b'\n_START_ARTICLE_\nTeorem o ekstremnim vrijednostima\n_START_PARAGRAPH_\nU diferencijalnom ra\xc4\x8dunu, teorem o ekstremnim vrijednostima tvrdi da, ako je realna funkcija f neprekidna na ograni\xc4\x8denom segmentu [a, b], onda ona mora dosegnuti maksimum i minimum, svaki barem jednom. To jest, postoje brojevi c i d u [a, b] takvi da:_NEWLINE_._NEWLINE_Srodni teorem je teorem o ograni\xc4\x8denosti koji ka\xc5\xbee da je neprekidna funkcija f na segmentu [a, b] ograni\xc4\x8dena na tom segmentu. To jest, postoje realni brojevi m i M takvi da:_NEWLINE_._NEWLINE_Teorem o ekstremnim vrijednostima oboga\xc4\x87uje teorem o ograni\xc4\x8denosti govore\xc4\x87i da ne samo da je funkcija ograni\xc4\x8dena, nego u isto vrijeme dosti\xc5\xbee svoju najmanju gornju me\xc4\x91u kao svoj maksimum i najve\xc4\x87u donju me\xc4\x91u kao svoj minimum._NEWLINE_Teorem o ekstremnim vrijednostima se upotrebljava u dokazu Rolleovog teorema. U formulaciji od Karla Weierstrassa, taj teorem tvrdi da neprekidna funkcija iz nepraznog kompaktnog prostora u podskup realnih brojeva dosti\xc5\xbee maksimum i minimum.\n_START_SECTION_\nPovijest\n_START_PARAGRAPH_\nTeorem o ekstremnim vrijednostima je originalno dokazao Bernard Bolzano u 1830-ima u djelu Teorija funkcija ali je djelo ostalo neobjavljeno sve do 1930. Bolzanov dokaz sastojao se u pokazivanju da je neprekidna funkcija na segmentu ograni\xc4\x8dena, i tada da funkcija dosti\xc5\xbee svoj minimum i maksimum. U oba dokaza se pojavljuje teorem koji je danas poznat pod nazivom Bolzano-Weierstrassov teorem (Rusknock i Kerr-Lawson 2005). Taj rezultat je otkrio kasnije Weierstrass u 1860.\n_START_SECTION_\nGeneralizacija na metri\xc4\x8dke i topolo\xc5\xa1ke prostore\n_START_PARAGRAPH_\nU prelasku sa  na op\xc4\x87enite metri\xc4\x8dke i topolo\xc5\xa1ke prostore, prikladna generalizacija ograni\xc4\x8denog segmenta je kompaktni skup. Skup K je kompaktan ako ima sljede\xc4\x87e svojstvo: iz svake kolekcije otvorenih skupova  takve da je , kona\xc4\x8dna podkolekcija  mo\xc5\xbee biti izabrana tako da . To se naziva Heine-Borel svojstvo, i obi\xc4\x8dno se izri\xc4\x8de u kratko kao "svaki otvoreni pokriva\xc4\x8d od K ima kona\xc4\x8dni podpokriva\xc4\x8d." Heine-Borel teorem tvrdi da je podskup realnih brojeva kompaktan ako i samo ako je i zatvoren i ograni\xc4\x8den._NEWLINE_Koncept neprekidne funkcije tako\xc4\x91er se mo\xc5\xbee poop\xc4\x87iti. Neka su dani topolo\xc5\xa1ki prostori V, W, funkcija  je neprekidna ako je za svaki otvoreni skup ,  tako\xc4\x91er otvoren. S obzirom na te definicije, mo\xc5\xbee se pokazati da neprekidna funkcija \xc4\x8duva kompaktnost._NEWLINE_Teorem. Ako su  topolo\xc5\xa1ki prostori,  neprekidna funkcija,  je kompaktan, tada je i  isto kompaktan._NEWLINE_Posebno, ako je  tada taj teorem implicira da je  zatvoren i ograni\xc4\x8den za svaki kompaktni skup , \xc5\xa1to opet implicira da  dosti\xc5\xbee svoj supremum i infimum  na svakom (nepraznom) kompaktnom skupu . Prema tome, imamo sljede\xc4\x87u generalizaciju teorema o ekstremnoj vrijednosti:_NEWLINE_Teorem Ako je  kompaktni skup i  neprekidna funkcija, tada je  ograni\xc4\x8dena i postoje_NEWLINE_ takvi da  i .'