Как вычислить диагональ прямоугольника
Диагональ — это отрезок, который соединяет две противолежащие вершины прямоугольника. В прямоугольнике две равные диагонали. Если известны стороны прямоугольника, диагональ можно найти по теореме Пифагора, потому что диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника. Если стороны не даны, но известны другие величины, например, площадь и периметр или отношение сторон, можно найти стороны прямоугольника, а затем по теореме Пифагора вычислить диагональ.
1. **Запишите теорему Пифагора.** Формула: a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}, где a{\displaystyle a} и b{\displaystyle b} — катеты прямоугольного треугольника, c{\displaystyle c} — гипотенуза прямоугольного треугольника.
Воспользуйтесь теоремой Пифагора, потому что каждая диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника. Причем стороны прямоугольника — это катеты треугольника, а диагональ прямоугольника — гипотенуза треугольника.
2. **В формулу подставьте значения сторон.** Они даны в задаче или их нужно измерить. Значения сторон подставляются вместо a{\displaystyle a} и b{\displaystyle b}. 
Например, если длина прямоугольника равна 4 см, а ширина — 3 см, формула запишется так: 42+32=c2{\displaystyle 4^{2}+3^{2}=c^{2}}
3. **Длину и ширину возведите в квадрат, а затем сложите полученные результаты.** Помните, что при возведении числа в квадрат оно умножается на себя.
В нашем примере:42+32=c2{\displaystyle 4^{2}+3^{2}=c^{2}}16+9=c2{\displaystyle 16+9=c^{2}}25=c2{\displaystyle 25=c^{2}}
4. **Извлеките квадратный корень из обеих сторон уравнения.** Воспользуйтесь калькулятором, чтобы быстро извлечь квадратный корень. Также можно воспользоваться онлайн-калькулятором. Вы найдете c{\displaystyle c}, то есть гипотенузу треугольника, а значит и диагональ прямоугольника.
В нашем примере:25=c2{\displaystyle 25=c^{2}}25=c2{\displaystyle {\sqrt {25}}={\sqrt {c^{2}}}}5=c{\displaystyle 5=c}Таким образом, диагональ прямоугольника с длиной 4 см и шириной 3 см равна 5 см.
5. **Запишите формулу для вычисления площади прямоугольника.** Формула: S=lw{\displaystyle S=lw}, где S{\displaystyle S} — площадь прямоугольника, l{\displaystyle l} — длина прямоугольника, w{\displaystyle w} — ширина прямоугольника. (На рисунке вместо S использовано обозначение А.)
6. **В формулу подставьте значение площади прямоугольника.** Это значение подставляется вместо S{\displaystyle S}.
Например, если площадь прямоугольника равна 35 квадратных сантиметров, формула запишется так: 35=lw{\displaystyle 35=lw}.
7. **Перепишите формулу так, чтобы обособить w{\displaystyle w}.** Для этого разделите обе стороны уравнения на l{\displaystyle l}. Затем полученное выражение нужно подставить в формулу для вычисления периметра.
В нашем примере:35=lw{\displaystyle 35=lw}35l=w{\displaystyle {\frac {35}{l}}=w}.
8. **Запишите формулу для вычисления периметра прямоугольника.** Формула: P=2(w+l){\displaystyle P=2(w+l)}, где l{\displaystyle l} — длина прямоугольника, w{\displaystyle w} — ширина прямоугольника.
9. **В формулу подставьте значение периметра прямоугольника.** Это значение подставляется вместо P{\displaystyle P}.
Например, если периметр прямоугольника равен 24 сантиметра, формула запишется так: 24=2(w+l){\displaystyle 24=2(w+l)}.
10. **Разделите обе стороны уравнения на 2.** Вы получите сумму сторон прямоугольника, а именно w+l{\displaystyle w+l}.
В нашем примере:24=2(w+l){\displaystyle 24=2(w+l)}242=2(w+l)2{\displaystyle {\frac {24}{2}}={\frac {2(w+l)}{2}}}12=w+l{\displaystyle 12=w+l}.
11. **В формулу подставьте выражение для вычисления w{\displaystyle w}.** Это выражение, полученное при обособлении w{\displaystyle w}.
Например, если при обособлении w{\displaystyle w} получилась формула 35l=w{\displaystyle {\frac {35}{l}}=w}, подставьте ее левую сторону в формулу для вычисления периметра (вместо w</math>):12=w+l{\displaystyle 12=w+l}12=35l+l{\displaystyle 12={\frac {35}{l}}+l}
12. **Избавьтесь от дроби.** Для этого обе части уравнения умножьте на l{\displaystyle l}.
