有一个小球，表面绝对光滑，且可以看做刚体，如果它无时无刻不在自旋，该怎么证明它是自旋而非静止不动呢？
更新：我看到包括 @奶牛小雪球 同学在内的很多人谈到了这个问题里关于“小球旋转”的定义问题，严格来说这已经不算物理问题了（见下文）。在物理里面，我们针对“小球具有可测量的角动量”这个问题达成一致后，就没有继续探讨的必要了。但是我愿意说一下我对这个问题的看法。 首先，我们都能达成一致的是，这个小球是有可测量的角动量的，那么问题归结于角动量是否可以归结为“小球的旋转”。在我看来，此问题更是一个习惯性认知的问题，而非物理问题，因为物理必须针对有确切意义的物理量做出测量，而“小球的旋转”是一个经验性、习惯性的说法。很多同学之所以质疑针对这个小球是不是有讨论旋转的必要，实际上是因为在日常生活经验中，当我们谈及“一个球在旋转”时，一般指的是我们可以看到的，球表面/内部有某个结构（比如有一个有颜色的点），在确切地发生运动，而这点对于题目中的小球是不可能的。但是我不禁要问，我们为什么要使用这样一种经验性的看法，来讨论即使已经不适合经验（如这个小球）的所有事情呢？难道因为我们习惯于这种看法，就认为它一定是事物的本质吗？“具有角动量的小球”和“不具有角动量的小球”在它们激发的引力场上以及其他动力学性质上有显著的不同，而这个不同被一个称之为“角动量”的参数完美地区分开了。而且我们甚至发现，对于一个正常的，表面可以做标记的小球，这个称为“角动量”的参数可以完美地刻画我们习惯认知（比如，观察颜色点运动）上的“小球转得快还是转得慢”的概念，即它对于某些特定情形（表面可做标记的小球）可以退化为一个我们习惯认知的“旋转”概念。那么，这个“角动量”参数，难道不是代表了相对于我们习惯认知的“旋转”的一种更为广泛的情形吗？那我们为什么要拘泥于关于“旋转”的习惯性认知呢？ 幸运的是，现实中的小球绝不可能没有表面结构，所以不会陷入这种争论。但是这不意味着这个问题完全被避免了，我可以举两个例子。 第一个例子就是粒子的自旋（spin），这个名字可以看出，它是和自转有关的。实际上这个模型一开始提出的时候，就是假设基本粒子是一个在转的小球。但是我们现在知道，基本粒子是没有内部结构的，甚至有时候都没有确定的位置。这样的话基于习惯认知的“旋转”图像，对于基本粒子是不存在的。那我们为什么还要把它称之为自旋呢？这当然有历史原因，因为一开始它就叫自旋。但是还有一个原因，就是粒子的“自旋”实际上是被一个可测量的物理量“自旋角动量”所代表的。也许自旋角动量不代表任何“绕着自身旋转”的意思，但是这个参数可以具有和一般的量子力学中的角动量（称为轨道角动量）完全一样的对易关系和相加法则。它当然有所不同：它在坐标系旋转下的变换性质与轨道角动量不一样，它可以取半整数，而且它是完全内禀的。但是与其把它考虑成一个完全不同的物理参数，为什么不选择推广角动量的定义，去脱离我们对轨道角动量所理解的代表“空间旋转”的角动量（此处是量子力学意义下，而不是前文所述的习惯认知的“旋转”，感谢评论区同学指正），而达到一个更普遍的概念呢？实际上我们就是这么做的，一切满足特定对易关系的量子力学量，都称为（量子力学的）角动量。 第二个例子可能更接近于本问题描述的小球，那就是Kerr黑洞的自转参数 a （实际上就是角动量的大小，只是为了方便除以了一个系数，参见本回答最后的详细定义）。Kerr黑洞是广义相对论里的轴对称时空解，其本质上是一个时空结构，在没有其他物质的引力作用的情况下，是真正的完美的轴对称的物体，因为它的一切性质只取决于4个参数：质量，角动量（角动量是矢量所以有3个参数）。质量是一个没有方向的量，角动量只有一个方向，它指明了这个黑洞的自转轴方向，它的大小决定了时空的形状，但是除了自转轴方向外，任何与其垂直的方向就再也没有区别了。对于这样一个物体，当然不可能观察到任何习惯认知的“旋转”，因为从它的轴出发任何方向都没有区别，也不可能有可观测的结构。那我们为什么要认为决定这个时空形状的参数 a 和黑洞的“旋转”有关呢？因为我们发现Kerr黑洞可以由一个引力坍缩的旋转恒星形成，对于这个恒星，不管是习惯意义上的旋转还是它的角动量，都是没有异议的。当恒星变成黑洞的那一刻，我们习惯认知上的“旋转”不存在了，因为一切表面结构都被吞没了，但是我们发现与旋转对应的角动量恰好可以被Kerr黑洞的自转参数继承。更重要的是，如果我们往黑洞里扔一个具有角动量的物体，它的自转参数会增长，而与我们扔进去的物体角动量吻合，这符合了角动量的守恒定律。因此我们有理由相信：Kerr黑洞这个“参数”与我们认知的“角动量”没有区别，它就是黑洞的角动量。基于同样的原因，我们可以推广我们基于经验的对“旋转”的认知，把Kerr黑洞称为“旋转的黑洞”。 