b'\n_START_ARTICLE_\nEkstremum funkcji\n_START_SECTION_\nFunkcje, dla kt\xc3\xb3rych mo\xc5\xbcna rozwa\xc5\xbca\xc4\x87 ekstrema\n_START_PARAGRAPH_\nW matematyce warto\xc5\x9bci\xc4\x85 funkcji nie musi by\xc4\x87 koniecznie liczba \xe2\x80\x93 funkcj\xc4\x85 jest dowolne przyporz\xc4\x85dkowanie ka\xc5\xbcdemu elementowi zbioru zwanego dziedzin\xc4\x85 po jednym elemencie zbioru zwanego przeciwdziedzin\xc4\x85. Funkcj\xc4\x85 jest wi\xc4\x99c r\xc3\xb3wnie\xc5\xbc przyporz\xc4\x85dkowanie ka\xc5\xbcdemu \xc5\x82ysemu aktorowi Teatru Wielkiego koloru w\xc5\x82os\xc3\xb3w jego ulubionej peruki._NEWLINE_Poj\xc4\x99cie ekstremum wymaga, by warto\xc5\x9bci funkcji da\xc5\x82o si\xc4\x99 ze sob\xc4\x85 por\xc3\xb3wnywa\xc4\x87 \xe2\x80\x93 w przeciwdziedzinie funkcji powinien by\xc4\x87 zatem zdefiniowany jaki\xc5\x9b porz\xc4\x85dek. Zbi\xc3\xb3r uporz\xc4\x85dkowany, i to liniowo, tworz\xc4\x85 np. liczby rzeczywiste. Nie ma natomiast powszechnie przyj\xc4\x99tego uporz\xc4\x85dkowania kolor\xc3\xb3w, zw\xc5\x82aszcza porz\xc4\x85dku liniowego._NEWLINE_W przypadku ekstremum lokalnego konieczne jest ponadto sprecyzowanie poj\xc4\x99cia \xe2\x80\x9elokalno\xc5\x9bci\xe2\x80\x9d. Dokonuje si\xc4\x99 to przez okre\xc5\x9blenie dla ka\xc5\xbcdego argumentu funkcji, kt\xc3\xb3re punkty z jej dziedziny s\xc4\x85 mu \xe2\x80\x9ebliskie\xe2\x80\x9d. Formalizuj\xc4\x85c to podej\xc5\x9bcie, okre\xc5\x9blamy w ka\xc5\xbcdym punkcie dziedziny funkcji tak zwan\xc4\x85 baz\xc4\x99 otocze\xc5\x84 punktu. Dla liczby rzeczywistej otoczeniem jest np. przedzia\xc5\x82 otwarty, zawieraj\xc4\x85cy t\xc4\x99 liczb\xc4\x99. Og\xc3\xb3lnie, zbi\xc3\xb3r z systemem otocze\xc5\x84, spe\xc5\x82niaj\xc4\x85cym pewne naturalne warunki tworzy tzw. przestrze\xc5\x84 topologiczn\xc4\x85._NEWLINE_O ekstremach lokalnych mo\xc5\xbcna zatem m\xc3\xb3wi\xc4\x87 w przypadku dowolnej funkcji, kt\xc3\xb3rej dziedzina jest przestrzeni\xc4\x85 topologiczn\xc4\x85, a przeciwdziedzina zbiorem cz\xc4\x99\xc5\x9bciowo uporz\xc4\x85dkowanym. Ze wzgl\xc4\x99du na zastosowania najcz\xc4\x99\xc5\x9bciej rozwa\xc5\xbca si\xc4\x99 szczeg\xc3\xb3lny przypadek \xe2\x80\x93 funkcje rzeczywiste, czyli funkcje o warto\xc5\x9bciach w liczbach rzeczywistych, kt\xc3\xb3rych dziedzina jest podzbiorem sko\xc5\x84czeniewymiarowej przestrzeni euklidesowej.