有什么生活中常见的现象背后的物理知识很少有人知道？
这是一个看起来相当常识的问题，常识到显得很沙雕。但是里面的物理知识却非常有趣，它包含了我们初中学过的帕斯卡原理、高中学过的受力平衡和表面张力、以及大众不太熟悉的正反馈失稳现象。 当我们问「水为何能从杯子里倒出来」的时候，一个不假思索的反应就是「那当然啊，因为水受到重力作用啊」。 是的没错，水受到重力作用。但是水并不只受到重力作用，它还受到两个力：一个是大气压力 P，一个是杯底对它的压力 N。 当杯子里的水深小于 10 米（一般的杯子当然小于 10 米！），它在底部受到的大气压力大于水体自身受到的重力。也就是说，大气压力不但能够把水稳稳地托住，而且还会将水体向上挤压，使得水体对容器的器壁产生压力。 也就是说，水体在竖直方向上受到向上的大气压力，与向下的重力和器壁对它的压力达到平衡，因此我们就有这样的平衡： PA=N+G 其中 A 就是液面的面积。我们把这个平衡在液面处整理一下，在液面两侧，液体侧受到的压强就是 N 和 G 之和，空气侧是大气压 P=\frac{N}{A}+\rho gH\equiv P^\prime 就是液面受到向下的液体压强 P'，以及向上的大气压 P： P^\prime=P 因此，按照受力平衡来说，水是不会流下来的（我们都对「大气压托住水」的覆杯实验耳熟能详）。 但是，这并不符合我们的经验，我们从来就看不到一杯水能够这样倒立在杯子里。这是为什么呢？ 原因就是正反馈失稳。 简言之，在理论上，倒立杯子里的水不流下来，完全符合所有的物理定律，它必定是一种能够存在的现象，只不过它极其不稳定，所以只在理论上存在，现实中却无法维持。 我们考虑这个倒立的水面起了一个极小极小的涟漪，它不再是一个严格的平面： 由于涟漪的存在，在液体的表面，它的「水深」就不在同一个平面上了。 如上图所示，我们考虑一种简化的情况，在液面的凹陷处，其高度就升高了 h；而在液面的凸起处，其高度就下降了 h。 通过帕斯卡原理我们知道，在凹陷处和凸起处，由于高度差的存在，其内部的压强就会不同。而大气压则不可能同时和这两处达到平衡。所以我们就知道，在平静的水面上是存在着受力平衡的，但是在涟漪处就不行了。 我们考虑一个小小的凹液面处，来看看它的受力。 根据帕斯卡原理，在凹液面处，它所受到的液体一侧压强就变小了，变成了： P^\prime-\rho gh 也就是说，在这里液面受到的压力不再平衡了，来自大气的压力大于来自液体一侧的压力。 在这种不平衡的驱动下，大气压就会推动液面上升，而液面上升则会形成更大的凹液面。而更大的凹液面，则会进一步扩大这种不平衡，进而加快液面上升。 也就是说，一个初始的扰动，使得系统的响应会扩大这个扰动，这就叫正反馈。 这个过程简单表示成： 1、 一个微小的扰动导致暂时的受力不平衡； 2、 这种不平衡会驱动液面运动，而运动的方向则与初始扰动方向相同，从而使得初始扰动被扩大； 3、 被扩大的扰动导致受力的进一步不平衡； 4、 更大的不平衡导致扰动被进一步放大； 5、 从而产生更大的不平衡，导致扰动更加放大…… 所以，这个凹液面将不复存在。 不论初始的扰动多么小，这个系统本身的反馈都会把它放大，这个放大的速度，可以通过动力学方程计算出来，是成指数速度放大的。这个指数，被称作「李雅普诺夫(Liapunov)指数」。正反馈过程中，这个指数为正数。 我们知道，指数放大的速度是极其恐怖的，它就会使得液面迅速上升至杯底。水体的平衡瞬间崩溃。 同理，对于凸液面，也有同样的正反馈过程：一个微小的初始扰动，就会导致液面迅速下降，导致水立刻就流下来。 所以说，倒立的平静液面理论上存在，但是它没有任何的抗扰动能力，所以现实中不可能存在。这就是倒立的水杯中水总是流下来的原因 - 即使是受力可以达到平衡。 当然，这也就解释了「纸片托住水」的实验为何能够成功：因为纸片的存在，保证了液面的平衡，进而就能让大气压力与液体压力的平衡可以稳定存在不被微扰打破。 同样的分析我们可以应用于正立的水面。这个过程我就不重复了，容易得出这是一个负反馈过程（Liapunov 指数为负数）。也就是说： 1、 一个微小的扰动导致暂时的受力不平衡； 2、 这种不平衡会驱动液面运动，而运动的方向则与初始扰动方向相反，从而使得初始扰动被压制； 3、 被压制的扰动导致受力的不平衡被缩小； 4、 被缩小的不平衡会进一步压缩扰动； 5、 直至液面完全恢复到最初的状态。 这就解释了为何正立的水面总是稳定的。 但是，我们的讨论还没完。我们可以进一步考虑这样的现象： 当水杯的开口越来越小的时候，我们就会发现向下倒水变得不再流畅了。一开始，只是水流不畅而已：它不能连续流下来，而是变成一股一股；但是当开口小到一定的程度，它就完全流不下来了。但是随着液面开口的变小，我们的正反馈机制似乎并没有打破，为何水面变得稳定了呢？ 答案是：当液面变小时，正反馈变成了负反馈。 简言之，就是液体表面天然有收缩的倾向，这种倾向可以抵抗扰动。液面越小，这种抵抗能力越强。这个转变的关键就是表面张力。 表面张力，我们简单形象地理解，可以认为流体的两相（如气液）界面就像是一张紧绷的皮膜，这张膜在外力的约束下，总是希望尽可能地收缩。沿着它的表面就有一种张力，就是表面张力。如果你想用最形象的方式理解表面张力，你可以想象一个吹起来的气球的表面：气球的弹力使它尽量收缩从而整体形成球形。相对应地，水滴的表面张力使它尽量收缩从而形成球形。 那么我们就看到了，就像是绷紧的气球内部压力增大一样，由于表面张力的存在，弯曲的表面就会在液面的两侧形成压力差。在气球中，内部的压力肯定要大于外部压力。这种压力差，就是由气球的皮膜的张力形成的。那么，表面张力形成的压力差的大小是由什么决定的呢？ 很显然，一个决定因素就是张力的大小：皮膜绷的越紧，所能产生的压力差就越大。 但是还有另一个很重要的因素，就是表面弯曲的程度，也就是它的曲率。我们还是用气球做一个说明，例如下面这个气球：