中考数学压轴题道有多难？
2020年，评点2019年中考压轴题最可怕的数学题： 2019/08/09 补充一个及其坑的压轴题： 以下是正式回答： 在我教过的许多学生，学了蛮多年数学的同学，少有能够知道如何进行系统尝试进行解题。所以更多时候解题感觉像灵感一样，有时候看了能做，有时候等了许久还是不出来。之前写了关于如何解题的系统思维方法，不过只懂得方法而不执行是远远不够的。 所以，以中考压轴题为题材，以理论结合实践进行介绍，希望大家能在自己的解题过程中刻意训练自己的思维。总得来说： 1、分析题目，列出已知条件，及其你能想到的相关知识点（训练知识点连接，后期对知识熟悉了可以不用手动列出）；确定、理解未知因素，要求解或求证的目标。 2、通过思维发散（试错）和逆向搜索两种方式寻找已知到未知目标的路径。在这个过程中可以大胆猜想，小心求证；甚至可以通过去掉一些苛刻的条件或考虑一些特殊的情况，简化问题进行路径探索，分析、确定一条可行路径之后在进行有条有理的解答。 3、在平时的练习中，需要复盘解题路径的步骤，以及花一些时间从不同维度去寻找看是否有其他的路径，找出最优路径。这样知识点的连接得以最大程度加强，且能够提升解答效率。 详细文章请查看： 接下来，我将通过“中考加油站”分享解题的系统思维训练方法，一方面分享训练方法的关键；另一方面，希望帮助大家建立自己的知识联系。 读完这个问题，你可以先尝试按照这个思维过程自己试一试。 第一步：分析已知条件，列出相关知识点或推导的相关结论，明确求解问题/目标。 抛物线 y=ax^{2}+bx-4 过两个确定的点A（-3，0），B（5，-4），大部分同学能都反应出来，这个二次函数是一个确定的二次函数，通过代入法，解一个方程组，能够确定二次函数的表达式: y=\frac{1}{6}x^{2}-\frac{5}{6}x-4 这种问题第一个问题就是送分的，这种问题第一个如果计算错了，后面的计算基本上没戏了，都会错。 所以不要忘记检验一下，将点A带入进行检验： 0=\frac{1}{6}\times(-3)^{2}-\frac{5}{6}\times(-3)-4=\frac{9}{6}+\frac{15}{6}-4=\frac{24}{6}-4 是正确的，如果还不放心，可以在将另外一点B带入检验。 很多人都能做，但是得不了分，最主要的原因就是自己解题习惯和专注力不好，还没有检验的习惯。 看第二个问题，然后关于这个问题列出已知条件及其相关知识点，第2个问题是一个平面几何问题，要证明：线段AB平分 \angle CAO，也就是下图中的\angle 1=\angle 2（角平分线的定义）： 我们已经知道什么条件？ 通过二次函数解析式确定，我们能够确定的二次函数与X轴和Y轴的交点全部是确定的，求得点C坐标为（0，-4）。因为点B（5，-4），如果你从坐标不能察觉BC平行X轴的话？那么你得从图形大胆猜测是否平行，在进行求证。对称轴 x_{0}=-\frac{b}{2a}=\frac{5}{2} ，也是确定的，但目前这个问题用不到，韦达定理也用不到，不过这些知识点属于二次函数最基础的知识点了，需要大脑能够随时召唤出来。 第二步：逆向搜索法寻找路径 对于证明题比较容易的一种方式，就是假设这个结论成立\angle1=\angle2。然后看上面面这个图，你能得出哪些结论？这个就是我说的“逆向搜索”。 假设\angle1=\angle2。看这个下面图形，因为点C（0，-4）与点B（5，-4），他们纵坐标相同都为-4，所以 L_{BC} （表示线段BC所在的直线）： y=-4 与Y轴垂直，即L_{BC}//X轴 \Leftrightarrow\angle1=\angleB（两直线平行，内错角相等；平行线判定定理）也就是说在假设\angle1=\angle2时，得到\angle2=\angleB相等， \triangleABC是等腰三角形。 