Osztóösszeg-függvény
Analitikus számelmélet Kezdőlapon szerepelt szócikkek Számelméleti függvények
A számelméletben általában σ(n)-nel jelölt osztóösszeg-függvény avagy szigmafüggvény a természetes számok halmazán értelmezett számelméleti függvény, melynek értéke az argumentum osztóinak összege (az 1-et és magát a független változóként vett számot is beleértve). Képlete tehát

$\N \rightarrow \N; \ \sigma(n) \ := \ \sum_{ \begin{matrix} {d|n} \\ {1 \le d \le n} \end{matrix} } d$.

Például σ(12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28; különleges (elfajult) esetekként σ(0) = 0; σ(1) = 1. További példákat lásd lentebb.

Az osztóösszeg-, latinul summis divisorum-függvény, ∫ n-nel jelölve, már Leonhard Euler egy 1750–60-as évek-as években írt dolgozatában is szerepelt, a rá vonatkozó kanonikus képlettel együtt.

## Értékei kis számokra

## Tulajdonságok

### Algebrai-számelméleti tulajdonságok

#### Értékei prímhatványokra

Ha α\>0 természetes szám és p∈N prímszám, akkor

$\sigma (p^{\alpha}) \ = \ \frac{p^{\alpha +1}-1}{p-1}$.

Ennek speciális eseteként

$\sigma (p) \ = \ \frac{p^{2}-1}{p-1} \ = \ p+1$.

A második egyenlőség a prímszám definíciójának is egyszerű következménye, hiszen egy p prímnek pontosan két osztója van: 1 és p, ezek összege p+1. Az első egyenlőség a számelmélet alaptételéből következik, ugyanis p<sup>α</sup> osztói pontosan a p<sup>β</sup> alakú számok, ahol 0≤β≤α és β∈N; tehát az osztók rendre 1, p, p<sup>2</sup>, ..., p<sup>α</sup>, egy α+1 tagú, 1 kezdőelemű és p hányadosú mértani sorozat elemei, melynek összegképlete pont a fent írt egyenlőséget adja.

#### Kanonikus kiszámítási mód

A multiplikativitást és az előző tulajdonságot felhasználva, az argumentum kanonikus alakja ismeretében a szigmafüggvényt kiszámító képlet adható. Eszerint ha az n\>1 természetes szám prímtényezőkre bontása (kanonikus alakja)

$n \ = \ p_{1}^{\alpha_{1}} p_{2}^{\alpha_{2}} ... p_{g}^{\alpha_{g}} \ = \ \prod_{i=1}^{g} p_{i}^{\alpha_{i}}$ (α<sub>1</sub>, ..., α<sub>g</sub>, g ∈N<sup>+</sup> és p<sub>1</sub>, ..., p<sub>g</sub> prímszámok);

akkor érvényes:

<math> \sigma (n) =

`\left( p_{1}^{0}+p_{1}^{1} + ... p_{1}^{\alpha_{1}} \right) \left( p_{2}^{0}+p_{2}^{1} + ... p_{2}^{\alpha_{2}} \right) ... \left( p_{g}^{0}+p_{g}^{1} + ... p_{g}^{\alpha_{g}} \right) = `</math>

$= \prod_{i=1}^{g} \sum_{j=0}^{\alpha_{i}} p_{i}^{j} = \prod_{i=1}^{g} \frac{ p_{i}^{\alpha_{i}+1} -1 }{p_{i}-1}$.

#### Multiplikativitás

(Gyengén) multiplikatív, azaz relatív prím számok szorzatán felvett értéke a számokon felvett értékek szorzata. Formálisan:

$\forall a,b \in \Z: \ \left( \ \ \left(a,b\right)=1 \ \Rightarrow \ \sigma(ab) = \sigma(a) \cdot \sigma(b) \ \right)$

Például:

- a=4, és σ(4) = 7;
- b=15, és σ(15) = 24;

(lásd az Értékei kis számokra c. táblázatot)

A két szám szorzata: 4·15 = 60, valamint σ(60) = 1+2+3+4+5+6+10+12+15+20+30+60 = 168, ami pontosan 7·24.

