为什么需要伊辛模型、海森堡模型、t-J 模型等一系列模型？
这几个问题都是相互联系的，一起泛泛的说一下好了。。╮(╯_╰)╭ 统一起来？是说Hubbard模型嘛？ 从最最简单的Hubbard模型出发，在不同的参数极限下，我们可以退化到Stoner模型，可以有t-J模型，可以有Heisenburg模型，可以有Ising模型，等等。。 当然，为什么会有这么多模型，实际上跟你想要关注的物理有关系。。如果你研究系统特别特别简单，一个Ising就能解决问题当然是最好的。。但是，比如说你关心的系统中，自旋各向异性没有那么强，这时候简单的Ising描述的结果不够好，你自然就会想要xxz的Heisenburg模型。。如果局域磁矩模型描述得不够好，那么你自然还会想要把巡游电子业考虑进来，研究一下t-J模型。。甚至到了另一个极限，巡游电子太多了，你发现只需要Stoner模型也能足够描述，等等。。这一切都取决于你想要关注什么物理，至少从这里，很直接的你就明白，为什么会有这么多模型了。。╮(╯_╰)╭ 另一方面，有这么多模型的原因，也是因为我们处理模型的能力不够。。从推公式的角度，mean field算出来的结果够不够精确？spin wave呢？非线性sigma呢？大N展开呢？各种slave particle呢？还有各种有效场论的方法，等等。。从算数值的角度，格子小的还能拿精确对角化，DMRG，张量网络等硬干，不然也只能做些近似，比如从状态空间抽样的各种萌卡方法，或者搭配公式进行的计算等等。。总归是我们有各种形形色色的近似方法和计算框架，但是在方法论上都大同小异，我们只能抓一部分同时扔一部分，从结果上来说，抓得准不准很考验直觉和功力的。。╮(╯_╰)╭ 在算自旋格子这里，一般都按自旋相互作用分类，但是事实上，格子也很重要。。看起来同样格子上，加了次近邻作用，实际上就完全改变了格子的结构。。以及边界条件的选择也会在很大程度上影响计算的结果，比如二维格子常见周期边界，实际上是算的轮胎面，那么基态天然地就有四重简并。。上面这些关于格子的拓扑效应也需要考虑进来。。此外，这个领域中大部分算法都会有费米子统计带来的符号问题，所以一般在双格子上的计算会比较简单，比如square，honeycomb等等， 那些不是双格子的比如三角，kagome等就很难算。。由于自旋阻措，大家很多时候都会预期spin liquid，但是也经常发现一些奇怪的stripe相。。╮(╯_╰)╭ 最后，当然有很多模型是现实中不存在的。。首先就是格子的问题。。高维的格子肯定是做不出来的，各种fractional的格子也是不行的。。另一个就是自旋相互作用了，想要精确调控相互作用是很困难的，原子间距大了导致J太小实验测不到，间距小了又会有其他各种hopping或者exchange效应出来。。往往现实都是，我新做了一个材料，再看看以前别人有没有算过或者算过类似的东西。。╮(╯_╰)╭ 举个例子，上述那些模型看起来都是比较自然的，我个人很惊讶，Kitaev算的一个honeycomb的compass模型居然有现实对应的材料。。Kitaev算了一个在honeycomb格子上，三种朝向不同的边分别对应了xyz三个不同方向的spin 1/2 Ising相互作用，然而出乎意料的是，这个模型居然是精确可解的，调节xyz三个不同方向Ising相互作用的强度，基态可以是gapped dimer或者是gapless spin liquid。。至于现实中的材料则更加奇妙了，在A2BO3的立方结构中，构造出honeycomb格子，其中d轨道原子受到晶体场和soc作用，在合适的电子填充数下可以得到有效的isospin 1/2，接着这个isospin的exchange效果，因为是edge sharing而精确抵消，其中三种不同朝向的边由于不同的edge sharing，进而在三阶微扰下由于Hundg规则给出三种不同朝向xyz的Ising相互作用。。不得不说，这个世界实在是太奇妙了。。╮(╯_╰)╭ 在未来，肯定会有更多更奇妙的模型被人们用千奇百怪的办法给做出来。。从宏观上说，肯定是时间问题，但是具体到一个特定的模型，能不能做出来，谁也不知道。。╮(╯_╰)╭ 所以说，这个领域，能长材料的人，都是爸爸。。 ╮(╯_╰)╭