b'\n_START_ARTICLE_\nEstymator\n_START_PARAGRAPH_\nEstymator \xe2\x80\x93 statystyka s\xc5\x82u\xc5\xbc\xc4\x85ca do szacowania warto\xc5\x9bci parametru rozk\xc5\x82adu._NEWLINE_Celem zastosowania estymatora jest znalezienie parametru rozk\xc5\x82adu cechy w populacji._NEWLINE_Przyk\xc5\x82adowo badamy rozk\xc5\x82ad wzrostu ludno\xc5\x9bci w Polsce. Zak\xc5\x82adamy, \xc5\xbce rozk\xc5\x82ad tej cechy  w populacji jest rozk\xc5\x82adem normalnym, za\xc5\x9b szukan\xc4\x85 wielko\xc5\x9bci\xc4\x85 jest warto\xc5\x9b\xc4\x87 oczekiwana  Warto\xc5\x9b\xc4\x87  jest zatem szukanym parametrem rozk\xc5\x82adu cechy  W celu oszacowania tych wielko\xc5\x9bci zbieramy dane z pr\xc3\xb3by losowej o liczebno\xc5\x9bci  Nast\xc4\x99pnym krokiem b\xc4\x99dzie znalezienie wygodnej statystyki  z pr\xc3\xb3by, kt\xc3\xb3ra pos\xc5\x82u\xc5\xbcy do oszacowania parametru  Rol\xc4\x99 takiej statystyki mo\xc5\xbce spe\xc5\x82nia\xc4\x87 warto\xc5\x9b\xc4\x87 \xc5\x9brednia z pr\xc3\xb3by. M\xc3\xb3wimy zatem, \xc5\xbce warto\xc5\x9b\xc4\x87 \xc5\x9brednia z pr\xc3\xb3by jest estymatorem warto\xc5\x9bci oczekiwanej rozk\xc5\x82adu normalnego. Obliczon\xc4\x85 przez nas na podstawie konkretnej pr\xc3\xb3by warto\xc5\x9b\xc4\x87 \xc5\x9bredni\xc4\x85 nazywamy ocen\xc4\x85 parametru.\n_START_SECTION_\nW\xc5\x82a\xc5\x9bciwo\xc5\x9bci estymator\xc3\xb3w\n_START_PARAGRAPH_\nDefinicja estymatora pozostawia du\xc5\xbc\xc4\x85 dowolno\xc5\x9b\xc4\x87 w wybraniu danej statystyki do szacowania parametru, nie pozwalaj\xc4\x85c jednocze\xc5\x9bnie na ocen\xc4\x99, kt\xc3\xb3ra ze statystyk jest \xe2\x80\x9edobrym\xe2\x80\x9d estymatorem. Aby sprawdzi\xc4\x87, czy dana statystyka jest dobrym kandydatem na estymator parametru, powinni\xc5\x9bmy sprawdzi\xc4\x87, czy spe\xc5\x82nia ona zestaw w\xc5\x82asno\xc5\x9bci charakteryzuj\xc4\x85cych estymator.\n_START_SECTION_\nEfektywno\xc5\x9b\xc4\x87\n_START_PARAGRAPH_\nSpo\xc5\x9br\xc3\xb3d zbioru wszystkich nieobci\xc4\x85\xc5\xbconych estymator\xc3\xb3w  najefektywniejszym nazywamy estymator o najmniejszej wariancji._NEWLINE_Definicja ta jest bardzo niewygodna, poniewa\xc5\xbc do wyznaczenia najefektywniejszego estymatora potrzebna jest znajomo\xc5\x9b\xc4\x87 wariancji wszystkich estymator\xc3\xb3w nieobci\xc4\x85\xc5\xbconych danego parametru rozk\xc5\x82adu. W praktyce o wiele \xc5\x82atwiej jest skorzysta\xc4\x87 z nier\xc3\xb3wno\xc5\x9bci Rao-Cram\xc3\xa9ra.\n_START_SECTION_\nMetody wyznaczania estymator\xc3\xb3w\n_START_PARAGRAPH_\nJe\xc5\x9bli nie jest oczywiste, jak\xc4\x85 statystyk\xc4\x99 nale\xc5\xbcy wybra\xc4\x87 jako kandydata na estymator, z pomoc\xc4\x85 przychodz\xc4\x85 r\xc3\xb3\xc5\xbcnorodne metody ich wyznaczania.