基于这种观点，我认为小球具有可测量的角动量，就是可以知道小球“是否旋转”的最有力证明。当然，其他同学仍然可以坚持他们的习惯性认知观点，而把这种新的认知叫一个新的名字（比如说“转旋”）。物理学家一般不会陷入这种问题的讨论，因为这无非是你怎么称呼一件事的问题，对物理实质是没有任何影响的，毕竟我们真正关心的是你永远都能测到“角动量”，而不是它叫什么名字。 原答案： 只要小球有质量，就可以使用旋转物体的引力效应来测量。在广义相对论中，一个旋转的球和不旋转的球所激发的万有引力是不一样的（这个不同是纯粹的相对论效应，具体技术细节见本回答最后），因此可以通过测量这个引力场来得知它的自转角动量。这里我只假设了小球有质量一个因素，很多答主从小球的热辐射、反射、磁场等等角度来考虑，当然不是说他们是不对的，但是我觉得这些性质都属于这个小球附加的物理属性（比如热辐射要涉及小球的微观结构）。在我们不考虑所有附加物理属性的情况下，质量是小球最为基本的物理属性，而只要有质量就可以用我所说的方案。 @奶牛小雪球 同学的原始回答是正确的，但是更新部分是有问题的。她认为不能使用广义相对论效应测量的论点主要有2个：1. 转动动能根据等效原理可以算作静质量的一部分，因此在广义相对论下没有可观测效应；2. 质量完全均匀分布的绝对稳态旋转球体，其质量分布在时空中完全没有变化，因此不能定义角动量。第1点的错误在于：尽管根据等效原理，转动动能和静质量不可区分，但是能量项仅仅是广义相对论描述完整引力场的爱因斯坦场方程的一个分量（ G^{00}=8\pi T^{00} ），而爱因斯坦场方程是一个有10个分量的偏微分方程组（尽管这10个分量并不都是独立的），而与角动量有关的引力项解自爱因斯坦场方程的其他分量（参见最后的细节），因此自然会产生对引力的影响，从而有可观测效应；第2点的问题在于，对于连续介质体系，体积元的相空间至少还有三个动量维度，完整描述体系的是六维相空间的分布函数 f(\vec{x},\vec{p}) 。尽管完全稳态旋转的球体质量的时空分布不变，但这只是位形空间里的结论，而相空间中，静止与旋转的球体绝对是有所区别的。这点可以类比流体力学，一截有着静止液体的水管和有均匀稳定的水流过的水管，尽管任意时刻其内部的液体质量分布都相同，但是对水管壁的压强一定有着不同的效应，这个效应的来源就是相空间分布函数的不同。 另外，与很多同学不同的是，我不认为这是一个完全没有物理意义的问题。当然，理想的绝对光滑，刚性，稳态旋转，且在任何尺度下都没有微观结构的小球是不存在的。但是理论物理学本身研究的对象都是理想而不在现实中存在的模型（举个例子，在现实世界中，万物之间均有相互作用，所以理论上任何一个不把全宇宙所有物质考虑进来的物理模型都是与现实有偏差的）。我们之所以忽视那些“非理想”的部分，比如摩擦、非刚性、微观结构等，并非因为它们不存在，而是因为它们的效应足够小，以至于：1. 我们在观测精度要求的范围内，忽略这些因素不会对我们针对理想模型分析产生的主要结论产生影响；2. 对它们的测量需要目前不可能达到的测量精度，以至于我们不可能使用这种方法来获得我们想知道的信息。 在这个小球的模型中，尽管理想状况并不存在，但是现实生活中的确有非常接近这个模型的例子。比如说自转较低且没有磁场的中子星就近乎是一个完美的球体，因为其表面引力太大，任何表面的一点点突起都会被抹平到一个极小的范围[1]，而且由于中子星的距离过于遥远，也不可能测试它是否是刚性的，或者观测里面的粒子运动。如果我们要测量这个中子星的自转，显然平常的一些方法（如：观察表面结构的运动，使用激光加热球体表面某一点）就不可能适用了。在天体物理学中，实际上一类重要的估计致密天体（主要是黑洞，因为一般观测到的中子星都有很强的磁场，可以提供更准确测量）自转的方法就是基于其外部引力场的广义相对论效应[2]。具体来说，旋转的中子星/黑洞外的引力场会影响一个叫“最小稳定圆轨道”（Innermost Stable Circular Orbit, 简称ISCO）半径的物理量，而它的数值是依赖于黑洞/中子星的自旋的（参见最后）。它的大概意思就是说，在这个黑洞/中子星外部的引力场里，任何物体如果绕着黑洞/中子星进行圆周运动，那么这个圆轨道的半径不能低于ISCO半径，否则这样的圆轨道是不稳定的。中子星和黑洞的附近一般是会有其他物质的（如气体），在旋转黑洞/中子星的引力场作用下，这些物质会形成一个环形的盘状结构（吸积盘），显然这个环的内半径就应该是ISCO半径，因为再往里的物质已经不能达成稳定的旋转了。尽管我们无法观察中子星/黑洞的细节，但是这个环我们是可以通过一些办法测量出它的内半径的（当然这个办法也很复杂，这里就不做展开了）。有了内半径我们就知道了ISCO，就可以根据与中子星/黑洞自旋计算出的ISCO进行对比来获得中子星/黑洞的自旋。 