নির্ণায়ক (Determinants) | edpdbd.org
Skip to main content
Educationpedia of Bangladesh
Education for Humanity
বাংলা | English | সাধারণ জ্ঞান | হিসাববিজ্ঞান | ব্যবসায় নীতি | পর্দাথবিজ্ঞান | রসায়ন | গণিত | জীববিজ্ঞান
নির্ণায়ক (Determinants)
নির্ণায়ক (Determinants)
সাধারণ ধারণা :
নির্ণায়ক (Determinants) : নির্ণায়ক হল এক বিশেষ ধরনের ফাংশন যা একটি বাস্তব সংখ্যাকে একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের (Square Matrix) সাথে সম্পর্কিত করে । কোন n×n বর্গ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের ক্রমও n ।
নির্ণায়কের অণুরাশি ও সহগুণক (Minor and cofactor of determinants) : যদি D কোন বর্গ ম্যাট্রিক্স হয় তবে তার যেকোন উপাদান dijএর অণুরাশিকে Mijদ্বারা প্রকাশ করা হয় । Mijহল i তম সারি ও j তম কলাম বাদে বাকি উপাদানগুলো দ্বারা গঠিত বর্গ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক । যেমন :
D =  হলে,
a1এর অণুরাশি = M11 =  =  = b2c3 – b3c2
অনুরূপভাবে, b1এর অণুরাশি = M12 =  =  = a2c3 – a3c2
অর্থাৎ, যদি D এর কোন উপাদানের মধ্য দিয়ে একটি আনুভূমিক ও একটি উল্লম্ব সরলরেখা টানা যায় তাহলে বাকি উপাদানগুলো দ্বারা গঠিত নির্ণায়কই হল ঐ উপাদানের অণুরাশি ।
আবার, D এর কোন উপাদান dijএর সহগুণকে Cijদ্বারা প্রকাশ করা হয় যেখানে Cij = (-1)i+jMij। অর্থাৎ, অণুরাশির পূর্বে যথাযোগ্য চিহ্ন বসালে সংশ্লিষ্ট উপাদানের সহগুণক পাওয়া যায় । যেমন :
b1এর সহগুণক = (-1)1+2M12 = -  = -(a2c3 – a3c2)
নির্ণায়কের বিস্তৃতি (Expansions of Determinant) : কোন বর্গ ম্যাট্রিক্সকে একটি নির্দিষ্ট সারি কিংবা কলাম বরাবর বিস্তৃত করে এর নির্ণায়কের মান নির্ণয় করা হয় । ঐ নির্দিষ্ট কলামের/ সারির প্রতিটি উপাদানকে নিজ নিজ সহগুণক দ্বারা গুণ করে গুণফলের বীজগাণিতিক সমষ্টি নিলে উক্ত ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান পাওয়া যায় । অর্থাৎ, A, n মাত্রার কোন বর্গ ম্যাট্রিক্স হলে, সারি বরাবর বিস্তৃত করে পাই,
det(A) = a11c11+a12c12+ ............ +a1nc1n
= a21c21+a22c22+ ............ +a2nc2n
... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ...
= an1cn1+an2cn2+ ............ +amncnn
অনুরূপভাবে, কলাম বরাবর বিস্তৃত করে পাই,
det(A) = a11c11+a12c12+ ............ +a1nc1n
= a21c21+a22c22+ ............ +a2nc2n
... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ...
= an1cn1+an2cn2+ ............ +amncnn
উদাহরণস্বরূপ,  ম্যাট্রিক্সটির নির্ণায়ক নির্ণয়ের জন্য প্রথম সারি বরাবর বিস্তৃত করে পাই,