\n_START_SECTION_\nWarunek wystarczaj\xc4\x85cy ekstremum globalnego (twierdzenie Weierstrassa)\n_START_PARAGRAPH_\nZ twierdzenia Weierstrassa wiadomo, \xc5\xbce funkcja ci\xc4\x85g\xc5\x82a o warto\xc5\x9bciach rzeczywistych, okre\xc5\x9blona na zbiorze zwartym (a wi\xc4\x99c np. na przedziale domkni\xc4\x99tym), osi\xc4\x85ga ekstrema globalne. Twierdzenie to jest prawdziwe w pe\xc5\x82nej og\xc3\xb3lno\xc5\x9bci \xe2\x80\x93 a wi\xc4\x99c nie tylko dla funkcji liczbowych, a dla dowolnych funkcji ci\xc4\x85g\xc5\x82ych, okre\xc5\x9blonych na zwartych podzbiorach dowolnych przestrzeni topologicznych.\n_START_SECTION_\nFunkcje r\xc3\xb3\xc5\xbcniczkowalne\n_START_PARAGRAPH_\nW dalszej cz\xc4\x99\xc5\x9bci sekcji rozwa\xc5\xbcane b\xc4\x99d\xc4\x85 funkcje  ci\xc4\x85g\xc5\x82e oraz r\xc3\xb3\xc5\xbcniczkowalne w przedziale  Geometrycznie oznacza to, \xc5\xbce ich wykres jest \xe2\x80\x9enieprzerwany\xe2\x80\x9d i \xe2\x80\x9eg\xc5\x82adki\xe2\x80\x9d, czyli ma w ka\xc5\xbcdym punkcie styczn\xc4\x85.\n_START_SECTION_\nInne warunki wystarczaj\xc4\x85ce istnienia ekstrem\xc3\xb3w\n_START_PARAGRAPH_\nJe\xc5\x9bli o funkcji  okre\xc5\x9blonej jak wy\xc5\xbcej, za\xc5\x82o\xc5\xbcy si\xc4\x99 dodatkowo, \xc5\xbce jest dwukrotnie r\xc3\xb3\xc5\xbcniczkowalna w przedziale  oraz jej druga pochodna jest ci\xc4\x85g\xc5\x82a, to je\xc5\xbceli  i  to funkcja  ma w punkcie  ekstremum, przy czym, gdy  to jest to maksimum lokalne, a gdy  to minimum lokalne._NEWLINE_Powy\xc5\xbcsze kryterium nie rozstrzyga przypadku, gdy druga pochodna jest r\xc3\xb3wna zero.\n_START_SECTION_\nProste zagadnienia optymalizacyjne\n_START_PARAGRAPH_\nZagadnienie wyznaczania ekstrem\xc3\xb3w funkcji wyst\xc4\x99puje cz\xc4\x99sto w fizyce i technice. Oto przyk\xc5\x82ad:\n_START_SECTION_\nFunkcje okre\xc5\x9blone na podzbiorach przestrzeni unormowanych\n_START_PARAGRAPH_\nPewne wyniki zwi\xc4\x85zane z istnieniem ekstrem\xc3\xb3w, otrzymane dla funkcji argument\xc3\xb3w rzeczywistych, przenosz\xc4\x85 si\xc4\x99 na funkcje okre\xc5\x9blone na podzbiorach przestrzeni unormowanych._NEWLINE_W dalszej cz\xc4\x99\xc5\x9bci tego paragrafu przez  rozumiana jest dowolna przestrze\xc5\x84 unormowana, za\xc5\x9b przez  pewien jej otwarty podzbi\xc3\xb3r. Funkcja  musi by\xc4\x87 r\xc3\xb3\xc5\xbcniczkowalna (w sensie Fr\xc3\xa9cheta) w zbiorze  Przez zapis  lub  rozumie si\xc4\x99 r\xc3\xb3\xc5\xbcniczk\xc4\x99 funkcji  kt\xc3\xb3ra jest odwzorowaniem liniowym i ci\xc4\x85g\xc5\x82ym przestrzeni  o warto\xc5\x9bciach w  Pochodna -tego