怎么理解相速度和群速度？
地球人都知道，波可以用一个正弦函数描述 y=A\sin(kx-\omega t) 其中， A 是振幅， k=2\pi/\lambda 是波数，\omega=2\pi/T 是角频率。波的传播速度 v=\lambda/T = \omega / k . 波的叠加遵循简单的相加原则。举个例子，我们有两列除传播方向相反外、其它都一样的波， y_1(x,t)=A \sin(kx-\omega t)  y_2(x,t)=A \sin(kx+\omega t) 那么当这两列波相遇时，合成的波就是 y_1+y_2=A[\sin(kx-\omega t)+\sin(kx+\omega t)] 利用正弦和差化积公式，我们可以将中括号中的两项合并，因此 y_1+y_2=2A\sin(kx)\cos(\omega t) 显然，这是一个驻波。画出图来是这样的： 波的叠加就是这么简单。 2. 不同频率波的叠加 现在我们来考虑两个不同频率的波叠加。假设这两个波朝同一个方向运动，那么 y_1(x,t)=A \sin(k_1x-\omega_1 t)  y_2(x,t)=A \sin(k_2x-\omega_2 t) 合成的波就是 y_1+y_2=A [\sin(k_1x-\omega_1 t)+\sin(k_2x-\omega_2 t)] 同样可以利用和差化积公式，可以得 \begin{aligned} y_{1}+y_{2} &=2 A \sin \left(\frac{k_{1} x-\omega_{1} t+k_{2} x-\omega_{2} t}{2}\right) \cos \left(\frac{k_{1} x-\omega_{1} t-k_{2} x+\omega_{2} t}{2}\right) \\ &=2 A \sin \left(\left(\frac{k_{1}+k_{2}}{2}\right) x-\left(\frac{\omega_{1}+\omega_{2}}{2}\right) t\right) \cos \left(\left(\frac{k_{1}-k_{2}}{2}\right) x-\left(\frac{\omega_{1}-\omega_{2}}{2}\right) t\right) \\ &=2 A \sin \left(k_{\text {avg }} x-\omega_{\text {avg }} t\right) \cos \left(\frac{\Delta k}{2} x-\frac{\Delta \omega}{2} t\right) \end{aligned} 其中， k_{avg} 和 \omega_{avg} 分别代表两个波的平均波数和平均角频率，而 \Delta k 和 \Delta \omega 分别代表两个波的波数之差和角频率之差。需要注意的是， k_{avg}>\frac{\Delta k}{2} ，也就意味着和式中， \cos 那一项空间频率更低，成为叠加波的包络，这个包络的速度就是群速度。 \sin 那一项空间频率更高，其对应的速度就是相速度。因此，相速度(Phase Velocity)： v_p = \frac{\omega_{avg}}{k_{avg}} 群速度(Group Velocity)： v_g = \frac{\Delta \omega}{\Delta k} 如果 y_1 和 y_2 传播速度相等，也就是 \frac{\omega_1}{k_1}= \frac{\omega_2}{k_2} ，那么，经过简单的运算便可证明 \frac{\Delta \omega}{\Delta k}=\frac{\omega_{avg}}{k_{avg}} 也就是群速度和相速度相等。不同频率的光在真空中传播时，便是这种情况，群速度和相速度相等。下动图中，画出了两列波 y_1=\sin(10x-20t) ,  y_2=\sin(11x-22t) 以及它们的叠加波 y_1+y_2 .从图中可以看出，叠加波中，包络前进的速度（群速度）与包络下高频波前进的速度（相速度）相同。根据公式验算一下便知道， y_1 和 y_2 传播速度相等，群速度和相速度也相等，都等于2。 3. 不同频率不同速度波的叠加 上面我们考虑的波传播速度都是相同的，也就是 \omega /k=constant . 现在我们考虑不同频率不同速度波的叠加。公式和上节一毛一样，只不过 \frac{\omega_1}{k_1}\neq \frac{\omega_2}{k_2} ，这时，群速度 v_g 和相速度 v_p 就不会相等 \frac{\Delta \omega}{\Delta k}\neq \frac{\omega_{avg}}{k_{avg}}  光在介质中传播时，不同频率的波传播速度不一样，这时候，叠加波的群速度和相速度就不会相等。下图画出了两列波 y_1=\sin(10.1x-20t) ,  y_2=\sin(11.66x-22t) 以及它们的叠加波 y_1+y_2 .从图中可以看出，叠加波中，包络前进的速度（群速度）比包络下高频波前进的速度（相速度）要小，也就是 v_g<v_p 绘图代码