যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম (Linear Programming) | edpdbd.org
Skip to main content
Educationpedia of Bangladesh
Education for Humanity
বাংলা | English | সাধারণ জ্ঞান | হিসাববিজ্ঞান | ব্যবসায় নীতি | পর্দাথবিজ্ঞান | রসায়ন | গণিত | জীববিজ্ঞান
যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম (Linear Programming)
সাধারণ ধারণা :
যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম
প্রাপ্ত সম্পদের ভিত্তিতে পরস্পর নির্ভরশীল কাজ বা শর্ত থেকে সবচেয়ে অনুকূল ফল অর্জনের গাণিতিক পদ্ধতি বা কৌশলকে যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম বলা হয়।
x ≥ a অসমতার লেখ অঙ্কন :
আমরা জানি, x = a , y অক্ষের সমান্তরাল রেখার সমীকরণ। x ≥ a অসমতার লেখ হবে x = a রেখার উপরস্থিত সকল বিন্দু এবং তার চেয়ে বড় সকল বিন্দুর লেখ অর্থাৎ x = a রেখা ও তার ডানপাশের সকল বিন্দুর লেখ।

তাহলে, x > a অসমতার লেখ হবে x = a রেখার শুধুমাত্র ডানপাশের সকল বিন্দুর লেখ।
x ≤ a অসমতার লেখ অঙ্কন :
অনুরূপভাবে , x ≤ a অসমতার লেখ হবে x = a রেখার উপরস্থিত সকল বিন্দু এবং তার চেয়ে ছোট সকল বিন্দুর লেখ অর্থাৎ x = a রেখা ও তার বামপাশের সকল বিন্দুর লেখ।

তাহলে, x < a অসমতার লেখ হবে x = a রেখার শুধুমাত্র বামপাশের সকল বিন্দুর লেখ।
y ≥ b অসমতার লেখ অঙ্কন :
আমরা জানি, y = b , x অক্ষের সমান্তরাল রেখার সমীকরণ। y ≥ b অসমতার লেখ হবে y = b রেখার উপরস্থিত সকল বিন্দু এবং তার চেয়ে বড় সকল বিন্দুর লেখ অর্থাৎ y = b রেখা ও তার উপরের সকল বিন্দুর লেখ।

তাহলে, y > b অসমতার লেখ হবে y = b রেখার শুধুমাত্র উপরের সকল বিন্দুর লেখ।
y ≤ b অসমতার লেখ অঙ্কন :
অনুরূপভাবে , y ≤ b অসমতার লেখ হবে y = b রেখার উপরস্থিত সকল বিন্দু এবং তার চেয়ে ছোট সকল বিন্দুর লেখ অর্থাৎ y = b  রেখা ও তার নিচের সকল বিন্দুর লেখ।
তাহলে, y < b অসমতার লেখ হবে y = b রেখার শুধুমাত্র নিচের সকল বিন্দুর লেখ।
যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের কোন চলকই ঋণাত্মক হবে না। অর্থাৎ x ≥ o এবং  y ≥ o হবে।

