b'\n_START_ARTICLE_\nPrawdopodobie\xc5\x84stwo\n_START_SECTION_\nRys historyczny\n_START_PARAGRAPH_\nPocz\xc4\x85tk\xc3\xb3w rachunku prawdopodobie\xc5\x84stwa nale\xc5\xbcy upatrywa\xc4\x87 w hazardzie: obserwacja r\xc3\xb3\xc5\xbcnego rodzaju gier losowych doprowadzi\xc5\x82a do sformu\xc5\x82owania pierwszych stwierdze\xc5\x84 i wniosk\xc3\xb3w natury formalnej dotycz\xc4\x85cych mo\xc5\xbcliwo\xc5\x9bci i szans zaj\xc5\x9bcia zdarze\xc5\x84. Pierwsze \xc5\x9bcis\xc5\x82e uwagi dotycz\xc4\x85ce prawdopodobie\xc5\x84stwa wymieniali ze sob\xc4\x85 w swojej korespondencji (1654) Pierre de Fermat i Blaise Pascal. Z kolei Christiaan Huygens (1657) jako pierwszy opisa\xc5\x82 zagadnienie z naukowego punktu widzenia. Jakob Bernoulli w swoim dziele Ars Conjectandi (po\xc5\x9bmiertnie, 1713) i Abraham de Moivre w Doctrine of Chances (1718) traktuj\xc4\x85 przedmiot jako dzia\xc5\x82 matematyki._NEWLINE_To podej\xc5\x9bcie doprowadzi\xc5\x82o do sformu\xc5\x82owania przez Pierre\xe2\x80\x99a Simona de Laplace\xe2\x80\x99a klasycznej definicji prawdopodobie\xc5\x84stwa (1812). Mimo tego, i\xc5\xbc t\xc5\x82umaczy\xc5\x82a ona wiele interesuj\xc4\x85cych wtedy zagorza\xc5\x82ych graczy zjawisk, a ponadto dawa\xc5\x82a poprawne odpowiedzi, to zawiera ona zasadniczy b\xc5\x82\xc4\x85d logiczny. Odwo\xc5\x82uje si\xc4\x99 ona do mo\xc5\xbcliwo\xc5\x9bci wyodr\xc4\x99bnienia tzw. zdarze\xc5\x84 elementarnych, kt\xc3\xb3re maj\xc4\x85 by\xc4\x87 \xe2\x80\x9ejednakowo mo\xc5\xbcliwe\xe2\x80\x9d, czyli \xe2\x80\x9ejednakowo prawdopodobne\xe2\x80\x9d \xe2\x80\x93 definiens odwo\xc5\x82uje si\xc4\x99 do definiendum, jest to wi\xc4\x99c przyk\xc5\x82ad b\xc5\x82\xc4\x99dnego ko\xc5\x82a w definiowaniu._NEWLINE_Pewnym rozwi\xc4\x85zaniem bol\xc4\x85czek definicji klasycznej by\xc5\x82a przedstawiona przez Georges\xe2\x80\x99a-Louisa Leclerca, hrabiego Buffon definicja geometryczna (1733), kt\xc3\xb3ra umo\xc5\xbcliwia\xc5\x82a badanie prawdopodobie\xc5\x84stw zdarze\xc5\x84 niesko\xc5\x84czonych w oparciu o przypisanie im miar podzbior\xc3\xb3w w zbiorze miary jednostkowej, np. d\xc5\x82ugo\xc5\x9bci sum odcink\xc3\xb3w le\xc5\xbc\xc4\x85cych w odcinku jednostkowym, czy p\xc3\xb3l powierzchni figur zawartych w kwadracie o jednostkowym polu (zob. ig\xc5\x82a Buffona). Przy badaniu tej definicji Joseph Louis Fran\xc3\xa7ois Bertrand zauwa\xc5\xbcy\xc5\x82 paradoksalny problem opisywany