Matemaatika mõistetamatust tõhususest loodusteadustes | Kirikiri\nEugene P. Wigner, Richard W. Hamming, Jef Raskin\nJa on võimalik, et siin peitub mingi saladus, mis tuleb alles avastada.\nOn üks lugu kahest sõbrast, kes olid olnud gümnaasiumis klassivennad ja rääkisid nüüd oma tööst. Ühest neist oli saanud statistik ja ta uuris rahvastikutrende. Ta näitas oma endisele klassikaaslasele üht separaati. See algas nagu ikka Gaussi jaotusega ja statistik seletas oma endisele klassivennale tegeliku rahvaarvu, keskmise rahvaarvu ja teiste sümbolite tähendust. Klassivend oli veidi umbusklik ega olnud päris kindel, kas statistik teda mitte ninapidi ei vea. “Kuidas sa võid seda teada?” uuris ta. “Ja mis sümbol see siin on?” “Ah see,” ütles statistik, “see on π.” “Mis see on?” “Ringi ümbermõõdu ja läbimõõdu suhe.” “Nüüd sa lähed oma naljaga küll liiale,” ütles koolivend, “kindlasti ei ole rahvaarvul midagi pistmist ringi ümbermõõduga.”\nKlassivenna lihtsameelne lähenemine ajab meid loomulikult naerma. Sellest hoolimata pean ma tunnistama, et seda lugu kuuldes hakkas mul kõhe, sest klassivenna reaktsioon andis kahtlemata tunnistust üksnes tervest argimõistusest. Ma olin veelgi rohkem segaduses, kui mõni päev hiljem tuli minu juurde üks inimene  ja väljendas oma hämmingut tõsiasja üle, et me valime üsna kitsalt andmeid, mille abil me oma teooriaid testime. “Kui me loome teooria, mis keskendub nähtustele, millest me ei hooli, ja eirab mõningaid nähtusi, millele on praegu suunatud meie tähelepanu, siis kust me teame, et me ei saaks luua veel üht teooriat, millel oleks vähe ühist meie äsja loodud teooriaga, kuid mis siiski seletaks sama paljusid nähtusi?” Tuleb tunnistada, et meil ei ole kindlaid tõendeid selle kohta, et säärast teooriat pole olemas.\nNeed kaks lugu illustreerivad kaht põhipunkti, mis on siinse arutelu teemaks. Esimeseks punktiks on see, et matemaatilised mõisted kerkivad esile täiesti ootamatutes seostes. Veel enam: sageli võimaldavad nad neis seostes olevaid nähtusi ootamatult üksikasjalikult ja täpselt kirjeldada. Teiseks, just nimelt selle asjaolu tõttu ja ka seetõttu, et me ei mõista nende kasulikkuse põhjusi, ei ole meil võimalik teada, kas matemaatiliste mõistete abil sõnastatud teooria on unikaalselt sobiv. Me oleme samasuguses olukorras nagu mees, kellele anti võtmekimp ja kes pidi avama mitu ust järjest ning sattus alati õigele võtmele esimesel või teisel katsel. Ta muutus skeptiliseks võtmete ja uste vastavuse unikaalsuse suhtes.\nEnamik sellest, mis siin nende asjade kohta öeldakse, ei ole uus; ühel või teisel viisil on see arvatavasti pähe turgatanud enamikule teadlastest. Minu peamine eesmärk on selle valgustamine mitmest küljest. Esiteks, matemaatika tohutu kasulikkus loodusteadustes on nähtus, mis piirneb müstikaga ja millel puudub igasugune mõistlik seletus. Teiseks, just see matemaatiliste mõistete üleloomulik kasulikkus tõstatab küsimuse meie füüsikateooriate unikaalsusest. Selleks et tõestada esimest punkti - et matemaatika etendab füüsikas mõistetamatult tähtsat rolli -, oleks kasulik mõne sõnaga vastata küsimusele “Mis on matemaatika?”, siis küsimusele “Mis on füüsika?”, seejärel rääkida veidi sellest, kuidas tuleb füüsikateooriates mängu matemaatika, ning viimaks sellest, miks paistab matemaatika edukus füüsikas meid nii nõutuks tegevat. Märksa vähem tuleb juttu teisest punktist, füüsikateooriate unikaalsusest. Korralik vastus sellele küsimusele nõuaks põhjalikku eksperimentaalset ja teoreetilist tööd, mida ei ole praeguseks veel ette võetud.\nKeegi ütles kord, et filosoofia on just selleks otstarbeks leiutatud terminoloogia väärtarvitamine.  Samas vaimus ütleksin ma, et matemaatika on teadus osavatest tehetest mõistete ja reeglitega, mis on leiutatud just selleks otstarbeks. Põhirõhk on mõistete leiutamisel. Huvitavad teoreemid saaksid matemaatikas peagi otsa, kui need tuleks sõnastada mõistetega, mis juba esinevad aksioomides. Ehkki on vaieldamatult tõsi, et elementaarse matemaatika ja eriti elementaarse geomeetria mõisted formuleeriti selleks, et kirjeldada entiteete, mida vahetult pakub tegelik maailm, ei näi sama kehtivat keerukamate mõistete, eriti nende mõistete kohta, mis mängivad nii tähtsat osa füüsikas. Niisiis on reeglid tehete sooritamiseks kahe arvuga ilmselt mõeldud andma samu tulemusi nagu tehted murdudega, mida me algul õppisime ilma mingi viiteta tehetele kahe arvuga. Reeglid teheteks jadadega, s.t irratsionaalarvudega, kuuluvad ikkagi selliste reeglite kategooriasse, mis määrati kindlaks säärasena, et nad kordaksid reegleid teheteks meile juba tuntud suurustega. Enamik keerulisemaid matemaatilisi mõisted, nagu kompleksarvud, algebrad, lineaarsed operaatorid, Boreli hulgad - ja seda nimekirja võiks jätkata peaaegu lõpmatult -, töötati välja sel viisil, et nad oleksid sobivad alused, mille najal matemaatik saaks demonstreerida oma leidlikkust ja formaalse ilu meelt. Tegelikult on juba nende mõistete definitsioon, millega kaasneb tõdemus, et nende peal saab rakendada huvitavaid ja leidlikke võtteid, esimeseks demonstratsiooniks neid defineeriva matemaatiku leidlikkusest. Mõttesügavust, mis kulub nende matemaatiliste mõistete sõnastamisele, õigustab hiljem osavus, millega neid mõisteid kasutatakse. Suur matemaatik ekspluateerib täielikult, peaaegu halastamatult lubatava mõtlemise ala, riivates lubamatut. Et tema hulljulgus teda vasturääkivuste mülkasse ei juhi, on tõeline ime: kahtlemata on raske uskuda, et darwinlik loodusliku valiku protsess on viinud meie mõtlemisvõime selle täiuslikkuseni, mis tal näib olevat. Ent see ei ole meie praegune teema. Põhipunkt, mida meil tuleb hiljem uuesti meenutada, on see, et matemaatik saab sõnastada ainult käputäie huvitavaid teoreeme, ilma et ta defineeriks uusi mõisteid lisaks aksioomides sisalduvatele, ja et nende aksioomideväliste mõistete defineerimisel on silmas peetud seda, et nad võimaldaksid leidlikke loogilisi tehteid, mis vastaksid meie ilumeelele nii tehetena kui ka oma suure üldisuse ja lihtsusega. \nEriti rabavaks näiteks selle kohta on kompleksarvud. Kindlasti ei ole meie kogemuses midagi sellist, mis ajendaks meid neid suurusi kasutusele võtma. Tõepoolest, kui paluda matemaatikul põhjendada oma huvi kompleksarvude vastu, siis osutab ta mõningase meelepahaga võrrandi-, astmeridade ja üldse analüütiliste funktsioonide teooriate paljudele ilusatele teoreemidele, mis võlgnevad oma tekke kompleksarvude kasutuselevõtule. Matemaatik ei ole nõus loobuma huvist oma kõige ilusamate vaimusaavutuste vastu. \nFüüsik on huvitatud eluta looduse seaduste avastamisest. Et seda väidet mõista, on vaja analüüsida mõistet “loodusseadus”.\nMaailm meie ümber on hämmastavalt keerukas ja kõige ilmsemalt annab sellest tunnistust tõik, et me ei saa tulevikku ennustada. Ehkki tuntud nali omistab ainult optimistile arvamuse, et tulevik on ebakindel, on optimistil antud juhul õigus: tulevik on ennustamatu. Nagu Schrödinger on märkinud, on ime, et maailma hämmastavast keerukusest hoolimata võib sündmustes teatud korrapära avastada (Schrödinger 1932; Dubislav 1933). Üks selline, Galilei avastatud korrapära seisneb selles, et kaks samaaegselt ja samalt kõrguselt alla visatud kivi jõuavad maapinnale ühel ajal. Just selliseid korrapärasusi loodusseadused puudutavadki. Galilei leitud korrapärasus on suure korrapärasuste klassi prototüüp. See on üllatav korrapärasus kolmel põhjusel.\nEsiteks on see üllatav sel põhjusel, et see ei olnud tõsi mitte ainult Pisas ja Galilei ajal; see on tõsi igal pool maakeral, oli alati tõsi ja jääb alati tõeks. Selles korrapärasuse omaduses on äratuntav invariantsusomadus, ja nagu mul oli mõni aeg tagasi juhust tõdeda (Wigner 1949), ei oleks ilma selliste Galilei tähelepaneku üldistuse sarnaste invariantsusprintsiipideta füüsika võimalik. Teine üllatav omadus on kõnealuse korrapärasuse sõltumatus erakordselt paljudest tingimustest, mis võiksid sellele mõju avaldada. See kehtib sõltumata sellest, kas sajab vihma või mitte, kas katse viiakse läbi ruumis või viltuses tornis, kas kivi alla viskav inimene on mees või naine. See kehtib isegi siis, kui kaks kivi visatakse samaaegselt samalt kõrguselt alla kahe eri inimese poolt. Ilmselt on olemas loendamatul arvul teisi tingimusi, mis kõik on tähtsusetud Galilei korrapärasuse kehtivuse seisukohast. Nende paljude asjaolude ebaolulisust, mis võiksid vaadeldava nähtuse juures mingit rolli etendada, on samuti nimetatud invariantsuseks (Wigner 1949). See invariantsus on aga teist laadi kui eelmine, sest seda ei saa sõnastada üldprintsiibina. Nähtust mõjutavate ja mittemõjutavate tingimuste uurimine on üks osa iga teadusala algsest eksperimentaalsest uurimisest. Just katsetaja osavus ja leidlikkus näitab talle nähtusi, mis sõltuvad suhteliselt kitsast hulgast suhteliselt kergesti tuvastatavatest ja korratavatest tingimustest.  Selles mõttes oli Galilei piirdumine kõnealusel juhul vaid suhteliselt raskete kehade vaatlemisega kõige tähtsam samm. Ja taas on tõsi, et kui poleks nähtusi, mis sõltuvad vaid nii väikesest hulgast tingimustest, et nendega on kerge toime tulla, oleks füüsika võimatu.\nKaks eelmist punkti on küll ülimalt tähtsad filosoofi vaatevinklist, kuid pole sugugi need, mis Galileid enim üllatasid, samuti ei sisalda nad ühtki konkreetset loodusseadust. Loodusseadus sisaldub väites, et aeg, mis kulub raskel kehal langemiseks teatud kõrguselt, on sõltumatu langeva keha suurusest, materjalist ja kujust. Newtoni teise “seaduse” raamistikus tähendab see tegelikult väidet, et gravitatsioonijõud, mis avaldab mõju langevale kehale, on võrdeline selle massiga, kuid sõltumatu langeva keha suurusest, materjalist ja kujust.\nEelneva arutluse eesmärgiks oli meelde tuletada, et esiteks pole “loodusseaduste” olemasolu sugugi loomulik ja veel vähem on seda inimese võime neid avastada.  Siinkirjutajal oli mõni aeg tagasi võimalus juhtida tähelepanu “loodusseaduste” järjestikustele kihtidele, millest igaüks sisaldab üldisemaid ja hõlmavamaid seadusi kui eelmine ja mille avastamine tähendab tungimist sügavamale universumi struktuuri, kui lubasid varem tuntud kihid (Wigner 1950; Margenau 1950). Kõige tähtsam on aga siinses kontekstis see, et kõik need loodusseadused sisaldavad isegi oma kõige kaugemates järeldustes ainult väikest osa meie teadmistest eluta maailma kohta. Kõik loodusseadused on tingimuslikud väited, mis lubavad mingi tulevikusündmuse ennustamist oleviku kohta käivate teadmiste põhjal, ainult et mõned maailma praeguse seisundi aspektid või õieti absoluutne enamik maailma praegust seisundit määravatest teguritest on ennustuse seisukohast ebaolulised. Sellest ebaolulisusest tuleks aru saada Galilei teoreemi käsitluse teise punkti mõistes. \nMis puudutab maailma praegust seisundit, näiteks Maa olemasolu, millel me elame ja kus Galilei oma katsed sooritas, Päikese ja kõige meid ümbritseva eksistentsi, siis siinkohal on loodusseadused täiesti vait. Just seepärast saab loodusseadusi kasutada tuleviku ennustamiseks ainult erandlikel tingimustel - kui kõik maailma praegust seisundit määravad asjakohased tegurid on teada. Ja just seepärast on masinate ehitamine, mille funktsioneerimist me oskame ette näha, füüsikute kõige hämmastavam saavutus. Nende masinate näol loob füüsik olukorra, kus kõik asjakohased koordinaadid on teada, nii et masina käitumist on võimalik ennustada. Selliste masinate näiteks on radarid ja tuumareaktorid.\nKogu senise arutluse eesmärgiks on olnud näidata, et kõik loodusseadused on tingimuslikud väited ja et nad on seotud ainult väikese osaga meie teadmistest maailma kohta. Nii annab klassikaline mehaanika kui parim teadaolev füüsikateooria prototüüp kõikide kehade asendikoordinaatide teise tuletise meie teadmiste põhjal nende kehade asendist jne. See ei anna mingit informatsiooni nende kehade olemasolu, praeguse asendi ega kiiruse kohta. Täpsuse huvides tuleks märkida, et umbes kolmekümne aasta eest saime teada, et isegi tingimuslikud väited ei saa olla päris täpsed: et need tingimuslikud väited on tõenäosuslikud seadused, mis võimaldavad meil teha üksnes arukaid oletusi eluta maailma tulevaste omaduste kohta, tuginedes teadmistele selle praegusest olukorrast. Nad ei luba meil esitada kategoorilisi väiteid, isegi mitte selliseid, mille tingimuseks oleks maailma praegune seisund. “Loodusseaduste” tõenäosuslik olemus avaldub ka masinate juures ja seda on võimalik tõestada, vähemalt tuumareaktorite puhul, kui lasta neil töötada väga madalal võimsusel. Siiski ei etenda loodusseaduste kehtivusulatuse veelgi suurem piiratus,  mis tuleneb nende tõenäosuslikust olemusest, järgnevas arutelus mingit rolli.