Ateliers des années précédentes - MATh.en.JEANS/Belgique\nPlacer des tireurs à l’arc en entraînement sur un quadrillage, de manière à ce qu’ils ne risquent jamais de se blesser l’un autre en sachant qu’ils tirent selon 4 axes devant-derrière, gauche-droite et les deux diagonales.\nÉlèves participants : Benjamin, Lena, Victor\nLa tribu Amérindienne des Yukis ne comptaient pas comme nous. Au lieu de compter sur leurs doigts, les Yukis comptaient entre leur doigts. Ils ne pouvaient donc compter que jusqu’à huit. Développer une arithmétique yuki.\nÉlèves participants : Boris, Victor\nLe jeu Set a pour but de trouvé 3 cartes qui, pour les quatre propriétés que sont la couleur, le remplissage, la forme et le nombre, sont toutes identiques ou toute différentes. Les règles indiquent qu’en posant 12 cartes, la probabilité de ne trouver aucun Set est de 1/33. Pourquoi ? Que devient cette probabilité quand on pose 15 cartes ?\nÉlèves participants : Antoine, Arthur, Charles, Gauthier\nPartant d’un nombre entier, on calcule le produit de ses chiffres. On répète ce procédé avec le nouveau nombre obtenu, jusqu’à tomber sur un nombre d’un seul chiffre. Saurez-vous trouver un nombre produisant le plus grand nombre d’étapes possible ?\nÉlèves participants : Alisée, Camille, Clara\nOn coupe un carré en quatre triangles, en suivant les diagonales, puis on colorie ces triangles à l’aide de trois couleurs. Combien de carrés différents peut-on générer ? Qu’en est-il d’un pentagone colorié avec quatre couleurs ?\nÉlèves participants : Lallie, Manoa, Naomi, Roxane\nUn nageur part du bord de la plage et parcourt 500m en ligne droite dans la direction de son choix. Arrivé en plein brouillard, il choisit une nouvelle direction au hasard et parcourt au maximum 500 m. Quelle est la probabilité qu’il rejoigne la plage ?\nÉlèves participants : Alejandro, Alexandra, Loïc, Lucien\nPaul et sa compagne invitent quatre autres couples à diner chez eux, pour un total de 10 personnes à table. Le temps que tout le monde soit arrivé, un certain nombre de poignées de mains sont échangées, en respectant deux règles évidentes : personne ne se sert la main et personne ne sert la main de son compagnon. Une fois le diner terminé, Paul demande à chacune des personnes présentes à table, sa femme comprise, combien de poignées de mains elle a échangées en arrivant. De manière surprenante, il obtient neuf réponses différentes. Combien de mains la femme de Paul a-t-elle serrée(s) ?\nÉlèves participants : Anh, Charlotte, Florent, Joël, Thomas\nVoici les règles du jeu de la tablette de chocolat. Deux joueurs A et B choisissent à tour de rôle un carré de la tablette à retirer avec la règle suivante : si ils retirent un carré, il faut retirer tous les carrés à droite et en bas de celui choisi. La partie se termine quand un joueur est forcé de prendre le carré en haut à gauche, auquel cas ce dernier a perdu. Si la tablette de chocolat est de forme carrée, existe-t-il une stratégie gagnante pour le joueur A (celui qui commence) ou pour le joueur B ?\nÉlèves participants : François, Maxime, Qi, Zoé\nLe roi Galton s’inquiète pour sa descendance et la perpétuation de son nom. En effet, depuis des siècles et des siècles, la tradition familiale veut que la famille ait exactement 3 enfants (que ce soient des filles ou des garçons, peu importe) et que, le jour de la naissance d’un enfant, la mère lance une pièce de monnaie : si elle tombe sur pile, l’enfant ira au monastère (et ne pourra donc pas se marier), si elle tombe sur face, il fondera une famille pour tenter de perpétuer le nom. Sachant que dans ce royaume, une femme prend toujours le nom de son mari, le roi a-t-il des chances de voir son nom être perpétué indéfiniment ? Verra-t-il rapidement s’éteindre sa lignée ?