03: संख्याओं के साथ खेलना / ganit ka Jadu\nरमेश के पास6कंचे ;काँच की गोलियाँद्ध हैं। वह इन्हें पंक्ितयों में इस प्रकार व्यवस्िथत करना चाहता है कि प्रत्येक पंक्ित में कंचों की संख्या समान हो। वह उन्हें निम्न वि�ि�ायों से व्यवस्िथत करता है और कंचों की वुफल संख्या परिकलित करता है: ;पद्ध प्रत्येक पंक्ित में 1 वंफचा। पंक्ितयों की संख्या त्र6कंचों की वुफल संख्या त्र 1 ×6त्र6;पपद्ध प्रत्येक पंक्ित में2वंफचे। पंक्ितयों की संख्या त्र3कंचों की वुफल संख्या त्र2×3त्र6;पपपद्ध प्रत्येक पंक्ित में3वंफचे। पंक्ितयों की संख्या त्र2कंचों की वुफल संख्या त्र3×2त्र6;पअद्ध वह कोइर् ऐसी व्यवस्था नहीं सोच सका जिसमें प्रत्येक पंक्ित में4वंफचे अथवा5वंफचे हों। इसलिए अब केवल एक व्यवस्था बची, जिसमें एक पंक्ित में सभी6वंफचों को रख दिया जाए। पंक्ितयों की संख्या त्र 1 कंचों की वुफल संख्या त्र6× 1 त्र6इन परिकलनों में रमेश यह देखता है कि6को विभ्िान्न प्रकार ;विध्ियोंद्ध से दो संख्याओं के गुणनपफलों के रूप में लिखा जा सकता है, जैसा कि नीचे दिखाया गया है:6=1 × 6य6=2 × 3य6=3 × 2य6=6 × 16=2 ×3से यह कहा जा सकता है कि2और 3, संख्या6को पूरी - पूरी ;मगंबजसलद्ध विभाजित करती हैं। अथार्त्2और 3, संख्या6के पूरे - पूरे विभाजक ;या भाजकद्ध ;कपअपेवतेद्ध हैं। अन्य गुणनपफल6= 1 ×6से6के अन्य विभाजक 1 और6प्राप्त होते हैं। इस प्रकार, 1, 2,3और6संख्या6के विभाजक हैं। ये6के गुणनखंड ;ंिबजवतेद्ध कहलाते हैं। 18 वंफचों को पंक्ितयों में व्यवस्िथत करने का प्रयत्न कीजिए और 18 के गुणनखंड ज्ञात कीजिए। 3ण्2 गुणनखंड और गुणज मैरी वे संख्याएँ ज्ञात करना चाहती है जो4को पूरी - पूरी विभाजित करती हैं। वह4को4से कम या उसके बराबर की संख्याओं से इस प्रकार विभाजित करती ;भाग देतीद्ध हैऋ 1द्ध4;4 2द्ध4;2 3द्ध4;1 दृ4दृ4दृ3001 भागपफल4है भागपफल2है भागपफल 1 है शेषपफल या शेष0है शेष0है शेष 1 है4त्र 1 ×44 त्र2×24द्ध 4;1 दृ404त्र4× 1 भागपफल 1 है शेष0है वह पाती है कि संख्या4को निम्न रूप में लिखा जा सकता है:4त्र 1 × 4य4त्र2× 2य4त्र4× 1 वह ज्ञात करती है कि 1,2और4संख्या4के पूरे - पूरे विभाजक हैं। ये संख्याएँ4के गुणनखंड कहलाती हैं। किसी संख्या का गुणनखंड उसका एक पूरा - पूरा ;मगंबजद्ध विभाजक ;कपअपेवतद्ध होता है। ध्यान दीजिए कि4का प्रत्येक गुणनखंड4से कम या उसके बराबर है। खेल 1: यह खेल दो व्यक्ितयों, मान लीजिए ।और ठद्वारा खेला जा सकता है। यह खेल गुणनखंड ज्ञात करने के बारे में है। इसके लिए 50 काडो± की आवश्यकता है, जिन पर 1 से 50 तक की संख्याएँ अंकित हैं। एक मेश पर इन काडो± को नीचे दशार्ए अनुसार व्यवस्िथत कीजिए: 1234567 8910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 चरण: ;ंद्ध निणर्य लीजिए कि पहले कौन खेलेगा: ।या ठ। ;इद्ध मान लीजिए । पहले खेलता है। वह मेज से एक काडर् उठाता है और अपने निकट़रख लेता है। मान लीजिए इस काडर् पर 28 लिखा है। ;बद्ध ख्िालाड़ी ठ अब वे सभी काडर् उठाता है जिन पर । के काडर् पर लिखी संख्या ;अथार्त् 28द्ध के गुणनखंड लिखे हैं और उन्हें अपने निकट एक ढेर में रख देता है। ;कद्ध पिफर ख्िालाड़ी ठमेज़ पर रखे काडो± में से एक काडर् उठाता है। अब मेज़्ा पर बचे काडो± से । वे सभी काडर् उठाता है जिन पर ठके काडर् की संख्या के गुणनखंड लिखे हैं। ;मद्ध यह खेल तब तक जारी रहता है, जब तक कि सभी काडर् न उठा लिए जाएँ। ;द्धि । अपने पास रखे काडो± पर लिखी संख्याओं को जोड़ता है और ठ भी अपने पास रखे काडो± पर लिखी संख्याओं को जोड़ता है। जिस ख्िालाड़ी का योग अध्िक होगा उसे ही जीता हुआ माना जाएगा। काडो± की संख्या को बढ़ाकर इस खेल को और अध्िक रोचक बनाया जा सकता है। इस खेल को अपने मित्रा के साथ खेलिए। क्या आप इस खेल को जीतने की कोइर् विध्ि ज्ञात कर सकते हैं? 50 जब हम 20 त्र4×5लिखते हैं, तो हम कहते हैं कि4और 5, संख्या 20 के गुणनखंड ;ंिबजवतद्ध हैं। हम यह भी कहते हैं कि 20, संख्या4और5का गुणज ;उनसजपचसमद्ध है। निरूपण 24 त्र2× 12 यह दशार्ता है कि2और 12, संख्या 24 के गुणनखंड हैं तथा 24 संख्या2और 12 का एक गुणज है। गुणज ↑4×5त्र 20 ↓ ↓ गुणनखंड गुणनखंड हम कह सकते हैं कि एक संख्या अपने प्रत्येक गुणनखंड का एक गुणज होती है। आइए, अब गुणनखंडों और गुणजों के बारे में वुफछ रोचक तथ्यों को देखें: ;ंद्ध लकड़ी या कागश की वुफछ पटि्टयाँ एकत्रिात कीजिए, जिनमें से प्रत्येक की लंबाइर्3मात्राक हो। ;इद्ध सिरे से सिरा मिला कर इन्हें नीचे दी आकृति के अनुसार जोडि़ए: ऊपरी पट्टी की लंबाइर्3त्र 1 ×3मात्राक है। इसके नीचे वाली पट्टी की लंबाइर्3़3त्र6 मात्राक ;नदपजेद्ध है। साथ ही,6त्र2×3है।639331233315 अगली पट्टी की लंबाइर्3़3़3त्र9मात्राक है। साथ ही,9त्र3×3है। इस प्र�ि�या को जारी रखते हुए, हम अन्य लंबाइयों को निम्न प्रकार से व्यक्त कर सकते हैं:12 त्र4×3य 15 त्र5×3हम कहते हैं कि संख्याएँ 3ए 6ए 9ए 12ए 15 संख्या3के गुणज हैं।3के गुणजों की सूची को 18ए 21ए 24ए ण्ण्ण् के रूप में आगे बढ़ाया जा सकता है। इनमें से प्रत्येक गुणज3से बड़ा या उसके बराबर है। संख्या4के गुणज 4ए 8ए 12ए 16ए 20ए 24ए ण्ण्ण्हैं। यह सूची समाप्त नहीं होती है। इनमें से प्रत्येक गुणज4से बड़ा या उसके बराबर है। आइए देखें कि गुणनखंडों और गुणजों के बारे में हम क्या निष्कषर् निकाल सकते हैं: 1ण् क्या कोइर् ऐसी संख्या है, जो प्रत्येक संख्या के गुणनखंड के रूप में आती है? हाँ, यह संख्या 1 है। उदाहरणाथर्,6त्र 1 × 6ए 18 त्र 1 × 18 इत्यादि। इसकी जाँच वुफछ और संख्याएँ लेकर कीजिए। अतः हम कहते हैं कि 1 प्रत्येक संख्या का एक गुणनखंड होता है।2ण् क्या7स्वयं का एक गुणनखंड हो सकता है? हाँ। आप7को7× 1 के रूप में लिख सकते हैं। 10 के बारे में आप क्या कह सकते हैं? 15 के बारे में आप क्या सोचते हैं? आप देख सकते हैं कि प्रत्येक संख्या को आप इस रूप में लिख सकते हैं। हम कहते हैं कि प्रत्येक संख्या स्वयं अपना एक गुणनखंड होती है। 3ण् 16 के गुणनखंड क्या हैं? ये 1, 2, 4, 8 और 16 हैं। इन गुणनखंडों में क्या आप कोइर् ऐसा गुणनखंड ज्ञात कर सकते हैं, जो 16 को विभाजित न करता हो? 20 और 36 के लिए भी उपरोक्त कथन की जाँच करिए। आप पाएँगे कि एक संख्या का प्रत्येक गुणनखंड उस संख्या का एक पूणर् विभाजक होता है। 4ण् 34 के गुणनखंड क्या हैं? ये 1, 2, 17 और स्वयं 34 हैं। इनमें सबसे बड़ा गुणनखंड कौन सा है? यह 34 है। अन्य गुणनखंड 1,2और 17 संख्या 34 से छोटे हैं। 64, 81 और 56 के लिए भी इस कथन की जाँच कीजिए। हम कहते हैं कि एक दी हुइर् संख्या का प्रत्येक गुणनखंड उस संख्या से छोटा या उसके बराबर होता है। 5ण् 76 के गुणनखंडों की संख्या5है। 136 के कितने गुणनखंड हैं? 96 के कितने गुणनखंड हैं? आप पाएँगे कि आप इनमें से प्रत्येक संख्या के गुणनखंडों की संख्याओं को गिन सकते हैं। संख्याएँ 10576ए 25642 इत्यादि जैसी बड़ी होने पर भी आप इन संख्याओं के गुणनखंडों को गिन सकते हैं, यद्यपि आपको इन संख्याओं को गुणनखंडित करने में वुफछ कठिनाइर् अवश्य होगी। हम कह सकते हैं कि एक दी हुइर् संख्या के गुणनखंडों की संख्या परिमित ;पिदपजमद्ध होती है। 6ण्7के गुणज क्या हैं? स्पष्टतः ये 7ए 14ए 21ए 28एण्ण्ण् हैं। आप पाएँगे कि इनमें से प्रत्येक7से बड़ा या उसके बराबर है। क्या यह प्रत्येक संख्या के गुणजों के लिए सत्य होगा? इसकी जाँच 6,9और 10 के गुणजों को लेकर कीजिए। हम पाते हैं कि एक संख्या का प्रत्येक गुणज उस संख्या से बड़ा या उसके बराबर होता है। 7ण्5के गुणज लिख्िाए। ये 5ए 10ए 15ए 20ए ण्ण्ण् हैं। क्या आप सोचते हैं कि यह सूची कहीं समाप्त होगी? नहीं, यह सूची समाप्त न होने वाली है। इसकी जाँच 6,7इत्यादि के गुणजों को लेकर भी कीजिए। हम प्राप्त करते हैं कि एक दी हुइर् संख्या के गुणजों की संख्या अपरिमित ;पदपिदपजमद्ध है। 8ण् क्या7स्वयं का एक गुणज है। हाँ, क्योंकि7त्र 7×1 है। क्या यह अन्य संख्याओं के लिए भी सत्य है? 3, 12 और 16 के लिए इसकी जाँच कीजिए। आप पाएँगे कि प्रत्येक संख्या स्वयं का एक गुणज है।526के सभी गुणनखंड 1, 2,3और6हैं। साथ ही, 1 ़2़3़6त्र 12 त्र2×6है। हम प्राप्त करते हैं कि6के सभी गुणनखंडों का योग6का दोगुना है। 28 के सभी गुणनखंड 1ए 2ए 4ए 7ए 14 और 28 हैं। इन्हें जोड़ने पर हम प्राप्त करते हैं कि 1 ़2़4़7़ 14 ़ 28 त्र 56 त्र2× 28 है। अथार्त् 28 के सभी गुणनखंडों का योग संख्या 28 का दोगुना है। वह संख्या जिसके सभी गुणनखंडों का योग उस संख्या का दोगुना हो, एक संपूणर् संख्या ;चमतमिबज दनउइमतद्ध कहलाती है।6और 28 संपूणर् संख्याएँ हैं। क्या 10 एक संपूणर् संख्या है? उदाहरण 1रू 68 के सभी गुणनखंडों को लिख्िाए। हल रू हम देखते हैं कि 68 त्र 1 × 68 68 त्र2× 34 68 त्र4× 17 68 त्र17 ×4यहाँ रुक जाइए, क्योंकि4और 17 पहले आ चुके हैं। इस प्रकार, 68 के सभी गुणनखंड 1ए 2ए 4ए 17ए 34 और 68 हैं। उदाहरण 2रू 36 के गुणनखंड ज्ञात कीजिए। हल रू 36 त्र 1 × 36 36 त्र2× 18 36 त्र3× 12 36 त्र4×936 त्र6×6यहाँ रुक जाइए, क्योंकि दोनों गुणनखंड ;6द्ध समान हैं। इस प्रकार, वांछित गुणनखंड 1ए 2ए 3ए 4ए 6ए 9ए 12ए 18 और 36 हैं। उदाहरण 3रू6के सभी प्रथम पाँच गुणज लिख्िाए। हल रू वांछित गुणज रू 6×1त्र 6ए 6×2 त्र 12ए 6×3 त्र 18ए 6×4 त्र 24 और 6×5 त्र 30 अथार्त् 6ए 12ए 18ए 24 और 30 हैं। प्रश्नावली 3ण्1 1ण् निम्नलिख्िात संख्याओं के सभी गुणनखंड लिख्िाए: ;ंद्ध 24 ;इद्ध 15 ;बद्ध 21 ;कद्ध 27 ;मद्ध 12 ;द्धि 20 ;हद्ध 18 ;ीद्ध 23 ;पद्ध 36 2ण् निम्न संख्याओं के प्रथम पाँच गुणज लिख्िाए: ;ंद्ध5;इद्ध8 ;बद्ध9 3ण् स्तंभ 1 की संख्याओं का स्तंभ2के साथ मिलान कीजिएः स्तंभ 1 स्तभं2;पद्ध 35 ;ंद्ध 8 का गुणज ;पपद्ध 15 ;इद्ध7का गुणज ;पपपद्ध 16 ;बद्ध 70 का गुणज ;पअद्ध 20 ;कद्ध 30 का गुणनखंड ;अद्ध 25 ;मद्ध 50 का गुणनखंड ;द्धि 20 का गुणनखंड 4ण्9के सभी गुणज ज्ञात कीजिए जो 100 से कम हों। 3ण्3 अभाज्य और भाज्य संख्याएँ अब हम किसी संख्या के गुणनखंड करने की विध्ि से परिचित हो चुके हैं। निम्न सारणी मेंलिखी वुफछ संख्याओं के गुणनखंडों की संख्याओं पर ध्यान दीजिए: संख्या गुणनखंड गुणनखंडों की संख्या 1 1 121ए2231ए3241ए 2ए4351ए5261ए 2ए 3ए6471ए72 8 1ए 2ए 4ए 849 1ए 3ए93 10 1ए 2ए 5ए 10411 1ए 11212 1ए 2ए 3ए 4ए 6ए 126हम देखते हैं कि ;ंद्ध संख्या 1 का एक ही गुणनखंड ;स्वयं वही संख्याद्ध है। ;इद्ध वुफछ संख्याएँ जैसे 2, 3, 5, 7, 11 इत्यादि ऐसी हैं जिनके ठीक दो गुणनखंड;1 और स्वयं वह संख्याद्ध हैं। ये संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ ;चतपउम दनउइमतेद्ध हैं। वे संख्याएँ जिनके गुणनखंड 1 और स्वयं वह संख्या ही होते हैं अभाज्यसंख्याएँ कहलाती हैं। इन संख्याओं के अतिरिक्त वुफछ अन्य अभाज्य संख्याएँ ज्ञात करने का प्रयत्न कीजिए। ;बद्ध वुफछ संख्याएँ जैसे 4ए 6ए 8ए 9ए 10 इत्यादि ऐसी हैं,ध्यान रखें: 1 न तोजिनके दो से अध्िक गुणनखंड हैं, ये संख्याएँ भाज्य अभाज्य संख्या है औरसंख्याएँ ;बवउचवेपजम दनउइमतेद्ध हैं। वे संख्याएँजिनके दो से अध्िक गुणनखंड होते हैं भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं। क्या 15 एक भाज्य संख्या है? 18 और 25 के बारे में आप क्या सोचते हैं? हम एक सरल विध्ि से 1 से 100 तक के बीच की अभाज्य संख्याएँ बिना उनके गुणनखंड किए ज्ञात करते हैं। यह विध्ि इर्.पूवर् तीसरी शताब्दी में एक यूनानी गण्िातज्ञ इराटोसथीन्स ;म्तंजवेजीमदमेद्ध ने दी थी। आइए, इस विध्ि को देखें। 1 से 100 तक की संख्याओं को नीचे दशार्ए अनुसार लिख्िाए:48 914 15 1618 24 25 26 2728 323334 3536 3839 42 44 45 46 48 49 72 74757677 82 84 85 86 87 92 93 94 95 96 चरण.1 रू 1 को काट दीजिए, क्योंकि यह एक अभाज्य संख्या नहीं है। चरण.2 रू2पर घेरा लगाइए और2के अतिरिक्त उसके सभी गुणजों, जैसे 4, 6, 8 इत्यादि को काट दीजिए। चरण.3रू आप पाएँगे कि अगली बिना कटी संख्या3है।3पर घेरा लगाइए और3के अतिरिक्त उसके सभी गुणजों को काट दीजिए। चरण.4रू अगली बिना कटी संख्या5है।5पर घेरा लगाइए और5के अतिरिक्त उसके सभी गुणजों को काट दीजिए। चरण.5 रू इस प्र�ि�या को तब तक जारी रख्िाए जब तक कि उपरोक्त सूची में दी हुइर् संख्याओं पर या तो घेरा न लग जाए या वे काट न दी जाएँ। घेरा लगी हुइर् सभीसंख्याएँ अभाज्य संख्याएँ हैं। 1 के अतिरिक्त सभी काटी गइर् संख्याएँ भाज्य संख्याएँ हैं। यह विध्ि इराटोसथीन्स की छलनी ;ैपमअम व िम्तंजवेजीमदमेद्ध विध्ि कहलाती है। उदाहरण 4रू 15 से छोटी सभी अभाज्य संख्याएँ लिख्िाए। हल रू छलनी विध्ि से प्राप्त उपरोक्त सारणी को देखकर, हम सरलता से वांछित अभाज्य संख्याएँ लिख सकते हैं। ये हैं: 2ए 3ए 5ए 7ए 11 और 13 सम और विषम संख्याएँ क्या आप संख्याओं 2ए 4ए 6ए 8ए 10ए 12ए 14ए ण्ण्ण् में कोइर् प्रतिरूप ;चंजजमतदद्ध देखते हैं? आप पाएँगे कि इनमें से प्रत्येक2का एक गुणज है। ये संख्याएँ सम संख्याएँ ;मअमद दनउइमतेद्ध कहलाती हैं। शेष बची सभी प्रावृफत संख्याएँ 1ए 3ए 5ए 7ए 9ए 11एण्ण्ण् विषम संख्याएँ ;वकक दनउइमतेद्ध कहलाती हैं। आप आसानी से जाँच कर सकते हैं कि एक2या3अंकों वाली संख्या सम संख्या है या नहीं। आप यह वैफसे ज्ञात करेंगे कि 756482 जैसी बड़ी संख्या एक सम संख्या है या नहीं? क्या2से भाग देकर? क्या यह प्र�ि�या जटिल नहीं होगी? हम कहते हैं कि वह संख्या जिसके इकाइर् के स्थान पर 0, 2, 4,6या 8 अंक हों एक सम संख्या होगी। इसलिए संख्याएँ 350, 4862 और 59246 सम संख्याएँ हैं। संख्याएँ 457, 2359 और 8231 विषम संख्याएँ हैं। आइए, अब वुफछ रोचक तथ्यों को ज्ञात करने का प्रयत्न करें: ;ंद्ध सबसे छोटी सम संख्या कौन - सी है? यह2है। सबसे छोटी अभाज्य संख्या कौन - सी है? पुनः यह संख्या2है। इस प्रकार,2सबसे छोटी अभाज्य संख्या है जो एक सम संख्या भी है। ;इद्ध2के अतिरिक्त अभाज्य संख्याएँ 3, 5, 7, 11, .... हैं। क्या आप इस सूची में कोइर् सम संख्या देख रहे हैं? नहीं, सभी संख्याएँ विषम हैं। वुफछ और अभाज्य संख्याएँ देखने का प्रयत्न करें। इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि2के अतिरिक्त सभी अभाज्य संख्याएँ विषम हैं। प्रश्नावली 3ण्2 1ण् बताइए कि किन्हीं दो संख्याओं का योग सम होता है या विषम होता है, यदि वे दोनों ;ंद्ध विषम संख्याएँ हों ;इद्ध सम संख्याएँ हों 2ण् बताइए कि निम्नलिख्िात में कौन सा कथन सत्य है और कौन सा असत्य: ;ंद्ध तीन विषम संख्याओं का योग सम होता है। ;इद्ध दो विषम संख्याओं और एक सम संख्या का योग सम होता है। ;बद्ध तीन विषम संख्याओं का गुणनपफल विषम होता है। ;कद्ध यदि किसी सम संख्या को2से भाग दिया जाए, तो भागपफल सदैव विषम होता है। ;मद्ध सभी अभाज्य संख्याएँ विषम हैं। ;द्धि अभाज्य संख्याओं के कोइर् गुणनखंड नहीं होते। ;हद्ध दो अभाज्य संख्याओं का योग सदैव सम होता है। ;ीद्ध केवल2ही एक सम अभाज्य संख्या है। ;पद्ध सभी सम संख्याएँ भाज्य संख्याएँ हैं।56 ;रद्ध दो सम संख्याओं का गुणनपफल सदैव सम होता है। 3ण् संख्या 13 और 31 अभाज्य संख्याएँ हैं। इन दोनों संख्याओं में दो अंक 1 और3हैं। 