ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΣΚΟΠΟΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ
Το βιβλίο αυτό έχει ως σκοπό να παρουσιάσει περιληπτικά τους νόμους και τις έννοιες των ηλεκτρικών κυκλωμάτων με πολλές εφαρ -μογές έτσι, ώστε να αποτελέσει εργαλείο εξάσκησης στο μάθημα της Ηλεκτροτεχνίας.
Οι συγγραφείς πιστεύουν ότι η Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων αποτελεί ένα σημαντικό μέρος της Ηλεκτροτεχνίας, το οποίο βρίσκει εφαρμογές σε πολλούς τομείς της καθημερινής ζωής.
Προσπάθεια καταβλήθηκε να παρουσιασθούν τα διάφορα παραδείγ -ματα χωρίς δύσκολες μαθηματικές συναρτήσεις. Για την κατανόηση και λύση τους απαιτείται μόνο η γνώση στοιχείων Άλγεβρας και βα -σικών εννοιών της Τριγωνομετρίας. Έχει καταβληθεί επίσης ιδιαίτερη μέριμνα στην δομή και στον τρόπο παρουσίασης των εννοιών, ώστε αυτές να συνδέονται με πολλά παραδείγματα και πρακτικές ασκήσεις.

Το κάθε κεφάλαιο αποτελείται από επιμέρους παραγράφους. Η δομή κάθε κεφαλαίου ακολουθεί την παρακάτω σειρά:
-  Εισαγωγή στα βασικά ηλεκτροτεχνικά μεγέθη - Ορισμοί
-  Λυμένα παραδείγματα
- Εξοικείωση σε απλά κυκλώματα και διατάξεις
- Εμπέδωση σε πιο σύνθετα κυκλώματα
- Ερωτήσεις και άλυτες γενικές ασκήσεις που αφορούν όλο το κε -φάλαιο.
-  Ανακεφαλαίωση
Πιστεύουμε ότι είναι σημαντικό να διδαχθούν οι μαθητές τα θέ -ματα αυτά, για να μπορούν να ανταποκριθούν στις απαιτήσεις της νέας χιλιετίας.
Οι συγγραφείς επιθυμούν στο σημείο αυτό να ευχαριστήσουν θερ -μά για τις πολύτιμες συμβουλές και παρατηρήσεις τους, τους κ.κ. Σ. Βαρουφάκη, Ερευνητή του Ε.Κ.Ε.Φ.Ε. Δημοκρίτου, Π. Μπούρκα, Καθηγητή του Ε.Μ.Πολυτεχνείου, Σ. Παλαιοκρασσά, Σύμβουλο του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου και Γ. Οικονόμου, Σχολικό Σύμβουλο.

Επίσης ευχαριστούμε θερμά τους κ.κ. Σ. Διάμεση και I. Χατζηευ -στρατίου για την υποστήριξη και την συνεχή ενθάρρυνση χωρίς την οποία δεν θα είχε ολοκληρωθεί αυτό το βιβλίο.
Ελπίζουμε ότι η μελέτη αυτού του βιβλίου θα βοηθήσει τους μαθητές του Τ.Ε.Ε. να κατανοήσουν τα στοιχεία των ηλεκτρικών κυκλωμάτων και τις μεθόδους επεξεργασίας τους με μικρή προσπά θεια.
Οι συγγραφείς

ΜΕΡΟΣ A

ΤΟ ΣΥΝΕΧΕΣ ΡΕΥΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ ΩΜ ΚΑΙ Η ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ

1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζονται οι θεμελιώδεις έννοιες του Ηλεκτρι -σμού. Πιο συγκεκριμένα γίνεται αναφορά στον νόμο του Ωμ τόσο σε τμήμα κυκλώματος, όσο και σε πλήρες κύκλωμα.
Επίσης αναπτύσσονται οι έννοιες ωμική αντίσταση, ειδική αντίσταση και ειδική αγωγιμότητα. Στην συνέχεια εξετάζεται η επίδραση της θερ -μοκρασίας στην ωμική αντίσταση. Τέλος παρουσιάζονται οι συσκευές που χρησιμοποιούνται για την μεταβολή του ρεύματος και της τάσης.

1.2. ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΦΥΣΙΚΗ
Οι έννοιες της παραγράφου αυτής προέρχονται από τα σχετικά μα -θήματα Φυσικής του Γυμνασίου.
Τα βασικά ηλεκτρικά μεγέθη που μας ενδιαφέρουν στην επιστήμη του ηλεκτρολόγου είναι το ηλεκτρικό φορτίο, το ηλεκτρικό ρεύμα, η μαγνητική ροή, η ηλεκτρική τάση, η ηλεκτρική ισχύς και η ηλεκτρική ενέργεια.
Το ηλεκτρικό φορτίο είναι ένα θεμελιώδες μέγεθος του ηλεκτρισμού. Όταν τα ηλεκτρικά φορτία κινούνται ή ηρεμούν, τότε ασκούν δυνάμεις σε άλλα ηλεκτρικά φορτία που κινούνται ή είναι ακίνητα. Οι δυνάμεις αυτές είναι οι ηλεκτρομαγνητικές δυνάμεις.

Η ποσότητα ηλεκτρικού φορτίου του ενός ηλεκτρονίου είναι ίση με 1,6x10 -19 Coulomb και είναι η μικρότερη γνωστή.
Τα ηλεκτρόνια, ως γνωστόν, φέρουν αρνητικό φορτίο και τα πρωτό -νια θετικό φορτίο. Η φορά της κίνησης των ηλεκτρονίων είναι από το τμήμα όπου υπάρχει συσσώρευση ηλεκτρονίων προς το τμήμα όπου υπάρχει έλλειψη.
Το ηλεκτρικό φορτίο δεν μπορεί ούτε να δημιουργηθεί, ούτε να καταστραφεί.
Μονάδα μέτρησης του ηλεκτρικού φορτίου είναι το 1 Coulomb στο Διεθνές Σύστημα S.I. To Coulomb (Κουλόμπ) ορίζεται σαν το φορτίο 6,2410 18 ηλεκτρονίων και είναι το φορτίο που μεταφέρεται σε 1 δευ -τερόλεπτο από ηλεκτρικό ρεύμα 1 Ampere.

1Cb=1A1sec
Τα ηλεκτρικά φορτία που κινούνται αποτελούν το ηλεκτρικό ρεύμα. Έτσι το ηλεκτρικό ρεύμα έχει την έννοια της ταχύτητας διέλευσης ή μεταφοράς του ηλεκτρικού φορτίου.
Η μονάδα μέτρησης του ηλεκτρικού ρεύματος είναι το Αμπέρ (Amper) με σύμβολο το Α.
1Ampere= 1Coulomb 1sec
Στο S.I. το Ampere είναι θεμελιώδης μονάδα και από αυτήν ορίζονται τα υπόλοιπα ηλεκτρικά μεγέθη. Το Διεθνές Σύστημα S.I. ονομάζεται και MKSA από τις θεμελιώδεις μονάδες οι οποίες είναι: το μέτρο (m) για το μήκος, το χιλιόγραμμο (kg) για τη μάζα και το δευτερόλεπτο (sec) για το χρόνο.

Το ηλεκτρικό ρεύμα παριστάνεται με I ή i, όπου το κεφαλαίο γράμμα χρησιμοποιείται για ρεύματα χρονικά σταθερά, όπως είναι το συνεχές ρεύμα, και το μικρό γράμμα για ρεύματα χρονικά μεταβλητά, όπως είναι το εναλλασσόμενο ρεύμα. Ο ορισμός του ηλεκτρικού ρεύματος σαν την ταχύτητα μεταφοράς του φορτίου περιλαμβάνει τόσο τα θετικά όσο και τα αρνητικά φορτία.
Συνεχές ρεύμα είναι το ρεύμα του οποίου η τιμή παραμένει σταθερή σε κάθε χρονική στιγμή t. Στο σχήμα 1.1. η παράλληλη στον οριζόντιο άξονα γραμμή παραστάνει το Συνεχές Ρεύμα (ΣΡ).

Σχήμα 1.1. Γραφική παράσταση συνεχούς ρεύματος ΣΡ
Η ηλεκτρική τάση μεταξύ δυο σημείων είναι το έργο που απαιτείται για την μετακίνηση μιας μονάδας θετικού ηλεκτρικού φορτίου από το ένα σημείο στο άλλο.
Με απλά λόγια θεωρούμε ότι τα δύο σημεία αυτά είναι οι δυο πόλοι μιας πηγής ηλεκτρικής ενέργειας. Εφόσον η πηγή συνδέεται σε εξω -τερικό ηλεκτρικό κύκλωμα, αρχίζει η μετακίνηση του φορτίου από το ένα σημείο (πόλο) στο άλλο σημείο (πόλο).
Όσο μεγαλύτερη είναι η ηλεκτρική τάση μεταξύ των πόλων της πη -γής, τόσο μεγαλύτερο φορτίο θα μετακινηθεί και επομένως η ένταση του ρεύματος θα είναι μεγαλύτερη.

Πηγές ηλεκτρικού ρεύματος είναι τα ηλεκτρικά στοιχεία, οι συσ -σωρευτές, οι ηλεκτρικές γεννήτριες, και άλλες.
Μονάδα μέτρησης της ηλεκτρικής τάσης στο Διεθνές Σύστημα SI είναι το 1Volt (Βολτ) με σύμβολο το 1V. Η σχέση του Βολτ με την μονάδα ηλεκτρικού φορτίου Κουλόμπ είναι:
1V =1 Joule Coulomb =1 J Cb

Όμως :
1Cb=1 Α 1 sec
1J= l Watt1 sec

Επομένως:
1V = 1Watt 1sec 1A 1sec = 1Watt 1A =1 Watt A  
Η ηλεκτρική ισχύς Ρ είναι το γινόμενο της ηλεκτρικής τάσης U και της έντασης του ηλεκτρικού ρεύματος I:

P=UI
Η μονάδα μέτρησης της ηλεκτρικής ισχύος είναι το Watt:
1 Watt=1V1A
Περισσότερα για την ηλεκτρική ισχύ παρουσιάζονται στο Κεφάλαιο 2.

1.3. ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ ΩΜ
Ο νόμος του Ωμ εκφράζει τη σχέση ανάμεσα στα τρία βασικά μεγέθη σε συγκεκριμένο τμήμα κυκλώματος (τάση, ένταση και αντίσταση).
Τη σχέση αυτή μπορούμε να παρατηρήσουμε, όταν κάνουμε το εξής πείραμα. Χρησιμοποιούμε πέντε πλακέ μπαταρίες των 4,5V, μια αντί -σταση των 3ΚΩ, χάλκινα σύρματα και ένα αμπερόμετρο με κλίμακα ρεύματος π.χ. από 1-10 mA. Συνδέουμε μια μπαταρία με την αντίσταση και μετράμε την ένταση του ρεύματος. Επαναλαμβάνουμε τη μέτρηση συνδέοντας μια-μια και τις πέντε μπαταρίες σε σειρά, όπως φαίνεται στο Σχήμα 1.2.

Σχήμα 1.2. Σύνδεση πέντε μπαταριών σε σειρά, με αμπερόμετρο και ηλεκτρική αντίσταση
Στη συνέχεια συμπληρώνουμε τη δεύτερη στήλη του πίνακα 1 και με τα αποτελέσματα των μετρήσεων σχεδιάζουμε το διάγραμμα του Σχήματος 1.3
Πίνακας 1. Μετρήσεις τάσης και έντασης

Αυτό σημαίνει ότι η σχέση τάσης και ρεύματος για μια ηλεκτρική αντίσταση είναι " γραμμική " .
Η κλίση της ευθείας γραμμής αντιστοιχεί με την τιμή της αντίστασης που χρησιμοποιήσαμε.

Άσκηση:
Να γίνει το πείραμα στο εργαστήριο με αντίσταση 3.3kΩ του εμπορίου ώστε:
-  Να υλοποιήσουν οι μαθητές την πειραματική διάταξη με τις πέντε μπαταρίες και το αμπερόμετρο.
-  Να συμπληρώσουν τις τιμές του ρεύματος όπως στον πίνακα 1.
-  Να σχεδιάσουν την σχέση τάσης - έντασης όπως στο διάγραμμα του σχήματος 1.3.
Από το πείραμα προκύπτει ότι η ηλεκτρική αντίσταση σε συγκε -κριμένο τμήμα κυκλώματος υπολογίζεται ως το πηλίκο μεταξύ της εφαρμοζόμενης τάσης στα άκρα του και του ρεύματος, που το διαρρέει.

R U I =
Ηλεκτρική αντίσταση είναι η ιδιότητα των υλικών να παρεμποδίζουν την κίνηση των ηλεκτρικών φορτίων δηλαδή την κυκλοφορία ηλεκτρικού ρεύματος.
Συνηθίζεται στην ηλεκτροτεχνία αντιστάσεις, όπως αυτή του πει -ράματος και οι άλλες που θα συναντήσουμε στα επόμενα κεφάλαια, να ονομάζονται ωμικές αντιστάσεις.
Ο νόμος του Ωμ, σε τμήμα κυκλώματος διατυπώνεται ως εξής:
Η ένταση του ρεύματος, που διαρρέει μια ωμική αντίσταση, είναι ανάλογη της ηλεκτρικής τάσης στα άκρα της και αντιστρόφως ανάλογη της ωμικής αντίστασης:

U R =
Ονομάζουμε πτώση τάσης στην αντίσταση R το γινόμενο:

U = RI
Η μονάδα μέτρησης της ωμικής αντίστασης είναι το Ωμ (Ohm):
1Ω = 1V 1A
Αντίσταση ενός Ωμ (1Ω) παρουσιάζει ένας αγωγός, όταν στα άκρα του εφαρμόζεται τάση ενός βόλτ (1V) και διαρρέται από ρεύμα έντα -σης ενός Αμπέρ (1Α).

Στην πράξη χρησιμοποιούνται και πολλαπλάσια του Ωμ :
-  Το κιλοώμ=1ΚΩ=1000Ω=10 3 Ω
- Το μεγαώμ=1ΜΩ=1000ΚΩ=10 6 Ω

Παράδειγμα 1
Στους ακροδέκτες Α και Β της αντίστασης R, που διαρρέεται από ρεύμα I=10Α, επικρατεί τάση ίση με U=220V, Σχήμα 1.4. Να βρεθεί η τιμή της ωμικής αντίστασης.
Σχήμα 1.4. Τμήμα κυκλώματος Α-Β με αντίσταση R.

Λύση:
Εφαρμόζοντας τον νόμο του Ohm βρίσκουμε:
R= U I = 220V 10A = 22Ω

Παράδειγμα 2
Μια λάμπα πυράκτωσης διαρρέεται από ρεύμα 200mA, όταν τρο -φοδοτείται με τάση 220V. Να βρεθεί η ωμική αντίσταση της λάμπας.

Λύση:
Η ωμική αντίσταση της λάμπας σε κατάσταση λειτουργίας βρίσκεται από το νόμο του Ωμ για τμήμα αγωγού.
R= U I = 220V 0,20A = 1100Ω

Παράδειγμα 3
Μια μπαταρία παρέχει τάση 4,5 V σε μια αντίσταση 4500 Ω. Να βρεθεί το ρεύμα που δείχνει το αμπερόμετρο που είναι συνδεδεμένο σε σειρά με την αντίσταση (η εσωτερική αντίσταση της μπαταρίας είναι r = 0).

Λύση:
Έχουμε: E=4,5V

R=4500Ω
I = Ε R = 4,5V 4500 Ω =0,001 Α =1m A

Παράδειγμα 4
Στο σχήμα 1.5 να βρεθεί η τιμή της αντίστασης R όταν U=1,5 V και το ρεύμα I=1 mA.

Λύση :
Έχουμε: U=1,5V
Σχήμα 1.5. Κύκλωμα με πηγή Ε, αντίσταση R και αμπερόμετρο.
I=1mA=0,001A
R= U I = 1,5V 0,001A = 1500Ω

Παράδειγμα 5
Οι δυο εμπρόσθιοι προβολείς ομίχλης ενός αυτοκινήτου συνδέονται παράλληλα με την μπαταρία των 12V. Η αντίσταση του καθενός είναι 3Ω. Να βρεθεί η ένταση του ρεύματος όταν ανάβει ο προβολέας.

Λύση :
Από τον νόμο του Ωμ έχουμε:
I= U R = 12V 3Ω =4 Α

Παράδειγμα 6
Μία αντίσταση διαρρέεται από ρεύμα 50 mA και η τάση στα άκρα της είναι 120 V. Να βρεθεί η τιμή της αντίστασης.

Λύση:
Ι=50 mA=0,05A
Από τη σχέση: I= U R R= U I ⇒
R= 120V 0,05A = 2400 Ω

1.4. Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ ΩΜ ΣΕ ΠΛΗΡΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑ
Όταν πάρουμε μια μπαταρία με ηλεκτρεγερτική δύναμη (ΗΕΔ) Ε και τη συνδέσουμε με την βοήθεια μεταλλικών αγωγών με μια ωμική αντίσταση R, τότε σχηματίζεται ένα πλήρες κλειστό κύκλωμα, σχήμα 1.6. Στο κύκλωμα αυτό εκτός από την εξωτερική ωμική αντίσταση R υπάρχει και η εσωτερική αντίσταση της πηγής r.
Ηλεκτρεγερτική δύναμη είναι η τάση μεταξύ των πόλων της πηγής, όταν από την πηγή δεν διέρχεται ηλεκτρικό ρεύμα (ανοιχτό κύκλωμα).
Η εσωτερική αντίσταση της πηγής εκφράζει την δυσκολία που συ -ναντούν τα ηλεκτρικά φορτία κατά την κίνηση τους στο εσωτερικό της πηγής.

Σχήμα 1.6. Πλήρες κλειστό κύκλωμα με πηγή και εξωτερική ωμική αντίσταση (φορτίο)
Σχήμα 1.6.α. Ανοικτοκυκλωμένο κύκλωμα (ανοικτό)
Σχήμα 16.β. Βραχυκυκλωμένο κύκλωμα (βραχυκύκλωμα)

Ο νόμος του Ohm σε πλήρες κύκλωμα εκφράζεται από τη σχέση:
Ι = Ε R+r = E R$\_{ολ}$
Ισχύει ότι:
E=IR+Ir=U+Ir και από αυτή

U=E-Ir
Όπου: Το γινόμενο IR είναι η πτώση τάσης U, που μετριέται στα άκρα της αντίστασης R. Η ίδια τάση μετριέται στους πόλους της πηγής και ονομάζεται πολική τάση της πηγής
Η πολική τάση U της πηγής ισούται με την ΗΕΔ Ε μείον την εσω -τερική πτώση τάσης Ir της πηγής. Η πολική τάση U της πηγής είναι ίση με την ηλεκτρεγερτική δύναμη Ε της πηγής μόνο όταν I=0, δηλαδή όταν το κύκλωμα είναι ανοικτό. Ανοικτό κύκλωμα (ανοικτοκυκλω -μένο) είναι το κύκλωμα στο οποίο δεν συνδέεται το φορτίο, (άπειρο φορτίο) (Σχήμα 1.6.α). Βραχυκυκλωμένο κύκλωμα είναι το κύκλωμα στο οποίο οι πόλοι της πηγής ενώνονται μεταξύ τους με ένα αγωγό, παρακάμπτοντας το φορτίο (Σχήμα 1.6.β).

Σε περίπτωση βραχυκυκλώματος το ρεύμα βραχυκύκλωσης Ι$\_{βρ }$είναι πολύ μεγαλύτερο από το ονομαστικό ρεύμα φορτίου I.

Παράδειγμα 1
Η εσωτερική αντίσταση πηγής είναι 1Ω και η πολική της τάση 60V. Η ωμική αντίσταση που είναι συνδεδεμένη στα άκρα της διαρρέεται από ρεύμα έντασης 5Α. Να βρεθεί η ΗΕΔ της πηγής.

Λύση :
Η ΗΕΔ της πηγής βρίσκεται από τον νόμο του Ωμ σε πλήρες κύκλωμα:
E=U+Ir=60V+5 Α1Ω=65V

Παράδειγμα 2
Σε πηγή ΗΕΔ 60V και εσωτερικής αντίστασης 4Ω συνδέεται αντί -σταση 20Ω. Να βρεθεί: α. Η ένταση του ρεύματος που διαρρέει την αντίσταση και β. Η πτώση τάσης στην εξωτερική αντίσταση R.

Λύση :
α. Από την σχέση
I= 60V 24 Ω =2,5 Α I E R r έχουμε:
β. Η πτώση τάσης στην αντίσταση R είναι:
U=ΙR=2,5Α20Ω=50V

Παράδειγμα 3
Σε πηγή ΗΕΔ 300V και πολικής τάσης 200V συνδέεται αντίσταση, που διαρρέεται από ρεύμα 10Α. Να βρεθεί η τιμή της εσωτερικής αντίστασης της πηγής και η αντίσταση του εξωτερικού κυκλώματος.

Λύση:
Η ΗΕΔ της πηγής δίνεται από την σχέση:

E=U+Ir
Λύνοντας ως προς r έχουμε :
r= E-U I 300V-200V 10A =1 0Ω =
Η τιμή της ηλεκτρικής αντίστασης R βρίσκεται από την σχέση :
U=I R R= U I = 200V 10A =2 0Ω

1.5. ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ ΚΑΙ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ
Η ωμική αντίσταση R ενός αγωγού εξαρτάται από τους παρακάτω παράγοντες:
- 1. Το μήκος του αγωγού (σύρμα) (l)
- 2. Τη διατομή του σύρματος (S)
- 3. Την χημική σύσταση του υλικού του σύρματος (ρ)
R l S σε Ω

Ο συντελεστής ρ ονομάζεται ειδική αντίσταση.
Η ειδική αντίσταση μετριέται σε Ωmm 2 /m, η διατομή S σε mm 2 , η αντίσταση R σε Ω και το μήκος 1 σε m.
Η σχέση επιλύεται ως προς 1 και S και προκύπτουν:

l RS m
S l R mm 2
Από τις παραπάνω σχέσεις υπολογίζονται το μήκος του αγωγού από το οποίο κατασκευάζεται μια ωμική αντίσταση και η διατομή του.

1.5.1. Αγωγιμότητα
Η αγωγιμότητα εκφράζει την ευκολία της μετακίνησης των ηλεκτρι -κών φορτίων μέσα στον αγωγό. Υψηλές τιμές αγωγιμότητας σημαίνει μεγάλη ευκολία στην κίνηση του ηλεκτρικού φορτίου.
Η ηλεκτρική αντίσταση R είναι το αντίστροφο της αγωγιμότητας.
R= 1 G G= 1 R και
Όπου G είναι η αγωγιμότητα σε mho, ή Siemens (S).
1 1 mho= Ω

1.5.2. Ειδική Αγωγιμότητα
Η ειδική αντίσταση είναι το αντίστροφο της ειδικής αγωγιμότητας:
ρ= 1 κ ρ κ= 1 και
όπου κ είναι η ειδική αγωγιμότητα σε m mm 2
Η ειδική αντίσταση και η ειδική αγωγιμότητα (στους 20°C) διαφόρων αγώγιμων υλικών βρίσκεται στον πίνακα 2

Πίνακας 2. Ειδική αντίσταση και ειδική αγωγιμότητα αγώγιμων υλικών.

1.6. ΕΞΑΡΤΗΣΗ ΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ
Η αντίσταση του υλικού μεταβάλλεται με την θερμοκρασία. Ειδι -κότερα εάν R$\_{0}$ είναι η αντίσταση ενός αγωγού σε θερμοκρασία θ$\_{0}$, η αντίσταση R σε θερμοκρασία θ προκύπτει από τη σχέση:
R=R$\_{0}$[l+α(θ-θ$\_{0}$)] σε [Ω]
όπου α είναι συντελεστής διαφορετικός στις διάφορες θερμοκρασίες. Ονομάζεται θερμικός συντελεστής αντίστασης και εξαρτάται από το υλικό και έχει διάσταση 1/°C=grad -1 .Συvηθίζετaι να παίρνουμε τις μέσες τιμές του α για θερμοκρασία μεταξύ 0° και 100°C. Με καλή προσέγγιση θεωρούμε για τον συντελεστή α την θερμοκρασία των 20°C που είναι και η θερμοκρασία αναφοράς των περισσοτέρων κατασκευαστών αντιστάσεων.

Λύνοντας την παραπάνω σχέση ως προς R$\_{0}$, προκύπτει:
R = R 1+ αθ-θ 0 0
Λύνοντας την τελευταία αυτή σχέση ως προς α προκύπτει:
α= R-R Rθ -θ 1 C grad 0 0 0 o -1 σε ή
Ως γνωστό R = ρ l S 0 0 και R= ρ l S
Αυτό σημαίνει ότι σε περίπτωση μεταβολής της θερμοκρασίας η ειδική αντίσταση ρ$\_{0}$ μεταβάλλεται σύμφωνα με την ακόλουθη σχέση:
ρ=ρ$\_{0}$ [1+α(θ-θ$\_{0}$)]
Συμπεραίνουμε ότι οι μεταβολές της ωμικής αντίστασης με τη θερ -μοκρασία οφείλονται στις μεταβολές της ειδικής αντίστασης με τη θερμοκρασία.

Παράδειγμα 1
Να υπολογισθεί η αντίσταση αγωγού χαλκού μήκους 200m και διατομής 4mm 2 .

Λύση:
Συνηθίζεται για τους χάλκινους αγωγούς να λαμβάνεται στις εφαρμογές ως τιμή της ειδικής αντίστασης p = 0,018 Ω mm m cu $^{2}$. Από την σχέση: R= ρ l S αντικαθιστώντας έχουμε:
R=0,018 Ωmm m 200m 4mm =0,9 Ω 2 2  

Παράδειγμα 2
Αγωγός αλουμινίου μήκους 100m, έχει ωμική αντίσταση R=1Ω. Να
βρεθεί η διατομή του αγωγού. Δίδεται ρ= 0,029 Ωm m m Al 2  

Λύση :
Από την σχέση: R= ρ l S έχουμε:
S= ρ R =0,029 100 =2,9mm 2 l × 1

Παράδειγμα 3
Ποιά διατομή S πρέπει να έχει χάλκινος αγωγός μήκους l= 1000m, ώστε να παρουσιάζει αντίσταση R=3Ω.

Λύση:
Από την σχέση: S= ρ R = = 6mm 2 l 0 018 1000 3 , ×

Παράδειγμα 4
Χάλκινος αγωγός μήκους 1km και διαμέτρου 2mm, κατά την λειτουρ -γία αυξάνει τη θερμοκρασία του από 20°C σε 80°C. Να υπολογιστεί η αύξηση της αντίστασης του αγωγού. Ο θερμικός συντελεστής α έχει τιμή 0,00382 στους 20°C, ρ=0,018Ωmm 2 /m

Λύση :
S= π d 4 =3,14mm 2 2
Η αντίσταση του αγωγού στους 20°C είναι:
Rρ S 0,018 Ωmm m 1000m 3, 14mm =5, 73Ω R = R=5,73 Ω 2 2 20 = = l
Η μεταβολή της αντίστασης του χαλκού στους 80°C είναι:
R$\_{80}$=R$\_{20}$[1+α(80°-20°)]=R$\_{20}$(1+α60°C)
R$\_{80}$=5,73(1+0,0038260°C)= 5,73(1+0,229)
R$\_{80}$=5,731,229=7,04 Ω
Δηλαδή η αντίσταση του αγωγού αυξήθηκε κατά 7,04-5,73=1,31Ω

Πίνακας 3. Θερμικός συντελεστής α αντίστασης διαφόρων μετάλλων (στους 20°C)

Παράδειγμα 5
Να βρεθεί η ωμική αντίσταση που παρουσιάζει αγωγός χαλκού με διάμετρο 1,5 mm και μήκος 1km (ρ = ) 0,018 Ωm m m Cu 2 . .

Λύση:
Η ωμική αντίσταση δίνεται από τη σχέση:

R= ρ S l
Η διατομή του αγωγού υπολογίζεται από την σχέση:
2 2 2 π d S = = 3,14 1,5 /4 =1,77mm 4 
R=0,018 1000 1,77 =10,17 Ω ×

Παράδειγμα 6
Η ωμική αντίσταση συσκευής στη θερμοκρασία 20°C είναι 250Ω, ενώ η αντίσταση της συσκευής κατά την διάρκεια της λειτουργίας αυξάνει στα 300Ω. Να υπολογίσετε τη θερμοκρασία λειτουργίας της συσκευής, αν ο θερμικός συντελεστής του αγωγού είναι α=0,004 1 / 0 C

Λύση:
R=300Ω, R$\_{0}$=250Ω, θ$\_{0}$=20°C, ζητείται η θ=;
Η ωμική αντίσταση που παρουσιάζει η συσκευή εξαρτάται από τη θερμοκρασία και δίνεται από:
( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 o 0 0 0 0 R = R 1+ αΔθ = R 1+ α θ -θ R = R 1+ αθ -αθ R = R + αθ R αθ R αθ R = R - R + αθ R R - R + αθ R 300- 250 + 0,004 20 250 70 θ = = = = 70 C α R 0,004 250 1     → → →   

Παράδειγμα 7
Χάλκινος αγωγός έχει μήκος 200 m και διατομή 2mm 2 . Να βρεθεί η αγωγιμότητα του αγωγού. (ρ=0,018 Ωmm 2 /m)

Λύση:
Η αγωγιμότητα του σύρματος είναι:
G= 1 R όπου R= ρ οπότε: G ρ S G S ρ mho l l = = = × = 1 2 0 018 200 055 , ,

Παράδειγμα 8
Η ωμική αντίσταση αγωγού είναι R=2Ω. Το μήκος του είναι 180m και η διατομή 4mm 2 . Να βρεθεί η ειδική αγωγιμότητα του αγωγού.

Λύση:
Η ειδική αγωγιμότητα υπολογίζεται από την σχέση:
R = ρ S ρ = R × S ρ = 0,044 Ωmm m l l 2 × 4 180 =
Επομένως η ειδική αγωγιμότητα είναι:
κ = 1 ρ = 1 0,044 = 22,7 m Ωm m 2 × ×

1.7. ΧΡΩΜΑΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΩΝ
Η αντίσταση φέρει λεπτά έγχρωμα δακτυλίδια, όπως στο σχήμα 1.7α. Η αντιστοιχία των χρωμάτων με κάθε ψηφίο δίνεται στον Πίνακα 4.

Παράδειγμα
Η αντίσταση με χρώματα όπως παρακάτω έχει τιμή που σχηματίζεται από τα ψηφία που αντιπροσωπεύουν τα χρώματα του πίνακα 4.
Κατά σειρά συναντούμε επί της αντίστασης δακτυλίους με τα χρώματα:
Σχήμα 1.7β. Ανάγνωση αντίστασης
Πρώτο χρώμα είναι το μπλε και δίδει την τιμή 6. Δεύτερο χρώμα είναι το πράσινο και δίδει την τιμή 5. Τρίτο χρώμα το κίτρινο και δίδει 4 μηδενικά. Τέταρτο χρώμα το χρυσαφί και δίδει ανοχή ±5%. Σχηματίζεται ο αριθμός 650000±5%. Συνεπώς η τιμή της αντίστασης είναι 650kΩ±5%.

1.8. ΡΟΟΣΤΑΤΕΣ ΚΑΙ ΠΟΤΕΝΣΙΟΜΕΤΡΑ
Στις καθημερινές εφαρμογές μας ενδιαφέρει περισσότερο η μεταβολή της έντασης του ηλεκτρικού ρεύματος και όχι μια σταθερή τιμή του. Τέτοια παραδείγματα μπορούν να βρεθούν:
- -Στον ενισχυτή του στερεοφωνικού συγκροτήματος, στον οποίο μεταβάλλοντας την έντασή του μεταβάλλεται το ρεύμα που διαρ -ρέει τα ηχεία.
- -Σε ορισμένες περιπτώσεις μεταβάλλεται η ένταση του ρεύματος, που διαρρέει έναν λαμπτήρα, στρέφοντας έναν περιστροφικό διακόπτη.
Η ρύθμιση (μεταβολή) της έντασης του ρεύματος γίνεται με έναν μεταβλητό αντιστάτη, που ονομάζεται ροοστάτης, Σχήμα 1.8.

- Ο ροοστάτης είναι μια ρυθμιζόμενη αντίσταση που παρεμβάλλεται σε σειρά σε μια κατανάλωση. Η λειτουργία του ροοστάτη βασίζεται στον νόμο του Ωμ.
Σχήμα 1.8. Διάγραμμα ροοστάτη R$\_{Π}$ με φορτίο R
Εάν η αντίσταση R$\_{Π}$ του ροοστάτη έχει τιμή R$\_{1}$, τότε στην θέση για την οποία
I E R = 0 I = R Þ , δηλαδή ο ροοστάτης είναι εκτός λειτουργίας.
Στην θέση όπου I Π Π E R = R Ι = R + R Þ ,δηλαδή όλη η αντίσταση του
ροοστάτη είναι εντός κυκλώματος και στην συγκεκριμένη περίπτωση σε σειρά με το φορτίο R.

Οι σχέσεις αυτές παρέχουν τα όρια μεταβολής του ρεύματος που διαρρέει τον καταναλωτή, (φορτίο R) με μεταβολή της αντίστασης του ροοστάτη από μηδέν (ο ροοστάτης εκτός λειτουργίας) μέχρι την μέγιστη τιμή της μέσω της κινητής επαφής του δρομέα.
Αν ο δρομέας βρεθεί σε μια ενδιάμεση θέση R$\_{x}$ του ροοστάτη, τότε το ρεύμα είναι
X E I R R = +

1.8.1 Ρύθμιση της Τάσης με Ποτενσιόμετρα
Η ρύθμιση της τάσης στα άκρα μιας κατανάλωσης R γίνεται με παρεμβολή συσκευών που ονομάζονται καταμεριστές τάσης ή ποτεν -σιόμετρα, (σχήμα 1.9).
Σχήμα 1.9. Σύνδεση ποτενσιομέτρου στα σημεία Α και Δ κυκλώματος.
Ανάλογα με την θέση του δρομέα Δ η αντίσταση του ποτενσιομέτρου R$\_{Π}$ χωρίζεται σε δυο μέρη R$\_{1}$ και R$\_{2}$.
R$\_{Π}$=R$\_{1}$+R$\_{2}$
Όταν ο δρομέας είναι στην θέση Α τότε:
U$\_{R}$=0
Ενώ όταν ο δρομέας είναι στη θέση Β τότε η τάση U$\_{R}$ στο φορτίο R είναι ίση με την τάση της πηγής.

U$\_{R}$=U
Όταν ο δρομέας βρεθεί σε μια ενδιάμεση θέση, τότε η τάση U$\_{R}$ στο φορτίο R είναι ανάλογη με την τάση του τμήματος R$\_{1}$ του ποτενσιο -μέτρου. (Περισσότερα στο κεφάλαιο 4)

Παράδειγμα
Στο ποτενσιόμετρο του σχήματος 1.10 εφαρμόζεται τάση U=220V. Στα άκρα του τμήματος R$\_{1}$ του ποτενσιομέτρου μετρήθηκε τάση U$\_{R1}$=100V, η δε ένταση I$\_{1}$ μετρήθηκε I$\_{1}$=4A. Να υπολογισθεί η αντί -σταση R$\_{1}$ του ποτενσιομέτρου.

Λύση:
Σχήμα 1.10. Ρύθμιση τάσης καταναλωτή με ποτενσιόμετρο
U$\_{R1}$=100V, Ι$\_{1}$=4Α Þ
R1 1 1 U 100V R = 25 Ω I 4A = =

1.9. ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ
- Ο νόμος του Ωμ σε τμήμα κυκλώματος διατυπώνεται ως εξής:
Η ένταση του ρεύματος που διαρρέει μια ωμική αντίσταση είναι ανάλογη της ηλεκτρικής τάσης και αντιστρόφως ανάλογη της ωμικής αντίστασης:

U I R =
Ο νόμος του Ωμ σε πλήρες κύκλωμα είναι:
E I = R + r
Η αντίσταση μεταβάλλεται με την θερμοκρασία.
R = R$\_{0}$ [1 + α (θ - θ$\_{0}$)]
Αναφέρθηκαν οι έννοιες της αντίστασης της αγωγιμότητας, της ει -δικής αγωγιμότητας και της ειδικής αντίστασης.
Ο ροοστάτης ρυθμίζει την ένταση του ρεύματος, που διαρρέει τμήμα κυκλώματος. Το ποτενσιόμετρο ρυθμίζει την τάση του φορτίου που τροφοδοτεί.

1.10 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ
- 1. Τάση 220 V εφαρμόζεται σε μια αντίσταση 110 Ω. Να υπολογίσετε το ρεύμα που διαρρέει την αντίσταση.
Απάντηση: I = 2 A
- 2. Η τάση που εφαρμόζεται σ' ένα κύκλωμα είναι 200 V, ενώ το ρεύμα που το διαρρέει είναι 20 Α. Να βρεθεί η αντίσταση του κυκλώματος.
Απάντηση: R = 10 Ω
- 3. Μια αντίσταση 0,5 Ω διαρρέεται από ρεύμα 10 Α. Να βρεθεί η πτώση τάσης στα άκρα της.
Απάντηση: U = 5 V
- 4. Αγωγός σ' ένα κύκλωμα παρουσιάζει αντίσταση 0,8 Ω. Να βρεθεί το μεγαλύτερο ρεύμα που μπορεί να διαρρεύσει τον αγωγό, ώστε η πτώση τάσης να μην υπερβαίνει τα 2,2 V.

Απάντηση: I = 2,75 Α
5. ΗΕΔ 12 V και εσωτερικής αντίστασης 0,2 Ω. Να βρεθεί:
- Θερμαντικό σώμα έχει αντίσταση 3 Ω και συνδέεται με συσσωρευτή α. Το ρεύμα που διαρρέει το κύκλωμα και β. Η πολική τάση στους ακροδέκτες του συσσωρευτή.
Απάντηση: α) I = 3,75 Α. β) U = 11,25 V
- 6. Αγωγός χαλκού μήκους 150 m έχει διατομή 1,5 mm 2 . Να βρεθεί η αντίσταση του αγωγού. (ρ$\_{Cu}$ = 0,018 Ωmm 2 /m).
Απάντηση: R = 1,8 Ω
- 7. Αγωγός αλουμινίου έχει μήκος 500 m και διατομή 25 mm 2 . Να βρεθεί η ωμική αντίσταση του αγωγού. (ρ = 0,029 Ωmm 2 /m).

Απάντηση: R = 0,58 Ω
- 8. Χάλκινος αγωγός έχει μήκος l=1000 m και διατομή S=50 mm 2 . (ρ$\_{Cu}$ = 0,018 Ωmm 2 /m. Ο θερμικός συντελεστής χαλκού στους 20°C είναι α=3,8210 -3 1/°C). Να βρεθεί η αντίσταση R$\_{80}$ του αγωγού σε θερμοκρασία 80°C
Απάντηση: R = 0,4 Ω
Απάντηση: R = 0,4 Ω
- 9. Η αντίσταση ενός χάλκινου αγωγού στους 20°C είναι 300 Ω. Αφού λειτουργήσει σε κύκλωμα επί αρκετή ώρα η αντίσταση του αγωγού αυξάνει την τιμή της στα 320 Ω (θερμικός συντελεστής χαλκού α$\_{Cu}$ = 3,8210 -3 1/°C). Να βρεθεί πόσους βαθμούς °C αυξήθηκε η θερμο -κρασία του αγωγού.
- 10. Ένας χάλκινος αγωγός διατομής 16mm 2 χρειάζεται να αντικατα -σταθεί με αγωγό αλουμινίου του ίδιου μήκους και της ίδιας αντίστασης (ρ$\_{Cu}$=0,018Ωmm 2 /m, ρ$\_{A1}$=0,029Ωmm 2 /m). Να βρεθεί η διατομή του αγωγού αλουμινίου.

ΜΕΡΟΣ A

ΤΟ ΣΥΝΕΧΕΣ ΡΕΥΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ ΩΜ ΚΑΙ Η ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ

1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζονται οι θεμελιώδεις έννοιες του Ηλεκτρι -σμού. Πιο συγκεκριμένα γίνεται αναφορά στον νόμο του Ωμ τόσο σε τμήμα κυκλώματος, όσο και σε πλήρες κύκλωμα.
Επίσης αναπτύσσονται οι έννοιες ωμική αντίσταση, ειδική αντίσταση και ειδική αγωγιμότητα. Στην συνέχεια εξετάζεται η επίδραση της θερ -μοκρασίας στην ωμική αντίσταση. Τέλος παρουσιάζονται οι συσκευές που χρησιμοποιούνται για την μεταβολή του ρεύματος και της τάσης.

1.2. ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΦΥΣΙΚΗ
Οι έννοιες της παραγράφου αυτής προέρχονται από τα σχετικά μα -θήματα Φυσικής του Γυμνασίου.
Τα βασικά ηλεκτρικά μεγέθη που μας ενδιαφέρουν στην επιστήμη του ηλεκτρολόγου είναι το ηλεκτρικό φορτίο, το ηλεκτρικό ρεύμα, η μαγνητική ροή, η ηλεκτρική τάση, η ηλεκτρική ισχύς και η ηλεκτρική ενέργεια.
Το ηλεκτρικό φορτίο είναι ένα θεμελιώδες μέγεθος του ηλεκτρισμού. Όταν τα ηλεκτρικά φορτία κινούνται ή ηρεμούν, τότε ασκούν δυνάμεις σε άλλα ηλεκτρικά φορτία που κινούνται ή είναι ακίνητα. Οι δυνάμεις αυτές είναι οι ηλεκτρομαγνητικές δυνάμεις.

Η ποσότητα ηλεκτρικού φορτίου του ενός ηλεκτρονίου είναι ίση με 1,6x10 -19 Coulomb και είναι η μικρότερη γνωστή.
Τα ηλεκτρόνια, ως γνωστόν, φέρουν αρνητικό φορτίο και τα πρωτό -νια θετικό φορτίο. Η φορά της κίνησης των ηλεκτρονίων είναι από το τμήμα όπου υπάρχει συσσώρευση ηλεκτρονίων προς το τμήμα όπου υπάρχει έλλειψη.
Το ηλεκτρικό φορτίο δεν μπορεί ούτε να δημιουργηθεί, ούτε να καταστραφεί.
Μονάδα μέτρησης του ηλεκτρικού φορτίου είναι το 1 Coulomb στο Διεθνές Σύστημα S.I. To Coulomb (Κουλόμπ) ορίζεται σαν το φορτίο 6,2410 18 ηλεκτρονίων και είναι το φορτίο που μεταφέρεται σε 1 δευ -τερόλεπτο από ηλεκτρικό ρεύμα 1 Ampere.

1Cb=1A1sec
Τα ηλεκτρικά φορτία που κινούνται αποτελούν το ηλεκτρικό ρεύμα. Έτσι το ηλεκτρικό ρεύμα έχει την έννοια της ταχύτητας διέλευσης ή μεταφοράς του ηλεκτρικού φορτίου.
Η μονάδα μέτρησης του ηλεκτρικού ρεύματος είναι το Αμπέρ (Amper) με σύμβολο το Α.
1Ampere= 1Coulomb 1sec
Στο S.I. το Ampere είναι θεμελιώδης μονάδα και από αυτήν ορίζονται τα υπόλοιπα ηλεκτρικά μεγέθη. Το Διεθνές Σύστημα S.I. ονομάζεται και MKSA από τις θεμελιώδεις μονάδες οι οποίες είναι: το μέτρο (m) για το μήκος, το χιλιόγραμμο (kg) για τη μάζα και το δευτερόλεπτο (sec) για το χρόνο.

Το ηλεκτρικό ρεύμα παριστάνεται με I ή i, όπου το κεφαλαίο γράμμα χρησιμοποιείται για ρεύματα χρονικά σταθερά, όπως είναι το συνεχές ρεύμα, και το μικρό γράμμα για ρεύματα χρονικά μεταβλητά, όπως είναι το εναλλασσόμενο ρεύμα. Ο ορισμός του ηλεκτρικού ρεύματος σαν την ταχύτητα μεταφοράς του φορτίου περιλαμβάνει τόσο τα θετικά όσο και τα αρνητικά φορτία.
Συνεχές ρεύμα είναι το ρεύμα του οποίου η τιμή παραμένει σταθερή σε κάθε χρονική στιγμή t. Στο σχήμα 1.1. η παράλληλη στον οριζόντιο άξονα γραμμή παραστάνει το Συνεχές Ρεύμα (ΣΡ).

Σχήμα 1.1. Γραφική παράσταση συνεχούς ρεύματος ΣΡ
Η ηλεκτρική τάση μεταξύ δυο σημείων είναι το έργο που απαιτείται για την μετακίνηση μιας μονάδας θετικού ηλεκτρικού φορτίου από το ένα σημείο στο άλλο.
Με απλά λόγια θεωρούμε ότι τα δύο σημεία αυτά είναι οι δυο πόλοι μιας πηγής ηλεκτρικής ενέργειας. Εφόσον η πηγή συνδέεται σε εξω -τερικό ηλεκτρικό κύκλωμα, αρχίζει η μετακίνηση του φορτίου από το ένα σημείο (πόλο) στο άλλο σημείο (πόλο).
Όσο μεγαλύτερη είναι η ηλεκτρική τάση μεταξύ των πόλων της πη -γής, τόσο μεγαλύτερο φορτίο θα μετακινηθεί και επομένως η ένταση του ρεύματος θα είναι μεγαλύτερη.

Πηγές ηλεκτρικού ρεύματος είναι τα ηλεκτρικά στοιχεία, οι συσ -σωρευτές, οι ηλεκτρικές γεννήτριες, και άλλες.
Μονάδα μέτρησης της ηλεκτρικής τάσης στο Διεθνές Σύστημα SI είναι το 1Volt (Βολτ) με σύμβολο το 1V. Η σχέση του Βολτ με την μονάδα ηλεκτρικού φορτίου Κουλόμπ είναι:
1V =1 Joule Coulomb =1 J Cb

Όμως :
1Cb=1 Α 1 sec
1J= l Watt1 sec

Επομένως:
1V = 1Watt 1sec 1A 1sec = 1Watt 1A =1 Watt A  
Η ηλεκτρική ισχύς Ρ είναι το γινόμενο της ηλεκτρικής τάσης U και της έντασης του ηλεκτρικού ρεύματος I:

P=UI
Η μονάδα μέτρησης της ηλεκτρικής ισχύος είναι το Watt:
1 Watt=1V1A
Περισσότερα για την ηλεκτρική ισχύ παρουσιάζονται στο Κεφάλαιο 2.

1.3. ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ ΩΜ
Ο νόμος του Ωμ εκφράζει τη σχέση ανάμεσα στα τρία βασικά μεγέθη σε συγκεκριμένο τμήμα κυκλώματος (τάση, ένταση και αντίσταση).
Τη σχέση αυτή μπορούμε να παρατηρήσουμε, όταν κάνουμε το εξής πείραμα. Χρησιμοποιούμε πέντε πλακέ μπαταρίες των 4,5V, μια αντί -σταση των 3ΚΩ, χάλκινα σύρματα και ένα αμπερόμετρο με κλίμακα ρεύματος π.χ. από 1-10 mA. Συνδέουμε μια μπαταρία με την αντίσταση και μετράμε την ένταση του ρεύματος. Επαναλαμβάνουμε τη μέτρηση συνδέοντας μια-μια και τις πέντε μπαταρίες σε σειρά, όπως φαίνεται στο Σχήμα 1.2.

Σχήμα 1.2. Σύνδεση πέντε μπαταριών σε σειρά, με αμπερόμετρο και ηλεκτρική αντίσταση
Στη συνέχεια συμπληρώνουμε τη δεύτερη στήλη του πίνακα 1 και με τα αποτελέσματα των μετρήσεων σχεδιάζουμε το διάγραμμα του Σχήματος 1.3
Πίνακας 1. Μετρήσεις τάσης και έντασης

| Τάση U(Volt)   | Ένταση I(mA)   |
|----------------|----------------|
| 0              | 0              |
| 4,5            | 1,5            |
| 9,0            | 3              |
| 13,5           | 4,5            |
| 18,0           | 6              |
| 22,5           | 7,5            |
Σχήμα 1.3. Σχεδίαση της σχέσης τάσης και έντασης ρεύματος σε μία ηλεκτρική αντίσταση 3 ΚΩ.
Χρησιμοποιώντας τις τιμές τάσης και έντασης του ρεύματος του Πίνακα 1 προσδιορίζουμε πάνω στους άξονες U και I τις αντίστοι -χες τιμές και, όπου τέμνονται οι δυο προβολές τους, σημειώνουμε τα σημεία (1, 2, 3, 4, 5) της γραφικής παράστασης U-I. Όταν ενώσουμε όλα τα σημεία και το 0 μεταξύ τους διαπιστώνουμε ότι σχηματίζεται μια ευθεία γραμμή.

Αυτό σημαίνει ότι η σχέση τάσης και ρεύματος για μια ηλεκτρική αντίσταση είναι " γραμμική " .
Η κλίση της ευθείας γραμμής αντιστοιχεί με την τιμή της αντίστασης που χρησιμοποιήσαμε.

Άσκηση:
Να γίνει το πείραμα στο εργαστήριο με αντίσταση 3.3kΩ του εμπορίου ώστε:
-  Να υλοποιήσουν οι μαθητές την πειραματική διάταξη με τις πέντε μπαταρίες και το αμπερόμετρο.
-  Να συμπληρώσουν τις τιμές του ρεύματος όπως στον πίνακα 1.
-  Να σχεδιάσουν την σχέση τάσης - έντασης όπως στο διάγραμμα του σχήματος 1.3.
Από το πείραμα προκύπτει ότι η ηλεκτρική αντίσταση σε συγκε -κριμένο τμήμα κυκλώματος υπολογίζεται ως το πηλίκο μεταξύ της εφαρμοζόμενης τάσης στα άκρα του και του ρεύματος, που το διαρρέει.

R U I =
Ηλεκτρική αντίσταση είναι η ιδιότητα των υλικών να παρεμποδίζουν την κίνηση των ηλεκτρικών φορτίων δηλαδή την κυκλοφορία ηλεκτρικού ρεύματος.
Συνηθίζεται στην ηλεκτροτεχνία αντιστάσεις, όπως αυτή του πει -ράματος και οι άλλες που θα συναντήσουμε στα επόμενα κεφάλαια, να ονομάζονται ωμικές αντιστάσεις.
Ο νόμος του Ωμ, σε τμήμα κυκλώματος διατυπώνεται ως εξής:
Η ένταση του ρεύματος, που διαρρέει μια ωμική αντίσταση, είναι ανάλογη της ηλεκτρικής τάσης στα άκρα της και αντιστρόφως ανάλογη της ωμικής αντίστασης:

U R =
Ονομάζουμε πτώση τάσης στην αντίσταση R το γινόμενο:

U = RI
Η μονάδα μέτρησης της ωμικής αντίστασης είναι το Ωμ (Ohm):
1Ω = 1V 1A
Αντίσταση ενός Ωμ (1Ω) παρουσιάζει ένας αγωγός, όταν στα άκρα του εφαρμόζεται τάση ενός βόλτ (1V) και διαρρέται από ρεύμα έντα -σης ενός Αμπέρ (1Α).

Στην πράξη χρησιμοποιούνται και πολλαπλάσια του Ωμ :
-  Το κιλοώμ=1ΚΩ=1000Ω=10 3 Ω
- Το μεγαώμ=1ΜΩ=1000ΚΩ=10 6 Ω

Παράδειγμα 1
Στους ακροδέκτες Α και Β της αντίστασης R, που διαρρέεται από ρεύμα I=10Α, επικρατεί τάση ίση με U=220V, Σχήμα 1.4. Να βρεθεί η τιμή της ωμικής αντίστασης.
Σχήμα 1.4. Τμήμα κυκλώματος Α-Β με αντίσταση R.

Λύση:
Εφαρμόζοντας τον νόμο του Ohm βρίσκουμε:
R= U I = 220V 10A = 22Ω

Παράδειγμα 2
Μια λάμπα πυράκτωσης διαρρέεται από ρεύμα 200mA, όταν τρο -φοδοτείται με τάση 220V. Να βρεθεί η ωμική αντίσταση της λάμπας.

Λύση:
Η ωμική αντίσταση της λάμπας σε κατάσταση λειτουργίας βρίσκεται από το νόμο του Ωμ για τμήμα αγωγού.
R= U I = 220V 0,20A = 1100Ω

Παράδειγμα 3
Μια μπαταρία παρέχει τάση 4,5 V σε μια αντίσταση 4500 Ω. Να βρεθεί το ρεύμα που δείχνει το αμπερόμετρο που είναι συνδεδεμένο σε σειρά με την αντίσταση (η εσωτερική αντίσταση της μπαταρίας είναι r = 0).

Λύση:
Έχουμε: E=4,5V

R=4500Ω
I = Ε R = 4,5V 4500 Ω =0,001 Α =1m A

Παράδειγμα 4
Στο σχήμα 1.5 να βρεθεί η τιμή της αντίστασης R όταν U=1,5 V και το ρεύμα I=1 mA.

Λύση :
Έχουμε: U=1,5V
Σχήμα 1.5. Κύκλωμα με πηγή Ε, αντίσταση R και αμπερόμετρο.
I=1mA=0,001A
R= U I = 1,5V 0,001A = 1500Ω

Παράδειγμα 5
Οι δυο εμπρόσθιοι προβολείς ομίχλης ενός αυτοκινήτου συνδέονται παράλληλα με την μπαταρία των 12V. Η αντίσταση του καθενός είναι 3Ω. Να βρεθεί η ένταση του ρεύματος όταν ανάβει ο προβολέας.

Λύση :
Από τον νόμο του Ωμ έχουμε:
I= U R = 12V 3Ω =4 Α

Παράδειγμα 6
Μία αντίσταση διαρρέεται από ρεύμα 50 mA και η τάση στα άκρα της είναι 120 V. Να βρεθεί η τιμή της αντίστασης.

Λύση:
Ι=50 mA=0,05A
Από τη σχέση: I= U R R= U I ⇒
R= 120V 0,05A = 2400 Ω

1.4. Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ ΩΜ ΣΕ ΠΛΗΡΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑ
Όταν πάρουμε μια μπαταρία με ηλεκτρεγερτική δύναμη (ΗΕΔ) Ε και τη συνδέσουμε με την βοήθεια μεταλλικών αγωγών με μια ωμική αντίσταση R, τότε σχηματίζεται ένα πλήρες κλειστό κύκλωμα, σχήμα 1.6. Στο κύκλωμα αυτό εκτός από την εξωτερική ωμική αντίσταση R υπάρχει και η εσωτερική αντίσταση της πηγής r.
Ηλεκτρεγερτική δύναμη είναι η τάση μεταξύ των πόλων της πηγής, όταν από την πηγή δεν διέρχεται ηλεκτρικό ρεύμα (ανοιχτό κύκλωμα).
Η εσωτερική αντίσταση της πηγής εκφράζει την δυσκολία που συ -ναντούν τα ηλεκτρικά φορτία κατά την κίνηση τους στο εσωτερικό της πηγής.

Σχήμα 1.6. Πλήρες κλειστό κύκλωμα με πηγή και εξωτερική ωμική αντίσταση (φορτίο)
Σχήμα 1.6.α. Ανοικτοκυκλωμένο κύκλωμα (ανοικτό)
Σχήμα 16.β. Βραχυκυκλωμένο κύκλωμα (βραχυκύκλωμα)

Ο νόμος του Ohm σε πλήρες κύκλωμα εκφράζεται από τη σχέση:
Ι = Ε R+r = E R$\_{ολ}$
Ισχύει ότι:
E=IR+Ir=U+Ir και από αυτή

U=E-Ir
Όπου: Το γινόμενο IR είναι η πτώση τάσης U, που μετριέται στα άκρα της αντίστασης R. Η ίδια τάση μετριέται στους πόλους της πηγής και ονομάζεται πολική τάση της πηγής
Η πολική τάση U της πηγής ισούται με την ΗΕΔ Ε μείον την εσω -τερική πτώση τάσης Ir της πηγής. Η πολική τάση U της πηγής είναι ίση με την ηλεκτρεγερτική δύναμη Ε της πηγής μόνο όταν I=0, δηλαδή όταν το κύκλωμα είναι ανοικτό. Ανοικτό κύκλωμα (ανοικτοκυκλω -μένο) είναι το κύκλωμα στο οποίο δεν συνδέεται το φορτίο, (άπειρο φορτίο) (Σχήμα 1.6.α). Βραχυκυκλωμένο κύκλωμα είναι το κύκλωμα στο οποίο οι πόλοι της πηγής ενώνονται μεταξύ τους με ένα αγωγό, παρακάμπτοντας το φορτίο (Σχήμα 1.6.β).

Σε περίπτωση βραχυκυκλώματος το ρεύμα βραχυκύκλωσης Ι$\_{βρ }$είναι πολύ μεγαλύτερο από το ονομαστικό ρεύμα φορτίου I.

Παράδειγμα 1
Η εσωτερική αντίσταση πηγής είναι 1Ω και η πολική της τάση 60V. Η ωμική αντίσταση που είναι συνδεδεμένη στα άκρα της διαρρέεται από ρεύμα έντασης 5Α. Να βρεθεί η ΗΕΔ της πηγής.

Λύση :
Η ΗΕΔ της πηγής βρίσκεται από τον νόμο του Ωμ σε πλήρες κύκλωμα:
E=U+Ir=60V+5 Α1Ω=65V

Παράδειγμα 2
Σε πηγή ΗΕΔ 60V και εσωτερικής αντίστασης 4Ω συνδέεται αντί -σταση 20Ω. Να βρεθεί: α. Η ένταση του ρεύματος που διαρρέει την αντίσταση και β. Η πτώση τάσης στην εξωτερική αντίσταση R.

Λύση :
α. Από την σχέση
I= 60V 24 Ω =2,5 Α I E R r έχουμε:
β. Η πτώση τάσης στην αντίσταση R είναι:
U=ΙR=2,5Α20Ω=50V

Παράδειγμα 3
Σε πηγή ΗΕΔ 300V και πολικής τάσης 200V συνδέεται αντίσταση, που διαρρέεται από ρεύμα 10Α. Να βρεθεί η τιμή της εσωτερικής αντίστασης της πηγής και η αντίσταση του εξωτερικού κυκλώματος.

Λύση:
Η ΗΕΔ της πηγής δίνεται από την σχέση:

E=U+Ir
Λύνοντας ως προς r έχουμε :
r= E-U I 300V-200V 10A =1 0Ω =
Η τιμή της ηλεκτρικής αντίστασης R βρίσκεται από την σχέση :
U=I R R= U I = 200V 10A =2 0Ω

1.5. ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ ΚΑΙ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ
Η ωμική αντίσταση R ενός αγωγού εξαρτάται από τους παρακάτω παράγοντες:
- 1. Το μήκος του αγωγού (σύρμα) (l)
- 2. Τη διατομή του σύρματος (S)
- 3. Την χημική σύσταση του υλικού του σύρματος (ρ)
R l S σε Ω

Ο συντελεστής ρ ονομάζεται ειδική αντίσταση.
Η ειδική αντίσταση μετριέται σε Ωmm 2 /m, η διατομή S σε mm 2 , η αντίσταση R σε Ω και το μήκος 1 σε m.
Η σχέση επιλύεται ως προς 1 και S και προκύπτουν:

l RS m
S l R mm 2
Από τις παραπάνω σχέσεις υπολογίζονται το μήκος του αγωγού από το οποίο κατασκευάζεται μια ωμική αντίσταση και η διατομή του.

1.5.1. Αγωγιμότητα
Η αγωγιμότητα εκφράζει την ευκολία της μετακίνησης των ηλεκτρι -κών φορτίων μέσα στον αγωγό. Υψηλές τιμές αγωγιμότητας σημαίνει μεγάλη ευκολία στην κίνηση του ηλεκτρικού φορτίου.
Η ηλεκτρική αντίσταση R είναι το αντίστροφο της αγωγιμότητας.
R= 1 G G= 1 R και
Όπου G είναι η αγωγιμότητα σε mho, ή Siemens (S).
1 1 mho= Ω

1.5.2. Ειδική Αγωγιμότητα
Η ειδική αντίσταση είναι το αντίστροφο της ειδικής αγωγιμότητας:
ρ= 1 κ ρ κ= 1 και
όπου κ είναι η ειδική αγωγιμότητα σε m mm 2
Η ειδική αντίσταση και η ειδική αγωγιμότητα (στους 20°C) διαφόρων αγώγιμων υλικών βρίσκεται στον πίνακα 2

| ΥΛΙΚΟ        | ΣΥΜΒΟΛΟ      | ρ (Ωm)x10 -6   | Κ (1/Ωm)x10 6   |
|--------------|--------------|----------------|-----------------|
| Αλουμίνιο    | Α1           | 0,0283         | 35,34           |
| Κονσταντάν   | Cu - Ni      | 0,49           | 2,04            |
| Άργυρος      | Ag           | 0,0164         | 60,98           |
| Βολφράμιο    | W            | 0,055          | 18,18           |
| Χαλκός       | Cu           | 0,0177         | 56,50           |
| Μαγγανίνη    | Cu - Mn - Ni | 0,44           | 2,27            |
| Χρωμονικέλιο | Cr - Ni      | 1              | 1               |

Πίνακας 2. Ειδική αντίσταση και ειδική αγωγιμότητα αγώγιμων υλικών.

1.6. ΕΞΑΡΤΗΣΗ ΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ
Η αντίσταση του υλικού μεταβάλλεται με την θερμοκρασία. Ειδι -κότερα εάν R$\_{0}$ είναι η αντίσταση ενός αγωγού σε θερμοκρασία θ$\_{0}$, η αντίσταση R σε θερμοκρασία θ προκύπτει από τη σχέση:
R=R$\_{0}$[l+α(θ-θ$\_{0}$)] σε [Ω]
όπου α είναι συντελεστής διαφορετικός στις διάφορες θερμοκρασίες. Ονομάζεται θερμικός συντελεστής αντίστασης και εξαρτάται από το υλικό και έχει διάσταση 1/°C=grad -1 .Συvηθίζετaι να παίρνουμε τις μέσες τιμές του α για θερμοκρασία μεταξύ 0° και 100°C. Με καλή προσέγγιση θεωρούμε για τον συντελεστή α την θερμοκρασία των 20°C που είναι και η θερμοκρασία αναφοράς των περισσοτέρων κατασκευαστών αντιστάσεων.

Λύνοντας την παραπάνω σχέση ως προς R$\_{0}$, προκύπτει:
R = R 1+ αθ-θ 0 0
Λύνοντας την τελευταία αυτή σχέση ως προς α προκύπτει:
α= R-R Rθ -θ 1 C grad 0 0 0 o -1 σε ή
Ως γνωστό R = ρ l S 0 0 και R= ρ l S
Αυτό σημαίνει ότι σε περίπτωση μεταβολής της θερμοκρασίας η ειδική αντίσταση ρ$\_{0}$ μεταβάλλεται σύμφωνα με την ακόλουθη σχέση:
ρ=ρ$\_{0}$ [1+α(θ-θ$\_{0}$)]
Συμπεραίνουμε ότι οι μεταβολές της ωμικής αντίστασης με τη θερ -μοκρασία οφείλονται στις μεταβολές της ειδικής αντίστασης με τη θερμοκρασία.

