Felületi feszültség
Fázisállapotok Kontinuummechanika
A felületi feszültség a folyadékok alapvető tulajdonsága, ami miatt a folyadékok a lehető legkisebb fajlagos felületű alakzatot (gömb) igyekeznek felvenni, ha külső erőtér nem hat rájuk. Oka a folyadék részecskéi (atomok, egyszerű és összetett ionok, molekulák vagy ezekből felépülő kisebb aggregátumok) között fellépő kohéziós erő. Ezért gömb alakú a kis méretű lebegő folyadékcsepp, vagy a szappanbuborék stb.

A felületi feszültség következménye, hogy bizonyos tárgyak és állatkák a vízben nem süllyednek el, a víz felületén maradnak, bár a sűrűségük nagyobb, mint a folyadéké.

## A felületi feszültség magyarázata

A felületi feszültség léte a molekuláris erőkkel függ össze.

A folyadékok határfelületi rétegében lévő alkotórészek más energetikai állapotban vannak, mint a folyadék belsejében lévők. Ennek oka az, hogy a folyadék felületén a kémiai és fizikai tulajdonságokat meghatározó mikrorészecskék környezetében a folyadék belseje felé azonos felépítésű folyadékmolekulák, míg a másik oldalon egy másik közeg, - például levegő - más tulajdonságú molekulái vannak. Így az aszimmetrikus erőhatások miatt nagyobb energiájú állapotban vannak, mint a folyadék belsejében elhelyezkedő, egymáshoz képest energetikailag kiegyensúlyozott társaik.

Tiszta anyagok esetén a felületi réteg felett az anyag gőz állapotú részecskéi találhatók, amelyben a részecskék átlagos távolsága lényegesen nagyobb – a vonzóerők lényegesen kisebbek –, mint a folyadék belsejében. A szomszédos molekuláktól származó kohéziós erők a folyadék belsejében kompenzálják egymást, a felületen viszont ezeknek az eredője a folyadék belseje felé mutat, amint azt a mellékelt ábra szemlélteti. Ez azt jelenti, hogy a kohéziós erő a felületi molekulákat a folyadék belseje felé igyekszik elmozdítani.

A kohéziós erők a felületre ún. kohéziós nyomást fejtenek ki, amelyet közvetlenül megmérni nem lehet, de közelítő számítások alapján ez a nyomás például víz esetében az atmoszferikus nyomás több ezerszeresét is eléri. Ez megmagyarázza, hogy a folyadékok összenyomhatósága kicsi, hiszen külső hatás nélkül is összenyomott állapotban vannak.

Ennek az aszimmetrikus erőhatásnak a mértéke a felületi feszültség (jele γ, vagy σ), amely az anyagokra jellemző intenzív fizikai mennyiség. Még pontosabban nem csak az adott folyadékra, hanem a fent leírt aszimmetrikus erőhatásokból eredően a két érintkező réteg határfelületére jellemző mennyiség. Más a felületi feszültsége például a víznek levegővel érintkezve, illetve ha étergőz van a felszín felett. Mivel legtöbbször a levegő-folyadék érintkezése fordul elő, ezért a felületi feszültségre jellemző adatokat - ha más megjelölés nincs - a levegő-folyadék határfelületre szokták megadni.

Az elnevezése csak részben helytálló, ugyanis nem feszültség jellegű mennyiség, hanem mint a definíciós összefüggésből kitűnik: a felületben, annak egységnyi hosszúságú vonalában ható erővel (N/m), vagy egységnyi nagyságú felület létrehozásához szükséges munkával (J/m2), az ún. felületi munkával egyenlő.

## A felületi munka

Ahhoz, hogy a folyadék belsejéből molekulákat juttassunk a felszínre, ezáltal a felszín dA-val növekedjék, a felszínt kifeszítő erők ellenében dw munkát kell végeznünk. (Emiatt nagyobb a felszínen lévő részecskék helyzeti energiája, mint a folyadék belsejében lévőké.)
A felület valamely l hosszúságú vonala mentén, arra merőlegesen a szomszédos részecskék között F erő hat, amely ellenében ldx =dA új felület létrehozásához Fdx = dw munka befektetése szükséges:

$\gamma = \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}A} = \frac{F\mathrm{d}x}{l\mathrm{d}x} \approx \frac{w}{A} = \frac{F}{l} \$, mértékegységei: $\ \frac{\mathrm J}{\mathrm m^2} = \frac{\mathrm N}{\mathrm m} \ .$

Azt is mondhatjuk: a $\gamma$ felületi feszültség a (saját gőzével érintkező) folyadék egységnyi felületének energiatöbblete a folyadék belsejéhez képest.

