বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ (Polynomial and polynomial equations) | edpdbd.org
Skip to main content
Educationpedia of Bangladesh
Education for Humanity
বাংলা | English | সাধারণ জ্ঞান | হিসাববিজ্ঞান | ব্যবসায় নীতি | পর্দাথবিজ্ঞান | রসায়ন | গণিত | জীববিজ্ঞান
বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ (Polynomial and polynomial equations)
বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ (Polynomial and polynomial equations)

সাধারণ ধারণা :
বহুপদী ও তার ঘাত (Polynomial and its degree) : বহুপদী এক ধরনের বীজগাণিতিক রাশি (Expression) । এতে এক  বা একাধিক পদ (element) থাকতে পারে । এক  বা একাধিক চলকের (variable) কেবলমাত্র ধনাত্মক পূর্ণসাংখ্যিক ঘাত ও কোন ধ্রুবকের (constant) গুণফল হল বহুপদীর বিভিন্ন পদ । বহুপদীর পদগুলোর সর্বোচ্চ ঘাতকে বহুপদীয় ঘাত (Degree) বলে ।
এক চলকের বহুপদী : এর প্রতি পদে শুধুমাত্র একটি চলকের বিভিন্ন পূর্ণ সাংখ্যিক ঘাত ও ধ্রুবক থাকে । যেমন :
a0xn+a1xn-1+a2xn-2+ ......+anএকটি এক চলকের বহুপদী যেখানে x চলক । a0, a1, a2, ...... an ∈ R হল ধ্রুবক যেখানে a0 ≠ 0 । n হল x এর সর্বাধিক ঘাত । লক্ষণীয়, x এর ঘাত কখনও ঋণাত্মক হতে পারবে না । a0কে মুখ্য সহগ বলা হয় । এক চলক x-বিশিষ্ট এরূপ বহুপদী রাশিকে f(x) দ্বারাও প্রকাশ করা হয় ।
বহুপদী সমীকরণ (Polynomial Equation) : a0xn+a1xn-1+a2xn-2+ ......+an = 0 আকারের সমীকরণকে বহুপদী সমীকরণ বলে ।
x এর যে মানগুলোর জন্য বহুপদী সমীকরণটি সিদ্ধ হয়, অর্থাৎ বহুপদী রাশিটির মান শূন্য হয়, ঐ মানগুলোকে বহুপদী সমীকরণের মূল (Roots) বলা হয় ।
n = 1,2,3 এর জন্য বহুপদী সমীকরণটিকে যথাক্রমে সরল সমীকরণ (Linear equation), দ্বিঘাত সমীকরণ (quadratic equation), ত্রিঘাত সমীকরণ (cubic equation) বলা হয় ।
বহুপদী সমীকরণের উপপাদ্য (Theorems of polynomial equations) :
i.            বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য (Fundamental theorem of algebra) : প্রতিটি বহুপদী সমীকরণের অন্তত একটি মূল (বাস্তব কিংবা জটিল) থাকে ।
ii.            n ঘাত বিশিষ্ট বহুপদী সমীকরণে n সংখ্যক মূল আছে (বাস্তব কিংবা জটিল) । তবে সব মূলগুলো ভিন্ন নাও হতে পারে ।
iii.            ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder theorem) : যদি কোন বহুপদী f(x) কে x-a দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে ভাগশেষ হবে f(a) ।
iv.            উৎপাদক উপপাদ্য (Factor theorem) : যদি a, বহুপদী সমীকরণ f(x) এর একটি মূল হয় তবে (x-a) বহুপদী f(x) এর একটি উৎপাদক হবে ।
v.            অনুবন্ধী মূল উপপাদ্য (Conjugate pairs theorem) : a+ib কোন বহুপদী সমীকরণের জটিল মূল হলে এর অনুবন্ধী a-ib ও সমীকরণের মূল হবে । এবং a+√b একটি মূল হলে (যেখানে √b অমূলদ), এর অনুবন্ধী a-√b ও সমীকরণের একটি মূল হবে ।
বহুপদীর মূল সহগ সম্পর্ক : যদি a,b,c,d, ...... k কোন বহুপদী সমীকরণ p0xn+p1xn-1+p2xn-2+ ...... +pnএর মূল হয় তবে,
i.             = a+b+c+ ...... + k = - p1/p0
ii.             = ab+bc+cd+ ...... = P2/P0
iii.            a×b×c×d×......×k =  (-1)n (pn/p0)
দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic equation) : বহুপদী সমীকরণের ঘাত 2 হলে তাকে দ্বিঘাত সমীকরণ বলে । এক চলকবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের আদর্শ রূপ-
ax2+bx+c = 0; যেখানে a≠0; a,b,c মূলদ সংখ্যা