\n_START_SECTION_\nUci\xc4\x99ty rozk\xc5\x82ad normalny\n_START_PARAGRAPH_\nIstniej\xc4\x85 te\xc5\xbc relatywnie proste rozk\xc5\x82ady w kt\xc3\xb3rych lepiej jest przyj\xc4\x85\xc4\x87 rozk\xc5\x82ad obci\xc4\x85\xc5\xbcony od nieobci\xc4\x85\xc5\xbconego. Przyjmijmy, \xc5\xbce zmienna  ma rozk\xc5\x82ad normalny o znanej wariancji i nieznanej (ale nale\xc5\xbc\xc4\x85cej do znanego przedzia\xc5\x82u) warto\xc5\x9bci oczekiwanej, ale odczyty  z naszych urz\xc4\x85dze\xc5\x84 pomiarowych wszystkie warto\xc5\x9bci ujemne przedstawiaj\xc4\x85 jako 0. Przyjmijmy \xc5\xbce dla danych zawieraj\xc4\x85cych tylko liczby dodatnie estymator zwraca dodatnie oszacowanie parametru. Jest to bardzo po\xc5\xbc\xc4\x85dana cecha. Estymator musia\xc5\x82by jednak zwraca\xc4\x87 co\xc5\x9b r\xc3\xb3wnie\xc5\xbc dla odczyt\xc3\xb3w zawieraj\xc4\x85cych wy\xc5\x82\xc4\x85cznie zera \xe2\x80\x93 przyjmijmy \xc5\xbce dla  odczyt\xc3\xb3w b\xc4\x99d\xc4\x85cych samymi zerami zwraca _NEWLINE_Za\xc5\x82\xc3\xb3\xc5\xbcmy \xc5\xbce warto\xc5\x9b\xc4\x87 oczekiwana wynosi  Chcemy jednak \xc5\xbceby estymator by\xc5\x82 nieobci\xc4\x85\xc5\xbcony \xe2\x80\x93 w tym celu, je\xc5\x9bli  niedoszacowania w wyniku wylosowania samych zer mog\xc4\x85 by\xc4\x87 r\xc3\xb3wnowa\xc5\xbcone przez przeszacowania w wyniku wylosowania jakiego\xc5\x9b niezerowego wyniku. Je\xc5\x9bli jednak  to nie istnieje \xc5\xbcaden estymator nieobci\xc4\x85\xc5\xbcony, gdy\xc5\xbc niezale\xc5\xbcnie od wyniku pomiar\xc3\xb3w estymator zwr\xc3\xb3ci oszacowanie wy\xc5\xbcsze od  A zatem \xc5\xbceby estymator by\xc5\x82 nieobci\xc4\x85\xc5\xbcony, to dla ka\xc5\xbcdego  oszacowanie  musi by\xc4\x87 nie wi\xc4\x99ksze od najmniejszej mo\xc5\xbcliwej warto\xc5\x9bci parametru, a poniewa\xc5\xbc w rozk\xc5\x82adzie normalnym szansa na odczyt innej warto\xc5\x9bci ni\xc5\xbc zero jest niezerowa (cho\xc4\x87 mo\xc5\xbce by\xc4\x87 bardzo ma\xc5\x82a), to \xc5\xbceby r\xc3\xb3wnowa\xc5\xbcy\xc4\x87 estymacj\xc4\x99  musi by\xc4\x87 ostro mniejsze od najmniejszej mo\xc5\xbcliwej warto\xc5\x9bci parametru. Szacowanie odczytu serii kolejnych zer na warto\xc5\x9b\xc4\x87 mniejsz\xc4\x85 od najmniejszej dopuszczalnej zdecydowanie nie jest po\xc5\xbc\xc4\x85dan\xc4\x85 w\xc5\x82asno\xc5\x9bci\xc4\x85 estymatora._NEWLINE_Lepiej jest wi\xc4\x99c przyj\xc4\x85\xc4\x87 jaki\xc5\x9b estymator obci\xc4\x85\xc5\xbcony \xe2\x80\x93 np. estymator Bayesowski powsta\xc5\x82y przez przyj\xc4\x99cie wszystkich warto\xc5\x9bci parametru za r\xc3\xb3wnie prawdopodobne oraz funkcji kosztu za kwadrat r\xc3\xb3\xc5\xbcnicy mi\xc4\x99dzy parametrem a jego estymacj\xc4\x85. Taki estymator b\xc4\x99dzie bardzo bliski \xc5\x9bredniej arytmetycznej dla wynik\xc3\xb3w dodatnich (nie b\xc4\x99dzie \xc5\x9bci\xc5\x9ble r\xc3\xb3wny \xc5\x9bredniej ze wzgl\xc4\x99du na istnienie g\xc3\xb3rnej granicy mo\xc5\xbcliwych warto\xc5\x9bci parametru), a dla serii zer przyjmie rozs\xc4\x85dniejsze warto\xc5\x9bci, zaczynaj\xc4\x85c powy\xc5\xbcej po\xc5\x82owy ujemnego przedzia\xc5\x82u (by\xc4\x87 mo\xc5\xbce w przedziale dodatnim) dla niskich k i obni\xc5\xbcaj\xc4\x85c si\xc4\x99 powoli asymptotycznie do najmniejszej dopuszczalnej warto\xc5\x9bci dla przedzia\xc5\x82u ujemnego.'