100 तक की संख्याओं में ऐसे अन्य सभी युग्म ज्ञात कीजिए। 4ण् 20 से छोटी सभी अभाज्य और भाज्य संख्याएँ अलग - अलग लिख्िाए। 5ण् 1 और 10 के बीच में सबसे बड़ी अभाज्य संख्या लिख्िाए। 6ण् निम्नलिख्िात को दो विषम अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त कीजिए: ;ंद्ध 44 ;इद्ध 36 ;बद्ध 24 ;कद्ध 18 7ण् अभाज्य संख्याओं के ऐसे तीन युग्म लिख्िाए जिनका अंतर2हो। ख्टिप्पणी: दो अभाज्य संख्याएँ जिनका अंतर2हो अभाज्य युग्म ;जूपद चतपउमेद्ध कहलाती हैं।, 8ण् निम्नलिख्िात में से कौन - सी संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ हैं? ;ंद्ध 23 ;इद्ध 51 ;बद्ध 37 ;कद्ध 26 9ण् 100 से छोटी सात क्रमागत भाज्य संख्याएँ लिख्िाए जिनके बीच में कोइर् अभाज्य संख्यानहीं हो। 10ण् निम्नलिख्िात संख्याओं में से प्रत्येक को तीन अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में व्यक्तकीजिए: ;ंद्ध 21 ;इद्ध 31 ;बद्ध 53 ;कद्ध 61 11ण् 20 से छोटी अभाज्य संख्याओं के ऐसे पाँच युग्म लिख्िाए जिनका योग5से विभाज्य ;कपअपेपइसमद्ध हो। ;संकेत:3़7त्र 10द्ध 12ण् निम्न में रिक्त स्थानों को भरिए: ;ंद्ध वह संख्या जिसके केवल दो गुणनखंड हों एक ऋऋऋऋऋऋ कहलाती है। ;इद्ध वह संख्या जिसके दो से अध्िक गुणनखंड हों एक ऋऋऋऋऋऋ कहलाती है। ;बद्ध 1 न तो ऋऋऋऋऋऋ है और न ही ऋऋऋऋऋऋ । ;कद्ध सबसे छोटी अभाज्य संख्या ऋऋऋऋऋऋ है। ;मद्ध सबसे छोटी भाज्य संख्या ऋऋऋऋऋ है। ;द्धि सबसे छोटी सम संख्या ऋऋऋऋऋऋहै। 3ण्4 संख्याओं की विभाज्यता की जाँच क्या संख्या 38 संख्या2से विभाज्य है? क्या यह4से विभाज्य है? क्या यह5से विभाज्य है? 38 को वास्तविक रूप में इन संख्याओं से भाग देने पर हम प्राप्त करते हैं कि यह2से विभाज्य है, परंतु4और5से विभाज्य नहीं है। आइए देखें कि क्या हम कोइर् प्रतिरूप ;पैटनर्द्ध ज्ञात कर सकते हैं जिससे हम बता सवेंफ कि कोइर् संख्या 2ए 3ए 4ए 5ए 6ए 8ए 9ए 10 या 11 से विभाज्य है या नहीं। क्या आप सोचते हैं कि ऐसे प्रतिरूप हम आसानी से देख सकते हैं? 10 से विभाज्यता रू चारू 10 के गुणजों 10ए 20ए 30ए 40ए 50ए 60ए ण्ण्ण् ण् को देख रही थी। उसने इन संख्याओं में एक सवर्निष्ठ ;बवउउवदद्ध गुण देखा। क्या आप बता सकते हैं कि क्या इनमें प्रत्येक के इकाइर् के स्थान पर अंक0है? उसने इकाइर् के स्थान0वाली वुफछ और संख्याओं के बारे में भी सोचा, जैसे कि 100ए 1000ए 3200ए 7010 । उसने यह भी ज्ञात किया कि ये सभी संख्याएँ 10 से विभाज्य हैं। इस प्रकार, वह ज्ञात करती है कि यदि किसी संख्या के इकाइर् के स्थान पर अंक0हो, तो वह 10 से विभाज्य होती है। क्या आप 100 से विभाज्यता का कोइर् नियम ज्ञात कर सकते हैं?5से विभाज्यता: मनि ने संख्याओं 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, ... में एक रोचक प्रतिरूप प्राप्त किया। क्या आप यह प्रतिरूप बता सकते हैं? इन सभी संख्याओं में, इकाइर् के स्थान पर या तो अंक0है या अंक5है। उसने ज्ञात किया कि ये सभी संख्याएँ5से विभाज्य हैं। उसने5से विभाज्य वुफछ और संख्याएँ लीं, जैसे कि 105, 215, 6205, 3500 इत्यादि। इन संख्याओं में भी इकाइर् के स्थान पर0या5ही आते हैं। उसने 23, 56 और 97 को5से भाग देने का प्रयत्न किया। क्या वह ऐसा करने में समथर् हो जाएगा? इसकी जाँच कीजिए। वह देखता है कि यदि किसी संख्या का इकाइर् का अंक0हो या5हो, तो वह संख्या5से विभाज्य होती है। क्या 1750125 संख्या5से विभाज्य है?2से विभाज्यता रू चारू2के वुफछ गुणजों 10, 12, 14, 16, ... और वुफछ अन्य गुणजों जैसे 2410, 4356, 1358, 2972, 5974 को देखती है। उसे इनमें एक प्रतिरूप दिखाइर् देता है। क्या आप इस प्रतिरूप को बता सकते हैं? इन संख्याओं के इकाइर् के स्थान पर 0, 2, 4,6और 8 में से ही कोइर् अंक आता है। वह इन संख्याओं को2से भाग देती है और शेष0प्राप्त करती है। वह यह भी ज्ञात करती है कि संख्याएँ 2467 और 4829 संख्या2से विभाज्य नहीं है। इन संख्याओं के इकाइर् के स्थान पर 0, 2, 4,6या 8 में से कोइर् भी अंक नहीं है। इन प्रेक्षणों से वह यह निष्कषर् निकालती है कि यदि किसी संख्या के इकाइर् के स्थान पर 0, 2, 4,6या 8 में से कोइर् अंक हो, तो वह संख्या2से विभाज्य होती है।3से विभाज्यता रू क्या संख्या 21, 27, 36, 54 और 219 संख्या3से विभाज्य हैं? हाँ, ये हैं। क्या संख्याएँ 25, 37 और 260 संख्या3से विभाज्य हैं? नहीं।3से विभाज्यता के लिए क्या आप कोइर् प्रतिरूप इकाइर् स्थान में देख सकते हैं हम नहीं देख सकते, क्योंकि इकाइर् के स्थान पर समान अंक होने पर वह3से विभाजित हो भी सकता है और नहीं भी। जैसे संख्या 27,3से विभाजित है, पर संख्याएँ 17, 37,3से विभाजित नहीं है। अब आप 21ए 36ए 54 और 219 के अंकों को जोडि़ए। क्या आप इनमें कोइर् विशेष बात देखते हैं?2़ 1त्र3ए3़6त्र 9ए5़4त्र 9ए2़ 1़9त्र 12। ये सभी योग3से विभाज्य हैं। 25ए 37ए 260 के अंकों को जोडि़ए। हमें2़5त्र 7ए3़7त्र 10ए2़6़0त्र 8 प्राप्त 58 होता है। इनमें से कोइर् भी योग3से विभाज्य नहीं है। हम कहते हैं कि यदि किसी संख्या के अंकों का योग3का एक गुणज हो, तो वह संख्या3से विभाज्य होती है। क्या 7221 संख्या3से विभाज्य है?6से विभाज्यता रू क्या आप कोइर् ऐसी संख्या बता सकते हैं जो2और3दोनों से विभाज्य है? ऐसी एक संख्या 18 है। क्या संख्या 18, 2×3 के गुणनपफल6से विभाज्य होगी? हाँ, ऐसा ही है। 18 जैसी वुफछ और संख्याएँ ज्ञात कीजिए और जाँचिए कि क्या वे6से भी विभाज्य हैं। क्या आप कोइर् ऐसी संख्या बता सकते हैं जो2से विभाज्य हो, परंतु3से विभाज्य न हो? अब एक ऐसी संख्या लिख्िाए जो3से विभाज्य हो, परंतु2से विभाज्य न हो। ऐसी एक संख्या 27 है। क्या 27 संख्या6से विभाज्य है? नहीं। ऐसी वुफछ और संख्याएँ ज्ञात करने का प्रयत्न कीजिए। इन प्रेक्षणों से हम यह निष्कषर् निकालते हैं कि यदि कोइर् संख्या2और3दोनों से विभाज्य हो, तो वह संख्या6से भी विभाज्य होती है।4से विभाज्यता रू क्या आप तीन अंकों की कोइर् ऐसी संख्या बता सकते हैं, जो4से विभाज्य है? हाँ, ऐसी एक संख्या 212 है। अब कोइर् चार अंकों की संख्या बताओ जो4से विभाज्य हो। ऐसी एक संख्या 1936 है। 212 के इकाइर् और दहाइर् के स्थानों के अंकों से बनी संख्या को देख्िाए। यह संख्या 12 है, जो4से विभाज्य है। 1936 के लिए यह संख्या 36 है। पुनः यह संख्या भी4से विभाज्य है। इसी प्र�ि�या को संख्या 4612य 3516य 9532 पर करने का प्रयत्न कीजिए। क्या 286 संख्या4से विभाज्य है? नहीं। क्या 86 संख्या4से विभाज्य है? नहीं। अतः, हम कहते हैं कि3या अध्िक अंकों की एक संख्या4से विभाज्य होती है,यदि उसके अंतिम दो अंकों ;इकाइर् और दहाइर् के स्थान के अंकोंद्ध से बनी संख्या4से विभाज्य हो। इस नियम की जाँच 10 और उदाहरण लेकर कीजिए। 1 या2अंकों की संख्या की4से विभाज्यता की जाँच वास्तविक रूप में4से भाग देकर की जानी चाहिए। 8 से विभाज्यता रू क्या संख्याएँ 1000, 2104 और 1416 संख्या 8 से विभाज्य हैं? हाँ, ये 8 से विभाज्य हैं। इन संख्याओं के इकाइर्, दहाइर् और सैकडे़ के अंकों से बनी संख्याएँ क्रमशः 000, 104 और 416 हैं। ये तीनों संख्याएँ भी 8 से विभाज्य हैं। ऐसी वुफछ और संख्याएँ ज्ञात कीजिएजिनके इकाइर्, दहाइर् और सैकड़े के स्थानों के अंकों ;अंतिम तीन अंकद्ध से बनी संख्याएँ 8 से विभाज्य हों। उदाहरणाथर् 9216ए 8216ए 7216ए 10216ए 9995216 इत्यादि। इन संख्याओं में आप पाएँगे कि ये संख्याएँ स्वयं भी 8 से विभाज्य हैं। हम ज्ञात करते हैं कि4या उससे अध्िक अंकों की कोइर् संख्या 8 से विभाज्य होती है, यदि अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य हो। क्या 73512 संख्या 8 से विभाज्य है? 1,2या3अंकों वाली संख्याओं की 8 से विभाज्यता की जाँच वास्तविक रूप से भाग देकर की जा सकती है।9से विभाज्यतारू9के गुणज 9ए 18ए 27ए 36ए 45ए 54एण्ण्ण् हैं अथार्त् ये संख्याएँ9से विभाज्य हैं। वुफछ अन्य संख्याएँ 4608 और 5283 भी हैं जो9से विभाज्य हैं। क्या आप इन संख्याओं के अंकों के योग में कोइर् प्रतिरूप देखते हैं? हाँ। 1 ़ 8 त्र 9ए2़7त्र 9ए3़6त्र 9ए4़5त्र 9ए4़6़0़ 8 त्र 18ए5़2़ 8 ़3त्र 18 इनमें सभी योग9से विभाज्य हैं। क्या 758 संख्या9से विभाज्य है? नहीं। इस संख्या के अंकों का योग7़5़ 8 त्र 20 भी9से विभाज्य नहीं है। इन प्रेक्षणों के आधर पर, हम कह सकते हैं कि यदि किसी संख्या के अंकों का योग9से विभाज्य हो, तो वह संख्या भी9से विभाज्य होती है। 11 से विभाज्यता रू संख्याओं 308ए 1331 और 61809 में से प्रत्येक संख्या 11 से विभाज्य है। हम एक सारणी बनाते हैं और देखते हैं कि क्या इन संख्याओं के अंकों से हमें कोइर् प्रतिरूप प्राप्त होता है। संख्या दाएँ से विषम दाएँ से सम अंतर स्थानों के स्थानों के अंकों का योग अंकों का योग 308 8 ़3त्र 11011 दृ0त्र 11 1331 1 ़3त्र43 ़ 1 त्र44 दृ4त्र0618099़ 8 ़6त्र 230़ 1 त्र 1 23 दृ 1 त्र 22 हम देखते हैं कि प्रत्येक स्िथति में, अंतर या तो0है या 11 से विभाज्य है। साथ ही, ये सभी संख्याएँ 11 से विभाज्य हैं। संख्या 5081 के लिए, ऐसे अंकों का अंतर ;8 ़ 5द्ध दृ ;1 ़ 0द्ध त्र 12 है, जो 11 से विभाज्य नहीं है। संख्या 5081 भी 11 से विभाज्य नहीं है। इसकी जाँच 11 से 5081 को भाग देकर की जा सकती है। इस प्रकार, किसी संख्या की 11 से विभाज्यता की जाँच के लिए, दाएँ से विषम स्थानों के अंकों का योग और सम स्थानों के अंकों के योग का अंतर ज्ञात किया जाए। यदि यह अंतर0है या 11 से विभाज्य है, तो वह संख्या 11 से विभाज्य होती है। प्रश्नावली 3ण्3 1ण् विभाज्यता की जाँच के नियमों का प्रयोग करते हुए, पता कीजिए कि निम्नलिख्िात संख्याओं में से कौन सी संख्याएँ2से विभाज्य हैंऋ3से विभाज्य हैंऋ4से विभाज्य हैंऋ5से विभाज्य हैं,6से विभाज्य हैं, 8 से विभाज्य हैं,9से विभाज्य हैं, 10 से विभाज्य हैं या 11 से विभाज्य हैं ;हाँ या नहीं कहिएद्ध: 2ण् विभाज्यता की जाँच के नियमों द्वारा ज्ञात कीजिए कि निम्नलिख्िात में से कौन सी संख्याएँ4से विभाज्य हैं और कौन सी 8 से विभाज्य हैं: ;ंद्ध 572 ;इद्ध 726352 ;बद्ध 5500 ;कद्ध 6000 ;मद्ध 12159 ;द्धि 14560 ;हद्ध 21084 ;ीद्ध 31795072 ;पद्ध 1700 ;रद्ध 2150 3ण् विभाज्यता की जाँच के नियमों द्वारा ज्ञात कीजिए कि निम्नलिख्िात में से कौन सी संख्याएँ6से विभाज्य हैं: ;ंद्ध 297144 ;इद्ध 1258 ;बद्ध 4335 ;कद्ध 61233 ;मद्ध 901352 ;द्धि 438750 ;हद्ध 1790184 ;ीद्ध 12583 ;पद्ध 639210 ;रद्ध 17852 4ण् विभाज्यता की जाँच के नियमों द्वारा ज्ञात कीजिए कि निम्नलिख्िात में से कौन सी संख्याएँ 11 से विभाज्य हैं: ;ंद्ध 5445 ;इद्ध 10824 ;बद्ध 7138965 ;कद्ध 70169308 ;मद्ध 10000001 ;द्धि 901153 संख्या विभाज्य है2से3से4से5से6से 8 से9से 10 से 11 से 128 हाँ नहीं हाँ नहीं नहीं हाँ नहीं नहीं नहीं 990 ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् 1586 ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् 275 ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् 6686 ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् 639210 ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् 429714 ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् 2856 ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् 3060 ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् 406839 ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् 5ण् निम्नलिख्िात में रिक्त स्थानों में सबसे छोटा अंक तथा सबसे बड़ा अंक लिख्िाए, जिससे संख्या3से विभाज्य होऋ ;ंद्ध ऋऋऋऋ 6724 ;इद्ध 4765 ऋऋऋऋऋ26ण् निम्नलिख्िात में रिक्त स्थानों में ऐसा अंक लिख्िाए ताकि संख्या 11 से विभाज्य हो: ;ंद्ध 92 ऋऋऋऋऋ 389 ;इद्ध 8 ऋऋऋऋऋ 9484 3ण्5 सावर् गुणनखंड और सावर् गुणज वुफछ संख्याओं के युग्मों के गुणनखंडों को देख्िाए। ;ंद्ध4और 18 के गुणनखंड क्या हैं?4के गुणनखंड हैं: 1,2और418 के गुणनखंड हैं: 1, 2, 3, 6,9और 18 दोनों संख्याओं4और 18 के गुणनखंड 1 और2हैं। अथवा ये4और 18 के उभयनिष्ठ या सावर् गुणनखंड ;ब्वउउवद ंिबजवतेद्ध हैं। ;इद्ध4और 15 के सावर् गुणनखंड क्या हैं?इन दोनों संख्याओं में केवल 1 ही सावर् गुणनखंड हैं।7 और 16 के सावर् गुणनखंड क्या हैं?दो संख्याएँ जिनमें केवल 1 ही सावर् गुणनखंड होता है सह - अभाज्य संख्याएँ;बव.चतपउम दनउइमतेद्ध कहलाती हैं।4और 15 सह - अभाज्य संख्याएँ हैं।क्या7और 15, 12 और 49, 18 और 23 सह - अभाज्य संख्याएँ हैं?;बद्ध क्या हम 4, 12 और 16 के सावर् गुणनखंड ज्ञात कर सकते हैं?4 के गुणनखंड 1,2और4हैं।12 के गुणनखंड 1ए 2ए 3ए 4ए6और 12 हैं।16 के गुणनखंड 1ए 2ए 4ए 8 और 16 हैं।स्पष्टतः 4, 12 और 16 के सावर् गुणनखंड 1,2और4हैं।निम्न के सावर् गुणनखंड ज्ञात कीजिए:;ंद्ध 8ए 12ए 20 ;इद्ध 9ए 15ए 21 आइए, अब एक से अध्िक संख्याओं के गुणजों को एक साथ लेकर देखें।;ंद्ध4और6के गुणज क्या हैं?4 के गुणज हैं: 4ए 8ए 12ए 16ए 20ए 24ए ण्ण्ण् ;वुफछ और गुणज लिख्िाएद्ध6 के गुणज हैं: 6ए 12ए 18ए 24ए 30ए 36ए ण्ण्ण् ;वुफछ और गुणज लिख्िाएद्धइनमें से, क्या वुफछ और ऐसी संख्याएँ हैं जो दोनों सूचियों में आ रही हैं? हम देखतेहैं कि 12, 24, 36, ...4और6दोनों के गुणज हैं।क्या आप ऐसे वुफछ और गुणज लिख सकते हैं?ये4और6के उभयनिष्ठ या सावर् गुणज ;ब्वउउवद उनसजपचसमेद्ध कहलाते हैं? ;इद्ध 3,5और6के सावर् गुणज ज्ञात कीजिए।3के गुणज 3ए 6ए 9ए 12ए 15ए 18ए 21ए 24ए 27ए 30ए 33ए ण्ण्ण् हैं।5के गुणज 5ए 10ए 15ए 20ए 25ए 30ए 35ए ण्ण्ण् हैं।6के गुणज 6ए 12ए 18ए 24ए 30ए ण्ण्ण् है। 3ए5और6के, सावर् गुणज 30ए 60ए 90ए ण्ण्ण्ण् हैं। 3ए5और6के कुछ और सावर् गुणज लिख्िाए। उदाहरण 5रू 75ए 60 और 210 के सावर् गुणनखंड ज्ञात कीजिए। हल रू 75 के गुणनखंड 1ए 3ए 5ए 15ए 25 और 75 हैं। 60 के गुणनखंड 1ए 2ए 3ए 4ए 5ए 6ए 10ए 12ए 15ए 30 और 60 हैं। 210 के गुणनखंड 1ए 2ए 3ए 5ए 6ए 7ए 10ए 14ए 15ए 21ए 30ए 35ए 42ए 70ए 105 और 210 हैं। इस प्रकार 75ए 60 और 210 के सावर् गुणनखंड 1ए 3ए5और 15 हैं। उदाहरण 6रू 3ए4और9के सावर् गुणज ज्ञात कीजिए। हल रू3के गुणज 3ए 6ए 9ए 12ए 15ए 18ए 21ए 24ए 27ए 30ए 33ए 36ए 39ए 42ए 45ए 48ए ण्ण्ण् हैं।4के गुणज 4ए 8ए 12ए 16ए 20ए 24ए 28ए 32ए 36ए 40ए 44ए 48एण्ण्ण् हैं।9के गुणज 9ए 18ए 27ए 36ए 45ए 54ए 63ए 72ए 81ए ण्ण्ण् हैं। स्पष्टतः 3ए4और9के सावर् गुणज 36ए 72ए 108एण्ण्ण् हैं। प्रश्नावली 3ण्4 1ण् निम्न के सावर् गुणनखंड ज्ञात कीजिए: ;ंद्ध 20 और 28 ;इद्ध 15 और 25 ;बद्ध 35 और 50 ;कद्ध 56 और 120 2ण् निम्न के सावर् गुणनखंड ज्ञात कीजिए: ;ंद्ध 4ए 8 और 12 ;इद्ध 5ए 15 और 25 3ण् निम्न के प्रथम तीन सावर् गुणज ज्ञात कीजिए: ;ंद्ध6और 8 ;इद्ध 12 और 18 4ण् 100 से छोटी ऐसी सभी संख्याएँ लिख्िाए जो3और4के सावर् गुणज हैं। 5ण् निम्नलिख्िात में से कौन - सी संख्याएँ सह - अभाज्य हैं? ;ंद्ध 18 और 35 ;इद्ध 15 और 37 ;बद्ध 30 और 415 ;कद्ध 17 और 68 ;मद्ध 216 और 215 ;द्धि 81 और 16 6ण् एक संख्या5और 12 दोनों से विभाज्य है। किस अन्य संख्या से यह संख्या सदैव विभाजित होगी? 