В нашем примере:12=35l+l{\displaystyle 12={\frac {35}{l}}+l}12×l=(35l×l)+(l×l){\displaystyle 12\times l=({\frac {35}{l}}\times l)+(l\times l)}12l=35+l2{\displaystyle 12l=35+l^{2}}
13. **Приравняйте уравнение к 0.** Для этого из обеих сторон уравнения вычтите член с переменной первого порядка.
В нашем примере:12l=35+l2{\displaystyle 12l=35+l^{2}}12l−12l=35+l2−12l{\displaystyle 12l-12l=35+l^{2}-12l}0=35+l2−12l{\displaystyle 0=35+l^{2}-12l}
14. **Упорядочьте члены уравнения.** Первым членом будет член с переменной второго порядка, затем член с переменной первого порядка, а затем свободный член. При этом не забудьте про знаки («плюс» и «минус»), которые стоят перед членами. Обратите внимание, что уравнение запишется в виде квадратного уравнения.
В нашем примере 0=35+l2−12l{\displaystyle 0=35+l^{2}-12l} запишется так: 0=l2−12l+35{\displaystyle 0=l^{2}-12l+35}.
15. **Разложите квадратное уравнение на множители.** Чтобы получить подробные инструкции, прочитайте эту статью.
В нашем примере уравнение 0=l2−12l+35{\displaystyle 0=l^{2}-12l+35} раскладывается на множители так: 0=(l−7)(l−5){\displaystyle 0=(l-7)(l-5)}.
16. **Найдите l{\displaystyle l}.** Для этого приравняйте каждый множитель к нулю и вычислите l{\displaystyle l}. Вы получите два значения (это корни уравнения), которые в случае прямоугольника являются его длиной и шириной.
В нашем примере:0=(l−7){\displaystyle 0=(l-7)}7=l{\displaystyle 7=l}и0=(l−5){\displaystyle 0=(l-5)}5=l{\displaystyle 5=l}.Таким образом, длина и ширина прямоугольника равны 7 см и 5 см, соответственно.
17. **Запишите теорему Пифагора.** Формула: a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}, где a{\displaystyle a} и b{\displaystyle b} — катеты прямоугольного треугольника, c{\displaystyle c} — гипотенуза прямоугольного треугольника.
Воспользуйтесь теоремой Пифагора, потому что каждая диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника. Причем стороны прямоугольника — это катеты треугольника, а диагональ прямоугольника — гипотенуза треугольника.
18. **В формулу подставьте значения длины и ширины.** Эти значения подставляются вместо a{\displaystyle a} и b{\displaystyle b} (в произвольном порядке).
Например, если длина и ширина прямоугольника равны 7 см и 5 см, формула запишется так: 52+72=c2{\displaystyle 5^{2}+7^{2}=c^{2}}.
19. **Длину и ширину возведите в квадрат, а затем сложите полученные результаты.** Помните, что при возведении числа в квадрат оно умножается на себя.
В нашем примере: 52+72=c2{\displaystyle 5^{2}+7^{2}=c^{2}}25+49=c2{\displaystyle 25+49=c^{2}}74=c2{\displaystyle 74=c^{2}}
20. **Извлеките квадратный корень из обеих сторон уравнения.** Воспользуйтесь калькулятором, чтобы быстро извлечь квадратный корень. Также можно воспользоваться онлайн-калькулятором. Вы найдете c{\displaystyle c}, то есть гипотенузу треугольника, а значит, и диагональ прямоугольника.
В нашем примере: 74=c2{\displaystyle 74=c^{2}}74=c2{\displaystyle {\sqrt {74}}={\sqrt {c^{2}}}}8,6024=c{\displaystyle 8,6024=c} Таким образом, диагональ прямоугольника с площадью 35 см и периметром 24 см приблизительно равна 8,6 см.
21. **Запишите уравнение, характеризующее отношение сторон.** Обособьте l{\displaystyle l} (длину) или w{\displaystyle w} (ширину). Затем полученное выражение нужно подставить в формулу для вычисления площади.
Например, если ширина прямоугольника на 2 см больше длины, уравнение запишется так: w=l+2{\displaystyle w=l+2}
22. **Запишите формулу для вычисления площади прямоугольника.** Формула: S=lw{\displaystyle S=lw}, где S{\displaystyle S} — площадь прямоугольника, l{\displaystyle l} — длина прямоугольника, w{\displaystyle w} — ширина прямоугольника. (На рисунке вместо S использовано обозначение A.)
