Parte 3La filosofía de la matemática\n21. La filosofía de la matemática22. Folklore matemático23. La fórmula de la ecuación de segundo grado y otras fórmulas24. Fractales25. Funciones26. Geometría analítica27. Geometría no euclídea28. Gödel y su teorema29. Grupos y álgebra abstracta30. Humor y matemática\n21. La filosofía de la matemática¿Qué son los números, los puntos y las probabilidades? ¿De qué naturaleza es la verdad matemática? ¿Por qué es útil la matemática? éstas son algunas de las preguntas cuyas respuestas no encontrará aquí. No obstante, intentaré presentar un par de asuntos relacionados con ellas.El observador más despreocupado se da cuenta de que los teoremas matemáticos no se confirman del mismo modo que las leyes físicas. Parecen ser verdades necesarias, mientras que las afirmaciones de las ciencias empíricas (la física, la psicología y la cocina) parecen depender completamente de la manera en que el mundo es realmente. Al menos desde un punto de vista conceptual, las leyes de los gases de Boyle y la historia del Imperio austrohúngaro podrían haber sido fácilmente otras, mientras que no se puede decir lo mismo de la afirmación 25 = 32.Pero ¿de dónde viene la certeza y la necesidad de la verdad matemática? Los matemáticos en activo no suelen preocuparse por este asunto pero, si se les aprieta, la mayoría contestarán probablemente algo así como: los objetos matemáticos existen independientemente de nosotros y las afirmaciones sobre ellos son verdaderas o no independientemente de nuestro conocimiento y de nuestra capacidad de demostrarlas. Imagino que tales objetos existen en algún mundo platónico más allá del tiempo y el espacio. Pero si es así, ¿cómo encontramos verdades sobre tales objetos y los hechos que a ellos atañen?La respuesta de Immanuel Kant era que la matemática (o al menos sus axiomas fundamentales) era conocible a priori por la sola intuición y que su necesidad era evidente. Los intuicionistas contemporáneos, sin suscribir las ideas kantianas acerca del espacio, el tiempo y el número, también basan la necesidad de la matemática en la indudabilidad de las actividades mentales simples. Algunos incluso llegan a desacreditar las demostraciones de la existencia de un objeto a menos que se dé un procedimiento constructivo que permita encontrarlo.A muchos otros filósofos de la matemática les molesta tanto el subjetivismo de Kant como la insostenibilidad del platonismo ingenuo. Los llamados logicistas, Bertrand Russell, Alfred North Whitehead y Gottlob Frege, trataron de demostrar que la matemática se podía reducir a la lógica y por lo tanto era tan cierta como la simple proposición «A o no A», y que en el fondo los enunciados matemáticos no eran sino maneras tortuosas de decir «A o no A». Su esperanza era encontrar así una garantía de la certeza de los enunciados matemáticos, pero no acabaron de lograrlo del todo. Lo que llamaban lógica contenía ideas de la teoría de conjuntos que eran precisamente tan problemáticas como los enunciados matemáticos que se seguían de ellas.La respuesta convencionalista a la pregunta fue que la matemática alcanzaba su necesidad por convenio, por fiat y por definición. Sus verdades no eran más que cuestión de convenio y, por tanto, no eran ni más ni menos oscuras que el hecho de que 5 pesetas sean un duro. Con un enfoque parecido, los filósofos formalistas sostenían que los enunciados matemáticos no hacen referencia a nada, sino que sólo son sucesiones de símbolos gobernadas por reglas, exactamente igual que las reglas del ajedrez rigen el movimiento de las piezas sobre el tablero. Que el movimiento del caballo sea dos cuadros en una dirección y uno en perpendicular es algo necesario pero no misterioso.La suficiencia con que dan por concluida la cuestión estas últimas posiciones es atractiva al principio, pero son absolutamente incapaces de explicar lo que el Premio Nobel Eugen Wigner dio en llamar «la irrazonable eficacia de la matemática» en la descripción de la realidad. Otros filósofos replican que la correspondencia entre las estructuras matemáticas y la realidad física no es en absoluto «irrazonable». Es, según ellos, no muy distinta de la razonable correspondencia entre los distintos sentidos biológicos (vista, oído, olfato, gusto y tacto) y los aspectos de la realidad física. La percepción matemática sería una especie de sexto sentido abstracto.De dónde viene la necesidad de la matemática y si los números son construcciones mentales, facetas de una realidad idealizada o sólo símbolos que se rigen por unas reglas, son temas que han resonado bajo diversas formas a lo largo y ancho de toda la historia de la filosofía. En la Edad Media, por ejemplo, los protagonistas de la batalla eran los idealistas, los realistas y los nominalistas, y sus posiciones acerca de la naturaleza de los universales como la Rojez y la Triangularidad eran en cierto modo análogas a las que sostienen los intuicionistas, logicistas (o platónicos) y formalistas de hoy. (Véanse también las entradas sobre Geometría no euclídea, Probabilidad y Sustituibilidad).Estos asuntos trascienden la matemática. Están íntimamente relacionados, por ejemplo, con la distinción filosófica entre verdades analíticas y verdades sintéticas. Una proposición analítica es verdadera en virtud del significado de las palabras que la forman, mientras que la veracidad de una proposición sintética se da en virtud del modo como son las cosas. (Un tipo especial de afirmaciones analíticas, las lógicamente válidas, son verdaderas en virtud del significado de las partículas lógicas «y», «o», «no», «si…, entonces…», «algún» y «todo». Las afirmaciones que son verdaderas en virtud de las cuatro primeras de estas partículas lógicas se llaman tautologías. Véanse las entradas sobre Cuantificadores y Tautologías).Así, «Si Pedro huele mal y es desdentado, entonces huele mal» es una proposición analítica, mientras que «Si Pedro huele mal, entonces es desdentado» es sintética. Otros ejemplos del mismo antagonismo son «Los solteros son hombres no casados» frente a «Los solteros son hombres lujuriosos» y «Los ovnis son objetos voladores que no han sido identificados» frente a «En los ovnis viajan unas criaturas verdes». Los filósofos cuentan las verdades matemáticas entre las analíticas y la mayoría de las demás entre las sintéticas, y, aunque no sea inamovible, esta distinción es un recurso conceptual práctico. Cuando el pomposo médico de Molière dice que la poción soporífera es eficaz gracias a su poder adormecedor, enuncia una frase vacía y analítica, y no de tipo objetivo y sintético.Al moverse en tomo a cuestiones de verdad trascendente y certidumbre, la filosofía de la matemática tiene también una cierta resonancia con el pensamiento religioso. ¿Por qué razón si no, un agnóstico convencido como yo habría empleado con tanta frecuencia palabras como «divino», «sacerdotal», «cielo», «pureza» y «reverencia» en estas entradas? Las semejanzas son generalmente metafóricas, pero a veces las metáforas determinan las actitudes y los actos.Por último, sea cual sea el «ismo» al que uno se adhiera (o del que se proteja), los teoremas de incompletitud de Gödel (véase la entrada sobre Gödel) barajaron los naipes filosóficos y obligaron a todas las partes a recomponer sus respectivos juegos. La existencia de proposiciones indemostrables indica, por ejemplo, que la verdad de las mismas no puede radicar únicamente en su demostración a partir de los axiomas. Más aún, la misma consistencia de una teoría matemática es una de las proposiciones que no se pueden demostrar sino que simplemente hay que suponer (o aceptar por la fe, si se prefiere este lenguaje).22. Folklore matemáticoAunque en principio, la frase «folklore matemático» pueda sonar un tanto extraña, algo así como «cuentos de hadas por ordenador» o «parábolas electrónicas», la matemática, al igual que otras disciplinas, tiene sus propios cuentos e historias, a menudo apócrifas, que constituyen un marco de referencia común y sirven para definir un carácter específico.La presentación de muchos de los teoremas, ejemplos y principios que se han discutido aquí ha ido acompañada de una pequeña narración (el misticismo de Pitágoras, los puentes de Euler, el último teorema de Fermat, la paradoja de Russell), y en esta entrada sólo quiero esbozar algunas historias arquetípicas más. Las palabras «esbozar» y «algunas» están vigiladas aquí en un sentido literal. No pretendo ser exhaustivo (lo cual a veces sólo es un eufemismo para dejar exhausto al lector).Empezaré con dos famosos episodios de Arquímedes, el mayor matemático, físico e inventor de la Antigüedad. Se cuenta que mientras se remojaba en una bañera descubrió el principio que lleva su nombre: todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje hacia arriba igual al peso del fluido que desaloja. Con la alegría del descubrimiento, salió corriendo desnudo a la calle gritando, «¡Eureka! ¡Eureka!» (en español «¡Lo encontré! ¡Lo encontré!»). La segunda anécdota sobre Arquímedes también realza su devoción por el saber. Absorto en un diagrama matemático dibujado en la arena, le pasó totalmente desapercibido que un soldado romano detrás de él le había ordenado que no continuara y, por ello, el soldado le mató. Este acto ilustra, tan bien como cualquier otro, la relación entre las culturas griega y romana en la Antigüedad.De gustos matemáticos bastante más refinados que Arquímedes, el matemático inglés del siglo XX G. H. Hardy se ufanaba muchísimo de la inutilidad de la teoría de los números. Es muy conocida la siguiente conversación entre él y su protegido, el matemático indio Srinivasa Ramanujan. Estando de visita en la habitación de este último en el hospital, Hardy dijo que 1729, la matrícula del taxi que le había traído, era un número bastante soso. A lo que Ramanujan replicó casi inmediatamente: «¡No, Hardy! ¡No, Hardy! Es un número muy interesante. Es el menor número que se puede expresar como suma de dos cubos de dos maneras distintas». (93 + 103 = 13 + 123 = 1.729).El tema de la ineptitud, o al menos la falta de interés por las cuestiones mundanas, está también presente en muchas de las anécdotas que se refieren al fundador de la cibernética, el matemático del MIT1 Norbert Wiener. Se cuenta que tenía una vista y/o una memoria tan malas que se le asignó un estudiante de doctorado para asegurar que llegara a sus destinos. Otra anécdota sobre Wiener ilustra la tendencia al elitismo que parece caracterizar a muchos matemáticos. Estaba en cierta ocasión dando la clase a un curso de doctorado y enseguida descubrió que sólo un estudiante de la primera fila seguía todos los detalles de su exposición. A partir de entonces, Wiener dio la clase hablando directamente a este estudiante. Pero un buen día el estudiante faltó y, al no verlo en primera fila, Wiener se fue inmediatamente refunfuñando que no había nadie en clase.El potencial intimidatorio de la matemática y los matemáticos lo ilustra una conversación entre el prolífico matemático suizo del siglo XVIII, Leonhard Euler, y el filósofo y enciclopedista francés, Denis Diderot. Antes de una discusión teológica de la que no habría salido muy bien, Euler pidió a Diderot que contestara a una fórmula matemática irrefutable y sin embargo irrelevante: «Señor, (a + b)n/n = X; por tanto, Dios existe. ¡Responda!». Diderot, estupefacto, no supo replicar. (Véase la entrada sobre QED).Raramente se ve a los matemáticos como románticos. Con todo, en 1832 el brillante algebrista francés de veintiún años, évariste Galois, murió en un duelo por una prostituta. Se dice que (como siempre la historia tiene varias versiones) Alfred Nobel, el inventor de la dinamita y fundador del premio que lleva su nombre, había estipulado que no hubiera un premio Nobel de matemáticas para desquitarse del amante de su mujer, Mittag-Leffler, que probablemente lo habría ganado en la época inicial de los premios.No hay una gran abundancia de enemistades personales rencorosas entre matemáticos, y las que hay suelen tener una componente matemática importante. Por ejemplo, los rencores entre los matemáticos alemanes del siglo XIX, Leopold Kronecker y Georg Cantor, fundador éste último de la teoría de conjuntos, giraban en buena parte alrededor de las distintas concepciones del infinito por parte de ambos. Kronecker tenía una idea pitagórica finitista