b'\n_START_ARTICLE_\nMuutkond\n_START_SECTION_\nSissejuhatus\n_START_PARAGRAPH_\nHeaks n\xc3\xa4iteks muutkondade m\xc3\xb5istmisel on raskused, mis tekivad Maa pinna kujutamisel tasandil. Sellep\xc3\xa4rast ongi muutkondadega seotud terminoloogiasse laenatud kartograafia valdkonna s\xc3\xb5nu.\n_START_SECTION_\nKaardid\n_START_PARAGRAPH_\nMaapinnal orienteerumiseks kasutatakse kaarte, millest on kokku pandud atlased. Kaardi \xc3\xa4\xc3\xa4rel on j\xc3\xa4rgmise kaardiga m\xc3\xb5tteliseks kokkukleepimiseks vajalik info. Selliseks kokkukleepimiseks on tarvis teatud liiasust: n\xc3\xa4iteks v\xc3\xb5ib Moskva figureerida nii Euroopa kui ka Aasia kaardil. Samamoodi saab muutkonna kirjeldamiseks kasutada matemaatilist kaardi ja atlase m\xc3\xb5istet: kaardid on kogutud atlasesse, n\xc3\xa4idates, kuidas \xc3\xbchelt kaardilt teisele \xc3\xbcle minna (kaarti vahetada). Gloobus annab t\xc3\xbc\xc3\xbcpilise muutkonna n\xc3\xa4ite, sest teda saab kujutada kartograafiliste kaartide kogumi abil._NEWLINE_  _NEWLINE_Kaart on muutkonna osa, mis on analoogne vektorruumi osaga; kaartide vahetused n\xc3\xa4itavad, kuidas need muutkondade osad omavahel koos k\xc3\xa4ivad. Nii v\xc3\xb5ib ringjoone kirjeldamisel v\xc3\xb5tta kaartideks kaared, mis osalt kattuvad; kaartide vahetus annab teada, kuidas toimub kattumise piirkonnas kokkukleepimine. _NEWLINE_Muutkonda ei ole \xc3\xbcldjuhul v\xc3\xb5imalik kirjeldada \xc3\xbcheainsa kaardi abil, sest muutkonna globaalne ehitus erineb eeskujuks oleva ruumi ehitusest. N\xc3\xa4iteks ei saa \xc3\xbckski "lame" kaart kogu Maad adekvaatselt kirjeldada. _NEWLINE_Muutkonnad on topoloogilised ruumid ja nende topoloogia on \xc3\xbcheselt m\xc3\xa4\xc3\xa4ratud vastavate atlastega._NEWLINE_Olenevalt kaartide vahetuse rakendustest on muutkonnal tugevam v\xc3\xb5i n\xc3\xb5rgem struktuur, n\xc3\xa4iteks topoloogiline muutkond, diferentseeruv muutkond, s\xc3\xbcmplektiline muutkond, lokaalselt lame muutkond. Topoloogilise muutkonna puhul t\xc3\xa4hendab atlase defineerimine lihtsalt niisuguse topoloogia defineerimist, milles piisavalt v\xc3\xa4ikesed lahtised hulgad langevad kokku. Mainitud peenemate struktuuride puhul ei ole defineerimine ilma kaartide kasutamiseta v\xc3\xb5imalik.\n_START_SECTION_\nAbstraktne muutkond ja alammuutkond\n_START_PARAGRAPH_\nPaljud tasandi v\xc3\xb5i kolmem\xc3\xb5\xc3\xb5tmelise ruumi alamhulgad saab loomulikul moel varustada muutkonna struktuuriga: ringjoon, silinder, kerapind, M\xc3\xb6biuse leht jne. Neid nimetatakse alammuutkondadeks ehk sisestatud muutkondadeks. Peale selle r\xc3\xa4\xc3\xa4gitakse abstraktsetest muutkondadest, mis konstrueeritakse ilma, et neid vaadeldaks alammuutkondadena. K\xc3\xb5ige lihtsam n\xc3\xa4ide on n-m\xc3\xb5\xc3\xb5tmeline projektiivne ruum: see on lihtsalt k\xc3\xb5igi selliste sirgete hulk, mis l\xc3\xa4bivad koordinaatide alguspunkti vektorruumis m\xc3\xb5\xc3\xb5tmega n + 1. Teine n\xc3\xa4ide on Kleini pudel, mis on joonisel kujutatud ebat\xc3\xa4ielikul kujul. N\xc3\xa4itlikustamiseks tuleb ette kujutada, et klaassepp v\xc3\xb5tab tavalise pudeli, teeb p\xc3\xb5hja sisse augu, pikendab pudeli kaela, teeb selle k\xc3\xb5veraks, ajab selle maagiliselt pudeli k\xc3\xbclje seest l\xc3\xa4bi ning \xc3\xbchendab augu kohast p\xc3\xb5hjaga. Kleini pudelit saab kirjeldada kaartide ja koordinaatide s\xc3\xbcsteemi abil, mida siin on kujutatud meridiaanide ja paralleelide v\xc3\xb5rgustikuna (tegu on kahem\xc3\xb5\xc3\xb5tmelise muutkonnaga). _NEWLINE_Whitney sisestamisteoreem n\xc3\xa4itab, et iga n-m\xc3\xb5\xc3\xb5tmelist abstraktset muutkonda saab esitada piisavalt suure m\xc3\xb5\xc3\xb5tmega (nimelt 2n) muutkonna alammuutkonnana. Nii n\xc3\xa4iteks ei saa (2-m\xc3\xb5\xc3\xb5tmelist) Kleini pudelit