কনিক (Conics) | edpdbd.org
Skip to main content
Educationpedia of Bangladesh
Education for Humanity
বাংলা | English | সাধারণ জ্ঞান | হিসাববিজ্ঞান | ব্যবসায় নীতি | পর্দাথবিজ্ঞান | রসায়ন | গণিত | জীববিজ্ঞান
কনিক (Conics)
বিষয়াবলী
গুরুত্বপূর্ণ তত্ত্ব
গাণিতিক সমস্যা ও সমাধান
সাধারণ ধারণা :

কনিক : কার্তেসীয় সমতলে একটি নির্দিষ্ট বিন্দু ও একটি নির্দিষ্ট সরলরেখা থেকে যে সব বিন্দুর দূরত্বের অনুপাত একটি ধ্রুবক, তাদের সেই একটি সঞ্চারপথ এবং তাকে কনিক বলা হয় ।
নির্দিষ্ট বিন্দুটিকে কনিকের উপকেন্দ্র বা ফোকাস (focus) বলে।
নির্দিষ্ট সরলরেখাটিকে কনিকের দিকাক্ষ বা নিয়ামক (directrix) বলে ।
ধ্রুব অনুপাতটিকে উৎকেন্দ্রিকতা (eccentricity) বলা হয় এবং দ্বারা e সূচিত করা হয় ।
e এর বিভিন্ন মানের জন্য সঞ্চারপথের আকৃতি ভিন্ন হয় ।

e = 0 হলে সঞ্চারপথ হয় বৃত্ত (circle)
0 < e  < 1 হলে সঞ্চারপথ হয় উপবৃত্ত (ellipse)
e = 1 হলে সঞ্চারপথ হয় পরাবৃত্ত (parabola)
e  > 1 হলে সঞ্চারপথ হয় অধিবৃত্ত (hyperbola)

পরাবৃত্ত (Parabola) সম্পর্কিত কিছু সংজ্ঞা:
অক্ষরেখা (Axis of symmetry): উপকেন্দ্রের মধ্য দিয়ে দিকাক্ষের উপর অঙ্কিত লম্ব রেখাটিকে পরাবৃত্তের অক্ষরেখা বলা হয়।
শীর্ষবিন্দু (Vertex):  পরাবৃত্ত ও অক্ষরেখার ছেদ বিন্দুকে পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু বলা হয়।
উপকেন্দ্রিক দূরত্ব (Focal distance):  উপকেন্দ্র থেকে পরাবৃত্তের যেকোনো বিন্দুর দূরত্বকে উপকেন্দ্রিক দূরত্ব বা ফোকাস দূরত্ব বলা হয়।
উপকেন্দ্রিক জ্যা (Focal chord): পরাবৃত্তের যে জ্যা উপকেন্দ্র দিয়ে গমন করে তাকে উপকেন্দ্রিক জ্যা বলে।
উপকেন্দ্রিক লম্ব (Latus rectum): উপকেন্দ্রিক জ্যা অক্ষের উপর লম্ব হলে তাকে উপকেন্দ্রিক লম্ব বা নাভিলম্ব বলে।

y2 = 4ax পরাবৃত্তের ক্ষেত্রে :
শীর্ষবিন্দু, (0,0)
উপকেন্দ্র, (a,0)
দিকাক্ষের সমীকরণ, x = -a
অক্ষরেখার সমীকরণ, y = 0
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, = 4a
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, x = a
y2 = -4ax পরাবৃত্তের ক্ষেত্রে :
(0,0)
(-a,0)
x = a
y = 0
4a
x = -a
x2 = -4ay পরাবৃত্তের ক্ষেত্রে :
(0,0)
(0,a)
y = -a
x = 0
4a
y = a
x2 = -4ay পরাবৃত্তের ক্ষেত্রে :
(0,0)
(0,-a)
y = a
x = 0
4a
y = -a
y2 = 4ax               y2 = -4ax           x2 = 4ay               x2 = -4ay
উপবৃত্ত (Ellipse):

x2/a2 + y2/b2 = 1 উপবৃত্তের ক্ষেত্রে : (যখন a>b)
কেন্দ্রের স্থানাংক (0,0)
বৃহৎ অক্ষ (major axis) = 2a
ক্ষুদ্র অক্ষ (minor axis) = 2b
উপকেন্দ্রের সমীকরণ (±ae,0)
বৃহৎ অক্ষের সমীকরণ, y = 0
ক্ষুদ্র অক্ষের সমীকরণ, x = 0
দিকাক্ষের সমীকরণ, x = ± (a/e)
উৎকেন্দ্রিকতা, e2 = (a2-b2) / a2
উপকেন্দ্রিক লম্ব = 2b2 / a
x2/a2 + y2/b2 = 1 উপবৃত্তের ক্ষেত্রে : (যখনa<b)
(0,0)
2b
2a
(0,±b e)
x = 0
y = 0
y = ± (b/ e)
e2 = (b2-a2) / b2
অধিবৃত্ত (hyperbola):


