代数几何在弦论中有什么作用？
代数几何在弦论主要是研究模空间。上野健尔有一篇非常入门的介绍（http://ci.nii.ac.jp/naid/110002076138 虽说是日文的，但是可以强行看一下）其实波色弦也有代数几何，比如著名的d=26维可以用Teichmuller 空间解释（不用1+2+3+\ldots=-\frac{1}{12}那套）其实Mathoverflow上已经有一个大概过程的解释（有的地方叫做Polyakov-Mumford理论）。这里我把它扩展一下： 0.非常粗糙的解释： 1.大纲 以下来自[3]1.Polyakov 作用量 Brink-Di Vecchia-Howe-Tucker 作用量（简称Polyakov作用量）是弦论的特色，不得不品尝。对于所有的X:\Sigma\to \mathbb{R}^d,黎曼面上有度量ds^2=g_{ij}d\sigma^i d\sigma^j (i,j=1,2),可以定义Polyakov作用量S(x,g)=\int_{\Sigma}g^{ab}\frac{\partial X^\mu}{\partial \sigma^a}\frac{\partial X^\nu}{\partial \sigma^b} \sqrt{g} d\sigma^1d\sigma^2，而我们需要计算的即为配分函数 Z=\int_{g\in Met(\Sigma)}Dg\int_{X:\Sigma\to \mathbb{R}^d} DXexp(-S(X,g)) 但是Polyakov作用有三个对称性 S(X^\mu+c^\mu,g)=S(X^\mu,g),c^\mu\in \mathbb{R}^d 由于这些群都是无穷维的，贡献相同的我们可以使用Faddeev-Popov方法消除，相当于我们需要在\{\mbox{Embedding}\}\times\{\mbox{Metric}\}/(\mathbb{R}^d\times \mbox{Diff}^+(\Sigma)\times \mbox{Conf}(\Sigma))上做积分，但是我们发现会多出一些东西。也就是说\int_{X:\Sigma\to \mathbb{R}^n}e^{-S(X,g)}dX=\left[\frac{\det'(-\Delta_g)}{\int_{\Sigma}d_g vol}\right]^{-d/2},d_g vol\mbox{是}\Sigma\mbox{上的volume form}这是因为我们可以把Polyakov 作用量写成S(X,g)=\sum_{\mu}\langle X^\mu, \Delta_g X^\mu\rangle，然后使用谱展开得到答案，注意\det{'}是去除0特征值的行列式。 问题划归为Z=\int_{g\in \mathrm{Met}(\Sigma)/\mathrm{Diff}^+(\Sigma)\times \mathrm{Conf}(\Sigma)}Dg\left[\frac{\det'(-\Delta_g)}{\int_{\Sigma}d_g vol}\right]^{-d/2}从而我们需要研究黎曼面的Teichmuller空间,也就是\mathcal{T}_h=\mathrm{Met}(\Sigma)/\mathrm{Diff}^0(\Sigma)\times \mathrm{Conf}(\Sigma)(作为被积空间的一个orbifold 覆盖，因为\mathrm{Diff}^0(\Sigma)是同伦于单位元的群，用这个空间是因为这样比较好算)。自然地就有\mathcal{P}:\mathrm{Met}(\Sigma)\to \mathcal{T}_h的投影映射。 2.Teichmuller 空间坐标 我们可以选取一个slice:\gamma:\mathcal{T}_h\to \mathrm{Met}(\Sigma),使得投影与其结合为单位元，那么\rho\in Met(\Sigma)上的点的坐标可以用\rho=f^*(e^\phi \gamma(t_i)),(f,\phi,t_i)\in \mathrm{Diff}_0(\Sigma)\times \mathrm{Conf}(\Sigma)\times \mathcal{T}_h来表示。