Παράδειγμα 1
Να υπολογισθεί η αντίσταση αγωγού χαλκού μήκους 200m και διατομής 4mm 2 .

Λύση:
Συνηθίζεται για τους χάλκινους αγωγούς να λαμβάνεται στις εφαρμογές ως τιμή της ειδικής αντίστασης p = 0,018 Ω mm m cu $^{2}$. Από την σχέση: R= ρ l S αντικαθιστώντας έχουμε:
R=0,018 Ωmm m 200m 4mm =0,9 Ω 2 2  

Παράδειγμα 2
Αγωγός αλουμινίου μήκους 100m, έχει ωμική αντίσταση R=1Ω. Να
βρεθεί η διατομή του αγωγού. Δίδεται ρ= 0,029 Ωm m m Al 2  

Λύση :
Από την σχέση: R= ρ l S έχουμε:
S= ρ R =0,029 100 =2,9mm 2 l × 1

Παράδειγμα 3
Ποιά διατομή S πρέπει να έχει χάλκινος αγωγός μήκους l= 1000m, ώστε να παρουσιάζει αντίσταση R=3Ω.

Λύση:
Από την σχέση: S= ρ R = = 6mm 2 l 0 018 1000 3 , ×

Παράδειγμα 4
Χάλκινος αγωγός μήκους 1km και διαμέτρου 2mm, κατά την λειτουρ -γία αυξάνει τη θερμοκρασία του από 20°C σε 80°C. Να υπολογιστεί η αύξηση της αντίστασης του αγωγού. Ο θερμικός συντελεστής α έχει τιμή 0,00382 στους 20°C, ρ=0,018Ωmm 2 /m

Λύση :
S= π d 4 =3,14mm 2 2
Η αντίσταση του αγωγού στους 20°C είναι:
Rρ S 0,018 Ωmm m 1000m 3, 14mm =5, 73Ω R = R=5,73 Ω 2 2 20 = = l
Η μεταβολή της αντίστασης του χαλκού στους 80°C είναι:
R$\_{80}$=R$\_{20}$[1+α(80°-20°)]=R$\_{20}$(1+α60°C)
R$\_{80}$=5,73(1+0,0038260°C)= 5,73(1+0,229)
R$\_{80}$=5,731,229=7,04 Ω
Δηλαδή η αντίσταση του αγωγού αυξήθηκε κατά 7,04-5,73=1,31Ω

| Υλικό               | Θερμικός Συντελεστής α [(C ° ) -1 ]   |
|---------------------|---------------------------------------|
| Αλουμίνιο 3,910 -3 |                                       |
| Άνθρακας            | -0,610 -3                            |
| Χαλκός              | 3,8210 -3                            |
| Κονσταντάν          | 0,00810 -3                           |
| Βολφράμιο           | 4,510 -3                             |
| Σίδηρος             | 510 -3                               |
| Μαγγανίνη           | 0,00610 -3                           |
| Χρωμονικέλιο        | 0,410 -3                             |

Πίνακας 3. Θερμικός συντελεστής α αντίστασης διαφόρων μετάλλων (στους 20°C)

Παράδειγμα 5
Να βρεθεί η ωμική αντίσταση που παρουσιάζει αγωγός χαλκού με διάμετρο 1,5 mm και μήκος 1km (ρ = ) 0,018 Ωm m m Cu 2 . .

Λύση:
Η ωμική αντίσταση δίνεται από τη σχέση:

R= ρ S l
Η διατομή του αγωγού υπολογίζεται από την σχέση:
2 2 2 π d S = = 3,14 1,5 /4 =1,77mm 4 
R=0,018 1000 1,77 =10,17 Ω ×

Παράδειγμα 6
Η ωμική αντίσταση συσκευής στη θερμοκρασία 20°C είναι 250Ω, ενώ η αντίσταση της συσκευής κατά την διάρκεια της λειτουργίας αυξάνει στα 300Ω. Να υπολογίσετε τη θερμοκρασία λειτουργίας της συσκευής, αν ο θερμικός συντελεστής του αγωγού είναι α=0,004 1 / 0 C

Λύση:
R=300Ω, R$\_{0}$=250Ω, θ$\_{0}$=20°C, ζητείται η θ=;
Η ωμική αντίσταση που παρουσιάζει η συσκευή εξαρτάται από τη θερμοκρασία και δίνεται από:
( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 o 0 0 0 0 R = R 1+ αΔθ = R 1+ α θ -θ R = R 1+ αθ -αθ R = R + αθ R αθ R αθ R = R - R + αθ R R - R + αθ R 300- 250 + 0,004 20 250 70 θ = = = = 70 C α R 0,004 250 1     → → →   

Παράδειγμα 7
Χάλκινος αγωγός έχει μήκος 200 m και διατομή 2mm 2 . Να βρεθεί η αγωγιμότητα του αγωγού. (ρ=0,018 Ωmm 2 /m)

Λύση:
Η αγωγιμότητα του σύρματος είναι:
G= 1 R όπου R= ρ οπότε: G ρ S G S ρ mho l l = = = × = 1 2 0 018 200 055 , ,

Παράδειγμα 8
Η ωμική αντίσταση αγωγού είναι R=2Ω. Το μήκος του είναι 180m και η διατομή 4mm 2 . Να βρεθεί η ειδική αγωγιμότητα του αγωγού.

Λύση:
Η ειδική αγωγιμότητα υπολογίζεται από την σχέση:
R = ρ S ρ = R × S ρ = 0,044 Ωmm m l l 2 × 4 180 =
Επομένως η ειδική αγωγιμότητα είναι:
κ = 1 ρ = 1 0,044 = 22,7 m Ωm m 2 × ×

1.7. ΧΡΩΜΑΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΩΝ
Η αντίσταση φέρει λεπτά έγχρωμα δακτυλίδια, όπως στο σχήμα 1.7α. Η αντιστοιχία των χρωμάτων με κάθε ψηφίο δίνεται στον Πίνακα 4.

Παράδειγμα
Η αντίσταση με χρώματα όπως παρακάτω έχει τιμή που σχηματίζεται από τα ψηφία που αντιπροσωπεύουν τα χρώματα του πίνακα 4.
Κατά σειρά συναντούμε επί της αντίστασης δακτυλίους με τα χρώματα:
Σχήμα 1.7β. Ανάγνωση αντίστασης
Πρώτο χρώμα είναι το μπλε και δίδει την τιμή 6. Δεύτερο χρώμα είναι το πράσινο και δίδει την τιμή 5. Τρίτο χρώμα το κίτρινο και δίδει 4 μηδενικά. Τέταρτο χρώμα το χρυσαφί και δίδει ανοχή ±5%. Σχηματίζεται ο αριθμός 650000±5%. Συνεπώς η τιμή της αντίστασης είναι 650kΩ±5%.

1.8. ΡΟΟΣΤΑΤΕΣ ΚΑΙ ΠΟΤΕΝΣΙΟΜΕΤΡΑ
Στις καθημερινές εφαρμογές μας ενδιαφέρει περισσότερο η μεταβολή της έντασης του ηλεκτρικού ρεύματος και όχι μια σταθερή τιμή του. Τέτοια παραδείγματα μπορούν να βρεθούν:
- -Στον ενισχυτή του στερεοφωνικού συγκροτήματος, στον οποίο μεταβάλλοντας την έντασή του μεταβάλλεται το ρεύμα που διαρ -ρέει τα ηχεία.
- -Σε ορισμένες περιπτώσεις μεταβάλλεται η ένταση του ρεύματος, που διαρρέει έναν λαμπτήρα, στρέφοντας έναν περιστροφικό διακόπτη.
Η ρύθμιση (μεταβολή) της έντασης του ρεύματος γίνεται με έναν μεταβλητό αντιστάτη, που ονομάζεται ροοστάτης, Σχήμα 1.8.

- Ο ροοστάτης είναι μια ρυθμιζόμενη αντίσταση που παρεμβάλλεται σε σειρά σε μια κατανάλωση. Η λειτουργία του ροοστάτη βασίζεται στον νόμο του Ωμ.
Σχήμα 1.8. Διάγραμμα ροοστάτη R$\_{Π}$ με φορτίο R
Εάν η αντίσταση R$\_{Π}$ του ροοστάτη έχει τιμή R$\_{1}$, τότε στην θέση για την οποία
I E R = 0 I = R Þ , δηλαδή ο ροοστάτης είναι εκτός λειτουργίας.
Στην θέση όπου I Π Π E R = R Ι = R + R Þ ,δηλαδή όλη η αντίσταση του
ροοστάτη είναι εντός κυκλώματος και στην συγκεκριμένη περίπτωση σε σειρά με το φορτίο R.

Οι σχέσεις αυτές παρέχουν τα όρια μεταβολής του ρεύματος που διαρρέει τον καταναλωτή, (φορτίο R) με μεταβολή της αντίστασης του ροοστάτη από μηδέν (ο ροοστάτης εκτός λειτουργίας) μέχρι την μέγιστη τιμή της μέσω της κινητής επαφής του δρομέα.
Αν ο δρομέας βρεθεί σε μια ενδιάμεση θέση R$\_{x}$ του ροοστάτη, τότε το ρεύμα είναι
X E I R R = +

1.8.1 Ρύθμιση της Τάσης με Ποτενσιόμετρα
Η ρύθμιση της τάσης στα άκρα μιας κατανάλωσης R γίνεται με παρεμβολή συσκευών που ονομάζονται καταμεριστές τάσης ή ποτεν -σιόμετρα, (σχήμα 1.9).
Σχήμα 1.9. Σύνδεση ποτενσιομέτρου στα σημεία Α και Δ κυκλώματος.
Ανάλογα με την θέση του δρομέα Δ η αντίσταση του ποτενσιομέτρου R$\_{Π}$ χωρίζεται σε δυο μέρη R$\_{1}$ και R$\_{2}$.
R$\_{Π}$=R$\_{1}$+R$\_{2}$
Όταν ο δρομέας είναι στην θέση Α τότε:
U$\_{R}$=0
Ενώ όταν ο δρομέας είναι στη θέση Β τότε η τάση U$\_{R}$ στο φορτίο R είναι ίση με την τάση της πηγής.

U$\_{R}$=U
Όταν ο δρομέας βρεθεί σε μια ενδιάμεση θέση, τότε η τάση U$\_{R}$ στο φορτίο R είναι ανάλογη με την τάση του τμήματος R$\_{1}$ του ποτενσιο -μέτρου. (Περισσότερα στο κεφάλαιο 4)

Παράδειγμα
Στο ποτενσιόμετρο του σχήματος 1.10 εφαρμόζεται τάση U=220V. Στα άκρα του τμήματος R$\_{1}$ του ποτενσιομέτρου μετρήθηκε τάση U$\_{R1}$=100V, η δε ένταση I$\_{1}$ μετρήθηκε I$\_{1}$=4A. Να υπολογισθεί η αντί -σταση R$\_{1}$ του ποτενσιομέτρου.

Λύση:
Σχήμα 1.10. Ρύθμιση τάσης καταναλωτή με ποτενσιόμετρο
U$\_{R1}$=100V, Ι$\_{1}$=4Α Þ
R1 1 1 U 100V R = 25 Ω I 4A = =

1.9. ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ
- Ο νόμος του Ωμ σε τμήμα κυκλώματος διατυπώνεται ως εξής:
Η ένταση του ρεύματος που διαρρέει μια ωμική αντίσταση είναι ανάλογη της ηλεκτρικής τάσης και αντιστρόφως ανάλογη της ωμικής αντίστασης:

U I R =
Ο νόμος του Ωμ σε πλήρες κύκλωμα είναι:
E I = R + r
Η αντίσταση μεταβάλλεται με την θερμοκρασία.
R = R$\_{0}$ [1 + α (θ - θ$\_{0}$)]
Αναφέρθηκαν οι έννοιες της αντίστασης της αγωγιμότητας, της ει -δικής αγωγιμότητας και της ειδικής αντίστασης.
Ο ροοστάτης ρυθμίζει την ένταση του ρεύματος, που διαρρέει τμήμα κυκλώματος. Το ποτενσιόμετρο ρυθμίζει την τάση του φορτίου που τροφοδοτεί.

1.10 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ
- 1. Τάση 220 V εφαρμόζεται σε μια αντίσταση 110 Ω. Να υπολογίσετε το ρεύμα που διαρρέει την αντίσταση.
Απάντηση: I = 2 A
- 2. Η τάση που εφαρμόζεται σ' ένα κύκλωμα είναι 200 V, ενώ το ρεύμα που το διαρρέει είναι 20 Α. Να βρεθεί η αντίσταση του κυκλώματος.
Απάντηση: R = 10 Ω
- 3. Μια αντίσταση 0,5 Ω διαρρέεται από ρεύμα 10 Α. Να βρεθεί η πτώση τάσης στα άκρα της.
Απάντηση: U = 5 V
- 4. Αγωγός σ' ένα κύκλωμα παρουσιάζει αντίσταση 0,8 Ω. Να βρεθεί το μεγαλύτερο ρεύμα που μπορεί να διαρρεύσει τον αγωγό, ώστε η πτώση τάσης να μην υπερβαίνει τα 2,2 V.

Απάντηση: I = 2,75 Α
5. ΗΕΔ 12 V και εσωτερικής αντίστασης 0,2 Ω. Να βρεθεί:
- Θερμαντικό σώμα έχει αντίσταση 3 Ω και συνδέεται με συσσωρευτή α. Το ρεύμα που διαρρέει το κύκλωμα και β. Η πολική τάση στους ακροδέκτες του συσσωρευτή.
Απάντηση: α) I = 3,75 Α. β) U = 11,25 V
- 6. Αγωγός χαλκού μήκους 150 m έχει διατομή 1,5 mm 2 . Να βρεθεί η αντίσταση του αγωγού. (ρ$\_{Cu}$ = 0,018 Ωmm 2 /m).
Απάντηση: R = 1,8 Ω
- 7. Αγωγός αλουμινίου έχει μήκος 500 m και διατομή 25 mm 2 . Να βρεθεί η ωμική αντίσταση του αγωγού. (ρ = 0,029 Ωmm 2 /m).

Απάντηση: R = 0,58 Ω
- 8. Χάλκινος αγωγός έχει μήκος l=1000 m και διατομή S=50 mm 2 . (ρ$\_{Cu}$ = 0,018 Ωmm 2 /m. Ο θερμικός συντελεστής χαλκού στους 20°C είναι α=3,8210 -3 1/°C). Να βρεθεί η αντίσταση R$\_{80}$ του αγωγού σε θερμοκρασία 80°C
Απάντηση: R = 0,4 Ω
Απάντηση: R = 0,4 Ω
- 9. Η αντίσταση ενός χάλκινου αγωγού στους 20°C είναι 300 Ω. Αφού λειτουργήσει σε κύκλωμα επί αρκετή ώρα η αντίσταση του αγωγού αυξάνει την τιμή της στα 320 Ω (θερμικός συντελεστής χαλκού α$\_{Cu}$ = 3,8210 -3 1/°C). Να βρεθεί πόσους βαθμούς °C αυξήθηκε η θερμο -κρασία του αγωγού.
- 10. Ένας χάλκινος αγωγός διατομής 16mm 2 χρειάζεται να αντικατα -σταθεί με αγωγό αλουμινίου του ίδιου μήκους και της ίδιας αντίστασης (ρ$\_{Cu}$=0,018Ωmm 2 /m, ρ$\_{A1}$=0,029Ωmm 2 /m). Να βρεθεί η διατομή του αγωγού αλουμινίου.

Απάντηση: S$\_{A1}$=25mm 2
- 11. Να βρεθεί η διατομή αγωγού αλουμινίου (ρ=0,029 Ωmm 2 /m) που παρουσιάζει ωμική αντίσταση 10Ω και έχει μήκος 100m.
Απάντηση: S= 0,29mm 2
- 12. Να βρεθεί η ωμική αντίσταση αγωγού διατομής S=50mm 2 στις θερμοκρασίες θ$\_{0}$=20°C και θ$\_{1}$=50°C, όταν το μήκος της γραμμής είναι 1km. (ρ$\_{Cu}$=0,018Ωmm 2 /m και α=0,0039 1/°C)
Απάντηση: R$\_{50}$=0,40Ω
- 13. Στο κύκλωμα του σχήματος 1.11, να βρεθεί η πτώση τάσης στα άκρα των αντιστάσεων R$\_{1}$ και R$\_{2}$. Δίδονται: U=9V, R$\_{1}$=2Ω, R$\_{2}$=3Ω

Σχήμα 1.11 Κύκλωμα με πηγή U και δύο αντιστάσεις R$\_{1}$ και R$\_{2}$
Απάντηση: U$\_{R1}$=3,6V και U$\_{R2}$=5,4V.
- 14. Στο κύκλωμα του σχήματος 1.12, να βρεθεί η πολική τάση της πηγής όταν έχουμε: R=5Ω και I=1,8Α.
Σχήμα 1.12 Κύκλωμα με πηγή Ε και εξωτερική ωμική αντίσταση R
Απάντηση: 9V
- 15. Να βρεθεί η ένταση του ρεύματος που διαρρέει την αντίσταση στο κύκλωμα του σχήματος 1.14. Δίνονται: Ε = 1,5V, R = 3Ω και r = 0.
Σχ. 1.14. Πηγή ΗΕΔ Ε τροφοδοτεί αντίσταση R. Το αμπερόμετρο Α μετράει το διερχόμενο ρεύμα.

Απάντηση: I = 0,5Α
16. Αν ένα σύρμα χαλκού έχει αντίσταση 18 Ω στους 20°C, ποια θα είναι η αντίστασή του στους 60°C (α = 3,8210 -3 );
Απάντηση: R = 20,8Ω
- 17. Ποια αντίσταση παρουσιάζει μια συσκευή που λειτουργεί με ρεύμα 7Α, όταν η εφαρμοζόμενη τάση είναι 110 V.
Απάντηση: R = 15,7Ω

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΘΕΡΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ TOY JOULE ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ

2.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζονται:
- 1. Η ηλεκτρική ενέργεια και ισχύς.
- 2. Ο θερμικός νόμος του Joule.
- 3. Ο βαθμός απόδοσης ηλεκτρικών συσκευών.
- 4. Η σχέση μεταξύ ηλεκτρικής ενέργειας και της ισχύος αντιστάσεων, όταν χρησιμοποιούνται για την θέρμανση.
- 5. Το πρόβλημα της θέρμανσης των αγωγών και η εκλογή της διατομής τους.
- 6. Η πυκνότητα ρεύματος και η πτώση τάσης στους αγωγούς.
- 7. Οι συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται κατά την εκλογή της διατομής των αγωγών.
Αφού παρακολουθήσετε το περιεχόμενο του κεφαλαίου αυτού θα πρέπει να γνωρίζετε:

-  Να υπολογίζετε την ηλεκτρική ενέργεια, την ηλεκτρική ισχύ και τον βαθμό απόδοσης ενός καταναλωτή.
-  Να εφαρμόζετε τον νόμο του Joule και να συνδέεται την θερμότητα με την ηλεκτρική ενέργεια και με τα ηλεκτρικά μεγέθη έντασης, τάσης, αντίστασης.
-  Να υπολογίζετε την ισχύ των ηλεκτρικών αντιστάσεων συσκευών θέρμανσης από τα στοιχεία νερού που θερμαίνεται.
-  Να υπολογίζετε την διατομή των αγωγών ενός κυκλώματος λαμβάνο -ντας υπ' όψη την πτώση τάσης και την θερμοκρασία λειτουργίας τους.
-  Να υπολογίζετε από την διατομή των αγωγών ενός κυκλώματος, από το μήκος τους και από το φορτίο, που τροφοδοτούν, την πτώση τάσης και την θερμοκρασία λειτουργίας τους.
-  Να εξηγείτε τους κινδύνους που συνεπάγονται από την αποκλειστική χρήση πινάκων και μόνο, για την διαστασιολόγηση των αγωγών.

-  Να διατυπώνετε τις αναγκαίες συνθήκες που πρέπει ταυτόχρονα να ικανοποιούνται, ώστε οι διατομές των αγωγών, που υπολογίζετε, να είναι τεχνικά αποδεκτές.

2.2. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΙΣΧΥΣ
Θα μάθατε στο Γυμνάσιο ότι η ηλεκτρική ενέργεια, είναι μία από τις μορφές ενέργειας που χρησιμοποιούνται π.χ. Μηχανική (Δυναμι -κή-Κινητική), Χημική, Πυρηνική, Ηλεκτρική κ.α.
Η ποσότητα ηλεκτρικής ενέργειας, που παρέχει μια πηγή στις διάφορες καταναλώσεις με τις οποίες είναι συνδεδεμένη, εύκολα μετατρέπεται σε άλλες μορφές ενέργειας, ιδίως σε θερμότητα, σε μηχανικό έργο κίνησης κ.λπ. Με τον τρόπο αυτό λειτουργούν οι διάφορες κατανα -λωτικές συσκευές είτε οικιακής είτε βιομηχανικής χρήσης.

Είναι λογικό μια καταναλωτική συσκευή όσο περισσότερο χρόνο λειτουργεί τόσο μεγαλύτερα ποσά ηλεκτρικής ενέργειας να απορροφά από την πηγή. Αυτό εκφράζεται από τον νόμο της ηλεκτρικής ενέργειας.

A=UIt

Όπου:
Α είναι η ηλεκτρική ενέργεια σε Joule (Τζάουλ)
U είναι η πολική τάση της πηγής σε V (Βολτ)
I είναι το ρεύμα που απορροφά η κατανάλωση σε Α (Αμπέρ)
t είναι ο χρόνος σε δευτερόλεπτα, που παραμένει η κατανάλωση σε λειτουργία (seconds ή sec ή s).
Η ηλεκτρική ενέργεια που αποδίδεται (ή απορροφάται) σε ένα δευτερόλεπτο ονομάζεται Ηλεκτρική Ισχύος. Στις ηλεκτροτεχνικές εφαρμογές η ηλεκτρική ενέργεια και η ηλεκτρική ισχύς είναι δυο πολύ σημαντικά μεγέθη.
Η ηλεκτρική ισχύς καθορίζεται από την σχέση:

P=A/t
Όπου: Ρ είναι η ισχύς σε Watt, Α είναι η ενέργεια σε Joule, t είναι ο χρόνος σε sec.
Επομένως η ισχύς μιας συσκευής συνεχούς ρεύματος σε W, υπο λογίζεται, εάν πολλαπλασιάσουμε την τάση λειτουργίας της σε V επί το ρεύμα που την διαρρέει σε Α.

Ρ=UI
Η μονάδα μέτρησης της ισχύος είναι το Watt [W]

1W l J s
Για πρακτικούς λόγους χρησιμοποιούμε για την μέτρηση της ισχύος το κιλοβάτ (kW).

1kW=1000W
Μία συσκευή έχει ισχύ ενός Βατ (1W), εφ' όσον λειτουργεί με τάση στους ακροδέκτες της ενός Βολτ (1V) και διαρρέεται από ρεύμα έντα -σης ενός Αμπέρ (1Α).
Στην περίπτωση αυτή η συσκευή θα καταναλώσει ενέργεια ενός Τζάουλ (1 Joule) σε ένα δευτερόλεπτο.
1 Joule = 1 Watt1 sec
Σπανιότερα, ως μονάδα ισχύος, χρησιμοποιείται και ο ίππος ή horsepower (HP).
1MP=746W=0,746KW
1KW=1,34HP
Εύκολα υπολογίζουμε την τάση ή την ένταση μιας συσκευής, όταν είναι γνωστή η ισχύς, από τους τύπους:

U=P/I

I=P/U
Ταυτόχρονα γνωρίζοντας την ισχύ μιας κατανάλωσης υπολογίζουμε την ενέργεια που καταναλώνει η συσκευή, όταν λειτουργεί για ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα, από τον τύπο:

Α=Ρt
Συμπέρασμα:
Μπορεί στο σπίτι σας να έχετε μεγάλη εγκατεστημένη ισχύ (θερμο -σίφωνας, ηλεκτρική κουζίνα, πλυντήριο ρούχων, πλυντήριο πιάτων, κλιματιστικό, φωτισμός κ.λπ.), αλλά η κατανάλωση ηλεκτρικής ενέργειας, (άρα και τα χρήματα που θα πληρώσετε), δεν εξαρτάται μόνο από την εγκατεστημένη ισχύ, αλλά και από τον χρόνο λειτουργίας των συσκευών αυτών.
Για την μέτρηση της ηλεκτρικής ενέργειας χρησιμοποιούμε την Κι -λοβατώρα (KWh).
Μία Κιλοβατώρα (1KWh) εκφράζει την ενέργεια, που καταναλώνει μια συσκευή ισχύος 1KW σε χρόνο μίας ώρας (1h).

Ισχύει ότι:
1KWh= 1000W3600sec=3.600.000 Joule

Παράδειγμα 1
Σε μία λάμπα πυράκτωσης διαβάζουμε στη σφραγίδα, ισχύς 75W-τάση 220V. Υπολογίστε το ρεύμα I που την διαρρέει, όταν είναι αναμμένη.

Λύση:

I=P/U
I=75W/220V=0,34A

Παράδειγμα 2
Διαβάζουμε στην πινακίδα μίας θερμαντικής συσκευής: ισχύς P=1000W και τάση λειτουργίας U=220V. Η τιμή της ηλεκτρικής ενέργειας είναι 22 δραχμές/kWh. Να βρεθεί: α) το ρεύμα που απορροφάει, β) η ηλε -κτρική ενέργεια, που θα καταναλώσει η θερμαντική συσκευή κατά την διάρκεια του χειμώνα (7 ώρες/ημέρα για τρεις μήνες) και γ) το κόστος της ηλεκτρικής ενέργειας που θα καταναλώσει η θερμαντική συσκευή κατά την διάρκεια του χειμώνα.

Λύση:
- α) Το ρεύμα που απορροφά η κλιματιστική συσκευή κατά την λει -τουργία της είναι:

I=P/U

Συνεπώς:
I=1000W/220V=4,54A
- β) Αν δεχθούμε ότι η συσκευή λειτουργεί κατά μέσο όρο επί επτά (7) ώρες την ημέρα επί τρεις μήνες, τότε η ενέργεια που θα καταναλώσει είναι:

Α=Ρt.

Συνεπώς:
Σε μία ημέρα: A=1000W7 ώρες=7000Wh=7ΚWh.
Σε ένα μήνα: 7kWh30 ημέρες=210ΚWh.
Σε ένα μήνα: 7kWh30 ημέρες=210ΚWh.
Σε τρεις μήνες: 3210kWh=630KWh.
- γ) Εάν η τιμή της ηλεκτρικής ενέργειας είναι 22 δραχμές/KWh τότε θα πληρώσουμε:
630KWh22 δραχμές=13860 δραχμές.

2.3. ΙΣΧΥΣ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΩΜΙΚΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ
Είναι γνωστό ότι:
Ρ=UI σε W
Επίσης από τον νόμο του Ωμ προκύπτει:
I=U/R και U=IR.
Στην περίπτωση που η κατανάλωση περιλαμβάνει ωμική αντίσταση, αντικαθιστούμε στον τύπο της ισχύος την τάση ή το ρεύμα σύμφωνα με τον νόμο του Ωμ. Έτσι προκύπτουν για την ισχύ ωμικής αντίστασης οι ακόλουθες σχέσεις:
2 2 P = U I = R I U P = R$^{×}$ ×
Η ισχύς αυτή μετατρέπεται αποκλειστικά σε θερμότητα (φαινόμενο Joule)
Εφ' όσον μάλιστα στην αντίσταση εφαρμόζεται τάση U επί χρόνο t, καταναλώνει ενέργεια:

A=Pt=UIt=RI 2 t

Συνεπώς:
A=RI 2 t και
A=(U 2 /R)t.
Όλη αυτή η ενέργεια που καταναλώνει η ωμική αντίσταση, με τατρέπεται σε θερμότητα. Αυτή είναι η αρχή του θερμικού νόμου του Joule που περιγράφεται στην παράγραφο 2.4.

Παράδειγμα 1
Σε μία λάμπα πυράκτωσης διαβάζουμε στη σφραγίδα: ισχύς 75W, τάση 220V. Να βρεθεί α) το ρεύμα I που την διαρρέει, όταν είναι αναμ -μένη και β) η ωμική αντίσταση της λάμπας πυράκτωσης σε κατάσταση λειτουργίας (θερμή κατάσταση).

Λύση:

α) I=P/U
I=75W/220V=0,34A
β) R=U/I=220V/0,34A=647Ω

Παράδειγμα 2
Ο αναπτήρας του αυτοκινήτου ωμικής αντίστασης R, τροφοδοτείται από την μπαταρία του με Ε = 12,5 V και διαρρέεται από ρεύμα έντα -σης 10 Α. Η εσωτερική αντίσταση της μπαταρίας είναι r = 0,05Ω. Ο οδηγός πιέζει τον αναπτήρα προς τα μέσα και σε ένα 1' ο αναπτήρας πυρακτώνεται. Να βρεθεί: α) Η αντίσταση του αναπτήρα, β) η πολική τάση της μπαταρίας και γ) το σύνολο της ισχύος που απορροφάται κατά τη λειτουργία του.

Λύση:
α) Από την σχέση:
( ) E = I R + r E 12,5V R = - r = -0,05 Ω =1,25 Ω -0,05 Ω =1,2 Ω I 10A Þ
β) Η πολική τάση στα άκρα της μπαταρίας είναι:
U=E-Ir= 12,5V-10Α0,05Ω= 12,5-0,5=12 V
Επαλήθευση:
U=RΙ=1,210=12 V
γ) Η ισχύς που καταναλώνεται στην R είναι:
P$\_{R}$ =I 2 R=10 2 1,2=120 W=0,12 KW.
Η ισχύς στην εσωτερική αντίσταση r είναι:
Ρ$\_{r}$ =10 2  0,05 = 5W = 0,005KW
Σύνολο ισχύος: P=P$\_{R}$ +P$\_{r}$ =0,12+0,005=0,125 KW.
Επαλήθευση:
Ρ=ΕΙ= 12,5 V10Α= 125W=0,125KW

2.3.1. Ονομαστικά μεγέθη
Όλες οι ηλεκτρικές συσκευές που συναντάμε στην πράξη έχουν σχεδιασθεί ώστε να λειτουργούν κανονικά και να έχουν μεγάλο χρόνο ζωής.
Η ''κανονική'' λειτουργία ή η ''ονομαστική'' λειτουργία περιγράφεται από ένα σύνολο μεγεθών όπως: τάση τροφοδοσίας, ρεύμα και ισχύς που απορροφάει από την πηγή, συχνότητα τάσης (εάν είναι εναλλασσόμε -νη), ταχύτητα περιστροφής (για στρεφόμενες ηλεκτρικές μηχανές), κ.α. Τα μεγέθη αυτά ονομάζονται ονομαστικά μεγέθη λειτουργίας κάθε συσκευής και αναγράφονται σε πινακίδα, η οποία βρίσκεται υποχρε -ωτικά πάνω στη συσκευή.

Παράδειγμα 1
Κάποια μονοφασική συσκευή κατασκευάσθηκε να λειτουργεί υπό τάση διαφορετική από την τάση του δικτύου της Ελλάδας που είναι U=220V, π.χ. για το δίκτυο της Αμερικής, του οποίου η τάση είναι U$\_{1}$=127V. Συνδεόμενη κατά λάθος στο δικό μας δίκτυο, ποιες θα ήταν οι συνέπειες;

Λύση:
P$\_{1}$ =U$\_{1}$ 2 /R=127 2 /R
P$\_{2}$ =U 2 /R=220 2 /R
Ρ$\_{2}$/Ρ$\_{1}$=(220/127) 2 =3
Δηλαδή η ισχύς λειτουργίας της συσκευής θα είναι 3 φορές μεγα -λύτερη από την ονομαστική ισχύ. Η συνέπεια είναι ότι η συσκευή θα καταστραφεί.
Συμπέρασμα. Όλες οι συσκευές τροφοδοτούνται απ' ευθείας, αποκλειστικά με την ονομαστική τους τάση.
Κάθε αντίσταση κατασκευάζεται για συγκεκριμένη τιμή σε Ω , ρεύμα σε Α και ισχύ σε W που μπορεί να αντέξει, δίχως να υπερθερμαίνεται.

Παράδειγμα 2
Μία ωμική αντίσταση (σύρματος) έχει χαρακτηριστικά R=20Ω και P=500W. Να υπολογίσετε α) το ρεύμα και β) την τάση κανονικής λειτουργίας της.

Λύση:
α) Από την έκφραση της ισχύος
2 P = I R × Þ
2 2 I = P / R = 500W / 20 Ω = 25 Α
25 5 I = = A
β) Η τάση κανονικής λειτουργίας είναι:
U=IR=5A20Ω=100V
Για την ομαλή λειτουργία τους οι αντιστάσεις (φορτία) που απορ -ροφούν αρκετή ισχύ, φροντίζουμε να αερίζονται, ώστε να απάγεται η θερμότητα.

Παράδειγμα 3
Να υπολογίσετε την τάση, που εφαρμόζεται σε αντίσταση 5000 Ω, όταν η ισχύς κατά τη λειτουργία της είναι 0,5W.

Λύση:

2 U P R =
2 U = P R U = P R U = 0,5 5000 = 2500 = 50V × Þ × ×

Παράδειγμα 4
Στο κύκλωμα ηλεκτρικής συσκευής συνδέονται δύο όμοιες ωμικές αντιστάσεις R μέσω επιλεκτικού διακόπτη άλλοτε σε σειρά, σχήμα 2.1 και άλλοτε παράλληλα, σχήμα 2.2. Η συσκευή λειτουργεί σε τάση U=220V. Όταν οι αντιστάσεις συνδεθούν σε σειρά λειτουργούν με ισχύ P=25W. Να υπολογίσετε: α) την τιμή των αντιστάσεων, β) την
ισχύ λειτουργίας, όταν συνδεθούν παράλληλα και γ) να σχολιάσετε την τάξη μεγέθους της ισχύος που λειτουργεί σε παράλληλη σύνδεση σε σχέση με την σύνδεση σειράς.
Σχήμα 2.1. Οι αντιστάσεις σε σειρά.

Σχήμα 2.2. Οι αντιστάσεις παράλληλα.

Λύση:
α) Κάθε μία από τις αντιστάσεις λειτουργεί με το ½ της ισχύος, είναι P$\_{R}$ =P/2, επειδή είναι όμοιες. Η τάση των 220V μοιράζεται ισομερώς και στις δύο αντιστάσεις, επειδή συνδέονται σε σειρά.
R 220V U = =110V 2
Η ισχύς με την οποία λειτουργεί κάθε μία αντίσταση είναι:
2 R R U P = Þ
Επομένως: 2 2 2 R R U 110 V R = = = 968 Ω P 12,5W
Άρα R=968Ω
β) Όταν οι αντιστάσεις συνδεθούν παράλληλα κάθε μία συνδέεται με την τάση των 220V. Η ισχύς λειτουργίας κάθε αντίστασης είναι:
2 2 2 1 U 220 V P = = = 50W R 968 Ω

Άρα η συνολική ισχύς όταν λειτουργούν οι δυο αντιστάσεις είναι:
P=2P$\_{I}$=250W=100W
Συμπέρασμα:
Όταν δύο όμοιες αντιστάσεις συνδεθούν παράλληλα, λειτουργούν με συνολική ισχύ τέσσερις φορές μεγαλύτερη από την ισχύ με την οποία λειτουργούν σε συνδεσμολογία σειράς.
Περισσότερα παραδείγματα για συνδέσεις αντιστάσεων στα κεφάλαια 3-6.

2.4. ΘΕΡΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ TOY JOULE

2.4.1. Μετατροπή ενέργειας σε θερμότητα
Όταν μια συσκευή διαρρέεται από ρεύμα, η ηλεκτρική ενέργεια που καταναλώνεται σε μια ωμική αντίσταση σε οποιοδήποτε κύ -κλωμα μετατρέπεται ολόκληρη σε θερμότητα. Αυτό συμβαίνει στις εστίες και το φούρνο ενός ηλεκτρικού μαγειρείου, σε ένα ηλεκτρικό θερμοσίφωνα, σε μια ηλεκτρική θερμάστρα και άλλες παρόμοιες καταναλωτικές συσκευές.
Το φαινόμενο αυτό συναντάται επίσης και σε άλλες περισσότερο σύνθετες ηλεκτρικές συσκευές, στα κυκλώματα των οποίων υπάρχουν ωμικές αντιστάσεις, όπως οι ηλεκτρικές μηχανές και οι μετασχημα -τιστές. Στις συσκευές αυτές, το περισσότερο μέρος της ηλεκτρικής ενέργειας μετατρέπεται σε μηχανικό έργο, αλλά ένα μικρότερο ποσό μετατρέπεται σε θερμότητα, επειδή τα σύρματα των τυλιγμάτων του ηλεκτροκινητήρα έχουν μια ωμική αντίσταση, που εξαρτάται από τη διατομή και το μήκος τους. Η θερμότητα αυτή που δεν είναι ωφέλι -μη για τη λειτουργία του κινητήρα και αντιπροσωπεύει μια απώλεια ενέργειας, ονομάζεται απώλεια Joule.

Συνεπώς σε οποιαδήποτε συσκευή, που διαρρέεται από ρεύμα, ένα μέρος της ηλεκτρικής ενέργειας μετατρέπεται σε θερμότητα μη ωφέ -λιμη για την κύρια λειτουργία της συσκευής. Η θερμότητα αυτή αντι προσωπεύει τις απώλειες Joule και πρέπει να ληφθεί φροντίδα από τον κατασκευαστή της ώστε να απομακρύνεται γρήγορα, για να μην καταστρέψει τις μονώσεις των αγωγών και άλλα εξαρτήματά της.
Έχει αποδειχθεί ότι η ηλεκτρική ενέργεια ενός Joule ισοδυναμεί με θερμότητα 0,000239Kcal (χιλιοθερμίδες).
1Joule= 0,000239Kcal

Εάν ολόκληρη η προσφερόμενη από την πηγή ηλεκτρική ενέργεια Α$\_{πρς}$ σε μια συσκευή με ισχύ Ρ μετατρέπεται σε θερμότητα Q, Α$\_{πρς}$= Q τότε ισχύει ο νόμος του Joule, με τις παρακάτω εκφράσεις.
Q =0,000239Pt σε Kcal
Q =0,23910 -3 RI 2 t σε Kcal
2 -3 U Q = 0,239 10 t R × × × σε Kcal
Για ευκολία στις πράξεις μπορούμε να χρησιμοποιούμε για τον νόμο του Joule τη σχέση:
Q =0,2410 -3 RI 2 t Kcal
όπου: Q σε Kcal, U σε V, I σε A, Ρ σε W, R σε Ω και t σε sec.
Ο νόμος του Joule συνδέει την ηλεκτρική ενέργεια A=Pt με τα ηλε -κτρικά μεγέθη ένταση I, τάση U, αντίσταση R, τα οποία αναφέρονται ταυτόχρονα σε συγκεκριμένη και μόνο κατανάλωση. Έχει αποδειχθεί ότι μία κιλοβατώρα αντιστοιχεί με 860 χιλιοθερμίδες.

1KWh=860Kcal
Η ισοδυναμία αυτή μεταξύ ηλεκτρικής ενέργειας και θερμότητας χρησιμοποιείται πολύ συχνά στους τεχνικούς υπολογισμούς.

Παράδειγμα 1
Να υπολογίσετε τη συνολική θερμότητα που αποδίδει στο χώρο λαμπτήρας πυράκτωσης με ισχύ 60W, όταν λειτουργεί επί μία ώρα.

Λύση:
Q = 0,00024  Ρ  t => Q = 240 10 -6 60W3600sec = 51,84 Kcal

Παράδειγμα 2
Ηλεκτρικός λαμπτήρας αντίστασης 40Ω λειτουργεί υπό τάση 220V επί 5 λεπτά. Να υπολογίσετε την ενέργεια που θα καταναλώσει.

Λύση:
Η ένταση του ρεύματος είναι
U 220V I = = = 5,5 Α R 40 Ω
Σύμφωνα με τον νόμο του Joule
Q=0,23910 -3 RI 2 t έχουμε
Q=0,23910 -3 40Ω(5,5) 2 Α 2 300sec=86,76Kcal

2.4.2.Θέρμανση χώρων
Για να θερμάνουμε ένα χώρο (συνήθως στους 20°C) πρέπει να ξέ -ρουμε τις συνολικές θερμικές απώλειες Q του χώρου σε Kcal/h (χιλιο θερμίδας ανά ώρα). Έχει καθιερωθεί στη πράξη οι θερμικές απώλειες των κτιρίων να εκφράζονται σε Kcal ανά ώρα (Kcal/h).
Το μέγεθος των θερμικών απωλειών οφείλεται:
- 1. Σε ανταλλαγή θερμότητας μεταξύ των δομικών στοιχείων του χώρου (τοίχων, παραθύρων, οροφών, πατωμάτων) και του περιβάλλοντος.
- 2. Στον προσανατολισμό του χώρου βοράς-νότος κ.λ.π.
- 3. Στον βαθμό της ελεύθερης έκθεσης του χώρου (σε ανεμοπτώσεις).
- 4. Στο συνολικό μήκος των χαραμάδων των ανοιγμάτων.
- 5. Στην ελάχιστη εξωτερική θερμοκρασία του περιβάλλοντος
- 6. Όλα τα παραπάνω λαμβάνονται υπ' όψη στον υπολογισμό του μεγέθους της θερμαντικής συσκευής και του χρόνου λειτουργίας της συσκευής.
- Οι θερμικές απώλειες της κάθε διακεκριμένης επιφάνειας ενός χώρου υπολογίζονται από τη σχέση:

Q=KFΔθ

Όπου:
- - Κ είναι ο συντελεστής που εκφράζει την θερμοπερατότητα της επι -φάνειας (Η θερμοπερατότητα εξαρτάται από τη σύσταση των υλικών δόμησης π.χ για μπατικό τοίχο χωρίς μόνωση Κ=1,9).
- -F είναι η διακεκριμένη δομική επιφάνεια που υπολογίζουμε (π.χ τα παράθυρα του βορινού τοίχου ή η επιφάνεια του τοίχου χωρίς παρά -θυρα).
- -Δθ είναι η διαφορά θερμοκρασίας περιβάλλοντος και εσωτερικού χώρου (π.χ. έξω -5°C και μέσα +20°C, Δθ=25°C).

Παράδειγμα
Να υπολογίσετε την ισχύ ηλεκτρικών στατών αερόθερμων, που απαιτούνται για τη θέρμανση ενός δωματίου, του οποίου οι θερμικές απώλειες είναι 3440Kcal/h, σχήμα 2.3. (Στατό αερόθερμο είναι το αερόθερμο φυσικής κυκλοφορίας του αέρα, δηλαδή χωρίς ανεμιστήρα).

Λύση:
Γνωρίζουμε ότι 860Kcal/h αντιστοιχούν με 1kWh.
Το δωμάτιο απαιτεί θερμότητα 3440Kcal/h (χιλιοθερμίδες για κάθε ώρα)
1kWh ...............................860Kcal
Ν ......................................3440Kcal/h
kcal 3440 1kW h h N = = 4KW 860Kcal × ×
Επομένως, χρειαζόμαστε αερόθερμο συνολικής ηλεκτρικής ισχύος Ν= 4kW.
Επειδή δεν κατασκευάζονται τόσο μεγάλης ισχύος αερόθερμα (εκτός των θερμοσυσσωρευτών), τοποθετούμε δυο συσκευές των 2kW.
Τα αερόθερμα θα τοποθετηθούν κάτω από τα παράθυρα ή δίπλα στις μπαλκονόπορτες διότι στα ανοίγματα εμφανίζονται οι περισσότερες θερμικές απώλειες, Σχήμα 2.3. Η τροφοδότησή τους σε τριφασικές εγκαταστάσεις γίνεται από διαφορετική φάση το κάθε ένα ώστε το φορτίο να μοιραστεί και να έχουμε κατά το δυνατόν συμμετρική φόρ -τιση της γραμμής ηλεκτρικής ενέργειας.

Σχήμα 2.3. Τοποθέτηση των θερμαντικών σωμάτων στην κάτοψη.

2.5. ΒΑΘΜΟΣ ΑΠΟΔΟΣΗΣ
Οι διάφορες ηλεκτρικές συσκευές μετατρέπουν την απορροφούμενη ηλεκτρική ενέργεια σε ενέργεια άλλης μορφής. Στην περίπτωση των καθαρά ωμικών καταναλώσεων (αντιστάσεων) όλη η ηλεκτρική ενέργεια μετατρέπεται σε θερμότητα.
Ονομάζουμε ωφέλιμη ενέργεια το μέρος της ενέργειας που αποδί -δεται από τη συσκευή για την εκτέλεση του έργου, για το οποίο κα τασκευάστηκε. Η ωφέλιμη ενέργεια είναι αυτή που χρησιμοποιούμε. Ονομάζουμε απώλειες ενέργειας το υπόλοιπο μέρος της απορροφού -μενης ενέργειας, το οποίο καταναλώνεται από τη συσκευή χωρίς όμως να συμβάλλει στην εκτέλεση του έργου της. Οι απώλειες ενέργειας είναι ενέργεια που δεν χρησιμοποιούμε και χάνεται.

Ισχύει για κάθε συσκευή:
Απορροφούμενη Ενέργεια=Ωφέλιμη Ενέργεια+Ενέργεια Απωλειών
Ααπορ=Αωφ+Ααπωλ

Ονομάζουμε βαθμό απόδοσης της συσκευής ή μηχανής τον λόγο η:
η = ×100 (%) = = Αωφ Ααπορ Αωφ Αωφ + Ααπωλ Ααπορ - Ααπωλ Ααπορ
Ο βαθμός απόδοσης είναι καθαρός αριθμός και μικρότερος από τη μονάδα (η<1). Μετράται συνήθως ως ποσοστό επί τοις 100 (%), π.χ εάν η=0,95 λέμε η=95%.

Ομοίως ο βαθμός απόδοσης εκφράζεται και με λόγο ισχύος:
η = ×100 (%) = = Pωφ Pαπορ Pωφ Pωφ + Pαπωλ Pαπορ - Pαπωλ Pαπορ

Παράδειγμα 1
Μάτι (εστία) ηλεκτρικής κουζίνας, σχήμα 2.5, λειτουργεί υπό τάση U=220V και διαρρέεται από ρεύμα έντασης Ι=10Α. Να υπολογίσετε τη ποσότητα της θερμότητας που απαιτείται για να βράσει το φαγητό σε 1,5 ώρα.
Σχήμα 2.5. Ηλεκτρικό φουρνάκι και εστία με δύο μάτια

Λύση:
Q=0,23910 -3 RI 2 t ή
Q=0,000239Pt ή
Q=0,000239UIt
Επειδή 1,5 ώρες=5400sec
Q=0,000239220V10A5400sec=2839 Kcal

Παράδειγμα 2
Να υπολογίσετε την ηλεκτρική ισχύ ενός θερμοσίφωνα κουζίνας χωρητικότητας 8Kg και βαθμού απόδοσης η=80%, όταν το νερό ζε -σταίνεται από τους 17°C στους 60°C σε χρόνο 10 λεπτών (min).

Λύση:
Επειδή μία Kcal ανυψώνει τη θερμοκρασία ενός Kg νερού κατά l°C (από l4°C σε l5°C) προκύπτει ότι, οι Q Kcal θα ανυψώσουν τη θερμοκρασία των 8Kg νερού κατά Δθ°C.
Δθ= (60°C-l7°C)=43°C.
Η θερμότητα που χρειάζεται για να ζεσταθεί το νερό είναι:
( ) ( ) 2 1 o Q = m Δθ = m θ -θ Q = 8kg 60-17 C = 344kcal × × Þ ×

Άρα
Q$\_{ωφ}$=344Kcal
Επειδή μέρος της θερμότητας αποβάλλεται στο χώρο από τα τοι -χώματα του θερμοσίφωνα έχουμε απώλειες και ο βαθμός απόδοσής του είναι η=80%=0,8.
ωφ ωφ απορ απορ Q Q 344 η = Q = = = 430kcal Q η 0,8 Þ
Η θερμική ισχύς λειτουργίας του θερμοσίφωνα είναι:
( ) θ 1 6 Q 430 kcal Ρ = = = 2580 t ώρες h
Συνεπώς η ηλεκτρική ισχύς του είναι:
θ P 2580Kcal / h P = = = 3KW Kcal/ h 860 860 KW

Παράδειγμα 3
Να υπολογίσετε: α) τη ποσότητα θερμότητας που προσφέρει στο χώρο ηλεκτρική θερμάστρα, της οποίας η αντίσταση (θερμαντικό στοιχείο) έχει τιμή R=32,3Ω, όταν αυτή λειτουργεί επί μία ώρα και διαρρέεται από ρεύμα έντασης Ι=6,8Α, β) την ηλεκτρική ισχύ της θερμάστρας.

Λύση:
t=1ώρα=3600sec
Η θερμική ισχύς της θερμάστρας είναι
Q=0,23910 -3 RI 2 t ή
Q= 0,239 10 -3 32,3Ω (6,8) 2 A 2 3600sec=1285Kcal
Η ηλεκτρική ισχύς της θερμάστρας είναι
P=I 2 R=6,8 2 A 2 32,3Ω=l493W.

2.6 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ, ΙΣΧΥΟΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΩΝ ΘΕΡΜΑΝΣΗΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΝΕΡΟΥ ΠΟΥ ΘΕΡΜΑΙΝΕΤΑΙ
Έχουμε τις ακόλουθες σχέσεις:
mΔθ=860Αη
mΔθ=860Ρtη

Όπου:
Α=ηλεκτρική ενέργεια σε KWh
Ρ=ηλεκτρική ισχύ σε kW.
Δθ=η ανύψωση της θερμότητας του νερού
t=o χρόνος θέρμανσης του νερού σε ώρες (h)
m=η μάζα του νερού (σε Kg όταν πρόκειται για καθαρό νερό)
θ$\_{1}$ και θ$\_{2}$ είναι η αρχική και τελική θερμοκρασία του νερού
η=ο βαθμός απόδοσης της συσκευής.
Σχήμα 2.6. Ηλεκτρικό σίδερο
Σχήμα 2.7. Αντίσταση εμβαπτίσεως

Παράδειγμα 1
Θέλουμε ηλεκτρικός θερμοσίφωνας βαθμού απόδοσης η=90% να θερμαίνει 40 κιλά νερό από τους 20°C στους 60°C σε χρόνο 30 λεπτών. Να υπολογίσετε την ισχύ της αντίστασής του.

Λύση:
Δθ=60°C-20°C=40°C
Q$\_{ωφ}$=mΔθ=4040= 1600Kcal
t=3060=l800sec

Επειδή
Q$\_{ωφ}$=0,24Ρtη
Q$\_{ωφ}$=0,24Ptη=1600Kcal
Συνεπώς η ηλεκτρική ισχύς της αντίστασης του θερμοσίφωνα είναι:
1600 Ρ = = 4,1KW 0,24 1800 0,9 × ×
Σχήμα 2.8. Ηλεκτρικός θερμοσίφωνας.

Παράδειγμα 2
Ηλεκτρικός βραστήρας νερού με βαθμό απόδοσης η=80% βράζει 2 λίτρα νερού από τους 20°C στους 100°C. Να υπολογίσετε την κατανα -λισκόμενη ηλεκτρική ενέργεια.
mΔθ=860Αη
Þ m(θ$\_{2}$-θ$\_{1}$)=860Aη ( ) m Δθ = 860 Α η m θ -θ 860 Α × × × × = ×
Σχήμα 2.9. Ηλεκτρικός βραστήρας νερού.
( ) ( ) 2 1 m θ -θ 2 100 20 0,232 KWh 860 η 860 0,8 × × -A = = = × ×

2.7. Η ΘΕΡΜΑΝΣΗ ΤΩΝ ΑΓΩΓΩΝ ΚΑΙ Η ΕΚΛΟΓΗ ΤΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ ΤΟΥΣ
Ανεπιθύμητες συνέπειες του νόμου του Joule είναι η απώλεια ενέρ -γειας και η ανύψωση της θερμοκρασίας των αγωγών.
Η άνοδος της θερμοκρασίας στους ρευματοφόρους αγωγούς, ιδιαίτε -ρα στη περίπτωση που δεν είναι δυνατόν να απομακρυνθεί η παραγό μενη θερμότητα, πρακτικά περιορίζει την ενεργό διατομή των αγωγών και δημιουργεί την ανάγκη εκλογής μεγαλύτερης διατομής. Το φαινό -μενο είναι εντονότερο στις περιπτώσεις που η ροή του ρεύματος στους αγωγούς έχει συνεχή διάρκεια.

Μικρή διατομή αγωγών για δεδομένο φορτίο σημαίνει:
-  Παρεμβολή μεγαλύτερης αντίστασης στους αγωγούς, άρα περισ -σότερες απώλειες Joule (RI 2 ) και αύξηση της θερμοκρασίας τους.
-  Πιθανότατα μεγαλύτερη δυσκολία στην απομάκρυνση αυτής της θερμοκρασίας διαμέσου της μόνωσης των αγωγών στο περιβάλλον.

2.7.1. Πυκνότητα Ρεύματος
Αγωγός διατομής S , ο οποίος διαρρέεται από ρεύμα έντασης I , εμφα -νίζει πυκνότητα ρεύματος ανά μονάδα επιφάνειας:
I j S = σε A/mm 2
Μεγαλύτερη διατομή αγωγού για δεδομένο φορτίο συνεπάγεται μι -κρότερη πυκνότητα ρεύματος, δηλαδή μικρότερη θερμοκρασία λει τουργίας του αγωγού. Για τον λόγο αυτό έχουν καθοριστεί ορισμένα μέγιστα όρια συνεχούς ροής για το μέγιστο επιτρεπόμενο ρεύμα, ανά -λογα με τη διατομή του αγωγού, το υλικό κατασκευής και τη μόνωση (Πίνακας 2.1).
Όμως, δεν πρέπει να επαναπαυόμαστε στην εκλογή της διατομής των αγωγών μέσα σ' αυτά τα όρια του Πίνακα 2.1 χωρίς να λάβουμε υπόψη και τους παράγοντες που προσδιορίζουν το μέγιστο, συνεχούς ροής, επιτρεπόμενο ρεύμα.

Οι παράγοντες αυτοί αναφέρονται:
-  στη διατομή και το υλικό των αγωγών
-  στο τρόπο όδευσης των αγωγών
-  στο πλήθος των γειτονικών αγωγών μέσα στο ίδιο κανάλι διέλευσης
-  στην ύπαρξη και άλλων πηγών θερμότητας
-  στην ευκολία αερισμού των αγωγών
-  στη θερμική αντίσταση και αντοχή της μόνωσης
-  στη πτώση τάσης στα άκρα των αγωγών

Επισημάνσεις:
- α) Η ισχύς μιας ωμικής αντίστασης καθορίζει τα γεωμετρικά χαρακτη -ριστικά (διατομή και μήκος) του σύρματος από το οποίο θα κατα σκευασθεί.
- β) Η ισχύς των καταναλωτικών συσκευών δεν καθορίζει αποκλειστικά τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά των αγωγών των ηλεκτρικών γραμ -μών που θα τις τροφοδοτήσουν, χρειάζεται η συνεκτίμηση και των παραπάνω παραγόντων.
- γ) Ανάλογα με τη θερμοκρασία του περιβάλλοντος λειτουργίας και τον τρόπο όδευσης των αγωγών διαφοροποιούνται οι διατομές τους προς μεγαλύτερες τιμές.

- δ) Ανάλογα με την εμφανιζόμενη πτώση τάσης σε όλο το μήκος των αγωγών διαφοροποιείται η διατομή των τροφοδοτικών γραμμών προς μεγαλύτερες τιμές.

Συμπεράσματα
-  Το πρόβλημα της εκλογής της διατομής των αγωγών που τροφοδο -τούν καταναλωτικές συσκευές, είναι πρόβλημα «μετάδοσης θερμότη τας».
Δεν πρέπει σε καμία περίπτωση η θερμοκρασία λειτουργίας των αγωγών να ξεπερνά την οριακή τιμή των 60°C για θερμοκρασία περι -βάλλοντος 30°C. Στην πράξη ως όριο θερμοκρασίας λειτουργίας των αγωγών καλό θα είναι να έχουμε την θερμοκρασία των 55°C. Σε αντί -θετη περίπτωση αλλάζουμε διατομή (εκλέγουμε μεγαλύτερη διατομή αγωγών).

 Ο εχθρός του ηλεκτρολόγου είναι η θερμοκρασία.
Περισσότερα και αναλυτικότερα στοιχεία για το σημαντικό αυτό κε -φάλαιο θα παρουσιασθούν στο μάθημα των «Εσωτερικών Ηλεκτρικών Εγκαταστάσεων».

Παράδειγμα 1
Ηλεκτρική κουζίνα με εγκατεστημένη ισχύ 6kW θέλουμε να συνδε -θεί στην ηλεκτρική μας εγκατάσταση με τάση 220V. Να γίνει η κατάλ ληλη εκλογή της διατομής των αγωγών της γραμμής σύνδεσης.
Σχήμα 2.10 Ηλεκτρική κουζίνα.

Λύση:
I= P U = 6000 W 220 V = 27,2A
Από τον πίνακα 2.1 επιλέγουμε τη διατομή των 6mm 2 η οποία αντι -στοιχεί στην αμέσως μεγαλύτερη από τα 27,2Α ένταση ρεύματος και η οποία είναι 33Α. Η πυκνότητα ρεύματος που αντιστοιχεί στα 33Α και τα 6mm 2 είναι:
j= 33A 6mm =5,5 A/mm 2 2
Σε αντίθετη περίπτωση, εάν επιλέξουμε αγωγούς διατομής 4mm 2 , θα έχουμε:
j= I S = 27,2A 4mm =6,8 A/mm 2 2
Το μέγιστο επιτρεπόμενο ρεύμα για την διατομή των 4mm 2 είναι σύμφωνα με τον πίνακα 2.1, I=25Α και η πυκνότητα ρεύματος που αντιστοιχεί στη διατομή S=4mm 2
j= I S = 25A mm =6,25A/mm 2 2 4

Η διατομή των 4mm 2 απορρίπτεται επειδή η πυκνότητα ρεύματος κατά τη λειτουργία της κουζίνας j = 6,8A/mm 2 ξεπερνά τα επιτρεπτά όρια j = 6,25A/mm 2 , (6,8 A/mm 2 > 6,25 A/mm 2 ).
Στη διατομή των 6mm 2 αντιστοιχεί πυκνότητα ρεύματος:
j= I S = 27,2A mm =4,53A/mm 2 2 6
Τιμή κατά πολύ μικρότερη των 5,5A/mm 2 .
Συνεπώς η διατομή S=6mm 2 είναι αποδεκτή.
Η διαδικασία επιλογής της διατομής των αγωγών από τον πίνακα 2.1 εφαρμόζεται για μικρού μήκους γραμμές.
Για μεγάλου μήκους γραμμές πρέπει να ληφθεί υπ'όψη η πτώση τά -σης στη γραμμή όπως θα παρουσιαστεί στην επόμενη παράγραφο.

Οι τιμές του Πίνακα 2.1 καθορίστηκαν ώστε η μέγιστη θερμοκρασία των αγωγών (σε συνεχή λειτουργία) να μην ξεπερνά τους 60°C για θερμοκρασία περιβάλλοντος 30°C.

ΠΙΝΑΚΑΣ 2.1 Μέγιστη επιτρεπόμενη ένταση συνεχούς ροής για χάλκινους αγωγούς *(ΟΜΑΔΑ 1) σύμφωνα με το άρθρο 126 των Κ.Ε.Η.Ε.

| Διατομή αγωγού S  σε mm 2   |   I  σε Α |
|-----------------------------|-----------|
| 0.75                        |         9 |
| 1                           |        11 |
| 1,5                         |        14 |
| 2,5                         |        20 |
| 4                           |        25 |
| 6                           |        33 |
| 10                          |        43 |
| 16                          |        60 |
| 25                          |        83 |
| 35                          |       100 |
| 50                          |       127 |
| 70                          |       147 |
| 95                          |       181 |
| 120                         |       208 |
| 150                         |       238 |
| 185                         |       266 |
| 240                         |       310 |
| 300                         |       355 |

*Μέχρι 3 ενεργοί αγωγοί τοποθετημένοι μέσα σε σωλήνα ή σε ορατές ή χωνευτές εγκαταστάσεις
Αν η θερμοκρασία του περιβάλλοντος λειτουργίας του αγωγού ξε -περνά τους 30°C τότε εκλέγουμε μικρότερες τιμές επιτρεπόμενης πυ κνότητας ρεύματος, άρα μεγαλύτερης διατομής S από αυτές που προ -κύπτουν από τον Πίνακα 2.1.
Τα ποσοστά μείωσης των τιμών της έντασης του Πίνακα 2.1 δίδονται στον Πίνακα 2.2
ΠΙΝΑΚΑΣ 2.2 Αναγωγή της μέγιστης επιτρεπόμενης έντασης για θερμοκρασία περιβάλλοντος λειτουργίας των αγωγών, μεγαλύτερης των 30°C. (σύμφωνα με το άρθρο 126 των Κ.Ε.Η.Ε.)

|   Θερμοκρασία περιβάλλοντος  λειτουργίας των αγωγών σε °C | Συντελεστής μείωσης  (διόρθωσης) της έντασης του ρεύματος   |
|-----------------------------------------------------------|-------------------------------------------------------------|
|                                                        30 | 1                                                           |
|                                                        35 | 0,91                                                        |
|                                                        40 | 0,82                                                        |
|                                                        45 | 0,71                                                        |
|                                                        50 | 0,58                                                        |
|                                                        55 | 0,41                                                        |

Προσοχή: Η πυκνότητα του ρεύματος στους αγωγούς, στις περιελίξεις των ηλεκτρικών μηχανών, των μετασχηματιστών και των πηνίων δεν πρέπει να έχει υψηλή τιμή. Όταν η ένταση του ρεύματος ξεπεράσει τις μέγιστες επιτρεπόμενες τιμές, οι οποίες έχουν καθορισθεί από τις προδιαγραφές, η μόνωση των καλωδίων υπερθερμαίνεται και στη συ -νέχεια, μπορεί να καταστραφεί (να ρευστοποιηθεί), να προκληθεί βρα χυκύκλωμα ή ακόμη και πυρκαγιά στις εγκαταστάσεις.
Σε περιπτώσεις κακών συνθηκών ψύξης όπως συμβαίνει με τα τυλίγ -ματα των ηλεκτρικών μηχανών, η επιτρεπόμενη πυκνότητα ρεύματος μειώνεται κατά πολύ.

