b'\n_START_ARTICLE_\nUzwarcenie\n_START_PARAGRAPH_\nUzwarcenie (kompaktyfikacja, przed\xc5\x82u\xc5\xbcenie zwarte) \xe2\x80\x93 rozszerzenie danej przestrzeni topologicznej tak, by by\xc5\x82a ona przestrzeni\xc4\x85 zwart\xc4\x85.\n_START_SECTION_\nDefinicja formalna\n_START_PARAGRAPH_\nUzwarceniem przestrzeni  nazywamy par\xc4\x99  tak\xc4\x85, \xc5\xbce  jest zwart\xc4\x85 przestrzeni\xc4\x85 topologiczn\xc4\x85, za\xc5\x9b  jest zanurzeniem homeomorficznym oraz  jest g\xc4\x99stym podzbiorem  Je\xc5\x9bli dodatkowo  czyli  jest przestrzeni\xc4\x85 Hausdorffa, to uzwarcenie  nazywa si\xc4\x99 uzwarceniem Hausdorffa ._NEWLINE_Zwykle pomija si\xc4\x99 zanurzenie  szczeg\xc3\xb3lnie je\xc5\x9bli jest ono identyczno\xc5\x9bci\xc4\x85 i w sytuacji jak powy\xc5\xbcej m\xc3\xb3wi si\xc4\x99, \xc5\xbce przestrze\xc5\x84  jest uzwarceniem przestrzeni . Cz\xc4\x99sto te\xc5\xbc uto\xc5\xbcsamiamy punkty  z ich obrazami  i traktujemy  jako podprzestrze\xc5\x84 przestrzeni _NEWLINE_Jedynym uzwarceniem zwartej przestrzeni Hausdorffa jest ona sama.\n_START_SECTION_\nUzwarcenie jednopunktowe\n_START_PARAGRAPH_\nNiech  b\xc4\x99dzie niezwart\xc4\x85, lokalnie zwart\xc4\x85 przestrzeni\xc4\x85 topologiczn\xc4\x85 i niech  b\xc4\x99dzie pewnym obiektem nie nale\xc5\xbc\xc4\x85cym do zbioru  Po\xc5\x82\xc3\xb3\xc5\xbcmy  i_NEWLINE_W\xc3\xb3wczas  jest zwart\xc4\x85 przestrzeni\xc4\x85 topologiczn\xc4\x85. Ponadto zanurzenie identyczno\xc5\x9bciowe  jest zanurzeniem homeomorficznym i  jest g\xc4\x99stym podzbiorem. Tak wi\xc4\x99c  jest uzwarceniem przestrzeni  Uzwarcenie to nazywamy uzwarceniem jednopunktowym lub uzwarceniem Aleksandrowa._NEWLINE_Z powy\xc5\xbcszych rozwa\xc5\xbca\xc5\x84 wynika, \xc5\xbce ka\xc5\xbcda przestrze\xc5\x84 topologiczna ma uzwarcenie. Niestety, to uzwarcenie nie musi spe\xc5\x82nia\xc4\x87 aksjomatu T\xe2\x82\x82. \xc5\x81atwo mo\xc5\xbcna sprawdzi\xc4\x87, \xc5\xbce uzwarcenie Aleksandrowa przestrzeni topologicznej  jest przestrzeni\xc4\x85 Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy  jest lokalnie zwart\xc4\x85 przestrzeni\xc4\x85 Hausdorffa._NEWLINE_Warto zauwa\xc5\xbcy\xc4\x87, \xc5\xbce je\xc5\x9bli wyj\xc5\x9bciowa przestrze\xc5\x84  jest zwarta, to powy\xc5\xbcsza procedura nie daje uzwarcenia  jako \xc5\xbce wtedy  nie b\xc4\x99dzie g\xc4\x99stym podzbiorem  Uzwarcenia jednopunktowe by\xc5\x82y wprowadzone do literatury matematycznej przez Aleksandrowa i Urysohna w 1929.\n_START_SECTION_\nUzwarcenia Hausdorffa\n_START_PARAGRAPH_\nKa\xc5\xbcda zwarta przestrze\xc5\x84 T\xe2\x82\x82 jest przestrzeni\xc4\x85 normaln\xc4\x85, a wi\xc4\x99c tak\xc5\xbce przestrzeni\xc4\x85 ca\xc5\x82kowicie regularn\xc4\x85. Poniewa\xc5\xbc \xe2\x80\x9ebycie przestrzeni\xc4\x85 Tichonowa\xe2\x80\x9d jest w\xc5\x82asno\xc5\x9bci\xc4\x85 dziedziczn\xc4\x85, je\xc5\x9bli przestrze\xc5\x84 topologiczna  ma uzwarcenie Hausdorffa, to sama przestrze\xc5\x84  musi by\xc4\x87 ca\xc5\x82kowicie regularna. Z drugiej strony, Tichonow udowodni\xc5\x82, \xc5\xbce ka\xc5\xbcda przestrze\xc5\x84  mo\xc5\xbce by\xc4\x87 zanurzona w produkt  pewnej ilo\xc5\x9bci kopii domkni\xc4\x99tych odcink\xc3\xb3w. Poniewa\xc5\xbc, na podstawie innego twierdzenia Tichonowa, przestrze\xc5\x84  jest zwarta (a domkni\xc4\x99te podzbiory przestrzeni zwartej s\xc4\x85 zwarte), to mo\xc5\xbcna teraz \xc5\x82atwo znale\xc5\xba\xc4\x87 uzwarcenie Hausdorffa wyj\xc5\x9bciowej przestrzeni._NEWLINE_Tak wi\xc4\x99c, przestrze\xc5\x84 topologiczna  ma uzwarcenie Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy  jest przestrzeni\xc4\x85 ca\xc5\x82kowicie regularn\xc4\x85.'