y decía, «Dios hizo los enteros y el resto es obra del hombre». Cantor, por su parte, trató con toda clase de conjuntos y construcciones trascendentes. Los ataques de Kronecker al brillante pero hipersensible Cantor quizá contribuyeran a las depresiones de éste y su posterior internamiento en una institución mental. Existen antagonismos similares, aunque más benignos, entre los matemáticos puros y los aplicados, entre los algebristas y los analistas, y entre los lógicos y los demás matemáticos.Más típico es el folklore matemático consistente en anécdotas de figuras carismáticas recogidas por los propios matemáticos. Luego se cuentan y vuelven a contar como si fueran viejos chistes (y son una de las pocas buenas razones para asistir a los congresos de matemáticos). Se cuenta, por ejemplo, que Kurt Gödel se resistió durante varios años a hacerse ciudadano norteamericano porque había hallado una contradicción lógica en la Constitución.Otro ejemplo típico se refiere a John von Neumann, que era considerado por algunos la persona más inteligente que haya existido jamás. Se le planteó el problema de un pájaro que vuela entre dos trenes que se acercan. El pájaro vuela a 150 kilómetros por hora y los trenes, que inicialmente están a 540 kilómetros de distancia, van uno al encuentro del otro a 80 y 40 kilómetros por hora, respectivamente. La pregunta es ¿qué distancia recorre el pájaro antes de morir aplastado entre los dos trenes? La manera laboriosa de resolver el problema consiste en calcular las longitudes de los sucesivos vuelos entre los trenes antes de que éstos choquen y luego sumar la serie resultante. La manera fácil es darse cuenta de que los trenes chocan al cabo de 4,5 horas (540 kilómetros/120 kilómetros por hora) y, por tanto, el recorrido total del pájaro es 4,5 horas × 150 kilómetros por hora = 675 kilómetros. Cuando Von Neumann soltó 675 casi inmediatamente, quien había planteado el problema se echó a reír y comentó que sin duda Von Neumann sabía el truco, a lo que, según se dice, éste replicó: «¿Qué truco? ¿Hay algo más fácil que sumar la serie?».Muchas historias contemporáneas parecen perpetuar la idea de que los matemáticos son una raza aparte, ya sea de imbéciles pies planos (como el matemático proverbial que dice A, escribe B y quiere decir C cuando la verdadera conclusión es D) o de calculadores brillantes y oscurantistas irrelevantes. En una cita clásica, Arquímedes decía que si le daban un punto de apoyo, una palanca lo suficientemente larga y un lugar donde situarse, podría mover el mundo. La cita sugiere la naturaleza teórica, la fuerza práctica y las aspiraciones trascendentales de la matemática y los matemáticos. La idea matemática expresada en ella, el concepto de proporcionalidad, es fundamental, como lo es también el concepto de recurrencia, que es la idea que se expresa en la siguiente historia. Compárese, no obstante, el antiguo ideal con el más moderno estereotipo siguiente.Un psicólogo pregunta a un ingeniero qué haría si se declarara un pequeño fuego y hubiera un jarro de agua sobre la mesa. El ingeniero responde obedientemente que apagaría las llamas con el agua. A renglón seguido el psicólogo se vuelve hacia un matemático y le pregunta qué haría si se iniciara un pequeño fuego y hubiera un jarro de agua en el alféizar de la ventana. El matemático contesta que trasladando el jarro del alféizar a la mesa se reducía el problema al anterior, cuya solución ya se conocía.23. La fórmula de la ecuación de segundo grado y otras fórmulasLa fórmula de la solución de la ecuación de segundo grado es uno de los primeros teoremas de álgebra que se demuestran en el instituto. Permite resolver fácilmente ciertas ecuaciones y parece definir bastante bien lo que muchas personas creen que es la matemática. Para ellos todo el tinglado consiste simplemente en sustituir números en esas fórmulas o quizás en factorizar polinomios. Aunque desde luego no es así, parece que hay personas a las que el hecho de disponer de una fórmula en la que sustituir datos o un polinomio que factorizar les otorga una cierta sensación de aptitud.Las ecuaciones de segundo grado son ecuaciones, como X2 − 4X − 21 = 0ó 3X2 + 7X − 2 = 0en las que la variable aparece elevada al cuadrado. Son ecuaciones que aparecen a menudo en física, ingeniería y en otras disciplinas. Si, por ejemplo, desde un tejado de 80 metros de altura se tira una piedra hacia arriba con una velocidad de 20 metros por segundo, podría interesarnos saber que la piedra caerá al suelo al cabo de T segundos, siendo T una solución de −5T2 + 20T + 80 = 0 (el 5 es debido al efecto de la gravedad).Representación gráfica de ecuacionesLo que se necesita en tales situaciones es encontrar las raíces de estas ecuaciones, los números que sustituidos en lugar de X (o T) hacen verdaderas las igualdades expresadas por dichas ecuaciones. Las raíces de la primera de las ecuaciones escritas más arriba son −3 y 7; las de la segunda son aproximadamente −2,59 y 0,26; y las de la tercera, −2,47 y 6,47. Hay varias técnicas para encontrar estas raíces (entre las que se cuentan el tanteo, la factorización y tirar piedras desde los tejados), pero ninguna es en general más eficaz que la famosa fórmula de la ecuación de segundo grado: X = [−B ± √(B2 − 4AC)]/2A.(Véase la entrada sobre Números imaginarios y números negativos). La fórmula nos da las dos raíces de AX2 + BX + C = 0 en función de los números A, B y C, que en las tres ecuaciones anteriores son respectivamente iguales a 1,−4 y −21, a 3, 7 y −2, y a −5, 20 y 80. Si se sustituyen estos números en la fórmula, se puede ver (una vez pasada la bruma del esfuerzo de cálculo) que las raíces de cada una de las ecuaciones son iguales a los valores dados más arriba.Con frecuencia, además de estos números que se obtienen al igualar a 0 una expresión cuadrática, nos interesan también los valores de dicha expresión para valores de X arbitrarios. Así, si el coste C de producir X artículos viene dado por 1.000 + 20X + 0,3X2 (1.000 pesetas de coste fijo, 20 pesetas por cada artículo más un término cuadrático, 0,3X2, que empieza siendo pequeño pero que aumenta rápidamente con X y que refleja los costes de almacenamiento y oficina que comportan los grandes inventarios), tendremos que utilizar la función cuadrática C = 1.000 + 20X + 0,3X2 y su gráfica. O si nos interesa la relación entre X2 − 4X − 21 y un número arbitrario Y, tendremos que estudiar la función Y = X2 − 4X − 21 y su gráfica. Un rasgo típico de estas funciones cuadráticas es que sus gráficas tienen forma parabólica. En el segundo caso la gráfica corta al eje de las X donde Y = 0, en −3 y 7.Las secciones cónicasSi examinamos la gráfica de una ecuación cuadrática general de dos variables,AX2 + BXY + CY2 + DX + EY + F = 0encontraremos la versión moderna de las antiguas secciones cónicas de Apolonio. Para distintos valores de los números A, B, C, D, E y F tenemos ecuaciones cuyas gráficas son círculos, elipses, parábolas e hipérbolas. éstas son precisamente las figuras que se forman por intersección de un cono y un plano. Según sea la inclinación del plano con respecto al eje del cono obtendremos una u otra sección cónica.Las gráficas de las funciones de grado superior, como la cúbica (donde la variable está elevada al cubo: Y = 4X3 − 5X2 + 13X − 7) y la cuártica (en la que aparecen cuartas potencias de la variable: Y = 6X4 + 5X − 9), no son tan naturales desde el punto de vista geométrico. Pero podemos encontrar las raíces de estas ecuaciones, como en el caso de las de segundo grado, mediante unas fórmulas, más complicadas, descubiertas por Gerónimo Cardano, Niccolo Tartaglia y otros matemáticos italianos del siglo XVI. Parecería natural, pues, suponer que todas las ecuaciones de grados superiores (de quinto, sexto y hasta de enésimo grado) se pueden resolver del mismo modo.El matemático francés del siglo XIX évariste Galois demostró, sin embargo, que eso no era cierto. No todas las ecuaciones algebraicas pueden resolverse sustituyendo datos en una fórmula consistente en sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias y raíces. Para las ecuaciones de grado superior al cuarto no existen tales fórmulas. Galois atacó el problema por un camino abstracto que no pasaba por el estudio concreto de las raíces de la ecuación (o función polinómica), sino que se basaba en la consideración de unas estructuras consistentes en las distintas permutaciones de las raíces. (Una analogía que no sería demasiado engañosa podría ser el estudio de las familias y sus crisis basado en la investigación de las relaciones entre sus miembros y su dinámica, en vez del examen detallado de cada uno de ellos). Para los matemáticos de la época esas ideas resultaban incomprensibles, pero desde hace ya bastante tiempo las mismas forman parte de los fundamentos del álgebra abstracta y son uno de los lazos entre esta materia y la que se estudia en el instituto.24. FractalesImagine que se encuentra al pie de una montaña sin vegetación. Que la ha subido y bajado y que, según sus estimaciones, la distancia andada es aproximadamente 10 kilómetros. Ahora bien, ¿qué pasaría si un gigante de 60 metros de altura hubiera de recorrer el mismo camino de ida y vuelta a la cumbre? Quizás sólo tendría que andar 5 kilómetros. Al ser tan alto podría saltar directamente algunos obstáculos que usted había tenido que subir y bajar. O, por el contrario, piense en un insecto que se arrastrara por el mismo camino. Quizá recorrería 15 kilómetros, pues tendría que subir y bajar por las piedras y pequeños obstáculos que usted simplemente había saltado.Análogamente, suponga que un pequeño animal del tamaño de una ameba hubiera de culebrear por el mismo camino de ida y vuelta. Quizá recorrería 20 kilómetros, pues tendría que subir y bajar por grietas y protuberancias de las rocas y los guijarros, tan pequeñas que hasta el insecto habría podido saltar. Así pues, llegamos a la conclusión un tanto extraña de que la distancia hasta la cima de la montaña depende en buena medida de quien la recorre. Y otro tanto ocurre con el área de la ladera de la montaña: el animalito del tamaño de una ameba lo encontraría un dominio más espacioso para pasearse que el gigante, que con sus zancadas obvia los pequeños detalles de la superficie. Cuanto mayor es el escalador, más corta es la distancia y menor el área de la ladera. ésta es una característica de los fractales, y la ladera de una montaña es un buen ejemplo de ellos.El tronco de un árbol, por poner otro ejemplo típico de fractal, se ramifica en un número característico de ramas, cada una de las cuales, a su vez, se ramifica en el mismo número de ramas menores, que a su vez se dividen en el mismo número de ramas aún menores, y así hasta llegar al nivel de las ramitas. ¿Qué tiene esto en común con la superficie de una montaña?Antes de pasar a la definición, consideremos una línea costera, un ejemplo más debido al matemático Benoît Mandelbrot, descubridor de la geometría fractal. Una estimación de la longitud de la Costa Este de Estados Unidos desde un satélite, por ejemplo, podría dar unos 4 500 kilómetros, más o menos. Si, por el contrario, nos basáramos en el estudio de mapas detallados que muestren los muchos cabos y golfos que se encuentran a lo largo de la costa, quizá nuestra estimación de su longitud aumentaría hasta los 13.500 kilómetros. Si no tuviéramos nada que hacer en un año y decidiéramos andar desde Maine a Miami manteniéndonos siempre a una distancia máxima de un metro o dos del Atlántico, la distancia que recorreríamos se aproximaría más a los 27.000 kilómetros. Aparte de los cabos y golfos, habríamos de tener en cuenta también los entrantes y salientes que no figuran en los mapas normales. Por último, si pudiéramos convencer a un insecto para que recorriera la costa (quizá nuestro amigo escalador prefiera estar al nivel del mar), dándole instrucciones para que no se separara del agua más de la distancia de un guijarro, quizás encontraríamos que la longitud de la costa es de casi 45.000 kilómetros. La costa es un fractal.Imágenes cada vez más detalladas de la Costa Este de Estados UnidosY también lo es una famosa curva descubierta en 1906 por el matemático sueco Helge von Koch. Koch empezó con un triángulo equilátero y sustituyó cada lado por un segmento con una protuberancia en forma de triángulo equilátero en su tercio central. Repitió este procedimiento una y otra vez y en el límite obtuvo una extraña curva infinitamente ensortijada con forma de copo de nieve.