## Néhány anyag felületi feszültsége

## Nedvesítés

A folyadék molekuláira a felületet körülvevő más anyag molekulái is vonzóerőt fejthetnek ki – ez a jelenség az adhézió –, az ebből származó erő az adhéziós erő. Ha ezeknek az erőknek a folyadék molekuláira kifejtett hatása elhanyagolható (pl. levegő, g) a kohéziós erőkhöz képest, akkor a felületen lévő folyadékrészecskék a kohéziós erők hatására a folyadék belseje felé igyekeznek elmozdulni, vagyis a felület valóban csökkenni igyekszik. Ha ezeknek az erőknek a folyadék (l) molekuláira kifejtett hatása nem hanyagolható el – például egy szilárd (s) felületen helyezkedik el –, akkor a folyadék jobban, vagy kevésbé terül szét azon, nedvesíti, vagy kevésbé nedvesíti azt, attól függően, hogy a vonzó (vagy taszító) erők mekkorák.

A nedvesítés mértékét a nedvesítési peremszöggel (Θ) jellemezzük. Ha a peremszög kisebb mint 90°, akkor részleges nedvesítésről, ha nagyobb 90°-nál, akkor részleges nem nedvesítésről beszélünk.

A közös határon fellépő erőket a határfelületi feszültséggel jellemezzük (γ<sub>sg</sub>, γ<sub>ls</sub>, γ<sub>lg</sub>). Értelmezése hasonló a felületi feszültségéhez, csak itt a kohéziós erőkön kívül az adhéziós erők is közreműködnek. A folyadék addig terül a felületen, amíg az erőegyensúly beáll. Az erőegyensúly feltétele (Young-egyenlet):

$\gamma_\mathrm{sg} - \gamma_\mathrm{ls} - \gamma_\mathrm{lg}\cos \mathit\Theta  = 0 \ .$

A nedvesítés mértékét ezeknek a határfelületi feszültségeknek a módosításával lehet befolyásolni. A mosószerek a folyadék és a szilárd fázis közötti határfelületi feszültség megváltoztatásán keresztül fejtik ki a hatásukat. Más esetben a szilárd test felületkezelésével változtatható meg a nedvesítés mértéke.

## Kapilláris emelkedés és kapilláris süllyedés

Úgyszintén a felületi feszültséggel függ össze az ún. kapilláris emelkedés és kapilláris süllyedés jelensége.

### Kapillaritás hajszálcsövekben

A vékony csövekben (hajszálcsövekben, latin eredetű kifejezéssel kapillárisokban) a folyadékok nem követik a közlekedőedényekre vonatkozó törvényt: a nedvesítő folyadék szintje magasabb, a nem nedvesítő folyadéké pedig alacsonyabb, mint nagy felületű edényben. Az előbbi jelenséget kapilláris emelkedésnek, utóbbit kapilláris süllyedésnek, az egész jelenségkört pedig hajszálcsövességnek (kapillaritásnak) nevezzük. Üvegcsőben például a víz kapilláris emelkedését, illetve a higany kapilláris süllyedését lehet megfigyelni. Kapilláris emelkedés akkor következik be, ha a folyadék nedvesíti a kapilláris falát, vagyis a folyadék és a szilárd anyag részecskéi között nagyobb a vonzóerő, mint a folyadék molekulái között. A nedvesítési peremszög ilyenkor Θ \< 90°. Ha a folyadék és a szilárd anyag részecskéi között kisebb a vonzóerő, mint a folyadék molekulái között, akkor kapilláris süllyedés lép fel. A nedvesítési peremszög ebben az esetben Θ \> 90°.

