Osztályozd az y=3x^3 + 10x^2 + 5 differenciálegyenlet kritikus pontjában lévő pont típusát: maximum, minimum vagy nincs.
Keressük meg a függvény deriváltját: <br> y' = d/dx (3x^3 + 10x^2 + 5) <br> = 9x^2 + 20x <br> <br> Ezután megkeressük a kritikus pontok (ahol a derivált 0 vagy meghatározatlan): <br> 9x^2 + 20x = 0 <br> x (9x + 20) = 0 <br> x1 = 0, x2 = -20/9 <br> > Annak meghatározásához, hogy a kritikus pontok helyi maximumok vagy minimumok-e, meg kell találnunk a második deriváltot: <br> y'' = d^2y/dx^2 <br> = d/dx (9x^2 + 20x ) <br> = 18x + 20 <br> <br> Most minden kritikus ponton kiértékeljük a második deriváltot, hogy meghatározzuk, maximum, minimum vagy egyik sem: <br> - Ha x1 = 0, akkor y-t kapunk ''(0) = 20 > 0, ezért x1 = 0 egy lokális minimum. <br> - Az x2 = -20/9 esetén y''(-20/9) = 18(-20/9) + 20 = -20 < 0, ezért x2 = -20/9 egy helyi maximum . <br> <br> Összefoglalva, az y = 3x^3 + 10x^2 + 5 függvénynek van egy lokális minimuma x1 = 0-nál, és helyi maximuma x2 = -20/9-nél.
### Utasítás:
Osztályozd az y=3x^3 + 10x^2 + 5 differenciálegyenlet kritikus pontjában lévő pont típusát: maximum, minimum vagy nincs.


### Válasz:
Keressük meg a függvény deriváltját: <br> y' = d/dx (3x^3 + 10x^2 + 5) <br> = 9x^2 + 20x <br> <br> Ezután megkeressük a kritikus pontok (ahol a derivált 0 vagy meghatározatlan): <br> 9x^2 + 20x = 0 <br> x (9x + 20) = 0 <br> x1 = 0, x2 = -20/9 <br> > Annak meghatározásához, hogy a kritikus pontok helyi maximumok vagy minimumok-e, meg kell találnunk a második deriváltot: <br> y'' = d^2y/dx^2 <br> = d/dx (9x^2 + 20x ) <br> = 18x + 20 <br> <br> Most minden kritikus ponton kiértékeljük a második deriváltot, hogy meghatározzuk, maximum, minimum vagy egyik sem: <br> - Ha x1 = 0, akkor y-t kapunk ''(0) = 20 > 0, ezért x1 = 0 egy lokális minimum. <br> - Az x2 = -20/9 esetén y''(-20/9) = 18(-20/9) + 20 = -20 < 0, ezért x2 = -20/9 egy helyi maximum . <br> <br> Összefoglalva, az y = 3x^3 + 10x^2 + 5 függvénynek van egy lokális minimuma x1 = 0-nál, és helyi maximuma x2 = -20/9-nél.


A válasz pontosan és részletesen bemutatja a kritikus pontok megtalálásának és a második derivált használatának folyamatát a függvény lokális maximumának és minimumának meghatározásához. A magyarázat világos és könnyen követhető, a matematikai kifejezések helyesek. A válasz helyesen azonosítja a függvény lokális minimumát és maximumát, és megfelelően indokolja a következtetéseket.

Pontszám: 10/10