¿Qué es un fractal? Es una curva o una superficie (o también un sólido o un objeto de más dimensiones) que presenta una complejidad mayor, aunque parecida, a medida que lo contemplamos de más cerca. La costa, por ejemplo, tiene una forma dentada característica a cualquier escala que la miremos; esto es, tanto si usamos imágenes de satélite para esbozar toda la costa como si empleamos la información mucho más detallada de una persona que recorra andando una pequeña sección de la misma.La superficie de la montaña presenta aproximadamente el mismo aspecto, tanto si se la mira desde les 60 metros del gigante como desde la altura del insecto.\nAmpliación de un estadio avanzado de la curva copo de nieve de KochLa ramificación del árbol tiene la misma apariencia para nosotros que para los pájaros o incluso para los gusanos y los hongos en el caso límite ideal de ramificación infinita. Igual que ocurre con la curva de Koch.Por otra parte, como ha señalado también Mandelbrot, las nubes no son circulares ni elípticas, la corteza de un árbol no es suave, el relámpago no sigue una línea recta, y los copos de nieve no son hexagonales (aunque tampoco se parecen a las curvas de Koch). Antes bien, estas formas y muchas otras que se dan en la naturaleza son casi fractales y presentan unos entrantes, salientes, abolladuras, mellas y zigzags característicos a casi cualquier escala. A más ampliación se observan unas convoluciones semejantes y cada vez más complejas.Incluso hay una manera natural de asignar una dimensión fractal a esas figuras. Los fractales que se emplean en los modelos de costas tienen dimensiones comprendidas entre 1 y 2 (más que una recta y menos que un plano), mientras que los que sirven para hacer modelos del relieve tienen dimensiones entre 2 y 3 (más que un plano y menos que un sólido). Las fotografías de la NASA indican que la dimensión fractal de la superficie terrestre es 2,1, mientras que la de Marte, con una topografía más rugosa y más «lanuda», es 2,4. El término «fractal», acuñado por Mandelbrot en 1975, es una expresión apropiada para esas figuras fragmentadas, fracturadas y autosemejantes de dimensión fraccionaria.Ampliación de parte de un fractal debido a Benoît MandelbrotAdemás de ser de gran ayuda en infografía, donde se usan para producir paisajes y formas naturales verosímiles, los fractales surgen frecuentemente al analizar una estructura fina: de la superficie de los electrodos de una pila, del interior esponjoso de los intestinos y del tejido del pulmón, de la variación temporal de los precios de una determinada mercancía o en la difusión de un líquido a través de una arcilla semiporosa. Con su bella e intrincada complejidad a todos los niveles y escalas de ampliación, los fractales juegan un papel cada vez más importante en la teoría del caos (véase la entrada sobre La teoría del caos), donde se emplean para describir el conjunto de posibles trayectorias de un sistema dinámico. Su grotesca elegancia es también patente en contextos puramente matemáticos. Una ecuación dada, por ejemplo, divide el plano en varias regiones, según la raíz a la que converja el método de Newton aplicado a cada uno de sus puntos. Las fronteras que separan estas regiones son fractales asombrosamente complejos.Puede que algún día los novelistas descubran que un análogo de los fractales en el «espacio psíquico» puede servir para captar la estructura fracturada aunque coherente de la consciencia humana, cuyo foco de interés puede pasar casi instantáneamente de las trivialidades de un instante a las verdades eternas del siguiente, conservándose la misma persona en los distintos niveles. (Véase la entrada sobre La conciencia humana y su naturaleza fractal). En este sentido, las transcripciones literales de las conversaciones ordinarias son muy reveladoras. Las paradas, los arranques, las elipsis, la rara sintaxis, las referencias vagas, las disgresiones sin motivo y los repentinos cambios de dirección no tienen nada en común con la aséptica versión «lineal» que normalmente sale de la imprenta. Quizás haya algún modo de que los conceptos anteriores sean útiles también en psicología cognitiva. La dificultad de una disciplina, por ejemplo, se podría tomar como un fractal, de modo que los más brillantes y/o capaces pudieran superar con grandes zancadas cognitivas las pequeñas dificultades que otros, menos dotados, han de escalar pacientemente.25. FuncionesEl concepto de función es muy importante en matemáticas, pues representa de una manera formal la idea de poner en correspondencia una cantidad con otra. El mundo está lleno de cosas que dependen de, son función de o están asociadas a otras cosas (de hecho, se podría argumentar que el mundo consiste sólo en tales relaciones), y nos enfrentamos al problema de establecer una notación útil para esta dependencia matemática. Los siguientes ejemplos sirven para ilustrar una notación corriente. Las gráficas y las tablas nos proporcionan otras maneras de indicar estas relaciones. (Véase la entrada sobre Geometría analítica).Consideremos un pequeño taller que se dedica a fabricar sillas. Sus costes son 80.000 ptas. (para gastos de equipo, pongamos por caso) y 3.000 ptas. por silla fabricada. Así, la relación entre el coste total, T, y el número de sillas fabricadas, X, viene dada por la fórmula T = 3.000 X + 80.000. Si queremos recalcar que T depende de X, decimos que T es función de X y denotamos simbólicamente esta asociación por T = f(X). Si se fabrican 10 sillas, el coste es 110.000 ptas.; si se fabrican 22, el coste sube hasta 146 000 ptas. La función f es la regla que asocia 110.000 a 10 y 146.000 a 22, lo cual se indica escribiendo f(10) = 110.000 y f(22) = 146.000. ¿Cuánto es f(37)?La temperatura Celsius C se puede obtener a partir de la temperatura Fahrenheit F restando 32 a ésta y multiplicando la diferencia por 5/9. En forma de ecuación tenemos C = 5/9 (F − 32). Así, unos fríos 41° Fahrenheit se convierten en unos igualmente fríos 5° Celsius, mientras que unos suaves 86° Fahrenheit se traducen en otros igualmente suaves 30° Centígrados. Si sustituimos la temperatura Fahrenheit en esta fórmula podemos encontrar siempre la temperatura Celsius correspondiente. Como antes, si lo que queremos es recalcar que C depende de F, diremos que C es función de F y denotaremos esta relación por C = h(F). (Las gráficas de esta función y la anterior son líneas rectas). La función h es la regla que asocia 5 a 41 y 30 a 86, y esta correspondencia se expresa simbólicamente escribiendo h(41) = 5 y h(86) = 30. ¿Cuánto es h(59)?O imagine que usted es un usurero que presta 100 ptas. a alguien y le dice que la cantidad que le adeuda aumentará en un 50% cada semana. Revisando las cuentas con sus socios, usted entiende que la cantidad, D, que le debe su amigo al cabo de N semanas es igual a 100 × (1,5)N; esto es, D = 100(1,5)N. Está claro que D es función de N, cosa que indicamos por D = g(N) (o mediante la gráfica de la función, una curva que crece exponencialmente). Está claro que g(1) = 150, g(2) = 225 y g(3) = 337,50. (Si usted es benévolo y sólo añade los intereses a intervalos semanales, la gráfica consistirá en una sucesión de escalones crecientes exponencialmente).O considere el siguiente ejemplo extraído de la física. Desde un tejado de 80 metros de altura sobre el suelo, se lanza una bola verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20 metros por segundo. Confíe en la palabra de Newton y acepte que la altura A de la bola sobre el nivel del suelo viene dada por la fórmula A = −5T2 + 20T + 80, donde T es el número de segundos transcurridos desde el instante en que se lanzó la bola. Como la altura depende del tiempo, A es función de T y se escribe A = s(T). Si sustituimos T = 0 en la fórmula, confirmamos que en el instante inicial A = 80.Dos segundos más tarde, T = 2, encontramos por sustitución en la misma fórmula que A =100. Por tanto s(0) = 80 y s(2) = 100. ¿Cuánto es s(5)? ¿Por qué es menor que s(2)?Las funciones h, g y s anteriores son funciones lineal, exponencial y cuadrática, respectivamente, mientras que p(X) = 3tg (2X) y r(X) = 7X5 − 4X3 + 2X2 + 11 se llaman, respectivamente, trigonométrica y polinómica.Aunque las funciones no siempre están definidas por fórmulas y ecuaciones, ni tienen por qué indicar necesariamente relaciones entre números. Por ejemplo, si m(Elena) = rojo, m(Rebeca) = amarillo, m(Marta) = moreno, m(Jorge) = negro, m(Dorita) = dorado y m(Pedro) no está definido, no es difícil adivinar que m es la regla que a cada persona le asigna el color de su cabello y que Pedro es calvo. Así pues, m(X) denota simplemente el color de cabello de X. Análogamente, p(X) se podría definir como el autor de X y q(X) podría ser la capital de estado más próxima a X. En tal caso, p(Guerra y paz) = Tolstoi y q (Filadelfia) = Trenton, N. J.En los ejemplos expuestos, el número de sillas fabricadas, la temperatura Fahrenheit, el número de semanas hasta que se salda la deuda, el número de segundos transcurridos desde que se lanza la bola y el nombre de la persona son lo que se llama la variable independiente. El coste total, la temperatura Celsius, la cantidad adeudada, la altura de la bola y el color del cabello de la persona son lo que se llama la variable dependiente. Una vez se ha fijado el valor de la variable independiente, el de la variable dependiente queda totalmente determinado y se dice que ésta es función de aquélla.Cuando tenemos cantidades que dependen de más de una cantidad —esto es, cuando tratamos con funciones de más de una variable — se usan variantes de la misma notación. Si por ejemplo Z = X2 +Y2, entonces cuando X = 2 e Y = 3 tenemos Z = 13, y si queremos resaltar la dependencia de Z con respecto a X e Y, escribimos Z = f(X, Y) y 13 = f(2, 3).La notación de la dependencia funcional es como una contabilidad, pero una contabilidad imprescindible. Nos permite expresar relaciones en forma abreviada. Gracias a ella podemos disponer fácilmente de una buena parte de la flexibilidady potencia del análisis matemático.[Respuestas a las preguntas: f(37) = 191.000; h(59) = 15; s(5) = 55 y s(2) = 100; en T = 2 la bola está subiendo y en T = 5, bajando].26. Geometría analíticaComo sucede con muchos descubrimientos fundamentales, la idea que llevó a la geometría analítica es, vista retrospectivamente, simple y evidente para todo el mundo, y en especial para los taxistas. En el lenguaje de los taxistas, esta idea se puede expresar así: a cada cruce le corresponde una calle y una avenida, y a cada pareja formada por una calle y una avenida le corresponde un cruce. En una formulación más matemática se dice que a cada punto le corresponde un par ordenado de números y a cada par ordenado de números le corresponde un punto.Inventada independientemente por el filósofo y matemático francés René Descartes y su compatriota, el abogado Pierre Fermat, a principios del siglo XVII, la geometría analítica relaciona el álgebra y la geometría por medio de las correspondencias anteriores. El punto (3, 8), por ejemplo, es el punto que se encuentra 3 unidades a la derecha y 8 unidades por encima de un punto fijo que se llama origen. Los números 3 y 8 se llaman respectivamente coordenada X y coordenada Y del punto, e indican un punto distinto del designado por los números (8, 3), cuya posición está 8 unidades a la derecha del origen y 3 unidades por encima. Las coordenadas del origen son, como parece bastante natural, (0, 0). Para el taxista es muy clara la importancia del orden de los números, pues no es lo mismo (3, 8), Tercera Avenida y Calle 8, que (8, 3), Octava Avenida y Calle 3. La intersección de la primera avenida en dirección norte-sur (o eje Y en términos matemáticos) con la primera calle en dirección este-oeste (o eje X) se toma como punto de referencia del taxista u origen.Aunque se trata de puntos completamente distintos, tanto (3, 8) como (8, 3) están a la derecha (al este) y por encima (al norte) del origen. Por convenio, los puntos que están a la izquierda (al oeste) o por debajo (al sur) del origen se representan por coordenadas negativas. Así, un punto 5 unidades a la izquierda y 11 unidades por encima del origen tiene coordenadas (−5, 11), otro 5 unidades a la izquierda y 11 unidades por debajo tiene coordenadas (−5, −11) y uno que esté 5 unidades a la derecha y 11 unidades por debajo, (5, −11). (No se ha de tomar Nueva York como modelo pues allí la numeración de las avenidas aumenta según se va hacia el oeste).Bueno, ¿y qué? Si la geometría analítica sólo consistiera en esto, las universidades aprobarían automáticamente la asignatura a los taxistas que se matricularan en ellas. Pues bien, después de asociar puntos a pares ordenados de números, Descartes y Fermat observaron además, y esto es crucial, que las ecuaciones algebraicas se correspondían con figuras geométricas. Por poner un ejemplo sencillo, notamos que el conjunto de puntos cuyas coordenadas X e Y satisfacen la ecuación Y = X forman una línea recta. Esto es, los puntos (1, 1), (2, 2), (3, 3), etc. (que satisfacen la ecuación Y = X) están sobre una recta que forma un ángulo de 45° con el eje X. Análogamente, los cruces de la Calle 1 y la Primera Avenida, la Calle 2 y la Segunda Avenida, la Calle 3 y la Tercera Avenida, etc., están sobre una recta (o paseo diagonal) que forma un ángulo de 45° con la primera calle este-oeste de referencia.La gráfica de la ecuación Y = 2X se determina de un modo parecido, y es una recta que forma un ángulo mayor con el eje X Como los puntos (1, 2), (2, 4), (3, 6) satisfacen la ecuación (cada uno cumple que si se sustituye X por la coordenada X e Y por la coordenada Y, resulta una igualdad), las intersecciones de la Primera Avenida y la Calle 2, la Segunda Avenida y la Calle 4, la Tercera Avenida y la Calle 6, etc., caen sobre esa línea. Por supuesto, no hace falta que nos limitemos a los números enteros; (1,8, 3,6) también cae sobre dicha línea, igual que (2,7, 5,4), aunque ninguno de estos números corresponde a una intersección de calles y avenidas. Análogamente, la ecuación Y = 2X + 3 tiene una gráfica que pasa por los puntos (0, 3), (1, 5), (2, 7), (3,1, 9,2), etc. Representando gráficamente dos ecuaciones con el mismo par de ejes coordenados, podemos encontrar donde se cortan. Este punto es lo que se llama solución simultánea de las dos ecuaciones, si bien, como la matemática es atemporal, sería más apropiado hablar de solución «homolocal».Recta, parábola y elipseEcuaciones más complicadas dan lugar a curvas más interesantes (cuyos puntos siempre se pueden determinar encontrando pares ordenados de números que satisfagan la ecuación en cuestión). La gráfica de la ecuación Y = X2 es una curva denominada parábola, la de X2 + Y2 = 9 es una circunferencia, y la de 4X2 + 9Y2 = 36, una elipse. Por medio de estas técnicas que desarrollan esta aproximación algebraico-geométrica, los problemas de geometría se pueden reformular en términos algebraicos y, a la vez, se puede dar una interpretación geométrica a las relaciones algebraicas. La unificación resultante sirvió de marco para el desarrollo posterior del cálculo, en el siglo XVII, y dio lugar a una especie de lengua franca vigente aún hoy en día. (Vigente aún, podría añadir, incluso entre los taxistas de Nueva York, ya hablen persa, español, griego, hebreo o ruso. El origen de este símil de taxistas se remonta a una experiencia que viví cuando conducía un taxi siendo estudiante graduado en la Universidad de Wisconsin, en Madison. El encargado insistía en emplear la hora militar y las coordenadas matemáticas para guiar hacia sus destinos a los conductores neófitos, muchos de los cuales eran forasteros. El problema era que Madison es una ciudad emparedada entre cuatro lagos y no hay ningún sistema de coordenadas rectangulares, sino solamente diagonales curvilíneas cortando entre este lago y aquella península. Los conductores solían perderse hasta que llegó otro encargado, desconocedor de la geometría analítica, que les dirigía de un modo más convencional, mediante semáforos, almacenes y gasolineras).ParaboloideLa generalización a tres dimensiones es inmediata. Así como cualquier punto del plano se puede pensar como un par ordenado de números, cualquier punto del espacio se puede pensar como una tema ordenada de números. El punto (4, 7, 5), por ejemplo, está 4 unidades al este, 7 unidades al norte y 5 unidades por encima de un cierto punto de referencia que tiene coordenadas (0, 0, 0); las coordenadas indican simplemente las distancias sobre los tres ejes X, Y y Z, respectivamente (en vez de sólo dos como en el plano). Volviendo a nuestra perspectiva de taxista, podemos imaginar que (4, 7, 5) está en el quinto piso de un edificio que hay en el cruce de la Cuarta Avenida con la Calle 7, mientras que (4, 7,-1) está en el sótano de este mismo edificio. Los puntos que satisfacen ecuaciones de tres variables describen superficies en el espacio en lugar de curvas en el plano. La gráfica de Z = X2 + Y2, por ejemplo, es un paraboloide, que tiene una forma parecida a una taza de café redondeada y sin asa, mientras que la gráfica de X2 + Y2 + Z2 = 25es una esfera.Hay generalizaciones para espacios de más dimensiones, y la idea de asignar números a cada una de las varias dimensiones de una entidad es algo archirrepetido en muchos contextos ajenos a la matemática. Así, el «vector» (4, 7, −1, 14) podría indicar el ya citado sótano del edificio de la Cuarta Avenida y la Calle 7 a las 2 de la tarde (14 horas), mientras que (4, 10, 9, 16) indicaría el 9.º piso de un edificio 3 manzanas más al norte y 2 horas después.Al igual que nuestro sistema de numeración indo-arábigo, la geometría analítica y sus retoños son algo aparentemente tan natural, y por ello tan aceptado de antemano, que hay que hacer un auténtico esfuerzo para recordar que son inventos humanos y no aspectos innatos de nuestra naturaleza conceptual o biológica. (El gran filósofo alemán Immanuel Kant quizá no estaría de acuerdo con esta última observación, pero como todavía no hemos llegado a la geometría no euclídea, no vamos a prestarle atención por el momento).\n27. Geometría no euclídeaEn la confusión de propiedades relativas a los triángulos y paralelogramos, semejanza y congruencia, áreas y perímetros, se olvida a veces el carácter deductivo de la geometría. Muchas de esas propiedades fueron descubiertas por los egipcios y los antiguos babilonios a partir de rutinas prácticas de la agrimensura, el comercio y la arquitectura. Los griegos demostraron que todas podían deducirse a partir de unas pocas de ellas. Es fácil formular la idea fundamental. Se escogen algunas suposiciones geométricas «evidentes» que se llaman axiomas y a partir de ellas se deducen, con la única ayuda de la lógica, toda una serie de enunciados geométricos que se llaman teoremas. En su tratamiento del tema, Euclides escogió cinco axiomas (en realidad son diez, pero sólo cinco de ellos eran geométricos) y dedujo el bello y prestigioso cuerpo de teoremas que se conoce como geometría euclídea. (Véase la entrada acerca del Teorema de Pitágoras).Uno de los cinco axiomas de Euclides es el conocido como postulado de las paralelas. Decía (y sigue diciendo) que por un punto exterior a una recta dada se puede trazar una recta paralela a la dada, y sólo una. Una conocida consecuencia del postulado de las paralelas es el teorema que dice que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es siempre 180°.La suma de los ángulos de un triángulo es 180°. Por P pasa una recta paralela a I, y una solaComo no parecía tan intuitivo como los otros cuatro axiomas, a lo largo de la historia los matemáticos han tratado esporádicamente de deducirlo a partir de ellos. Se inventaron todos los métodos que uno pueda imaginar pero nunca dieron con una demostración. Este fracaso, unido a la naturalidad de los otros axiomas, parecía conferir a la geometría euclídea un cierto carácter absoluto. A lo largo de un par de milenios reinó como un monumento al sentido común y la verdad eterna. Immanuel Kant llegó a decir incluso que la gente sólo podía pensar el espacio en términos euclídeos. Por fin, en el siglo XIX los matemáticos János Bolyai, Nikolái Lobachevski y Karl Friedrich Gauss se dieron cuenta de que el quinto postulado de Euclides es independiente de los otros cuatro y no se puede deducir de ellos. Es más, comprendieron que se puede sustituir el quinto postulado por su contrario y tener también un sistema geométrico consistente.Para ver esto, obsérvese que es perfectamente posible interpretar los términos fundamentales de la geometría de un modo completamente distinto sin salirse, no obstante, de los límites de la lógica más estricta. Exactamente igual que «todos los A son B y C es un A, luego C es un B» nos sirve de justificación para los argumentos más dispares, según sean las interpretaciones de A, B y C, también los términos de la geometría euclídea se pueden interpretar de un modo nada convencional sin dejar de llevamos a teoremas válidos. No hay ninguna «línea recta» paralela a la «línea recta» I que pase por P. En esta interpretación se cumplen todos los demás axiomas de Euclides.Por ejemplo, en vez de las interpretaciones habituales podemos llamar «plano» a la superficie de una esfera, «punto» a un punto sobre una esfera y «línea recta» a los círculos máximos de la esfera (cualquier arco de circunferencia alrededor de la esfera que la divide en dos mitades). Si adoptamos estos significados, la «línea recta» sigue siendo el camino más corto entre dos puntos (sobre la superficie de la esfera) y tenemos una interpretación de la geometría que cumple todos los axiomas de Euclides excepto el postulado de las paralelas. También se cumplen todos los teoremas deducibles a partir de estos cuatro axiomas.Los «segmentos de recta» que unen Kenia, Ecuador y el Polo Norte forman un «triángulo» cuyos ángulos suman más de 180°Comprobando los axiomas, observamos que por dos «puntos» cualesquiera pasa una «línea recta», pues dados dos puntos cualesquiera sobre la superficie de una esfera hay un círculo máximo que pasa por ellos. (Nótese que el círculo máximo que pasa por Los Angeles y Jerusalén cruza por Groenlandia y es la distancia más corta entre ambas ciudades). Dado un «punto» y una distancia cualesquiera, hay un «círculo» sobre la superficie de la esfera con centro en ese punto y cuyo radio es esa distancia (que no es más que un círculo normal sobre la superficie de la esfera). Y también, dos «ángulos rectos» cualesquiera son iguales, y cualquier «segmento de recta» (un pedazo de círculo máximo) se puede prolongar indefinidamente.Sin embargo, el axioma de las paralelas no es válido en esta interpretación particular de los términos, pues dada una «línea recta» y un punto exterior a ella, no hay ninguna «línea recta» paralela a la dada que pase por dicho punto. A modo de ejemplo, tomemos el ecuador como la «línea recta» y la Casa Blanca en Washington como «punto» exterior a la misma. Cualquier «línea recta» que pase por la Casa Blanca será un círculo máximo que divida la Tierra en dos mitades y, por tanto, cortará necesariamente el ecuador, con lo que no podrá serle paralela. Otra anomalía de esta interpretación es que la suma de los ángulos de un triángulo es siempre mayor que 180°. Para demostrarlo, podemos sumar los ángulos del «triángulo» formado por la parte del ecuador comprendida entre Kenia y Ecuador y los «segmentos de recta» que unen «puntos» de estos países con el Polo Norte. El triángulo esférico así formado tiene dos ángulos rectos en el ecuador.Hay otras interpretaciones no estándar de los términos «punto», «recta» y «distancia» en los que son válidos los cuatro primeros axiomas de la geometría euclídea y el postulado de las paralelas es falso, aunque por otro motivo: por un punto exterior a una recta dada hay más de una paralela. En estos modelos (que podrían consistir, por ejemplo, en superficies en forma de silla de montar) la suma de los ángulos de un triángulo es menor que 180°. El matemático alemán Bernhard Riemann concibió superficies más generales todavía y geometrías en las que el concepto de distancia varía de un punto a otro de un modo parecido a como le ocurre a un viajero que se mueve por un terreno muy irregular y accidentado.Cualquier modelo que, por la razón que sea, no cumpla el postulado de las paralelas se dice que es un modelo de geometría no euclídea. Cada una de las geometrías presentadas es un conjunto consistente de proposiciones (exactamente igual que las constituciones de distintas naciones son diferentes conjuntos de leyes consistentes entre sí).