A mellékelt ábra alapján kiszámíthatjuk az emelkedés, illetve a süllyedés nagyságát. Ha például a nedvesítő folyadék a csőben h magasságba emelkedik fel, akkor a folyadékoszlopra ható nehézségi erő (F<sub>neh</sub>):

$F_\mathrm {neh} = r^2 \pi \rho gh \ .$

Az üveg részecskéi között működő adhéziós erő felfelé mutató komponense (F<sub>γ</sub>):

$F_\mathrm{\gamma} = 2r\pi \gamma \cos \mathit \Theta  \ .$

A folyadékoszlop egyensúlyban van, tehát a két erő egyenlő nagyságú (de ellentétes irányú):

$r^2 \pi \rho gh \ = 2r\pi \gamma \cos \mathit \Theta  \ .$

Ebből a folyadék emelkedésének vagy süllyedésének mértéke, a h kiszámítható:

$h = \frac {2\gamma \cos \mathit \Theta}{\rho g r} \ .$

### Kapillaritás keskeny résekben

A hajszálcsövekhez hasonlóan a keskeny résekben is megfigyelhető a kapilláris emelkedés és a kapilláris süllyedés. A jelenség egyszerűen tanulmányozható például két olyan üveglap között, amelyek egy közös, függőleges helyzetű élben találkoznak és kis szöget zárnak be egymással. Ha a két lap alsó részét vízbe merítjük, akkor a két üveglap közti térrészben a víz annál magasabbra emelkedik, minél kisebb az üveglapok távolsága. Mérésekkel és elméleti úton is igazolható, hogy a lapok közti távolság (d) és az emelkedés magassága (h) fordítottan arányos egymással. A fordított arányosság miatt az üveglemezek közti térrészben a víz felszíne egy hiperbola mentén helyezkedik el.

## A felületi feszültség hőmérsékletfüggése

A tiszta folyadékok felületi feszültsége csökken a hőmérséklet növekedésével. A kritikus hőmérsékleten megszűnik a folyadék és annak gőze közötti különbség, a fázishatár is eltűnik, a felületi feszültség nullára csökken. A felületi feszültség hőmérséklettel való változásából következtetni lehet a folyadék állapotbeli molekulák állapotára. A T hőmérsékleten mért felületi feszültség, a folyadék moláris térfogata és a hőmérséklet között az alábbi összefüggés áll fenn:

$\gamma V_\mathrm m^{2/3} = k(T_\mathrm c -T) \ ,$

ahol

V<sub>m</sub> a folyadék moláris térfogata, m3/mol,

γ a folyadék felületi feszültsége, N/m

T a hőmérséklet, K

T<sub>c</sub> az anyag kritikus hőmérséklete, K

k az Eötvös-féle állandó, J/(K mol<sup>2/3</sup>)

Ez a kifejezés az Eötvös-szabály. Az ún. normális folyadékok esetén az Eötvös-féle állandó értéke 2,1 x 10<sup>-7</sup> J/(K mol<sup>2/3</sup>).

A legtöbb folyadék esetében a felületi feszültség már 6 °C-kal a kritikus hőmérséklet alatt gyakorlatilag nulla, ezért az Eötvös-szabály alábbi alakja pontosabb eredményt ad:

$\gamma V_\mathrm m^{2/3} = k(T_\mathrm c - 6 - T) \ .$

A V<sup>2/3</sup> mennyiség a folyadék 1 móljának a felületével arányos (mólfelület), ezért a γV<sup>2/3</sup> szorzatot mólfelületi energiának nevezzük. Ez arányos annak a munkának a nagyságával, amely ahhoz szükséges, hogy 1 mólnyi folyadéknak megfelelő felületet létrehozzunk, vagyis 1 mól folyadékot teljes mértékben szétterítsünk.

### Néhány anyag Eötvös-féle állandója

## Folyadékok szerkezete

Az adatokból az látható, hogy több, nagyon különböző kémiai tulajdonságú folyadék Eötvös-állandója jó közelítéssel valóban 2,1. Vannak azonban olyan folyadékok is, amelyek nem követik ezt a szabályt, hanem k értéke jóval kisebb 2,1-nél, és értéke változik a hőmérséklettel, ezért van k-ra egy intervallum megadva a táblázatban. Ilyen anyag a víz, amely nagyon sok szempontból kivétel, de az alkoholok és a savak is. Ezen anyagok molekulaszerkezetében van közös rész, nevezetesen az -OH csoport.

