能不能定义一个数 I，与 0 的乘积等于 1？
看了问题描述真是太心疼题主了TuT（如果我是老师的话，有学生问出这个问题我肯定非常激动！） 给出的是这个问题的『标准答案』，我想试着以高中生能理解的程度来解释一下这个标准答案。（与以前一样，为了可读性，会牺牲严谨性。想认真学还是应该看教材。） 回答分为两部分：第一部分是分析如果定义一个『与0的乘积等于1』的数会导致怎样的后果（实数毁灭）；第二部分是解释虚数单位\mathrm{i}是怎么出现的（使用『模法』）。 ===============第一部分开始了呦=============== 首先，对于题主问题的回答是：你当然可以定义一个『与0的乘积等于1』的数，但是这样会使得所有的实数都等于零，于是我们什么有趣的事情都干不了啦。 我们先来想一个问题：大家都知道1/2=3/6，可是它们为什么相等呢？ 这不是一个好答案，因为根据小数点的定义，0.5=5\times10^{-1}=5/10，所以我们就需要进一步解释为什么1/2=5/10以及为什么3/6=5/10，于是问题变得更复杂了。 正确答案是：因为1\times6=2\times3，所以1/2=3/6. 因为我们就是这么定义两个分数相等的。 不妨先想一想分数到底是怎么回事： 一开始我们只有整数，然后我们把所有非零的整数召集起来，对它们说：『你们也可以当分母哟！』于是，我们就有了诸如1/2和3/6这样的分数。然而这个时候我们并没有对这些分数进行任何限制——没人说1/2和3/6就一定相等。 但是光创造数没有用，我们想做运算呀。现在什么规定都没有，那1/2+3/6是啥？？ 于是人们规定，对于两个分数a/b和c/d，如果ad=bc，那么它们就相等。接着我们就可以定义分数的加法：分母相同的两个分数相加，分母不变，把分子加起来就好了！ 这样一来，我们就有了可以做运算的分数（有理数）。更重要的是，当我们把原来的每个整数n都当成n/1时，有理数的运算和整数的运算是一致的。 这一点很重要。通常情况下，当我们说『整数集合包含1和2』时，不仅意味着1和2都是整数，而且这个『2』必须得是『1+1=2』的那个『2』。也就是说，我们平时使用的『整数』一词，不仅是指那些数字，而且还蕴含了数字之间的关系（即代数结构）。 所以，为了保证有理数包含整数，他们的运算必须一致，否则这个『整数』就不是我们通常说的那个『整数』了。 有了有理数之后，我们可以把它们扩充为实数。同样地，这里的『扩充』意味着有理数的代数结构不能改变。扩充为实数的方法我这里就不细说了。 现在再看之前的问题：如果定义了『与0的乘积等于1』的数会发生什么呢？ 0=1-1 =a\times0-a\times 0=a\times(0-0)=a\times 0=1. 我们可以接着证明所有的实数都等于零，于是整数/有理数/实数的代数结构就被破坏了。所以，试图加入一个『与0的乘积等于1』的数，并不能扩充实数，反而会把实数整个毁掉…… （对学数学的同学多说一句：我们其实可以把环中任意一个对乘法封闭的子集作为分母集合，而对乘法封闭的子集显然是可以包含零的。但是只要包含了零，我们就只能得到一个等价类。具体可以看GTM73第三章第四节。） ===============第二部分开始了呦=============== 回答这个问题之前，我们先来做一个小小的计算： (3+4\mathrm{i})(2+\mathrm{i})=(6-4)+(3+8)\mathrm{i}=2+11\mathrm{i}. 没问题吧？好，看来大家都知道虚数单位\mathrm{i}是什么……好的，从现在开始，我们要假装自己不知道虚数单位\mathrm{i}，只知道实数。 接下来我们回顾一点点初中的知识：多项式加法、减法、乘法和因式分解。 多项式加法就比如：(3x^2-3x+1)+(5x-2)=3x^2+2x-1，减法类似； 多项式乘法就比如：(3x^2-3x+1)(5x-2)=15x^3-21x^2+11x-2； 因式分解就比如：4x^2-9=(2x+3)(2x-3)，这些大家都还记得吧=w= 顺便提醒一下：多项式除以多项式不一定是多项式，比如\frac{x+1}{x^3-2}就不是多项式。 所以，两个（实系数）多项式做加法、减法、乘法之后仍然是（实系数）多项式。 （于是我们说实系数多项式构成了一个环，记作\mathbb{R}[x]. ） （啊，不要被『环』这个奇怪的词吓到，简单说来『环』就是一个可以做加法、减法、乘法的集合。