b'\n_START_ARTICLE_\nPodstawowe twierdzenie arytmetyki\n_START_PARAGRAPH_\nPodstawowe twierdzenie arytmetyki \xe2\x80\x93 twierdzenie teorii liczb o rozk\xc5\x82adzie liczb naturalnych na czynniki pierwsze.\n_START_SECTION_\nLemat I\n_START_PARAGRAPH_\nKa\xc5\xbcda liczba naturalna wi\xc4\x99ksza od 1 posiada przynajmniej jeden dzielnik b\xc4\x99d\xc4\x85cy liczb\xc4\x85 pierwsz\xc4\x85._NEWLINE_Niech  Poniewa\xc5\xbc  wi\xc4\x99c zbi\xc3\xb3r dzielnik\xc3\xb3w liczby  wi\xc4\x99kszych od 1 jest niepusty. Niech  b\xc4\x99dzie najmniejszym z nich. Gdyby  nie by\xc5\x82o pierwsze, to istnia\xc5\x82by jego dzielnik  i by\xc5\x82by to zarazem dzielnik  Przeczy to jednak okre\xc5\x9bleniu  jako najmniejszego dzielnika  Ostatecznie  jest pierwszym dzielnikiem\n_START_SECTION_\nLemat II\n_START_PARAGRAPH_\nKa\xc5\xbcda liczba naturalna wi\xc4\x99ksza od 1 daje si\xc4\x99 przedstawi\xc4\x87 jako sko\xc5\x84czony iloczyn samych liczb pierwszych._NEWLINE_Indukcyjnie. Twierdzenie jest prawdziwe dla _NEWLINE_Niech  b\xc4\x99dzie dowoln\xc4\x85 liczb\xc4\x85 naturaln\xc4\x85 >2 i niech twierdzenie b\xc4\x99dzie prawdziwe dla wszystkich _NEWLINE_Je\xc5\x9bli  jest pierwsze to twierdzenie zachodzi._NEWLINE_Je\xc5\x9bli  jest z\xc5\x82o\xc5\xbcone, to  W\xc3\xb3wczas jednak  Na mocy za\xc5\x82o\xc5\xbcenia indukcyjnego ka\xc5\xbcde z  jest sko\xc5\x84czonym iloczynem liczb pierwszych, st\xc4\x85d tak\xc5\xbce  jest takim iloczynem.\n_START_SECTION_\nLemat III\n_START_PARAGRAPH_\nJe\xc5\xbceli  jest liczb\xc4\x85 ca\xc5\x82kowit\xc4\x85, a  liczb\xc4\x85 pierwsz\xc4\x85, to albo  jest podzielne przez  albo  i  s\xc4\x85 wzgl\xc4\x99dnie pierwsze_NEWLINE_ jako liczba pierwsza, posiada tylko dwa dzielniki naturalne \xe2\x80\x93  i  Zatem albo  albo  W pierwszym wypadku  i  s\xc4\x85 wzgl\xc4\x99dnie pierwsze, w drugim  dzieli _NEWLINE_Z tego lematu bezpo\xc5\x9brednio wynika inne twierdzenie:_NEWLINE_Je\xc5\xbceli  i  s\xc4\x85 liczbami pierwszymi, to albo  albo\n_START_SECTION_\nUog\xc3\xb3lnienia\n_START_PARAGRAPH_\nZbi\xc3\xb3r liczb ca\xc5\x82kowitych jest najmniejszym pier\xc5\x9bcieniem liczbowym zawieraj\xc4\x85cym liczby naturalne. Podstawowe twierdzenie arytmetyki wyra\xc5\xbca fakt, \xc5\xbce pier\xc5\x9bcie\xc5\x84 ten jest pier\xc5\x9bcieniem z jednoznaczno\xc5\x9bci\xc4\x85 rozk\xc5\x82adu (pier\xc5\x9bcieniem Gaussa). W\xc5\x82asno\xc5\x9b\xc4\x87 t\xc4\x99 posiadaj\xc4\x85 tak\xc5\xbce pier\xc5\x9bcienie wielomian\xc3\xb3w \xe2\x80\x93 tam rol\xc4\x99 element\xc3\xb3w pierwszych odgrywaj\xc4\x85 wielomiany nierozk\xc5\x82adalne. Dla pier\xc5\x9bcienia  jedynymi takimi wielomianami s\xc4\x85 wielomiany stopnia pierwszego \xe2\x80\x93 jest to tre\xc5\x9b\xc4\x87 zasadniczego twierdzenia algebry._NEWLINE_Twierdzenie o jednoznaczno\xc5\x9bci rozk\xc5\x82adu jest podstaw\xc4\x85 wielu metod matematyki i kryptografii.'