Befektetők iskolája XIV. – ez a minimum
A pénzügyi számítások döntéseinkben folyamatosan jelen vannak. Befektetés, hitelfelvétel vagy lakásvásárlás mind olyan események, amelyek pénzügyi mérlegelést igényelnek.
Jelenérték
Minden pénzügyi számítás – legyen az egy egyszerű befektetés vagy akár hitelfelvétel – végső soron a jelenérték fogalmára vezethető vissza. Még a legcizelláltabb vállalati döntések is ebből a szabályból származó kritériumokkal mérettetnek meg.
A jelenérték fogalma abból az alapvető gondolatból indul ki, hogy egy forint ma többet ér, mint egy forint holnap, mert a mai összeget befektetve holnap nagyobb summát kapunk vissza. A jelenérték azt mondja meg, hogy mennyi a jövőben kapott pénz mostani értéke. Ezzel megegyezik az a kérdés, hogy mennyi pénzt kéne most befektetnem, hogy egy jövőbeli időpontban egy meghatározott összeget kapjak vissza.
Tegyük fel, hogy egyik befektetésünkből az idén és a jövő évben is 100 forintot kapunk – más szóval pénzáramlásunk a mostani és az elkövetkező évben 100-100 forint. Sürgősen szükségünk van pénzre, mennyiért adjuk el most ezt a pénzáramlást egy másik befektetőnek? Ahhoz, hogy a későbbi bevétel jelenértékét (PV) megkapjuk, a jövő évi pénzáramlást (C1) egy 1-nél kisebb diszkonttényezővel (DF1) kell megszoroznunk. 

 

 

PV = DF1*C1 

Diszkontálás
A diszkonttényező számítása a jelenérték logikájából következik: a holnapi egy forint nekem ma annyit ér, amennyi forintot ma bármibe befektetve, holnap egy forintot kapnék vissza a kamatokkal együtt. A kamatokat itt egy általános befektetés hozamaként számítjuk, amin a konkrét befektetésünket lemérhetjük.
Ezt a kamatot haszonáldozatnak (r) nevezzük, hiszen a konkrét befektetést megvalósítva, egy másik lehetőséget áldozunk fel, amiben pénzünket leköthettük volna. Az esetek többségében a haszonáldozatot az állampapírok kamatainak szokták a pénzügyi szakemberek megfeleltetni.
Példánkban a haszonáldozat 7 százalék, a jövő évi 100 forint jelenértékét pedig úgy kapjuk meg, hogy elosztjuk 107 százalékkal. A diszkonttényező az első évre nem más, mint 1,07 reciproka, tehát 0,935. Az első időszaki 100 forint ma csak 93 forintot ér, a teljes pénzáramlásunkért ma 193 forintot kapnánk.

 

 

DF1 = 1/(1+r) 

Hosszú lejáratú eszközök
A jelenérték-számítás segítségével nemcsak egy, de több időszakos befektetés nyereségességét is meg tudjuk ítélni. A pénzünk lekötéséből származó hasznokat, amiket több időpontban – mondjuk évenként – kapunk kézhez, közös nevezőre tudjuk hozni, és képesek leszünk a befektetést teljes egészében értékelni.
Első lépésben határozzuk meg minden egyes időszakra, hogy mekkora lesz a befektetéshez kötődő bevétel és kiadás. Másodjára rendeljünk minden időszakhoz egy megfelelő diszkonttényezőt. Az első időszakban kapott bevételek és kiadások összegét szorozzuk meg az első évhez tartozó diszkonttényezővel, a második évi összeget a második évi diszkonttényezővel és így tovább a többi időszakban is. Az évenként adódó jelenértékeket egyszerűen összeadjuk – a kezdeti beruházás tényezőjét egynek véve – és végeredményül kapjuk, hogy mekkora a teljes befektetés nettó jelenértéke.
Tegyük fel, hogy 100 forintért vásárolunk egy átváltható kötvényt, ami évi 50 forint kamatot fizet három éven keresztül, és a lejáratkor nem törleszt. Az 1, 2 és 3 éves állampapírok hozama legyen rendre 7, 9 és 10 százalék. Pénzáramlásunkat úgy írhatjuk fel, hogy a 0. időszakban van 100 forint kiadás, majd minden további időszakban kapunk 50 forint bevételt.

Az első év diszkonttényezőjéről már tudjuk, hogy 1,07 reciproka. A kétéves diszkonttényezőt hasonlóan határozzuk meg. Kiindulásként vegyük a kétéves állampapír éves hozamát, ez a példában 9 százalék. 2 éves lejáratú állampapírba való 1 forintos befektetés 1,092 = 1,19 forintra növekszik a második év végére, a kétéves diszkonttényezőt ennek az értéknek a reciproka adja majd. Ugyanígy járunk el a harmadik év esetében is, az 1,13 = 1,33 reciprokával számolunk. 

