内容：数学上有一种模型叫做莫比乌斯带 (Mobius strip)。自1858年被德国数学家莫比乌斯 (August Mobius) 提出以来，莫比乌斯带吸引了环境学家、艺术家、工程师、数学家等许多不同的人。

莫比乌斯于 1858 年提出了这一单侧曲面带状模型，当时他在莱比锡大学 (University of Leipzig) 担任天文学和高等力学教授。事实上，几个月前一位名叫李斯廷 （Listing）的数学家也提出过这一模型，但一直到1861年才发表。当时，莫比乌斯正致力于研究多面体（由顶点、棱和单面构成的立体图形）的几何理论，而莫比乌斯带似乎只是他的偶然发现。

莫比乌斯带可以这样制作：取一张纸条扭转任意奇数个半圈，然后用胶带将其两端粘贴在一起以形成一个环。如果用铅笔沿着带子的中心画一条线，你会发现这条线从一面延伸到了另一面。

自从 1858 年被人发现以来，莫比乌斯带吸引了艺术家、工程师以及许多不同的人。

单侧平面物体的概念启发了艺术家创作。比如荷兰单面设计师埃舍尔 (MC Escher)，在木版画“莫比乌斯带 2(Mobius Strip II)”中，他呈现了红蚁一只接一只地沿着莫比乌斯带缓缓行进的情景。

莫比乌斯带令人惊艳的性质可不止这一个。例如，如果用剪刀沿着刚刚画的线将带剪开，你可能会吃惊地发现，眼前并没有出现两条窄了一半的莫比乌斯带，而是一条长长的双面环。如果手头没有纸条，也可以看看埃舍尔的作品“莫比乌斯带 1(Mobius Strip I)”。这幅作品呈现了沿着中心线将莫比乌斯带剪开后的情景。

莫比乌斯带有其视觉魅力，不过它影响最广的还是数学界：它助力推动了拓扑学整个领域的发展。

拓扑学家们致力于研究物体经过移动、弯曲、拉伸或扭转后，在不进行切割和黏合的前提下，保持不变的性质。例如，从拓扑的角度来看，一对缠绕在一起的耳塞和一对未缠绕在一起的耳塞是一样的，因为只需要经过移动、弯曲或者扭曲操作，无需切割、黏合，前后两者就能互相转变。

就连古代罗马人在其设计中都用到了类似莫比乌斯带的结构。

从拓扑学角度来说，咖啡杯和甜甜圈具有相同的结构。这是因为两者都只有一个孔，所以只需通过拉伸和弯曲就可以将其中一个变为另一个的形状。

孔是一种只能通过切割和黏合来实现数量增减的性质，这一性质叫做物体的“亏格” 。根据这一理论，我们可以这样说：甜甜圈有一个孔，耳塞没有孔，所以耳塞和甜甜圈的拓扑学结构不同。

然而，莫比乌斯单侧平面带和普通双面圆环（如硅酮制腕带）都只有一个孔，亏格理论却不能够在拓扑学结构上将两者区分开来。

另一种叫做“可定向性”的性质，能够将莫比乌斯带和普通双面环区分开来。与孔的数目一样，物体的可定向性只能通过切割和粘合来改变。

设想一下：在一透明曲面上写段话，然后在这一曲面上四处行走。一圈下来后，如果那段话还是如此，那么这一曲面是可定向的。如果一圈下来，文字已经变成了镜像，只能从右往左读，那就是不可定向的。不管怎么走，写在双面环上的文字永远都是从左往右读的。

莫比乌斯带具有不可定向性，双面环则是可定向的，因此莫比乌斯带和双面环的拓扑学结构不同。

可定向性的概念含义重大。以化学中的对应异构物为例：有些化合物具有相同的化学结构，但有很重要的一点不同：它们互为镜像。例如维克斯吸入器 (Vicks inhaler) 的一种成分L-甲基苯丙胺，它的镜像 D-甲基苯丙胺 是A 级违禁毒品。如果生活在不可定向性的世界中，这些化学物质将变得难以区分。

莫比乌斯的发现为研究自然科学开辟了新的道路，拓扑学研究不断取得惊世成果。例如去年，科学家通过拓扑学发现了物质的新状态；数学家文卡特什 （AkshayVenkatesh）将拓扑学与其他领域（如数论）融会贯通，也因此受颁今年数学界的最高奖项——菲尔兹奖。

请访问BBC Future阅读 英文原文。

\n前面的内容可以总结如下：
日常生活中，单侧曲面的体随处可见，也许你已经找到过不少了——比如印刷在易拉罐和塑料瓶背面的那个循环利用的通用标识。