0,999...
Matematikaoktatás Paradoxonok Racionális számok
A matematikában a 0,999... végtelen szakaszos tizedestört, amelyet még

$0{,}\bar{9},$   $0{,}\dot{9}$ vagy $\ 0{,}(9)$

alakban is írnak. Érdekessége, hogy eggyel egyenlő, minthogy az 1 számnak két tizedestört előállítása is van, az

1,000... és a

0,999...

Más szavakkal a '0,999...' szimbólum ugyanazt a számot jelöli, mint az '1' szimbólum. Magának az 1 = 0,999... egyenlőségnek (illetve az ilyen típusú egyenlőségeknek) sokféle bizonyítása ismert, ezek a szigorúság különböző fokán állnak, attól függően, hogy középiskolások vagy felsőbb tanulmányokat folytatók számára készültek.

Az utóbbi évtizedekben a matematikapedagógusok vizsgálatokat végeztek arra vonatkozóan, hogy a tanulók mennyire fogadják el az 1 = 0,999... típusú egyenlőségeket. A felmérések szerint a tanulók közül sokan alapvetően megkérdőjelezik vagy elutasítják az egyenlőség fennállását, sokakat pedig a tankönyvek, a tanárok és aritmetikai érvelések meggyőznek arról, hogy igaz a szóban forgó egyenlőség. Mindazonáltal gyakorta ragaszkodnak ahhoz, hogy az állítás igazsága további igazolásra szorul. A diákok érvelése (akár az állítás cáfolásakor, akár igazolásakor) általában a valós számokkal kapcsolatos néhány intuitív elképzelés körül csoportosul. Például, hogy minden egyes számnak egyetlen tizedestört alakja van. Egy másik elképzelés, hogy az 1 a 0,999...-től végtelen kicsiben különbözik, ahol a különbség az infinitezimális egység.

## Definíció

A 0,999... az a szám, amely a 0; 0,9; 0,99; 0,999, ... sorozat határértéke. E sorozat n-edik elemében n–1 kilences van a tizedesvessző után. Így az az állítás, hogy 0,999... = 1, egyenértékű azzal, hogy ez a sorozat az egyhez tart.

A határérték létezik, hiszen a sorozat monoton növekvő (az n+1-edik tag 9·10<sup>-n</sup>-nel nagyobb az n-ediknél) és felülről korlátos (az 1 jó felső korlát).

== A 0,999... = 1 állítás == A 0,999... végtelen tizedestört, és az állítás néhány nagyon egyszerű bizonyítása kihasználja a tízes számrendszer aritmetikai tulajdonságait. Az összehasonlítás alaptulajdonsága: két véges tizedestört, aminek különbözőek a jegyeik, különböző számot jelent, eltekintve az utánuk írt nulláktól. Az 1 nem kitüntetett szám abban az értelemben, hogy csak ő rendelkezne két tizedestört alakkal. Minden véges tizedestört alakban írható szám kétféleképpen is megadható. Például:

$\frac{6}{5}=1{,}2000\dots = 1{,}1999\dots\,$

Továbbá a valós számok végtelen sor alakjában való felírása, mint amely maga a 0,999... kifejezés is, a tízestől különböző számrendszerben sem feltétlenül egyértelmű. Minden számrendszerben vannak olyan valós számok, melyek többféleképpen írhatók fel az adott számrendszerben, mi több, ez még a tört és irracionális alapú számrendszerekben is így van. A jelenség alkalmazásaként megemlíthetjük a Cantor-halmazra vonatkozó vizsgálatokat. Speciálisan, bármely 0,99...9 alakú szám egynél kisebb, ha véges sok kilences van benne.

### Kételkedők és érveik

Még a matematika szakos hallgatók is gyakran kételkednek 0,999... és 1 egyenlőségében. Az okok között szerepel a határérték szabatos fogalmától való makacs idegenkedésük és az infinitezimális mennyiségek természetéről való – a bevett nézethez képest – másként gondolkodásuk. A zavart több közös tényező fokozza:

- Úgy látják, hogy minden valós számnak egyféle tizedestört alakja van. Számukra az a jelenség, hogy egy számnak két lényegesen eltérő tizedestört alakja van, paradoxnak tűnik, zavarukat csak fokozza, hogy pont az 1-ről van szó, amiről azt gondolják, hogy ennek természetét már jól ismerik.
- Néhányan úgy értelmezik a "0,999..." alakot, mint ami sok, de véges sok 9-esből áll, melyek darabszáma esetleg változó vagy határozatlanul nagy. Ha pedig mégis elfogadják a végtelen sok 9-est, akkor pedig egy utolsó 9-est képzelnek valahová a végtelenbe.
- A határérték fogalmának intuitív vagy homályos bevezetése, feltételezése az oktatásban ahhoz vezethet, hogy a hallgatók a határérték megadását inkább valamiféle végtelen eljárásnak fogják fel, mint egy konkrét értékre való rámutatásnak, előtérbe helyezve azt a jelenséget, hogy a sorozatnak nem kell elérnie határértékét. Amikor a sorozat és határértékének különböző volta a hallgatók számára világos, akkor intuitív tárgyalás esetén számukra a "0,999..." szimbólum sokkal inkább sorozat, mint határérték.
- Egyesek a 0,999...-et rögzített értéknek fogják fel, ami egy infinitezimális mértékű mennyiséggel kisebb 1-nél.
- Mások meggyőződése, hogy egy konvergens sor összege legjobb esetben is csak közelítés, azaz 0,999... ≈ 1.