Η προστασία των γραμμών από υπερεντάσεις μας εξασφαλίζει στις περιπτώσεις:
- α) Όταν από λάθος συνδεθεί σε ηλεκτρική γραμμή, συσκευή μεγαλύτε -ρης ισχύος από όση μπορούν να δεχθούν οι διατομές της και
- β) Όταν συμβεί βραχυκύκλωμα μεταξύ των αγωγών της ηλεκτρικής γραμμής, οπότε αυξάνει απότομα το ρεύμα που κυκλοφορεί στους αγωγούς της.
Για να προστατεύσουμε μια ηλεκτρική γραμμή, τοποθετούμε στον ηλεκτρικό πίνακα, σε σειρά προς την κατανάλωση μία ασφάλεια, η οποία διακόπτει τη συνέχεια του κυκλώματος μη επιτρέποντας την κα -ταστροφή της μόνωσης των καλωδίων, ή το κάψιμο των αγωγών, εάν το ρεύμα ξεπεράσει τη μέγιστη επιτρεπόμενη τιμή.

2.8. ΠΤΩΣΗ ΤΑΣΗΣ ΣΤΟΥΣ ΑΓΩΓΟΥΣ
Η αντίσταση που παρεμβάλουν οι αγωγοί στη ροή του ρεύματος δεν έχει μόνη συνέπεια τις απώλειες Joule και την αύξηση της θερμοκρασίας τους, αλλά προκαλεί και την πτώση τάσης Δu της γραμμής.

Δu=IR
Η πτώση τάσης στις ηλεκτρικές γραμμές δεν πρέπει να ξεπερνά ορι -σμένα παραδεκτά όρια που είναι 1% για γραμμές φωτισμού και 3% για γραμμές κίνησης.
Οι σχέσεις που χρησιμοποιούμε όταν γνωρίζουμε το ρεύμα I είναι:

Δu=RI και
2 ρ R = S 

Όπου ο συντελεστής 2 περιλαμβάνει τον αγωγό επιστροφής.
Για να υπολογίσουμε την διατομή δίχως να ξεπεράσουμε το επιτρε -πόμενο όριο της πτώσης τάσης Δu$\_{επ}$ χρησιμοποιούμε τη σχέση
επ 2 ρ × S = Δ u  σε mm 2
Για να υπολογίσουμε τη πτώση τάσης που επιβάλει η εκλεγείσα δια -τομή χρησιμοποιούμε τη σχέση
2 ρ × Δ u = I S  σε V
Σε μονοφασικές γραμμές η επιτρεπόμενη πτώση τάσης για το δί -κτυο των 220V εκφράζεται σε ποσοστά και είναι:
Δu$\_{επ}$%=1%
Δηλαδή Δu$\_{επ}$=Δu$\_{ep}$%U Þ
1 × 220 Δu$\_{επ}$ = = 2,2V 100

Δu$\_{επ}$=2,2V

Συμπέρασμα:
Μπορούμε να πούμε ότι, το ποσοστό της πτώσης τάσης Δu% εκφράζει το ποσοστό των απωλειών Joule στην γραμμή.
Στην πράξη χρησιμοποιείται για το βαθμό απόδοσης της γραμμής η ανάλογη σχέση:
1 η = 100 1+ Δ u ×

Παράδειγμα 1
Όταν η πτώση τάσης ηλεκτρικής γραμμής είναι 3% τότε ο βαθμός απόδοσης της γραμμής είναι:
1 η = 0,97 ή 97% 1+ 0,03 

Παράδειγμα 2
Μονοφασικό φορτίο 10 Α τροφοδοτείται από απόσταση 50 μέτρων με τάση 220 V. Να υπολογισθεί η κατάλληλη διατομή των χάλκινων αγωγών της γραμμής, όταν η επιτρεπόμενη πτώση τάσης είναι 2,2 V.
2 2 ρ 2 0,018 50 S = I S = 10 8,18mm . Δ u 2,2 × × Þ ×  =
Εκλέγεται η αμέσως μεγαλύτερη τυποποιημένη διατομή S=10mm 2 .
Με την διατομή αυτή η γραμμή στο άκρο της θα έχει πτώση τάσης:
2 ρ 2 0,018 50 = I 10 1,8V. S 10 Δ u Δ u × × Þ = × = 
Η τιμή αυτή είναι μικρότερη από την μέγιστη επιτρεπόμενη (2,2V) συνεπώς η διατομή S=10mm 2 είναι αποδεκτή.

2.9. ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ
- 1. Η ηλεκτρική ενέργεια εκφράζεται από τη σχέση:
A=UIt
όπου: Α είναι η ηλεκτρική ενέργεια σε Joule, U είναι η πολική τάση της πηγής σε V, I είναι το ρεύμα που απορροφά η κατανάλωση σε Α, t είναι ο χρόνος σε δευτερόλεπτα που παραμένει η κατανάλωση σε λειτουργία (seconds).
- 2. Η ηλεκτρική ισχύς καθορίζεται από τη σχέση:
P=A/t
όπου:
Ρ σε Watt,
Επομένως η ισχύς μιας συσκευής συνεχούς ρεύματος σε W, υπολο -γίζεται εάν πολλαπλασιάσουμε την τάση λειτουργίας της σε V επί το ρεύμα που την διαρρέει σε Α (Αμπέρ).

Ρ=UI σε W
Εάν τμήμα ή όλο το κύκλωμα είναι ωμική αντίσταση, τότε η ισχύς υπολογίζεται και από τους τύπους

P=U 2 /R και Ρ= I 2 R
- 3. Μονάδες μέτρησης ενέργειας και ισχύος είναι το Joule και το Watt, αντίστοιχα:
1 Joule = 1Watt1sec Η μονάδα μέτρησης της ισχύος είναι το Watt [W]

1W l J s
Για πρακτικούς λόγους χρησιμοποιούμε για την μέτρηση της ισχύος το Κιλοβάτ (kW)
1KW=1000W
Σπανιότερα, ως μονάδα ισχύος, χρησιμοποιείται και ο ίππος ή horse -power (HP).
1HP=746W=0,746KW
1KW=l,34HP
Για την μέτρηση της ηλεκτρικής ενέργειας χρησιμοποιούμε την Κι -λοβατώρα (KWh). Μία Κιλοβατώρα (1 KWh) εκφράζει την ενέργεια που καταναλώνει μια συσκευή ισχύος 1KW σε χρόνο μίας ώρας.
1KWh =1000W3600sec=3.600.000 Joule.
- 4. Σε οποιαδήποτε συσκευή που διαρρέεται από ρεύμα η ηλεκτρική ενέργεια που καταναλώνεται σε μια ωμική αντίσταση σε οποιοδή -ποτε κύκλωμα μετατρέπεται ολόκληρη σε θερμότητα.
- 5. Στις περισσότερο σύνθετες συσκευές όπως π.χ σε ένα ηλεκτροκι -νητήρα, ναι μεν το περισσότερο μέρος της ηλεκτρικής ενέργειας μετα τρέπεται σε μηχανικό έργο, αλλά ένα μικρό ποσοστό μετατρέπεται σε θερμότητα, επειδή τα σύρματα των τυλιγμάτων του ηλεκτροκινητήρα έχουν μια συγκεκριμένη τιμή ωμικής αντίστασης, που εξαρτάται από τη διατομή και το μήκος τους.
- 6. Ηλεκτρική ενέργεια ενός Joule ισοδυναμεί με θερμότητα 0,000239 Kcal (χιλιοθερμίδες).

1 Joule = 0,000239 Kcal
Εφόσον ολόκληρη η προσφερόμενη ηλεκτρική ενέργεια Α$\_{πρσ.}$ σε μια συσκευή με ισχύ Ρ μετατρέπεται σε θερμότητα Q, τότε ισχύει ο νόμος του Joule, με τις παρακάτω εκφράσεις.
Q=0,000239Pt =
0,23910 -3 RI 2 t =0,23910 -3 (U 2 /R)t
- Ο νόμος του Joule συνδέει την ηλεκτρική ενέργεια Α=Ρt με τα ηλε -κτρικά μεγέθη ένταση I , τάση U , αντίσταση R , τα οποία αναφέρονται ταυτόχρονα σε συγκεκριμένη και μόνο κατανάλωση από την οποία προκύπτει η ισοδυναμία:

1KWh = 860Kcal
Για ευκολία στις πράξεις μπορούμε να χρησιμοποιούμε για τον νόμο του Joule τη σχέση:
Q=0,2410 -3 RI 2 t Kcal
- 7. Ονομάζουμε ωφέλιμη ενέργεια το μέρος της ενέργειας που αποδί -δεται από τη συσκευή για την εκτέλεση του έργου για το οποίο κατα σκευάστηκε. Ονομάζουμε απώλειες ενέργειας το υπόλοιπο μέρος της απορροφούμενης ενέργειας, που χάνεται.
Αποροφούμενη Ενέργεια= Ωφέλιμη Ενέργεια+Ενέργεια Απωλειών
Α$\_{απορ}$ =Α$\_{ωφ}$+Α$\_{απωλ}$
Ονομάζουμε βαθμό απόδοσης της συσκευής ή μηχανής τον λόγο η:

ωφ ωφ απορ απωλ απορ ωφ απωλ απορ Α Α Α -Α η = = = ×100 Α Α + Α Α
- Ο βαθμός απόδοσης είναι καθαρός αριθμός και μικρότερος από τη μονάδα ( η<1 ) μετράται συνήθως ως ποσοστό (%).
Ομοίως ο βαθμός απόδοσης εκφράζεται και με λόγο ισχύος:
ωφ ωφ απορ απωλ απορ ωφ απωλ απορ Ρ Ρ Ρ -Ρ η = = = ×100 Ρ Ρ + Ρ Ρ
- 8. Οι συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται κατά την εκλογή της διατομής των αγωγών αναφέρονται: στην πτώση τάσης, στον τρόπο όδευσης αγωγών, στο πλήθος των αγωγών μέσα στο ίδιο κανάλι και στην ευκολία αερισμού των αγωγών.

2.10. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ
- 1. Ηλεκτρική κουζίνα στη θέση 3 (μέγιστο) του διακόπτη λειτουργεί με ισχύ 3,3KW υπό τάση λειτουργίας 220V. Να υπολογίσετε: α) το ρεύμα που απορροφά, β) την ωμική αντίσταση σε αυτή την θέση, γ) την ενέργεια που καταναλώνει σε δύο ώρες λειτουργίας και δ) το κό -στος κατανάλωσης εάν η kWh κοστίζει 20 δραχμές.
Απάντηση: α) 15Α, β) 14,6Ω, γ) 6,6KWh, δ) 132δρχ.
- 2. Ηλεκτρικός φούρνος θερμαίνεται με δύο αντιστάσεις των 60Ω και 30Ω. Οι αντιστάσεις συνδέονται στο δίκτυο των 220V με την βοήθεια ενός διακόπτη με τρεις θέσεις: Θέση 1. Οι δυο αντιστάσεις σε σειρά, Θέση 2. Η αντίσταση των 30Ω μόνη της και Θέση 3. Οι δύο αντιστά -σεις παράλληλα. Να υπολογίσετε για κάθε θέση λειτουργίας: α) την ισχύ που καταναλώνει, β) το κόστος της ενέργειας που θα πληρώσουμε σε δύο ώρες λειτουργίας, στην περίπτωση της μεγαλύτερης κατανάλω -σης ισχύος, όταν η KWh κοστίζει 22 δραχμές και γ) να εξηγήσετε γιατί προκύπτουν διαφορετικές τιμές κατανάλωσης.

Απάντηση 1) Θ1: 538W, 1076Wh και 23,68δρχ., 2) Θ2: 1613W, 3226Wh, και 71δρχ., 3) Θ3: 2420W, 4840Wh και 106,5δρχ.
- 3. Μονωμένη ηλεκτρική αντίσταση 2778Ω είναι βυθισμένη σε δοχείο που περιέχει 0,6Kg καθαρού νερού. Σε χρόνο μίας ώρας η θερμοκρα -σία του νερού ανεβαίνει από τους 25°C στους 65°C. Να υπολογίσετε: α) την ισχύ που καταναλώνει, και β) την τάση στα άκρα της αντίστα -σης.
Απάντηση: 0,028KW, 279V.
- 4. Ηλεκτρικός βραστήρας περιέχει 1Kg καθαρού νερού θερμοκρασίας 10°C. Η αντίστασή του είναι 42Ω και διαρρέεται από ρεύμα έντασης 3Α, χωρίς απώλειες. Να υπολογίσετε τον απαιτούμενο χρόνο για να βράσει (=100°C) το νερό.

Απάντηση 996sec
- 5. Ηλεκτρικός θερμοσίφωνας των 60 λίτρων ισχύος 3KW λειτουργεί υπό τάση 220V με βαθμό απόδοσης 0,9 και ανεβάζει την θερμοκρασία του νερού κατά 60°C. Να υπολογίσετε τον χρόνο λειτουργίας του.
Απάντηση: 4000Kcal, 1ώρα 32 λεπτά και 36 δευτερόλεπτα
- 6. Ηλεκτρικός θερμοσίφωνας των 60 λίτρων λειτουργεί υπό τάση 220V με βαθμό απόδοσης 0,9 και ανεβάζει την θερμοκρασία του νε -ρού κατά 60°C σε χρόνο 80 λεπτά. Να υπολογίσετε την τιμή και την ισχύ της αντίστασής του, την ένταση του ρεύματος που τον διαρρέει, την ενέργεια που καταναλώνει και το κόστος κατανάλωσης εάν η KWh κοστίζει 22 δραχμές.

Απάντηση: 4000Kcal, 14Ω, 15,7Α, 3,45KW, 4,6KWh, 101 δρχ.
- 7. Θέλουμε να κατασκευάσουμε 100 αντιστάσεις για ισάριθμα ηλε -κτρικά σίδερα ισχύος 1000W το καθένα από σύρμα χρωμιονικελίνης διαμέτρου 0,2mm, ειδικής αντίστασης ρ=10mm 2 /m. Εάν η τάση λει -τουργίας τους είναι 220V να υπολογίσετε το απαιτούμενο μήκος σύρ ματος.
Απάντηση: 0,0314 mm 2 , l52m
- 8. Πρόκειται να κατασκευασθεί ηλεκτρικός βραστήρας με βαθμό από -δοσης η=0,8 ικανός να ανυψώνει τη θερμοκρασία 10 λίτρων καθαρού νερού από τους 10°C στους 100°C σε χρόνο μισής ώρας. Εάν λειτουρ -γεί υπό τάση U=220V να υπολογίσετε: α) την ισχύ του βραστήρα και β) την τιμή της αντίστασης.

Απάντηση: 1125Kcal, α) 2,6KW, β) 18,6Ω
- 9. Ένας βραστήρας έχει βαθμό απόδοσης η=0,7. Υπολογίστε: α) πόσο κοστίζει η θέρμανση 10 λίτρων καθαρού νερού από τους 14°C στους 100°C, όταν η KWh κοστίζει 22 δραχμές, β) την αντίσταση R αν η συ -σκευή εργάζεται υπό τάση 220V και το νερό θερμαίνεται σε μισή ώρα, γ) την ένταση του ρεύματος I, και δ) την ηλεκτρική ισχύ Ρ.
Απάντηση: 31,5 δρχ., 17Ω, 2,9KW, 13,2Α
- 10. Θέλουμε να κατασκευάσουμε ηλεκτρικό θερμοσίφωνο 80 λίτρων που να ζεσταίνει νερό από τους 7°C στους 50°C σε χρόνο μίας ώρας και 15 λεπτών. Να υπολογίσετε: α) την ισχύ της αντίστασης, όταν ο
βαθμός απόδοσης είναι η=0,8, β) την ένταση του ρεύματος όταν η τάση είναι U=220V και γ) το μήκος σύρματος χρωμιονικελίνης διατομής 0,5mm 2 ειδικής αντίστασης 1 Ωmm 2 /m που θα χρειαστεί για την αντί -σταση του θερμαντικού στοιχείου.

Απάντηση: 4KW, 18,2Α,
- 11. Στην Άσκηση 10 υπολογίστε το μέγιστο μήκος της τροφοδοτικής γραμμής του θερμοσίφωνα διατομής S=4 mm 2 , ώστε η πτώση τάσης να μη ξεπερνά τα 2,2 V. Δίδεται ρ=0,0018 Ωmm 2 /m.
Απάντηση: 6,05m
Απάντηση: 6,05m
- 12. Θέλουμε να κατασκευάσουμε ηλεκτρικό βραστήρα ικανό να θερ -μαίνει 10 λίτρα καθαρού νερού από τους 5°C στους 80°C σε χρόνο μισής ώρας. Εάν το ποσοστό απωλειών είναι 20%, υπολογίστε: α) την ισχύ του βραστήρα, β) την ένταση του ρεύματος όταν η τάση λειτουρ -γίας είναι U = 220 V, γ) το μήκος σύρματος χρωμιονικελίνης ειδικής αντίστασης ρ = 1 Ωmm 2 /m και διατομής S = 0,1 mm 2 που θα χρειασθεί για την αντίσταση του βραστήρα.

Απάντηση: 2,2KW, 18,2Α, 2,2m
- 13. Να υπολογίσετε το ποσό θερμότητας που παράγει σε 5 λεπτά μία ωμική αντίσταση R=20 Ω όταν διαρρέεται από ρεύμα έντασης I=10Α.
Απάντηση: 144 Kcal
- 14. Ένας λαμπτήρας με ωμική αντίσταση R=20Ω, έχει κατασκευασθεί για να λειτουργεί υπό τάση 42V. Όταν η τάση του δικτύου μας είναι 220V: α) Περιγράψτε τι πρέπει να κάνετε ώστε να λειτουργεί κανονικά ο λαμπτήρας, β) Πόσο μας κοστίζει η ενέργεια που ξοδεύεται άσκοπα κατά το δεκάωρο της λειτουργίας του, όταν η τιμή της KWh κοστίζει 22 δραχμές.

Απάντηση: α) Να συνδέσετε σε σειρά αντίσταση 84,8 Ω και 2,1 Α. β) 74,6 δρχ.
- 15. Ηλεκτρική θερμάστρα με αντίσταση 40 Ω λειτουργεί κανονικά υπό τάση 220V. Υπολογίστε: α) το ποσό θερμότητας που αποδίδει κάθε ώρα, β) την ωριαία δαπάνη όταν η τιμή της KWh κοστίζει 22 δραχμές και γ) να ερευνήσετε εάν συμφέρει η θέρμανση με ηλεκτρική ενέργεια.
Απάντηση: 1045Kcal, 26,62 δρχ. Όχι στις περισσότερες περιπτώσεις
- 16. Δύο λίτρα καθαρού νερού θερμοκρασίας 2°C πρόκειται να θερμαν -θεί σε χρόνο 15 λεπτών μέχρι τη θερμοκρασία των 80°C στην οποία διακόπτεται το κύκλωμα. Να υπολογίσετε το μήκος σύρματος χρωμιονικελίνης διαμέτρου 0,5mm, ειδικής αντίστασης 1 Ωmm 2 /m, που θα χρειασθεί για την κατασκευή της αντίστασης του θερμαντικού στοιχεί -ου. Ο βαθμός απόδοσης του βραστήρα είναι 0,8 και η τάση λειτουργίας του 220V.

Απάντηση: 195Kcal, 53,6Ω, 6,05m
- 17. Σε θερμοσίφωνα 80 λίτρων δεν υπάρχει πινακίδα. Για να βρού -με την ισχύ του μετρούμε τον χρόνο θέρμανσης του νερού μέχρι την θερμοκρασία των 80°C και βρίσκουμε μία ώρα και 30 λεπτά (στον χρόνο αυτό διακόπτεται το κύκλωμα). Υπολογίστε: α) την ισχύ του θερμοσίφωνα, β) την τιμή της ωμικής του αντίστασης. Δίδονται τάση λειτουργίας 220V, βαθμός απόδοσης 90%, αρχική θερμοκρασία νερού θ$\_{l}$=10°C.

Απάντηση: 4,82KW, 10Ω
- 18. Πρόκειται να θερμανθεί με ηλεκτρική ενέργεια αίθουσα διαστάσεων 15x20x5 μέτρων. Η εξωτερική θερμοκρασία είναι -2°C και θέ -λουμε στον χώρο της αίθουσας να επικρατεί θερμοκρασία 20°C. Αυτό συνεπάγεται ότι απαιτούνται 63.000Kcal/h. Υπολογίστε την απαιτού -μενη ηλεκτρική ισχύ των θερμαντικών σωμάτων, όταν ο βαθμός από δοσης είναι 90%.
Απάντηση: 70000Kcal, 81,4KW
Απάντηση: 70000Kcal, 81,4KW

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΤΟ

ΝΟΜΟΙ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ

3.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Το κεφάλαιο αυτό εξηγεί τις ιδιότητες των κυκλωμάτων που περι -λαμβάνουν αντιστάσεις και πηγές συνδεδεμένες σε σειρά, παράλληλα, σε αστέρα, σε τρίγωνο ή σε σύνθετες (μικτές) συνδεσμολογίες, οι οποί -ες περιέχουν τμήματα συνδεδεμένα κατά διαφόρους τρόπους.
Επίσης αναλύει την επίλυση των κυκλωμάτων στα οποία συμπερι -λαμβάνονται και οι υπολογισμοί των πτώσεων τάσεων, των ρευμάτων και της ισχύος στους διάφορους κλάδους και στα στοιχεία των κλάδων των κυκλωμάτων, με την βοήθεια των δύο νόμων του Κίρκωφ.

Τέλος, παρουσιάζει εφαρμογές ηλεκτρικών κυκλωμάτων όλων των παραπάνω συνδεσμολογιών όπως συνδεσμολογίες λαμπτήρων, θερμα -ντικών σωμάτων κ.α.

3.2. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΚΥΚΛΩΜΑΤΟΣ
Πολλές εφαρμογές με βιομηχανικές και οικιακές συσκευές και δια -τάξεις, αποτελούνται από ηλεκτρικά κυκλώματα, που περιλαμβάνουν περισσότερες από μία ωμική αντίσταση και πηγή, και οι οποίες συνδέονται μεταξύ τους κατά πολλούς τρόπους.
Τέτοιες σύνθετες συνδεσμολογίες με αγωγούς σύνδεσης μεταξύ των διαφόρων στοιχείων του κυκλώματος, όπως πηγές και καταναλωτές, σχηματίζουν κλειστές διαδρομές, που ονομάζονται βρόχοι.
Ένας βρόχος είναι η κλειστή διαδρομή που ξεκινάει από ένα σημείο, ακολουθεί διάφορα στοιχεία του κυκλώματος για μια μόνο φορά και επιστρέφει στο αρχικό σημείο.

Ο βρόχος είναι μια κλειστή διαδρομή σε ένα κύκλωμα.
Για την ακρίβεια, ένας κλάδος του ηλεκτρικού κυκλώματος είναι ένα απλό στοιχείο όπως μια πηγή τάσης ή μία αντίσταση. Συνηθίζεται όμως να ονομάζεται κλάδος μια ομάδα περισσότερων στοιχείων, που διαρρέονται από το ίδιο ρεύμα.
Ένας βρόχος αποτελείται από δύο ή περισσότερους κλάδους.
Μια ομάδα στοιχείων, που διαρρέονται από το ίδιο ρεύμα, αποτελεί ένα κλάδο.
- Ο κόμβος είναι το σημείο ένωσης δύο ή περισσότερων κλάδων και περιλαμβάνει όλα τα σημεία, που έχουν το ίδιο δυναμικό τάσης. Δείχνεται με μία τελεία όπως το σημείο Α στο Σχήμα 3.1. Όταν ένας αγωγός συνδέει δύο κόμβους, τότε οι κόμβοι αυτοί είναι ισοδύναμοι και στην πράξη ταυτίζονται σε ένα και μοναδικό κόμβο, ακόμη και αν δείχνονται με δύο τελείες.

Μεταξύ δύο κόμβων προσδιορίζεται ένας κλάδος, ενώ στον ίδιο κλά -δο δεν είναι δυνατόν να υπάρχει άλλος κόμβος εκτός των δύο ακραίων κόμβων.
Στο Σχήμα 3.2.α απεικονίζεται ένας βρόχος με δύο κλάδους Α-Β και Γ-Δ.
- Η πολυπλοκότητα ενός κυκλώματος προκύπτει από τον αριθμό των βρόχων:
- πολλοί βρόχοι αποτελούν ένα σύνθετο κύκλωμα ή δίκτυο.
-  ένας βρόχος προσδιορίζει ένα απλό κύκλωμα,
Στα επόμενα σχήματα του παρόντος κεφαλαίου θα παρουσιαστούν πολλά ηλεκτρικά κυκλώματα τόσο απλά, όσο και σύνθετα, με διάφο -ρους συνδυασμούς κλάδων και βρόχων.

3.3. ΠΡΩΤΟΣ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ ΚΙΡΚΩΦ
Ο πρώτος νόμος του Κίρκωφ διατυπώνεται ως εξής:
Το αλγεβρικό άθροισμα των εντάσεων των ρευμάτων, που συγκλί -νουν σε ένα οποιοδήποτε κόμβο από όλους τους συνδεδεμένους κλά δους στον κόμβο αυτό, ισούται με το μηδέν.
Με τον όρο «συγκλίνουν» εννοούμε ότι τα ρεύματα εξέρχονται από τον κόμβο ή εισέρχονται στον κόμβο. Η θετική φορά των ρευμάτων εί -ναι όταν εισέρχονται στον κόμβο και η αρνητική φορά όταν εξέρχονται από τον κόμβο, σχήμα 3.1. Επίσης, με τον όρο «αλγεβρικό άθροισμα» εννοούμε ότι προσθέτουμε ή αφαιρούμε τα ρεύματα ανάλογα με τη φορά που έχουν από και προς τον κόμβο.

Σχήμα 3.1. Ο πρώτος νόμος του Κίρκωφ στον κόμβο Α: +Ι$\_{1}$-Ι$\_{2}$+Ι$\_{3}$-Ι$\_{4}$-Ι$\_{5}$+Ι$\_{6}$=0
Στο Σχήμα 3.1, τα ρεύματα Ι$\_{2}$, I$\_{4}$ και Ι$\_{5}$ «εξέρχονται» από τον κόμβο Α προς τα έξω, επομένως έχουν αρνητική φορά και αρνητικό πρόσημο, ενώ τα ρεύματα I$\_{1}$, Ι$\_{3}$ και Ι$\_{6}$ «εισέρχονται» στον κόμβο Α, επομένως έχουν θετική φορά και θετικό πρόσημο. Έτσι, ο πρώτος νόμος του Κίρ -κωφ στον κόμβο Α γράφεται:
+I$\_{1}$-Ι$\_{2}$+ Ι$\_{3}$-Ι$\_{4}$-Ι$\_{5}$+Ι$\_{6}$=0
Ο πρώτος νόμος του Κίρκωφ ονομάζεται συχνά νόμος ρεύματος του Κίρκωφ ή ΝΡΚ.

Παράδειγμα 1
Γράψτε τον πρώτο νόμο του Κίρκωφ για το κύκλωμα του σχήματος 3.1. όπου Ι$\_{1}$=5Α, Ι$\_{2}$=3Α, Ι$\_{3}$=12Α, Ι$\_{4}$=11Α, I$\_{6}$=10Α . Υπολογίστε το ρεύ -μα Ι$\_{5}$.

Λύση:
+Ι$\_{1}$-Ι$\_{2}$+Ι$\_{3}$-Ι$\_{4}$-Ι$\_{5}$+Ι$\_{6}$=0
Ι$\_{5}$=+I$\_{1}$-Ι$\_{2}$+Ι$\_{3}$-Ι$\_{4}$+Ι$\_{6}$
Ι$\_{5}$=5 Α-3 Α+12Α-11Α+10Α=13 Α

3.4. ΔΕΥΤΕΡΟΣ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ ΚΙΡΚΩΦ
Η γενική διατύπωση του δεύτερου νόμου του Κίρκωφ είναι:
Το αλγεβρικό άθροισμα των πηγών τάσης και των πτώσεων τάσης στις αντιστάσεις σε ένα κλειστό κύκλωμα ισούται με το μηδέν.

β U = 0 å
Με τον όρο «αλγεβρικό άθροισμα» εννοούμε ότι προσθέτουμε ή αφαιρούμε τις τάσεις σύμφωνα με την πολικότητά τους.
Η κίνηση των ηλεκτρονίων του ηλεκτρικού φορτίου γίνεται από το (-) στο (+), επομένως είναι ίδια με την πόλωση της πηγής και μας δίνει την φορά της πόλωσης. Η φορά πόλωσης της τάσης μίας πηγής είναι θετική, όταν συμβολίζεται με βέλος από τον αρνητικό πόλο προς στον θετικό πόλο. Κατά τον ίδιο τρόπο η φορά του ρεύματος είναι θετική, όταν συμβολίζεται με βέλος από τον αρνητικό πόλο της πηγής τάσης προς τον θετικό πόλο περνώντας μέσα από την πηγή. Αντιθέτως, η φορά της ηλεκτρεγερτικής δύναμης είναι θετική όταν συμβολίζεται με βέλος από τον θετικό πόλο της πηγής προς τον αρνητικό. Σχήμα 3.2.α.

Σχήμα 3.2.α. Βρόχος ηλεκτρικού κυκλώματος και φορά της πόλωσης: θετική φορά τάσης και θετική φορά ρεύματος μέσα από την πηγή από το (-) στο (+), θετική φορά ηλεκτρεγερτικής δύναμης από το (+) στο (-)
Στην ηλεκτρολογία χρησιμοποιείται η συμβατική φορά του ρεύματος (τεχνική), η οποία συμβολίζεται με βέλος που ξεκινά από τον θετικό πόλο της μπαταρίας συνεχίζει στο εξωτερικό κύκλωμα και κα -ταλήγει στον αρνητικό πόλο, δηλαδή από το (+) στο (-), Σχήμα 3.2.α.
Η φορά της πτώσης τάσης σε μία αντίσταση θεωρείται ότι είναι θετι -κή όταν είναι ίδια με την φορά του ρεύματος, Σχήμα 3.2.β.

Σχήμα 3.2.β. Η θετική φορά της πτώσης τάσης σε μια αντίσταση συμπίπτει με τη θετική φορά του ρεύματος
Προσοχή: Σε περίπτωση που, από τους υπολογισμούς, ένα ή περισ -σότερα ρεύματα ή και τάσεις προκύψουν αρνητικά, αυτό σημαίνει ότι έχουν οριστεί λάθος οι φορές τους.
Μια εξίσου συνηθισμένη διατύπωση του δεύτερου νόμου του Κίρ -κωφ είναι:
Το αλγεβρικό άθροισμα των πτώσεων τάσεων στις αντιστάσεις ενός κλειστού κυκλώματος ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των ηλεκτρε -γερτικών δυνάμεων των πηγών τάσης, Σχήμα 3.2.

β β R I = E × å å
Ο δεύτερος νόμος του Κίρκωφ ονομάζεται συχνά νόμος τάσης του Κίρκωφ ή ΝΤΚ.
Σχήμα 3.2. Όλες οι πτώσεις τάσης αθροίζονται αλγεβρικά και το άθροισμά τους ισούται με το μηδέν (2ος νόμος του Κίρκωφ)
Σημείωση: Για την κατάστρωση του ΝΤΚ χρησιμοποιούμε είτε πολικές τά -σεις U, είτε ηλεκτρεγερτικές δυνάμεις Ε.

Παράδειγμα 1
Γράψτε το δεύτερο νόμο του Κίρκωφ για το κύκλωμα του σχήματος 3.2. όπου R$\_{1}$ = 5 Ω, R$\_{2}$ = 3 Ω, R$\_{3}$ = 6 Ω, R$\_{4}$ = 1 Ω, Ε$\_{α}$ = 9 V, Ε$\_{β}$ = 12 V. Υπολογίστε το ρεύμα I.

Λύση:
Επιλέγουμε ως θετική φορά στο κύκλωμα την ωρολογιακή φορά. Γρά -φουμε τον δεύτερο νόμο του Κίρκωφ στο βρόχο του σχήματος 3.2 με μορφή:

β U = 0 å
U$\_{1}$+U$\_{2}$+U$\_{3}$+U$\_{4}$+U$\_{β}$-U$\_{α}$=0
Αντικαθιστούμε: U$\_{α}$=-E$\_{α}$ και U$\_{β}$=-E$\_{β}$ και βρίσκουμε:
E$\_{α}$-E$\_{β}$+U$\_{1}$+U$\_{2}$+U$\_{3}$+U$\_{4}$=0
Επίσης μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις πτώσεις τάσης στις αντι -
στάσεις R$\_{1}$, R$\_{2}$, R$\_{3}$ και R$\_{4}$, δηλαδή τη μορφή β β R I = Ε × å å :
E$\_{α}$-E$\_{β}$+R$\_{1}$I+R$\_{2}$I+R$\_{3}$Ι+R$\_{4}$I=0
Από την τελευταία σχέση μπορούμε να υπολογίσουμε το ρεύμα:
Ι=-(Ε$\_{α}$-Ε$\_{β}$)/(R$\_{1}$+R$\_{2}$+R$\_{3}$+R$\_{4}$)

I=-(9V-12V)/(5Ω+3Ω+6Ω+1Ω)=0,2Α

Παράδειγμα 2
Στο κύκλωμα του σχήματος 3.3 δίνονται: I=10mA, R$\_{1}$=60Ω, R$\_{2}$=75Ω, R$\_{3}$=90Ω, U$\_{4}$=1,75V. Υπολογίστε τη τάση U$\_{5}$.

Λύση:
Αρχικά αποφασίζουμε στο βρόχο ποία θα είναι η θετική φορά μέ -τρησης των τάσεων, π.χ. η ωρολογιακή. Οι τάσεις που έχουν την ίδια
φορά με τη θετική φορά του βρόχου έχουν θετικό πρόσημο. Οι τάσεις με αντίθετη φορά έχουν αρνητικό πρόσημο.
Σχήμα 3.3. Όλες οι πτώσεις τάσης αθροίζονται αλγεβρικά και το άθροισμά τους ισούται με το μηδέν (2ος νόμος του Κίρκωφ)
Γράφουμε τον δεύτερο νόμο του Κίρκωφ:

β U 0 = å
U$\_{1}$+U$\_{4}$+U$\_{2}$-U$\_{5}$+U$\_{3}$=0
Επίσης μπορούμε να γράψουμε ότι:
β U 0 = å RΙ=E
U$\_{1}$+U$\_{2}$+U$\_{3}$=E$\_{4}$-E$\_{5}$
R$\_{l}$I+R$\_{2}$I+R$\_{3}$I+U$\_{4}$-U$\_{5}$=0
U$\_{5}$=R$\_{1}$I+R$\_{2}$I+R$\_{3}$I+U$\_{4}$=
=60Ω0,01Α+75Ω0,01Α+90Ω0,01Α+1,75V=
=0,6V+0,75V+0,9V+l,75V=4V

3.4.1. Ισολογισμός της ισχύος
Σε οποιοδήποτε ηλεκτρικό κύκλωμα, το άθροισμα των ισχύων που παράγονται στους καταναλωτές μέσω θερμικού φαινομένου Joule (θερ -μική ισχύ) ισούται με το άθροισμα των ισχύων που παράγουν οι πηγές.
U 0 = å RΙ 2 U = å UΙ
R$\_{1}$I$\_{1}$ 2 +R$\_{2}$I$\_{2}$ 2 +R$\_{3}$I$\_{3}$ 2 +... =U$\_{1}$I$\_{1}$+U$\_{2}$I$\_{2}$+U$\_{3}$I$\_{3}$+...
Προσοχή: Η ηλεκτρική ισχύς που παράγει μια πηγή συνεχούς ρεύ -ματος είναι θετική ή αρνητική σύμφωνα με το πρόσημο του γινόμενου του ρεύματος και της τάσης της πηγής. Το πρόσημο μπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό σύμφωνα με τη φορά του ρεύματος στο κύκλωμα και με την πολικότητα της πηγής.

Παράδειγμα 3
Για το κύκλωμα του παραδείγματος 1 και του Σχήματος 3.2 υπολο -γίστε: α) την συνολική ηλεκτρική ισχύ που παράγουν οι πηγές τάσης, β) την ηλεκτρική ισχύ που μετατρέπεται σε θερμότητα στις ωμικές αντιστάσεις και γ) συγκρίνετε το αποτέλεσμα των ερωτήσεων α) και β) και συζητήστε.

Λύση:
α) Η ηλεκτρική ισχύς Ρ$\_{μ}$ που παράγεται από τις δύο πηγές τάσης είναι:
Ρ$\_{μ}$= -U$\_{α}$Ι+U$\_{β}$Ι= -9V0,2A+12V0,2A=0,6W
β) Όπως έχει παρουσιαστεί στο Κεφάλαιο 2, η ηλεκτρική ισχύς σε μια ωμική αντίσταση μετατρέπεται σε θερμική ισχύ και υπολογίζεται από τη σχέση:

P=RI 2
Η θερμική ισχύς των τεσσάρων αντιστάσεων είναι:
P$\_{r}$ =R$\_{1}$I 2 +R$\_{2}$I 2 +R$\_{3}$I 2 +R$\_{4}$I 2
Ρ$\_{r}$=5Ω0,2 2 Α 2 +3Ω0,2 2 Α 2 +6Ω0,2 2 A 2 +lΩ 0,2 2 A 2 =0,6W
γ) Παρατηρούμε ότι έχουμε βρει την ίδια ισχύ (σε Watt) από τις ερωτή -σεις α) και β). Το αποτέλεσμα είναι σωστό καθώς από τον ισολογισμό της ισχύος γνωρίζουμε ότι η ηλεκτρική ισχύς των πηγών ισούται με την θερμική ισχύ των αντιστάσεων.

3.5. ΣΥΝΔΕΣΗ ΣΕ ΣΕΙΡΑ
Σε κλάδο ηλεκτρικού κυκλώματος, όταν περισσότερες αντιστάσεις και πηγές διαρρέονται από το ίδιο ρεύμα, τότε είναι συνδεδεμένες σε σειρά. Το κύκλωμα αυτό μπορεί να μετατραπεί σε ένα απλούστερο και όλες οι αντιστάσεις να αντικατασταθούν με μόνο μία αντίσταση.
Η ισοδύναμη αντίσταση R$\_{ισ}$ της σύνδεσης σε σειρά των αντιστάσεων R$\_{i}$ ισούται με το άθροισμα τους.

R$\_{ισ}$=ΣR$\_{i}$=R$\_{1}$+R$\_{2}$+R$\_{3}$+...
Στο Σχήμα 3.4.α οι αντιστάσεις R$\_{1}$, R$\_{2}$ και R$\_{3}$ είναι συνδεδεμένες σε σειρά και διαρρέονται από το ρεύμα I. Όλες θα αντικατασταθούν από την ισοδύναμη αντίσταση R$\_{ισ}$ η οποία φαίνεται στο Σχήμα 3.4.β
Σχήμα 3.4.α. Σύνδεση σε σειρά των τριών αντιστάσεων
Σχήμα 3.4.β. Ισοδύναμη αντίσταση των τριών αντιστάσεων του κυκλώματος του σχήματος 3.4.α.
Η ισοδύναμη ηλεκτρεγερτική δύναμη Ε$\_{ισ}$ των πηγών που είναι συνδεδεμένες σε σειρά και έχουν ηλεκτρεγερτικές δυνάμεις E$\_{i}$ ισούται με το άθροισμά τους.

Ε$\_{ισ}$=ΣΕ$\_{i}$=Ε$\_{1}$+Ε$\_{2}$+Ε$\_{3}$+...
Στο Σχήμα 3.5.α οι ηλεκτρεγερτικές δυνάμεις Ε$\_{1}$, Ε$\_{2}$ και Ε$\_{3}$ είναι συν -δεδεμένες σε σειρά και ο θετικός πόλος της κάθε πηγής συνδέεται στον αρνητικό πόλο της επόμενης, κ.ο.κ. Η ισοδύναμη ηλεκτρεγερτική δύ -ναμη Ε φαίνεται στο Σχήμα 3.5.β
Σχήμα 3.5.α. Τρεις πηγές τάσης συνδεδεμένες σε σειρά
Σχήμα 3.5.β. Ισοδύναμη πηγή τάσης των τριών πηγών του Σχήματος 3.5.α
Προσοχή: Στη σύνδεση σε σειρά των πηγών τάσης σε περίπτωση αντίθετης σύνδεσης, (αρνητικής φοράς) μίας ΗΕΔ, δηλαδή όταν ο θε -τικός πόλος μίας πηγής συνδεθεί στον θετικό πόλο της επόμενης πηγής, η ΗΕΔ της πηγής που είναι συνδεδεμένη αντίθετα αφαιρείται.

Στο Σχήμα 3.6.α οι αντιστάσεις R$\_{1}$, R$\_{2}$ και R$\_{3}$ και οι ηλεκτρεγερτικές δυνάμεις Ε$\_{1}$, Ε$\_{2}$ και Ε$\_{3}$ είναι συνδεδεμένες σε σειρά και διαρρέονται από το ρεύμα I. Η ισοδύναμη αντίσταση R$\_{ισ}$ και η ισοδύναμη ηλεκτρε -γερτική δύναμη Ε$\_{ισ}$ αποτελούν το ισοδύναμο κύκλωμα το οποίο παρα τίθεται στο Σχήμα 3.6.β.
Σχήμα 3.6.α. Σύνδεση σε σειρά τριών αντιστάσεων και τριών πηγών τάσης
Σχήμα 3.6.β. Ισοδύναμο κύκλωμα του κυκλώματος του σχήματος 3.6.α.

Παράδειγμα 1
Οι αντιστάσεις R$\_{1}$=50 Ω και R$\_{2}$=100 Ω συνδέονται σε σειρά, Σχήμα 3.7. Η τάση της πηγής είναι 30 V. Προσδιορίστε: α) την ισοδύναμη αντίσταση και β) τις πτώσεις τάσης στις αντιστάσεις.

Λύση:
α) R=R$\_{1}$+R$\_{2}$=50Ω+100Ω=150Ω
β) U 30V I = = = 0,2 Α R 150 Ω
Σχήμα 3.7. Σύνδεση σε σειρά δύο αντιστάσεων και μίας πηγής
1 2 1 1 1 2 2 2 U U U = R I = 50 Ω 0,2 Α =10V I = = R R U = R I 100 Ω 0,2 Α 20V × × Þ × = × =
Από τις τρεις τελευταίες σχέσεις προκύπτει ότι για τη συνδεσμο -λογία σε σειρά, εφ' όσον το ρεύμα I που διαρρέει τις αντιστάσεις R$\_{1}$ και R$\_{2}$ είναι κοινό, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και τις ακόλουθες σχέσεις:
U U = R R U U = R R U U = R 1 2 1 2 1 1 2
Επομένως οι πτώσεις τάσης στις αντιστάσεις υπολογίζονται και με τον ακόλουθο τρόπο:

1 1 R 50 Ω U = U = 30V =10V R 150 Ω × ×
2 2 R 100 Ω U = U = 30V = 20V R 150 Ω × ×

Παράδειγμα 2
Οι τάσεις του κυκλώματος του σχήματος 3.7 είναι U$\_{1}$=10V και U$\_{2}$=20V. Υπολογίστε την τάση της πηγής.

Λύση:
E=U$\_{1}$+U$\_{2}$= 10V+20V=30V

Παράδειγμα 3. Σύνδεση σε σειρά των λαμπτήρων
Συνήθως, οι λαμπτήρες πυράκτωσης δεν συνδέονται σε σειρά, επει -δή, σε περίπτωση που ένας λαμπτήρας καίγεται λόγω τήξης του νή ματος, τότε διακόπτεται όλο το κύκλωμα. Όμως, σε περιπτώσεις όπου απαιτούνται λαμπτήρες χαμηλών ονομαστικών μεγεθών (τάση, ρεύ -μα, ισχύς, αντίσταση) όπως στα φωτιστικά των χριστουγεννιάτικων δένδρων, τότε εφαρμόζεται η σύνδεση σε σειρά των λαμπτήρων. Για προστασία έναντι διακοπής του κυκλώματος σε περίπτωση που ένας λαμπτήρας καεί, κάθε λαμπτήρας γεφυρώνεται με καλώδιο. Σε περί -πτωση βλάβης του λαμπτήρα το καλώδιο λειτουργεί σαν δίοδος για τη διέλευση του ρεύματος.

Παράδειγμα 4. Ρυθμιστική Αντίσταση
Πολλές ηλεκτρικές συσκευές μπορούν να συνδεθούν σε τάση υψη -λότερη από την ονομαστική τους με τη χρήση μιας αντίστασης, η οποία συνδέεται σε σειρά με τη συσκευή. Η αντίσταση αυτή ονομάζεται ρυθμιστική αντίσταση, φωτογραφία 3.1.
Φωτογραφία 3.1. Ρυθμιστική αντίσταση και ο συμβολισμός της.
Εφαρμογές όπου χρησιμοποιείται ρυθμιστική αντίσταση είναι οι διατάξεις εκκίνησης των ηλεκτρικών κινητήρων, οι λαμπτήρες, ημιαγώγιμες διατάξεις, κ.α. Στο Σχήμα 3.8 η ρυθμιστική αντίσταση συμβολίζεται με R$\_{2}$ και συνδέεται σε σειρά με ένα κινητήρα συνεχούς ρεύματος με εσωτερική ωμική αντίσταση R$\_{1}$.

Σχήμα 3.8. Ρυθμιστική αντίσταση συνδεδεμένη σε σειρά με κινητήρα
Σε άλλες περιπτώσεις, όταν οι συσκευές συνδέονται στην ονομαστι -κή τους τάση, η σύνδεση ρυθμιστικής αντίστασης προκαλεί μείωση του ρεύματος στο κύκλωμα.
Επειδή οι ρυθμιστικές αντιστάσεις καταναλώνουν ηλεκτρική ενέρ -γεια, την οποία μετατρέπουν σε θερμότητα, και μειώνουν τον βαθμό απόδοσης της διάταξης, χρησιμοποιούνται μόνο σε εφαρμογές χαμη -λών ρευμάτων.

Παράδειγμα 5
Ένας λαμπτήρας έχει ονομαστική τάση U$\_{1}$=12V και ονομαστικό ρεύμα 2Α. Για να συνδεθεί σε τάση U=220V χρειάζεται να συνδεθεί σε σειρά με μια ρυθμιστική αντίσταση. Υπολογίστε: α) το μέγεθος της ρυθμιστικής αντίστασης και β) την καταναλισκόμενη ηλεκτρική ισχύ από την ρυθμιστική αντίσταση και από τον λαμπτήρα.

Λύση:
α) Η διαφορά μεταξύ της τάσης του δικτύου και της ονομαστικής τά -σης του λαμπτήρα είναι η πτώση τάσης στη ρυθμιστική αντίσταση:
U$\_{2}$=U-U$\_{1}$=220V-12V=208V
2 2 U 208V R = = =104 Ω I 2A
β) P$\_{2}$=U$\_{2}$I=208V2A=416W
P$\_{l}$ =U$\_{1}$I=12V2A=24W

Παράδειγμα 6. Πτώση τάσης στις συνδεσμολογίες αντιστάσεων
Οι αγωγοί που διαρρέονται από ρεύμα έχουν ωμική αντίσταση, επο -μένως μπορούν να θεωρηθούν ως αντιστάσεις συνδεδεμένες σε σειρά με την αντίσταση του καταναλωτή. Η τάση της πηγής U μοιράζεται σε δυο ποσότητες: μια ποσότητα στους δυο αγωγούς (κλώνους) σύνδεσης ΔU και η δεύτερη ποσότητα U$\_{1}$ στον καταναλωτή, με συνέπεια μια μείωση της τάσης που εφαρμόζεται στον καταναλωτή.
Η διαφορά αυτή ΔU μεταξύ της τάσης της πηγής και της τάσης που εφαρμόζεται στους ακροδέκτες του καταναλωτή ονομάζεται πτώση τάσης στους αγωγούς, Σχήμα 3.9.

ΔU=U-U$\_{l}$=ΔU$\_{1}$+ΔU$\_{1}$=2ΔU$\_{1}$
ΔU=I(R+R)=2IR
όπου U είναι η τάση της πηγής, U$\_{1}$ είναι η τάση στον καταναλωτή και R είναι η αντίσταση κάθε αγωγού (κλώνου) σύνδεσης.
Η πτώση τάσης εκφράζεται και σε ποσοστό της τάσης της πηγής και ονομάζεται ποσοστιαία πτώση τάσης στους αγωγούς:
Δ U Δ u = 100% U ×
Σχήμα 3.9. Πτώση τάσης στους αγωγούς ως αντιστάσεις συνδεδεμένες σε σειρά
Παρατηρούμε ότι, όσο μεγαλύτερο είναι το ρεύμα ή η αντίσταση του αγωγού σύνδεσης, τόσο μεγαλύτερη είναι η πτώση τάσης στους αγω -γούς. Ως φυσικό φαινόμενο, η πτώση τάσης στους αγωγούς μαζί με το ρεύμα που τους διαρρέει προκαλεί θερμότητα και, ως συνέπεια, μείωση του βαθμού απόδοσης. Επομένως η πτώση τάσης στους αγωγούς είναι ανεπιθύμητο φαινόμενο και προσπαθούμε να την μειώσουμε.

Παράδειγμα 7
Ένας καταναλωτής συνδέεται σε δίκτυο τάσης 220 V μέσω δίκλω -νου χάλκινου αγωγού. Ο αγωγός έχει διατομή 2,5 mm 2 , μήκος 20 m και διαρρέεται από ρεύμα 20 Α. Υπολογίστε: α) την πτώση τάσης στον αγωγό, β) την ποσοστιαία πτώση τάσης.

Λύση:
α) Από τον Πίνακα 2 του Κεφαλαίου 1 διαβάζουμε την ειδική αγωγιμό -τητα του χαλκού. Στη συνέχεια υπολογίζουμε την ωμική αντίσταση του αγωγού σύνδεσης. Λαμβάνουμε υπ όψη ότι ο δίκλωνος αγωγός έχει διπλάσια αντίσταση από τον μονόκλωνο:
2 2 mm 20m 0,0175 Ω ρ m R = = = 0,143 Ω S 2,5mm × × ×  ×
Δ U = 2 I R = 2 20 A 0,143 Ω = 5,71V × × × ×
β) 5,71 Δ u = 100% = 2,6% 220 ×

3.6. ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΣΥΝΔΕΣΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ
Περισσότερες αντιστάσεις και πηγές είναι συνδεδεμένες παράλληλα ( ή "εν παραλλήλω") όταν όλοι οι ακροδέκτες εισόδου του ρεύματος σ' αυτές συνδέονται μεταξύ τους, και όλοι οι ακροδέκτες εξόδου του ρεύ -ματος από αυτές συνδέονται μεταξύ τους. Σχήμα 3.10.α. Όλες οι αντι στάσεις συνδεδεμένες παράλληλα τροφοδοτούνται με την ίδια τάση.
Σχήμα 3.10.α. Παράλληλη σύνδεση τριών αντιστάσεων
Σχήμα 3.10.β. Ισοδύναμη αντίσταση των τριών αντιστάσεων συνδεδεμένες παράλληλα
Όλες οι ηλεκτρικές οικιακές συσκευές, οι λαμπτήρες πυράκτωσης, οι ηλεκτρικοί κινητήρες, οι μετασχηματιστές κατασκευάζονται για τυ -ποποιημένη τάση 220V και συνδέονται παράλληλα στο δίκτυο.

Το ρεύμα που εισέρχεται σε ένα κύκλωμα αντιστάσεων συνδεδεμέ -νων παράλληλα ισούται με το άθροισμα των ρευμάτων σε όλους τους κλάδους, Σχήμα 3.10.α.
Ι= = 1 R$\_{K}$ å Ι$\_{Κ}$
Σε κάθε αντίσταση υπάρχει η ίδια πτώση τάσης.
U=R$\_{1}$I$\_{1}$=R$\_{2}$I$\_{2}$=R$\_{K}$I$\_{K}$
Η ισοδύναμη αγωγιμότητα του κυκλώματος, που αποτελείται από αντιστάσεις συνδεδεμένες παράλληλα, ισούται με το άθροισμα των αγωγιμοτήτων των αντιστάσεων.
G= 1 R = 1 R$\_{K}$ å G$\_{Κ}$
Από την ισοδύναμη αγωγιμότητα υπολογίζουμε την ισοδύναμη αντί -σταση R, Σχήμα 3. 10.β.

1 R = 1 R$\_{K}$ å
Οι ακροδέκτες στους οποίους το ρεύμα διακλαδίζεται ονομάζονται κόμβοι. Στον κάθε κόμβο ισχύει ο πρώτος νόμος του Κίρκωφ.
Η ισοδύναμη αντίσταση είναι μικρότερη από κάθε μία από τις αντι -στάσεις που συνδέονται παράλληλα. Για δύο αντιστάσεις συνδεδεμέ νες παράλληλα ισχύει:
1 R = 1 R + 1 R R= RR R + R 1 2 1 2 1 2 Þ
Η τελευταία σχέση για την ισοδύναμη αντίσταση R ισχύει μόνο για δύο αντιστάσεις συνδεδεμένες παράλληλα.
1 R + 1 R + 1 R RRR R + R + R 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ¹
Για n όμοιες αντιστάσεις ισχύει ότι:

R = R = ... =R 1 R = n R R= R n 1 2 n 1 1

Παράδειγμα 1
Στο σχήμα 3.10.α. οι αντιστάσεις είναι R$\_{l}$=10Ω, R$\_{2}$=5Ω, R$\_{3}$=4Ω. Υπολογίστε την ισοδύναμη αντίσταση R.

Λύση:
1 2 3 1 1 1 G = G +G +G = + + = 0,1+0,2 +0,25 = 0,55Siemens 10 5 4 1 R = =1,81 Ω G

Παράδειγμα 2
Για την συνδεσμολογία του σχήματος 3.10.α. δίνονται τα ρεύματα Ι$\_{1}$=6Α, Ι$\_{2}$=3Α, Ι$\_{3}$=1Α. Η τάση της πηγής είναι U=50V. Υπολογίστε: α) την ισοδύναμη αντίσταση R και β) τις αντιστάσεις R$\_{1}$, R$\_{2}$, R$\_{3}$.

Λύση:
α) Εφαρμόζουμε τον πρώτο νόμο του Κίρκωφ:
Ι=Ι$\_{1}$+Ι$\_{2}$+Ι$\_{3}$=10Α
Υπολογίζουμε την ισοδύναμη αντίσταση
U 50V R = = = 5 Ω I 10 Α
β) 1 1 U 50V R = = = 8,33 Ω I 6 Α
2 2 U 50V R = = =16,66 Ω I 3A
3 3 U 50V R = = = 50 Ω I 1A
Επαλήθευση:
( ) 1 1 1 G = + + = 0,12 + 0,06 + 0,2 Siemens 8,33 Ω 16,66 Ω 50 Ω 1 1 R = = = 5 Ω G 0,2 S

Παράδειγμα 3
Ένα φωτιστικό αποτελείται από τέσσερις όμοιους λαμπτήρες συν -δεδεμένους παράλληλα, Σχήμα 3.11. Το φωτιστικό συνδέεται σε πηγή τάσης 220V. Η ωμική αντίσταση του κάθε λαμπτήρα είναι 440Ω. Υπο -λογίστε: α) την ισοδύναμη αντίσταση των τεσσάρων λαμπτήρων, β) το ρεύμα που απορροφάει το φωτιστικό από την πηγή, γ) το ρεύμα στον κάθε λαμπτήρα.
Σχήμα 3.11. Τέσσερις λαμπτήρες συνδεδεμένοι παράλληλα

Λύση:
α) Εφ' όσον οι τέσσερις λαμπτήρες είναι όμοιοι, οι ωμικές αντιστάσεις είναι ίσες μεταξύ τους. Τότε ισχύει ότι:
R$\_{1}$=R$\_{2}$=R$\_{3}$=R$\_{4}$=440Ω
1 R 440 Ω R = = =110 Ω 4 4
β) Το συνολικό ρεύμα υπολογίζεται σύμφωνα με τον πρώτο νόμο του Ωμ:
U 220 V Ι = = = 2 Α R 110 Ω
γ) Για κάθε λαμπτήρα εφαρμόζουμε τον νόμο του Ωμ:
I$\_{1}$=Ι$\_{2}$=Ι$\_{3}$=Ι$\_{4}$
1 1 U 220 V Ι = = = 0,5 Α R 440 Ω
Επαλήθευση:
Εφαρμόζουμε τον πρώτο νόμο του Κίρκωφ:
I=I$\_{1}$+I$\_{2}$+I$\_{3}$+I$\_{4}$=0,5A+0,5A+0,5A+0,5A=2A

Παράδειγμα 4
- Ο φωτισμός μιας αίθουσας θεατρικών παραστάσεων αποτελείται από 80 όμοιους λαμπτήρες πυράκτωσης ονομαστικής ισχύος P$\_{1}$=100W, συνδεδεμένους παράλληλα σε τάση U=220V. Υπολογίστε: α) την ονο -μαστική αντίσταση των λαμπτήρων R$\_{1}$, β) την ισοδύναμη αντίσταση της εγκατάστασης R, γ) το ονομαστικό ρεύμα των λαμπτήρων I$\_{1}$, δ) το ρεύμα που απορροφάει από την πηγή ολόκληρη η εγκατάσταση φωτι -σμού I και ε) την συνολική απορροφούμενη ισχύ από το δίκτυο Ρ.

Λύση:
Εφ' όσον οι αντιστάσεις είναι ίσες μεταξύ τους και το πλήθος τους είναι n=80, τότε ισχύει ότι:
α) R$\_{1}$=U 2 /Ρ$\_{1}$=220 2 V 2 /100W=484Ω
β) R=R$\_{1}$/n=484Ω/80=6,05Ω
- γ) I$\_{1}$=P$\_{1}$/U=100W/220V=0.45A
- δ) Ι=nΙ$\_{1}$=800,45Α=36,36Α
ε) P=UI=nP$\_{1}$=80100W=8000W

Παράδειγμα 5
Ένα θερμαντικό σώμα 1,5 KW/220 V έχει 3 όμοιες θερμαντικές αντιστάσεις, οι οποίες επιλέγονται με διακόπτες, Σχήμα 3.12. Υπολο -γίστε για τις κλίμακες 1, 2 και 3: α) την ισοδύναμη αντίσταση, β) το συνολικό ρεύμα που απορροφάει και γ) την θερμική ισχύ που παράγει.
Σχήμα 3.12. Διάγραμμα θερμαντικού σώματος με τρεις θερμαντικές αντι -στάσεις οι οποίες επιλέγονται με διακόπτες

Λύση:
Α) Κλίμακα 1: Ο διακόπτης Δ$\_{1}$ είναι κλειστός, οι διακόπτες Δ$\_{2}$ και Δ$\_{3}$ είναι ανοικτοί.
Έχουμε συνδέσει μια μόνο αντίσταση, επομένως το θερμαντικό σώμα αποδίδει το 1/3 της ονομαστικής του ισχύος, δηλαδή η θερμική ισχύς είναι:
P=RI 2 =1500/3=500W
Η ισοδύναμη αντίσταση είναι:
2 2 1 U 220 V R = R = = = 96,8 Ω P 500 W
Το ρεύμα που απορροφάει είναι:
U 220V I = = = 2,27 Α R 96,8 Ω
Β) Κλίμακα 2: Οι διακόπτες Δ$\_{1}$ και Δ$\_{2}$ είναι κλειστοί, ο διακόπτης Δ$\_{3}$ είναι ανοικτός.

Οι δύο αντιστάσεις είναι συνδεδεμένες παράλληλα και το θερμαντι -κό σώμα αποδίδει τα 2/3 της ονομαστικής του ισχύος. Επομένως:
96,8 Ω R ' = = 48,4 Ω 2
220V Ι' = = 4,55 Α 48,4 Ω
2 2 Ρ' = R I = 48,4 4,55 =1000W × ×
Γ) Κλίμακα 3: οι διακόπτες Δ$\_{1}$, Δ$\_{2}$ και Δ$\_{3}$ είναι κλειστοί.
Οι τρεις αντιστάσεις είναι συνδεδεμένες παράλληλα και το θερμα -ντικό σώμα αποδίδει P"=1500W. Το συνολικό ρεύμα (το ονομαστικό) είναι:
Ρ'' 1500W I '' = = = 6,82A U 220V
Η ισοδύναμη αντίσταση είναι:
2 2 2 Ρ'' 1500W R '' = = = 32,27 Ω Ι 6,82 A

Επαληθεύουμε ότι:
1 1 R R = R = 3 32,27 Ω = 96,8 Ω 3 Þ ×
Συγκεντρωτικά, τα αποτελέσματα των υπολογισμών παρουσιάζο -νται στον ακόλουθο πίνακα.

| Τάση 220V   | Κλίμακα 1  Δ$\_{1}$ κλειστός   | Κλίμακα 2  Δ$\_{1}$ και Δ$\_{2}$κλειστοί   | Κλίμακα 3 Δ$\_{1}$, Δ$\_{2}$ και Δ$\_{3 }$ κλειστοί   |
|-------------|-------------------------------|------------------------------------------|----------------------------------------------------|
| R [Ω]       | 96,8                          | 48,4                                     | 32,27                                              |
| Ι [Α]       | 2,27                          | 4,55                                     | 6,82                                               |
| Ρ [W]       | 500                           | 1000                                     | 1500                                               |

Παράδειγμα 6
Ένα φωτιστικό αποτελείται από τέσσερις όμοιους λαμπτήρες συνδε -δεμένους παράλληλα, Σχήμα 3.13. Όταν συνδέονται μόνο οι δύο λα μπτήρες, η ισοδύναμη αντίσταση του φωτιστικού μειώνεται κατά 10 Ω. Υπολογίστε: α) την αντίσταση κάθε λαμπτήρα και β) την ισοδύναμη αντίσταση του συνδυασμού των λαμπτήρων ανά δύο, ανά τρεις και ανά τέσσερις.
Σχήμα 3.13. Διάγραμμα φωτιστικού με τέσσερις λαμπτήρες οι οποίοι επιλέγονται με διακόπτες

Λύση:
Η ισοδύναμη αντίσταση του φωτιστικού είναι:
R= R$\_{1}$ 4 για τέσσερις λαμπτήρες συνδεδεμένους παράλληλα
R= R$\_{1}$ 2 για δύο λαμπτήρες συνδεδεμένους παράλληλα
α) 1 1 1 1 R R R -10 Ω = =10 Ω R = 40 Ω 2 4 4 Þ Þ
β) Για δύο παράλληλους λαμπτήρες:
R=R$\_{1}$/2=20Ω
Για τρεις παράλληλους λαμπτήρες:
R=R$\_{1}$/3=40/3=13,33Ω
Για 4 παράλληλους λαμπτήρες:
R=R$\_{1}$/4=40/4=10Ω

3.7. ΣΥΝΘΕΤΗ ΣΥΝΔΕΣΗ
Ηλεκτρικό κύκλωμα, που περιλαμβάνει ηλεκτρικές αντιστάσεις και ηλεκτρικές πηγές συνδεδεμένες σε σειρά και παράλληλα, ονομάζεται κύκλωμα με σύνθετη σύνδεση ή μικτή σύνδεση.
Σε ένα μικτό κύκλωμα προσδιορίζουμε τα τμήματα σε σειρά και τους παράλληλους κλάδους. Στη συνέχεια εφαρμόζουμε όλους τους κανόνες της σύνδεσης σε σειρά και της παράλληλης σύνδεσης.
Οι πρακτικοί κανόνες υπολογισμού σύνθετης συνδεσμολογίας αντι -στάσεων είναι:
- 1. Σε μια συνδεσμολογία σε σειρά, όπου υπάρχει και μια συνδεσμο -λογία παράλληλη, Σχήμα 3.14, υπολογίζεται πρώτα η παράλληλη συνδεσμολογία για την εύρεση της ισοδύναμης αντίστασης και μετά συνθέτουμε τις αντιστάσεις σε σειρά.
- 2. Σε μια συνδεσμολογία παράλληλη, αν υπάρχει μια συνδεσμολογία σειράς, Σχήμα 3.15, υπολογίζεται πρώτα η συνδεσμολογία σειράς για την εύρεση της ισοδύναμης αντίστασης και μετά συνθέτουμε τις αντιστάσεις εν παραλλήλω.

