麦克斯韦方程组在数学和物理上揭示了什么联系？为什么它也不是完全对称的？
最近这个三年前写的回答好多点赞，突然被大佬翻牌了（，回看一下当初理解还是比较稚嫩，写的也有很多不尽如人意的地方。各位的意见我都有看，等忙过这一阵抽空改写一下。其实这个问题说大可大说小可小，表面上看只是个电磁对偶的trick，但真谈得深了可以说到S-duality（Montonen–Olive duality）的概念。下次打算添进去与Dirac电荷磁荷量子化相关的一些东西。 谢邀。 之所以我对这个问题感兴趣，主要是因为问题的后半部分可能也是很多人想过的：“为什么它也不是完全对称的？” 其实很多人也意识到了，这种“不对称”的根源是自然界不存在磁荷；假设真的存在磁荷 q_m 与磁流 \vec M 的话，那么麦克斯韦方程组形式上就会变成更为对称的样子（选用自然单位制略掉一些无关紧要的常数）： \nabla\cdot\vec E=4\pi\rho_e \nabla\cdot\vec B=4\pi\rho_m -\nabla\times\vec E-\frac{\partial\vec B}{\partial t}=4\pi\vec M \nabla\times\vec B-\frac{\partial\vec E}{\partial t}=4\pi\vec J 自然，这个时候粒子受的总电磁力也就变成 \vec f=q_e(\vec E+\vec v\times\vec B)+q_m(\vec B-\vec v\times\vec E) 在这种形式下，将 \vec E\rightarrow\vec B 、 \vec B\rightarrow-\vec E ， \rho_e\rightarrow\rho_m 、 \rho_m\rightarrow-\rho_e ， \vec J\rightarrow\vec M 、 \vec M\rightarrow-\vec J 对换后方程的形式是完全不改变的，这叫做电磁对偶性。 于是问题也就变成了：“为什么自然界不存在磁荷？”  先上结论： 下面为了方便讨论，我们采取让非物理专业、学过大学数学的朋友们就能看懂的矩阵语言来描述。虽然讲清楚微分形式不是几句话的事情，其实严格来讲不该这么草率，不过无伤大雅的情况下我们总可以这样理解： 定义一个矩阵 \boldsymbol F=\left( \begin{matrix} 0&-E_x&-E_y&-E_z\\ E_x&0&B_z&-B_y\\ E_y&-B_z&0&B_x\\ E_z&B_y&-B_x&0\\ \end{matrix} \right) 称为电磁张量（2-form）； 定义一个矢量（4*1矩阵） \boldsymbol J=\left(-\rho_e,J_x,J_y,J_z\right)^T 称为电流矢量（1-form）； 以及矢量（4*1矩阵） \boldsymbol M=\left(-\rho_m,M_x,M_y,M_z\right)^T 称为磁流矢量（1-form）； 名字不重要，其实说这么多只是为了说明，原来有关电磁的一系列物理量的全部信息现在都包含在 \boldsymbol F 、 \boldsymbol J 、 \boldsymbol M 这三个符号之中。在四维的语境中， \boldsymbol F 表示的就是电磁场， \boldsymbol J 表示一切由电荷电流构成的源， \boldsymbol M 表示一切由磁荷磁流构成的源。它们还都可以定义各自的（Hodge star）对偶，用星号标明。其中 {^*}\!\boldsymbol F （虽然不是但）相当于直接在矩阵中做替换 E\rightarrow B 、 B\rightarrow- E 而已；其他两个的对偶 {^*}\!\boldsymbol J 、 {^*}\!\boldsymbol M 虽没这么简单，但也与电荷电流、磁荷磁流有关。 利用一个特殊的运算“ {\rm d} ”（外微分），我们可以把原来不含磁荷的四个方程，变换一下写法，写成这样的形式： \begin{cases} {\rm d}{^*}\!\boldsymbol F=4\pi{^*}\!\boldsymbol J\\ {\rm d} \boldsymbol F=0 \end{cases} 这就是麦克斯韦方程组的外微分形式。而假设存在磁荷的形式则是： \begin{cases} {\rm d}{}^*\!\boldsymbol F=4\pi{}^*\!\boldsymbol J\\ {\rm d} \boldsymbol F=4\pi{}^*\!\boldsymbol M \end{cases} 从形式上看，方程组的对称与否在这里体现地更加明显。