= a1  - b1  + c1
= a1 (b2c3 – b3c2) - b1 (a2c3 – a3c2) + c1 (a2b3 – a3b2)
নির্ণায়কের ধর্ম (Properties of Determinants) :
১. নির্ণায়কের কোন সারি বা কোন কলামের উপাদানগুলো শূণ্য হলে নির্ণায়কের মান শূণ্য হয় ।
২. নির্ণায়কের সারি ও কলামসমূহ পরস্পর স্থান বিনিময় করলে অর্থাৎ সারিগুলো কলামে এবং কলামগুলো সারিতে পরিণত করলে নির্ণায়কের মান অপরিবর্তিত থাকে ।
৩. নির্ণায়কের পাশাপাশি দুটি কলাম কিংবা দুটি সারি পরস্পর স্থান বিনিময় করলে নির্ণায়কের চিহ্ন পরিবর্তিত হয় কিন্তু সাংখ্যমান অপরিবর্তিত থাকে ।
৪. নির্ণায়কের দুটি কলাম কিংবা দুটি সারি অভিন্ন (Identical) হলে নির্ণায়কের মান শূণ্য হয় ।
৫. নির্ণায়কের কোন সারি বা কলামের উপাদানগুলোকে যথাক্রমে অপর সারি বা কলামের অনুরূপ উপাদানের সহগুণক দ্বারা গুণ করা হলে । গুণফলগুলোর সমষ্টি শূণ্য হয় ।
৬. নির্ণায়কের কোন সারি বা কলামের প্রত্যেকটি উপাদানকে কোন স্থির সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে, নির্ণায়কের মানকেও সেই স্থির সংখ্যা দ্বারা গুণ করা হয় ।
৭. নির্ণায়কের কোন সারি বা কলামের প্রতিটি উপাদানকে কোন স্থির সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে যদি যথাক্রমে অন্য কোন সারি বা কলাম পাওয়া যায় তবে নির্ণায়কের মান শূণ্য হয় ।
৮. নির্ণায়কের কোন সারি বা কলামের প্রতিটি উপাদান দুইটি পদ নিয়ে গঠিত হলে নির্ণায়কটিকে অন্য দুটি নির্ণায়কের সমষ্টিরূপে প্রকাশ করা যায় ।
৯. নির্ণায়কের কোন সারি বা কলামের প্রতিটি উপাদান যথাক্রমে অন্য একটি সারি বা কলামের অনুরূপ উপাদানের একটি গুণিতক দ্বারা বৃদ্ধি ব হ্রাস করা হলে নির্ণায়কের মান অপরিবর্তিত থাকে ।
নির্ণায়কের সাহায্যে সরল সমীকরণ জোটের সমাধান :
১. সমীকরণ জোটের চলকসমূহের সহগগুলো পাশাপাশি কলাম হিসেবে নিয়ে নির্ণায়কের মান নির্ণয় করতে হবে । উক্ত নির্ণায়ককে D বা A দ্বারা সূচিত করা হয় ।
২. এরপর উক্ত নির্ণায়কের প্রথম কলামকে সমীকরণজোটের ধ্রুব পদ দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে নির্ণায়কের মান নিলে প্রথম কলামের সংশ্লিষ্ট চলকের জন্য একটি নির্ণায়কের মান পাওয়া যাবে ।
৩. এভাবে প্রতি কলামের জন্য প্রক্রিয়া (ii) পুনরাবৃত্তি করে যথাক্রমে Dx/Ax, Dy/Ay, Dz/Az ...... ইত্যাদি নির্ণায়কের মান পাওয়া যাবে ।
৪. x/Ax = y/Ay = z/Az = ...... = 1/A ইত্যাদির মান নির্ণয় করা যায় ।

গাণিতিক সমস্যার উদাহরণ ও সমাধান :
1. মান নির্ণয় কর :
এখানে,
=
= 0                               [see নির্ণায়কের ধর্ম ৪]
অথবা, সরাসরি Calculator প্রয়োগ করেও মান নির্ণয় করা যায় ।          [see Determinants of matrix in Matrix chapter]

2.  এর মান শূণ্য হলে a এর মান কত?
এখানে,  = 0
⇒ 16 – (a+2)(a-4) = 0
⇒ 16 – (a2+2a-4a-8) = 0
⇒ 16- a2+2a+8 = 0
⇒ - a2+2a+24 = 0
⇒ a2-2a-24 = 0
⇒ a2-6a+4a-24 = 0
⇒ (a-6)(a+4) = 0
⇒ a = 6, -4


3. মান নির্ণয় কর :
a.
b.  যেখানে w হল 1 এর একটি কাল্পনিক ঘনমূল
c.
d.
e.
f.
g.