\nMATEMAATIKA OSA FÜÜSIKATEOORIATES\nVärskendanud mälu matemaatika ja füüsika olemusest, peaksime nüüd olema paremini ette valmistatud, et vaadata üle matemaatika osa füüsikateooriates.\nLoomulikult me kasutame matemaatikat igapäevafüüsikas, et hinnata loodusseaduste toimimise tagajärgi ja rakendada tingimuslikke väiteid neile konkreetsetele tingimustele, mis parasjagu valitsevad või meid parasjagu huvitavad. Selleks et see võimalik oleks, peavad loodusseadused juba ette olema sõnastatud matemaatika keeles. Siiski ei ole juba väljatöötatud teooriate tagajärgede hindamine matemaatika kõige tähtsam ülesanne füüsikas. Matemaatika või õieti rakendusmatemaatika ei ole selles funktsioonis kuigivõrd olukorra peremees - ta täidab pelgalt tööriista osa.\nEnt ometi etendab matemaatika füüsikas ka suveräänsemat rolli. See sisaldub varjatult juba väites, mille me esitasime rakendusmatemaatika osa arutades, nimelt et loodusseadused peavad olema juba eelnevalt sõnastatud matemaatika keeles, olemaks rakendusmatemaatika kasutusobjektiks. Väide, et loodusseadused on kirjutatud matemaatika keeles, esitati korrektselt kolmsada aastat tagasi;  praegu vastab see rohkem tõele kui kunagi varem. Selleks et näidata matemaatiliste mõistete tähtsust füüsikaseaduste sõnastamisel, meenutagem näiteks kvantmehaanika aksioome, mille on selgesõnaliselt formuleerinud kuulus matemaatik von Neumann (1932) ja kaudselt kuulus füüsik Dirac (1947). Kvantmehaanikas on kaks põhimõistet: olekud ja kaendid [observables]. Olekud on vektorid Hilberti ruumis, kaendid aga nende vektorite enesekaasoperaatorid. Võimalikud mõõdetud väärtused on operaatorite omaväärtused - kuid siinkohal oleks meil parem peatuda, et mitte sukelduda lineaarsete operaatorite teoorias väljatöötatud matemaatikamõistete üleslugemisse.\nOn muidugi tõsi, et füüsika valib loodusseaduste sõnastamiseks teatud matemaatilisi mõisteid ja kindlasti kasutatakse füüsikas ainult murdosa kõigist matemaatilistest mõistetest. Tõsi on ka see, et neid mõisteid ei valitud meelevaldselt matemaatiliste terminite nimekirjast, vaid paljudel või isegi enamikul juhtudel leiutasid füüsikud need iseseisvalt ning avastasid alles siis, et matemaatikud on need juba välja mõelnud. Küll aga ei pea paika väga tihti kõlanud väide, et see pidigi nii juhtuma, sest matemaatika kasutavat võimalikult lihtsaid mõisteid ja need pidavat paratamatult esinema igas formaalses süsteemis. Nagu me juba nägime, ei valita matemaatilisi mõisteid mitte kontseptuaalse lihtsuse järgi - isegi arvupaaride jadad ei ole kaugeltki kõige lihtsamad mõisted -, vaid hoopis nende sobivuse järgi nutikateks manipulatsioonideks ning teravmeelseteks ja hämmastavateks argumentideks. Ärgem unustagem, et kvantmehaanika Hilberti ruum on seesama keeruline Hermite’i skalaarkorrutisega Hilberti ruum. Neile, kes pole asjasse pühendatud, ei ole kompleksarvud kindlasti kaugeltki loomulikud ega lihtsad ja nende peale ei saa kuidagi tulla füüsikaliste vaatluste tulemusena. Liiatigi pole kompleksarvude kasutamine antud juhul mitte rakendusmatemaatika arvutuslik trikk, vaid peaaegu hädavajalik eeltingimus kvantmehaanika seaduste sõnastamiseks. Ja lõpuks hakkab praegu tunduma, et kvantteooria formuleerimisel ei ole määratud otsustavat rolli etendama mitte ainult arvud, vaid ka nn analüütilised funktsioonid. Ma pean nimelt silmas kiiresti arenevat dispersioonseoste teooriat.\nOn raske vältida muljet, et me seisame siin silmitsi imega, mis on oma rabavuses täiesti võrreldav selle imega, et inimmõistus suudab vasturääkivustesse sattumata üksteise otsa lükkida tuhandeid argumente, või nende kahe imega, et eksisteerivad loodusseadused ja et inimmõistus on võimeline neid avastama. Niipalju kui mina tean, jõuab kõigist tähelepanekutest, mida on tehtud matemaatiliste mõistete esilekerkimise kohta füüsikas, seletusele kõige lähemale Einsteini väide, et me oleme valmis aktsepteerima ainult selliseid füüsikateooriaid, mis on ilusad. Võib kindlalt väita, et matemaatilistel mõistetel, mis ahvatlevad meid nii ohtralt teravmeelsust rakendama, on omadus olla ilus. Ent sellegipoolest suudab Einsteini tähelepanek parimal juhul seletada niisuguste teooriate omadusi, mida me oleme valmis uskuma, kuid ei ütle midagi teooria olemusliku õigsuse kohta. Seepärast pöördugemgi nüüd selle küsimuse juurde.\nKAS FÜÜSIKATEOORIATE EDUKUS ON TÕESTI ÜLLATAV?\nÜheks võimalikuks seletuseks sellele, miks füüsik kasutab oma loodusseaduste sõnastamiseks matemaatikat, on see, et ta on omajagu vastutustundetu tegelane. Nii juhtubki, et kui ta leiab kahe suuruse vahel seose, mis sarnaneb mõne matemaatikast hästi tuntud seosega, siis teeb ta järelduse, et tegu ongi selle matemaatikas käsitletud seosega - lihtsalt seepärast, et ta ei tea ühtki teist samasugust seost. Siinse arutelu eesmärk ei ole ümber lükata süüdistust, et füüsik on omajagu vastutustundetu inimene. Võibolla ongi. Tähtis on aga tähelepanu juhtida sellele, et füüsiku sageli tahumatu kogemuse matemaatiline sõnastamine viib kõhedaks tegevalt paljudel juhtudel suure nähtusteklassi hämmastavalt täpse kirjelduseni. See näitab, et matemaatikakeele tunnustuseks võib öelda enamatki kui vaid seda, et ta on ainus keel, mida me rääkida oskame; see näitab, et ta on sõna otseses mõttes õige keel. Vaadelgem mõnd näidet.\nEsimeseks, sageli viidatud näiteks on planeetide liikumine. Langevate kehade seadusi suudeti peamiselt Itaalias sooritatud katsete tulemusena üsna hästi põhjendada. Need katsed ei saanud olla väga täpsed selles mõttes, nagu me tänapäeval täpsust mõistame, osalt õhutakistuse mõju tõttu ja osalt seepärast, et tol ajal oli võimatu mõõta lühikesi intervalle. Sellest hoolimata pole üllatav, et oma uuringute tulemusena õppisid Itaalia loodusteadlased tundma viise, kuidas objektid läbi atmosfääri rändavad. Newton oli see mees, kes seostas seejärel vabalt langevate kehade seaduse kuu liikumisega, märgates, et Maal õhku visatud kivi paraboolne teekond ja kuu ringikujuline teekond taevas on ühe ja sama matemaatilise objekti - ellipsi erijuhud, ning postuleeris universaalse gravitatsiooniseaduse üheainsa ja tol ajal väga ligikaudse arvulise kokkulangevuse põhjal. Filosoofilises mõttes oli gravitatsiooniseadus, nii nagu Newton selle sõnastas, vastumeelt nii tema ajastule kui ka talle endale. Empiiriliselt põhines see väga nappidel vaatlustel. Matemaatika keel, milles ta selle sõnastas, sisaldas teise tuletise mõistet, ja need meie hulgast, kes on üritanud joonistada kõverjoonele puutujaringjoont, teavad, et teine tuletis ei ole kuigi enesestmõistetav termin. Gravitatsiooniseadus, mille Newton vastumeelselt formuleeris ja mida ta ise suutis tõestada umbes 4%-lise täpsusega, osutus vähem kui kümnetuhandiku protsendi täpsuseks ja seostus nii tihedalt kujutlusega absoluutsest täpsusest, et alles hiljuti muutusid füüsikud uuesti piisavalt julgeks uurimaks selle täpsuse piire.  Newtoni seaduse näidet, mida on ikka ja jälle korratud, tuleb kahtlemata mainida esimesena kui monumentaalset näidet matemaatikule lihtsana tunduvates mõistetes formuleeritud seadusest, mis on osutunud täpsemaks, kui meil oli iganes alust oodata. Võtkem selle näite varal veel kord kokku meie põhiseisukohad: esiteks, see seadus tundub lihtne - eeskätt just seetõttu, et temas esineb teine tuletis - ainult matemaatikule, mitte aga tavamõistusele ega mittematemaatiliselt meelestatud esmakursuslasele; teiseks, see on väga piiratud kehtivusulatusega tingimuslik seadus. See ei anna vähimatki seletust maakera kohta, mis Galilei kive külge tõmbab, ega Kuu ringikujulise orbiidi kohta või Päikese planeetide kohta. Nende algtingimuste seletamine on jäetud geoloogi ja astronoomi hooleks ning nad näevad sellega kurja vaeva.\nTeiseks näiteks on tavaline, elementaarne kvantmehaanika. See sai alguse Max Borni tähelepanekust, et mõned Heisenbergi antud arvutusreeglid on formaalselt identsed maatriksitega tehtavate arvutuste reeglitega, mille olid juba tükk aega varem välja töötanud matemaatikud. Born, Jordan ja Heisenberg tegid seejärel ettepaneku asendada klassikalise mehaanika võrrandites asendit ja liikumishulka iseloomustavad muutujad maatriksitega (Born, Jordan 1925; Born, Heisenberg, Jordan 1926: 558). Nad rakendasid maatriksmehaanika reegleid mõnedele ülimalt idealiseeritud probleemidele ja tulemused olid üsna rahuldavad. Siiski polnud tol ajal ühtki mõistlikku tõendit, et nende maatriksmehaanika võiks osutuda õigeks ka realistlikumates tingimustes. Tõepoolest, nad ütlevadki: “. . . kui siin pakutud mehaanika peaks osutuma õigeks juba oma olemuslikes joontes.” Läks aga nii, et nende mehaanika esimene rakendus realistlikule probleemile, nimelt vesiniku aatomile, tuli mõni kuu hiljem Paulilt. Selle rakenduse tulemused olid kooskõlas kogemusega. Kõik see oli tore, kuid ikka veel mõistetav, sest Heisenbergi arvutusreeglid olid abstraheeritud probleemidest, mis sisaldasid vana teooriat vesinikuaatomist. Ime juhtus alles siis, kui maatriksmehaanikat või sellega matemaatiliselt samaväärset teooriat rakendati probleemidele, mille puhul Heisenbergi arvutusreeglid olid mõttetud. Heisenbergi reeglid eeldasid, et klassikaliste liikumisvõrrandite lahenditele on omane teatud perioodilisus; heeliumi aatomi kahe elektroni liikumisvõrranditel ja isegi raskemate aatomite enamate elektronide liikumisvõrranditel neid omadusi aga lihtsalt pole, nii et Heisenbergi reegleid ei saa nendel juhtudel rakendada. Ent kui Kinoshita Cornelli ülikoolist ja Bazley Standardibüroost arvutasid mõni kuu tagasi välja heeliumi madalaima energiataseme, oli see sellegipoolest kooskõlas katseandmetega vaatlustäpsuse piires, milleks oli üks kümnemiljondik. On selge, et sedapuhku me “saime võrranditest kätte” midagi sellist, mida me polnud sinna pannud.\nSama kehtib ka “keerukate spektrite”, s.t raskemate aatomite spektrite kvalitatiivsete tunnuste kohta. Tahaksin meenutada üht vestlust Jordaniga, kes ütles mulle pärast seda, kui olid tuletatud nende spektrite kvalitatiivsed omadused, et vastuolu kvantmehaanika teooriast pärit reeglite ja empiiriliste uuringute käigus kehtestatud reeglite vahel oleks andnud viimase võimaluse teha muudatusi maatriksmehaanika süsteemis. Teisisõnu, Jordanile tundus, et kui heeliumi aatomi teoorias oleks tekkinud ootamatu vastuolu, oleksime vähemalt mõneks ajaks abitud olnud. Seda teooriat töötasid tol ajal välja Kellner ja Hilleraas. Selle matemaatiline formalism oli liiga selge ja muutmatu, nii et kui poleks juhtunud eelmainitud imet heeliumiga, oleks puhkenud tõeline kriis. Muidugi oleks füüsika sellest kriisist ühel või teisel viisil üle saanud. Teisest küljest on aga tõsi, et füüsika sellisena, nagu me teda tänapäeval tunneme, ei oleks võimalik ilma sääraste imede pideva kordumiseta, nagu juhtus heeliumiga, mis on arvatavasti kõige hämmastavam elementaarse kvantmehaanika väljatöötamise käigus toimunud ime, kuid kaugeltki mitte ainus. Tegelikult piirab siinkirjutaja arvates analoogsete imede arvu ainult meie valmisolek teha kindlaks üha uusi samasuguseid imesid. Kvantmehaanikal oli sellest hoolimata rohkesti peaaegu sama imekspandavaid kordaminekuid, mis tekitasid meis kindla veendumuse, et see on - nagu meil on kombeks öelda - õige.\nViimaseks näiteks on kvantelektrodünaamika ehk Lambi nihke teooria. Kui Newtoni gravitatsiooniteoorial oli ikka veel ilmseid seoseid kogemusega, siis maatriksmehaanika formuleerimisel tuli kogemus mängu üksnes Heisenbergi ettekirjutuste puhastatud ja õilistatud kujul. Lambi nihke kvantteooria, mille mõtles välja Bethe ja rajas Schwinger, on aga juba puhtalt matemaatiline teooria ja eksperimendi ainsaks otseseks panuseks oli mõõdetava efekti olemasolu näitamine. Kooskõla arvutustega on parem kui üks tuhandik.