所以反过来，只需要证明， \triangle ABC是等腰三角形，就能得到我们的结论：\angle1=\angle2，即线段AB平分 \angle CAO。 因为点A、B、C都是确定的，所以根据任意两点的距离公式可以求得两点的距离。 两点 A(x_{A},y_{A})、B（x_{B},y_{B}） 的距离公式：|AB|=\sqrt{（x_{A}-x_{B})^2+(y_{A}-x_{B})^2}（可由勾股定理推导）。 而这里AC、BC的长度比较特别，AC使用勾股定理求得，BC使用横坐标相减得到。 因为要证明的结论一定是正确的，所以由结论推出的相关结论也一定是正确的。这样我们就通过“逆向搜索”的方法找到一条可行的路径。 从正向来看： （1）由计算|AC|与|BC|的长度 \Rightarrow\left| AC \right|=\left| BC \right| ,证明\triangle ABC是等腰三角形 \Rightarrow\angle2=\angleB。（等腰三角形的定义） （2）L_{BC}//X轴\Rightarrow\angle1=\angleB。（平行线的性质） （3）综上两步，求证结论：1=\angle2，即线段AB平分 \angle CAO。 第三步：从其他维度再看看，是否有其他路径，比较不同路径寻找最优： 我们通过二次函数确定，我们得到知道：L_{BC}//X轴，因为要证明角度相等关系，1=\angle2，其实就是把\triangleABC按照直线AB对折，且点C一定落到X轴上。 所以在平面图形中，有哪些平面图形能够对折成三角形呢？ 肯定是一个四边形，正方形可以，平行四边形是否也可以？只是平行四边形肯定不行，但是边相等的平行四边形——菱形则可以，长方形也不行。 \angle CAO明显不等于90度，所以只有菱形了。这个时候我们就可以构造一个菱形，也就是邻边相等（即四边相等）的平行四边形。 所以这个时候我们才会想到去计算|AC|与|BC|的长度 \Rightarrow\left| AC \right|=\left| BC \right| 。 要构造平行四边形，则过点B做平行于AC的线段交X轴于点D，四边形ABCD是平行四边形，且邻边相等，所以也是菱形。用菱形的性质：对角线平分对角也就证明了结论。 复盘下步骤： （1）做平行与AC的线段BD，结合BC平行X轴，得到平行四边形ABCD； （2）计算|AC|与|BC|的长度 \Rightarrow\left| AC \right|=\left| BC \right| ，得到四边形ABCD是菱形； （3）由菱形的性质，角平分线平分内角，结论得证。 这两种解题路径通过逆向分析，只是看待的维度不同，进一步引导我们去寻找达成目标的条件，所涉及的知识点是不同的，路径1是用到了平行线性质和等腰三角形的概念，等式的传递性；路径2则是构造了菱形，应用菱形本身的性质。但其实这些知识都具有一定的相关性： 菱形关于对角线对称，是邻边相等的平行四边形，且由两个等腰三角形组成，还能想到对角线平分对角，形成4组相等的角，且两条对角线的交点是对角线的中点，对角线垂直等。 这样我们对这些相关知识点的联系都得到了进一步的加强稳固。 第三问，就用到了二次函数的对称轴，要在对称轴上找一个点M，使得三角形ABM是直角三角形，并且AB是直角边，也就是说点A是垂点或者点B是垂点，即 MA\bot AB 或 MB\bot AB 。问是否存在，存在要求出坐标，不存在要说明理由。 同样分析一下，已知条件是点M在对称轴上，所以M的坐标（ \frac{5}{2} ，m）表示。我们可以先想像一下，当点M从X轴（点F）向上面无穷远处移动时，直线AM会逼近垂直X轴的直线 L_{A} ， \angle MAB逼近一个钝角，所以反过来，当点M从无穷远向下移动，靠近X轴点F的过程，一定有一个点M使得MA\bot AB。 同理在点F下方移动到负无穷远时，一定也有一个点M使得得MB\bot AB。