如何形象描述各态历经的随机过程？
2014-07-01的答案： 1. 要先说什么是随机过程（接下来的讨论都讨论实数的）。 简单地说，那是一个函数。 一个多元函数。 函数的自变量有两个，一个是event（事件），一个是另一个参数，通常为t（时间）。 时间很好理解，事件可以说成是丢骰子的结果。 所有的丢骰子的结果，就是事件可以取值的所有情况，这个叫做Sample space，这是事件的取值域。 而t的取值域一般是所有实数。 2. 来看一个随机信号。 一个随机信号被看成是一个随机过程。 那么现在来看一下，我们来观察这个信号，看看观察到的每一个时刻信号的值是怎么来的。 t1 时刻的信号，因为随机过程是二元函数，时间t=t1,这个确定了，某人还丢一次骰子，得到一个事件,比如说E1。两个因变量都有了，函数的值才确定，我们这次观察得到的信号t1时刻的值就是这个。 下一个时刻，比如t2时刻的信号，也是是一样的，时间t=t2，代入这个函数，还要丢一次骰子，比如这次得到的事件是E2，一起代入这个函数，得到了我们这次观察的这个时刻信号的值。 这样，或许你更能理解，所谓的“二元函数”是什么意思了。 3. 接着，要抽象一点来看随机过程了。 从两个角度来看随机过程。 （1）一系列用事件编号了的，以t为自变量的函数。每一个时刻都要丢一次骰子，来决定这个时刻选哪一个函数的这个时刻的值。 这一系列函数中的每一个函数都是只以t为自变量。 随机过程在一次观察中，观察到的某个时刻的具体的值，实际上是上面这堆函数中，某一个函数在这个时刻的值。 要注意的是：我们在观察一个随机过程的时候，并不是所有的时刻的值都来自于同一个事件，而是每一个时刻来自不同的事件。这意味着，真的我们在观察的时候，比如第一个时刻的值，可能来自事件A，于是我们观察到的结果是来自事件A对应的函数的该时刻的值。而下一个时刻，可能来自事件B，于是我们观察到的结果是，是来自事件B对应的函数的该时刻的值。 （2）一系列的被时间编号了的以事件为自变量的函数，也就是一大堆『随机变量』，每一个『随机变量』具体的取值，都由它们各自的丢骰子游戏决定，由时间来决定玩哪一个游戏，看哪一个随机变量的值。 4. 接着我们要从上面的第二种看法出发，来说一下 平稳随机过程。 （注：写完答案之后，发现4可以跳过，也能直接到5.所以，这段不能理解不必深究。） 平稳其实是一类东西的定义，我们一般还要说，到多少阶平稳。 先说1阶的平稳。 每一个时刻，都是一个随机变量。 一个随机变量，会对应一个概率分布。 比如t0时刻那个随机变量的概率分布为f_t0(x) t1时刻的是f_t1(x) 1阶平稳的定义就是这两个相等。 要说下这个相等是什么意思。 相等是指二者的概率分布相等。 也就说上述的两个函数，x取相同值的时候，函数的值都是一样的。 但是，这并不是说，在一次观察中，t0时刻和t1时刻观察到的函数的值是相同的。 x可能不同。 要注意x才是随机变量，x是由丢骰子决定的。 还有，t0和t1可以为任何时间。 你会发现，这意味着什么。 这至少已经意味着，这些被时间编号了的，所有的，随机变量的概率分布是相同的！ 但是我们在信号处理里面，很关注的是平稳到二阶，但是条件太苛刻，于是有了弱一点的定义：广义平稳（WSS）。 5. 遍历性，或者你说的各态历经性。 一个随机过程是t和事件的二元函数。 我们的每一次观察，观察到的每一个时刻的值，都是代入了某个事件和当前的时间t（假如以某个随机过程开始，我们也开始进行观察作为0时刻，因此，每一次重启这个随机过程，我们重新开始观察，又回到了0时刻。这个时间不是那种“绝对的”时间。）这两个参数得到的。 当我们进行下一次观察的时候，观察到的每一个时刻的值，同样是代入了某个时间和当前的时间t得到的。 假如我们能做无数次实验。 我们得到了无数组观察结果。 每一组观察结果都是从0时刻开始，到t_end观察结束. 重要的来了，我们可以算两种“均值”。 每一组观察结果的平均值。 这叫做时间平均。有多少次观察，就有多少个时间平均。 还有就是，整个随机过程的每一个时刻，被看成了一个随机变量，每一个随机变量，都可以在概率上求平均，也就是期望。有多少个时刻，就有多少个这种平均，称为ensemble average. 初衷是，我们想要的是ensemble average ,而我们不可能做无数次实验。 问：能用仅仅用某一次观察的时间平均来估计ensemble average吗？ 如果答案是yes，这个随机过程就 叫做各态历经（遍历）随机过程。 我们回到上面来看看ensemble average在通常情况下会是什么？ 因为每一个时刻都是一个随机变量，那么它通常情况下是一个以t为自变量的函数。 代入不同的t，就是随机过程，对应的t时刻的随机变量的期望。 但是，一次观察的时间平均，会是一个不以t为自变量的常数。 这意味着，这个随机过程要满足各态遍历这个特点，首先需要满足的条件是： 这个随机过程每一个时刻对应的随机变量的期望是相等的。 我们来看一个上面这个条件的充分条件非必要条件： 那就是每个时刻的随机变量的概率分布都是相同的。 这是一种极端的情况。 但是，在这种极端的情况下，你才能解释“遍历”两个字。 如果每一个时刻的随机变量的概率分布相同。 那么随机过程某个时刻对应的随机变量所有可能出现的值，也有可能在足够长的时间上，在一次对随机过程的观察中，从随机过程的不同个时刻对应的不同的随机变量出现的值里全部看到（遍历了一次，对吧）。因为随机过程每一个时刻对应的随机变量的概率分布是一样的。 当然，这是最极端的情况。 实际上，遍历的定义，至少这个词在随机过程里的定义，仅仅是从均值上来定义的。 即使一个随机过程是各态遍历的，上面那种真实的“遍历”情况也可能是不会发生的。 因为我们只在讨论均值。