উক্ত সমীকরণ সমাধান করলে x এর দুইটি মান পাওয়া যাবে অর্থাৎ দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল হবে-
এবং
দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূল দুইটি a এবং B (a>B) হলে,
i.             = a+B = -b/a = -
ii.            aB = c/a =
দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি (Nature of the roots) : আমরা জানি, ax2+bx+c = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের মূল, x =  । এখানে, (b2-4ac) এর মান পর্যালোচনা করলেই দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি জানা যায় । এজন্য (b2-4ac) কে দ্বিঘাত সমীকরণের নিশ্চায়ক বা নিরূপক (Discriminant) বলা হয় ।
i.            যদি b2-4ac=0 ⇒ b2=4ac হয় তবে মূল দুইটি হবে –b/2a এবং –b/2a । অর্থাৎ মূল দুইটি বাস্তব, মূলদ ও সমান হবে ।
ii.            b2-4ac>0 ⇒ b2>4ac হলে মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে ।
iii.            b2-4ac<0 ⇒ b2<4ac হলে মূলদ্বয় অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা হবে ।
iv.            (b2-4ac) পূর্ণবর্গ হলে মূলদ্বয় বাস্তব, মূলদ ও অসমান হবে ।
v.            c = 0 হলে একটি মূল 0 হবে ।
vi.            b = 0 হলে মূল দুইটি হবে √(-c/a) এবং -√(-c/a) অর্থাৎ মূল দুইটির মান সমান কিন্তু বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট হবে । লক্ষণীয়, এক্ষেত্রে a ও c একই  চিহ্নযুক্ত হলে মূলদ্বয় জটিল এবং বিপরীত চিহ্নযুক্ত হলে মূলদ্বয় বাস্তব হবে ।
দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ মূল থাকার শর্ত : a1x2+b1x+c1=0 ও a2x2+b2x+c2=0  সমীকরণদ্বয়ের-
i.            একটি মূল সাধারণ হবে যদি (a1b2-a2b1)(b1c2-b2c1) = (c1a2-c2a1)2হয় ।
ii.            উভয় মূলই সাধারণ হবে যদি a1/a2 = b1/b2 = c1/c2হয় ।
দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন : দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল দেয়া থাকলে তা থেকে দ্বিঘাত সমীকরণটি গঠন করা যায় । সমীকরণটি হবে-
x2 - (মূলদ্বয়ের যোগফল)x + (মূলদ্বয়ের গুণফল) = 0
অর্থাৎ দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল a ও B হলে সমীকরণটি হবে-
x2 - (a+B)x + aB = 0
ত্রিঘাত সমীকরণ Cubic equation) : বহুপদী সমীকরণের ঘাত 3 হলে তাকে ত্রিঘাত সমীকরণ বলে । এক চলকবিশিষ্ট ত্রিঘাত সমীকরণের আদর্শ রূপ-
ax3+bx2+cx+d = 0; যেখানে a≠0; a,b,c,d মূলদ সংখ্যা
ত্রিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক : ax3+bx2+cx+d = 0 সমীকরণের মূলত্রয় a,B,Y হলে-
i.             = a+B+Y = -b/a
ii.             = aB+BY+Ya = c/a
iii.            aBY = -d/a
Important formulae :
i.            (a+b)2 = a2+2ab+b2 = (a-b)2+4ab
ii.            (a-b)2= a2-2ab+b2 = (a+b)2-4ab
iii.            4ab = (a+b)2-(a-b)2
iv.            a2+b2 = (a+b)2-2ab = (a-b)2+2ab
v.            a3+b3 = (a+b)3-3ab(a+b) = (a+b)(a2-ab+b2)
vi.            a3-b3 = (a-b)3+3ab(a-b) = (a-b)(a2+ab+b2)
vii.            a4+b4 = [(a+b)2-2ab]2-2(ab)2
viii.            a2+b2+c2 = (a+b+c)2-2(ab+bc+ca)
ix.            (a+b)2+(b+c)2+(c+a)2 = 2(a2+b2+c2+ab+bc+ca)
x.            (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 = 2(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
xi.            a3+b3+c3-3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
= ½ (a+b+c){(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2}
= (a+b+c){(a+b+c)2-3(ab+bc+ca)}