\nKolm eelnevat näidet, millele saaks peaaegu lõpmatult lisa tuua, peaksid illustreerima seda, kui sobivalt ja täpselt saab loodusseadusi formuleerida matemaatiliste mõistete abil, mis on valitud nende manipuleeritavuse järgi, nii et “loodusseadused” oleksid peaaegu fantastiliselt täpsed, kuid rangelt piiratud kehtivusulatusega. Teen ettepaneku nimetada seda tähelepanekut, mida need näited illustreerivad, epistemoloogia empiiriliseks seaduseks. Koos füüsikateooriate invariantsusseadustega on see nende teooriate vältimatuks vundamendiks. Ilma invariantsusseadusteta poleks olnud võimalik anda füüsikateooriatele mingit faktilist alust; kui epistemoloogia empiiriline seadus poleks õige, puuduks meil emotsionaalselt hädavajalik julgus ja kindlus, milleta poleks olnud võimalik “loodusseadusi” edukalt uurida. Dr R. G. Sachs, kellega ma epistemoloogia empiirilist seadust arutasin, nimetas seda füüsikateoreetiku usutunnistuseks, mida see kahtlemata ongi. Ometi saab seda, mida tema nimetas meie usutunnistuseks, edukalt toetada tegelike näidetega - paljude näidetega peale juba mainitud kolme.\nEelneva tähelepaneku empiiriline loomus näib mulle olevat ilmselge. See ei ole kindlasti “mõttevajadus”, ja selle tõestamiseks ei tohiks olla tarvidust osutada tõigale, et see puudutab vaid väga väikest osa meie teadmistest eluta maailma kohta. Oleks jabur arvata, et matemaatiliselt lihtsate avaldiste olemasolu koordinaatide teise tuletise kohta on ilmselge, kui ühtegi samasugust avaldist koordinaatide endi ega ka näiteks kiiruse kohta pole olemas. Seepärast on üllatav, kui varmalt hakati epistemoloogia empiirilises seaduses sisaldunud suurepärast kingitust enesestmõistetavaks pidama. Inimmõistuse suutlikkus moodustada 1000-järelduselisi jadasid ja ikka jääda “õigeks”, mida me ennist mainisime, on samasugune kingitus.\nIgal empiirilisel seadusel on see rahutuks tegev omadus, et me ei tunne tema piire. Me oleme näinud, et meid ümbritseva maailma sündmustes on korrapärasusi, mida saab kõhedaks võtva täpsusega sõnastada matemaatiliste mõistete abil. Teisest küljest on maailmal aspekte, mille puhul me ei usu mingite täpsete korrapärasuste olemasolu. Me nimetame neid algtingimusteks. Siit kerkib iseenesest küsimus, kas need mitmesugused korrapärasused, s.t kõikvõimalikud loodusseadused, mida me avastame, sulanduvad üheksainsaks kooskõlaliseks tervikuks või vähemalt lähenevad tõkestamatult sellisele ühtesulamisele. Alternatiivina on võimalik, et ka tulevikus leidub alati loodusseadusi, millel ei ole üksteisega midagi ühist. Praegu kehtib see näiteks pärilikkus- ja füüsikaseaduste puhul. On koguni võimalik, et mõned loodusseadused on oma järeldustes üksteisega vastuolus, kuid piisavalt veenvad omaenda valdkonnas, nii et meil pole tahtmist neist ühtegi kõrvale heita. Me võime asjade sellise seisuga leppida ja meie soov teooriate vastuolusid lahendada võib vähehaaval kaduda. Me võime kaotada huvi “lõpliku tõe” vastu, üheksainsaks kooskõlaliseks tervikuks sulandunud pildi vastu, mis koosneb looduse eri aspektidest moodustunud väikestest pildikestest.\nVõib-olla oleks kasulik neid alternatiive ühe näitega illustreerida. Meil on praegu füüsikas kaks väga võimsat ja huvitavat teooriat: kvantnähtuste teooria ja relatiivsusteooria. Nende kahe teooria juured peituvad teineteist vastastikku välistavates nähtusterühmades. Relatiivsusteooria puudutab makroskoopilisi kehi, näiteks tähti. Sündmus, mis seisneb ühtimises, s.t lõppkokkuvõttes põrkumises, on relatiivsusteoorias algsündmus ja määrab punkti aegruumis või vähemalt määraks selle punkti, kui põrkuvad osakesed oleksid lõpmata väikesed. Kvantteooria juured on mikroskoopilises maailmas ja selle vaatepunktist ei ole ühtimine ehk kokkupõrge, isegi kui see leiab aset ruumilise ulatuseta osakeste vahel, sugugi algsündmus ega aegruumis kaugeltki selgelt isoleeritud. Need kaks teooriat töötavad erinevate matemaatiliste mõistetega - vastavalt neljamõõtmelise Riemanni ruumiga ja lõpmatumõõtmelise Hilberti ruumiga. Seni pole neid kaht teooriat suudetud ühendada, s.t pole olemas sellist matemaatilist sõnastust, mille lähendiks oleksid mõlemad teooriad. Kõik füüsikud usuvad, et põhimõtteliselt on selline ühendus võimalik ja et kunagi me leiame selle. Ent ometi on võimalik ka ette kujutada, et neid kaht teooriat ei saagi ühendada. See näide illustreerib kaht eespool mainitud võimalust, nimelt ühenduse ja vastuolu võimalust, mis mõlemad on mõeldavad.\nEt saada mingit aimu, kumba neist kahest võimalusest on lõpuks oodata, võiksime teeselda, et oleme veidi rumalamad, kui me tegelikult oleme, ja asetada end tegelikust pisut madalamale teadmistetasemele. Kui meil õnnestub sellel madalamal arukusetasemel oma teooriad ühendada, siis võime julgelt loota, et suudame need teooriad ühendada ka oma tegelikul arukusetasemel. Kui me seevastu jõuame mõnevõrra madalamal teadmistetasemel üksteisele vasturääkivate teooriateni, ei saa me ka iseenda jaoks välistada teooriate püsivat vastuolulisust. Teadmiste ja leidlikkuse tase on pidev muutuja ning on väheusutav, et selle pideva muutuja suhteliselt väike teisenemine muudaks maailmast saadava pildi vastuolulisest kooskõlaliseks. \nTõsiasi, et mõned meile teadaolevalt valed teooriad annavad nii hämmastavalt täpseid tulemusi, on sellest seisukohast vaadatuna ebasoodne tegur. Kui meil oleks mõnevõrra vähem teadmisi, tunduks nähtusterühm, mida need “valed” teooriad seletavad, meile piisavalt suurena, et neid teooriaid “tõestada”. Kummatigi me peame neid teooriaid “valeks” just seetõttu, et nad on lõppkokkuvõttes ühtesobimatud avarama pildiga, ja kui sääraseid valeteooriaid avastataks piisavalt palju, satuksid nad tõenäoliselt vastuollu ka omavahel. Samamoodi on võimalik, et teooriad, mida me peame “tõestatuks” meie arvates piisavalt suure hulga arvuliste kokkulangevuste tõttu, on valed, sest nad on vastuolus mõne võimaliku avarama teooriaga, mis jääb väljapoole meie avastamisvõimet. Kui see on nii, siis tuleks meil olla valmis vastuoludeks oma teooriate vahel niipea, kui nende arv kasvab üle teatud piiri ja kui nad hõlmavad piisavalt suurt hulka nähtusterühmi. Vastupidiselt eespool mainitud füüsikateoreetiku usutunnistusele oleks see teoreetiku õudusunenägu.\nVaadelgem mõnd näidet “valeteooriatest”, mis nende valelikkust arvestades annavad häirivalt täpse kirjelduse nähtusterühmadest. Heatahtliku suhtumise korral võime mõned tõendid, mida need näited pakuvad, kõrvale heita. Bohri aatomi kohta käivate varajaste ja teedrajavate ideede edu oli alati üsna ahtake ja sama kehtib ka Ptolemaiose epitsüklite kohta. Me oleme oma praeguses eelisseisundis võimelised täpselt kirjeldama kõiki nähtusi, mida need primitiivsemad teooriad suudavad kirjeldada. Hoopis teisiti on aga lugu nn vaba elektroni teooriaga, mis annab imepäraselt täpse pildi paljudest, kui mitte enamikust metallide, pooljuhtide ja isolaatorite omadustest. Eelkõige seletab see tõsiasja, mida pole “tõelise teooria” põhjal kunagi korralikult mõistetud, nimelt et isolaatorid ilmutavad erilist elektritakistust, mis võib olla 1026 korda suurem kui metallidel. Õigupoolest ei ole ühtegi eksperimentaalset tõendit, mis näitaks, et sellistel tingimustel, mille korral vaba elektroni teooria järgi tuleks meil oodata lõpmatut takistust, ei oleks takistus lõpmatu. Sellest hoolimata oleme veendunud, et vaba elektroni teooria on jämedakoeline lähendus, mis tuleks kõigi tahkiseid puudutavate nähtuste kirjeldamisel asendada täpsema pildiga.\nMeie tõelisest eelisseisundist vaadatuna on vaba elektroni teooria tekitatud olukord küll ärritav, kuid ei ennusta tõenäoliselt mingeid vastuolulisusi, mis oleksid meile ületamatud. Vaba elektroni teooria sünnitab kahtlusi selle kohta, mil määral me peaksime usaldama arvulisi kokkulangevusi teooria ja katse vahel tõestusena teooria õigsusest. Me oleme selliste kahtlustega harjunud.\nPalju keerulisem ja segasem olukord tekiks siis, kui meil õnnestuks ühel päeval välja töötada teadvuse või bioloogiliste nähtuste teooria, mis oleks sisemiselt niisama kooskõlaline ja veenev nagu meie praegused teooriad eluta maailma kohta. Mis puudutab bioloogiat, siis võivad Mendeli pärilikkusseadused ja hilisem geenide uurimine väga vabalt saada sellise teooria lähtepunktiks. Veel enam: on täiesti võimalik, et suudetakse leida mingi abstraktne argument, mis näitab, et selline teooria ja meie tunnustatud füüsikaprintsiibid on omavahel vastuolus. See argument võib oma iseloomult nii abstraktne olla, et vastuolu eksperimentaalne lahendamine ühe või teise teooria kasuks ei pruugigi üldse õnnestuda. Säärane olukord paneks tõsiselt proovile meie usu oma teooriatesse ja enda moodustatud mõistete reaalsusesse. See tekitaks meis meie “lõpliku tõe” otsingutes, nagu ma seda nimetasin, sügava pettumuse. Sellise olukorra mõeldavuse põhjuseks on lõppkokkuvõttes tõik, et me ei tea, miks meie teooriad nii hästi töötavad. Seepärast ei pruugigi nende täpsus tõestada nende tõesust ja kooskõlalisust. Siinkirjutaja usub tõepoolest, et kui seatakse vastamisi praegused pärilikkusseadused ja füüsikaseadused, tekib eespool kirjeldatuga väga sarnane situatsioon.\nLõpetada tahaksin aga natuke rõõmsamal toonil. Matemaatikakeele imeline sobivus füüsikaseaduste sõnastamiseks on suurepärane kingitus, mida me ei mõista ega vääri. Me peaksime selle eest tänulikud olema ja lootma, et see jääb kehtima ka meie tulevaste uuringute puhul ning hõlmab niihästi heas kui halvas meie meeleheaks, ehkki küllap ka meie hämmastuseks suuri teadmistevaldkondi.\nSiinkirjutaja soovib talletada oma tänuvõla dr M. Polanyile, kes palju aastaid tagasi mõjutas sügavalt tema mõtlemist epistemoloogiaprobleemidest, ja V. Bargmannile, kelle sõbralik kriitika oli oluline selguse saavutamiseks, niipalju kui see siin on õnnestunud. Ühtlasi on ta tänu võlgu A. Shimonyle, kes vaatas üle käesoleva artikli ja juhtis tähelepanu C. S. Peirce’i töödele.\nThe Unreasonable Effectiveness of Mathematics in Natural Sciences. - Communications in Pure and Applied Mathematics, 1960, 13. kd, nr 1, lk 1-14.\nTõlkinud Kati London ja Kalle Hein\nB o r n , M., P. J o r d a n 1925. On quantum mechanics. - Zeits. f. Physik, B. 34, S. 858-888\nB o r n , M., W. H e i s e n b e r g , P. J o r d a n 1926. On quantum mechanics. Part II. - Zeits. f. Physik, B. 35, S. 557-615\nD i r a c , P. A. M. 1947. Quantum Mechanics. 3rd Edit. Oxford: Clarendon Press\nD u b i s l a v , W. 1933. Naturphilosophie. Chap. 4. Berlin: Junker und Dünnhaupt\nM a r g e n a u , H. 1950. The Nature of Physical Reality. Chap. 8. New York: McGraw-Hill\nN e u m a n n , J. von 1932. Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. Berlin: Springer\nS c h r ö d i n g e r , E. 1932. Über Indeterminismus in der Physik. Leipzig: J. A. Barth\nW i g n e r , E. P. 1949. Invariance in physical theory. - Proc. Amer. Philos. Soc., vol. 93, pp. 521-526\nW i g n e r , E. P. 1950. The limits of science. - Proc. Amer. Philos. Soc., vol. 94, pp. 422\nMATEMAATIKA MÕISTETAMATUST TÕHUSUSEST\nPealkirja põhjal on ilmne, et see on filosoofiline arutelu. Ma ei vabanda selle filosoofia pärast, ehkki tean hästi, et enamik teadlasi, insenere ja matemaatikuid peab sellest vähe lugu; selle asemel pakun teile lugeda seda lühikest proloogi, et oma lähenemisviisi õigustada.\nNiipalju kui me teame, on inimene alati tundnud huvi iseenda, ümbritseva maailma ja selle vastu, mis on elu. Meil on ohtralt minevikust pärit müüte, mis räägivad sellest, kuidas ja miks jumal või jumalad lõid inimese ja universumi. Ma nimetan neid edaspidi teoloogilisteks seletusteks. Neil on üks ühine põhijoon: pole erilist mõtet küsida, miks asjad on nii, nagu nad on, sest üldiselt kirjeldatakse meile loomist nii, nagu jumalad otsustasid seda teha.\nFilosoofia sai alguse siis, kui inimene hakkas huvi tundma maailma vastu väljaspool seda teoloogilist raamistikku. Üheks varaseimaks näiteks on filosoofide kirjeldus, mille järgi maailm koosneb maast, tulest, veest ja õhust. Kahtlemata öeldi neile tol ajal, et jumalad lõid asjad just säärasena ja et selle üle pole mõtet rohkem pead murda.