b'\n_START_ARTICLE_\nRussellov paradoks\n_START_PARAGRAPH_\nRussellov paradoks (poznat i kao Russellova antinomija) dio je osnovne matematike, koji je otkrio Bertrand Russell 1901., pokazav\xc5\xa1i da je Fregeova naivna teorija skupova kontradiktorna._NEWLINE_Mo\xc5\xbeemo pretpostaviti da za bilo koji formalni kriterij postoji skup \xc4\x8diji su \xc4\x8dlanovi oni (i samo oni) objekti koji zadovoljavaju kriterij; ali ta pretpostavka je pobijena skupom koji sadr\xc5\xbei skupove koji nisu \xc4\x8dlanovi samih sebe. Ako je takav skup svoj \xc4\x8dlan, to bi bila kontradikcija samoj njegovoj definiciji skupa koji sadr\xc5\xbei skupove koji nisu \xc4\x8dlanovi samog sebe. S druge strane, ako takav skup ne sadr\xc5\xbei sam sebe, bio bi \xc4\x8dlan samoga sebe po istoj definiciji. Ovo proturje\xc4\x8dje zove se Russellov paradoks. Paradoks glasi\n_START_SECTION_\nFormalni zapis\n_START_PARAGRAPH_\nDo paradoksa dolazimo dokazivanjem da R nije skup. Po\xc4\x8dinjemo s pretpostavkom da je R skup. Na to ispitujemo vrijedi li da je_NEWLINE_R \xe2\x88\x88 R _NEWLINE_Prvo pretpostavljamo da to vrijedi, \xc5\xa1to zna\xc4\x8di da je R element skupa R. Time ispunjava svojstvo koje va\xc5\xbei za sve njegove elemente odnosno _NEWLINE_ , \xc4\x8dime bi za R zna\xc4\x8dilo _NEWLINE_ _NEWLINE_Tako smo dobili ishod suprotan po\xc4\x8detnoj pretpostavci odnosno proturje\xc4\x8dnost. Slijedi zaklju\xc4\x8dak da mora vrijediti _NEWLINE_ _NEWLINE_Tada pak R ispunjava uvjet iz definicije za skup R, \xc5\xa1to bi zna\xc4\x8dilo da je R jedan element skupa R to jest _NEWLINE_R \xe2\x88\x88 R , odnosno s ove strane opet imamo proturje\xc4\x8dnost._NEWLINE_Zavr\xc5\xa1ni zaklju\xc4\x8dak je da pretpostavka da je R skup vodi u proturje\xc4\x8dnost, odnosno kolekcija R nije skup.'