ax+by ≥ c অসমতার লেখ অঙ্কন :
আমরা জানি, ax+by = c একটি সরলরেখার সমীকরণ যা অক্ষদ্বয়কে ছেদ করে। অর্থাৎ,
ax+by=c ⇒  +  = 1 সরলরেখা x অক্ষকে (c/a, 0) এবং y অক্ষকে (0, c/a) বিন্দুতে ছেদ করে।
অথবা, সরলরেখাটি যে বিন্দুতে x অক্ষকে ছেদ করে সে বিন্দুতে কোটি শূন্য।
সমীকরণে y = 0 বসালে x অক্ষে কর্তিত অংশ (x-intercept) পাওয়া যাবে।
ax+b(0) = c ⇒ x=c/a
এবং সরলরেখাটি যে বিন্দুতে y অক্ষকে ছেদ করে সে বিন্দুতে ভুজ শূন্য। সমীকরণে x=0 বসালে y অক্ষে কর্তিত অংশ (y-intercept) পাওয়া যাবে।
a(0)+by = c ⇒ y=c/b
প্রাপ্ত (c/a,0) এবং (0,c/b) বিন্দুদ্বয়কে যোগ করলে ax+by = c রেখার লেখ পাওয়া যাবে। ax+by ≥ c অসমতার লেখ হবে ax+by = c  রেখার উপরস্থিত সকল বিন্দু এবং তার চেয়ে বড় সকল বিন্দুর সেট অর্থাৎ ax+by = c রেখা ও তার যে দিকে মূলবিন্দু আছে তার বিপরীত দিকের সকল বিন্দুর সেট।
তাহলে, ax+by > c অসমতার লেখ হবে ax+by = c রেখার যে দিকে মূলবিন্দু আছে শুধুমাত্র তার বিপরীত দিকের সকল বিন্দুর সেট।
ax+by ≤ c অসমতার লেখ অঙ্কন :
অনুরূপভাবে , ax+by ≤ c  অসমতার লেখ হবে ax+by = c রেখার উপরস্থিত সকল বিন্দু এবং তার চেয়ে ছোট সকল বিন্দুর সেট অর্থাৎ ax+by = c  রেখা ও তার যে দিকে মূলবিন্দু আছে সে দিকের সকল বিন্দুর সেট।

তাহলে, ax+by < c অসমতার লেখ হবে ax+by = c রেখার যে দিকে মূলবিন্দু আছে শুধুমাত্র সে দিকের সকল বিন্দুর সেট।
Exemplary Problems With Solution :
1.  x+2y≤10, x+y≤6, x≤4, x≥0, y≥0 শর্তসমূহ সাপেক্ষে z=2x+3y রাশিটির সর্বোচ্চকরণ কর।



x+2y≤10 ⇒ x/10 + y/5 ≤ 1 অসমতার লেখ :
x+y≤6 অসমতার লেখ :

x≤4 অসমতার লেখ :
∴ সম্পূর্ণ প্রোগ্রামের লেখ :
এখানে, A, B, C ও D প্রান্তিক বিন্দুসমূহ অর্থাৎ সম্ভাব্য সে সকল বিন্দু যাদের জন্য প্রদত্ত রাশির সর্বোচ্চ মান পাওয়া যেতে পারে।
এখানে,
A ≡ (0,5)
B ≡ (2,4)                     [ x+2y=10 ও x+y=6 রেখার ছেদবিন্দু। সমীকরণদ্বয় সমাধান করলে যার
মান পাওয়া যায় । Use calculator to solve equations to save time. ]
C ≡ (4,2)                     [ x+y=6  ও x=4 রেখার ছেদবিন্দু ]
D ≡ (4,0)
A (0,5)  বিন্দুতে z = 2(0)+3(5) = 15
B (2,4)  বিন্দুতে z = 2(2)+3(4) = 16
C (4,2)  বিন্দুতে z = 2(4)+3(2) = 14
D (4,0)  বিন্দুতে z = 2(4)+3(0) = 8
∴ Z এর সর্বোচ্চ মান 16 ।
[Answer]
2. x+y≤5, x+2y≤8, 4x+3y>12, x≥0, x≥0 শর্তসমূহ সাপেক্ষে রাশিটির সর্বনিম্নকরণ কর।
∴ সম্পূর্ণ প্রোগ্রামের লেখ :
এখানে, A,B,C ও D প্রান্তিক বিন্দুসমূহ অর্থাৎ সম্ভাব্য সে সকল বিন্দু যাদের জন্য প্রদত্ত রাশির সর্বনিম্ন মান পাওয়া যেতে পারে।
কিন্তু A এবং D   4x+3y > 12 অসমতার লেখের বিন্দু নয়। কেননা, 4x+3y = 0 রেখার যে পাশে মূলবিন্দু আছে তার বিপরীত পাশের সকল বিন্দুই শুধুমাত্র 4x+3y > 12  অসমতার লেখের বিন্দু। ∴ A এবং D বিন্দু শর্ত বহির্ভূত।
এখানে,
B ≡ (2,3)              [ x+y = 5  ও x+2y = 8 রেখার ছেদবিন্দু। সমীকরণদ্বয় সমাধান করলে যার মান
পাওয়া যায় । Use calculator to solve equations to save time. ]
C ≡ (5.0)
∴ B (2,3)  বিন্দুতে , z = 2(2) - 3 =1
∴ C (5,0)  বিন্দুতে , z = 2(5) – 0 =10
∴ Z এর সর্বনিম্ন মান 1 .
[Answer ]
ঢাবির বিগত বছরের প্রশ্ন ও সমাধান :
ঢাবির বিগত বছরের প্রশ্ন :
# 1. x ≥ 0, y ≥ 0, x+y ≥ 6, 2x+y ≥ 8 শর্তসমূহ সাপেক্ষে z = 2x+3y রাশিটির সর্বনিম্ন মান- [ DU : 06-07 ]
a.16
b.10
c.12
d.14
# 2. 5x1+10x2≤50, x1+x2≥1, x2≤4, x1≥0, x2≥0 শর্তসমূহ সাপেক্ষে রাশিটির 2x1+7x2 লঘিষ্ঠমান- [ DU : 08-09 ]
a.2
b.7
c.20
d.28
#  3.  নিম্নের লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যার সমাধান কর :
গরিষ্ঠকরণ কর, z = 3x+4y
শর্ত হচ্ছে, x+y ≤ 7, 2x+5y ≤ 20, x ≥ 0, y ≥ 0
a.(5,2)
b.(7,0)
c.(10,0)
d.(0,7)

