b'\n_START_ARTICLE_\nKopu teorija\n_START_PARAGRAPH_\nKopu teorija ir matem\xc4\x81tikas nozare, kas p\xc4\x93ta kopas un to \xc4\xabpa\xc5\xa1\xc4\xabbas. Kaut gan kopas var sast\xc4\x81v\xc4\x93t no jebk\xc4\x81diem objektiem, kopu teorija parasti tiek lietota objektiem, kas ir saist\xc4\xabti ar matem\xc4\x81tiku. Kopu teorijas valodu var izmantot gandr\xc4\xabz visu matem\xc4\x81tisko objektu defin\xc4\xabcij\xc4\x81s._NEWLINE_Modernos kopu teorijas p\xc4\x93t\xc4\xabjumus aizs\xc4\x81ka Georgs Kantors un Rihards D\xc4\x93dekinds ap 1870. gadu. P\xc4\x93c paradoksu atkl\xc4\x81\xc5\xa1anas naivaj\xc4\x81 kopu teorij\xc4\x81, 20. gs. s\xc4\x81kum\xc4\x81 tika pied\xc4\x81v\xc4\x81tas daudzas aksiomu sist\xc4\x93mas, no kur\xc4\x81m labi paz\xc4\xabstamas ir Cermelo-Frenkela aksiomas un izv\xc4\x93les aksioma.\n_START_SECTION_\nKopa\n_START_PARAGRAPH_\nKopa ir matem\xc4\x81tikas pamatj\xc4\x93dziens, to nevar defin\xc4\x93t ar citu j\xc4\x93dzienu pal\xc4\xabdz\xc4\xabbu.  Ar j\xc4\x93dzienu "kopa" matem\xc4\x81tik\xc4\x81 saprot vair\xc4\x81kus priek\xc5\xa1metus vai objektus, kas apvienoti vien\xc4\x81 vesel\xc4\x81 p\xc4\x93c k\xc4\x81das visiem tiem kop\xc4\xabgas paz\xc4\xabmes. Piem\xc4\x93ram, Eiropas valstu kopa, pirm\xc4\x81 kursa studentu kopa, visu natur\xc4\x81lo skait\xc4\xbcu kopa.\n_START_SECTION_\nKopas elementi\n_START_PARAGRAPH_\nObjekti, no kuriem veidotas kopas, var b\xc5\xabt ne tikai materi\xc4\x81li priek\xc5\xa1meti, bet ar\xc4\xab abstrakti j\xc4\x93dzieni, k\xc4\x81 punkti, skait\xc4\xbci, fig\xc5\xabras u.t.t. \xc5\xa0os objektus, no kuriem viedojas kopa, sauc par kopas elementiem. Piem\xc4\x93ram, natur\xc4\x81lo skait\xc4\xbcu kopas  elementi ir 1, 2, 3, 4, ...\n_START_SECTION_\nKopas un t\xc4\x81s elementu apz\xc4\xabm\xc4\x93jumi\n_START_PARAGRAPH_\nKopas parasti apz\xc4\xabm\xc4\x93 ar lat\xc4\xab\xc5\x86u alfab\xc4\x93ta lielajiem burtiem, bet kopu elementus - ar mazajiem burtiem. Attieksmi starp kopu un t\xc4\x81s elementiem, ko izsaka ar v\xc4\x81rdiem "b\xc5\xabt elementam", "ietilpt kop\xc4\x81", apz\xc4\xabm\xc4\x93 ar\xc4\xab ar v\xc4\x81rdu "pieder\xc4\x93t"._NEWLINE_Ja k\xc4\x81ds objekts  ir kopas  elements, tad raksta  un lasa " pieder pie kopas ", " ir kopas  elements"._NEWLINE_Ja objekts  nav kopas  elements, tad raksta  jun lasa " nepieder pie kopas ", " nav kopas  elements"\n_START_SECTION_\nKopu pieraksts\n_START_PARAGRAPH_\nJa kopu uzdod ar pirmo veidu, t\xc4\x81s elementus sarakstu iesl\xc4\x93dz fig\xc5\xabriekav\xc4\x81s. Piem\xc4\x93ram, ; pavasaris, vasara, rudens, ziema._NEWLINE_Ja kopu uzdod ar otro veidu, tad fig\xc5\xabriekav\xc4\x81 vispirms raksta kopas elementu visp\xc4\x81r\xc4\xabgo apz\xc4\xabm\xc4\x93jumu, novelk vertik\xc4\x81lu sv\xc4\xabtru un aiz t\xc4\x81s raksta elementu rakstur\xc4\xabgo \xc4\xabpa\xc5\xa1\xc4\xabbu._NEWLINE_Piem\xc4\x93ram,  ir pirmskaitlis,  ir b\xc4\x93rzi, kuru augstums p\xc4\x81rsniedz 20 metrus.\n_START_SECTION_\nTuk\xc5\xa1a kopa\n_START_PARAGRAPH_\nKopu, kura nesatur nevienu elementu sauc par tuk\xc5\xa1u kopu. Piem\xc4\x93ram,  ir natur\xc4\x81ls skaitlis, kur\xc5\xa1 maz\xc4\x81ks par 1. Tuk\xc5\xa1u kopu apz\xc4\xabm\xc4\x93 ar simbolu .