
_START_ARTICLE_
مبرهنة سيفا
_START_SECTION_
تطبيقات
_START_PARAGRAPH_
نذكر هنا أهم النتائج المباشرة من هذه المبرهنة:
_START_SECTION_
المتوسطات
_START_PARAGRAPH_
تلتقي متوسطات المثلث الثلاثة في نقطة واحدة تعرف بالنقطة الوسطى أو مركز ثقل المثلث._NEWLINE_البرهان:_NEWLINE_في المثلث AD,BE,CF : ABC متوسطات تنصف الأضلاع BC,CA,AB عند النقاط D,E,F على الترتيب._NEWLINE_المطلوب: لكي تتقاطع المتوسطات في نقطة واحدة لا بد أن يتحقق:_NEWLINE_ _NEWLINE_نلاحظ أن النقطة F منتصف  _NEWLINE_كذلك الأمر مع النقطتين D,E منتصف _NEWLINE_ _NEWLINE_ومن الواضح أن  وبالتالي فإن متوسطات المثلث AD,BE,CF تلتقي في نقطة واحدة.
_START_SECTION_
منصفات الزوايا
_START_PARAGRAPH_
تلتقي منصفات الزوايا في نقطة واحدة، هذه النقطة مركز الدائرة الداخلية التي تمس أضلاع المثلث._NEWLINE_البرهان:_NEWLINE_في المثلث AD,BE,CF : ABC منصفات للزوايا A,B,C على الترتيب._NEWLINE_المطلوب: لكي تتقاطع منصفات الزوايا في نقطة واحدة لا بد أن يتحقق:_NEWLINE_ _NEWLINE_باستخدام مبرهنة منصف الزاوية ينتج لدينا:_NEWLINE_ _NEWLINE_ _NEWLINE_ولهذا فإن منصفات الزوايا تلتقي في نقطة واحدة.
_START_SECTION_
الارتفاعات
_START_PARAGRAPH_
تلتقي ارتفاعات المثلث في نقطة واحدة تعرف بملتقى الارتفاعات أو المركز القائم._NEWLINE_البرهان:_NEWLINE_في المثلث AD,BE,CF : ABC ارتفاعات أقدامها D,E,F على الترتيب._NEWLINE_المطلوب: لكي تتقاطع ارتفاعات المثلث في نقطة واحدة لا بد أن يتحقق:_NEWLINE_ _NEWLINE_المثلثان CDO,AFO متشابهان (زاويتان قائمتان وزاويتان متقابلتان بالرأس)ومن التشابه ينتج:_NEWLINE_أيضاً المثلثان CEO,BFO متشابهان وكذلك المثلثان AEO,BDO متشابهان ومن التشابهات ينتج:_NEWLINE_ _NEWLINE_وبهذا تلتقي ارتفاعات المثلث في نقطة واحدة.
_START_SECTION_
البرهان
_START_PARAGRAPH_
في البداية سنثبت أنه إذا كانت المستقيمات AD,BE,CF تتقاطع في نقطة واحدة فإن _NEWLINE_._NEWLINE_لنبدأ مع الضلع  في المثلث نلاحظ أن:_NEWLINE_المثلثان  لهما نفس الارتفاع وليكن ، إذا:_NEWLINE__NEWLINE_أيضاً المثلثان  لهما ارتفاع واحد لذا: _NEWLINE__NEWLINE_وصلنا إلى أن  ومن خصائص التناسب نصل إلى:_NEWLINE__NEWLINE_بطريقة مشابهة مع الضلعين  نصل إلى:_NEWLINE_وهو المطلوب._NEWLINE_بقي الآن أن ثبت الإتجاه المعاكس أي إذا كانت  فإن المستقيمات AD,BE,CF تتقاطع في نقطة واحدة._NEWLINE_لتكن O نقطة تقاطع المستقيمين BE,CF سنثبت أن المستقيم AD يمبر بالنقطة O، نرسم المستقيم AO الذي يقطع BC في النقطة 'D، إذا أثبتنا أن D = 'D فإن AD سيكون نفسه 'AD الذي يمر عبر النقطة O وبالتالي يتحقق المطلوب. _NEWLINE_المستقيمات AD',BE,CF تتقاطع في O بتطبيق مبرهنة سيفا (الاتجاه الأول):_NEWLINE_ومن المعطيات: _NEWLINE_وبذلك يتحقق المطلوب.