
_START_ARTICLE_
خوارزمية قيمة ذاتية
_START_PARAGRAPH_
في الجبر الخطي، من أهم المسائل تصميم خوارزميات ذات كفاءة عالية ومستقرة لإيجاد القيم الممتلكة لمصفوفة. يمكن بواسطة خوارزمية القيمة الذاتية إيجاد المتجهات الممتلكة أيضًا.
_START_SECTION_
معاودة القوى
_START_PARAGRAPH_
الفكرة الأساسية لهذه الطريقة هي اختيار اعتباطي لمتجه أولي b ومن ثم ضربه المتكرر بالمصفوفة، وبشكل معاود احتساب Ab, A²b, A³b,…. بفرض أن القيم الممتلكة مرتبة حسب قيمتها بحيث تكون λ₁ الأكبر, وبمتجه ذاتي مصاحب v₁.بعدها كل تكرار يقايس المركبة b باتجاه v₁ بمقدار λ₁، وكل اتجاه آخر بقيمة أقل (بفرض |λ₂| < |λ₁|).باستثناء مجموعة قياس صفر, لأي متجه أولي ستتقارب النتيجة إلى متجه ممتلك متوافق مع القيمة الممتلكة الغالبة.
_START_SECTION_
القيم الممتلكة لمصفوفة
_START_PARAGRAPH_
في الرياضيات، خصوصًا في الجبر الخطي، تعد كثيرة الحدود المميزة أداة هامة عند وصف القيم الممتلكة لمصفوفة مربعة.
_START_SECTION_
طرق تقريبية برمجية لإيجاد القيم الممتلكة
_START_PARAGRAPH_
في حال لم يكن لديك برامجيات علمية ذات دالة قيمة ممتلكة، فيما يلي مجموعة من الخطوات التي يمكنك استعمالها كشفرة عامة لمساعدتك في إنشاء برنامج لحل المسائل._NEWLINE_للنوع 2×2:_NEWLINE_//we know there are two eigen values, so the//equations from above can be hard-coded in with minimal effortEig11 = (a+d)/2 + sqrt(((a+d)*(a+d))/4 + bc – ad)Eig12 = (a+d)/2 - sqrt(((a+d)*(a+d))/4 + bc – ad)//eig11 is the value found using + and eig12 is the value using -//or we get the same two eigenvalues with the modified equationEig21 = (a+d)/2 + sqrt(4bc + (a-d)(a-d))/2Eig22 = (a+d)/2 - sqrt(4bc + (a-d)(a-d))/2_NEWLINE_للنوع 3×3:_NEWLINE_//a 3×3 is more complicated and requires several helper equations//to accomplish due to the λ³ term.//These steps should help you calculate eigen values for a matrix//that has ***3 REAL eigen values***.Define x,y,z//Use the equation from above to get your cubic equation and//combine all constant terms possible to//give you a reduced equation we will use a, b, c and d to denote//the coefficients of this equation.Eqn = aλ³ + bλ² + cλ + d = 0x = ((3c/a) – (b²/a²))/3y = ((2b³/a³) – (9bc/a²) + (27d/a))/27z = y²/4 + x³/27Define I, j, k, m, n, p (so equations are not so cluttered)i = sqrt(y²/4 - z)j = -i^(1/3)k = arccos(-(y/2i))m = cos(k/3)n = sqrt(3)*sin(k/3)p = -(b/3a)Define Eig1, Eig2, Eig3Eig1 = -2j*m + pEig2 = j *(m + n) + pEig3 = j*(m - n) + p
_START_SECTION_
القيم الممتلكة لمصفوفة متماثلة 3x3
_START_PARAGRAPH_
ملاحظة: لاتعمل هذه الطريقة في حال المصفوفات المفردة (ذات قيمة أو أكثر ممتلكة صفرية)._NEWLINE_% Given symmetric 3x3 matrix M, compute the eigenvaluesm = trace(M)/3;K = M-m*eye(3);q = det(K)/2;p = 0for i=1:3_NEWLINE_    for  j=1:3_NEWLINE_        p = p + K(i,j)^2;_NEWLINE_    endendp = p/6;phi = 1/3*atan2(sqrt(p^3-q^2), q);if(phi<0)_NEWLINE_    phi=phi+pi/3;endeig1 = m + 2*sqrt(p)*cos(phi)eig2 = m - sqrt(p)*(cos(phi) + sqrt(3)*sin(phi))eig3 = m - sqrt(p)*(cos(phi) - sqrt(3)*sin(phi))