这个荔枝弯曲的形状是否有曲线方程？
我来作个总结吧，毕竟这样一个好问题不能像个烂摊子一样摆在这里。 要分析这个问题，首先得抓住主要矛盾，几何非线性，大变形。 这个问题的关键词是“大变形悬臂梁”，也就是说材料力学中的小变形假设不再成立， 如上图所示，根据推导结果(推导过程见附录)，梁的挠曲线参数方程为 x=\sqrt{\frac{2EI}{F}}(\sqrt{\sin\varphi_0}-\sqrt{\sin\varphi_0-\sin\varphi}) y=\sqrt{\frac{EI}{2F}}\int_{0}^{\varphi}\frac{\sin{\varphi}d\varphi}{\sqrt{\sin{\varphi_0}-\sin{\varphi}}} 其中参数 \varphi_0 由下面方程确定，这代表的是梁长约束。 L=\sqrt{\frac{EI}{2F}}\int_{0}^{\varphi_0}\frac{d\varphi}{\sqrt{\sin{\varphi_0}-\sin{\varphi}}} 参照下面这组实验，我们对比一下实验结果与理论结果。 这里把实验参数都列上，有感兴趣的可以亲自算一算。梁长 L=0.3m ,宽 b=3.04cm , 高 h=0.078cm ,弹性模量 E=200GPa ，作用力 F=3.92N 。 实验结果与理论结果对比如下，基本一致。主要误差来源于理论结果中未考虑梁的重力。 按理说这个问题到这里就结束了。但其实很多人都有疑问，这种分析方法不具有普遍性， 能不能利用数值方法来求解这个问题。答案是可以的，只不过需要点小技巧。 先把这个控制方程列出来 \frac{w''}{(1+w'^2)^{3/2}}=\frac{M}{EI}=\frac{F(L-\delta_x-x)}{EI} w(0)=0 w'(0)=0 解这个方程需要利用打靶法，这是一种对付非线性微分方程的万能利器。 固定一个 \delta_x ,就会求得一条挠曲线，也即获得一个梁长度 L_{\delta_x} 。 不断变更 \delta_x ，使得 L_{\delta_x}=L ,此时的\delta_x即为我们需要求解的梁的横向位移。 高票答案就是忽略了这个横向位移且未考虑梁长约束，导致结果发散。 下图为Mathematica计算结果，与参数方法所获结果完全一致。代码略去了打靶过程。 我们总结一下，此类问题的最好解决办法是利用打靶法数值求解非线性微分方程。 例如上述问题中考虑梁重力影响的话，只需修正一下弯矩表达式即可。当然，实际中更 复杂的问题则需要借助商业软件来求解，而这个问题则可以作为一个良好的模型问题 供以检验。 【公式推导部分】 梁的挠曲线控制方程为 EI\frac{d\varphi}{ds}=M 弯矩表达式为M(s)=F(L-\delta_x-x)， 为了使横向位移 \delta_x 不在方程中出现，将方程对 s 求一次导数,方程变为 EI\frac{d^2\varphi}{ds^2}=\frac{dM}{ds} 带入弯矩，得到 EI\frac{d^2\varphi}{ds^2}+F\cos{\varphi}=0 两边同乘 d\varphi/ds ,上式可化为， \frac{d}{ds}\left[\frac{1}{2}EI\left(\frac{d\varphi}{ds}\right)^2+F\sin{\varphi}\right]=0 根据边界条件 \varphi(L)=\varphi_0 以及  (d\varphi/ds)_{s=L}=0 ,可知 \left(\frac{d\varphi}{ds}\right)^2=\frac{2}{EI}(F\sin{\varphi_0}-F\sin{\varphi}) 将弧长 s 表示为 \varphi 的函数， s=\sqrt{\frac{EI}{2F}}\int_{0}^{\varphi}\frac{d\varphi}{\sqrt{\sin{\varphi_0}-\sin{\varphi}}} 这其实可以写成椭圆积分，但没啥必要。 有一个约束条件需要注意，即梁的长度没有改变， L=\sqrt{\frac{EI}{2F}}\int_{0}^{\varphi_0}\frac{d\varphi}{\sqrt{\sin{\varphi_0}-\sin{\varphi}}} 据此求出 \varphi_0 ，梁的参数方程可表示为， x=\sqrt{\frac{2EI}{F}}(\sqrt{\sin\varphi_0}-\sqrt{\sin\varphi_0-\sin\varphi}) y=\sqrt{\frac{EI}{2F}}\int_{0}^{\varphi}\frac{\sin{\varphi}d\varphi}{\sqrt{\sin{\varphi_0}-\sin{\varphi}}} 其余参数可顺势获得\delta_x=L-x(\varphi_0)， \delta_y=y(\varphi_0) 。 