Mindezen szemléletek a valós számok hagyományos értelmezésében hibás gondolatmenetek alapjai, ám néhány közülük érvényes lehet más számkörökben, például a nemsztenderd valós számok elméletében. Hasznosak lehetnek továbbá akár általános matematikai értelemben, akár tanulságos ellenpéldaként tekintve, ami a 0,999... jobb megértéséhez vezethet.

Nagy részükkel David Tall is találkozott, amikor a tanulást és a gondolkodást tanulmányozta hallgatói körében. Úgy találta, hogy a hallgatók azért utasították el először ennek az egyenlőségnek a gondolatát, mert a 0,999... számot egy olyan sorozatnak látták, amely egyre inkább megközelíti az 1-et, és nem egy rögzített értékként.

A következő vélemények is felmerültek:

- A 0,999... szám a legnagyobb végtelen tizedestört, ami kisebb 1-nél.
- Nem határozhatod meg, hogy hány tizedesjegye van.

Legtöbbjük meggyőzhető az elemi bizonyítások segítségével, de vannak, akik továbbra is kételkednek és frusztrálódnak. A hallgatók, akik képesek precíz definíciókat alkalmazni, egy meglepő eredmény láttán automatikusan újra az intuitív képek hatása alá kerülnek, így a kevésbé elemi bizonyításokat sem mindig értik meg.

Egy valós analízist tanuló hallgató például képes volt belátni, hogy <sup>1</sup>⁄<sub>3</sub> = 0,333... a szuprémum segítségével, de még mindig ellenállt a 0,999... = 1 egyenlőségnek, a hosszú osztásra vonatkozó tapasztalataira hagyatkozva. Mások, akik szintén be tudják bizonyítani, hogy <sup>1</sup>⁄<sub>3</sub> = 0,333..., még mindig nem érzik megfelelőnek a törteket használó bizonyítást, mondván, hogy a logika fontosabb a matematikában, mint a számítások.

Joseph Mazur mesélte, hogy volt egy egyébként kitűnő hallgatója, aki majdnem mindenben kételkedett, amit az oktatója mondott, de mindig hitt a számológépének. Azt hitte, hogy 9 tizedesjegy elég a matematikához, még ahhoz is, hogy kiszámolja 23 négyzetgyökét. Képtelen volt megérteni a 9,99... = 10 határértékes bizonyítását, és „vadul elképzelt végtelen növekvő sorozatnak” nevezte.

Ed Dubinsky és Tsai elmélete szerint, akik a 0,999... számot véges, de meghatározatlanul hosszúnak fogják fel, amely egy végtelenül kis mennyiséggel kisebb 1-nél, azok nem értették meg a végtelen tizedestörteket eredményező végtelen sorokat. Megint mások a sor és sorösszeg fogalmát nem képesek megkülönböztetni. Számukra a 0,999... egy sort (tehát egy számítási eljárást és nem sorösszeget, vagyis számot) jelöl, míg az 1 az szám, azaz nem ugyanolyan minőségű, így nem lehetnek egyenlők.

### Bizonyítás

#### Egyszerű bizonyítás

Ha $1/3 = 0{,}333\dots$, akkor $3/3 = 0{,}999\dots$. Mivel $3/3 = 1$, ezért $0{,}999\dots = 1$

#### Algebrai bizonyítások

##### Bizonyítás törtekkel

A törtek felírhatók véges vagy végtelen szakaszos tizedestört alakban. Így például <sup>1</sup>⁄<sub>3</sub> egyenlő lesz a 0,333... végtelen szakaszos tizedestörttel, amiben a 3-as számjegy végtelen sokszor ismétlődik. Ezt az egyenlőséget hárommal szorozva adódik a 0,999... = 1 egyenlőség.

Minden 3-as számjegy 3-mal szorzódik, így lesz belőle 9, ezért 3 × 0,333... = 0,999... (nincs átvitel), és 3 × <sup>1</sup>⁄<sub>3</sub> = 1, tehát $0,999\dots = 1$.

A bizonyítás egy másik változata az <sup>1</sup>/<sub>9</sub> = 0,111... egyenletet szorozza 9-cel.

Ugyanennek a bizonyításnak egy könnyített változata <sup>9</sup>/<sub>9</sub> = 1, és <sup>9</sup>/<sub>9</sub> = 0,999..., mivel <sup>1</sup>/<sub>9</sub> = 0,111... Az egyenlőség tranzitivitása miatt 1 = 0,999...

Ez az okoskodás hallgatólagosan feltételezi, hogy a végtelen tizedes törtekkel ugyanúgy kell szorozni, mint a végesekkel: itt például bizonyítás nélkül elfogadjuk, hogy a

$\begin{align}
9 \times 0,1 &= 0,9 \\
9 \times 0,11 &= 0,99 \\
9 \times 0,111 &= 0,999 \\
9 \times 0,1111 &= 0,9999 \\
\end{align}$

típusú azonosságokból következik, hogy

$9 \times 0,111\dots = 0,999\dots$

##### Számjegy-manipuláció

A bizonyítás egy másik módja azt a tényt használja ki, hogy 10-zel szorozva a jegyek nem változnak, csak a tizedesvessző mozdul el, és hallgatólagosan feltételezi, hogy ez a szabály a végtelen tizedes törtekre is érvényes. Ezért 10 × 0,999... = 9,999..., ami 9-cel nagyobb az eredeti számnál.

A 9,999... – 0,999... kivonás jegyről jegyre végezhető el, és 9 – 9 = 0 minden, a tizedesvessző utáni jegyre fennáll. Így a művelet eredménye 9.