整数、有理数、实数等等都是环。） 好的，接下来我们来讨论因式分解=w= 再看一眼之前的例子，4x^2-9=(2x+3)(2x-3). 这里我们把一个二次多项式分解为两个一次多项式的乘积，而一次多项式显然不可能再继续被分解为两个多项式的乘积，除非其中一个是常数。于是，我们就说一次多项式是『不可约』的。 相对应地，4x^2-9可以被分解为两个次数更低的多项式的乘积，我们就说它是『可约』的。 那么二次多项式有不可约的吗？有，比如x^2+1就不可约。（别忘了我们现在只知道实数！只知道实数！只知道实数！） 没事，x^2+1不可约，那我们就不要它了╭(╯^╰)╮ 『不要x^2+1』的意思就是：把所有的x^2+1都换成零。 我们来看看这样会发生什么。举个例子，比如我们知道： (3+4x)(2+x)=6+11x+4x^2. 然后我们把所有高冷的x^2+1都找出来： 6+11x+4x^2=2+11x+4(x^2+1). 接着，我们把高冷的x^2+1换成零： 2+11x+4(x^2+1)=2+11x+4\cdot0=2+11x. 所以，当我们把x^2+1换成零之后，运算结果就变成了： (3+4x)(2+x)=2+11x. 诶嘿，是不是有点眼熟？再看看一开始复数乘法的例子： (3+4\mathrm{i})(2+\mathrm{i})=2+11\mathrm{i}. 我们发现，把所有x^2+1换成零之后，多项式的乘法就跟复数的乘法一样了！ 这不是巧合。 不妨设想一下，假如有个人只知道实数而不知道复数，我们如何向他解释\mathrm{i}是什么呢？ 我们会说：\mathrm{i}就是一个平方等于-1的数，也就是说，\mathrm{i}^2+1=0. 这不正是我们之前做的事情吗？ 我们先在实数中加入了一个奇怪的『数』，记作x，接着把所有x^2+1都换成零。 所以，把实系数多项式环\mathbb{R}[x]中所有x^2+1换成零，x就变得跟\mathrm{i}一样了，于是我们就可以得到复数（域）了。 复数域就是这么来的。（当然也可以直接定义，这里只讲代数方法。） 用数学语言来说，『把所有x^2+1换成零』这个操作叫『模掉x^2+1生成的理想』。 所谓『x^2+1生成的理想』，在这里就是指一切x^2+1的倍数，记作(x^2+1). 因为x^2+1变为零，那么它的倍数肯定都变为零了嘛。所以x^2+1所有的倍数，即x^2+1生成的理想，都被『模掉』啦。 写成数学语言就是：\mathbb{R}[x]/(x^2+1)\cong\mathbb{R}(\mathrm{i})=\mathbb{C}. 这个『模掉理想』的操作并不局限于x^2+1. 实际上，我们把任何一个不可约多项式生成的理想模掉，都相当于是在原来的数域中加入了该多项式的根。 当然，我们一般用这个方法扩张有理数域\mathbb{Q}而不是实数域\mathbb{R}，因为\mathbb{R}扩张一步之后得到复数域\mathbb{C}，就没法再继续这样扩张了（因为\mathbb{C}是代数闭域），而\mathbb{Q}有很多有趣的扩张。 举个例子，\sqrt{2}不在有理数域\mathbb{Q}中，而它是\mathbb{Q}上的不可约多项式x^2-2的根，所以我们如果想把\sqrt{2}加进\mathbb{Q}中，我们就把有理系数多项式环\mathbb{Q}[x]模掉x^2-2生成的理想，也就是：\mathbb{Q}[x]/(x^2-2)\cong\mathbb{Q}(\sqrt{2}). 额，那就会得到一个很奇怪的东西……想一想，由于4x^2-9=(2x+3)(2x-3)，我们把4x^2-9换成零，却没有把它的因子2x+3和2x-3换成零。这就意味着，将会有两个不是零的数乘起来是零……这样的环性质就太差了（连整环都不是），并不是原来数域的扩张。 爱过，不可约，理想已被模掉，不是巧合…… 啊，这是个好问题。简单一点的回答就是，你在\mathbb{R}中加入\mathrm{i}或-\mathrm{i}，得到的都是复数域\mathbb{C}. 更深层次的原因是，不可约多项式的根在代数上是没有办法区分的，加入『不同』的根，得到的扩域在代数上没有区别（同构）——这是伽罗瓦理论告诉我们的。不过在这里我就不多说了=w= 那么就这样=w=