sisestada 3-m\xc3\xb5\xc3\xb5tmelisse ruumi, k\xc3\xbcll aga moodustab ta 4-m\xc3\xb5\xc3\xb5tmelise ruumi alammuutkonna._NEWLINE_Abstraktsed muutkonnad v\xc3\xb5ivad algul tunduda \xc3\xbclearustena, kuid "\xc3\xbcmbritseva ruumiga" mittearvestamisel on oma eelised. N\xc3\xa4iteks ei n\xc3\xb5ua paljud uute muutkondade konstrueerimise viisid (n\xc3\xa4iteks faktormuutkondade moodustamine ja muutkondade kokkukleepimine) \xc3\xbcmbritseva ruumiga arvestamist. Kuigi teoreetiliselt on konstrueeritud muutkondi v\xc3\xb5imalik esitada m\xc3\xb5ne vektorruumi alammuutkondadena, ei ole praktikas otstarbekas seda teha ja see ei pakuks mingit huvi.\n_START_SECTION_\nAjalugu\n_START_PARAGRAPH_\nSiin on visandatud muutkonna m\xc3\xb5iste tekkelugu. Selle m\xc3\xb5iste rakendamise ajaloost matemaatika eri harudes (n\xc3\xa4iteks Riemanni geomeetria, s\xc3\xbcmplektiline geomeetria) on \xc3\xbcksikasjalisemalt juttu nendele harudele p\xc3\xbchendatud artiklites.\n_START_SECTION_\nSisegeomeetria esimesed tulemused\n_START_PARAGRAPH_\nRaske on \xc3\xb6elda, millal geomeetrid hakkasid sisegeomeetria vastu spetsiaalset huvi tundma. Vana-Kreekas p\xc3\xbcstitati \xc3\xbclesandeid, mis puudutasid m\xc3\xb5ne tasandil v\xc3\xb5i ruumis defineeritud ja paigutatud punktihulga omadusi. Seega oli k\xc3\xbcsimuseasetus eksplitsiitselt v\xc3\xa4lisgeomeetriline. _NEWLINE_Traditsiooniliselt omistatakse Leonhard Eulerile \xc3\xbche kumerate hulktahukate omaduse avastamine. T\xc3\xa4histame kumera hulktahuka tippude, servade ja tahkude arvu vastavalt P, V ja K; Euleri teoreem hulknurkadest (Euleri valem) \xc3\xbctleb, et P \xe2\x80\x93 V + K = 2. See tulemus on seda \xc3\xbcllatavam, et pole tarvis arvestada ei pikkuste ega pindaladega. See valem kehtib ka kerapinna triangulatsiooni puhul. See on pinna Euleri karakteristiku arvutamise esimene n\xc3\xa4ide. _NEWLINE_Aastal 1813 leidis Simon Antoine Jean L\'Huilier, et mittekumera hulktahuka puhul (millel on n\xc3\xa4iteks augud, nagu n\xc3\xa4iteks tooril on \xc3\xbcks auk) kehtib modifitseeritud Euleri valem P \xe2\x80\x93 V + K= 2 \xe2\x80\x93 2g, kus g on aukude arv. See oli esimene kord, kui arvutati topoloogiline invariant, mis v\xc3\xb5imaldab ruumi pindu klassifitseerida. Vaateviis j\xc3\xa4\xc3\xa4b siiski v\xc3\xa4lisgeomeetriliseks, sest auke vaadatakse v\xc3\xa4ljastpoolt. Kuidas saab rehvis k\xc3\xb5ndiv sipelgas kujutleda auku? _NEWLINE_Carl Friedrich Gauss t\xc3\xb5estas "m\xc3\xa4rkimisv\xc3\xa4\xc3\xa4rse tulemuse" (theorema egregium): ruumi pinna Gaussi k\xc3\xb5verus ei s\xc3\xb5ltu viisist, kuidas pind on \xc3\xbcmbritsevasse ruumi sisestatud._NEWLINE_Gaussi-Bonnet\' valem, mille formuleeris Gauss ja mille t\xc3\xb5estas 1848 Pierre-Ossian Bonnet, v\xc3\xa4ljendas Euleri karakteristiku k\xc3\xb5veruse kaudu; see n\xc3\xa4itab, et geomeetrilised ja topoloogilised kaalutlused k\xc3\xa4ivad k\xc3\xa4sik\xc3\xa4es.\n_START_SECTION_\nVeidrate omadustega uued ruumid\n_START_PARAGRAPH_\nMitteeukleidiline geomeetria s\xc3\xbcndis v\xc3\xb5imatusest t\xc3\xb5estada paralleelide aksioomi ehk Eukleidese viiendat postulaati. Selle esimene j\xc3\xa4lg leidub Giovanni Gerolamo Saccheri vastuv\xc3\xa4itelise t\xc3\xb5estuse katses 1733. Carl Friedrich Gauss oli esimene, kes taipas, et v\xc3\xb5ivad eksisteerida Eukleidese geomeetriale alternatiivsed geomeetriad. Sellised geomeetriad arendasid v\xc3\xa4lja Nikola\xc3\xaf Lobat\xc5\xa1evski ja J\xc3\xa1nos Bolyai. _NEWLINE_M\xc3\xb6biuse lehe konstrueerisid 1858 peaaegu \xc3\xbcheaegselt August Ferdinand M\xc3\xb6bius ja Johann Benedict Listing. See on ruumi pind, mida on kerge esitada pabeririba abil ning millel on ainult \xc3\xbcks tahk ja \xc3\xbcks serv. See on esimene mitteorienteeritava pinna n\xc3\xa4ide.'