Figyelembe véve, hogy a+b=3 és a³+b³ =81, keresd meg ab értékét!
Adunk egy egyenletrendszert: <br> <br> a + b = 3 -------------- (1. egyenlet) <br> <br> a³ + b³ = 81 -- ------------ (2. egyenlet) <br> <br> Ab értékének meghatározásához használhatjuk a kockafaktorizáció összegét, ami a³ + b³ = (a + b)( a² - ab + b²). Ennek segítségével átírhatjuk a 2. egyenletet a következőképpen: <br> <br> (a + b)(a² - ab + b²) = 81 <br> <br> Az 1. egyenletet behelyettesítve a következőt kapjuk: <br> <br> 3 (a² - ab + b²) = 81 <br> <br> Tovább egyszerűsítve a következőket kapjuk: <br> <br> a² - ab + b² = 27 -------------- (Egyenlet 3) <br> <br> Most négyzetre emelhetjük az 1. egyenletet, hogy megkapjuk: <br> <br> (a + b)² = a² + 2ab + b² = 9 <br> <br> A 3. egyenlet segítségével átírhatjuk ezt a következőképpen: <br> <br> a² + 2ab + b² = (a² - ab + b²) + 2ab + ab = 27 + 3ab = 9 <br> <br> Leegyszerűsítve a következőket kapjuk: <br> <br> 3ab = -18 <br> <br> Ezért ab = -6.
### Utasítás:
Figyelembe véve, hogy a+b=3 és a³+b³ =81, keresd meg ab értékét!


### Válasz:
Adunk egy egyenletrendszert: <br> <br> a + b = 3 -------------- (1. egyenlet) <br> <br> a³ + b³ = 81 -- ------------ (2. egyenlet) <br> <br> Ab értékének meghatározásához használhatjuk a kockafaktorizáció összegét, ami a³ + b³ = (a + b)( a² - ab + b²). Ennek segítségével átírhatjuk a 2. egyenletet a következőképpen: <br> <br> (a + b)(a² - ab + b²) = 81 <br> <br> Az 1. egyenletet behelyettesítve a következőt kapjuk: <br> <br> 3 (a² - ab + b²) = 81 <br> <br> Tovább egyszerűsítve a következőket kapjuk: <br> <br> a² - ab + b² = 27 -------------- (Egyenlet 3) <br> <br> Most négyzetre emelhetjük az 1. egyenletet, hogy megkapjuk: <br> <br> (a + b)² = a² + 2ab + b² = 9 <br> <br> A 3. egyenlet segítségével átírhatjuk ezt a következőképpen: <br> <br> a² + 2ab + b² = (a² - ab + b²) + 2ab + ab = 27 + 3ab = 9 <br> <br> Leegyszerűsítve a következőket kapjuk: <br> <br> 3ab = -18 <br> <br> Ezért ab = -6.


A megoldás helyes és világosan bemutatja a kockafaktorizáció összegének használatát az egyenletrendszer megoldásához. A lépések logikusak és könnyen követhetők. A nyelvhasználat pontos és tömör.

Pontszám: 10/10