作为数学系本科生，有没有可能自学物理系专业课？
本文使用 Zhihu On VSCode 创作并发布 从数学系学生的角度，很多物理课都可以当做是“应用数学”来学的；同时物理也能给数学的学习提供非常多的动机  （8-16更新，决定正面详细回答这个问题） 大一从物理转到数学，在转去数学系之后的两年，我也通过非正式渠道大量旁听了很多物理课以及它们的tutorial。我对物理的学习尽管是以前兴趣的延续，但是视角不相同了。数学人关注的物理和物理人关注的未必一致，因此下面的推荐相对比较非主流，仅供参考。 从数学人的角度说，我比较享受的本科物理课是经典力学，量子力学，和广义相对论；它们既有物理上的重要地位，也给对应数学结构的学习提供了不可替代的关键例子。 另外，对于所有的物理课程，我都强烈推荐佟大为(David Tong)的系列讲义： David Tong: Lectures on Theoretical Physics 风格与我校的课程比较像，适合自学或者速成。  从我个人对四大力学的掌握程度来看，我的排名是量子力学>经典力学>电动力学>统计力学。 经典力学应该是最重要的理论物理课，Lagrange力学和Hamilton力学是物理学中最基础的框架。我记得大一刚开学的时候去听经典力学，开始的内容都很熟悉，但是到了Hamilton力学一切变得突然抽象起来，在讲到生成函数的时候彻底跟丢了。因为课程限制，直到大三我才参加考试，又重新复习了一遍。不得不说经典力学是个常看常新的学科（这当然也适用于四大力学中的其它课......），不同的抽象程度和不同的理论浓度能讲出完全不同的课来。 从数学人的角度，经典力学的第一任务是理论框架的搭建，而计算都是细枝末节。作为初学的教材，我毫无疑问最为推崇 由于经典力学的教学已经十分成熟，大部分类Landau的教材或讲义思路都大同小异。这里列出一些我看过的： 今年复习的时候粗略翻了一遍，有一些亮点包括对时空观的讨论，在刚体中对\mathrm{SO}(3)群的讨论等。 这是我们上课的讲义，我比较喜欢的是在Hamilton力学的处理上相对比较偏几何，比如引入了Hamilton向量场的概念，有一点辛几何的影子。另外对于Noether定理的处理比较严谨且一般化。 另外值得一提的是知乎上@陈童老师写的理论力学新讲，是从Hamilton力学出发而非传统的Lagrange力学出发，同时在几何上也比前面的书籍更深入一些。 关于“数学家的经典力学”或者说经典力学的第二门课，几何的语言就很重要了。论力学系统最自然的几何语言是微分流形，Lagrange力学就是在流形的切丛上的力学；而通过Legrendre变换得到余切丛上的Hamilton力学。更进一步，余切丛上Hamilton正则方程的推广就是辛流形上的辛结构。所以经典力学和辛几何之间有着很自然的联系。在这方面基础比较低的经典书目有 我认为无论如何，在经典力学的早期引入流形的概念对学生的帮助是很大的，同时也给后面广义相对论的学习打下几何基础，关于这个视角我写过一个简短的总结文章：一天速成经典力学 电磁学/电动力学是我觉得四大力学中最偏应用的一门课，因为其研究具体的物理对象，即电磁场。当然这并未降低这门课的必要性，正是对经典电动力学的发展推动了狭义相对论的产生。而从一个数学人的角度看，电动力学一个重要的意义就是给一些重要的PDE提供物理实例。回忆高中的学习，我的多元微积分是靠Griffiths第一章学的，诸如散度，旋度，线积分，面积分都是靠电磁学的Gauss定理，Ampère定理来理解；而我最早学会利用分离变量法求解PDE，也正是来自静电场中电势满足的Laplace方程；最早知道Green函数法，来自静电场的Poisson方程；记忆各种矢量分析恒等式，则是靠花式操弄Maxwell方程；最早了解微分形式和Poincaré引理，来自对Maxwell方程做进一步的改写。可以说电磁学在我数学学习之路（尤其是高中阶段）功不可没。 关于电磁学/电动力学，首推的书必然是 这本书陪我从初三走到了大二，它的起点足够低，而讲解深入浅出，在清晰的主线之余没有过多的数学方法分散精力。当然一些初等的处理也牺牲了一定的严谨性，比如我不认可其中对Liénard–Wiechert势的推导。 