7ण् एक संख्या 12 से विभाज्य है। और कौन सी संख्याएँ हैं जिनसे यह संख्या विभाज्य होगी? 3ण्6 विभाज्यता के वुफछ और नियम आइए, संख्याओं की विभाज्यता के वुफछ और नियमों को देखें। ;पद्ध क्या आप 18 का एक गुणनखंड बता सकते हैं? यह9है।9के एक गुणनखंड को लिख्िाए। यह3है। क्या संख्या 18 का एक गुणनखंड3है। हाँ, यह है। 18 का कोइर् अन्य गुणनखंड बताइए। यह6है।6का एक गुणनखंड बताइए। यह2है। यह 18 का भी एक गुणनखंड है, अथार्त् 18 को विभाजित करता है। इसकी जाँच 18 के अन्य गुणनखंडों के लिए भी कीजिए। यही प्र�ि�या 24 के लिए भी कीजिए। यह 8 से विभाज्य है। साथ ही, 24 संख्या 8 के सभी गुणनखंडों 1ए2ए4 और 8 से भी विभाज्य है। इसलिए, हम कह सकते हैं कि यदि कोइर् संख्या एक संख्या से विभाज्य है, तो वह संख्या इस संख्या के प्रत्येक गुणनखंड से भी विभाज्य होगी। ;पपद्ध संख्या 80 संख्याओं4और5दोनों से विभाज्य है। यह4×5त्र 20 से भी विभाज्य है तथा4और5सह - अभाज्य संख्याएँ हैं। इसी प्रकार, 60 सह - अभाज्य संख्याओं3और5से विभाज्य है। 60, गुणनपफल3×5त्र 15 से भी विभाज्य है। इसलिए, हम कह सकते हैं कि यदि कोइर् संख्या दो सह - अभाज्य संख्याओं से विभाज्य हो, तो वह उनके गुणनपफल से भी विभाज्य होती है। ;पपपद्ध दोनों संख्याएँ 16 और 20 संख्या4से विभाज्य हैं। संख्या 16 ़ 20 त्र 36 भी4से विभाज्य है। इसकी जाँच संख्याओं के वुफछ और युग्म लेकर कीजिए। 16 और 20 के अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंडों के लिए भी इसकी जाँच कीजिए। इस प्रकार, यदि दी हुइर् दो संख्याएँ किसी संख्या से विभाज्य हों, तो इन संख्याओं का योग भी उस संख्या से विभाज्य होगा। ;पअद्ध दोनों संख्याएँ 35 और 20 संख्या5से विभाज्य हैं। क्या इनका अंतर 35 - 20 त्र 15 भी5से विभाज्य है? इसकी जाँच संख्याओं के ऐसे वुफछ अन्य युग्म लेकर भी कीजिए। इस प्रकार, यदि दी हुइर् दो संख्याएँ किसी संख्या से विभाज्य हांे, तो इन संख्याओं का अंतर भी उस संख्या से विभाज्य होगा। दो संख्याओं के अन्य युग्म लेकर उपयुर्क्त दिए गए चारों नियमों की जाँच कीजिए। 3ण्7 अभाज्य गुणनखंडन यदि किसी संख्या को उसके गुणनखंडों के गुणनपफल के रूप में व्यक्त किया जाए, तो हम कहते हैं कि हमने उस संख्या को गुणनखंडित ;ंिबजवतपेमकद्ध कर लिया है अथवा उसके गुणनखंड कर लिए हैं। इस प्रकार, जब हम 24 त्र3× 8 लिखते हैं, तो हम कहते हैं कि हमने 24 के गुणनखंड कर लिए हैं। यह 24 के गुणनखंडनों में से एक गुणनखंडन है। इसके अन्य गुणनखंडन निम्न हैंः 64 24 त्र2× 12 24 त्र4×624 त्र3× 8 त्र2×2×6त्र2×2×6त्र3×2×2×2त्र2×2×2×3त्र2×2×2×3त्र2×2×2×324 के उपरोक्त सभी गुणनखंडनों में, अंत में हम एक ही गुणनखंडन2×2×2×3पर पहुँचते हैं। इस गुणनखंडन में केवल2और3ही गुणनखंड हैं और ये अभाज्य संख्याएँ हैं। किसी संख्या का इस प्रकार का गुणनखंडन अभाज्य गुणनखंडन ;चतपउम ंिबजवतपेंजपवदद्ध कहलाता है। आइए, इसकी जाँच संख्या 36 से करें। 36 का अभाज्य गुणनखंडन2×2×3×3है। यह 36 का केवल एक ही अभाज्य गुणनखंडन है। गुणनखंड वृक्ष ;थ्ंबजवत ज्तममद्ध कोइर् संख्या चुनिए इसका कोइर् गुणनखंड अब 15 के एक गुणनखंड और उसे लिख्िाए युग्म सोचिए, जैसे युग्म को सोचिए, जैसे 90 90 त्र15×6 15 त्र 3×56के गुणनखंड युग्म लिख्िाए ऐसा ही निम्न संख्याएँ लेकर कीजिए। ;ंद्ध 8 ;इद्ध 12 उदाहरण 7रू 980 का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात कीजिए। हल रू हम ऐसा निम्न प्रकार करते हैं: हम संख्या 980 को 2ए 3ए 5ए7इत्यादि से इसी क्रम में बार - बार भाग देते हैं। यह प्र�ि�या हम तब तक जारी रखते हैं, जब तक कि भागपफल इनसे विभाजित होता रहे।29802490524574977 1 इस प्रकार 980 का अभाज्य गुणनखंडन है: 980 त्र2×2×5×7×7प्रश्नावली 3ण्5 1ण् निम्नलिख्िात में से कौन - से कथन सत्य हैं? ;ंद्ध यदि कोइर् संख्या3से विभाज्य है, तो वह9से भी विभाज्य होती है। ;इद्ध यदि एक संख्या9से विभाज्य है, तो वह3से भी अवश्य विभाज्य होगी। ;बद्ध एक संख्या 18 से भी विभाज्य होती है, यदि वह3और6दोनों से विभाज्य हो। ;कद्ध यदि एक संख्या9और 10 दोनों से विभाज्य हो, तो वह 90 से भी विभाज्य होगी। ;मद्ध यदि दो संख्याएँ सह - अभाज्य हों, तो इनमें से कम से कम एक अवश्य ही अभाज्य संख्या होगी। ;द्धि4से विभाज्य सभी संख्याएँ 8 से भी अवश्य विभाज्य होनी चाहिए। ;हद्ध 8 से विभाज्य सभी संख्याएँ4से विभाज्य होनी चाहिए। ;ीद्ध यदि कोइर् संख्या दो संख्याओं को अलग - अलग पूरा - पूरा विभाजित करती है, तो वह उनके योग को भी पूरा - पूरा विभाजित करेगी। ;पद्ध यदि कोइर् संख्या दो संख्याओं के योग को पूरी तरह विभाजित करती है, तो वह उन दोनों संख्याओं को अलग - अलग भी विभाजित करेगी। 2ण् यहाँ 60 के लिए दो भ्िाÂ - भ्िाÂ गुणनखंड वृक्ष दिए हैं। इनमें अज्ञात संख्याएँ लिख्िाए। ;ंद्ध 66 3ण् एक भाज्य संख्या के अभाज्य गुणनखंडन में किन गुणनखंडों को सम्िमलित नहीं किया जाता है? 4ण् चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या लिख्िाए और उसे अभाज्य गुणनखंडन के रूप में व्यक्त कीजिए। 5ण् पाँच अंकों की सबसे छोटी संख्या लिख्िाए और उसे अभाज्य गुणनखंडन के रूप में व्यक्त कीजिए। 6ण् 1729 के सभी अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए और उन्हें आरोही क्रम में व्यवस्िथत कीजिए। अब दो क्रमागत अभाज्य गुणनखंडों में यदि कोइर् संबंध है तो लिख्िाए। 7ण् तीन क्रमागत संख्याओं का गुणनपफल सदैव6से विभाज्य होता है। इस कथन को वुफछउदाहरणों की सहायता से स्पष्ट कीजिए। 8ण् दो क्रमागत विषय संख्याओं का योग4से विभाज्य होता है। वुफछ उदाहरण लेकर इसकथन का सत्यापन कीजिए। 9ण् निम्न में से किन व्यंजकों में अभाज्य गुणनखंडन किए गए हैं: ;ंद्ध 24 त्र2×3×4;इद्ध 56 त्र 1 ×7×2×2×2;बद्ध 70 त्र2×5×7;कद्ध 54 त्र2×3×910ण् बिना भाग किए ज्ञात कीजिए कि क्या 25110 संख्या 45 से विभाज्य है। ख्संकेत:5और9सह - अभाज्य संख्याएँ हैं। दी हुइर् संख्या की5और9से विभाज्यता की जाँच कीजिए।, 11ण् संख्या 18ए2और3दोनों से विभाज्य है। यह2×3त्र6से भी विभाज्य है। इसी प्रकार,एक संख्या4और6दोनों से विभाज्य है। क्या हम कह सकते हैं कि वह संख्या4×6त्र 24 से भी विभाज्य होगी। यदि नहीं, तो अपने उत्तर की पुष्िट के लिए एक उदाहरण दीजिए। 12ण् मैं चार भ्िाÂ - भ्िाÂ अभाज्य गुणनखंडों वाली सबसे छोटी संख्या हूँ। क्या आप मुझे ज्ञात कर सकते हैं? 3ण्8 महत्तम समापवतर्क हम दो संख्याओं के सावर् गुणनखंड ज्ञात करना सीख चुके हैं। अब हम इन सावर् गुणनखंडों में सबसे बड़ा गुणनखंड ज्ञात करने का प्रयत्न करेंगे। 12 और 16 के सावर् गुणनखंड क्या हैं? ये 1,2 और4हैं। इन सावर् गुणनखंडों में सबसे बड़ा कौन - सा है? यह4है। 20ए 28 और 36 के सावर् गुणनखंड क्या हैं। ये 1ए2और4हैं तथा इनमें पुनः सबसे बड़ा गुणनखंड4है। दो या अध्िक दी हुइर् संख्याओं के सावर् गुणनखंडों में सबसे बड़ा सावर् गुणनखंडइन दी हुइर् संख्याओं का महत्तम समापवतर्क ;ीपहीमेज बवउउवद ंिबजवतद्ध कहलाता है।महत्तम समापवतर्क को संक्षेप में म.स. ;या भ्ब्थ्द्ध भी लिखते हैं। इसे महत्तम ;सबसे बड़ाद्ध सावर् भाजक ;हतमंजमेज बवउउवद कपअपेवतद्ध या ;ळब्क्द्ध भी कहा जाता है। संख्याओं 20, 28 और 36 का म.स. इन संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडन द्वारा इस प्रकार ज्ञात किया जा सकता है:2 2021055 122821477 12362183933 1 इस प्रकार, 20 त्र 2×2 ×5 28 त्र 2×2 ×7 36 त्र 2×2 ×3×3 20, 28 और 36 में सावर् गुणनखंड2;दो बार आ रहा हैद्ध है। अतः, 20, 28 और 36 का म.स.2×2त्र4है। प्रश्नावली 3ण्6 1ण् निम्नलिख्िात संख्याओं के म.स. ज्ञात कीजिए: ;ंद्ध 18ए 48 ;इद्ध 30ए 42 ;बद्ध 18ए 60 ;कद्ध 27ए 63 ;मद्ध 36ए 84 ;द्धि 34ए 102 ;हद्ध 70ए 105ए 175 ;ीद्ध 91ए 112ए 49 ;पद्ध 18ए54ए 81 ;रद्ध 12ए 45ए 75 2ण् निम्न का म.स. क्या है? ;ंद्ध दो क्रमागत संख्याएँ ;इद्ध दो क्रमागत सम संख्याएँ ;बद्ध दो क्रमागत विषम संख्याएँ 3ण् अभाज्य गुणनखंडन द्वारा दो सह - अभाज्य संख्याओं4और 15 का म.स. इस प्रकार ज्ञात किया गया:4त्र2×2और 15 त्र3×5चूँकि इन गुणनखंडों में कोइर् अभाज्य सावर् गुणनखंड नहीं है, इसलिए4और 15 का मस. शून्य है। क्या यह उत्तर सही है? यदि नहीं तो सही म.स. क्या है? 3ण्9 लघुतम समापवत्यर्4और6के सावर् गुणज क्या हैं? ये12ए 24ए 36ए ण्ण्ण् हैं।इनमें सबसे छोटा गुणज कौन - सा है? यह 12 है। हम कहते हैं कि4और6का सबसे छोटा ;लघुतमद्ध गुणज या लघुतम समापवत्यर् ;सवूमेज बवउउवद उनसजपचसमद्ध 12 है। यह वह छोटी से छोटी संख्या है जो दोनों का गुणज है।दो या अ�ि�ाक दी हुइर् संख्याओं का लघुतम समापवत्यर् इन संख्याओं के सावर् गुणजों में से सबसे छोटा ;लघुतम या निम्नतमद्ध गुणज होता है। संक्षेप में, इसे ल.स.;स्ब्डद्ध भी लिखा जाता है। 8 और 12 का ल.स. क्या है?4और9का ल.स. क्या है?6और9का ल.स. क्या है? उदाहरण 8रू 12 और 18 का ल.स. ज्ञात कीजिए। हल हम जानते हैं कि 12 और 18 के सावर् गुणज 36, 72, 108 इत्यादि हैं। इनमें सबसे छोटा 36 है। आइए, एक और विध्ि से इसे निकालंेः 12 और 18 के अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार हैं:12 त्र2×2×318 त्र2×3×3इन अभाज्य गुणनखंडनों में, अभाज्य गुणनखंड2अ�ि�ाकतम दो बार आताहै ;यह 12 के गुणनखंडों में हैद्ध। इसी प्रकार अभाज्य गुणनखंड 3अ�ि�ाकतम दो बार आता है ;यह 18 के गुणनखंडों में हैद्ध। दो संख्याओं का ल.स. उन अभाज्य गुणनखंडों का गुणनपफल है जो उन संख्याओं मेंअ�ि�ाकतम बार आते हंै। अतः इनका ल.स.त्र2×2×3×3त्र 36 है। उदाहरण 9रू 24 और 90 का ल.स. ज्ञात कीजिए। हल रू 24 और 90 के अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार हैंः 24 त्र2×2×2×390 त्र2×3×3×5इन अभाज्य गुणनखंडनों में, अभाज्य गुणनखंड2अध्िकतम तीन बार आताहै ;यह 24 में हैद्धऋ अभाज्य गुणनखंड3दो बार आता है ;यह 90 में हैद्ध और अभाज्य गुणनखंड5केवल एक बार 90 में आता है। इसलिए, वांछित ल.स.त्र ;2 ×2× 2द्ध × ;3 × 3द्ध ×5त्र 360 उदाहरण 10 रू 40ए 48 और 45 का ल.स. ज्ञात कीजिए। हल रू 40ए 48 और 45 के अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार हैं: 40 त्र2×2×2×548 त्र2×2×2×2×345 त्र3×3×5अभाज्य गुणनखंड2अध्िकतम चार बार ;यह 48 में हैद्ध, अभाज्य गुणनखंड3 अध्िकतम दो बार ;यह 45 में हैद्ध और अभाज्य गुणनखंड5केवल एकबार ;यह 40 और 45 दोनों में हैद्ध आता है। अतः वांछित ल.स.त्र ;2 ×2×2× 2द्ध × ;3 × 3द्ध ×5त्र 720 लघुतम समापवत्यर् ;ल.स.द्ध को एक अन्य विध्ि से भी ज्ञात किया जा सकता है, जो अगले उदाहरण में दशार्इर् गइर् है: उदाहरण 11 रू 20ए 25 और 30 का ल.स. ज्ञात कीजिए। हल रू हम संख्याओं को एक पंक्ित में नीचे दशार्ए अनुसार लिखते हैं:220 25 30210 25 1535 25 1555 2555 151 1 1 1 ;ंद्ध ;इद्ध ;बद्ध ;कद्ध ;मद्ध अतः, ल.स.त्र2×2×3×5×5त्र 300 ंण् ;सबसे छोटी अभाज्य संख्या2से भाग दीजिए। 25 जैसी संख्या2से विभाज्य नहीं है। इसलिए इन्हें अगली पंक्ित में वैसा का वैसा ही रख दिया जाता हैद्ध। इण् ;पुनः2से भाग दीजिए। इसे तब तक जारी रख्िाए जब तक2के गुणज मिलते रहेंद्ध। बण् ;अगली अभाज्य संख्या3से भाग दीजिएद्ध। कण् ;अगली अभाज्य संख्या5से भाग दीजिएद्ध। मण् ;पुनः5से भाग दीजिएद्ध। 3ण्10 म.स. और ल.स. पर वुफछ और उदाहरण हमें अनेक स्िथतियों का सामना करना पड़ता है, जहाँ हम म.स. और ल.स. की संकल्पनाओंका प्रयोग करते हैं। हम इन्हें वुफछ उदाहरणों की सहायता से समझाएँगे। उदाहरण 12 रू दो टैंकरों ;जंदामतेद्ध में क्रमशः 850 लीटर और 680 लीटर मिट्टी का तेलआता है। उस बतर्न की अध्िकतम धरिता ;बंचंबपजलद्ध ज्ञात कीजिए, जो इनदोनों टैंकरों के तेल को पूरा - पूरा माप देगा। हल रू वांछित बतर्न को दोनों टैंकरों के तेल को पूरा - पूरा मापना है। अतः इसकीधरिता दोनों टैंकरों की धरिताओं का एक पूरा - पूरा विभाजक होगा। साथही, इसकी धरिता अध्िकतम भी होनी चाहिए। अतः ऐसे बतर्न कीअध्िकतम धरिता 850 और 680 का म.स. होगी। इसे निम्नलिख्िात प्रकार से ज्ञात किया जाता है:28505425585 17 17 1268023402170585 17 17 1 70 अतः, 850 त्र2×5×5× 17 त्र2×5× 17 ×5680 त्र2×2×2×5× 17 त्र2×5× 17 × 2×2850 और 680 के सावर् गुणनखंड 2,5और 17 है। अतः, 850 और 680 का म.स.2 ×5× 17 त्र 170 है। अतः वांछित बतर्न की अध्िकतम धरिता 170 लीटर है। यह पहले बतर्न को5बार में और दूसरे को4बार में पूरा - पूरा माप देगा। उदाहरण 13 रू प्रातःकालीन सैर में, तीन व्यक्ित एक साथ कदम उठाकर चलना प्रारंभ करते हैं। उनके कदमों की लंबाइयाँ क्रमशः 80 सेमी, 85 सेमी और 90 सेमी हैं। इनमें से प्रत्येक न्यूनतम कितनी दूरी चले कि वे उसे पूरे - पूरे कदमों में तय करें? हल रू प्रत्येक व्यक्ित द्वारा चली गइर् दूरी को समान और न्यूनतम रहना है। यह वांछित न्यूनतम दूरी, जो प्रत्येक व्यक्ित को चलनी है, उनके कदमों की मापों का लघुतम समापवत्यर् ;ल.स.द्ध होगी। क्या आप बता सकते हैं क्यों? इसलिए, हम 80, 85 और 90 का ल.स. ज्ञात करते हैं। 80, 85 और 90 का ल.स. 12240 है। अतः वांछित न्यूनतम दूरी 12240 सेमी है। उदाहरण 14 रू वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 12, 16, 24 और 36 से भाग देने पर प्रत्येक दशा में7शेष रहता है। हल रू हम 12ए 16ए 24 और 36 का ल.स. निम्न प्रकार ज्ञात करते हैं:212 16 24 3626 8 12 18234692323933 13931 1 131 1 1 1 इस प्रकार, ल.स.त्र2×2×2×2×3×3त्र 144 144 वह सबसे छोटी संख्या है जिसे 12, 16, 24 और 36 से भाग देने पर प्रत्येक दशा में0शेष रहेगा। परंतु हमें ऐसी सबसे छोटी संख्या चाहिए जिसमें प्रत्येक दशा में7शेष रहे। अतः वांछित संख्या 144 से7अध्िक होगी। इस प्रकार, वांछित सबसे छोटी संख्या त्र 144 ़7त्र 151 है। प्रश्नावली 3ण्7 1ण् रेणु 75 किग्रा और 69 किग्रा भारों वाली दो खाद की बोरियाँ खरीदती हैं। भार के उस बट्टे का अध्िकतम मान ज्ञात कीजिए जो दोनों बोरियों के भारों को पूरा - पूरा माप ले। 2ण् तीन लड़के एक ही स्थान से एक साथ कदम उठाकर चलना प्रारंभ करते हैं। उनके कदमों की माप क्रमशः 63 सेमी, 70 सेमी और 77 सेमी हैं। इनमें से प्रत्येक कितनी न्यूनतम दूरी तय करे कि वह दूरी पूरे - पूरे कदमों में तय हो जाए? 3ण् किसी कमरे की लंबाइर्, चैड़ाइर् और ऊँचाइर् क्रमशः 825 सेमी, 675 सेमी और 450 सेमी हैं। ऐसा सबसे लंबा पफीता ;जंचमद्ध ज्ञात कीजिए जो कमरे की तीनों विमाओं ;कपउमदेपवदेद्ध को पूरा - पूरा माप ले। 4ण् 6,8 और 12 से विभाज्य तीन अंकों की सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए। 5ण् 8,10 और 12 से विभाज्य तीन अंकों की सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए। 6ण् तीन विभ्िाÂ चैराहों की ट्रैपिफक लाइट ;जतंपििब सपहीजेद्ध क्रमशः प्रत्येक 48 सैकंड, 72 सैकंड और 108 सैकंड बाद बदलती हैं। यदि वे एक साथ प्रातः7बजे बदलें, तो वे पुनः एक साथ कब बदलेंगी? 7ण् तीन टैंकरों में क्रमशः 403 लीटर, 434 लीटर और 465 लीटर डीज़ल है। उस बतर्न की अध्िकतम धरिता ज्ञात कीजिए जो इन तीनों टैंकरों के डीशल को पूरा - पूरा माप देगा। 