\nNeist varastest katsetest asju seletada arenes aegamisi filosoofia ja ka meie praegune teadus. Mitte et teadus seletaks, “miks” asjad on, nagu nad on - gravitatsioon ei seleta, miks asjad langevad -, vaid teadus annab meile nii palju üksikasju selle kohta, “kuidas”, et me arvame end mõistvat, “miks”. Andkem sellest endale selgelt aru: just tohutu hulga vastastikku seotud detailide tõttu paistab teadus ütlevat, “miks” universum on selline, nagu ta on.\nMeie peamiseks vahendiks, mille abil moodustada teaduse nõutud rangete arutluskäikude pikki ahelaid, on matemaatika. Matemaatikat võikski määratleda kui vaimu tööriista, mis on kavandatud just selleks otstarbeks. Paljud inimesed on läbi aegade esitanud sama küsimuse, mida minagi pealkirjas sisuliselt küsin: “Miks on matemaatika nii mõistetamatult tõhus?” Nii küsides ei tee me tegelikult muud, kui vaatleme pigem loogilisest kui materiaalsest küljest seda, mis universum on ja kuidas ta töötab.\nMatemaatika aluste kallal töötavaid matemaatikuid huvitavad põhiliselt süsteemi piirid ja kooskõlalisus. Neid ei paista huvitavat küsimus, miks allub maailm näiliselt loogilisele seletusele. Teatud mõttes olen ma varaste kreeka filosoofide olukorras, kes huvitusid materiaalsest küljest, ja minu vastused loogilise külje kohta ei ole ilmselt kuigivõrd paremad kui nende omad nende ajas. Kuid kusagil ja mingil ajal tuleb meil hakata seletama nähtust, et maailm näib olevat organiseeritud loogilise süsteemi järgi, mis vastab suurele osale matemaatikast, - et matemaatika on teaduse ja tehnika keel.\nVisandanud need põhijooned, pidin ma välja mõtlema, kuidas oma mõtteid ja arvamusi teistele kõige paremini edasi anda. Kogemus näitab, et ma ei ole selles asjas alati kuigi edukas. Lõpuks taipasin, et abi võiks olla järgmistest esialgsetest märkustest.\nMõnes mõttes on kogu see arutelu ülimalt teoreetiline. Ma pean kas või möödaminneski mainima mitmesuguseid matemaatikaks nimetatava avara valdkonna teooriaid, samuti käsitlema selle valitud üksikosi. Peale selle on olemas mitmesuguseid rakendusteooriaid. Niisiis viib see teatud määral teooriate teooriani. Teid võib aga üllatada, et asju arutades võtan ma omaks eksperimentaatori lähenemisviisi. Pole tähtis, missugused need teooriad arvatakse olevat, ega see, missugused nad teie arvates peaksid olema, ega isegi see, missugused nad selle ala asjatundjate kinnitusel on; lähenegem asjale teaduslikult ja vaadakem, missugused nad on. Ma olen täiesti teadlik, et suur osa sellest, mis ma ütlen, eriti matemaatika olemuse kohta, pahandab paljusid matemaatikuid. Minu eksperimentaalne lähenemisviis on nende vaimulaadile ja kindlakskujunenud uskumustele üsna võõras. Aga olgu pealegi!\nInspiratsiooni selle artikli kirjutamiseks sain ma enam-vähem samamoodi pealkirjastatud E. P. Wigneri artiklist “Matemaatika mõistetamatust tõhususest loodusteadustes” (Wigner 1960). Nagu näha, olen ma osa pealkirjast välja jätnud, ja seda juba lugenud inimesed märkavad, et ma ei korda eriti tema öeldut (ma ei arva, et suudaksin tema esitust täiustada). Teisest küljest pühendan ma suhteliselt rohkem aega katsele anda selgitusi pealkirjas sisalduva küsimuse kohta. Ent isegi pärast kõiki minu selgitusi on üle jääv osa ikka veel nii suur, et see küsimus jääbki sisuliselt vastamata.\nWigner toob oma kirjutises hulgaliselt näiteid matemaatika tõhususest füüsikateadustes. Lubage mul seepärast tugineda omaenda kogemustele, mis on pärit pigem tehnikavaldkonnast. Minu esimene tõeline kokkupuude matemaatika kasutamisega asjade ennustamiseks reaalses maailmas oli seotud tuumapommi väljatöötamisega Teise maailmasõja ajal. Kuidas sai juhtuda, et arvud, mida me nii kannatlikult algelistel releekompuutritel arvutasime, langesid nii hästi kokku sellega, mis leidis aset esimesel proovitulistamisel Almagordos? Ühtki väikesemõõdulist katsetust arvutuste kontrollimiseks ei toimunud ega saanudki toimuda. Hilisem kogemus juhitavate rakettidega näitas mulle, et tegu ei olnud üksikjuhtumiga - see, mida me ennustame matemaatiliste sümbolitega tehtavate manipulatsioonide põhjal, realiseerub pidevalt tegelikus maailmas. Töötades tol ajal firmas Bell System, tegin ma loomulikult palju telefonisidega seotud arvutusi ja muud matemaatilist tööd niisuguste erinevate ülesannete kallal nagu jooksva laine lamp, televisioonisüsteemide ühtsustamine, keerukate sidesüsteemide stabiilsus ja telefonikeskjaama läbivate kõnede blokeerimine, kui nimetada vaid mõnda. Et asi uhkem oleks, võin mainida ka transistorite- ja kosmoselendudealaseid uuringuid ning raalprojekteerimist, kuid peaaegu igasugune teadus ja tehnika on kasutanud märkimisväärselt edukalt ulatuslikke matemaatilisi manipulatsioone.\nPaljud teist teavad lugu Maxwellist, kes osalt sümmeetria pärast võttis oma võrrandisse juurde ühe mõiste, ja aja möödudes avastaski Hertz raadiolained, mida Maxwelli teooria oli ette näinud. On palju teisigi üldtuntud näiteid, mis kordamist ei vaja, tundmatute füüsikanähtuste edukast ennustamisest matemaatiliste lausete põhjal.\nWigner rõhutab invariantsuse fundamentaalset rolli. See on üks matemaatika ja ka teaduse aluseid. Just invariantsuse puudumine Newtoni võrrandites (vajadus kiiruste absoluutse taustsüsteemi järele) viis Lorentzi, Fitzgeraldi, Poincaré ja Einsteini erirelatiivsusteooria juurde.\nWigner täheldab ka seda, et ühed ja samad matemaatilised mõisted kerkivad esile täiesti ootamatutes seostes. Näiteks Ptolemaiose astronoomias esinevad trigonomeetrilised funktsioonid osutuvad funktsioonideks, mis on kulgliikumise suhtes invariantsed (ajainvariantsus). Ühtlasi on nad sobivad funktsioonid lineaarsetele süsteemidele. Samade matemaatiliste elementide tohutul kasulikkusel äärmiselt erinevates olukordades ei ole (seni) ratsionaalset seletust.\nPeale selle on matemaatika lihtsust pikka aega peetud tema füüsikaliste rakenduste võtmeks. Selle uskumuse kuulsaimaks väljendajaks on olnud Einstein. Kuid isegi matemaatikas endas on lihtsus tähelepanuväärne, vähemalt mulle; kõige lihtsamad algebravõrrandid, lineaar- ja ruutvõrrandid, vastavad lihtsaimatele geomeetrilistele kujunditele, sirgjoontele, ringidele ja koonustele. See teeb praktilisel viisil võimalikuks analüütilise geomeetria. Kuidas saab nii olla, et lihtne matemaatika, mis on lõppude lõpuks inimvaimu toode, on nii hämmastavalt kasulik nii paljudes ja nii erinevates olukordades?\nMatemaatika säärase edukuse tõttu valitseb praegu tugev üldine suundumus muuta kõik teadused matemaatiliseks. Tava- liselt peetakse seda eesmärgiks, mis tuleb igal juhul saavutada, kui mitte täna, siis homme. Oma siinset lugejaskonda silmas pidades jään ma edaspidi näidete toomisel füüsika ja astronoomia juurde.\nPythagoras oli esimene mees, kes teadaolevalt väitis selgelt, et “matemaatika on viis mõista universumit”. Ta ütles seda niihästi valjusti kui selgesti: “Arv on kõikide asjade mõõt.”\nSellise hoiaku teiseks kuulsaks esindajaks on Kepler. Ta uskus kirglikult, et jumala kätetööd on võimalik mõista ainult matemaatika kaudu. Pärast kakskümmend aastat kestnud tüütuid arvutusi leidis ta oma kolm kuulsat planeetide liikumise seadust - kolm võrdlemisi lihtsat matemaatilist avaldist, mis kirjeldavad näiliselt keerulist planeetide liikumist.\nGalilei oli see, kes ütles: “Loodusseadused on kirjutatud matemaatika keeles.” Newton kasutas nii Kepleri kui ka Galilei saavutusi, et tuletada oma kuulsad liikumisseadused, mis koos gravitatsiooniseadusega on küllap kõige kuulsamaks näiteks matemaatika mõistetamatust tõhususest teaduses. Nad mitte ainult ei ennustanud õigesti tuntud planeetide tulevast asendit, vaid kuulutasid ka ette, kus asuvad tundmatud planeedid, kuidas liiguvad kauged tähed ja looded jne.\nTeadus koosneb seadustest, mis algselt põhinesid väikesel, kuid hoolikalt valitud hulgal sageli üsna ebatäpselt mõõdetud vaatlustel; hiljem on aga leitud, et need seadused kehtivad märksa enamatest valdkondadest pärit vaatluste kohta ja märksa täpsemini, kui oli alust arvata algsete andmete põhjal. Muidugi mitte alati, kuid piisavalt tihti, et vajada selgitust.\nPraktiseerides tööstuses kolmekümne aasta vältel matemaatikat, muretsesin ma sageli oma ennustuste pärast. Rehkenduste põhjal, millega ma oma kabinetis tegelesin, ennustasin ma enesekindlalt (vähemalt teiste silmis) mõnd tulevast sündmust - kui teete nii ja nii, näete seda ja seda - ning enamasti selgus, et mul oli õigus. Kuidas võisid need nähtused teada, mida ma olin ennustanud (tuginedes inimese loodud matemaatikale), nii et nad said mu ennustusi toetada? Oleks naeruväärne mõelda, et asjad nii käivadki. Ei, matemaatika loob lihtsalt mingil viisil usaldusväärse mudeli enamikust universumis aset leidvatest sündmustest. Ja kuna ma olen suuteline tegelema ainult üsna lihtsa matemaatikaga, siis kuidas on võimalik, et sellest lihtsast matemaatikast piisab nii paljude asjade ennustamiseks?\nMa võiksin jätkata näidete toomist, mis illustreeriksid matemaatika mõistetamatut tõhusust, kuid see oleks lihtsalt igav. Tegelikult ma kahtlustan, et paljud teist teavad näiteid, mida mina ei tea. Seepärast lubage mul oletada, et te olete andnud mulle väga pika nimekirja saavutustest, millest mõned on niisama hämmastavad nagu uue planeedi, uue füüsikanähtuse või uue tehise ennustamine. Ma tahan selle piiratud aja jooksul läbi võtta, püüdes teha seda, millest Wigner minu arvates hoidus - anda vähemalt mõnedki osalised vastused pealkirjas sisalduvale küsimusele.\nHeitnud pilgu matemaatika tõhususele, peame nüüd vaatlema küsimust “mis on matemaatika?”. Just sellist pealkirja kannab Couranti ja Robbinsi kuulus raamat (Courant, Robbins 1941). Nad ei püüa selles anda formaalset definitsiooni, vaid piirduvad sellega, et näitavad paljude näidete varal, mis matemaatika on. Samamoodi ei anna ka mina siin kõikehõlmavat määratlust. Kuid ma üritan täpsemalt kui nemad analüüsida mõningaid matemaatika esileküündivaid jooni, nii nagu mina neid näen.\nVahest parimaks viisiks käsitleda küsimust “mis on matemaatika?” on alustada algusest. Kaugel eelajaloolisel ajal, kust meil matemaatika lätteid otsida tuleb, olid juba olemas neli põhilist matemaatika tahku. Esiteks oli olemas võime moodustada pikki rangeid arutluskäike, mis iseloomustab tänapäevani suurt osa matemaatikast. Teiseks oli olemas geomeetria, mis viis pidevuse mõiste kaudu topoloogiani ja sealt edasi. Kolmandaks oli olemas arv, mis viis aritmeetika ja algebrani ning sealt edasi. Ja lõpuks oli olemas kunstimaitse, mis etendab nii tähtsat osa nüüdisaja matemaatikas. Muidugi on matemaatikas väga mitut sorti ilu. Arvuteoorias paistab selleks põhiliselt olevat peaaegu lõputute detailide ilu; abstraktse algebra ilu seisneb peamiselt selle üldisuses. Niisiis on matemaatika eri valdkondadel erinevad ilu kriteeriumid.\nMatemaatika varajasim ajalugu on loomulikult puhas spekulatsioon, sest ei praegu ega arvatavasti ka tulevikus pole meil selle kohta tegelikke, veenvaid tõendeid. Sellegipoolest tundub, et juba algelise elu põhialustes sisaldus loomuomaselt - kui mitte muul, siis vähemalt ellujäämise otstarbel - arusaam põhjusest ja tagajärjest. Kui seda võimet rakendada enamale kui vaid ühele vaatlusele, nii et moodustub jada “kui see, siis too, millest omakorda järeldub, et. . . ”, siis olemegi teel matemaatika esimese mainitud tunnusjoone, pikkade rangete arutluskäikude poole. Ent mul on raske mõista, kuidas sai lihtne darwinlik kohaseimate ellujäämine soosida valiku käigus võimet moodustada pikki mõtteahelaid, mida matemaatika ja teadus näivad nõudvat.\nGeomeetria paistab olevat tekkinud vajadusest kaunistada inimkeha mitmesugustel eesmärkidel, näiteks usuriitusteks, sotsiaalseks läbikäimiseks ja vastassugupoole ligimeelitamiseks, aga ka vajadusest kaunistada seinapindu, potte, nõusid ja rõivaid. See omakorda eeldab neljandat mainitud aspekti, esteetilist maitset, mis on üks matemaatika sügavaid alusmüüre. Enamik õpikuid kordab kreeklaste sõnu, kinnitades, et geomeetria tekkis egiptlaste vajadusest mõõta pärast igakordset üleujutust Niiluse jõe äärset maad, kuid mina omistan esteetikale palju tähtsama rolli kui enamik matemaatikaajaloolasi ja vastavalt vähem tähtsa osa vahetule kasulikkusele.