Most felírunk egy egyenletrendszert, és megoldjuk 0,999...-re. Nevezzük ezt a számot c-nek. Az egyenlet így néz ki: 10c – c = 9. Ez lényegében ugyanaz, mint 9c = 9. Ezt 9-cel osztva c = 1.

Egyenletek sorozatával felírva

<math>

\begin{align} x &= 0,999\ldots \\ 10 x &= 9,999\ldots \\ 10 x - x &= 9,999\ldots - 0,999\ldots \\ 9 x &= 9 \\ x &= 1 \\ 0,999\ldots &= 1 \end{align} </math>

#### Valós analízis

A 0,999...-re vonatkozó kérdés valójában nem érinti az analízis megalapozási problémáit, valós számok bevezetéséhez nincs szükség tizedestört-előállításra, így az ezzel a kérdéssel való foglalkozás a matematika szokásos felépítésében sokáig halogatható. Előbb-utóbb azonban elkerülhetetlen, hogy az analízis definiálja a valós számok tizedestört alakját. Ezen olyan

$b_0,b_1b_2b_3b_4b_5\dots$

szimbólumsorozatot értünk, melyben b<sub>0</sub> jelöli a szám egészrészét, a törtrészt pedig a

$(b_1;b_2;b_3;\dots;b_n;\dots)\,$

végtelen, tizedesjegyekből álló sorozat elemei reprezentálják. A tizedesvessző az egész- és a törtrészt választja el. A 0,999... vizsgálatánál eltekinthetünk a negatív egészrész esetétől, sőt akár magától az egészrésztől is. Világos, hogy:

- a törtrészben végtelen sok jegy is lehet,
- a jelölés helyiértékes, azaz például az 5 az 500-ban tízszer annyit ér, mint az 50-ben, és 0,05-ben tízszer annyit ér, mint 0,005-ben.

##### Végtelen sorozatok és sorok

A végtelen tizedestörteket többnyire végtelen sorok összegeként vezetik be. Általános esetben a tizedestört alak által kijelölt szám értéke:

$b_0 , b_1 b_2 b_3 b_4 \ldots = b_0 + b_1({\tfrac{1}{10}}) + b_2({\tfrac{1}{10}})^2 + b_3({\tfrac{1}{10}})^3 + b_4({\tfrac{1}{10}})^4 + \cdots .$

Mivel a 0,999...-ben a tizedesjegyek mind azonosak, ezért az előbbi képlet kiszámításához elegendő a mértani sorokról szóló tételhez fordulnunk. Eszerint, ha a tetszőleges valós szám, amely a mértani sor kezdőeleme és \|r\| \< 1 szám, akkor

$a+ar+ar^2+ar^3+\cdots = a\cdot\frac{1}{1-r}.$

Jelen esetben a sor az előbbi második tagjánál kezdődik:

$ar+ar^2+ar^3+\cdots = \frac{ar}{1-r}$

A 0,999... esetén a = 9 és r = $\scriptstyle{\frac{1}{10}}$, ezért a képlet ekkor

$0,999\ldots = 9(\tfrac{1}{10}) + 9({\tfrac{1}{10}})^2 + 9({\tfrac{1}{10}})^3 + \cdots = \frac{9({\tfrac{1}{10}})}{1-{\tfrac{1}{10}}} = 1.\,$

Ez a bizonyítás (pontosabban a 9,999... = 10 bizonyítása) Leonhard Euler 1770-es Az algebra elemei című munkájában is szerepel.

Felhasználtuk azt a tételt, ami szerint, ha (a<sub>n</sub>) konvergens számsorozat, és határértéke a, akkor tetszőleges $c \in \mathbb R$-re a ca<sub>n</sub> sorozat is konvergens, és határértéke ca.

Ennek bizonyításához először tekintsük azt a speciális esetet, amikor a = 0.

Legyen ε tetszőleges pozitív szám, és K \> \|c\| pozitív szám. (a<sub>n</sub>) tart a nullához, ezért ε /K -hoz van egy elég nagy N szám, hogy ha n\>N, akkor \|a<sub>n</sub>\| \< ε /K. Eszerint minden n\>N-re \|(ca)<sub>n</sub>\| = \|ca<sub>n</sub>\| \< Kε /K=ε, és ezzel ca<sub>n</sub> szintén a nullához tart.

Ha a nem nulla, akkor a sorozat minden tagjából levonunk a-t, így olyan (a<sub>n</sub> – a) sorozatot kapunk, amelynek határértéke nulla. A speciális eset szerint, ha c-vel szorozzuk, akkor is tart a nullához, ezért c(a<sub>n</sub> – a) = (ca<sub>n</sub> – ca) határértéke nulla, tehát a ca<sub>n</sub> sorozat ca-hoz tart.

Hasonlók tudhatók két sorozat összeadásáról és kivonásáról is. Itt mindkét sorozatban elmegyünk addig, amíg ε / 2 -nél közelebb kerülünk a határértékhez. Megnézzük, melyikben nagyobb a küszöbszám. Ez a küszöb jó lesz az összegsorozathoz és az ε számhoz.

Ezzel a tétellel bizonyítható a számjegy-manipuláció és a törtekkel való bizonyítás helyessége is.

A mértani sor összegére vonatkozó eredmény Eulernél sokkal korábbi. Már Apollóniosz is használta a parabolaszelet területének meghatározására. A 18. században a deriválásokat tipikus módon a sorokkal végzett tagonkénti műveletekkel végezték úgy, ahogy ennek a szócikknek az algebrai megoldásokat részletező szakaszában bemutattuk. Bonnycastle 1811-es An Introduction to Algebra című tankönyvében már felvonultatja a 0,999...-ra vonatkozó állítás mértani sorral történő bizonyítását. A 19. században pontosították a sorösszeg fogalmát, oly módon, ahogy az ma szokásos: a sor összege nem más, mint egy sorozat részletösszegei sorozatának határértéke. A határérték szigorú fogalmára hivatkozó bizonyítás szerepel például Rudin könyvében.

