如何通俗地解释 fragile topology？
楼上讲得挺好。但我想说：趁早弃坑，看看别的方向。一个领域发展到如此细分的程度，一方面当然说明这个领域发展得很成功，令一方面说明这个领域正在失去活力。 ----分割线---- 还是简单介绍一下吧，不能总是负能量啊。 能带拓扑的定义：如果一组能带的波函数能够形成对称的局域瓦尼尔函数，那么这种能带则为平庸，否则称为拓扑。所谓局域，是指瓦尼尔函数是指数衰减的。所以拓扑其实是一种瓦尼尔阻塞。这种瓦尼尔阻塞又分为两种：（i）把这种能带耦合到任意平庸能带，如果耦合后的能带总是依然有瓦尼尔阻塞，则称为稳定拓扑，（ii）否则称为脆拓扑。 以前大家研究的大部分拓扑绝缘体都是稳定拓扑，比如陈绝缘体、时间反演保护Z2拓扑绝缘体、轴子绝缘体、以及大部分拓扑晶体绝缘体（包括所谓高阶（higher-order)拓扑绝缘体）。稳定拓扑最鲜明的特征是：受保护的表面态。比如陈绝缘体的手性边缘态、Z2拓扑绝缘体的螺旋表面态、轴子绝缘体的手性棱态、普通拓扑晶体绝缘体的表面狄拉克点、沙漏态、以及高阶拓扑绝缘体的棱态。 脆拓扑没有这么鲜明的可观测特征。有些文献会说脆拓扑有角态，但其实角态并不是受保护的态，因为它可以被表面势推导价带或导带中。第一个被预测为有脆拓扑的电子系统是双层转角石墨烯。所以许多人努力想找到脆拓扑的可观测效应，以期能够在双层转角石墨烯种看到。目前已知的结果有： 在我看来，这三条预言都不够好，至少没有稳定拓扑的表面态那么好。（1）其实是一个很好的角度，因为它有一个很清晰的物理图像，但是目前的证明过程依赖过分简化的超导序参量。下面说一下这个物理图像。我们先考虑一个真正平庸的半满原子晶体：原子原子之间没有任何耦合，每个原子都是开壳层的。所以能谱上这是一个金属（尽管电子不能动）。我们考虑给每个原子都加上一个在位吸引相互作用。问：这会形成超导吗？答：不会。在平均场的角度，每个原子上都会形成超导序参量，然而因为原子之间没有任何关联，这些序参量之间没有任何关系，它们之间的相互相位是随机的（也就是相位刚度为零），那么这个态是没有phase coherence的。所以不能称为超导。但是一个拓扑平带（哪怕是脆拓扑）是反原子极限的：尽管是平带，看起来电子动能为零，但其实波函数是非局域的！当序参量发生的时候，我们很难想象不同位置上的序参量相位是随机的，这些序参量的相位应该通过非局域的波函数相互绑定。这就是拓扑对相位刚度的贡献。但是目前这个图像还没有一个好的证明。 （2）其实也不好。后来的研究证明，Hofstadter谱是否闭合与脆拓扑本身没有必然关系，尽管有间接关系。 （3）则是一个物理上不态现实的情况。（3）可以在meta-material或光子晶体这样的人工系统中实现，但在凝聚态系统中是否能实现依然是一个问题。 哦，问题是有哪些资料。脆拓扑的提出 H Po, "Fragile topology and wannier obstructions," Phys. Rev. Lett. 121, 126402 (2018). 双层转角石墨烯中的脆拓扑 H Po, "Faithful tight-binding models and fragile topology of magic-angle bilayer graphene", Phys. Rev. B 99, 195455Z Song, All Magic Angles in Twisted Bilayer Graphene are Topological. Phys. Rev. Lett. 123, 036401 (2019).J Ahn, "Failure of Nielsen-Ninomiya theorem and  fragile topology in two-dimensional systems with space-time inversion  symmetry: application to twisted bilayer graphene at magic angle", Phys. Rev. X 9, 021013 (2019) 相位刚度F Xie, Topology-Bounded Superfluid Weight In Twisted Bilayer Graphene. arXiv:1805.06906 (2019). Hofstadter B Lian, The Landau Level of Fragile Topology, arXiv:1811.11786 （还有一些别的） “twisted”体-边对应关系Z Song, Twisted bulk-boundary correspondence of fragile topology. Science 367, 794–797 (2020). 超出本征值判据的脆拓扑A Alexandradinata, Crystallographic splitting theorem for band representations and fragile topological photonic crystals. arXiv:1908.08541 [cond-mat, physics:physics] (2019). 等等等等