请想一想为什么不是MA\bot AB？ 因为就算点M在X轴下面不论多远，MA所在直线逼近L_{A} ，\angle MAB 逼近一个锐角，所以是不可能垂直于A点。同理M点在X轴上方时，也不能垂直于B点。 当然这些分析在大脑中进行就好了，不用写在解题过程中，但动点问题，移动的这个过程思维非常重要，能够让我们对问题理解更加深刻。 对于这类是否存在的题。可以类似看成求证题，假设存在，得到一个条件，与其他已知条件进行求解，能够求解出来，则存在，求解不出来，可以说不存在。当然前提是你的方法是正确的。 所以，通过我们的分析，存在两种情况，这里我主要分析在X轴上方的情况。大家可以考虑在下方的情况如何快速求解。因为点M横坐标是知道的，只需要求纵坐标m即可，也就是上面MF的长度。 我们看到在三角形ABM中有很多直角三角形，例如 Rt\triangle AME、Rt\triangle AMF、Rt\triangle AFE 。这个时候可以同相似三角形进行求解，当然如果你熟悉射影定理，也可以直接使用： |AF|^{2}=|MF|·|EF| 点A是确定的，点E也是确定的，用（ \frac{5}{2} ，e）表示，并且点E在直线AB上，通过定点A（-3，0）、B（5，-4）使用待定系数法 L_{AB}：y=kx+b 求出直线AB的表达式L_{AB}：y=-\frac{1}{2}（x+3），点E（ \frac{5}{2} ，e）在直线AB上，在就能得出e=-\frac{11}{4}。 |AF|^{2}=|MF|·|EF|\Leftrightarrow  [\frac{5}{2}-（-3）]^{2}=m·|e|=m·\frac{11}{4} \Rightarrow m=11 。 所以在X轴上方，存在点M （\frac{5}{2}，11） 。同理可以求得下方还有一个点（大家可以自行运算）。 这是利用平面几何中相似三角形推导出来的射影定理进行求解，如果你不知道这个定理。也同样可以使用两个相似三角形线段成比例同样可以求解： \triangle AMF \sim \triangle EAF \Rightarrow \frac{|AF|}{|MF|}=\frac{|EF|}{|AF|} \Rightarrow |AF|^{2}=|MF|·|EF| （相似三角形对应线段成比例也可以推导出射影定理。） 另外，从纯代数的解析几何方式来看，利用勾股定理，将点M、A、B的坐标带入两点距离公式，也同样可以求解出来： |MA|^{2}+|AB|^{2} =|MB|^{2}   ，注意点M的取值，m>0。 |MA|^2={[\frac{5}{2}-（-3）]^{2}+(m-0)^2} 同理，用两点距离公司，可以求出 |AB|^{2} 和 |MB|^{2}   ，进而通过等式求出m。 综上，我们也找到了第3个问题的两种路径： 通过假设存在。 第一：利用存在的条件和已知点的坐标，通过相似三角形或射影定理，分别求出点M在X轴在上方和下方时的坐标。 第二：通过勾股定理和两点的距离公式建立等量关系进行求解。 第一种是平面几何的相关知识，第二种是解析几何的解法。对于熟悉射影定理的同学来说，通过第一种较为高效。 所以，通常在解题的过程中，要可以去训练自己这样的系统思考过程。这样不论是初中学习还是高中学习，都能够做到从容不迫。 纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。 都看到这里了，顺手点个赞啦！，点赞+喜欢+收藏，彼此鼓励！为考试攒人品，为答案更新添动力！ 为初三的同学们准备中考第一复习计划，有兴趣的可以点击下方了解： 另外，可以专注我另外一个专栏，主要分享数学的学习方法及其有趣的数学： 为了讲解解题的系统思考——波利亚解题法，开了个中考加油站的专栏，欢迎关注： 最近面向初三同学开了一门波利亚解题课，欢迎大家了解，相信你会有兴趣： 为准备冲刺压轴题的同学们写了一偏独家总结大法： 