Этот метод применим и в том случае, когда известно значение периметра прямоугольника, но тогда нужно пользоваться формулой для вычисления периметра, а не площади. Формула для вычисления периметра прямоугольника: P=2(w+l){\displaystyle P=2(w+l)}, где l{\displaystyle l} — длина прямоугольника, w{\displaystyle w} — ширина прямоугольника.
23. **В формулу подставьте значение площади прямоугольника.** Это значение подставляется вместо S{\displaystyle S}.
Например, если площадь прямоугольника равна 35 квадратных сантиметров, формула примет вид: 35=lw{\displaystyle 35=lw}.
24. **В формулу подставьте выражение, характеризующее отношение сторон.** В случае прямоугольника можно подставить выражение для вычисления l{\displaystyle l} или w{\displaystyle w}.
Например, если w=l+2{\displaystyle w=l+2}, правую часть этого уравнения подставьте в формулу для вычисления площади (вместо l{\displaystyle l}):35=lw{\displaystyle 35=lw}35=l(l+2){\displaystyle 35=l(l+2)}
25. **Запишите квадратное уравнение.** Для этого раскройте скобки и приравняйте уравнение к нулю.
В нашем примере:35=l(l+2){\displaystyle 35=l(l+2)}35=l2+2l{\displaystyle 35=l^{2}+2l}0=l2+2l−35{\displaystyle 0=l^{2}+2l-35}
26. **Разложите квадратное уравнение на множители.** Чтобы получить подробные инструкции, прочитайте эту статью.
В нашем примере уравнение 0=l2+2l−35{\displaystyle 0=l^{2}+2l-35} раскладывается на множители так: 0=(l+7)(l−5){\displaystyle 0=(l+7)(l-5)}.
27. **Найдите w{\displaystyle w}.** Для этого приравняйте каждый множитель к нулю и вычислите w{\displaystyle w}. Вы получите два значения (так называемые корни уравнения).
В нашем примере:0=(l+7){\displaystyle 0=(l+7)}−7=l{\displaystyle -7=l}и0=(l−5){\displaystyle 0=(l-5)}5=l{\displaystyle 5=l}.Один корень отрицательный; так как ширина прямоугольника не может быть отрицательной, этот корень можно проигнорировать. Таким образом, ширина прямоугольника равна 5 см.
28. **Подставьте найденное значение ширины (или длины) в уравнение, характеризующее отношение сторон.** Так можно найти другую сторону прямоугольника.
Например, если вы вычислили, что ширина прямоугольника равна 5 см, а отношение сторон задается уравнением w=l+2{\displaystyle w=l+2}, подставьте 5 вместо ширины:w=l+2{\displaystyle w=l+2}w=5+2{\displaystyle w=5+2}w=7{\displaystyle w=7}
29. **Запишите теорему Пифагора.** Формула: a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}, где a{\displaystyle a} и b{\displaystyle b} — катеты прямоугольного треугольника, c{\displaystyle c} — гипотенуза прямоугольного треугольника.
Воспользуйтесь теоремой Пифагора, потому что каждая диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника. Причем стороны прямоугольника — это катеты треугольника, а диагональ прямоугольника — гипотенуза треугольника.
30. **В формулу подставьте значения длины и ширины.** Эти значения подставляются вместо a{\displaystyle a} и b{\displaystyle b} (в произвольном порядке).
Например, если длина и ширина прямоугольника равны 5 см и 7 см, формула запишется так: 52+72=c2{\displaystyle 5^{2}+7^{2}=c^{2}}.
31. **Длину и ширину возведите в квадрат, а затем сложите полученные результаты.** Помните, что при возведении числа в квадрат оно умножается на себя.
В нашем примере: 52+72=c2{\displaystyle 5^{2}+7^{2}=c^{2}}25+49=c2{\displaystyle 25+49=c^{2}}74=c2{\displaystyle 74=c^{2}}
32. **Извлеките квадратный корень из обеих сторон уравнения.** Воспользуйтесь калькулятором, чтобы быстро извлечь квадратный корень. Также можно воспользоваться онлайн-калькулятором. Вы найдете c{\displaystyle c}, то есть гипотенузу треугольника, а значит и диагональ прямоугольника.
В нашем примере: 74=c2{\displaystyle 74=c^{2}}74=c2{\displaystyle {\sqrt {74}}={\sqrt {c^{2}}}}8,6024=c{\displaystyle 8,6024=c} Таким образом, диагональ прямоугольника, у которого длина на 2 см больше ширины и площадь которого равна 35 см, приблизительно равна 8,6 см.