Khái niệm hiện đại về nhóm trừu tượng phát triển thông qua một vài lĩnh vực toán học. Động lực thúc đẩy ban đầu của lý thuyết nhóm là mục miêu tìm ra nghiệm của phương trình đa thức có bậc lớn hơn 4. Nhà toán học người Pháp thế kỷ 19 Évariste Galois, bằng mở rộng những nghiên cứu trước đó của Paolo Ruffini và Joseph-Louis Lagrange, đã đưa ra tiêu chuẩn cho tính giải được của một số phương trình đa thức đặc biệt tuân theo nhóm đối xứng của nghiệm phương trình. Các phần tử của nhóm Galois này tương ứng với một số hoán vị nhất định của các nghiệm. Lúc đầu, ý tưởng của Galois bị các nhà toán học đương thời ông phản đối, và công trình của ông xuất bản sau khi ông đã qua đời. Các nhà toán học khảo sát thêm nhiều nhóm hoán vị tổng quát hơn, đặc biệt là bởi Augustin Louis Cauchy. Luận án của Arthur Cayley On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn = 1 (1854) đưa ra định nghĩa trừu tượng đầu tiên về nhóm hữu hạn.Hình học là lĩnh vực thứ hai mà ở đó lý thuyết nhóm được sử dụng một cách hệ thống, đặc biệt là các nhóm đối xứng trong chương trình Erlangen của Felix Klein năm 1872. Sau khi những hình học như hình học hyperbolic và hình học xạ ảnh mới nổi lên, Klein sử dụng lý thuyết nhóm để tổ chức chúng theo một cách thấu suốt hơn. Những ý tưởng đi xa hơn với Sophus Lie nghiên cứu nhóm Lie vào năm 1884.Lĩnh vực thứ ba đóng góp vào lý thuyết nhóm là lý thuyết số. Cấu trúc một số nhóm Abel nhất định đã được sử dụng ngầm ý trong công trình lý thuyết số Disquisitiones Arithmeticae của Carl Friedrich Gauss (1798), và sử dụng một cách hiện rõ hơn trong các công trình của Leopold Kronecker. Năm 1847, Ernst Kummer thực hiện những cố gắng đầu tiên trong chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat bằng cách phát triển nhóm miêu tả nhân tử hóa (nhóm lớp) đối với các số nguyên tố.Sự hội tụ nhiều nguồn lĩnh vực này vào thành lý thuyết nhóm thống nhất bắt đầu bằng công trình của Camille Jordan Traité des substitutions et des équations algébriques (1870). Walther von Dyck (1882) đưa ra phát biểu đầu tiên về định nghĩa...

Với sự tham chiếu đến ngữ cảnh trên, What is the goal of the research?
ơn giản hóa chứng minh sự phân loại này