8ण् वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 6, 15 और 18 से भाग देने पर प्रत्येक दशा में5शेष रहे। 9ण् चार अंकों की वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जो 18, 24 और 32 से विभाज्य है। 10ण् निम्नलिख्िात संख्याओं का ल.स. ज्ञात कीजिए जिनमें एक संख्या सदैव3का एक गुणज है। ;ंद्ध9और4;इद्ध 12 और5;बद्ध6और5;कद्ध 15 और4प्राप्त ल.स. में एक सामान्य गुण का अवलोकन कीजिए। क्या ल.स. प्रत्येक स्िथति में दोनों संख्याओं का गुणनपफल है? क्या हम यह निष्कषर् निकाल सकते हैं कि दो संख्याओं का ल.स. सदैव3का एक गुणज है? 11ण् निम्नलिख्िात संख्याओं का ल.स. ज्ञात कीजिए जिनमें एक संख्या दूसरी संख्या का एक गुणनखंड है: ;ंद्ध 5ए 20 ;इद्ध 6ए 18 ;बद्ध 12ए 48 ;कद्ध 9ए 45 प्राप्त परिणामों में आप क्या देखते हैं? 72 हमने क्या चचार् की? 1ण् गुणजों और गुणनखंडों की पहचान वैफसे कर सकते हैं। 2ण् हमने अब तक चचार् की और निम्न को खोजा μ ;ंद्ध एक संख्या का गुणनखंड उस संख्या का पूणर् विभाजक होता है। ;इद्ध प्रत्येक संख्या स्वयं का एक गुणनखंड होती है। प्रत्येक संख्या का एक गुणनखंड होता है। ;बद्ध दी हुइर् संख्या का प्रत्येक गुणनखंड उस संख्या से छोटा या उसके बराबर होता है। ;कद्ध प्रत्येक संख्या अपने प्रत्येक गुणनखंडों का एक गुणज होती है। ;मद्ध दी हुइर् संख्या का प्रत्येक गुणज उस संख्या से बड़ा या उसके बराबर होता है। ;द्धि प्रत्येक संख्या स्वयं का एक गुणज है। 3ण् हमने सीखा है μ ;ंद्ध वह संख्या जिसके दो ही गुणनखंड होते हैं, संख्या स्वयं और 1, अभाज्य संख्या कहलाती है। जिन संख्याओं के दो से अध्िक गुणनखंड होते हैं वे संख्याएँ भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं। ;इद्ध संख्या2सबसे छोटी अभाज्य संख्या है जो एक सम संख्या भी है। अन्य सभी अभाज्य संख्याएँ विषम होती हैं। ;बद्ध दो संख्याएँ जिनका सावर् गुणनखंड केवल 1 हो, सह - अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं। ;कद्ध यदि एक संख्या दूसरी संख्या से विभाज्य है, तो वह दूसरी संख्या के प्रत्येक गुणनखंड से भी विभाजित होगी। ;मद्ध वह संख्या जो दो सह - अभाज्य संख्याओं से विभाज्य होती है, उनके गुणनपफल से भी विभाज्य होगी। 4ण् संख्याओं को बिना भाग की वि्रफया किए उनकी छोटी 2ए 3ए 4ए 5ए 8ए9और 11 से विभाज्यता की जाँच कर सकते हैं। हमने संख्या के अंकों का, विभ्िान्न संख्याओं से विभाज्यता के संबंधें का अन्वेषण किया है। ;ंद्ध 2ए5और 10 से विभाज्यता संख्या के अंकों के योग द्वारा की जा सकती है। ;इद्ध3और9से विभाज्यता केवल इकाइर् अंक को देखकर बताइर् जा सकती है। ;बद्ध4से विभाज्यता इकाइर् और दहाइर् तथा 8 से विभाज्यता इकाइर्, दहाइर् व सैकड़े से बनने वाली संख्या द्वारा जाँची जा सकती है। ;कद्ध 11 से विभाज्यता दाईं ओर से सम स्थानों के अंकों के योग और विषम स्थानों के अंकों के योग के अंतर द्वारा जाँची जा सकती है। 5ण् यदि दो संख्याएँ एक संख्या से विभाजित होती हैं, तो उन दोनों का योग तथा अंतर भी उस संख्या से विभाजित होता है। 6ण् ;ंद्ध दो या अध्िक संख्याओं का म.स.;भ्ब्थ्द्ध उसके सावर् गुणनखंडों में से सबसे बड़ा होगा। ;इद्ध दो या अध्िक संख्याओं का ल.स.;स्ब्डद्ध उसके सावर् गुणजों में से सबसे छोटा होगा।\nरमेश के पास6कंचे (काँच की गोलियाँ) हैं। वह इन्हें पंक्तियों में इस प्रकार व्यवस्थित करना चाहता है कि प्रत्येक पंक्ति में कंचों की संख्या समान हो। वह उन्हें निम्न विधियों से व्यवस्थित करता है और कंचों की कुल संख्या परिकलित करता है :\n(i)\tप्रत्येक पंक्ति में 1 कंचा।\nपंक्तियों की संख्या = 6\nकंचों की कुल संख्या = 1 ×6= 6\n(ii)\tप्रत्येक पंक्ति में2कंचे।\nपंक्तियों की संख्या = 3\nकंचों की कुल संख्या =2×3= 6\n(iii)\tप्रत्येक पंक्ति में3कंचे।\nपंक्तियों की संख्या = 2\nकंचों की कुल संख्या =3×2= 6\n(iv)\tवह कोई एेसी व्यवस्था नहीं सोच सका जिसमें प्रत्येक पंक्ति में4कंचे अथवा5कंचे हों। इसलिए अब केवल एक व्यवस्था बची, जिसमें एक पंक्ति में सभी6कंचों को रख दिया जाए।\nपंक्तियों की संख्या = 1\nकंचों की कुल संख्या =6× 1 = 6\nइन परिकलनों में रमेश यह देखता है कि6को विभिन्न प्रकार (विधियों) से दो संख्याओं के गुणनफलों के रूप में लिखा जा सकता है, जैसा कि नीचे दिखाया गया है :\n6 = 1 × 6;\t6 =2× 3;\t6 =3× 2;\t6 =6× 1\n6 =2×3से यह कहा जा सकता है कि2और 3, संख्या6को पूरी-पूरी (exactly) विभाजित करती हैं। अर्थात्2और 3, संख्या6के पूरे-पूरे विभाजक (या भाजक) (divisors) हैं। अन्य गुणनफल6= 1 ×6से6के अन्य विभाजक 1 और6प्राप्त होते हैं।\nइस प्रकार, 1, 2,3और6संख्या6के विभाजक हैं। ये6के गुणनखंड (factors) कहलाते हैं।\n18 कंचों को पंक्तियों में व्यवस्थित करने का प्रयत्न कीजिए और 18 के गुणनखंड ज्ञात कीजिए।\n3.2 गुणनखंड और गुणज\nमैरी वे संख्याएँ ज्ञात करना चाहती है जो4को पूरी-पूरी विभाजित करती हैं। वह4को4से कम या उसके बराबर की संख्याओं से इस प्रकार विभाजित करती (भाग देती) है;\nवह पाती है कि संख्या4को निम्न रूप में लिखा जा सकता है :\n4 = 1 × 4;4=2× 2;4=4× 1\nवह ज्ञात करती है कि 1,2और4संख्या4के पूरे-पूरे विभाजक हैं।\nये संख्याएँ4के गुणनखंड कहलाती हैं।\nकिसी संख्या का गुणनखंड उसका एक पूरा-पूरा (exact) विभाजक (divisor) होता है।\nध्यान दीजिए कि4का प्रत्येक गुणनखंड4से कम या उसके बराबर है।\nखेल 1 : यह खेल दो व्यक्तियों, मान लीजिए A और B द्वारा खेला जा सकता है। यह खेल गुणनखंड ज्ञात करने के बारे में है।\nइसके लिए 50 कार्डों की आवश्यकता है, जिन पर 1 से 50 तक की संख्याएँ अंकित हैं।\nएक मेज़ पर इन कार्डों को नीचे दर्शाए अनुसार व्यवस्थित कीजिए :\n(a)\tनिर्णय लीजिए कि पहले कौन खेलेगा : A या B।\n(b)\tमान लीजिए A पहले खेलता है। वह मेज़ से एक कार्ड उठाता है और अपने निकट रख लेता है। मान लीजिए इस कार्ड पर 28 लिखा है।\n(c)\tखिलाड़ी B अब वे सभी कार्ड उठाता है जिन पर A के कार्ड पर लिखी संख्या (अर्थात् 28) के गुणनखंड लिखे हैं और उन्हें अपने निकट एक ढेर में रख देता है।\n(d)\tफिर खिलाड़ी B मेज़ पर रखे कार्डों में से एक कार्ड उठाता है। अब मेज़ पर बचे कार्डों से A वे सभी कार्ड उठाता है जिन पर B के कार्ड की संख्या के गुणनखंड लिखे हैं।\n(e)\tयह खेल तब तक जारी रहता है, जब तक कि सभी कार्ड न उठा लिए जाएँ।\n(f)\tA अपने पास रखे कार्डों पर लिखी संख्याओं को जोड़ता है और B भी अपने पास रखे कार्डों पर लिखी संख्याओं को जोड़ता है। जिस खिलाड़ी का योग अधिक होगा उसे ही जीता हुआ माना जाएगा।\nकार्डों की संख्या को बढ़ाकर इस खेल को और अधिक रोचक बनाया जा सकता है।\nइस खेल को अपने मित्र के साथ खेलिए। क्या आप इस खेल को जीतने की कोई विधि ज्ञात कर सकते हैं?\nजब हम 20 =4×5लिखते हैं, तो हम कहते हैं कि4और 5, संख्या 20 के गुणनखंड (factor) हैं। हम यह भी कहते हैं कि 20, संख्या4और5का गुणज (multiple) है।\nनिरूपण 24 =2× 12 यह दर्शाता है कि2और 12, संख्या 24 के गुणनखंड हैं तथा 24 संख्या2और 12 का एक गुणज है।\nहम कह सकते हैं कि एक संख्या अपने प्रत्येक गुणनखंड का एक गुणज होती है।\n45, 30 और 36 के संभावित गुणनखंड ज्ञात कीजिए।\nआइए, अब गुणनखंडों और गुणजों के बारे में कुछ रोचक तथ्यों को देखें :\n(a)\tलकड़ी या कागज़ की कुछ पट्टियाँ एकत्रित कीजिए, जिनमें से प्रत्येक की लंबाई3मात्रक हो।\n(b)\tसिरे से सिरा मिला कर इन्हें नीचे दी आकृति के अनुसार जोड़िए :\nऊपरी पट्टी की लंबाई3= 1 ×3मात्रक है।\nइसके नीचे वाली पट्टी की लंबाई3+3=6मात्रक (units) है। साथ ही,6=2×3है।\nअगली पट्टी की लंबाई3+3+3=9मात्रक है। साथ ही,9=3×3है। इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, हम अन्य लंबाइयों को निम्न प्रकार से व्यक्त कर सकते हैं :\nहम कहते हैं कि संख्याएँ 3, 6, 9, 12, 15 संख्या3के गुणज हैं।\n3 के गुणजों की सूची को 18, 21, 24, ... के रूप में आगे बढ़ाया जा सकता है। इनमें से प्रत्येक गुणज3से बड़ा या उसके बराबर है।\nसंख्या4के गुणज 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...हैं। यह सूची समाप्त नहीं होती है। इनमें से प्रत्येक गुणज4से बड़ा या उसके बराबर है।\nआइए देखें कि गुणनखंडों और गुणजों के बारे में हम क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं :\n1.\tक्या कोई एेसी संख्या है, जो प्रत्येक संख्या के गुणनखंड के रूप में आती है? हाँ, यह संख्या 1 है। उदाहरणार्थ,6= 1 × 6, 18 = 1 × 18 इत्यादि। इसकी जाँच कुछ और संख्याएँ लेकर कीजिए।\nअत: हम कहते हैं कि 1 प्रत्येक संख्या का एक गुणनखंड होता है।\n2.\tक्या7स्वयं का एक गुणनखंड हो सकता है? हाँ। आप7को7× 1 के रूप में लिख सकते हैं। 10 के बारे में आप क्या कह सकते हैं? 15 के बारे में आप क्या सोचते हैं? आप देख सकते हैं कि प्रत्येक संख्या को आप इस रूप में लिख सकते हैं।\nहम कहते हैं कि प्रत्येक संख्या स्वयं अपना एक गुणनखंड होती है।\n3.\t16 के गुणनखंड क्या हैं? ये 1, 2, 4, 8 और 16 हैं। इन गुणनखंडों में क्या आप कोई एेसा गुणनखंड ज्ञात कर सकते हैं, जो 16 को विभाजित न करता हो? 20 और 36 के लिए भी उपरोक्त कथन की जाँच करिए।\nआप पाएँगे कि एक संख्या का प्रत्येक गुणनखंड उस संख्या का एक पूर्ण विभाजक होता है।\n4.\t34 के गुणनखंड क्या हैं? ये 1, 2, 17 और स्वयं 34 हैं। इनमें सबसे बड़ा गुणनखंड कौन सा है? यह 34 है। अन्य गुणनखंड 1,2और 17 संख्या 34 से छोटे हैं। 64, 81 और 56 के लिए भी इस कथन की जाँच कीजिए। हम कहते हैं कि एक दी हुई संख्या का प्रत्येक गुणनखंड उस संख्या से छोटा या उसके बराबर होता है।\n5.\t76 के गुणनखंडों की संख्या5है। 136 के कितने गुणनखंड हैं? 96 के कितने गुणनखंड हैं? आप पाएँगे कि आप इनमें से प्रत्येक संख्या के गुणनखंडों की संख्याओं को गिन सकते हैं। संख्याएँ 10576, 25642 इत्यादि जैसी बड़ी होने पर भी आप इन संख्याओं के गुणनखंडों को गिन सकते हैं, यद्यपि आपको इन संख्याओं को गुणनखंडित करने में कुछ कठिनाई अवश्य होगी।\nहम कह सकते हैं कि एक दी हुई संख्या के गुणनखंडों की संख्या परिमित (finite) होती है।\n6.\t7 के गुणज क्या हैं? स्पष्टत: ये 7, 14, 21, 28,... हैं। आप पाएँगे कि इनमें से प्रत्येक7से बड़ा या उसके बराबर है। क्या यह प्रत्येक संख्या के गुणजों के लिए सत्य होगा? इसकी जाँच 6,9और 10 के गुणजों को लेकर कीजिए।\nहम पाते हैं कि एक संख्या का प्रत्येक गुणज उस संख्या से बड़ा या उसके बराबर होता है।\n7.\t5 के गुणज लिखिए। ये 5, 10, 15, 20, ... हैं। क्या आप सोचते हैं कि यह सूची कहीं समाप्त होगी? नहीं, यह सूची समाप्त न होने वाली है। इसकी जाँच 6,7इत्यादि के गुणजों को लेकर भी कीजिए।\nहम प्राप्त करते हैं कि एक दी हुई संख्या के गुणजों की संख्या अपरिमित (infinite) है।\n8.\tक्या7स्वयं का एक गुणज है। हाँ, क्योंकि7= 7×1 है। क्या यह अन्य संख्याओं के लिए भी सत्य है? 3, 12 और 16 के लिए इसकी जाँच कीजिए।\nआप पाएँगे कि प्रत्येक संख्या स्वयं का एक गुणज है।\n6 के सभी गुणनखंड 1, 2,3और6हैं। साथ ही, 1 +2+3+6= 12 =2×6है। हम प्राप्त करते हैं कि6के सभी गुणनखंडों का योग6का दोगुना है। 28 के सभी गुणनखंड 1, 2, 4, 7, 14 और 28 हैं। इन्हें जोड़ने पर हम प्राप्त करते हैं कि\n1 +2+4+7+ 14 + 28 = 56 =2× 28 है।\nअर्थात् 28 के सभी गुणनखंडों का योग संख्या 28 का दोगुना है।\nवह संख्या जिसके सभी गुणनखंडों का योग उस संख्या का दोगुना हो, एक संपूर्ण संख्या (perfect number) कहलाती है।6और 28 संपूर्ण संख्याएँ हैं।\nक्या 10 एक संपूर्ण संख्या है?\nउदाहरण 1\t:\t68 के सभी गुणनखंडों को लिखिए।\nहल\t:\tहम देखते हैं कि\n68 = 1 × 68 68 =2× 34 68 =4× 17 68 =17 × 4\nयहाँ रुक जाइए, क्योंकि4और 17 पहले आ चुके हैं।\nइस प्रकार, 68 के सभी गुणनखंड 1, 2, 4, 17, 34 और 68 हैं।\nउदाहरण 2\t:\t36 के गुणनखंड ज्ञात कीजिए।\nहल\t:\t36 = 1 × 36 36 =2× 18\n36 =3× 12 36 =4× 9\nयहाँ रुक जाइए, क्योंकि दोनों गुणनखंड (6) समान हैं।\nइस प्रकार, वांछित गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 और 36 हैं।\nउदाहरण 3\t:\t6 के सभी प्रथम पाँच गुणज लिखिए।\nहल\t:\tवांछित गुणज :\n6×1= 6, 6×2 = 12, 6×3 = 18, 6×4 = 24 और 6×5 = 30\nअर्थात् 6, 12, 18, 24 और 30 हैं।\n1.\tनिम्नलिखित संख्याओं के सभी गुणनखंड लिखिए :\n(a)\t24 (b)\t15 (c)\t21\n(d)\t27 (e)\t12 (f)\t20\n(g)\t18 (h)\t23 (i) 36\n2.\tनिम्न संख्याओं के प्रथम पाँच गुणज लिखिए :\n3.\tस्तंभ 1 की संख्याओं का स्तंभ2के साथ मिलान कीजिए:\n4.\t9 के सभी गुणज ज्ञात कीजिए जो 100 से कम हों।\n3.3 अभाज्य और भाज्य संख्याएँ\nअब हम किसी संख्या के गुणनखंड करने की विधि से परिचित हो चुके हैं। निम्न सारणी में लिखी कुछ संख्याओं के गुणनखंडों की संख्याओं पर ध्यान दीजिए:\nहम देखते हैं कि (a) संख्या 1 का एक ही गुणनखंड (स्वयं वही संख्या) है।\n(b)\tकुछ संख्याएँ जैसे 2, 3, 5, 7, 11 इत्यादि एेसी हैं जिनके ठीक दो गुणनखंड (1 और स्वयं वह संख्या) हैं। ये संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ (prime numbers) हैं।\nध्यान रखें : 1 न तो अभाज्य संख्या है और न ही भाज्य संख्या\nवे संख्याएँ जिनके गुणनखंड 1 और स्वयं वह संख्या ही होते हैं अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं।\nइन संख्याओं के अतिरिक्त कुछ अन्य अभाज्य संख्याएँ ज्ञात करने का प्रयत्न कीजिए।\n(c)\tकुछ संख्याएँ जैसे 4, 6, 8, 9, 10 इत्यादि एेसी हैं, जिनके दो से अधिक गुणनखंड हैं, ये संख्याएँ भाज्य संख्याएँ (composite numbers) हैं। वे संख्याएँ जिनके दो से अधिक गुणनखंड होते हैं भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं।\nक्या 15 एक भाज्य संख्या है? 18 और 25 के बारे में आप क्या सोचते हैं?\nहम एक सरल विधि से 1 से 100 तक के बीच की अभाज्य संख्याएँ बिना उनके गुणनखंड किए ज्ञात करते हैं। यह विधि ई.पूर्व तीसरी शताब्दी में एक यूनानी गणितज्ञ इराटोसथीन्स (Eratosthenes) ने दी थी। आइए, इस विधि को देखें। 1 से 100 तक की संख्याओं को नीचे दर्शाए अनुसार लिखिए :\nचरण-1 : 1 को काट दीजिए, क्योंकि यह एक अभाज्य संख्या नहीं है।\nचरण-2 :2पर घेरा लगाइए और2के अतिरिक्त उसके सभी गुणजों, जैसे 4, 6, 8 इत्यादि को काट दीजिए।\nचरण-3 : आप पाएँगे कि अगली बिना कटी संख्या3है।3पर घेरा लगाइए और3के अतिरिक्त उसके सभी गुणजों को काट दीजिए।\nचरण-4 : अगली बिना कटी संख्या5है।5पर घेरा लगाइए और5के अतिरिक्त उसके सभी गुणजों को काट दीजिए।\nचरण-5 : इस प्रक्रिया को तब तक जारी रखिए जब तक कि उपरोक्त सूची में दी हुई संख्याओं पर या तो घेरा न लग जाए या वे काट न दी जाएँ। घेरा लगी हुई सभी संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ हैं। 1 के अतिरिक्त सभी काटी गई संख्याएँ भाज्य संख्याएँ हैं। यह विधि इराटोसथीन्स की छलनी (Sieve of Eratosthenes) विधि कहलाती है।