 

 

DFt = 1/(1+rt)t  

A különböző években jelentkező pénzösszegeket közös nevezőre hoztuk – mai pénzben fejeztük ki őket,- a pénzáramlás elemeinek jelenértékét ezért összeadhatjuk. A befektetést akkor éri meg végrehajtani, ha a teljes nettó jelenérték pozitív, ez nemcsak azt jelenti számunkra, hogy a befektetés nyereséges, de utal arra is, hogy az alternatív befektetésekhez (most állampapír) képest nagyobb hozamot produkál. A példában érdemes megvásárolnunk a kötvényt, mert a teljes nettó jelenérték 26,4 forintot ért el.
Örökjáradék
A befektetési formákon belül a számítás módja szerint érdemes elkülöníteni az örökjáradék, és az annuitás típusát, mert ezekre a nettó jelenérték szabályból alkothatunk egyszerű döntési formulát. Az örökjáradék típusú pénzügyi eszközöket jellemzi, hogy hosszú éveken keresztül, periódusonként ugyanakkora fix járadékot fizet.

Korábban vásárolt lakásunk értékét szeretnénk például meghatározni. Két esetet kell számításba vennünk, a lakást most eladhatjuk, vagy életünk végéig folyamatosan bérbe tudjuk adni. A két lehetőség értéke meg fog egyezni, ezért a lakás mai értékét, egy fix összegű, élethosszig tartó járadéksorozat jelenértékeként is felfoghatjuk.
Az ábrán láthatjuk, hogy az évente 50 forint bérleti díjból álló járadéksorozat tagjainak jelenértéke az idő növekedésével fordítottan arányosan csökken, a távoli jövőben jelentkező bevétel számunkra már nagyon keveset ér. A lakás teljes értéke ezért nem egy végtelen, hanem egy jól meghatározható összeg lesz, ami a járadékok jelenértékeinek összegeként adódik.

Tegyük fel, hogy a befektetés haszonáldozata az évek múlásával nem változik, tehát az állampapírok éves kamatlába bármely lejáratra ugyanaz – jelen esetben 7 százalék. A diszkonttényező a hatványozódás miatt évről évre kisebb, ez megegyezik korábbi intuitív észrevételünkkel, hogy a jelenértékek évről-évre kisebbek. A végtelen mértani sorozatokra létezik egy egyszerűsítő képletünk: a lakás értéke (PVA) így nem más, mint az egy évre eső járadék (C) és az állampapír kamatlábának (r) hányadosa, a példában 50/0,07 = 714,3 forint.
Annuitás
Az annuitás nem más, mint meghatározott időponttól kezdődően, adott számú éven keresztül esedékes állandó tagú járadék. Annuitás formát ölt például az évente egyenlő részletekben törlesztendő jelzáloghitel. Vajon mekkora az a minimális összeg, amit a teljes hitel előtörlesztéseként fizetnünk kéne most?

Az annuitást (ANN) a számítás egyszerűsítéséért fel lehet fogni két örökjáradék különbségeként. Vegyünk elsőként egy olyan örökjáradékot (PVA) – a fent bemutatottal egyezőt, – ami az első évtől kezdődően minden évben egy fix összegű járadéktagból áll. Másodjára nézzünk egy olyan örökjáradékot (PVB), amely csak a (t+1)-edik évtől tartalmaz évente meghatározott nagyságú járadéktagot.

 

 

PVB = PVA*DFt = C/[r*(1+rt)t ]
ANN = PVA-PVB = PVA*[1-DFt] = C/r- C/[r*(1+rt)t ] 

Példánkban a jelzáloghitel legyen 10 éven keresztül törlesztendő, a második típusú örökjáradékot a 11. évtől kezdődően kell ezért számolni. Ennek az örökjáradéknak csak a 10. évben lesz a C/r képlet alapján felírt értéke, a mostani jelenérték meghatározásához a 10. évi értéket diszkontálni kell. Az annuitás jelenértékét az első örökjáradékból kivonva a második örökjáradékot kapjuk meg.
Az ábrán bemutatott annuitás esetében legyen a járadéktag 50-nel egyenlő, ezzel kell számolni mindkét örökjáradéknál. Az első örökjáradék így 50/0,07 = 714,3 forint. A 10 éves diszkonttényező DF10 = 1/1,0710 = 0,544, a második örökjáradék PVB = 714,3*0,544 = 388,5, és végül a teljes annuitás ANN = 714,3-388,5 = 325,8. A jelzáloghitel előtörlesztéséhez tehát legalább 325,8 forintot kéne a banknak kifizetni.

 

Olvassa el... 