x2/a2 - y2/b2 = 1 অধিবৃত্তের ক্ষেত্রে :
কেন্দ্রের স্থানাংক (0,0)
উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাংক (e,0)
শীর্ষবিন্দুর স্থানাংক (±a,0)
দিকাক্ষের সমীকরণ, x = ±(a/e)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য = 2b2/a
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, x = ±ae
উৎকেন্দ্রিকতা, e2 = (a2+b2) / a2
আড় অক্ষের সমীকরণ, y = 0
অনুবন্ধী অক্ষের সমীকরণ, x = 0
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য = 2a
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য = 2b
y2/b2 - x2/a2 = 1 অধিবৃত্তের ক্ষেত্রে :
(0,0)
(0,±be)
(0,±b)
y = ±(b/e)
2b2/a
y = ±be
e2 = (b2+a2)/b2
x = 0
y = 0
2b
2a

গাণিতিক সমস্যা ও সমাধান :
1. 5x2 + 15x – 10y – 4 = 0 পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্র, উপকেন্দ্রিক লম্ব, অক্ষরেখা এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর ।

সমাধানঃ

এখানে, 5x2 + 15x – 10y – 4 = 0
⇒ 5(x2+3x) – 10y – 4 = 0
⇒ 5 (x2 + 2.x.3/2 + 9/4) – 5.9/4 – 10y – 4 = 0
⇒ 5 (x + 3/2 )2 = 10y + 61/4
⇒ (x + 3/2)2 = 2 (y + 61/40)     ...(i)

ধরি, x + 3/2 = X  এবং y + 61/40 = Y
∴ (i) ⇒ x2 = 2y ⇒ x2 = 4 . 1/2 . y
x2 = 4ay পরাবৃত্তের সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,
শীর্ষবিন্দুর ভুজ, x = 0 ⇒ x + 3/2 = 0 ⇒ x = - 3/2
শীর্ষবিন্দুর কোটি, y = 0 ⇒ y + 61/40 = 0 ⇒ y = - 61/40
∴ শীর্ষবিন্দুর স্থানাংক ≡ (-3/2, -61/40)                    [ans.]
উপকেন্দ্রের ভুজ, x = 0 ⇒ x  + 3/2 = 0 ⇒ x = -3/2
উপকেন্দ্রের কোটি,y = a = ½
⇒ y + 61/40 = ½ ⇒ y = -41/40
∴ উপকেন্দ্রের স্থানাংক ≡ (-3/2, - 41/40)                 [ans.]
অক্ষরেখার সমীকরণ, x = 0 ⇒ x + 3/2 = 0             [ans.]

দিকাক্ষের সমীকরণ, y = -a = -1/2
⇒ y + 61/40 + ½ = 0 ⇒ y + 81/40 = 0             [ans.]

2. (1,1) উপকেন্দ্র ও 3x+4y = 1 দিকাক্ষবিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর । তার অক্ষের সমীকরণও বের কর ।

সমাধানঃ

ধরি, P (x,y) পরাবৃত্তের উপরিস্থিত কোন বিন্দু । P থেকে উপকেন্দ্রের দূরত্ব PS এবং দিকাক্ষের লম্ব দূরত্ব PM হলে,
PS = ePM
⇒ PS = PM                   [পরাবৃত্তের জন্য e=1]

⇒  =
[(x1,y1) ও (x2,y2) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব =  ; (x1,y1)  থেকে
ax+by+c = 0সরলরেখার দূরত্ব = ]
⇒ (x-1)2 + (y-1) = (3x+4y-1)2 / 32+42
⇒ 25x2+ 25y2-50x-50y+50 = 9x2+16y2+1+24xy-8y-6x
⇒ 16x2+9y2-44x-42y+49-24xy = 0
⇒ (4x-3y)2-44x-42y+49 = 0                [ans.]
অক্ষ দিকাক্ষের উপর উপর লম্ব । তাই অক্ষের সমীকরণ হবে,
4x-3y+k = 0                 [ax+by+c = 0 রেখার লম্ব রেখার সমীকরণ, bx-ay+k = 0]
∵ অক্ষ (1,1) বিন্দুগামী,
∴ 4(1)-3(1)+k = 0
⇒ k = -1
∴ অক্ষের সমীকরণ, 4x-3y-1 = 0
[ans.]

