如何理解‘倒易’在物理与数学中的意义？
题主，你好，由于要经常解电子衍射谱图，我有接触一些倒易点阵的知识，但是要从本源说起实在超出我的能力范围，《材料科学中倒易点阵的理解与来源和解释》这本书不错，作者从一个小角度，光栅衍射现象解释： 图片来自《材料科学中倒易点阵的理解与来源和解释》，源地址： 上图是一张光栅衍射的示意图，其中，光线l1和l2形成的是一级衍射，l3和l4形成的是n=2的二级衍射，光栅条纹的成像衍射像也是条纹，可测量得的其宽度为D。入射波长为λ，由两相干光波增强的条件是两光程差 ： 再做一个近似变化： 可以导出两衍射线的条纹间距是： 这个实验的结果是，条纹状试样（光栅）的“物”，其成像后的像也是同样的条纹状。 但是物和像的条纹却有区别，由上面公式可见，光栅条纹间距d与图像的条纹间距D成反比：如果d越小，其测量结果的D越大，即它们呈“倒易”的关系。 此倒易关系给测量带来了方便：对于光栅本身如果d越小，对此条纹的真实测量就越困难，例如需要千分尺之类的测量仪表。但是，衍射后获得的D值却是较大的，对D值的的测量却是方便的。 所以，由于出现了这种倒易的操作，那些非常微小尺寸的物体的测量就变得可行了：通过间接测量物体衍射“像”的尺寸。比如上面光栅条纹d（尺寸非常小），然而通过衍射，可变换为便于测量的像，并通过方便地测量D而间接获得测量结果。而衍射恰好给出了的倒易图。 但是上面那个实验有三个需要注意的地方： 1）衍射操作与一般的放大镜操作是完全不同的：小尺寸条纹物体衍射操作后变为大尺寸，反之大尺寸条纹却变成小尺寸；相比之下，放大镜的操作却只能将各尺寸物体成像为更大。由此可见两者的差别。 2）以上的衍射并不是对所有的物体都成立，其仅仅对有周期性排列的物体才成立，典型的可衍射成像的物体是等间距的条纹，无周期性的物体将难以形成衍射条纹。 3）以上得出的公式一个近似公式，成立的条件是d<<L，此条件对于一般的光栅都是可成立的。 实验中对晶体测量的结果都是衍射后的结果，即是倒易的图。我们对其的分析都是在此倒易空间来进行的，分析的结果可以再变换回到“晶体空间”，但因为转换麻烦，一般不再转换。 由此可见，倒易点阵的引入原因之一，正是其晶体点阵的衍射图。对于微观的晶体，其原子排列难以实验观测到，但其衍射图却是可由实验方便的获得。 倒易点阵的基本矢量为 a*、b*、c* 的定义为： 式中的 a、b、c 是晶体空间（正空间）的晶体基本平移矢量，由此定义了单个倒易晶胞的大小。倒易矢量 ghkl 定义了倒易空间中阵点的排列： 从晶体学的几何来说，以“晶体点阵”来表示是有效的，它可明确地表达点与点之间的相互关系，例如点点之间的距离，晶胞各基本矢量的夹角等。 倒易点阵是描述晶体晶面的有效数学表示，对于衍射分析来说，晶体的晶面特征（晶面的法线方向和晶面间距）是重要的，而倒易点阵恰好反映了这些特征，但晶体点阵却不能直接的 代表这些特征。因此，倒易点阵是晶体分析的有效的数学工具。 参考文献： ［1］胡赓祥等.材料科学基础（第二版）.上海交大出版社，2006 ［2］王莉.正点阵与倒易点阵中的对应关系.唐山师范学院学报，2004, Vol 2 6.No 5:15- 16 ［3］申成.二维晶体的衍射及其倒易点阵的物理内容.长沙电力学院 学报(自然科学版)，2005,Vol.20,No.4 :73- 75,80