现代数学和理论物理已经发展到怎样一个令人震惊的水平了？
个人觉得令人震惊的水平，不等于形式上的复杂和难以理解。 到目前为止最令我震惊的理论依然是，最小作用量原理。大一的时候，院里一位大牛教授给我们上课讲过一句话：一切物理过程，都对应着一个作用量的极值。 例如，理论力学里求受力和运动轨迹，只需要写出拉格朗日量做个变分就得到了。 同理，广义相对论里面的爱因斯坦场方程，严格的推导也是写出作用量变分。 更不用说量子场论里面大部分工作都在玩各种拉格朗日量。 那些目前不满足这个假设的物理过程，只是以人类的能力，暂时还没有找到这样的作用量而已。 这么想一想，就觉得这个世界的本质是多么的优美。甚至有怀疑上帝的存在，要不然为什么所有的过程都是取极值？ 知道很多人点开这个问题，其实想知道的是现代数学和理论物理有多变态，形式多么复杂。那就随便说几个自己知道的。 N = 4 supersymmetric Yang–Mills (SYM) theory is a mathematical and physical model created to study particles through a simple system, similar to string theory, with conformal symmetry. It is a simplified toy theory based on Yang–Mills theory that does not describe the real world, but is useful because it can act as a proving ground for approaches for attacking problems in more complex theories. 划重点， It is a simplified toy theory。行吧，toy model我都看不懂了。(Ｔ▽Ｔ) 卡拉比–丘流形（Calabi–Yau manifold）在数学上是一个的第一陈类为0的紧致n维凯勒流形（Kähler manifolds），也叫做卡拉比–丘 n-流形。数学家卡拉比（Eugenio Calabi）在1957年猜想所有这种流形（对于每个凯勒类）有一个里奇平坦的度量，该猜想于1977年被丘成桐证明，成为丘定理（Yau's theorem）。因此，卡拉比–丘流形也可定义为“紧里奇平坦卡拉比流形”（compact Ricci-flat Kähler manifold）。 丘成桐的成名作，一个很抽象的数学流形，但是跟超弦理论关系很大。以及这个流形长下面这个样子。 大家听的比较多的是物理上的大统一理论，朗兰兹纲领是对应的数学的大统一理论。 朗兰兹纲领（Langlands program）是数学中一系列影响深远的构想，联系数论、代数几何与约化群表示理论；纲领最初由罗伯特·朗兰兹于1967年在一封给韦伊的信件中提出。 E. Witten做了一些相关的工作，在2015年的一次采访中Witten说了这样一句话，“那个时候，我感觉发现了生命的意义，但是没办法把它给任何人解释清楚”。 Witten被称为当代最聪明的物理学家之一，能对朗兰兹纲领给出这么高的评价，可见其重要性。 群论刚刚诞生的时候，只是用于证明五次方以上的方程没有通解。以及用来描述一些几何结构的对称性，现代的群论发现已经到了越来越抽象的程度。 关于李群的介绍：善人之资：MP67：典型群(1)：拓扑性质  范畴论则是更高程度的抽象理论， 听数学专业的同学说，代数几何处于理论数学鄙视链很高的位置。也是一门极其抽象的理论。 基本的几何知识，我们在小学就学过。几千年前欧几里得的《几何原本》也已经总结了很多结论。什么三角函数，各种高中几何题对于大多数人已经是折磨了。 但是到了现代代数几何，更是抽象难懂到变态级别。 理论物理里的一些fancy的东西，也都是那种看到形式被吓傻半天的理论。   [1 ]朗兰兹纲领 [2] Geometric Langlands, Khovanov Homology, String Theory [3] N = 4 supersymmetric Yang-Mills theory [4] 代数几何 [5] 基本都是wiki，太多懒得贴链接了.... 最后欢迎关注专栏，有时会聊物理 