b'\n_START_ARTICLE_\nTopologia produktowa\n_START_PARAGRAPH_\nTopologia produktowa \xe2\x80\x93 naturalna topologia, w kt\xc3\xb3r\xc4\x85 wyposa\xc5\xbcona jest przestrze\xc5\x84 produktowa, czyli iloczyn kartezja\xc5\x84ski rodziny przestrzeni topologicznych. Cho\xc4\x87 na przestrzeni produktowej mo\xc5\xbcna wprowadzi\xc4\x87 by\xc4\x87 mo\xc5\xbce bardziej oczywist\xc4\x85 topologi\xc4\x99 przedzia\xc5\x82ow\xc4\x85, kt\xc3\xb3ra pokrywa si\xc4\x99 z topologi\xc4\x85 produktow\xc4\x85 w przypadku produktu sko\xc5\x84czenie wielu przestrzeni, to topologi\xc4\x99 produktow\xc4\x85 uwa\xc5\xbca si\xc4\x99 jednak za \xe2\x80\x9epoprawniejsz\xc4\x85\xe2\x80\x9d dlatego, i\xc5\xbc czyni ona z przestrzeni produktowej teoriokategoryjny produkt jej czynnik\xc3\xb3w, podczas gdy topologia przedzia\xc5\x82owa jest w og\xc3\xb3lno\xc5\x9bci zbyt uboga; w tym w\xc5\x82a\xc5\x9bnie sensie topologia produktowa jest \xe2\x80\x9enaturaln\xc4\x85\xe2\x80\x9d topologi\xc4\x85 przestrzeni produktowej._NEWLINE_Produkty sko\xc5\x84czenie wielu przestrzeni topologicznych rozwa\xc5\xbcano niemal od pocz\xc4\x85tk\xc3\xb3w topologii, jednak topologie produkt\xc3\xb3w kartezja\xc5\x84skich dowolnych rodzin przestrzeni topologicznych zosta\xc5\x82y opisane po raz pierwszy przez rosyjskiego topologa Andrieja Tichonowa dopiero w 1930 roku. Z tego powodu inn\xc4\x85 nazw\xc4\x85 topologii produktowej jest topologia Tichonowa.\n_START_SECTION_\nW\xc5\x82asno\xc5\x9bci\n_START_PARAGRAPH_\nPrzestrze\xc5\x84 produktowa  wraz z rzutami kanonicznymi, mo\xc5\xbce by\xc4\x87 opisana za pomoc\xc4\x85 nast\xc4\x99puj\xc4\x85cej w\xc5\x82asno\xc5\x9bci uniwersalnej: je\xc5\xbceli  jest przestrzeni\xc4\x85 topologiczn\xc4\x85 i dla ka\xc5\xbcdego  funkcja  jest przekszta\xc5\x82ceniem ci\xc4\x85g\xc5\x82ym, to istnieje jedno i tylko jedno takie przekszta\xc5\x82cenie ci\xc4\x85g\xc5\x82e  \xc5\xbce dla ka\xc5\xbcdego  nast\xc4\x99puj\xc4\x85cy diagram jest przemienny:_NEWLINE_W\xc5\x82asno\xc5\x9b\xc4\x87 ta pokazuje, \xc5\xbce przestrze\xc5\x84 produktowa jest produktem w kategorii przestrzeni topologicznych. Z powy\xc5\xbcszej w\xc5\x82asno\xc5\x9bci uniwersalnej wynika te\xc5\xbc, \xc5\xbce przekszta\xc5\x82cenie  jest ci\xc4\x85g\xc5\x82e wtedy i tylko wtedy, gdy  jest ci\xc4\x85g\xc5\x82e dla ka\xc5\xbcdego  W wielu przypadkach sprawdzenie ci\xc4\x85g\xc5\x82o\xc5\x9bci funkcji sk\xc5\x82adowych  bywa \xc5\x82atwiejsze. Zwykle trudniej dowie\xc5\x9b\xc4\x87 ci\xc4\x85g\xc5\x82o\xc5\x9bci przekszta\xc5\x82cenia  w pewien spos\xc3\xb3b korzysta si\xc4\x99 wtedy z ci\xc4\x85g\xc5\x82o\xc5\x9bci _NEWLINE_Ci\xc4\x85g\xc5\x82e przekszta\xc5\x82cenia  s\xc4\x85 tak\xc5\xbce otwarte, tzn. rzut dowolnego podzbioru otwartego przestrzeni produktowej na  pozostaje otwarty. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe: je\xc5\xbceli  jest podprzestrzeni\xc4\x85 przestrzeni produktowej, dla kt\xc3\xb3rej wszystkie rzuty na  s\xc4\x85 otwarte, to  nie musi by\xc4\x87 otwarta w  (np. ). W og\xc3\xb3lno\xc5\x9bci rzuty kanoniczne nie s\xc4\x85 przekszta\xc5\x82ceniami domkni\xc4\x99tymi (kontrprzyk\xc5\x82adem mo\xc5\xbce by\xc4\x87 zbi\xc3\xb3r domkni\xc4\x99ty  kt\xc3\xb3rego rzutami na obie osie s\xc4\x85 )._NEWLINE_Topologi\xc4\x99 produktow\xc4\x85 nazywa si\xc4\x99 tak\xc5\xbce topologi\xc4\x85 zbie\xc5\xbcno\xc5\x9bci punktowej, co wynika z nast\xc4\x99puj\xc4\x85cej obserwacji: ci\xc4\x85g (tak\xc5\xbce uog\xc3\xb3lniony) w  jest zbie\xc5\xbcny wtedy i tylko wtedy, gdy zbie\xc5\xbcne s\xc4\x85 wszystkie jego rzuty na  W szczeg\xc3\xb3lno\xc5\x9bci, je\xc5\x9bli  wszystkich funkcji o warto\xc5\x9bciach rzeczywistych okre\xc5\x9blonych na  to zbie\xc5\xbcno\xc5\x9b\xc4\x87 w topologii produktowej pokrywa si\xc4\x99 ze zbie\xc5\xbcno\xc5\x9bci\xc4\x85 punktow\xc4\x85 funkcji._NEWLINE_Produkt domkni\xc4\x99tych podzbior\xc3\xb3w  jest zbiorem domkni\xc4\x99tym w _NEWLINE_Wa\xc5\xbcnym twierdzeniem o topologii produktowej jest twierdzenie Tichonowa: dowolny produkt przestrzeni zwartych jest zwarty (co stosunkowo \xc5\x82atwo dowie\xc5\x9b\xc4\x87 dla produkt\xc3\xb3w sko\xc5\x84czonych). Og\xc3\xb3lne twierdzenie, w postaci \xe2\x80\x9eprodukt zbioru niepustych zbior\xc3\xb3w jest niepusty\xe2\x80\x9d, jest z kolei r\xc3\xb3wnowa\xc5\xbcne aksjomatowi wyboru. Dow\xc3\xb3d jest do\xc5\x9b\xc4\x87 prosty: wystarczy wybra\xc4\x87 element z ka\xc5\xbcdego zbioru, aby wskaza\xc4\x87 reprezentanta w produkcie. Odwrotnie, reprezentant produktu to zbi\xc3\xb3r, kt\xc3\xb3ry zawiera dok\xc5\x82adnie jeden element z ka\xc5\xbcdej sk\xc5\x82adowej. W kontek\xc5\x9bcie przestrzeni produktowych aksjomat wyboru napotyka si\xc4\x99 w og\xc3\xb3lniejszej postaci, np. twierdzenie Tichonowa dotycz\xc4\x85ce zbior\xc3\xb3w zwartych jest nieco bardziej z\xc5\x82o\xc5\xbconym i subtelnym przyk\xc5\x82adem stwierdzenia r\xc3\xb3wnowa\xc5\xbcnego aksjomatowi wyboru._NEWLINE_Twierdzenie Tichonowa dla przestrzeni Hausdorffa jest r\xc3\xb3wnowa\xc5\xbcne twierdzeniu o ideale pierwszym (BPI: ka\xc5\xbcdy idea\xc5\x82 na algebrze Boole\xe2\x80\x99a mo\xc5\xbce by\xc4\x87 rozszerzony do idea\xc5\x82u pierwszego). W obu przypadkach r\xc3\xb3wnowa\xc5\xbcno\xc5\x9bci zachodz\xc4\x85 na gruncie ZF.'