b'\n_START_ARTICLE_\nM\xc3\xb6biusova traka\n_START_SECTION_\nSvojstva\n_START_PARAGRAPH_\nM\xc3\xb6biusova traka ima nekoliko zanimljivih svojstava. Kao primjer se \xc4\x8desto navodi mrav koji hoda du\xc5\xbe nje. Nakon jednog obilaska na\xc4\x87i \xc4\x87e se sa suprotne strane svoje po\xc4\x8detne to\xc4\x8dke, a nakon dva, u svojoj po\xc4\x8detnoj to\xc4\x8dki._NEWLINE_Rezanjem M\xc3\xb6biusove trake po sredini dobiva se jedna du\xc5\xbea traka sa dva puna obrta, a ne dvije odvojene trake, kao \xc5\xa1to bi se o\xc4\x8dekivalo. Dobivena traka nije M\xc3\xb6biusova._NEWLINE_Sa druge strane, ako se M\xc3\xb6biusova traka re\xc5\xbee ne po sredini, ve\xc4\x87 na razdaljini od jedne tre\xc4\x87ine svoje \xc5\xa1irine do ruba, rezultat sje\xc4\x8denja \xc4\x87e biti dvije trake: kra\xc4\x87a, koja jest M\xc3\xb6biusova, i du\xc5\xbea, koja sadr\xc5\xbei dva puna obrta (i koja nije M\xc3\xb6biusova i koja bi se ina\xc4\x8de dobila rezanjem po\xc4\x8detne trake na dva dijela)._NEWLINE_Uop\xc4\x87eno, prepolavljanjem trake koja ima 2n-1 poluobrta, dobiva se traka sa 2n punih obrta. Presijecanjem trake koja ima 2n poluobrta, dobivaju se dvije iste takve trake, me\xc4\x91usobno uvijene n puta. Na primjer, za n = 2, nakon rezanja \xc4\x87e jedna traka biti 2 puta obmotana oko druge. Za n = 1 dobit \xc4\x87e se dvije karike lanca._NEWLINE_Dodavanjem jo\xc5\xa1 obrta i spajanjem krajeva dobivaju se figure koje se nazivaju paradromski prsteni.\n_START_SECTION_\nOrijentabilnost\n_START_PARAGRAPH_\nPovr\xc5\xa1ina je orijentabilna ukoliko za proizvoljnu jednostavnu zatvorenu krivu na toj povr\xc5\xa1ini i bilo koju to\xc4\x8dku na toj krivoj va\xc5\xbei sljede\xc4\x87e: normalni vektor u toj to\xc4\x8dki neprekidnim kretanjem du\xc5\xbe krive se vra\xc4\x87a u svoj po\xc4\x8detni polo\xc5\xbeaj bez promjene smjera._NEWLINE_M\xc3\xb6biusova traka nije orijentabilna, \xc5\xa1to je ilustrirano animacijom desno._NEWLINE_Neorijentabilnost M\xc3\xb6biusove trake se mo\xc5\xbee dokazati i ako se ona predstavi poliedarski (slika dolje desno). Tada je tabela povezanosti tjemena, rub i pljosni ovog modela:_NEWLINE_T = \\{0, 1, 2, 3, 4, 5\\};_NEWLINE_I = \\{03, 32, 21, 10, 24, 45, 53, 40, 15\\};_NEWLINE_p_0 = \\langle 0, 3, 2, 1\\rangle,\\ p_1 = \\langle 3, 2, 4, 5\\rangle,\\ p_2 = \\langle 4, 0, 1, 5\\rangle;_NEWLINE_gdje T predstavlja skup tjemena, I skup rubova, a p_k su pljosni._NEWLINE_Poliedarska povr\xc5\xa1ina je orijentabilna ako se mo\xc5\xbee uskladiti orijentacija susjednih pljosni, odnosno, kada svake dve susjedne pljosni induciraju suprotnu orijentaciju zajedni\xc4\x8dkog ruba._NEWLINE_Svaki poku\xc5\xa1aj uskla\xc4\x91ivanja orijentacije pljosni M\xc3\xb6biusove trake biva neuspje\xc5\xa1an. Na primjer:_NEWLINE_Promatraju\xc4\x87i najjednostavniji poliedarski model M\xc3\xb6biusove trake (slika desno), vidi se da su sve tri pljosni susjedne. To zna\xc4\x8di da orijentacija svake pljosni mora da biti uskla\xc4\x91ena sa ostale dvije. Ako se uskladi orijentacija p_1 sa p_0, dobiva se: p_1 = <5, 4, 2, 3>. Tada je p_2 sa p_1 uskla\xc4\x91eno, ali p_2 sa p_0 nije. Ako promijenimo orijentaciju p_0, onda ona vi\xc5\xa1e ne\xc4\x87e biti uskla\xc4\x91ena sa p_1. Na ovaj na\xc4\x8din je dokazano da se orijentacije pljosni M\xc3\xb6biusove trake ne mogu uskladiti, pa ona nije orijentabilna.\n_START_SECTION_\nEulerova karakteristika\n_START_PARAGRAPH_\nFormula za izra\xc4\x8dunavanje Eulerove karakteristike poliedarske povr\xc5\xa1ine je sljede\xc4\x87a:_NEWLINE_\\chi=T-I+P,_NEWLINE_gdje je T broj tjemena, I broj rubova, a P broj pljosni._NEWLINE_Poliedarski model M\xc3\xb6biusove trake predstavljen na slici desno ima 6 tjemena, 9 rubova i 3 pljosni. Dakle, Eulerova karakteristika iznosi 0.