这本书的第一章矢量分析非常精华，强烈推荐非数学系的小朋友在学习多元微积分的时候作为参考！ 而另一本更厚更经典的教材，我一般只是作为工具书查阅： 我在电动力学的学习上没有花很多精力，平时做题也不多，也没有考试作为压力。除了高中熟知的静电场静磁场问题，在大二学电动力学的时候主要印象就是电磁波的传播，解反射与折射的Fresnel方程等；至于更后面的加速电荷的辐射一类问题，只怕是连基础公式也不记得了。但是电动力学结合狭义相对论的部分是比较令人印象深刻的，后面讲狭义相对论的时候会提到。 大二的量子力学可能是我本科学得最好的物理课吧，不谦虚地说一句，应该不比物理系的科班生差多少。这既是我投入比较多的时间做题和写notes，也是量子力学本身的思维模式非常数学化。 从数学人的角度出发，我不关心量子力学的实验基础，也不关心旧量子论的历史发展进程。数学人关心的是量子力学的公理化范式，以及基于Hilbert空间上自伴算子谱理论的数学结构。这些漂亮的理论本身就提供了足够的动机。 从数学上严格表述量子力学是一个比较困难的任务，其根基是无界算子的泛函分析以及Lie代数的表示论，这二者的理论（即使从纯数的角度）都超出了本科的范畴。因此即使是数学系的量子力学，给本科生开课的时候也不免需要使用大量不严格的表述。 另一个值得讨论的点是关于Dirac bra-ket符号系统的使用。和大部分数学人不同的是，我主张积极主动使用这套符号。理由其一是可以让学生更早意识到“波函数”的抽象本质；其二是在描述诸如氢原子本征态或者角动量的相加时，Dirac符号在简明性上有无可比拟的优势。 对于入门书籍的选择，传统上比较公认的是 这本书涵盖了本科量子力学的主要内容，除了路径积分和相对论性量子力学。和上一本Griffiths一样属于低起点，也算是适合物理系快速入门。我个人认为有两点不足吧： 比Griffiths起点更高的量子力学经典作品是 这本书其实读起来会比较畅快，理论高屋建瓴，深入浅出，知乎上也有很多关于此书的书评。对于我来说，虽然使用不少抽象的数学语言，但偶尔能见到一些使人血压升高的操作。 在类似樱井纯这本书的层次上也推荐一本中文教材: 写得非常细致，每个主要的课题都有详细介绍。但也存在数学术语符号不规范（比如把张量积错误地叫做直积）。 对于比较硬核的读者，介绍量子力学有关的数学书首推 以最严谨最细致的方式处理量子力学的数学，当然起点也远比本科量子力学书高。我也一直希望挤出时间来读其中的一些章节。 最后我推荐一下我们学校的两份讲义，一份来自物理系，一份来自数学系，它们才是我的主要学习材料。我觉得写得非常不错（两者都把量子力学的五大公设放在第一的位置）： 最后谈一下粒子物理，我没有学过QFT，当然也没法学正派的粒子物理课。而物理系在大三开了一门科普性质的Subatomic Physics，在量子力学的基础上勉强讲清楚了基于Fermi黄金法则的散射理论，以及半经验的Breit-Wigner共振公式，之后和标准模型有关的部分全只有定性讨论，以及Feynmann树图靠感觉来画...... 我没有非常认真上这门课，但是在学习过程中还是发现Griffiths是真神 这是真正本科生等级的粒子物理书，写得足够清楚，并且没有QFT基础也能读。 热学也是大二学的，两个学期的课，包括热力学、动理学和统计力学。讲得非常浅（比如相变和Ising模型就没怎么讲），数学浓度比较低，我学得也很划水。我们学校的教材是这本书： 基础非常低的书，很适合物理系初学入门 动理论和统计力学的讲义： 这位教授写的notes属于最优秀的一类，包括他写的ODE也是我极力推荐。具体来说我觉得这个讲义的亮点在于： 在大二的时候上了一学期流体力学的入门课。学得特别浅，基本只处理了无粘滞不可压缩流体。从数学上说，我认为这门课的核心是线性化思想，以及矢量分析和复分析（尤其是共形映射）的应用。课程推荐的参考书是 下面是相关课程讲义（我只看过第一份的内容） 注意notes是散装的，祖传notes真实作者已不可考 SR这门课我们是大三上的，它既可以看做是经典电动力学的自然后继，同时也是现代物理学大门的钥匙。如果SR课只讲清楚了尺缩钟慢和Lorentz变换的推导与应用，那么它就是平庸的，这些东西在高中生中都已经家喻户晓了。