b'\n_START_ARTICLE_\nZbi\xc3\xb3r pierwszej kategorii\n_START_PARAGRAPH_\nZbi\xc3\xb3r pierwszej kategorii (czasami zbi\xc3\xb3r mizerny) \xe2\x80\x93 zbi\xc3\xb3r, kt\xc3\xb3ry mo\xc5\xbcna przedstawi\xc4\x87 w postaci przeliczalnej sumy zbior\xc3\xb3w nigdzieg\xc4\x99stych.\n_START_SECTION_\nDefinicja formalna\n_START_PARAGRAPH_\nNiech  b\xc4\x99dzie przestrzeni\xc4\x85 topologiczn\xc4\x85. Powiemy \xc5\xbce zbi\xc3\xb3r  jest pierwszej kategorii Baire\xe2\x80\x99a w  (lub I kategorii) je\xc5\x9bli mo\xc5\xbcna go przedstawi\xc4\x87 jako sum\xc4\x99  gdzie ka\xc5\xbcdy ze zbior\xc3\xb3w  jest nigdzieg\xc4\x99sty w  (tzn. ). Rodzin\xc4\x99 wszystkich zbior\xc3\xb3w pierwszej kategorii w  b\xc4\x99dziemy oznacza\xc4\x87 przez  (albo po prostu przez  je\xc5\x9bli jest jasne o jakiej przestrzeni topologicznej m\xc3\xb3wimy)._NEWLINE_Zbiory kt\xc3\xb3re nie s\xc4\x85 pierwszej kategorii nazywane s\xc4\x85 zbiorami drugiej kategorii Baire\xe2\x80\x99a (lub II kategorii).\n_START_SECTION_\nGra Banacha-Mazura\n_START_PARAGRAPH_\nZe zbiorami pierwszej kategorii zwi\xc4\x85zana jest (najprawdopodobniej) pierwsza z pozycyjnych gier niesko\xc5\x84czonych rozwa\xc5\xbcanych w matematyce. Gra ta by\xc5\x82a opisana przez polskiego matematyka Stanis\xc5\x82awa Mazura w Problemie 43 w Ksi\xc4\x99dze Szkockiej. Odpowied\xc5\xba na pytanie Mazura by\xc5\x82a dana przez Stefana Banacha w 1935._NEWLINE_Niech Z b\xc4\x99dzie dowolnym podzbiorem  Rozwa\xc5\xbcmy nast\xc4\x99puj\xc4\x85c\xc4\x85 gr\xc4\x99 dw\xc3\xb3ch graczy, oznaczanych przez A i B. Gracze wykonuj\xc4\x85 niesko\xc5\x84czenie wiele posuni\xc4\x99\xc4\x87 ponumerowanych liczbami naturalnymi  Zaczynaj\xc4\x85 w ten spos\xc3\xb3b, \xc5\xbce Gracz A wybiera niepusty przedzia\xc5\x82 otwarty  a Gracz B odpowiada przez wskazanie niepustego otwartego przedzia\xc5\x82u  Kiedy gracze dochodz\xc4\x85 do  tego kroku w grze, to maj\xc4\x85 oni skonstruowany zst\xc4\x99puj\xc4\x85cy ci\xc4\x85g niepustych przedzia\xc5\x82\xc3\xb3w otwartych  Na  tym etapie gry najpierw Gracz A wybiera niepusty przedzia\xc5\x82 otwarty  a potem Gracz B wskazuje niepusty otwarty przedzia\xc5\x82 _NEWLINE_Kiedy gracze wykonaj\xc4\x85 ju\xc5\xbc wszystkie posuni\xc4\x99cia (jest ich niesko\xc5\x84czenie wiele!), to decydujemy \xc5\xbce Gracz B wygra\xc5\x82 parti\xc4\x99  wtedy i tylko wtedy, gdy _NEWLINE_Okazuje si\xc4\x99, \xc5\xbce Gracz B ma strategi\xc4\x99 zwyci\xc4\x99sk\xc4\x85 w tej grze wtedy i tylko wtedy, gdy zbi\xc3\xb3r  jest pierwszej kategorii.'