மேலும் துல்லியமாக, சார்பு "f"("x") , மூடிய இடைவெளி ["a", "b"] -ல் தொடர்ச்சியானதாகவும்; திறந்த இடைவெளி ("a", "b") -ல் வகையிடத்தக்கதாகவும் இருந்தால், ("a", "b") -ல் பின்வரும் முடிவைக் கொண்ட ஒரு புள்ளி "c" இருக்கும்.இத்தேற்றத்தைப் பின்வரும் விளக்கத்தின் மூலம் எளிதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம்: ஒரு கார் ஒரு மணி நேரத்தில் 100 மைல் தூரம் செல்கிறது என்றால் அக்காரின் சராசரி வேகம் 100 மைல்/மணி ஆகும். இச்சராசரி வேகத்திற்கு கார், பயணநேரம் முழுவதும் மாறாமல் 100 மைல் வேகத்தில் செல்லலாம் அல்லது சில நேரங்களில் 100 மைலுக்கும் அதிகமான வேகத்திலும் மற்ற நேரங்களில் அதற்கும் குறைவான வேகத்திலும் பயணப்பட்டு சராசரி வேகத்தை 100 மைல்/மணியாக கொண்டிருக்கலாம். இடை மதிப்புப் தேற்றப்படி, பயணத்தின் நடுவில் ஏதேனும் ஒரு இடத்தில் கார் சராசரி வேகமான 100 மைல்/மணி வேகத்தில் பயணம் செய்திருக்கும்.கேரள வானவியலாளர் மற்றும் கணிதவியலாளர் "பரமேஷ்வரரால்" (1370-1460) பண்டைய கணிதவியலாளர்கள் "கோவிந்தசுவாமி" மற்றும் இரண்டாம் பாஸ்கரர் பற்றிக் விவாதிக்கும்போது முதலாவதாக இத்தேற்றத்தின் சிறப்புவகை விளக்கப்பட்டுள்ளது. பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் "அகஸ்டின் லூயிஸ் கோஷியால்" (1789-1857) தற்போதைய இடைமதிப்புத் தேற்றம் வடிவமைக்கப்பட்டது. வகை நுண்கணித்திலும் கணித பகுப்பியலிலும் இத்தேற்றம் முக்கியம் வாய்ந்ததாகும். நுண்கணித அடிப்படைத் தேற்றத்தின் நிறுவலுக்கு இத்தேற்றம் அவசியமான ஒன்றாகும்.formula_2 என்ற சார்பு,என்றவாறு ("a", "b") -ல் "c" என்ற ஒரு மதிப்பு இருக்கும்.இடைமதிப்புத் தேற்றம், ரோலின் தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகும். ரோலின் தேற்றத்தில் "f"("a") = "f"("b") என எடுத்துக் கொள்ளப்படுவதால் மேலேயுள்ள கூற்றின் வலதுபுற மதிப்பு பூச்சியமாகும்.மேலும் சிறிது பொதுவான அமைப்பிலும் இத்தேற்றம் பொருந்தும்:formula_2 என்ற சார்பு,என்ற எல்லை மதிப்பு இருந்து அது ஒரு முடிவுறு எண், +∞ அல்லது −∞ என இருந்தால் இடைமதிப்புத் தேற்றத்தின் முடிவு உண்மை.இந்த எல்லை மதிப்பு ஒரு முடிவுறு எண்ணாக இருந்தால் அது formula_6 -க்குச் சமம்."x" → "x" க்கு இணைக்கும் கனமூலம் காணும் மெய்மதிப்புச் சார்பு இடைமதிப்புத் தேற்றத்தின் இக்கூற்றுக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு. இச்சார்பின் வகைக்கெழு, ஆதிப்புள்ளியில் முடிவிலியை (∞) அணுகும்.சிக்கலெண் மதிப்புச் சார்புகளுக்கு இத்தேற்றம் உண்மையாகாது.ஆனால், |f′(x)| = 1f -ன் வளைவரைமேல் அமையும் ("a", "f"("a")), ("b", "f"("b")) புள்ளிகளை இணைக்கும் நாணின் சாய்வு:வளைவரை மீதுள்ள ("x", "f"("x")) புள்ளியில் வளைவரைக்கு வரையப்படும் தொடுகோட்டின் சாய்வு.