
_START_ARTICLE_
العظمى والصغرى
_START_PARAGRAPH_
في الرياضيات, النقاط العظمى والصغرى, تعرف عمومًا بالنقاط الحرجة هي تلك النقاط التي تكون عندها قيمة الدالة أعلى مايمكن أو أدنى مايمكن ضمن جوار معرف (منحنى حرج) أو على نطاق الدالة_NEWLINE_بشكل عام، تعرف النقاط العظمى والصغرى من نظرية المجموعات بأنها أعلى وأقل قيم في المجموعة. يعد إيجاد النقاط العظمى والصغرى (الحرجة) نواة الإستمثال الرياضي.
_START_SECTION_
تعريف تحليلي
_START_PARAGRAPH_
يقال أن الدالة f المعرفة على خط الأعداد لها نقطة عظمى محلية أو نسبية عند النقطة x∗, إذا وجدت قيمة لـ ε> 0 بحيث f(x∗) ≥ f(x) عندما |x − x∗| <ε. قيمة الدالة عند هذه النقطة - نقطة محلية عظمى للدالة. بالمثل, يوجد للدالة نقطة محلية صغرى عند x∗, إذا كان f(x∗) ≤ f(x) عند |x − x∗| <ε. قيمة الدالة عند هذه النقطة تدعى صغرى._NEWLINE_يوجد للدالة نقطة عظمى عامة (أومطلقة) عند x∗ إذا كان f(x∗) ≥ f(x) لجميع قيم x. بالمثل, للدالة نقطة دنيا عامة (أومطلقة) إذا كانت عند x∗ f(x∗) ≤ f(x) لجميع x. تعرف النقاط العظمى والصغرى العامة أيضًا بأنها وسيط أعظمي وسيط أدنى: الوسيط (المدخل) والتي تقع عليها العظمى والصغرى على التوالي.
_START_SECTION_
إيجاد النهاية العظمى والصغرى للدالة
_START_PARAGRAPH_
يمثل البحث عن النقاط العظمى والصغرى الهدف الأساسي من الاستمثال. إذا كانت الدالة متصلة على فترة مغلقة، فإنه ومن مبرهنة القيمة الحرجة توجد نقاط عظمى وصغرى. إضافة لذلك، النقطة العظمى (أو الصغرى) العامة يجب أن تكون إما عظمى (أوصغرى) محلية في المجال الأدنى وإما أن تقع على حدود المجال. بالتالي فإن أحد السبل المتمثلة في البحث عن هذه النقاط تكمن في البحث عن جميع النقاط المحلية العظمى (أو الصغرى) داخل المجال أو على الحدود وانتقاء أكبر وأصغر القيم._NEWLINE_يمكن إيجاد النقاط الحرجة أيضًا بواسطة مبرهنة فيرمات، والتي تنص على وجوب وجودها عند النقاط الحرجة. يمك للمرء تمييز ما إذا كانت النقطة الحرجة هي عظمى أم صغرى محلية وذلك باللجوء إلى اختبار المشتقة الأولى أو اختبار المشتقة الثانية.