虽然对偶形式之间的关系不是一两句话的事情，但是粗略来看， {^*}\!\boldsymbol F 与 \boldsymbol F 的区别无非是 E\rightarrow B 、 B\rightarrow- E 的位置对换而已。很明显，互为对偶的这两者，若是在无磁荷的情况下，则会在同一运算“ {\rm d} ”下表现出截然不同的性质：术语一点来讲， {\rm d} \boldsymbol F=0 表明 \boldsymbol F 是“闭”的，而 {}^*\!\boldsymbol F 显然不是。而若是存在磁荷，那么两者性质就显得非常相似了：一个由电荷电流产生，另一个由磁荷磁流产生；两者又互为对偶，体现了电磁一体的本质。 那么下面我们试着对二元组 \left({^*}\!\boldsymbol F,\boldsymbol F\right) 和 \left(\boldsymbol J,\boldsymbol M\right) 做一个有趣的事情： 若我们对 \left( \begin{matrix} {^*}\!\boldsymbol F\\ \boldsymbol F \end{matrix} \right) 用熟悉的  \alpha 角旋转矩阵 \left( \begin{matrix} \cos\alpha& -\sin\alpha\\ \sin\alpha& \cos\alpha \end{matrix} \right) 做变换得到新的二元组  \left( \begin{matrix} {^*}\!\boldsymbol F'\\ \boldsymbol F' \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos\alpha& -\sin\alpha\\ \sin\alpha& \cos\alpha \end{matrix} \right)  \left( \begin{matrix} {^*}\!\boldsymbol F\\ \boldsymbol F \end{matrix} \right) ，即： {^*}\!\boldsymbol F'={^*}\!\boldsymbol F\cos\alpha-\boldsymbol F\sin\alpha \boldsymbol F'={^*}\!\boldsymbol F\sin\alpha+\boldsymbol F\cos\alpha 同时，我们也对 \left( \begin{matrix} \boldsymbol J\\ \boldsymbol M \end{matrix} \right) 做 \alpha 的变换得到 \left( \begin{matrix} \boldsymbol J'\\ \boldsymbol M' \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos\alpha& -\sin\alpha\\ \sin\alpha& \cos\alpha \end{matrix} \right)  \left( \begin{matrix} \boldsymbol J\\ \boldsymbol M \end{matrix} \right) ： \boldsymbol J'=\boldsymbol J\cos\alpha-\boldsymbol M\sin\alpha \boldsymbol M'=\boldsymbol J\sin\alpha+\boldsymbol M\cos\alpha 注意到，上面两组联合变换其实已经给出了： \vec E'=\vec E\cos\alpha-\vec B\sin\alpha \vec B'=\vec E\sin\alpha+\vec B\cos\alpha q_e'=q_e\cos\alpha-q_m\sin\alpha q_m'=q_m\sin\alpha+q_e\cos\alpha \vec J'=\vec J\cos\alpha-\vec M\sin\alpha \vec M'=\vec J\sin\alpha+\vec M\cos\alpha 如果你会这些运算的话，不难验证，我们会发现，新的量仍然满足 \begin{cases} {\rm d}{}^*\!\boldsymbol F'=4\pi{}^*\!\boldsymbol J'\\ {\rm d} \boldsymbol F'=4\pi{}^*\!\boldsymbol M' \end{cases} 这说明麦克斯韦方程组在上述这一类与  \alpha 有关的变换下保持成立。这一类由  \alpha 决定的变换，我们称之为参数为  \alpha 的对偶变换。