Az Eötvös-féle állandó kisebb értékét úgy értelmezik, hogy ezeknek az anyagoknak folyékony halmazállapotban más a moláris tömegük, mint gőz halmazállapotban, mégpedig folyékony halmazállapotban nagyobb, mint gőz állapotban. A víz, a savak és az alkoholok folyékony halmazállapotban összekapcsolódott részecskékből, rövid távon rendezett halmazokból – asszociált molekulákból – állnak. Ez a kapcsolat azonban nem annyira állandó, mint egy vegyület molekulája esetében, hanem változó nagyságú, rendezett körzetek kialakulásáról van szó, amelyek folyamatosan keletkeznek és felbomlanak.

Egyes folyadékok – amelyek részecskéi viszonylag hosszúak – Eötvös-féle állandója nagyobb, mint 2,1. Ezek a hosszú molekulák a felületen egymással párhuzamosan és hossztengelyeikkel a felületre merőlegesen helyezkednek el. Ebben az elrendezésben a részecskék kevesebb helyet foglalnak el, mintha rendezetlenül helyezkednének el, vagy pedig gömb alakúak volnának. Ezek a folyadékok tehát a felületi feszültség szempontjából úgy viselkednek, mintha a moláris térfogatuk kisebb lenne a moláris tömegüknek megfelelő értéknél.

## A felületaktív anyagok. Miért mos a mosószer?

A felületaktív anyagok – tenzidek vagy detergensek – az oldószer, például a víz felületi feszültségét csökkentik azáltal, hogy molekuláik a folyadék felületén irányítottan helyezkednek el. Az ilyen tulajdonságú anyagok – ún. amfipatikus jellegű vegyületek – egy hosszabb szénláncú liofób (vízre vonatkoztatva hidrofób) csoportot és liofil (vízre vonatkoztatva hidrofil) atomot, vagy rövid atomcsoportot tartalmaznak. A hagyományos szappan is ilyen szerkezetű: hosszú szénláncú, természetes eredetű zsírsavak nátriumsói.

A mosószerek legfontosabb tulajdonsága a mosóhatásuk szempontjából, hogy csökkentik a felületi feszültséget. Ugyanis a víz a nagy felületi feszültsége miatt a textilszövet finom pórusaiba nem képes behatolni, ezért onnét például a zsíros szennyeződést sem tudná eltávolítani. Szappan – és más, ma használatos nagy hatású mosószerek – segítségével azonban képes erre. A detergens részecskék a zsír és a víz közötti közös határrétegbe úgy épülnek be, hogy a hidrofób részük benyúlik a zsírcsepp belsejébe, a hidrofil pedig a vízbe. Mozgatással a zsírcseppek elszakadnak a textil felületétől és emulziót képeznek.

## Mérési módszerek

Folyadék halmazállapotú rendszerek felületi (határfelületi) feszültségének mérésére többféle módszer is kínálkozik, mint pl.

a kapilláris emelkedés módszere,

a buboréknyomásos módszer,

a sztalagmométeres módszer,

a kiszakításos módszer és

a nyugvó csepp módszer, főként nagyhőmérsékleten, például fémolvadék esetén.

### Kapilláris emelkedés és kapilláris süllyedés

A kapilláris emelkedés (süllyedés) módszerével a felületi feszültség meghatározását a folyadékba merülő r sugarú kapillárisban h magasra emelkedő (vagy mélyre süllyedő) folyadék hidrosztatikai nyomásának mérésére vezetjük vissza. A ρ sűrűségű folyadékoszlop súlya egyensúlyt tart a meniszkusznál fellépő adhéziós erővel. A fentebb már levezetett összefüggésből a felületi feszültségre az alábbi egyenlet adódik:

$\gamma = \frac{r\rho g h}{2 \cos \mathit \Theta} \ .$

Az egyenletben:

γ a felületi feszültség, N·m<sup>−1</sup>

r a kapilláris sugara, m

ρ a folyadék sűrűsége, kg·m<sup>−3</sup>

h a kapilláris emelkedés (süllyedés), m

Θ a kapilláris és a folyadék közötti nedvesítési peremszög.