গাণিতিক সমস্যা ও সমাধান :
1.      x3-px2+qx-r = 0 সমীকরণের মূলগুলো a,B,Y হলে-
a.
b.
c.
d.       এর মান নির্ণয় কর ।
সমাধান :
a.       এখানে,  = a+B+Y = -(-p/1) = p          [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক i]
b.       = aB+BY+Ya = q/1 = q            [See ত্রিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক ii]
c.        = a2+B2+Y2 = (a+B+Y) – 2(aB+BY+Ya)           [See Important formulae viii]
= p2-2q
d.       = a3+B3+Y3 = (a+B+Y){a2+B2+Y2-3(aB+BY+Ya)}+3 aBY    [See Important formulae xi]
= p(p2-2q-3q)+{-(-r/1)}                 [See ত্রিঘাত সমীকরণের মূল সহগ-সম্পর্ক]
= p3-5pq+3r
2.      x3+qx+r=0 এর মূলগুলো a,B,Y হলে  এর মান নির্ণয় কর ।
সমাধান :
এখানে, x3+qx+r = 0  ⇒ x3+0.x2+qx+r = 0
∴ a+B+Y = 0...(i)           [See ত্রিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক i]
(i) ⇒ a+B = -Y; B+Y = - a; a+Y = -B
∴  =  = -Y -a-B = - (a+B+Y) = 0
3.      k এর মান কত হলে, (3k+1)x2+(11+k)x+9 = 0 সমীকরণের মূলগুলো-
a.       সমান
b.      বাস্তব ও অসমান
c.       জটিল হবে?
সমাধান :
এখানে, নিশ্চায়ক, D = (11+k)2-4(3k+1)9              [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি]
= k2+22k+121-108k-86
= k2-86k+85
= k2-k-85k+85
= (k-1)(k-85)
a.       মূলগুলো সমান হবে যদি D=0 হয়   [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি i]
⇒ (k-1)(k-85) = 0
⇒ k=1 অথবা 85 হয়
b.      মূলগুলো বাস্তব ও অসমান হবে যদি D>0 হয় [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি ii]
⇒ (k-1)(k-85) > 0
⇒ k 0 হয়         [See Algebra - chaper 2 - বাস্তব সংখ্যা]
c.       মূলগুলো জটিল হবে যদি D<0 হয়   [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি iii]
⇒ (k-1)(k-85) < 0
⇒ k<1<85 হয়         [See Algebra - chaper 2 - বাস্তব সংখ্যা]
4.      x2-2x+3 = 0 সমীকরণের মূল দুইটি a ও B হলে নিচের মূলগুলো দ্বারা গঠিত সমীকরণসমূহ নির্ণয় কর ।
i.            -a, -B
ii.            1/a, 1/ B
iii.            -1/ a, -1/ B
iv.            a+B, aB
v.            4a, 4B
vi.            a -1, B-1
vii.            a2,  B2
viii.            1/ a2, 1/B2
ix.            a+ a-1,  B+B-1
x.            a+B-1, B+ a-1
xi.
xii.            1/a3, 1/B3
সমাধান :
এখানে, a+B = 2                   [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক i]
aB = 3                  [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক ii]
i.            নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = -a-B = -(a+B)
মূলদ্বয়ের গুণফল = (-a)(-B) = aB
∴ -a ও -B মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,
x2-(-a-B)x+(-a)(-B) = 0                   [See দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]
⇒ x2+(a+B)x+aB = 0
⇒ x2+2x+3 = 0
Ø  Short-cut : ax2+bx+c=0 সমীকরণে মূলদ্বয় a ও B হলে -a ও -B মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, ax2-bx+c=0
ii.            নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = 1/a + 1/B =  = 2/3
মূলদ্বয়ের গুণফল = 1/a × 1/B = 1/(aB) = 1/3
∴ 1/a ও 1/B  মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,
x2-(1/a+1/B)x+(1/a)(1/B) = 0       [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]
⇒ x2-2/3x+1/3 = 0
⇒ 3x2-2x+1 = 0
Ø  Short-cut : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় a ও B হলে 1/a ও 1/B মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, cx2+bx+a = 0
iii.            নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = -1/a-1/B = -  = -2/3
মূলদ্বয়ের গুণফল = (-1/a)×(-1/B) = 1/(aB) = 1/3
∴ -1/a ও -1/B মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,
x2-(-1/a-1/B)x+(-1/a)(-1/B) = 0       [See দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]
⇒ x2+(2/3)x+(1/3) = 0
⇒ 3x2+2x+1 = 0
Ø  Short-cut : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় a ও B হলে -1/a ও -1/B মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, cx2-bx+a = 0
iv.            নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = a+B+aB = 5
মূলদ্বয়ের গুণফল = (a+B)(aB) = 6
∴ a+B ও aB মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,
x2-(a+B+aB)x+(a+B)(aB) = 0             [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]
⇒ x2-5x+6 = 0
Ø  Short-cut : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় a ও B হলে a+B ও aB মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, ax2+a(b-c)x-bc = 0
v.            নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = 4a+4B = 4(a+B) = 8
মূলদ্বয়ের গুণফল = (4a)(4B) = 16aB = 48
