b'\n_START_ARTICLE_\nProces Wienera\n_START_PARAGRAPH_\nProces Wienera (ruch Browna) \xe2\x80\x93 proces stochastyczny z czasem ci\xc4\x85g\xc5\x82ym nazwany dla uhonorowania osi\xc4\x85gni\xc4\x99\xc4\x87 Norberta Wienera. Jest te\xc5\xbc cz\xc4\x99sto nazywanym ruchem Browna, gdy\xc5\xbc jest modelem matematycznym procesu fizycznego o tej nazwie, kt\xc3\xb3ry po raz pierwszy zaobserwowa\xc5\x82 botanik Robert Brown. Proces Wienera jest najbardziej znanym przyk\xc5\x82adem procesu gaussowskiego, a ponadto jest szczeg\xc3\xb3lnym przypadkiem og\xc3\xb3lniejszego procesu L\xc3\xa9vy\xe2\x80\x99ego. Proces Wienera nierzadko opisuje zjawiska wyst\xc4\x99pu\xc4\x85ce w ekonomii, finansach czy fizyce._NEWLINE_W matematyce, badania nad procesem Wienera zapocz\xc4\x85tkowa\xc5\x82y rozw\xc3\xb3j teorii martynga\xc5\x82\xc3\xb3w z czasem ci\xc4\x85g\xc5\x82ym. Proces odgrywa kluczow\xc4\x85 rol\xc4\x99 w badaniach bardziej skomplikowanych proces\xc3\xb3w, na przyk\xc5\x82ad, proces\xc3\xb3w b\xc4\x99d\xc4\x85cych rozwi\xc4\x85zaniami stochastycznych r\xc3\xb3wna\xc5\x84 r\xc3\xb3\xc5\xbcniczkowych jak procesy dyfuzji. W matematyce stosowanej, procesu Wienera u\xc5\xbcywa si\xc4\x99, m.in., do wyznaczenia ca\xc5\x82ki stochastycznej z tzw. bia\xc5\x82ego szumu oraz u\xc5\xbcywa si\xc4\x99 go do modelowania innych szum\xc3\xb3w (zob. szum czerwony)._NEWLINE_W fizyce, proces Wienera u\xc5\xbcywa si\xc4\x99 do modelowania ruch\xc3\xb3w cz\xc4\x85steczek w zawiesistej cieczy oraz r\xc3\xb3\xc5\xbcnorakich proces\xc3\xb3w dyfuzycjnych (zob. r\xc3\xb3wnanie Fokkera-Plancka oraz r\xc3\xb3wnanie Langevina). Rozwi\xc4\x85\xc5\xbcanie r\xc3\xb3wnania Schr\xc3\xb6dingera wyra\xc5\xbca si\xc4\x99 poprzez proces Wienera (zob. wz\xc3\xb3r Feynmana-Kaca). W finansach, procesu Wienera u\xc5\xbcywa si\xc4\x99 do wyznaczenia modelu Blacka-Scholesa wyceny opcji europejskich.\n_START_SECTION_\nKonstrukcja procesu Wienera\n_START_PARAGRAPH_\nNie jest rzecz\xc4\x85 oczywist\xc4\x85, \xc5\xbce istnieje proces spe\xc5\x82niaj\xc4\x85cy warunki podane w definicji. Istnieje kilka dowod\xc3\xb3w tego faktu. Przedstawiony poni\xc5\xbcej szkic dowodu najbardziej odpowiada intuicyjnemu rozumieniu procesu jako modelu ruchu Browna. Niech dana b\xc4\x99dzie cz\xc4\x85stka poruszaj\xc4\x85c\xc4\x85 si\xc4\x99 w jednym wymiarze. W ka\xc5\xbcdej jednostce czasu cz\xc4\x85stka przemieszcza si\xc4\x99 o jednostk\xc4\x99 odleg\xc5\x82o\xc5\x9bci albo w lewo albo w prawo z prawdopodobie\xc5\x84stwem 1/2. Kierunek poruszania nie zale\xc5\xbcy od poprzedniego przebiegu ruchu. Odpowiada to sytuacji patrzenia na cz\xc4\x85steczk\xc4\x99 w wielkim zbli\xc5\xbceniu i przy zwolnionym czasie. Zmniejszaj\xc4\x85c odpowiednio jednostk\xc4\x99 odleg\xc5\x82o\xc5\x9bci i przyspieszaj\xc4\x85c czas uzyskujemy obraz cz\xc4\x85stki wykonuj\xc4\x85cej ruch chaotyczny. Innymi s\xc5\x82owy proces Wienera jest \xe2\x80\x9eprocesem granicznym\xe2\x80\x9d dla b\xc5\x82\xc4\x85dzenia losowego, przy zmniejszaniu skali czasowej i przestrzennej. W spos\xc3\xb3b \xc5\x9bcis\xc5\x82y powy\xc5\xbcsze rozumowanie ujmuje twierdzenie Donskera.'