
_START_ARTICLE_
الاستكمال بكثير حدود لاجرانج
_START_SECTION_
المقدمة
_START_PARAGRAPH_
نحن نعلم أن كثيرة حدود تايلور توافق الدالة (×)f عند عدد واحد فقط , وليكن ΧΟ وبالتالي فإنها تكون مفيدة لتقريب هذه الدالة في فترة صغيرة تحتوي على ΧΟ وبناءً على ذلك فإنه عادة لا تستخدم كثيرة الحدود تايلور لكن تستخدم كثيرات حدود اخرى .
_START_SECTION_
ضمان وجود كثيرة الحدود الإستكمالية
_START_PARAGRAPH_
نظرية التقريب لفير ستراس _NEWLINE_لنفرض أن ƒ مغلقة ومتصلة على الفترة [a,b] لكل ε>0 ، يوجد كثيرة حدود (×)p  تحقق الخاصية _NEWLINE_ [f(x) – p(x) | < ɛ , ∀ x ∈[a,b|
_START_SECTION_
كثيرة حدود لاجرانج الاستكمالية
_START_PARAGRAPH_
المشكلة هي في إيجاد كثيرة حدود من الدرجة الأولى تمر في النقطة  ( x₁ , y₁ ) , (x₀ , y₀ )  هو نفس تقريب الدالة f  لـ f(x₀)= y₀ و f(x₁) = y₁_NEWLINE_عن طريقة أو درجة استكمال كثيرة الحدود أو نفس قيم f  عند نقاط معينة من نقاط النهاية ويسمى كثيرة حدود إستكمالية ._NEWLINE_( L₀(x)=(x-x₁) / ( x₀-x₁_NEWLINE_وَ  ( L₁(x)= ( x-x₀ ) / ( x₁-x₀_NEWLINE_(( p(x) = L₀(x) f(x) + L₁(x₁) f(x₁) = ( ( x-x₁ ) / ( x₀-x₁ )) f(x₁) + ( ( x-x₀ ) / ( x₁-x₀
_START_SECTION_
لتعميم مفهوم الإستكمال الخطي
_START_PARAGRAPH_
إذا طُلب إنشاء كثيرة حدود من الدرجة n فإني سأستخدم n+1 نقطة _NEWLINE_(x₀,f(x₀)) , (x₁,f(x₁)) , …….. , (xₙ ,f(xₙ)
_START_SECTION_
نظرية ( 1 )
_START_PARAGRAPH_
إذا كان لدينا n+1 من النقط (x₀,y₀) , (x₁,y₁) ,………, (xₙ,yₙ) فإنه يوجد كثيرة حدود وحيدة (Pₙ(x  من الدرجة n على الأكثر_NEWLINE_عند ( f(Xₖ) =P(x  لكل  k=0,1,......n _NEWLINE_كثيرة الحدود تعطى :_NEWLINE_( Pₙ(x) = f(x₀) L₀(x) + ..... + f(xₙ) Lₙ(x _NEWLINE_ويمكن كتابتها على الشكل _NEWLINE_Pₙ = ‌‍مجموع( f(xk) Lk(x من k=0 إلى n , لكل k=0,1,.......,n_NEWLINE_حيث_NEWLINE_[( Lₖ (x) = [ (x-x₀)(x-x₁) ........ (x-xₖ₋₁) (x-xₖ₊₁) ......(x-xₙ)  ] / [ (xₖ-x₀ )(xₖ-x₁) ..... (xₖ-xₖ₋₁ )(xₖ-xₖ₊₁ ..... (xₙ-xₙ
_START_SECTION_
مثال
_START_PARAGRAPH_
أوجدي كثيرة الحدود الخطية للاجرانج الستكمالية المارة في النقطة _NEWLINE_( 4 , 2 ) , ( 1 , 5 ) ؟!_NEWLINE_المطلوب إيجاد كثيرة حدود خطية أي تكون كثيرة الحدود من الدرجة الأولى ويكون إيجادها باستخدام نقطتين وتكون على الصورة _NEWLINE_( P₁(x)=L₀(x) f(x₀) + L₁(x) f(x₁ _NEWLINE_( L₀(x) = ( x-x₁ ) / ( x₀-x₁ ) = (x-5 ) / ( 2-5 ) = ( x-5 ) / ( -3 _NEWLINE_( L₁(x) = ( x-x₀ ) / ( x₁-x₀ ) = ( x-2 ) / ( 3 _NEWLINE_f(x₀) =y₀ = 4  ,  f(x₁) = y₁ = 1_NEWLINE_بالتالي :_NEWLINE_P₁(x) = ( ( x-5 ) / -3 ) (4) + ( ( x-2 ) / 3 ) (1) = ( -3x+18 ) / 3_NEWLINE_إذا P₁ = -x+6
_START_SECTION_
تقدير الخطأ في الإستكمال بكثيرات حدود لاجرانج
_START_PARAGRAPH_
نظرية ( 2 ) _NEWLINE_إذا كان لدينا x₀,x₁,…….,xₙ  أرقام مختلفة في الفترة [a,b] وكانت الدالة  [ Cⁿ⁺¹ [a,b ∋ متصلة و لها مشتقات حتى الرتبة n+1 ._NEWLINE_ولكل[ x∈[a,b يوجد عدد [ γ(x)∈[a,b يقع بين  x₀,x₁,…….,xₙ_NEWLINE_بحيث يكون _NEWLINE_(f(x) – Pₙ (x) | = (( f (γ(x))) / (n+1)! ) (x-x₀) (x-x₁) …. (x-xₙ|_NEWLINE_حيث (Pₙ(x كثيرة حدود لاجرانج الإستكمالية .