Σχήμα 3.14. Μικτή σύνδεση αποτελούμενη από δύο παράλληλες αντιστάσεις R$\_{2}$ και R$\_{3}$, συνδεδεμένες σε σειρά με την αντίσταση R$\_{1}$
Σχήμα 3.15. Μικτή σύνδεση αποτελούμενη από κλάδο δύο αντιστάσεων σε σειρά R$\_{1}$ και R$\_{2}$ συνδεδεμένες παράλληλα με μια τρίτη αντίσταση R$\_{3}$
Τα δύο κυκλώματα που παρουσιάζονται στα Σχήματα 3.14. και 3.15 συναντώνται συχνά σε σύνθετα κυκλώματα όπως και σε πολλά βιβλία. Πολλά σύνθετα κυκλώματα αποτελούνται από συνδεσμολογίες όπως αυτές.

Παράδειγμα 1
Δίνεται η μικτή σύνδεση του Σχήματος 3.14 όπου: R$\_{1}$=100Ω, R$\_{2}$=1000Ω, R$\_{3}$=4000Ω. Υπολογίστε την ισοδύναμη αντίσταση R.

Λύση:
R=R + RR R + R 1 2 3 2 3
R=100Ω+1000Ω4000Ω/(1000Ω+4000Ω)=100Ω+800Ω=900Ω

Παράδειγμα 2
Δίνεται η μικτή σύνδεση του Σχήματος 3.15 όπου: R$\_{1}$=100Ω, R$\_{2}$=300Ω, R$\_{3}$=400Ω. Υπολογίστε την ισοδύναμη αντίσταση R.
Λύση: 1 R = 1 R + R + 1 R 1 2 3 1 R = 1 + 1 R 1 2 3
R= R + R R + R + R 1 1 ( R= R 1 2 3 1 2 3 ( )
R=(100Ω+300Ω)400Ω/(100Ω+300Ω+400Ω)=200Ω

Παράδειγμα 3
Δίνεται η μικτή σύνδεση του Σχήματος 3.16 όπου: R$\_{1}$=800Ω, R$\_{2}$=400Ω, R$\_{3}$=300Ω, R$\_{4}$=200Ω, R$\_{5}$=100Ω, R$\_{6}$=100Ω. Υπολογίστε την ισοδύναμη αντίσταση R.

R 2 3 )
Σχήμα 3.16. Μικτή σύνδεση έξι αντιστάσεων

Λύση:
Για την επίλυση του κυκλώματος προσδιορίζουμε πρώτα ποιες αντι -στάσεις αποτελούν συνδεσμολογίες όπως αυτές που αναφέρθηκαν στα Σχήματα 3.14 και 3.15. Μετά προχωράμε στην επίλυσή τους.
-  Οι αντιστάσεις R$\_{5}$ και R$\_{6}$ είναι συνδεδεμένες σε σειρά μεταξύ τους και παράλληλα με την αντίσταση R$\_{4}$
R$\_{56}$=R$\_{5}$+R$\_{6}$=100Ω+100Ω=200Ω
R$\_{456}$=(R$\_{4}$R$\_{56}$)/(R$\_{4}$+R$\_{56}$)=200200/(200+200)= 100Ω
-  Όλο το παραπάνω τμήμα του κυκλώματος (οι αντιστάσεις R$\_{4}$, R$\_{5}$, R$\_{6}$) ή το ισοδύναμό του που είναι η αντίσταση R$\_{456}$ είναι συνδεδεμέ -νο σε σειρά με την αντίσταση R$\_{3}$.

R$\_{3-6}$=R$\_{3}$+R$\_{456}$=300Ω+100Ω=400Ω
-  Το τμήμα αυτό (οι αντιστάσεις R$\_{3}$, R$\_{4}$, R$\_{5}$, R$\_{6}$) ή το ισοδύναμό του που είναι η αντίσταση R$\_{3-6 }$είναι συνδεδεμένο παράλληλα με την R$\_{2}$

R$\_{2-6}$=R$\_{2}$R$\_{3-6}$/(R$\_{2}$+R$\_{3-6}$)=400Ω400Ω/(400Ω+400Ω)=200Ω
-  Τέλος, η αντίσταση R$\_{1 }$είναι συνδεδεμένη σε σειρά με όλο το υπόλοι -πο κύκλωμα (οι αντιστάσεις R$\_{2}$, R$\_{3}$, R$\_{4}$, R$\_{5}$, R$\_{6}$) ή με το ισοδύναμό του που είναι η αντίσταση R$\_{2-6}$.
R=R$\_{1}$+R$\_{2-6}$=800Ω+200Ω= 1000Ω

Παράδειγμα 4
Δίνονται R$\_{1}$=10Ω, R$\_{2}$=20Ω, R$\_{3}$=40Ω, R$\_{4}$=10Ω, R$\_{5}$=40Ω, R$\_{6}$=15Ω, U=150V, σχήμα 3.17.α. Υπολογίστε: α) την ισοδύναμη αντίσταση της συνδεσμολογίας, β) το ρεύμα σε κάθε αντίσταση και τη πτώση τάσης στην κάθε αντίσταση.
Σχήμα 3.17.α. Μικτή σύνδεση έξι αντιστάσεων

Λύση:
Οι αντιστάσεις R$\_{2}$ με την R$\_{3}$ και οι αντιστάσεις R$\_{4}$ με την R$\_{5}$ είναι συνδεδεμένες παράλληλα καθώς οι ακροδέκτες Α-Α' και οι ακροδέκτες Β-Β' έχουν το ίδιο δυναμικό. Επομένως, το κύκλωμα του σχήματος 3.17.α. μπορεί να σχεδιασθεί όπως φαίνεται στο σχήμα 3.17.β.
Σχήμα 3.17.β. Πρώτο βήμα μετατροπής του κυκλώματος του σχήματος 3.17.α
Από το σχήμα 3.17.β φαίνεται ότι οι αντιστάσεις R$\_{2}$, R$\_{3}$, R$\_{4}$ και R$\_{5 }$ είναι συνδεδεμένες παράλληλα, σχήμα 3.17.γ.
Σχήμα 3.17.γ. Δεύτερο βήμα μετατροπής του κυκλώματος του σχήματος 3.17.α

Στη συνέχεια, οδηγούμαστε στο κύκλωμα του σχήματος 3.17.δ. και τέλος στο ισοδύναμο κύκλωμα του σχήματος 3.17.ε.
Σχήμα 3.17.δ. Τρίτο βήμα μετατρο -πής του κυκλώματος του σχήματος 3.17.α
Σχήμα 3.17.ε. Ισοδύναμο κύκλωμα της σύνδεσης έξι αντιστάσεων του Σχήματος 3.17.α
α) Η ισοδύναμη αντίσταση R$\_{2-5}$ των αντιστάσεων R$\_{2}$, R$\_{3}$, R$\_{4}$, R$\_{5}$ εν πα -ραλλήλω είναι:
2-5 2 3 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + + = + + + = R R R R R 20 Ω 40 Ω 10 Ω 40 Ω = 0,05S+ 0,025S+ 0,1S+ 0,025S = 0,2S (Siemens)
2-5 R = 5 Ω

Η συνολική ισοδύναμη αντίσταση του αρχικού κυκλώματος είναι:
R=R$\_{1}$+R$\_{2-5}$+R$\_{6}$=10Ω+5Ω+15Ω=30Ω
β) Από την ανάλυση του κυκλώματος του Σχήματος 3.17.ε παρατηρού -με ότι:
Ι$\_{1}$=Ι$\_{6}$
Τα ρεύματα I$\_{1}$ ή και Ι$\_{6}$ υπολογίζονται με την βοήθεια του νόμου του Ωμ:
1 6 U 150V Ι = Ι = = = 5 Α R 30 Ω
Η πτώση τάσης σε μια αντίσταση υπολογίζεται ως το γινόμενο του ρεύματος και της αντίστασης
U$\_{1}$=Ι$\_{1}$R$\_{1}$=5Ω10Α=50V
U$\_{6}$=Ι$\_{6}$R$\_{6}$=5Α15Ω=75V
Σύμφωνα με το Σχήμα 3.17.γ η τάση μεταξύ ακροδεκτών Α και Β, U$\_{AB}$, είναι η πτώση τάσης στις αντιστάσεις R$\_{2}$, R$\_{3}$, R$\_{4}$ και R$\_{5}$. Ο δεύτε -ρος νόμος του Κίρκωφ για τον βρόχο ΧΑΒΥ, Σχήμα 3.17.γ είναι:

U=U$\_{1}$+U$\_{AB}$+U$\_{6}$
U$\_{AB}$=U-U$\_{1}$-U$\_{6}$=150V-75V-50V=25V
Τα ρεύματα Ι$\_{2}$, I$\_{3}$, I$\_{4}$, I$\_{5}$ υπολογίζονται από τον νόμο του Ωμ :
AB 2 2 U 25V I = = =1,25 Α R 20 Ω
AB 3 3 U 25V I = = = 0,625 Α R 40 Ω
AB 4 4 U 25V I = = = 2,5 Α R 10 Ω
AB 5 5 U 25V I = = = 0,625 Α R 40 Ω

Επαλήθευση:
Εφαρμόζουμε τον πρώτο νόμο του Κίρκωφ:
Ι$\_{1}$=Ι$\_{2}$+Ι$\_{3}$+Ι$\_{4}$+Ι$\_{5}$=1,25Α+0,625Α+2,5Α+0,625Α=5Α

Παράδειγμα 5
Δίνεται το θερμαντικό σώμα του σχήματος 3.18 το οποίο συνδέεται σε πηγή τάσης U=100V. Ο διακόπτης Δ$\_{1}$ είναι ο γενικός διακόπτης σύν -δεσης και αποσύνδεσης στο δίκτυο. Όταν ο διακόπτης Δ$\_{2}$ είναι ανοι κτός, το θερμαντικό σώμα απορροφάει 10Α, ενώ όταν ο διακόπτης Δ$\_{2}$ είναι κλειστός, τότε η πτώση τάσης στην αντίσταση R=5Ω μειώνεται κατά 10V. Υπολογίστε τις αντιστάσεις R$\_{1}$ και R$\_{2}$ και το ρεύμα στην αντίσταση R με κλειστό το διακόπτη.
Σχήμα 3.18. Μικτή σύνδεση αντιστάσεων μέσω διακόπτη

Λύση:

Α. Διακόπτης Δ$\_{1}$, κλειστός και διακόπτης Δ$\_{2}$ ανοικτός:
Η άγνωστη αντίσταση R$\_{1}$ είναι συνδεδεμένη σε σειρά με την αντί -σταση R=5 Ω, και Ι$\_{1}$=Ι=10 Α
1 1 U 100 V R + R = = =10 Ω I 10 A
R$\_{1}$=10Ω-R=10Ω-5Ω=5Ω
U$\_{1}$=IR$\_{1}$=10A5Ω=50V
U$\_{2}$=U-U$\_{l}$=100V-50V=50V

Β. Διακόπτης Δ$\_{1}$ κλειστός και διακόπτης Δ$\_{2}$ κλειστός:
Η αντίσταση R=5Ω είναι συνδεδεμένη παράλληλα με την άγνωστη αντίσταση R$\_{2}$. Η τάση U$\_{2}$ μειώνεται κατά 10V, δηλαδή είναι:
U$\_{2}$=50V-10V=40V U$\_{1}$=U-U$\_{2}$=l00V-40V=60V
1 1 1 1 U 60V I = I = =12 Α R 5 Ω Þ
2 U 40V Ι = = = 8 Α R 5 Ω
Από τον πρώτο νόμο του Κίρκωφ στον κόμβο Α υπολογίζουμε το ρεύ -μα Ι$\_{2}$:
Ι $\_{1}$=Ι+Ι$\_{2}$ => Ι$\_{2}$ = 12Α-8Α=4Α
2 2 2 U 40V R = = =10 Ω I 4A

3.8. ΣΥΝΔΕΣΗ ΣΕ ΑΣΤΕΡΑ ΚΑΙ ΣΥΝΔΕΣΗ ΣΕ ΤΡΙΓΩΝΟ
Τρεις αντιστάσεις R$\_{1}$, R$\_{2}$ και R$\_{3}$ οι οποίες συνδέονται με το ένα άκρο σε ένα κοινό κόμβο Ο και το άλλο άκρο είναι διαθέσιμο για σύνδεση σε άλλη αντίσταση ή πηγή αποτελούν μια σύνδεση σε αστέρα, Σχήμα 3.19. Η σύνδεση αυτή ονομάζεται συχνά σύνδεση ''Υ''.
Για να σχηματιστεί μια συνδεσμολογία σε τρίγωνο, όταν έχουν δοθεί οι τρεις αντιστάσεις R$\_{12}$, R$\_{23}$ και R$\_{31}$, η αρχή κάθε αντίστασης συνδέεται στο τέλος της άλλης. Η σύνδεση αυτή ονομάζεται συχνά σύνδεση ''Δ'', Σχήμα 3.20.

Σχήμα 3.19. Σύνδεση τριών αντιστάσεων σε αστέρα
Σχήμα 3.20. Σύνδεση τριών αντιστάσεων σε τρίγωνο
Τόσο η σύνδεση σε αστέρα όσο και η σύνδεση σε τρίγωνο χρησιμο -ποιούνται συχνά στα δίκτυα τριφασικού εναλλασσομένου ρεύματος, στους τριφασικούς μετασχηματιστές και στις τριφασικές ηλεκτρικές μηχανές.

3.9. ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΟΥ ΑΣΤΕΡΑ ΣΕ ΤΡΙΓΩΝΟ ΚΑΙ ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΣΕ ΑΣΤΕΡΑ
Η σύνδεση σε αστέρα των αντιστάσεων R$\_{1}$, R$\_{2}$ και R$\_{3}$ του σχήματος 3.19 μετατρέπεται σε σύνδεση σε τρίγωνο με ισοδύναμες αντιστάσεις R$\_{12}$, R$\_{23}$ και R$\_{31}$, Σχήμα 3.20. Συχνά, η μετατροπή του αστέρα σε τρίγω -νο ονομάζεται μετατροπή ''Υ-Δ''.
Χρησιμοποιούνται οι ακόλουθες σχέσεις-μετατροπές:
R = RR +R R +RR R =R +R + RR R R = RR +R R +RR R =R +R 12 1 2 2 3 3 1 3 1 2 1 2 3 23 1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 31 1 2 2 3 3 1 2 3 1 3 1 2 + RR R R = RR +R R +RR R =R +R + RR R 2 3

Η μετατροπή του αστέρα σε τρίγωνο εκφράζεται και μέσω αγωγιμο -τήτων:
G = GG G +G +G 12 1 2 1 2 3
G = GG G +G +G 23 2 3 1 2 3
G = GG G +G +G 31 3 1 1 2 3
Η μετατροπή του τριγώνου αντιστάσεων R$\_{12}$, R$\_{23}$ και R$\_{31}$ (σχήμα 3.20) σε ισοδύναμο αστέρα με αντιστάσεις R$\_{1}$, R$\_{2}$ και R$\_{3}$, (Σχήμα 3.19), γίνεται σύμφωνα με τις ακόλουθες σχέσεις:
12 31 12 31 1 12 23 31 R R R R R = = R + R + R R × × å
12 23 12 23 2 12 23 31 R R R R R = = R + R + R R × × å
23 31 23 31 3 12 23 31 R R R R R = = R + R + R R × × å

12 23 31 Όπου R =R + R + R å
Η μετατροπή του τριγώνου σε αστέρα ονομάζεται και μετατροπή ''Δ-Υ''.

Παράδειγμα 1
Για τη συνδεσμολογία σε αστέρα του σχήματος 3.19 δίνονται οι αντιστάσεις: R$\_{1}$=50 Ω, R$\_{2}$=80 Ω, R$\_{3}$=100 Ω. Υπολογίστε τις ισοδύνα -μες αντιστάσεις, όταν μετατραπεί το κύκλωμα σε συνδεσμολογία τρι γώνου, σχήμα 3.20.

Λση:
1 2 12 1 2 3 R R 50 Ω 80 Ω R = R + R + = 50 Ω +80 Ω + = 170 Ω R 100 Ω ×
2 3 23 2 3 1 R R 80 Ω 100 Ω R = R + R + = 80 Ω +100 Ω + = 340 Ω R 50 Ω ×
1 3 31 1 3 2 R R 50 Ω 100 Ω R = R + R + = 50 Ω +100 Ω + = 212,5 Ω R 80 Ω ×

Παράδειγμα 2
Για τη συνδεσμολογία σε τρίγωνο του σχήματος 3.20, δίνονται οι αντιστάσεις: R$\_{12}$=40Ω, R$\_{23}$=120Ω, R$\_{13}$=160Ω. Υπολογίστε τις ισοδύνα -μες αντιστάσεις όταν το κύκλωμα μετατραπεί σε συνδεσμολογία αστέ ρα, σχήμα 3.19:
R = 40 Ω +120 Ω +160 Ω = 320 Ω å
12 13 12 13 1 12 23 13 R R R R 40 Ω 160 Ω R = = = = 20 Ω R + R + R R 320 Ω × × × å
23 12 2 R R 120 Ω 40 Ω R = = =15 Ω R 320 Ω × × å
13 23 3 R R 160 Ω 120 Ω R = = = 60 Ω R 320 Ω × × å

3.10. ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ
- 1. Στη συνδεσμολογία σε σειρά των στοιχείων ενός κυκλώματος υπάρ -χει μία διαδρομή ρεύματος, επομένως σε οποιοδήποτε σημείο υπάρ χει ένα και μοναδικό ρεύμα.
- 2. Το άθροισμα των επί μέρους πτώσεων τάσης σε ένα κύκλωμα σύν -δεσης αντιστάσεων σε σειρά, ισούται με την τάση που εφαρμόζεται από την πηγή στο κύκλωμα.
- 3. Η ισοδύναμη αντίσταση της σύνδεσης σε σειρά ισούται με το άθροι -σμα των επί μέρους ωμικών αντιστάσεων.
- 4. Στην παράλληλη σύνδεση των αντιστάσεων υπάρχουν περισσότε -ρες διαδρομές ρευμάτων, επομένως υπάρχουν περισσότερα ρεύμα τα.
- 5. Το άθροισμα των ρευμάτων σε όλους τους κλάδους συνδεδεμένους παράλληλα ισούται με το συνολικό ρεύμα.
- 6. Σε όλους τους κλάδους, συνδεδεμένους παράλληλα, εφαρμόζεται η ίδια τάση.
- 7. Η συνολική αγωγιμότητα των αντιστάσεων, που είναι συνδεδεμέ -νες παράλληλα, ισούται με το άθροισμα όλων των αγωγιμοτήτων των επί μέρους αντιστάσεων. Η συνολική αντίσταση είναι το αντί -στροφο της συνολικής αγωγιμότητας.
- 8. Το άθροισμα της ισχύος όλων των επιμέρους αντιστάσεων συνδε -δεμένων σε σειρά ή παράλληλα, ισούται με την συνολική ισχύ που τροφοδοτεί η πηγή στο κύκλωμα.
- 9. Το ρεύμα στον κάθε κλάδο ενός κυκλώματος με παράλληλη σύνδε -ση αντιστάσεων είναι ανάλογο της αγωγιμότητας του κλάδου και συνεπώς είναι αντιστρόφως ανάλογο της ωμικής αντίστασης.
- 10. Οι περισσότερες βιομηχανικές και οικιακές ηλεκτρικές συσκευές αποτελούν εφαρμογές της παράλληλης σύνδεσης.
- 11. Σε ένα μικτό κύκλωμα, προσδιορίζουμε τα τμήματα σε σειρά και τους παράλληλους κλάδους. Στη συνέχεια εφαρμόζουμε όλους τους κανόνες της σύνδεσης σε σειρά και της παράλληλης σύνδεσης αντιστάσεων.

3.11. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ
- 1. Τι σημαίνει εάν προκύψει αρνητικό ρεύμα κατά την εφαρμογή των νόμων του Κίρκωφ;
- 2. Ποια ρεύματα σε ένα κόμβο είναι αρνητικά και ποια είναι θετικά;
- 3. Πως προσδιορίζεται η πολικότητα των πηγών;
- 4. Σε ένα μικτό κύκλωμα, πώς προσδιορίζουμε ποια τμήματα είναι σε σειρά και ποια είναι οι παράλληλοι κλάδοι;
- 5. Υπολογίστε την ισοδύναμη αντίσταση δέκα αντιστάσεων των 10Ω που είναι συνδεδεμένες σε σειρά.
Απάντηση: 100Ω
- 6. Υπολογίστε την ισοδύναμη αντίσταση δέκα αντιστάσεων των 10Ω που είναι συνδεδεμένες παράλληλα.

Απάντηση: 1Ω
- 7. Υπολογίστε την ισοδύναμη αντίσταση πέντε αντιστάσεων των 10Ω, 15Ω, 3Ω, 7Ω και 20Ω που είναι συνδεδεμένες σε σειρά.
Απάντηση: 55Ω
- 8. Υπολογίστε την ισοδύναμη αντίσταση τριών αντιστάσεων των 10Ω, 20Ω και 25Ω που είναι συνδεδεμένες παράλληλα.
Απάντηση: 5,26Ω
Απάντηση: 5,26Ω
- 9. Υπολογίστε την ισοδύναμη αγωγιμότητα τριών αντιστάσεων των 5Ω, 2Ω και 4Ω που είναι συνδεδεμένες παράλληλα.
Απάντηση: 0,95S
- 10. Ένα φωτιστικό για Χριστουγεννιάτικο δέντρο αποτελείται από 20 λαμπτήρες των 9 W και 1.5 V συνδεδεμένους σε σειρά και τροφο -δοτείται από τάση 220 V. Υπολογίστε α) το ρεύμα στο φωτιστικό και β) την αντίσταση κάθε λαμπτήρα.

Απάντηση: α) 0,82Α, β) 13,5Ω.
Απάντηση: α) 0,82Α, β) 13,5Ω.
- 11. Δύο αντιστάσεις θέρμανσης των 60Ω και 40Ω συνδεδεμένες σε σειρά τροφοδοτούνται από τάση 220V. Υπολογίστε την πτώση τά -σης στην κάθε αντίσταση.
Απάντηση: 132V και 88V, αντίστοιχα.
- 12. Τρεις αντιστάσεις θέρμανσης των 100 Ω, 60 Ω και 40 Ω συνδεδε -μένες σε σειρά τροφοδοτούνται από τάση 220V. Υπολογίστε την πτώση τάσης στην κάθε αντίσταση.
Απάντηση: 110V, 66V και 44V, αντίστοιχα.
- 13. Υπολογίστε την ισοδύναμη αντίσταση τριών αντιστάσεων των 10 Ω, 15 Ω και 20 Ω συνδεδεμένων σε σειρά με άλλες τρεις αντιστά -σεις των 10 Ω, 15 Ω και 20 Ω συνδεδεμένες παράλληλα.

Απάντηση: 49,62Ω
- 14. Οι ίδιες αντιστάσεις της άσκησης 13 επανασυνδέονται έτσι ώστε οι όμοιες αντιστάσεις να συνδεθούν παράλληλα μεταξύ τους και οι τρεις παράλληλοι συνδυασμοί να συνδεθούν σε σειρά. Υπολογίστε την ισοδύναμη αντίσταση.
Απάντηση: 22,5Ω
- 15. Η ισοδύναμη αντίσταση τριών αντιστάσεων συνδεδεμένων σε σει -ρά είναι 250 Ω. Η μία αντίσταση είναι 50 Ω, η δεύτερη είναι 100 Ω. Υπολογίστε την τρίτη αντίσταση.
Απάντηση: 100Ω.
- 16. Προσδιορίστε τον αριθμό των κόμβων, των κλάδων και των βρό -χων στα κυκλώματα των σχημάτων 3.16 και 3.17.α.
- Απάντηση: Στο Σχήμα 3.16 υπάρχουν 4 κόμβοι, 6 κλάδοι και 3 βρόχοι. Στο Σχήμα 3.17.α υπάρχουν 6 κόμβοι, 7 κλάδοι και 4 βρό -χοι.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4

ΓΕΝΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΔΙΚΤΥΩΝ

4.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Μετά την παρακολούθηση και μελέτη του Κεφαλαίου 3 και ειδι -κότερα των κανόνων σύνδεσης σε σειρά, παράλληλα, σε αστέρα, σε τρίγωνο και σε μικτές συνδεσμολογίες, όπως και των δύο νόμων του Κίρκωφ και την εμβάθυνση σ' αυτά, το επόμενο στάδιο στην ανάλυση των ηλεκτρικών κυκλωμάτων είναι η επίλυση και η απλοποίησή τους.
Η επίλυση των ηλεκτρικών κυκλωμάτων περιλαμβάνει την χρησιμο -ποίηση των ''εργαλείων'' της ηλεκτρολογίας που είναι ο νόμος του Ωμ, οι δύο νόμοι του Κίρκωφ και οι κανόνες σύνδεσης των ηλεκτρικών κυ -κλωμάτων με σκοπό την εύρεση των εντάσεων του ρεύματος σε κάθε κλάδο ενός δεδομένου κυκλώματος.

Συνήθως, η συνδεσμολογία και οι αριθμητικές τιμές των πηγών και των αντιστάσεων είναι δεδομένες, ενώ τα άγνωστα στοιχεία είναι τα ρεύματα στους κλάδους του κυκλώματος.
Όταν το κύκλωμα έχει περίπλοκη συνδεσμολογία, με μεγάλο αριθμό βρόχων και πολλούς κόμβους, τότε ο αριθμός των άγνωστων ρευμάτων είναι μεγάλος. Στην περίπτωση αυτή η εύρεση όλων των ρευμάτων με τους νόμους του Κίρκωφ και του Ωμ μας οδηγεί σε αλγεβρικά συστή -ματα με μεγάλο αριθμό εξισώσεων και άγνωστων. Επομένως, απαι τούνται πολλές αλγεβρικές πράξεις για να βρεθούν τα αποτελέσματα.

Μια εναλλακτική λύση είναι η απλοποίηση του αρχικού κυκλώμα -τος με τη χρήση των κανόνων σύνδεσης των αντιστάσεων. Έτσι προ κύπτει ένα απλούστερο από το αρχικό ισοδύναμο κύκλωμα, το οποίο είναι πολύ πιο εύκολο να επιλυθεί.

4.2. ΕΠΙΛΥΣΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ
Οι εξισώσεις, που περιγράφουν τους νόμους του Κίρκωφ, και οι κανόνες σύνδεσης αντιστάσεων χρησιμοποιούνται για την επίλυση οποιουδήποτε κυκλώματος ή δικτύου.

Α. Για τμήμα κυκλώματος με αντιστάσεις και πηγές σε σειρά:
R$\_{ισ}$=R$\_{l}$+R$\_{2}$+...

Β. Για τμήμα κυκλώματος με αντιστάσεις σε παράλληλους κλάδους:
ισ 1 2 1 1 1 = + +... R R R

I=0 n å
Σχηματίζουμε ένα σύστημα εξισώσεων με τόσες άγνωστες όσα εί -ναι τα ρεύματα. Η επίλυση του δικτύου συνίσταται στον υπολογισμό των ρευμάτων σε όλους τους κλάδους. Οι εξισώσεις που θα γράψουμε πρέπει να είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Ο αριθμός των ανεξαρτήτων εξισώσεων, που μπορούμε να γράψουμε για οποιοδήποτε κύκλωμα, ισούται με τον αριθμό των άγνωστων ρευμάτων.
Για να μπορέσουμε να γράψουμε τις εξισώσεις του κυκλώματος πρέ -πει πρώτα να επιλέξουμε τη φορά των ρευμάτων στον κάθε κλάδο. Συνηθίζουμε να επιλέγουμε τη φορά των ρευμάτων έτσι ώστε να συ -μπίπτει με τη φορά της τάσης της πηγής (σε όποιο κλάδο υπάρχει). Εάν δεν επιλέξουμε σωστά τη φορά του ρεύματος, τότε θα προκύψει από τους υπολογισμούς ένα αρνητικό πρόσημο του ρεύματος. Στην περί -πτωση αυτή διορθώνουμε την φορά του ρεύματος στο σχήμα.

Παράδειγμα 1
Δύο μπαταρίες με τάσεις U$\_{1}$=9V και U$\_{2}$=9V συνδέονται σε σειρά με τις αντιστάσεις R$\_{1}$=1Ω και R$\_{2}$=1 Ω, αντίστοιχα, και παράλληλα μεταξύ τους και με την ωμική αντίσταση R$\_{3}$=10Ω, Σχήμα 4.1. Υπολογίστε: α) τα ρεύματα στον κάθε κλάδο, β) τη τάση στους ακροδέκτες Α και Β της αντίστασης R$\_{3}$, γ) την ισχύ που τροφοδοτεί κάθε μπαταρία στην αντί -σταση R$\_{3}$ και δ) την ισχύ που απορροφάει η αντίσταση R$\_{3}$.

Λύση:
α) Γράφουμε τον πρώτο νόμο του Κίρκωφ στον κόμβο Α και τον δεύτε -ρο νόμο του Κίρκωφ στους δυο βρόχους του ηλεκτρικού κυκλώματος του Σχήματος 4.1:
1 2 3 1 1 2 2 2 1 2 2 3 3 2 I + I - I = 0 R I - R I = U - U R I + R I + U = 0 ì ï í ï î
To σύστημα αυτό έχει τρεις εξισώσεις και τρεις άγνωστους που είναι τα ρεύματα Ι$\_{1}$, Ι$\_{2}$ και Ι$\_{3}$. Για την επίλυση του συστήματος χρησιμοποι -ούμε την αλγεβρική μέθοδο της αντικατάστασης των άγνωστων μετα βλητών Ι$\_{3}$ και Ι$\_{2}$.
Σχήμα 4.1. Ηλεκτρικό κύκλωμα με δύο παράλληλες πηγές τάσης και τρεις αντιστάσεις

Από την πρώτη εξίσωση του συστήματος βρίσκουμε ότι:
Ι$\_{3}$=I$\_{1}$+Ι$\_{2}$
Από την δεύτερη εξίσωση βρίσκουμε ότι:
 1 1 1 2 2 2 R I +U -U I = R
Τις σχέσεις αυτές για τα ρεύματα Ι$\_{2}$ και Ι$\_{3}$ τις αντικαθιστούμε στην τρίτη εξίσωση και προκύπτει ότι παραμένει μία μόνο άγνωστη, το ρεύ -μα Ι$\_{1}$.
R$\_{2}$I$\_{2}$+R$\_{3}$ (I$\_{1}$+I$\_{2}$)+U$\_{2}$=0
                1 1 2 1 1 1 2 1 2 3 1 2 2 2 R I -U +U R I -U +U R +R I + +U = 0 R R
Εκτελούμε τις πράξεις και στη συνέχεια το σύστημα λύνεται και υπολογίζονται τα ρεύματα:

I = R + R U -R U RR +R R + RR 1 2 3 1 3 2 1 2 2 3 3 1 ( )
I = R + R U -R U RR +R R + 2 1 3 2 3 1 1 2 2 3 ( ) R RR 3 1
I = RU+R U RR +R R + RR 3 2 1 1 2 1 2 2 3 3 1
Υπολογίζουμε τη σχέση:
R$\_{1}$R$\_{2}$+R$\_{2}$R$\_{3}$+R$\_{3}$R$\_{1}$=1Ω1Ω+1Ω10Ω+10Ω1Ω=21Ω 2
Επομένως
1 11 Ω 9V -10 Ω 9V 9V I = = = 0,43A 1 Ω 1 Ω +10 Ω 1 Ω +10 Ω 1 Ω 21 Ω Ω × × × × × ×
2 11 Ω 9V -10 Ω 9V I = = 0,43 Α 21 Ω Ω × × ×
3 1 Ω 9V +1 Ω 9V 18 I = = = 0,86 Α 21 Ω Ω 21 × × ×
β) U$\_{AB}$=R$\_{3}$Ι$\_{3}$=10Ω0,86A=8,6V
γ) P$\_{l}$=U$\_{AB}$I$\_{1}$=8,6V0,43A=3,7W

P $\_{2}$=U$\_{ΑΒ}$I$\_{2}$=8,6V0,43A=3,7W
δ) P$\_{3}$=U$\_{AB}$I$\_{3}$=R$\_{3}$I$\_{3}$ 2 =10Ω 0,86 2 A=7,4W
Η αντίστοιχη R$\_{3}$ απορροφάει από τις δύο μπαταρίες ίσες ποσότητες ηλεκτρικής ισχύος.

Παράδειγμα 2
Η ίδια συνδεσμολογία του σχήματος 4.1 με διαφορετικά δεδομένα για την δεύτερη μπαταρία οδηγεί σε διαφορετική λειτουργία του κυ -κλώματος. Υποθέτουμε ότι: U$\_{1}$=9V, U$\_{2}$=3V, R$\_{1}$=1Ω, R$\_{2}$=0,3Ω, R$\_{3}$=10Ω. Υπολογίστε: α) τα ρεύματα στον κάθε κλάδο, β) τη τάση στους ακρο -δέκτες Α και Β της αντίστασης R$\_{3}$, γ) την ισχύ που τροφοδοτεί κάθε μπαταρία στην αντίσταση R$\_{3}$, δ) την ηλεκτρική ισχύ που μετατρέπεται σε θερμική ισχύ στην αντίσταση R$\_{3}$.

Λύση:
Όταν οι δύο μπαταρίες δεν έχουν την ίδια ηλεκτρεγερτική δύναμη (τάση) και την ίδια εσωτερική αντίσταση, είναι δυνατόν να προκύψει αρνητική φορά του ρεύματος. Αν εξετάσουμε τις εξισώσεις των ρευ -μάτων I$\_{1}$ και Ι$\_{2}$ του προηγούμενου παραδείγματος, βρίσκουμε ότι, εξα σφαλίζουμε θετική φορά των ρευμάτων Ι$\_{1}$ και Ι$\_{2}$, δηλαδή Ι$\_{1}$>0 και Ι$\_{2}$>0, όταν:
3 2 3 1 2 R R + R U U >
3 2 1 1 3 R U > U R + R
Επομένως, οι δύο εντάσεις των ρευμάτων θα είναι θετικές όταν:
1 1 2 3 2 3 1 + U R < < 1+ R 1 R U R

Η επαλήθευση γίνεται για το κύκλωμα του Σχήματος 4.1 του Παρα -δείγματος 1:
9 1 1 9 10 1 1 1 10 < + + < ή 0,09 < 1 < 1,1
ενώ η επαλήθευση δεν ισχύει για τη διάταξη του Παραδείγματος 2, άρα το ένα ρεύμα θα προκύψει αρνητικό.
Σε περίπτωση που ένα ρεύμα προκύπτει αρνητικό, τότε προκύπτει αρνητική και η αντίστοιχη ηλεκτρική ισχύς:
( ) 1 0,3+10 9 -10 3 62,7 I = = = 4,71 A 1 0,3+ 0,3 10 +10 1 13,3 × × × × ×
( ) 2 1+10 3-10 9 57 I = = = -4,28 A 1 0,3+ 0,3 10 +10 1 13,3 × × -× × ×
3 0,3 9 +1 3 5,7 I = = = 0,43 A 13,3 13,3 × ×

Επαληθεύεται ο πρώτος νόμος του Κίρκωφ:
Ι$\_{3}$=I$\_{1}$+Ι$\_{2}$=0,429
β) U$\_{AB}$=I$\_{3}$R$\_{3}$=0,43A10Ω=4,3V
γ) P$\_{1}$=U$\_{AB}$I$\_{1}$=4,3V4,71A=20,22W
P $\_{2}$=U$\_{AB}$I$\_{2}$=4,3V(-4,28Α)=-18,38W
δ) P$\_{3}$=U$\_{AB}$I$\_{3}$=4,3V0,43A=1,84W
Η παραπάνω λειτουργία δεν είναι ευνοϊκή, επειδή η πρώτη μπαταρία τροφοδοτεί 20,22W από τα οποία το μεγαλύτερο μέρος (τα 18,38W) τα απορροφάει η δεύτερη μπαταρία, ενώ στον καταναλωτή που είναι η αντίσταση R$\_{3}$ φθάνουν τα 1,84 W. Τα μεγάλα ρεύματα I$\_{1}$ και Ι$\_{2}$ δη -μιουργούν επίσης μια δυσμενή κατάσταση. Οι δύο μπαταρίες καθώς διαρρέονται από υψηλά ρεύματα υπερθερμαίνονται, και μπορεί να κα -ταστραφούν.

Συμπεραίνουμε ότι:
Για να είναι δυνατόν να συνδεθούν παράλληλα και με ασφάλεια δύο ή και περισσότερες μπαταρίες, πρέπει να έχουν ίδια ηλεκτρεγερτική δύναμη και ίδια εσωτερική αντίσταση.

4.3. ΚΑΝΟΝΕΣ ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΟΛΥΠΛΟΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ
Όπως έχει ήδη προαναφερθεί στο Κεφάλαιο 3, παράγραφος 3.6, ένα κύκλωμα, που περιλαμβάνει αντιστάσεις συνδεδεμένες σε σειρά και παράλληλα με περισσοτέρους του ενός κλάδους, αποτελεί ένα σύνθετο ή μικτό κύκλωμα. Η σύνθετη συνδεσμολογία περιλαμβάνει συνδυα -σμούς σύνδεσης αντιστάσεων σε σειρά και παράλληλα, οι οποίοι, συ χνά, σχηματίζουν πολύπλοκα κυκλώματα.
Ένα σύνθετο κύκλωμα αναλύεται για να εντοπιστούν ποια στοιχεία του είναι συνδεδεμένα σε σειρά, ποια είναι παράλληλα, ποια είναι σε αστέρα και ποια είναι σε τρίγωνο. Στη συνέχεια, με τη βοήθεια των σχέσεων των κανόνων που παρουσιάσθηκαν στο Κεφάλαιο 3, η σύνθετη συνδεσμολογία μετατρέπεται σε ένα πιο απλό ισοδύναμο κύ -κλωμα, το οποίο περιλαμβάνει μόνο μία αντίσταση και μια πηγή.

Παράδειγμα 1
Δίνεται η συνδεσμολογία του Σχήματος 4.2.α όπου R$\_{1}$=10Ω, R$\_{2}$=20Ω, R$\_{3}$=5Ω, R$\_{4}$=25Ω. α) Απλοποιήστε το κύκλωμα, και β) Υπολογίστε την ισοδύναμη αντίσταση του κυκλώματος.

Λύση:
α) Στο σχήμα 4.2.α. παρατηρούμε ότι οι αντιστάσεις R$\_{1}$ και R$\_{2}$ είναι συνδεδεμένες σε σειρά. Το ίδιο ισχύει για τις R$\_{3}$ και R$\_{4}$. Εάν τις αντικαταστήσουμε με τις ισοδύναμες αντιστάσεις R$\_{12}$ και R$\_{34 }$ οδηγούμαστε στο κύκλωμα του σχήματος 4.2.β.
R$\_{12}$=R$\_{1}$+R$\_{2}$
R$\_{34}$=R$\_{3}$+R$\_{4}$
Σχήμα 4.2.β. Απλοποίηση του κυκλώματος του Σχήματος 4.2.α.
Σχήμα 4.2.α. Ηλεκτρικό κύκλωμα με δύο παράλληλους κλάδους. Στον πρώτο κλάδο οι αντιστάσεις R$\_{1}$ και R$\_{2}$ είναι σε σειρά, και στον δεύτερο κλάδο οι R$\_{3}$ και R$\_{4}$ είναι σε σειρά

Στο κύκλωμα του Σχήματος 4.2.β, οι αντιστάσεις R$\_{12}$ και R$\_{34}$ είναι συνδεδεμένες παράλληλα και είναι δυνατόν να τις αντικαταστήσουμε με την ισοδύναμη αντίσταση R$\_{ισ}$:
12 34 ισ 12 34 R R R = R + R ×
Έτσι έχουμε ολοκληρώσει την απλοποίηση του μικτού κυκλώματος, σχήμα 4.2.γ.
β) R$\_{12}$=R$\_{l}$+R$\_{2}$=10Ω+20Ω=30Ω
R $\_{34}$=R$\_{3}$+R$\_{4}$=5Ω+25Ω=30Ω
R $\_{ισ}$=30Ω30Ω/(30Ω+30Ω)=15Ω

Παράδειγμα 2
Δίνεται η συνδεσμολογία του Σχήματος 4.3.α όπου R$\_{1}$=5Ω, R$\_{2}$=15Ω, R$\_{3}$=20Ω, R$\_{4}$=30Ω. α) Απλοποιήστε το κύκλωμα, και β) υπολογίστε την ισοδύναμη αντίσταση του κυκλώματος.
Σχήμα 4.2.γ. Απλό ισοδύναμο κύκλωμα του σχήματος 4.2.α
Σχήμα 4.3.α. Ηλεκτρικό κύκλωμα με τρεις κλάδους: οι δύο κλάδοι R$\_{3}$ και R$\_{4 }$ είναι παράλληλοι μεταξύ τους και συνδέονται σε σειρά με τον κλάδο αντι -στάσεων R$\_{1}$ και R$\_{2}$

Λύση:
α) Η αντίσταση R$\_{1}$ είναι συνδεδεμένη σε σειρά με την R$\_{2}$ και η αντίστα -ση R$\_{3}$ είναι συνδεδεμένη παράλληλα με την αντίσταση R$\_{4}$. Επομένως μπορούμε να τις αντικαταστήσουμε με τις ισοδύναμες αντιστάσεις R$\_{12}$ και R$\_{34}$, αντίστοιχα, Σχήμα 4.3.β.
R$\_{12}$=R$\_{1}$+R$\_{2}$
R = R R R + R 4 4 34 3 3 ×
Σχήμα 4.3.β. Ισοδύναμο κύκλωμα του Σχήματος 4.3.α με δύο αντι -στάσεις
Στο σχήμα 4.3.β οι δύο αντιστάσεις R$\_{12}$ και R$\_{34}$ είναι συνδεδεμένες σε σειρά και μπορούν να αντικατασταθούν από την ισοδύναμη αντί -σταση R$\_{ισ}$, σχήμα 4.3.γ.

R$\_{ισ}$=R$\_{12}$+R$\_{34}$
β) R$\_{12}$=5Ω+15Ω=20Ω R $\_{34}$=20Ω30Ω/(20Ω+30Ω)=12Ω R $\_{ισ}$=20Ω+12Ω=32Ω

Παράδειγμα 3
Σε ένα σύνθετο κύκλωμα, όπως είναι αυτό του Σχήματος 4.4.α, εκτός από τις αντιστάσεις συνδεδεμένες σε σειρά και παράλληλα υπάρχουν οι αντιστάσεις R$\_{2Y}$ συνδεδεμένες σε αστέρα. Οι αριθμητικές τιμές των αντιστάσεων είναι: R$\_{1}$=10Ω, R$\_{3}$=110Ω, R$\_{2Υ}$=30Ω. α) Απλοποιήστε το κύκλωμα, και β) υπολογίστε την ισοδύναμη αντίσταση του κυκλώμα -τος.

Λύση:
α) Πρώτα μετατρέπουμε σε τρίγωνο τις τρεις αντιστάσεις R$\_{2Y}$ που είναι συνδεδεμένες σε αστέρα. Έτσι οδηγούμαστε στο κύκλωμα του σχήμα -τος 4.4.β.
Σχήμα 4.3.γ. Ισοδύναμο κύκλωμα του Σχήματος 4.3.α με μία αντί -σταση
2 2 2 2 2 2 2 2Y 2 R R R R R R R = 3R R U U U U U U D U × + × + × =
Σχήμα 4.4.α. Σύνθετο κύκλωμα
Σχήμα 4.4.β. Μετατροπή του αστέρα με αντιστάσεις R$\_{2Y}$ σε τρίγωνο με αντιστάσεις R$\_{2Δ}$
Στη συνέχεια, από το Σχήμα 4.4.β, παρατηρούμε ότι η μία αντίστα -ση R$\_{2Δ}$ είναι συνδεδεμένη παράλληλα με την R$\_{1}$ και η άλλη R$\_{2Δ}$ είναι παράλληλα με την R$\_{3}$. Επομένως, μπορούμε να τις αντικαταστήσουμε με τις ισοδύναμες αντιστάσεις R$\_{12Δ}$ και R$\_{32Δ}$ και έτσι οδηγούμαστε στο Σχήμα 4.4.γ.

Σχήμα 4.4.γ. Αντικατάσταση παράλληλων αντιστάσεων με τις ισοδύναμες τους R$\_{12Δ}$ και R$\_{32Δ}$
1 2 Δ 12 Δ 1 2 Δ R R R = R + R ×
3 2 Δ 32 Δ 3 2 Δ R R R = R + R ×
Στο σχήμα 4.4.γ, η αντίσταση R$\_{12Δ}$ είναι συνδεδεμένη σε σειρά με την αντίσταση R$\_{32Δ}$ και η ισοδύναμη τους είναι η αντίσταση R$\_{123Δ}$. Έτσι οδηγούμαστε στο κύκλωμα του σχήματος 4.4.δ.
R$\_{123Δ}$=R$\_{12Δ}$+R$\_{32Δ}$
Στο Σχήμα 4.4.δ η αντίσταση R$\_{2Δ}$ είναι συνδεδεμένη παράλληλα με την R$\_{123Δ}$. Τέλος, στο Σχήμα 4.4.ε, η ισοδύναμη αντίσταση του απλο -ποιημένου κυκλώματος R$\_{ισ}$ προκύπτει από την μετατροπή του παράλ ληλου συνδυασμού R$\_{2Δ}$||R$\_{123Δ}$.

Σχήμα 4.4.δ. Αντικατάσταση των αντιστάσεων σε σειρά (R$\_{12Δ}$ και R$\_{32Δ}$) με την ισοδύναμη R$\_{123Δ}$
Σχήμα 4.4.ε. Απλοποιημένο ισοδύναμο του κυκλώματος του Σχήματος 4.4.α.
2 ισ 2 Δ 123 Δ R R R = R + R Δ 123 Δ ×
( ) 1 2Δ 12 Δ 1 2Δ R × R R = = 10 Ω 90 Ω / 10 Ω + 90 Ω = 9 Ω R + R × β)
( ) 3 2 Δ 32 Δ 3 2Δ R R R = = 110 Ω 90 Ω / 110 Ω + 90 Ω = 49,5 Ω R + R ×
123 Δ 12 Δ 32 Δ R = R + R = 9 Ω + 49,5 Ω = 58,5 Ω
( ) 2 Δ 123 Δ ισ 2 Δ 123 Δ R × R R = = 90 Ω 58,5 Ω / 90 Ω + 58,5 Ω = 35,45 Ω R + R ×

4.4. ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ
- 1. Η επίλυση των ηλεκτρικών κυκλωμάτων απαιτεί εύρεση των εντά -σεων του ρεύματος σε κάθε κλάδο ενός κυκλώματος με την βοήθεια των ''εργαλείων'' της ηλεκτρολογίας, που είναι: ο νόμος του Ωμ, οι δύο νόμοι του Κίρκωφ και οι κανόνες σύνδεσης των ηλεκτρικών κυκλωμάτων.
- 2. Η συνδεσμολογία και οι αριθμητικές τιμές των πηγών και των αντι -στάσεων είναι δεδομένες και τα άγνωστα στοιχεία είναι τα ρεύματα στους κλάδους του κυκλώματος.
- 3. Μπορεί να συμβεί το αντίθετο, να είναι γνωστά τα ρεύματα και οι πηγές τάσης και να είναι άγνωστες οι τιμές των αντιστάσεων. Τότε, ως επίλυση του κυκλώματος εννοούμε την εύρεση των αντιστάσε -ων.
- 4. Γενικότερα, η επίλυση περιλαμβάνει την εύρεση κάθε άγνωστου στοιχείου σε ένα ηλεκτρικό κύκλωμα.
- 5. Η απλοποίηση του αρχικού κυκλώματος με τη χρήση των κανόνων σύνδεσης των αντιστάσεων είναι μια εναλλακτική λύση για την επί -λυση του κυκλώματος
- 6. Με την απλοποίηση του κυκλώματος προκύπτει ένα ισοδύναμο κύ -κλωμα, το οποίο είναι πολύ πιο εύκολο να επιλυθεί.

4.5. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ
- 1. Απλοποιήστε το κύκλωμα του Σχήματος 4.5. Για R=1Ω και U=10V υπολογίστε: α) την ισοδύναμη αντίσταση μεταξύ ακροδεκτών Α και Β και β) το ρεύμα I.
Απάντηση: 0,625Ω, 16Α.

3. Απλοποιήστε το κύκλωμα του Σχήματος 4.7.
Σχήμα 4.7.α. Σύνθετο κύκλωμα
Απάντηση: Είναι το κύκλωμα του Σχήματος 4.7.β
Σχήμα 4.7.β. Το ισοδύναμο κύκλωμα του σύνθετου κυκλώματος του Σχήματος 4.7.α.
- 4. Επιλύστε το κύκλωμα του σχήματος 4.8 για R=1Ω, U=15V και υπο -λογίστε: α) την ισοδύναμη αντίσταση μεταξύ ακροδεκτών Α και Β και β) το ρεύμα I.
Σχήμα 4.8. Σύνθετο κύκλωμα
Απάντηση: 1,5Ω, 10Α
- 5. Απλοποιήστε το κύκλωμα του Σχήματος 4.9. Για R=10Ω και U=100V υπολογίστε: α) την ισοδύναμη αντίσταση μεταξύ ακροδεκτών Α και Β και β) το ρεύμα I στο απλοποιημένο κύκλωμα.

Σχήμα 4.9. Σύνθετο κύκλωμα
Απάντηση: 10Ω, 10Α

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5

ΕΙΔΙΚΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

5.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Έχοντας γνωρίσει τους κανόνες σύνδεσης των αντιστάσεων και τους νόμους των ηλεκτρικών κυκλωμάτων μπορούμε να παρακολουθήσου -με μερικές ιδιαίτερα χρήσιμες εφαρμογές.
Συχνά, χρειαζόμαστε την παροχή διαφόρων επιπέδων τάσης από μια δεδομένη πηγή σταθερής τάσης. Η συσκευή που μας παρέχει αυτή τη δυνατότητα ονομάζεται διαιρέτης τάσης, ή κατανεμητής τάσης, ή καταμεριστής τάσης. Η αρχή λειτουργίας του είναι η σύνδεση των ωμικών αντιστάσεων και η δημιουργία διαφόρων πτώσεων τάσης στις αντιστάσεις. Η συσκευή λειτουργεί και ως τροφοδοτικό τάσης.

Κατά τον ίδιο τρόπο από ένα σταθερό ρεύμα ή πηγή ρεύματος μπο -ρούμε να πάρουμε διάφορα χαμηλότερα επίπεδα έντασης ρεύματος με την βοήθεια του διαιρέτη ρεύματος ή κατανεμητή ρεύματος. Η αρχή λειτουργίας του είναι η παράλληλη σύνδεση των αντιστάσεων και η δημιουργία κατ' αυτόν τον τρόπο διαφόρων εντάσεων ρεύματος στις αντιστάσεις.
Μια εφαρμογή του διαιρέτη τάσης είναι η γέφυρα αντιστάσεων ή η γέφυρα Wheatstone, πολύ διαδεδομένη για την μέτρηση με ακρί -βεια των ωμικών αντιστάσεων, των πυκνωτών και των πηνίων. Άλλη εφαρμογή του διαιρέτη τάσης είναι η γέφυρα Murray, με την οποία μπορούμε να ανιχνεύσουμε το σημείο σφάλματος σε καλώδιο, και έχει ιδιαίτερη χρησιμότητα για τα υπόγεια καλώδια μεγάλου μήκους, όπου δεν γνωρίζουμε το σημείο της βλάβης.

5.2. ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΔΙΑΙΡΕΤΩΝ ΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΡΕΥΜΑΤΟΣ

5.2.1. Διαιρέτης τάσης
Όταν σε ένα κύκλωμα ή σε ένα καταναλωτή χρειάζεται τάση χαμη -λότερη της τάσης της πηγής, χρησιμοποιείται ο διαιρέτης τάσης ή ο κατανεμητής τάσης. Η διάταξη αυτή χρησιμοποιείται για την παροχή διαφορετικών τιμών τάσης από μια δεδομένη πηγή.
Σχήμα 5.1. Γενική διάταξη του διαιρέτη τάσης
Συνήθως ο διαιρέτης τάσης είναι μια αντίσταση που έχει δύο σταθε -ρούς ακροδέκτες Α και Β και ένα κινητό ακροδέκτη Γ που ονομάζεται δρομέας, Σχήμα 5.1. Η διάταξη αυτή, όπως γνωρίσαμε στο Κεφάλαιο 1, ονομάζεται ποτενσιόμετρο ή ρυθμιστική αντίσταση. Αν συνδέσουμε ένα βολτόμετρο μεταξύ ακροδεκτών Α και Γ, θα δείξει U$\_{1}$ βολτ, ενώ, αν συνδέσουμε το βολτόμετρο μεταξύ ακροδεκτών Β και Γ, θα δείξει U$\_{2}$ βολτ. Η τάση U$\_{1}$ στους ακροδέκτες Α και Γ υπολογίζεται:

1 1 1 1 2 1 2 R R U = U = U R + R R όπου R = R + R × ×
Ο καταναλωτής (το φορτίο) συνδέεται μεταξύ ακροδεκτών Α και Γ ή Β και Γ. Η τάση στον καταναλωτή μπορεί να ρυθμιστεί από μηδέν μέχρι την ολική της πηγής με τη μετακίνηση του δρομέα, που συνδέεται στον ακροδέκτη Γ.
U = R R + R U= R R U 2 2 1 2 2 × ×

5.2.2. Διαιρέτης τάσης σε κενή λειτουργία (χωρίς φορτίο)
Στους ακροδέκτες Β και Γ του διαιρέτη τάσης δεν έχει συνδεθεί κα -ταναλωτής (φορτίο), επομένως δεν υπάρχει απορρόφηση ρεύματος, Σχήμα 5.2. Η λειτουργία χωρίς φορτίο του διαιρέτη τάσης ονομάζε -ται λειτουργία κενού φορτίου.
U = R R + R U 2 2 1 2 ×
Η τάση κενής λειτουργίας είναι ανάλογη του λόγου της αντίστασης R$\_{2}$ και της ολικής αντίστασης (R$\_{1}$+R$\_{2}$) και της ολικής τάσης U.
Σχήμα 5.2. Διαιρέτης τάσης χωρίς φορτίο

5.2.3. Διαιρέτης τάσης σε λειτουργία με φορτίο
Όταν στους ακροδέκτες Β και Γ του διαιρέτη τάσης συνδεθεί ένας καταναλωτής (φορτίο), ο οποίος απορροφάει ρεύμα, τότε έχουμε τη λειτουργία με φορτίο του διαιρέτη τάσης, Σχήμα 5.3.
Η παράλληλη σύνδεση των αντιστάσεων R$\_{L}$ και R$\_{2}$ μειώνει την ισοδύναμη αντίσταση του διαιρέτη τάσης σε λειτουργία με φορτίο συγκριτικά με την ισοδύναμη αντίσταση της ίδιας διάταξης στην λει -τουργία κενού φορτίου. Κατά συνέπεια, το ρεύμα που απορροφάει το φορτίο από την πηγή αυξάνεται.

Σχήμα 5.3. Διαιρέτης τάσης σε λειτουργία με φορτίο
U = R R + R U L 2L 1 2L ×
όπου :R = R R R + R 2L 2 L 2 L ×
Η τάση U$\_{L}$ είναι χαμηλότερη από την αντίστοιχη τάση U$\_{2}$ στην περί -πτωση κενού φορτίου.

Παράδειγμα 1
Ο διαιρέτης τάσης του Σχήματος 5.3. έχει R$\_{1}$=10Ω, R$\_{2}$=5 Ω, U=30V. Υπολογίστε την τάση σε κενή λειτουργία, (μεταξύ του δρομέα - κόμ -βος Γ - και του κόμβου Β).

Λύση:
U = R R + R U= 5Ω 5Ω + 10Ω 30V =10V 2 2 1 2 × ×

Παράδειγμα 2
Ο διαιρέτης τάσης του Σχήματος 5.3 έχει R$\_{1}$=10Ω, R$\_{2}$=5Ω, U=30V και τροφοδοτεί φορτίο R$\_{L}$=5Ω. Υπολογίστε την τάση στο φορτίο R$\_{L}$.

Λύση:
2 L 2L 2 L R R 5 Ω 5 Ω R = = 2,5 Ω R + R 10 Ω × × =
2L L 1 2L R 2,5 Ω U = U = 30V = 6V R + R 2,5 Ω +10 Ω × ×

Παράδειγμα 3
Ο διαιρέτης τάσης του Σχήματος 5.4 έχει R$\_{1}$=60 Ω, R$\_{2}$=40 Ω, R$\_{3}$=80 Ω και U=300 V. Υπολογίστε την τάση εξόδου μεταξύ των ακροδεκτών: α) Α-Β, β) Β-Γ, γ) Γ-Δ, δ) Α-Γ, ε) Β-Δ και στ) Α-Δ, σε βολτ και σε πο -σοστό της τάσης τροφοδοσίας U.
Σχήμα 5.4. Διαιρέτης τάσης με δυνατότητα παροχής έξι επιπέδων τάσης

Λύση:
1 AB 1 2 3 R 60 Ω α ) U = U = 300V =100 V, ή 33% R + R + R 180 Ω × ×
2 BΓ 1 2 3 R 40 Ω β ) U = U = 300V 66,7V ή 22,2% R + R + R 180 Ω × × =
3 ΓΔ 1 2 3 R 80 Ω γ ) U = U = 300V =133,3V ή 44,4% R + R + R 180 Ω × ×
1 2 ΑΓ 1 2 3 R R 100 Ω δ ) U = U = 300V =166,7V ή 55,5% R + R + R 180 Ω + × ×
2 3 ΒΔ 1 2 3 R R 120 Ω ε ) U = U = 300V = 200V ή 66,7% R + R + R 180 Ω + × ×
1 2 3 ΑΔ 1 2 3 R R R 180 Ω στ ) U = U = 300V = 300V ή 100% R + R + R 180 Ω + + × ×
Το παράδειγμα αυτό μας δείχνει πως μπορούμε να παράγουμε τάσεις διαφορετικών τιμών, όταν έχουμε μία πηγή με σταθερή τάση.

Παράδειγμα 4
Το ποτενσιόμετρο του διαιρέτη τάσης του σχήματος 5.2 έχει 300 σπείρες, και συνδέεται σε τάση 30V. Υπολογίστε σε ποιο αριθμό σπεί -ρων πρέπει να βρίσκεται ο δρομέας, ώστε η τάση εξόδου να είναι 10V.

Λύση:
Υπολογίζουμε πρώτα την τάση που αναλογεί σε μία σπείρα.
300 σπείρες .......................... 30V 1 σπείρα.................................. X
30V Χ = = 0,1V / σπείρα 300
Στη συνέχεια υπολογίζουμε τον αριθμό των σπειρών.
1 σπείρα..........................0,1V/σπείρα Ν........................................... 10V
10V Ν = 100 σπείρες 0,1V / σπείρα =

5.2.4. Διαιρέτης ρεύματος
Όταν σε ένα κύκλωμα χρειάζεται να μεταβάλλουμε το ρεύμα, τότε χρησιμοποιούμε τον διαιρέτη ρεύματος ή κατανεμητή ρεύματος.
Η συσκευή που λειτουργεί ως διαιρέτης ρεύματος είναι ο ροοστά -της. Ως γνωστό, ο ροοστάτης είναι παρόμοιος με το ποτενσιόμετρο με την μόνη διαφορά ότι το κάτω άκρο Β είναι ελεύθερο, Σχήμα 5.5. Ο ροοστάτης έχει δύο σταθερούς ακροδέκτες Α και Β και ένα κινητό ακροδέκτη Δ (δρομέα). Η μετακίνηση του δρομέα Δ αλλάζει την αντί -σταση, που είναι συνδεδεμένη στο κύκλωμα, με συνέπεια να αλλάζει το ρεύμα.

Σχήμα 5.5. Διαιρέτης ρεύματος
Το σημείο επαφής Γ του δρομέα με την αντίσταση R προσδιορίζει δυο τμήματα αντιστάσεων, την R$\_{1}$ και την R$\_{2}$.
R=R$\_{1}$+R$\_{2}$
-  Ο δρομέας στη θέση Α σημαίνει βραχυκύκλωμα της αντίστασης R
-  Όταν ο δρομέας είναι στη θέση Γ ισχύει ότι:
1 1 U Ι = R
-  Όταν ο δρομέας είναι στη θέση Β ισχύει ότι:
0 1 2 1 1 2 0 1 1 1 2 1 0 0 1 1 U U Ι = = R + R R I R + R R = = I R R R + R R I = I = I R R × ×
Η μεταβολή του ρεύματος I$\_{1}$ είναι αντιστρόφως ανάλογη με το μέγε -θος της αντίστασης R$\_{1}$ που παρεμβάλλεται στο κύκλωμα.

Άλλη παραλλαγή του διαιρέτη ρεύματος είναι η χρήση δύο αντιστά -σεων R$\_{1}$ και R$\_{2}$ συνδεδεμένων παράλληλα. Το συνολικό ρεύμα I που εισέρχεται στο κύκλωμα διαμοιράζεται μεταξύ των δύο αντιστάσεων σε I$\_{1}$ και Ι$\_{2}$, Σχήμα 5.6.
Σχήμα 5.6. Διαιρέτης ρεύματος με δύο παράλληλες αντιστάσεις
Η γενική σχέση είναι:
I = R I x R$\_{x}$
όπου, I$\_{x }$είναι το κατανεμημένο ρεύμα που πρέπει να υπολογίσουμε, R$\_{x }$ η ωμική αντίσταση του κλάδου που διαρρέεται από το ρεύμα Ι$\_{x}$ και R η συνολική ωμική αντίσταση του κυκλώματος του διαιρέτη ρεύματος.