继续研究三种方向上的变换(令f=\exp(\xi))，我们有如下引理： 那么对于Met(\Sigma)我们有黎曼度量\|\delta g\|^2=\|\delta \phi\|^2+(P\xi,P\xi)+(T^i,Q^m)((Q^m,Q^n))^{-1} (Q^n, T^j) \delta t_i \delta t_j,这里的Q^m是根据Teichmuller引理得到的T_t^*(\mathcal{T}_h)=H^0(X_t, (T^*{X_t})^{\otimes 2})的一组基，于是由黎曼度量诱导出Met(\Sigma)上的一个体积形式如下[Dg]=[\det(P^* P)^{1/2}][\det((Q^m,Q^n))]^{-1/2}[\det(T^i,Q^m)][D\phi][D\xi] dt_1\wedge\ldots\wedge dt_{6h-6} 由于[D\phi],[D\xi]是无穷维的，我们去掉这两项（物理学家做派），之后前式的积分就化作 \begin{align*}Z&=\int_{K}\left[\frac{\det'(-\Delta_g)}{\int_{\Sigma}d_g vol}\right]^{-d/2} d\mu_K\\ &=\int_K \left[\frac{\det'(-\Delta_g)}{\int_{\Sigma}d_g vol}\right]^{-d/2}\left[\frac{\det(P^* P)}{\det((Q^m,Q^n))}\right]^{1/2}[\det(T^i,Q^m)]dt_1\ldots dt_{6h-6}\end{align*} 定理证明分为两步，首先证明[\det(T^i,Q^m)]dt_1\ldots dt_{6h-6}与slice选取无关，那么只需要说明在F_d(g)=\left[\frac{\det'(-\Delta_g)}{\int_{\Sigma}d_g vol}\right]^{-d/2}\left[\frac{\det(P^* P)}{\det((Q^m,Q^n))}\right]^{1/2}在选取d=26时与slice选取无关。而计算这个则需要\gamma=e^{\delta \phi}g,考察\delta \log F_d(g),在Alvarez的论文中有这样的计算，不过实在是太烦了，这里就写个答案\delta \log F_d=\frac{13-d/2}{12\pi}\int_{\Sigma} R_g \delta\phi d_g(vol)，也就是证明了定理。于是我们在Teichmuller空间上就有了一个比较好的体积形式，而且它与Weil-Petersson 体积形式有以下关系d(\mathrm{Poly})=[Z_G'(1)^{-13} Z_G(2)]d(\mathrm{Weil-Pet}),其中Z_G(s)是对于Fuchsian group的Selberg zeta函数。  3.Mumford同构定理 但是这与Mumford同构定理有什么关系呢？ 为了回答这个问题，首先我们得知道什么是Mumford Isomorphism. 对于向量空间V，定义\det V=\wedge^n V,这里n是V的维数。对于任意一个\Sigma上的线丛L,定义如下记号\det H^*(L)=\det H^0(\Sigma, L)\otimes (\det H^1(\Sigma,L))^{-1} (实际上应该是对Complex定义的det，具体原因见这里)。 最后定义\omega_h\to \mathcal{T}_h是一个线丛，在局部一个点(\omega_h)_\Sigma=T^*\Sigma，则 为什么要研究\omega_h^2?这是因为它正好就是Teichmuller空间的切空间，如果在上面定义了一个黎曼度量，我们可以把它变成一个体积形式。而在\omega_h上的黎曼度量可以诱导\omega_h^2上的黎曼度量，从而诱导体积形式，这个体积形式被称作Mumford 体积形式。 而最神奇的地方在于，Mumford体积形式是Polyakov体积系数的常数倍！这是因为两者相除只能是一个关于Mapping Class Group不变的函数，且这个函数是某个全纯函数绝对值平方。这一结论表明Mumford 同构包含了Polyakov体积形式的信息。这个度量的存在应该是来源于Faltings的一个结论：如果一个层L有admissable度量，那么\det H^*(L)应该有个canonical的度量，详情可见[2]最后的一些讨论。 在超弦的超模空间上也有类似的理论(super Mumford ismorphism)，可以看[4]，这里考虑的是Berezinian而不是determinant了，不过我还没太看懂，就不献丑了。 参考： [1]Complex Geometry and the theory of Quantum Strings  by Belavin & Knizhnik [2]The Mumford form and the Polyakov measure in string theory by Belison & Manin [3]Mathematics In and Out of String Theory by Nag [4]Notes on Holomorphic Strings and Superstring Theory Measures of Low genus by Witten  代数几何还有很多别的应用，比如另外一个神奇的组合：Polchinski-Grothendieck ansatz