dzisiaj jego nazwiskiem, tzw. paradoks Bertranda, kt\xc3\xb3ry jest w istocie pytaniem o w\xc5\x82a\xc5\x9bciwy dob\xc3\xb3r metody okre\xc5\x9blania prawdopodobie\xc5\x84stwa \xe2\x80\x93 to w\xc5\x82a\xc5\x9bnie tego rodzaju paradoksom mia\xc5\x82y zapobiega\xc4\x87 interpretacje cz\xc4\x99stotliwo\xc5\x9bciowa i subiektywistyczna._NEWLINE_Definicja Laplace\xe2\x80\x99a nie mo\xc5\xbce te\xc5\xbc by\xc4\x87 stosowana w przypadku (potencjalnie) niesko\xc5\x84czenie d\xc5\x82ugich ci\xc4\x85g\xc3\xb3w zdarze\xc5\x84. Z problemem tym pr\xc3\xb3bowano sobie poradzi\xc4\x87 na kilka sposob\xc3\xb3w. Jednym z nich by\xc5\x82a tzw. definicja cz\xc4\x99stotliwo\xc5\x9bciowa Richarda von Misesa (1931), kt\xc3\xb3ry zaproponowa\xc5\x82 zdefiniowanie prawdopodobie\xc5\x84stwa jako granic\xc4\x99 ci\xc4\x85gu cz\xc4\x99sto\xc5\x9bci serii zdarze\xc5\x84, czyli niejako ekstrapolowanie uzyskiwanych rezultat\xc3\xb3w do\xc5\x9bwiadczalnych na przypadek niesko\xc5\x84czony. Definicja ta r\xc3\xb3wnie\xc5\xbc jest uwa\xc5\xbcana za b\xc5\x82\xc4\x99dn\xc4\x85, gdy\xc5\xbc nie m\xc3\xb3wi ona nic o warunkach istnienia wspomnianej granicy; formalizacj\xc4\x85 tej zgodnej z intuicj\xc4\x85 definicji s\xc4\x85 r\xc3\xb3\xc5\xbcnorodne wersje prawa wielkich liczb._NEWLINE_Definicja geometryczna okaza\xc5\x82a si\xc4\x99 niejako najlepszym z powy\xc5\xbcszych pomys\xc5\x82\xc3\xb3w, gdy\xc5\xbc korzystaj\xc4\x85c z nowo powsta\xc5\x82ej teorii miary i teorii ca\xc5\x82kowania opracowanej przez Henriego L\xc3\xa9ona Lebesgue\xe2\x80\x99a uog\xc3\xb3lniaj\xc4\x85cych poj\xc4\x99cia d\xc5\x82ugo\xc5\x9bci, pola powierzchni i obj\xc4\x99to\xc5\x9bci, Andriej Niko\xc5\x82ajewicz Ko\xc5\x82mogorow (1933) poda\xc5\x82 pierwsz\xc4\x85 aksjomatyczn\xc4\x85 definicj\xc4\x99 prawdopodobie\xc5\x84stwa, kt\xc3\xb3ra zosta\xc5\x82a szeroko przyj\xc4\x99ta jako w\xc5\x82a\xc5\x9bciwe okre\xc5\x9blenie tego poj\xc4\x99cia. Z tego punktu widzenia paradoks Bertranda jest \xc5\xbale zaadresowanym pytaniem: definicja Ko\xc5\x82mogorowa nie rozstrzyga, kt\xc3\xb3ry z modeli jest lepszy, lecz umo\xc5\xbcliwia wyznaczenie prawdopodobie\xc5\x84stwa zgodnie z wybranym; pewne rozwi\xc4\x85zanie paradoksu przedstawi\xc5\x82 Edwin Thompson Jaynes._NEWLINE_Alternatywnym do wspomnianej wy\xc5\xbcej aksjomatyzacji sposobem wprowadzania formalnej teorii prawdopodobie\xc5\x84stwa mo\xc5\xbce by\xc4\x87 algebraiczna aksjomatyzacja zwana algebr\xc4\x85 zmiennych losowych opisana przez Melvina Dale\xe2\x80\x99a Springera w 1977 roku, cho\xc4\x87 nie jest to jedyna mo\xc5\xbcliwo\xc5\x9b\xc4\x87.