Παρατηρούμε ότι, όσο μικρότερη είναι η τιμή μίας αντίστασης, τόσο μεγαλύτερο είναι το διερχόμενο ρεύμα.
Το διερχόμενο από κάθε αντίσταση ρεύμα είναι αντιστρόφως ανάλογο με την τιμή της αντίστασης.
I = R R+R I 1 2 1 2 × και I = R R+R I 2 1 1 2 ×

Παράδειγμα 1
Δύο αντιστάσεις R$\_{1}$=20Ω και R$\_{2}$=80Ω συνδέονται παράλληλα σε πηγή τάσης U=100V και σχηματίζουν ένα διαιρέτη ρεύματος, Σχήμα 5.6. Υπολογίστε τα ρεύματα Ι$\_{1}$ και Ι$\_{2}$ στους κλάδους του διαιρέτη ρεύ -ματος.

Λύση:
Η επίλυση του κυκλώματος μπορεί να γίνει με δύο τρόπους, οι οποί -οι δίνονται στη συνέχεια:
- α) με τη χρήση των νόμων του Ωμ και του Κίρκωφ
- β) με τον κανόνα του διαιρέτη ρεύματος
- α) Το συνολικό ρεύμα I είναι το άθροισμα των δύο ρευμάτων Ι$\_{1}$ και Ι$\_{2 }$ (1ος νόμος του Κίρκωφ):
Ι=Ι$\_{1}$+Ι$\_{2}$
Το ρεύμα στην κάθε αντίσταση υπολογίζεται με το νόμο του Ωμ:
Ι$\_{1}$=U/R$\_{1}$=100V/20Ω=5Α
I$\_{2}$=U/R$\_{2}$=100V/80Ω=1,25Α
Επαλήθευση: Σύμφωνα με τον ΝΡΚ: Ι=I$\_{1}$+Ι$\_{2}$ I=U/R$\_{1}$+U/R$\_{2}$

Ι=100V/20Ω+100V/80Ω=5Α+1,25Α=6,25Α
- β) Υπολογίζουμε το ρεύμα I$\_{1}$ στην αντίσταση R$\_{1}$ όπως σε ένα διαιρέτη ρεύματος:
I$\_{1}$=R$\_{2}$I/(R$\_{1}$+R$\_{2}$)
Το ρεύμα I υπολογίζεται με το νόμο του Ωμ. Οι δύο αντιστάσεις R$\_{1}$ και R$\_{2}$ είναι συνδεδεμένες παράλληλα:
R=R$\_{1}$R$\_{2}$/(R$\_{1}$+R$\_{2}$)=20Ω80Ω/(20Ω+80Ω)=l6Ω
I=U/R= 100V/16Ω=6,25A
I$\_{1}$=80Ω6,25Α/(20Ω+80Ω)=5Α
Ι$\_{2}$= 20Ω6,25Α/(20Ω+80Ω)=1,25Α
- Ο λόγος του ρεύματος I$\_{1 }$προς το συνολικό ρεύμα I είναι:
Ι$\_{1}$/Ι=5Α/6,25Α=0.8
- Ο λόγος των ρευμάτων I$\_{1}$ και Ι$\_{2}$ ισούται με τον λόγο της αντίστασης R$\_{2}$ προς το άθροισμα των αντιστάσεων R$\_{1}$+R$\_{2}$:

R$\_{2}$/(R$\_{1}$+R$\_{2}$)=80Ω/(20Ω+80Ω)=0,8

5.3. ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΓΕΦΥΡΑΣ

5.3.1. Γέφυρα Wheatstone
Ένα κύκλωμα, όπως αυτό του Σχήματος 5.7., αποτελεί κύκλωμα γέφυρας. Η διάταξη αυτή χρησιμοποιείται για την ακριβή μέτρηση των αντιστάσεων και ονομάζεται γέφυρα Wheatstone.
Οι δυο αντιστάσεις R$\_{1}$ και R$\_{2}$ αποτελούν ένα διαιρέτη της τάσης U, ομοίως οι αντιστάσεις R$\_{3}$ και R$\_{4}$, αποτελούν ένα δεύτερο διαιρέτη της τάσης U.
Όταν ο διαιρέτης τάσης R$\_{1}$-R$\_{2}$ διαιρεί την τάση της πηγής με την ίδια αναλογία όπως ο διαιρέτης τάσης R$\_{3}$-R$\_{4}$, τότε μεταξύ των σημείων Β και Δ η διαφορά δυναμικού ή η τάση είναι μηδενική. Τότε έχουμε πετύ -χει το σημείο μηδενισμού της γέφυρας.

Σχήμα 5.7. Γέφυρα Wheatstone
Η αντίσταση R σε σειρά με το βολτόμετρο χρησιμοποιείται για την αύξηση ή την μείωση της ευαισθησίας του κυκλώματος.
Το βολτόμετρο συνδέεται μεταξύ των ακροδεκτών Β και Δ για να προσδιορίσουμε το σημείο μηδενισμού της τάσης (της διαφοράς δυ -ναμικού μεταξύ των δύο αυτών σημείων). Το κύκλωμα γέφυρας είναι σε ισορροπία, όταν η διαγώνιος ΒΔ δεν διαρρέεται από ρεύμα. Τότε ο λόγος των αντιστάσεων στους δύο διαιρέτες τάσης είναι ίδιος.

Προσοχή:
Η συνθήκη αντιστάθμισης μιας γέφυρας ικανοποιείται, όταν από τη διαγώνια αντίσταση της γέφυρας δεν περνάει ρεύμα. Τότε θεωρούμε ότι δεν υπάρχει ο αγωγός Β-Δ και, ως αποτέλεσμα, το κύκλωμα απο -τελείται από δύο παράλληλους κλάδους: στον πρώτο κλάδο Α-Β-Γ οι αντιστάσεις είναι η R$\_{1}$ σε σειρά με την R$\_{2}$ και στον δεύτερο κλάδο Α-Δ-Γ η R$\_{3}$ είναι σε σειρά με την R$\_{4}$.
Οι γέφυρες χρησιμοποιούνται για μετρήσεις αντιστάσεων, όταν γνω -ρίζουμε τα τρία στοιχεία και ζητάμε να προσδιορίσουμε το τέταρτο (άγνωστο) στοιχείο. Γενικότερα χρησιμοποιούνται για μετρήσεις άλ -λων άγνωστων στοιχείων των κυκλωμάτων, όπως πυκνωτές και πηνία.

Ο γενικός κανόνας ισορροπίας μίας γέφυρας είναι:
α) εξισώνουμε τον λόγο των αντιστάσεων από δύο γειτονικούς κλάδους
R R = R R 1 2 3 4 και
β) εξισώνουμε τον λόγο των τάσεων από δύο γειτονικούς κλάδους
U U = U U 1 2 3 4
Ένας άλλος απλός τρόπος για να θυμόμαστε την εξίσωση ισορροπίας της γέφυρας είναι:
- α) εξισώνουμε το γινόμενο των δύο αντιστάσεων από τους αντίθετους κλάδους
R $\_{1}$R$\_{4}$ =R$\_{2}$R$\_{3}$
- β) εξισώνουμε το γινόμενο των δύο τάσεων από τους αντίθετους κλά -δους
U$\_{1}$U$\_{4}$=U$\_{2}$U$\_{3}$

Παράδειγμα 1
Η γέφυρα μέτρησης του σχήματος 5.7 έχει τις αντιστάσεις: R$\_{2}$=8Ω, R$\_{3}$=5Ω, R$\_{4}$=10Ω και άγνωστη την αντίσταση R$\_{1}$. Υπολογίστε την άγνω -στη αντίσταση R$\_{1}$.

Λύση:
3 1 2 4 2 3 1 4 R R = R R R R 8 Ω 5 Ω R = = = 4 Ω R 10 Ω × ×
Παρατηρούμε ότι για τον προσδιορισμό της άγνωστης αντίστασης R$\_{1}$, αρκεί να γνωρίζουμε την τιμή της αντίστασης R$\_{2}$ και το λόγο των αντιστάσεων R$\_{3}$ και R$\_{4}$. Το αποτέλεσμα μέτρησης της R$\_{1}$ είναι ανεξάρ -τητο από την τάση της πηγής καθώς ο λόγος των πτώσεων τάσης στους κλάδους της γέφυρας παραμένει σταθερός.
Υπάρχει ακόμη μία παραλλαγή της γέφυρας Wheatstone: οι δύο αντιστάσεις R$\_{3}$ και R$\_{4}$ μπορούν να αντικατασταθούν από ένα ποτενσιό -μετρο ή ρυθμιστική αντίσταση, ή από ένα μακρύ καλώδιο έχοντας ένα δρομέα που μετακινείται, Σχήμα 5.8.

Για την αύξηση της ακρίβειας της γέφυρας στη θέση ισορροπίας συνδέεται αντί βολτομέτρου, γαλβανόμετρο Γ, Σχήμα 5.9. Το γαλβανό -μετρο είναι ευαίσθητο σε ρεύμα της τάξης του μΑ.
Σχήμα 5.8. Γέφυρα Wheatstone με ποτενσιόμετρο ή καλώδιο και δρομέα που μετακινείται
Σχήμα 5.9. Γέφυρα Wheatstone με γαλβανόμετρο

5.3.2. Γέφυρα Murray
Η γέφυρα Murray είναι μια εφαρμογή της γέφυρας Wheatstone και χρησιμοποιείται για την μέτρηση απόστασης σφάλματος ενός καλωδί -ου, Σχήμα 5.10.
Σχήμα 5.10 Γέφυρα Murray
Γράφουμε την συνθήκη ισορροπίας της γέφυρας του Σχήματος 5.10, όπου το συνολικό μήκος του καλωδίου είναι L, το άγνωστο στοιχείο είναι το μήκος L$\_{x}$ στην θέση της αντίστασης R$\_{4}$ και άρα η αντίσταση R$\_{2}$=2L-L$\_{x}$
R$\_{1}$R$\_{4}$=R$\_{2}$R$\_{3}$
R$\_{1}$L$\_{x}$=R$\_{3}$(2L-L$\_{x}$)
(R$\_{1}$+R$\_{3}$)L$\_{x}$=2LR$\_{3}$

L$\_{x}$=2LR$\_{3}$/(R$\_{1}$+R$\_{3}$)

Παράδειγμα 1.
Υπολογίστε την απόσταση του σημείου διαρροής από την αρχή κα -λωδίου μήκους 4000 m, όταν κατά την ισορροπία της γέφυρας προκύ πτουν R$\_{3}$=50 Ω και R$\_{1}$=200 Ω.

Λύση:
Γράφουμε την συνθήκη ισορροπίας της γέφυρας του Σχήματος 5.10, όπου το συνολικό μήκος του καλωδίου είναι L=4000 m, το άγνωστο στοιχείο είναι το L$\_{X}$ στην θέση της αντίστασης R$\_{4}$ και άρα η αντίσταση R$\_{2}$=2L-L$\_{X}$
R$\_{1}$L$\_{x}$=R$\_{3}$(2L-L$\_{x}$)
200ΩL$\_{X}$=50Ω(24000-L$\_{X}$)
L$\_{X}$=8000m50Ω/(200Ω+50Ω)=l600m

5.4. ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ
- 1. Ο διαιρέτης τάσης ή όπως αλλιώς ονομάζεται ο κατανεμητής τάσης χρησιμοποιείται για την παροχή διαφόρων επιπέδων τάσης από μια δεδομένη πηγή σταθερής τάσης.
- 2. Ο διαιρέτης ρεύματος ή ο κατανεμητής ρεύματος χρησιμοποιείται για την παροχή διαφόρων χαμηλότερων επιπέδων έντασης ρεύμα -τος από ένα σταθερό ρεύμα.
- 3. Η γέφυρα Wheatstone χρησιμοποιείται για την μέτρηση με ακρί -βεια των ωμικών αντιστάσεων. Επίσης, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την μέτρηση πυκνωτών και πηνίων.
- 4. Μια εφαρμογή της γέφυρας Wheatstone είναι η γέφυρα Murray με την οποία μπορούμε να ανιχνεύσουμε το σημείο σφάλματος
σε καλώδιο. Ιδιαίτερα χρήσιμη είναι για υπόγεια καλώδια μεγά -λου μήκους, όπου δεν γνωρίζουμε το σημείο της βλάβης και για το οποίο έχουμε πρόσβαση μόνο στους ακροδέκτες (στα άκρα του καλωδίου).

5.5. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ
- 1. Στο τροφοδοτικό του Σχήματος 5.4 τι επίδραση θα έχει η αλλαγή της τάσης τροφοδοσίας σε U=220V.
- 2. Από τους τέσσερις ακροδέκτες Α, Β, Γ, Δ του Σχήματος 5.4 θέλου -με να βγάλουμε τους κατάλληλους ακροδέκτες στο κουτί της διάτα ξης, ώστε να μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως τροφοδοτικό για έξι τάσεις. Σχεδιάστε το ηλεκτρικό διάγραμμα και προσθέστε τις πινακίδες με τις τιμές των τάσεων σε βολτ και σε ποσοστό, με αύξουσα σειρά.
Απάντηση: 66,7V-22%, 100V-33%, 133,3V-44%, 166,7V-55%, 200V-66%, 300V-100%.

- 3. Υπολογίστε τις αντιστάσεις σε σειρά για ένα διαιρέτη τάσης όπως αυτός του Σχήματος 5.4, ο οποίος να παράγει τάση μεταξύ 100V και 200V σε βήματα των 20V, όταν τροφοδοτηθεί από πηγή 200V.
Απάντηση: 10Ω, 10Ω, 10Ω, 10Ω, 10Ω, 50Ω.
- 4. Σχεδιάστε το ηλεκτρικό διάγραμμα και προσθέστε τις πινακίδες με τις τιμές των τάσεων σε βολτ και σε ποσοστό, με αύξουσα σειρά, ώστε το κύκλωμα της άσκησης 3 να γίνει τροφοδοτικό τάσης.
- 5. Ένας κατανεμητής τάσης (διαιρέτης τάσης) αποτελείται από τέσ -σερις όμοιες αντιστάσεις συνδεδεμένες σε σειρά. Η πτώση τάσης σε κάθε αντίσταση είναι 50V. Ποια είναι η τάση που εφαρμόζεται από την πηγή στον διαιρέτη τάσης;

Απάντηση: 200V.
- 6. Ένας διαιρέτης τάσης αποτελείται από τρεις αντιστάσεις συνδεδε -μένες σε σειρά R$\_{1}$=500Ω, R$\_{2}$=700Ω, R$\_{3}$=300Ω και τροφοδοτείται από πηγή τάσης 150V. Υπολογίστε την πτώση τάσης στην κάθε αντίσταση με την γενική εξίσωση του διαιρέτη τάσης.
Απάντηση: 50V, 70V, 30V.
- 7. Ένας διαιρέτης ρεύματος αποτελείται από τρεις αντιστάσεις συν -δεδεμένες παράλληλα R$\_{1}$=10Ω, R$\_{2}$=20Ω, R$\_{3}$=25Ω. Το συνολικό ρεύμα είναι 2Α. Υπολογίστε το ρεύμα στην κάθε αντίσταση.
Απάντηση: 1,05Α, 0,53Α, 0,42Α

Απάντηση: 1,05Α, 0,53Α, 0,42Α
- 8. Η γέφυρα του Σχήματος 5.7 έχει άγνωστη την αντίσταση R$\_{2}$. Οι υπόλοιπες τρεις αντιστάσεις και η τάση της πηγής είναι: R$\_{1}$=10Ω, R$\_{3}$=15Ω, R$\_{4}$=1,5Ω, U=20V. Υπολογίστε την αντίσταση R$\_{2}$ και το ρεύμα που απορροφάει η γέφυρα από την πηγή τάσης.
Απάντηση: 1Ω, 3Α.
- 9. Η γέφυρα του Σχήματος 5.8 αποτελείται από τα ακόλουθα στοι -χεία: την αντίσταση R$\_{1}$=20Ω, την αντίσταση R$\_{2}$ άγνωστη και από ένα αγωγό μήκους 10 μέτρα. Η ισορροπία της γέφυρας πετυχαίνεται στα 2,5 μέτρα από αριστερά. Υπολογίστε την άγνωστη αντίσταση R$\_{2}$.

Απάντηση: 60Ω.
- 10. Επαναλάβετε την άσκηση 9 και υπολογίστε την άγνωστη αντίστα -ση R$\_{2}$ αν η ισορροπία επιτυγχάνεται στα 5 μέτρα από αριστερά.
Απάντηση: 20Ω.

6.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Η ηλεκτρική ενέργεια παράγεται σε μεγάλη κλίμακα από ηλεκτρικές γεννήτριες, οι οποίες τροφοδοτούν τα δίκτυα πόλεων και στη συνέχεια όλες τις βιομηχανικές και οικιακές εγκαταστάσεις.
Για τη λειτουργία όμως των φορητών ηλεκτρικών συσκευών, ή αυτόνομων εγκαταστάσεων, ή για κατάσταση ανάγκης, χρησιμοποι -ούνται μικρές πηγές ηλεκτρικής ενέργειας, όπως είναι οι μπαταρίες. Παραδείγματα συσκευών που λειτουργούν με μπαταρίες μπορούν να αναφερθούν πολλά όπως τα ρολόγια, οι αριθμομηχανές, οι ηλεκτρονι -κοί υπολογιστές, τα φορητά ραδιοκασετόφωνα, τα τηλεχειριστήρια, τα κινητά τηλέφωνα, τα παιχνίδια, κ.α.

Συνήθως οι μπαταρίες μετατρέπουν την χημική ενέργεια σε ηλεκτρι -κή. Υπάρχουν όμως και άλλοι τρόποι παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας όπως:
-  τα ηλιακά στοιχεία ή φωτοβολταϊκά στοιχεία που παράγουν ηλε -κτρική ενέργεια υπό την επίδραση του φωτός,
-  τα θερμοστοιχεία παράγουν τάση, όταν θερμαίνεται η ένωση μεταξύ δύο ανόμοιων μετάλλων,
-  κάποια κρυσταλλικά υλικά τα οποία, κάτω από μηχανική πίεση, πα -ράγουν τάση, δηλαδή το πιεζοηλεκτρικό φαινόμενο.
Δεδομένης της σπουδαιότητας και της συχνής χρησιμοποίησης των πηγών αυτών συνεχούς τάσης θα εξετάσουμε στη συνέχεια τη δυνατό -τητα σύνδεσής τους σε σειρά ή παράλληλα ή μικτά, έτσι ώστε να μπο ρεί να επιτευχθεί ο αναγκαίος για κάθε εφαρμογή συνδυασμός τάσεων.

Οι πηγές τάσης συνδέονται σε σειρά ή παράλληλα για να επιτευχθεί μεγαλύτερη τάση ή μεγαλύτερο ρεύμα, αντίστοιχα. Επίσης, μπορεί να παρουσιασθεί ανάγκη χρησιμοποίησης της μικτής σύνδεσης (σύνθετη
σύνδεση) των πηγών συνεχούς ρεύματος, ώστε να τροφοδοτούν μεγα -λύτερη τάση και μεγαλύτερο ρεύμα ταυτόχρονα.

6.2. ΣΥΝΔΕΣΗ ΠΗΓΩΝ ΣΕ ΣΕΙΡΑ
Η σύνδεση σε σειρά τριών πηγών τάσης παρουσιάζεται στο Σχήμα 6.1.
Στη συνδεσμολογία σε σειρά των πηγών τάσης οι τάσεις αθροίζονται, οι εσωτερικές αντιστάσεις αθροίζονται και μέσα από όλες τις πηγές ρέει το ίδιο ρεύμα.
U=U$\_{1}$+U$\_{2}$+U$\_{3}$
R=R$\_{1}$+R$\_{2}$+R$\_{3}$
όπου U είναι η συνολική τάση, U$\_{1}$, U$\_{2}$, U$\_{3}$ είναι οι επιμέρους τάσεις κάθε πηγής, R είναι η συνολική εσωτερική αντίσταση και R$\_{1}$, R$\_{2}$, R$\_{3}$ οι επιμέρους εσωτερικές αντιστάσεις.

Σχήμα 6.1. Σύνδεση σε σειρά τριών μπαταριών

Προσοχή:
Στη σύνδεση των πηγών σε σειρά πρέπει να συνδέονται ο θετικός πόλος της μίας πηγής με τον αρνητικό πόλο της επόμενης, δηλαδή οι θετικοί και οι αρνητικοί πόλοι πρέπει να εναλλάσσονται.

Παράδειγμα 1
Έστω ότι για το κύκλωμα του σχήματος 6.1. που αποτελείται από τρεις όμοιες μπαταρίες συνδεδεμένες σε σειρά, έχουμε τα ακόλουθα δεδομένα: τάσεις μπαταριών U$\_{1}$=U$\_{2}$=U$\_{3}$=12V και εσωτερικές αντιστά -σεις μπαταριών R$\_{1}$=R$\_{2}$=R$\_{3}$=1Ω. Υπολογίστε την ισοδύναμη τάση και την ισοδύναμη εσωτερική αντίσταση της συστοιχίας.

Λύση:
Στη συνδεσμολογία σε σειρά των πηγών τάσης οι τάσεις αθροίζονται και οι εσωτερικές αντιστάσεις αθροίζονται. Επομένως,
U=U$\_{1}$+U$\_{2}$+U$\_{3}$=3U$\_{1}$=312V=36V
R=R$\_{1}$+R$\_{2}$+R$\_{3}$=3R$\_{1}$=31Ω=3Ω
άρα: U=36V και R=3Ω

Παράδειγμα 2
Τέσσερις όμοιες μπαταρίες σε φορητό ραδιοκασετόφωνο έχουν ηλε -κτρεγερτική δύναμη l,5V και εσωτερική αντίσταση R$\_{1}$=0,2Ω η κάθε μπαταρία. Οι μπαταρίες συνδέονται σε σειρά, Σχήμα 6.2. Υπολογίστε: α) την τάση κενού φορτίου και β) την ισοδύναμη εσωτερική αντίσταση.

Λύση:
α) U=4U$\_{1}$=4l,5V=6V
β) R$\_{ισ}$=4R$\_{1}$=40,2Ω= 0,8Ω
Σχήμα 6.2. Σύνδεση σε σειρά τεσσάρων μπαταριών

Παράδειγμα 3
Η ίδια διάταξη τροφοδότησης του Σχήματος 6.2 συνδέεται σε αντί -σταση φορτίου R=9,2Ω. Υπολογίστε: α) την τάση στους ακροδέκτες του φορτίου, β) το ρεύμα στο φορτίο και γ) το ρεύμα βραχυκύκλωσης της συστοιχίας.

Λύση:
α) U$\_{AB}$=R/(R+R$\_{ισ}$)U=9,2Ω6V/(9,2Ω+0,8Ω)=5,52V
β) I=U/(R+R$\_{ισ}$)=6V/(9,2Ω+0,8Ω)=0,6A
γ) Ι$\_{βρ}$ =U/R$\_{ισ}$=6V/0,8Ω=7,5A
Όταν το φορτίο βραχυκυκλωθεί (από ατύχημα ή από βλάβη) το ρεύ -μα βραχυκύκλωσης είναι πολύ υψηλό. Στο παράδειγμα αυτό είναι: 7,5Α/0,6Α=12,5 δηλαδή 12,5 φορές υψηλότερο του ονομαστικού ρεύ -ματος.

Προσοχή:
Σε οποιοδήποτε βραχυκύκλωμα μιας πηγής ηλεκτρικής τάσης συμβαί -νει το φαινόμενο της αύξησης του ρεύματος σε υψηλά επίπεδα. Το φαινό μενο αυτό μπορεί να γίνει επικίνδυνο για την πηγή τάσης.
Επίσης επικίνδυνο είναι το βραχυκύκλωμα σε οποιοδήποτε ηλεκτρι -κό κύκλωμα και μπορεί να οδηγήσει στην καταστροφή του κυκλώμα τος, ή της πηγής. Εάν δημιουργηθεί ένα βραχυκύκλωμα, τότε πρέπει να υπάρχει η δυνατότητα της αποσύνδεσης του κυκλώματος από την πηγή, ώστε να διακοπεί το ρεύμα. Για το λόγο αυτό προβλέπονται ρελέ διαφυγής σε όλες τις ηλεκτρικές εγκαταστάσεις. Σε αντίθετη περίπτω -ση, όταν η εγκατάσταση παραμείνει για μεγάλο χρονικό διάστημα υπό τάση και με υψηλό ρεύμα, τότε η θερμότητα που παράγεται (RI 2 ) μπο -ρεί να προκαλέσει πυρκαγιά.

Παράδειγμα 4
Μια αντίσταση 52Ω συνδέεται σε πηγή τάσης που αποτελείται από n όμοια στοιχεία, το κάθε ένα με ηλεκτρεγερτική δύναμη 1,5V και εσωτερική αντίσταση 0,2Ω, Σχήμα 6.3. Υπολογίστε: α) πόσα στοιχεία χρειάζονται ώστε η αντίσταση να διαρρέεται από ρεύμα 1Α, β) την τάση στους ακροδέκτες της αντίστασης και γ) την τάση της ισοδύνα -μης πηγής.
Σχήμα 6.3. Σύνδεση σε σειρά n όμοιων στοιχείων

Λύση:
α) U=(R+R$\_{ισ}$)I
Όταν συνδεθούν σε σειρά n όμοια στοιχεία, τότε η συνολική τάση U και η συνολική εσωτερική αντίσταση είναι:

U=1,5n
R$\_{ισ}$=0,2n
Από τις παραπάνω σχέσεις βρίσκουμε ότι:
1,5nV=(52Ω+0,2nΩ)1Α
1,3nV=52V
Από την τελευταία σχέση υπολογίζουμε τον αριθμό των στοιχείων:
n=40 στοιχεία
β) U$\_{ΑΒ}$=RΙ=52Ω1Α=52V
γ) U=401,5V=60V

6.3. ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΣΥΝΔΕΣΗ ΤΩΝ ΠΗΓΩΝ
Η παράλληλη σύνδεση τριών πηγών τάσης παρουσιάζεται στο Σχή -μα 6.4.
Στην παράλληλη σύνδεση των πηγών τάσης τα ρεύματα κάθε πηγής αθροίζονται και οι εσωτερικές αγωγιμότητες κάθε πηγής αθροίζονται. Οι τάσεις κενής λειτουργίας και οι εσωτερικές αντιστάσεις όλων των πηγών πρέπει να είναι ίδιες.
U=U$\_{1}$=U$\_{2}$=U$\_{3}$
Με τους νόμους των κυκλωμάτων και με τα σύμβολα του Σχήματος 6.4. γράφουμε τις ακόλουθες σχέσεις:
Ι=Ι$\_{1}$+Ι$\_{2}$+Ι$\_{3}$
G=G$\_{1}$+G$\_{2}$+G$\_{3}$

1 R = 1 R + 1 R + 1 R = 3 R 1 2 3 1 (επειδή R$\_{1}$=R$\_{2}$=R$\_{3}$) R=R$\_{1}$/3
Σχήμα 6.4. Παράλληλη σύνδεση τριών πηγών τάσης

Προσοχή:
Στην παράλληλη σύνδεση των πηγών τάσης πρέπει να συνδέονται όλοι οι θετικοί πόλοι μεταξύ τους και όλοι οι αρνητικοί πόλοι μεταξύ τους.

Προσοχή:
Εάν οι τάσεις κενής λειτουργίας και οι εσωτερικές αντιστάσεις των πη -γών, που συνδέονται παράλληλα, δεν είναι ίδιες, τότε εμφανίζονται ρεύ ματα αντιστάθμισης προς τις πηγές με χαμηλότερη τάση, με αποτέλεσμα τη μείωση του χρόνου ζωής των πηγών, την καταστροφή τους ή ακόμα και την έκρηξη κάποιων από αυτές.
Για να αποφευχθεί το επικίνδυνο αυτό φαινόμενο, σε σειρά με κάθε πηγή τάσης συνδέεται μια δίοδος, (ηλεκτρονικό ημιαγωγό στοιχείο) ώστε να μην επιτρέπει την αντιστροφή της φοράς του ρεύματος.

Παράδειγμα 1
Έστω ότι για το σχήμα 6.4. έχουμε τα ακόλουθα δεδομένα: U$\_{1}$=U$\_{2}$=U$\_{3}$=12V, I$\_{1}$=Ι$\_{2}$=Ι$\_{3}$=5Α και R$\_{1}$=R$\_{2}$=R$\_{3}$=1Ω. Υπολογίστε: α) την ισοδύναμη πηγή τάσης, β) την ισοδύναμη εσωτερική αντίσταση και γ) το συνολικό ρεύμα.

Λύση:
α) U=U$\_{1}$=U$\_{2}$=U$\_{3}$=12V,
β) R=R$\_{1}$/3=1Ω/3=0,33Ω.
γ) Ι=I$\_{1}$+Ι$\_{2}$+Ι$\_{3}$=5Α+5Α+5Α=15Α

Παράδειγμα 2
Τέσσερις όμοιες μπαταρίες συνδέονται παράλληλα. Η κάθε μπατα -ρία έχει ηλεκτρεγερτική δύναμη l,5V και εσωτερική ωμική αντίσταση 0,2Ω. Οι μπαταρίες τροφοδοτούν ένα φορτίο με αντίσταση 5Ω, Σχήμα 6.5. Υπολογίστε α) το ρεύμα στο φορτίο, β) το ρεύμα στην κάθε μπα -ταρία και γ) την τάση στους ακροδέκτες Α και Β.

Λύση:
α) R$\_{ισ}$=R$\_{1}$/4=0,2Ω/4=0,05Ω
I=U$\_{AB}$/(R+R$\_{ισ}$)=1,5V/(5+0,05)Ω= 1,5V/5,05Ω=0,297Α
- β) I$\_{1}$=Ι/4=0,297Α/4=0,074Α
- γ) U$\_{AB}$=U$\_{1}$-R$\_{1}$I$\_{1}$=1,5V-0,2Ω0,074A=1,48V
Σχήμα 6.5. Παράλληλη σύνδεση τεσσάρων πηγών τάσης
Παρατηρούμε ότι:
Στο κενό φορτίο (χωρίς την αντίσταση R), όταν το ρεύμα I είναι μηδέν, η τάση στους ακροδέκτες Α και Β είναι ίδια με την ηλεκτρεγερτική δύναμη της μπαταρίας.
Όταν συνδεθεί η αντίσταση, δηλαδή σε λειτουργία με φορτίο, τότε η τάση στους ακροδέκτες του φορτίου μειώνεται. Αυτό οφείλεται στην πτώση τάσης στην εσωτερική αντίσταση της πηγής.

Παράδειγμα 3
Για την ίδια διάταξη του Σχήματος 6.5 να υπολογίσετε το ρεύμα βραχυκύκλωσης. Οι πηγές είναι ίδιες με τις πηγές του παραδείγματος 2, (U$\_{1}$=1,5V, R$\_{1}$=0,2Ω).

Λύση:
Βραχυκύκλωμα στη συστοιχία των πηγών σημαίνει ότι η τάση U$\_{AB}$=0. Σύμφωνα με τον 2ο νόμο του Κίρκωφ γράφουμε τη σχέση:
U$\_{1}$-R$\_{ισ}$I$\_{βρ}$=0
όπου R$\_{ισ}$ είναι η ισοδύναμη εσωτερική αντίσταση των πηγών και Ι$\_{βρ}$ το ρεύμα βραχυκύκλωσης.
I$\_{βρ}$=U$\_{1}$/R$\_{ισ}$=1,5V/0,05Ω=30A

6.4. ΣΥΝΘΕΤΗ (ΜΙΚΤΗ) ΣΥΝΔΕΣΗ ΤΩΝ ΠΗΓΩΝ
Οι πηγές τάσης μπορούν να συνδεθούν και σε σύνθετους (μικτούς) συνδυασμούς όπως στο Σχήμα 6.6.
Σχήμα 6.6. Μικτή σύνδεση των πηγών τάσης: δύο παράλληλοι κλάδοι από τους οποίους ο καθένας έχει δύο μπαταρίες.
Στο σχήμα 6.6 έχουν συνδεθεί τέσσερις όμοιες πηγές: δύο πηγές συνδέονται σε σειρά και ο κλάδος που προκύπτει συνδέεται παράλ -ληλα με τον δεύτερο κλάδο, ο οποίος αποτελείται από τις άλλες δύο μπαταρίες σε σειρά.
Σύμφωνα με τους νόμους των κυκλωμάτων και με τους κανόνες σύν -δεσης των αντιστάσεων γράφουμε τις ακόλουθες σχέσεις:

U=U$\_{1}$+U$\_{1}$=2U$\_{1}$
Ι=Ι$\_{1}$+Ι$\_{1}$=2Ι$\_{1}$
R=R$\_{1}$+R$\_{1}$=2R$\_{1}$
2 1 1 1 ισ 1 1 1 1 2R 2R 4R R = = = R 2R + 2R 4R ×

Παράδειγμα 1
Έστω ότι για το σχήμα 6.6. έχουμε τα ακόλουθα δεδομένα: U$\_{1}$=12V, Ι$\_{1}$=5Α και R$\_{1}$=1Ω. Υπολογίστε: α) την ισοδύναμη πηγή τάσης, β) την ισοδύναμη εσωτερική αντίσταση και γ) το συνολικό ρεύμα.

Λύση:
α) U=12V+12V=24V
β) R=(R$\_{1}$+R$\_{1}$)/2=1Ω
γ) Ι=Ι$\_{1}$+Ι$\_{1}$=5Α+5Α=10Α

Παράδειγμα 2
Έξι όμοιες μπαταρίες με ηλεκτρεγερτική δύναμη U$\_{1}$=l,5V και εσω -τερική αντίσταση R$\_{1}$=0,15Ω συνδέονται σε μικτή σύνδεση (παράλλη
λη και σειρά) όπως στο Σχήμα 6.7 και τροφοδοτούν φορτίο R= 5,9Ω. Υπολογίστε: α) την τάση κενού φορτίου, β) το ρεύμα στο φορτίο, γ) την τάση στους ακροδέκτες του φορτίου και δ) το ρεύμα βραχυκύκλωσης.

Λύση:
α) U$\_{κφ}$=21,5V=3V
- β) R$\_{ισ}$=R$\_{1}$/3+R$\_{1}$/3=0,15Ω/3+0,15Ω/3=0,1Ω
U $\_{κφ}$=I(R+R$\_{ισ}$)
Ι=3V/(5,9Ω+0,1Ω)=0,5Α
γ) U=RΙ=5,9Ω0,5Α=2,95V
- δ) Ι$\_{βρ}$ =U$\_{κφ}$/R$\_{ισ}$=3V/0,1Ω=30Α
Σχήμα 6.7. Μικτή σύνδεση πηγών τάσης: τρεις παράλληλες μπαταρίες συνδέονται σε σειρά με άλλες τρεις παράλληλες μπαταρίες

6.5. ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ
- 1. Στη σύνδεση πηγών σε σειρά οι επί μέρους τάσεις αθροίζονται και οι επί μέρους εσωτερικές αντιστάσεις επίσης αθροίζονται.
- 2. Στην παράλληλη σύνδεση των πηγών αθροίζονται τα επί μέρους ρεύματα και αθροίζονται οι επί μέρους εσωτερικές αγωγιμότητες.
- 3. Προσοχή πρέπει να δοθεί ώστε να συνδεθούν παράλληλα μόνο πη -γές που έχουν την ίδια ΗΕΔ και την ίδια εσωτερική αντίσταση
- 4. Στην σύνθετη σύνδεση των πηγών εξακριβώνουμε πρώτα ποιες πη -γές είναι σε σειρά και ποιες είναι παράλληλα. Μετά εφαρμόζουμε τους κανόνες της σύνδεσης σε σειρά και παράλληλα.

6.6. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ
- 1. Η τάση λειτουργίας μίας μπαταρίας χωρίς φορτίο (καταναλωτή) είναι 12V. Κατά την χρησιμοποίηση της εκφορτίζεται και η τάση μει -ώνεται στα 10V. Υπολογίστε: α) πόσες μπαταρίες χρειάζονται για να τροφοδοτηθεί μια εγκατάσταση που απαιτεί 120V για να λειτουργήσει και β) ποια είναι η τάση της συστοιχίας των μπαταριών μετά την εκ -φόρτιση.
Απάντηση: 10 μπαταρίες, 100V.
- 2. Η συνδεσμολογία σε σειρά n μπαταριών τροφοδοτεί αντίσταση 9,9Ω. Η κάθε μπαταρία έχει ΗΕΔ l,5V και εσωτερική αντίσταση 0,2Ω. Υπολογίστε: α) πόσα στοιχεία πρέπει να συνδεθούν σε σειρά, ώστε το ρεύμα στην αντίσταση να είναι 2Α, β) την τάση στους ακροδέκτες της αντίστασης, γ) την τάση της ισοδύναμης πηγής και δ) την πτώση τάσης στις εσωτερικές αντιστάσεις.

Απάντηση: 18 μπαταρίες, 19,8V, 27V, 7,2V.
- 3. Τέσσερις όμοιες πηγές με επί μέρους τάση 9V και εσωτερική αντί -σταση 1Ω συνδέονται παράλληλα και τροφοδοτούν από 0,5Α η κάθε μία στο φορτίο. Υπολογίστε: α) την ισοδύναμη πηγή τάσης, β) την ισο -δύναμη εσωτερική αντίσταση και γ) το συνολικό ρεύμα.
- 4. Υπολογίστε το ρεύμα βραχυκύκλωσης της διάταξης της άσκησης 3.
Απάντηση: 36Α.
- 5. Ένα φωτοβολταϊκό στοιχείο (ηλιακό στοιχείο) παράγει τάση 1V και ρεύμα 0,2Α. Υπολογίστε πόσα φωτοβολταϊκά στοιχεία πρέπει να συν -δεθούν: α) σε σειρά ώστε να παράγουν τάση σε καταναλωτή 5V και 0,2Α, β) παράλληλα ώστε να παράγουν τάση 1V και 1Α και γ) μικτά ώστε να παράγουν τάση 5V και 1Α.

Απάντηση: 5 στοιχεία σε σειρά, 5 στοιχεία παράλληλα, 25 στοιχεία: 5 στοιχεία σε σειρά και ο κλάδος αυτός επαναλαμβάνεται και συνδέεται παράλληλα τέσσερις φορές.

ΜΕΡΟΣ Β

ΤΟ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7

ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΑ ΡΕΥΜΑΤΑ

7.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζονται:
- 1. Η περίοδος, η συχνότητα, η φάση, η ημιτονική καμπύλη και οι θε -μελιώδεις εξισώσεις του εναλλασσομένου ρεύματος.
- 2. Η αρχική φάση, καθώς και η διαφορά φάσης εναλλασσομένων με -γεθών, της ίδιας συχνότητας.
- 3. Η ενεργός τιμή του εναλλασσομένου ρεύματος.
- 4. Η διανυσματική παράσταση και η πρόσθεση εναλλασσομένων με -γεθών.
- 5. Μερικές βασικές τριγωνομετρικές γνώσεις απαραίτητες για το κε -φάλαιο αυτό θα βρείτε στο Παράρτημα Α.
Το κεφάλαιο αυτό εξηγεί πώς παράγεται η εναλλασσόμενη τάση στα άκρα περιστρεφόμενου βρόχου μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο, πώς υπολογίζονται οι στιγμιαίες τιμές σε συνάρτηση με το χρόνο, η περίοδος, η συχνότητα, η φάση και η κυκλική συχνότητα του εναλλασ -σομένου ρεύματος και πώς σχεδιάζονται οι κυματομορφές τάσης και έντασης του εναλλασσομένου ρεύματος.

Παρουσιάζει επίσης πώς παριστάνονται διανυσματικά τα εναλλασ -σόμενα μεγέθη, πώς προσθέτονται και πώς υπολογίζονται - επιλύονται εναλλασσόμενα μεγέθη με ενεργές τιμές τάσεων και εντάσεων. Επίσης, πώς υπολογίζεται η διαφορά φάσης των εναλλασσομένων μεγεθών.

7.2. ΑΡΧΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΜΟΡΦΗ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ
Όπως γνωρίζουμε, μεταξύ δυο μαγνητικών πόλων παράγεται ομογε -νές μαγνητικό πεδίο.
Αν συνδέσουμε τα άκρα ενός ορθογώνιου βρόχου (ή πλαισίου ή σπείρας), πλευράς μήκους ℓ (σχήμα 7.1), με δύο μονωμένα μεταξύ τους μεταλλικά δακτυλίδια ολίσθησης, που βρίσκονται προσαρμοσμένα σε άξονα, και περιστρέψουμε το βρόχο μέσα σε ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο, τότε αναπτύσσεται στα άκρα του βρόχου ηλεκτρεγερτική δύνα -μη (σχήμα 7.2).
Σχήμα 7.1. Συρμάτινος βρόχος (ή σπείρα), με μεταλλικά μονωμένα μεταξύ τους δακτυλίδια στα άκρα του.

Σχήμα 7.2. Περιστρεφόμενος συρμάτινος βρόχος μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο, ανάμεσα στο ζεύγος πόλων, βόρειο Ν και νότιο S μόνιμου μαγνήτη. Γέννηση επαγόμενης τάσης Ε στα άκρα του βρόχου.
Αν συνδέσουμε ένα Βολτόμετρο μεγάλης ευαισθησίας μέσω δυο ψη -κτρών εφαπτόμενων στα δακτυλίδια, τότε διαβάζουμε την Η.Ε.Δ. εξ επαγωγής Ε, ή επαγόμενη τάση, όπως επίσης θα ονομάζεται (σχήμα 7.2).
Το μέγεθος της Η.Ε.Δ, Ε εξ επαγωγής στα άκρα του περιστρεφόμε -νου με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω βρόχου δίνεται από τη σχέση:

Ε = Β ℓ υ

Όπου:

| Μέγεθος         | Επαγόμενη  τάση Ε   | Ένταση  μαγνητικής  επαγωγής Β   | Πλευρά του  Πλαισίου  ℓ   | Ταχύτητα  περιστροφής  βρόχου υ   |
|-----------------|---------------------|----------------------------------|---------------------------|-----------------------------------|
| Μονάδα Μέτρησης | V                   | Vs/m 2                           | m                         | m/s                               |
Η σχέση αυτή είναι μια διατύπωση του νόμου της επαγωγής του Faraday , επάνω στην οποία στηρίζεται η λειτουργία των στρεφόμε -νων ηλεκτρικών μηχανών (γεννήτριες, κινητήρες ).

Σε ομογενές μαγνητικό πεδίο υπάρχει μαγνητική ροή Φ , η οποία με -ταβάλλεται με την περιστροφή του βρόχου και εξαρτάται από τη γωνία φ που σχηματίζει ο βρόχος, ως προς τη διεύθυνση των μαγνητικών γραμμών, του μαγνητικού πεδίου.
Όταν η γωνία αυτή φ είναι 0° ή 180° η μαγνητική ροή έχει τιμή Φ=0 , όταν η φ είναι 90° ή 270° η μαγνητική ροή μεταβάλλεται μεταξύ ενός μεγίστου και ελαχίστου και έχει τη μεγαλύτερη τιμή της Φ= max . Δηλαδή, καθώς περιστρέφεται ο βρόχος, η μαγνητική ροή του πεδίου μέσα του συνεχώς μεταβάλλεται. Η ταχύτητα με την οποία μεταβάλ -λεται η μαγνητική ροή εξαρτάται από τη συχνότητα περιστροφής του βρόχου (Σχήμα 7.3)

Σχήμα 7. 3. Χαρακτηριστικές γωνίες φ μεταξύ του περιστρεφόμενου βρόχου και των μαγνητικών γραμμών του πεδίου.
Συμπέρασμα Όταν ένας βρόχος περιστρέφεται σε ένα σταθερό και ομογενές μαγνητικό πεδίο, τότε η μαγνητική ροή Φ που τον διαρρέει μεταβάλλεται, με επακόλουθη συνέπεια να επάγεται στα άκρα του μία τάση Ε .
Όταν ο βρόχος σχηματίζει κλειστό εξωτερικό κύκλωμα, (Σχήμα 7.4), τότε παρατηρούμε στο φορτίο R , συνδεδεμένο στους ακροδέκτες του βρόχου, ροή ηλεκτρικού ρεύματος i . Το ηλεκτρικό ρεύμα που κυκλο -φορεί στο βρόχο μπορούμε να το διαβάσουμε με ένα πολύ ευαίσθητο Αμπερόμετρο (σχήμα 7.5).

Οι εναλλαγές της φοράς της μαγνητικής ροής προκαλούν εναλλα -γές στην πολικότητα της επαγόμενης τάσης Ε και έτσι παράγεται ένα εναλλασσόμενο ρεύμα i. Η μεταβολή της τάσης είναι ημιτονική και εξαρτάται από τη γωνία περιστροφής φ του βρόχου. Η αρχή μέτρησης της γωνίας φ είναι ο οριζόντιος άξονας. (σχήμα 7.6)
Σχήμα 7.4. Κλειστό εξωτερικό κύκλωμα συρμάτινου περιστρεφόμενου βρόχου.
Σχήμα 7.5. Κλειστό κύκλωμα περιστρεφόμενου βρόχου σε ομογενές μαγνητικό πεδίο. Παρατηρούμε κυκλοφορία ρεύματος i δια του εξωτερικού κυκλώματος.

Σχήμα 7.6. Παραγωγή εναλλασσόμενης τάσης e και εναλλασσόμενης μαγνητικής ροής Φ.

Στο σχήμα 7.6 βλέπουμε:
- α) Τις οριακές θέσεις της γωνίας φ μεταξύ του περιστρεφόμενου βρό -χου και των μαγνητικών γραμμών του πεδίου.
- β) Τις αντίστοιχες ημιτονοειδείς μεταβολές της χρονικής μεταβολής της τιμής της μαγνητικής ροής Φ , καθώς και της επαγόμενης τάσης Ε .
- Η φορά του επαγόμενου εναλλασσόμενου ρεύματος καθορίζεται εύκολα με τη βοήθεια του κανόνα του δεξιού χεριού. (σχήμα 7.7)
Σχήμα 7.7. Κανόνας δεξιού χεριού. Ο αντίχειρας δείχνει την κίνηση των πλευρικών αγωγών της σπείρας και, όταν κάθετα προς την παλάμη κατευθύνονται οι μαγνητικές γραμμές του πεδίου, τότε τα τεντωμένα δάκτυλα δείχνουν τη φορά του επαγόμενου ρεύματος i .

Διαπιστώθηκε ότι η επαγόμενη τάση στα άκρα του βρόχου σε οποια -δήποτε τυχαία χρονική στιγμή t, δίδεται από τη σχέση

u = 2Β ℓ υημφ
όπου: u είναι η στιγμιαία τιμή της επαγόμενης τάσης (σε V ), Β είναι η ένταση της μαγνητικής επαγωγής του μαγνητικού πεδίου (σε Vs/m 2 ή Tesla), ℓ είναι το μήκος των πλευρών της σπείρας που κόβουν τις μαγνητικές γραμμές του πεδίου (σε m) και υ είναι η ταχύτητα περι -στροφής του βρόχου (σε m/s ). Ο συντελεστής 2 έχει την έννοια των δύο πλευρών της σπείρας. Οι οριακές τιμές αυτής της τάσης u δίνονται στον πίνακα 1.
ΠΙΝΑΚΑΣ 1. Μεταβολή της επαγόμενης τάσης με τη γωνία περι -στροφής φ του βρόχου ως προς τις μαγνητικές γραμμές του πεδίου.

| Γωνία Περιστροφής φ   | Θέση επιπέδου του βρόχου ως προς τη διεύθυνση των μαγνητικών γραμμών   | Τιμή της επαγόμενης  τάσης u   |
|-----------------------|------------------------------------------------------------------------|--------------------------------|
| 0°                    | Κάθετος                                                                | u = 0                          |
| 90°                   | Παράλληλος                                                             | u = +Um                        |
| 180°                  | Κάθετος                                                                | u = 0                          |
| 270°                  | Παράλληλος                                                             | u = -Um                        |
| 360°                  | Κάθετος                                                                | u = 0                          |

Γενικά για κάθε χρονική στιγμή η επαγόμενη στιγμιαία τάση δίνεται από τη σχέση:

u =U$\_{m}$ημφ
Επίσης για την ένταση του ρεύματος ισχύει:

i = I$\_{m}$ημφ
όπου U$\_{m}$ και I$\_{m}$ είναι οι μέγιστες τιμές των εναλλασσομένων μεγε -θών και u i είναι οι στιγμιαίες τιμές τους.
Η σχέση μεταξύ U$\_{m}$ και I$\_{m}$ δίνεται από τον νόμο του Ωμ:

U$\_{m}$ = RI$\_{m}$
Σημείωση. Υπάρχουν και άλλες περιπτώσεις παραγωγής εναλλασσό -μενης τάσης. Αυτές οι θα διδαχθούν στα μαθήματα της Ηλεκτροτεχνίας και των Ηλεκτρικών μηχανών.

7.3 ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΚΑΙ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ Ε.Ρ.
Από τα προηγούμενα προκύπτει ότι η επαγόμενη τάση u = U$\_{m}$ημφ και το επαγόμενο ρεύμα i = Ι$\_{m}$ημφ μεταβάλλονται περιοδικά και σύμ -φωνα με τη μεταβολή του ημιτόνου γωνίας φ , καθώς ο βρόχος περι στρέφεται συνεχώς με σταθερή ταχύτητα περιστροφής.
Ονομάζουμε εναλλασσόμενο ρεύμα i το περιοδικά μεταβαλλόμενο ρεύμα σύμφωνα με το ημίτονο της γωνίας φ περιστροφής του βρόχου ως προς τις μαγνητικές γραμμές του πεδίου.
Ονομάζουμε εναλλασσόμενη τάση u την περιοδικά μεταβαλλόμενη τάση σύμφωνα με το ημίτονο της γωνίας φ περιστροφής του βρόχου ως προς τις μαγνητικές γραμμές του πεδίου.

Γενικά, για κάθε χρονική στιγμή η εναλλασσόμενη τάση δίνεται από την σχέση.
u =U$\_{m}$ημφ
Επίσης, για κάθε χρονική στιγμή η εναλλασσόμενη ένταση του ρεύ -ματος δίνεται από τη σχέση:

i = I$\_{m}$ημφ
όπου: u είναι η στιγμιαία τιμή της εναλλασσόμενης τάσης, U$\_{m}$ είναι η μέγιστη τιμή της εναλλασσόμενης τάσης, i είναι η στιγμιαία τιμή του εναλλασσόμενου ρεύματος και I$\_{m}$ είναι η μέγιστη τιμή του εναλλασσό -μενου ρεύματος.
Ονομάζεται περίοδος Τ ενός εναλλασσομένου μεγέθους (τάσης ή έντασης) ο σταθερός χρόνος Τ μέσα στον οποίο το εναλλασσόμενο ρεύμα συμπληρώνει μια πλήρη εναλλαγή (περιστροφή 360°), με άλλα λόγια ο χρόνος σε δευτερόλεπτα μέσα στον οποίο ολοκληρώνεται ένας πλήρης κύκλος μεταβολής του.

Στο σχήμα 7.8 βλέπουμε την περίοδο Τ.
Σχήμα 7. 8. Εναλλασσόμενο ρεύμα και εναλλασσόμενη τάση. Τ είναι η περίοδος
Έχουμε μία περίοδο Τ , όταν ο βρόχος (σπείρα) εκτελέσει μια πλήρη περιστροφή στην περίπτωση που εξετάσαμε.
Στα σχήματα 7.2, 7.3, 7.5 και 7.6 είχαμε ένα μαγνητικό πεδίο ενός μαγνήτη, το οποίο παράγεται ανάμεσα σε δύο πόλους. Στις περιπτώ -σεις που το μαγνητικό πεδίο δημιουργείται από περισσότερους μαγνή τες π.χ. 4 πόλους (ή 2 ζευγάρια πόλων), 6 πόλους (ή 3 ζευγάρια πόλων) κ.λπ., τότε έχουμε μία περίοδο Τ σε μισή στροφή για τους 4 πόλους, ή 1/3 περιστροφής του βρόχου για τους 6 πόλους, αντίστοιχα.

Σε χρόνο 1sec το εναλλασσόμενο ρεύμα συμπληρώνει 1/ Τ κύκλους.
Ονομάζουμε συχνότητα f του εναλλασσόμενου ρεύματος τον αριθμό των κύκλων που συμπληρώνονται μέσα σε ένα δευτερόλεπτο.
Η περίοδος και η συχνότητα συνδέονται με τη σχέση:

f=1/T
Την συχνότητα f μετράμε σε 1/s ή Hz (Hertz)
Στην πράξη χρησιμοποιούμε και πολλαπλάσια της μονάδας μέτρη -σης συχνότητας
Κίλο χερτζ: 1ΚHz = 1000 Hz
Μέγα χερτζ: 1ΜHz =1.000.000 Hz
Μέγα χερτζ: 1ΜHz =1.000.000 Hz
Γίγα χερτζ: 1GHz = 1.000.000.000 Hz
Η βιομηχανική συχνότητα του εναλλασσόμενου ρεύματος στην Ευ -ρώπη είναι 50 Hz και με αυτή τη συχνότητα θα ασχολούμαστε στην Ηλεκτροτεχνία (στην Αμερική έχουν βιομηχανική συχνότητα f = 60Hz και μονοφασική τάση με ενεργό τιμή U = 127 V).
Προσοχή: Συσκευές που κατασκευάζονται για χρήση στην Αμερική δεν μπορούν να λειτουργήσουν στο δίκτυο της Ευρώπης χωρίς τις κα -τάλληλες μετατροπές των μεγεθών τάσης και συχνότητας που θα τις τροφοδοτήσουν.

Από τα ζεύγη των πόλων του μαγνητικού πεδίου και από την συχνό -τητα f του Ε.Ρ υπολογίζουμε την ταχύτητα περιστροφής n του βρόχου:
n = 60f/p στροφές ανά λεπτό ή ΣΑΛ ή rpm .
όπου p είναι ο αριθμός ζευγών πόλων και rpm σημαίνει στα Αγγλικά rotations per minute.
Στα σχήματα 7.2, 7.3, 7.5 και 7.6, είχαμε ένα ζεύγος πόλων, δηλαδή ένα βόρειο Ν και ένα νότιο S πόλο και επομένως p = 1.
Σύμφωνα με το σχήμα 7.8, στο χρόνο μιας περιόδου Τ:
-  Το εναλλασσόμενο μέγεθος, μηδενίζεται δύο φορές και παίρνει μια μέγιστη και μια ελάχιστη τιμή.
-  Στο χρόνο μισής περιόδου T/2 το εναλλασσόμενο μέγεθος διατηρεί τη μία από τις δύο κατευθύνσεις του.

Παράδειγμα 1
Υπολογίστε την περίοδο του εναλλασσόμενου ρεύματος βιομηχανι -κής συχνότητας της Ευρώπης.

Λύση:
f=l/T => Τ = l/f
Τ = 1/50 = 0,02 s.
Κατά τη διάρκεια μιας περιόδου το εναλλασσόμενο ρεύμα ολοκλη -ρώνει ένα κύκλο και κατ' επέκταση σε 1s ολοκληρώνει 50 περιόδους.

Παράδειγμα 2
Με πόσες στροφές το λεπτό περιστρέφεται τετραπολική μηχανή (p=2 ζεύγη πόλων), όταν η συχνότητα f είναι 50 Hz.

Λύση:
n = 60f/p
n = 6050/2= 3000/2=1500 ΣΑΛ (ή rpm)

7.4. ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΤΗΣ ΗΜΙΤΟΝΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΤΟΥ Ε.Ρ.
Το εναλλασσόμενο ρεύμα (όπως παρουσιάσθηκε στην παράγραφο 7.2), ακολουθεί το νόμο του ημιτόνου γωνίας φ. Αυτό σημαίνει ότι οι στιγμιαίες τιμές του καθορίζονται από τις μεταβολές του ημιτόνου της γωνίας φ, που σχηματίζει ο περιστρεφόμενος βρόχος με την κατεύθυν -ση των μαγνητικών γραμμών του πεδίου.
Έστω εναλλασσόμενη τάση u = U$\_{m}$ημφ
Βήμα 1. Σχεδιάζουμε κύκλο ακτίνας U$\_{m}$
Βήμα 2. Χωρίζουμε τον κύκλο σε 12 ίσα τόξα γωνίας 30° (σχήμα 7.9)

Βήμα 3. Στη προέκταση της οριζόντιας διαμέτρου του κύκλου σχεδιά -ζουμε τον οριζόντιο άξονα. Στον άξονα αυτό ορίζουμε 12 ίσα τμήματα γωνιών 30° (αυτά τα σημεία είναι τα 1,2,...,12).
Βήμα 4. Στα σημεία αυτά φέρουμε καθέτους στον οριζόντιο άξονα, οι οποίες τέμνουν τις αντίστοιχες παράλληλες προς τον οριζόντιο άξονα που άγονται από τα αντίστοιχα σημεία χωρισμού του κύκλου. Έτσι ορί -ζονται τα σημεία τομής 1',2',3' ,. . ., 12'.
Βήμα 5. Ενώνουμε τα σημεία τομής με ένα καμπυλόγραμμο και προ -κύπτει η ημιτονική καμπύλη με μέγιστη τιμή U$\_{m}$.

u = U$\_{m}$ημφ
Για συγκεκριμένες τιμές εναλλασσόμενου μεγέθους ορίζουμε κα -τάλληλη σχεδιαστική κλίμακα για τον κάθετο άξονα, π.χ. 1cm=10V, 1cm=0,05A και για τον οριζόντιο άξονα 1cm=60° ή 1cm=π/3rad.
Τη γωνία φ ονομάζουμε φάση ή γωνία φάσης της εναλλασσόμενης τάσης. Η φάση φ, καθώς περιστρέφεται ο βρόχος, διαρκώς αυξάνεται (σχήμα 7.9).
Σχήμα 7.9. Χάραξη της ημιτονικής μεταβολής εναλλασσομένου μεγέθους
Η φάση που αντιστοιχεί σε ένα δευτερόλεπτο είναι η κυκλική συ -χνότητα ω.
φ ω = φ = ω t t Þ × σε ακτίνια ή μοίρες

Η κυκλική συχνότητα ω συμπίπτει με τη γωνιακή ταχύτητα περι -στροφής του βρόχου και δίνεται από τη σχέση:
ω = 2πf ακτίνια/δευτερόλεπτο ή rad/sec
ω = 2π/Τ ακτίνια/δευτερόλεπτο ή rad/sec
Κατά την αρχική χρονική στιγμή που συνήθως είναι και η αρχή της φάσης (t=0), δηλαδή κατά τη στιγμή που αρχίζουμε να παρακολουθού -με το εναλλασσόμενο ρεύμα καθώς αυτό μεταβάλλεται, η φάση του είναι φ=0° . Κατόπιν η φάση αυξάνεται διαρκώς, με σταθερά βήματα κατά ω ακτίνια ανά δευτερόλεπτο. Συνεπώς, μετά από χρόνο t η φάση αυξάνει κατά ωt (rad/sec).

Έτσι, καταλήγουμε στις θεμελιώδεις εξισώσεις των εναλλασσόμε -νων μεγεθών τάσης και έντασης, που μας δίνουν τη στιγμιαία τιμή τους σε συνάρτηση με τη φάση τους.
i = I$\_{m}$ημωt
u=U$\_{m}$ημωt

Παράδειγμα 1
Ποια είναι η εξίσωση του εναλλασόμενου ρεύματος i, συχνότητας f=50Hz και μεγίστης τιμής I$\_{m}$=6A;

Λύση:
i = Ι$\_{m}$ημ(ωt) αλλά ω =2πf= 23,1450 =314 rad/sec
Συνεπώς i = 6ημ(314t)

Παράδειγμα 2
Να υπολογίσετε τη στιγμιαία τιμή του εναλλασσόμενου ρεύματος i του παραδείγματος 1, μετά από χρόνο: α) t=Τ/4 και β) t=Τ/8 (από την αρχή του χρόνου).

Λύση:
α) Παρατηρώντας την ημιτονική καμπύλη του εναλλασσόμενου ρεύ -ματος i βλέπουμε ότι σε χρόνο t = Τ/4 η φάση είναι ωt = π/2 = 90° Άρα i = I$\_{m}$ = 6Α
β) σε χρόνο t = Τ/8 η φάση είναι ωt = ωΤ/8
Αλλά Τ = 1/f = 1/50 = 0,02sec => t = 0,02/8 = 0,0025sec
Άρα ωt = 2503,14 rad/s0,0025s = 0,785 rad
Η φάση σε μοίρες υπολογίζεται:
o o 0,785rad 180 ω t = = 45 3,14rad ×

Συνεπώς
i = I$\_{m}$ημωt = 6ημ45° = 60,707 = 4,24Α.

7.5. ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑ ΦΑΣΗΣ
Εάν κατά την αρχική χρονική στιγμή, που γίνονται οι μετρήσεις, δη -λαδή για t=0, το εναλλασσόμενο ρεύμα έχει κάποια τιμή i, δηλαδή δεν είναι μηδέν, τότε λέμε ότι έχει αρχική φάση φ$\_{1}$, σχήμα 7.10
Σχήμα 7.10. Εναλλασσόμενο ρεύμα i , με αρχική φάση φ$\_{1}$
Σε αυτή τη περίπτωση μετράμε τον χρόνο από την αρχική φάση. Μετά από χρόνο t, η φάση του εναλλασσόμενου ρεύματος θα είναι:
φ = ωt + φ$\_{1}$
Δηλαδή η εξίσωση του Ε.Ρ. γίνεται
i = I$\_{m}$ημ(ωt + φ$\_{1}$ )

Η αρχική φάση φ$\_{1}$ επηρεάζει την αρχική τιμή του εναλλασσομένου ρεύματος μετρούμενη στον κάθετο άξονα.
Όταν η αρχική φάση είναι θετική, η ημιτονική καμπύλη είναι μετα -τοπισμένη προς τα αριστερά του κάθετου άξονα (της αρχικής χρονικής στιγμής t=0), σχήμα 7.11α, ενώ, όταν είναι αρνητική, μετατοπίζεται προς τα δεξιά του κάθετου άξονα, σχήμα 7.11 β.
Σχήμα 7.11 α. Το εναλλασσόμενο ρεύμα i, που έχει θετική αρχική φάση φ$\_{1}$
Σχήμα 7.11β. Το εναλλασσόμενο ρεύμα i, που έχει αρνητική αρχική φάση φ$\_{1}$

Δύο εναλλασσόμενα ρεύματα i$\_{1}$ και i$\_{2}$ της ίδιας συχνότητας και φά -σης βρίσκονται σε ταυτότητα φάσης ή σε φάση ή είναι συμφασικά.
Στην περίπτωση αυτή τα δύο εναλλασσόμενα ρεύματα στις ίδιες χρονικές στιγμές (σχήμα 7.12 )
- -θα μηδενίζονται
- -θα παίρνουν τις μέγιστες τιμές
- -θα παίρνουν τις ελάχιστες τιμές τους.
Σχήμα 7.12. Δύο εναλλασσόμενα ρεύματα i$\_{1}$ και i$\_{2}$ της ίδιας συχνότητας που βρίσκονται σε φάση
Δύο εναλλασσόμενα ρεύματα της ίδιας συχνότητας, που έχουν διαφορετική αρχική φάση, με αποτέλεσμα να παίρνουν σε διαφορετικές χρονικές στιγμές τις μέγιστες, ελάχιστες και μηδενικές τιμές τους, βρίσκονται σε φασική απόκλιση ή σε διαφορά φάσης Δφ, σχήμα 7.13.