Ez a tulajdonság a számelmélet alaptételének egyszerű következménye. Jelölje Σ, ahogy szokásos, egy számhalmaz vagy elemrendszer elemeinek összegét. Ekkor:

1. Ha a vagy b nulla, akkor szorzatuk is nulla, a függvény szorzatukon felvett értéke is nulla; ugyanakkor a függvény legalább egyikükön (a nulla értékűn) felvett értéke is nulla, így ez esetben az állítás igaz. Feltehető, hogy a,b\>0.
2. Jelölje A az a osztóinak halmazát, B a b osztóinak halmazát; C az ab osztóinak halmazát; ekkor a számelmélet alaptételének egyik következménye szerint relatív prím számok szorzatának osztói a tényezők osztóinak szorzatai; a szorzás disztributivitása alapján pedig ekkor Σ(A)Σ(B) = (a<sub>1</sub>+...+a<sub>j</sub>)(b<sub>1</sub>+...+b<sub>k</sub>) = a<sub>1</sub>Σ(B)+...+a<sub>j</sub>Σ(B) = {a<sub>1</sub>y \| y∈B}+...+{a<sub>j</sub>y \| y∈B} = Σ{xy\|x∈A, y∈B} = ΣC = σ(ab). ■

#### A szigmafüggvény által felvett értékek osztályzása

σ(n) akkor és csak akkor 2-hatvány, ha n=1, vagy n különböző Mersenne-prímek szorzata (Sierpiński 1958–59, Sivaramakrishnan 1989, Kaplansky 1999). A függvény értéke akkor és csak akkor páratlan, ha n négyzetszám vagy négyzetszám kétszerese. Subarao egy 1974-es eredménye szerint

nσ(n) ≡ 2 (mod φ(n))

akkor és csak akkor, ha n prím, vagy ha 4, 6, vagy 22.

### Analitikus tulajdonságok

A szigmafüggvény növekedése szabálytalan (nem monoton, nem csak az argumentum nagyságától függ, hanem annak multiplikatív szerkezetével (prímfelbontás) is erős kapcsolatban áll).

#### Alulról korlátos

A szigmafüggvény triviálisan alulról korlátos és alsó határa 0, hiszen értéke bármely nemnegatív argumentumra nemnegatív, és a 0-t az n = 0 esetben fel is veszi. Vagyis

min(R(σ(n))) = 0.

(A fentiek következményeképp inf(R(σ(n))) = 0.)

#### Felülről nem korlátos

A függvény felülről nem korlátos, hiszen minden n természetes számra teljesül n ≦ σ(n) (lásd a következő bekezdést). Ha most K akármilyen valós szám és N tetszőleges, nála nagyobb természetes szám (ilyen az arkhimédeszi axióma alapján létezik), akkor K \< N ≦ σ(N), így σ nem felülről korlátos.

#### Az argumentumnál nagyobb

Egyszerű tulajdonság, hogy σ(n)≥n+1, amennyiben n≥2. Ugyanis maga n és 1 mindig két különböző osztója n-nek, ha n≥2, és így, ha A-val jelöljük az ezektől különböző osztók összegét (A≥0), akkor n\>2-re σ(n)=1+A+n≥n+1. Szemléletesen ez azt jelenti, hogy a függvénygrafikon az n→n+1 „diszkrét egyenes fölötti síkrészbe esik”. Megjegyezzük, hogy ha n\<2, akkor σ(n)=n, vagyis minden természetes számra csak a fenti állításnál „kevesebbet mondó” n≤σ(n) egyenlőtlenség igaz.

#### Grönwall tétele

A szigmafüggvény növekedését nagy vonalakban a következő határértékkel jellemezhetjük:

$\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{\sigma(n)}{n\ \log \log n}=e^\gamma$.

ahol $\gamma$ az Euler–Mascheroni-állandó. Ezt a tételt Thomas Hakon Grönwall tette közzé 1913-ban. Srínivásza Rámánudzsan tőle függetlenül egy hasonló, de gyengébb eredményt fedezett fel.

#### Értékei összege és átlaga

$\sum^{x}_{n=1}\sigma(n)=\frac{\pi^2}{6}x^2+O(x\log x)$

és itt $O(x\log x)$ helyett már nem írhatunk $o(x\log\log x)$-et.

Erdős, Bateman, Pomerance és Straus 1980-ban publikált eredményei szerint az n szám osztói átlagának, vagyis az

$A(n) \ := \ \frac{\sigma (n)}{d(n)}$

függvény folytonos összegére érvényesek a következő aszimptotikus egyenlőségek:

$S_{A}(x) \ := \ \sum_{n \le x} A(n) \ \sim \ cx^{2}( \log x)^{-\frac{1}{2}}$,

ahol c egy, a cikkben meghatározott konstans; míg

$M_{A}(x) \ := \ \sum_{A(n) \le x} 1 \ \sim \ \lambda x \log x$,

ahol λ szintén egy, a szerzők által megadott állandó.