প্রথমেই বিস্তার না করে নির্ণায়কের বিভিন্ন ধর্ম ব্যবহার করে সংক্ষেপে ও সহজে নির্ণায়কের মান নির্ণয় করা যায় । তবে ঠিক কোন ধর্মটি ব্যবহার করলে মান নির্ণয় অপেক্ষাকৃত/ অধিকতর সহজ হবে তা কোন গঁৎবাঁধা নিয়মের দ্বারা নির্দিষ্ট নয়, অর্থাৎ তা অনেকাংশেই শিক্ষার্থীর স্বজ্ঞা(?) (Intuition) ও বিশ্লেষণ ক্ষমতা (Analytical ability) এর উপর নির্ভর করে । তবে সবসময়ই প্রথমে চেষ্টা করতে হবে cmmon/সাধারণ উপাদান গুলো বের করে আনার । এরপর দেখতে হবে যে গাণিতিক প্রক্রিয়ার মাধ্যমে পাশাপাশি কলাম বা সারিতে একই উপাদান আনা যায় কিনা, কেননা সেক্ষেত্রে সরাসরি নির্ণায়কের মান শূণ্য হয়ে যাবে । অথবা চেষ্টা করতে হবে কোন নির্দিষ্ট সারি বা কলামের সর্বোচ্চ সংখ্যক উপাদানকে শূণ্যে পরিণত করার । সেক্ষেত্রে বিস্তৃতিতে উপাদানসংখ্যা কমে যায় ফলে সহজ সরলীকরণ সম্ভব হয় ।

a. এখানে,
=  [r1′ = r1-r2; r2′ = r2-r3]
=(a-b)(b-c)                       [r1থেকে (a-b) এবং r2থেকে (b-c) common নিয়ে ]
= (a-b)(b-c)(b+c-a-b)                           [c1বরাবর বিস্তৃত করে]
= (a-b)(b-c)(c-a)

b. এখানে,
=            [c2′ = c2+c1-w; c3′ = c3+c2-w]
=                             [∵ w3 = 1]
= 1(0-4)                                   [r1বরাবর বিস্তৃত করে]
= -4

c. এখানে,
=                         [c2′ = c2-c1; c3′ = c3-c2]
=                           [r1বরাবর বিস্তৃত করে]
= (p-1)(p2-1)
= (p-1)(p2-1)(p2-p)
= p(p-1)(p2-1)

d. এখানে,
=  [c3′ = c2+c3]
= (x+y+z)
= 0  [see নির্ণায়কের ধর্ম iv]

e. এখানে,
= abc
= abc           [নির্ণায়কের ধর্ম ii]
= abc(a-b)(b-c)(c-a)     [see example 3(a)]

f. এখানে,
=  [c1′ = c1+c2+c3]
= (1+x1+x2+x3)
= (1+x1+x2+x3)  [r1′ = r1-r2; r2′ = r2-r3]
= (1+x1+x2+x3)1(1-0) [c1বরাবর বিস্তৃত করে]
= 1+x1+x2+x3

g. এখানে,
=  [r2′ = r2-r1; r3′ = r3-r2]
=  [∵ logm-logn = log(m/n)]
= log2.log(3/2)
= 0 [see নির্ণায়কের ধর্ম iv]

