Stochastic Calculus 在现实的 Quant 世界中到底可以干什么？
谢邀。 这应该是一个知乎比较非主流的问题，因为各位知友主要活跃在P measure的世界里。另外一个很重要的原因是，国内主要可交易资产以线性资产为主，而且国内主要的model也是以现线性model为主。不过这个题目勾起了我的万千情怀，作为一个以前Stochastic Calculus课的TA，我说说我自己浅薄的看法。 Stochastic Calculus（以后简称SC）最早是本科看郎咸平的一本书的序言看到的，他说他自己原来在台湾是个学渣，到了Wharton，听说SC考得好说明这人不笨，于是狂学狂学，最后考了一个A+。很遗憾我以前本科也是一个半学渣，当时暗自下决心，以后要有机会学这个课，也要证明下自己。 后来在Berkeley的时候，第一个学期就上这门课，当时就有种豪情万丈的感觉。天天花好几个小时研究Ito's Lemma，连续可积分，连续不可积等一堆乱七八糟的问题。我印象最深的是Barrier Option，Proof相当复杂，由于MFE是一个主要找工作的项目，老师也是建议为了考试背好公式就行，我还是不愿意将就，自己做出来一套比较intuitive的proof，花了三天，当时感动得都要落泪了，写了一篇Alfred's Notes On Barrier Option，直接通过做TA传给了下一届的学生（请原谅我一点小小的虚荣）。 最后那一届包括我有三个拿A+的，老师还写信来祝贺，以至于后来我面试Chicago一个HFT shop，有个来面试的师兄还问我，你们这届谁是A+，他说他那时候就是A+，两个人还在一起非常激动的Bibi了半天。 不过这一系列故事对于我认识SC的实际作用都是然并卵。当时SC对于我就是一种Intelligence的Challenge，和一种数学的美感，我觉得好好修过Real Analysis的人都会有类似的快感。 真的开始懂了，是在我开始研究怎么Trade Option这玩意儿。 国内的大部分衍生品，或者金融资产，都是线性流的。举个栗子，就是一个大妈，她买卖 个股，也要看一看大盘怎么个情况。大盘涨了，股票还没涨起来，应该有点机会，这是一个再简单不过的线性正相关问题。不管你说这是beta，股票超额算alpha，大妈反正懂这个朴素的道理。 同样的，期货呢，不管你是跨期还是跨品种，说白了还是一个简单的线性相关关系。但是统计中有一种很陷阱的关系就是Spurious Relationship。一个最简单的例子就是 y=x^2 和 y=x 在x>0的domain，这两个会表现出一定的线性相关，但其实他们之间是明确的非线性关系。如果你拿了一段x>0的数据倒腾了就开始Trade，等x<0的时候只会欲哭无泪。 Option的世界，就是这么的魔性，基本都是非线性关系。一个价格里面含有Delta、Gamma、Vega（或者Kappa）、Rho还有Theta。对标一个变量，在很小的domain里面，没错，是线性关系，out of the domain，是非线性关系在主导。如果你完全按照期货的做法去trade Option，结果不能说100% fucked up，至少也是Vega % fucked up。 你可能想到了，哥难道不能算non linear correlation吗？那么问题来了，人类对于nonlinear的理解的研究远远逊于linear的研究。linear是啥，是光、是电、是人类的直觉、是我们的superstar。nonlinear是啥，是妖、是魔，是月亮的暗面，是上帝来自遥远地嘲笑。如果本身你不知道两个时间序列之间的nonlinear关系，比如x和x平方那样，你会陷入各种local陷进的汪洋大海。 这时候我想起了Merton，想起了Scholes，想起了仙逝的一代大师Black，还有比他们更早提出范式的Edward Thorp。他们用一个很优雅的公式， S_0N(d_1)-Ke^{-r(T-t)}N(d_2) 基于SC，告诉你了，股价S，行权价K，波动性Sigma，到期时间pi，以及无风险r该用怎样的nonlinear关系组合在一起。不管你怎么play it，比如把波动性从常数变成基于r和t的函数，但基本的框架就确定下来了。同样的，基于这个公式，你可以得到一个batch的Option的生命线——Volatility Surface。 如果你好好的研究过SC，你会明白，这个公式不是几位大师拍大腿决定的，而是有很深的金融学思想在里面。同样的，你去一个成熟的市场，把市场报价和BS pricing按照QQ plot的思想画出来，你会得到一个类似linear regression的fitting line的图——这说明你基本找到了他们之间的nonlinear关系。 同时，如果你画出这个图，发现有一个outlier，到理论价的差距比所有的fraction cost+transaction cost还要高，重复检查3遍确定自己没有犯二机器也不是用的假cpu，不要犹豫，不要彷徨，这说明又一个不尊重SC的哥们出了个销魂的quote，果断arbitrage之。当然这建立在你是真的懂了SC。 简而言之，从算法的角度来说，解决线性关系可以类比为贪心算法，简单粗暴。而解决非线性关系就是一个NP复杂度的搜索树了，而在特定的金融领域，SC就是最强的剪枝。 谨以此向大师们致敬。