\nध्यान दीजिए कि2×3+ 1 =7एक अभाज्य संख्या है। यहाँ2के एक गुणज में 1 जोड़ कर एक अभाज्य संख्या प्राप्त की गई है। क्या आप इस प्रकार से कुछ और अभाज्य संख्याएँ ज्ञात कर सकते हैं?\nउदाहरण 4\t:\t15 से छोटी सभी अभाज्य संख्याएँ लिखिए।\nहल\t:\tछलनी विधि से प्राप्त उपरोक्त सारणी को देखकर, हम सरलता से वांछित अभाज्य संख्याएँ लिख सकते हैं। ये हैं : 2, 3, 5, 7, 11 और 13\nसम और विषम संख्याएँ\nक्या आप संख्याओं 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ... में कोई प्रतिरूप (pattern) देखते हैं? आप पाएँगे कि इनमें से प्रत्येक2का एक गुणज है।\nये संख्याएँ सम संख्याएँ (even numbers) कहलाती हैं। शेष बची सभी प्राकृत संख्याएँ 1, 3, 5, 7, 9, 11,... विषम संख्याएँ (odd numbers) कहलाती हैं।\nआप आसानी से जाँच कर सकते हैं कि एक2या3अंकों वाली संख्या सम संख्या है या नहीं। आप यह कैसे ज्ञात करेंगे कि 756482 जैसी बड़ी संख्या एक सम संख्या है या नहीं? क्या2से भाग देकर? क्या यह प्रक्रिया जटिल नहीं होगी?\nहम कहते हैं कि वह संख्या जिसके इकाई के स्थान पर 0, 2, 4,6या 8 अंक हों एक सम संख्या होगी। इसलिए संख्याएँ 350, 4862 और 59246 सम संख्याएँ हैं। संख्याएँ 457, 2359 और 8231 विषम संख्याएँ हैं। आइए, अब कुछ रोचक तथ्यों को ज्ञात करने का प्रयत्न करें :\n(a)\tसबसे छोटी सम संख्या कौन-सी है? यह2है। सबसे छोटी अभाज्य संख्या कौन-सी है? पुन: यह संख्या2है।\nइस प्रकार,2सबसे छोटी अभाज्य संख्या है जो एक सम संख्या भी है।\n(b)\t2 के अतिरिक्त अभाज्य संख्याएँ 3, 5, 7, 11, .... हैं। क्या आप इस सूची में कोई सम संख्या देख रहे हैं? नहीं, सभी संख्याएँ विषम हैं। कुछ और अभाज्य संख्याएँ देखने का प्रयत्न करें।\nइस प्रकार, हम कह सकते हैं कि2के अतिरिक्त सभी अभाज्य संख्याएँ विषम हैं।\n1.\tबताइए कि किन्हीं दो संख्याओं का योग सम होता है या विषम होता है, यदि वे दोनों\n(a) विषम संख्याएँ हों (b) सम संख्याएँ हों\n2.\tबताइए कि निम्नलिखित में कौन सा कथन सत्य है और कौन सा असत्य :\n(a)\tतीन विषम संख्याओं का योग सम होता है।\n(b)\tदो विषम संख्याओं और एक सम संख्या का योग सम होता है।\n(c)\tतीन विषम संख्याओं का गुणनफल विषम होता है।\n(d)\tयदि किसी सम संख्या को2से भाग दिया जाए, तो भागफल सदैव विषम होता है।\n(e)\tसभी अभाज्य संख्याएँ विषम हैं।\n(f)\tअभाज्य संख्याओं के कोई गुणनखंड नहीं होते।\n(g)\tदो अभाज्य संख्याओं का योग सदैव सम होता है।\n(h)\tकेवल2ही एक सम अभाज्य संख्या है।\n(i)\tसभी सम संख्याएँ भाज्य संख्याएँ हैं।\n(j)\tदो सम संख्याओं का गुणनफल सदैव सम होता है।\n3.\tसंख्या 13 और 31 अभाज्य संख्याएँ हैं। इन दोनों संख्याओं में दो अंक 1 और3हैं। 100 तक की संख्याओं में एेसे अन्य सभी युग्म ज्ञात कीजिए।\n4.\t20 से छोटी सभी अभाज्य और भाज्य संख्याएँ अलग-अलग लिखिए।\n5.\t1 और 10 के बीच में सबसे बड़ी अभाज्य संख्या लिखिए।\n6.\tनिम्नलिखित को दो विषम अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त कीजिए :\n(a)\t44\t(b) 36\t(c) 24\t(d) 18\n7.\tअभाज्य संख्याओं के एेसे तीन युग्म लिखिए जिनका अंतर2हो।\n[टिप्पणी : दो अभाज्य संख्याएँ जिनका अंतर2हो अभाज्य युग्म (twin primes) कहलाती हैं।]\n8.\tनिम्नलिखित में से कौन-सी संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ हैं?\n(a)\t23\t(b) 51\t(c) 37\t(d) 26\n9.\t100 से छोटी सात क्रमागत भाज्य संख्याएँ लिखिए जिनके बीच में कोई अभाज्य संख्या नहीं हो।\n10.\tनिम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक को तीन अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त कीजिए :\n(a)\t21\t(b) 31\t(c) 53\t(d) 61\n11.\t20 से छोटी अभाज्य संख्याओं के एेसे पाँच युग्म लिखिए जिनका योग5से विभाज्य (divisible) हो। (संकेत :3+7= 10)\n12.\tनिम्न में रिक्त स्थानों को भरिए :\n(a)\tवह संख्या जिसके केवल दो गुणनखंड हों एक ______ कहलाती है।\n(b)\tवह संख्या जिसके दो से अधिक गुणनखंड हों एक ______ कहलाती है।\n(c)\t1 न तो ______ है और न ही ______ ।\n(d)\tसबसे छोटी अभाज्य संख्या ______ है।\n(e)\tसबसे छोटी भाज्य संख्या _____ है।\n(f)\tसबसे छोटी सम संख्या ______है।\n3.4 संख्याओं की विभाज्यता की जाँच\nक्या संख्या 38 संख्या2से विभाज्य है? क्या यह4से विभाज्य है? क्या यह5से विभाज्य है?\n38 को वास्तविक रूप में इन संख्याओं से भाग देने पर हम प्राप्त करते हैं कि यह2से विभाज्य है, परंतु4और5से विभाज्य नहीं है।\nआइए देखें कि क्या हम कोई प्रतिरूप (पैटर्न) ज्ञात कर सकते हैं जिससे हम बता सकें कि कोई संख्या 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 या 11 से विभाज्य है या नहीं। क्या आप सोचते हैं कि एेसे प्रतिरूप हम आसानी से देख सकते हैं?\n10 से विभाज्यता : चारू 10 के गुणजों 10, 20, 30, 40, 50, 60, ... . को देख रही थी। उसने इन संख्याओं में एक सर्वनिष्ठ (common) गुण देखा। क्या आप बता सकते हैं कि वह गुण क्या है? इनमें प्रत्येक के इकाई के स्थान पर अंक0है।\nउसने इकाई के स्थान0वाली कुछ और संख्याओं के बारे में भी सोचा, जैसे कि 100, 1000, 3200, 7010 । उसने यह भी ज्ञात किया कि ये सभी संख्याएँ 10 से विभाज्य हैं।\nइस प्रकार, वह ज्ञात करती है कि यदि किसी संख्या के इकाई के स्थान पर अंक0हो, तो वह 10 से विभाज्य होती है।\nक्या आप 100 से विभाज्यता का कोई नियम ज्ञात कर सकते हैं?\n5 से विभाज्यता : मनि ने संख्याओं 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, ... में एक रोचक प्रतिरूप प्राप्त किया। क्या आप यह प्रतिरूप बता सकते हैं? इन सभी संख्याओं में, इकाई के स्थान पर या तो अंक0है या अंक5है। उसने ज्ञात किया कि ये सभी संख्याएँ5से विभाज्य हैं।\nउसने5से विभाज्य कुछ और संख्याएँ लीं, जैसे कि 105, 215, 6205, 3500 इत्यादि। इन संख्याओं में भी इकाई के स्थान पर0या5ही आते हैं।\nउसने 23, 56 और 97 को5से भाग देने का प्रयत्न किया। क्या वह एेसा करने में समर्थ हो जाएगा? इसकी जाँच कीजिए। वह देखता है कि यदि किसी संख्या का इकाई का अंक0हो या5हो, तो वह संख्या5से विभाज्य होती है।\nक्या 1750125 संख्या5से विभाज्य है?\n2 से विभाज्यता : चारू2के कुछ गुणजों 10, 12, 14, 16, ... और कुछ अन्य गुणजों जैसे 2410, 4356, 1358, 2972, 5974 को देखती है। उसे इनमें एक प्रतिरूप दिखाई देता है। क्या आप इस प्रतिरूप को बता सकते हैं? इन संख्याओं के इकाई के स्थान पर 0, 2, 4,6और 8 में से ही कोई अंक आता है।\nवह इन संख्याओं को2से भाग देती है और शेष0प्राप्त करती है।\nवह यह भी ज्ञात करती है कि संख्याएँ 2467 और 4829 संख्या2से विभाज्य नहीं है। इन संख्याओं के इकाई के स्थान पर 0, 2, 4,6या 8 में से कोई भी अंक नहीं है।\nइन प्रेक्षणों से वह यह निष्कर्ष निकालती है कि यदि किसी संख्या के इकाई के स्थान पर 0, 2, 4,6या 8 में से कोई अंक हो, तो वह संख्या2से विभाज्य होती है।\n3 से विभाज्यता : क्या संख्या 21, 27, 36, 54 और 219 संख्या3से विभाज्य हैं?\nक्या संख्याएँ 25, 37 और 260 संख्या3से विभाज्य हैं? नहीं।\n3 से विभाज्यता के लिए क्या आप कोई प्रतिरूप इकाई स्थान में देख सकते हैं हम नहीं देख सकते, क्योंकि इकाई के स्थान पर समान अंक होने पर वह3से विभाजित हो भी सकता है और नहीं भी।\nजैसे संख्या 27,3से विभाजित है, पर संख्याएँ 17, 37,3से विभाजित नहीं है।\nअब आप 21, 36, 54 और 219 के अंकों को जोड़िए। क्या आप इनमें कोई विशेष बात देखते हैं?2+ 1=3,3+6= 9,5+4= 9,2+ 1+9= 12। ये सभी योग3से विभाज्य हैं।\n25, 37, 260 के अंकों को जोड़िए। हमें2+5= 7,3+7= 10,2+6+0= 8 प्राप्त होता है। इनमें से कोई भी योग3से विभाज्य नहीं है।\nहम कहते हैं कि यदि किसी संख्या के अंकों का योग3का एक गुणज हो, तो वह संख्या3से विभाज्य होती है।\nक्या 7221 संख्या3से विभाज्य है?\n6 से विभाज्यता : क्या आप कोई एेसी संख्या बता सकते हैं जो2और3दोनों से विभाज्य है? एेसी एक संख्या 18 है। क्या संख्या 18, 2×3 के गुणनफल6से विभाज्य होगी? हाँ, एेसा ही है।\n18 जैसी कुछ और संख्याएँ ज्ञात कीजिए और जाँचिए कि क्या वे6से भी विभाज्य हैं।\nक्या आप कोई एेसी संख्या बता सकते हैं जो2से विभाज्य हो, परंतु3से विभाज्य न हो?\nअब एक एेसी संख्या लिखिए जो3से विभाज्य हो, परंतु2से विभाज्य न हो। एेसी एक संख्या 27 है।\nक्या 27 संख्या6से विभाज्य है? नहीं। एेसी कुछ और संख्याएँ ज्ञात करने का प्रयत्न कीजिए।\nइन प्रेक्षणों से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि यदि कोई संख्या2और3दोनों से विभाज्य हो, तो वह संख्या6से भी विभाज्य होती है।\n4 से विभाज्यता : क्या आप तीन अंकों की कोई एेसी संख्या बता सकते हैं, जो4से विभाज्य है? हाँ, एेसी एक संख्या 212 है। अब कोई चार अंकों की संख्या बताओ जो4से विभाज्य हो। एेसी एक संख्या 1936 है।\n212 के इकाई और दहाई के स्थानों के अंकों से बनी संख्या को देखिए। यह संख्या 12 है, जो4से विभाज्य है। 1936 के लिए यह संख्या 36 है। पुन: यह संख्या भी4से विभाज्य है। इसी प्रक्रिया को संख्या 4612; 3516; 9532 पर करने का प्रयत्न कीजिए।\nक्या 286 संख्या4से विभाज्य है? नहीं। क्या 86 संख्या4से विभाज्य है? नहीं।\nअत:, हम कहते हैं कि3या अधिक अंकों की एक संख्या4से विभाज्य होती है, यदि उसके अंतिम दो अंकों (इकाई और दहाई के स्थान के अंकों) से बनी संख्या4से विभाज्य हो। इस नियम की जाँच 10 और उदाहरण लेकर कीजिए।\n1 या2अंकों की संख्या की4से विभाज्यता की जाँच वास्तविक रूप में4से भाग देकर की जानी चाहिए।\n8 से विभाज्यता : क्या संख्याएँ 1000, 2104 और 1416 संख्या 8 से विभाज्य हैं? हाँ, ये 8 से विभाज्य हैं।\nइन संख्याओं के इकाई, दहाई और सैकड़े के अंकों से बनी संख्याएँ क्रमश: 000, 104 और 416 हैं। ये तीनों संख्याएँ भी 8 से विभाज्य हैं। एेसी कुछ और संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनके इकाई, दहाई और सैकड़े के स्थानों के अंकों (अंतिम तीन अंक) से बनी संख्याएँ 8 से विभाज्य हों। उदाहरणार्थ 9216, 8216, 7216, 10216, 9995216 इत्यादि। इन संख्याओं में आप पाएँगे कि ये संख्याएँ स्वयं भी 8 से विभाज्य हैं।\nहम ज्ञात करते हैं कि4या उससे अधिक अंकों की कोई संख्या 8 से विभाज्य होती है, यदि अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य हो।\nक्या 73512 संख्या 8 से विभाज्य है?\n1,2या3अंकों वाली संख्याओं की 8 से विभाज्यता की जाँच वास्तविक रूप से भाग देकर की जा सकती है।\n9 से विभाज्यता :9के गुणज 9, 18, 27, 36, 45, 54,... हैं अर्थात् ये संख्याएँ9से विभाज्य हैं। कुछ अन्य संख्याएँ 4608 और 5283 भी हैं जो9से विभाज्य हैं।\nक्या आप इन संख्याओं के अंकों के योग में कोई प्रतिरूप देखते हैं? हाँ।\n1 + 8 = 9,2+7= 9,3+6= 9,4+5= 9,\nइनमें सभी योग9से विभाज्य हैं।\nक्या 758 संख्या9से विभाज्य है? नहीं।\nइस संख्या के अंकों का योग7+5+ 8 = 20 भी9से विभाज्य नहीं है।\nइन प्रेक्षणों के आधार पर, हम कह सकते हैं कि यदि किसी संख्या के अंकों का योग9से विभाज्य हो, तो वह संख्या भी9से विभाज्य होती है।\n11 से विभाज्यता : संख्याओं 308, 1331 और 61809 में से प्रत्येक संख्या 11 से विभाज्य है।\nहम एक सारणी बनाते हैं और देखते हैं कि क्या इन संख्याओं के अंकों से हमें कोई प्रतिरूप प्राप्त होता है।\nहम देखते हैं कि प्रत्येक स्थिति में, अंतर या तो0है या 11 से विभाज्य है। साथ ही, ये सभी संख्याएँ 11 से विभाज्य हैं।\nसंख्या 5081 के लिए, एेसे अंकों का अंतर (8 + 5) – (1 + 0) = 12 है, जो 11 से विभाज्य नहीं है। संख्या 5081 भी 11 से विभाज्य नहीं है। इसकी जाँच 11 से 5081 को भाग देकर की जा सकती है।\nइस प्रकार, किसी संख्या की 11 से विभाज्यता की जाँच के लिए, दाएँ से विषम स्थानों के अंकों का योग और सम स्थानों के अंकों के योग का अंतर ज्ञात किया जाए। यदि यह अंतर0है या 11 से विभाज्य है, तो वह संख्या 11 से विभाज्य होती है।\n1.\tविभाज्यता की जाँच के नियमों का प्रयोग करते हुए, पता कीजिए कि निम्नलिखित संख्याओं में से कौन सी संख्याएँ2से विभाज्य हैं;3से विभाज्य हैं;4से विभाज्य हैं;5से विभाज्य हैं,6से विभाज्य हैं, 8 से विभाज्य हैं,9से विभाज्य हैं, 10 से विभाज्य हैं या 11 से विभाज्य हैं (हाँ या नहीं कहिए) :\n2.\tविभाज्यता की जाँच के नियमों द्वारा ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित में से कौन सी संख्याएँ4से विभाज्य हैं और कौन सी 8 से विभाज्य हैं :\n3.\tविभाज्यता की जाँच के नियमों द्वारा ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित में से कौन सी संख्याएँ6से विभाज्य हैं :\n(a) 297144\t(b)\t1258\t(c)\t4335\t(d)\t61233\n(e)\t901352\t(f)\t438750\t(g)\t1790184\t(h)\t12583\n(i)\t639210\t(j) 17852\n4.\tविभाज्यता की जाँच के नियमों द्वारा ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित में से कौन सी संख्याएँ 11 से विभाज्य हैं :\n(a) 5445\t(b)\t10824\t(c)\t7138965\n(d)\t70169308\t(e)\t10000001\t(f)\t901153\n5.\tनिम्नलिखित में रिक्त स्थानों में सबसे छोटा अंक तथा सबसे बड़ा अंक लिखिए, जिससे संख्या3से विभाज्य हो;\n(a)\t____ 6724\t(b)\t4765 _____ 2\n6.\tनिम्नलिखित में रिक्त स्थानों में एेसा अंक लिखिए ताकि संख्या 11 से विभाज्य हो :\n(a)\t92 _____ 389\t(b)\t8 _____ 9484\n3.5 सार्व गुणनखंड और सार्व गुणज\nकुछ संख्या के युग्मों के गुणनखंडों को देखिए।\n(a)\t4 और 18 के गुणनखंड क्या हैं?\n4 के गुणनखंड हैं : 1,2और 4\n18 के गुणनखंड हैं : 1, 2, 3, 6,9और 18\nदोनों संख्याओं4और 18 के गुणनखंड 1 और2हैं।\nअथवा ये4और 18 के उभयनिष्ठ या सार्व गुणनखंड (Common factors) हैं।\nनिम्न युग्मों के उभयनिष्ठ या सार्व गुणनखंड क्या हैं?\n(a)\t8, 20\t(b) 9, 15\n(b)\t4 और 15 के सार्व गुणनखंड क्या हैं?\nइन दोनों संख्याओं में केवल 1 ही सार्व गुणनखंड हैं।\n7 और 16 के सार्व गुणनखंड क्या हैं?\nदो संख्याएँ जिनमें केवल 1 ही सार्व गुणनखंड होता है सह-अभाज्य संख्याएँ (co-prime numbers) कहलाती हैं।4और 15 सह-अभाज्य संख्याएँ हैं।\nक्या7और 15, 12 और 49, 18 और 23 सह-अभाज्य संख्याएँ हैं?\n(c)\tक्या हम 4, 12 और 16 के सार्व गुणनखंड ज्ञात कर सकते हैं?\n4 के गुणनखंड 1,2और4हैं।\n12 के गुणनखंड 1, 2, 3, 4,6और 12 हैं।\n16 के गुणनखंड 1, 2, 4, 8 और 16 हैं।\nस्पष्टत: 4, 12 और 16 के सार्व गुणनखंड 1,2और4हैं।\nनिम्न के सार्व गुणनखंड ज्ञात कीजिए :\n(a) 8, 12, 20 (b) 9, 15, 21\nआइए, अब एक से अधिक संख्याओं के गुणजों को एक साथ लेकर देखें।\n(a)\t4 और6के गुणज क्या हैं?\n4 के गुणज हैं : 4, 8, 12, 16, 20, 24, ... (कुछ और गुणज लिखिए)\n6 के गुणज हैं : 6, 12, 18, 24, 30, 36, ... (कुछ और गुणज लिखिए)\nइनमें से, क्या कुछ और एेसी संख्याएँ हैं जो दोनों सूचियों में आ रही हैं? हम देखते हैं कि 12, 24, 36, ...4और6दोनों के गुणज हैं।\nक्या आप एेसे कुछ और गुणज लिख सकते हैं?\nये4और6के उभयनिष्ठ या सार्व गुणज (Common multiples) कहलाते हैं?