\nÉlèves participants : Alessio, Haiyin\nDes colis ordonnés\nDes colis numérotés arrivent à la poste, ordonnés aléatoirement (voir Figure 1). À la fin de la journée, les colis doivent ressortir triés (dans l’ordre croissant), comme représenté à la Figure 2. La zone de tri possède une voie principale (celle du dessus) et une dérivation (en-dessous). Tous les colis peuvent transiter par les deux voies. Cependant, un colis ne peut jamais faire marche arrière (i.e., lorsqu’il emprunte ou sort d’une voie, il doit obligatoirement se diriger vers la sortie). Est-il possible de ressortir tous les colis ordonnés, à partir de n’importe quelle configuration de départ ?\nÉlèves participants : Ariane, Célia, Emeline, Haiyang\nDans une version simplifiée du jeu télévisé, supposons avoir cent boites contenant une somme de 1, 2, 3 etc jusque 100 euros. Les boites sont mélangées. A chaque manche, vous ouvrez une boite. A chaque instant, vous avez deux options : 1. vous encaissez l’argent repris dans la caisse et le jeu s’arrête ; 2. vous jetez la boite que vous avez en main et vous en choisissez une nouvelle parmi celles qui restent. Disons que vous avez le droit de tirer dix boites. Le problème est de déterminer la meilleure stratégie, c’est-à-dire celle qui vous permet d’espérer gagner le plus possible.\nÉlèves participants : Aymen, Ikramul, Olivier\nJerry est au centre d'un cercle de 100m de rayon. Chaque minute, il annonce la direction dans laquelle il va se déplacer. Tom peut choisir soit de ne rien changer à la direction choisie par Jerry, soit de l'inverser. Puis Jerry se déplace d'un mètre dans la direction choisie. Est-ce que Jerry a une stratégie qui lui permet de sortir à coup sûr du cercle ? Si oui, en combien d'étapes maximum pourra-t-il y arriver ?\nÉlèves participants : Lila, Milana, Rebecca, Rima, Tatiana\nDes masses et des moyennes\nOn possède une collection de N masses de 1 à N kg, toutes différentes. Le but est d'arriver à choisir 2 masses de telle sorte que leur masse totale soit égale à la moyenne des masses restantes. Peut-on toujours y arriver ? Sinon à quelle condition sur N ?\nÉlèves participants : Benjamin, Michaël, Roy, Sébastien, Thibault\nDes soldats se placent en cercle. Un cruel Lieutenant en abat un sur deux l'un après l'autre. Qui sera le dernier soldat survivant ?\nVous êtes sans doute tous familier avec le jeu de société "Blokus". Mais si ! Souvenez-vous, ce jeu dédié aux 7 ans et plus où il faut couvrir le plateau avec des pièces de couleur. Dans le cadre de Math en Jeans, nous avons modifié le jeu "Blokus" en proposant une version "Duel". Nous avons décidé de travailler sur des grilles 5x5, 6x6 et 7x7. Après des centaines de parties, nous nous sommes mis en quête d'une stratégie gagnante...\nÉlèves participants : Clément, Gil, Julien, Maxime, Victor\nSi un perd, tout le monde perd...\nIl était une fois, 100 génies mis au défi par leur roi. Le défi est simple : le roi cachera l’objet le plus précieux de chaque génie dans 100 boites différentes. Pour réussir ce défi, il leur suffit de retrouver leur objet fétiche. Seulement, le roi n’est pas con… il autorise les génies à ouvrir seulement 50 boites. Bien sûr aucune communication n’est permise. Les génies ne peuvent rentrer qu’un seul à la fois dans la salle où sont entreposées les boites. Si un génie ne trouve pas sa boite alors aucun génie ne peut récupérer son bien. Quelle est la meilleure stratégie qui permettra à tous les génies de repartir avec leur bien ? Pour nous aider à résoudre ce défi, nous avons également pensé à un autre problème. Le voici : 100 personnes sont placées en file sur une montagne et portent chacun un chapeau qui est soit noir soit blanc. Chaque personne peut prendre la parole une seule fois pour deviner la couleur de son propre chapeau. Quelle est la meilleure stratégie pour avoir un maximum de bonnes réponses ?