Bővebben. A (x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub>, ...) sorozat határértéke az x szám, ha az \|x<sub>n</sub> – x\| távolság tetszőlegesen kicsivé válik, amint az n elegendően nagy. A 0,999... = 1 kijelentés megfogalmazható a határérték felhasználásával és igazolható is:

$0,999\ldots = \lim_{n\to\infty}0,\underbrace{ 99\ldots9 }_{n} = \lim_{n\to\infty}\sum_{k = 1}^n\frac{9}{10^k} = \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{10^n}\right) = 1-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{10^n} = 1.\,$

Az utolsó lépésnél – hogy lim <sup>1</sup>/<sub>10<sup>n</sup></sub> = 0 – gyakran hivatkoznak a valós számok arkhimédészi tulajdonságára, azaz arra, hogy minden valós számnál van nagyobb természetes szám (amiből következik, hogy <sup>1</sup>/<sub>n</sub> minden pozitív valós számnál kisebbé válik, ahogy az <sup>1</sup>/<sub>10<sup>n</sup></sub> is).

#### Egymásba skatulyázott intervallumok és legkisebb felső korlátok

A sorösszeggel történő definíció lehetőséget nyújt arra, hogy definiáljuk azt a valós számot, melyet a tizedestört-előállítás meghatároz. Ezzel ellenkező szemlélet, hogy egy adott valós számhoz definiálunk egy olyan tizedestört alakot, amely megnevezi.

Tegyük fel, hogy az x valós számról azt tudjuk, hogy a [0; 10] intervallumba esik. Felírjuk egy tizedes előállítását.

- A [0; 10] intervallumot feloszthatjuk 10 részre úgy, hogy a végpontok fedjék egymást. Az x szám tehát az

  $[0; 1], \quad [1; 2], \quad [2; 3], \dots, \quad [9; 10]$

zárt intervallumok egyikébe biztosan beleesik. Tegyük fel, tudjuk, hogy a [2; 3]-ban van. Ekkor rögzítsük a b<sub>0</sub> = 2 számot, mint tizedestört alakban az egész számot.

- A [2; 3] intervallumot osszuk tovább: [2; 2,1], [2,1; 2,2], ..., [2,8; 2,9], [2,9; 3]. Ekkor x ezek valamelyikébe esik, mondjuk a [2,8; 2,9]-be. Rögzítsük a b<sub>1</sub> = 8-as számjegyet, mint az első számjegyet.
- Az eljárást folytatva egymásba skatulyázott intervallumok végtelen sorozatát kapjuk, amelyeket a jegyek végtelen sorozata címkéz: b<sub>0</sub>, b<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>, b<sub>3</sub>, ..., ami így írható:

x = b<sub>0</sub>,b<sub>1</sub>b<sub>2</sub>b<sub>3</sub>...

Ezt az eljárást szem előtt tartva, az, hogy 1 egyaránt lehet 1,000... és 0,999..., annak a következménye, hogy az 1 szám eleme mind a [0;1], mind az [1;2] intervallumnak, így az eljárás első lépésében akármelyiket választhatjuk az 1 tizedestört előállítására. Az eljárás helyességéhez azt kell megmutatnunk, hogy a tizedestört-előállítás egyetlen valós számra mutat. Ezt meg lehet oldani határértékkel, de más konstrukciók a rendezést használják.

Nyílegyenes választás a beágyazott intervallumok tétele, amely kimondja, hogy egymásba ágyazott zárt intervallumok végtelen sorozatának egy közös pontja van. Így b<sub>0</sub>,b<sub>1</sub>b<sub>2</sub>b<sub>3</sub>... az a szám, amely benne van a {b<sub>0</sub>, b<sub>0</sub>.b<sub>1</sub>, b<sub>0</sub>.b<sub>1</sub>b<sub>2</sub>, ...} intervallumok mindegyikében.

Ez a tétel a valós számok egy még alapvetőbb tulajdonságán nyugszik: a legkisebb felső korlátok, azaz a szuprémumok létén. Ehhez definiálni kell b<sub>0</sub>-t a b<sub>1</sub>b<sub>2</sub>b<sub>3</sub>... approximáló sorozat legkisebb felső korlátjaként. Látható, hogy ez az eljárás konzisztens a felosztási folyamattal, amiből ismét következik, hogy 0,999... = 1.

> Az, hogy egy valós számnak két különböző tizedestört alakja lehet, csupán annak a következménye, hogy van két, valós számokból álló halmaz, amelynek ugyanaz a legkisebb felső korlátja.

#### Valós számok

Más megközelítések a valós számokat a racionális számok fölötti struktúraként tekintik. Az axiomatikus halmazelmélet szerint a 0-val kezdődő természetes számok mindegyikének van rákövetkezője. Az így definiált természetes számok ellentettjeikkel együtt kiadják az egész számokat, és ezek hányadosai pedig a racionális számokat. Ezeken a számkörökön belül aritmetikai műveletek is végezhetők: ezek a számok összeadhatók, kivonhatók, szorozhatók, oszthatók egymással. Sőt, rendezett struktúrákat adnak, így az egyik szám összehasonlítható egy másikkal, és nemcsak azt lehet megkérdezni, hogy egyenlőek-e, hanem lehet az egyik kisebb vagy nagyobb a másiknál.