rz\xc4\x99du funkcji (-krotnie r\xc3\xb3\xc5\xbcniczkowalnej) jest odwzorowaniem -liniowym przestrzeni  o warto\xc5\x9bciach rzeczywistych i oznaczana jest przez  lub _NEWLINE_Podobnie jak dla funkcji rzeczywistych, warunkiem koniecznym istnienia ekstremum w punkcie  jest, aby warto\xc5\x9b\xc4\x87 funkcji b\xc4\x99d\xc4\x85cej r\xc3\xb3\xc5\xbcniczk\xc4\x85 w  wynosi\xc5\x82a zero dla wszystkich punkt\xc3\xb3w w pewnym otoczeniu   Punkt, w kt\xc3\xb3rym r\xc3\xb3\xc5\xbcniczka si\xc4\x99 zeruje (jest funkcj\xc4\x85 stale r\xc3\xb3wn\xc4\x85 zero w pewnym otoczeniu ), nazywany jest punktem stacjonarnym._NEWLINE_Tak jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, w punkcie stacjonarnym wcale nie musi by\xc4\x87 ekstremum. Na przyk\xc5\x82ad dla funkcji  danej wzorem  kt\xc3\xb3rej wykresem jest paraboloida hiperboliczna, pochodne cz\xc4\x85stkowe  s\xc4\x85 jednocze\xc5\x9bnie r\xc3\xb3wne zeru tylko w punkcie  w kt\xc3\xb3rym  Jednocze\xc5\x9bnie wida\xc4\x87 (por. rysunek obok), \xc5\xbce w dowolnym otoczeniu zera funkcja przybiera zar\xc3\xb3wno warto\xc5\x9bci dodanie, jak i ujemne, a wi\xc4\x99c nie mo\xc5\xbce by\xc4\x87 w nim ekstremum.\n_START_SECTION_\nEkstrema mocne i s\xc5\x82abe\n_START_PARAGRAPH_\nSzukaj\xc4\x85c lokalnych ekstrem\xc3\xb3w funkcjona\xc5\x82\xc3\xb3w konieczne jest zdefiniowanie przestrzeni topologicznej. Najpro\xc5\x9bciej zrobi\xc4\x87 to konstruuj\xc4\x85c baz\xc4\x99 coraz w\xc4\x99\xc5\xbcszych otocze\xc5\x84 wok\xc3\xb3\xc5\x82 ka\xc5\xbcdego punktu dziedziny. Rozs\xc4\x85dnie jest przyj\xc4\x85\xc4\x87, \xc5\xbce ci\xc4\x85g funkcji nale\xc5\xbc\xc4\x85cych do coraz w\xc4\x99\xc5\xbcszych otocze\xc5\x84 powinien zbiega\xc4\x87 do funkcji  odpowiadaj\xc4\x85cej otaczanemu punktowi, jednak nie jest oczywiste, czy tak\xc5\xbce pochodne tych funkcji musz\xc4\x85 zbiega\xc4\x87 do pochodnej  Je\xc5\x9bli przyjmiemy, \xc5\xbce tak, to m\xc3\xb3wimy o tzw. ekstremum mocnym, je\xc5\x9bli natomiast dopuszczamy dowolne warto\xc5\x9bci pochodnej, o ekstremum s\xc5\x82abym. Ka\xc5\xbcde ekstremum mocne jest szczeg\xc3\xb3lnym przypadkiem s\xc5\x82abego, odwrotnie \xe2\x80\x93 niekoniecznie.