\n_START_SECTION_\nDefinicja bayesowska\n_START_PARAGRAPH_\nPrawdopodobie\xc5\x84stwo w uj\xc4\x99ciu bayesowskim (subiektywnym), r\xc3\xb3wnie\xc5\xbc wywodzi si\xc4\x99 z definicji Laplace\xe2\x80\x99a, i za Jaynesem, opiera si\xc4\x99 o rozszerzenie logicznego rachunku zda\xc5\x84 o teori\xc4\x99 prawdopodobie\xc5\x84stwa, jako pomost mi\xc4\x99dzy rozumowaniem dedukcyjnym a indukcyjnym._NEWLINE_Prawdopodobie\xc5\x84stwo jest w tym przypadku interpretowane jako miara pewno\xc5\x9bci, jak\xc4\x85 mo\xc5\xbcna przypisa\xc4\x87 r\xc3\xb3\xc5\xbcnym hipotezom \xe2\x80\x93 modelowanej matematycznie jako rozk\xc5\x82ad prawdopodobie\xc5\x84stwa._NEWLINE_Bayesowska interpretacja prawdopodobie\xc5\x84stwa stanowi podstaw\xc4\x99 wnioskowania bayesowskiego w statystyce.\n_START_SECTION_\nPrzyk\xc5\x82ady\n_START_PARAGRAPH_\nPrzyjmuj\xc4\x85c, i\xc5\xbc rzut monet\xc4\x85 mo\xc5\xbce zako\xc5\x84czy\xc4\x87 si\xc4\x99 wy\xc5\x82\xc4\x85cznie na dwa sposoby: wyrzuceniem or\xc5\x82a  albo reszki , to zak\xc5\x82adaj\xc4\x85c, \xc5\xbce te dwa zdarzenia elementarne s\xc4\x85 r\xc3\xb3wnie prawdopodobne mo\xc5\xbcna skorzysta\xc4\x87 z klasycznej definicji prawdopodobie\xc5\x84stwa. Wtedy  jest dwuelementowy, zatem  Ponadto tak zdarzenie  jak i zdarzenie  s\xc4\x85 zbiorami jednoelementowymi, tzn.  dla  lub  co oznacza, \xc5\xbce prawdopodobie\xc5\x84stwo wyrzucenia tak or\xc5\x82a, jak i reszki wynosi  czyli i\xc5\xbc zdarzenia te istotnie s\xc4\x85 r\xc3\xb3wnie prawdopodobne. W przypadku rzutu dwoma monetami przestrze\xc5\x84 zdarze\xc5\x84 elementarnych  jest czteroelementowa,  podczas gdy ka\xc5\xbcde ze zdarze\xc5\x84  mo\xc5\xbcna uzyska\xc4\x87 tylko na jeden spos\xc3\xb3b, sk\xc4\x85d  Z kolei prawdopodobie\xc5\x84stwo zdarzenia  polegaj\xc4\x85cego na wyrzuceniu co najmniej jednego or\xc5\x82a wynosi  gdy\xc5\xbc zdarzeniu  sprzyjaj\xc4\x85 zdarzenia elementarne _NEWLINE_Wykonuj\xc4\x85c do\xc5\x9bwiadczenie polegaj\xc4\x85ce na stukrotnym rzucie monet\xc4\x85, mo\xc5\xbcna uzyska\xc4\x87 or\xc5\x82a w  przypadkach, za\xc5\x9b w tysi\xc4\x85ckrotnym \xe2\x80\x93 przyk\xc5\x82adowo  rzut\xc3\xb3w zako\xc5\x84czy\xc5\x82o si\xc4\x99 wyrzuceniem or\xc5\x82a. Oznacza to, \xc5\xbce