4. সমাধান কর : x+y-z = 3
2x+3y+z = 10
3x-y-7z = 1
এখানে, D = A =  = 1(-21+1)-1(-14-3)-1(-2-9) = 8
Dx = Ax =  = 3(-21+1)-1(-70-1)-(-10-3) = 24
Dy = Ay =  = 1(-70-1)-3(-14-3)-1(2-30) = 8
Dz = Az =  = 1(3+10)-1(2-30)+3(-2-9) = 8
∴ x = Dx/D = Ax/A = 3
∴ y = Dy/D = Ay/A = 3
∴ z = Dz/D = Az/A = 3

Calculator Techniques :
2 বা 3 চলকবিশিষ্ট সরল সমীকরণজোটের সমাধান Calculator এ নির্ণয় করা যায় :

3
1. Equation mode এ যেতে চাপুন-                                                                        (EQN)

2. চলক সংখ্যা Input করুন । যেমন : Example 4 এ চলক তিনটি x,y,z । ∴ চাপুন-
3. তিনটি চলকবিশিষ্ট সমীকরণ calculator এ নিচের আকৃতিতে Input করতে হয়-
a1x+b1y+c1z = d1
a2x+b2y+c2z = d2
a3x+b3y+c3z = d3
যেমন : Example 4 এর চলকসমূহের সহগগুলো Input করতে চাপুন-
(a1?)(b1?)(c1?)(d1?)
(a2?)(b2?)(c2?)(d2?)
(a3?)(b3?)(c3?)(d3?)
(x=3)
(y=1)
(x=4)

ঢাবির বিগত বছরের প্রশ্ন ও সমাধান :
ঢাবির বিগত বছরের প্রশ্ন :
1.  নির্ণায়কটির 0 এর সহগুণক কত?
a. 18
b. -24
c. 16
d. 24

2.  এর মান কত?
a. 10
b. 20
c. 1
d. 0

3.  নির্ণায়কটির মান 2 ; k এর মান কত?
a. 9
b. 8
c. 7
d. 6

4.  নির্ণায়কটির মান শূণ্য হলে, B এর মান কত?
a. 5 অথবা 0
b. 6 অথবা 2
c. 5 অথবা -3
d. 1 অথবা -3

5.  হলে
a. –a বা b
b. a বা -b
c. –a বা -b
d. a বা -b

6.  নির্ণায়কটির মান-
a. 4xyz
b. x2yz
c. xy2z
d. xyz2

7.  নির্ণায়কটির মান শূণ্য হলে a এর মান-
a. 4 or -5
b. 5 or -4
c. 3
d. 10

8. w যদি 1 এর একটি ঘনমূল হয়, তবে প্রদত্ত নির্ণায়কটির মান-
a. 0
b. 1
c. w
d. w2

ঢাবির বিগত বছরের প্রশ্নের সমাধান :
1. 0 এর সহগুণক = -  = -(-4-20) = 24         [see নির্ণায়কের অণুরাশি ও সহগুণক]
∴ ans.d

2. 10  = 10                    [c2′ = c2-c1; c3′ = c3-c2]
= 10.1(3-1) = 20
অথবা, Calculator ব্যবহার করে সরাসরি মান নির্ণয় করে ফেলুন ।        [see Calculator Techniques in Matrix]
∴ ans.b

3.  = 2                  [c2′ = c2-c1; c3′ = c3-c2 see example 2 for details]
⇒ k-4-3 = 2
⇒ k = 9
∴ ans.a

4. (B-2)(B+4)+5 = 0 ⇒ B2-2B+4B-8+5 = 0                     [see example 2]
⇒ B2+2B-3 = 0
⇒ B2+3B-B-3 = 0
⇒ (B+3)(B-1) = 0
⇒ B = 1 অথবা -3
∴ ans.d

5.  = 0              [c2′ = c2-c1; c3′ = c3-c2]
⇒ (x-a)(a-b)  = 0              [see example x(a) for details]
⇒ (x-a)(a-b)(a+b-x-a) = 0
⇒ x = a অথবা b
∴ ans.d

6.                                       [c1′ = c1+c2+c3]
= -2z
= -2z                                [r1′ = r2-r3]
= -2z(-xy-xy)
= 4xyz
∴ ans.a