3. 16x2+25y2 = 400 উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্র, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং উপকেন্দ্রিক লম্ব ও দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর ।

সমাধানঃ

এখানে, 16x2+25y2 = 400
⇒ x2/25 + y2/16 = 1
∴ a = 5   এবং b = 4
∵ a>b  ∴ e2 = (a2-b2)/a2   = 9/25
⇒ e = 3/5         [e ঋণাত্মক হতে পারে না]             [ans.]
উপকেন্দ্রের স্থানাংক ≡ (±e,0) = (±3,0)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য = 2b2/a  = 32/5                             [ans.]
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, x = ±e          ⇒ x = ±3                     [ans.]
দিকাক্ষের সমীকরণ, x = (±a/e)    ⇒ x = ± 25/3                 [ans.]


4. x2-3y2-2x = 8 অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, কেন্দ্রের স্থানাংক এবং অক্ষের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর ।

সমাধানঃ

এখানে, x2-3y2-2x = 8
⇒ (x2-2x.1+1)-3y2 = 8+1
⇒ (x-1)2-3y2 = 9
⇒ (x-1)2 / 9 – y2/3 = 1
∴ a2 = 9 ; b2 = 3
∴  2 = (a2+b2) / a2   = 4/3
∴ e = 2/√3                                            [ans.]

কেন্দ্রের ভুজ, x-1 = 0   ⇒ x = 1
কেন্দ্রের কোটি, y = 0
∴ কেন্দ্রের স্থানাংক ≡ (1,0)             [ans.]
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য = 2a = 6                       [ans.]
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য = 2b = 2√3  [ans.]

Educationpedia of Bangladesh
Search
স্থানাঙ্ক
সেট (Set)
সীমা (limits) (free jangle)
সীমা (limits)
সরলরেখা (Straight Lines)
সম্ভাব্যতা(Probability)
সংযুক্ত ও যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম (Linear Programming)
ভেক্টর (Vector)
বৃত্তীয় ফাংশন ও তাদের লেখচিত্র
বৃত্ত (Circle)
বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশন
বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ (Polynomial and polynomial equations)
বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ (fresh code test)
নির্ণায়ক (Determinants)
ধারার যোগফল (Summation of Series)
দ্বিপদী রাশি (Binomial Theorem)
ত্রিভুজের গুণাবলী
ত্রিকোণমিতির প্রাথমিক ধারণা
ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ
কম্পিউটার (Computer)
কনিক (Conics)
অন্বয় ও ফাংশন
অন্তরীকরণ
edpdbd-তে যতো নতুন

ঢাবি ক ইউনিট প্রশ্ন ২০১৩-২০১৪ এর সমাধান
ঢাবি গ ইউনিট প্রশ্ন ২০১৩-২০১৪ এর সমাধান
ঢাবি 'ঘ' ইউনিট প্রশ্ন ২০১৩-২০১৪ এর সমাধান
ঢাবি খ ইউনিট প্রশ্ন ২০১৩-২০১৪ এর সমাধান
ইন্জিনিয়ারিং ভর্তি প্রস্তুতি কুইজ - ৪
ইন্জিনিয়ারিং ভর্তি প্রস্তুতি কুইজ - ৩
ইন্জিনিয়ারিং ভর্তি প্রস্তুতি কুইজ - ২
ইন্জিনিয়ারিং ভর্তি প্রস্তুতি কুইজ - ১
বাণিজ্য শাখা ভর্তি প্রস্তুতি কুইজ - ১
বিজ্ঞান শাখা ভর্তি প্রস্তুতি মডেল টেস্ট - ১
বিজ্ঞান শাখা ভর্তি প্রস্তুতি কুইজ - ৮
বিজ্ঞান শাখা ভর্তি প্রস্তুতি কুইজ - ৭
বিজ্ঞান শাখা ভর্তি প্রস্তুতি কুইজ - ৬
বিজ্ঞান শাখা ভর্তি প্রস্তুতি কুইজ - ৫
বিজ্ঞান শাখা ভর্তি প্রস্তুতি কুইজ - ৪
বিজ্ঞান শাখা ভর্তি প্রস্তুতি কুইজ - ৩
মেডিকেল ভর্তি পূর্ণাঙ্গ মডেল টেস্ট- ৩
মেডিকেল ভর্তি পূর্ণাঙ্গ মডেল টেস্ট- ২
মেডিকেল ভর্তি পূর্ণাঙ্গ মডেল টেস্ট- ১
প্রতিদিনের বিসিএস (BCS) কুইজ - ৪৩
প্রতিদিনের বিসিএস (BCS) কুইজ - ৪২
প্রতিদিনের বিসিএস (BCS) কুইজ - ৪১
৩৪তম বিসিএস পরীক্ষার প্রশ্ন ও সমাধান
ঢাবি 'গ' ইউনিট প্রশ্ন ২০১২-২০১৩ এর সমাধান
............................................................................................................ .....................
© Copyright EDPDBD.
All rights reserved.