∴ 4a ও 4B মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,
x2-(4a+4B)x+(4a)(4B) = 0       [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]
⇒ x2-8x+48 = 0
Ø  Short-cut : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় a ও B হলে na ও nB মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, ax2+nbx+n2c = 0
vi.            নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = a-1+B-1 = a+B-2 = 0
মূলদ্বয়ের গুণফল = (a-1)(B-1) = aB-a-B+1
= aB-(a+B)+1
= 2
∴ (a-1) ও (B-1) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,
x2-(a-1+B-1)x+(a-1)(B-1) = 0         [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]
⇒ x2+2 = 0
Ø  Short-cut : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় a ও B হলে (a-n) ও (B-n) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, ax2-(b-2an)x+c+bn+n2 = 0
vii.            নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = a2+B2 = (a+B)2-2aB = 4-6 = -2
মূলদ্বয়ের গুণফল = a2B2 = (aB)2 = 9
∴ a2ও B2মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,
x2-(a2+B2)x+(a2)(B2) = 0          [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]
⇒ x2+2x+9 = 0
Ø  Short-cut : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় a ও B হলে a2ও B2মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, a2x2+(b2-2ca)x+c2 = 0
viii.            নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = 1/a2 + 1/B2
=
=     [See Important formulae iv]
= (4-6)/9
= -2/9
মূলদ্বয়ের গুণফল = 1/a2 . 1/B2 = 1/(aB)2 = 1/9
∴ 1/a2ও 1/B2মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,
x2-(1/a2+1/B2)x+(1/a2)(1/B2)=0       [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]
⇒ x2+(2/9)x+1/9 = 0
⇒ 9x2+2x+1 = 0
Ø  Short-cut : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় a ও B হলে 1/a2ও 1/B2মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, c2x2-(b2-2ac)x+a2 = 0
ix.            নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = a+a-1+B+B-1
= a+B+1/a+1/B
= (a+B)+
= 2+2/3
= 8/3
মূলদ্বয়ের গুণফল = (a+a-1)(B+B-1)
= aB+a-1B+B-1a+a-1B-1
= aB+B/a+a/B+(1/a)(1/B)
= aB+  +
= aB+  +
= 3+1/3+(4-6)/3
= 8/3
∴ (a+a-1) ও (B+B-1) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,
x2-(a+a-1+B+B-1)x+(a+a-1)(B+B-1) = 0          [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]
⇒ x2-8/3x+8/3 = 0
⇒ 3x2-8x+8 = 0
Ø  Short-cut : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় a ও B হলে a+a-1ও B+B-1মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, acx2+b(a+c)x+a2+b2+c2-2ac = 0
x.            নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = a+B-1+1/a+1/B
= (a+B)+
= 2+2/3
= 8/3
মূলদ্বয়ের গুণফল = (a+B-1)(B+a-1)
= aB+1+1+a-1B-1
= aB+2+ 1/(aB)
= 3+2+1/3
= 16/3
∴ (a+B-1) ও (B+a-1) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,
x2-(a+B-1+B+a-1)x+(a+B-1)(B+a-1) = 0          [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]
⇒ x2-(8/3)x+16/3 = 0
⇒ 3x2-8x+16 = 0
Ø  Short-cut : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় a ও B হলে (a+B-1) ও (B+a-1) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, acx2+b(a+c)x+(a+c)2 = 0
xi.            নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল =
=
=
=
= 0
মূলদ্বয়ের গুণফল =
=
= 1/(3-2+1)
= 1/2
∴ 1/(a-1) ও 1/(B-1) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,
x2-( + )x+( )( ) = 0       [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]
⇒ x2+1/2 = 0
⇒ 2x2+1= 0
Ø  Short-cut : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় a ও B হলে  ও  মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, (a+b+c)x2+(b+2a)x+a = 0
xii.            নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = 1/a3 + 1/B3
=
=      [See important formula v]
= (23-3.3.2)/33
= 10/27
মূলদ্বয়ের গুণফল = 1/a3 . 1/B3
= 1/(aB)3
= 1/27
∴ 1/a3ও 1/B3মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,
x2-(1/a3 + 1/B3 )x+(1/a3)(1/B3) = 0  [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]
⇒ x2-(10/27)x+1/27 = 0
⇒ 27x2-10x+1 = 0
Ø  Short-cut : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় a ও B হলে 1/a3ও 1/B3  মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, c3x+b(b2-3ac)x+a3 = 0
5.       −1 কোন দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল হলে অপর মূলটি কত? সমীকরণটি নির্ণয় কর ।
সমাধান :
এখানে, একটি মূল  −1 = -1+i            [i = ]
∴ অপর মূল = -1-i        [See অনুবন্ধী মূল উপপাদ্য]