இடைமதிப்புத் தேற்றத்தின்படி நாணின் சாய்வும் தொடுகோட்டின் சாய்வும் சமமாக இருக்குமாறு ஒரு புள்ளி காணமுடிய வேண்டும்.formula_9, "r" ஒரு மாறிலி என "g" சார்பை வரையறுத்துக் கொள்க."f", மூடிய இடைவெளி ["a", "b"]-ல் தொடர்ச்சியானது, திறந்த இடைவெளி ("a", "b") -ல் வகையிடத்தக்கது என்பதால் "g" -ம் அவ்வாறே அமையும்."r" -ன் மதிப்பை formula_10 என இருக்குமாறு எடுத்துக்கொள்ள:"g" சார்புக்கு ரோலின் தேற்றத்தின் நிபந்தனைகள் பொருந்துவதால் அத்தேற்றத்தின்படி:formula_12 என்றவாறு ("a", "b") -ல் ஒரு "c" மதிப்பைக் காணமுடியும்.formula_9 என்பதால்:இடைமதிப்புத் தேற்றம் நிறுவப்படுகிறது.மெய்யெண் கோட்டின் மீதான இடைவெளி formula_16 -ல் வரையறுக்கப்பட்ட மெய்மதிப்புச் சார்பு formula_17 தொடர்ச்சியானது; இடைவெளியினுள் அமையும் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் இச்சார்புக்கு வகைக்கெழு உள்ளது; மேலும் அதன் மதிப்பு பூச்சியம் எனில் சார்பு formula_17 ஒரு மாறிலிச் சார்பு.நிறுவல்:இடைமதிப்புத் தேற்றத்தின் நிபந்தனைகள் அனைத்தும் சார்பு formula_19 -க்குப் பொருந்துவதால், தேற்ற முடிவின்படி இடைவெளி formula_20 -ல் உள்ள ஒரு மதிப்பு "c" -க்கு:formula_20 -ல்:எனவே formula_17, இடைவெளிக்குள் மாறிலிச் சார்பு. சார்பின் தொடர்ச்சித்தன்மையினால் இடைவெளி முழுவதும் மாறிலிச் சார்பாக இருக்கும்.
 மேலும் துல்லியமாக, சார்பு "f"("x") , மூடிய இடைவெளி ["a", "b"] -ல் தொடர்ச்சியானதாகவும்; திறந்த இடைவெளி ("a", "b") -ல் வகையிடத்தக்கதாகவும் இருந்தால், ("a", "b") -ல் பின்வரும் முடிவைக் கொண்ட ஒரு புள்ளி "c" இருக்கும்.இத்தேற்றத்தைப் பின்வரும் விளக்கத்தின் மூலம் எளிதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம்: ஒரு கார் ஒரு மணி நேரத்தில் 100 மைல் தூரம் செல்கிறது என்றால் அக்காரின் சராசரி வேகம் 100 மைல்/மணி ஆகும். பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் "அகஸ்டின் லூயிஸ் கோஷியால்" (1789-1857) தற்போதைய இடைமதிப்புத் தேற்றம் வடிவமைக்கப்பட்டது. நுண்கணித அடிப்படைத் தேற்றத்தின் நிறுவலுக்கு இத்தேற்றம் அவசியமான ஒன்றாகும்.formula_2 என்ற சார்பு,என்றவாறு ("a", "b") -ல் "c" என்ற ஒரு மதிப்பு இருக்கும்.இடைமதிப்புத் தேற்றம், ரோலின் தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகும். ரோலின் தேற்றத்தில் "f"("a") = "f"("b") என எடுத்துக் கொள்ளப்படுவதால் மேலேயுள்ள கூற்றின் வலதுபுற மதிப்பு பூச்சியமாகும்.மேலும் சிறிது பொதுவான அமைப்பிலும் இத்தேற்றம் பொருந்தும்:formula_2 என்ற சார்பு,என்ற எல்லை மதிப்பு இருந்து அது ஒரு முடிவுறு எண், +∞ அல்லது −∞ என இருந்தால் இடைமதிப்புத் தேற்றத்தின் முடிவு உண்மை.இந்த எல்லை மதிப்பு ஒரு முடிவுறு எண்ணாக இருந்தால் அது formula_6 -க்குச் சமம். "f", மூடிய இடைவெளி ["a", "b"]-ல் தொடர்ச்சியானது, திறந்த இடைவெளி ("a", "b") -ல் வகையிடத்தக்கது என்பதால் "g" -ம் அவ்வாறே அமையும்.