\nSi en esta superficie en forma de silla de montar interpretamos «línea recta» como la distancia más corta entre dos puntos, son válidos todos los axiomas de la geometría euclídea excepto el postulado de las paralelas. Por P pasa más de una paralela a ICuál de ellas es la verdadera en el mundo real es una cuestión que depende de qué significado físico demos a los términos «punto» y «recta», y se trata de una cuestión empírica que se ha de dilucidar mediante la observación y no por proclamas de salón. Los ángulos de un triángulo sobre esta superficie suman menos de 180°Localmente al menos, el espacio parece tan euclídeo como un campo de maíz de Iowa, pero como ya han descubierto los partidarios de la tierra plana de cualquier parte del mundo, es peligroso extrapolar demasiado lejos la propia estrechez de miras. Si tomamos la trayectoria de un rayo de luz como interpretación de línea recta, obtenemos una geometría física no euclídea.Para terminar, me gusta pensar en el descubrimiento de la geometría no euclídea como una especie de chiste matemático —chiste que Kant no entendió—. Muchos acertijos y chistes son de la forma «¿Qué tiene esta propiedad, aquélla y la de más allá?». Al oírlos, la respuesta que se le ocurre a uno inmediatamente es completamente distinta de la interpretación inesperada de las condiciones que constituye la esencia del chiste. Así ocurre con la geometría no euclídea. En vez de «¿Qué es negro, blanco y rojo por todas partes?» tenemos «¿Qué cumple los primeros cuatro axiomas de Euclides?». La nueva esencia de este chiste nos la dieron Bolyai, Lobachevski y Gauss: grandes humoristas del Club Universo.28. Gödel y su teoremaEl lógico matemático Kurt Gödel fue uno de los gigantes intelectuales del siglo XX y, en el supuesto de que la especie se conserve, probablemente será una de las pocas figuras contemporáneas recordadas dentro de 1.000 años. Y aunque recientemente se hayan publicado algunos libros sobre él, esta opinión no es consecuencia de una campaña de promoción ni de una moda incipiente (aunque resulte infinitesimalmente más aceptable por el parecido entre las palabras «God», «Gödel» y «Godot»). Tampoco se trata de un caso de autocomplacencia por parte de los matemáticos, a pesar de que en todas las disciplinas sea corriente alentar una cierta miopía profesional. Sencillamente es verdad.¿Quién fue Kurt Gödel? Su perfil biográfico no es nada complicado. Nació en 1906 en Brünn (en la actual Checoslovaquia), fue a la Universidad de Viena en 1924, donde permaneció hasta que en 1939 emigró a Estados Unidos. Vivió en Princeton, Nueva Jersey, y trabajó en el Instituto de Estudios Avanzados hasta su muerte. Durante los años treinta y principios de los cuarenta, descubrió unos resultados de lógica matemática que revolucionaron esa rama del saber. Su investigación también iluminó importantes áreas afines en la matemática, la informática y la filosofía.El resultado más famoso, el llamado primer teorema de incompletitud, demuestra que cualquier sistema matemático formal que contenga un mínimo de aritmética es incompleto: siempre habrá enunciados que no serán demostrables ni refutables dentro del sistema, independientemente de lo elaborado que sea éste. Nadie podrá nunca escribir una lista de axiomas y pretender con razón que toda la matemática se deduce de ellos (tanto si esos axiomas ocupan todo un fajo de papel, como si ocupan una biblioteca entera de un millón de libros, o un trillón de chips de silicio para el que hubiera hecho falta toda la arena del Sahara). Haciendo una distinción rigurosa entre los enunciados del sistema y los metaenunciados acerca del sistema, empleando ingeniosas definiciones recurrentes y asignando códigos numéricos a los enunciados de la aritmética, Gödel pudo construir un enunciado aritmético que «dice» de sí mismo que es indemostrable y con él establecer su teorema. (No me extrañaría que Boris Pasternak tuviera en mente el teorema de Gödel cuando escribió: «Lo que está asentado, clasificado y demostrado nunca será suficiente para abarcar toda la verdad»).Una demostración alternativa del teorema, debida al informático norteamericano Gregory Chaitin, emplea conceptos de la teoría de la complejidad (véase la entrada sobre La complejidad). En este caso, la proposición aritmética indemostrable «dice», por medio de un código numérico, que cierta sucesión aleatoria de bits tiene una complejidad mayor que la del sistema formal dado. Por consideraciones en el metanivel del sistema, se sabe que este hecho es verdadero, pero para que la proposición sea demostrable en el sistema, éste tendría que producir una sucesión de bits que tuviera una complejidad mayor que la suya propia. Y, por la definición de complejidad, esto es imposible.Todo ello guarda relación con la llamada paradoja de Berry. Dice así: «Encontrar el menor número entero tal que para definirlo haga falta un número mayor de palabras que las que componen esta frase». Algunos ejemplos como el número de mis cabellos, el número de configuraciones posibles del cubo de Rubik o la velocidad de la luz en milímetros por siglo definen cada una de ellas un número entero concreto con menos palabras que la frase dada. El carácter paradójico de la frase de Berry se manifiesta cuando uno se percata de que ella misma define un número entero particular que, por definición, se especifica con demasiado pocas palabras. Aunque las dos demostraciones del teorema de Gödel aprovechan conocidas paradojas, la paradoja del mentiroso, en el caso de la demostración estándar, y la de Berry en la demostración de Chaitin, la teoría de la incompletitud no es en ella misma una paradoja en absoluto. Aunque parezca extraño, se trata de matemática legítima y sin problemas.Debería mencionarse también que, a pesar de los arduos esfuerzos por demostrar lo contrario, el teorema no señala ninguna división fundamental entre cerebros y máquinas. Ambos están sujetos a limitaciones y condicionantes que, al menos en principio, son muy similares. A una máquina podemos incluso darle la capacidad de «mirarse desde fuera», formalizando su metalenguaje y, si hace falta, su metametalenguaje.Los otros resultados fundamentales de Gödel tratan, entre otras cosas, del intuicionismo, la demostrabilidad y la consistencia de la matemática, y las funciones recurrentes. Más tarde, trabajó también en cosmología. Usando muchas de las ideas y elaboraciones de su primer teorema, su segundo teorema de incompletitud establece que ningún sistema matemático razonable puede demostrar su propia consistencia. Lo único que podemos hacer es suponérsela; no podemos demostrarla sin recurrir a hipótesis más fuertes que la de la propia consistencia.Gödel tuvo una vida personal ascética, y las únicas evidencias externas de sus emociones o su personalidad son su largo matrimonio y sus periódicas depresiones, por las que tuvo que ser hospitalizado en varias ocasiones. En su juventud era algo menos solitario y se relacionó periféricamente con el Círculo de Viena, aunque no simpatizara con su positivismo. Pero, aparte de eso y su posterior amistad con Einstein en Princeton, tuvo pocos contactos sociales con sus contemporáneos. Sus relaciones con otros matemáticos se limitaban ante todo a los artículos, correspondencia y conversaciones telefónicas. Gödel nunca poseyó el compromiso apasionado de Bertrand Russell ni el fuerte sentido del humor de Einstein.Tuvo, no obstante, otros focos de interés intelectual. Su trabajo le llevó a la convicción de que los números existían en algún dominio independiente del hombre, y que la explicación del espíritu no podía ser mecanicista, pues estaba separado de la materia y no podía reducirse a ella. Procedente de un ambiente luterano, Gödel no fue religioso en un sentido convencional, pero siempre mantuvo su teísmo y sostenía la posibilidad de una teología racional. Llegó a intentar la construcción de una variante del argumento ontológico medieval, según el cual la existencia de Dios es en cierto modo una consecuencia de nuestra capacidad de conceptualizarlo. Fue verdaderamente un gran lógico y tuvo que conocer momentos de intensa alegría intelectual. Sin embargo, un sensualista ordinario como yo no puede dejar de desear que hubiera sido un poquito más feliz en un sentido visceral: una salud mejor, un hijo, una aventura sentimental, algo físico.Gödel murió en Princeton el 14 de enero de 1978, según el certificado de defunción, de «malnutrición e inanición» ocasionadas por «trastornos personales».29. Grupos y álgebra abstractaEl álgebra abstracta y la geometría moderna (véase la entrada sobre Geometría no euclídea) fueron productos del siglo XIX y ambas contribuyeron a cambiar nuestra idea de la naturaleza de la matemática. La matemática dejó de ser concebida como algo relacionado exclusivamente con verdades externas a ella y se la empezó a aceptar simplemente como un modo de deducir las consecuencias que se derivan de varios conjuntos de axiomas. Como dijo Bertrand Russell: «La matemática pura consiste únicamente en afirmaciones tales como, si de algo se puede decir tal cosa y tal otra, entonces para este algo se cumple esto y aquello». Uno de los «algos» más importantes del álgebra abstracta es un grupo.No se trata de una cuadrilla de matemáticos con instintos gregarios. Un grupo matemático es un tipo importante de estructura algebraica abstracta. Como los grupos son abstractos, presentaré algunos ejemplos antes de dar su definición. Consideremos primero el conjunto de los números enteros, los positivos, los negativos y el cero, y la operación de la suma. Fijémonos en algunas cosas que a primera vista pueden parecer triviales: la suma de dos números cualesquiera es otro número; vale la igualdad (3 + 9) + 11 = 3 + (9 + 11) y, en general, el resultado de varias sumas seguidas no depende de cómo las asociemos; existe un número, el 0, tal que, para cualquier número X, X + 0 = X; para cualquier número X, existe otro número que sumado a él da 0: 6 + (−6) = 0, (−118) + 118 = 0, etc.O consideremos los doce objetos 0, 1, 2, …, 10 y 11, y la operación que consiste en tomar la suma de los números si ésta es menor o igual que 11 o, en caso contrario, tomar el resto de dividir dicha suma por 12 (la operación se suele llamar suma módulo 12). Así 8 + 7 = 3, y (6 + 5) + 9 = 8. Es fácil comprobar que las tres primeras propiedades citadas más arriba también son válidas para este conjunto de objetos y esta operación. La cuarta propiedad también se cumple aunque no es tan evidente. ¿Qué hay que sumar a 7 para que dé 0? No hay un −7, pero sí hay un 5 y 7 + 5 = 0. Puede comprobarse que, para cada objeto, hay un «inverso» que, sumado a él, da 0.Sin dejar los números, considérense los cuatro objetos 1, 2, 3 y 4, pero esta vez la operación será como el producto, excepto que si el producto es mayor que 4, lo sustituiremos por el resto de dividir por 5 (multiplicación módulo 5). Así, 4 × 3 = 2. Como en los dos casos anteriores valen también las cuatro propiedades. El producto de dos objetos es otro objeto; vale la igualdad (3 × 2) × 4 = 3 × (2 × 4) y en general el resultado global no depende de cómo asociemos los productos; hay un objeto, el 1 en este caso, tal que 1 × X = X cualquiera que sea X; para cada objeto X existe otro objeto que al multiplicarlo por X da 1. Para 2 es 3, pues 2 × 3 = 1, mientras que para 4 es él mismo, pues 4 × 4 = 1.Los tres conjuntos anteriores con sus respectivas operaciones son grupos, pero retrasaré un poco más la definición general para mostrar que los grupos no tienen por qué estar formados por números o por objetos numéricos. Los elementos del próximo grupo son permutaciones (o reordenaciones) de tres objetos que, con un alarde de imaginación, llamaré A, B y C. Siguiendo con las notaciones imaginativas, denotaré la primera permutación por P1. No permuta nada, sino que deja A, B y C en el lugar en que estaban. P1 se llama permutación «identidad» y juega un papel similar al que tenían el 0, el 0 y el 1 en los ejemplos anteriores, los elementos identidad de sus respectivos grupos. La siguiente permutación, P2, cambia A y B, pero deja C en su lugar. P3 cambia B y C, y deja A inmóvil, mientras que P4 cambia A y C dejando B en su lugar. P5 pone A, B y C en el orden C, A y B, mientras que P6 permuta A, B y C y los deja