\nMatemaatika kolmas aspekt, arv, tekkis loendamisest. Sedavõrd keskne on arvude roll, et üks kuulus matemaatik ütles kord: “Jumal lõi täisarvud, inimene tegi ülejäänu” (Kronecker 1958). Täisarvud tunduvad meile nii fundamentaalsed, et me usume neid leidvat kõikjalt universumist, kus leidub mõistuslikku elu. Ma olen edutult püüdnud mõnedele sõpradele seletada oma hämmingut selle üle, et täisarvudesugused abstraktsioonid on loendamisel võimalikud ja kasulikud. Kas pole tähelepanuväärne, et 6 lammast pluss 7 lammast on kokku 13 lammast; et 6 kivi pluss 7 kivi on kokku 13 kivi? Kas pole ime, et universum on üles ehitatud sel viisil, et niisugune lihtne abstraktsioon nagu arv on üldse võimalik? Minu meelest on see üks võimsamaid näiteid matemaatika mõistetamatust tõhususest. See tundub mulle tõepoolest kummaline ja seletamatu.\nArvude arengut vaadeldes jõuame järgmise tõigani, et nende loendamiseks mõeldud täisarvude abil mõõdeti edukalt, mitu korda saab ühikpikkust kasutada, et ammendada mõõta soovitavat pikkust. Võrdlemisi varsti pidi aga juhtuma, et täisarv ühikuid ei sobinud täpselt mõõdetava pikkusega, ja nii olid mõõtjad sunnitud appi võtma murdarvud - seda osa, mis üle jäi, kasutati ühikpikkuse mõõtmiseks. Murdarvud ei ole mõeldud loendamiseks; nad on mõeldud mõõtmiseks. Igapäevase mõõtmise käigus ja arvumõistet sobivalt edasi arendades avastati peagi, et murdarvud alluvad samadele manipuleerimisreeglitele mis täisarvud, kusjuures lisakasu seisnes veel selles, et nad tegid kõigil juhtudel võimalikuks jagamise (ma ei ole veel jõudnud arvuni null). Mõningane tutvumine murdarvudega näitab peatselt, et iga kahe murdarvu vahele saab panna veel nii palju murdarve, kui soovite, ja et teatud mõttes asuvad nad kõikjal ühetiheduselt. Ent kui me laiendame arvu mõistet nii, et see hõlmab ka murdarve, siis peame kõrvale heitma mõtte järgmisest arvust.\nSee toob meid uuesti Pythagorase juurde, kes olevat esimesena tõestanud, et ruudu diagonaalil ja ruudu küljel ei ole ühist mõõtu - et nende suhe on irratsionaalne. See tähelepanek kutsus kreeka matemaatikas ilmselt esile sügava murrangu. Kuni tolle ajani olid diskreetne arvusüsteem ja pidev geomeetria külg külje kõrval õitsenud ilma eriliste vastuoludeta. Ühismõõdutusekriis kuulutas eukleidilise lähenemisviisi matemaatikale vääraks. On kummaline tõsiasi, et antiikkreeklased püüdsid matemaatikat rangeks muuta sel teel, et asendasid ebakindlad arvud geomeetriaga, mis tundus neile kindlam (tänu Eudoxosele). Eukleidesele oli see tähtis sündmus ja selle tulemusena võime Elementidest leida geomeetria vormi valatuna rohkesti seda, mida me praegu peame arvuteooriaks ja algebraks. Erinevalt varajastest kreeklastest, kes kahtlesid reaalarvude süsteemi olemasolus, oleme meie otsustanud, et arv, mis mõõdab ühikruudu diagonaali pikkust, peab olemas olema (ehkki me ei pruugi seda mõõtmist sooritada), ja umbes sel viisil me laiendasimegi ratsionaalarvude süsteemi, kaasates sellesse ka algebralised arvud. Põhjuseks oli lihtne soov mõõta pikkusi. Kuidas saab keegi eitada, et iga sirglõigu mõõtmiseks on olemas arv?\nAlgebralised arvud, mis on polünoomide juured, kus polünoomide kordajateks on täisarvud, murdarvud, ja nagu hiljem tõestati, isegi algebralised arvud, saadi varsti kontrolli alla lihtsalt sel teel, et laiendati samu operatsioone, mida varem oli kasutatud lihtsamate arvusüsteemide puhul.\nRingi ümbermõõdu mõõtmine tema diameetriga sundis meid aga peagi vaatlema suhtarvu nimetusega π. See ei ole algebraline arv, sest ükski täisarvuliste kordajatega π astmete lineaarne kombinatsioon ei saa täpselt nulliks. Et üks pikkus, ümbermõõt, on kõverjoon ja teine pikkus, diameeter, sirgjoon, siis muudab see nende suhtarvu olemasolu ebakindlamaks, kui on ruudu diagonaali ja tema külje suhtarv; aga kuna meile tundub, et säärane arv peaks ikkagi olemas olema, siis imbusid transtsendentsed arvud ajapikku arvusüsteemi. Nii võetigi varasemaid arusaamu arvudest taas kord sobival viisil laiendades arvusüsteemi kooskõlalisena ka transtsendentsed arvud, ehkki enamikule õppuritest valmistab oskusvõttestik, mida me tavapäraselt kasutame selle kooskõlalisuse näitamiseks, üksjagu peavalu.\nEdasine pusimine arvusüsteemi kallal tõi esile arvu null ja ka negatiivsed arvud. Seekordne laiendamine nõudis ühe arvu, nulli puhul loobumist jagamisest. Sellega tundub reaalarvude süsteem ammendatud olevat (seni, kui me piirdume arvujadade piirväärtuse leidmisega ega tunnista mingeid uusi tehteid) - mitte et me oskaksime praegu neid kindlalt, loogiliselt ja lihtsalt põhjendada; kuid öeldakse, et liigne tuttavlikkus tekitab lugupidamatust, ja reaalarvude süsteem on meile kõigile enam-vähem tuttav. Väga vähesed meist usuvad oma mõistlikumatel hetkedel, et mõnede loogikute väljamõeldud konkreetsed postulaadid loovadki arvud - ei, enamik meist usub, et reaalarvud on lihtsalt olemas ja et sobiva komplekti neid seletavate postulaatide leidmine on olnud huvitav, lõbus ja tähtis mäng. Kuid ärgem laskem end eksitada: Zenoni paradoksid on meil veel 2000 aastat hiljemgi liiga värskelt meeles, et langeda pettekujutluse võrku, nagu me mõistaksime soovitud määral kõike seda, mida me võtsime ette diskreetse arvusüsteemi ja modelleerida tahetava pideva joone vahekorra suhtes. Me teame - kui mitte muu, siis ebastandardse analüüsi põhjal -, et loogikud võivad sõnastada postulaate, mis võimaldavad panna reaaljoonele veelgi enam punkte [entities], kuid seni on vaid vähesed meist tahtnud seda teed käia. On igati õiglane märkida, et mõned matemaatikud kahtlevad traditsioonilise reaalarvude süsteemi olemasolus. Mõned arvutiteoreetikud tunnistavad üksnes “arvutatavate arvude” olemasolu.\nJärgmiseks astmeks selles arutelus on kompleksarvude süsteem. Kui ma ajalugu õigesti mõistan, siis esimesena sai neist enamvähem korralikult aru Cardano. Oma teoses Suur kunst ehk algebra reeglitest ütleb ta: “Heites kõrvale sellega seotud vaimsed piinad, korrutame omavahel 5 + √ −15 ja 5 − √ −15, mis teeb 25−(−15)” (Cardano 1968: 219-220). Niisiis taipas ta selgesti, et needsamad formaalsed tehted kompleksarvude sümbolitega annavad mõtteka tulemuse. Sel viisil laienes reaalarvude süsteem järkjärgult kompleksarvude süsteemiks, ainult et seekord nõudis laienemine loobumist arvude järjestatuse omadusest - kompleksarve ei saa järjestada tavalises mõttes.\nCauchy jõudis kompleksmuutujate teooriani nähtavasti vajadusest integreerida reaalfunktsiooni piki reaaljoont. Ta avastas, et reaalintegreerimise probleemid on lahendatavad, kui painutada integreerimistee komplekstasandiks.\nMõni aasta tagasi oli mul rõõm lugeda kompleksmuutujate kursust. Nagu ikka sellesse teemasse süvenedes, haaras mind seegi kord tunne, et “jumal lõi universumi kompleksarvudest”. On selge, et nad etendavad keskset osa kvantmehaanikas. Nad on loomulikuks tööriistaks paljudes teisteski rakendusvaldkondades, nagu elektriahelad, väljad jm.\nKokkuvõtteks võib öelda, et me alustasime lihtsast loendamisest jumalast antud täisarvude abil ning laiendasime mitmel moel oma ettekujutust arvudest, hõlmates palju muidki asju. Mõnikord toimusid need laiendamised peaaegu et esteetilistel põhjustel ja tihti me loobusime mõnest varasema arvusüsteemi omadusest. Nii jõudsime arvusüsteemini, mis on mõistetamatult tõhus isegi matemaatikas endas; sellest annab tunnistust viis, kuidas me oleme paljud algse, ülimalt diskreetse loendamissüsteemi arvuteoreetilised ülesanded lahendanud kompleksmuutujate abil.\nKõigest sellest on näha, et matemaatika üks põhilisi arengujooni on tuntud kontseptsioonide laiendamine, üldistamine, abstraheerimine - need kõik on enam-vähem üks ja sama asi -, nii et nad vastaksid uuele olukorrale. Kuid pangem tähele, et selle protsessi käigus definitsioonid pisut muutuvad. Seetõttu võivad - ja sellest ei ole eriti palju räägitud - teoreemide kunagised tõestused osutuda väärtõestusteks. Vanad tõestused ei kata enam vastselt defineeritud asju. Ime seisneb aga selles, et peaaegu alati vastavad need teoreemid endiselt tõele; küsimus on lihtsalt tõestuste kohendamises. Klassikaline näide sellisest kohendamisest on Eukleidese Elemendid. Me oleme pidanud vajalikuks lisada täiesti uusi postulaate (või aksioome, kui soovite, sest me ei hooli enam nende eristamisest), et tõestused vastaksid tänapäeva normidele. Ent kuidas on ikkagi võimalik, et ükski teoreem kõigi kolmeteistkümne raamatu peale ei ole praegu väär? Mitte ühegi teoreemi kohta pole leitud, et ta oleks väär, ehkki paljud Eukleidese antud tõestused näivad praegu väärad. Ja see nähtus ei piirdu ainult minevikuga. Ajakirja Mathematical Reviews üks endine toimetaja olevat kunagi öelnud, et üle poole meie päevil avaldatavatest uutest teoreemidest on oma olemuselt tõesed, kuigi avaldatud tõestused on väärad. Kuidas saab see nii olla, kui matemaatika seisneb teoreemide ranges tuletamises etteantud postulaatide ja varasemate tulemuste põhjal? Igaühele, kes pole autoriteetidest pimestatud, on ilmne, et matemaatika pole see, mida meie kooliõpetajad väitsid seda olevat. On selge, et ta on midagi muud.\nMis see “midagi muud” on? Kui hakkate vaatama, siis näete, et ainult aksioomide ja postulaatidega piirdudes saaksite väga vähe tuletada. Esimeseks olulisemaks sammuks on eeldustest tuletatud uute mõistete kasutuselevõtt, näiteks selliste mõistete nagu kolmnurgad. Õigete mõistete ja definitsioonide otsimine on üks hea matemaatika tegemise põhijooni.\nKui me juba tõestuste teema juures oleme, siis klassikaline geomeetria algab teoreemist ja püüab leida tõestust. Ilmselt alles 1850. aastate paiku jõuti selgele äratundmisele, et ka vastupidine lähenemisviis on põhjendatud (kindlasti oli seda aeg-ajalt ka varem kasutatud). Sageli on just tõestus see, mis paneb alguse teoreemile. Me näeme, mida meil on võimalik tõestada, ja seejärel uurime tõestust, et näha, mida me tõestasime! Sageli nimetatakse neid “tõestuse loodud teoreemideks” (Lakatos 1976: 33). Klassikaliseks näiteks on ühtlase koondumise mõiste. Cauchy oli tõestanud, et koonduv liikmete rida, kus iga liige on pidev, koondub pidevaks funktsiooniks. Samal ajal tunti ka Fourier’ pidevate funktsioonide ridu, mis annavad koondudes katkeva piirväärtuse. Cauchy tõestust hoolikalt uurides leiti sellest viga, mis parandati ära, nii et teoreemi muudetud hüpoteesiks sai “ühtlaselt koonduv rida”.\nViimasel ajal on pingsalt uuritud nn matemaatika aluseid - mida minu arvates tuleks tegelikult pidada hoopis matemaatika kõige ülemiseks katusevalliks, mitte selle aluseks. See on huvitav valdkond, kuid põhiosa matemaatikast on seal avastatule kurt: me lihtsalt ei taha loobuda nii suurest osast matemaatikast, ükskõik kui ebaloogiline see alusuuringute tulemusena paistab.\nLoodetavasti õnnestus mul näidata, et matemaatika ei ole see, milleks teda tihtipeale peetakse, et matemaatika muutub pidevalt, ja et kui mul järelikult lähekski täna korda seda määratleda, siis homme see määratlus enam ei kehtiks. Sama lugu on arusaamadega rangusest - meie standardid muutuvad. Teaduses valitseb seisukoht, et me ei ole universumi keskpunkt, et meie asukohas ei ole midagi unikaalset jne, ning samamoodi on mul raske uskuda, et me oleme nüüdseks jõudnud ranguse viimse piirini. Seega ei saa me oma teoreemide praegustes tõestustes kindlad olla. Tõepoolest, mulle tundub, et matemaatika postulaate ei olnud kivitahvlitel, mille Mooses Siinai mäelt alla tõi.\nSeda on tähtis rõhutada. Me alustame oma ebamäärasest vaimukujutlusest, moodustame seejärel mitmesuguseid postulaadirühmi ja jääme lõpuks pidama ühe kindla rühma juurde. Range postulaatidel põhineva lähenemisviisi korral asendub algmõiste\nnüüd sellega, mida postulaadid defineerivad. See teeb mõiste edasise arengu üsna keeruliseks ja kipub kokkuvõttes matemaatika arengut pidurdama. Mitte et postulaatidel põhinev lähenemisviis vale oleks - me peaksime lihtsalt selle meelevaldsust endale selgelt teadvustama ja olema valmis postulaate muutma, kui vajadus selle järele ilmseks muutub.\nMatemaatika on inimese loodud ja seetõttu on igati kohane, kui inimene seda üsna pidevalt muudab. Võimalik, et matemaatika algallikad sunniti meile peale, kuid nagu me ühes toodud näites juba nägime, oleme isegi nii lihtsat mõistet nagu “arv” edasi arendades teinud laiendamisvalikuid, mida on ainult osalt suunanud vajadus ja sageli, mulle tundub, pigem esteetilised kaalutlused. Me oleme püüdnud teha matemaatikast kooskõlalist, ilusat asja ja andnud seda tehes maailmale hämmastaval hulgal kasulikke rakendusi.