旋度为零的场一定是某个数量场的梯度吗？
问题本身比较容易，简单补充两句吧。 之前我发现很多人分不太清楚基本群（同伦群 \pi_1）和一阶同调群 H_1 以及一阶上同调群 H^1，因为直观地理解“它们都是数这个空间有几个洞”。这个问题又是一个典型的例子：上物理课的时候都会告诉我们，“旋度为零的场一定是某个数量场的梯度”这个命题成立需要空间是单连通的。这句话并不是太准确，术语“单连通”通常是指基本群 \pi_1 平凡。 旋度为零的场一定是某个数量场的梯度，当且仅当空间（流形 M）的一阶 de Rham 上同调群 H^1_{\text{dR}}(M) \cong H^1(M;\mathbb R) 平凡，这差不多也是为人熟知的内容了，详情可见另一个回答。在卢健龙的例子中也能观察到这个现象。 如果 M 是单连通的，那么确实 H_1(M;\mathbb Z) = 0，因为 Hurewicz theorem 告诉我们 H_1(M;\mathbb Z) \cong \pi_1(M) / [\pi_1(M),\pi_1(M)]（当然肯定都是考虑连通的流形；如果不连通就只考虑我们关心的某个连通分支）。从而由万有系数定理知 H^1_{\text{dR}}(M) \cong H^1(M;\mathbb R) \cong \mathrm{Hom}(H_1(M;\mathbb Z),\mathbb R) = 0。  但反过来却不一定了。首先 H^1(M;\mathbb R) = 0 并不意味着 H_1(M;\mathbb Z) = 0，这里有个系数的问题，可能有 torsion；其次即使 H_1(M;\mathbb Z) = 0 也不意味着 \pi_1(M) = 0，Hurewicz 定理只告诉我们 \pi_1(M) 这个群等于它自己的交换子，即阿贝尔化之后是平凡群。这种群也称为 perfect group。 那么就会考虑，是否有这样的流形 M，满足 H_1(M;\mathbb Z) = 0 但却不是单连通的。恰好在 MathOverflow 上有这么一个问题： 不过里面大部分例子要看懂都不太容易。排第一的回答也是最容易看明白的例子是 homology sphere，也就是这么一个流形，它的同调群和球面一样，但和球面长得不一样（不同胚）。维基百科的链接有更详细的说明。  另一方面，满足 H_1(M,\mathbb Z) \neq 0 而 H^1(M;\mathbb R) = 0 的例子也不难找到，最简单的比如 M = \mathbb R \mathrm P^n，也可以加上 n 是奇数的条件来保证可定向，比如取 n = 3。此时 H_1(M;\mathbb Z) = \mathbb Z_2，自然 H^1(M;\mathbb R) = 0。 当然我们也可以直接来说明 n > 1 时 H^1_{\text{dR}}(M) = 0。记球面 S^n 到射影空间 M = \mathbb R \mathrm P^n 的投影为 \pi : S^n \to \mathbb R \mathrm P^n。假定 \alpha \in \Omega^1(M) 是闭形式，那么 \beta := \pi^* \alpha \in \Omega^1(S^n) 也是闭形式。由于在 n > 1 时 H^1_{\text{dR}}(S^n) = 0，可知 \beta 也是恰当的，不妨设 \beta = \mathrm d f，这里 f 是 S^n 上的光滑函数。 我们希望把 f “降”到 M 上来完成证明，这就必须要 f(x) = f(-x)，即在对径点上取值相同，但一般来说这当然是不满足的，所以我们考虑构造另一个函数 h 满足 \mathrm d h = \beta 且 h(x) = h(-x)。注意到 \beta = \pi^* \alpha 当然是在对径点上取值相同的——但这句话并不明确，因为我们没法比较两个不同点上的余切空间，除非指明如何“比较”——具体来说，记 T(x) := -x 为对径点映射，那么有 \beta = T^* \beta，即 \beta_x = \beta_{-x} \circ (\mathrm d T)_x。现在令 g(x) := f(-x)，即 g = f \circ T = T^* f，那么 \mathrm d g = \mathrm d (T^* f) = T^* (\mathrm d f) = T^* \beta = \beta，于是函数 h := (f+g)/2 就是满足要求的函数了。