纽结理论的前景如何？近年来有什么重要的发展？
我觉得前景很好，但应该学一些contact geometry。研究knot theory，很重要的问题是要找到complete knot invariant。就像对于smooth manifold Q 而言，它的smooth structure可以被cotangent bundle T^\ast Q 上的symplectic structure detect一样，对于knot或link K\subset\mathbb{R}^3 而言，我们也可以考虑用Legendrian contact homology来构造knot invariant。具体说来，我们可以考虑 K 的conormal bundle，它定义了一个Lagrangian submanifold L_K\subset T^\ast\mathbb{R}^3 ， L_K 和cosphere bundle S^\ast\mathbb{R}^3 的intersection定义了一个Legendrian submanifold \Lambda_K\subset S^\ast\mathbb{R}^3 .容易看出， \Lambda_K 在拓扑上是个torus，它作为Legendrian submanifold的Legendrian isotopy class在某种意义上决定了 K 的smooth isotopy class。就像Lagrangian Floer cohomology和Fukaya A_\infty -algebra（up to quasi-isomorphism）定义了Lagrangian submanifolds的Hamiltonian isotopy invariant，Legendrian contact homology \mathit{LCH}^\ast(\Lambda_K) 以及它的underlying dg algebra \mathit{CE}^\ast(\Lambda_K) 的quasi-isomorphism type是最自然的 \Lambda_K 的Legendrian isotopy invariant，它称为knot contact homology。 定理 （Ekholm-Etnyre-Ng-Sullivan） 假如两个braids的closures定义了isotpic links K_1 和 K_2 ，则存在quasi-isomorphism \mathit{CE}^\ast(\Lambda_{K_1})\cong \mathit{CE}^\ast(\Lambda_{K_2}) 。特别地，knot contact homology是link invariant。 可以证明， \mathit{CE}^\ast(\Lambda_K)  detects unknot，并且它的enhanced version是complete knot invariant。 相关文献： 就像我之前多次强调的那样，我们也可以从组合数学，以及sheaf theoretical的角度来理解knot contact homology： 另一个我认为很有趣的方向是Legendrian torus knot和cluster variety之间的联系。对于Legendrian (p,q)  torus knot K_{p,q} ，可以考虑microlocal rank 1 constructible sheaves on \mathbb{R}^2  with microlocal support in K_{p,q} 的模空间 \mathscr{M}_1(p,q) 。熟悉sheaf语言和几何语言之间的转换的人可以看出 \mathscr{M}_1(p,q) 其实是 \mathbb{R}^4 的infinitesimal Fukaya category中某些objects的模空间，而这些objects可以看成是 K_{p,q} 的exact Lagrangian fillings。 定理（Shende-Treumann-Williams-Zaslow） \mathscr{M}_1(p,q) 可以identify成 \mathit{Gr}_p(\mathbb{C}^{p+q}) 中的open positroid variety，模掉 (\mathbb{C}^\ast)^{p+q} -action。 我们都知道，moduli space of objects in Fukaya category应该有在mirror symmetry意义下的解释，但是这个结果和mirror symmetry的关系我并不清楚。 参考文献： 另一个研究knot invariant的approach就是gauge theory，但我对Kronheimer和Mrowka的工作知之甚少。他们用gauge theory证明了Khovanov homology detects unknot: 