∴ নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = -1+ i -1- i  = -2
মূলদ্বয়ের গুণফল = (-1+ i )(-1- i )
= (-1)2-(i )2            [(a+b)(a-b) = a2-b2]
= 1-i25
= 1-i2.5
= 1+5             [i2 = -1]
= 6
∴ নির্ণেয় সমীকরণ, x2-(-1+ i )(-1- i )x+(-1+ i )(-1- i ) = 0       [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]
⇒ x2+2x+6 = 0
Ø  Short-cut : কোন দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল a+ib হলে সমীকরণটি হবে, x2-2ax+(a2+b2)=0
6.      3x2-2x+k=0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের অন্তর 1 একক হলে k এর মান কত?
সমাধান :
ধরি, সমীকরণের মূলদ্বয় a ও B (যেখানে a>B)
দেওয়া আছে, a-B=1 এখানে, a+B = -(-2/3) = 2/3     [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক i]
এবং aB = k/3       [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক ii]
এখন, 4aB = (a+B)2-(a-B)2     [See Important formulae iii]
⇒ 4aB = (2/3)2-(1)2
⇒ 4.(k/3) = 4/9-1
⇒ (4/3)k = -5/9
∴ k = -5/9 × 3/4  = -5/12
Ø  Short-cut : ax2+bx+c=0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের অন্তর 1 একক হলে, b2-a2 = 4ca
এক্ষেত্রে, (-2)2-32 = 4.k.3
⇒ 12k = -5
⇒ k = -5/12
7.      px2+qx+q=0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের অনুপাত m∶n হলে,  এর মান কত?
সমাধান :
ধরি, সমীকরণের মূলদ্বয় a ও B ।
∴ a+B = -q/p        [see দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক i]
∴ aB = q/p          [see দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক ii]
দেওয়া আছে, a/B = m/n
তাহলে,
⇒
⇒              [∵  ]
⇒  +
⇒  +      [∵     &  2 = x ]
⇒  +
⇒  +         [∵ x=  ]
⇒ -   +   =  0
8.      ax2+2x+1 = 0 এবং x2+2x+a = 0 সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল থাকলে a এর মান নির্ণয় কর । (a≠1)
সমাধান :
ধরি, সাধারণ মূল p ।
∵ p উভয় সমীকরণের সাধারণ মূল ∴ p দ্বারা সমীকরণদ্বয় সিদ্ধ হবে ।
অর্থাৎ, ap2+2p+1=0 …(i)
এবং, p2+2p+a=0 …(ii)
(i) ও (ii) থেকে বজ্রগুণন পদ্ধতির সাহায্যে পাই,
=  =    …(iii)        [a1x2+b1x+c1 = 0 ও a2x2+b2x+c2=0 হলে বজ্রগুণন পদ্ধতি অনুসারে,