como B, C y A. Además, estas P actúan sobre cualquier ordenación de A, B y C a la que las apliquemos, de modo que, por ejemplo, el efecto de P4 sobre B, A, C es la nueva ordenación C, A, B, resultante de intercambiar los elementos de las posiciones primera y tercera.Para comprobar la validez de las cuatro propiedades necesitamos una operación definida en este conjunto de permutaciones P1, P2, … y P6. La operación será la «aplicación sucesiva»: se aplica una permutación al resultado de la otra y se obtiene una tercera permutación «producto» de las dos dadas. ¿Cuál sería, por ejemplo, el producto P2 x P3? Para determinarlo, sigamos los movimientos de A al realizar el producto. Como P2 intercambia A y B, A irá a parar a la posición de B después de la primera permutación. Luego P3 intercambia las posiciones de B y C, dejando A en el lugar de C. Sigamos a continuación la pista de B. Primero P2 la deja en el lugar de A, y P3 no la mueve de ahí por cuanto sólo intercambia las posiciones de B y C. En cuanto a C, P2 no la toca y luego P3 la pone en el lugar de B. Así pues, P2 x P3 reordena A, B y C como B, C y A, que es el mismo efecto de aplicar P6. Por tanto, P2 x P3 = P6.Quizá quiera comprobar algunos productos más de este artificio matemático. (O quizá tampoco quiera por esta vez). Por ejemplo, P2 x P2 = P1, o P4 x P6 = P2. De lo que se trata es de no abrumarle con el cálculo (hay artilugios de notación que nos pueden servir para ello) pero demostrarle que estas seis permutaciones con la operación de la aplicación sucesiva, satisfacen las cuatro propiedades anteriores: el producto de dos permutaciones cualesquiera es otra permutación; el resultado final de varios productos no se ve afectado por el orden en que los realicemos, como en Pi *x (Pj x Pk) = (Pi x Pj) x Pk; hay una permutación, P1, tal que P1 x Pi = Pi, para cualquier permutación Pi; y para cualquier permutación Pi, existe otra permutación Pj tal que Pi x Pj = P1.Las permutaciones de A, B y C se pueden interpretar como las reflexiones y rotaciones de un triángulo y la operación * como la realización sucesiva de dichos movimientosComo ya debía esperar, la definición formal de grupo es la siguiente: cualquier conjunto con una operación definida en él y que satisfaga las cuatro propiedades anteriores. Hay un sinfín de ejemplos de grupos, muchos de ellos geométricos. Si hacemos corresponder cada permutación de los vértices a un movimiento de un triángulo, el grupo anterior de las permutaciones de tres elementos se puede interpretar también como un conjunto de reflexiones y rotaciones del mismo, haciendo corresponder cada permutación de los vértices a un movimiento del triángulo. (Cuando, como en este caso, tenemos dos grupos que son en esencia el mismo —elementos identidad correspondientes y operaciones correspondientes— y sólo difieren en los nombres de sus elementos y de sus operaciones, decimos que los grupos son isomorfos). Los grupos aparecen también en la teoría de los nudos y son muy útiles en la clasificación y el análisis de los nudos y las trenzas. Tienen un papel importante en muchas otras ramas de la matemática, en cristalografía y en el estudio de los quarks y la mecánica cuántica. En la mayoría de casos, los elementos del grupo son una acción de algún tipo —una permutación, una flexión o alguna clase de función—. Hasta las distintas contorsiones de las caras de un cubo de Rubik forman un grupo.Lo que salva a los grupos de ser una simple taxonomía matemática (definición y clasificación sin profundizar mucho más) es que se han demostrado muchos teoremas, y muy potentes, que se refieren a los grupos, subgrupos, grupos cociente y su relación con otras estructuras abstractas. Por poner un ejemplo: si G es cualquier grupo finito y H es un subgrupo cualquiera de G, entonces el número de elementos de H es un divisor del número de elementos de G. La potencia de aislar estas estructuras abstractas y demostrar teoremas relativos a ellas procede en gran parte de un hecho simple.Una vez se ha demostrado un teorema acerca de un grupo abstracto, es válido para cualquier representante del grupo, por dispar que sea. Concentrándonos en la estructura abstracta y no en los aspectos específicos, somos capaces de ver el bosque matemático en vez de los árboles concretos.Y esto es, en fin, lo esencial del álgebra abstracta. Exactamente igual que el álgebra elemental se sirve de las variables para simbolizar números y estudiar sus propiedades, las teorías de grupos, anillos, cuerpos, espacios vectoriales y otras estructuras algebraicas llevan la abstracción mucho más allá. En estas teorías los símbolos representan conjuntos, operaciones en conjuntos, estructuras, funciones entre estructuras, etc., todo ello con el objeto de demostrar teoremas y proposiciones generales.El resto de la cita de Russell es un final apropiado para la ocasión.«Es esencial no discutir si la proposición es realmente verdadera, ni hablar de qué es el algo acerca del cual se supone la verdad de dicha proposición […].Si nuestra hipótesis se refiere a algo y no a alguna o algunas cosas concretas, entonces nuestras deducciones son matemáticas. Así pues, la matemática se podría definir como la materia en la que nunca sabemos de qué estamos hablando, ni de si lo que estamos diciendo es cierto». Aunque el hecho de que por todas partes haya personas que no saben de qué hablan ni si lo que están diciendo es cierto pudiera hacer pensar que el genio matemático es exuberante, la cita es un resumen sucinto, aunque exagerado, del enfoque axiomático formal de la matemática.30. Humor y matemáticaAquellas personas cuya formación escolar en la asignatura de lengua se haya reducido exclusivamente al estudio de la ortografía probablemente no sepan apreciar demasiado la literatura. Los estudiantes de bellas artes cuya preparación haya consistido principalmente en dibujar sólidos rectangulares seguramente serán impermeables a la emoción y la belleza de la pintura. Asimismo, a las personas cuya educación matemática se haya limitado a dominar las técnicas del cálculo o a cursos de rutinas enseñadas maquinalmente les parecerá extraño que hable de humor en la matemática.Empecé a interesarme por la relación entre el humor y las matemáticas cuando me di cuenta de que, con frecuencia, los matemáticos tenían un sentido del humor característico. Quizá debido a su formación, tendían a interpretarlo todo al pie de la letra y, a menudo, sus interpretaciones literales no tenían nada que ver con las convencionales. Como la incongruencia, sea de la clase que sea, es una condición necesaria para el humor, su literalidad también era a menudo divertida. «Depositar aquí los desperdicios», por ejemplo, significa dejar las cosas en el suelo, de lo contrario pierden su condición de desperdicios. Si los ponemos en el cubo de la basura, dejan de ser desperdicios para convertirse en basura. La señal de «Bajen la voz» en la biblioteca no significa que haya que conversar bajo la mesa ni que haya que hacerlo con voz de barítono. El presentador de un desfile de bellezas que dice efusivamente, «Cada chica es más bonita que la siguiente» literalmente quiere decir que cada vez son más feas. O como: «Daría el brazo derecho por ser ambidextro», que sólo es divertido si se toma al pie de la letra.Estos chistes un tanto pueriles son típicos de los matemáticos (o más exactamente de algunos matemáticos, entre los cuales me cuento). Son típicas también la curiosidad por los juegos de palabras, las autoreferencias (especialmente entre mis colegas lógicos), los modelos no convencionales de situaciones, las inversiones, la reducción al absurdo, la iteración y varios otros conceptos lógicos y cuasimatemáticos. Tanto la matemática como el humor son formas de juego intelectual (véase el final de la entrada sobre Geometría no euclídea). La matemática está en el lado intelectual y el humor en el lado juguetón de un continuo que se extiende de la una al otro pasando por los acertijos, las paradojas y los rompecabezas. La orden que daba Lewis Carroll a los escritores de cartas, de que lamieran el sobre en vez del sello, es marginalmente divertida y marginalmente matemática (inversión de una relación lógica) y es por tanto un habitante representativo de esta zona intermedia.Además, tanto la matemática como el humor son combinatorios, en su separar y reunir ideas por pura diversión (yuxtaponiéndolas, generalizándolas, interpolándolas o invirtiéndolas). En el humor esto es corriente, pero este mismo aspecto de las matemáticas no es tan conocido, quizá porque hace falta tener conocimientos matemáticos previos para poder jugar con ellos. Se necesita un cierto grado de sofisticación matemática par darse cuenta, por ejemplo, de que el anudado de trenzas guarda una relación sorprendentemente graciosa con alguna idea de otra rama completamente distinta de la matemática, las simetrías de una figura geométrica, pongamos por caso.La ingenuidad y el ingenio son distintivos tanto del humor como de la matemática, al igual que una economía espartana en lo que respecta a la expresión. La prolijidad es tan antitética con la matemática pura como normalmente lo es con el buen humor. A riesgo de ser yo mismo prolijo, señalaré que la belleza de una demostración matemática depende de su elegancia y su brevedad. (Véanse las demostraciones sobre la infinitud de los números primos, de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 o la innumerabilidad de los números reales). Una demostración torpe introduce consideraciones extrañas y acaba siendo tortuosa y redundante. Del mismo modo, un chiste pierde toda su gracia si se cuenta mal, se explica con demasiados detalles o se basa en analogías forzadas. Se puede perdonar que un chiste sea de mal gusto, pero ha de ser agudo: AIXELSID.Los patrones, las reglas, las estructuras y la lógica son componentes esenciales de la matemática y el humor, aunque no de la misma manera. En el humor, la lógica es a menudo perversa y se basa en la autoreferencia. Es el caso, por ejemplo, del votante que, cuando un encuestador le pregunta cuáles son las razones de la ignorancia y la apatía del público norteamericano, contesta, «Ni lo sé ni me importa». Los patrones y las estructuras utilizados normalmente se distorsionan y se confunden, como aquel hombre al que le cuentan que el aceite de oliva se obtiene exprimiendo aceitunas y el aceite de coco exprimiendo cocos, y entonces empieza cavilar sobre cómo debe obtenerse el aceite de niños. Y las reglas pertinentes se toman con doble sentido, como en el caso de los dos sacerdotes anglicanos que están hablando del lamentable estado de la moralidad sexual. «Yo nunca me acosté con mi mujer antes de casamos», dice uno con aire santurrón, «¿y usted?». «No estoy seguro», contesta el otro. «¿Cómo se llamaba de soltera?».Pero estos equívocos y falsas conclusiones no son aleatorios, y han de tener sentido en algún nivel (verbigracia, las lámparas de flash solares). Para entender qué tiene de incongruente una cierta historieta, y así «coger el chiste», es esencial entender la lógica verdadera, y los patrones, reglas o estructuras correctos. Y a la inversa, hay que ser consciente de la elegancia, el vigor y la fuerza de una demostración matemática para poder apreciar plenamente qué es la matemática. Como antes también, el empleo que se da a estos entendimientos y apreciaciones en la matemática y el humor son completamente distintos. El matemático, por ejemplo, usa uno de sus gambitos preferidos, la técnica lógica de la reducción al absurdo, para demostrar proposiciones. Para demostrar S basta con suponer la negación de S y deducir de ella una contradicción o llegar a un absurdo. Los autores de comedias también usan esta técnica cuando parten de una premisa rara («Qué pasaría si…») y luego, con los consiguientes absurdos, hacen un chiste o un cuento.Aunque los acordes emocionales no sean los mismos, los investigadores matemáticos adoptan una postura y arrogancia no muy distinta de los humoristas. La sonrisa que levanta un giro inesperado en una bella demostración es una versión enrarecida de la risa que causa el final de un buen chiste. Terminaré con una pregunta fácil: ¿Qué pregunta contiene la palabra cantalupo sin motivo aparente?[Nota: AIXELSID es DISLEXIA escrito al revés].Notas:\n1Massachusetts Institute of Technology. (N. del T.)


