instruction: Egy lineáris egyenletrendszer megoldásának lépéseinek felvázolása
output: A lineáris egyenletrendszer két vagy több változóval rendelkező, több lineáris egyenletből álló egyenlethalmaz, amelyet egyszerre kell megoldani. Az ilyen rendszerek megoldására a probléma sajátosságaitól függően számos módszer áll rendelkezésre. Az alábbiakban bemutatunk néhány gyakori módszert, és vázlatosan ismertetjük az egyes módszerek lépéseit.
  
  **Grafikus módszer:**
  
  1. A rendszer minden egyes lineáris egyenletét ábrázoljuk ugyanazon a koordinátasíkon.
  2. Határozzuk meg azt a pontot (pontokat), ahol az egyenesek metszik egymást. Ez a rendszer megoldása, amely a változók azon értékeit képviseli, amelyek az összes egyenletet egyszerre igazzá teszik.
  3. Ha az egyenesek párhuzamosak és soha nem metszik egymást, akkor a rendszernek nincs megoldása. Ha a vonalak egybeesnek (vagyis egy vonal), akkor a rendszernek végtelen sok megoldása van, amelyek parametrikusan ábrázolhatók.
  
  **Subsztitúciós módszer:**
  
  1. Válasszuk ki az egyik egyenletet, és oldjuk meg az egyik változóra a másik változó(k) függvényében.
  2. Helyettesítsük az izolált változóra vonatkozó kifejezést a rendszer többi egyenletébe (egyenleteibe). Ezzel az egyik változót kiiktatjuk, így eggyel kevesebb egyenletet és eggyel kevesebb változót kell megoldanunk.
  3. Oldja meg ezt az új egyenletet a megmaradt változó(k)ra.
  4. Helyettesítsd vissza a 3. lépésben talált érték(ek)et az egyik eredeti egyenletbe, hogy megoldd a másik változó(ka)t.
  
  **Elszámolási módszer:**
  
  1. Rendezze el az egyenleteket úgy, hogy a megfelelő tagok függőlegesen egymás mellé kerüljenek.
  2. Szorozzuk meg (ha szükséges) az egyik, vagy mindkét egyenletet egy vagy több konstanssal úgy, hogy az egyik változó együtthatója a kivonás után azonos legyen, vagy megszűnjön.
  3. Adjuk össze vagy vonjuk ki az egyenleteket, ha szükséges, hogy az egyik változót megszüntessük.
  4. Oldja meg az így kapott egyenletet, amelynek most már eggyel kevesebb változóval kell rendelkeznie, a megmaradt változóra.
  5. Helyettesítse az előző lépésben kapott értéket az egyik eredeti egyenletbe, hogy megoldja a másik változó(k) egyenletét.
  
  **Mátrix módszer:**
  
  1. Írja fel az egyenletrendszert egy kiegészített mátrix formájában.
  2. Elemi sorműveletekkel alakítsuk át a kiegészített mátrixot redukált sor-ékelon formába (más néven sor-redukált echelon formába).
  3. Ha már ebben a formában van, a mátrix utolsó oszlopa a rendszer megoldását jelenti. Ebből az oszlopból egyszerűen kiolvashatja a változók értékeit.
  
  Ez néhány gyakori módszer lineáris egyenletrendszerek megoldására. Attól függően, hogy hány egyenlet és hány változó van, valamelyik módszer hatékonyabb lehet, mint a többi.