Как решать квадратные неравенства
Квадратное неравенство – это неравенство, в котором переменная возводится в квадрат (x2{\displaystyle x^{2}}) и имеет два корня. График такого неравенства представляет собой параболу и пересекает ось Х в двух точках. Решение неравенства подразумевает нахождение таких значений x{\displaystyle x}, при которых неравенство верно. Корни неравенства можно записать в алгебраической форме, а также отобразить их на числовой прямой или координатной плоскости.
1. **Запишите неравенство в стандартной форме.** Стандартная форма квадратного неравенства представляет собой следующий трехчлен: ax2+bx+c<0{\displaystyle ax^{2}+bx+c<0}, где a{\displaystyle a}, b{\displaystyle b}, c{\displaystyle c} – коэффициенты, и a≠0{\displaystyle a\neq 0}.
Например, неравенство x(x+4)<21{\displaystyle x(x+4)<21} записано в нестандартной форме. Для начала с помощью свойства дистрибутивности раскройте скобки, то есть перемножьте x{\displaystyle x} и x+4{\displaystyle x+4}. Затем вычтите 21 из обеих сторон неравенства:x(x+4)<21{\displaystyle x(x+4)<21}x2+4x<21{\displaystyle x^{2}+4x<21}x2+4x−21<21−21{\displaystyle x^{2}+4x-21<21-21}x2+4x−21<0{\displaystyle x^{2}+4x-21<0}
2. **Найдите два одночлена, при перемножении которых получится первый член неравенства.** Чтобы решить неравенство, нужно разложить его на два бинома (двучлена), при перемножении которых получится исходное неравенство, записанное в стандартной форме. Бином – это выражение  с двумя одночленами. Помните, что биномы перемножаются по определенному правилу. Для начала найдите два одночлена, каждый из которых является первым одночленом соответствующего бинома. 
Например, x×x=x2{\displaystyle x\times x=x^{2}}, поэтому операцию умножения двух биномов можно записать так: (x)(x)<0{\displaystyle (x)(x)<0}.
3. **Найдите два числа, при перемножении которых получится третий член неравенства, записанного в стандартной форме.** При этом сумма таких чисел должна быть равна коэффициенту при втором члене неравенства. Скорее всего, здесь числа нужно искать методом проб и ошибок, чтобы они удовлетворяли сразу двум описанным условиям. Обратите внимание на знак («плюс» или «минус»), который стоит перед третьим членом неравенства. 
Например:

x2+4x−21<0{\displaystyle x^{2}+4x-21<0}
Третий член неравенства равен -21, поэтому его можно разложить на множители 7 и -3. Теперь проверьте, равна ли сумма этих чисел коэффициенту (4{\displaystyle 4}) при втором члене неравенства.
Так как 7+(−3)=4{\displaystyle 7+(-3)=4}, эти множители удовлетворяют обоим условиям. Таким образом, исходное неравенство раскладывается на следующие биномы: (x+7)(x−3)<0{\displaystyle (x+7)(x-3)<0}.
4. **Определите, имеют ли оба бинома одинаковые знаки.** Если произведение биномов больше нуля, то оба бинома будут либо отрицательными (меньше 0), либо положительными (больше 0), потому что минус на минус дает плюс, и плюс на плюс тоже дает плюс.

Если неравенство больше или равно нулю (≥{\displaystyle \geq }) или меньше или равно нулю (≤{\displaystyle \leq }), один или оба бинома могут быть равны нулю.
Например, в случае неравенства (x+7)(x−3)<0{\displaystyle (x+7)(x-3)<0} произведение биномов меньше 0, поэтому биномы не имеют одинаковых знаков.
5. **Определите, имеют ли оба бинома разные (противоположные) знаки.** Если произведение биномов меньше нуля, то один бином будет отрицательным (меньше 0), а второй будет положительным (больше 0), потому что минус на плюс дает минус. 

Если неравенство больше или равно нулю (≥{\displaystyle \geq }) или меньше или равно нулю (≤{\displaystyle \leq }), один или оба бинома могут быть равны нулю.
Например, в случае неравенства (x+7)(x−3)<0{\displaystyle (x+7)(x-3)<0} произведение биномов меньше 0, поэтому биномы имеют разные знаки.
6. **Запишите варианты из двух неравенств, чтобы найти корни исходного неравенства.** Для этого каждый бином превратите в неравенство, учитывая тот факт, что оба бинома имеют одинаковые или разные знаки.
Например, вы определили, что биномы  неравенства (x+7)(x−3)<0{\displaystyle (x+7)(x-3)<0} имеют разные знаки, поэтому запишите два варианта из двух неравенств следующим образом: x+7<0{\displaystyle x+7<0} И x−3>0{\displaystyle x-3>0} (То есть первый бином будет отрицательным, а второй – положительным.) ИЛИ x+7>0{\displaystyle x+7>0} И x−3<0{\displaystyle x-3<0} (То есть первый бином будет положительным, а второй – отрицательным.)
7. **Решите два неравенства первого варианта.** Для этого изолируйте переменную x{\displaystyle x} в каждом неравенстве. Помните, что если умножить или разделить обе стороны неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.