Crisis de los 2 años - Club Abril 2019: Embarazo y bebés - Página 3 - BabyCenter\nAy pero si estamos igualitas jajaja . Mi nena también hace lo mismo de agarrarme de la mano y llevarme para donde ella quiera. Asi todo el día, y tmb estoy agotada de estar alerta xq en un descuido se te subió arriba de la mesa uufff...La niña cuarentena jajaja es chistoso pero es cierto, mi nena tmb esta cnmg solamente todo el día desde q nació no tenemos familia cerca y mi marido trabaja. Y aunque mi marido intente calmarla , o distraerla con otras cosas para q no esre todo el día colgada de mi, ella muchas veces no quiere. Solo quiere estar cnmg. Pero es por todo esto de estar todo el tiempo sólitas. Ojala llegue el día en q pase esta etapa tan agotadora. Me duele todo el cuerpoooo , solo quiero descansar y dormir jaja 😅😅\nIgual por aquí casi 2 años llego el momento en que solo me pedía una vez por la madrugada... pero ahoraaaa quiere estar con l teta en la boca y me a tocado que se despierta hasta 7 veces\nIdentificada exactamente así estoy\nSi tengo una amiga que lo hizo mi suegra con sus 4 hijos también es natural y no afecta al bebé\nPasame el nombre me urge a.mi también.\nLa idea es q al pedirte ya lo tengas. Yo me ponía bañándome inmediato para cuando despertara ya tenía puesto y más tarde otra ves y así se le fue olvidando pedir\nYo lo destete, son 3 noches de llanto y de mucha contención y amor y explicarle y pasearlo casi toda la noche pero después entiende, mi hijo lleva casi 2 meses sin teta y yo recupere mi cuerpo, para que bebe este bien mama debe estar bien, despierta 1 o 2 veces le preparo la leche en el momento porque tengo un termo cerca y agua helada hervida se la toma y a dormir otra vez.\nTambien pueden consultar con una asesora de sueño, yo parti quitandole la del dia que era mas facil porque lo distraia cuando me pedia y por hambre igual tomama la mamadera lo de la noche es mas complejo y hay que estar muy decidida y entender que no llora de dolor sino que reclama algoque estaba acostumbrado solo que ahora le daras ese amor de otra forma, es un proceso para los 2\nHola! mi hijo empezó a dormir de corrido ( 9 horas) cuando lo desteté de noche. fueron 4 días que lloró y que estuvo adaptándose pero después de eso mi vida cambió jaj.llevaba casi dos años sin dormir mas de 3 horas ( con suerte) seguidas. creo que no sabia quedarse dormido sin la teta. ahora se despierta algunas veces pero vuelve a quedarse dormido solito. saludos\nChicas lean sobre destete respetado, mi beba dejo el pecho al año y medio. Nunca la hice llorar, ella una noche solo se durmio con siumamadera y ya no quiso pecho. Lean, realmente me sirvió y no sufrió ni una noche...\nRespuesta para Flores8111\nHola, tú caso se parece muchísimo al mío, ya le quitaste la tetita?


Arresta DSPM a par de ladrones con violencia de vehículo | lajiribilla.com.mx\nArresta DSPM a par de ladrones con violencia de vehículo\n- En la colonia villa juarez\nChihuahua, Chih.. 24 de diciembre de 2013. Policías Municipales detuvieron a dos sujetos que golpearon con una llave de tuercas a ciudadano para robarle su camioneta tipo pick-up en hechos ocurridos en las calles Fuentes Mares y Francisco Portillo.\nEn el parte policiaco se señala que lo anterior se registró a las 01:47 horas cuando el afectado salió de la Posada que organizaron en su trabajo en la colonia Villa Juárez y se disponía a volver a su domicilio.\nDe pronto los dos sujetos que lo acompañaban y que fueron identificados como Juan José Ochoa Salas y Juan Luis Ochoa Moreno, ambos de 21 años, lo golpearon con la llave Inglesa para bajarlo de su automotor.\nDe inmediato llamó a la policía y los uniformados se dieron a la tarea de buscarlos hasta que los ubicaron en la misma fiesta, procediendo a trasladarlos a la Comandancia de Policía de la Zona Sur.\nPosteriormente fueron enviados a la Fiscalía General del Estado para la investigación correspondiente por el delito de robo de vehículo con violencia y lo que resulte.\nNo se descarta que los sujetos puedan estar vinculados a otros delitos por lo que se solicita a la población que si los identifican, acudan ante la FGE ubicada en las calles 25ª., y Teófilo Borunda, o bien a que marque a los teléfonos 060 ó 089, de denuncia anónima.


Even if I start to fall ✖ D'ambrosio, M.\npor C. Scilla Addario el Mar Feb 23, 2016 10:14 pm\nI can't take it any more, every day feels like a war\nMiércoles 26 de Marzo, 2025. 17:00 pm.\nEstaba al borde, literalmente. Pero no porque hubiese ocurrido algo en su vida que la empujara tan lejos, o eso solía decirse. No, en esos momentos se había parado peligrosamente en el borde de piedra de la parte más alta de la torre —no era la más alta, pero la de Astronomía solía estar ocupada— y poniendo los brazos alrededor de su boca tomó impulso antes de hacer que su voz se escuchara, y que de paso se la llevara el viento.\n—Figlio di Puttana!! —su voz que usualmente no alzaba se elevó en los aires en una grosería poco seria que le salió del alma sin ningún destino en particular, o al menos eso quería decírse a sí misma, y contenta con eso procedió a añadir en el mismo tono alto de voz—. Porca mignotta! —respiró profundo después de lanzar su segundo grito y luego descendió de la piedra para tomarse la cabeza con las manos. Suspiró pesadamente pues no estaba acostumbrada a mostrarle al mundo la gran cantidad de groserías que tenía en la cabeza.\nNo porque no quisiera, consideraba que eran sanadoras para el alma, pero cierto amigo se molestaba cada vez que se le salía una palabra indebida y finalmente las había erradicado de su vocabulario aunque no se le olvidaran—. Merde... —murmuró cuando escuchó un ruido detrás de ella, pero no quiso girarse al instante. Si era un profesor o un prefecto más que seguro que iba a terminar en detención y cumpliendo castigos. Gracias, muchas gracias vida.\nFDR: Todas son groserías, así que no las traduciré (?) jajaja\nESTADISTICAS → +20% en Hechizos. → +10% en Pociones. → 10 puntos de vida. ANIMALES → Lechuza.\nRe: Even if I start to fall ✖ D'ambrosio, M.\npor Matteo A. D'ambrosio el Mar Feb 23, 2016 11:54 pm\nEl día había comenzado con toda normalidad: había sido despertado por los ronquidos de sus compañeros de habitación, y se había levantado para su ducha diaria. Después se había vestido y había bajado a desayunar, para finalmente comenzar las clases. Estuvo atento en algunas, distraído en otras, tomando apuntes o haciendo dibujos al hacer sobre lo que él siempre había soñado, o había leído en esos libros oscuros. Pero su día académico no duró demasiado, y a las cuatro y media terminó su última clase, dejándole el resto de la tarde libre, pero sin amigos, pues a estos aún les quedaban tres clases más.\nLo último que esperaba era escuchar aquella sarta de palabras mal sonantes en italiano. Se quedó parado en el pasillo de la torre, alzando una ceja y poniedo los ojos en blanco. Desde luego, aquella persona se habia quedado a gusto soltando todo aquello. Se acercó despacio a dónde creía que estaba la mal habladora, encontrándose allí a una chica.\n— ¿No te han enseñado que las señoritas no dicen palabras mal sonantes? — preguntó apoyado en el marco del arco, en un tono bastante bajo pero que llegase a los oídos de la chica. No dijo nada más, no era su intención meterse dónde no le llamaban, y tampoco es que tuviese ganas de entablar una conversación, pues había ido allí para poder leer con tranquilidad.\nSe separó del marco del arco, y tan pronto había entrado, tan pronto desapareció por el pasillo buscando un banco para poder sentarse. Cuando lo encontró, se acomodó allí y sacó un libro de cuero, bastante antiguo y que había sacado de la biblioteca. Se preparó para disfrutar de otra de sus sesiones sobre magia oscura.\nMatteo A. D'ambrosio\nESTADISTICAS → 10 puntos de vida. OBJETOS MÁGICOS → Nimbus 2016. → Bate de Haya.\npor C. Scilla Addario el Miér Feb 24, 2016 7:47 am\nUna descomunal vergüenza era lo que había sentido al encontrarse cara a cara con los problemas. Se tardó más en girarse hacia él que en razonar quien era. Le tardó menos de un minuto a su mente recopilar todos los datos que tenía sobre el chico, lo único que no se sabía era su nombre pero aparte de ese irrelevante detalle ya tenía el perfil de quien había procedido a regañarla por mal usar palabras indecentes en otro idioma.\n—Il vostro parlare italiano?* —preguntó en el idioma de su padre pero luego suspiró al verlo sentarse lejos de ella. Debía dejarlo en paz, lo sabía, pero necesitaba al menos la promesa de que el joven de un curso superior no iba a acusarla de algún modo por no ser una señorita prudente en el arte de controlar su lengua—. Lo que pasó es que un colacuerno húngaro se me metió en el ojo, así que tuve que decirle que saliera —bien, su relación con el asunto de las malas bromas y cuándo debía decirlas estaba grave.\n—¿No estás preocupado de que pueda ser un asesino serial disfrazado de alumna? —no, disfrazado no, transformado. Se le olvidaba casi que por allí todo lo que parecía demente se podía realizar con un movimiento de varita o una complicada poción de mal sabor. Contrario a su brillantez mental habitual, si siguió al chico aunque se paró al inicio del pasillo para respirar el aire puro. Se sentía más descargada de tensión pero no por completo. Culpa de las interrupciones en su bonito discurso lanzado al aire. No es que pensara volverse sociable por estar cerca de él, simplemente quería ejercer su libre derecho de estar de pie donde se le ocurriera.\n* "¿Hablas italiano?"\nÚltima edición por C. Scilla Addario el Miér Feb 24, 2016 6:11 pm, editado 1 vez\npor Matteo A. D'ambrosio el Miér Feb 24, 2016 1:39 pm\n¿Acaso debía preguntar si hablaba italiano? ¿No había quedado claro cuando la había reprendido por usar palabras mal sonantes en ese idioma? El inglés y el italiano no compartían absolutamente nada, por lo que alguien que no supiese italiano, o estuviese familiarizado con el, no sabría que habría dicho la joven, para su suerte o desgracia, Matteo sí estaba más que familiarizado. — Chiaramente parlo italiano.* — respondió obviando su pregunta. No pudo evitar alzar las cejas ante su broma tan mala, aunque media sonrisa le cruzó los labios aunque trató de que pasase inadvertida.\nNo esperó que le siguiese, y le molestó en parte. No le gustaba tener un séquito detrás, más aún si no conocía a esa persona y a ella, no la conocía de nada. — Quizás tú deberías tener cuidado conmigo. — respondió sin alzar la mirada de su libro, el cuál le parecía a cada segundo más y más interesante. Notaba aún su presencia allí, como si la hubiesen pegado al suelo. — ¿Vas a quedarte ahí todo el día? — preguntó aún sin mirarla si quiera, con desinterés. No la había invitado a sentarse, si no más bien a irse y a dejarle solo. El castillo era grande, demasiado, y no tenía por qué estar allá dónde él estuviese. Resultaba molesto.\n* Está claro que hablo Italiano.\npor C. Scilla Addario el Miér Feb 24, 2016 8:46 pm\nClaro que hablaba italiano. ¿Para qué había preguntado a él lo evidente? Por ocio claro. Y porque sentía la necesidad de expresarse en esos momentos a pesar de la inutilidad del asunto. Ah, y aunque estaba distraída tenía que librarse de todo posible castigo y para eso lo mejor era asegurarse de la capacidad de silencio del muchacho en cuestión. Luego de seguirlo, a distancia claro, se quedó mirando las piedras que recubrían las paredes del pasillo en el que ese chico se había metido.\nSorprendida se quedó de la amenaza implícita en las palabras del rubio y luego de evaluarlo con la mirada habló—. ¿Debería tener cuidado por el asunto de la fama que tienes? Eso seguro —no se esforzó por guardarse las palabras ácidas, así era ella. Y ese chico en particular daba de qué hablar. La mayor parte de las chicas estaba dementes por su cabello y la otra parte por ese aire de misterio que se traía, que había generado uno que otro rumor sobre el mismo. A Scilla personalmente le parecía que si él gustaba de cuidar su cabello con tanto esmero era cosa privada y no le iba ni le venía.\nLo que sí debería trabajar más era su tono de hastío, que le preguntara de tal forma si ya se iba le pareció ofensivo. Ella era la que había llegado primero ahí para ser exactos—. Tal vez si me quede, de momento no guardo deseo alguno de moverme —respondió ante la invitación a irse lejos. Tomó asiento finalmente en el piso y comenzó a jugar con las piedras pequeñas que por el paso de los años se habían ido soltando.