\nÉlèves participants : Charline, Maélà, Matthieu, Romain\nNe vous êtes-vous jamais demandé à quel point vous et votre ami êtes semblables ? Si vous avez un ancêtre commun plus récent que vous ne le croyez ? Dans ce travail, nous avons essayé de trouver la logique derrière les arbres généalogiques et, grâce à cela, pouvoir déterminer le pourcentage de similitude entre deux personnes d'un même arbre. Ici, l'arbre, c'est l'espèce humaine.\nÉlèves participants : Alicia, Marielle\nCompter le nombres de configurations possible de formes de n blocs.\nÉlèves participants : Aurélien, Bastien, Camille, Eva, Romain\nVite un clou\nEtudier les configurations de nouage de corde (fermée) autour de plusieurs clous pour lesquelles la corde se délie complètement quand on enlève un clou.\nÉlèves participants : Charlotte, Eliott, Maxime, Romane, Sophie\nEtudier les critères sur les nombres donnant un palyndrôme après une série d'opérations faisant intervenir les nombres miroirs.\nÉlèves participants : Adrien, Laura, Rémy, Thomas\nÉlèves participants : Alexandre, Nathan, Pauline\nÉlèves participants : Alix, Chloé, Clothilde, Emeline, Téa\nEteindre la lumière quand c'est possible\nÉlèves participants : Endymion, Ethan, Jean, Thomas\nÉlèves participants : Claire, Gilles, Mathias\nÉlèves participants : Adrien, Arnaud, Marco, Marie\nUn espion doit surveiller un criminel. Pour cela, il décide d'installer discrètement des détectuers de mouvement dans la maison du suspect....\nÉlèves participants : Aourora, Aurore, Clara, Geuben\nÉlèves participants : Alexia, Manon, Théo, Thomas\nBizarre ce 73\n73 a une propriété particulière : — Prenez-en un multiple quelconque, par exemple 73 × 189 = 13797 — Séparez-le en 2 après le chiffre des dizaines : 137 et 97 — Effectuez la somme des carrés des deux nombres : 1372 + 972 = 28178 — Le nombre obtenu est à nouveau multiple de 73 : 28178 = 73 × 386. Peut-on le démontrer ? Existe-t-il d’autres nombres qui ont cette propriété ?\nÉlèves participants : David, Elias, William\nUn fermier astucieux\nUn fermier achète trois sacs de farine pour ses animaux. Pour l’embêter, le vendeur ne lui fournit pas le poids de chacun des sacs, mais uniquement la somme de chaque paire de sacs. Par exemple, si les sacs A, B et C font respectivement 31, 27 et 61 kilos, le vendeur lui dit uniquement qu’une somme fait 58, une autre somme fait 92 et la troisième somme fait 88. — Le fermier peut-il retrouver le poids des sacs ? — Qu’en est-il s’il veut acheter 2, 4, 5, 6, . . . sacs et que le vendeur s’amuse à faire la même chose ?\nÉlèves participants : Charles, Michel, Oscar\nNombres palindromiques (petits 1)\nUn nombre est palindromique s’il peut se lire indifféremment de gauche à droite ou de droite à gauche. 12321 est un exemple de nombre palindromique. L’addition palindromique d’un nombre x est la somme de x et de son miroir. Par exemple, l’addition palindromique de 17 est le nombre 17 + 71 = 88. — Est-il vrai que l’addition palindromique de tout nombre est un nombre palindromique ? — Si ce n’est pas le cas, arrive-t-on toujours à un nombre palindromique en itérant ce processus et, si oui, en combien d’étapes ?\nÉlèves participants : Adrien, Bastien, Mathis\nNombres palindromiques (petits 2)\nÉlèves participants : Eve, Nolan, Raphaël, Sacha, Simon, Stephan\nEffraction chez les fractions (petits)\nObservez le calcul suivant : 16/64=1-6-/-6-4=1/4 Quels sont les fractions pour lesquelles ce calcul est correct ?