\nEttekujutus, et teoreemid tulenevad postulaatidest, ei vasta lihtsale tähelepanekule. Kui me avastaksime, et Pythagorase teoreem ei tulene postulaatidest, otsiksime taas mingit võimalust postulaate muuta, kuni see tõeseks osutuks. Eukleidese postulaadid tulenesid Pythagorase teoreemist, mitte vastupidi. Ma olen juba üle kolmekümne aasta aeg-ajalt öelnud, et kui te tuleksite minu kabinetti ja näitaksite mulle tõestust, et Cauchy teoreem on väär, siis pakuks see mulle suurt huvi, kuid ma usun, et lõppkokkuvõttes me muudaksime eeldusi, kuni teoreem õigeks osutuks.\nMille põhjal me “kriisi” korral otsustame, missugused matemaatika osad alles jätta ja missugused hüljata? Üks peamisi kriteeriume on kasulikkus, kuid sageli seisneb see kasulikkus selles, et me saame luua üha rohkem matemaatikat, selmet pakkuda maailmale rakendusi! Nii palju siis matemaatikast.\nMÕNED OSALISED SELETUSED\nMa rühmitan oma seletused matemaatika mõistetamatu tõhususe kohta nelja pealkirja alla.\n1. Me näeme seda, mida otsime\nKeegi pole üllatunud, kui ta paneb ette siniste klaasidega prillid ja maailm tundub sinakas. Tooksin mõned näited selle kohta, kui suurel määral vastab see tõele tänapäeva teaduses. Seda tehes riivan ma taas paljusid väga levinud, kirglikke uskumusi. Ent kuulake mind ära.\nValisin eespool näite teadlastest meelega varasemast perioodist. Pythagoras oli minu arvates esimene suur füüsik. Just tema avastas, et me elame sellises asjas, millele matemaatikud on andnud nimeks L 2 - täisnurkse kolmnurga kahe külje ruutude summa moodustab hüpotenuusi ruudu. Nagu eespool öeldud, ei tulene see geomeetria postulaatidest, vaid on ise postulaate kujundanud.\nMingem nüüd Galilei juurde. Mitte kuigi ammu püüdsin ma end mõelda Galilei olukorda, et aru saada, kuidas ta avastas langevate kehade seaduse. Ma püüan seda teha selleks, et õppida mõtlema meistrite kombel - üritan teadlikult mõelda nii, nagu nemad seda teha võisid.\nGalilei oli haritud mees ja valdas meisterlikult skolastilist argumentatsiooni. Ta oskas suurepäraselt vaielda selle üle, mitu inglit mahub tantsima nööpnõela pea peale, teadis, kuidas esitada mis tahes küsimuses poolt- ja vastuargumente. Ta oli selles kunstis osavam kui keegi meist tänapäeval. Mu silme ette kerkib pilt, kuidas ta ühel päeval istub, ühes käes kerge ja teises raske pall, ning neid õrnalt hüpitab. Ta lausub endamisi, palle käes kaaludes: “Igaüks teab, et rasked esemed kukuvad kiiremini kui kerged; pealegi ütleb seda Aristoteles.” “Kuid oletagem,” jätkab ta, sest just selline on tema vaimulaad, “et keha laguneb kukkudes kaheks tükiks. Loomulikult väheneb mõlema tüki langemiskiirus otsekohe, jõudes kummalegi omase kiiruseni. Kuid oletagem veel, et üks tükk juhtub vastu teist põrkama. Kas nad on nüüd jälle üks tükk ja mõlema kiirus suureneb? Oletagem, et ma seon need tükid kokku. Kui kõvasti ma pean seda tegema, et nad ühe tüki moodustaksid? Peenikese nööriga? Köiega? Liimiga? Millal saavad kaks tükki üheks?”\nMida rohkem ta sellele mõtles - ja mida rohkem teie sellele mõtlete -, seda mõistetamatuks muutus küsimus, millal saavad kaks keha üheks. Ei ole lihtsalt olemas mõistlikku vastust küsimusele, kuidas teab keha, kui raske ta on - kas ta on ühes tükis, kahes või mitmes. Et langevad kehad teevad midagi, siis on ainsaks võimaluseks, et nad kõik langevad sama kiirusega - kui just teised jõud vahele ei sega. Midagi muud nad teha ei saa. Võib-olla tegi ta hiljem ka mõned katsed, kuid mul on väga tugev kahtlus, et midagi sellist, nagu ma kujutlesin, leidis tõepoolest aset. Pärastpoole leidsin ma samasuguse loo ühest Polya raamatust (Polya 1963: 83-85). Galilei ei avastanud oma seadust mitte eksperimenteerides, vaid tavalise, lihtsa mõtlemise, skolastilise arutluse teel.\nMa tean, et õpikud kujutavad langevate kehade seadust sageli eksperimentaalse tähelepanekuna; mina väidan, et see on loogiline, meie mõtlemisviisist tulenev seadus.\nNewton, nagu raamatutest võib lugeda, tuletas pöördruudu seaduse ∗ Kepleri seadustest, ehkki sageli käsitletakse seda vastupidi; õpikud tuletavad Kepleri seadused pöördruudu seadustest. Ent kui te usute sellisesse asja nagu energia jäävus ja arvate, et me elame kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis, siis kuidas muidu saaks sümmeetriline tsentraaljõu väli kahaneda? Eksponendi mõõtmine katsetuste teel seisneb kindlasti suurelt jaolt püüdes teha kindlaks, kas me elame eukleidilises ruumis, ega tähenda üldse pöördruudu seaduse kontrollimist.\nEnt kui teile need kaks näidet ei meeldi, siis võtkem viimase aja kõige kõmulisem seadus, määramatuse printsiip. Juhtumisi sattusin ma hiljuti kirjutama raamatut digitaalfiltritest (Hamming 1977), teades sellest teemast väga vähe. Niisiis esitasin endale juba varakult küsimuse: “Miks peaksin ma kogu analüüsi tegema Fourier’ integraalide abil? Miks on nad selle probleemi lahendamisel loomulikuks tööriistaks?” Peagi avastasin, nagu paljud teist juba teavad, et translatsiooni omafunktsioonid on keerukalt eksponentsiaalsed. Kui te taotlete ajalist invariantsust, mida füüsikud ja insenerid kahtlemata taotlevad (nii et tänane ja homne katse annaksid sama tulemuse), siis jõuate paratamatult nende funktsioonideni. Ja kui te usute lineaarsusesse, siis on nad taas omafunktsioonideks. Kvantmehaanikas on kvantolekud absoluutselt aditiivsed; nad ei ole lihtsalt mugavaks lineaarseks lähenduseks. Seega on trigonomeetrilised funktsioonid omafunktsioonid, mida on vaja nii digitaalfiltrite teoorias kui ka kvantmehaanikas, kui nimetada vaid paari valdkonda.\nKui te nüüd neid omafunktsioone kasutate, siis jõuate loomulikul teel selleni, et esitate mitmesuguseid funktsioone esmalt nende loendatava ja seejärel mitteloendatava arvuna - nimelt Fourier’ reana ja Fourier’ integraalina. Fourier’ integraalide teoorias on aga teoreem, mille järgi funktsiooni muutuvus korrutatuna tema teisenduse muutuvusega ületab fikseeritud konstanti, milleks ühes tähistuses on 1/2π. See ütleb mulle, et igas lineaarses, ajaliselt invariantses süsteemis leiate te paratamatult määramatuse printsiibi. Plancki konstandi suuruse puhul on küsimus muutujate üksikasjalikus identifitseerimises integraalidega, kuid võrratus peab esinema.\nVeel üheks näiteks selle kohta, mida on sageli peetud füüsika avastuseks, kuid mis tegelikult on osutunud meie enda loominguks, on hästi tuntud tõik, et füüsikaliste konstantide jaotus ei ole ühtlane; tõenäosus, et suvalise füüsikalise konstandi esimeseks arvuks on 1, 2 või 3, on umbes 60% ning arvud 5, 6, 7, 8 ja 9 on esimeseks arvuks kokku vaid 40% juhtudel. Selline jaotus kehtib paljude arvutüüpide puhul, sealhulgas niisuguste astmeridade kordajate puhul, millel on koonduvusringis ainult üks iseärasus. Selle nähtuse täpsem uurimine näitab, et tegu on peamiselt artefaktiga, mis tuleneb sellest, kuidas me arve kasutame.\nEsitanud neli väga erinevat näidet mittetriviaalsetest olukordadest, kus algne nähtus tuleneb meie kasutatavatest matemaatilistest tööriistadest, mitte tegelikust maailmast, olen ma valmis väitma, et suur osa sellest, mida me näeme, tuleneb prillidest, mida me kanname. Muidugi läheb see vastuollu paljuga teile õpetatust, kuid vaagige hoolega argumente. Te võite öelda, et eksperiment oli see, mis meile säärase mudeli peale sundis, kuid ma usun, et mida rohkem te nende nelja näite üle mõtlete, seda ebamugavamalt te end tunnete. Need ei ole suvalised teooriad, mis ma välja valisin; neil kõigil on füüsikas keskne tähtsus.\nViimastel aastatel oli just Einstein see, kes kõige valjemini kuulutas füüsikaseaduste lihtsust ja kasutas nii ohtralt matemaatikat, et rahva seas peetigi teda matemaatikuks. Tema erirelatiivsusteooria artiklit uurides tekib tunne, et tegu on skolastilise filosoofi lähenemisviisiga (Holton 1973). Ta teadis juba ette, missugune see teooria välja peaks nägema, ja uuris teooriaid matemaatiliste tööriistadega, mitte tegelike katsete abil. Ta oli relatiivsusteooriate õigsuses nii veendunud, et kui nende kontrollimiseks korraldati katsed, ei olnud ta tulemustest kuigi huvitatud, öeldes, et need pidid lõppema just sel viisil või muidu on katsed valesti korraldatud. Paljud inimesed usuvadki, et need kaks relatiivsusteooriat põhinevad pigem filosoofial kui tegelikel eksperimentidel.\nNiisiis on minu esimeseks vastuseks küsimusele matemaatika mõistetamatust tõhususest see, et me käsitleme olukordi intellektuaalse võttestiku abil ja saamegi seetõttu paljudel juhtudel leida üksnes seda, mida leiame. Nii lihtne ja nii kohutav see ongi. Meile õpetatu, et teaduse aluseks on tegelikus maailmas sooritatud katsed, on ainult osalt õige. Eddington läheb veelgi kaugemale; ta väidab, et piisavalt tark mõistus suudaks tuletada kogu füüsika. Mina tahan öelda ainult seda, et tuletada saab üllatavalt suure osa sellest. Eddington illustreerib seda asjaolu võrratu mõistujutuga. Ta ütleb: “Mehed läksid merele võrguga kala püüdma ja jõudsid pärast saagi ülevaatamist järeldusele, et meres elavatel kaladel on olemas teatud miinimumsuurus.”\n2. Me valime, mis liiki matemaatikat kasutada\nIga kord matemaatika ei tööta. Kui me avastasime, et skalaarid jõudude puhul ei tööta, leiutasime uue matemaatika - vektorid. Ja sealt edasi minnes oleme leiutanud tensorid. Raamatus, mille ma hiljuti kirjutasin (Hamming 1980), kasutatakse tavapäraseid täisarve märgendina ja reaalarve tõenäosuste väljendamiseks, kuid muidu kehtib kogu aritmeetika ja algebra puhul, mis selles raamatus ette tuleb - ja mõlemat on seal rohkesti -, reegel, et 1+1 = 0.\nNiisiis on minu teiseks seletuseks, et me valime sellise matemaatika, mis sobiks konkreetsesse olukorda, ja pole kaugeltki tõsi, et sama matemaatika töötab kõikjal.\n3. Teadus vastab tegelikult võrdlemisi vähestele küsimustele\nMeil on illusioon, et teadus suudab vastata enamikule meie küsimustest, kuid see pole nii. Inimene on kindlasti aegade algusest peale juurelnud selle üle, mis on tõde, ilu ja õiglus. Kuid nagu ma näen, ei ole teadus neile küsimustele vastamiseks seni midagi teinud ja tundub, et ei tee ka lähemas tulevikus. Seni, kuni me kasutame matemaatikat, milles tervik on osade summa, on vähe tõenäoline, et matemaatikast saaks oluline tööriist nende kolme kuulsa küsimuse uurimisel.\nTõepoolest, kui üldistada, siis jäävad peaaegu kõik meie kogemused siin maailmas väljapoole matemaatika ja üldse teaduse haardeulatust. Liiatigi me teame (või vähemalt arvame teadvat) Gödeli teoreemi järgi, et on olemas kindlad piirid sellele, mida suudab korda saata puhtloogiline manipuleerimine sümbolitega - et matemaatika tegevusulatus on piiratud. Teadlased on tegutsenud heas usus, et maailm on seletatav nende lihtsate mõistete abil, millega matemaatika opereerib. Kui te mõtlete, kui paljudele küsimustele teadus ei ole vastanud, siis näete, et meie edusammud ei ole sugugi nii muljet avaldavad, kui nad muidu võiksid paista.\n4. Mudeliks on inimese evolutsioon\nOlen juba puudutanud küsimust inimese evolutsioonist. Märkisin, et elu varajasimates vormides pidid peituma meie praeguse võime alged moodustada ja mõista pikki rangeid arutluskäike. Mõned inimesed (Mohr 1977) on sealt edasi väitnud, et darwinlik evolutsioon pidi valiku käigus loomulikult ellu jätma säärased konkureerivad eluvormid, mille mõistuses oli parim reaalsuse mudel - kus “parim” tähendab parimat ellujäämiseks ja paljunemiseks.\nPole kahtlust, et selles on oma tõetera. Me oleme näiteks avastanud, et tuleme toime maailmast mõtlemisega, kui see on suuruselt võrreldav meie enda ja meie loomulike, abivahenditeta meeltega, kuid et väga väikeste või väga suurte asjadega tegeldes satub meie mõtlemine kimbatusse. Tundub, et me ei ole võimelised korralikult mõtlema normaalsest suurusest väljapoole jäävate äärmuste üle.\nNii nagu on lõhnu, mida koerad suudavad haista ja meie mitte, ning helisid, mida koerad kuulevad ja meie mitte, nii on ka valguse lainepikkusi, mida me ei näe, ja maitseid, mida me ei tunne. Kui arvestada, et meie aju on just sellise ehitusega, nagu ta on, miks peaks meid siis üllatama lause “Võib-olla on olemas mõtteid, mida me ei suuda mõelda”? Võimalik, et evolutsioon on seni pärssinud meie võimet mõelda teatud suunas; mõeldamatud mõtted võivad olemas olla.