\nNo había pasado más de cinco minutos cuando volvió a abrir la boca. Porque a veces no sabía cómo callarse, y otras nadie le sacaba una palabra—. ¿Siempre eres así de raro? Imagino que lees como eliminar al resto del mundo —una sonrisa sardónica se apostó en su rostro luego de mirar de reojo que el chico estaba en su modo lector. Ella no era la mejor persona para hablar de rarezas pero el mundo no era justo. Podría haberlo dejado en paz, claro que sí, pero de momento se sentía bien allí y entre más distancia pudiese mantener de las zonas donde probablemente estaría cierto chico de su mismo curso —a quien quería evitar— mucho mejor.\npor Matteo A. D'ambrosio el Miér Mar 09, 2016 3:17 pm\n¿Qué tan molesta podía llegar a resultar la gente cuando se lo proponía? Aquella chica se estaba llevando todos los premios por ser muy pesada y Matteo tenía un límite, y no le gustaría tener que hacerle ver que con él no se jugaba. — La gente nunca sabe nada de ti por completo. — respondió dejando a entrever que lo que se decía de él podría llegar a ser cierto, pero no era ni una mínima parte de lo que él sería capaz de hacer. Sus ojos se pusieron en blanco al ver que la chica había decidido quedarse allí, sentada cerca de él, algo que comenzaba a sacarle de sus casillas lentamente.\n— Si, y a ti la primera. — rodó los ojos tras volver a ser molestado por la chica. — ¿Qué prefieres? — preguntó alzando sus cejas y clavando su mirada en la chica. — ¿Lenta o rápida? ¿Dolorosa o piadosa? — añadió mostrando media sonrisa que helaría la sangre de cualquier persona que no entendiese que era una forma de alejar a los demás de él. Sin esperar respuesta alguna, volvió su vista al libro, acomodándose mejor en el banco de piedra y esperando a que la chica se fuese, porque estaba resultando bastante incómodo no poder concentrarse en el libro que tenía delante.\n— ¿Alguna vez te han dicho que eres como un grano en el culo? — preguntó el chico cerrando el libro de golpe y resoplando.\npor C. Scilla Addario el Miér Mar 30, 2016 2:37 am\nBien, alguien que buscara eliminarla documentándose antes. Eso le parecía valioso, pues los intentos no premeditados le parecían ridículos si se quería llegar a un asesinato como era debido. Observó con expresión tranquila la sonrisa ajena que se le hizo excesivamente forzada, ¿Sería porque nunca se le veía sonreír a ese chico? Eso tendría sentido—. Rápida y piadosa suponiendo que no le voy a lo sádico, aunque también suena tentador algo piadoso pero lento —sí, cualquiera de esas dos formas sonaba bien. En el dolor excesivo todavía no alcanzaba a encontrar suficiente gracia, aunque como la vida era rara tal vez en un futuro si comenzara a interesarse en esos modos.\nGrano en el culo. La carcajada que se le escapó, no pudo ni quiso evitar. Y es que sí que había escuchado esa frase y variaciones antes, y todas parecían resbalarle por encima, ninguna alcanzaba a hacerla cambiar de como era—. Imagino que lo dices porque puedo meterme en un lugar que no le mostrarías a nadie y hacer que te rasques como perro —no, no había sido su frase más inteligente, pero estaba aburrida. Y tal cual el rubio podía amenazarla de muerte, ella podía llamarlo como le pareciera mejor.\n—Sé que no eres un mar de sociabilidad, pero hablando en serio, ¿Qué lees? O intentas, porque pareciera que no te sabes concentrar —ella era la culpable pero no iba a aceptarlo por una necedad natural que tenía. Si D'ambrosio no era capaz de abstraerse mal le iría en la vida.\npor Matteo A. D'ambrosio el Mar Abr 12, 2016 8:19 pm\nSe quedó realmente sorprendido ante la respuesta de la chica, más bien de la segunda, pues supuso que iba a poner el grito en el cielo, no decirle aquello. ¿Tentador? Por su mente cruzaron un par de imágenes que hicieron que se tensase y mirase a la chica casi con rabia. Era como poner la miel en la boca del asno y quitarla rápidamente antes de que pudiese saborearla o siquiera olerla del todo. — Nunca digas algo a lo que no estarías dispuesta a llegar. — sonrió de lado y chascó la lengua, casi regañándola. No estaba bien ilusionarle con hacerla sufrir un poco, pues estaba seguro de que si le tomaba la palabra, la chica se sorprendería.\nSu boca se torció en una mueca desagradable, pero se contuvo de contestar a la chica, o más bien de hechizarla. — Hechizos de Artes Oscuras. — respondió como si fuese lo más normal de leer. ¿Acaso importaba que la gente supiese que leía esas cosas? Ya lo intuían, ya fuese porque a la gente le gustaba inventarse cosas de los demás, o porque sabían la verdad. Fuese como fuese, daba igual lo que dijese. — ¿Quieres que ponga en práctica alguno contigo? — y de pronto, su sonrisa se ensanchó, dejando entrever sus caninos, bastante afilados de lo normal (y no porque lo hubiese hecho él, si no porque le habían crecido así). Era una sonrisa que a cualquiera poco acostumbrado a tales cosas, tacharía de sonrisa malvada.\n— ¿No querías una muerte lenta y piadosa? Aunque la palabra piadosa no se encuentra en mi vocabulario, mucho menos en mis posibles métodos de tortura. — y no había torturado a nadie, aún. Pero era como antes: la gente ya hablaba de que se dedicaba a torturar a gente por las noches y si estabas a solas con él, ¿qué más daba seguirles el juego un rato más?\npor C. Scilla Addario el Mar Abr 26, 2016 10:03 am\nScilla era una persona excesivamente confiada, a pesar de su inteligencia fallaba al cuidarse a sí misma de malas influencias y por lo mismo tendía a estamparse con la pared invisible antes de lograr detener sus pasos por precaución. Así mismo le estaba pasando con Matteo a quien no le estaba tomando el peso necesario. De hecho una ceja de duda alzó cuando él hizo mención a las artes oscuras y ella, incrédula, aceptó mentalmente que tenía deseos de ver algo de esa magia—. No quiero que la pruebes conmigo, no estoy tan idiota todavía —bufó aunque en ningún momento dijo que esas ramas de la magia no le llamaran la atención.\nOdiaba todavía las varitas, eso era parte de su naturaleza, pero probar cosas nuevas le venía bien y más cuando eran cosas que parecían poder llamar su atención y eliminar su hastío por la vida misma. La sonrisa demente del chico observó y frunció el ceño. ¿Era su idea o se parecía a los villanos de las películas?—. Si sigues sonriendo así vas a asustar a más de alguno —comentó y aunque debió temer por su alma en esos momentos, no lo hizo.\n—Mhm... Los métodos de tortura no suenan tan mal cuando se aplican a algo más. Dime, ¿Se lo haces también a animales o eres un protector de la naturaleza? —por un segundo se le vino a la mente el animal en el que se convertía su mejor amigo, aunque no fuese de manera supuestamente legal. ¿Métodos de tortura para conejo? Eso si que le provocaría escalofríos y de mala manera, aunque como todavía no terminaba de creerle al rubio, esperaba alguna demostración—. Creo que lo que tienes es fama de malvado y nada más —si, eso tenía sentido.\nSe levantó de donde se había ubicado y se paró a un paso de él. Quería de hecho mirar el supuesto libro oscuro que el otro se cargaba—. ¿Me dejas ver? Despreocúpate, me parecería pérdida de energía atacarte con esos mismos conocimientos —lo de guardar energías era parte de su filosofía aunque en cierta forma lo decía porque no sabía nada de magia oscura y de si costaría mucho replicarla. Finalmente extendió la mano esperando la amabilidad de D'Ambrosio.\npor Matteo A. D'ambrosio el Miér Jun 22, 2016 11:46 am\nChascó la lengua cuando dijo que prefería que no pusiese en práctica dichos hechizos en ella. ¿Por qué nadie se dejaba? Bueno, dolían, eran horribles, pero al menos... Él se divertía. Los demás, le daban exactamente igual. Sus ganas de lanzar dichos hechizos en el colegio crecían cada vez más, y la verdad, es que tenía que tomarse varios segundos para no acabar haciéndolo. — Una lástima, nos íbamos a divertir. — yo más, quiso añadir, pero mantuvo su boca cerrada.\nQuedó sorprendido ante la pregunta, ¿artes oscuras sobre animales? Sonrió de lado y asintió, siguiéndole el juego. — Claro, no digas nada, pero por las noches, bajo al bosque prohibido y me pongo a bailar con los animales. — espetó, con un toque claro de ironía, dejando sus ojos en blanco. — ¿Fama de malvado? Por favor, eso me resulta insultante. — se llevó una mano al pecho. — Prefiero tener peor fama, a ser posible. — sonrió ampliamente, viéndose realmente extraño en alguien como él. — Es más divertido ver cómo los críos huyen cuando me ven, dándose la vuelta por el pasillo o escondiéndose como puede. — rió un poco, dejando a entrever que disfrutaba con aquello.\nObservó con detenimiento cómo se levantaba y se quedaba parada frente a él, pidiéndole permiso para ver el libro. — ¿No me digas que te sientes atraída por las artes oscuras? — preguntó alzando una ceja. Aquello sería divertido, ver la cara que pondría al ver los hechizos y pociones que ese libro oscuro contenía. — Luego no me vengas llorando porque has tenido pesadillas. — dijo cerrando el libro y extendiéndoselo. Quería ver con sus propios ojos si de verdad Addario tenía lo que hacía falta para leer esa clase de libros. Si era así, se quitaría el sombrero y comenzaría a verla con otros ojos, y a tratarla como a una igual. Aunque dudaba que eso fuese a suceder.


Significado de Netiqueta (Qué es, Concepto y Definición) - Significados\nLa palabra netiqueta fue utilizada por primera vez en las “Netiquette guidelines” ("Pautas de netiqueta"), una serie de reglas para el buen comportamiento en línea creados y publicados en 1995 por la organización Internet Engineering Task Force (Fuerza de Trabajo en Ingeniería de Internet), encargada de crear los estándares para el buen funcionamiento de la red.\nVer también Internet.\nVer también Emoji.\nPara el mundo digital se sugiere una regla sencilla para aplicar antes de hacer cualquier acción, especialmente si esta tiene que ver con hacer un comentario, reclamo o afirmación. Se trata de pensar si esa acción que se va a llevar a cabo se haría de igual forma en el mundo “real”.\nEvitar la polémica y la difusión de fakes news\nVer también Fake news.\nCómo citar: "Netiqueta". En: Significados.com. Disponible en: https://www.significados.com/netiqueta/ Consultado:


EstiloDF » Lindsay Lohan anuncia su regreso como diseñadora de moda, ¿musulmana?\nLindsay Lohan anuncia su regreso como diseñadora de moda, ¿musulmana?\nPor: Jennifer Zepeda\n/ Martes 14 de marzo de 2017\nNo hace mucho la actriz expresó su interés por el islamismo, y aunque nadie lo ha confirmado, esto ya había sido como una sorpresa. Ahora gracias a una publicación en su Instagram oficial ha dado a entender que suma otro proyecto importante, ahora como diseñadora de una línea de ropa del medio Oriente.\nlindsaylohan “New Fashion Line coming soon …. ???? #fashion”\nFue a través de un mensaje “Se viene pronto una nueva línea de moda” fue lo que escribió en un post la también cantnate, acompañado con una selfie en la que se puede ver un pañuelo que cubre parte de su rostro. Todo muy en el estilo que ha cultivado en los últimos años, donde ha mostrado interés por la cultura musulmana.\nLindsay Lohan incursionó en el mundo de la moda por primera vez en 2008 con una línea de leggins y en el 2010 pasó por Emmanuel Ungaro, lanzando una colección que no fue precisamente exitosa. Después de 7 años, vuelve a acercarse a esta faceta.\nAlgunos de sus seguidores especularon que lo que vestía era una hijab. De hecho, hubo cientos de comentarios con la palabra “Mashallah”, una frase en árabe que se puede traducir como “Dios así lo quiere”. Por otro lado, la foto de la actriz sigue alimentando la ola de rumores que aseguran que Lohan se habría convertido al islam. Actualmente en su perfil de la red social se ve la frase “Alaikum salam”, que significa “la paz esté contigo”.\nPese a lo que Linday publicó en su red social, aún falta una confirmación más formal de que la línea de ropa vaya a tener identidad islámica y bien podría ser algo diferente y alejado de sus ideales. ¿Será que estamos conociendo a una nueva Lindsay Lohan alejada de todo los desastres que la marcaron tanto en su imagen como en su profesión?