\nÉlèves participants : Anais, Petros, Ruben\nLes Grecs et leurs lubies\nLes Grecs anciens disaient d’un nombre qu’il est constructible s’il était la longueur d’un segment construit à l’aide d’une règle non-graduée et d’un compas. Quels sont ces nombres ? Quelles sont les opérations qui préservent le fait d’être constructible ?\nÉlèves participants : Guillaume, Jonas, Lydia, Thomas\nUne table carrée peut tourner sur elle-même. Aux quatres coins se trouvent des trous qui contiennent chacun un verre, soit à l’endroit, soit à l’envers. Il est impossible de voir les verres, mais on peut sentir dans quel sens ils sont en plongeant la main dans les trous. Un mouvement est défini comme suit : — Faire tourner la table. — Quand elle s’arrête, placer les mains dans 2 trous quelconques et retourner aucun, un seul ou les deux verres. Existe-t-il une stratégie pour obtenir les 4 verres dans le même sens ?\nÉlèves participants : Nicolas, Sacha, Soline\nNombres palindromiques (grands)\nSujet jumelé avec Colegiul National Iasi.\nÉlèves participants : Aloïs, Florent\nOn a chessboard (a lattice of 8x8 squares) place a cube (whose side is equal to the side of the squares of the chessboard) in the lower left corner. The cube faces are marked (say Up, Low, Left, Right, Front, Back) and the Up face is up and so on. One can move the cube from a square to an adjacent square by tripping it over one of the bottom sides (this side is fixed and the cube is rotated 90 degrees around this side such that it lands in an adjacent square). Can you find a sequence of trips that take the cube from the lower left corner to the lower right corner and at the arrival it is in the same position as in the start (the Up face is up, Low face is low etc.) Generalizations: What about chessboards that have other dimensions than 8x8? What about other possible destinations on the chessboard or different initial positions?\nÉlèves participants : Bastien, Eloïse, Valentin\nDérivons les nombres\nVous connaissez les dérivées des fonctions... On peut également dériver les nombres. On se donne deux règles qui permettent de dériver les nombres naturels: - la dérivée de tout nombre premier vaut 1 - la dérivée d'un produit p*q est (p*q)' = p' * q + p * q' Que peut-on dériver avec ces règles? En particulier, que vaut la dérivée de 1? Que vaut la dérivée des entiers négatifs? des rationnels? des irrationnels? etc.\nÉlèves participants : Simon, Vincent\nMaximizing sums of distances\nLet ABCD be a rectangle and M and N two fixed points in its interior. Find the point P in the rectangle ABCD with the property that the sum PM+PN is as large as possible. Is it true that P is always one of the corners of the rectangle? Generalizations: What if we replace ABCD by another shape (a circle, a triangle, ...)? What if there are more fixed points (e.g. A, B, C) and we want to maximize the sum PA+PB+PC?\nÉlèves participants : Gabriel, Romy, Thomas, Tom\nEffraction chez les fractions (grands)\nÉlèves participants : Florentin, Lisa, Mana, Whitney\nLes Shadoks n’ont que quatre mots et ne peuvent donc compter que jusque trois. Développer une arithmétique shadok.\nÉlèves participants : Damien, Henri, Victor\nDans les grandes plaines, les cow-boys et les indiens se retrouvent à chasser les mêmes lapins. Si deux indiens chassent la même proie, ils se la partagent équitablement. Si deux cow-boys chassent la même proie, un des deux la remporte avec une chance de un sur deux. Si un cow-boy et un indien chassent la même proie, c’est le cow-boy qui repart avec leur prise. En fixant un certain nombre de cow-boys et un certain nombre d’indiens et les faisant tous se rencontrer ; quelle population a eu le plus à manger ?