物理计算过程中，对高阶小量的约去究竟是物理层面上的近似，还是数学层面上的严格相等？
是严格相等的, 这也是高数课上算稍微有点儿价值的三大内容之一. 所谓 \[\text{d}f(x)\], 你形式上完全就可认为是 \[\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left[ f(x+\Delta x)-f(x) \right]\] 但暂不算出来的意思. 所以实际上, 力学中的运算是全程都在极限过程中进行的, 只是没把极限符号写出来且只在最后一步才把这个极限的结果算出来罢了. 在力学上会用到一些所谓的微元法, 看着很鬼, 也很不系统化, 但推导出来的结论却又都是对的. 那么微元法操作的合理性就应该由你自己来从极限的角度去试着论证一下了. 提醒一下就是, 当你碰到这种不确定取微元的哪一点来画示意图的时候, 往往都是随便取就可以了, 因为不同的选取方法往往只差一个高阶无穷小量, 其差异在取极限后严格为零. 其实也没那么难, 具体就是一些无穷小量的取舍罢了, 这些问题在下文中应该都讲得很明白了. 下文摘抄自: 曾经就有人问过这个问题, 他是这么想的, 对一个函数在 \[{{x}_{0}}\] 的小领域展开后是这样的: 但平时怎么好像只保留了第一项? 就是说 \[\text{d}f\left( x \right)=\frac{\text{d}f\left( x \right)}{\text{d}x}\text{d}x\] 是啥意思? 所以, 我们日常生活中通常就是这么判断无穷小量的阶数的: 你有很多手段可以将无穷小量叠加为有限量, 最常见的就是积分, 而现在要清楚的就是一重积分只会让全体各阶无穷小同时升一阶, 其中一阶无穷小会升格为有限量. 当然你要是对有限量进行积分的话就会发散, 因为积分本质上就是无穷求和, 我们对无穷个一阶无穷小量进行求和得到的就是有限量, 对无穷个有限量求和自然就会发散, 而对二阶无穷小量进行一重积分的话它也就是变成一阶无穷小罢了. 不难想象如果二阶无穷小边上有个一阶无穷小的话, 那经过一重积分人家就是有限量了, 要知道最后取完极限只有有限量会留下来, 如果再积分一次人家就会带着整个式子一起发散, 所以无论如何, 高阶无穷小都无法给我们的结果带来任何有效信息, 也就可以直接删掉没有任何问题. 最后要提的一点就是, 物理中经常对一个有限但比较小的量做展开, 这种情况下每一项都是有意义的, 因为都是有限量只是越来越小罢了, 然后就只求前几项, 因为越到后面影响就越来越小了··· 好吧其实是因为越到后面就越难算了. 以前还有人问我为啥全微分是写成 \[\text{d}f\left( x,y \right)=\frac{\partial f}{\partial x}\text{d}x+\frac{\partial f}{\partial y}\text{d}y\] 这样的. 其实全微分的意思就是说, 一个多变量函数的线性部分是各个变量对应的线性部分之和, 这很直观. 总之就是一定要搞明白啥是高阶无穷小以及为啥删了它不会有误差. 最后提一下, 今后在物理学中你将会极大量地遇到一些无穷小操作, 比如说什么做一个无穷小平移或旋转、升一个无穷小温度之类的. 第一次见的时候你可能会感到很诡异, 就会很想问你妈你无穷小的操作不等于没操作吗? 但实际上这种做法是很天才的, 因为当我们不知道变换的具体形式或不知道变换后的效果时, 如果只做无穷小变换的话就可以自然地忽略掉高阶项, 于是就把一个复杂的问题取了一个线性近似. 然后轻轻松松地研究完了以后呢, 再通过积分之类的手段把这个一阶无穷小量的变换延拓到有限变换, 于是问题就研究完毕了.