...sorozatunk korábbi írásait:
• Befektetők iskolája
Belföld
<|im_start|>user
Jelenérték
Minden pénzügyi számítás – legyen az egy egyszerű befektetés vagy akár hitelfelvétel – végső soron a jelenérték fogalmára vezethető vissza. Még a legcizelláltabb vállalati döntések is ebből a szabályból származó kritériumokkal mérettetnek meg.
A jelenérték fogalma abból az alapvető gondolatból indul ki, hogy egy forint ma többet ér, mint egy forint holnap, mert a mai összeget befektetve holnap nagyobb summát kapunk vissza. A jelenérték azt mondja meg, hogy mennyi a jövőben kapott pénz mostani értéke. Ezzel megegyezik az a kérdés, hogy mennyi pénzt kéne most befektetnem, hogy egy jövőbeli időpontban egy meghatározott összeget kapjak vissza.
Tegyük fel, hogy egyik befektetésünkből az idén és a jövő évben is 100 forintot kapunk – más szóval pénzáramlásunk a mostani és az elkövetkező évben 100-100 forint. Sürgősen szükségünk van pénzre, mennyiért adjuk el most ezt a pénzáramlást egy másik befektetőnek? Ahhoz, hogy a későbbi bevétel jelenértékét (PV) megkapjuk, a jövő évi pénzáramlást (C1) egy 1-nél kisebb diszkonttényezővel (DF1) kell megszoroznunk. 

 

 

PV = DF1*C1 

Diszkontálás
A diszkonttényező számítása a jelenérték logikájából következik: a holnapi egy forint nekem ma annyit ér, amennyi forintot ma bármibe befektetve, holnap egy forintot kapnék vissza a kamatokkal együtt. A kamatokat itt egy általános befektetés hozamaként számítjuk, amin a konkrét befektetésünket lemérhetjük.
Ezt a kamatot haszonáldozatnak (r) nevezzük, hiszen a konkrét befektetést megvalósítva, egy másik lehetőséget áldozunk fel, amiben pénzünket leköthettük volna. Az esetek többségében a haszonáldozatot az állampapírok kamatainak szokták a pénzügyi szakemberek megfeleltetni.
Példánkban a haszonáldozat 7 százalék, a jövő évi 100 forint jelenértékét pedig úgy kapjuk meg, hogy elosztjuk 107 százalékkal. A diszkonttényező az első évre nem más, mint 1,07 reciproka, tehát 0,935. Az első időszaki 100 forint ma csak 93 forintot ér, a teljes pénzáramlásunkért ma 193 forintot kapnánk.

 

 

DF1 = 1/(1+r) 

Hosszú lejáratú eszközök
A jelenérték-számítás segítségével nemcsak egy, de több időszakos befektetés nyereségességét is meg tudjuk ítélni. A pénzünk lekötéséből származó hasznokat, amiket több időpontban – mondjuk évenként – kapunk kézhez, közös nevezőre tudjuk hozni, és képesek leszünk a befektetést teljes egészében értékelni.
Első lépésben határozzuk meg minden egyes időszakra, hogy mekkora lesz a befektetéshez kötődő bevétel és kiadás. Másodjára rendeljünk minden időszakhoz egy megfelelő diszkonttényezőt. Az első időszakban kapott bevételek és kiadások összegét szorozzuk meg az első évhez tartozó diszkonttényezővel, a második évi összeget a második évi diszkonttényezővel és így tovább a többi időszakban is. Az évenként adódó jelenértékeket egyszerűen összeadjuk – a kezdeti beruházás tényezőjét egynek véve – és végeredményül kapjuk, hogy mekkora a teljes befektetés nettó jelenértéke.
Tegyük fel, hogy 100 forintért vásárolunk egy átváltható kötvényt, ami évi 50 forint kamatot fizet három éven keresztül, és a lejáratkor nem törleszt. Az 1, 2 és 3 éves állampapírok hozama legyen rendre 7, 9 és 10 százalék. Pénzáramlásunkat úgy írhatjuk fel, hogy a 0. időszakban van 100 forint kiadás, majd minden további időszakban kapunk 50 forint bevételt.

Az első év diszkonttényezőjéről már tudjuk, hogy 1,07 reciproka. A kétéves diszkonttényezőt hasonlóan határozzuk meg. Kiindulásként vegyük a kétéves állampapír éves hozamát, ez a példában 9 százalék. 2 éves lejáratú állampapírba való 1 forintos befektetés 1,092 = 1,19 forintra növekszik a második év végére, a kétéves diszkonttényezőt ennek az értéknek a reciproka adja majd. Ugyanígy járunk el a harmadik év esetében is, az 1,13 = 1,33 reciprokával számolunk. 