ঢাবির বিগত বছরের প্রশ্নের সমাধান :
1. x/6 + y/6 ≥ 1,                       x/4 + y/8 ≥ 1                1x+y = 6
2x+y = 8
≈ (6,0), (0,6)                       ≈ (4,0), (0,8)                    ≈ (2,4)
[see example 2 for details]

প্রান্তিক বিন্দু হিসেবে (0,6) কে বাদ দেয়া যেতে পারে ∵ দ্বিতীয় শর্তমতে, y≥8
প্রান্তিক বিন্দু হিসেবে (4,0) কে বাদ দেয়া যেতে পারে ∵ প্রথম শর্তমতে, x≥6
∴ At (6,0), z = 2(6)+3(0) = 12
At (8,0), z = 2(0)+3(8) = 24
At (2,4), z = 2(2)+3(4) = 16
∴ z এর সর্বনিম্ন মান  12.
[ Answer : C ]

2. 5x1+10x2≤50,          x1+x2≥1,                      x2≤4,                            5x1+10x2=50
⇒ x1/10 + x2/5 ≤ 1       ≈ (1,0), (0,1)                5x1+10x2=50               x1+x2=1
≈ (10,0), (0,5)                                                  ≈ (2,4)                         ≈ (-8,9)
≈ (0,4)
প্রান্তিক বিন্দু হিসেবে (0,5) ও (-8,9) কে বাদ দেয়া যেতে পারে ∵ দ্বিতীয় শর্তমতে x1≥1
∴ At (10,0), z = 2(10)+7(0) =  20
At (1,0),  z = 2(1)+7(0)  =   2
At (0,1),  z = 2(0)+7(1)  =  7
At (0,4),  z = 2(0)+7(4)  =  28
At (2,4),  z = 2(2)+7(4)  =  32
∴ z এর লঘিষ্ঠমান  2.
[Answer : A]