#### A szigmafüggvény és a Riemann-zétafüggvény

Több tételt (Robin tétele, Lagarias tétele) sikerült bizonyítani a szigmafüggvény növekedésének és a Riemann-sejtés érvényességének kapcsolatáról, ezeket ld. ott.

## Számok számelméleti osztályzása a szigmafüggvény értékei alapján

### Tökéletes és barátságos számok

Rengetegféle számosztályt vizsgáltak, közülük sokat komolyabb eredmények nélkül, melyek megkülönböztetése elemeiknek a szigmafüggvény által felvett értékei különbségén vagy azonosságán alapul.

Tökéletes számok például azok, melyeken a szigmafüggvény értékként pontosan a szám kétszeresét veszi fel (n tökéletes, ha σ(n)=2n). Azokat a számokat, ahol az osztóösszeg kisebb a szám kétszeresénél, hiányos számoknak nevezzük, amelyeknél pedig nagyobb, azokat bővelkedő számoknak.

Azokat a számpárokat, amelyekre igaz, hogy az egyik szám osztóinak összege a másik számmal egyenlő (és fordítva) barátságos számoknak hívjuk. Ezek az elnevezések (tökéletes szám, barátságos számok) mind az ókori görögöktől származnak, akik az ilyen számoknak különleges jelentőséget tulajdonítottak.

### Még tökéletesebb és nem-annyira-tökéletes számok

Majdnem tökéletes számoknak nevezzük azon hiányos számokat, amelyek osztóösszege csak 1-gyel marad el kétszeresüktől (azaz: valódi osztóik összege eggyel kevesebb náluknál maguknál). Egyszerű számolás (ld. a prímhatványok osztóösszegére vonatkozó képletet) mutatja, hogy minden kettőhatvány majdnem tökéletes, de nem tudjuk, rajtuk kívül vannak-e majdnem tökéletes számok.

Kvázitökéletes számok azok a bővelkedő számok, melyek osztóösszege 1-gyel több, mint kétszeresük, azaz valódi osztóik összege 1-gyel több, mint önmaguk. Nyitott probléma, hogy létezik-e akár egyetlen kvázitökéletes szám is, azt tudjuk, hogy 10<sup>35</sup> alatt nem található ilyen.

Többszörösen tökéletes számok: m-szeresen tökéletes (vagy m-szeresen multiperfekt számok) számok azon n-ek, melyekre σ(n)=mn. A tökéletes számok kétszeresen tökéletesek. Léteznek háromszor tökéletes számok is, mint például 120. Léteznek négyszeresen, ötszörösen, hatszorosan és hétszeresen tökéletes számok is. A legnagyobb ismert multiperfekt szám kb. 1346-jegyű.

## Általánosítások

Leggyakrabban előforduló általánosítása az osztóhatványösszeg-függvény, mely a független változó osztói r-edik hatványainak összege (r valós szám):

$\sigma_{r}(n) \ := \ \sum_{ \begin{matrix} {d|n} \\ {1 \le d \le n} \end{matrix} } d^{r}$

A függvény σ<sup>m</sup>(n) jelű m-edik iteráltját is vizsgálták:

σ<sup>m</sup>(n) = σ(σ(...(σ(n))...))

(m-szer)

Lehetséges más konkrét algebrai struktúrákban, például kommutatív grupoidokban, félcsoportokban vagy – a legérdekesebb esetként – gyűrűkben is rákérdezni egy adott (x) elemet „osztó” más (y) elemek (az x=dy egyenlet megoldásai, ahol y és d ismeretlenek) összegére. Akadt már egy 1961-es kísérlet a függvény bevezetésére például a Gauss-egészek körében a következő módon: legyen $z = \epsilon \prod_{i=1}^{s}p_{i}^{\alpha_{i}}$ olyan Gauss-prímfelbontása a z Gauss-egésznek, ahol ε egység, p<sub>i</sub> pedig mind az I. síknegyedbe eső prímek (tehát képzetes és valós részük egész együtthatói is nemnegatívak). A z=1 esetében félkanonikus felbontásról van szó, ahol az összes Gauss-egészekbeli prím szerepel, de 0 kitevővel. Ez esetben

$\mathbb{G} \mathcal{n} \left\{ 0 \right\} \rightarrow \mathbb{G}; \ \sigma(z) \ := \ \prod_{i=1}^{s} \frac{ p_{i}^{ \alpha_{i}+1 } -1}{p_{i}-1}$.

A definíció 1-re a σ(1) = 1 értéket adja. Ez azért is jó általánosítás, mivel megőrzi a multiplikativitást.