
_START_ARTICLE_
الدالة المحدودة
_START_PARAGRAPH_
نقول ان الدالة محدودة إذا كان لها حد علوي وحد سفلي._NEWLINE_قبل البدء في البحث ما إذا كانت الدالة محدودة أو لا لابد ان تكون الدالة Aغير خالية ثم نبدأ في البحث عن حدود الدالة:_NEWLINE_•نقول عن الدالة  Aانها محدودة من أعلى إذا وجدنا عدد ويحقق a≤u ,  , بالتالي نقول عن u انه حد علوي ._NEWLINE_•نقول عن الدالة A انها محدودة من أسفل إذا وجدنا عدد   ويحقق v≤a   , بالتالي نقول عن v انه حد سفلي ._NEWLINE_إذا كانت الدالة غير خالية وتحقق الشرطين السابقين نقول أن الدالة محدودة _NEWLINE_1- الحد السفلي_NEWLINE_الحد السفلي لأي دالة  بحيث A غير خالية ونجد عنصرi بحيث أن  a∈A∀ i ≤a مثال:( A=(5,8_NEWLINE_4 هو حد سفلي لـ (5.8) لأن  4≤a   ._NEWLINE_2-الحد علوي _NEWLINE_الحد العلوي لأي دالة   بحيث  a ∈A ∀ u ≥a, في المثال السابق نجد ان : 9 هي الحد العلوي لـ (5,8) لأن 9≥a_NEWLINE_•إذا كانت المجموعة A معرفة بحيث وجدنا عدد واحد على الأقل يحدها من أعلى إذا نقول ان A محدودة من أعلى ._NEWLINE_•إذا كانت المجموعة A معرفة بحيث وجدنا عدد واحد على الأقل يحدها من أسفل إذا نقول ان A محدودة من أسفل ._NEWLINE_'''اصغر الحدود العليا (supremum)'''_NEWLINE_إذا كانت  A محدودة من أعلى نقول عن u انه أصغر الحدود العليا إذا تحقق الشرطين التاليين :_NEWLINE_1.U حد علوي في A بحيث أن u≥A_NEWLINE_2.ليكن أي حد علوي , لابد أن يتحقق u≤v أي أن u أصغر الحدود العليا ._NEWLINE_'''أكبر الحدود السفلى (infimum)'''_NEWLINE_إذا كانت A محدودة من أسفل نقول عن w انه أكبر الحدود السفلى إذا تحقق الشرطيين التاليين :_NEWLINE_w حد سفلي في A بحيث أن w≤A_NEWLINE_ليكن t أي حد سفلي . لابد ان يتحقق w≥t أي أن w أكبر الحدود السفلى ._NEWLINE__NEWLINE_▪ يشترط ان يكون الحد العلوي الأصغر وحيد بحيث إذا وجد أن u1 اصغر الحدود العلوية و u2 أيضاً اصغر الحدود العلوية , هذا يعني ان u1 = u2  وبالمثل مع الحد السفلي الأكبر ._NEWLINE_▪ ليست جميع الدوال محدودة وكذلك ليست جميع الدوال محدودة من اتجاهين فالبعض منها تكون محدودة من أعلى فقط والبعض تكون محدودة من أسفل فقط ._NEWLINE_مثال : {A={xϵR∶x>2_NEWLINE_غير محدودة لأنها محدودة لأنها محدودة فقط من أعلى وليست محدودة من أسفل ._NEWLINE_امثلة توضيحية :_NEWLINE_هل الدوال التالية محدودة مع ذكر السبب ؟_NEWLINE_1)  {A={2,3,4,5_NEWLINE_نعم محدودة لأنها غير خالية وتحتوي على حد علوي وهو 5 وحد سفلي وهو 2 ._NEWLINE_2)(A =(-∞,3_NEWLINE_ليست محدودة لأنها محدودة فقط من طرف واحد أما الطرف الآخر فهو غير منتهي أي لايمكن أن تكون محدودة ._NEWLINE_ملاحظات :_NEWLINE_إذا كانت v أي حد علوي من A فإن u ≤ v _NEWLINE_إذا كان z < u ؛بالتالي z ليست حد علوي لـ A _NEWLINE_إذا كانت z < u فلابد أن نجد عدد s أكبر من z لأن z ليست حد علوي ._NEWLINE_إذا كان ε > 0 فإنه يوجد aa ϵ A بحيث أن u-ε<aa_NEWLINE_مثال : إذا كانت A =(2,5] فإن اصغر الحدود العليا (sup) هو 5_NEWLINE_واذا كانت A =(2,5) فإن أصغر الحدود العليا (sup) هو 5_NEWLINE_نتيجة : مهما كانت الفترة مفتوحة أو مغلقة فأي sup=5_NEWLINE_علاقة التمام_NEWLINE_علاقة التمام في مجموعة الأعداد الحقيقية R  تنص على أن : كل مجموعة غير خاليه من الأعداد الحقيقية لها حد علوي تحتوي على sup_NEWLINE_تمرين_NEWLINE_لتكن S  مجموعة محدودة في مجموعة الأعداد الحقيقية    ( S C R ) ولتكن ( T C S ) و T  غير خاليه ، أثبتي أن:_NEWLINE_inf⁡〖  S ≤inf⁡〖 T ≤sup⁡〖 T ≤sup⁡S 〗 〗 〗_NEWLINE_الحل: _NEWLINE_بما أن  T C S  و 0 ≠ T  ، إذن T  محدودة_NEWLINE_بالتالي inf T ≤ sup T   ... (1)_NEWLINE_Inf S ≤ sup T  لنرمز لها ب w  _NEWLINE_s € S , w ≤ s ♣ T C S ᵾ _NEWLINE_w ≤ t ᵾ t € T_NEWLINE_w ≤ inf T_NEWLINE_inf S ≤ inf T         ... (2)_NEWLINE_وبالمثل مع sup T ≤ sup S  _NEWLINE_Inf S ≤ inf T ≤ sup T ≤ sup S وهو المطلوب إثباته