
_START_ARTICLE_
قاعدة لايبنيز العامة
_START_SECTION_
التاريخ
_START_PARAGRAPH_
ظهرت فكرة المشتقة لأول مرة من المحامي والرياضي الشهير بيير دي فيرما (1601-1665) لحل العديد من المسائل مثل العثور على المماس لمنحنى عند نقطة. وبحلول عام 1670 وما بعده، أسس إسحق نيوتن (1642-1727) وغوتفريد لايبنيز (1646-1716) لعلم التفاضل والتكامل الحديث، وذلك بإدخال المفاهيم العامة للتفاضل والتكامل وآلية حساب كل منهما خصوصا أن كل منهما يعدّ عملية معكوسة للأخرى، كما تم وضع نظام ترميز سهل ومبسط لكل منهما وما زال العمل به جاريًا حتى وقتنا الحالي.
_START_SECTION_
المشتقة الأولى
_START_PARAGRAPH_
في علم التفاضل والتكامل، يمكن تعميم مشتقة حاصل الجمع، الضرب، والاقترانات المركبة أو ما يعرف بقاعدة "السلسلة"، بشكل جيد ومن أي رتبة  من المشتقات. مشتقة حاصل جمع اقترانين هي الأسهل، حيث إنّ مشتقة  من أي رتبة  هي ببساطة حاصل جمع المشتقات من نفس الرتبة، . قاعدة لايبنيز العامة، عبارة عن تعميم للمشتقة من الرتبة  لحاصل ضرب اقترانين، وتنص على أنه إذا كان كل من الاقترانين  و  قابلاً للاشتقاق  من المرات، فإن حاصل ضربهما  عبارة عن اقتران قابل للاشتقاق أيضاً  من المرات، ومشتقته من الرتبة  تُعطى بالعلاقة:_NEWLINE_حيث  هو معامل ذات الحدّين، و . فعلى سبيل المثال، فإن المشتقة الأولى لحاصل الضرب  تُعطى بالعلاقة:
_START_SECTION_
المشتقة الثانية 
  
    
      
        (
        n
        =
        2
        )
      
    
    {\displaystyle (n=2)}
_START_PARAGRAPH_
يمكن حساب المشتقة الثانية للاقتران  إذا عُلمت مشتقته الأولى  وذلك باشتقاق المشتقة الأولى للاقتران  مرة ثانية، أي أن:_NEWLINE_بما أن:_NEWLINE_فإن:_NEWLINE_وبتطبيق قاعدة لايبنيز نجد أن:
_START_SECTION_
برهان القاعدة
_START_PARAGRAPH_
يمكن برهان قاعدة لايبنيز باستخدام مبدأ الاستقراء الرياضي. لتكن:  _NEWLINE_القاعدة صحيحة عندما  وذلك لأن:_NEWLINE_و_NEWLINE_نفترض أن قاعدة:   صحيحة لأي عدد صحيح _NEWLINE_المطلوب الآن برهان صحة العلاقة لمشتقة من الرتبة ، وهذا يتم على النحو التالي:
_START_SECTION_
تعميم القاعدة لأكثر من اقترانين
_START_PARAGRAPH_
لتكن مجموعة من الاقترانات القابلة للاشتقاق  من المرات، فإن حاصل الضرب  قابل للاشتقاق  من المرات، كذلك_NEWLINE_حيث: _NEWLINE_فعلى سبيل المثال، المشتقة الثانية للاقتران g(x)=xexsin x   يمكن حسابها باستخدام تعميم قاعدة لايبنيز كما يلي: