b'\n_START_ARTICLE_\nKopa\n_START_SECTION_\nKopu aprakst\xc4\xab\xc5\xa1ana\n_START_PARAGRAPH_\nKopu iesp\xc4\x93jams aprakst\xc4\xabt, piem\xc4\x93ram, uzr\xc4\x81dot visus t\xc4\x81s elementus. Ja tas nav iesp\xc4\x93jams (piem\xc4\x93ram, bezgal\xc4\xabgas kopas gad\xc4\xabjum\xc4\x81), tad nor\xc4\x81da kop\xc4\xabgo \xc4\xabpa\xc5\xa1\xc4\xabbu, k\xc4\x81da piem\xc4\xabt \xc5\xa1\xc4\xabs kopas elementiem un nepiem\xc4\xabt nevienam citam objektam.\n_START_SECTION_\nDarb\xc4\xabbas ar kop\xc4\x81m\n_START_PARAGRAPH_\nDivas kopas A un B sauc par vien\xc4\x81d\xc4\x81m un raksta A = B, ja t\xc4\x81s sast\xc4\x81v no vieniem un tiem pa\xc5\xa1iem elementiem (elementu sec\xc4\xabbai kop\xc4\x81 nav noz\xc4\xabmes)._NEWLINE_Piem\xc4\x93rs: Kopas X = {1, 3, 5, 7, 9} un Y = {7, 1, 5, 9, 3} ir vien\xc4\x81das, jo t\xc4\x81s sast\xc4\x81v no vieniem un tiem pa\xc5\xa1iem skait\xc4\xbciem._NEWLINE_Kopas A un B ir vien\xc4\x81das tad un tikai tad, ja kopa A ietilpst kop\xc4\x81 B un kopa B ietilpst kop\xc4\x81 A._NEWLINE_Divas kopas sauc par ekvivalent\xc4\x81m un raksta A ~ B, ja katram kopas A elementam a ir piek\xc4\x81rtots viens un tikai viens kopas B elements b un turkl\xc4\x81t katrs kopas B elements b ir piek\xc4\x81rtots vienam un tikai vienam kopas A elementam. No t\xc4\x81 izriet, ka divas kopas var b\xc5\xabt ekvivalentas tad un tikai tad, ja t\xc4\x81m ir vien\xc4\x81ds elementu skaits._NEWLINE_Par divu kopu A un B \xc5\xa1\xc4\xb7\xc4\x93lumu sauc t\xc4\x81du kopu C, kas sast\xc4\x81v no visiem tiem elementiem, kuri pieder gan kopai A, gan ar\xc4\xab kopai B. Ja div\xc4\x81m kop\xc4\x81m nav kop\xc4\xabgu elementu, tad to \xc5\xa1\xc4\xb7\xc4\x93lums ir tuk\xc5\xa1a kopa._NEWLINE_Piem\xc4\x93rs: Ja A = {1, 3, 5, 7} un B = {5, 7, 9}, tad C = {5, 7}._NEWLINE_Par divu kopu A un B apvienojumu sauc t\xc4\x81du kopu C, kas sast\xc4\x81v no visiem tiem elementiem, kuri pieder vismaz vienai no dotaj\xc4\x81m kop\xc4\x81m._NEWLINE_Piem\xc4\x93rs: Ja A = {2, 4, 6, 8} un B = {4, 8, 10}, tad C = {2, 4, 6, 8, 10}._NEWLINE_Par divu kopu A un B starp\xc4\xabbu sauc t\xc4\x81du kopu C, kas sast\xc4\x81v no visiem tiem kopas A elementiem, kuri nepieder kopai B._NEWLINE_Piem\xc4\x93rs: Ja A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} un B = {2, 4, 6, 8, 10}, tad C = {1, 3, 5}._NEWLINE_Par divu kopu A un B Dekarta reizin\xc4\x81jumu sauc t\xc4\x81du kopu C, kuras elementi ir visi iesp\xc4\x93jamie kopu A un B elementu sak\xc4\x81rtotie p\xc4\x81ri (a,b), kur a ir kopas A elements, bet b ir kopas B elements._NEWLINE_Piem\xc4\x93rs: Ja A = {2, 4, 6} un B = {1, 3, 5}, tad A \xc3\x97 B = {(2,1), (4,1), (6,1), (2,3), (4,3), (6,3), (2,5), (4,5), (6,5)}.\n_START_SECTION_\nKopu paradoksi\n_START_PARAGRAPH_\nSaist\xc4\xabb\xc4\x81 ar kop\xc4\x81m ir atkl\xc4\x81ti paradoksi, kas liek sav\xc4\x81d\xc4\x81k paskat\xc4\xabties uz matem\xc4\x81tiku un p\xc4\x81rdom\xc4\x81t da\xc5\xbeas aksiomas. Piem\xc4\x93ram, ir \xc5\xa1\xc4\x81ds jaut\xc4\x81jums: vai eksist\xc4\x93 visu kopu kopa? Ja t\xc4\x81 eksist\xc4\x93tu, tad to apz\xc4\xabm\xc4\x93jot ar , ieg\xc5\xabtu, ka , jo  satur visas kopas, t\xc4\x81p\xc4\x93c ar\xc4\xab pa\xc5\xa1u . Tom\xc4\x93r, run\xc4\x81jot par kop\xc4\x81m, pie\xc5\x86em, ka jebkura kopa nesatur sevi k\xc4\x81 elementu. T\xc4\x81p\xc4\x93c secin\xc4\x81m, ka \xc5\xa1\xc4\x81da kopa  neeksist\xc4\x93. L\xc4\xabdz\xc4\xabgi var pier\xc4\x81d\xc4\xabt, ka neeksist\xc4\x93 visu t\xc4\x81du kopu kopa, kas nesatur sevi k\xc4\x81 elementu. Tas savuk\xc4\x81rt r\xc4\x81da, ka ne vienm\xc4\x93r visi tie objekti, kuriem piem\xc4\xabt k\xc4\x81da \xc4\xabpa\xc5\xa1\xc4\xabba , veido kopu.\n_START_SECTION_\nApak\xc5\xa1kopas\n_START_PARAGRAPH_\nJa k\xc4\x81das kopas A visi elementi pieder ar\xc4\xab k\xc4\x81dai kopai B, tad saka, ka kopa A ir kopas B apak\xc5\xa1kopa. To pieraksta \xc5\xa1\xc4\x81di: .'