下面是关于本问题的一些技术细节[3]： 为了简洁起见，考虑弱（线性）引力场近似，即把引力度规 g_{\mu\nu} 展开为Minkowski度规 \eta_{\mu\nu} 和一个小量 h_{\mu\nu} 的和： g_{\mu \nu}=\eta_{\mu \nu}+h_{\mu \nu} 这样爱因斯坦场方程可以线性化为： h_{\mu\alpha,\nu}^{\;\;\;\;\;\,\alpha}+h_{\nu\alpha,\mu}^{\;\;\;\;\;\,\alpha}-h_{\mu\nu,\alpha}^{\;\;\;\;\;\,\alpha}-h_{,\mu\nu}-\eta_{\mu\nu}(h_{\alpha\beta}^{\;\;\;,\alpha\beta}-h_{,\beta}^{\;\;\beta})=16\pi T_{\mu\nu} 其中 T_{\mu\nu} 是能动张量，h 是 h_{\mu \nu} 的迹（ h \equiv h^\alpha_{\;\;\alpha} ）. 这个方程可以通过定义广义相对论意义下的“引力势” \bar{h}_{\mu \nu}\equiv h_{\mu \nu}-\frac12\eta_{\mu \nu}h 进一步简化为： -\bar{h}_{\mu\nu,\alpha}^{\;\;\;\;\;\,\alpha}-\eta_{\mu\nu}\bar{h}_{\alpha\beta}^{\;\;\;,\alpha\beta}+\bar{h}_{\mu\alpha,\;\;\nu}^{\;\;\;\;\alpha}+\bar{h}_{\nu\alpha,\;\;\mu}^{\;\;\;\;\alpha}=16\pi T_{\mu\nu} 通过选取规范（Lorentz gauge） \bar{h}^{\mu\alpha}_{\;\;\;,\alpha}=0 （这一步是可行的，证明略），场方程简化为 -\bar{h}_{\mu\nu,\alpha}^{\;\;\;\;\;\,\alpha}=16\pi T_{\mu\nu} 这个形式就是一般的有源的波动方程（d'Alembert算符作用在\bar{h}_{\mu \nu} 上， T_{\mu\nu} 是源），因此它的通解可以写为推迟势： \bar{h}_{\mu\nu}(t,\vec{x})=\int\frac{4T_{\mu\nu}(t-|\vec{x}-\vec{x}'|,\vec{x}')}{|\vec{x}-\vec{x}'|}d^3x' 可以对上述通解进行多级展开. 在小球的静止坐标系（ \int T^{0j}d^3x=0 ）做上述展开，并且取坐标原点为小球的质心（ \int x^jT^{00}d^3x=0 ），舍去高阶项后，换回原变量 h_{\mu\nu} ，并且通过合适的规范变换后得到度规（引力场），这里省略了与引力波有关的项（真空解）： ds^2 = -\bigg(1-\frac{2M}{r}\bigg)dt^2-4\epsilon_{jkl}S^k\frac{x^l}{r^3}dtdx^j+\bigg(1-\frac{2M}{r}\bigg)\delta_{jk}dx^jdx^k 其中 M 和 S^k 是小球质量和内禀角动量： M\equiv\int T^{00}d^3x\\ S_k \equiv\int\epsilon_{klm}x^lT^{m0}d^3x 可以看到度规除了对角元所对应的，只和质量有关的牛顿引力之外，还有完全出自广义相对论的非对角元项 g_{0j}=-4\epsilon_{jkl}S^k\frac{x^l}{r^3} . 这项与小球的内禀角动量直接相关. 因为小球的自旋影响了其外部的引力场，因此可以通过外界物体在外部引力场的运动来测量小球的自旋. 以上讨论为了简便起见局限在弱引力范畴，在强引力范畴下，如很多答主指出的，旋转球体外部引力场的完整描述是Kerr度规。在Kerr度规下我所提到的ISCO半径可以写为[4]： r_\text{isco}=\frac{GM}{c^2}\bigg(3+Z_2\pm\sqrt{(3-Z_1)(3+Z_1+2Z_2)}\bigg) 这里的 \pm 符号是因为圆轨道转动方向与黑洞自旋方向是否一致也是一个决定因素，这里面 Z_1=1+(1-a^2)^{1/3}((1+a)^{1/3}+(1- a)^{1/3}) , Z_2= \sqrt{3a^2+Z_1^2} ，而 a\equiv Jc/GM^2 是描述黑洞自旋的无量纲参数，取值范围为0到1，如果 a 大于1，黑洞的视界就不再存在，我们一般不认为这种事情会发生.