\n(b)\t3,5और6के सार्व गुणज ज्ञात कीजिए।\n3 के गुणज 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, ... हैं।\n5 के गुणज 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, ... हैं।\n6 के गुणज 6, 12, 18, 24, 30, ... है।\n3,5और6के, सार्व गुणज 30, 60, 90, .... हैं।\n3,5और6के कुछ और सार्व गुणज लिखिए।\nउदाहरण 5\t:\t75, 60 और 210 के सार्व गुणनखंड ज्ञात कीजिए।\nहल\t:\t75 के गुणनखंड 1, 3, 5, 15, 25 और 75 हैं।\n60 के गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 30 और 60 हैं।\n210 के गुणनखंड 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105 और 210 हैं।\nइस प्रकार 75, 60 और 210 के सार्व गुणनखंड 1, 3,5और 15 हैं।\nउदाहरण 6\t:\t3,4और9के सार्व गुणज ज्ञात कीजिए।\nहल\t:\t3 के गुणज 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, ... हैं।\n4 के गुणज 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48,... हैं।\n9 के गुणज 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, ... हैं।\nस्पष्टत: 3,4और9के सार्व गुणज 36, 72, 108,... हैं।\n1.\tनिम्न के सार्व गुणनखंड ज्ञात कीजिए :\n(a)\t20 और 28\t(b) 15 और 25\n(c) 35 और 50\t(d) 56 और 120\n2.\tनिम्न के सार्व गुणनखंड ज्ञात कीजिए :\n(a)\t4, 8 और 12\t(b)\t5, 15 और 25\n3.\tनिम्न के प्रथम तीन सार्व गुणज ज्ञात कीजिए :\n(a)\t6 और 8\t(b)\t12 और 18\n4.\t100 से छोटी एेसी सभी संख्याएँ लिखिए जो3और4के सार्व गुणज हैं।\n5.\tनिम्नलिखित में से कौन-सी संख्याएँ सह-अभाज्य हैं?\n(a)\t18 और 35\t(b) 15 और 37 (c) 30 और 415\n(d) 17 और 68\t(e) 216 और 215 (f) 81 और 16\n6.\tएक संख्या5और 12 दोनों से विभाज्य है। किस अन्य संख्या से यह संख्या सदैव विभाजित होगी?\n7.\tएक संख्या 12 से विभाज्य है। और कौन सी संख्याएँ हैं जिनसे यह संख्या विभाज्य होगी?\n3.6 विभाज्यता के कुछ और नियम\nआइए, संख्याओं की विभाज्यता के कुछ और नियमों को देखें।\n(i)\tक्या आप 18 का एक गुणनखंड बता सकते हैं? यह9है।9के एक गुणनखंड को लिखिए। यह3है। क्या संख्या 18 का एक गुणनखंड3है। हाँ, यह है। 18 का कोई अन्य गुणनखंड बताइए। यह6है।6का एक गुणनखंड बताइए। यह2है। यह 18 का भी एक गुणनखंड है, अर्थात् 18 को विभाजित करता है। इसकी जाँच 18 के अन्य गुणनखंडों के लिए भी कीजिए।\nयही प्रक्रिया 24 के लिए भी कीजिए। यह 8 से विभाज्य है। साथ ही, 24 संख्या 8 के सभी गुणनखंडों 1,2,4 और 8 से भी विभाज्य है।\nइसलिए, हम कह सकते हैं कि यदि कोई संख्या एक संख्या से विभाज्य है, तो वह संख्या इस संख्या के प्रत्येक गुणनखंड से भी विभाज्य होगी।\n(ii)\tसंख्या 80 संख्याओं4और5दोनों से विभाज्य है। यह4×5= 20 से भी विभाज्य है तथा4और5सह-अभाज्य संख्याएँ हैं।\nइसी प्रकार, 60 सह-अभाज्य संख्याओं3और5से विभाज्य है। 60, गुणनफल3×5= 15 से भी विभाज्य है।\nइसलिए, हम कह सकते हैं कि यदि कोई संख्या दो सह-अभाज्य संख्याओं से विभाज्य हो, तो वह उनके गुणनफल से भी विभाज्य होती है।\n(iii)\tदोनों संख्याएँ 16 और 20 संख्या4से विभाज्य हैं। संख्या 16 + 20 = 36 भी4से विभाज्य है। इसकी जाँच संख्याओं के कुछ और युग्म लेकर कीजिए।\n16 और 20 के अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंडों के लिए भी इसकी जाँच कीजिए। इस प्रकार, यदि दी हुई दो संख्याएँ किसी संख्या से विभाज्य हों, तो इन संख्याओं का योग भी उस संख्या से विभाज्य होगा।\n(iv)\tदोनों संख्याएँ 35 और 20 संख्या5से विभाज्य हैं। क्या इनका अंतर 35-20 = 15 भी5से विभाज्य है? इसकी जाँच संख्याओं के एेसे कुछ अन्य युग्म लेकर भी कीजिए। इस प्रकार, यदि दी हुई दो संख्याएँ किसी संख्या से विभाज्य हाें, तो इन संख्याओं का अंतर भी उस संख्या से विभाज्य होगा। दो संख्याओं के अन्य युग्म लेकर उपर्युक्त दिए गए चारों नियमों की जाँच कीजिए।\n3.7 अभाज्य गुणनखंडन\nयदि किसी संख्या को उसके गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जाए, तो हम कहते हैं कि हमने उस संख्या को गुणनखंडित (factorised) कर लिया है अथवा उसके गुणनखंड कर लिए हैं। इस प्रकार, जब हम 24 =3× 8 लिखते हैं, तो हम कहते हैं कि हमने 24 के गुणनखंड कर लिए हैं। यह 24 के गुणनखंडनों में से एक गुणनखंडन है। इसके अन्य गुणनखंडन निम्न हैं :\n24 के उपरोक्त सभी गुणनखंडनों में, अंत में हम एक ही गुणनखंडन2×2×2×3पर पहुँचते हैं। इस गुणनखंडन में केवल2और3ही गुणनखंड हैं और ये अभाज्य संख्याएँ हैं। किसी संख्या का इस प्रकार का गुणनखंडन अभाज्य गुणनखंडन (prime factorisation) कहलाता है।\nआइए, इसकी जाँच संख्या 36 से करें।\n36 का अभाज्य गुणनखंडन2×2×3×3है। यह 36 का केवल एक ही अभाज्य गुणनखंडन है।\n16, 28 और 38 के अभाज्य गुणनखंडन लिखिए।\nगुणनखंड वृक्ष (Factor Tree)\n6 के गुणनखंड युग्म लिखिए\nएेसा ही निम्न संख्याएँ लेकर कीजिए।\n(a) 8\t(b) 12\nउदाहरण7: 980 का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात कीजिए।\nहल :\tहम एेसा निम्न प्रकार करते हैं :\nहम संख्या 980 को 2, 3, 5,7इत्यादि से इसी क्रम में बार-बार भाग देते हैं। यह प्रक्रिया हम तब तक जारी रखते हैं, जब तक कि भागफल इनसे विभाजित होता रहे।\nइस प्रकार 980 का अभाज्य गुणनखंडन है : 980 =2×2×5×7× 7\n1.\tनिम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य हैं?\n(a)\tयदि कोई संख्या3से विभाज्य है, तो वह9से भी विभाज्य होती है।\n(b)\tयदि एक संख्या9से विभाज्य है, तो वह3से भी अवश्य विभाज्य होगी।\n(c)\tएक संख्या 18 से भी विभाज्य होती है, यदि वह3और6दोनों से विभाज्य हो।\n(d)\tयदि एक संख्या9और 10 दोनों से विभाज्य हो, तो वह 90 से भी विभाज्य होगी।\n(e)\tयदि दो संख्याएँ सह-अभाज्य हों, तो इनमें से कम से कम एक अवश्य ही अभाज्य संख्या होगी।\n(f)\t4 से विभाज्य सभी संख्याएँ 8 से भी अवश्य विभाज्य होनी चाहिए।\n(g)\t8 से विभाज्य सभी संख्याएँ4से विभाज्य होनी चाहिए।\n(h)\tयदि कोई संख्या दो संख्याओं को अलग-अलग पूरा-पूरा विभाजित करती है, तो वह उनके योग को भी पूरा-पूरा विभाजित करेगी।\n(i)\tयदि कोई संख्या दो संख्याओं के योग को पूरी तरह विभाजित करती है, तो वह उन दोनों संख्याओं को अलग-अलग भी विभाजित करेगी।\n2.\tयहाँ 60 के लिए दो भिन्न-भिन्न गुणनखंड वृक्ष दिए हैं। इनमें अज्ञात संख्याएँ लिखिए।\n3.\tएक भाज्य संख्या के अभाज्य गुणनखंडन में किन गुणनखंडों को सम्मिलित नहीं किया जाता है?\n4.\tचार अंकों की सबसे बड़ी संख्या लिखिए और उसे अभाज्य गुणनखंडन के रूप में व्यक्त कीजिए।\n5.\tपाँच अंकों की सबसे छोटी संख्या लिखिए और उसे अभाज्य गुणनखंडन के रूप में व्यक्त कीजिए।\n6.\t1729 के सभी अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए और उन्हें आरोही क्रम में व्यवस्थित कीजिए। अब दो क्रमागत अभाज्य गुणनखंडों में यदि कोई संबंध है तो लिखिए।\n7.\tतीन क्रमागत संख्याओं का गुणनफल सदैव6से विभाज्य होता है। इस कथन को कुछ उदाहरणों की सहायता से स्पष्ट कीजिए।\n8.\tदो क्रमागत विषय संख्याओं का योग4से विभाज्य होता है। कुछ उदाहरण लेकर इस कथन का सत्यापन कीजिए।\n9.\tनिम्न में से किन व्यंजकों में अभाज्य गुणनखंडन किए गए हैं :\n(a)\t24 =2×3× 4\t(b)\t56 = 1 ×7×2×2× 2\n10.\tबिना भाग किए ज्ञात कीजिए कि क्या 25110 संख्या 45 से विभाज्य है।\n[संकेत :5और9सह-अभाज्य संख्याएँ हैं। दी हुई संख्या की5और9से विभाज्यता की जाँच कीजिए।]\n11.\tसंख्या 18,2और3दोनों से विभाज्य है। यह2×3=6से भी विभाज्य है। इसी प्रकार, एक संख्या4और6दोनों से विभाज्य है। क्या हम कह सकते हैं कि वह संख्या4×6= 24 से भी विभाज्य होगी। यदि नहीं, तो अपने उत्तर की पुष्टि के लिए एक उदाहरण दीजिए।\n12.\tमैं चार भिन्न-भिन्न अभाज्य गुणनखंडों वाली सबसे छोटी संख्या हूँ। क्या आप मुझे ज्ञात कर सकते हैं?\n3.8 महत्तम समापवर्तक\nहम दो संख्याओं के सार्व गुणनखंड ज्ञात करना सीख चुके हैं। अब हम इन सार्व गुणनखंडों में सबसे बड़ा गुणनखंड ज्ञात करने का प्रयत्न करेंगे।\n12 और 16 के सार्व गुणनखंड क्या हैं? ये 1,2और4हैं।\nइन सार्व गुणनखंडों में सबसे बड़ा कौन-सा है? यह4है। 20, 28 और 36 के सार्व गुणनखंड क्या हैं। ये 1,2और4हैं तथा इनमें पुन: सबसे बड़ा गुणनखंड4है।\nदो या दो से अधिक दी हुई संख्याओं के सार्व गुणनखंडों में सबसे बड़ा सार्व गुणनखंड इन दी हुई संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (highest common factor) कहलाता है। महत्तम समापवर्तक को संक्षेप में म.स. (या HCF) भी लिखते हैं। इसे महत्तम (सबसे बड़ा) सार्व भाजक (greatest common divisor) या (GCD) भी कहा जाता है।\nनिम्न का म.स. ज्ञात कीजिए :\n(i)\t24 और 36\t(ii)\t15, 25 और 30\n(iii)\t8 और 12\t(iv)\t12, 16 और 28\nसंख्याओं 20, 28 और 36 का म.स. इन संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडन द्वारा इस प्रकार ज्ञात किया जा सकता है :\n20, 28 और 36 में सार्व गुणनखंड2(दो बार आ रहा है) है।\nअत:, 20, 28 और 36 का म.स.2×2=4है।\n1.\tनिम्नलिखित संख्याओं के म.स. ज्ञात कीजिए :\n(a) 18, 48\t(b) 30, 42\t(c) 18, 60\t(d) 27, 63\n(e) 36, 84\t(f) 34, 102\t(g) 70, 105, 175\t(h) 91, 112, 49\n(i) 18,54, 81\t(j) 12, 45, 75\n2.\tनिम्न का म.स. क्या है?\n(a)\tदो क्रमागत संख्याएँ (b) दो क्रमागत सम संख्याएँ\n3.\tअभाज्य गुणनखंडन द्वारा दो सह-अभाज्य संख्याओं4और 15 का म.स. इस प्रकार ज्ञात किया गया :\n4 =2×2और 15 =3× 5\nचूँकि इन गुणनखंडों में कोई अभाज्य सार्व गुणनखंड नहीं है, इसलिए4और 15 का म.स. शून्य है। क्या यह उत्तर सही है? यदि नहीं तो सही म.स. क्या है?\n3.9 लघुतम समापवर्त्य\n4 और6के सार्व गुणज क्या हैं? ये 12, 24, 36, ... हैं। इनमें सबसे छोटा गुणज कौन-सा है? यह 12 है। हम कहते हैं कि4और6का सबसे छोटा (लघुतम) गुणज या लघुतम समापवर्त्य (lowest common multiple) 12 है। यह वह छोटी से छोटी संख्या है जो दोनों का गुणज है। दो या दो से अधिक दी हुई संख्याओं का लघुतम समापवर्त्य इन संख्याओं के सार्व गुणजों में से सबसे छोटा (लघुतम या निम्नतम) गुणज होता है। संक्षेप में, इसे ल.स. (LCM) भी लिखा जाता है। 8 और 12 का ल.स. क्या है?4और9का ल.स. क्या है?6और9का ल.स. क्या है?\nउदाहरण 8\t:\t12 और 18 का ल.स. ज्ञात कीजिए।\nहल\tहम जानते हैं कि 12 और 18 के सार्व गुणज 36, 72, 108 इत्यादि हैं। इनमें सबसे छोटा 36 है। आइए, एक और विधि से इसे निकालें:\n12 और 18 के अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार हैं :\n12 =2×2× 3\t18 =2×3× 3\nइन अभाज्य गुणनखंडनों में, अभाज्य गुणनखंड2अधिकतम दो बार आता है (यह 12 के गुणनखंडों में है)। इसी प्रकार अभाज्य गुणनखंड3अधिकतम दो बार आता है (यह 18 के गुणनखंडों में है)। दो संख्याओं का ल.स. उन अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल है जो उन संख्याओं में अधिकतम बार आते हैं। अत: इनका ल.स. =2×2×3×3= 36 है।\nउदाहरण 9\t:\t24 और 90 का ल.स. ज्ञात कीजिए।\nहल\t:\t24 और 90 के अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार हैं:\n24\t=2×2×2× 3\t90 =2×3×3× 5\nइन अभाज्य गुणनखंडनों में, अभाज्य गुणनखंड2अधिकतम तीन बार आता है (यह 24 में है); अभाज्य गुणनखंड3दो बार आता है (यह 90 में है) और अभाज्य गुणनखंड5केवल एक बार 90 में आता है।\nइसलिए, वांछित ल.स. = (2 ×2× 2) × (3 × 3) ×5= 360\nउदाहरण 10\t:\t40, 48 और 45 का ल.स. ज्ञात कीजिए।\nहल\t:\t40, 48 और 45 के अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार हैं :\n40\t=2×2×2× 5\n48\t=2×2×2×2× 3\n45\t=3×3× 5\nअभाज्य गुणनखंड2अधिकतम चार बार (यह 48 में है), अभाज्य गुणनखंड3अधिकतम दो बार (यह 45 में है) और अभाज्य गुणनखंड5केवल एक बार (यह 40 और 45 दोनों में है) आता है।\nअत: वांछित ल.स. = (2 ×2×2× 2) × (3 × 3) ×5= 720\nलघुतम समापवर्त्य (ल.स.) को एक अन्य विधि से भी ज्ञात किया जा सकता है, जो अगले उदाहरण में दर्शाई गई है :\nउदाहरण 11\t:\t20, 25 और 30 का ल.स. ज्ञात कीजिए।\nहल\t:\tहम संख्याओं को एक पंक्ति में नीचे दर्शाए अनुसार लिखते हैं :\nअत:, ल.स. =2×2×3×5×5= 300\na. (सबसे छोटी अभाज्य संख्या2से भाग दीजिए। 25 जैसी संख्या2से विभाज्य नहीं है। इसलिए इन्हें अगली पंक्ति में वैसा का वैसा ही रख दिया जाता है)।\nb. (पुन:2से भाग दीजिए। इसे तब तक जारी रखिए जब तक2के गुणज मिलते रहें)।\nc. (अगली अभाज्य संख्या3से भाग दीजिए)।\nd. (अगली अभाज्य संख्या5से भाग दीजिए)।\ne. (पुन:5से भाग दीजिए)।\n3.10 म.स. और ल.स. पर कुछ और उदाहरण\nहमें अनेक स्थितियों का सामना करना पड़ता है, जहाँ हम म.स. और ल.स. की संकल्पनाओं का प्रयोग करते हैं। हम इन्हें कुछ उदाहरणों की सहायता से समझाएँगे।\nउदाहरण 12\t: दो टैंकरों (tankers) में क्रमश: 850 लीटर और 680 लीटर मिट्टी का तेल आता है। उस बर्तन की अधिकतम धारिता (capacity) ज्ञात कीजिए, जो इन दोनों टैंकरों के तेल को पूरा-पूरा माप देगा।\nहल\t:\tवांछित बर्तन को दोनों टैंकरों के तेल को पूरा-पूरा मापना है। अत: इसकी\nधारिता दोनों टैंकरों की धारिताओं का एक पूरा-पूरा विभाजक होगा। साथ ही, इसकी धारिता अधिकतम भी होनी चाहिए। अत: एेसे बर्तन की अधिकतम धारिता 850 और 680 का म.स. होगी। इसे निम्नलिखित प्रकार से ज्ञात किया जाता है :\n850 और 680 के सार्व गुणनखंड 2,5और 17 है।\nअत:, 850 और 680 का म.स.2×5× 17 = 170 है।\nअत: वांछित बर्तन की अधिकतम धारिता 170 लीटर है। यह पहले बर्तन को5बार में और दूसरे को4बार में पूरा-पूरा माप देगा।\nउदाहरण 13\t: प्रात:कालीन सैर में, तीन व्यक्ति एक साथ कदम उठाकर चलना प्रारंभ करते हैं। उनके कदमों की लंबाइयाँ क्रमश: 80 सेमी, 85 सेमी और 90 सेमी हैं। इनमें से प्रत्येक न्यूनतम कितनी दूरी चले कि वे उसे पूरे-पूरे कदमों में\nहल\t:\tप्रत्येक व्यक्ति द्वारा चली गई दूरी को समान और न्यूनतम रहना है। यह वांछित न्यूनतम दूरी, जो प्रत्येक व्यक्ति को चलनी है, उनके कदमों की मापों का लघुतम समापवर्त्य (ल.स.) होगी। क्या आप बता सकते हैं क्यों?\nइसलिए, हम 80, 85 और 90 का ल.स. ज्ञात करते हैं। 80, 85 और 90 का ल.स. 12240 है।\nअत: वांछित न्यूनतम दूरी 12240 सेमी है।\nउदाहरण 14\t: वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 12, 16, 24 और 36 से भाग देने पर प्रत्येक दशा में7शेष रहता है।\nहल\t:\tहम 12, 16, 24 और 36 का ल.स. निम्न प्रकार ज्ञात करते हैं :\nइस प्रकार, ल.स. =2×2×2×2×3×3= 144\n144 वह सबसे छोटी संख्या है जिसे 12, 16, 24 और 36 से भाग देने पर प्रत्येक दशा में0शेष रहेगा।\nपरंतु हमें एेसी सबसे छोटी संख्या चाहिए जिसमें प्रत्येक दशा में7शेष रहे। अत: वांछित संख्या 144 से7अधिक होगी।\nइस प्रकार, वांछित सबसे छोटी संख्या = 144 +7= 151 है।\n1.\tरेणु 75 किग्रा और 69 किग्रा भारों वाली दो खाद की बोरियाँ खरीदती हैं। भार के उस बट्टे का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए जो दोनों बोरियों के भारों को पूरा-पूरा माप ले।