\n_START_SECTION_\nGal\xc4\xabgas kopas\n_START_PARAGRAPH_\nKopu sauc par gal\xc4\xabgu, ja var saskait\xc4\xabt t\xc4\x81s elementus, vai ar\xc4\xab, ja var pier\xc4\x81d\xc4\xabt, ka elementu skaits kop\xc4\x81 nep\xc4\x81rsniedz iepriek\xc5\xa1 dotu natur\xc4\x81lu skaitli._NEWLINE_Kopu  ir gal\xc4\xabga, jo taj\xc4\x81 ir tr\xc4\xabs elementi._NEWLINE_Latvijas za\xc4\xb7u kopa. Protams, nevar prec\xc4\xabzi pateikt, cik za\xc4\xb7u ir Latvij\xc4\x81, tom\xc4\x93r var dro\xc5\xa1i apgalvot, ka za\xc4\xb7u skaits taj\xc4\x81 nep\xc4\x81rsniedz ._NEWLINE_Tuk\xc5\xa1a kopa ir gal\xc4\xabga, jo elementu skaits taj\xc4\x81 ir 0.\n_START_SECTION_\nBezgal\xc4\xabgas kopas\n_START_PARAGRAPH_\nKopu, kur\xc4\x81 elementu skaits ir liel\xc4\x81ks nek\xc4\x81 jebkur\xc5\xa1 iepriek\xc5\xa1 dots natur\xc4\x81ls skaitlis , sauc par bezgal\xc4\xabgu._NEWLINE_Taisnes punktu kopa, natur\xc4\x81lu skait\xc4\xbcu kopa .\n_START_SECTION_\nKopu grafisk\xc4\x81 ilustr\xc4\x81cija\n_START_PARAGRAPH_\nKatru kopu var att\xc4\x93lot grafiski k\xc4\x81 Eilera-Venna diagrammu, uzz\xc4\xabm\xc4\x93jot sl\xc4\x93gtu kont\xc5\xabru, pie\xc5\x86emot, ka dot\xc4\x81s kopas elementus reprezent\xc4\x93 ieg\xc5\xabt\xc4\x81s fig\xc5\xabras punkti. Pa\xc5\xa1us punktus z\xc4\xabm\xc4\x93jum\xc4\x81 var ar\xc4\xab neuzr\xc4\x81d\xc4\xabt. Att\xc4\x93l\xc4\x81 pa labi redzams, ka kopa  ietilpst kop\xc4\x81 , kaut ar\xc4\xab \xc5\xa1aj\xc4\x81 z\xc4\xabm\xc4\x93jum\xc4\x81 tie\xc5\xa1i neredzam kopas  un  elementus un nezin\xc4\x81m, k\xc4\x81das ir kopas  un .\n_START_SECTION_\nApak\xc5\xa1kopas\n_START_PARAGRAPH_\nKopu  auc par kopas  apak\xc5\xa1kopu, ja katrs kopas  elements ir ar\xc4\xab kopas  elements._NEWLINE_, kopa  ir kopas  apak\xc5\xa1kopa, l\xc4\xabdzv\xc4\x93rt\xc4\xabgi , kopa  aptver kopu . Attieksmes  grafiskais att\xc4\x93lojums redzams z\xc4\xabm\xc4\x93jum\xc4\x81.\n_START_SECTION_\n\xc4\xaast\xc4\x81s un ne\xc4\xabst\xc4\x81s apak\xc5\xa1kopas\n_START_PARAGRAPH_\nMatem\xc4\x81tik\xc4\x81 uzskata, ka tuk\xc5\xa1a kopa  ir katras kopas  apak\xc5\xa1kopa. K\xc4\x81 ar\xc4\xab p\xc4\x93c defin\xc4\xabcijas kopa  ir pati sev apak\xc5\xa1kopa. Pa\xc5\xa1u kopu  un tuk\xc5\xa1o kopu  sauc par kopas  ne\xc4\xabst\xc4\x81m apak\xc5\xa1kop\xc4\x81m._NEWLINE_Kopas  jebkuru netuk\xc5\xa1u apak\xc5\xa1kopu, kas nav vien\xc4\x81da ar visu kopu , sauc par kopas  \xc4\xabstu apak\xc5\xa1kopu.\n_START_SECTION_\nVien\xc4\x81das kopas\n_START_PARAGRAPH_\nKopas sauc par vien\xc4\x81d\xc4\x81m, ja kopas  un  sast\xc4\x81v no vieniem un tiem pa\xc5\xa1iem elementiem. Kopas elementu sec\xc4\xabbai nav noz\xc4\xabmes._NEWLINE_Kopu vien\xc4\x81d\xc4\xabbas pietiekamais un nepiecie\xc5\xa1amais nosac\xc4\xabjums ir, ka kopas  un  ir vien\xc4\x81das tad un tikai tad, ja  un ar\xc4\xab .\n_START_SECTION_\nDarb\xc4\xabbas ar kop\xc4\x81m\n_START_PARAGRAPH_\nAr kop\xc4\x81m var veikt da\xc5\xbe\xc4\x81das darb\xc4\xabbas, kuru rezult\xc4\x81t\xc4\x81 var ieg\xc5\xabt jaunas kopas. Visu apl\xc5\xabkojamo objektu kopu sauc par universu jeb univers\xc4\x81lo kopu un apz\xc4\xabm\xc4\x93 ar burtu .'