还记得上面提到的电磁对偶吗？显然，它正是这里的对偶变换在 \alpha=\frac{\pi}{2} 时候的特例，或者说这里的对偶变换可看作是上面电磁对偶的一种推广。  上面毫无理由的变换看起来很莫名其妙，暂且放下。我们关心的不仅仅是这些形式上的trick；真正重要的是，上面的这种变换，会对于我们的物理观测结果产生影响吗？换句话说，若称 \left({^*}\!\boldsymbol F,\boldsymbol F\right) 和 \left(\boldsymbol J,\boldsymbol M\right) 组成的物理系统为系统1， \left({^*}\!\boldsymbol F',\boldsymbol F'\right) 和 \left(\boldsymbol J',\boldsymbol M'\right) 为系统2，两者对于人类来说，或者对于物理定律来说，是可以分辨的吗？ 答案是不能。我们可以不妨尝试计算一下人类测量得到粒子受的总电磁力、电磁场的能量动量张量，以及任何人类可以直接测量的物理量，结果是完全相等的——变换前后既不能产生不同的动力学效应，也不能使时空具有不同的度规，更不能改变物理定律的形式，换句话说任何物理手段无法区分它们；而这其实说明了两个系统根本就是一样的、完全等价的，只是不同的数学描述手段而已。这说明，上面的对偶变换并不产生可观测的效应，仅仅是数学上描述方式的trick，并非是造成实际物理变化的操作。 这个看起来很无聊的结论有什么用呢？关键就在于：对于任何给定的、假设电荷磁荷均存在的场源 \left(\boldsymbol J,\boldsymbol M\right) 来说，总存在着一个确定的参数  \alpha_0=-\arctan\frac{q_e}{q_m} （不明白的话就想想它的几何意义——平面旋转）使得变换后的场源成为 \left(\boldsymbol J',0\right) ——于是系统就完全等价于只存在电荷与电流，而无磁荷与磁流了！ 事实上，通过选取  \alpha 的不同，原则上我们能够得到对同一个系统的无穷多种描述，在这些框架下，完全相同的一个系统被描述为具有不同的电荷与磁荷，甚至包括只有磁荷没有电荷的说法。然而它们之间并无实质的区别——这种不改变物理实质的人为选择的自由度，在物理上叫做规范性质。 这个故事告诉我们，对于单独的粒子，即便我们假设它真的既存在电荷 q_e 又存在磁荷 q_m ，但总是在实际物理意义上完全等价为只有大小为 q_e'=q_e\cos\alpha_0-q_m\sin\alpha_0 的电荷，而磁荷为零；换句话说，很大意义上，“粒子只有电荷而没有磁荷”可以看成是一种习惯上方便的说法。这种说法只是数学上不同的描述手段，并不会产生任何实际应用上的区别或误差，更不致影响到实际的物理效应。 然而其实有一个实际问题在这里：若对于不同种类的粒子组成的体系来说，假若它们的电荷磁荷比 k=q_e/q_m 不同，则无法找到一个统一的 \alpha_0 来消除掉磁荷；换句话说，只有所有粒子都具有相同的 k 值，才会宏观等价为只有电荷而无磁荷的情况。所谓寻找磁荷存在的实验，其实不如说是寻找是否存在不同 k 值的粒子。 那么，所有粒子有相同的 k 值，这可能吗？尽管这种要求听起来好像有点过于强硬，但就目前的实验情况来看，至少我们常见的基本粒子，它们的 k 值在很高精度下都是相等的。其实这种事情我们并不陌生：想想在关于引力问题的世纪思辨之中，我们也曾经考虑过“是否所有物体的惯性质量和引力质量都具有相同的比值”。就目前而言，这已经是一个精度很高的结论了，并且成为了一个类似于原理一般的存在——等效原理，来支撑着目前我们关于引力理论的考量。它与我们今天的主题这两者是十分相似的：所有粒子的电荷和磁荷都具有相同的比值，正是基于这样的观念，支撑着我们如今对于电磁理论的考量。 最后简单说一下，所谓的参数为 \alpha 的对偶变换，就几何意义而言无非是一个旋转；然而它到底是在哪个空间旋转？ 用线性代数的语言通俗来讲，其实我们在数学上，可以认为任何粒子都对应于某个抽象的线性空间中的一个矢量，电荷和磁荷的数值分别是它们在某个正交坐标基下的不同分量坐标；“ k 值相等”意味着这些矢量是互相平行的，而电荷量不同意味着这些矢量的长度不同。而不同的 \alpha 角就意味着我们选取不同的正交基来测量这些分量，自然就会得到不同的坐标数值——也就是说，这个旋转，是抽象空间中正交基的旋转。选取什么基是不影响矢量本身的，也就是不影响粒子本身性质的，那么为了方便，我们总可以选取一个基使得它只有某一分量而另一分量为零，这就是我们已经用了几个世纪的视角：只有电荷而没有磁荷。