3. x+y≤7                                  2x+5y≤20                                x+y=7
⇒ x/7+y/7 ≤ 1                         ⇒ x/10+y/4 ≤ 1                       2x+5y=20
≈ (7,0), (0,7)                            ≈ (10,0), (0,4)                           ≈ (5,2)
[see example 1 for details]
প্রান্তিক বিন্দু হিসেবে (10,9) কে বাদ দেয়া যেতে পারে ∵ প্রথম শর্তমতে, x≤7
প্রান্তিক বিন্দু হিসেবে (0,7) কে বাদ দেয়া যেতে পারে ∵ দ্বিতীয় শর্তমতে, y≤4
∴ At (7,0), z = 3(7)+4(0) = 21
At (0,4), z = 3(0)+4(4) = 16
At (5,2), z = 3(5)+4(2) = 23
∴ (5,2) এ z এর সর্বোচ্চ মান পাওয়া যায় ।
[Answer : A]




Educationpedia of Bangladesh
Search
স্থানাঙ্ক
সেট (Set)
সীমা (limits) (free jangle)
সীমা (limits)
সরলরেখা (Straight Lines)
সম্ভাব্যতা(Probability)
সংযুক্ত ও যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম (Linear Programming)
ভেক্টর (Vector)
বৃত্তীয় ফাংশন ও তাদের লেখচিত্র
বৃত্ত (Circle)
বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশন
বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ (Polynomial and polynomial equations)
বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ (fresh code test)
নির্ণায়ক (Determinants)
ধারার যোগফল (Summation of Series)
দ্বিপদী রাশি (Binomial Theorem)
ত্রিভুজের গুণাবলী
ত্রিকোণমিতির প্রাথমিক ধারণা
ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ
কম্পিউটার (Computer)
কনিক (Conics)
অন্বয় ও ফাংশন
অন্তরীকরণ
edpdbd-তে যতো নতুন

ঢাবি ক ইউনিট প্রশ্ন ২০১৩-২০১৪ এর সমাধান
ঢাবি গ ইউনিট প্রশ্ন ২০১৩-২০১৪ এর সমাধান
ঢাবি 'ঘ' ইউনিট প্রশ্ন ২০১৩-২০১৪ এর সমাধান
ঢাবি খ ইউনিট প্রশ্ন ২০১৩-২০১৪ এর সমাধান
ইন্জিনিয়ারিং ভর্তি প্রস্তুতি কুইজ - ৪
ইন্জিনিয়ারিং ভর্তি প্রস্তুতি কুইজ - ৩
ইন্জিনিয়ারিং ভর্তি প্রস্তুতি কুইজ - ২
ইন্জিনিয়ারিং ভর্তি প্রস্তুতি কুইজ - ১
বাণিজ্য শাখা ভর্তি প্রস্তুতি কুইজ - ১
বিজ্ঞান শাখা ভর্তি প্রস্তুতি মডেল টেস্ট - ১
বিজ্ঞান শাখা ভর্তি প্রস্তুতি কুইজ - ৮
বিজ্ঞান শাখা ভর্তি প্রস্তুতি কুইজ - ৭
বিজ্ঞান শাখা ভর্তি প্রস্তুতি কুইজ - ৬
বিজ্ঞান শাখা ভর্তি প্রস্তুতি কুইজ - ৫
বিজ্ঞান শাখা ভর্তি প্রস্তুতি কুইজ - ৪
বিজ্ঞান শাখা ভর্তি প্রস্তুতি কুইজ - ৩
মেডিকেল ভর্তি পূর্ণাঙ্গ মডেল টেস্ট- ৩
মেডিকেল ভর্তি পূর্ণাঙ্গ মডেল টেস্ট- ২
মেডিকেল ভর্তি পূর্ণাঙ্গ মডেল টেস্ট- ১
প্রতিদিনের বিসিএস (BCS) কুইজ - ৪৩
প্রতিদিনের বিসিএস (BCS) কুইজ - ৪২
প্রতিদিনের বিসিএস (BCS) কুইজ - ৪১
৩৪তম বিসিএস পরীক্ষার প্রশ্ন ও সমাধান
ঢাবি 'গ' ইউনিট প্রশ্ন ২০১২-২০১৩ এর সমাধান
............................................................................................................ .....................
© Copyright EDPDBD.
All rights reserved.