Например, два неравенства первого варианта: x+7<0{\displaystyle x+7<0} И x−3>0{\displaystyle x-3>0}

Сначала решите неравенство x+7<0{\displaystyle x+7<0} (то есть найдите x{\displaystyle x}):x+7−7<0−7{\displaystyle x+7-7<0-7}x<−7{\displaystyle x<-7}

Затем решите неравенство x−3>0{\displaystyle x-3>0} (то есть найдите x{\displaystyle x}):x−3+3>0+3{\displaystyle x-3+3>0+3}x<3{\displaystyle x<3}



Таким образом, первая пара корней исходного неравенства: x<−7{\displaystyle x<-7} и x>3{\displaystyle x>3}
8. **Проверьте действительность первой пары корней.** Для этого найдите значения x{\displaystyle x}, удовлетворяющие обоим найденным корням. Если такие значения существуют, корни действительны; в противном случае корнями можно пренебречь.
Например, первая пара корней неравенства: x<−7{\displaystyle x<-7} и x>3{\displaystyle x>3}. Нужно найти значения x{\displaystyle x}, удовлетворяющие обоим корням. Спросите себя, есть ли число, меньшее -7 и большее 3? Такого числа нет, поэтому первой парой корней можно пренебречь.
9. **Решите два неравенства второго варианта.** Для этого изолируйте переменную x{\displaystyle x} в каждом неравенстве. Помните, что если умножить или разделить обе стороны неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.

Например, два неравенства второго варианта: x+7>0{\displaystyle x+7>0} И x−3<0{\displaystyle x-3<0}

Сначала решите неравенство x+7>0{\displaystyle x+7>0} (то есть найдите x{\displaystyle x}):x+7−7>0−7{\displaystyle x+7-7>0-7}x>−7{\displaystyle x>-7}

Затем решите неравенство x−3<0{\displaystyle x-3<0} (то есть найдите x{\displaystyle x}):x−3+3<0+3{\displaystyle x-3+3<0+3}x<3{\displaystyle x<3}