\n2.\tतीन लड़के एक ही स्थान से एक साथ कदम उठाकर चलना प्रारंभ करते हैं। उनके कदमों की माप क्रमश: 63 सेमी, 70 सेमी और 77 सेमी हैं। इनमें से प्रत्येक कितनी न्यूनतम दूरी तय करे कि वह दूरी पूरे-पूरे कदमों में तय हो जाए?\n3.\tकिसी कमरे की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमश: 825 सेमी, 675 सेमी और 450 सेमी हैं। एेसा सबसे लंबा फीता (tape) ज्ञात कीजिए जो कमरे की तीनों विमाओं (dimensions) को पूरा-पूरा माप ले।\n4.\t6,8 और 12 से विभाज्य तीन अंकों की सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए।\n5.\t8,10 और 12 से विभाज्य तीन अंकों की सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।\n6.\tतीन विभिन्न चौराहों की ट्रैफिक लाइट (traffic lights) क्रमश: प्रत्येक 48 सैकंड, 72 सैकंड और 108 सैकंड बाद बदलती हैं। यदि वे एक साथ प्रात:7बजे बदलें, तो वे पुन: एक साथ कब बदलेंगी?\n7.\tतीन टैंकरों में क्रमश: 403 लीटर, 434 लीटर और 465 लीटर डीज़ल है। उस बर्तन की अधिकतम धारिता ज्ञात कीजिए जो इन तीनों टैंकरों के डीज़ल को पूरा-पूरा माप देगा।\n8.\tवह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 6, 15 और 18 से भाग देने पर प्रत्येक दशा में5शेष रहे।\n9.\tचार अंकों की वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जो 18, 24 और 32 से विभाज्य है।\n10.\tनिम्नलिखित संख्याओं का ल.स. ज्ञात कीजिए जिनमें एक संख्या सदैव3का एक गुणज है।\n(a)\t9 और 4\t(b)\t12 और 5\n(c)\t6 और 5\t(d)\t15 और 4\nप्राप्त ल.स. में एक सामान्य गुण का अवलोकन कीजिए। क्या ल.स. प्रत्येक स्थिति में दोनों संख्याओं का गुणनफल है? क्या हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि दो संख्याओं का ल.स. सदैव3का एक गुणज है?\n11.\tनिम्नलिखित संख्याओं का ल.स. ज्ञात कीजिए जिनमें एक संख्या दूसरी संख्या का एक गुणनखंड है :\nप्राप्त परिणामों में आप क्या देखते हैं?\n1.\tगुणजों और गुणनखंडों की पहचान कैसे कर सकते हैं।\n2.\tहमने अब तक चर्चा की और निम्न को खोजा –\n(a)\tएक संख्या का गुणनखंड उस संख्या का पूर्ण विभाजक होता है।\n(b)\tप्रत्येक संख्या स्वयं का एक गुणनखंड होती है। प्रत्येक संख्या का एक गुणनखंड होता है।\n(c)\tदी हुई संख्या का प्रत्येक गुणनखंड उस संख्या से छोटा या उसके बराबर होता है।\n(d)\tप्रत्येक संख्या अपने प्रत्येक गुणनखंडों का एक गुणज होती है।\n(e)\tदी हुई संख्या का प्रत्येक गुणज उस संख्या से बड़ा या उसके बराबर होता है।\n(f)\tप्रत्येक संख्या स्वयं का एक गुणज है।\n3.\tहमने सीखा है –\n(a)\tवह संख्या जिसके दो ही गुणनखंड होते हैं, संख्या स्वयं और 1, अभाज्य संख्या कहलाती है। जिन संख्याओं के दो से अधिक गुणनखंड होते हैं वे संख्याएँ भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं।\n(b)\tसंख्या2सबसे छोटी अभाज्य संख्या है जो एक सम संख्या भी है। अन्य सभी अभाज्य संख्याएँ विषम होती हैं।\n(c)\tदो संख्याएँ जिनका सार्व गुणनखंड केवल 1 हो, सह-अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं।\n(d)\tयदि एक संख्या दूसरी संख्या से विभाज्य है, तो वह दूसरी संख्या के प्रत्येक गुणनखंड से भी विभाजित होगी।\n(e)\tवह संख्या जो दो सह-अभाज्य संख्याओं से विभाज्य होती है, उनके गुणनफल से भी विभाज्य होगी।\n4.\tसंख्याओं को बिना भाग की क्रिया किए उनकी छोटी 2, 3, 4, 5, 8,9और 11 से विभाज्यता की जाँच कर सकते हैं। हमने संख्या के अंकों का, विभिन्न संख्याओं से विभाज्यता के संबंधों का अन्वेषण किया है।\n(a)\t2,5और 10 से विभाज्यता केवल इकाई अंक को देखकर बताई जा सकती है।\n(b)\t3 और9से विभाज्यता संख्या के अंकों के योग द्वारा की जा सकती है।\n(c)\t4 से विभाज्यता इकाई और दहाई तथा 8 से विभाज्यता इकाई, दहाई व सैकड़े से बनने वाली संख्या द्वारा जाँची जा सकती है।\n(d)\t11 से विभाज्यता दाईं ओर से सम स्थानों के अंकों के योग और विषम स्थानों के अंकों के योग के अंतर द्वारा जाँची जा सकती है।\n5.\tयदि दो संख्याएँ एक संख्या से विभाजित होती हैं, तो उन दोनों का योग तथा अंतर भी उस संख्या से विभाजित होता है।\n6.\t(a) दो या अधिक संख्याओं का म.स. (HCF) उसके सार्व गुणनखंडों में से सबसे बड़ा होगा।\n(b) दो या अधिक संख्याओं का ल.स. (LCM) उसके सार्व गुणजों में से सबसे छोटा होगा।


छत्तीसगढ़ - युवक की धारदार हथियार से हत्या , खेत मे मिली लाश , पुलिस जाँच में जुटी | CGWEBNEWS.IN\nछत्तीसगढ़ - युवक की धारदार हथियार से हत्या , खेत मे मिली लाश , पुलिस जाँच में जुटी\nरायपुर 11 मई 2022 - राजधानी रायपुर में देर रात युवक की चाकू घोंप कर हत्या करने का मामला सामने आया है। युवक का शव गांव के खेत में मिला। मृतक युवक का नाम कार्तिक बंजारे है। मृतक युवक आदतन शराबी बताया जा रहा है। घटना की खबर मिलते ही मौके पर पहुंची पुलिस टीम जांच में जुट गई है। घटना राखी थाना क्षेत्र की है।\nनया रायपुर सीएसपी जितेंद्र चंद्राकर ने कहा मृतक की पहचान कार्तिक राम मनहरे के रूप में हुई है, जो निमोरा गांव का रहवासी है. डॉग स्क्वाड की स्पेशल टीम को बुलाया जा रहा है. मृतक मंगलवार शाम से ही घर से बाहर निकला था. लोगों के बयान लिए जा रहे हैं. शव में धारदार हथियार से चोट के निशान पाए गए हैं. पंचनामा के बाद चीजें क्लियर हो पाएगी।


दंगा कराना चाहते थे आतंकी, NIA ने किया अरेस्ट | News24\nHome Nation दंगा कराना चाहते थे आतंकी, NIA ने किया अ...\nदंगा कराना चाहते थे आतंकी, NIA ने किया अरेस्ट\nहैदराबाद (29 जून):\nहैदराबाद में खूंखार आतंकी संगठन ISIS के लिंक को लेकर NIA ने ताबड़तोड़ छापेमारी की। एजेंसी ने इस दौरान5युवकों को गिरफ्तार किया है, जबकि6को हिरासत में लेकर पूछताछ की जा रही है। एजेंसी ने कुल नौ जगहों पर छापेमारी की है। इनके पास से बड़े पैमाने पर हथियार बरामद किए हैं। इन सभी की उम्र सभी की उम्र 20 साल के करीब है। सूत्रों के मुताबिक एक बड़े हमले की तैयारी थी।\nशहर के करीब9जगहों पर एनआईए की टीम ने स्थानीय पुलिस के साथ मिलकर छापेमारी की है। सुरक्षा एजेसिंयों के मुताबिक इस छापेमारी में इन 11 युवकों के पास से 15 लाख रुपये, 25 मोबाइल फोन, एक एयरगन, एयरगन की ट्रेनिंग के लिए टारगेट, बम बनाने के लिए नट बोल्ट, नाइट्रेट कैमिकल और IED की बरामदगी हुई है। सूत्र बताते हैं कि NIA को शक है कि इन सभी के संपर्क सफी आरमार और जुनूद उल खलीफा उल हिंद से हैं, जिनका संपर्क ISIS से हो सकता है। यानि जांच एजेंसियों ने एक बड़े म्यूड्यूल को ध्वस्त किया है जो बड़े हमले की साज़िश को अंजाम दे सकता था।\nहिरासत और गिरफ्तारी के बाद एनआईए से जुड़े सूत्रों का कहना है कि ISIS के लोग हैदराबाद में कई जगहों पर धमाके की फिराक में थे। उनकी पहली कोशिश सांप्रदायिक सद्भाव बिगाड़ने और दंगा करवाने की थी। यही नहीं आतंकी संगठन के निशाने पर हैदराबाद और उसके बाहर शॉपिंग मॉल, धार्मिक स्थल भी थे। NIA की छापेमारी में जिस मात्रा में हथियार और गोला-बारूद बरामद हुए हैं, उसे किसी भी बड़े प्लान को एग्जीक्यूट करने के लिए पर्याप्त माना जा रहा है। सूत्रों के मुताबिक ये ग्रुप पिछले कई महीनों से एक्टिव था और इस ग्रुप से जुड़ा हर शख्स एक दूसरे से कोडवर्ड में बात करता था। बातचीत के लिए ये टेलीग्राम और मैसेंजर का इस्तेमाल करते थे।\nसूत्रों के मुताबिक ये नया मोड्य़ूल था जिसे सीरिया के बेस्ड पर बनाया था, जिसका मकसद इंडिया में लोन वूल्फ अटैक करवाना था। बताया जा रहा है कि इस ग्रुप में सात ऐसे हैं जो हमले को अंजाम दे सकते थे और4लॉजिस्टिक सपोर्टर थे, यानि हमले के लिए बंदोबस्त करना। खुफिया एजेंसियां अब इन सभी लोगों से पूछ-ताछ कर रही हैं। NIA ये जानने में जुटी है कि कहीं ये लोग IS के उसी मोड्यूल का हिस्सा तो नहीं हैं जिसे इसी साल जनवरी में ध्वस्त किया गया था, जिसे मुदस्सिर शैख ऑपरेट कर रहा था या फिर कोई और हैंडलर है जो हिंदुस्तान में इन लोगों के संपर्क में है।\nआपको बता दें कि इसी साल NIA ने 25 लोगों को पकड़ा था जिन का संपर्क IS से बताया जा हा था। NIA ने इस मामले में 22 जून को ही एक FIR दर्ज की थी, जिसके तहत ये गिरफ्तारियां हुई हैं जांच एजेंसी ने UAPA, 121A, 122 और विस्फोटक पदार्थ अधिनियम के तहत मामला दर्ज किया है। एफआईआर में मो. इलियास यजदी (अमान नगर, हैदराबाद), मोहम्मद इब्राहिम यजदी (अमान नगर), हबीब बरकस, मो. इरफान (चट्टा बाजार) और अब्दुल्ला बिन अहमद अलमुद्दीन उर्फ फहद (चार मीनार) के नाम शामिल हैं।\nNIA कुछ और जगहों पर छापेमारी की तैयारी भी कर रही है। सूत्रों के मुताबिक कुछ और लोग इन लोगों के संपर्क में हो सकते हैं। हम आपको बता दें कि NIA पिछले 10 दिनों से इन लोगों पर निगाह बनाए हुए थी।


Naomi Osaka, On Netflix, Is A Beguiling Marriage Of Tennis And Transition - FilmyPost 24\nPosted on July 17, 2021 By Filmy Post24\tNo Comments on Naomi Osaka, On Netflix, Is A Beguiling Marriage Of Tennis And Transition\nनिदेशक: गैरेट ब्राडली\nकास्ट: नाओमी ओसाका\nशैली: वृत्तचित्र मिनी-श्रृंखला\nअधिकांश वृत्तचित्रों में, एक व्यक्ति एक खेल के माध्यम से मोचन पाता है। इंसान होने की नाजुकता को जीतने और हारने के चश्मे से देखा जाता है। लेकिन सबसे खास बात नाओमी ओसाका यह है कि, कहीं न कहीं तीन-भाग वाली डॉक्यूमेंट्री के साथ, आप एक व्यक्ति के माध्यम से खेल को भुनाने – और विकसित होने – की तलाश कर सकते हैं। जीतने और हारने की व्यर्थता को इंसान होने के चश्मे से देखा जाता है। यह एक ऐसे व्यक्ति की कहानी है जो बिना गेम खेले गेंद को हिट करता है। यह ग्रह पर सबसे महत्वपूर्ण टेनिस खिलाड़ी की कहानी है। यह भी कहानी नहीं, मन की स्थिति है।\nटेनिस कई मायनों में अकेलेपन की दृश्य मुद्रा है। खेल को देखना ऐसा है जैसे दो अंतर्मुखी दर्शकों के एक कमरे में एक सुसंगत बातचीत करने की कोशिश कर रहे हैं। जब वे बोलना शुरू करते हैं तो कमरा खामोश हो जाता है – हर शब्द की छानबीन की जाती है, वाक्यांश के हर मोड़ को आंका जाता है, हर स्वर को विच्छेदित किया जाता है – और जब कोई बयान दिया जाता है तो विस्फोट हो जाता है। फिर भी, एक चीज जो वे बर्दाश्त नहीं कर सकते, वह है आवाज। क्योंकि सच में कोई सुनने वाला नहीं है। प्रो-टेनिस जीवन को कलाकारों से मिसाइल-आंखों वाले रोबोट बनाने के लिए डिज़ाइन किया गया है: एक बुलबुले में रहें, शोर को रोकें, खाएं, सोएं, यात्रा करें, ट्रेन करें, दोहराएं। बाहरी दुनिया पर, या इससे भी बदतर, अपने आप पर ध्यान देने का समय नहीं है। खेल के महान खिलाड़ियों – लेवर, ग्रेफ, नवरातिलोवा, सम्प्रास या यहां तक कि विलियम्स, फेडरर, नडाल, जोकोविच जैसे सक्रिय लोगों की निरंतरता किंवदंती का सामान है। हालांकि, इसका शायद ही कभी उल्लेख किया गया है, यह तथ्य है कि वे सभी एक पूर्व-डिजिटल युग के बच्चे हैं – जब अलगाव और सुरंग दृष्टि अभी भी पोषण के लिए प्रशंसनीय कौशल थे। वापस जब बेहतर होने का मतलब सबसे अच्छा होना था।\nनए जमाने के खिलाड़ी ने उन बुलंदियों को छूने के लिए संघर्ष किया है क्योंकि आज एक-दिमाग में रहना असीम रूप से कठिन है। कैकोफनी निर्वात में भी मौजूद है। सोशल मीडिया के युग में बड़ा होना अपने साथ जागरूकता और सहानुभूति की एक अतिरिक्त भावना लाता है – यह लक्षण जो क्रूरता से अदालत में भेद्यता में बदल जाते हैं। भावनाएँ संकल्प को कमजोर करती हैं। फीलिंग्स ग्रैंड स्लैम नहीं जीततीं। इस दीक्षा-श्रृंखला के दौरान एक समय पर, 22 वर्षीय नाओमी ओसाका ने मेलबर्न में तीसरे दौर से बाहर होने के बाद “चैंपियन मानसिकता” की अपनी कमी पर शोक व्यक्त करते हुए इसे स्वीकार किया। लेकिन कारण नाओमी ओसाका स्पोर्ट्स-डॉक शैली में एक मील का पत्थर चित्र है क्योंकि यह महानता के व्याकरण को पुन: व्यवस्थित करता है। यह जीवन के संकल्पों के साथ उत्कृष्टता की खोज की बराबरी करता है। एक ऐसे जीवन की जांच करने के बजाय जो एक टेनिस कोर्ट के मापदंडों के अनुरूप हो, नाओमी ओसाका एक ऐसी लड़की का खुलासा करती है जिसकी “मानवीय मानसिकता” टेनिस को जीवन के मानकों पर फिट होने के लिए मजबूर कर रही है। एक सेलेब्रिटी जिसकी संवेदनशीलता कोई बीमारी नहीं बल्कि इलाज है। एक अंतर्मुखी जो बातचीत शुरू करती है – मानसिक स्वास्थ्य, जाति, पहचान, प्रसिद्धि – उसकी आवाज के साथ। और एक सुपरस्टार जिसके लिए खेल मंच और मंच दोनों है। 23 साल की उम्र में उसने चार ग्रैंड स्लैम जीते हैं, यह लगभग एक फुटनोट है, और इस बात का स्थायी प्रमाण है कि बुलबुले को शोर से परे जाने की जरूरत नहीं है।\nदीक्षा-श्रृंखला 2018 यूएस ओपन फाइनल के फुटेज के साथ खुलती है। नाओमी ओसाका – जिसे तब जापानी और हाईटियन विरासत की एक होनहार खिलाड़ी के रूप में जाना जाता था – अपनी मूर्ति सेरेना विलियम्स का सामना कर रही है। वह जीत जाती है, लेकिन प्रस्तुति समारोह के दौरान अजीब, लगभग शर्मिंदा दिखती है। कैमरे उसके हिरण-इन-हेडलाइट्स के चेहरे को कैप्चर करते हैं – बाकी श्रृंखला के लिए एक आवर्ती छवि। टीकाकार पूछता है: यह उसका जीवन बदलने वाला है, है ना? आखिरी ब्लैक-एशियन सुपरस्टार टाइगर वुड्स की गूँज न्यूयॉर्क की हवा में लटकी हुई है। फिर भी, और भी है। संदर्भ नहीं दिखाया गया है, लेकिन यह महत्वपूर्ण है: ओसाका के विश्व मंच पर आगमन की घोषणा करने के लिए नियत मैच को विलियम्स के चेयर अंपायर कार्लोस रामोस के प्रति कुख्यात तीखेपन से ढक दिया गया था। ओसाका की जीत एक औपचारिकता बन जाती है। इसलिए जब हम उसे ट्रॉफी को ऊपर से पकड़े हुए देखते हैं, तो उसका क्षमाप्रार्थी भ्रूभंग भय जैसा लगता है। वह एक बच्चे की तरह अचंभित है, जिसे पता चला है कि सांता क्लॉज़ असली नहीं है। यह दीक्षा-श्रृंखला क्या खोजती है, इसके प्रकाश में, यह मान लेना सुरक्षित है कि शायद यही वह क्षण है जब युवा नाओमी ओसाका को पता चलता है कि टेनिस के अलावा टेनिस में और भी बहुत कुछ है। सेरेना की मंदी खेल से परे कारणों तक फैली: एक इतिहास, एक संस्कृति, एक गहरा सेट प्रणालीगत पूर्वाग्रह। ओसाका का भ्रम टूट गया है। उसे संदेह है कि, यहां से, उसके द्वारा हिट की जाने वाली प्रत्येक गेंद को यह पता लगाने की आवश्यकता होगी कि वह कौन है और वह कहाँ से आती है।