\n_START_SECTION_\nGeometrija i Topologija\n_START_PARAGRAPH_\nJedan na\xc4\x8din za predstavljanje M\xc3\xb6biusove trake kao podskupa R3 je putem parametrizacije:_NEWLINE_x(u,v)= \\left(1+\\frac{v}{2} \\cos \\frac{u}{2}\\right)\\cos u_NEWLINE_y(u,v)= \\left(1+\\frac{v}{2} \\cos\\frac{u}{2}\\right)\\sin u_NEWLINE_z(u,v)= \\frac{v}{2}\\sin \\frac{u}{2} ,_NEWLINE_gdje je \\, 0 \\leq u < 2\\pi\\, i \\, -1 \\leq v \\leq 1\\,. Ovo daje M\xc3\xb6biusovu traku \xc5\xa1irine 1, \xc4\x8dija sredi\xc5\xa1nja kru\xc5\xbenica ima polupre\xc4\x8dnik 1, le\xc5\xbei u Oxy ravni i centar joj je u koordinatnom po\xc4\x8detku. Parametar u kre\xc4\x87e se du\xc5\xbe trake, dok v ide od jednog ruba do drugog. U cilindri\xc4\x8dnim koordinatama M\xc3\xb6biusova traka mo\xc5\xbee se predstaviti pomo\xc4\x87u jednad\xc5\xbebe:_NEWLINE_\\log(r)\\sin\\left(\\frac{1}{2}\\theta\\right)=z\\cos\\left(\\frac{1}{2}\\theta\\right).\n_START_SECTION_\nRa\xc4\x8dunarska grafika\n_START_PARAGRAPH_\nM\xc3\xb6biusova traka se \xc4\x8desto koristi u ra\xc4\x8dunarskoj grafici ili softverskim paketima za modeliranje._NEWLINE_Na primjer, u Autodesk|3D Studio Max softveru, M\xc3\xb6biusovu traku dobivamo iscrtavanjem kvadrata (plane) i primjenom twist i bend modifikatora za po 180\xc2\xba i 360\xc2\xba.\n_START_SECTION_\nSli\xc4\x8dni objekti\n_START_PARAGRAPH_\nM\xc3\xb6biusova traka je veoma usko povezana sa Klajnovom bocom. Klajnova boca se mo\xc5\xbee napraviti spajanjem dve M\xc3\xb6biusove trake po njihovim granicama. Me\xc4\x91utim, ovo se u trodimenzionalnom euklidskom prostoru ne mo\xc5\xbee posti\xc4\x87i bez samopresjeka._NEWLINE_Jo\xc5\xa1 jedan sli\xc4\x8dan objekt je realna projektivna ravan koja se dobija lijepljenjem M\xc3\xb6biusove trake i diska po njihovim rubovima. Realna projektivna ravan tako\xc4\x91er ne mo\xc5\xbee biti realizirana u trodimenzionalnom prostoru bez samopresjeka._NEWLINE_U teoriji grafova, M\xc3\xb6biusove ljestve su 3-regularan graf sa 2n \xc4\x8dvorova. Ovakvi grafovi nose ovo ime jer u sebi (osim u slu\xc4\x8daju kada je broj \xc4\x8dvorova \xc5\xa1est, tj. n=3) sadr\xc5\xbee to\xc4\x8dno n ciklusa du\xc5\xbeine 4 \xc4\x8dijim se spajanjem po zajedni\xc4\x8dkim rubovima dobiva M\xc3\xb6biusova traka.\n_START_SECTION_\nPrimjena\n_START_PARAGRAPH_\nM\xc3\xb6biusova traka, zbog svojih osobina, nalazi brojne primjene u raznim podru\xc4\x8djima._NEWLINE_Koristi se u fizici i elektrotehnici._NEWLINE_U tvornicama se koristi kao pokretna traka. Na taj na\xc4\x8din je svaki dio trake optere\xc4\x87en istom te\xc5\xbeinom, te je ona dugotrajnija. Ista ideja se primjenjivala i u industriji kaseta (kako bi se udvostru\xc4\x8dilo vrijeme trajanja snimka). Tako\xc4\x91er se koristi u industriji printera i pisa\xc4\x87ih ma\xc5\xa1ina._NEWLINE_M\xc3\xb6biusov otpornik je element elektronskog kola, koji ima svojstvo poni\xc5\xa1tavanja vlastite induktivne reaktante. Nikola Tesla je po\xc4\x8detkom dvadesetog stolje\xc4\x87a patentirao sli\xc4\x8dnu tehnologiju, koju je namjeravao koristiti u svom sistemu za globalni be\xc5\xbei\xc4\x8dni prijenos elektriciteta._NEWLINE_Inspiracija je za veliki broj umjetni\xc4\x8dkih djela. Nalazi se ispred ulaza u Muzej ameri\xc4\x8dke povijesti u Washingtonu._NEWLINE_Nalazila se na brazilskoj po\xc5\xa1tanskoj markici 1977. godine, a na belgijskoj 1969. godine._NEWLINE_M\xc3\xb6biusova traka je usvojena kao me\xc4\x91unarodni znak za recikla\xc5\xbeu. Tako\xc4\x91er se koristi kao simbol Google Drive-a.'