Az előzőknél jóval nagyobb kiterjesztés a racionális számokról a valósakra áttérni. Többféle lehetőség is kínálkozik erre, ezek közül kettőt 1872-ben publikáltak: a Dedekind-szeleteket és a Cauchy-sorozatokat. A valós analízisről szóló jegyzetek nem tartalmazzák a 0,999... = 1 direkt bizonyítását, inkább az analízis axiómáival foglalkoznak. A legtöbb konstrukciónak az a célja, hogy bemutassa vagy igazolja a valós számok axiómáit, amelyek a fenti bizonyításokat támogatják. Néhány szerzőnek viszont az az ötlete, hogy elsőre a konstrukciókat mutassák be, mert úgy logikusabb a felépítés, és a végeredmények függetlenebbek.

##### Dedekind-szeletek

A Dedekind-szeleteket használó megközelítés szerint minden valós szám a nála kisebb racionális számok halmaza. Speciálisan, az 1 azoknak a racionális számoknak a halmaza, amelyek kisebbek 1-nél. Minden pozitív tizedestört meghatároz egy Dedekind-szeletet: azoknak a véges tizedestörteknek a halmazát, amelyek levágással kaphatók belőle. Így a 0,999... valós szám tekinthető az olyan r valós számok halmazának, amelyekre r \< 0 vagy r \< 0,9 vagy r \< 0,99 vagy r kisebb, mint egy $\begin{align}1-(\tfrac{1}{10})^n\end{align}$ alakú szám. 0,999... összes eleme kisebb, mint 1, így eleme az 1 valós számnak. Visszafelé, az 1 elemeire $\begin{align}\tfrac{a}{b}<1\end{align}$, amiből $\begin{align}\tfrac{a}{b}<1-(\tfrac{1}{10})^b\end{align}$. Mivel 0,999... és 1 ugyanazokat az elemeket tartalmazza, ezért a két halmaz, így a két szám egyenlő.

##### Cauchy-sorozatok

A valós számok konstrukciójának egy másik módja a Cauchy-sorozatokat használja.

Először is x és y távolságát az \|x ‒ y\| értékkel definiálja, ahol \|z\| a szokott értelemben vett abszolútérték-függvény. A továbbiakban a megközelítés ezt a távolságmértéket használja.

A sorozatokat leképezésként értelmezi a pozitív egészek halmazáról a valós számok halmazába, ahol is n-nek a sorozat n-edik eleme felel meg. A valós számokat Cauchy-sorozatokként definiálja, ahol is két sorozatot egyenlőnek tekint, ha az (x<sub>n</sub> ‒ y<sub>n</sub>) sorozat határértéke 0.

Ebben a megközelítésben azt kell bizonyítani, hogy az

1 – 0, 1 – (9 / 10), 1 – (99 / 100), ... = 1, (1 / 10), (1 /100), ...

sorozat határértéke 0. A sorozat n-edik tagját tekintve elég megmutatni, hogy$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{10^n} = 0.$$ Ez pedig nyilvánvaló, hiszen a 0,1 \< 1 hányadosú mértani sor határértéke véges.

A Cauchy-sorozatokat használó definíciót elsőként Eduard Heine és Georg Cantor publikálta, mindketten 1872-ben.

#### Általánosítások

A 0,999... = 1 állítás és bizonyításai többféleképpen is általánosíthatók.

1. A nem nulla véges tizedestörtként felírható számoknak van egy másik alakjuk is, amely végtelen sok 9-cel végződik. Például 0,24999... = 0,25 a speciális esethez hasonlóan. Az ilyen számok halmaza sűrű.
2. Másrészt a tízes számrendszerbeli esethez hasonlóan minden számrendszerben felvetődik ugyanez a kérdés. Kettes számrendszerben 0,111... = 1, és hármas számrendszerben 0,222... = 1. A valós analízisről szóló könyvek rögtön ezzel az általánosítással foglalkoznak, és a kettes és a hármas számrendszerből hoznak példákat.

Az 1 alternatív reprezentációja a nem egész alapú számrendszerekben is megjelenik. Például abban a számrendszerben, amelynek $\phi$, az aranymetszési arány az alapja, az 1 két lehetséges reprezentációja 1,000... és 0,101010...; de végtelen sok olyan reprezentáció is van, amelyben szomszédos 1-esek is vannak. Sőt, majdnem minden 1 és 2 közötti számra 1-nek megszámlálhatatlanul sok kifejtése van. Másrészt megszámlálhatatlanul sok olyan alap van, amire az 1-nek csak egy másik kifejtése van az adott alapra nézve. Ezt az eredményt elsőként magyar matematikusok látták be, mégpedig Erdős Pál, Horváth Miklós és Joó István 1990 körül. 1998-ban Komornik Miklós és Paola Loreti meghatározta a legkisebb ilyen bázist, 1,787231650...-t; ahol is fennáll 1 = 0,11010011001011010010110011010011...; a jegyeket a Thue–Morse-sorozat adja, ez a felírás pedig nem periodikus.

Egy még messzebb menő általánosítás a még általánosabb helyi értékes számrendszerekről szól. Ezekben is többféle reprezentáció létezik, és a nehézségek is ezzel együtt nőnek.

A kiegyensúlyozott hármas számrendszerben (ahol a jegyek 0, +1, -1), <sup>1</sup>/<sub>2</sub> = 0,111... = 1,111....

A faktoriális számrendszerben 1 = 1,000... = 0,1234....