\nओसाका क्या सोच रही है, इसके बारे में सोचने वाली बहुत सारी डॉक्यूमेंट्री, ऐसा करने के लिए उसकी ईमानदारी का सम्मान भी करती है। परिणाम कथा गैर-कथा और व्यक्तिगत टिप्पणी का एक करामाती, विचारोत्तेजक संकर है\nबेशक, इनमें से कोई भी स्पष्ट रूप से नहीं कहा गया है। वास्तव में कुछ भी कुछ भी नहीं कहा जाता है। की सुंदरता नाओमी ओसाका क्या और कैसे में निहित है – यह सुझाव देता है। ऑस्कर नामांकित निर्देशक गैरेट ब्रैडली (समय) मृदुभाषी ओसाका का अध्ययन और अवलोकन दोनों एक साथ करती प्रतीत होती हैं। वह लाइमलाइट के विपरीत एक खिलाड़ी का अनुसरण करने की विडंबना को पहचानती है, और इसलिए ओसाका के चिंतनशील स्वभाव को प्रतिबिंबित करने के लिए अपने कैमरों को प्रशिक्षित करती है। यह बहुत कुछ सोच रहा है कि ओसाका क्या सोच रही है, जबकि ऐसा करने के लिए उसकी ईमानदारी का सम्मान भी कर रही है। परिणाम कथा गैर-कथा और व्यक्तिगत टिप्पणी का एक करामाती, विचारोत्तेजक संकर है। तीन एपिसोड में से अधिकांश एक खोए हुए, घबराए हुए ओसाका को एक सार्वजनिक व्यक्ति होने की गति से गुजरते हुए दिखाते हैं: एंडोर्समेंट शूट, टॉक शो, साक्षात्कार, प्रेसर, हवाई अड्डे, प्रवेश। एक शुरुआती दृश्य में उसे लॉस एंजिल्स के अपने नए घर में एक अजनबी की तरह दिखाया गया है। बात करने वाले प्रमुख पारंपरिक हैं – एक एशियाई मां, एक काला पिता, एक नया कोच – लेकिन हेडस्पेस निश्चित रूप से ओसाका का है। वह जो भी विचार व्यक्त करती है, वह एक सुस्त प्रश्न के किशोर स्वर को अपनाता है: भाषा की पेचीदगियों का सामना करने वाले किसी व्यक्ति की पहचान। 2019 यूएस ओपन और पुनर्निर्धारित 2020 यूएस ओपन के बीच एक साल से अधिक समय तक शूट किए गए, कैमरे हमेशा दिखाई देते हैं खोज ओसाका एक भीड़ में, धीरे-धीरे शोर के माध्यम से काट रहा था और उस पर ज़ूम इन कर रहा था – जैसे कि वह एक डूबते टाइटैनिक पर रोज़ डॉसन थी, एक निराश और बाहरी रूप से विशेषाधिकार प्राप्त काल्पनिक चरित्र वास्तविक पृष्ठभूमि में मिश्रण करने की उम्मीद कर रहा था। या, अनजाने में, पिक्सर की उदासी भीतर से बाहर: एक उदास भावना जो लगातार महसूस कर रही है कि यह भविष्य को अनलॉक कर सकती है। और यह कि, बेहतर या बदतर के लिए, सत्य का अंतिम घटक है।\nयह श्रंखला दर्शकों की ओसाका तक पहुँचने और भेड़ियों से बचाने की अत्यधिक इच्छा को संबोधित करती है, विशेष रूप से जिस तरह से वह बोलने वाले प्रशंसकों को चुनती है के बारे में – विरोध के रूप में का – उसके। वे तीनों गर्म मध्यम आयु वर्ग की महिलाएं हैं – चौकस माताओं का एक संस्करण – यहां तक कि ओसाका की अदालत में गलतियों को दूर करने की सहज क्षमता पर भी। यही कारण है कि . का सबसे गतिशील क्षण नाओमी ओसाका एक प्रकार की भूमिका उलट की विशेषता है। सीधे सेटों में जीत के बाद, एक 21 वर्षीय ओसाका क्षेत्र से बाहर निकल जाती है और अपने 15 वर्षीय प्रतिद्वंद्वी कोको गौफ के लिए वास्तविक मातृ चिंता प्रदर्शित करती है। ओसाका प्रोटोकॉल तोड़ती है और उसे एक साथ ऑन-कोर्ट साक्षात्कार करने के लिए आमंत्रित करती है और, कुछ स्तर पर, जानबूझकर गॉफ को एक किशोर कौतुक होने के कुचल अकेलेपन से बचाती है। “ड्रेसिंग रूम में अकेले रोने से बेहतर है,” ओसाका ने कहा, स्टेडियम में करुणा के एक ब्रांड के साथ बाढ़ आ गई जो अक्सर ‘खेल कौशल’ की सांस्कृतिक प्रतिबंध तक कम हो जाती है। डॉक्यूमेंट्री इस क्षण को एक बड़े आने वाले युग के आख्यान में उत्प्रेरक के रूप में प्रस्तुत करती है। यह समझती है कि 2019 यूएस ओपन में गॉफ के प्रति उसकी दया का खेल से कोई लेना-देना नहीं है, इसे 2018 में सेरेना के आकार की जागृति और 2020 में ब्लैक-लाइव्स-मैटर की गणना के बीच सैंडविच करना है। तीन अमेरिकी टूर्नामेंटों में से प्रत्येक दोनों का प्रतिनिधित्व करता है एक समय और एक मंच: व्यक्तिगत विकास के साथ-साथ एक मंच मंच सांस्कृतिक शिक्षा के लिए।\nयह भ्रामक रूप से अंतरंग दीक्षा-श्रृंखला बताती है कि उसका खेल एक यात्रा नहीं बल्कि एक परिणाम है\nयह श्रृंखला ओसाका के स्लैम जीतने के साथ एक बयान देने के साथ समाप्त होती है – ट्रोट पर सात मैच, हां, लेकिन सात बीएलएम मास्क भी पुलिस क्रूरता के सात काले पीड़ितों के नाम खेल रहे हैं – एक रोबोट के बजाय उद्देश्य की मानवीय भावना के साथ संबंध कौशल का सुधार। जीतना अंत का साधन बन जाता है, और दूसरे लोगों को हराने से कहीं ज्यादा कुछ होता है। टेनिस ओसाका खेलता है, एक प्रतिद्वंद्वी के साथ नहीं बल्कि बड़े पैमाने पर दुनिया के साथ बातचीत बन जाता है। एक तरह से, यह भ्रामक रूप से अंतरंग दीक्षा-श्रृंखला बताती है कि उसका खेल एक यात्रा नहीं बल्कि एक परिणाम है। ओसाका को अच्छा होने के लिए एक कारण की आवश्यकता होती है, और सर्वश्रेष्ठ टेनिस खिलाड़ी होने के नाते बस इतना ही पर्याप्त नहीं है। वह एक अग्रणी, एक पसंदीदा, एक गत चैंपियन होने को नापसंद करती है, क्योंकि उसके चैंपियनिंग के लिए एक ऐसे कारण की आवश्यकता होती है जो प्रतिस्पर्धी महिमा से मुक्त हो। यहां तक कि जब मैं इसे लिखता हूं, तो ओसाका के नवीनतम के लिए एक त्वरित यूट्यूब खोज टोक्यो ओलंपिक स्थान को फेंक देता है। टैगलाइन में लिखा है: “यदि आप अपेक्षा के अनुरूप नहीं हैं, तो इसे बदल दें”।\nइस साल के फ्रेंच ओपन (और विंबलडन) से बाहर होने का उनका निर्णय हमें जो दिखता है, उसके विस्तार जैसा लगता है नाओमी ओसाका. कई लोगों का मानना है कि वह टेनिस की मेट्रोनॉमिकल परंपरावाद को चुनौती दे रही हैं। लेकिन शायद वह केवल द्वारपालों को याद दिला रही है कि उनके पास यह कुंजी नहीं है कि वह कौन है – और उसके जैसे लाखों लोग – बनने का प्रयास करते हैं। टेनिस आखिर उनका साहित्य नहीं बल्कि उनकी भाषा है। और मौन, जैसा कि कहा जाता है, शब्दों से अधिक जोर से बोलता है। उस नोट पर, शायद इस श्रृंखला का सबसे महत्वपूर्ण तत्व इसका स्कोर है: एक उत्साही आर्केस्ट्रा स्ट्रिंग टुकड़ा जिसे आमतौर पर एक बायोपिक के “एपिफेनी” क्षणों के साथ जोड़ा जाता है। यह के साउंडट्रैक को ध्यान में रखता है ट्रूमैन शो, एक एवरेज जो के बारे में एक फिल्म जिसे धीरे-धीरे पता चलता है कि वह दुनिया के सबसे बड़े रियलिटी शो का स्टार है। उसे समझ में आता है कि उसका जीवन अब तक का सबसे महंगा झूठ है। 5000 हिडन कैमरे उनकी हर सांस को कैद कर रहे हैं। शहर एक विशाल कृत्रिम बुलबुला है। अंतिम दृश्य में, शो के निर्माता ट्रूमैन से रहने का आग्रह करते हैं: “वहां कोई सच्चाई नहीं है जो दुनिया में है जो मैंने आपके लिए बनाई है”। और फिर भी, एक उद्दंड नाओमी ओसाका निकास द्वार खोलती है – और शोर में कदम रखती है। दर्शक आनंदित होते हैं। यदि हम उसे नहीं देखते हैं, तो वह हमें शुभ दोपहर, शुभ संध्या और शुभ रात्रि की शुभकामनाएं देती है।\nWeb Series\tTags:Beguiling, Marriage, Naomi, Netflix, Osaka, Tennis, Transition\nPrevious Post: Hostel Tamil Film (2021): Forged, Teaser, Trailer, Songs, Launch Date\nNext Post: TJ Bhanu (Vaazhl) Wiki, Biography, Age, Movies, Pictures\nAntardwanda Movie (2021) Klikk: Cast, Watch Online, Roles Web Series\nHostel Tamil Film (2021): Forged, Teaser, Trailer, Songs, Launch Date Web Series\nHuman 2022 Hindi Web Series Download Leaked On iBomma » Movie Review Web Series\nNarcos: Mexico Web Series Download In HD From Uwatchfree Web Series\nKaka Pardhan Movie (2021) Cast, Roles, Trailer, Story, Release Date, Poster Web Series


सुमोना चक्रवर्ती ने कहा कपिल शर्मा से पूछो, क्यों रखा गया है मुझे शो से दूर?\nकपिल शर्मा की बीवी है गायब...\nकपिल शर्मा अब एक ऐसी शक्सियत बन चुके हैं जिनका नाम सुनते ही होंठो पर मुस्कुराहट आ जाती है। शायद ही किसी कॉमेडियन को इससे पहले इतनी लोकप्रियता, इतनी शोहरत न ही किसी को इतना नाम मिला होगा। एक मध्यम परिवार से आने वाले एक छोटे से क़स्बे में जन्म लेने वाले इतने संघर्षो को झेलने वाले और अब कामयाबी के शिखर पर पहुंचने वाले कपिल शर्मा सबके लिए एक मिसाल बन चुके हैं। सिर्फ कपिल शर्मा ही नहीं उनके शो में काम करने वाला हर व्यक्ति टैलेंट से भरा हुआ है। चाहे वह डॉ. मशहूर गुलाटी हो, नानी हो, चंदू हो या उनकी पत्नी हो।\nमगर अभी हाल ही दिनों में Kapil Sharma की पत्नी बनी सुमोना The Kapil Sharma Show से गायब रही है, एक पत्रकार से बात करते वक्त उन्होंने बताया वह कहाँ है।\nआप इन दिनों काफी हफ्ते से कपिल शर्मा शो में नज़र नहीं आ रही हैं, क्यों?\nबॉलीवुड एक्टर्स से ज्यादा है कपिल की सैलरी, जानें कितना कमाते हैं 'द कपिल शर्मा शो' के बाकी सितारे\nअब इस मशहूर हस्ती ने 'द कपिल शर्मा शो' पर आने से किया इंकार, बढ़ी कपिल की मुश्किलें\nमुझे नहीं पता, मैंने कई सारे एपिसोड़ इस शो में भी शूट किये हैं। मैं अभी टीम के साथ स्विटज़रलैंड भी गई थी, तो मुझे लगता है मैंने कुछ ही एपिसोड़ मिस किये हैं। जब सलमान और बाकी सेलिब्रिटी आये थे। जब टीम मेरी जरुरत महसूस करेगी तो फिर बुला लेगी। मैं बस अपने काम से प्यार करता हूँ, मुझे और किसी बात से कोई फर्क नहीं पड़ता।\nमगर हमने कभी भी आपको शो में रेगुलर नहीं देखा Comedy Night With Kapil में भी नहीं?\nयह सवाल तो आपको कपिल शर्मा से पूछना चाहिए, मैं तो इस शो का बस एक हिस्सा हूँ, बस स्क्रिप्ट को फॉलो करती हूँ। मुझे कोई फर्क नहीं पड़ता मैं स्टेज पर कितना समय बिताती हूँ। मैं इंडस्ट्री में 10 साल से काम कर रही हूँ मैंने बहुत कुछ हासिल कर लिया है अब मुझे इन चीजों से कोई फर्क नहीं पड़ता। और वैसे भी मैं कोई सलमान या शारुख तो हूँ नहीं जो पूरा शो मैं अकेले के दम पर चला लूँ। लोग मुझे समझ रहे हैं प्यार कर रहे हैं इतना ही काफी है।\nकपिल शार्मा के साथ हुई हालिया ट्वीट controversy पर क्या कहना चाहेंगी?\nसिद्धू से लेकर डॉक्टर गुलाटी तक देखें 'कपिल शर्मा शो' के सभी किरदारों की बचपन की तस्वीरें\nआप हर जगह कपिल शर्मा की बीवी के रूप में पहचानी जाती हैं, आप इसका आनंद ले रही हैं?\nहाँ बिलकुल क्यों नहीं। मगर यह हमेशा के लिए नहीं है, क्योंकि इससे पहले मुझे राम कपूर की बहन के रूप में पहचाना जाता था और अब कपिल की बीवी! दरअसल आपका काम ही आपकी पहचान होती है।\nक्या आप अपनी फिल्म किसी प्रतिद्वंदी कॉमेडी शो में प्रमोट करने जायंगे?\nअगर मैं कपिल शर्मा शो का हिस्सा नहीं भी होती तो भी मैं अपनी फिल्म को प्रमोट करने यहीं आती, कपिल बहुत टैलेंटेड है। इतना नाम होते हुए भी वह ज़मीन से जुड़े हुए हैं। वह जिस तरह स्पॉट बॉय से बात करते हैं वह जिस तरह बॉलीवुड स्टार्स से बात करते हैं वह वाकई काबिले तारीफ़ है। तो कहीं और जाने का तो सवाल ही नहीं उठता, यहाँ तक की मैं तो कॉमेडी नाईट बचाओ तो देखती भी नहीं हूँ।\nखबर है, कि आप और सम्राट मुखर्जी दिसंबर में शादी करने वाले हैं, क्या यह सही है?\nक्यों न हम दिसंबर का इंतजार कर लें! नहीं मैं कोई शादी नहीं कर रही हूँ न ही मेरा अभी मन है। क्या एक अकेली औरत खुश नहीं रह सकती क्या? फिर शादी की जरुरत क्या है? सम्राट एक बहुत अच्छे इंसान है और हम बहुत अच्छे दोस्त है। उनका घर पास में ही है हम मिलते हैं साथ मैं समय बिताते हैं। बस इससे ज्यादा कुछ नहीं, और मैं शादी में भरोसा रखती भी नहीं हूँ।


निर्माण सामग्री के लिए 6000 श्रृंखला मिश्र धातु एल्यूमीनियम रसोई प्रोफ़ाइल T5 राज्य\nहोम उत्पादएल्यूमीनियम रसोई प्रोफ़ाइल\nमॉडल संख्या: TX-1125\nकैबिनेट के लिए गोल्डन Anodized 6000 श्रृंखला एल्यूमीनियम रसोई प्रोफ़ाइल\n1 व्यापार के प्रकार: उत्पादक\n2 मानक: जीबी 5237-2008\n3 उत्पादन श्रेणी: निर्माण सामग्री और औद्योगिक सामग्री के लिए एल्यूमीनियम प्रोफ़ाइल\n4 मूल्य: CCMN एल्युमीनियम Ingot कीमत (www.ccmn.cn) + प्रसंस्करण शुल्क के आधार पर\n5 भुगतान अवधी: टी / टी, एल / सी नजर में\n6 सतह का उपचार: Anodizing, पाउडर कोटिंग, वैद्युतकणसंचलन, लकड़ी खत्म\nA. मिश्र धातु: 6063, 6060, 6061, 6005, 7005\nएफ। तन्य शक्ति: strength 16 mpa\nएच। एक्स्टेंसिबिलिटी:: 8%\n8 पैकिंग: क्राफ्ट पेपर, ईपी पेपर, श्रिंक फिल्म, कम्पोजिट पेपर\n9 MOQ: 1 * 20 'एफ.सी.एल.\n10 डिलीवरी का समय: यदि मोल्ड तैयार है तो 15-30 दिन\n1 1 सामान्य क्रम अनुक्रम: 1. चित्र, रंग और कीमत की पुष्टि करें;\n2. मोल्ड शुल्क का भुगतान करें और हम ढालना बनाना शुरू करते हैं;\n3. हम अपनी पुष्टि के लिए आप के लिए नमूने भेज;\n4. 30% जमा का भुगतान करें, उत्पादन शुरू करें;\nटुनक्सिन समूह को 2003 में स्थापित किया गया था और एक्सट्रूज़न और मशीनिंग एल्यूमीनियम उत्पादों में विशेष था।\nटुनक्सिन समूह एक पेशेवर कंपनी है जो निर्माण, अनुसंधान, विकास, डिजाइन और बिक्री के बाद सेवाओं को एकीकृत करती है। पूर्वोत्तर चीन के दूसरे सबसे बड़े बंदरगाह शहर में स्थित, हमारी भौगोलिक स्थिति बेहतर है और हमारे पास परिवहन की बहुत सुविधाजनक सुविधा है। मौजूदा उत्पादों में स्वचालित उत्पादन लाइन, ट्रेन और बस के एल्यूमीनियम भागों, हाइड्रोलिक वाल्व, सिलेंडर, आदि के ट्यूनिंग फ्रेम हैं। प्रयास और अनुभव के साथ कल का विकास साबित हुआ। हमारी कंपनी में आपका स्वागत है!\nक्यू आपका MOQ क्या है?\nए आमतौर पर प्रत्येक प्रोफ़ाइल का MOQ 500kgs है, लेकिन यह कस्टम एल्यूमीनियम प्रोफ़ाइल के आयाम के अनुसार अलग होगा\nक्यू आपके पास एल्युमीनियम के कितने प्रकार के उत्पाद हैं?\n1) एल्यूमीनियम प्रोफ़ाइल और मशीनिंग\n2) विभिन्न सतह परिष्करण\n3) रंग anodizing और हार्ड कोट anodizing छोटे टुकड़े एल्यूमीनियम उत्पादों और लंबे एल्यूमीनियम प्रोफ़ाइल के लिए\nक्यू आप OEM सेवाओं की आपूर्ति कर सकते हैं?\nए बिलकुल हम कर सकते हैं\nक्यू मोल्ड लागत (एक्सट्रूज़न डाई चार्ज) के बारे में कैसे?\nए ढालना लागत अनुकूलित एल्यूमीनियम प्रोफ़ाइल के आयाम पर निर्भर करेगा। यदि आपके ऑर्डर की मात्रा 1 वर्ष के भीतर निर्दिष्ट टन तक पहुंच जाती है तो लागत ग्राहक को वापस कर दी जाएगी।\nक्यू क्या मुझे परीक्षण के लिए एक नमूना मिल सकता है?\nए हाँ, निश्चित रूप से। बाहर निकालना मोल्ड तैयार होने के बाद, हम आपके परीक्षण के लिए एक नमूना प्रदान करेंगे\nक्यू आप किस तरीके से वजन की गणना करते हैं?\nए हम ग्राहकों की आवश्यकताओं के आधार पर सैद्धांतिक वजन और वास्तविक वजन दोनों चुन सकते हैं।\nक्यू मैं एक सटीक मूल्य कैसे प्राप्त कर सकता हूं?\nएक सटीक एल्यूमीनियम एक्सट्रूज़न प्रोफ़ाइल मूल्य प्राप्त करने के लिए, कृपया नीचे दी गई जानकारी की पुष्टि करें:\n1>। पूरे आयामों के साथ चित्र। यदि आप अभी हमें अपनी आवश्यक एल्यूमीनियम एक्सट्रूज़न प्रोफाइल के लिए अपने चित्र नहीं दे सकते हैं, तो कृपया हमें अपना उत्पाद रैखिक घनत्व बताएं। हमें इसकी आवश्यकता है क्योंकि हमारे इंजीनियरों को पहले इसकी पुष्टि करनी होगी और फिर हम चित्र के अनुसार लागत का अनुमान लगाएंगे।\n2>। सामग्री और टेम्पर। हमारा सुझाव अलु मिश्र धातु 6063-T5 है। हम भी आप मिश्र धातु 6005 6061 आपूर्ति कर सकते हैं\n3>। सतह का उपचार। मिल खत्म, anodized, पाउडर पेंटिंग के रूप में। यह अनुकूलित किया जा सकता है।\nरसोई अलमारियाँ के लिए एल्यूमीनियम प्रोफ़ाइल,\nरसोई अलमारी प्रोफाइल\nShinning गोल्डन वैद्युतकणसंचलन एल्यूमीनियम रसोई प्रोफ़ाइल अपमार्केट अनुकूलित\nनई चीनी सजावट के लिए चेरी लकड़ी अनाज मॉड्यूलर किचन एल्यूमीनियम प्रोफ़ाइल\nसमाप्त: लकड़ी अनाज स्थानांतरण\nरंग: चेरी की लकड़ी\nनॉर्डिक शैली की सजावट के लिए सफेद पाउडर कोटिंग एल्यूमीनियम रसोई प्रोफ़ाइल\nसभी एल्यूमीनियम असबाब के लिए गोल्ड Anodized रसोई एल्यूमीनियम बाहर निकालना प्रोफाइल\nशीर्ष ग्रेड रसोई अलमारी प्रोफाइल, रसोई मंत्रिमंडलों के लिए एल्यूमीनियम प्रोफ़ाइल\nसमाप्त: लकड़ी अनाज