cz\xc4\x99sto\xc5\x9b\xc4\x87 wypadania or\xc5\x82a by\xc5\x82a zmienna i wynosi\xc5\x82a odpowiednio  oraz  Kontynuowanie w niesko\xc5\x84czono\xc5\x9b\xc4\x87 do\xc5\x9bwiadczenia przekona\xc5\x82oby niezbicie eksperymentatora, i\xc5\xbc moneta jest symetryczna, w przypadku gdy r\xc3\xb3wno po\xc5\x82owa rzut\xc3\xb3w zako\xc5\x84czy\xc5\x82aby si\xc4\x99 wyrzuceniem or\xc5\x82a, b\xc4\x85d\xc5\xba wprost przeciwnie, gdyby ostateczny wynik nie podzieli\xc5\x82by si\xc4\x99 r\xc3\xb3wno mi\xc4\x99dzy or\xc5\x82a i reszk\xc4\x99. Intuicj\xc4\x99 t\xc4\x99 pr\xc3\xb3buje odda\xc4\x87 definicja von Misesa: stosunek liczby wyrzuconych or\xc5\x82\xc3\xb3w do liczby wszystkich pr\xc3\xb3b przy kontynuowaniu do\xc5\x9bwiadczenia w niesko\xc5\x84czono\xc5\x9b\xc4\x87 \xe2\x80\x93 je\xc5\xbceli  to moneta b\xc4\x99dzie symetryczna. Tego rodzaju rozumowanie rodzi problemy natury poznawczej: prawdopodobie\xc5\x84stwo dane jest a posteriori, a nie a priori, co uniemo\xc5\xbcliwia jakiekolwiek przewidywanie szans zaj\xc5\x9bcia zdarzenia._NEWLINE_Wyrzucenie symetryczn\xc4\x85 monet\xc4\x85  razy z rz\xc4\x99du reszki nie oznacza bynajmniej, \xc5\xbce bardziej prawdopodobne b\xc4\x99dzie wyrzucenie w  rzucie or\xc5\x82a (tzw. \xe2\x80\x9eprawo serii\xe2\x80\x9d), czy te\xc5\xbc reszki (prze\xc5\x82amanie serii). Z drugiej strony czy wyrzuciwszy  razy reszk\xc4\x99 w  rzutach mo\xc5\xbcna mie\xc4\x87 uzasadnione zastrze\xc5\xbcenia co do symetryczno\xc5\x9bci monety, tzn. czy istotnie w ka\xc5\xbcdym rzucie prawdopodobie\xc5\x84stwo wyrzucenia or\xc5\x82a  wynosi ?_NEWLINE_Prawdopodobie\xc5\x84stwo losowego wybrania punktu z przedzia\xc5\x82u  zawartego w przedziale  oznaczanego jako zdarzenie  jest r\xc3\xb3wne stosunkowi mo\xc5\xbcliwo\xc5\x9bci wybrania punktu z pierwszego przedzia\xc5\x82u do wybrania punktu z drugiego, przy czym szanse te s\xc4\x85 intuicyjnie proporcjonalne do ich d\xc5\x82ugo\xc5\x9bci. Skoro d\xc5\x82ugo\xc5\x9b\xc4\x87 przedzia\xc5\x82u  wynosi  to geometryczne prawdopodobie\xc5\x84stwo zdarzenia  wynosi _NEWLINE_Do\xc5\x9bwiadczenie losowego rzucania monet\xc4\x85 w niesko\xc5\x84czono\xc5\x9b\xc4\x87 mo\xc5\xbcna sformalizowa\xc4\x87 za Ko\xc5\x82mogorowem przy pomocy przestrzeni probabilistycznej: wynikiem do\xc5\x9bwiadczenia jest losowy ci\xc4\x85g element\xc3\xb3w  oznaczaj\xc4\x85cych dwa mo\xc5\xbcliwe wyniki pojedynczej pr\xc3\xb3by, tzn. Zdarzeniami