\nKui meenutada, et tänapäevane teadus on ainult umbes 400 aastat vana ja et igal sajandil on elanud kolm kuni viis põlvkonda, siis lahutab meid Newtoni ja Galilei ajast kõige rohkem 20 põlvkonda. Kui võtta teaduse kui sellise vanuseks 4000 aastat, siis saame ülempiiriks 200 põlvkonda. Väikeste juhuslike muutuste valiku teel toimuva evolutsiooni mõju vaagides tundub mulle, et evolutsioon saab seletada üksnes pisikest osa matemaatika mõistetamatust tõhususest.\nKõige selle põhjal olen ma sunnitud järeldama niihästi seda, et matemaatika on mõistetamatult tõhus, kui ka seda, et minu toodud näited ei suuda üheskooski piisavalt seletada nähtusi, mille seletamise nimel ma tööle asusin. Mulle tundub, et meil - pidades peamiselt silmas teid - tuleb jätkata oma püüdeid seletada, miks on teaduse - pidades peamiselt silmas matemaatikat - loogikaga seotud külg kohane tööriist universumi uurimiseks sellisena, nagu me teda praegu tajume. Ma kahtlustan, et minu seletused ei ole kaugeltki nii head kui varajaste kreeklaste omad, kes ütlesid selle küsimuse materiaalse külje kohta, et universumi olemus peitub maas, tules, vees ja õhus. Universumi olemuse loogiline külg vajab edasist uurimist.\nThe Unreasonable Effectiveness of Mathematics. - The American Mathematical Monthly, 1980, 87. kd, nr 2, lk 81-90.\nC a r d a n o , G. 1968 . The Great Art or Rules of Algebra. Transl. by T. R. Witmer. MIT Press\nC o u r a n t , R., H. R o b b i n s 1941. What Is Mathematics? Oxford University Press\nH a m m i n g , R. W. 1977. Digital Filters. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ\nH a m m i n g , R. W. 1980. Coding and Information Theory. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ\nH o l t o n , G. 1973. Thematic Origins of Scientific Thought, Kepler to Einstein. Harvard University Press\nK r o n e c k e r , L. 1958. Item 1634. - R. E. Moritz. On Mathematics and Mathematicians. Dover Publications\nL a k a t o s , I. 1976. Proofs and Refutations. Cambridge University Press\nM o h r , H. 1977. Structure and Significance of Science. Springer-Verlag\nP o l y a , G. 1963. Mathematical Methods in Science. MAA\nW i g n e r , E. P. 1960. The unreasonable effectiveness of mathematics in natural sciences. - Communications in Pure and Applied Mathematics, vol. 13, no. 1, pp. 1-14\nVASTUS EUGENE WIGNERI ARTIKLILE JA RICHARD HAMMINGI ESSEELE\nFüüsikas kasutatakse nähtuste kirjeldamisel sageli matemaatilisi suhteid suuruste vahel, mis iseloomustavad loodusmaailma vaadeldavaid tunnuseid: kahekordistage survet vedrule, ja ta venib kaks korda pikemaks; teatud punktist tuleva valguse intensiivsus muutub täpselt pöördvõrdeliselt valgusallika kauguse ruuduga. Isegi täiesti abstraktsed matemaatilised konstruktsioonid, mille loomisel ei peetud silmas mingeid seoseid füüsikaga ega füüsilise maailmaga, osutuvad hiljem (mõnikord palju hiljem) vastselt saadud katseandmete ideaalseks esituseks. Näiteks on selgunud, et rühmateooria on erakordselt kasulik kristallograafias ja elementaarosakeste organiseerituse mõistmisel.\nMiks peaks üks füüsikaline parameeter olema mõne teise matemaatiline funktsioon? Selline on filosoofiline probleem, mida Nobeli füüsikapreemia laureaat Eugene Wigner nimetab “matemaatika mõistetamatuks tõhususeks loodusteadustes” oma 1960. aasta samanimelises artiklis ajakirjas Communications of Pure and Applied Mathematics. Albert Einstein esitab sama küsimuse oma teoses Selgitusi relatiivsuse kohta nii: “Kuidas on võimalik, et matemaatika, kogemusest sõltumatu inimmõtte saadus, sobib nii täiuslikult füüsilise tegelikkuse objektidega?”\nTöötades oma raamatu Kasutajaliides kallal, pidasin ma vajalikuks püüda mõista, miks meil on olemas teatud vaimsed võimed, teisi aga mitte. Usutavaid hüpoteese ei leidnud ma mitte kognitiivsest psühholoogiast, nagu olin oodanud, vaid evolutsioonibioloogiast. Kõnealust küsimust, “meie” matemaatika sobivust välismaailmaga, on üldiselt käsitletud kui filosoofilist ja füüsilise maailma olemust puudutavat küsimust. Kuid pidades nüüd tagasi vaadates silmas, et füüsilise maailma mõistmine matemaatika abil on inimlik omadus ja et inimesed on bioloogilised olendid, poleks mind pidanud põrmugi üllatama, et taas kord peaks just bioloogia, täpsemalt üks võimsamaid bioloogiateooriaid - evolutsiooniteooria, aitama meil seda probleemi mõista.\nMatemaatika ja füüsilise maailma sobivuse avastamine ei ole enamasti lihtne ülesanne. Otsuse langetamine, missugust matemaatikat kus kasutada, võib nõuda märkimisväärselt suuri jõupingutusi, pealegi võidakse teaduse hetkevajaduste rahuldamiseks matemaatikat ka leiutada, nagu tegi Newton, andes oma panuse arvutusmeetodite arengusse. Kuid see ei seleta, miks üldse on võimalik esitada füüsikalisi nähtusi matemaatiliselt. Üheks seletuseks on pakutud järgmist: kui meile on antud üks sõltumatu ja üks sõltuv füüsikaliste muutujate paar, siis saab nende suhe olla kas (1) juhuslik, ning me saame selle kirjeldamiseks kasutada matemaatilist statistikat, või (2) seaduspärane - või ka nende kahe segu. Seetõttu ei pääse mitte miski matemaatika haardeulatusest. Paraku demonstreerib see väide üksnes seda, et kui füüsikalist protsessi saab esitada muutujate paarina, siis on nende vahel olemas matemaatiline suhe. Selle puhul kasutatakse argumendina alles tõestamist vajavat küsimust, nimelt miks on paljud või isegi kõik nähtused seaduspärased ja miks on olemas juhuslikkuse matemaatiline käsitlus.\nFüsikokeemik R. Stephen Berry Chicago ülikoolist kirjutas ühes elektronkirjas: “Ajaloolane Bill McNeill ütles mulle, et ta oli kavatsenud valida oma erialaks füüsika, kuni tutvus termodünaamikaga, misjärel ta hakkas mõistma füüsikateadust valdkonnana, kus kõik tuleb alati välja, sest muutujad defineeritakse nii, et asjad tuleksid välja. Tol korral ei olnud mul oidu taibata, et ehkki see pole päris tõsi, oli ta tõele siiski väga lähedal. Praegu arvan ma, et vastus Wigneri küsimusele on järgmine: teaduse ime ei seisne mitte selles, et matemaatika seda [maailma] kirjeldab, vaid selles, et inimene on olnud võimeline taipama, et on võimalik luua vaadeldavate nähtustega seotud tarindeid ja et nende nähtuste puhul on võimalik väita täpsete, kvantitatiivsete suhete olemasolu.”\nMuidugi on tõsi, et me abstraheerime loodusest vaadeldavaid nähtusi, mis kenasti kvantifitseeruvad, ehkki see protsess ei ole sageli sugugi lihtne, ja kindlasti ei saa me sellest päris hästi aru. Ning kahtlemata on see osalt põhjuseks, miks matemaatika vastab loodusele; me otsime (või loome) mõõte, millel oleksid vajalikud omadused. Kuid sellest hoolimata väldib Berry-McNeilli seletus Wigneri püstitatud küsimust ja räägib hoopis sellest, kuidas me toimime seadusi otsides ja sõnastades (mis iseenesest on samuti hämmastav protsess). Eelkõige ei ütle see meile, miks on üldse võimalik muutujaid eristada ja seadusi leida (või luua). Oleks ju mõeldav, et meie universumil ja meie matemaatikal ei ole mingeid kokkupuutepunkte, kuid nagu on tihti märgitud, paistab isegi meie kõige segasem matemaatika leidvat rakendusi füüsikas ja tehnikas.\nKust matemaatika üldse pärit on? Selle ajaloolised juured näivad peituvat loendamises ja maamõõtmises, kuid vähemalt Eukleidese päevist peale mõisteti, et üks teine omadus teeb selle inimuuringute seas unikaalseks, ja selleks on tema puhtdeduktiivne olemus; s.t matemaatika põhineb loogika kasutamisel, et minna aksioomidelt (mida algselt peeti liiga ilmselt tõeseks, et neid kahtluse alla seada) üle teoreemidele - ja tõestatud teoreemidelt uutele teoreemidele. Teisisõnu, matemaatika rajaneb loogika vundamendil. See tähelepanek viis lõpuks katseni ehitada kogu matemaatika üles lõplikust hulgast aksioomidest (Hilberti programm), mis jooksis aga liiva, kui Kurt Gödel tõestas, et igas piisavalt rikkas süsteemis (näiteks vähemalt sellistes, mis on küllalt keerukad, et luua aritmeetikat) on tõeseid teoreeme, mida pole võimalik tõestada ühegi lõpliku hulga aksioomide põhjal (või kui täpne olla, siis aksioomide ja aksiomaatikate põhjal).\nKuid ei Gödeli töö ega sellele järgnenu ei tõrjunud loogikat ratsionaalse mõtlemise alusena kõrvale. Isegi Gödeli tõestused on tuletatud ainuüksi traditsioonilise loogika abil ja sellest loogikast on piisanud, et luua matemaatikat ja füüsikat, mis on tekitanud siinses essees vaadeldava küsimuse.\nMõned filosoofid ja teadlased on arvanud, et aju ülesehituses peituvad loomuomaselt teatud loogikaprintsiibid, nii nagu mõned on järeldanud, et meie vastuvõtlikkus keelestruktuuridele on kaasa sündinud. Sir James Jeans kirjutab, et matemaatikaseadused on pärit matemaatikute endi teadvusest ega tugine vähegi arvestataval määral nende kogemusele välismaailmast.\nIsegi kui see on tõsi, jätab Jeans vastamata küsimusele, kuidas meie ajul selline kalduvus tekkis, ja nihutab seega küsimuse lihtsalt ühe astme võrra edasi. Teisiti läheneb asjale Morris Kline oma raamatus Matemaatika: kindluse kadu. Kline’i sõnul võiks matemaatika tõhususe allikas peituda selles, “et matemaatika mõisted ja aksioomid tulenevad kogemusest. Isegi loogikaseaduste kohta on tunnistatud, et need tulenevad kogemusest ja on just seetõttu sellega kooskõlas.” Kuid seejärel lükkab ta selle mõtte tagasi kui “kaugelt liiga lihtsustava. See võib olla piisav seletamaks, miks viiskümmend lehma ja viiskümmend lehma teeb kokku sada lehma [---]. Kuid inimesed on loonud matemaatilised mõisted [---], mis ei tulene kogemusest.” On täiesti võimalik, et mõne konkreetse matemaatilise struktuuri (nt geomeetria) aksioomid tulenevad kogemusest, kuid Kline’i tees ei suuda seletada, kuidas loogika meie ajju istutati. Ehkki Steven Weinberg oletab oma Unistuses lõplikust teooriast, et matemaatika tõhususe üheks võimalikuks seletuseks on asjaolu, et “universum ise mõjub meile justkui [---] õpetav masin”, raamistab tema edasist arutelu kujutlus “ideede looduslikust valikust”. Meil on siiski vaja midagi võimsamat kui kogemus ja õppimine, et loogikareeglid oma pärilikesse ajustruktuuridesse sisse saada.\nWeinbergi lamarckliku ideede evolutsiooni asemel (sel viisil võivad küll edasi liikuda teadus ja tsivilisatsioon, kuid see ei mõjuta genoomi) pakun ma seletuseks, et darwinlik evolutsioon valis terve igaviku väldanud eksperimenteerimise käigus välja need üksikud loomad, kelle mõistus juhtus töötama samamoodi, nagu töötab maailm. Enamikule meist tundub loomulik, et me võime väita “p või mittep” iga prepositsioonipkohta, millel on olemas tõeväärtus. Ent kui eksisteeriks olendo, kes oma neuroloogiliste iseärasuste tõttu käituks nii, nagu ta võiks väita “p ja mitte p”, siis sööks mõni kiskja olendi o ilmselt ära, sest ehkki o näeks, et kiskja on olemas, jõuaks ta järeldusele, et teda pole. Teisisõnu, igal olendil, kelle loogika oleks vastuolus füüsilise maailma loogikaga, oleks vähe tõenäosust ellu jääda. Kaasasündinud loogika on kindlasti vanem kui inimkond. Muidugi ei tähenda see, et loomad rakendaksid loogikat teadlikult.\nEt meil on evolutsiooni käigus arenenud aju, mis töötab samamoodi nagu maailm, siis on üheks selle arengu viljaks loogilised (meie mõistes) tuletuskäigud. Matemaatikat luues me loome seda kooskõlas füüsilise maailmaga, sest loogika aluseid, kõige selle olemust, mis meile üldse mõttekas tundub, dikteerib füüsiline maailm. Meie aju sünnipärased omadused lõi looduslik valik, mis ka treenis neid. Kui füüsiline maailm on meid koolitanud, kas peaksime siis olema üllatunud, et meie looming peegeldab seda õpetust? Sellest vaatenurgast peaksime olema üllatunud hoopis siis, kui maailma käitumisest tuletatud loogikal põhinev matemaatika ei suudaks maailma kirjeldada. Meil pole vaja abi otsida Penrose’i ∗ müstilisest seletusest, mis põhineb “usul looduse täiuslikku matemaatilisse harmooniasse”, nagu ta kuulutab oma raamatus Keisri uus mõistus. Asjakohaselt skeptilises raamatus Deemonist painatud maailm jõuab Carl Sagan üsna lähedale minu seisukohale, öeldes, et “nii meie pärilikud kui ka õpitud arusaamad sellest, kuidas loodus töötab, kujunesid nende miljonite aastate vältel, mil meie esivanemad olid kütid ja korilased. Ma arvan, et loogika juured võivad ulatuda kaugemale meie aistimisvõimelistest esivanematest.” Mina ütlen “võivad ulatuda” asemel “peavad ulatuma”.