二维世界的的物理定律是怎样的?
要论2+1维时空中特殊的物理定律，当然是分数统计了，以及和它相伴的分数电荷和对于分数量子霍尔效应的解释。 这个内容深不见底，我也是刚刚接触，基本上很多都不太懂，不过果壳网上有一个很不错的硬科普，感兴趣的可以看看。 下面我简单说说我知道的： 我们都知道量子场论中有一个自旋统计定理，自旋为整数的玻色子满足玻色统计，自旋为半整数的费米子满足费米狄拉克统计。之所以产生这样不同的统计方法是因为全同粒子体系下，费米子是交换反对称的而玻色子是交换对称的。也就是说一个多体的波函数\Psi(r1,r2,....,rN),在交换两个粒子之后多了一个相位，对于费米子相位是\pi，对于玻色子相位是0. 通常的量子场论讨论的是3+1维空间，所以相位的选择只有这两种情况。而对于2+1维空间，相位的选择则更加任意，波函数多一项exp(-i\frac{\theta}{\pi}\Delta\phi),相位变化不一定是0或者\pi,这种统计叫做任意子（anyon）统计。要想彻底搞懂任意子统计和辫群（braid group)的表示相关。 不过理解只有二维情况下具有任意子统计这一点倒是不难的，原因就在于两粒子的位形空间不是简单连通的，所以我们可以任意选择一个整体的相因子\theta。（想象AB效应，如果空间抠去一点之后，空间中绕着抠去一点的闭合路径不能缩为一点，所以积累出了一个相因子exp(\frac{i}{h}\oint Adr) ). 在位形空间中的回路相当于将两个粒子互换，对应的相因子决定了这两个粒子是玻色子，费米子，还是任意子。而在三维的情况下，虽然仍然存在不可积的相位因子。但是一个方向的交换和其反方向的交换这两个回路之间是可以连续变换的，给正方向一个相位e^{i \theta},给反方向一个相位e^{-i\theta}.因为它们属于一类，e^{i\theta}=e^{-i\theta}, \theta=0, \pi. 所以可以看到，增加了维数之后任意子统计不见了。只具有了 玻色统计和费米统计，也就是通常所说的自旋统计定理。 任意子统计是理解分数量子霍尔效应的基础，分数量子霍尔效应是在低能有效理论下，拉式量出现了一个Chern－Simions term， \epsilon^{\mu\nu\lambda}a_{\mu}\partial_{\nu}a_{\lambda}, 在外磁场下和电磁场耦合，通过拉式量我们可以看到出现相因子\theta=\pi/k，以及准粒子带电\frac{1}{k}. 由于准粒子的分数统计性质，一个很有启发意义的图像就产生了，如果k个准粒子构成了一个费米子（电子之间复杂的运动居然可以产生分数电荷！！），两个费米子交换就是k个准粒子交换k个准粒子，交换了k^{2}次。交换费米子出现相因子\theta=\frac{\pi}{k}k^{2}=k\pi, 要求全反称则k是奇数。这可以用来解释分数量子霍尔效应中，\nu=1/3,1/5,....等平台的出现。 分数量子霍尔效应的发现，意义无疑是震撼物理学界的，崔琦这个诺贝尔当之无愧，分数量子霍尔效应态标志着朗道的对称性破缺和元激发的图像失效。文小刚提出了拓扑序和量子序是凝聚态概念上的大突破，也成就了文作为一代大师的地位，再次膜！ 本答案不定期更新。 参考：A.zee <quantum field theory in a nutshell> 文小刚《量子多体理论》 硬科普： 相关文章。