s\xc4\x85 dowolne ci\xc4\x85gi sko\xc5\x84czone tych element\xc3\xb3w: istotnie, zbi\xc3\xb3r wszystkich tego rodzaju ci\xc4\x85g\xc3\xb3w spe\xc5\x82nia definicj\xc4\x99 rodziny  ze sformu\xc5\x82owania Ko\xc5\x82mogorowa. Niesko\xc5\x84czone ci\xc4\x85gi z\xc5\x82o\xc5\xbcone z element\xc3\xb3w  nie s\xc4\x85 wi\xc4\x99c uwa\xc5\xbcane za zdarzenia._NEWLINE_Je\xc5\xbceli prawdopodobie\xc5\x84stwo wylosowania or\xc5\x82a i reszki w jednym rzucie wynosi odpowiednio  oraz  (gdzie  wy\xc5\xbcej przyjmowano ) to na przestrzeni zdarze\xc5\x84  mo\xc5\xbcna okre\xc5\x9bli\xc4\x87 miar\xc4\x99 prawdopodobie\xc5\x84stwa zgodnie z aksjomatami Ko\xc5\x82mogorowa w nast\xc4\x99puj\xc4\x85cy spos\xc3\xb3b: prawdopodobie\xc5\x84stwo zaobserwowania danego ci\xc4\x85gu  jest dane wzorem  gdzie  s\xc4\x85 odpowiednio liczbami wyst\xc4\x85pie\xc5\x84  oraz  w ci\xc4\x85gu. Przy takim sformu\xc5\x82owaniu prawdopodobie\xc5\x84stwo wylosowania niesko\xc5\x84czenie d\xc5\x82ugiego ci\xc4\x85gu zdarze\xc5\x84 jest r\xc3\xb3wne zeru, gdy\xc5\xbc granica ci\xc4\x85gu  d\xc4\x85\xc5\xbcy do zera wraz z  d\xc4\x85\xc5\xbc\xc4\x85cym do niesko\xc5\x84czono\xc5\x9bci (ze wzgl\xc4\x99du na ograniczenie ); innymi s\xc5\x82owy jest ono zaniedbywalne. Okazuje si\xc4\x99 wi\xc4\x99c, \xc5\xbce niesko\xc5\x84czone ci\xc4\x85gi rzut\xc3\xb3w monet\xc4\x85 nie s\xc4\x85 konieczne do rozpatrywania tego do\xc5\x9bwiadczenia i to w\xc5\x82a\xc5\x9bnie jest powodem wykluczenia ich z rodziny wszystkich zdarze\xc5\x84. Niemniej nadal mo\xc5\xbcna powiedzie\xc4\x87, \xc5\xbce niekt\xc3\xb3re rodzaje niesko\xc5\x84czonych ci\xc4\x85g\xc3\xb3w rzut\xc3\xb3w s\xc4\x85 du\xc5\xbco bardziej prawdopodobne od innych, o czym m\xc3\xb3wi asymptotyczna zasada ekwipartycji._NEWLINE_Powy\xc5\xbcszy model mo\xc5\xbcna r\xc3\xb3wnie\xc5\xbc oprze\xc4\x87 na definicji geometrycznej, rozwa\xc5\xbcaj\xc4\x85c przedzia\xc5\x82 jednostkowy: wynik pierwszego rzutu odpowiada lewemu (orze\xc5\x82) lub prawemu (reszka) podprzedzia\xc5\x82owi, a kolejne rzuty \xe2\x80\x93 kolejnym podprzedzia\xc5\x82om poprzednio wybranych podprzedzia\xc5\x82\xc3\xb3w wybieranym jak przy pierwszym rzucie; niesko\xc5\x84czone ci\xc4\x85gi odpowiadaj\xc4\x85 punktom, kt\xc3\xb3re maj\xc4\x85 zerow\xc4\x85 d\xc5\x82ugo\xc5\x9b\xc4\x87, czyli s\xc4\x85 zaniedbywalne zupe\xc5\x82nie jak mia\xc5\x82o to miejsce w poprzednim przypadku.'