7. (a-3)(a+4)-8 = 0
⇒ a2-3a+4a-12-8 = 0                [see example 2 for details]
⇒ a2+a-20 = 0
⇒ a2+5a-4a-20 = 0
⇒ (a+5)(a-4) = 0
⇒ a = 4 or -5
∴ ans.a

8.                      [c1′ = c1+c2+c3]
=                                       [∵ 1+w+w2 = 0]
= 0                                                       [নির্ণায়কের ধর্ম i]
∴ ans.a



Educationpedia of Bangladesh
Search
স্থানাঙ্ক
সেট (Set)
সীমা (limits) (free jangle)
সীমা (limits)
সরলরেখা (Straight Lines)
সম্ভাব্যতা(Probability)
সংযুক্ত ও যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম (Linear Programming)
ভেক্টর (Vector)
বৃত্তীয় ফাংশন ও তাদের লেখচিত্র
বৃত্ত (Circle)
বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশন
বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ (Polynomial and polynomial equations)
বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ (fresh code test)
নির্ণায়ক (Determinants)
ধারার যোগফল (Summation of Series)
দ্বিপদী রাশি (Binomial Theorem)
ত্রিভুজের গুণাবলী
ত্রিকোণমিতির প্রাথমিক ধারণা
ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ
কম্পিউটার (Computer)
কনিক (Conics)
অন্বয় ও ফাংশন
অন্তরীকরণ
edpdbd-তে যতো নতুন

ঢাবি ক ইউনিট প্রশ্ন ২০১৩-২০১৪ এর সমাধান
ঢাবি গ ইউনিট প্রশ্ন ২০১৩-২০১৪ এর সমাধান
ঢাবি 'ঘ' ইউনিট প্রশ্ন ২০১৩-২০১৪ এর সমাধান
ঢাবি খ ইউনিট প্রশ্ন ২০১৩-২০১৪ এর সমাধান
ইন্জিনিয়ারিং ভর্তি প্রস্তুতি কুইজ - ৪
ইন্জিনিয়ারিং ভর্তি প্রস্তুতি কুইজ - ৩
ইন্জিনিয়ারিং ভর্তি প্রস্তুতি কুইজ - ২
ইন্জিনিয়ারিং ভর্তি প্রস্তুতি কুইজ - ১
বাণিজ্য শাখা ভর্তি প্রস্তুতি কুইজ - ১
বিজ্ঞান শাখা ভর্তি প্রস্তুতি মডেল টেস্ট - ১
বিজ্ঞান শাখা ভর্তি প্রস্তুতি কুইজ - ৮
বিজ্ঞান শাখা ভর্তি প্রস্তুতি কুইজ - ৭
বিজ্ঞান শাখা ভর্তি প্রস্তুতি কুইজ - ৬
বিজ্ঞান শাখা ভর্তি প্রস্তুতি কুইজ - ৫
বিজ্ঞান শাখা ভর্তি প্রস্তুতি কুইজ - ৪
বিজ্ঞান শাখা ভর্তি প্রস্তুতি কুইজ - ৩
মেডিকেল ভর্তি পূর্ণাঙ্গ মডেল টেস্ট- ৩
মেডিকেল ভর্তি পূর্ণাঙ্গ মডেল টেস্ট- ২
মেডিকেল ভর্তি পূর্ণাঙ্গ মডেল টেস্ট- ১
প্রতিদিনের বিসিএস (BCS) কুইজ - ৪৩
প্রতিদিনের বিসিএস (BCS) কুইজ - ৪২
প্রতিদিনের বিসিএস (BCS) কুইজ - ৪১
৩৪তম বিসিএস পরীক্ষার প্রশ্ন ও সমাধান
ঢাবি 'গ' ইউনিট প্রশ্ন ২০১২-২০১৩ এর সমাধান
............................................................................................................ .....................
© Copyright EDPDBD.
All rights reserved.