]

(iii) ⇒ =
⇒ p2 = 1
⇒ p = ±1
আবার, (iii) ⇒


-
P=1 হলে (iv) ⇒ -  = 1
⇒ -a-1 = 2
⇒ a=1
P = -1 হলে (iv) ⇒ -  = -1
⇒ -a-1 = -2
⇒ a = 1
বিকল্প পদ্ধতি :
ধরি, সাধারণ মূল p ।
∴ ap2+2p+1 = 0 …(i)    এবং, p2+2p+a = 0 …(ii)
(i) – (ii) ⇒ ap2-p2+1-a = 0
⇒ p2(a-1)-(a-1) = 0
⇒ (p2-1)(a-1) = 0
কিন্তু a≠1⇒ a-1 ≠ 0
∴ p2-1=0          ⇒ p = ±1
p=1 হলে (i) ⇒ a(1)2+2(1)+1=0  ⇒ a = -3
p=-1 হলে (i) ⇒ a(-1)2+2(-1)+1=0  ⇒ a = 1

9.      x এর কোন বাস্তব মানের জন্য-
a.       x2-6x+45 এর মান ন্যূনতম হবে? ন্যূনতম মান নির্ণয় কর ।
b.      19-x2+6x এর মান বৃহত্তম হবে? বৃহত্তম মান নির্ণয় কর ।
সমাধান :
a.       f(x) = x2-6x+45 এর ন্যূনতম মান পাওয়া যাবে যদি a>0 হয় ।
x = -b/2a এর জন্য f(x) এর ন্যূনতম মান পাওয়া যাবে যেখানে, ন্যূনতম মান = f(-b/2a)
এক্ষেত্রে, x=-(-b/2a)=3 এর জন্য ন্যূনতম মান পাওয়া যাবে ।
∴ ন্যূনতম মান = f(-b/2a) = f(3) = (3)2-6(3)+45 = 36
b.      f(x) = 19-x2+6x এর বৃহত্তম মান পাওয়া যাবে যদি a<0 হয় ।
x = -b/2a এর জন্য f(x) এর বৃহত্তম মান পাওয়া যাবে যেখানে বৃহত্তম মান = f(-b/2a)
এক্ষেত্রে, x=-(b/-2a)=3 এর জন্য বৃহত্তম মান পাওয়া যাবে ।
∴ বৃহত্তম মান = f(-b/2a) = f(3) = 19-(3)2+6(3) = 28 →

Calculator techniques : Calculator-এর সাহায্যে দ্বিঘাত ও ত্রিঘাত সমীকরণের মূলগুলোর মান নির্ণয় করা যায় । প্রাপ্ত মান প্রশ্নের শর্তানুসারে পরিবর্তিত করে সহজেই নতুন দ্বিঘাত/ ত্রিঘাত সমীকরণ গঠন করা যায় ।
ax2+bx+c=0 আকৃতির সমীকরণ সমাধানের জন্য চাপুন-
এরপর a,b,c এর মান input করলেই সমাধান পেয়ে যাবেন ।
ax3+bx2+cx+d আকৃতির সমীকরণ সমাধানের জন্য চাপুন-
Example 4 এর দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের জন্য পূর্বোক্ত প্রক্রিয়ায় 2nd degree equation mode এ প্রবেশ করে চাপতে হবে-


অর্থাৎ, উক্ত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব । মান 1+ i ও 1- i ।        চেপে বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ দেখা যায়

ঢাবির বিগত বছরের প্রশ্ন ও সমাধান :
1. x2-5x-3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় a, B হলে 1/a, 1/B মূলবিশিষ্ট সমীকরণ কোনটি?                      [DU : 1999-2000]
a. 3x2+5x-1=0
b. 3x2-5x+1=0
c. 5x2+x-3=0
d. 5x2-x-3=0

