统计学里有哪些振聋发聩颠覆三观的证明和定理？
高维统计（high dimensional statistics）里的一些最基础的结论当时对我的触动是蛮大的。 我完全没有想到，原来在概率的世界里高维和低维的差别这么大，我原来在低维度养成的直觉放在高围度可能完全是错误的！ 先说最简单的一个吧，有一个一维的高斯分布 N(0,1) , 那我们预期大多数的点都应该是集中在原点周围的，而离原点比较远的点应该很少。 然而， 如果说我们考虑d维高斯分布 X \sim N(0, I_d) , 你会发现 E ||x||_2^2 = d 。当d足够大的时候，也就意味着大量的点离圆心非常远，这一点和一维完全不一样。 再来一个复杂点的问题。 假设我们要去估测 X \sim N(0, I_d) 的协方差矩阵，也就是 I_d 。一个最直接的方法是抽取n个向量 Y = [y_1,y_2,...,y_n] 。如果d是固定的，那么我们让n越来越大，\frac{1}{n}YY^T 应该就会越趋近单位矩阵。 但是，假设n和d同步趋近于无穷（这也对应现在时常会出现的数据量和数据维度同量级的情况）。你就会发现， \frac{1}{n}YY^T趋近的矩阵压根就不是单位矩阵。它的特征值可能会长成这个样子。 这个图是真的吓到我了，也激发了我浓厚的兴趣。 以后有机会一定要好好学一点高维统计。 由于不是专门搞统计的，所以我对很多东西也不是了解的那么清楚，仅仅是说一些我刚学习时候的直观认识。 如果有错误的地方，欢迎大家在评论区指正。感谢 @范函子Skyline @太息 等诸君提出的宝贵意见。