### A buboréknyomásos módszer

A buboréknyomásos módszerrel azt a külső nyomást mérjük, amely szükséges ahhoz, hogy a mérendő felületi feszültségű folyadékba h mélységre bemártott r sugarú kapilláris végén buborék képződjék. Ez a nyomás a p<sub>γ</sub> kapilláris nyomás. Ha a buborék r sugarát dr-rel megnöveljük, a buborék térfogata 4π r2dr-rel, felülete pedig 8πrdr -rel nő meg. A közben végzett térfogati munkának egyenlőnek kell lennie a felületi feszültség munkájával:

$p_{\gamma} 4\pi r^2 \mathrm dr = \gamma 8\pi r \mathrm dr \ ,$

amiből a felületi feszültség:

$\gamma = 0{,}5 rp_\gamma \ .$

Lassú buborékolás esetén a kapilláris végén képződő buborékban kialakuló nyomás (p<sub>γ</sub>) és a kapilláris bemerüléséből származó hidrosztatikai nyomás (p<sub>h</sub>) összege azonos az edényben levő nyomás és a külső légnyomás közötti különbséggel (p<sub>m</sub>), amit a manométerrel mérünk, vagyis:

$p_\gamma +p_\mathrm h = p_\mathrm m \ ,$

$\frac{2\gamma}{r} + h_\mathrm v \rho_\mathrm v g = h_\mathrm m\rho_\mathrm m g \ .$

A vizsgált folyadék felületi feszültsége a

$\gamma = 0{,}5 (h_\mathrm m - h_\mathrm v)\rho gr \ ,$

kifejezéssel számítható.

Az összefüggésekben:

p<sub>γ</sub> a kapilláris nyomás, Pa

γ a felületi feszültség, N·m<sup>−1</sup>

r a kapilláris sugara, m

ρ<sub>v</sub> a folyadék sűrűsége, kg·m<sup>−3</sup>

h<sub>v</sub> a kapilláris bemerülési mélysége, m

r<sub>m</sub> a manométerfolyadék sűrűsége, kg·m<sup>−3</sup>

h<sub>m</sub>a manométerfolyadék maximális nívókülönbsége, m

g a nehézségi gyorsulás, 9,81 m·s<sup>−2</sup>

A kapilláris sugarának közvetlen mérése nehézkes, ezért azt ismert felületi feszültségű folyadékban (pl. vízben) kialakult nyomáskülönbség mérése útján lehet meghatározni.

A víz hőmérséklettől függő felületi feszültsége t °C-on a

$\gamma = 0{,}0729 - 1{,}55\cdot 10^{-4} (t- 18 ) \ , \mathrm {N\cdot m^{-1}} \ ,$

egyenletből számítható ki. Ennek ismeretében a kapilláris sugara az:

$r = \frac{2\gamma_\mathrm v}{(h_\mathrm m - h_\mathrm v)\rho_\mathrm v g} \ , \mathrm {m} \ .$

összefüggésből adódik.

A buboréknyomásos módszerrel nem csak felületi feszültség mérhető, hanem – ha ismert a felületi feszültség – a kapillárist két különböző mélységbe bemerítve a vizsgálandó folyadék sűrűsége is meghatározható.

### A sztalagmométeres módszer

A sztalagmométeres módszer elve azon alapszik, hogy a folyadék a speciálisan kialakított pipettából, a sztalagmométerből lassan kicsepegve a felületi feszültségétől és a sűrűségétől függő nagyságú cseppeket képez. A csepp leszakadása éppen akkor következik be, amikor a növekvő csepp súlya (m<sub>o</sub>g = v<sub>o</sub>ρ<sub>o</sub>g) egyenlő lesz a sztalagmométer tárcsaszerűen kiképzett r sugarú, alsó csiszolt korongján működő felületi erővel: (2rπγ<sub>o</sub>). A felületi feszültség a V térfogatú pipettában lévő oldat kicsepegtetésekor észlelt cseppszámából (n<sub>o</sub>) az alábbi módon számítható:

$2r \pi \gamma_\mathrm o = v\rho_\mathrm o g = \frac{V\rho_\mathrm o g}{n_\mathrm o} \ ,$

ill. víz esetén:

$2r \pi \gamma_\mathrm v = \frac{V\rho_\mathrm v g}{n_\mathrm v} \ ,$

amelyből az oldat felületi feszültsége:

<math> \gamma\_\mathrm o = \gamma\_\mathrm v \frac{n\rho\_\mathrm o

}{n\_\mathrm o} \\ .</math>

Az összefüggésekben:

n<sub>o</sub> a vizsgált oldat cseppszáma,

n<sub>v</sub> a víz cseppszáma,

r a sztalagmométer korongjának a sugara, m

γ<sub>o</sub> a vizsgált oldat felületi feszültsége, N·m<sup>−1</sup>

γ<sub>v</sub> a víz felületi feszültsége, N·m<sup>−1</sup>

ρ<sub>o</sub> az oldat sűrűsége, kg·m<sup>−3</sup>

ρ<sub>v</sub> a víz sűrűsége, kg·m<sup>−3</sup>

g a nehézségi gyorsulás, 9,81 m·s<sup>−2</sup>

k a sztalagmométer állandója

V a sztalagmométer térfogata, m3

A sztalagmométer állandóját desztillált víz felületi feszültségének ismeretében, vízzel végzett kísérlet alapján kell meghatározni.

### A kiszakításos módszer

A kiszakításos módszer annak az erőnek a mérésén alapszik, amely egy vékony, R sugarú, gyakran platina-irídium ötvözetből készült gyűrűnek a vizsgált folyadékból történő kiemelése közben, a folyadék felületéről való kiszakításához szükséges (Du Noüy gyűrűs módszere). A gyűrű kiszakadása akkor következik be, amikor az F<sub>o</sub> húzóerő éppen meghaladja a kör alakú gyűrű kerületén – a két folyadékfilmben – működő felületi erőt, vagyis amikor:

$F_\mathrm o =  2\cdot 2R \pi \gamma_\mathrm o \ ,$

amelyből az oldat felületi feszültsége:

$\gamma_\mathrm o = \frac{F_\mathrm o}{4R\pi} = k'F_\mathrm o\ .$

Az F erő mérésre ún. torziós mérleg alkalmas, amelyet mérés előtt ismert felületi feszültségű folyadékkal – célszerűen például desztillált vízzel – kalibrálni kell, ezt követően közvetlenül mérhető a folyadék felületi feszültsége. Másik módszer szerint egy műszerállandót (k) kell meghatározni, és a mérési eredményt az alapján korrigálni, mivel víz esetében:

$\gamma_\mathrm v = k'F_\mathrm v \ ,$

a két összefüggésből pedig

$\gamma_\mathrm o = \frac{\gamma_\mathrm v}{F_\mathrm v}F_\mathrm o = kF_\mathrm o\ ,$

amely összefüggésekben

R a Pt-Ir-gyűrű sugara, m

γ<sub>o</sub> a vizsgált oldat felületi feszültség, N·m<sup>−1</sup>

γ<sub>v</sub> a víz felületi feszültsége, N·m<sup>−1</sup>

F<sub>o</sub> az oldatból történő kiszakításhoz szükséges erő, N

F<sub>v</sub> a vízből történő kiszakításhoz szükséges erő, N

k a műszerállandó, m<sup>−1</sup>

### A nyugvó csepp módszer

A nyugvó csepp módszere egy sík, szilárd felületen elhelyezkedő folyadékcsepp alakjának megfigyelésén alapul. Az egyensúlyba került folyadékcseppről fénykép készül és a felvételről lemérhető a kialakult nedvesítési peremszög is. A határfelületi feszültségek meghatározzák a kialakult olvadékcsepp geometriai jellemzőit, ezért az olvadékcsepp alakját jellemző paraméterekből számítható az olvadék felületi feszültsége, jó közelítéssel az alábbi összefüggéssel:

$\gamma_\mathrm {lg} = \frac{r\rho g XZ^2}{6 (X-Z)} \ .$

A kifejezésben:

γ<sub>lg</sub> az olvadék felületi feszültsége, J/m2 ,

ρ az olvadék sűrűsége, kg/m3 ,

g a gravitációs állandó, 9,81 m/s2 ,

X a csepp legnagyobb horizontális mérete, m,

Z a csepp legnagyobb vertikális mérete, m.

A nyugvó csepp módszer megvalósításához szükséges berendezés vízszintes csőkemencéből áll, amelyben egy vízszintes síkon elhelyezhető a vizsgálandó kerámialap és rajta a vizsgálandó fémdarab (minta). A műszer optikai rendszerrel, hőmérsékletmérésre szolgáló termoelemmel, vákuumrendszerrel és a folyadékcsepp alakjának rögzítésére szolgáló fényképezőgéppel van ellátva.