\nÉlèves participants : Marie, Simon, Victor, Yanthe\nLe Triomino est un domino aux tuiles triangulaires. La position des nombres sur ces triangles à donc de l’importance. Combien y a-t-il pour des chiffres allant de 0 à 5 ? Et si l’on va jusque n ? Et si les tuiles étaient carrées ?\nÉlèves participants : Eléonore, Isaure, Mateo\nLes sudokus ont envahi les pages de jeux des journaux. Combien de grilles complétées différentes existe-t-il ?\nÉlèves participants : Basile, Loïc, Simon\nLe jeu Dooble est constitué de cartes ne partageant qu’une et une seule illustration. Combien de cartes différentes répondant à cette caractéristique peut-on générer si l’on fixe le nombre de symboles par carte ? Et si l’on fixe le nombre de symboles différents utilisables ?\nÉlèves participants : Guillaume, Sophie, Victor\nla bob machine\nsurveillance d'un musée\nDeux joueurs sont assis du même coté d’un échiquier, sur lequel est placé une dame. Ils jouent l’un après l’autre, en déplaçant la dame vers le sud, ouest ou sud-ouest. Celui qui amène la dame au coin inférieur gauche remporte le jeu. Le premier joueur décide qui commence. (a) Est-ce que le jeu dépend de la position initiale de la dame ? (b) Y a-t-il une stratégie gagnante pour le premier joueur ? (c) Et si l’échiquier était plus grand ? De taille infinie ?\nÉlèves participants : Lucao, Marius\nÉlèves participants : Catherine, Mara, Naomi, Tom, Tristan\nReverse B and W\nSujet jumelé avec Nordstad Lycée.\nÉlèves participants : Nic, Sam\nOn suppose qu'on dispose d'une réserve infinie de deux timbres différents de valeurs respectives p et q, p et q étant des nombres entiers. On dira qu'une valeur est atteignable s'il est possible de l'obtenir en combinant les valeurs p et q des deux timbres. Dans l'autre cas, on dira que la valeur est non-atteignable. Exemple : pour p = 5 et q = 8. ==> les valeurs 5, 8, 10, 13, 18,… sont atteignables ; ==> les valeurs 1, 2, 6, 11, 19,… sont non-atteignables. Questions : ==> Combien de nombres atteignables et non-atteignables existe-il ? ==> Est-ce qu'il y a un plus grand nombre non-atteignable ? Si oui, lequel ?\nÉlèves participants : Raphaël, Sheryl, Tom\nOn souhaite se partager un gâteau de forme circulaire. Supposons que l'on découpe les morceaux en faisant des coupes droites, alors : ==> quel est le nombre maximal de morceaux qui peut être obtenu avec n coupes droites ? ==> quel est le nombre minimal de morceaux ?\nÉlèves participants : Alessia, Lara, Tiago\nOn considère les trois dés suivants : le dé A qui possède une face "6" et cinq faces "3", le dé B qui possède trois faces "2" et trois faces "5" et le dé C qui possède une face "1" et cinq faces "4". Avec ces dés, on propose le jeu suivant pour deux joueurs : le joueur 1 choisit un des trois dés, le joueur 2 choisit un des deux dés restants, ensuite chaque joueur lance son dé et celui qui obtient le nombre le plus grand gagne. Questions : ==> Est-ce qu'une des deux joueurs a un avantage ? Si oui, lequel ? ==> Quel est le meilleur choix que le joueur 1 puisse faire ? ==> Quel est le meilleur choix que le joueur 2 puisse faire ?\nÉlèves participants : Alessandro, Brandon, Emma, Tim\nLe jeu et la ruine\nA(lexandre) et B(ernadette) jouent aux des. A possède A pièces de 1 euro tandis que B en possède B. Ils jouent une succession de parties de dès indépendantes, A pariant que l'issue sera paire et B pariant qu'elle sera impaire. Celui qui perd doit donner une pièce a l'autre et on arrête de jouer quand un des deux est ruiné. Quelle est la probabilité que A gagne? Combien de parties en moyenne faut-il jouer avant la fin du jeu?