理想是什么？
我来讲讲为啥环中的一类子集被称为理想，作为最高票答案的补充。 理想这个词源自库默尔(Kummer)在研究代数整数环上''分解质因数''的一个idea. 他发现在环Z[sqrt(-5)]上分解质因数的唯一性并不成立。 举个例子，21=3*7=(1+2a)(1-2a), 其中a表示sqrt(-5)。这是两个本质不同的分解, 因为不能将2a+1乘上一个unit后得到3或7 (不像 3*7=-3*(-7), 它被看作相同的分解)。 于是Kummer将数的概念推广成现在所说的理想，并命名为理想数(Ideale Zahlen). 推广以后，唯一分解的问题解决了：3不再是一个''理想的素数''(即素理想), 它可以写成两个理想数p1,p2的乘积。类似的存在理想数p3,p4,使得7=p3p4, 1+2a=p1p3, 1-2a=p2p4. 这样21的两个分解都能再分解成p1p2p3p4, 是相同的分解。 后来Dirichlet正式在代数整数环上定义了理想(Ideal)，后人(比如Hilbert和Noether)又不断扩充了这个概念直到今天它被定义在一般的环上，而名字都沿用自Kummer的理想数。 Reference: Juergen Neukirch, Algebraic Number Theory, Section 1.3