数学家们常常为寻求一种数学对象的完备分类（或列表）而努力。在有限群的领域内，这个目标迅速引出了一系列困难而意义深远的数学问题。根据拉格朗日定理，p阶有限群（p为素数）必定是循环（阿贝尔）群Zp。p2阶群也被证明是阿贝尔群。但这一命题并不能推广到p3阶群，如上面的非阿贝尔群——8阶二面体群D4所示，其中8 = 23。可以利用计算机代数系统来给较小的群列表，但没有对一切有限群的分类。一个中间步骤是有限单群分类。如果一个非平凡群仅有的正规子群是平凡群和它自身，那么这个群叫做一个单群或简单群。若尔当-赫尔德定理说明单群可以作为建构有限群的... 继续上述操作，使其回答“What was considered a major achievement in the Jordan-Holder's theorem?”：
“砖块”。有限单群列表是当代群论的一个主要成就。1998年的菲尔兹奖得主理查·伯切德斯成功地证明了所谓怪兽-胡言乱语猜想。该猜想指出了最大有限简单散在群——“怪兽群”与一种来自经典复分析和弦理论（一种被认为统一了对许多物理学现象的描述的理论）的对象模函数之间的惊人而深刻的联系。