 

 

DFt = 1/(1+rt)t  

A különböző években jelentkező pénzösszegeket közös nevezőre hoztuk – mai pénzben fejeztük ki őket,- a pénzáramlás elemeinek jelenértékét ezért összeadhatjuk. A befektetést akkor éri meg végrehajtani, ha a teljes nettó jelenérték pozitív, ez nemcsak azt jelenti számunkra, hogy a befektetés nyereséges, de utal arra is, hogy az alternatív befektetésekhez (most állampapír) képest nagyobb hozamot produkál. A példában érdemes megvásárolnunk a kötvényt, mert a teljes nettó jelenérték 26,4 forintot ért el.
Örökjáradék
A befektetési formákon belül a számítás módja szerint érdemes elkülöníteni az örökjáradék, és az annuitás típusát, mert ezekre a nettó jelenérték szabályból alkothatunk egyszerű döntési formulát. Az örökjáradék típusú pénzügyi eszközöket jellemzi, hogy hosszú éveken keresztül, periódusonként ugyanakkora fix járadékot fizet.

Korábban vásárolt lakásunk értékét szeretnénk például meghatározni. Két esetet kell számításba vennünk, a lakást most eladhatjuk, vagy életünk végéig folyamatosan bérbe tudjuk adni. A két lehetőség értéke meg fog egyezni, ezért a lakás mai értékét, egy fix összegű, élethosszig tartó járadéksorozat jelenértékeként is felfoghatjuk.
Az ábrán láthatjuk, hogy az évente 50 forint bérleti díjból álló járadéksorozat tagjainak jelenértéke az idő növekedésével fordítottan arányosan csökken, a távoli jövőben jelentkező bevétel számunkra már nagyon keveset ér. A lakás teljes értéke ezért nem egy végtelen, hanem egy jól meghatározható összeg lesz, ami a járadékok jelenértékeinek összegeként adódik.

Tegyük fel, hogy a befektetés haszonáldozata az évek múlásával nem változik, tehát az állampapírok éves kamatlába bármely lejáratra ugyanaz – jelen esetben 7 százalék. A diszkonttényező a hatványozódás miatt évről évre kisebb, ez megegyezik korábbi intuitív észrevételünkkel, hogy a jelenértékek évről-évre kisebbek. A végtelen mértani sorozatokra létezik egy egyszerűsítő képletünk: a lakás értéke (PVA) így nem más, mint az egy évre eső járadék (C) és az állampapír kamatlábának (r) hányadosa, a példában 50/0,07 = 714,3 forint.
Annuitás
Az annuitás nem más, mint meghatározott időponttól kezdődően, adott számú éven keresztül esedékes állandó tagú járadék. Annuitás formát ölt például az évente egyenlő részletekben törlesztendő jelzáloghitel. Vajon mekkora az a minimális összeg, amit a teljes hitel előtörlesztéseként fizetnünk kéne most?

Az annuitást (ANN) a számítás egyszerűsítéséért fel lehet fogni két örökjáradék különbségeként. Vegyünk elsőként egy olyan örökjáradékot (PVA) – a fent bemutatottal egyezőt, – ami az első évtől kezdődően minden évben egy fix összegű járadéktagból áll. Másodjára nézzünk egy olyan örökjáradékot (PVB), amely csak a (t+1)-edik évtől tartalmaz évente meghatározott nagyságú járadéktagot.

 

 

PVB = PVA*DFt = C/[r*(1+rt)t ]
ANN = PVA-PVB = PVA*[1-DFt] = C/r- C/[r*(1+rt)t ] 

Példánkban a jelzáloghitel legyen 10 éven keresztül törlesztendő, a második típusú örökjáradékot a 11. évtől kezdődően kell ezért számolni. Ennek az örökjáradéknak csak a 10. évben lesz a C/r képlet alapján felírt értéke, a mostani jelenérték meghatározásához a 10. évi értéket diszkontálni kell. Az annuitás jelenértékét az első örökjáradékból kivonva a második örökjáradékot kapjuk meg.
Az ábrán bemutatott annuitás esetében legyen a járadéktag 50-nel egyenlő, ezzel kell számolni mindkét örökjáradéknál. Az első örökjáradék így 50/0,07 = 714,3 forint. A 10 éves diszkonttényező DF10 = 1/1,0710 = 0,544, a második örökjáradék PVB = 714,3*0,544 = 388,5, és végül a teljes annuitás ANN = 714,3-388,5 = 325,8. A jelzáloghitel előtörlesztéséhez tehát legalább 325,8 forintot kéne a banknak kifizetni.

 

Olvassa el... 

...sorozatunk korábbi írásait:
• Befektetők iskolája

Foglald össze a fenti szöveget!<|im_end|>
<|im_start|>assistant
A pénzügyi számítások döntéseinkben folyamatosan jelen vannak. Befektetés, hitelfelvétel vagy lakásvásárlás mind olyan események, amelyek pénzügyi mérlegelést igényelnek.<|im_end|>