\xa1vel\n_START_PARAGRAPH_\nNo caso de um sistema com movimento de transla\xc3\xa7\xc3\xa3o, se a energia cin\xc3\xa9tica permanece constante, o valor da velocidade tamb\xc3\xa9m ser\xc3\xa1 constante. Se o sistema tamb\xc3\xa9m tiver movimento de rota\xc3\xa7\xc3\xa3o, a sua velocidade angular pode aumentar ou diminuir, sem que isso implique altera\xc3\xa7\xc3\xa3o da energia cin\xc3\xa9tica. A raz\xc3\xa3o \xc3\xa9 porque as partes do sistema podem mudar de posi\xc3\xa7\xc3\xb5es relativas, alterando o momento de in\xc3\xa9rcia a pesar de se manter a mesma massa total. Se a energia cin\xc3\xa9tica de rota\xc3\xa7\xc3\xa3o for constante, o aumento ou diminui\xc3\xa7\xc3\xa3o do momento de in\xc3\xa9rcia implicar\xc3\xa1 diminui\xc3\xa7\xc3\xa3o ou aumento da velocidade angular._NEWLINE_Esse princ\xc3\xadpio \xc3\xa9 aproveitado no desporto do salto para a \xc3\xa1gua. O saltador sai da plataforma com uma velocidade angular reduzida, que pode aumentar drasticamente se diminuir o seu momento de in\xc3\xa9rcia encolhendo o corpo. No fim do salto o saltador estende o seu corpo para aumentar o momento de in\xc3\xa9rcia e assim reduzir a sua velocidade angular antes de entrar na \xc3\xa1gua (figura ao lado)._NEWLINE_Uma abordagem simples para analisar a trajet\xc3\xb3ria do saltador na figura consiste em admitir que se trata de um \xc3\xbanico corpo r\xc3\xadgido com momento de in\xc3\xa9rcia vari\xc3\xa1vel. Como tal, o movimento do saltador ter\xc3\xa1 3 graus de liberdade: duas coordenadas  e  para localizar a posi\xc3\xa7\xc3\xa3o do centro de massa em cada instante, e o \xc3\xa2ngulo de rota\xc3\xa7\xc3\xa3o . Um estudo mais completo poderia ser feito introduzindo mais graus de liberdade para definir a posi\xc3\xa7\xc3\xa3o do corpo do saltador em cada instante._NEWLINE_A energia mec\xc3\xa2nica total \xc3\xa9_NEWLINE_Ignorando a resist\xc3\xaancia do ar, a energia permanece constante; derivando em ordem ao tempo, e tendo em conta que  tamb\xc3\xa9m depende do tempo, obt\xc3\xa9m-se,_NEWLINE_Como a energia cin\xc3\xa9tica depende apenas das velocidades e a energia potencial depende apenas das coordenadas, as 3 equa\xc3\xa7\xc3\xb5es de movimento podem ser obtidas calculando as derivadas parciais da express\xc3\xa3o anterior, em ordem a ,  e ,_NEWLINE_as duas primeiras equa\xc3\xa7\xc3\xb5es s\xc3\xa3o as mesmas equa\xc3\xa7\xc3\xb5es do lan\xc3\xa7amento de proj\xc3\xa9teis, ou seja, que a componente horizontal da acelera\xc3\xa7\xc3\xa3o do centro de massa \xc3\xa9 nula e a componente vertical da acelera\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xa9 igual a . A terceira equa\xc3\xa7\xc3\xa3o pode tamb\xc3\xa9m ser escrita como a derivada do produto do momento de in\xc3\xa9rcia pela velocidade angular:_NEWLINE_Conclui-se que o produto do momento de in\xc3\xa9rcia pela velocidade angular, , denominado momento angular, permanece constante.'