b'\n_START_ARTICLE_\nLiczby Bernoulliego\n_START_PARAGRAPH_\nLiczby Bernoulliego to niesko\xc5\x84czony ci\xc4\x85g liczb wymiernych oznaczanych jako  gdzie  jest numerem porz\xc4\x85dkowym liczby,  wprowadzony w roku 1631 przez Johanna Faulhabera w celu u\xc5\x82atwienia obliczania sum ustalonych pot\xc4\x99g kolejnych liczb naturalnych. Takie ich zastosowania i niekt\xc3\xb3re ich w\xc5\x82asno\xc5\x9bci opisa\xc5\x82 szczeg\xc3\xb3\xc5\x82owo Jakob Bernoulli w ksi\xc4\x85\xc5\xbcce Ars Conjectandi (wydanej po \xc5\x9bmierci autora w roku 1713). Stwierdza tam mi\xc4\x99dzy innymi, \xc5\xbce potrafi, wykorzystuj\xc4\x85c wz\xc3\xb3r Faulhabera (patrz ni\xc5\xbcej) obliczy\xc4\x87 sum\xc4\x99:  \xe2\x80\x9ew p\xc3\xb3\xc5\x82 kwadransa\xe2\x80\x9d._NEWLINE_Liczby Bernoulliego znalaz\xc5\x82y zastosowanie w analizie (rozwini\xc4\x99cia funkcji w szereg Taylora) i w teorii liczb.\n_START_SECTION_\nDefinicja\n_START_PARAGRAPH_\nObecnie funkcjonuj\xc4\x85 w matematyce dwie definicje liczb Bernoulliego: nowsza \xe2\x80\x93 podana ni\xc5\xbcej jako definicja 1 i starsza \xe2\x80\x93 ni\xc5\xbcej cytowana jako definicja 2. Dla odr\xc3\xb3\xc5\xbcnienia liczby Bernoulliego okre\xc5\x9blone wed\xc5\x82ug definicji 1 oznacza si\xc4\x99 przez  a wed\xc5\x82ug definicji 2 \xe2\x80\x93 przez  Przy tym liczby  stanowi\xc4\x85 podzbi\xc3\xb3r w\xc5\x82a\xc5\x9bciwy liczb'