我认为一门好的SR课除此之外应该（按照顺序）完成5个任务： 我们上这门课的时候比较好地完成了1~3的任务，4~5尝试讲了一些但是相当失败。 值得一提的是，不少电动力学的书会把SR作为一章放在偏后面的位置介绍。我的个人观点是，最好不要用电动力学书初学相对论。比如郭硕鸿的《电动力学》等一些国内教材采用的严重过时的(x,y,z,\mathrm ict)和1234作为4矢量的分量，而不是主流物理学界常用的(ct,x,y,z)和0123分量，并且几乎不会使用Minkowski度规 \eta = -c^2\mathrm d t^2 + \mathrm d x^2 + \mathrm d y^2 + \mathrm d z^2 （当然这里的号差选择没有统一规范） 这样学的后果是，非常多的物理系学生都以为双生子佯谬是需要GR才能解释的“悖论”，原因仅仅是其涉及加减速过程！这当然是错误的，一切平直/Minkowski时空的运动学都属于SR的范畴。我个人比较推荐的是直接看GR书里面讲SR的部分，比如 关于经典场论的部分，似乎很多课程设计会把它忽略掉，但是这对量子场论学习却是不可或缺的基础。知乎@陈童老师有写经典场论新讲；此外@旭-ASAHI的【电动力学+】系列文章也在连载经典场论的内容，非常值得期待。 我们学校的课程讲义是： 最后我想提一下Landau的场论 这本书其实是狭义相对论+电动力学+广义相对论。我个人并不太喜欢它，读了浅浅一点就放弃了，主要是由于它写得过于物理，或许物理系同学会对胃口。 GR是我最喜欢的本科物理课！尽管没办法参加考试，但在上个学期我还是把一半的时间花在学GR上了，并且我也打算在下一年继续学进阶的GR课程。 如果说到GR，物理系的人总是在纠结学不学微分几何。从数学人的角度，这个问题没有意义，我们可以想象不学高数就学电磁学或者不学线代就学量子力学——最后能学懂什么呢？就我们一学期的入门GR课来说，微分几何（更准确地说是Riemann几何）毫无疑问是底层语言，一切计算和物理都围绕度规产生。 对于GR有个很有趣的问题是微分几何要怎么学，公式都如何表述，据我所知至少有3种常见的范式 X(g(Y,Z)) = g(\nabla_XY,Z)+g(Y,\nabla_XZ) Riemann曲率张量的定义 R(X,Y)Z := \left([\nabla_X,\nabla_Y]- \nabla_{[X,Y]} \right)Z \nabla_ag_{bc} = 0 Riemann曲率张量的定义 R^a_{bcd}X^d = [\nabla_b,\nabla_c]X^a \Gamma^\mu_{\nu\rho} = \dfrac{1}{2}g^{\mu\sigma}\left(\dfrac{\partial g_{\nu\sigma}}{\partial x^\rho} + \dfrac{\partial g_{\rho\sigma}}{\partial x^\nu} - \dfrac{\partial g_{\nu\rho}}{\partial x^\sigma}\right) Riemann曲率张量的定义 R^\mu_{\nu\rho\sigma}X^\sigma = [\nabla_\nu,\nabla_\rho]X^\mu (全部方程均为标量方程，计算采用Einstein求和) 由于GR不可避免涉及大量在具体坐标系的计算，所有公式都要归结到具体指标上。我们学校的讲义从理论建立上偏向1，比较照顾数学人的习惯： 从物理内容上这两份讲义覆盖了Schwarzschild解，宇宙学，引力波，Kerr黑洞，因果结构 其次我认为风格比较简明易读，同时数学足够多的书是Sean Carroll的（尽管他用的是具体指标） 似乎是一本非常新的书，因此与这里提到其他所有书不同的是，有一章介绍在弯曲时空中的QFT理论。 而使用抽象指标的名书是Wald的： 他的学生梁灿彬在此书的基础上写出了三册巨著 或许是最具权威性的中文相对论著作？内容包罗万象，广义相对论各个课题均有涉及，甚至还有很多与书名无关的内容，比如对Hilbert空间以及纤维丛的讨论......