\nR. W. Hamming ennetab oma essees “Matemaatika mõistetamatust tõhususest” (ajakirjas The American Mathematical Monthly, 1980, 97. kd, nr 2) paari aastakümnega paljusid minu siinses kirjutises esitatud väiteid, ehkki ta jõuab järeldusele, et “kui võtta teaduse kui sellise vanuseks 4000 aastat, siis saame ülempiiriks 200 põlvkonda. Väikeste juhuslike muutuste valiku teel toimuva evolutsiooni mõju vaagides tundub mulle, et evolutsioon saab seletada üksnes pisikest osa matemaatika mõistetamatust tõhususest.” Ta leiab end olevat “sunnitud järeldama”, et “matemaatika on mõistetamatult tõhus”. See on liiga kitsas vaade evolutsioonile. Kui Eldredge’i ja Gouldi katkeva tasakaalu teooria ∗ paika peab, võib selguda, et meie genoomis pole kogu inimajaloo vältel toimunud ühtki asjakohast muutust. Kuid sellest pole lugu, sest matemaatika vundament oli juba tükk aega varem meie esivanemates laotud, tõenäoliselt miljonite põlvkondade jooksul. Kui lisada sellele vundamendile keel, uudishimu ja võib-olla ka (nagu Hamming osutab) ilumeele areng, siis ei pruugigi muud vaja olla, et liikuda lõppkokkuvõttes sünnipäraselt loogikalt edasi matemaatika juurde.\nVaadakem näiteks vikerforelli: tema keha on pealtvaates peaaegu täpselt sellise kujuga, mis on vajalik takistuse minimeerimiseks ja mis meenutab väga tänapäevase sümmeetrilise lennukitiiva ristlõiget. Sellise kuju leidmine on nõudnud teadlastelt suurt tööd ja rohkesti matemaatikat, kuid forell on jõudnud selleni evolutsiooni teel. Väiksema takistusega forell on kiirem forell, kiirem forell on vähem söödud forell ja ainult söömata jäänud forell saab anda järglasi. Nagu evolutsioon vormis forelli kuju ellujäämiseks, nii vormis ta ka vaimsed võimed maailma loogilise kuju järgi. Vastuväidet sellele ei tähenda ka osutus, et meie aju läheb loogikast kaugemale, olgu siis heas või halvas mõttes. Me suudame teha asju, mida Turingi masin (puhtalgoritmiline arvuti) ei suuda. Tavaliste arvutite puhul, nagu see, mille abil ma käesolevat lugu kirjutan, Turingi masinate piirangud ei kehti ja veel vähem kehtivad need meie puhul; niisiis ei käi Gödeli töö nende ega meie kohta.\nEt tänapäeva füüsika on sattunud nähtustele, mille seletus paistab meie loogikat väänavat, ei ole samuti vastuväitena kehtiv. Loomad ei liigu relativistliku kiirusega ja meie organismil puudub varustus, mille abil vahetult tegelda submikroskoopilise maailmaga, kus valitsevad kvantmehaanika reeglid. Seepärast on võimalik, et meie sünnipärane loogika variseb kokku või tuleb teda laiendada, et ta hõlmaks ka nähtusi, mis leiavad aset äärmusliku kiiruse, suuruse või mõne muu füüsikalise parameetri korral ega ole seetõttu saanud meie tunnetuse arengut mõjutada. Võib-olla on meil lihtsalt vedanud, et maakera, millel me arenenud oleme, on ülejäänud universumile nii tüüpiline, et meie omandatud loogika on lubanud meie teadmistel nii kaugele kosmosesse tungida.\nVõib-olla on olemas mittematemaatilisi, mitteloogilisi nähtusi, mis jäävad alatiseks meie mõistusele kättesaamatuks, sest nad põhinevad aksiomaatikatel, millest arusaamiseks me pole pärinud vajalikke vaimuomadusi - võib-olla, kuid praegu pole mingeid tõendeid, et see nii oleks, või vahest on asi selles, et me ei suuda neid tõendeid mõista. Hamming, kelle artiklit ma polnud siinse essee esimest varianti kirjutades lugenud, jõuab sama mõtteni, öeldes: “Võib-olla on olemas mõtteid, mida me ei suuda mõelda.” Müstikud võivad arvata, et selline spekulatsioon viitab jumalale või paranormaalsetele nähtustele, kuid ma ei pea silmas midagi sellist. Ülemeelelisust või religiooni puudutavaid väiteid võib esitada täiesti vabalt ja vasturääkivusi kartmata, sest neid ei saa füüsikaliselt kontrollida. Nagu märgib Ludwig Wittgenstein oma Loogilis-filosoofilises traktaadis, “kõike, mida saab öelda, saab öelda selgelt” ja “millest ei saa rääkida, sellest tuleb vaikida”. Kuid erinevalt Traktaadist, kus see on ainuüksi loogika või keele struktuuri tagajärg, nähakse seda siin loodusliku valiku tagajärjena.\nKuid need probleemid ei puuduta enam küsimust, millest me alustasime ja millele bioloogiateadus vastab: juurdlemine selle üle, kuidas me oleme arenenud ja selle käigus oma praeguse mõtlemisviisi omandanud, lahendab Wigneri mõistatuse, viib lõpule Hammingi otsingud ja vastab Einsteini küsimusele, miks on matemaatika nii tõhus materiaalse maailma kirjeldamisel. Inimliku loogika sundis meile peale füüsiline maailm ja seetõttu on nad omavahel kooskõlas. Matemaatika tuleneb loogikast. Just seepärast ongi matemaatika füüsilise maailmaga kooskõlas. Mingit müstikat siin ei ole - ehkki me ei tohiks kaotada võimet huvituda ja hämmastuda asjade olemusest, isegi kui me neid paremini tundma õpime.\nA reply to Eugene Wigner’s paper, “The unreasonable effectiveness of mathematics in the Natural Sciences” and Hamming’s essay “The unreasonable effectiveness of mathematics”. 1998 [edit of 19 Jan 2001]. http://jef.raskincenter.org/unpublished/effectiveness mathematics.html.\n Järgnevalt tsiteeritud märkuse tegi F. Werner Princetoni üliõpilasena.\n Seda väidet on siin tsiteeritud teosest W. Dubislav, Die Philosophie der Mathematik in der Gegenwart, Berlin: Junkert und Dunnhaupt Verlag, 1932: 1.\n M. Polanyi ütleb oma teoses Isiklik teadmine (Personal Knowledge, University of Chicago Press, 1958: 188): “Kõik need raskused tulenevad pelgalt tagajärjena meie keeldumisest mõista, et matemaatikat ei saa defineerida ilma, et me tunnustaks selle kõige ilmsemat omadust: nimelt seda, et ta on huvitav.”\n Sellega seoses võivad lugejale huvi pakkuda Hilberti üsna sapised märkused intuitsionismi kohta, mis “püüab matemaatikat lõhkuda ja moonutada” (Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, vol. 157, 1922 või Gesammelte Werke, Springer, Berlin, 1935, p. 188).\n Vt selles seoses Martin Deutschi kujukat artiklit Daedaluses (1958, vol. 87, p. 86). Abner Shimony on juhtinud mu tähelepanu samasugusele lõigule Charles Sanders Peirce’i raamatus Esseid teadusfilosoofiast (Essays in the Philosophy of Science, The Liberal Arts Press, New York, 1957, p. 237).\n Erwin Schrödinger ütleb oma kirjutises “Mis on elu?” (Cambridge University Press, 1945, lk 31), et see teine ime võib väga vabalt jääda väljapoole inimmõistuse piire.\n Siinkirjutaja arvates on kindlasti tarbetu mainida, et Galilei teoreem, nii nagu ta on esitatud käesolevas tekstis, ei ammenda Galilei tähelepanekute sisu seoses vabalt langevate kehade seadustega.\n Vt nt Schrödinger 1932.\n See omistatakse Galileile\n Vt nt R. H. Dicke, American Scientist, Vol. 25, 1959.\n See lõik sai kirja pandud pärast suuri kõhklusi. Siinkirjutaja on veendunud, et epistemoloogilistes aruteludes on kasulik loobuda idealiseeritud ettekujutusest, nagu oleks inimmõistusel absoluutsel tasemeskaalal ainulaadne koht. Mõnedel juhtudel on isegi kasulik vaadelda saavutusi, milleni on võimalik jõuda mõne teise liigi arukuse tasemel. Sellegipoolest mõistab siinkirjutaja, et tema mõttetegevus käesolevas tekstis osutatud suunas on olnud liiga põgus ega ole läbinud piisavat kriitilist ülevaatust, et olla usaldusväärne.


Looja püüdleb Vooremaal surematust - Tänane leht\nMaris Paas teatrivaataja\n15. juuni 2021, 21:37\nMärt Treieri «Ja kui nad surnud ei ole…» Jõgeva kultuurikeskuses. Fotol Meelis Põdersoo, Martin Kõiv ja Mihkel Kabel. FOTO: Sten Siirak\nMärt Treieri teatridebüütnäidend «Ja kui nad surnud ei ole...», mille autor ka ise lavastas, kipub publikut alahindama, esitades üht mõtet korduvalt eri sõnastuses ja väsitades vaataja uhke kulminatsiooni saabumiseks hoopis ära.\nTeatrivaatajal on raske hinnata lavastust, mille on kirjutanud lavastaja ise. Samaaegselt kaks eesmärki – kumb on olulisem? Märt Treier ütleb kavalehel oma näidendi kohta: «Tõuke tüki kirjutamiseks sain loojate alalisest ja kustumatust ihalusest luua midagi, mille väärtuses ei ole põhjust kahelda mitte kellelgi. Aga mida teha, kui annet ei jagu?» Julge küsimus, mille ilmselt esitas endale ka loo autor.\nAimata oli, et Treieri pea kubiseb huvitavatest filosoofilistest ja elulistest näidetest, mida sooviks kõik paberile panna ja veel parem, ka näitamiseks lavastada. Raamatutel on enamasti toimetajad, sedasama soovitaks ka Treierile järgmise näidendi kirjutamisel. Kõike, mis meie hingel, ei ole vaja ühte teosesse panna, võib jätta tagavaraks ka järgmistele loomepojukestele. Sest seda, mida jagada oleks, tundub autoril küllaga olevat.


Euroraha jõuab koju\n25. mai 2009 kell 21:00\nAasta lõpuks loodetakse kätte saada 4-5 miljardit krooni ja seitsme aastaga üritab riik välja jagada kõik eurotoetused suuruses 74 miljardit krooni. Lisaks 53 miljardile kroonile eurotoetustele oodatakse ka 21 miljardi eest põllumajandustoetusi. See raha on kokku nii suur, et selle eest saaks ühe aasta kogu riiki ülal pidada (täpselt nii suur oli näiteks 2007. aasta riigieelarve) või siis jääb sellesse suurusjärku 60% kõikidest eraisikute pangalaenudest.\n"Meil ei ole põhjust eeldada, et me ei jaga seda 53 miljardit välja," ütles rahandusministeeriumi Euroopa Liidu struktuurivahendite ja välisvahendite osakonna juht Ando Siitam.\nTa lisas, et see nõuab nii toetuse andjate kui ka saajate pingutust. Siitami kinnitusel on uute eurorahade laekumise tempo kiiresti kasvama hakanud.\nSamas ei saa neid prognoose puhta kullana võtta. Rahandusministeerium lootis veel aasta alguses, et makstakse välja 6,5 miljardit uusi eurotoetusi, aga nüüd räägitakse konservatiivsest prognoosist kätte saada 4-5 miljardit krooni.\n"Meid teeb murelikuks võimalus, et riik jätab suures osas euroraha potentsiaali kasutamata," ütleb Nordeconi finantsjuht Sulev Luiga.\nPõhjust ei tule kaugelt otsida: sadadesse miljonitesse ulatuvad riiklikud projektid annavad ehitusfirmadele korralikult tööd.\nErasektor saab eurorahast kasu eelkõige allhanke osas, kuna riigi jagatavad suured toetused lähevad enamasti riiklike objektide ehituseks. Kui reastada viimase pooleteise aasta kõik suuremad rahandusministeeriumisse koonduvad eurotoetuste saajad, siis ühtegi riigiga mitteseotud ettevõtet või MTÜd esisajast ei leia. Esimese saja keskmine toetuse suurus on aga üle 100 miljoni krooni.\nKõige suurem erakapitalile kuuluva eurotoetuse saaja on Sangla Turvas, kellele on määratud 26 miljonit krooni turbatöötluskompleksi väljaehitamiseks. Sellest summast on makstud välja 8,4 miljonit. See summa kahvatub riigiettevõtetele määratud raha kõrval.\nNäiteks riigiettevõttele Saarte Liinid on määratud suurusjärgus pool miljardit krooni sadamatöödeks, Eesti Raudtee infrastruktuuriettevõttele EVR Infra aga sama palju raudtee rekonstrueerimiseks.\n"Majandusministeerium on meid euroraha saamisel hästi palju toetanud. See on nende töö, et me nii palju riigisadamaid saame korda teha," ütles Saarte Liinide juhatuse esimees Ants Tammleht.\nEuroraha hakati jahtima juba aastast 2005, nüüd on viljade lõikamise aeg.\nKokku on Saarte Liinid saanud kolme projekti heakskiidu, kogusummas 514 mln krooni. Omafinantseering, mis kaetakse peamiselt laenuga, on vahemikus 0-15% projekti maksumusest. Erakapitalile ei liigu palju euroraha peamiselt ka seetõttu, et omafinantseering peab olema üle 50 protsendi projekti maksumusest, omavahendeid on aga raske leida.\nÜleüldse on euroraha loogika selline, et lõviosa rahast on suunatud riiklikult oluliste infrastruktuuriobjektide ehitamiseks, mis, tõsi küll, elavdavad ehitusturgu.\nAnts Tammleht ütles, et nemad on teinud 17 erinevat väikest ehitushanget ja ehitusettevõtjate huvi on väga suur. Ühele hankele (millest suurim on 80 mln krooni) seab end üles keskmiselt 8-15 huvilist. Tammlehe sõnul on ehitajate suure huvi põhjuseks nende väikene töökoormus.\nSee on ainus kord, kui Sangla Turvas on toetust saanud. Abi tuli õigel ajal. Esiteks soovisime tõsta efektiivsust, et oleksime võimelised konkureerima välisturgudega. Teiseks on eksport väga oluline, kuna me ekspordime 95% toodangust.\nMe ei oska öelda, kas toetuse saamine on lihtne või mitte. See oleneb olukorrast. Meie puhul eelnes sellele firmasisene aastatepikkune analüüs. Meie puhul oli turbatöötluskompleksi moderniseerimise omaosaluse määr 60 protsenti. Kui aga keegi toetust ei saaks, oleks süsteemis vajakajäämisi.