牛顿在数学方面有多牛？
当大家试图以纯数学家的身份评论牛顿时，确实会感觉比起最具有原创性的伽罗瓦、黎曼这样的数学家来说，牛顿的工作在数学方面的原创性确实不是最高的。但我们确实不应该用今天的眼光来评价牛顿，必须要考虑历史的进程。 我们先不说二项式公式或者是最速降线这样看起来很厉害，但对牛顿真正的数学贡献不值一提的工作了（这是对牛顿这样级别的数学家来说，对于一般的数学家这自然是值得大书特书的工作）。我们单说说微积分。 微积分的朴素观念，早在公元前就出现了。阿基米德就曾经用类似于积分的方法求几何体的体积。世界各国的文献中都出现过微积分的朴素想法。例如我们熟悉的中国，祖冲之关于计算Pi的割圆法就是一种朴素微积分想法的体现。而即使是现代微积分，也有许多成果出现在牛顿之前。牛顿的老师巴罗就已经知道微分和积分之间模糊的逆运算关系，并且和沃利斯等人一同发现了微积分基本定理的一种形式。更不要说同时代的莱布尼茨与牛顿之间关于微积分优先权的争端。 我们可以思考一下：在这种情况下，为什么牛顿（以及莱布尼茨）仍然被认为是微积分的发明者呢？要说原创性，比他们早得多的学者们已经有了许多微积分的思想了；要说严格性，还得等到19世纪伟大的体育老师出现微积分的基础极限理论才算是基本确立。这二位究竟做了什么，获得了微积分发明人的荣誉呢？ 其实二位确立这一荣誉的理由，还真的得从他们数学家外的职业来解释。莱布尼茨的主业是哲学家。他对微积分的符号系统与代数形式的研究不得不说受他自己对于理性主义哲学的研究与深刻理解的影响。我们至今仍然使用莱布尼茨的符号体系，全世界的数学家大部分都是莱布尼茨的传人（例如我似乎是第18代传人），这都源于他对符号体系对数学重要性的认识。另外说一句，似乎哲学家都对代数方法有格外的重视，例如笛卡尔等。 而牛顿在数学家之外的主业是什么呢？物理学家。牛顿最重要的贡献是认识到，微积分（甚至更一般的代数学）是可以用来研究物理的。这在今日简直是再自然不过的事情，但是在牛顿那个年代，物理学是什么样的呢？ 逝世于牛顿出生那一年的欧洲最伟大的物理学家伽利略被称为现代科学之父。他重要的成果之一就是把数学方法引入物理学，他也是最早提出自然规律是数学性的学者。所以在牛顿的年代，数学工具能用来描述物理规律还只是一个初生的幼芽。学者们知道很多物理规律可以用定量分析的方法来描述，但数学如何参与其中仍然是一个谜。而巴罗等人意识到了几何对于物理的重要性，但也停留在几何图形用于描述运动轨道这样朴素的信念上。这并不难理解：《几何原本》是那么伟大，也为后世的数学家对几何的论证打下了坚实的信念。巴罗就是这样：他用几何的方法描述微积分，从而没能发现微积分与物理之间的关系。 而牛顿革命性的工作在于放弃了纯几何方法，从而用代数方法来描述微积分。与莱布尼茨殊途同归，他获得了（虽然不严格）有效的微积分工具。更重要的是，牛顿意识到微分方程是描述物理规律的核心语言，这也是他的基本物理定律的源头。牛顿的巨著《自然哲学的数学原理》之名也来源于此，尽管牛顿向当时主流的数学物理界妥协将微积分的语言隐藏了起来。直到今天，代数语言和微分方程仍然是绝大部分物理规律的语言，这都得追溯到牛顿的工作。 有的人或许会问：这工作或许是十分伟大，但这不是牛顿对于数学的贡献，而是物理的贡献呀？所以这就是为什么我们要考虑历史的进程。从上面我们可以看出来，牛顿对数学有什么贡献： 第一，他确实是最早将微积分发展成有效工具的人之一，担得起微积分发明人的荣誉； 第二，用微积分语言成功阐述物理规律，大大提高了数学在自然科学中的价值。不但证明伽利略的利用数学描述物理规律的思想是非常成功的，同时也让后世的科学家意识到了数学的重要性。让数学成为描述规律的工具的重要性，怎么鼓吹都不为过； 第三，反过来，将数学和物理成功结合又促进了数学家对物理学以及自然规律重要性的认识。这一点我想额外提一下。 其实仔细想想，微积分能够从17世纪传下来其实是不容易的。以贝克莱主教为首的哲学家们一直没有停止对微积分的攻击。而且平心而论，这些攻击是非常有意义的、抓住了早期微积分的要害的。直到19世纪，微积分的严格性才基本被解决。都说数学最重要的是严格性，但为什么这么一门不严格的学科居然能被传下来，而且居然最后都可以正确而严格的解释，我们恐怕还是得归功于物理。正是因为这些数学工具都用来描述物理规律，而且相当成功，这才侥幸保证了它的正确性。我想在未来，即使又出现了新的数学危机，某个数学的基础再被推翻，那些和物理结合在一起的数学都不用担心，因为我们总能找到描述它们的新方法。这是发展数学的重要信念，也是保护数学这一领域的重要防御。 许多历史事件以及人物信息来自于wikipedia牛顿、莱布尼茨、巴罗、伽利略、微积分、微积分基本定理的中英文词条。