Tegyük fel, hogy x és y nem nulla valós számok. Legyen m és M a <br> <br> (|x + y|)/(|x| + |y|), <br> minimális és maximális értéke. Mennyi M - m?
Adott két nem nulla valós szám, x és y. A feladat, hogy találjuk meg a matematikai kifejezés minimális m és maximális M értékeit: <br> <br> (|x + y|)/(|x| + |y|) < br> <br> A minimum megtalálásához érdemes minél kisebb számokkal dolgozni. Mivel |x + y| és |x| + |y| nemnegatívak, (|x + y|)/(|x| + |y|) szintén nemnegatívnak kell, hogy legyen. Legyen x = 1 és y = -1: <br> <br> (|x + y|)/(|x| + |y|) = (|0|)/(|1| + | -1|) = 0/2 = 0 <br> <br> Ez azt mutatja, hogy a kifejezés minimális értéke 0. <br> <br> A maximum érték megtalálásához érdemes minél nagyobb számokkal dolgozni. A háromszög-egyenlőtlenségből tudjuk, hogy: <br> <br> |x + y| ≤ |x| + |y| <br> <br> Tehát: <br> <br> (|x + y|)/(|x| + |y|) ≤ (|x| + |y|)/(|x| + | y|) = 1 <br> <br> Ez azt mutatja, hogy a kifejezés maximális értéke 1. Az egyenlőség akkor áll fenn, ha x = y. <br> <br> Ezért a kifejezés értéktartománya [0, 1], a maximális és minimális érték közötti különbség pedig: <br> <br> M - m = 1 - 0 = 1
### Utasítás:
Tegyük fel, hogy x és y nem nulla valós számok. Legyen m és M a <br> <br> (|x + y|)/(|x| + |y|), <br> minimális és maximális értéke. Mennyi M - m?


### Válasz:
Adott két nem nulla valós szám, x és y. A feladat, hogy találjuk meg a matematikai kifejezés minimális m és maximális M értékeit: <br> <br> (|x + y|)/(|x| + |y|) < br> <br> A minimum megtalálásához érdemes minél kisebb számokkal dolgozni. Mivel |x + y| és |x| + |y| nemnegatívak, (|x + y|)/(|x| + |y|) szintén nemnegatívnak kell, hogy legyen. Legyen x = 1 és y = -1: <br> <br> (|x + y|)/(|x| + |y|) = (|0|)/(|1| + | -1|) = 0/2 = 0 <br> <br> Ez azt mutatja, hogy a kifejezés minimális értéke 0. <br> <br> A maximum érték megtalálásához érdemes minél nagyobb számokkal dolgozni. A háromszög-egyenlőtlenségből tudjuk, hogy: <br> <br> |x + y| ≤ |x| + |y| <br> <br> Tehát: <br> <br> (|x + y|)/(|x| + |y|) ≤ (|x| + |y|)/(|x| + | y|) = 1 <br> <br> Ez azt mutatja, hogy a kifejezés maximális értéke 1. Az egyenlőség akkor áll fenn, ha x = y. <br> <br> Ezért a kifejezés értéktartománya [0, 1], a maximális és minimális érték közötti különbség pedig: <br> <br> M - m = 1 - 0 = 1


A válasz helyes és világosan bemutatja a minimális és maximális értékek megtalálásának lépéseit. A matematikai kifejezések és egyenlőtlenségek pontosan vannak használva, és a magyarázat logikusan követi a lépéseket. A válasz helyesen azonosítja a minimális értéket 0-nak és a maximális értéket 1-nek, és helyesen számítja ki a különbséget 1-nek.

Pontszám: 10/10