Σχήμα 7.13 Τα ρεύματα i$\_{1}$και i$\_{2}$ που βρίσκονται σε διαφορά φάσης Δφ = φ$\_{1}$,$\_{ }$ ίδια με την αρχική φάση φ$\_{1}$, του i$\_{1}$
Όταν το ένα εναλλασσόμενο ρεύμα είναι μέγιστο και το άλλο ελάχι -στο βρίσκονται σε διαφορά φάσης 180° ή σε αντίφαση, σχήμα 7.14.
Σχήμα 7.14. Τα ρεύματα i$\_{1}$ και i$\_{2}$ βρίσκονται σε αντίφαση (έχουν διαφορά φάσης Δφ = 180°)
Η διαφορά φάσης Δφ δύο ρευμάτων υπολογίζεται από τη σχέση:

Δφ = φ$\_{1}$- φ$\_{2}$
όπου φ$\_{1}$ είναι η φάση του πρώτου ρεύματος και φ$\_{2}$ είναι η φάση του δεύτερου ρεύματος.
Αν η διαφορά φάσης Δφ είναι θετική, τότε το i$\_{1}$ προηγείται χρονικά του i$\_{2}$, ή το i$\_{1}$ είναι σε προπορεία. Αν η διαφορά φάσης είναι αρνητική, τότε το i$\_{1}$ καθυστερεί χρονικά ως προς το i$\_{2}$ και βρίσκεται σε επιπορεία ως προς το i$\_{2}$.
Για να προσδιορίσουμε γραφικά μεταξύ δύο ή περισσότερων εναλ -λασσόμενων ρευμάτων της ίδιας συχνότητας, που βρίσκονται σε δια φορά φάσης, ποιο προηγείται του άλλου και κατά ποια γωνία, εκτελού -με τα ακόλουθα βήματα:

Βήμα 1. Φέρουμε κάθετες προβολές από τα θετικά μέγιστα προς τον οριζόντιο άξονα του χρόνου.
Βήμα 2. Παρατηρούμε ότι προηγείται εκείνο το εναλλασσόμενο ρεύ -μα, του οποίου την προβολή του μέγιστου συναντάμε πρώτη στον ορι ζόντιο άξονα. Μετρώντας την απόσταση των ιχνών (σε γωνία φ) των μεγίστων βρίσκουμε και τη διαφορά φάσης μεταξύ τους, (σχήμα 7.15)
Σχήμα 7.15. Η διαφορά φάσης δύο ρευμάτων i$\_{1}$ και i$\_{2}$, μετριέται μεταξύ δύο μέγιστων τιμών τους και προκύπτει η προπορεία του i$\_{1}$

Παράδειγμα 1
Σε ένα κύκλωμα το ρεύμα είναι i = Ι$\_{m}$ημωt και η τάση είναι u =U$\_{m}$ημ(ωt + π/6). α) Ποιο εναλλασσόμενο μέγεθος προηγείται του άλλου και β) ποια είναι η τιμή της στιγμιαίας τάσης στην αρχική χρο -νική στιγμή t=0;

Λύση:
α) Η ένταση i = I$\_{m}$ημωt κατά την αρχική χρονική στιγμή t=0 δεν έχει αρχική φάση δηλαδή φ$\_{1}$=0.
Όμως η τάση u=U$\_{m}$ημ(ωt+π/6) έχει αρχική φάση π/6 δηλαδή φ$\_{2}$= 30°.
Δφ = φ$\_{1}$ - φ$\_{2}$ = 0° - 30° = - 30°
Συνεπάγεται ότι προηγείται η τάση της έντασης κατά 30°, (όση είναι η αρχική της φάση στο χρόνο t=0).
β) u=U$\_{m}$ημ(π/6)=0,5U$\_{m}$= U$\_{m }$/2.

Παράδειγμα 2
Ένα εναλλασσόμενο ρεύμα έχει ημιτονική μορφή i= 100ημ(378t + π). Να υπολογισθούν: α) το πλάτος του ή η μέγιστη τιμή του, β) η συχνό -τητά του f, γ) η αρχική του φάση και δ) η στιγμιαία τιμή της έντασης την χρονική στιγμή t = 0,0166s.

Λύση:
α) I$\_{m}$ = 100 A
β) ω = 378 rad/s
f = ω /2π => f = 378/(23,14) = 60,2Hz.
- γ) Η αρχική φάση είναι π.
- δ) Η στιγμιαία τιμή της έντασης για t = 0.0166s είναι:
i =100ημ(378t + π) =100ημ(3780,0166 + π)
i =100ημ(6,28 +π)
Αλλά ένας κύκλος έχει 2π = 6,28 ακτίνια.
Συνεπώς: i =100ημ(2π +π) = 100ημ(π) = 0

Παρατήρηση:
Η προσθαφαίρεση ολόκληρων περιφερειών (2π ή 360°) στις γωνίες φάσεων δεν αλλάζει τη στιγμιαία τιμή του εναλλασσομένου μεγέθους.

Παράδειγμα 3
Δίνονται οι εναλλασσόμενες τάσεις u$\_{1}$ = 220ημ(ωt) και 2 3 π u = 220 ημ ω × t + 2 ÷ × . Υπολογίστε: α) τη διαφορά φάσης Δφ και β) την κατάσταση προπορείας των u$\_{1}$ και u$\_{2}$.

Λύση:
α) Δφ = φ$\_{1}$ - φ$\_{2}$ = 0 - 3π/2 = - 3π/2 = - 270°
- β) Επειδή προέκυψε αρνητική διαφορά φάσης, η u$\_{1}$ καθυστερεί χρονι -κά ως προς την u$\_{2}$. Συνεπώς, η u$\_{2}$ προηγείται χρονικά της u$\_{1}$ κατά 3π/2 ή 270°. Αυτό φαίνεται στο σχήμα 7.16.
Σχήμα 7.16. Η διαφορά φάσης των τάσεων u$\_{1}$ και u$\_{2}$ είναι Δφ= -3π/2 και η u$\_{2}$ προηγείται της u$\_{1}$ κατά 270°

7.6. ΕΝΕΡΓΟΣ Η ΕΝΔΕΙΚΝΥΜΕΝΗ ΤΙΜΗ ΤΟΥ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ
Ενεργός τιμή του εναλλασσομένου ρεύματος ονομάζεται η τιμή της έντασης του ισοδύναμου συνεχούς ρεύματος, το οποίο θα παράγει επί μιας συγκεκριμένης ωμικής αντίστασης το ίδιο ποσό θερμότητας Q με το εναλλασσόμενο ρεύμα, στον ίδιο χρόνο.
Q = 0,24 10 -3 RI 2 t
Την ενεργό ή ενδεικνυμένη τιμή I της έντασης i , υπολογίζουμε από τη σχέση:
I= I 2 m ή I = 0,707I$\_{m}$
Ομοίως για την τάση ισχύει ότι την ενεργό ή ενδεικνυμένη τιμή U της τάσης u υπολογίζουμε από τη σχέση:

U= U 2 m ή U = 0,707U$\_{m}$
Η ενεργός τιμή ισούται περίπου με το 70% της μέγιστης τιμής των εναλλασσομένων μεγεθών.
Από εδώ και πέρα θα εργαζόμαστε μόνο με ενεργές τιμές. Δηλαδή όταν μιλάμε για τάση ή ένταση θα εννοούμε τις ενεργές τιμές τους, U και I αντίστοιχα.
Στα περισσότερα όργανα μετρήσεων διαβάζουμε μόνο ενεργές τιμές (Βολτόμετρα, Αμπερόμετρα, μετρητές ισχύος κ.λ.π.)

Παράδειγμα 1S
Να υπολογισθεί η μέγιστη τιμή της εναλλασσόμενης τάσης με ενερ -γό τιμή U = 220V.

Λύση:
m m U U = U U 2 = 220V 1,414 U = 311V 2 Þ = × × Þ

Παράδειγμα 2
Να υπολογίσετε το ποσό θερμότητας Q που παράγει σε μια ώρα ηλε -κτρική σόμπα, όταν η στιγμιαία τιμή του ρεύματος είναι i =10ημωt. Το θερμαντικό στοιχείο της σόμπας έχει αντίσταση R = 40Ω.
Λύση: i =10ημωt Þ I$\_{m}$ = 10Α
Άρα η ενεργός τιμή του ρεύματος είναι
I= I 2 m = 7 Α

Συνεπώς:
Q = 0,2410 -3 I 2 R t = 0.2410 -3 7 2 403600 = 1693 kcal

7.7. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ
Στην ημιτονική καμπύλη εύκολα και με ακρίβεια μπορούμε σε κάθε χρονική στιγμή t να έχουμε το πλάτος, τη φάση και τη συχνότητα του εναλλασσομένου ρεύματος.
Επειδή όμως δεν είναι εύκολη εργασία η χάραξη της ημιτονικής καμπύλης, θα χρησιμοποιούμε για τη γραφική παράσταση των εναλ -λασσομένων ρευμάτων συμβολικά τα διανύσματα των ενεργών τιμών τους.
Σημείωση. Θυμίζουμε από την ύλη του Γυμνασίου ότι ένα διάνυ -σμα παριστάνεται:
α) από ένα ευθύγραμμο τμήμα υπό κλίμακα, που εκφράζει το πλάτος του φυσικού μεγέθους ή τη μέγιστη τιμή του.

β) από την κλίση του, ή τη γωνία φ που σχηματίζει ως προς τον οριζό -ντιο άξονα.
γ) από την φορά του, που τη δείχνει ένα βέλος στο άκρο του ευθύγραμ -μου τμήματος
Σε ένα σύστημα δυο καθέτων αξόνων, όπου θεωρούμε ότι ο οριζό -ντιος άξονας είναι άξονας της αρχής μέτρησης των φάσεων και ότι ο κάθετος είναι άξονας των προβολών των διανυσμάτων με κατάλληλη κλίμακα (π.χ. 1cm = 100V και 1cm = 4Α), ορίζουμε:
-  Για το ρεύμα i = I$\_{m}$ημ(ωt+φ$\_{1}$) ένα διάνυσμα με μέγεθος ΟΑ = I$\_{m }$ υπό γωνία φ =( ωt + φ$\_{1}$) ως προς τον οριζόντιο άξονα, δηλαδή όση είναι η φάση του, Σχήμα 7.17.1
-  Δείχνουμε πάντοτε με ένα τοξοειδές βέλος τη φορά περιστροφής της κυκλικής συχνότητας ω.
-  Η φορά περιστροφής της ω είναι αντίθετη της φοράς περιστροφής των δεικτών του ρολογιού.

Σχήμα 7.17.1 Γραφική παράσταση του διανύσματος I$\_{m}$ = ΟΑ. Από την ημιτονική καμπύλη στο διανυσματικό κύκλο.
Σχήμα 7.17.2 Γραφική παράσταση του διανύσματος I$\_{m}$ = ΟΑ. Από το διανυσματικό κύκλο (α) στο διανυσματικό διάγραμμα (β).
Αν πάρουμε την προβολή του σημείου Α στον κάθετο άξονα, μετρά -με πάνω σε αυτόν απόσταση ΟΑ', που είναι η προβολή του διανύσμα τος ΟΑ= I$\_{m}$ . Το ΟΑ' = ΑΒ και αντιστοιχεί στη στιγμιαία τιμή i (βλέπε σχήμα 7.17.2)
Στην πράξη χρησιμοποιούμε τις ενεργές τιμές τάσης και έντασης για τη διανυσματική παράστασή τους. Με τη διανυσματική παράσταση γί -νονται αμέσως αντιληπτές η αρχική φάση φ (σχήμα 7.17.1 και 7.17.2) και οι διαφορές των φάσεων (σχήματα 7.18 και 7.19), πολλών εναλ -λασσομένων ρευμάτων της ίδιας συχνότητας.

Παράδειγμα 1
Εναλλασσόμενο ρεύμα με ενεργό τιμή Ι=5Α, μέγιστη τιμή I$\_{m}$ = 7,07 Α και συχνότητα f = 50Hz, στην αρχή των χρόνων t=0 έχει αρχική φάση φ$\_{1}$=30° = π/6. Υπολογίστε: α) την κυκλική συχνότητα, β) υπολο -γίστε τη φάση μετά από χρόνο t=0,01 sec και γ) σχεδιάστε το διανυ σματικό διάγραμμα.

Λύση:
α) ω = 2πf = 23,1450 = 314 r/s
β) φ = ωt +φ$\_{1}$
o π π φ = 314 0,01+ = 3,14 + = 210 6 6 ×
γ) Το διανυσματικό διάγραμμα παρουσιάζεται στο Σχήμα 7.17.3.
Σχήμα 7.17.3. Διανυσματικό διάγραμμα του ρεύματος i α) για t=0 είναι το κόκκινο βέλος και β) για t= 0,01s είναι το πράσινο βέλος

7.8. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ
Η πρόσθεση δύο εναλλασσομένων ρευμάτων με προσθετέους τις στιγμιαίες τιμές τους είναι εργασία που απαιτεί μεγάλη ακρίβεια στο σχεδιασμό. Πολύ πιο εύκολα όμως γίνεται με τη χρήση του διανυσμα -τικού διαγράμματος, όπου προσθέτουμε εύκολα δύο ή περισσότερα εναλλασσόμενα ρεύματα, αρκεί να τηρήσουμε ορισμένες παραδοχές.
Έστω τα ρεύματα I$\_{1}$=20A με αρχική φάση 0° και I$\_{2}$=10Α με αρχική φάση 30°.
- α) Ορίζουμε την κλίμακα σχεδίασης π.χ 1cm =10Α
- β) Θεωρούμε πάντοτε ως φορά περιστροφής των διανυσμάτων την αντίθετη των δεικτών του ρολογιού
- γ) Σχεδιάζουμε τις ενεργές τιμές των διανυσμάτων με την επιλεγμένη κλίμακα, με διεύθυνση την αρχική τους φάση ως προς τον οριζόντιο άξονα (σχήμα 7.18)

Σχήμα 7.18. Διανυσματική παράσταση των ρευμάτων i$\_{1}$, i$\_{2}$ και του συνιστάμενου ρεύματος i$\_{1}$ + i$\_{2}$
δ) Προσθέτουμε τα διανύσματα I$\_{1}$ και Ι$\_{2}$ με τον νόμο του παραλληλογράμμου Σχήμα 7.18. Η φάση του ολικού ρεύματος είναι η γωνία φ που σχηματίζει το διάνυσμά του με τον οριζόντιο άξονα, Σχήμα 7.18. Όταν τα ρεύματα είναι περισσότερα από δύο (π.χ. τρία), η πρόσθεσή τους γίνεται με το νόμο του παραλληλόγραμμου Σχήμα 7.19.α, ή με το δυναμοπολύγωνο, Σχήμα 7.19.β. Το συνισταμένο διάνυσμα Ι=Ι$\_{1}$+Ι$\_{2}$+Ι$\_{3}$ είναι το ολικό ρεύμα.

Σχήμα 7.19. Διανυσματικό διάγραμμα πρόσθεσης τριών ρευμάτων: α) με το παραλληλόγραμμο και β) με το δυναμοπολύγωνο

Σημείωση 1
Για να προσθέσουμε διανυσματικά (γεωμετρικά) δύο μεγέθη που συ -ντρέχουν σε κοινό σημείο:
- α) από το τέλος του πρώτου φέρουμε παράλληλο και ίσο με το δεύτερο
- β) από το τέλος του δεύτερου φέρουμε παράλληλο και ίσο προς το πρώτο. Το αποτέλεσμα είναι να σχηματισθεί παραλληλόγραμμο με πα -ράλληλες πλευρές τα προστιθέμενα μεγέθη.
- γ) Η διαγώνιος του παραλληλογράμμου που έχει αρχή την κοινή αρχή των δύο μεγεθών και τέλος το κοινό τους τέλος είναι το συνιστάμενο μέγεθος (σχήμα 7.18).

Σημείωση 2
Εάν τα μεγέθη είναι περισσότερα από δύο, ακολουθούμε ακριβώς την ίδια πορεία. Το συνιστάμενο μέγεθος έχει αρχή την κοινή αρχή των μεγεθών και τέλος, το τέλος του τελευταίου αγόμενου παράλληλου μεγέθους. Το διανυσματικό διάγραμμα που σχηματίζεται ονομάζεται δυναμοπολύγωνο (σχήμα 7.19.β).

7.9. ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ
- 1. Η συνολική τάση που προκύπτει (παράγεται) στα άκρα περιστρε -φόμενου βρόχου μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο, οποιαδήποτε τυ χαία χρονική στιγμή t, δίδεται από τη σχέση:

u = 2Β ℓ υημφ
- 2. Γενικά, για κάθε χρονική στιγμή η εναλλασσόμενη τάση δίνεται από την σχέση:.
u = U$\_{m}$ημφ
Επίσης, για κάθε χρονική στιγμή η εναλλασσόμενη ένταση (ρεύμα) δίνεται από τη σχέση.

i = I$\_{m}$ημφ
Όπου: u είναι η στιγμιαία τιμή της εναλλασσόμενης τάσης, U$\_{m}$ είναι η μέγιστη τιμή της εναλλασσόμενης τάσης, i είναι η στιγμιαία τιμή του εναλλασσόμενου ρεύματος και I$\_{m}$ είναι η μέγιστη τιμή του εναλλασσό -μενου ρεύματος.
- 3. Ονομάζεται περίοδος Τ ενός εναλλασσομένου μεγέθους (τάσης ή έντασης) ο σταθερός χρόνος Τ , μέσα στον οποίο το εναλλασσόμενο ρεύμα συμπληρώνει μια πλήρη εναλλαγή (περιστροφή 360°), με άλλα λόγια ο χρόνος σε δευτερόλεπτα μέσα στον οποίο ολοκληρώνεται ένας πλήρης κύκλος μεταβολής του.
- 4. Ονομάζουμε συχνότητα f του εναλλασσόμενου ρεύματος, τον στα -θερό αριθμό των κύκλων, που συμπληρώνονται μέσα σε ένα δευτερό λεπτο. Η μονάδα μέτρησης της συχνότητας είναι το Hertz (Hz).

Περίοδος και συχνότητα συνδέονται με τη σχέση.

f=1/Τ
- 5. Τη γωνία φ της εναλλασσόμενης τάσης u = U$\_{m}$ημφ ή του εναλλασ -σόμενου ρεύματος i = I$\_{m}$ημφ, ονομάζουμε φάση ή γωνία φάσης.
- 6. Τη σταθερή αύξηση της φάσης σε ένα δευτερόλεπτο ονομάζουμε κυκλική συχνότητα ω του εναλλασσόμενου μεγέθους.
Η κυκλική συχνότητα ω συμπίπτει με τη γωνιακή ταχύτητα περιστρο -φής του βρόχου και δίνεται από τη σχέση:
ω = 2πf = 2π/Τ ακτίνια/δευτερόλεπτο ή rad/sec
- 7 . Εάν κατά την αρχική χρονική στιγμή, t=0, το εναλλασσόμενο ρεύμα έχει κάποια τιμή i, διαφορετική του μηδενός, τότε έχει αρχική φάση φ$\_{1}$. Σε αυτή τη περίπτωση μετράμε το χρόνο από την αρχική φάση. Μετά από χρόνο t η φάση του εναλλασσόμενου ρεύματος θα είναι:
φ = ωt + φ$\_{1}$

Δηλαδή η εξίσωση του εναλλασσόμενου ρεύματος με αρχική φάση γί -νεται

i = I$\_{m}$ημ(ωt + φ$\_{1}$ )
- 8. Δύο εναλλασσόμενα ρεύματα i$\_{1}$ και i$\_{2}$ της ίδιας συχνότητας και φά -σης λέμε ότι βρίσκονται σε ταυτότητα φάσης ή απλά σε φάση ή ότι είναι συμφασικά.
- 9. Δύο εναλλασσόμενα ρεύματα της ίδιας συχνότητας που έχουν διαφορετική αρχική φάση με αποτέλεσμα να παίρνουν σε διαφορετικές χρονικές στιγμές τις μέγιστες, ελάχιστες και μηδενικές τιμές τους λέμε ότι βρίσκονται σε φασική απόκλιση ή απλά σε διαφορά φάσης Δφ.
- 10. Η διαφορά φάσης Δφ δύο ρευμάτων υπολογίζεται από τη σχέση:

Δφ = φ$\_{1}$ - φ$\_{2}$
όπου φ$\_{1}$ είναι η φάση του ενός ρεύματος και φ$\_{2}$ είναι η φάση του άλλου ρεύματος.
Αν η διαφορά φάσης Δφ είναι θετική, τότε το i$\_{1}$ προηγείται χρονικά του i$\_{2}$, και είναι σε προπορεία. Αν η διαφορά φάσης Δφ είναι αρνητική, τότε το i$\_{1}$ καθυστερεί χρονικά ως προς το i$\_{2}$ και βρίσκεται σε επιπορεία ως προς το i$\_{2}$.
- 11. Ονομάζεται ενεργός τιμή του εναλλασσομένου ρεύματος I$\_{εν}$ ή I, η τιμή της έντασης του ισοδύναμου συνεχούς ρεύματος, το οποίο θα παράγει επί μιας συγκεκριμένης ωμικής αντίστασης το ίδιο ποσό θερ -μότητας Q, με το εναλλασσόμενο ρεύμα, στον ίδιο χρόνο. Την ενεργό ή ενδεικνύμενη τιμή I της έντασης i, υπολογίζουμε από τη σχέση:

I= I 2 m ή I = 0,707I$\_{m}$
Ομοίως, για την τάση ισχύει ότι την ενεργό ή ενδεικνυμένη τιμή U της τάσης u , υπολογίζουμε από τη σχέση
U= U 2 m ή U = 0,707U$\_{m}$
Στα περισσότερα όργανα μετρήσεων διαβάζουμε ενεργές τιμές (Βολτόμετρα, Αμπερόμετρα, μετρητές ισχύος κ.λ.π.)
- 12. Επειδή δεν είναι εύκολη εργασία η χάραξη της ημιτονικής καμπύ -λης, χρησιμοποιούμε για τη γραφική παράσταση των εναλλασσομένων ρευμάτων και τάσεων, τα διανύσματα των ενεργών τιμών τους. Στην πράξη, για τη διανυσματική παράσταση εναλλασσομένων μεγεθών χρησιμοποιούμε τις ενεργές τιμές τους.

Με τη διανυσματική παράσταση γίνονται αμέσως αντιληπτές η αρχική φάση και οι διαφορές των φάσεων πολλών εναλλασσομένων ρευμάτων της ίδιας συχνότητας.
- 13. Με τη χρήση του διανυσματικού διαγράμματος προσθέτουμε εύ -κολα δύο ή περισσότερα εναλλασσόμενα ρεύματα.

7.10. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ
- 1. Ποια είναι η τιμή της κυκλικής συχνότητας ω και της περιόδου Τ μιας εναλλασσόμενης τάσης συχνότητας f=50Hz.
Απάντηση: ω = 314 rad /sec, Τ = 0,020s
- 2. Τετραπολική γεννήτρια περιστρέφεται με ταχύτητα n=1500 στρο -φές το λεπτό. Υπολογίστε την συχνότητα της παραγόμενης ΗΕΔ.
Απάντηση: f = 50Hz
- 3. Θέλουμε να κινήσουμε γεννήτρια με ταχύτητα n=500 στροφές το λεπτό. Υπολογίστε πόσους πόλους πρέπει να έχει η γεννήτρια, ώστε να παράγει εναλλασσόμενη τάση με συχνότητα 50Hz.

Απάντηση: p = 6 ζεύγη πόλων ή 12 πόλους
- 4. Η ενεργός τιμή εναλλασσόμενης τάσης είναι 220 V. Ποια είναι η μέγιστη τιμή της.
Απάντηση: U$\_{m}$ = 311V
- 5. Προσθέτουμε διανυσματικά δύο εναλλασσόμενες τάσεις με ενεργές τιμές U$\_{1}$= 60V και U$\_{2}$ = 40V. Υπολογίστε την τιμή της ολικής τάσης του κυκλώματος όταν: α) οι τάσεις είναι συμφασικές, β) η U$\_{1}$ προπορεύεται της U$\_{2}$ κατά 45° και γ) η U$\_{1}$ προπορεύεται της U$\_{2}$ κατά 90°.
Απάντηση: Ορίστε κατάλληλη κλίμακα και σχεδιάστε το διανυσμα -τικό διάγραμμα τάσεων και για τις τρεις περιπτώσεις.

- 6. Στην άσκηση 5, να σχεδιάσετε τα διανυσματικά διαγράμματα και να υπολογίσετε τη φάση της ολικής τάσης α) ως προς την U$\_{1}$ και β) ως προς την U$\_{2}$.
- 7. Υπολογίστε τη στιγμιαία τιμή της εναλλασσόμενης τάσης u=300ημ(ωt+60°) όταν t=0,01s και f =50Hz.
Απάντηση: u = -259,8V
- 8. Υπολογίστε τη στιγμιαία τιμή της έντασης i = 1,45ημ(225°). Τι πα -ρατηρείτε για την τιμή αυτή;
Απάντηση: I = -1,02Α
- 9. Γεννήτρια εναλλασσομένου ρεύματος παράγει στη συχνότητα των 50Hz τάση με μέγιστη τιμή 300 V και αρχική φάση 0. Υπολογίστε την τιμή της τάσης μετά από χρόνο t=0,02s από την αρχή των χρόνων .

Απάντηση: u = 0V
- 10. Εναλλασσόμενη τάση με μέγιστη τιμή 240V, συχνότητα 50Hz και αρχική φάση φ=0°, έχει τιμή 60V.
Υπολογίστε το χρόνο σε δευτερόλεπτα από την αρχή των χρόνων μέχρι την τιμή αυτή.
Απάντηση: 0,810 -3 s=0.8msec
- 11. Δίδεται το εναλλασσόμενο ρεύμα i =11ημωt = 5 Α. Υπολογίστε το χρόνο που πέρασε για να πάρει την τιμή αυτή, όταν η συχνοτητά του είναι 50 Hz.
Απάντηση: 1,510 -3 sec=1,5msec
- 12. Εναλλασσόμενη τάση έχει μέγιστη τιμή 220V. Μετά από χρόνο 0,0015s, η στιγμιαία τιμή της είναι 100V. Υπολογίστε τη συχνότητα, όταν η αρχική της φάση είναι 0°.

Απάντηση: f = 50,1 Hz
- 13. Στο κύκλωμα του σχήματος 7.20 η τάση u προπορεύεται της έντα -σης κατά 30°. Να σχεδιάσετε τις ημιτονικές καμπύλες και το διανυ σματικό διάγραμμα τάσης και έντασης, όταν I = 10Α και U = 220 V.
Σχήμα 7.20. Κύκλωμα σε εναλλασσόμενο ρεύμα
- 14. Υπολογίστε την ενεργό τιμή εναλλασσομένου ρεύματος, όταν η μέγιστη τιμή του είναι 15 Α.
Απάντηση: 10,6Α
- 15. Σε κύκλωμα εναλλασσομένου ρεύματος μετράμε τάση 100 V με αρχική φάση 45°. Επίσης, μετράμε ένταση I=3,8Α με καθυστέρηση ως προς τη τάση 30°. α) Σχεδιάστε το διανυσματικό διάγραμμα τάσης και έντασης, β) Υπολογίστε τη διαφορά φάσης, μεταξύ τάσης και έντασης, γ) Υπολογίστε γραφικά (από το διανυσματικό διάγραμμα) τις αντίστοι -χες στιγμιαίες τιμές της τάσης και της έντασης.

Απάντηση: Τα αποτελέσματα προκύπτουν από το διανυσματικό διάγραμμα
- 16. Υπολογίστε τη διαφορά φάσης των εναλλασσομένων τάσεων u$\_{1}$ = U$\_{1}$ημ(ωt + π) και u$\_{2}$ =U$\_{2}$ημ(ωt - π/2)
Απάντηση: Δφ = 3π/2 = 270°
- 17. Ποια είναι η φάση εναλλασσόμενης τάσης με περίοδο Τ = 0,02sec, κατά την χρονική στιγμή t=0,01sec. Η αρχική φάση είναι 0.
Απάντηση: φ = π

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8

ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΕΣ ΚΑΙ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΟΥΣ ΣΤΟ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ

8.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Το μεγαλύτερο μέρος του οικιακού και βιομηχανικού εξοπλισμού λειτουργεί με εναλλασσόμενο ρεύμα. Τα κύρια χαρακτηριστικά του εναλλασσόμενου ρεύματος είναι το πλάτος ή εύρος, η ενεργός τιμή και η συχνότητά του, που εξετάσθηκαν στο κεφάλαιο 7.
Ο λόγος, που χρησιμοποιείται εναλλασσόμενο ρεύμα (Ε.Ρ.) σε εφαρ -μογές, έχει να κάνει με τον τρόπο παραγωγής και διανομής του. Είναι σχετικά εύκολο να παραχθεί Ε.Ρ. σε ατμογεννήτριες και υδροηλεκτρι -κά εργοστάσια αντί για συνεχές ρεύμα και ακόμη πιο εύκολο να δια νεμηθεί.

Σε αυτό το κεφάλαιο εξετάζονται κυκλώματα, που περιέχουν ωμι -κές αντιστάσεις, πηνία και πυκνωτές, που είναι συνδεδεμένα είτε σε σειρά είτε παράλληλα και τροφοδοτούνται με Ε.Ρ. Μελετάται η αντί -σταση που προβάλλει κάθε στοιχείο στο κύκλωμα (ωμική, επαγωγική και χωρητική) καθώς και η σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος. Στα κυκλώματα Ε.Ρ καταναλώνεται ισχύς, η οποία αναλύεται σε πραγματι -κή, άεργη και φαινόμενη.

8.2. ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΚΑΙ ΜΕΣΗ ΙΣΧΥΣ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ
Δίνεται ένα κύκλωμα, στο οποίο εφαρμόζεται εναλλασσόμενη τάση με στιγμιαία τιμή u και διαρρέεται από ρεύμα με στιγμιαία τιμή i. Το γινόμενο των στιγμιαίων τιμών τάσης και ρεύματος, σε κάποια χρονική στιγμή, παρέχει τη στιγμιαία ισχύ για το κύκλωμα:

p=ui
Στη γενική περίπτωση, που μεταξύ τάσης και ρεύματος υπάρχει κά -ποια διαφορά φάσης φ, οι στιγμιαίες τιμές του ρεύματος και της τάσης είναι:
i=I$\_{m}$ημωt
u=U$\_{m}$ημ(ωt+φ)
Η στιγμιαία ισχύς προκύπτει ως:
p=ui=U$\_{m}$Ι$\_{m}$ημ(ωt+φ)ημωt
όπου: m m U = U 2 και Ι = I 2 × ×
Μετά από μαθηματική επεξεργασία της σχέσης της στιγμιαίας ισχύ -ος βρίσκουμε τη μέση ισχύ σε μία περίοδο η οποία μετριέται σε βατ και είναι:
Ρ=UIσυνφ σε W

8.3. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ, ΑΕΡΓΗ ΚΑΙ ΦΑΙΝΟΜΕΝΗ ΙΣΧΥΣ
Η πάρα πάνω σχέση είναι γενική και μπορεί να εφαρμοσθεί σε οποιοδήποτε κύκλωμα η τμήμα κυκλώματος. Η μέση ισχύς ονομάζεται επίσης ενεργός ή πραγματική ισχύς.
Η ενεργός ισχύς για το εναλλασσόμενο διαφέρει από την ισχύ συ -νεχούς ρεύματος κατά τον παράγοντα συνφ, που ονομάζεται συντελεστής ισχύος. Το συνφ παίρνει τιμές μεταξύ 0 και 1:

0<συνφ<1
Όσο μικρότερο είναι το συνφ, τόσο μικρότερη είναι η μέση ισχύς για τις ίδιες τιμές ρεύματος και τάσης. Ακόμη, για δεδομένη τάση και ισχύ, το ρεύμα που διαρρέει το κύκλωμα αυξάνεται για μικρά συνφ και ελαττώνεται για μεγάλα συνφ. Ο συντελεστής ισχύος καθορίζεται από τη συγκρότηση του κυκλώματος και μπορεί να βελτιωθεί (βελτίωση συνφ), όπως θα αναπτυχθεί στο Κεφάλαιο 11. Η έννοια του συντελε -στή ισχύος και της βελτίωσής του έχει τεράστια σημασία στις βιομηχα νικές και οικιακές εγκαταστάσεις, αλλά και στα δίκτυα μεταφοράς και διανομής ηλεκτρικής ενέργειας.

Όταν το ρεύμα και η τάση βρίσκονται σε φάση, τότε φ=0° και συνφ=1, συνεπώς η τιμή της ισχύος είναι Ρ=UI. Αυτή η ισχύς, η οποία είναι η μέγιστη ισχύς που μπορεί να απορροφήσει ένας καταναλωτής με δεδομένη την τάση U και ένταση I, ονομάζεται φαινόμενη ισχύ Ρ$\_{φ}$ και μετριέται σε βολταμπέρ (VA).
Ρ$\_{φ}$=UI σε VA
Η φαινόμενη ισχύς είναι συνήθως ένα από τα ονομαστικά μεγέθη μιας συσκευής (π.χ. μετασχηματιστές).
Από το είδος του καταναλωτή και τις συνθήκες του δικτύου θα εξαρ -τηθεί πόση πραγματική ισχύ θα απορροφήσει. Ο συντελεστής ισχύος προσδιορίζει το μέγεθος της πραγματικής ισχύος ως προς το μέγεθος της φαινόμενης ισχύος.

συνφ=Ρ/Ρ$\_{φ}$ ή Ρ=Ρ$\_{φ}$συνφ
Η ποσότητα Ρ$\_{α}$=UIημφ ονομάζεται άεργη ισχύς και μετριέται σε VAr. Η άεργη ισχύς δεν παράγει μηχανικό έργο, ούτε θερμότητα. Υπο -λογίζεται από τη φαινόμενη ισχύ και από τη γωνία φ:
Ρ$\_{α}$=Ρ$\_{φ}$ημφ
Προκύπτει ότι η σχέση μεταξύ πραγματικής ισχύος, άεργης ισχύος και φαινόμενης ισχύος είναι:
P$\_{φ}$ 2 =P 2 + P$\_{α}$ 2
Στο διάγραμμα του σχήματος 8.1 παρουσιάζεται το τρίγωνο ισχύος. Η πραγματική ισχύς Ρ είναι στον οριζόντιο άξονα, η άεργη ισχύς Ρ$\_{α }$ είναι κάθετη στην πραγματική ισχύ Ρ και η φαινόμενη ισχύς Ρ$\_{φ}$ είναι η υποτείνουσα.

Σχήμα 8.1 Τρίγωνο Ισχύος: πραγματική ισχύς Ρ, άεργη ισχύς Ρ$\_{α}$ και φαινόμενη ισχύς Ρ$\_{φ}$

Παράδειγμα 1
Η πραγματική ισχύς ενός ηλεκτροκίνητου μηχανήματος είναι Ρ=7,2KW. Η φαινόμενη ισχύς του είναι Ρ$\_{φ}$=9,5KVA. Να υπολογιστεί: α) ο συντελεστής ισχύος συνφ και β) η άεργη ισχύς Ρ$\_{α}$.

Λύση:
α) Από το τρίγωνο των ισχύων βρίσκουμε:
φ Ρ 7,2 συνφ = = = 0,76 φ = 40,5 Ρ 9,5 Þ 
β) άεργη ισχύς βρίσκεται από:
Ρ$\_{α}$=Ρ$\_{φ}$ημφ=9,5ημ40,5°=6,2KVAr
Επαλήθευση:
Από τη σχέση του ορθογωνίου τριγώνου του σχήματος 8.1:
2 2 2 α φ Ρ = Ρ -Ρ
2 2 2 α Ρ = 9,5 - 7,2 = 90,25-51,84 = 6,2KVAr

Παράδειγμα 2
Ένα εργοστάσιο παίρνει από δίκτυο τάσης 5KV πραγματική ισχύ 64KW με συντελεστή ισχύος συνφ=0,81. Να υπολογιστεί η ένταση του ρεύματος.

Λύση:
Από τη σχέση της πραγματικής ισχύος Ρ=UIσυνφ βρίσκουμε:
P 64000W I = = =15,8A U συνφ 5000V 0,81 ×

Παράδειγμα 3
Καταναλωτής ονομαστικής ισχύος 10KW συνδέεται σε πηγή εναλ -λασσόμενης τάσης 220V, 50Hz. Να υπολογισθούν: α) η ενεργός τιμή του ρεύματος I όταν η άεργη ισχύς είναι μηδέν, β) η φαινόμενη ισχύς Ρ$\_{φ}$, η ενεργός τιμή του ρεύματος I και ο συντελεστής ισχύος συνφ, όταν η άεργος ισχύς είναι P$\_{α}$=7KVAr.

Λύση:
α) Πρώτη περίπτωση όπου Ρ$\_{α}$=0 δηλαδή ημφ=0 Þ φ=0° Þ συνφ=1
Υπολογίζουμε το ρεύμα από τη σχέση:
Ρ=Ρ$\_{φ}$συνφ=UIσυνφ
3 P 10 10 W I = = = 45,45A U συνφ 220V 1 × ×
β) Δεύτερη περίπτωση όταν P$\_{α}$=7KVAr.
Από το τρίγωνο ισχύων βρίσκουμε:
P$\_{φ}$ 2 =P 2 + P$\_{α}$ 2
2 2 2 2 φ α 3 φ 3 P = Ρ + Ρ = 10 + 7 = 100 + 49 =12,2kVA P 12,2 10 VA I = = = 55,45A U 220V P = U I συνφ Ρ 10 × 10 συνφ = = = 0,82 U I 220 55,45 × × × × ×
και φ ≈ 35°

Παράδειγμα 4
Να υπολογιστεί η φαινομένη ισχύς για u=2ημ60° και i=2ημ60°.

Λύση:
φ 2 U = και Ι = 2 2 2 2 4 Ρ = U I = = = 2W 2 2 2 × ×

Παράδειγμα 5
Το φορτίο ενός καταναλωτή δημιουργεί γωνία φ=30° μεταξύ τάσης και έντασης. Να υπολογιστεί ο συντελεστής ισχύος.

Λύση:
Ο συντελεστής ισχύος είναι:
o 3 συνφ = συν 30 = = 0,87 2

8.4. ΤΡΙΓΩΝΟ ΡΕΥΜΑΤΩΝ
Από το τρίγωνο ισχύος του Σχήματος 8.1 όταν διαιρέσουμε κάθε πλευρά με την τάση U προκύπτει το τρίγωνο ρευμάτων, Σχήμα 8.2. Στο τρίγωνο αυτό η ολική ένταση I προκύπτει από την διανυσματική πρόσθεση δυο συνιστωσών: της συνιστώσας Ι$\_{β}$ και της συνιστώσας Ι$\_{α}$. Η συνιστώσα Ι$\_{β}$ αντιστοιχεί στο ενεργό ή βαττικό ρεύμα, στο οποίο οφείλεται η πραγματική ισχύς. Η συνιστώσα Ι$\_{α}$ αντιστοιχεί στο άεργο ρεύμα στο οποίο οφείλεται η άεργη ισχύς. Στο τρίγωνο ρευμάτων, το βαττικό ρεύμα Ι$\_{β}$ είναι στον οριζόντιο άξονα, το άεργο ρεύμα Ι$\_{α}$ είναι κάθετο στο βαττικό Ι$\_{β}$ ρεύμα και το ολικό ρεύμα I είναι η υποτείνουσα.

Ι$\_{β}$=Ισυνφ
Ι$\_{α}$=Ιημφ
Το άεργο ρεύμα αυξάνει το ρεύμα φόρτισης των ηλεκτρικών γραμ -μών των εγκαταστάσεων, των μετασχηματιστών, των δικτύων μεταφο ράς και διανομής και των γεννητριών.
Σχήμα 8.2. Τρίγωνο ρευμάτων: βαττικό ρεύμα Ι$\_{β}$, άεργο ρεύμα Ι$\_{α}$ και ολικό ρεύμα I
Έτσι για την ισχύ εναλλασσόμενου ρεύματος έχουμε τις σχέσεις:
-  Φαινομένη ισχύς: Ρ$\_{φ}$=UI σε VA
-  Πραγματική ισχύς: P=UI$\_{β}$ σε W
-  Άεργη ισχύς: Ρ$\_{α}$=UΙ$\_{α}$ σε VAr

8.5. ΩΜΙΚΟΣ, ΧΩΡΗΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΕΠΑΓΩΓΙΚΟΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗΣ ΣΕ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ
Οι συσκευές, που χρησιμοποιούνται καθημερινά στις οικιακές και βιοτεχνικές εγκαταστάσεις, λειτουργούν με εναλλασσόμενο ρεύμα. Όσες προορίζονται για τις ευρωπαϊκές χώρες έχουν χαρακτηριστικά (τάση, συχνότητα) = (220V, 50Hz), ενώ αυτές που λειτουργούν στις Η.Π.Α. έχουν (τάση, συχνότητα) = (127V, 60Hz). Οι ηλεκτρικές συ -σκευές αποτελούνται από πολύπλοκα κυκλώματα, τα κυριότερα από τα οποία είναι: η αντίσταση R, ο πυκνωτής C και το πηνίο L.

Με βάση όμως την λειτουργία τους, τα ηλεκτρικά κυκλώματα ταξι -νομούνται σε τρεις κατηγορίες:
-  Ωμικός καταναλωτής, όπου το βασικό στοιχείο είναι η αντίσταση
-  Επαγωγικός καταναλωτής, όπου το βασικό χαρακτηριστικό είναι το πηνίο.
-  Χωρητικός καταναλωτής, όπου το βασικό στοιχείο είναι ο πυκνω -τής

8.5.1. Ωμικός καταναλωτής
Θεωρούμε μια πηγή εναλλασσόμενου ρεύματος συνδεδεμένη με μια αντίσταση, όπως φαίνεται στα σχήματα 8.3.α και 8.3.β.
Σχήμα 8.3.α. Κύκλωμα με αντίσταση R στην οποία εφαρμόζεται εναλλασσόμενη τάση u
Σχήμα.8.3.β Κυματομορφές τάσης - έντασης σε ωμικό καταναλωτή.
Η τάση της πηγής δίνεται από την σχέση:
u=U$\_{m}$ημωt
όπου: u είναι η στιγμιαία τάση της πηγής σε Volt, U$\_{m}$ είναι το πλάτος της τάσης σε Volt, ω είναι η κυκλική συχνότητα σε rad/sec και t ο χρό -νος σε sec.

Αυτό που ενδιαφέρει στον ωμικό καταναλωτή είναι η ένταση του ρεύματος, που διαρρέει το κύκλωμα και η καταναλισκόμενη ενέργεια σ' αυτό.
Στο Σχήμα 8.3.α η τάση της πηγής ισούται με την τάση στα άκρα της αντίστασης:
u=U$\_{R}$
Η ένταση του ρεύματος είναι:
i=I$\_{m}$ημωt
Για τις στιγμιαίες τιμές της τάσης και της έντασης ισχύει και στο εναλλασσόμενο ρεύμα ο νόμος του Ωμ. Επομένως για την ωμική αντί -σταση του Σχήματος 8.3.α ισχύει:
m m m m U ημω t u i = = = I ημω t R R U I = R
Αντικαθιστώντας τις ενεργές τιμές U και I έχουμε:

m m I U I = και U = 2 2
m U U U I = = I = R R 2R Þ
Ο νόμος του Ωμ ισχύει στο εναλλασσόμενο ρεύμα για τις ενεργές τιμές τάσης και έντασης.
Στον ωμικό καταναλωτή το ρεύμα και η τάση βρίσκονται σε φάση, διότι η διαφορά φάσης μεταξύ τους είναι φ=0°.

Παράδειγμα 1
Ωμικός καταναλωτής τροφοδοτείται με στιγμιαία τάση u=310ημωt και στιγμιαία ένταση i=31ημωt. Να βρεθεί το μέγεθός του και να σχε -διαστεί το διανυσματικό διάγραμμα.

Λύση:
Από τις στιγμιαίες τιμές προκύπτει Δφ=0 ο . Η τάση και η ένταση συ -μπίπτουν στον οριζόντιο άξονα, Σχήμα 8.4.
Πρόκειται λοιπόν για ωμικό καταναλωτή. Η τιμή της αντίστασης βρίσκεται με εφαρμογή του νόμου του Ωμ.
Σχήμα 8.4 Διανυσματικό διάγραμμα τάσης και έντασης για κύκλωμα εναλλασσόμενου ρεύματος που τροφοδοτεί ωμική αντίσταση.

8.5.2. Επαγωγικός καταναλωτής
Θεωρούμε το κύκλωμα του σχήματος 8.5, όπου μια πηγή εναλλασ -σόμενου ρεύματος συνδέεται με ένα ιδανικό ή καθαρό πηνίο. Ιδανικό πηνίο είναι αυτό που δεν παρουσιάζει ωμική αντίσταση R=0.
Σχήμα 8.5. Ιδανικό πηνίο, στα άκρα του οποίου εφαρμόζεται εναλλασσόμενη τάση
Αποδεικνύεται ότι, αν εφαρμοστεί εναλλασσόμενη τάση u=U$\_{m}$ημωt, τότε το ρεύμα που διαρρέει το πηνίο είναι:
m π i = I ημ ω t 2 æ ö ÷ ç è ø
Η τάση στο πηνίο προηγείται του ρεύματος κατά 90°.
Το διανυσματικό διάγραμμα τάσης και έντασης σ' ένα ιδανικό πηνίο φαίνεται στο σχήμα 8.6:

Σχήμα. 8.6 Διάγραμμα τάσης έντασης καθαρού επαγωγικού καταναλωτή σε κύκλωμα εναλλασσόμενου ρεύματος
Η αντίσταση που παρεμβάλλει το πηνίο στο κύκλωμα εναλλασσομέ -νου ρεύματος ονομάζεται επαγωγική αντίσταση.
Η επαγωγική αντίσταση X$\_{L}$ είναι ο λόγος της ενεργού τιμής της τάσης στα άκρα του πηνίου προς την ενεργό ένταση του ρεύματος που το διαρρέει.
X$\_{L}$ =U/I$\_{L}$
Η επαγωγική αντίσταση είναι ανάλογη της κυκλικής συχνότητας ω του ρεύματος και της αυτεπαγωγής L του πηνίου:
X$\_{L}$ =ωL=2πfL

Η μονάδα μέτρησης της επαγωγικής αντίστασης είναι το Ωμ [Ω].
Στην περίπτωση του επαγωγικού καταναλωτή η ενεργός, η άεργος και η φαινόμενη ισχύς είναι:
Ρ=UIσυνφ=0
Ρ$\_{α}$=UIημφ
Ρ$\_{φ}$=UI
Προκύπτει ότι ο επαγωγικός καταναλωτής δεν απορροφάει καθόλου ενεργό ισχύ. Όλη η φαινόμενη ισχύς συγκεντρώνεται στο πηνίο υπό μορφή επαγωγικής άεργου ισχύος:
φ=90° Þ ημφ=1 Þ Ρ$\_{φ}$=Ρ$\_{α}$

Παράδειγμα 1
Πηνίο αυτεπαγωγής L=0,02H συνδέεται σε πηγή εναλλασσόμενου ρεύματος συχνότητας 50Hz. Να βρεθεί η επαγωγική αντίσταση του πηνίου.

Λύση:
X$\_{L}$ =ωL=2πfL=23,l450Hz0,02H=6,28Ω

8.5.3 Χωρητικός καταναλωτής
Θεωρούμε μια πηγή εναλλασσόμενου ρεύματος συνδεδεμένη με ένα ιδανικό πυκνωτή, όπως φαίνεται στο σχήμα 8.7. Ιδανικός πυκνωτής είναι αυτός που δεν παρουσιάζει ωμική αντίσταση, R=0.
Σχήμα 8.7 Κύκλωμα πυκνωτή που συνδέεται με εναλλασσόμενη τάση
Αν η τάση της πηγής είναι u=U$\_{m}$ημωt, τότε το ρεύμα που διαρρέει τον πυκνωτή είναι:
m π i = I ημ ω t + 2 æ ö ÷ ç è ø ×
Παρατηρούμε ότι στον ιδανικό πυκνωτή το ρεύμα προηγείται της τά -σης κατά π 2 , Σχήμα 8.8, ή η διαφορά φάσης μεταξύ τάσης και έντασης είναι φ$\_{C}$=90°.

Σχήμα.8.8 Διανυσματικό διάγραμμα τάσης -έντασης ιδανικού πυκνωτή σε κύκλωμα Ε.Ρ
Η χωρητική αντίσταση είναι ο λόγος της ενεργού τιμής της τάσης Uc στα άκρα του πυκνωτή προς την ενεργό ένταση του ρεύματος Ic που τον διαρρέει.
C C C U Χ = I
Η χωρητική αντίσταση είναι αντιστρόφως ανάλογη της κυκλικής συχνότητας και της χωρητικότητας του πυκνωτή:
C 1 Χ = ω C
Στην περίπτωση του χωρητικού καταναλωτή, η ενεργός, η άεργος και η φαινόμενη ισχύς είναι:
Ρ=UIσυνφ=0
Ρ$\_{α}$=UIημφ
P$\_{φ}$ =UI
Προκύπτει ότι ο χωρητικός καταναλωτής δεν απορροφάει ενεργό ισχύ. Όλη η φαινόμενη ισχύς συγκεντρώνεται στον πυκνωτή υπό μορ -φή χωρητικής αέργου ισχύος:

φ=90° Þ ημφ=1 Þ Ρ$\_{φ}$=Ρ$\_{α}$

Παράδειγμα 1
Η μέγιστη τιμή της έντασης του ρεύματος που διαρρέει ένα πυκνωτή C=50μF, είναι I$\_{m}$=10A και η συχνότητα είναι f=50Hz. Να υπολογισθεί η μέγιστη, η στιγμιαία και η ενεργός πτώση τάσης στο πυκνωτή.

Λύση:
Η κυκλική συχνότητα είναι:
ω=2πf=23,1450=314rad/s
Το στιγμιαίο ρεύμα και η στιγμιαία πτώση τάσης στον πυκνωτή είναι:
i = 10ημ (314t+90 0 )
u = U$\_{m}$ημ ωt
Από το νόμο του Ωμ έχουμε:
U$\_{m}$=I$\_{m}$X$\_{c}$
Η χωρητική αντίσταση X$\_{c}$ του πυκνωτή είναι:
Χ$\_{c}$=1/(ωC)=1/(3145010 -6 ) = 63,7Ω

Επομένως,
U$\_{m}$=I$\_{m}$ X$\_{c}$ =10A63,7Ω=637V
Η στιγμιαία τάση που εφαρμόζεται στο πυκνωτή είναι:
u = 637ημ 314t
Η ενεργός τιμή της τάσης είναι:
U=U / 2=637V/ 2=450V m

Παράδειγμα 2
Στα άκρα ιδανικού πυκνωτή εφαρμόζεται τάση u=600ημ(314t+30°). Το ρεύμα στον πυκνωτή είναι Ι=30Α. Να σχεδιαστεί το διανυσματικό διάγραμμα και να υπολογισθεί η χωρητικότητα του πυκνωτή.

Λύση:
Το διανυσματικό διάγραμμα μεταξύ της τάσης, που έχει αρχική φάση 30°, και της έντασης παρουσιάζεται στο Σχήμα 8.9:
Σχήμα 8.9. Διανυσματικό διάγραμμα τάσης και έντασης σε κύκλωμα Ε.Ρ. με ιδανικό πυκνωτή
Η τάση U δίνεται από την σχέση:
U= U 2 = 600 1,414 = 424,3V m
Από το νόμο του Ohm, η χωρητική αντίσταση είναι
Χ$\_{c}$ =U/I= 424,3V/30Α=14,14Ω
και η χωρητικότητα του πυκνωτή είναι:
C=l/(ωX$\_{c}$)=l/(31414,14)=2,2510 -4 F=225μF

8.6. ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΩΜ ΚΑΙ ΤΟΥ ΚΙΡΚΩΦ ΣΤΟ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ

8.6.1 Νόμος του Ωμ
Όπως είδαμε στο συνεχές ρεύμα ο νόμος του Ωμ είχε τη μορφή:
U U = I × R ή Ι = R
Στο εναλλασσόμενο ρεύμα η παραπάνω σχέση ισχύει για τις ενεργές τιμές τάσης και έντασης. Η διαφορά είναι ότι το ρεύμα υπολογίζεται ως ο λόγος της τάσης U προς την σύνθετη αντίσταση Ζ . Έτσι, έχουμε το νόμο του Ωμ στο εναλλασσόμενο ρεύμα:

U Ι = Z
Το μέγεθος Ζ ονομάζεται σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος. Το Ζ λαμβάνει τις τιμές του Πίνακα 8.1.
Πίνακας 8.1. Σύνθετη αντίσταση σε κύκλωμα εναλλασσομένου ρεύματος

| Μορφή Κυκλώματος               | Σύνθετη αντίσταση Ζ            | Σύνθετη αντίσταση Ζ            |
|--------------------------------|--------------------------------|--------------------------------|
| Μόνο με ωμικές αντιστάσεις Z=R | Μόνο με ωμικές αντιστάσεις Z=R | Μόνο με ωμικές αντιστάσεις Z=R |
| Μόνο με ιδανικό πυκνωτή        | 1 Z =                          |                                |
| Μόνο με ιδανικό πυκνωτή        | C ω                            | C ω                            |
| Μόνο με ιδανικό πηνίο          | Z=Lω                           | Z=Lω                           |

8.6.2. Νόμοι του Κίρκωφ
Οι νόμοι του Κίρκωφ για το συνεχές ρεύμα, όπως παρουσιάσθηκαν στο Κεφάλαιο 3, εφαρμόζονται και στο εναλλασσόμενο ρεύμα για τις ενεργές τιμές τάσης και έντασης.
Στην περίπτωση του εναλλασσόμενου ρεύματος όμως αντί για αλ -γεβρική πρόσθεση γίνεται διανυσματική πρόσθεση των μεγεθών τάση και ένταση.

8.7. ΣΥΝΘΕΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ
Τα κυκλώματα εναλλασσόμενου ρεύματος που περιλαμβάνουν αντι -στάσεις R, πηνία L και πυκνωτές C ονομάζονται σύνθετα κυκλώματα.
Ο συνδυασμός των ωμικών, επαγωγικών και χωρητικών αντιστά -σεων R, X$\_{L}$, X$\_{C}$ αποτελεί την σύνθετη ή φαινόμενη αντίσταση του κυκλώματος.

8.7.1. Κυκλώματα RL Σειράς
Ένα σύνθετο κύκλωμα RL σειράς παρίσταται στο σχήμα 8.10.
Σχήμα 8.10 Κύκλωμα αντίστασης και πηνίου σε σειρά τροφοδοτούμενο με εναλλασσόμενη τάση
Στην πράξη το κύκλωμα αυτό εκτός από τα ανεξάρτητα στοιχεία ωμική αντίσταση και ιδανικό πηνίο μπορεί να είναι το ισοδύναμο κύ -κλωμα ενός πηνίου με ωμική αντίσταση R και αυτεπαγωγή L.
Στα άκρα του κυκλώματος ΑΒ εφαρμόζεται εναλλασσόμενη τάση U. Από τα στοιχεία R και L διέρχεται το ίδιο ρεύμα I επειδή είναι σε σειρά. Οι πτώσεις τάσης σε αυτά είναι U$\_{R}$, U$\_{L}$ αντίστοιχα. Σύμφωνα με το ΝΤΚ σε κάθε χρονική στιγμή, για τις στιγμιαίες τιμές των τάσεων, ισχύει:

u=u$\_{R}$ + u$\_{L}$
Για να προσθέσουμε εναλλασσόμενα μεγέθη, προσθέτουμε τα δια -νύσματα των μεγίστων τιμών των μεγεθών αυτών. Επίσης, μπορούμε να αθροίσουμε διανυσματικά τις ενεργές τιμές των εναλλασσομένων τάσεων και ρευμάτων. Το διανυσματικό διάγραμμα του κυκλώματος του Σχήματος 8.10 παρουσιάζεται στο σχήμα 8.11.
Στην πράξη μας ενδιαφέρουν οι ενεργές τιμές και οι διαφορές φάσης μεταξύ των μεγεθών U, I, U$\_{R}$ και U$\_{L}$ του σύνθετου κυκλώματος. Όπως είναι γνωστό, η ενεργός τιμή της τάσης U$\_{R}$ και του ρεύματος I σε μια αντίσταση R βρίσκονται σε φάση (συμφασικά). Άρα η τάση U$\_{R }$και το ρεύμα I συμπίπτουν στο διάγραμμα 8.11.

Σχήμα 8.11 Διανυσματικό διάγραμμα τάσεων U, U$\_{R}$, U$\_{L }$ και έντασης I σε κύκλωμα R - L σειράς
Το διάνυσμα της ενεργού τιμής της τάσης U$\_{L}$ προηγείται του διανύ -σματος U$\_{L}$=ωLI του ρεύματος I κατά 90°.
Η τάση U, που εφαρμόζεται στα άκρα ΑΒ του κυκλώματος, σχήμα 8.10, είναι το διανυσματικό άθροισμα των U$\_{R}$ και U$\_{L}$. Η μεταξύ τους διαφορά φάσης είναι η γωνία φ. Από το διανυσματικό διάγραμμα προ -κύπτει:
U 2 =U$\_{R}$ 2 +U$\_{L}$ 2 =(ΙR) 2 +(ΙωL) 2 =Ι 2 [R 2 +(ωL) 2 ]

Προκύπτει ότι:
( ) 2 2 U = I R + ω L ×
Η σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος R-L σειράς είναι:
( ) 2 2 Ζ = R + ω L
Η ωμική αντίσταση R καθώς και η επαγωγική αντίσταση ωL μετρώ -νται σε Ωμ, άρα και η σύνθετη αντίσταση Ζ μετράται σε Ωμ.
Η γωνία φ προσδιορίζεται από το ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος 8.11 και είναι η γωνία μεταξύ της τάσης U στα άκρα του κυκλώματος και της έντασης I:
εφφ=U$\_{L}$/U$\_{R}$=X$\_{L}$/R=ωL/R και 0 ≤ ɸ ≤ 90°
Εφαρμόζοντας λοιπόν εναλλασσόμενη τάση U στα άκρα σύνθετου καταναλωτή R-L σε σειρά, η ενεργός τιμή του ρεύματος ισούται με το λόγο της ενεργού τιμής της τάσης και της σύνθετης αντίστασης.

2 2 L U U Ι = = Z R + X

Παράδειγμα 1
Να υπολογισθεί η τάση της πηγής που πρέπει να συνδεθεί στο κύ -κλωμα του Σχήματος 8.10 για να κυκλοφορήσει σ'αυτό ρεύμα 5Α, όταν η ωμική αντίσταση είναι R=6Ω και η επαγωγική αντίσταση Χ$\_{L}$=8Ω συνδεδεμένες σε σειρά.

Λύση:
Οι πτώσεις τάσης στην ωμική και στην επαγωγική αντίσταση είναι:
U$\_{R}$=RI=5A6Ω=30V
U$\_{L}$=ΙΧ$\_{L}$=5Α8Ω=40V
Η τάση της πηγής υπολογίζεται από το διανυσματικό διάγραμμα του Σχήματος 8.12:
U= U + U = 30 +40 = 900+1600 = 2500 =50V R 2 L 2 2 2
Σχήμα 8.12. Διανυσματικό διάγραμμα πτώσεων τάσης σε κύκλωμα με R-L σε σειρά

Παράδειγμα 2
Να υπολογισθεί η σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος, στο οποίο R=9Ω και Χ$\_{L}$=12Ω σε σειρά.

Λύση:
2 2 2 2 L Z = R + X = 9 +12 = 81+144 = 225 =15 Ω

Παράδειγμα 3
Να υπολογισθεί το ρεύμα που διαρρέει το κύκλωμα του Σχήματος 8.10 με επαγωγική αντίσταση Χ$\_{L}$=5Ω και ωμική R=1Ω αν συνδεθεί σε δίκτυο Ε.Ρ. με τάση 12V.
Σχήμα.8.13 Τρίγωνο αντιστάσεων: ωμικής R, επαγωγικής Χ$\_{L}$ και σύνθετης Ζ

Λύση:
Από το σχήμα 8.13 βρίσκουμε την σύνθετη αντίσταση του κυκλώ -ματος:
2 2 2 2 L Z = R + X = 1 +5 = 26 = 5,1 Ω
Από τον νόμο του Ωμ είναι:
U 12V I = = = 2,35 Α Z 5,1 Ω

Παράδειγμα 4
Εφαρμόζεται εναλλασσόμενη τάση 42V-50HZ στα άκρα κυκλώ -ματος σειράς με ωμική αντίσταση R=40 Ω και αυτεπαγωγή L=0,12H (σχήμα 8.10). Να υπολογισθεί: α) η σύνθεση αντίσταση του κυκλώμα -τος, β) η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα, γ) η πτώση τάσης στην αντίσταση του πηνίου, δ) η πτώση τάσης στο πηνίο, ε) η διαφορά φάσης μεταξύ τάσης και ρεύματος και στ) ο συντελεστής ισχύος του κυκλώματος.

Λύση:
Η επαγωγική αντίσταση είναι:
X$\_{L}$ =ωL=23,14500,12=37,68Ω
α) Η σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος είναι:
( ) 2 2 2 2 2 2 L Ζ = R + X = R + ω L = 40 +37,68 = 55 Ω
β) Η ένταση του ρεύματος υπολογίζεται από το νόμο του Ωμ:
U 42 V I = = = 0,76 Α Z 55 Ω
γ) Η πτώση τάσης στην ωμική αντίσταση είναι:
U$\_{R}$=ΙR=0,76Α40Ω=30,4V
Η τάση U$\_{R}$ είναι σε φάση με το ρεύμα, Σχήμα 8.11.
δ) Η πτώση τάσης στο πηνίο είναι:
U$\_{L}$=ΙΧ$\_{L}$=0,76Α37,68Ω=28,65V.
Η τάση αυτή προπορεύεται του ρεύματος κατά 90°.