Таким образом, вторая пара корней исходного неравенства: x>−7{\displaystyle x>-7} и x<3{\displaystyle x<3}
10. **Проверьте действительность второй пары корней.** Для этого найдите значения x{\displaystyle x}, удовлетворяющие обоим найденным корням. Если такие значения существуют, корни действительны; в противном случае корнями можно пренебречь.
Например, вторая пара корней неравенства: x>−7{\displaystyle x>-7} и x<3{\displaystyle x<3}. Нужно найти значения x{\displaystyle x}, удовлетворяющие обоим корням. Спросите себя, есть ли число(а), большее -7 и меньшее 3? Таких чисел несколько (например, 0), поэтому найденные корни действительны и являются решением исходного неравенства.
11. **Нарисуйте числовую прямую.** Сделайте это так, как требуется (в задаче или преподавателем). Если конкретных требований нет, под числовой прямой напишите числа, соответствующие найденным ранее корням (значениям x{\displaystyle x}). Также можно написать несколько чисел, которые больше или меньше найденных значений; так вам будет проще работать с числовой прямой. 
Например, корнями неравенства x(x+4)<21{\displaystyle x(x+4)<21} являются x>−7{\displaystyle x>-7} и x<3{\displaystyle x<3}. Под числовой прямой напишите числа -7 и 3.
12. **На числовой прямой нарисуйте кружки, обозначающие найденные значения x{\displaystyle x}.** Кружки рисуйте непосредственно над числами. Если переменная меньше (<{\displaystyle <}) или больше (>{\displaystyle >}) найденного значения, кружок не закрашивается. Если переменная меньше или равна (≤{\displaystyle \leq }) или больше или равна (≥{\displaystyle \geq }) найденному значению, кружок закрашивается, потому что множество решений включает это значение.
Например, корнями исходного неравенства являются x>−7{\displaystyle x>-7} and x<3{\displaystyle x<3}, над числами -7 и 3 нарисуйте незакрашенные кружки.
13. **На числовой прямой заштрихуйте область, определяющую множество решений.** Если x{\displaystyle x} больше найденного числа, заштрихуйте область справа от него, потому что множество решений включает все значения, которые больше найденного. Если x{\displaystyle x} меньше найденного числа, заштрихуйте область слева от него, потому что множество решений включает все значения, которые меньше найденного. Если множество решений лежит между двумя числами, заштрихуйте область между этими числами.  
Например, x>−7{\displaystyle x>-7} и x<3{\displaystyle x<3}, поэтому на числовой прямой заштрихуйте область между -7 и 3.
14. **На координатную плоскость нанесите точки пересечения с осью Х.** Найденные корни являются координатами «х» точек пересечения графика с осью Х.
Например, корнями неравенства x2+4x−21<0{\displaystyle x^{2}+4x-21<0} являются x>−7{\displaystyle x>-7} и x<3{\displaystyle x<3}. Таким образом, -7 и 3 – это координаты «х» точек пересечения графика с осью Х.
15. **Найдите ось симметрии.** Ось симметрии – это прямая, которая проходит через вершину параболы и делит ее на две зеркально симметричные ветви. Чтобы найти ось симметрии, воспользуйтесь формулой x=−b2a{\displaystyle x={\frac {-b}{2a}}}, где a{\displaystyle a} и b{\displaystyle b} – это коэффициенты в исходном квадратном неравенстве.
Например, в случае неравенства x2+4x−21<0{\displaystyle x^{2}+4x-21<0} ось симметрии вычисляется так: x=−42{\displaystyle x={\frac {-4}{2}}}x=−2{\displaystyle x=-2}.Таким образом, уравнение оси симметрии имеет вид x=−2{\displaystyle x=-2}.
16. **Найдите вершину параболы.** Вершина параболы – это самая высокая или самая низкая точка на графике. Чтобы найти вершину, исходное неравенство преобразуйте в уравнение, которое приравняйте к y{\displaystyle y}. Затем в полученное уравнение вместо x{\displaystyle x} подставьте значение, вычисленное по формуле для нахождения оси симметрии.
Например, если ось симметрии x=−2{\displaystyle x=-2}, подставьте -2 в уравнение и решите его:y=(−2)2+4(−2)+−21{\displaystyle y=(-2)^{2}+4(-2)+-21}y=4−8−21{\displaystyle y=4-8-21}y=4−8−21{\displaystyle y=4-8-21}Таким образом, вершина параболы находится в точке с координатами (−2,−25){\displaystyle (-2,-25)}.
17. **Определите направление параболы.** Для этого посмотрите на значение коэффициента a{\displaystyle a} в исходном неравенстве, которое записано в стандартной форме. Если a{\displaystyle a} положителен, ветви параболы направлены вверх. Если a{\displaystyle a} отрицателен, ветви параболы направлены вниз.
Например, в неравенстве x2+4x−21<0{\displaystyle x^{2}+4x-21<0} коэффициент a{\displaystyle a} положителен, поэтому ветви параболы будут направлены вверх.
18. **Нарисуйте параболу (сплошной или пунктирной линией).** Если неравенство нестрогое (со знаком ≥{\displaystyle \geq } или ≤{\displaystyle \leq }), параболу рисуйте сплошной линией, потому что множество решений включает значения, лежащие на графике. Если неравенство строгое (со знаком >{\displaystyle >} или <{\displaystyle <}), параболу рисуйте пунктирной линией, потому что множество решений не включает значения, лежащие на графике.
Например, в случае неравенства x2+4x−21<0{\displaystyle x^{2}+4x-21<0} параболу нарисуйте пунктирной линией.
19. **Заштрихуйте соответствующую область.** Чтобы определить, лежит ли эта область выше или ниже оси Х, посмотрите на исходное неравенство. Если неравенство меньше нуля, заштрихуйте область под осью Х. Если неравенство больше нуля, заштрихуйте область над осью Х. Чтобы определить, находится ли область внутри или снаружи параболы, посмотрите на найденные корни неравенства или на числовую прямую. Если множество решений лежит между двумя корнями, заштрихуйте область внутри параболы. Если множество решений лежит вне корней, заштрихуйте область снаружи параболы.
Например, в случае неравенства x2+4x−21<0{\displaystyle x^{2}+4x-21<0} заштрихуйте область под осью Х. Так как множество решений лежит между -7 и 3, заштрихуйте область между этими точками.