2. x2-4x+4=0 এর বীজদ্বয় a এবং B হলে a3+B3এর মান কত?           [DU : 2000-01]
a. 24
b. 32
c. 16
d. 8

3. x2-5x-3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় x1, x2হলে 1/x1, 1/x2মূলবিশিষ্ট সমীকরণ কি?                       [DU : 2001-02]
a. 3x2-5x+1=0
b. 5x2+x-3=0
c. 3x2+5x-1=0
d. 5x2-x-3=0

4. p এর কিরূপ মানের জন্য x2+px+1 = 0 সমীকরণটির মূলদ্বয় জটিল হবে?                   [DU : 2002-03]
a. -2≤p≤2
b. -4<p≤4
c. -2<p<2
d. -4≤p<4

5. 6x2-5x+1=0 সমীকরণের মূলদ্বয় a, B হলে 1/a, 1/B মূল বিশিষ্ট সমীকরণটি হবে-                    [DU : 2004-05]
a. x2-5x+6=0
b. 3x2-2x+5=0
c. x2-6x+5=0
d. 5x2+2x-6=0

6. k এর যে মানের জন্য সমীকরণ (k+1)x2+4(k-2)x+2k = 0 এর মূলদ্বয়ের মান সমান হবে তা-    [DU : 2004-05]
a. 4
b. 8
c. 2
d. 3

7. x2-2x+3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় a, B হলে a+B, aB মূলবিশিষ্ট সমীকরণটি হবে-                       [DU : 2005-06]
a. x2-5x+6 = 0
b. 3x2-2x+1 = 0
c. x2-3x+2 = 0
d. 2x2-3x+1 = 0

8. x2-3x+5 এর ন্যূনতম মান-        [DU : 2006-07]
a. 3
b. 5
c. 15/4
d. 11/4

9. x2-5x-1 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় হতে 2 কম মূলবিশিষ্ট সমীকরণটি হল-                      [DU : 2007-08]
a. x2+x+7 = 0
b. x2-x-7 = 0
c. x2+x-7 = 0
d. x2-x-7 = 0

10. 5+3x-x2এর সর্বোচ্চ মান-      [DU : 2008-09]
a. 3
b. 11/4
c. 29/4
d. 27/4

11. x2-7x+12 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় a এবং B হলে, a+B এবং aB মূলবিশিষ্ট সমীকরণ-  [DU : 2009-10]
a. x2-19x+84 = 0
b. x2+14x+144 = 0
c. x2-14x+144 = 0
d. x2+19x-84 = 0

ঢাবির বিগত বছরের প্রশ্নের সমাধান :
1. নির্ণেয় সমীকরণ, -3x2-5x+1=0             [see example 4 (ii)]
⇒ 3x2+5x-1 = 0
∴ ans. a

2. এখানে, a+B=4; aB=4 [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক]
∴ a3+B3 = (a+B)3-3aB(a+B)
= 16
∴ ans. c

3. নির্ণেয় সমীকরণ, -3x2-5x+1=0             [see example 4 (ii)]
⇒ 3x2+5x-1 = 0
∴ ans. c

4. মূলদ্বয় জটিল হবে যদি p2- 4 < 0
⇒ p2 < 4                       [see example 3 (c)]
⇒ -2<p<2 হয়
∴ ans. c