Marko Petkovšek belátta, hogy a helyi értékes rendszerek használatának szükséges következménye a többféle számábrázolás. Minden, az összes valós számot ábrázoló számrendszerben sűrű azoknak a valós számoknak a halmaza, amelyek többféleképpen is reprezentálhatók.

### Alkalmazásai

Az egyik alkalmazás az elemi számelmélethez tartozik. 1802-ben H. Goodwin publikálta megfigyelését a végtelen szakaszos tizedestörtekről. Ha a tört nevezője a prímszámok egy bizonyos részéhez tartozik, akkor efféle dolgok történnek:

- <sup>1</sup>/<sub>7</sub> = 0,142857142857... és 142 + 857 = 999.
- <sup>1</sup>/<sub>73</sub> = 0,0136986301369863... és 0136 + 9863 = 9999.

E. Midy egy ennél általánosabb tételt, Midy tételét bizonyította be 1836-ban. A publikáció homályos volt, és tisztázatlan, hogy használta-e a 0,999...-ről szóló eredményt, de W. G. Leavitt egy modern bizonyítása igen. Ha bizonyítható, hogy a 0,b<sub>1</sub>b<sub>2</sub>b<sub>3</sub>... végtelen tizedestört egész szám, akkor ennek a 0,999...-nek kell lennie, ami a tételben szereplő 9-esek forrása.

Az ez irányú próbálkozások motiválhatják a legnagyobb közös osztó, a moduláris aritmetika, a Fermat-prímek, a rendezés, a csoport és a kvadratikus reciprocitás fogalmának megértését.

Visszatérve a valós analízisre, a 3-as számrendszerbeli analóg 0,222... = 1 kulcsszerepet játszik a legegyszerűbb fraktálok egyikében, a Cantor-halmazban:

- Az egységintervallumba eső szám akkor és csak akkor eleme a Cantor-halmaznak, ha felírható a hármas rendszerben csak a 0 és a 2 jegyek használatával.

A felírás n-edik jegye a pont helyére utal a konstrukció n-edik lépésében. Például a 2⁄<sub>3</sub> a megszokott 0,2 vagy 0,2000... alakjában van adva, mert az első törléstől jobbra és az összes törléstől balra fekszik. Az <sup>1</sup>⁄<sub>3</sub> nem 0,1-ként, hanem 0,0222... -ként van reprezentálva, mert az első törléstől balra és az összes törléstől jobbra fekszik.

A kilencesek Cantor más munkáiban is visszatérnek. Az egységintervallum pontjainak megszámlálhatatlanságát a Cantor-féle átlós eljárással is bizonyítani lehet. A bizonyításnak el kell kerülnie az olyan párokat, mint amilyen 0,2 és 0,1999... . Egy egyszerű módszer minden számot végtelen tizedestört alakba ír, tehát a véges tizedestörtekkét felírható számokat is így adja meg. Egy másik módszer kikerüli a végtelen szakaszos kilenceseket. Cantor eredeti érvelése a kettes számrendszert használja, és a hármas számrendszerbeli felírásokat 2-es számrendszerbe transzformálva a Cantor-halmaz megszámlálhatatlan volta bizonyítható.

## Az állítás más számkörökben

Ámbár a valós számok egy nagyon hasznos számkör, a 0,999... valós számnak tekintése konvenció. Timothy Gowers érvelése szerint a 0,999... = 1 egyenlőség konvenció:

> Ez azonban nem egy önkényes megállapodás, hiszen elvetése vagy a megszokott aritmetikai szabályok elvetését, vagy furcsa új objektumok bevezetését kívánja meg.

Definiálhatók új számkörök, melyek más szabályokat használnak, vagy új objektumokat vezetnek be. Ezekben a számkörökben nem mindig működnek a valós számoknál alkalmazott bizonyítások, így újra kell vizsgálni a 0,999... = 1 kérdését, és egyes ilyen számrendszerekben ez az egyenlőség nem teljesül. Mások viszont inkább a valós számok kiterjesztései, mint független alternatívák, és így a 0,999... = 1 egyenlőség továbbra is fennáll.

### Infinitezimálisok

A 0,999... = 1 egyes bizonyításai kihasználják, hogy a standard valós számok arkhimédészien rendezettek: nincsenek nemnulla infinitezimálisok. De vannak nem arkhimédészi rendezett algebrai struktúrák, a valós számok egyes alternatíváit is beleértve. A 0,999... jelentése attól függ, hogy melyik struktúrában tekintjük.

Például a duális számok magukban foglalnak egy infinitezimális elemet, amit ε jelöl. Ez megfelel a komplex testbővítés képzetes egységének, kivéve, hogy ε2 = 0. A duális számokon megadható egy lexikografikus rendezés, amiben ε többszörösei nem arkhimédészi elemek lesznek. Jegyezzük meg, hogy a duális számok körében továbbra is teljesül 0,999... = 1, mivel a duális számok a valós számok kiterjesztései. A duális számok között nincs legkisebb pozitív szám, mert ha van ε, akkor van ε/2 is.

A standard valós számoknak léteznek más alternatíváik is. Ezek konstruálhatók a toposzelmélet segítségével és a többértékű logikával, vagy speciális esetben a klasszikus logikával. Például vannak olyan konstrukciók, amelyekben az infinitezimális elemeknek nincs reciprokuk.

A nem standard analízis arról ismert, hogy egy olyan számkörrel működik, ami infinitezimálisok teljes tömbjeit tartalmazza. Ez lehetőséget ad az analízis egy másfajta megközelítésére, ami talán intuitívabb, mint a standard változat.