Η τάση που εφαρμόζεται στο κύκλωμα U=42V είναι το διανυσματι -κό άθροισμα των δυο πτώσεων τάσης U$\_{L}$ και U$\_{R}$, Σχήμα 8.11.
U 2 =U$\_{r}$ 2 +U$\_{L}$ 2 =30,4 2 +28,65 2 =924,16+820,82=1744,98V 2 και
U= 1744,98 = 41,77V
ε) Η γωνία φ μεταξύ τάσης U και ρεύματος I υπολογίζεται από τη σχέ -ση:
L Χ 37,68 εφφ = = = 0,94 R 40 και φ=43°
Η εφαρμοζόμενη τάση προπορεύεται του ρεύματος κατά 43°. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το κύκλωμα έχει επαγωγική συμπεριφορά.
στ) Ο συντελεστής ισχύος του κυκλώματος υπολογίζεται από την ωμι -κή αντίσταση και από την σύνθετη αντίσταση:

R 40 συνφ = = = 0,73 Z 55

Παράδειγμα 5
Σ'ένα κύκλωμα με R-L σε σειρά, R=100Ω, L=1H εφαρμόζεται εναλ -λασσόμενη τάση με ενεργό τιμή U=220V και f=50Hz. Να υπολογι στούν: α) η επαγωγική αντίσταση X$\_{L}$, β) η σύνθετη αντίσταση Ζ, γ) η ενεργός τιμή του εναλλασσόμενου ρεύματος I, δ) οι πτώσεις τάσεων U$\_{R}$ και U$\_{L}$ στην αντίσταση και στο πηνίου και ε) η διαφορά φάσης με -ταξύ της τάσης U και της έντασης I.

Λύση:
2 2 2 2 L β ) Ζ = R + X = 100 +314 = 329,5 Ω
U 220 γ ) Ι = = = 0,67A Z 329,5
R δ ) U = I R = 0,67 100 = 67V ×
L U = I ω L = 0,67 314 = 210V × × ×
L U = I ω L = 0,67V × ×
ω L 314 ε ) εφφ = = = 3,14 R 100
o και φ=72$^{×}$
Η τάση προηγείται της έντασης κατά 72° δηλαδή η συμπεριφορά του καταναλωτή είναι επαγωγική.

Παράδειγμα 6
Με τα δεδομένα του προηγούμενου παραδείγματος να υπολογιστούν: α) η φαινόμενη ισχύς Ρ$\_{φ}$, η πραγματική ισχύς Ρ και η άεργη ισχύς Ρ$\_{α}$ του κυκλώματος και β) να σχεδιαστεί το διανυσματικό διάγραμμα των τάσεων και το τρίγωνο ισχύων.

Λύση:
α) Ρ$\_{φ}$=UI=2200,67=147,4VΑ
Ρ=UIσυνφ=2200,670,309=45,55W
Ρ $\_{α}$ = UIημφ = 2200,670,951 = 140,2VAr
- β) Το διανυσματικό διάγραμμα τάσεων και το τρίγωνο της ισχύος δίνο -νται στο σχήμα 8.14 α και β αντίστοιχα.
Σχήμα.8.14. Διανυσματικό διάγραμμα τάσεων (α) και ισχύων (β) κυκλώματος R - L σειράς

Παράδειγμα 7
Δίνεται σύνθετη αντίσταση Ζ που αποτελείται από ωμική αντίσταση 5Ω και πηνίο L σε σειρά. Όταν εφαρμόζουμε στα άκρα της εναλλασ -σόμενης τάσης 50V και συχνότητας 50Hz, το ρεύμα είναι I=5Α. Να βρεθεί η αυτεπαγωγή L του πηνίου.

Λύση:
Από το νόμο του Ωμ έχουμε:
U U 50 I = Z = = =10 Ω Z I 5 Þ
Από την σχέση της σύνθετης αντίστασης:
Z= R + X Z =R +X 2 L 2 2 2 L 2 Þ
Η επαγωγική αντίσταση υπολογίζεται ως:
Χ$\_{L}$ 2 =Ζ 2 -R 2 =10 2 -5 2 =75Ω 2
και L X = 75 = 8,66 Ω
Χ$\_{L}$=2πfL
8,66 8,66 L = = = 0,027H. 2 π f 314

Παράδειγμα 8
Ένα κύκλωμα αποτελείται από μια ωμική αντίσταση R=10Ω σε σειρά με μια αυτεπαγωγή L=50mH. Στο κύκλωμα εφαρμόζεται τάση U=24V με συχνότητα 50Hz. Να βρεθούν: α) η διαφορά φάσης φ μετα -ξύ τάσης και έντασης, β) η ενεργός ισχύς και γ) η ωμική και η επαγω γική πτώση τάσης.

Λύση:
α) X$\_{L}$=ωL = 23,14505010 -3 =15,7Ω
-3 L Χ L ω 314 50 10 15,7 εφφ = = = = =1,57 R R 10 10 × × × και φ=57°
β) Για να βρεθεί η ισχύς, υπολογίζονται η σύνθετη αντίσταση Ζ και το ρεύμα I του κυκλώματος:
2 2 2 2 L Z = R + X = 10 +15,7 = 100 + 246,5 =18,6 Ω
U 24 Ι = = =1,29A Z 18,6
β) Η ενεργός ισχύς του κυκλώματος είναι:
Ρ=UIσυνφ=241,29συν57°=241,290,54  = ~ 16,7 W
γ) U$\_{R}$=IR=l,2910=12,9V
U $\_{L}$=IX$\_{L}$=1,2915,7=20,2V

Παράδειγμα 9
Να υπολογιστεί η σύνθετη αντίσταση κυκλώματος στο οποίο R=10Ω και Χ$\_{L}$=20Ω είναι συνδεδεμένα σε σειρά.

Λύση:
Η σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος είναι:
2 2 2 2 L Z = R + X = 10 + 20 = 100 + 400 = 22,36 Ω

Παράδειγμα 10
Πηνίο με επαγωγική αντίσταση Χ$\_{L}$=5Ω και ωμική R=1Ω συνδέεται σε δίκτυο με τάση 12V. Να υπολογιστεί το ρεύμα που διαρρέει το κύ -κλωμα.

Λύση:
Η σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος είναι:
2 2 2 2 L Z = R + X = 1 +5 = 26 = 5,1 Ω
Από το νόμο του Ohm έχουμε
U 12 Ι = = = 2,35 A Z 5,1

Παράδειγμα 11
Κύκλωμα με ωμική αντίσταση R=5Ω και αυτεπαγωγή L=15mH σε σειρά διαρρέεται από ρεύμα i=10 ημ(500t). Να υπολογιστούν: α) η ενεργός τιμή του ρεύματος, β) η ενεργός τιμή της τάσης της πηγής, γ) η ενεργός ισχύς, δ) οι πτώσεις τάσεων στα άκρα των στοιχείων R και L.

Λύση:
α) Η ενεργός τιμή του ρεύματος είναι:
I= I 2 = 10 2 =7,1A m
β) Από το ρεύμα i=10 ημ500t, προκύπτει ότι ω=500 rad/sec.
Η επαγωγική αντίσταση του πηνίου είναι:
X$\_{L}$ =Lω=5001510 -3 =7,5Ω
Η σύνθετη αντίσταση είναι:
2 2 2 2 L Z = R + X = 5 + 7,5 = 9 Ω
Η ενεργός τιμή της τάσης που εφαρμόζεται στο κύκλωμα είναι:
U=ZI=97,l=63,9V
γ) Η διαφορά φάσης μεταξύ του ρεύματος και της τάσης είναι:
L X 7,5 εφφ = = =1,5 R 5 και φ=56,3°
Για τη γωνία αυτή έχουμε:
συνφ=0,554
και η ενεργός ισχύς είναι:
P=UIσυνφ=63,97,10,554=251,5W

Επαλήθευση:
P=RI 2 =57,1 2 =251,5W
δ) Οι πτώσεις τάσης στα στοιχεία R και L βρίσκονται από:
U$\_{L}$=IX$\_{L}$=7,17,5=53,2V
U$\_{R}$=IR =7, 15=35,5 V
Επαλήθευση:
U$\_{R}$= Uσυνφ=63,90,554=35,5V
U$\_{L}$=Uημφ=63,9ημ56,3°=53,2V

8.7.2. Κυκλώματα R - C Σειράς
Το κύκλωμα R - C σειράς παρουσιάζονται στο σχήμα 8.15.
Σχήμα 8.15 Κύκλωμα R - C σειράς τροφοδοτούμενο με εναλλασσόμενη τάση
Στα άκρα ΑΒ εφαρμόζεται εναλλασσόμενη τάση U. Στους ακροδέ -κτες της αντίστασης παρουσιάζεται μια πτώση τάσης U$\_{r}$=IR σε φάση με το ρεύμα I και στους οπλισμούς του πυκνωτή μια τάση U$\_{C}$. Σύμφω -να με το δεύτερο νόμο του Κίρκωφ, το διανυσματικό άθροισμα των πτώσεων τάσεων U$\_{R}$ και U$\_{C}$ ισούται με την τάση της πηγής U.
Η ενεργός τιμή της τάσης στα άκρα του πυκνωτή U$\_{C}$ =IX$\_{C }$καθυστε -ρεί κατά 90° της ενεργού τιμής του ρεύματος I, Σχήμα 8.16.

Σχήμα 8.16 Διανυσματικό διάγραμμα τάσεων U$\_{R}$, U$\_{C}$, U και έντασης I σε κύκλωμα R - C σειράς
Η ενεργός τιμή της τάσης της πηγής U είναι το διανυσματικό άθροι -σμα των ενεργών τιμών U$\_{R}$ και U$\_{C}$. Η διαφορά φάσης μεταξύ U και I είναι η γωνία φ. Από το διάγραμμα του Σχήματος 8.16 προκύπτει:
U 2 =U$\_{R}$ 2 +U$\_{C}$ 2 =(IR) 2 + (IX$\_{C}$) 2 και U=I R +X I= U R + X 2 C 2 2 C 2 ®
Η σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος R - C είναι:
Z= U I = R +X 2 C 2
Και ως γνωστό
C 1 X = ω C
Το μέγεθος Ζ είναι η σύνθετη αντίσταση του καταναλωτή R - C σει -ράς και μετριέται σε Ω. Από το διάγραμμα του σχήματος 8.16 προ κύπτει ότι η εφαρμοζόμενη τάση U καθυστερεί ως προς την ένταση I κατά την γωνία φ.

Η γωνία φ υπολογίζεται από τη σχέση:
C C R U X 1 εφφ = = = U ω CR R και 0 < φ < 90°
Ο συντελεστής ισχύος είναι:
R 2 2 C U IR R R συνφ = = = = U IZ Z R + X
Στο κύκλωμα R -C σειράς το ρεύμα προηγείται της τάσης και το κύκλωμα παρουσιάζει χωρητική συμπεριφορά.

Παράδειγμα 1
Τάση 220V, 50Hz εφαρμόζεται στα άκρα σύνθετου κυκλώματος, το οποίο αποτελείται από ωμική αντίσταση R=140 Ω σε σειρά με πυκνω -τή C=15μF. Να υπολογισθούν: α) η σύνθετη αντίσταση Ζ του κατανα λωτή, β) το ρεύμα στον πυκνωτή, γ) η πτώση τάσης στην αντίσταση, δ) η πτώση τάσης στον πυκνωτή, ε) η διαφορά φάσης μεταξύ τάσης και έντασης και στ) ο συντελεστής ισχύος του κυκλώματος.

Λύση:
α) Η σύνθετη αντίσταση του καταναλωτή είναι:
Z= R + X 2 C 2
6 C -6 1 1 10 X = = = 212 Ω C ω 15 10 2 3,14 50 15 314 × × × × × =
2 2 και Z = 140 + 212 = 254 Ω
U 220 β ) Ι = = = 0,86A Z 254
γ) U$\_{R}$=IR=0,86A l40Ω=120,4V
Η τάση αυτή είναι σε φάση με το ρεύμα.
δ) U$\_{C}$=IX$\_{C}$=0,86A212Ω=182,32V
Η τάση αυτή μεταπορεύεται του ρεύματος κατά 90°.
ε) Η γωνία φ είναι:
C X 1 212 εφφ = = = =1,51 RC ω R 140 και φ =56,56°
Από το διάγραμμα του Σχήματος 8.16 βλέπουμε ότι η τάση U μεταπο -ρεύεται του ρεύματος I κατά 56°.

στ) Ο συντελεστής ισχύος είναι:
συνφ= συν56° = 0,55

Παράδειγμα 2
Αντίσταση R=10 Ω και πυκνωτής C=50 μF συνδέονται σε σειρά, σχήμα 8.15. Η στιγμιαία τιμή της έντασης του ρεύματος δίνεται από την σχέση: i = 10ημ(1000t). Να βρεθεί α) η ενεργός τιμή της τάσης U της πηγής και β) η διαφορά φάσης φ μεταξύ τάσης και έντασης.

Λύση:
Η στιγμιαία τιμή της τάσης που εφαρμόζεται από την πηγή είναι:
u=U$\_{m}$ημ(ωt - φ)
και η κυκλική συχνότητα είναι
ω=1000 rad/sec.
Η μέγιστη τιμή της τάσης είναι:
U$\_{m}$ = I$\_{m}$Z όπου I$\_{m}$ =10 A.
Η σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος υπολογίζεται ως:
2 2 2 2 2 2 C -6 1 1 Z = R + X = R + = 10 + = 22 Ω ω C 1000×50×10 æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç è ø è ø
Από τον νόμο του Ωμ:
U$\_{m}$=Ι$\_{m}$Ζ=10Α22Ω=220V Þ U=0,707U$\_{m}$=l55,5V
Η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων της τάσης και της έντασης είναι:
C -6 1 X 1 1 ω C εφφ = = = = = 2 R R ω CR 1000×50×10 ×10
και φ = 63°

Η τάση U καθυστερεί ως προς το ρεύμα I άρα η συμπεριφορά του κυκλώματος είναι χωρητική.

Παράδειγμα 3
Το κύκλωμα R-C σειράς του σχήματος 8.15 περιλαμβάνει αντίσταση R= 6000 Ω και πυκνωτή χωρητικότητας C=2 μF. Στα άκρα του εφαρμόζεται εναλλασσόμενη τάση με ενεργό τιμή U = 220 V και συχνότητα f = 50 Hz. Να βρεθούν: α) η κυκλική συχνότητα ω, β) η χωρητική αντίσταση X$\_{C}$, γ) η σύνθετη αντίσταση Ζ του κυκλώματος, δ) η ενεργός τιμή του ρεύματος I, ε) η πτώση τάσης U$\_{R}$ στην αντίσταση και η U$\_{C}$ στον πυκνωτή, στ) η διαφορά φάσης φ, ζ) η φαινόμενη ισχύς Ρ$\_{φ}$, η πραγματική ισχύς Ρ και η άεργη ισχύς Ρ$\_{α}$ και η) να σχεδιαστούν το διανυσματικό διάγραμμα των τάσεων και το τρίγωνο της ισχύος.

Λύση:
α) ω = 2πf = 2π50 = 314 rad/sec
6 C -6 1 1 10 β )X = = = =1592,5 Ω ω C 2 π ×50×2×10 628
2 2 2 2 C γ ) Ζ = R + X = 6000 +1592,5 = 6208 Ω
U 220V δ ) Ι = = = 0,0354 Α Z 6208 Ω
ε) U$\_{R}$ = IR = 0,0354Α6000Ω = 212,4 V
U$\_{C}$ = IX$\_{C}$ = 0,0354Α1592,5Ω = 56,4 V
C R U 56,4 στ ) εφφ = = = 0,2655 U 212,4
και φ = 15°
ζ) Ρ$\_{φ}$ = UI = 2200,0354 = 7,8 VA
Ρ = UIσυνφ = 2200,0354συνφ = 2200,03540,95 = 7,4 W
Ρ $\_{α}$ = UIημφ = 2200,0354ημφ = 2200,03540,25 = 1,95 VAr
η) Στο σχήμα 8.17 απεικονίζονται το διάγραμμα τάσεων και το τρίγω -νο ισχύος.

Σχήμα 8.17. Διανυσματικό διάγραμμα των τάσεων και τρίγωνο ισχύος του κυκλώματος του παραδείγματος 3

Παράδειγμα 4
Ένας καταναλωτής περιλαμβάνει ωμική αντίσταση R=175Ω σε σει -ρά με πυκνωτή χωρητικότητας C=5μF και συνδέεται με τάση U=150V, συχνότητας 50Hz. Να υπολογιστούν: α) η διαφορά φάσης μεταξύ τά -σης και έντασης, β) η σύνθετη αντίσταση του καταναλωτή και γ) η ένταση του ρεύματος.

Λύση:
α) Η χωρητική αντίσταση είναι:
C -6 1 1 1 X = = = = 637 Ω C ω 2 π fC 6,28 50 5 10 × × ×
Οπότε η γωνία φ δίνεται από τη σχέση:
C X 637 εφ = = = 3,64 R 175 και φ=75°
β) Η σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος είναι:
2 2 2 2 C Z = R + X = 175 + 637 = 660 Ω
γ) Η ένταση του ρεύματος είναι:
U 150 Ι = = = 0,23A Z 660

8.7.3 Κύκλωμα R-L-C Σειράς
Το σύνθετο αυτό κύκλωμα περιλαμβάνει αντίσταση R, πηνίο L και πυκνωτή C σε σειρά, σχήμα 8.18.
Σχήμα. 8.18 Κύκλωμα R - L - C σειράς τροφοδοτούμενο με εναλλασσόμενη τάση U
Η τάση U που εφαρμόζεται στα άκρα ΑΔ είναι το διανυσματικό άθροισμα των τριών πτώσεων τάσης U$\_{R}$, U$\_{L}$ και U$\_{C}$:
-  Η τάση U$\_{R}$=IR είναι σε φάση με το ρεύμα
-  Η τάση U$\_{L}$=IX$\_{L}$ είναι σε προπορεία 90° ως προς το ρεύμα
-  Η τάση U$\_{C}$= I Cω είναι σε μεταπορεία 90° ως προς το ρεύμα.

Η πτώση τάσης στην αντίσταση U$\_{R}$ και το ρεύμα I συμπίπτουν (φ=0°) στο διάγραμμα 8.19.α. Το διάνυσμα της τάσης U$\_{R}$ βρίσκεται επί του διανύσματος του ρεύματος και έχει την ίδια φορά.
Η πτώση τάσης στα άκρα του πηνίου U$\_{L}$ προπορεύεται του ρεύματος I κατά 90°, ενώ η πτώση τάσης στο πυκνωτή U$\_{C}$ μεταπορεύεται του ρεύματος I κατά 90°. Οι τάσεις U$\_{L}$ και U$\_{C}$ είναι σε αντίθεση φάσης (αντίφαση), δηλαδή έχουν μεταξύ τους διαφορά φάσης Δφ=180°.
Από το διανυσματικό διάγραμμα του σχήματος 8.19.β προκύπτει:

( ) 2 2 2 2 R L C 1 U = U + U - U = I R + ω L ω C æ ö ÷ ç è ø
Η σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος είναι:
2 2 U 1 Z = = R + ω L I ω C æ ö ÷ ç è ø
Η διαφορά φάσης φ, σχήμα 8.19.β υπολογίζεται από τη σχέση:
L C R 1 ω L U - U ω C εφφ = = U R
Σχήμα 8.19. Διανυσματικό διάγραμμα τάσεων U$\_{R}$, U$\_{L}$, U$\_{C}$ και έντασης I σε κύκλωμα R-L-C σειράς
Η επαγωγική πτώση τάσης U$\_{L}$ και η χωρητική πτώση τάσης U$\_{C }$έχουν αντίθετες φάσεις και το διανυσματικό τους άθροισμα γίνεται με αλγε -βρική άθροιση των αριθμητικών τιμών.

Αν η πτώση τάσης στο πηνίο είναι μεγαλύτερη σε απόλυτη τιμή της πτώσης τάσης στον πυκνωτή, τότε η τάση στα άκρα ΒΔ του κλάδου είναι:
Η τάση αυτή U$\_{X}$ προπορεύεται του ρεύματος και το όλο κύκλωμα έχει επαγωγική συμπεριφορά.
Η διαφορά L C 1 X = L ω -= X -X C ω ονομάζεται φαινόμενη αντίσταση ή σύνθετη αντίσταση των στοιχείων L και C σε σειρά.
Αντίθετα όταν η επαγωγική πτώση τάσης είναι μικρότερη από την χωρητική, τότε η τάση U$\_{X}$ προκύπτει αρνητική και μεταπορεύεται του ρεύματος. Το κύκλωμα στην περίπτωση αυτή έχει χωρητική συμπερι -φορά.

Παράδειγμα 1
Σύνθετος καταναλωτής περιλαμβάνει πυκνωτή C=15 μF, ωμική αντίσταση 50 Ω και αυτεπαγωγή L=0,4 Η συνδεδεμένα σε σειρά τα οποία τροφοδοτούνται με εναλλασσόμενη τάση 100V, 50Hz. Να υπο -λογισθεί: α) η χωρητική αντίσταση του πυκνωτή, β) η επαγωγική αντί σταση του πηνίου, γ) η σύνθετη αντίσταση των τριών στοιχείων πυ -κνωτή, πηνίου και ωμικής αντίστασης, δ) το ρεύμα I στο κύκλωμα, ε) η πτώση τάσης U$\_{L}$ στο πηνίο, στ) η πτώση τάσης U$\_{C}$ στο πυκνωτή, ζ) η διαφορά φάσης μεταξύ ρεύματος και τάσης στα άκρα του κυκλώμα -τος, η) ο συντελεστής ισχύος του κυκλώματος και θ) το διανυσματικό διάγραμμα τάσεων και έντασης.

Λύση:
α) C -6 1 1 X = = = 212 Ω C ω 2 3,14 50 15 10 × × × ×
β) Η επαγωγική αντίσταση του πηνίου είναι:
X$\_{L}$ = ωL = 2π500,4 = 125,6 Ω
γ) Η σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος είναι:
( ) ( ) 2 2 2 2 L C Z = R + X - X = 50 + 125,6- 212 = 99,8 Ω
δ) Το ρεύμα I είναι:
U 100V I = = 1 Α Z 99,8 Ω »
ε) Η πτώση τάσης U$\_{L}$ στο πηνίο είναι:
U$\_{L}$ = IX$\_{L}$ =1Α125,6Ω =125,6 V
στ) Η πτώση τάσης στον πυκνωτή είναι:
U$\_{C}$=ΙΧ$\_{C}$=1Α212Ω=212V
ζ) Η εφαπτομένη της γωνίας φ:
L C X - X 125,6- 212 εφφ = = = -1,728 R 50
και φ= -60°

Η τάση της πηγής U μεταπορεύεται της έντασης I κατά 60°. Επομέ -νως το κύκλωμα παρουσιάζει χωρητική συμπεριφορά.
η) R 50 συνφ = = = 0,5 Z 99,8
- θ) Το διανυσματικό διάγραμμα φαίνεται στο Σχήμα 8.20.
Σχήμα 8.20 Διανυσματικό διάγραμμα τάσεων και έντασης σε σύνθετο κύκλωμα με χωρητική συμπεριφορά

Παράδειγμα 2
Σε κύκλωμα που αποτελείται από αντίσταση, πηνίο και πυκνωτή με αντιστάσεις R=10Ω, Χ$\_{L}$=50Ω και Χ$\_{C}$=30Ω σε σειρά, εφαρμόζεται εναλλασσόμενη τάση u=310ημ(314t). Να υπολογισθεί η ενεργός τιμή του ρεύματος στο κύκλωμα.

Λύση:
Η σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος είναι:
( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 L C Z = R + X -X = 10 + 50-30 = 10 + 20 = 22,4 Ω
Η ενεργός τιμή της τάσης ισούται με:
U= U 2 = 310 2 = 220 V m
και η ενεργός τιμή του ρεύματος είναι,
I= U Z = 220 22,4 =9,8A

8.7.4. Κύκλωμα με R και L Παράλληλα
Το κύκλωμα του σχήματος 8.21 περιλαμβάνει ωμική αντίσταση και καθαρή αυτεπαγωγή σε παράλληλη σύνδεση.
Σχήμα 8.21 Κύκλωμα με R και L παράλληλα σε εναλλασσόμενη τάση
Στην περίπτωση αυτή η εναλλασσόμενη τάση της πηγής είναι ίδια και για τα δυο στοιχεία. Το ολικό ρεύμα I κατανέμεται στο I$\_{R}$ που διέρ -χεται από την αντίσταση R και στο I$\_{L}$ που διέρχεται από την αυτεπαγω γή L. Μπορούμε να υπολογίσουμε τα δυο ρεύματα αν διαιρέσουμε την τάση U με τις αντίστοιχες αντιστάσεις των στοιχείων, δηλαδή:

R L L U I = και R U U I = = X L ω
Για τον υπολογισμό του ολικού ρεύματος I πρέπει να σχεδιάσου -με το διανυσματικό διάγραμμα του κυκλώματος, όπως φαίνεται στο σχήμα 8.22. Το ρεύμα I$\_{R}$ είναι συμφασικό προς την τάση και το διάνυ -σμά του τοποθετείται στον ίδιο άξονα με αυτή. Το ρεύμα I$\_{L }$καθυστερεί της τάσης κατά 90°, γι' αυτό το διάνυσμά του είναι κάθετο στο I$\_{R}$ και βρίσκεται στον αρνητικό ημιάξονα. Η διαγώνιος του σχηματιζόμενου παραλληλογράμμου δίνει το άθροισμα των δυο ρευμάτων, δηλαδή το ολικό ρεύμα I. Η γωνία φ μεταξύ του συνισταμένου ρεύματος I και της τάσης U είναι η διαφορά φάσης μεταξύ τάσης και έντασης του κυκλώ -ματος.

Υπολογίζουμε την τιμή αυτού του ρεύματος I με την βοήθεια του τριγώνου του σχήματος 8.23.
Σχήμα.8.22. Διανυσματικό διάγραμμα εντάσεων I$\_{R}$, I$\_{L }$και I σε κύκλωμα R - L παράλληλο
Σχήμα.8.23 Τρίγωνο ρευμάτων
2 2 2 2 R L 2 2 L L U U 1 1 I = I + I = + = U + R X R X æ ö æ ö ÷ ç ÷ ç è ø è ø
Το ρεύμα I καθυστερεί της τάσης U κατά γωνία φ:
L L L R L U 1 Ι X X R R εφφ = = = = = U 1 I X L ω R R
Η ισοδύναμη σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος είναι
L 2 2 2 2 2 L 2 2 2 X R U 1 LR ω Ζ = = = = I 1 1 R + L ω R + X + R L ω

Τέλος από το τρίγωνο του σχήματος 8.23 προκύπτουν οι σχέσεις:
Ι$\_{R}$=Ισυνφ και Ι$\_{L}$=Ιημφ

Παράδειγμα 1
Ωμική αντίσταση R=20Ω και αυτεπαγωγή L=3mH συνδέονται πα -ράλληλα. Στο κύκλωμα εφαρμόζεται τάση U=120V, f=800Hz. Να υπο λογιστούν: α) η ισοδύναμη σύνθετη αντίσταση, β) το ολικό ρεύμα I, γ) τα ρεύματα I$\_{R}$ και Ι$\_{L}$ στην αντίσταση και το πηνίο αντίστοιχα, δ) η διαφορά φάσης του ρεύματος I και της τάσης U.

Λύση:
α) Η επαγωγική αντίσταση είναι:
Χ$\_{L}$=Lω=2πfL=23,14800310 -3 =15Ω
Η ισοδύναμη σύνθετη αντίσταση είναι:
L 2 2 2 2 L X R 15 × 20 Ζ = = =12 Ω R + X 15 + 20
β) Το ολικό ρεύμα είναι:
I= U Z = 120 12 =10A
γ) Το ρεύμα στην αντίσταση είναι:
I = UR= 120 20 =6A, R
Το ρεύμα στο πηνίο είναι:
I = UX = 120 15 =8A L L
δ) Η γωνία φ υπολογίζεται από τη σχέση:
L R I R 8 εφφ = = = =1,33 L ω I 6 και φ=53°
Επαλήθευση:
Ι$\_{R}$=Ισυνφ=10συν53°=100,6=6Α
Ι$\_{L}$=Ιημφ=Ιημ53°=100,8=8Α

8.7.5. Κύκλωμα με R και C Παράλληλα
Έστω το κύκλωμα του σχήματος 8.24 με πυκνωτή και ωμική αντί -σταση συνδεδεμένα παράλληλα που τροφοδοτούνται από πηγή εναλ λασσόμενης τάσης. Το διανυσματικό του διάγραμμα και το τρίγωνο των ρευμάτων φαίνονται στο σχήμα 8.25.
Σχήμα. 8.24 Κύκλωμα με R - C παράλληλα σε εναλλασσόμενη τάση
Σχήμα. 8.25 Διανυσματικό διάγραμμα και τρίγωνο ρευμάτων
Στην περίπτωση αυτή έχουμε:
I = U R R και
C C U U I = = = U C ω 1 X C ω × ×
Από το τρίγωνο προκύπτει ότι το ολικό ρεύμα είναι:

2 2 2 2 2 2 R C 2 C U U 1 I = I + I = + = U + C ω R X R æ ö æ ö ÷ ç ÷ ç è ø è ø
Η διαφορά φάσης φ είναι:
C R C Ι R εφφ = = = R C ω I X × ×
Η σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος είναι:
( ) 2 2 2 2 U 1 R Z = = = I 1 1+ ω CR + ω C R

Παράδειγμα
Δίνεται το κύκλωμα του σχήματος 8.26 όπου R$\_{1}$=4Ω βρίσκεται πα -ράλληλα με R$\_{2}$=2Ω και πυκνωτή X$\_{C}$=1Ω. Το κύκλωμα συνδέεται με πηγή τάσης U=12 V με συχνότητα 50 Hz. Να υπολογιστούν τα ρεύμα -τα Ι$\_{1}$ και Ι$\_{2}$ στους δυο παράλληλους κλάδους.
Σχήμα.8.26. Κύκλωμα με αντίσταση R$\_{1}$ συνδεδεμένη παράλληλα με αντίσταση R$\_{2}$σε σειρά με πυκνωτή C που τροφοδοτούνται με εναλλασσόμενη τάση.

Λύση:
Ι$\_{1}$= U/R$\_{1}$ =12V/4Ω=3Α
Για να υπολογιστεί το Ι$\_{2}$, πρέπει να βρεθεί η ισοδύναμη αντίσταση X$\_{RC}$ του συνδυασμού αντίστασης R$\_{2}$ σε σειρά με τον πυκνωτή C.
( ) ( ) 2 2 RC C X = R + X = 4 +1 = 2,2 Ω
2 RC Ι = U X =12 / 2,2 = 5,5A

8.7.6. Κύκλωμα με Πηνίο και Πυκνωτή Παράλληλα
Στο σχήμα 8.27 παρουσιάζεται κύκλωμα που αποτελείται από δύο κλάδους παράλληλα συνδεδεμένους, ο ένας περιλαμβάνει πυκνωτή C και ο άλλος πηνίο L. Στα άκρα ΑΒ εφαρμόζεται εναλλασσόμενη τάση με ενεργό τιμή U. Το ρεύμα στον πυκνωτή είναι I$\_{C}$ =UωC και προ -
πορεύεται της τάσης κατά 90°. Το ρεύμα στο πηνίο είναι: L U I = L ω και
μεταπορεύεται της τάσης κατά 90°. Στο Σχήμα 8.28 παρουσιάζεται το διανυσματικό διάγραμμα της τάσης και των ρευμάτων.
Σχήμα.8.27 Κύκλωμα με L-C παράλληλα τροφοδοτούμενο από εναλλασσόμενη τάση

Σχήμα 8.28 Διανυσματικό διάγραμμα τάσης και ρευμάτων του παράλληλου κυκλώματος L-C
Το ολικό ρεύμα I είναι το διανυσματικό άθροισμα των δύο ρευμάτων I$\_{L}$ και I$\_{C}$. Τα δύο ρεύματα I$\_{L}$ και I$\_{C}$ έχουν διαφορά φάσης 180°, επομέ -νως, βρίσκονται στον κάθετο άξονα και προσθέτονται αλγεβρικά.
L C U 1 I = I -I = - UC ω = U -C ω L ω L ω æ ö ÷ ç è ø
Η σύνθετη αντίσταση υπολογίζεται από το νόμο του Ωμ:
U U 1 Z = = = 1 1 I -C ω U -C ω L ω L ω æ ö ÷ ç è ø

Προσοχή:
Είναι πολύ δύσκολο να κατασκευαστούν πηνίο και πυκνωτής με μηδενική ωμική αντίσταση, επομένως, σπάνια θα έχουμε την ιδανική αυτή περίπτωση.
Συχνά όμως, στο εναλλασσόμενο ρεύμα, χρησιμοποιούνται κυκλώ -ματα με ωμική αντίσταση, πηνίο και πυκνωτή συνδεδεμένα παράλληλα.

Παράδειγμα 1
Στο σχήμα 8.29 η ωμική αντίσταση R= 10 Ω συνδέεται παράλληλα με την επαγωγική αντίσταση X$\_{L}$ = 11 Ω και παράλληλα με τη χωρητι -κή αντίσταση X$\_{C}$= 22 Ω. Στο κύκλωμα τροφοδοτείται εναλλασσόμενη τάση U=220V, 50 Hz. Υπολογίστε τα ρεύματα στην κάθε αντίσταση και το ολικό ρεύμα.

Λύση:
Τα ρεύματα στους παράλληλους κλάδους υπολογίζονται από το νόμο του Ωμ:
Ι$\_{R}$=U/R=220V/10Ω=22 Α
I$\_{L}$=U/X$\_{L}$=220V/11 Ω=20Α
Ι$\_{C}$=U/Χ$\_{C}$=220V/22Ω=10 Α
Το ολικό ρεύμα υπολογίζεται με τη βοήθεια του διανυσματικού δια -γράμματος του σχήματος 8.30
I= I + I -I = 22 +2 0-10 = 24,17A R 2 L C 2 2 2 () ()
Σχήμα 8.29. Κύκλωμα παράλληλης σύνδεσης στοιχείων R-L-C
Σχήμα 8.30. Διανυσματικό διάγραμμα των ρευμάτων παράλληλου κυκλώματος R-L-C

8.8. ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ
Στο κεφάλαιο αυτό δόθηκαν οι έννοιες της φαινόμενης, άεργης και πραγματικής ισχύος και η έννοια του συντελεστή ισχύος για κυκλώμα -τα Ε.Ρ.
Έγινε μια αναλυτική παρουσίαση των κυκλωμάτων συνδεσμολογίας R - L - C τόσο σε σειρά όσο και παράλληλα. Εξετάσθηκε η μορφή της τάσης και έντασης σε διάφορες περιπτώσεις και η μεταξύ τους διαφο -ρά φάσης. Τα παραπάνω αποδόθηκαν και διαγραμματικά υπό μορφή διανυσμάτων.
Σε όλες τις συνδεσμολογίες δόθηκαν οι σχέσεις για τις σύνθετες αντιστάσεις.

8.9. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ
- 1. Ορίστε την πραγματική, άεργη και φαινόμενη ισχύ.
- 2. Πώς μπορεί να εξηγηθεί η διαφορά φάσης μεταξύ τάσης και ρεύμα -τος σε κυκλώματα επαγωγικών και χωρητικών καταναλωτών;
- 3. Δώστε τον τρόπο εύρεσης της συνολικής τάσης και έντασης σε κύ -κλωμα Ε.Ρ. που περιέχει σε σειρά:
(α) R - L, (β) R - C, (γ) L - C και (δ) R - L - C
- 4. Στα άκρα ωμικού καταναλωτή αντίστασης 11 Ω, εφαρμόζεται εναλλασσόμενη τάση ενεργού τιμής 220 V. Ποια είναι η ένταση του ρεύματος στον καταναλωτή και ποια είναι η διαφορά φάσης με τη τάση;

Απάντηση: 20 Α. Το ρεύμα είναι σε φάση με την τάση.
- 5. Δίνεται πηνίο με αυτεπαγωγή 0,6 Η. Τι επαγωγική αντίσταση θα παρουσιάζει όταν στα άκρα του εφαρμόζεται εναλλασσόμενη τάση συχνότητας 50Hz ;
Απάντηση: 188,4 Ω
- 6. Στα άκρα πηνίου με αυτεπαγωγή 0,25 Η εφαρμόζεται τάση 220 V, συχνότητας 50 Hz. Ποια είναι η ένταση του ρεύματος στο πηνίο και ποια είναι η διαφορά φάσης με τη τάση;
Απάντηση: 2,8 Α. Το ρεύμα μεταπορεύεται της τάσης κατά 90°.
- 7. Ποια είναι η χωρητική αντίσταση πυκνωτή χωρητικότητας 10 μF, όταν εφαρμόζεται στα άκρα του εναλλασσόμενη τάση συχνότητας 50 Hz.

Απάντηση: 318 Ω
- 8. Τάση 220 V και συχνότητας 50 Hz εφαρμόζεται σε πυκνωτή χωρη -τικότητας 20 μF. Ποια είναι η τιμή της έντασης του ρεύματος στον πυκνωτή;
Απάντηση: 1,38 Α.
- 9. Τάση 220 V συχνότητας 50 Hz εφαρμόζεται σε πυκνωτή και η ένταση του ρεύματος είναι 10 Α. Ποια είναι η χωρητικότητα του πυκνωτή;
Απάντηση: 144,8 μF
Απάντηση: 144,8 μF

9.1. ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΟΣ ΣΕΙΡΑΣ
Όταν σε κύκλωμα σειράς με ωμική αντίσταση, επαγωγή και χωρη -τικότητα, το οποίο τροφοδοτείται με τάση U και μεταβαλλόμενη συ χνότητα f ή κυκλική συχνότητα ω, για μια ορισμένη τιμή f$\_{0}$ ή ω$\_{0}$ της συχνότητας, η επαγωγική αντίσταση X$\_{L}$ γίνει ίση με την χωρητική αντίσταση X$\_{C}$, τότε το κύκλωμα συντονίζεται ως προς την πηγή που το τροφοδοτεί. Η ωμική αντίσταση θεωρείται ως η αντίσταση, που πα -ρεμβάλλει το σύρμα του πηνίου. Το κύκλωμα αυτό ονομάζεται επίσης και ταλαντωτής σειράς, Σχήμα 9.1.

Σχήμα 9.1. Ένα κύκλωμα R - L - C σειράς μπορεί να συντονισθεί
Το κύκλωμα είναι σε συντονισμό (ή συντονίζεται) όταν:
X$\_{L}$ =X$\_{C}$
0 0 1 ω L = ω C
Η συχνότητα συντονισμού προκύπτει από την πάρα πάνω σχέση:
0 1 f = 2 π LC
Στην περίπτωση συντονισμού σειράς, η σύνθετη αντίσταση του κυ -κλώματος αποκτά την ελάχιστη τιμή της, το δε ρεύμα αποκτά την μέ γιστη τιμή του.
Ζ = R = ελάχιστη τιμή,
I = U/Z = U/R = μέγιστη τιμή
Ονομάζουμε συντελεστή ποιότητας Q του ταλαντωτή σειράς τον λόγο:
Q=X$\_{l}$/R ή Q=X$\_{C}$/R

Αν χρησιμοποιήσουμε τη σχέση της συχνότητας συντονισμού, τότε βρίσκουμε για τον συντελεστή ποιότητας ότι:
0 0 ω L 1 1 L Q = = = R ω CR R C
Ο συντελεστής ποιότητας Q του συντονισμένου κυκλώματος είναι λόγος αντιστάσεων και παίρνει τιμές μέχρι 300.

9.2. ΥΠΕΡΤΑΣΗ
Στην περίπτωση του συντονισμού του κυκλώματος σειράς, οι πτώ -σεις τάσης στο πηνίο και στον πυκνωτή είναι ίσες και γίνονται Q φορές μεγαλύτερες από την τάση του κυκλώματος U με αποτέλεσμα την εμ -φάνιση υπερτάσεων.
Για την συχνότητα συντονισμού ισχύει ότι:
U$\_{L}$ = U$\_{C}$ = QU

Προσοχή:
Οι υπερτάσεις είναι επικίνδυνες για τους καταναλωτές και για τις συ -σκευές. Έτσι, αν το τύλιγμα του πηνίου δεν έχει την κατάλληλη αντο χή της μόνωσης ή αν η τάση ασφαλείας του πυκνωτή είναι μικρότερη της υπέρτασης συντονισμού, τότε είναι δυνατόν να γίνει υπερπήδηση (σπινθήρας) και οι συσκευές αυτές να καταστραφούν.

Παράδειγμα 1
Συνδέουμε σε σειρά ένα πηνίο με ωμική αντίσταση 170 Ω και αυ -τεπαγωγή 1 Η με ένα πυκνωτή χωρητικότητας 10 μF. Στα άκρα του κυκλώματος εφαρμόζουμε την τάση του δικτύου 220V, 50Hz, Σχήμα 9.1. Να υπολογιστούν: α) η χωρητική αντίσταση X$\_{C}$ και η επαγωγική αντίσταση X$\_{L}$, β) το ρεύμα I στο κύκλωμα, γ) η σύνθετη αντίσταση του πηνίου Ζ$\_{Π}$, δ) η πτώση τάσης στο πηνίο U$\_{Π}$ και στον πυκνωτή U$\_{C}$.

Λύση:
α) Από τις γνωστές σχέσεις βρίσκουμε:
ω=2πf=314 rad/sec.
Χ$\_{L}$=Lω=1314=314Ω
5 C -6 1 1 10 X = = = = 318,47 Ω C ω 10 10 314 314 × ×
Οι δυο αυτές τιμές διαφέρουν πολύ λίγο η μια από την άλλη. Το κύ -κλωμα είναι πολύ κοντά στον συντονισμό.
β) Το ρεύμα στο κύκλωμα είναι:
( ) ( ) 2 2 2 2 L C 2 2 U 220 Ι = = = R + X - X 170 + 314-318,47 220 = =1,3A 170 + 4,47
γ) Η σύνθετη αντίσταση του πηνίου είναι:
2 2 2 2 Π L Z = R + X = 170 +314 = 28900 +98546 = 357 Ω
δ) Η πτώση τάσης στο πηνίο και στο πυκνωτή είναι, αντίστοιχα:

U$\_{Π}$=ΙΖ$\_{Π}$=1,3Α357Ω=464,1 V
U$\_{C}$=ΙΧ$\_{C}$=1,3Α318,47Ω=414 V
Στο παράδειγμα αυτό σκόπιμα θεωρήθηκε ένα πηνίο με σχετικά με -γάλη ωμική αντίσταση R=170Ω, η οποία περιορίζει την ένταση I του ρεύματος και επομένως τις πτώσεις τάσης στο πηνίο U$\_{Π}$ και στο πυ -κνωτή U$\_{C}$. Στο επόμενο παράδειγμα θα δούμε το ίδιο φαινόμενο να εκδηλώνεται σε πηνίο χαμηλής ωμικής αντίστασης και θα συγκρίνουμε τα αποτελέσματα.

Παράδειγμα 2
Χρησιμοποιούμε τον ίδιο πυκνωτή C=10μF του παραδείγματος 1 σε σειρά με ένα πηνίο με αυτεπαγωγή L=1H και ωμική αντίσταση R=20 Ω. Να υπολογιστούν: α) το ρεύμα στο κύκλωμα και β) οι πτώσεις τά -σης στο πηνίο και στον πυκνωτή. γ) Συγκρίνετε τα αποτελέσματα με αυτά του παραδείγματος 1.

Λύση :
α) Από το προηγούμενο παράδειγμα βρίσκουμε τις Χ$\_{L}$=314Ω και Χ$\_{C}$=318,48Ω.
Το ρεύμα υπολογίζεται από το νόμο του Ωμ:
( ) 2 2 2 2 220 220 220 Ι = = = = 10,74 Α 20,5 20 + 4,47 20 + 314 -318,47
β) Οι πτώσεις τάσης στο πηνίο και στον πυκνωτή υπολογίζονται κατά τον ίδιο τρόπο όπως στο παράδειγμα 1:
U$\_{C }$= IX$\_{ C}$ = 10,74318,47 = 3420
γ) Παρατηρούμε ότι η μείωση της ωμικής αντίστασης από 170Ω σε 20Ω προκαλεί την αύξηση του ρεύματος από 1, 3Α σε 10,74Α και ταυ -τόχρονα η πτώση τάσης στο πηνίο αυξάνεται από 464,1V σε 3379V και η πτώση τάσης στον πυκνωτή αυξάνεται από 414V σε 3420V.

Προσοχή:
Προκειμένου να συνδέσουμε σε σειρά πηνίο με πυκνωτή πρέπει να βεβαιωθούμε πρώτα με υπολογισμούς ότι η σύνδεση δεν συντονίζεται και έτσι δεν παρουσιάζει κινδύνους τόσο για τις συσκευές όσο και για εκείνους που τις χειρίζονται, λόγω υπερτάσεων.

Παράδειγμα 3
Το κύκλωμα του σχήματος 9.1. περιλαμβάνει μια αντίσταση R=5Ω, ένα πυκνωτή C=2200 pF και ένα πηνίο L=2 μΗ σε σειρά. Στους ακρο -δέκτες του εφαρμόζεται εναλλασσόμενη τάση με ενεργό τιμή U=5 V. Να υπολογιστούν: α) Η συχνότητα συντονισμού f$\_{0}$ του κυκλώματος και β) ο συντελεστής ποιότητας Q.

Λύση:
8 -6 -12 0 1 1 1×10 α )f = = = = 2,4MHz 41,68 2 π LC 2 π 2×10 ×2200×10

Παράδειγμα 4
Στο κύκλωμα του σχήματος 9.1 με αντίσταση R=20Ω, πυκνωτή C=0,02μF και πηνίο L σε σειρά εφαρμόζεται εναλλασσόμενη τάση με ενεργό τιμή U. Η συχνότητα συντονισμού του κυκλώματος είναι f$\_{0}$=20 kHz. Υπολογίστε: α) την αυτεπαγωγή L και β) το συντελεστή ποιότη -τας του κυκλώματος Q.

Λύση:
α) Η συχνότητα συντονισμού δίνεται από τη σχέση:
0 1 f = 2 π LC
Από τη σχέση αυτή υπολογίζεται η άγνωστη τιμή της αυτεπαγωγής L:
( ) 2 2 2 2 2 3 -6 0 1 1 L = = = 3,16mH 4 π f C 4 π 20 10 0,02 10 × × × ×
β) Ο συντελεστής ποιότητας του κυκλώματος υπολογίζεται από τη σχέση:
Q= 1 R L C = 1 20 3,16×10 0,02×10 =20 -3 -6

Παράδειγμα 5
Πυκνωτής 20μF και πηνίο 0,5Η συνδέονται σε σειρά με ωμική αντί -σταση 10Ω. Εφαρμόζεται στο κύκλωμα εναλλασσόμενη τάση 100V, 50Hz, Σχήμα 9.1. Υπολογίστε: α) τη σύνθετη αντίσταση Ζ του κυκλώ -ματος, β) την ένταση του ρεύματος, γ) τη τάση U$\_{Π}$ στα άκρα του πη νίου, δ) τη τάση U$\_{C}$ στα άκρα του πυκνωτή και ε) τη διαφορά φάσης του ρεύματος με την τάση της πηγής, στ) Αν η συχνότητα της τάσης μεταβάλλεται, σε ποια συχνότητα θα συντονιστεί το κύκλωμα; η) Επα -ναλάβετε τις ερωτήσεις α)-ε) για τη συχνότητα συντονισμού.

Λύση:
α) X$\_{L}$ = ωL = 2π500,5 = 157 Ω
X$\_{C}$ = 1/(ωC) = 1/(2π502010 -6 ) = 159,2 Ω
β) I= 100 10,25 =9,76A
C -6 I 9,76 δ )U = = =1553V C ω 20 10 2 π 50 × × × ×
ε) εφ φ= (X$\_{L}$ -X$\_{C}$)/R=(157Ω-159,2Ω)/10Ω= - 0,22
και φ= - 12,4°
Στο κύκλωμα αυτό υπερτερεί η χωρητικότητα, επομένως το ρεύμα βρίσκεται σε φασική προπορεία της τάσης.
στ) Το κύκλωμα θα συντονισθεί όταν η συχνότητα της τάσης θα γίνει:
f = =1/ 2
η) Στον συντονισμό έχουμε:
X$\_{L}$ =X$\_{C}$ =158 Ω και Ζ=R=10Ω
Ι=U/R =100V/10Ω = 10Α

U$\_{C}$=IX$\_{C}$=10l58=l580 V
εφ φ=0 ή φ=0°, δηλαδή το ρεύμα είναι σε φάση με τη τάση.

Παράδειγμα 6
Κύκλωμα RLC σειράς (Σχήμα 9.1) που βρίσκεται σε συντονισμό έχει R=30Ω, X$\_{C}$= 100Ω, Χ$\_{L}$=100Ω και στα άκρα του εφαρμόζεται τάση στιγμιαίας τιμής: u=310ημ(314t). Να βρεθούν: α) η ενεργός τιμή του ρεύματος, β) η ενεργός τιμή των πτώσεων τάσεως στο πηνίο και τον πυκνωτή και γ) ο συντελεστής ποιότητας του κυκλώματος.

Λύση:
α) Η ενεργός τιμή της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το συντονι -σμένο κύκλωμα σειράς είναι:
I= U R = 310 2R = 310 R 2 = 310 30 2 =7,3A
β) Οι πτώσεις τάσης στην αντίσταση, στο πηνίο και πυκνωτή αντίστοι -χα είναι:
U$\_{r}$=IR=7,330=220V
U$\_{L}$=IX$\_{L}$=7,3100=730V
U$\_{C}$=IX$\_{C}$=7,3100=730V
γ) Ο συντελεστής ποιότητας υπολογίζεται από τη σχέση:
Q= X$\_{L}$/R=100Ω/30Ω=3,33

Παράδειγμα 7
Κύκλωμα σειράς R-L-C (Σχήμα 9.1) συνδέεται με πηγή εναλλασσο -μένου ρεύματος συχνότητας 50 Hz και διαρρέεται από ρεύμα 10 Α. Οι πτώσεις τάσης στα στοιχεία του κυκλώματος είναι U$\_{r}$=220V, U$\_{l}$=200V, U$\_{C}$=200V. Υπολογίστε: α) τις τιμές των στοιχείων R, L και C του κυ -κλώματος και β) τη τάση της πηγής.

Λύση:
Το διανυσματικό διάγραμμα του ταλαντωτή σειράς είναι:
Σχ. 9.2. Διανυσματικό διάγραμμα των τάσεων U$\_{R}$, U$\_{L}$, U$\_{C}$ και έντασης I του ταλαντωτή σειράς
α) Οι τάσεις U$\_{L}$ και U$\_{C}$ αλληλοαναιρούνται γιατί είναι διανύσματα ίσα και αντίθετα λόγω του συντονισμού.
220 = 22 10
L L C C R = Ω U 200 X = = = 20 R U = R I Ω I 10 U 200 Χ = = = 20 Ω I 10
Από τη σχέση X$\_{L}$=Lω βρίσκουμε την αυτεπαγωγή L
Και από την σχέση
C C 1 1 1 X = C = = =159 μ F C ω 2 π fX 2 3,14 50 20 ® × × ×
β) Το κύκλωμα παρουσιάζει ωμική συμπεριφορά και έτσι η τάση της πηγής θα είναι:

U=U$\_{R}$=220 V

9.3. ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΣ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ
Όταν σε κύκλωμα με ωμική αντίσταση R και επαγωγή L συνδεδεμέ -νες παράλληλα με χωρητικότητα C, τα οποία τροφοδοτούνται με τάση U και μεταβαλλόμενη συχνότητα f ή κυκλική συχνότητα ω, για μια ορισμένη τιμή f$\_{0}$ ή ω$\_{0}$ των συχνοτήτων η επαγωγική αντίσταση X$\_{L}$ γίνει ίση με την χωρητική αντίσταση X$\_{C}$, τότε το κύκλωμα βρίσκεται σε παράλληλο συντονισμό. Το κύκλωμα ονομάζεται επίσης και παράλληλος ταλαντωτής και παρουσιάζεται στο Σχήμα 9.3.
Σχήμα 9.3. Το κύκλωμα έχει στον ένα κλάδο ένα πηνίο με αυτεπαγωγή L και ωμική αντίσταση R και στον παράλληλο κλάδο ένα πυκνωτή C. Θα βρεθεί σε παράλληλο συντονισμό όταν η επαγωγική αντίσταση ισούται με τη χωρητική αντίσταση.

Οι σχέσεις μεταξύ των στοιχείων του κυκλώματος είναι:
L C 0 0 0 0 1 1 X = X ή ω L = ή ω L = 0 ω C ω C

Η συχνότητα συντονισμού δίδεται από την σχέση:
0 1 f = 2 π LC
Η συνθήκη συντονισμού του παράλληλου ταλαντωτή είναι η ίδια όπως και αυτή του ταλαντωτή σειράς.
Ως αποτέλεσμα του φαινόμενου του συντονισμού το κύκλωμα συ -μπεριφέρεται ως ωμικό. Η διαφορά φάσης μεταξύ τάσης της πηγής και ολικού ρεύματος που απορροφάει το κύκλωμα από τη πηγή είναι φ = 0°, επομένως, το ολικό ρεύμα του κυκλώματος είναι σε φάση με την τάση της πηγής και βρίσκεται στην ελάχιστη τιμή του. Το ισοδύνα -μο κύκλωμα της διάταξης του σχήματος 9.3 σε παράλληλο συντονισμό παρουσιάζεται στο Σχήμα 9.4.

Σχήμα 9.4. Ισοδύναμο κύκλωμα του παράλληλου συντονισμού του κυκλώματος του σχήματος 9.3
Στην περίπτωση παράλληλου συντονισμού η σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος αποκτά την μέγιστη τιμή της, το δε ρεύμα αποκτά την ελάχιστη τιμή του.
Ζ = R = μέγιστη τιμή,
I = U/Z = U/R = ελάχιστη τιμή
- Ο συντελεστής ποιότητας του παράλληλου ταλαντωτή ορίζεται κατά τον ίδιο τρόπο όπως στον ταλαντωτή σειράς:
0 0 ω L 1 1 L Q = = = R ω CR R C

9.4. ΥΠΕΡΕΝΤΑΣΗ
Στην κατάσταση του παράλληλου συντονισμού οι δυο παράλληλοι κλάδοι του κυκλώματος του Σχήματος 9.3 διαρρέονται από ρεύματα:
I$\_{L}$ = QI και I$\_{C}$ = QI
Δηλαδή, τα ρεύματα στους κλάδους του πηνίου και του πυκνωτή είναι Q φορές μεγαλύτερα από το ολικό ρεύμα του κυκλώματος.
Το φαινόμενο αυτό της υπερέντασης κατά τον συντονισμό βρίσκει πρακτική εφαρμογή στην βιομηχανία, όπου μάζα μετάλλου προς κα -τεργασία υφίσταται ομοιόμορφη θέρμανση.

Προσοχή:
Τα υπερρεύματα όταν είναι απρόβλεπτα μπορούν να γίνουν επικίνδυνα για τους καταναλωτές.

Παράδειγμα 1
Το κύκλωμα του σχήματος 9.3 έχει τα ακόλουθα στοιχεία: R=40 Ω, L=7 mH και C=l590 pF. Υπολογίστε: α) τη συχνότητα συντονισμού f$\_{0 }$ και β) το συντελεστή ποιότητας Q του κυκλώματος.

Λύση:
0 -3 -12 1 1 f = = = 47,73kHz α) 2 π LC 2 π 7 10 1590 10 × × ×
3 -3 0 0 ω L 2 π f L 2 π 47,73 10 7 10 Q = = = = 52,45 β) R R 40 × × × ×

Παράδειγμα 2
Το ισοδύναμο κύκλωμα του Σχήματος 9.4 έχει αυτεπαγωγή 4 μΗ, χωρητικότητα 0,11μF, ωμική αντίσταση 0,1Ω και πηγή τάσης 10V. Το κύκλωμα βρίσκεται σε παράλληλο συντονισμό. Υπολογίστε: α) τη συ -χνότητα συντονισμού, β) τα μερικά ρεύματα I$\_{R}$ και I$\_{C}$ του κυκλώματος.

Λύση:
α) Η συχνότητα συντονισμού υπολογίζεται από την σχέση:
( ) ( ) -6 -6 0 f =1/ 2 π LC =1/ 2 3,14 4 10 0,11 10 = 241kHz × × × × × × ×
Με τη συχνότητα f$\_{0}$ προκύπτουν οι ακόλουθες τιμές για την επαγω -γική αντίσταση και για τη χωρητική αντίσταση:
X$\_{L}$ = ωL = 2π24110410 = 6 Ω
X$\_{C}$ = 1/(ωC)= 1/(2π24110 3 0,1110 -6 ) = 6 Ω
Επομένως, έχουμε X$\_{L}$=X$\_{C}$.
β) Τα ρεύματα των παράλληλων κλάδων είναι :
I$\_{L}$= U/X$\_{L}$=10 V/6 Ω=1,67 A
I$\_{C}$=U/X$\_{C}$=10 V/6 Ω=1,67 A

Επομένως έχουμε I$\_{L}$=I$\_{C}$

9.5. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ
- 1. Πότε εμφανίζονται τα φαινόμενα του συντονισμού κυκλώματος σειράς και του παράλληλου κυκλώματος;
- 2. Τι είναι ο ταλαντωτής σειράς και ο παράλληλος ταλαντωτής;
- 3. Πώς εξηγείται η εμφάνιση υπερτάσεων και υπερρευμάτων;
- 4. Πώς υπολογίζεται η συχνότητα συντονισμού;
- 5. Πώς υπολογίζεται ο συντελεστής ποιότητας ενός κυκλώματος;
- 6. Καταναλωτής αποτελείται από ένα πηνίο ωμικής αντίστασης 56 Ω και αυτεπαγωγής 0,5 Η ο οποίος συνδέεται σε σειρά με ένα πυκνω -τή χωρητικότητας 16 μF. Στα άκρα του καταναλωτή εφαρμόζεται εναλλασσόμενη τάση 210 V, 50 Hz. Υπολογίστε: α) τη χωρητική αντίσταση του πυκνωτή, β) τη σύνθετη αντίσταση του πηνίου, γ) τη σύνθετη αντίσταση ολόκληρου του καταναλωτή, δ) το ρεύμα στο κύκλωμα, ε) τη πτώση τάσης στον πυκνωτή, στ) τη πτώση τάσης στο πηνίο και ζ) το συντελεστή ισχύος του καταναλωτή.

Απαντήσεις: 199 Ω, 164,6 Ω, 70 Ω, 4 Α, 597 V, 109,8 V, 0,8
- 7. Όταν ο καταναλωτής του προηγούμενου παραδείγματος τροφοδο -τηθεί με μεταβλητή συχνότητα, υπολογίστε τη συχνότητα συντονι σμού και το συντελεστή ποιότητας του κυκλώματος.
Απαντήσεις: 56,3 Hz, 3,2
- 8. Ένας πυκνωτής χωρητικότητας 30 μF και ένα πηνίο με αυτεπαγω -γή 0,5 Η και ωμική αντίσταση 10 Ω συνδέονται παράλληλα. Στα άκρα του κυκλώματος εφαρμόζεται τάση 1000 V, συχνότητας 50 Hz. Υπολογίστε: α) το ρεύμα I$\_{L}$ στο πηνίο, β) το ρεύμα I$\_{C}$ στον πυ -κνωτή, γ) το ολικό ρεύμα, δ) το συντελεστή ισχύος ολόκληρου του καταναλωτού.

Απαντήσεις: I$\_{L}$=5,28 A, I$\_{C}$=7,54 Α, I=2,25 Α, συνφ=0,124
- 9. Όταν ο καταναλωτής του προηγούμενου παραδείγματος τροφοδο -τηθεί με μεταβλητή συχνότητα, υπολογίστε τη συχνότητα συντονι σμού και το συντελεστή ποιότητας του κυκλώματος.
Απαντήσεις: 41 Hz, 12,9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10

ΤΡΙΦΑΣΙΚΟ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ

10.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Το μεγαλύτερο μέρος της ηλεκτρικής ενέργειας, που παράγεται, με -ταφέρεται και καταναλώνεται σε όλο τον κόσμο είναι τριφασικό. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η τριφασική ισχύς είναι αποδοτικότερη συ -γκριτικά με την ισχύ της μονοφασικής εναλλασσόμενης και με την ισχύ της συνεχούς τάσης.
Στα ακόλουθα παρουσιάζεται η διαφορά και η συσχέτιση μεταξύ τριφασικής και μονοφασικής τάσης. Εξετάζονται οι συνδεσμολογίες των πηγών των καταναλωτών σε αστέρα και σε τρίγωνο και επί πλέον οι σχέσεις μεταξύ τους σε ότι αφορά τις τάσεις, τα ρεύματα και τις ισχείς.

10.2. ΤΡΙΦΑΣΙΚΗ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΗ ΤΑΣΗ
Τρεις μονοφασικές εναλλασσόμενες τάσεις με την ίδια συχνότητα και οι οποίες διαφέρουν η μία από την επόμενη κατά 120° αποτελούν ένα τριφασικό σύστημα τάσεων:
u$\_{1}$=U$\_{1}$ημ(ωt+φ$\_{1}$)
u$\_{2}$=U$\_{2}$ημ(ωt+φ$\_{2}$)
u$\_{3}$=U$\_{3}$ημ(ωt+φ$\_{3}$)

όπου:
-  u$\_{1}$, u$\_{2}$, u$\_{3}$ είναι οι στιγμιαίες τιμές των τριών τάσεων σε Volt
-  U$\_{1}$,U$\_{2}$,U$\_{3}$ είναι οι μέγιστες τιμές ή τιμές κορυφής σε Volt
-  φ $\_{1}$, φ$\_{2}$ , φ$\_{3}$ είναι οι διαφορές φάσης ως προς ένα σύστημα συντεταγ -μένων σε μοίρες ή ακτίνια
-  ω είναι η γωνιακή ταχύτητα ή συχνότητα σε ακτίνια/δευτερόλεπτο, ή rad/sec
-  t είναι ο χρόνος, σε δευτερόλεπτα.
Η σχέση μεταξύ γωνιακής συχνότητας και περιόδου της τάσης είναι:
ω=2πf=2π/Τ
όπου:
-  f είναι η συχνότητα σε Hertz (Hz)
-  Τ είναι η περίοδος σε δευτερόλεπτα

Η βιομηχανική μονοφασική τάση στον Ευρωπαϊκό χώρο έχει εύρος 220 V, συχνότητα 50 Hz και περίοδο 1/50=0,02 sec. Στην Αμερική η τάση είναι εύρους 117 V, συχνότητας 60 Hz και περιόδου 1/60 sec.
Οι τρεις τάσεις u$\_{1}$, u$\_{2}$, u$\_{3}$ ονομάζονται φασικές τάσεις: η u$\_{1}$ είναι η πρώτη φάση, η u$\_{2}$ είναι η δεύτερη φάση και η u$\_{3}$ είναι η τρίτη φάση.
Όταν U=U = U = 2U 1 2 3 και φ$\_{1}$-φ$\_{2}$=φ$\_{2}$-φ$\_{3}$=φ$\_{3}$-φ$\_{1}$=120° ή, με άλλα λόγια, όταν οι τρεις φασικές τάσεις έχουν το ίδιο μέτρο και η διαφορά φάσης μεταξύ τους είναι 120° τότε το τριφασικό σύστημα τάσεων είναι συμμετρικό, Σχήμα 10.1.

