有哪些令人为之惊叹的数学题目？
初学线性代数的时候见过一个解法叹为观止的数学题。 A,B\in \mathbb{F}^{n\times n},\mathbb{F}为域,证明:AB与BA有相同的特征多项式. 其实这个题目用矩阵分块也可以很轻松的做出来，但我们老师给出了一个扩域的做法。 考虑域 \mathbb{F} 添加未定元y 得到的扩域 \mathbb{F}(y) ，则 Det(yI+A)\neq0 ，故 (yI-A)^{-1} 存在。 则 (yI-A)B=(yI-A)[B(yI-A)](yI-A)^{-1} 与 B(yI-A) 相似，有相同的特征多项式 \phi(x;y)=Det[xI-(yI-A)B]=Det[xI-B(yI-A)] ，再在等号两侧取 y=0 即得 AB 与 BA 特征多项式相同。 第一反应甚至无法理解这个证明（我是代数渣渣），它避开了需要讨论 y 是否为0而是直接视为未定元，让我发现原来多项式和扩域这么神奇。