A. H. Lightstone 1972-ben foglalkozott a nem standard decimális kifejtésekkel, ahol a (0, 1) kiterjesztett valós számoknak egyértelmű a kiterjesztett decimális kifejtése. A 0,ddd...;...ddd... alakú jegysorozatokat kiterjesztett egész számokkal indexelte. Ebben a formalizmusban a 0,333... -nak két természetes kiterjesztése van:

0,333...;...000... nem létezik

0,333...;...333... = <sup>1</sup>/<sub>3</sub>, mégpedig egész pontosan.

A kombinatorikus számelmélet alternatív valós számokat ad meg, a végtelen kék-piros Hackenbush-stringeket részletes releváns példaként. 1974-ben Elwyn Berlekamp megfeleltette egymásnak a Hackenbush-stringeket és a valós számok kettes számrendszerbeli leírását az adattömörítés által motiválva. Például a LRRLRLRL... Hackenbush-string értéke 0,010101... = <sup>1</sup>/<sub>3</sub>.

Az LRLLL... string, amely 0,111...-t jelent, infinitezimálisan kisebb egynél, a különbségük a szürreális <sup>1</sup>/<sub>ω</sub> szám, ahol ω a legkisebb végtelen rendszám. A releváns játszma LRRRR... vagy másként 0,000....

### A kivonás eltörlése

A bizonyítás egy másik megkérdőjelezhető pontja az 1 ‒ 0,999... kivonás. Ha ez a kivonás nem végezhető el, akkor 0,999... \< 1. Léteznek olyan struktúrák is, amelyekben működik az összeadás, de a kivonás nincs értelmezve: ilyenek például a kommutatív félcsoportok, a kommutatív monoidok és a félgyűrűk. Richman két ilyen rendszert tekintett, és belátta, hogy 0,999... \< 1.

Először is Richman a nem negatív tizedes számokat végtelen tizedestörtekként definiálta. Megadott egy lexikografikus rendezést és egy összeadási műveletet. Ebben a rendszerben 0,999... \< 1, mivel 0 \< 1 az első helyen, de minden végtelen x-re, amire 0,999... + x = 1 + x. Így a tizedes számok körében az összeadás nem mindig megfordítható, és nincs köztük az <sup>1</sup>⁄<sub>3</sub> szám sem. A szorzás bevezetésével a tizedes számok pozitív, teljesen rendezett, kommutatív félgyűrűt alkotnak.

A szorzás definiálásához Richman egy másik rendszert is bevezetett, amit D-szeletnek nevezett. Ez a tizedestörtek Dedekind-szeleteinek halmaza. Rendszerint ez a definíció a valós számokhoz vezet, de a d tizedestört két szeletet is megenged: (‒∞, d ) és (‒∞, d ], ez utóbbi a principális szelet. Ennek eredményeként a valós számok nehezen élnek együtt a tizedestörtekkel. Újra 0,999... \< 1.

Nincsenek pozitív infinitezimálisok a D-szeletekben, de itt rengeteg negatív infinitezimális jelenik meg, például 0<sup>‒</sup>, amelynek nincs végtelen tizedestört alakja. Richman arra a következtetésre jutott, hogy 0,999... = 1 + 0<sup>‒</sup>, ahol a „0,999... + x = 1” egyenletnek nincs megoldása a tizedes számok körében.

### p-adikus számok

Amikor szóba kerül a 0,999..., akkor sokan azt hiszik, hogy van egy utolsó kilences a végtelenben. Az 1 ‒ 0,999... kivonás eredménye a 0,000...1 pozitív szám, ahol az 1 a végtelenben van. Az intuíció világos: ha a 0,999... utolsó kilenceséhez hozzáadunk egyet, az végigfut, lenulláz minden kilencest és az első helyen 1-et ad. Az ötlet egyebek között azon bukik meg, hogy nincs utolsó kilences a 0,999... számban.

Máshol kell keresni a kilencesek egy olyan végtelen sorát, amiben van egy utolsó kilences.

A p-adikus számok egy alternatív számrendszer, amellyel a számelmélet foglalkozik. Miként a valós számok, úgy a p-adikus számok is felépíthetők racionális számok Cauchy-sorozataként. Felfoghatók valós számokként, egy másik metrikában, egy másik helyi értékes rendszerrel. A konstrukció egy nem arkhimédészi metrikát használ, amiben 0 közelebb van p-hez, mint az 1, és p<sup>n</sup> közelebb van a nullához, mint p. A p-adikus számok testet alkotnak, ha p prím, és gyűrűt, ha összetett, mint amilyen a 10 is. Így a p-adikus számok körében műveletek végezhetők, és ehhez nem kellenek infinitezimálisok.

A 10-adikus számok körében a decimális kifejtések analógja balra folyik. A ...999 10-adikus kifejtésben van utolsó kilences, de nincs első. Ha hozzáadunk egyet, akkor ez történik: 1 + ...999 = ...000 = 0, és így ...999 = ‒1.

Egy másik bizonyítás mértani sorokat használ. A ...999 által implikált végtelen sor nem konvergál a szokásos valós metrikában, de a p-adikus metrikában igen. Így használható a formula:

$\ldots999 = 9 + 9(10) + 9(10)^2 + 9(10)^3 + \cdots = \frac{9}{1-10} = -1.$

A harmadik módszert egy hetedikes találta ki, aki kételkedett tanárának határértékes bizonyításában, hogy (a valós számokon) 0,999... = 1, de a tízzel szorzásos bizonyítás arra inspirálta, hogy ugyanezt a másik irányba is elvégezze (a 10-adikus számok körében): ha x = ...999, akkor 10x =  ...990, így 10x = x – 9, tehát x = –1.