\n_START_SECTION_\nGradacyjna analiza odpowiednio\xc5\x9bci\n_START_PARAGRAPH_\nCiekawym praktycznym zastosowaniem ekstremum lokalnego w przestrzeni par permutacji jest algorytm statystyczny, zwany gradacyjn\xc4\x85 analiz\xc4\x85 odpowiednio\xc5\x9bci (Grade Correspondence Analysis, GCA)._NEWLINE_Algorytm ma na celu przekszta\xc5\x82cenie badanych nominalnych cech statystycznych w cechy porz\xc4\x85dkowe tak, aby korelacja rangowa pomi\xc4\x99dzy nimi w zbiorze ucz\xc4\x85cym by\xc5\x82a maksymalna._NEWLINE_Algorytm GCA by\xc5\x82 stosowany m.in. do tabeli, w kt\xc3\xb3rej wiersze odpowiadaj\xc4\x85 okr\xc4\x99gom wyborczym, kolumny partiom politycznym, a liczby w kom\xc3\xb3rkach macierzy liczbie g\xc5\x82os\xc3\xb3w oddanych na poszczeg\xc3\xb3lne partie w poszczeg\xc3\xb3lnych okr\xc4\x99gach GCA rozmie\xc5\x9bci\xc5\x82o zar\xc3\xb3wno okr\xc4\x99gi wyborcze, jak i partie na skali, kt\xc3\xb3ra po zbadaniu okaza\xc5\x82a si\xc4\x99 odpowiada\xc4\x87 continuum lewica-prawica._NEWLINE_\xc5\x9aci\xc5\x9ble: danymi wej\xc5\x9bciowymi jest tzw. macierz kontyngencji, kt\xc3\xb3rej wiersze odpowiadaj\xc4\x85 mo\xc5\xbcliwym warto\xc5\x9bciom (tzw. etykietom) pewnej nominalnej cechy statystycznej (zwanej zmienn\xc4\x85 wierszow\xc4\x85), a kolumny mo\xc5\xbcliwym warto\xc5\x9bciom innej cechy nominalnej (zwanej zmienn\xc4\x85 kolumnow\xc4\x85). Warto\xc5\x9bci element\xc3\xb3w macierzy reprezentuj\xc4\x85 liczebno\xc5\x9b\xc4\x87 obserwacji w pr\xc3\xb3bie, dla kt\xc3\xb3rych rozwa\xc5\xbcane dwie cechy maj\xc4\x85 warto\xc5\x9bci przypisane do danego wiersza i kolumny._NEWLINE_Celem algorytmu jest znalezienie takiej permutacji wierszy i kolumn macierzy (czyli etykiet zmiennych wierszowej i kolumnowej), aby wsp\xc3\xb3\xc5\x82czynnik rho Spearmana dla powsta\xc5\x82ego rozk\xc5\x82adu dwuwymiarowego by\xc5\x82 najwi\xc4\x99kszy. Odpowiada to znalezieniu takiego uszeregowania etykiet zmiennych nominalnych, aby powsta\xc5\x82e w ten spos\xc3\xb3b zmienne porz\xc4\x85dkowe wykazywa\xc5\x82y mo\xc5\xbcliwie du\xc5\xbc\xc4\x85 zale\xc5\xbcno\xc5\x9b\xc4\x87 statystyczn\xc4\x85 w sensie korelacji rangowej._NEWLINE_GCA jest algorytmem iteracyjnym, kt\xc3\xb3ry wielokrotnie startuj\xc4\x85c od losowych permutacji wierszy i kolumn macierzy, dochodzi do r\xc3\xb3\xc5\xbcnych lokalnych maksim\xc3\xb3w rho Spearmana. Maksima s\xc4\x85 lokalne w tym sensie, \xc5\xbce aby uzyska\xc4\x87 wi\xc4\x99ksz\xc4\x85 warto\xc5\x9b\xc4\x87 trzeba zmieni\xc4\x87 jednocze\xc5\x9bnie kolejno\xc5\x9b\xc4\x87 wierszy i kolumn macierzy. Zmiana wy\xc5\x82\xc4\x85cznie kolejno\xc5\x9bci wierszy lub wy\xc5\x82\xc4\x85cznie kolejno\xc5\x9bci kolumn nie da wy\xc5\xbcszej warto\xc5\x9bci rho.'