5. নির্ণেয় সমীকরণ, x2-5x+6=0
∴ ans.a
6. মূলদ্বয় সমান হবে যদি {4(k-2)}2-4.(k+1).2k=0 হয়         [See example 3(a)]
⇒ 16(k-2)2 = 8k(k+1)
⇒ 2(k2-4k+4) = k2+k
⇒ 2k2-8k+8 = k2+k
⇒ k2-9k+8 = 0
⇒ k = 1 or, 8    [use calculator/manually factorize through middle term process]
∴ ans.b
7. a+B = 2; aB = 3; ∴ a+B+aB = 5    &, (a+B)(aB) = 6    [see example 4 (iv)]
∴ নির্ণেয় সমীকরণ, x2-5x+6 = 0
∴ ans.a
8. –b/2a = 3/2
∴ f(3/2) = (3/2)2-3(3/2)+5                    [see example 9]
= 11/4
∴ ans.d
10.  a+B = 5; aB = -1           [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক]
∴ (a-2)(B-2) = aB-2(a+B)+4 = -7
∴ a-2+B-2 = 1
∴ x2-(a-2+B-2)x+(a-2)(B-2) = 0       [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]
⇒ x2-x-7 = 0
∴ ans.d
10. –b/2a = 3/2
∴ f(3/2) = 5+3(3/2)-(3/2)2 = 29/4          [see example 9]
∴ ans.c
11.  a+B = 7; aB = 12            [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক]
∴ a+B+aB = 19; ∴ (a+B)(aB) = 84
∴ x2-(a+B+aB)x+(a+B)(aB) = 0             [see example 4 (iv)]
⇒ x2-19x+84 = 0
∴ ans.a


Educationpedia of Bangladesh
Search
স্থানাঙ্ক
সেট (Set)
সীমা (limits) (free jangle)
সীমা (limits)
সরলরেখা (Straight Lines)
সম্ভাব্যতা(Probability)
সংযুক্ত ও যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম (Linear Programming)
ভেক্টর (Vector)
বৃত্তীয় ফাংশন ও তাদের লেখচিত্র
বৃত্ত (Circle)
বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশন
বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ (Polynomial and polynomial equations)
বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ (fresh code test)
নির্ণায়ক (Determinants)
ধারার যোগফল (Summation of Series)
দ্বিপদী রাশি (Binomial Theorem)
ত্রিভুজের গুণাবলী
ত্রিকোণমিতির প্রাথমিক ধারণা
ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ
কম্পিউটার (Computer)
কনিক (Conics)
অন্বয় ও ফাংশন
অন্তরীকরণ
edpdbd-তে যতো নতুন

ঢাবি ক ইউনিট প্রশ্ন ২০১৩-২০১৪ এর সমাধান
ঢাবি গ ইউনিট প্রশ্ন ২০১৩-২০১৪ এর সমাধান
ঢাবি 'ঘ' ইউনিট প্রশ্ন ২০১৩-২০১৪ এর সমাধান
ঢাবি খ ইউনিট প্রশ্ন ২০১৩-২০১৪ এর সমাধান
ইন্জিনিয়ারিং ভর্তি প্রস্তুতি কুইজ - ৪
ইন্জিনিয়ারিং ভর্তি প্রস্তুতি কুইজ - ৩
ইন্জিনিয়ারিং ভর্তি প্রস্তুতি কুইজ - ২
ইন্জিনিয়ারিং ভর্তি প্রস্তুতি কুইজ - ১
বাণিজ্য শাখা ভর্তি প্রস্তুতি কুইজ - ১
বিজ্ঞান শাখা ভর্তি প্রস্তুতি মডেল টেস্ট - ১
বিজ্ঞান শাখা ভর্তি প্রস্তুতি কুইজ - ৮
বিজ্ঞান শাখা ভর্তি প্রস্তুতি কুইজ - ৭
বিজ্ঞান শাখা ভর্তি প্রস্তুতি কুইজ - ৬
বিজ্ঞান শাখা ভর্তি প্রস্তুতি কুইজ - ৫
বিজ্ঞান শাখা ভর্তি প্রস্তুতি কুইজ - ৪
বিজ্ঞান শাখা ভর্তি প্রস্তুতি কুইজ - ৩
মেডিকেল ভর্তি পূর্ণাঙ্গ মডেল টেস্ট- ৩
মেডিকেল ভর্তি পূর্ণাঙ্গ মডেল টেস্ট- ২
মেডিকেল ভর্তি পূর্ণাঙ্গ মডেল টেস্ট- ১
প্রতিদিনের বিসিএস (BCS) কুইজ - ৪৩
প্রতিদিনের বিসিএস (BCS) কুইজ - ৪২
প্রতিদিনের বিসিএস (BCS) কুইজ - ৪১
৩৪তম বিসিএস পরীক্ষার প্রশ্ন ও সমাধান
ঢাবি 'গ' ইউনিট প্রশ্ন ২০১২-২০১৩ এর সমাধান
............................................................................................................ .....................
© Copyright EDPDBD.
All rights reserved.