Utolsó kiterjesztésként felvetődik még, hogy ha 0,999... = 1, és ...999 = –1, akkor ...999,999... egyenlő-e nullával. Ennek az egyenlőségnek nincs értelme sem a valós számok, sem a p-adikus számok körében, de kiderül, hogy van értelme, és igaz is, ha bevezetjük a dupla tizedestörteket a valós számok reprezentálására, ahol mind a tizedesvessző előtt, mind azután végtelen sok jegy állhat.

## Kapcsolódó problémák

- Zénón paradoxona a futóról egy hasonló paradoxon. A futó paradoxona matematikailag modellezhető, és ugyanúgy, mint a 0,999... = 1, a mértani sorok segítségével feloldható. Nincs tisztázva, hogy ez a matematikai felfogás megfelel-e a Zénón által kutatott metafizikai fogalmaknak.
- A matematikai folklórban elterjedt csokipapíros történet:

Volt egy csokoládé, amibe reklámcéllal szelvényt is csomagoltak. Tíz ilyen szelvényért egy újabb tábla csokoládét lehetett kapni. Kérdés: hány tábla csokoládét ér egy ilyen tábla csokoládé, teljes csomagolásban?

A csomagolásban van egy tábla csokoládé, és egy szelvény is, amiből tízért lehet egy csokoládét kapni. Tehát ez egy tized csokoládé, a hozzá járó tized szelvénnyel. Ezzel a gondolatmenettel a teljes csomagolásban levő csokoládé értéke

$1 + \frac{1}{10} + \frac{1}{100} + \frac{1}{1000} + \dots$

Másrészt a teljes csomagolásban levő csokoládé értéke egész pontosan $\scriptstyle{1\frac{1}{9}}$:

A csomagolásban van egy csokoládé, ez 1. Elég azt igazolni, hogy egy szelvény 1/9 csokoládét ér. Kilenc szelvényhez kérve egy csokit, és utólag a tíz (9+1) szelvénnyel fizetve ez is belátható: szelvény nem maradt, és a csoki is ki lett fizetve.

- A nullával való osztás is előfordul a 0,999... -ről szóló népszerű vitákban, és szintén nagy figyelmet kap. Majdnem minden modern felépítés definiálatlanul hagyja a nullával való osztást, míg a legtöbb szerző definiálja 0,999... -et. Néhány más rendszer viszont definiálja, mint például a komplex analízis, ahol a végtelennel kibővített komplex síkon ennek semmi akadálya sincs; <sup>1</sup>/<sub>0</sub> tehát definiálható végtelennek. Valóban, az eredmények mélyek, és sok mérnöki és fizikai problémára alkalmazhatók. Néhány kiemelkedő matematikus amellett érvelt, hogy először egy ilyen definíciót kell bevezetni, és csak aztán kell a számköröket tárgyalni.
- A negatív nulla egy másik redundáns jelenség a számírással kapcsolatban. Az olyan számkörökben, mint például a valós számok, ahol 0 az additív semleges elem, a ‒0" szokásos értelmezése a 0 additív inverze, amiből következik, hogy ‒0 = 0. Néhány tudományos alkalmazás azonban külön pozitív és negatív nullát használ, ahogy a legtöbb elterjedt számítógépes számírási rendszer. Például az egész számok tárolása előjellel és nagyságrenddel, vagy az IEEE floating-point standard szerinti lebegőpontos számok.

## Kulturális vonatkozások

Az internet növekedésével a 0,999...-ről szóló viták kiszabadultak az osztálytermekből, és helyet foglaltak a hírcsoportokban és a fórumokban, még azokban is, amelyeknek elvben semmi közük sincs a matematikához. A `sci.math` hírcsoportban népszerű időtöltéssé vált a 0,999...-ről érvelni, és erre a kérdésre a hírcsoport FAQ (gyakori kérdések) fejezetében is kitérnek. A FAQ foglalkozik az 1⁄3-dal, a 10-zel való szorzással, a határértékekkel és a Cauchy-sorozatokkal.

Az általános érdeklődéssel kísért The Straight Dope 2003-as kiadása az 1⁄3-dal és a határértékekkel foglalkozik, és a félreértésekre is kitér.

> A bennünk levő alsóbbrendű főemlős még mindig ellenáll, mondván: a 0,999... nem egy szám, hanem egy sor. Ahhoz, hogy egy számot találjunk, meg kell állítanunk, és akkor már 0,999~ = 1.
>
> Ez nonszensz.

A The Straight Dope idéz egy vitát, amely egy olyan üzenőfalról indult, amely leginkább videojátékokról szólt. Ugyanezzel a hévvel a 0,999... kérdése olyan népszerűvé vált a Blizzard Entertainment első hét évében a Battle.net fórumain, hogy Mike Morhaime, a vállalat elnöke sajtótájékoztatót tartott 2004. április 1-jén, hogy 0,999... = 1.

> Nagy örömmel tölt el bennünket, hogy egyszer s mindenkorra lezárhatjuk ezt a fejezetet. Rengeteg fejfájásnak és aggodalomnak voltunk tanúi, hogy vajon 0,999... egyenlő-e vagy nem egyenlő 1-gyel, és most büszkén állíthatjuk, hogy a következő bizonyíték véglegesen és meggyőzően tárgyalja a kérdést ügyfeleink számára.

Blizzard ezután két bizonyítást is közölt, amelyek a határértékeken és a 10-zel való szorzáson alapultak.

## Fordítás