b'\n_START_ARTICLE_\nGradient (matematyka)\n_START_SECTION_\nWprowadzenie\n_START_PARAGRAPH_\nPrzyk\xc5\x82adem mo\xc5\xbce by\xc4\x87 pok\xc3\xb3j, w kt\xc3\xb3rym temperatura opisana jest polem skalarnym  Tak wi\xc4\x99c w ka\xc5\xbcdym punkcie  temperatura wynosi  (zak\xc5\x82adamy, \xc5\xbce nie zmienia si\xc4\x99 ona w czasie). W\xc3\xb3wczas w ka\xc5\xbcdym punkcie pokoju gradient  w tym punkcie pokazuje kierunek (wraz ze zwrotem), w kt\xc3\xb3rym temperatura ro\xc5\x9bnie najszybciej. Modu\xc5\x82 gradientu wskazuje jak szybko ro\xc5\x9bnie temperatura w tym kierunku._NEWLINE_Innym przyk\xc5\x82adem mo\xc5\xbce by\xc4\x87 powierzchnia, dla kt\xc3\xb3rej  oznacza wysoko\xc5\x9b\xc4\x87 nad poziomem morza w punkcie  Gradientem  w punkcie jest wektor wskazuj\xc4\x85cy kierunek najwi\xc4\x99kszego pochylenia w tym punkcie. Miara tego pochylenia jest dana jako modu\xc5\x82 wektora gradientu._NEWLINE_Dzi\xc4\x99ki iloczynowi skalarnemu gradient mo\xc5\xbcna wykorzysta\xc4\x87 do mierzenia nie tylko tego, jak pole skalarne zmienia si\xc4\x99 w kierunku najwi\xc4\x99kszej zmiany, lecz tak\xc5\xbce w innych kierunkach. Niech w przyk\xc5\x82adzie ze wzg\xc3\xb3rzem najwi\xc4\x99ksze pochylenie zbocza wynosi 40%. Je\xc5\x9bli droga biegnie prosto pod g\xc3\xb3r\xc4\x99, to najwi\xc4\x99ksze pochylenie drogi r\xc3\xb3wnie\xc5\xbc b\xc4\x99dzie wynosi\xc4\x87 40%. Je\xc5\x9bli jednak droga biegnie wok\xc3\xb3\xc5\x82 wzg\xc3\xb3rza pod pewnym k\xc4\x85tem (wzgl\xc4\x99dem wektora gradientu), to b\xc4\x99dzie mia\xc5\x82a mniejsze nachylenie. Przyk\xc5\x82adowo je\xc5\x9bli k\xc4\x85t mi\xc4\x99dzy drog\xc4\x85 a kierunkiem w g\xc3\xb3r\xc4\x99, rzutowany na p\xc5\x82aszczyzn\xc4\x99 poziom\xc4\x85, wynosi 60\xc2\xb0, to najwi\xc4\x99ksze nachylenie wzd\xc5\x82u\xc5\xbc drogi b\xc4\x99dzie wynosi\xc4\x87 20%, co jest r\xc3\xb3wne 40% razy cosinus 60\xc2\xb0._NEWLINE_Ta obserwacja mo\xc5\xbce by\xc4\x87 wyra\xc5\xbcona matematycznie w nast\xc4\x99puj\xc4\x85cy spos\xc3\xb3b. Je\xc5\x9bli funkcja wysoko\xc5\x9bci terenu  jest r\xc3\xb3\xc5\xbcniczkowalna, to gradient funkcji  pomno\xc5\xbcony skalarnie przez wektor jednostkowy daje pochylenie terenu w kierunku tego wektora. Dok\xc5\x82adniej, je\xc5\x9bli  jest r\xc3\xb3\xc5\xbcniczkowalna, to iloczyn skalarny gradientu  przez dany wektor jednostkowy jest r\xc3\xb3wny pochodnej kierunkowej  w kierunku tego wektora jednostkowego._NEWLINE_Podobnie obrazuje si\xc4\x99 zmian\xc4\x99 innych wielko\xc5\x9bci fizycznych takich jak: st\xc4\x99\xc5\xbcenie, wsp\xc3\xb3\xc5\x82czynnik pH, g\xc4\x99sto\xc5\x9bci \xc5\x82adunku elektrycznego, jasno\xc5\x9b\xc4\x87, kolor itp. w okre\xc5\x9blonej przestrzeni.'