2の平方根が不合理であることの証明をしてくれ
ここで、2の平方根が不合理であることの矛盾による証明をするでござる。まず、無理数とは、整数pとqに対してp / qと書けない数であることを思い出してくださいでござる。矛盾のために、2の平方根は合理的であると仮定しますでござる。これは、ある整数pとqに対してsqrt（2）=p / qであることを意味しますでござる。このように仮定できるのは、どんな整数分数もこのような縮小形で書くことができるため、sqrt(2)の有理表現が存在することは、縮小形が存在することを意味するでござる。ここで、上の式の両辺を2乗すると、次のようになるでござる。

2 = p^2 / q^2

を、共通因子をもたない整数pとqのときに求めるでござる。ここで、q^2を掛けると

2 * q^2 = p^2

左辺は2の倍数で偶数なので、右辺のp^2も偶数であることに注意してくださいでござる。つまり、pも偶数でなければならず、そうでなければp^2も偶数にならないでござる。つまり、pはある整数xに対して2 * xと書くことができるでござる。これを上の式に代入すると、次のようになるでござる。

2 * q^2 = (2 * x)^2 = 2^2 * x^2

式の両辺には、キャンセル可能な2の因子があることに注意してくださいでござる。これを実行すると、次のようになりますでござる。

q^2 = 2 * x^2

上と同じような議論によって、qは偶数であると結論づけることができるでござる。しかし、これはpとqが共通因子を持たないという仮定と矛盾するでござる。したがって、sqrt(2)が有理数であるという最初の仮定は誤りであり、これは我々が証明しようとしたことであるでござる。