Σχήμα 10.1. Τριφασικό συμμετρικό σύστημα εναλλασσόμενης τάσης
( ) 1 u = 2 U ημ ω t × ×
( ) o 2 u = 2 U ημ ω t -120 × ×
( ) o 3 u = 2 U ημ ω t - 240 × ×
όπου U είναι η ενδεικνύμενη τιμή της εναλλασσόμενης τάσης.
Η μεταβολή με το χρόνο της τριφασικής εναλλασσόμενης τάσης απεικονίζεται στο Σχήμα 10.1. Το άθροισμα των στιγμιαίων τιμών των τριών φασικών τάσεων του συμμετρικού συστήματος τριφασικής εναλ -λασσόμενης τάσης είναι μηδέν:
u$\_{1}$ + u$\_{2}$ + u$\_{3}$ =0
Όταν οι τρεις φασικές τάσεις δεν έχουν το ίδιο μέτρο, ή η διαφορά φάσης μεταξύ τους δεν είναι 120°, τότε έχουμε ασύμμετρο τριφασικό σύστημα τάσεων.

Τόσο στη βιβλιογραφία όσο και στις πινακίδες των ηλεκτρικών συ -σκευών οι τρεις φάσεις της τριφασικής εναλλασσόμενης τάσης συμ βολίζονται με Α, Β, Γ ή R, S, Τ, ή L$\_{1}$ (line 1), L$\_{2}$, (line 2), L$\_{3}$ (line 3), ή U, V, W.
Όταν η διαφορά φάσης μεταξύ των τριών τάσεων είναι θετική (120°) τότε έχουμε ορθή (θετική) διαδοχή φάσεων, όταν είναι αρνητική (-120°), η διαδοχή των φάσεων είναι αντίστροφη (αρνητική).

10.3. ΣΥΝΔΕΣΜΟΛΟΓΙΕΣ ΤΡΙΦΑΣΙΚΩΝ ΠΗΓΩΝ ΤΑΣΗΣ
Συνήθως μια τριφασική γεννήτρια είναι πηγή τριφασικής εναλλασ -σόμενης τάσης. Οι τρεις φάσεις των τυλιγμάτων της γεννήτριας μπο ρούν να συνδεθούν σε αστέρα ή σε τρίγωνο, σύμφωνα με τις απαιτή -σεις της εφαρμογής.

10.3.1. Σύνδεση Πηγών Εναλλασσόμενης Τάσης σε Αστέρα ή σε Τρίγωνο
Τρεις μονοφασικές πηγές εναλλασσόμενης τάσης με ΗΕΔ Ε$\_{1}$, Ε$\_{2 }$και Ε$\_{3}$ οι οποίες συνδέονται με τον ένα ακροδέκτη σε ένα κοινό κόμβο Ο και ο άλλος ακροδέκτης είναι ελεύθερος για σύνδεση σε καταναλωτή, αποτελούν μια τριφασική πηγή σε σύνδεση αστέρα, ή σύνδεση "ύψιλον-Υ", Σχήμα 10.2.
Στο Σχήμα 10.2 παρουσιάζεται η σύνδεση σε αστέρα των τριών φά -σεων της πηγής τριφασικής εναλλασσόμενης τάσης. Ο κόμβος "Ο" ονομάζεται ουδέτερος κόμβος της πηγής. Οι ηλεκτρεγερτικές δυνά -μεις E$\_{1}$, Ε$\_{2}$ και Ε$\_{3}$ είναι οι φασικές ΗΕΔ.

Σχήμα 10.2. Σύνδεση πηγών εναλλασσόμενης τάσης σε αστέρα, "Υ".
Γενικά, ορίζουμε φασική τάση την διαφορά δυναμικού μεταξύ του ακροδέκτη της κάθε φάσης και του ουδέτερου κόμβου, π.χ. μεταξύ Α και Ο, ή μεταξύ Β και Ο, ή μεταξύ Γ και Ο.
Για να συνδεθούν σε τρίγωνο ή σε "Δέλτα - Δ" οι τρεις φάσεις της πηγής εναλλασσόμενης τάσης με ΗΕΔ Ε$\_{12}$, Ε$\_{23}$ και Ε$\_{31}$ πρέπει το τέλος κάθε φάσης να συνδέεται στην αρχή της επόμενης, Σχήμα 10.3. Οι τά -σεις με ΗΕΔ E$\_{12}$, Ε$\_{23}$ και Ε$\_{31}$ ονομάζονται πολικές ΗΕΔ.

Η πολική τάση είναι η διαφορά δυναμικού μεταξύ δύο ακροδεκτών διαφορετικών φάσεων, π.χ. μεταξύ φάσεων Α και Β, ή μεταξύ φάσεων Β και Γ, ή μεταξύ φάσεων Γ και Α.

Στη συνδεσμολογία σε τρίγωνο δεν υπάρχει ουδέτερος κόμβος.
Σχήμα 10.3. Σύνδεση πηγών εναλλασσόμενης τάσης σε τρίγωνο, "Δ"

10.3.2. Σχέσεις Μεταξύ Τάσεων ή ΗΕΔ στη Σύνδεση σε Αστέρα και σε Τρίγωνο
Μια πηγή μπορεί να αλλάξει συνδεσμολογία από "Υ" σε "Δ" ή και αντίστροφα. Τότε από τις τάσεις της συνδεσμολογίας σε αστέρα, σχή -μα 10.2, υπολογίζονται οι τάσεις της συνδεσμολογίας σε τρίγωνο, σχή μα 10.3, σύμφωνα με τις ακόλουθες σχέσεις:
U$\_{12}$=U$\_{1}$-U$\_{2}$ U$\_{23}$ =U$\_{2}$-U$\_{3}$ U$\_{31}$=U$\_{3}$-U$\_{1}$
Από τις ΗΕΔ της συνδεσμολογίας σε αστέρα, σχήμα 10.2, υπολογί -ζονται οι ΗΕΔ της συνδεσμολογίας σε τρίγωνο, σχήμα 10.3, σύμφωνα με τις ακόλουθες σχέσεις

Στη σύνδεση σε αστέρα και σε τρίγωνο οι τάσεις ή οι ΗΕΔ είναι διανύσματα. Η πρόσθεση ή η αφαίρεση τους γίνεται διανυσματικά (γε -ωμετρικά).
Ε$\_{12}$=Ε$\_{1}$-Ε$\_{2}$ E$\_{23}$=E$\_{2}$-E$\_{3}$ Ε$\_{31}$=Ε$\_{3}$-Ε$\_{1}$

10.4. ΤΡΙΦΑΣΙΚΟΙ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΕΣ ΣΕ ΣΥΝΔΕΣΗ "Υ"
Ηλεκτρικό κύκλωμα με τριφασικά εναλλασσόμενα μεγέθη όπως: τάση, ηλεκτρεγερτική δύναμη, ρεύμα και τριφασικό καταναλωτή (φορ -τίο) αποτελεί ένα τριφασικό κύκλωμα.

10.4.1. Συμμετρικοί καταναλωτές σε σύνδεση "Υ"
Τρεις καταναλωτές R$\_{1}$, R$\_{2 }$και R$\_{3 }$ οι οποίοι συνδέεονται με το ένα άκρο σε ένα κοινό κόμβο "Ο" και με το άλλο άκρο στην κάθε φάση της τριφασικής πηγής τάσης αποτελούν μια σύνδεση καταναλωτών σε αστέρα, ή "Υ" , Σχήμα 10.4.
Σχήμα 10.4. Σύνδεση καταναλωτών σε αστέρα
Ο κόμβος ''Ο'' ονομάζεται ουδέτερος κόμβος του φορτίου και συν -δέεται με τον ουδέτερο κόμβο ''Ο'' της τριφασικής πηγής τάσης του Σχήματος 10.2. Ο αγωγός που συνδέει τους δύο ουδέτερους κόμβους ονομάζεται ουδέτερος αγωγός και είναι απαραίτητος, όταν η τριφασι -κή τάση της πηγής, ή ο τριφασικός καταναλωτής δεν είναι συμμετρικά. Τότε, τα τρία φασικά ρεύματα δεν είναι συμμετρικά και εφαρμόζοντας τον νόμο του Κίρκωφ στον κόμβο ''Ο'' έχουμε:

i$\_{N}$ = i$\_{1}$+i$\_{2}$+i$\_{3}$≠0
Το ρεύμα i$\_{Ν}$ διοχετεύεται μέσω του ουδέτερου αγωγού.
Στο Σχήμα 10.4 οι U$\_{1}$, U$\_{2}$ και U$\_{3}$ είναι οι φασικές τάσεις, οι U$\_{12}$, U$\_{23}$, και U$\_{31}$ είναι οι πολικές τάσεις και I$\_{1}$, Ι$\_{2}$ και Ι$\_{3}$ είναι τα φασικά ρεύματα.
Οι διανυσματικές σχέσεις μεταξύ των πολικών και φασικών τάσεων και μεταξύ των φασικών ρευμάτων είναι:
U$\_{12}$=U$\_{1}$-U$\_{2}$ U$\_{23}$=U$\_{2}$-U$\_{3}$ U$\_{31}$=U$\_{3}$-U$\_{1}$ I$\_{1}$ + I$\_{2}$ +I$\_{3}$ = I$\_{Ν}$

Όταν ο καταναλωτής είναι συμμετρικός, δηλαδή R$\_{1}$=R$\_{2}$=R$\_{3}$, τότε το ρεύμα στον ουδέτερο αγωγό είναι μηδέν, I$\_{Ν}$ =0. Επίσης η σχέση μεταξύ πολικών U$\_{π}$ και φασικών τάσεων U$\_{φ}$ γίνεται:
π φ φ U = 3 U = 1,73 U × ×
Η σχέση μεταξύ πολικού ρεύματος I$\_{π}$ και φασικού ρεύματος Ι$\_{φ}$ είναι:
I$\_{π}$=Ι$\_{φ}$
Η τριφασική ενεργή, άεργη και φαινόμενη ισχύς του τριφασικού κα -ταναλωτή σε σύνδεση σε αστέρα υπολογίζονται σύμφωνα με τις ακό λουθες σχέσεις:
[ ] [ ] [ ] 1 1 1 π π 1 1 1 1 π π 1 1 1 π π P = 3 U I συνφ = 3 U Ι συνφ W Q 3 U I ημφ 3 U Ι ημφ VAr 3 U I 3 U Ι VA S × × × × × × = × × × = × × × = × × = × ×

Παράδειγμα 1
Σχεδιάστε ένα τριφασικό κύκλωμα με πηγή τάσης σε αστέρα και καταναλωτή συνδεδεμένο σε αστέρα (σύνδεση ''Υ-Υ'').

Λύση:
Το κύκλωμα απεικονίζεται στο Σχήμα 10.5 όπου A, Β, Γ είναι οι ακροδέκτες της τριφασικής πηγής και Ο ο ουδέτερος κόμβος της πη -γής, Α', Β', Γ' είναι οι ακροδέκτες του τριφασικού καταναλωτή και Ο' είναι ο ουδέτερος. Η σύνδεση γίνεται μεταξύ ακροδεκτών Α-Α', Β-Β', Γ-Γ', Ο-Ο'.
Ο ουδέτερος αγωγός είναι Ο-Ο' (με διακεκομένη γραμμή)

Παράδειγμα 2
Τρεις ίδιες αντιστάσεις συνδέονται σε αστέρα, Σχήμα 10.4, και τρο -φοδοτούνται από τριφασική πηγή τάσης U$\_{12}$=U$\_{23}$=U$\_{31}$=380V. Η κάθε αντίσταση είναι 100 Ω. Υπολογίστε: α) την φασική τάση στην αντίσταση, β) το ρεύμα στην κάθε αντίσταση.

Λύση:
1 12 α ) U = U / 3 = 380V /1,73 = 220V
1 1 β )I = U / R = 220V /100 Ω = 2,2 Α

Παράδειγμα 3
Τρεις ίδιες αντιστάσεις συνδέονται σε αστέρα, Σχήμα 10.4, και τρο -φοδοτούνται από τριφασική πηγή τάσης U$\_{12}$=U$\_{23}$=U$\_{31}$=380V. Το ρεύμα στην κάθε αντίσταση είναι 11Α. Υπολογίστε την αντίσταση κάθε φά -σης.

Λύση:
Σχήμα 10.5. Τριφασικό κύκλωμα αποτελούμενο από πηγή συνδεδεμένη σε αστέρα και καταναλωτή συνδεδεμένο σε αστέρα, σύνδεση ''Υ-Υ''

Παράδειγμα 4
Δίκτυο τριφασικής τάσης 380V τροφοδοτεί δύο συμετρικούς κατα -ναλωτές συνδεδεμένους σε "Υ", Σχήμα 10.6. Οι αντιστάσεις στήν κάθε φάση είναι 20 Ω στον πρώτο καταναλωτή και 5 Ω στον δεύτερο. Υπο -λογίστε το ρεύμα γραμμής.
Σχήμα 10.6. Παράλληλη διάταξη δύο καταναλωτών συνδεδεμένων σε αστέρα

Λύση:
Οι δύο αστέρες με αντιστάσεις είναι συνδεδεμένοι παράλληλα και μπορούμε να τους αντικαταστήσουμε με ένα ισοδύναμο αστέρα, ο οποίος έχει στην κάθε φάση την ισοδύναμη αντίσταση που προκύπτει από τη παράλληλη σύνδεση των 20Ω με 5Ω.
( ) ισ R = 20 Ω 5 Ω / 20 Ω +5 Ω = 4 Ω ×
1 12 U = U / 3 = 380V / 3 = 220V
1 I = 220V / 4 Ω = 55 Α
Το ρεύμα γραμμής είναι 55Α.

10.4.2. Ασύμμετρη φόρτιση σε αστέρα
Όταν συνδεθούν καταναλωτές με διαφορετική ισχύ ή αντίσταση σε κάθε φάση, προκύπτει ασύμμετρη φόρτιση του τριφασικού δικτύου.
Στη σύνδεση σε αστέρα των καταναλωτών με ασύμμετρη φόρτιση, εάν δεν συνδεθεί ο ουδέτερος αγωγός, τότε ο καταναλωτής με τη μι -κρότερη ισχύ δέχεται στα άκρα του υψηλότερη τάση. Όταν υπάρχει και ουδέτερος αγωγός, τότε στους τρεις καταναλωτές εφαρμόζεται η ίδια τάση.
Οι συσκευές για τριφασική τάση όπως οι κινητήρες, οι μετασχη -ματιστές, οι συσκευές θέρμανσης, έχουν συμμετρικά τυλίγματα, τα οποία συνδέονται ή αποσυνδέονται στο δίκτυο ταυτόχρονα με τη χρή -ση τριφασικών διακοπτών. Οι συσκευές αυτές φορτίζουν συμμετρικά το δίκτυο.

Αντιθέτως τα κυκλώματα, που αποτελούνται από λαμπτήρες και ρευματοδότες, συνδέονται μεταξύ γραμμής και ουδέτερου αγωγού, επομένως δημιουργούν ασύμμετρη φόρτιση του δικτύου. Το άθροι -σμα των τριών φασικών ρευμάτων δίνει το ρεύμα στον ουδέτερο αγω γό. Έτσι τα δίκτυα χαμηλής τάσης ή δίκτυα διανομής κατασκευάζονται με τέσσερις αγωγούς, ενώ τα δίκτυα υψηλής τάσης ή δίκτυα μεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας είναι με τρεις αγωγούς.

Παράδειγμα 1
Τριφασικό κύκλωμα τεσσάρων αγωγών τροφοδοτείται από πηγή τά -σης 380V, 50Hz και περιλαμβάνει ασύμμετρο φορτίο σε σύνδεση ''Υ'' με αντιστάσεις: R$\_{1}$=22Ω, R$\_{2}$=22 Ω και R$\_{3}$=11Ω, Σχήμα 10.5. Υπολο -γίστε: α) τα ρεύματα γραμμής και β) το ρεύμα στον ουδέτερο αγωγό.

Λύση:
α) Οι φασικές τάσεις είναι:
( ) ( ) ( ) 1 o 2 o 3 u = 2 220 ημ ω t u = 2 220 ημ ω t -120 u = 2 220 ημ ω t - 240 × × × × × ×
Το μέγεθος των φασικών ρευμάτων υπολογίζεται από το μέγεθος της φασικής τάσης και από το μέγεθος της αντίστασης κάθε φάσης.
I$\_{1}$=U$\_{1}$/R$\_{l}$=220V/22Ω=10Α
I$\_{2}$=U$\_{2}$/R$\_{2}$=220V/22Ω=10Α
I$\_{3}$=U$\_{3}$/R$\_{3}$=220V/11Ω=20Α
Η διαφορά φάσης μεταξύ των ρευμάτων είναι η ίδια όπως και αυτή των τάσεων:
( ) 1 i = 2 10 ημ ω t × ×
( ) o 2 i = 2 10 ημ ω t -120 × ×

( ) o 3 i = 2 20 ημ ω t - 240 × ×
β) Το ρεύμα στον ουδέτερο αγωγό υπολογίζεται ως το άθροισμα των τριών φασικών στιγμιαίων ρευμάτων ή από το διανυσματικό διάγραμ -μα του Σχήματος 10.7 και προκύπτει:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) o o N 1 2 3 o o i = i + i + i = 2 10 ημ ω t + ημ ω t -120 + 2 ημ ω t - 240 = = 2 10 ημ ω t - 240 = 2 10 ημ ω t +120 Α é ù × × × ê ú ë û × × × ×
Σχήμα 10.7. Διανυσματικό διάγραμμα τριφασικού συμμετρικού συστήματος φασικών τάσεων U$\_{1}$, U$\_{2}$, U$\_{3}$, τριφασικού ασύμμετρου συστήματος ρευμάτων I$\_{1}$, Ι$\_{2}$,Ι$\_{3}$, και ρεύματος στον ουδέτερο αγωγό Ι$\_{Ν}$ κατά την σύνδεση ασύμμετρου φορτίου.

10.5. ΤΡΙΦΑΣΙΚΟΙ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΕΣ ΣΕ ΣΥΝΔΕΣΗ ''Δ''

10.5.1. Συμμετρικοί καταναλωτές σε ''Δ''
Για να σχηματιστεί μια συνδεσμολογία τριών καταναλωτών σε τρί -γωνο, ή ''Δ'', η αρχή κάθε μιας από τις τρεις αντιστάσεις R$\_{12}$, R$\_{23 }$και R$\_{31}$, συνδέεται στο τέλος της άλλης, Σχήμα 10.8.
Τα ρεύματα I$\_{1}$, Ι$\_{2}$,1$\_{3}$, είναι πολικά ρεύματα και ονομάζονται ρεύματα γραμμής, τα ρεύματα Ι$\_{12}$, Ι$\_{23}$, Ι$\_{31}$, είναι φασικά ρεύματα. Οι διανυ -σματικές σχέσεις μεταξύ των πολικών και φασικών ρευμάτων είναι:
I$\_{1}$=I$\_{12}$-Ι$\_{31}$

I$\_{2}$=I$\_{23}$-I$\_{12}$
Ι$\_{3}$=I$\_{31}$-I$\_{23}$
Σχήμα 10.8. Σύνδεση σε τρίγωνο του τριφασικού καταναλωτή
Όταν ο καταναλωτής είναι συμμετρικός, δηλαδή R$\_{12}$=R$\_{23}$=R$\_{31}$, τότε:
I$\_{1}$+Ι$\_{2}$+Ι$\_{3}$=0
Στη σύνδεση τριφασικού καταναλωτού σε τρίγωνο, η σχέση μεταξύ πολικού ρεύματος Ι$\_{π}$ και φασικού ρεύματος Ι$\_{φ}$ είναι:
π φ φ Ι = 3 Ι = 1,73 Ι × ×
Επίσης, η σχέση μεταξύ πολικής U$\_{π}$ και φασικής τάσης U$\_{φ}$ είναι:
U$\_{π}$=U$\_{φ}$
Στη σύνδεση αυτή δεν υπάρχει ουδέτερος κόμβος, επομένως δεν υπάρχει ούτε ουδέτερος αγωγός. Η σύνδεση σε τρίγωνο είναι χρήσιμη όταν το κύκλωμα είναι συμμετρικό (δηλαδή αποτελείται από συμμε -τρική τάση και συμμετρικό καταναλωτή, επομένως το ρεύμα i$\_{Ν}$ =0).

Συγκριτικά με τη σύνδεση σε αστέρα, η σύνδεση σε τρίγωνο έχει το πλεονέκτημα ότι λειτουργεί με τρεις αγωγούς, ενώ στη σύνδεση σε αστέρα χρειάζονται τέσσερις αγωγοί. Συνήθως η σύνδεση ''Δ'' χρησι -μοποιείται στα δίκτυα μεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας για την εξοικο νόμηση του ουδέτερου αγωγού.

Παράδειγμα 1
Σχεδιάστε ένα τριφασικό κύκλωμα με πηγή τάσης συνδεδεμένη σε τρίγωνο και καταναλωτή συνδεδεμένο σε τρίγωνο (σύνδεση ''Δ-Δ'').

Λύση:
Το κύκλωμα δίνεται στο Σχήμα 10.9 όπου A, Β, Γ είναι οι ακροδέ -κτες της τριφασικής πηγής και A', Β', Γ' είναι οι ακροδέκτες του τρι φασικού καταναλωτή. Η σύνδεση γίνεται μεταξύ Α-Α', Β-Β' και Γ-Γ'.
Σχήμα 10.9. Τριφασικό κύκλωμα αποτελούμενο από πηγή συνδεδεμένη σε τρίγωνο και καταναλωτή συνδεδεμένο σε τρίγωνο, σύνδεση ''Δ-Δ''

Παράδειγμα 2
Ένα τριφασικό κύκλωμα αποτελείται από συμμετρικό καταναλωτή συνδεδεμένο σε ''Δ'' με 55Ω σε κάθε φάση, Σχήμα 10.8. Η πηγή εναλ -λασσόμενης τάσης είναι 220V, 50Hz. Υπολογίστε το ρεύμα γραμμής.

Λύση:
Το φασικό ρεύμα υπολογίζεται από την φασική τάση και από την ωμική αντίσταση της φάσης:
12 12 12 U 220V Ι = = = 4 Α R 55 Ω
Το ρεύμα γραμμής (πολικό) είναι 1 12 Ι = 3 Ι = 3 4 Α = 6,92 Α × × φορές υψηλότερο από το φα -σικό ρεύμα:
1 12 Ι = 3 Ι = 3 4 Α = 6,92 Α × ×

Παράδειγμα 3
Τριφασικό κύκλωμα αποτελείται από δύο ομάδες συμμετρικών αντι -στάσεων συνδεδεμένες σε ''Δ'': η μία ομάδα έχει αντιστάσεις των 10 Ω και η άλλη έχει αντιστάσεις των 40 Ω, Σχήμα 10.10. Το κύκλωμα τρο -φοδοτείται από πηγή εναλλασσόμενης τάσης 220 V, 50 Hz. Υπολογί στε το ρεύμα γραμμής.

Λύση:
Τα δύο τρίγωνα αντιστάσεων είναι συνδεδεμένα παράλληλα και μπο -ρούμε να τα αντικαταστήσουμε με ένα ισοδύναμο τρίγωνο, το οποίο έχει στην κάθε φάση την ισοδύναμη αντίσταση που προκύπτει από 10 Ω παράλληλα με 40 Ω.
ισ 10 Ω 40 Ω 400 R = = = 8 Ω 10 Ω + 40 Ω 50 ×
Το φασικό ρεύμα είναι:
12 12 ισ U 220V Ι = = = 27,5 Α R 8 Ω
Το ρεύμα γραμμής είναι:
1 12 Ι = 3 Ι = 3 27,5 Α = 47,6 Α × ×
Σχήμα 10.10. Δύο συστοιχίες καταναλωτών συνδεδεμένοι σε ''Δ'' και παράλληλα μεταξύ τους.

10.5.2. Ασύμμετρη φόρτιση σε τρίγωνο
Όταν συνδέονται σε τρίγωνο τρεις καταναλωτές διαφορετικής ισχύ -ος, τότε έχουμε ασύμμετρο φορτίο σε τρίγωνο, το οποίο παράγει άνισα φασικά ρεύματα,
Εάν πρόκειται για καταναλωτές με καθαρή ωμική αντίσταση, τότε τα ρεύματα δεν έχουν το ίδιο μέγεθος, διατηρούν όμως τη διαφορά φάσης 120° μεταξύ τους.

Παράδειγμα 1
Ένα τριφασικό κύκλωμα αποτελείται από ασύμμετρο καταναλωτή συνδεδεμένο σε ''Δ'' με αντίσταση 10 Ω στην πρώτη φάση, 15 Ω στην δεύτερη και 20 Ω στην τρίτη φάση, Σχήμα 10.8. Η πηγή τριφασικής εναλλασσόμενης τάσης είναι συμμετρική 220 V, 50 Hz. Υπολογίστε: α) τα φασικά ρεύματα και β) τα ρεύματα γραμμής (πολικά).

Λύση:
α) Εφ' όσον η τάση είναι συμμετρική, τότε οι ενδεικνύμενες τιμές των φασικών τάσεων είναι ίσες:
U$\_{12}$=U$\_{23}$=U$\_{31}$
Το φορτίο είναι ασύμμετρο και οι δεδομένες αντιστάσεις είναι:
R$\_{12}$=10 Ω, R$\_{23}$=l5 Ω και R$\_{31}$=20 Ω
Τα φασικά ρεύματα υπολογίζονται από τον νόμο του Ωμ:
12 12 12 U 220V I = = = 22 Α R 10 Ω
23 23 23 U 220V I = = = 14,7 Α R 15 Ω
31 31 31 U 220V I = = = 11 Α R 20 Ω
Δεδομένου ότι το φορτίο αποτελείται από ωμικές αντιστάσεις, τα φασικά ρεύματα I$\_{12}$, Ι$\_{23}$ και Ι$\_{31}$ έχουν την ίδια φάση με τις αντίστοιχες φασικές τάσεις U$\_{12}$, U$\_{23}$ και U$\_{31}$. Το διανυσματικό διάγραμμα των φασι -κών τάσεων και των φασικών ρευμάτων παρατίθεται στο Σχήμα 10.11.

β) Τα πολικά ρεύματα (ή ρεύματα γραμμής) Ι$\_{1}$, Ι$\_{2}$ και Ι$\_{3}$ υπολογίζονται από το διανυσματικό διάγραμμα του Σχήματος 10.11.
Βρίσκουμε ότι:
Όπου με τον συμβολισμό Ι = Ι Ð φ  εννοούμε το διάνυσμα ρεύματος με ενδεικνύμενη τιμή I και γωνία φάσης φως πρός τον οριζόντιο άξονα Οx.
Σχήμα 10.11. Διανυσματικό διάγραμμα τριφασικού συμμετρικού συστή -ματος φασικών τάσεων U$\_{12}$, U$\_{23}$, U$\_{31}$. τριφασικού ασύμμετρου συστήματος φασικών ρευμάτων Ι$\_{12}$, Ι$\_{23}$, Ι$\_{31}$ και πολικών ρευμάτων Ι$\_{1}$, Ι$\_{2}$, Ι$\_{3}$.

Παράδειγμα 1.
Τριφασικός ηλεκτρικός κινητήρας, όταν λειτουργεί σε σύνδεση αστέρα, έχει τα ακόλουθα ονομαστικά μεγέθη: ισχύς 20kW, συντελε -στή ισχύος 0,8, τάση τροφοδοσίας 380V και συχνότητα 50Hz. Υπο λογίστε: α) το ονομαστικό πολικό ρεύμα, β) την φαινόμενη ισχύ που απορροφάει στην ονομαστική λειτουργία και γ) την άεργη απορροφάει στην ονομαστική λειτουργία.

Λύση:
Από την γνωστή σχέση της πραγματικής ισχύος
1 π π P = 3 U Ι συνφ × × ×
Υπολογίζουμε το πολικό ρεύμα:
1 π π Ρ 20000W Ι = = = 38A 1,73 380 0,8 3 U ημφ × × × ×
β) Η φαινόμενη ισχύς υπολογίζεται από την πολική τάση και το πολικό ρεύμα σύμφωνα με την ακόλουθη σχέση:
π π S = 3 U Ι = 3 380V 38A = 24981VA = 24,98kVA × × × ×
γ) Η άεργη ισχύς υπολογίζεται από την φαινόμενη ισχύ και από το συ -νημίτονο της γωνίας φάσης μεταξύ της τάσης και του ρεύματος.

Q=Sημφ
Από τον συντελεστή ισχύος ημ φ=0,8 υπολογίζουμε:
φ=36,87° ή συνφ=0,6

Επομένως:
Q=24981VA0,6= 14989 VAr=l4,99 kVAr

10.6. ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ
Γενικά, σε τριφασικό κύκλωμα, οι σχέσεις μεταξύ πολικών και φασι -κών τάσεων και ρευμάτων είναι:
π φ U = 3 U ×
π φ Ι = 3 Ι ×
Ειδικότερα, όταν υπάρχει σύνδεση σε αστέρα ή σε τρίγωνο, τότε οι σχέσεις μεταξύ τάσεων, ρευμάτων και ισχύος δίνονται στον Πίνακα 10.1.

| Πίνακας 10.1. Σχέσεις μεταξύ τάσεων, ρευμάτων και ισχύος στη σύνδεση "Υ" και στη σύνδεση "Δ"                 | Πίνακας 10.1. Σχέσεις μεταξύ τάσεων, ρευμάτων και ισχύος στη σύνδεση "Υ" και στη σύνδεση "Δ"   |
|--------------------------------------------------------------------------------------------------------------|------------------------------------------------------------------------------------------------|
| "Υ"                                                                                                          | "Δ"                                                                                            |
| π φ U = 3 U ×                                                                                                | U$\_{π}$=U$\_{φ}$                                                                                |
| Ι$\_{π}$=Ι$\_{φ}$                                                                                              | π φ Ι = 3 Ι ×                                                                                  |
| [ ] [ ] [ ] π π π π π π P = 3 U I συνφ = S συνφ W Q 3 U Ι ημφ = S ημφ VAr S 3 U Ι VA × × × × = × × × × = × × |                                                                                                |

10.7. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ
- 1. Ποιοι είναι οι βασικότεροι τύποι συνδεσμολογίας των τριφασικών κυκλωμάτων που αποτελούνται από πηγές και καταναλωτές;
- 2. Καταναλωτής συνδεδεμένος σε αστέρα συνδέεται σε τριφασική τάση 380V. Ποια είναι η πολική τάση και ποια είναι η φασική τάση;
- 3. Καταναλωτής συνδεδεμένος σε τρίγωνο συνδέεται σε τριφασική τάση 220V. Ποια είναι η πολική τάση και ποια είναι η φασική τάση;
- 4. Ποια είναι η διαφορά φάσης μεταξύ των τάσεων σε ένα τριφασικό σύστημα;
- 5. Ποια είναι η διαφορά φάσης μεταξύ των ρευμάτων σε ένα τριφασι -κό σύστημα;
- 6. Σχεδιάστε ένα τριφασικό κύκλωμα με πηγή τάσης συνδεδεμένη σε αστέρα και καταναλωτή συνδεδεμένο σε τρίγωνο (σύνδεση ''Υ-Δ'').
- 7 . Σχεδιάστε ένα τριφασικό κύκλωμα με πηγή τάσης συνδεδεμένη σε τρίγωνο και καταναλωτή συνδεδεμένο σε αστέρα (σύνδεση ''Δ-Υ'').
- 8. Ένα τριφασικό κύκλωμα αποτελείται από συμμετρικό καταναλωτή συνδεδεμένο σε ''Υ'' με 100Ω σε κάθε φάση, Σχήμα 10.4. Η πηγή εναλλασσόμενης τάσης είναι 380V και 50Hz. Υπολογίστε το φασι -κό ρεύμα.

Απάντηση: 2,2 Α
- 9. Ένα τριφασικό κύκλωμα αποτελείται από συμμετρικό καταναλωτή συνδεδεμένο σε ''Δ'' με 100 Ω σε κάθε φάση, Σχήμα 10.8. Η πηγή εναλλασσόμενης τάσης είναι 220 V, 50 Hz. Υπολογίστε το πολικό ρεύμα (γραμμής).
Απάντηση: 3,8 Α
- 10. Τριφασικό κύκλωμα αποτελείται από δύο ομάδες συμμετρικών αντιστάσεων συνδεδεμένες σε ''Δ'': η μία ομάδα έχει αντιστάσεις των 60 Ω και η άλλη έχει αντιστάσεις των 90 Ω, Σχήμα 10.10. Το κύκλωμα τροφοδοτείται από πηγή εναλλασσόμενης τάσης 220 V, 50 Hz. Υπολογίστε το ρεύμα γραμμής.

Απάντηση: 10,6 Α
Απάντηση: 10,6 Α
- 11. Τριφασικό κύκλωμα αποτελείται από δύο ομάδες συμμετρικών αντιστάσεων συνδεδεμένες σε ''Υ'': η μία ομάδα έχει αντιστάσεις των 30 Ω και η άλλη έχει αντιστάσεις των 60 Ω, Σχήμα 10.6. Το κύκλωμα τροφοδοτείται από πηγή εναλλασσόμενης τάσης 380 V, 50 Hz. Υπολογίστε το ρεύμα γραμμής.
Απάντηση: 11 Α
- 12. Τριφασικός ηλεκτρικός κινητήρας έχει τα ακόλουθα ονομαστικά μεγέθη, όταν λειτουργεί σε σύνδεση αστέρα: ισχύ 50 kW, συντε -λεστή ισχύος 0,7, τάση τροφοδοσίας 380 V και συχνότητα 50 Hz. Υπολογίστε: α) το ονομαστικό πολικό ρεύμα, β) την φαινόμενη ισχύ που απορροφάει στην ονομαστική λειτουργία γ) την άεργη ισχύ που απορροφάει στην ονομαστική λειτουργία.

Απάντηση: 108,6 Α, 71,39 kVA, 50,99 kVAr.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11

ΑΝΤΙΣΤΑΘΜΙΣΗ ΤΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΙΣΧΥΟΣ

11.1. ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΧΑΜΗΛΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΙΣΧΥΟΣ
Ο συντελεστής ισχύος συν φ είναι ο λόγος της πραγματικής ισχύος Ρ προς την φαινόμενη ισχύ S και αντιστοιχεί στο τμήμα της φαινόμενης ισχύος, που παράγει πραγματική (ενεργό) ισχύ.
Ρ=U$\_{π}$Ι$\_{π}$συν φ=Sσυν φ
συν φ=P/S
Σε σταθερή τάση και σταθερή πραγματική ισχύ, όσο μικρότερος εί -ναι ο συντελεστής ισχύος, τόσο μεγαλύτερα είναι: το ρεύμα, η φαινό μενη ισχύς και η άεργη ισχύς. Η άεργη ισχύς στα δίκτυα μεταφοράς και διανομής ηλεκτρικής ενέργειας αυξάνει το ρεύμα φόρτισης των γραμ -μών και των καταναλωτών με αρνητικές επιπτώσεις όπως: η ανάγκη αύξησης της εγκαταστημένης ισχύος στο εργοστάσιο παραγωγής και η αύξηση της διατομής των αγωγών του δικτύου διανομής με συνέπεια την αύξηση του κόστους εγκαταστάσεων.

Παράδειγμα 1
Πραγματική ισχύς 1KW με συντελεστή ισχύος συνφ$\_{1}$=0,5 μεταφέ -ρεται στον καταναλωτή. Αν ο συντελεστής ισχύος βελτιωθεί (αυξη θεί) στο συνφ$\_{2}$=1, υπολογίστε το λόγο των ρευμάτων των δύο κατα -στάσεων.

Λύση:
Η ενεργός ισχύς P=1KW είναι σταθερή και στις δύο καταστάσεις:
Ρ$\_{1}$=U$\_{π}$Ι$\_{π1}$συν φ$\_{1}$
Ρ$\_{2}$=U$\_{π}$Ι$\_{π2}$συν φ$\_{2}$
Αν διαιρέσουμε τις δύο αυτές σχέσεις βρίσκουμε:
Ρ$\_{1}$/Ρ$\_{2}$=U$\_{π}$Ι$\_{π1}$συνφ$\_{1}$/U$\_{π}$Ι$\_{π2}$συνφ$\_{2}$
Ι$\_{π1}$/Ι$\_{π2}$=συνφ$\_{2}$/συνφ$\_{1}$= 1/0,5=2
Ι$\_{π1}$/Ι$\_{π2}$=2
Το ρεύμα προ της βελτίωσης (αντιστάθμισης) του συνφ είναι διπλά -σιο του ρεύματος με αντισταθμισμένο συνφ.

11.2. ΒΕΛΤΙΩΣΗ ΤΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΙΣΧΥΟΣ
Αντιστάθμιση της άεργης ισχύος ονομάζεται η ελάττωση της επαγωγικής άεργης ισχύος μέσω αύξησης της χωρητικής άεργης ισχύος.
Επομένως, η αντιστάθμιση της άεργου ισχύος οδηγεί στην βελτίωση (αύξηση) του συντελεστή ισχύος.
Η αντιστάθμιση επιτυγχάνεται με σύνδεση πυκνωτών, οι οποίοι πα -ράγουν χωρητική άεργη ισχύ. Ως γνωστό, η επαγωγική άεργη ισχύς και η χωρητική άεργη ισχύς έχουν διαφορά φάσης 180°. Επομένως το πηνίο απορροφάει άεργη ισχύ από το δίκτυο, ενώ ο πυκνωτής τροφοδοτεί το δίκτυο με άεργη ισχύ. Η αντιστάθμιση ολοκληρώνεται όταν συνφ=1.

Στο Σχήμα 11.1 απεικονίζεται η διαδικασία αντιστάθμισης του συ -ντελεστή ισχύος. Αρχικά, στο δίκτυο ρέει Ρ ενεργός ισχύς, Q$\_{L}$$\_{ }$ άεργη επαγωγική ισχύς και S$\_{1}$ φαινόμενη ισχύς. Η γωνία φάσης χωρίς αντι -στάθμιση μεταξύ S$\_{1}$ και Ρ είναι η φ$\_{1}$ .
Η αντιστάθμιση επιτυγχάνεται μέσω εισαγωγής στο δίκτυο της Q$\_{C }$ χωρητικής άεργης ισχύος. Ως αποτέλεσμα η ενεργός ισχύς Ρ παραμέ -νει σταθερή, η τελική άεργη ισχύς γίνεται Q$\_{L}$-Q$\_{C}$ , η τελική φαινόμενη ισχύς γίνεται S$\_{2}$ και η τελική γωνία φάσης με αντιστάθμιση γίνεται φ$\_{2}$.

Q$\_{L}$

Q$\_{C}$
Σχήμα 11.1. Αντιστάθμιση (βελτίωση) του συντελεστή ισχύος
Παρατηρούμε ότι:
εφ φ$\_{1}$=Q$\_{L}$ /P
εφ φ$\_{2}$=(Q$\_{L}$-Q$\_{C}$)/P

Επομένως:
φ$\_{2}$<φ$\_{1}$ ή συν φ$\_{2}$ >συν φ$\_{1}$
Q$\_{C}$=Ρ(εφ φ$\_{1}$-εφ φ$\_{2}$)
ΔQ =Q$\_{L}$- Q$\_{C}$ είναι η τελική άεργη ισχύς μετά την αντιστάθμιση
Q$\_{C}$ = Q$\_{L}$-ΔQ = U 2 /X$\_{C}$ = ωCU 2
Ο πυκνωτής για την αντιστάθμιση υπολογίζεται από τη σχέση:
C=Q$\_{C}$/(ωU 2 )
Έτσι υπολογίζεται η χωρητικότητα του πυκνωτή για την αντιστάθμι -ση της άεργου ισχύος και του συντελεστή ισχύος στο δίκτυο.
Η άεργη ισχύς, η οποία απαιτείται για την ολική αντιστάθμιση (Q$\_{l}$=Q$\_{c}$ και συν φ=1), είναι η Q$\_{C}$ και παρουσιάζεται στο διάγραμμα του Σχήματος 11.2.

Σχήμα 11.2. Ολική αντιστάθμιση του συντελεστή ισχύος (Q$\_{L}$=Q$\_{C}$)

Παράδειγμα 2
Υπολογίστε την χωρητικότητα του πυκνωτή που απαιτείται για την ολική αντιστάθμιση άεργης ισχύος 5 kVAr σε δίκτυο τάσης 220 V και συχνότητας 50 Hz.

Λύση:
Το διάγραμμα της ισχύος παρουσιάζεται στο Σχήμα 11.2. Η επαγω -γική άεργη ισχύς που πρέπει να αντισταθμισθεί είναι Q$\_{L}$ =5000 VAr και η γωνία φάσης είναι φ.
Η αντιστάθμιση επιτυγχάνεται μέσω σύνδεσης παράλληλα με το δί -κτυο συστοιχίας πυκνωτών χωρητικότητας C και χωρητικής αντίστα σης X$\_{C}$ η οποία παράγει άεργη χωρητική ισχύ Q$\_{C}$ = Q$\_{L}$ =5000 VAr. Ως συνέπεια η γωνία φ μηδενίζεται και τότε συνφ=1.
Το χωρητικό ρεύμα I$\_{C}$ και η χωρητική άεργη ισχύς Q$\_{C}$ υπολογίζονται από τις ακόλουθες σχέσεις:

I$\_{C}$=U/X$\_{C}$
Q$\_{C}$=UI$\_{C}$=U 2 /X$\_{C}$
Η χωρητική αντίδραση υπολογίζεται από την τελευταία σχέση ως:
X$\_{C}$ =U 2 /Q$\_{C}$=220 2 V 2 /5000VAr=9,68 Ω
Η χωρητικότητα του πυκνωτή προκύπτει άμεσα:
C=1/(ωΧ$\_{C}$)=1/(2π50Hz9,68Ω)=329μF

Προσοχή:
Μια συστοιχία πυκνωτών με σταθερή χωρητικότητα αντισταθμίζει μόνο συγκεκριμένη ποσότητα άεργης ισχύος. Όταν η άεργη ισχύς με -ταβάλλεται, ή η τάση του δικτύου παρουσιάζει διακυμάνσεις, τότε η αντιστάθμιση επιτυγχάνεται μόνο για ένα μέρος της άεργης ισχύος.
Σύμφωνα με την πρακτική των ηλεκτρικών εγκαταστάσεων, ο αντι -σταθμισμένος συντελεστής ισχύος κυμαίνεται μεταξύ συνφ=0,8 επα γωγικός και συνφ=0,9 χωρητικός. Μεγαλύτερη αύξηση του συντελεστή ισχύος αυξάνει σημαντικά το κόστος των πυκνωτών αντιστάθμισης και ως συνέπεια το κόστος των εγκαταστάσεων.

Οι κατασκευαστικές εταιρίες αναγράφουν στους πυκνωτές αντιστάθ -μισης την τάση, την συχνότητα και την άεργη ισχύ (kVAr) την οποία παράγουν. Επομένως για την υλοποίηση μιας εγκατάστασης αντιστάθ -μισης πρέπει να γνωρίζουμε την τάση της γραμμής και την άεργη ισχύ που πρέπει να αντισταθμιστεί.
Οπωσδήποτε, η σύνδεση στο δίκτυο των πυκνωτών αντισταθμίζει την άεργη ισχύ και βελτιώνει τον συντελεστή ισχύος.

Παράδειγμα 3
Υπολογίστε τη χωρητικότητα του πυκνωτή για την ολική αντιστάθ -μιση (συνφ=1) τριφασικής άεργης ισχύος 9kVAr σε τριφασικό δίκτυο 380V συχνότητας 50Hz για την τροφοδότηση τριφασικού κινητήρα.

Λύση:
Θεωρούμε ότι η τριφασική άεργη ισχύς είναι το τριπλάσιο της μο -νοφασικής ισχύος και ως αποτέλεσμα μπορούμε να υπολογίσουμε την αντιστάθμιση για μία μόνο φάση.
Η ανά φάση άεργη ισχύς υπολογίζεται από την τριφασική ισχύ ως:
Q$\_{C}$/φάση=9000 VAr/3=3000 VAr/φάση
Η φασική τάση του δικτύου υπολογίζεται ως γνωστό:
U$\_{Φ}$=380V/ 3=220V
Στη συνέχεια υπολογίζουμε την χωρητικότητα του πυκνωτή ανά φάση.
C=Q$\_{C}$/(ωU 2 )=3000VAr/(2π50Hz220 2 V 2 )=198 μF.
Επομένως, θα χρειαστούν τρεις πυκνωτές των 198 μF, οι οποίοι συν -δέονται σε αστέρα, Σχήμα 11.3 ή σε τρίγωνο, Σχήμα 11.4.

Σχήμα 11.3. Σύνδεση συστοιχίας πυκνωτών σε αστέρα για την αντιστάθμιση του συντελεστή ισχύος τριφασικού κινητήρα
Σχήμα 11.4. Σύνδεση συστοιχίας πυκνωτών σε τρίγωνο για την αντιστάθμιση του συντελεστή ισχύος τριφασικού κινητήρα

Παράδειγμα 4
Σε τάση 220 V και συχνότητα 50 Hz συνδέονται σε σειρά ένα πηνίο με μια ωμική αντίσταση, Σχήμα 11.5. Το κύκλωμα απορροφάει 10 kW πραγματική ισχύ με συντελεστή ισχύος 0,5. Με την σύνδεση ενός πυ -κνωτή παράλληλα στο δίκτυο ο συντελεστής ισχύος πρέπει να αντι σταθμιστεί στο 0,87. Υπολογίστε: α) την άεργη ισχύ του πυκνωτή και β) την χωρητικότητα του πυκνωτή.
Σχήμα 11.5. Αντιστάθμιση του συντελεστή ισχύος του κυκλώματος R-L σειράς με σύνδεση πυκνωτών

Λύση:
Σύμφωνα με το Σχήμα 11.1 υπολογίζουμε την αρχική φάση φ$\_{1}$, την αντισταθμισμένη φάση φ$\_{2}$, την άεργη επαγωγική ισχύ του πηνίου Q$\_{L }$ και την μεταβολή της άεργου ισχύος ΔQ =Q$\_{L}$-Q$\_{C}$.
συν φ$\_{1}$=0,5 ή φ$\_{1}$=60°
συν φ$\_{2}$=0,87 ή φ$\_{2}$=30°
Q$\_{L}$=Pεφ 60° = 10000 Wl,73 =17300 VAr
ΔQ = Q$\_{l}$-Q$\_{c}$ = Ρεφ 30°= 10000 W 0,57 = 5700 VAr
Q$\_{C}$= Q$\_{l}$ -ΔQ = 17300-5700 = 11600 VAr
C= Q$\_{c}$/(ωU 2 )= 11600 VΑr/(2π50Hz220 2 V 2 )=760 μF

Παράδειγμα 5
Ένας μονοφασικός μετασχηματιστής για τάση 220V και συχνότητα 50 Hz απορροφάει ρεύμα 15Α. Η άεργη ισχύς είναι 1750VAr. Υπολο -γίστε: α) την ισχύ αντιστάθμισης ώστε φ$\_{2}$=15° και β) τη χωρητικότητα του πυκνωτή.

Λύση:
α) S=UI=220V15A=3300VA
Q$\_{L}$=1750VAr
ημφ$\_{1}$= Q$\_{L}$/S=l750VAr/3300VA=0,53 ή φ$\_{1}$=32°
φ$\_{2}$=15° ή ΔQ =Q$\_{L}$-Q$\_{C}$=Sημφ$\_{2}$=3300VA0,259=854VAr
Q$\_{C}$= Q$\_{L}$-ΔQ =1750VAr-854VAr=896VAr
β) C= Q$\_{C}$/(ωU 2 )= 896VAr/(2π50Hz220 2 V 2 )=59μF.
Μπορούμε να επιλέξουμε C=60 μF.

Παράδειγμα 6
Ένας τριφασικός κινητήρας έχει στην πινακίδα του τα ακόλουθα ονομαστικά μεγέθη: 380V/220V, 50Hz, 10kW, συνφ=0,85. Η άεργη ισχύς των πυκνωτών αντιστάθμισης είναι 30% της ονομαστικής ισχύ -ος. Υπολογίστε: α) την άεργη ισχύ αντιστάθμισης και β) την χωρητικό τητα των πυκνωτών αντιστάθμισης σε σύνδεση αστέρα.

Λύση:
Ο συντελεστής ισχύος και το άεργο ρεύμα του τριφασικού κινητήρα αυξάνουν με την αύξηση του φορτίου. Για την αποφυγή υπεραντιστάθ -μισης η ισχύς των πυκνωτών αντιστάθμισης πρέπει να υπολογίζεται σε συνάρτηση (η ποσοστό) της ονομαστικής ισχύος του κινητήρα.
α) Q$\_{C}$ = 30%10000 = 3000Ar = 3kAr
β) Η φασική τάση είναι 220V. Για κάθε φάση του κινητήρα αντιστοιχεί το ένα τρίτο της άεργου ισχύος του κινητήρα.
Q$\_{C}$/φάση=3000VAr/3=1000VAr/φάση
C= Q$\_{C}$/(ωU 2 )= 1000VAr/(2π50Hz220 2 V 2 )=65,8μF/φάση

Επομένως θα εγκαταστήσουμε τρεις πυκνωτές των 65,8μF συνδεδε -μένους σε αστέρα. Επίσης μπορούμε να αυξήσουμε κατά 2%-5% την χωρητικότητα των πυκνωτών και επιλέγουμε C=70μF για κάθε φάση.

11.3. ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ
Η άεργη ισχύς στα δίκτυα ηλεκτρικής ενέργειας αυξάνει το ρεύμα φόρτισης των γραμμών και των καταναλωτών με αρνητικές επιπτώσεις και είναι ανεπιθύμητη.
Αντιστάθμιση της άεργης ισχύος σημαίνει ελάττωση της επαγωγικής άεργης ισχύος μέσω αύξησης της χωρητικής άεργης ισχύος και οδηγεί στην βελτίωση του συντελεστή ισχύος.
Η αντιστάθμιση επιτυγχάνεται με σύνδεση πυκνωτών, οι οποίοι πα -ράγουν χωρητική άεργη ισχύ και ολοκληρώνεται όταν συνφ=1.

11.4. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ
- 1. Ένα εργοστάσιο απορροφάει 100Α με συντελεστή ισχύος συνφ=0,7 επαγωγικό από γραμμή τάσης 15kV και συχνότητας 50Hz. Υπολο -γίστε: α) τον πυκνωτή ο οποίος θα αυξήσει τον συντελεστή ισχύος, ώστε συνφ=1 και β) το ρεύμα στον πυκνωτή.
Απάντηση: α) 15μF, β) 71Α.
- 2. Σύνθετη αντίσταση αποτελούμενη από ωμική αντίσταση 30 Ω και πηνίο με επαγωγική αντίσταση 23 Ω συνδέεται σε τάση 220 V και συχνότητα 50 Hz. Υπολογίστε την χωρητικότητα του πυκνωτή, ο οποίος συνδεδεμένος παράλληλα με την σύνθετη αντίσταση θα αντισταθμίσει τον συντελεστή ισχύος στο 0,95 επαγωγικό.

Απάντηση: 242 μF
- 3. Τριφασικός κινητήρας έχει στην πινακίδα του τα ακόλουθα ονο -μαστικά μεγέθη: 5 kW, 380 V /220 V, 50 Hz και cosφ=0,7. Υπολο γίστε: α) τον πυκνωτή για την αντιστάθμιση, ώστε ο συντελεστής ισχύος να αυξηθεί στο 0,9 επαγωγικό, β) το αρχικό ρεύμα προ της
αντιστάθμισης, γ) το ρεύμα του κινητήρα μετά την αντιστάθμιση και δ) την μείωση του ρεύματος που απορροφάει ο κινητήρας.
Απάντηση: α) 176 μF, β) 32,47 Α, γ) 25,25 Α, δ) 7,22 Α.
- 4. Ένα βιομηχανικό φορτίο 10kW τροφοδοτείται από γραμμή ηλε -κτρικής ενέργειας 220V και συχνότητας 50Hz. Το φορτίο έχει συν δεθεί παράλληλα με συστοιχία πυκνωτών χωρητικότητας 299μF, η οποία αυξάνει τον συντελεστή ισχύος στο 0,95 επαγωγικό. Υπολο -γίστε τον αρχικό συντελεστή ισχύος (προ της αντιστάθμισης).

Απάντηση: συνφ=0,85.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ
- I. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις γωνίας φ, που χρειαζόμαστε για τα κεφάλαια 7 μέχρι 11, είναι:

| Το ημίτονο      | ή   | ημ   | ή   | sin   |
|-----------------|-----|------|-----|-------|
| Το συνημίτονο   | ή   | συν  | ή   | cos   |
| Η εφαπτομένη    | ή   | εφ   | ή   | tg    |
| Η συνεφαπτομένη | ή   | σφ   | ή   | ctg   |
Έστω το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΒ, Σχήμα Π. 1.
Σχήμα Π. 1.
Ονομάζουμε ημίτονο της γωνίας φ και γράφουμε ημφ τον λόγο
ΑΒ απέναντι κάθετος ημφ = ΟΒ υποτείνουσα æ ö ÷ ç è ø
Ονομάζουμε συνημίτονο της γωνίας φ και γράφουμε συνφ τον λόγο
ΟΑ προσκείμενη κάθετος συνφ = ΟΒ υποτείνουσα æ ö ÷ ç è ø

Ονομάζουμε εφαπτομένη της γωνίας φ και γράφουμε εφφ τον λόγο
ΑΒ απέναντι κάθετος εφφ = ΟΑ προσκείμενη κάθετος æ ö ÷ ç è ø
Ονομάζουμε συνεφαπτομένη της γωνίας φ και γράφουμε σφφ τον λόγο
ΟΑ προσκείμενη κάθετος σφφ = ΑΒ απέναντι κάθετος æ ö ÷ ç è ø

Παράδειγμα 1
Στο τρίγωνο ΟΑΒ έστω ΟΑ = 4cm, AB = 3cm και ΟΒ = 5cm.
ΑΒ 3 ημφ = = = 0,6 ΟΒ 5
ΟΑ 4 συνφ = = = 0,8 ΟΒ 5
ΑΒ 3 εφφ = = = 0,75 ΟΑ 4
ΟΑ 4 σφφ = = =1,33 ΑΒ 3

II. Τριγωνομετρικός κύκλος
Τριγωνομετρικός κύκλος λέγεται ένας κύκλος, που έχει ακτίνα ίση με μία μονάδα, και επί του οποίου έχει καθορισθεί η αρχή των τόξων και η θετική και αρνητική φορά διαγραφής των τόξων, Σχήμα Π. 2.
Άξονας λέγεται μία απεριόριστος ευθεία χ -χ' επί της οποίας έχει καθορισθεί μία αρχή μετρήσεως (το μηδέν 0), η θετική και η αρνητική φορά και η μονάδα μέτρησης.
Διάνυσμα λέγεται ένα προσανατολισμένο τμήμα του άξονα. Κάθε διάνυσμα χαρακτηρίζεται από την διεύθυνση ή φορέα του, την φορά του και το μέτρο ή μήκος του.

Σχήμα Π. 2. Τριγωνομετρικός κύκλος με ακτίνα ίση με τη μονάδα

III. Σημείο των τριγωνομετρικών αριθμών

| Γωνία   | Τεταρτημόρια του τριγωνομετρικού κύκλου   | Τεταρτημόρια του τριγωνομετρικού κύκλου   | Τεταρτημόρια του τριγωνομετρικού κύκλου   | Τεταρτημόρια του τριγωνομετρικού κύκλου   |
|---------|-------------------------------------------|-------------------------------------------|-------------------------------------------|-------------------------------------------|
| φ       | 1ο                                        | 2ο                                        | 3ο                                        | 4ο                                        |
| +       |                                           | +                                         | - -                                       | ημ φ                                      |
| συν φ + |                                           | -                                         | - +                                       |                                           |
| εφ φ +  |                                           | -                                         | + -                                       |                                           |
| σφ φ +  |                                           | -                                         | + -                                       |                                           |

IV. Χρήσιμες σχέσεις των τριγωνομετρικών αριθμών
Σχήμα Π. 3
Ως γνωστόν σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, (Σχήμα Π. 3.) ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα:
ΟΒ 2 = ΟΑ 2 + ΑΒ 2
Σημείωση. Τα τετράγωνα και οι τετραγωνικές ρίζες των αριθμών από το 1 έως το 100 βρίσκονται στον Πίνακα 3.
Επίσης ισχύει:
ημ 2 φ+συν 2 φ=1
ημφ εφφ = συνφ
Επίσης για συμπληρωματικά τόξα ισχύει:
ημφ = συν(90° - φ)
ημ(90° - φ) = συνφ
εφφ = σφ(90° - φ)
εφ(90° - φ) = σφφ
εφφ.σφφ = 1
εφφ = 1/σφφ
- IV. Μεταβολή των τριγωνομετρικών αριθμών καθώς μεταβάλλεται το τόξο της γωνίας φ, από 0° έως 360°, ή από 0 έως 2π ακτίνια

| Τόξο γωνίας φ   | Ακτίνια   | Ακτίνια   | Ακτίνια   | Ακτίνια   | Ακτίνια   |
|-----------------|-----------|-----------|-----------|-----------|-----------|
| φ               | 0         | π/2       | π         | 3π/2      | 2π        |
| 0               |           | 0         |           | -1 0      | ημ φ 1    |
| συν φ 1         |           | 0         | -1        | 0         | 1         |
| εφ φ 0          |           | ∞         | 0         | -∞        | 0         |
| σφ φ            | ∞         | 0         | -∞        | 0         | ∞         |

Δηλαδή
₋1≤ ημ φ ≤1
₋1≤ συν φ ≤1
₋∞ ≤ εφ φ ≤+∞
₋∞ ≤ σφ φ ≤+∞
Οι υπόλοιπες τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, μεταξύ των ορίων των τεταρτημορίων του κύκλου βρίσκονται στους πίνακες 1 και 2.

Ονομάζουμε εφαπτομένη της γωνίας φ και γράφουμε εφφ τον λόγο
ΑΒ απέναντι κάθετος εφφ = ΟΑ προσκείμενη κάθετος æ ö ÷ ç è ø
Ονομάζουμε συνεφαπτομένη της γωνίας φ και γράφουμε σφφ τον λόγο
ΟΑ προσκείμενη κάθετος σφφ = ΑΒ απέναντι κάθετος æ ö ÷ ç è ø

Παράδειγμα 1
Στο τρίγωνο ΟΑΒ έστω ΟΑ = 4cm, AB = 3cm και ΟΒ = 5cm.
ΑΒ 3 ημφ = = = 0,6 ΟΒ 5
ΟΑ 4 συνφ = = = 0,8 ΟΒ 5
ΑΒ 3 εφφ = = = 0,75 ΟΑ 4
ΟΑ 4 σφφ = = =1,33 ΑΒ 3

II. Τριγωνομετρικός κύκλος
Τριγωνομετρικός κύκλος λέγεται ένας κύκλος, που έχει ακτίνα ίση με μία μονάδα, και επί του οποίου έχει καθορισθεί η αρχή των τόξων και η θετική και αρνητική φορά διαγραφής των τόξων, Σχήμα Π. 2.
Άξονας λέγεται μία απεριόριστος ευθεία χ -χ' επί της οποίας έχει καθορισθεί μία αρχή μετρήσεως (το μηδέν 0), η θετική και η αρνητική φορά και η μονάδα μέτρησης.
Διάνυσμα λέγεται ένα προσανατολισμένο τμήμα του άξονα. Κάθε διάνυσμα χαρακτηρίζεται από την διεύθυνση ή φορέα του, την φορά του και το μέτρο ή μήκος του.

Σχήμα Π. 2. Τριγωνομετρικός κύκλος με ακτίνα ίση με τη μονάδα

III. Σημείο των τριγωνομετρικών αριθμών

IV. Χρήσιμες σχέσεις των τριγωνομετρικών αριθμών
Σχήμα Π. 3
Ως γνωστόν σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, (Σχήμα Π. 3.) ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα:
ΟΒ 2 = ΟΑ 2 + ΑΒ 2
Σημείωση. Τα τετράγωνα και οι τετραγωνικές ρίζες των αριθμών από το 1 έως το 100 βρίσκονται στον Πίνακα 3.
Επίσης ισχύει:
ημ 2 φ+συν 2 φ=1
ημφ εφφ = συνφ
Επίσης για συμπληρωματικά τόξα ισχύει:
ημφ = συν(90° - φ)
ημ(90° - φ) = συνφ
εφφ = σφ(90° - φ)
εφ(90° - φ) = σφφ
εφφ.σφφ = 1
εφφ = 1/σφφ
- IV. Μεταβολή των τριγωνομετρικών αριθμών καθώς μεταβάλλεται το τόξο της γωνίας φ, από 0° έως 360°, ή από 0 έως 2π ακτίνια

Δηλαδή
₋1≤ ημ φ ≤1
₋1≤ συν φ ≤1
₋∞ ≤ εφ φ ≤+∞
₋∞ ≤ σφ φ ≤+∞
Οι υπόλοιπες τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, μεταξύ των ορίων των τεταρτημορίων του κύκλου βρίσκονται στους πίνακες 1 και 2.

V. Τριγωνομετρικοί πίνακες
Για να βρούμε την τιμή των τριγωνομετρικών αριθμών οξείας γωνί -ας φ διαβάζουμε τον Πίνακα 1 ως εξής:
-  Για γωνίες από 0° έως 45° στην αριστερή στήλη των μοιρών ή των ακτινίων.
-  Για γωνίες από 45° έως 90° στην κεντρική στήλη των μοιρών ή των ακτινίων.

Παράδειγμα 2
Θέλουμε να βρούμε το ημ30°

Λύση:
Στον πίνακα 1 στη γραμμή των 30° μετατοπίζουμε το δείκτη προς τα δεξιά μέχρι τη στήλη του ημιτόνου και διαβάζουμε την τιμή 0,5.
Αυτό σημαίνει ότι:
ημ(30°) = 0,5

ΠΙΝΑΚΑΣ 2 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ


ΑΝΑΛΥΣΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ
ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ ΙΙ