\nÉlèves participants : Carina, Emanuele, Pierre\nOn accroche un cadre avec deux clous fixés au mur. Trouver le moyen d'enrouler le fil du cadre autour des clous, pour que dès que l'un des clous tombe, le cadre tombe. Même question avec 3, 4, 5,... clous.\nÉlèves participants : Ali, Georges, Maximilian, Rodolphe\nL'armée et la mort A\nDes soldats sont disposées en cercle. On en tue un sur deux. Quel est le dernier soldat à se faire tuer ? Et si on en tue un sur trois ?\nÉlèves participants : Anna, Cécile\nTour du monde A\nVous avez l'intention de faire le tour du monde en avion. Malheureusement les avions dont vous disposez ont un réservoir limité ne permettant que de parcourir la moitié de la distance. Vous disposez d'une flotte illimitée d'avions identiques et vos avions sont équipés pour le ravitaillement en plein air. Combien d'avions au minimum aurez-vous besoin pour faire le tour du monde?\nÉlèves participants : Jan, Théophile\nA prendre ou à laisser A\nDans une version simplifiée du jeu télévisé, supposons avoir cent boites contenant une somme de 1, 2, 3 etc jusque 100 euros. Les boites sont mélangées. A chaque manche, vous ouvrez une boite. A chaque instant, vous avez deux options: (a) vous encaissez l'argent repris dans la caisse et le jeu s'arrête; (b) vous jetez la boite que vous avez en main et vous en choisissez une nouvelle parmi celles qui restent. Vous avez le droit de tirer dix boites. Le problème est de déterminer la meilleure stratégie, c'est-à-dire celle qui vous permet d'espérer gagner le plus possible.\nÉlèves participants : Elise, Laure-Anne, Théodore\nLes croustillons A\nLe restaurateur vend des croustillons par boîtes de 4 ou de 9. Peut- on commander n'importe quel nombre de croustillons ? Trouver le seuil minimal de croustillons qu'on peut obtenir. Comment faire si on a trois boîtes ?\nÉlèves participants : Eliott, Fumi, Matthieu, William\nLes croustillons B\nÉlèves participants : Alexandre, Barnabé, Romain\nLe jeu Dobble vendu dans le commerce est un jeu de 55 cartes rondes qui comportent chacune 8 symboles différents. Si l'on choisit deux cartes quelconques de ce jeu elles ont systématiquement un et un seul symbole en commun. Le jeu de Dobble consiste en gros à trouver le plus rapidement le symbole commun à deux cartes données. Comment construire un tel jeu ? Peut-on construire sur cette base un jeu dont les cartes auraient plus de propriétés que le jeu de Dobble "classique" pour que ce jeu devienne plus intéressant ?\nÉlèves participants : Anne-Aymone, Mathilde, Moana, Nour, Victoria, Zoé\nLes croustillons C\nÉlèves participants : Fumi, Lou-Anne, Louise, Valentine\nÉlèves participants : Hugo, Théodore\nA prendre ou à laisser B\nÉlèves participants : lucas, Mattéo, Matthieu\nTour du monde B\nÉlèves participants : Antoine, Antoine, Camille, Pierre\nTour du monde C\nÉlèves participants : Ambroise, Devon\nL'armée et la mort B\nÉlèves participants : Gabriel, Tara\nLe défi du Roi Malin\nLe Roi Malin, lance un défi à ses sujets. 100 sujets dont on a confisqué leur possession la plus précieuse.100 boites contenant chacune la fortune d’un des sujets. A tour de rôle ils doivent entrer dans la salle du trône, et trouver la boite contenant leur bien. Ils ont le droit d’ouvrir 50 boites chacun. Une fois dans le Palais Malin, ils n’ont aucun moyen de communiquer avec les autres sujets. Si un des sujets ne trouve pas la bonne boite, tout le monde rentre bredouille... Ils décident donc d’élaborer une stratégie avant de se rendre au Palais Malin. Une fois sur place, ils ne pourront plus interagir... Quelle chance ont-ils de retrouver leur fortune sans discuter d’aucune stratégie entre eux? Discutez de différentes stratégies. Quels sont leur probabilité de succès dans chaque cas ? S’ils parviennent à avoir un complice dans le Palais Malin qui connaisse leur stratégie et peut interchanger le contenu de deux boites avant leur arrivée au Palais Malin, existe-t-il une stratégie gagnante ? Que se passe-t-il s’ils appliquent la stratégie gagnante trouvée mais que leur complice est capturé avant d’agir ? Que se passe-t-il si le Roi Malin rajoute des boites vides? S’ils peuvent ouvrir plus de boites ? Moins de boites ? Etc.\nÉlèves participants : Antoine, Corentin, Nam Phuong, Quentin, Valentin, Yaëlle\n"Scotland Yard" ou la chasse au voleur\nSujet basé sur le jeu “Scotland Yard” Quatre joueurs incarnent les policiers et un joueur incarne le voleur. A chaque tour, les policiers ont droit à un déplacement chacun (d’un carrefour de rues à un autre) et ensuite, le voleur fait de même. La différence est que le déplacement des policiers est visible de tous alors que celui du voleur est secret. Cependant, tous les trois déplacements, la position du voleur est révélée. L’objectif des policiers est de coincer le voleur ; pour cela, ils doivent tomber sur la même case que celui-ci. On va étudier des configurations simplifiées du jeu. Dans quelles configurations les policiers sont-ils sûrs de gagner ? Dans quelles configurations le voleur est-il sûr de gagner ? Quelles sont les stratégies gagnantes pour chacun d’eux?\nÉlèves participants : Adrien, Alexander, Hugo, Joachim, Lucien, Thomas\nN cowboys sont placés sur un cercle. A tour de rôle, les cowboys tirent sur leur voisin gauche. Quel sera le cowboy non-éliminé ?\nÉlèves participants : Fynn, Loris, Luca, Sara\nLe joueur 1 choisit un nombre pair entre 1 et 100. A tour de rôle, chaque joueur doit choisir un nombre entre 1et 100 qui est soit un diviseur soit un multiple du nombre choisi précédemment par son adversaire. Chaque nombre ne peut être choisi qu’une seule fois. Le joueur qui ne trouve plus de multiple ou de diviseur du nombre précédemment choisi perd la partie. Existe-t-il une stratégie gagnante à ce jeu ?\nÉlèves participants : Elisa, Elly, Karina, Lianna\nUn nombre n est dit heureux s'il existe deux nombres entiers strictement positifs a et b tels que a+b=n et a.b est divisible par n. Tout nombre non heureux et dit malheureux. Quel nombre est heureux? Y-a-til beaucoup de nombres heureux?\nÉlèves participants : Souleyman, Vlad\nLes arbres bien habillés\nUn arbre mathématique est un graphe constitué de sommets et d'arêtes, sans cycle et de sorte qu'on puisse toujours trouver un chemin entre deux sommets. On peut choisir d'habiller les arbres: on numérote les sommets et les arrêtes. Un arbre à n arêtes est dit bien habillé si les arêtes sont numérotées de 1 à n sans répétition, les sommets numérotés de 0 à n sans répétition, et si le numéro de chaque arête est égale à la valeur absolue de la différence des numéros des sommets qu'elle relie. Peut-on bien habiller n'importe quel arbre?\nÉlèves participants : Charlotte, Juline, Lucie, Romane, Urbani\nLe solitaire est un casse-tête dont le but est d'enlever toutes les billes en respectant la règle suivante: si l'on effectue un saut au-dessus d'une bille on peut l'enlever. Comment résoudre un solitaire?\nÉlèves participants : Alicia, Binta, Carla-Marie, Emma, Fantine, Louise\nUn directeur d'école possède 300 m de grillage et trois piquets. Comment doit-il placer ses piquets pour que les enfants aient le plus grand espace possible pour jouer?\nÉlèves participants : Andreas, Julien, Louis\nConstructions avec des cubes\nÉlèves participants : Alexis, Cédric, Enzo, Vandilson\nMagie sur un graphe\nÉlèves participants : Clémence, Killian, Léonard\nÉlèves participants : Alessandro, Léonard\nÉlèves participants : Aymen, Chloé, Nabil, Narges, Yousra\nSujet jumelé avec Lycée classique de Diekirch.\nÉlèves participants : Jamie, Jil, Max\nBarbidul était-il mathématicien\nÉlèves participants : Barbalala, Brababelle\nAR Air Pur Seraing\nProblème des gaulois\nDes gaulois sont placés en cercle par l'envahisseur romain, ils vont être exécutés un par un selon un critère mathématique précis. Le dernier gaulois sera épargné. Où se placer dans le cercle pour être le sauvé ?\nÉlèves participants : Florian, Pierre-Jean, Valérian\nProblème de pavage\nPavages de carrés nxn avec des trinominos.\nSujet jumelé avec Lycée Michel Rodange Luxembourg.\nÉlèves participants : Émile, Fynn, Loris, Luca\nLes résultats possibles lors d'un lancer d'une paire de dés sont les nombres de 2 à 12. Cependant, tous les résultats n'ont pas la même probabilité d'apparaître. Ainsi, la probabilité d'obtenir le résultat 2 est 1/36 tandis que la probabilité d'obtenir le résultat 7 est 6/36 . René trouve que cette disparité est injuste. Il cherche alors un moyen de changer les probabilités des deux dés, pas nécessairement de la même façon, pour que les résultats aient tous une probabilité identique d'apparaître. René a-t-il une chance de réussir son entreprise ?\nÉlèves participants : Alejandro, Alexandre, Lucien\nLa Magie de Math.en.Jeans\nUn magicien prend les quatre premières cartes de pique qu'il arrange dans l'ordre As - deux - trois - quatre et les quatre premières cartes de coeur qu'il arrange dans l'ordre inverse, c'est-à-dire quatre - trois - deux - As. Il présente ensuite les deux paquets de cartes retournés au public. Pour chaque lettre de Math.en.Jeans (M-A-T-H-E-N-J-E-A-N-S), il demande au public de mélanger un des deux paquets. Une fois le mélange terminé, il prend les deux cartes qui sont sur le dessus des paquets et recommence l'opération jusqu'à l'épuisement des cartes. La magie apparaît lorsqu'on retourne les cartes ! Notons que l'action de mélanger est assez spécique : il faut prendre la première carte du paquet et la mettre en dessous. Quel est le secret derrière ce tour ? Est-il possible de généraliser le tour de magie fait en classe pour 5 cartes ? Pour n'importe quel nombre de cartes ?\nÉlèves participants : Emeline, Haiyang, Haying\nLe jeu Pokémon fonctionne plus ou moins comme un jeu de Pierre-Papier-Ciseaux. Ainsi, par exemple, un Pokémon de type feu gagne contre un Pokémon de type plante, qui à son tour gagne contre un Pokémon de type eau, qui lui, finalement, gagne contre un Pokémon de type feu et la boucle est ainsi bouclée. Lorsqu'on ajoute les types sol et roche, on obtient le tableau suivant : En modifiant le jeu et en respectant la règle que tous les types doivent interagir entre eux, est-il possible de se retrouver avec un tableau où tous les types sont équilibrés (càd gagnent et perdent contre un même nombre d'adversaires) ? Peut-on construire un tableau équilibré quel que soit le nombre de types repris dedans ?\nÉlèves participants : Alession, Florent, Qi\nArchitecture en Crête\nLorsque l'architecte Dédale arriva sur l'île de Crête, le roi Minos lui demanda de construire des Palais un peu particuliers. Chaque Palais devait être constitué de deux rangées de trois pièces; on dit alors que le Palais est un rectangle de taille 2 x 3. De plus, dans chaque pièce, il devait y avoir deux fois une paire de murs faits avec les mêmes briques (mais les quatre murs d'une pièce ne pouvaient pas tous être construits avec les mêmes briques). Sachant que, en Crête, il n'existe que trois types de briques, combien de Palais différents Dédale pourra-t-il construire ? Plus généralement, combien pourra-t-il en construire si les Palais sont des rectangles de taille m x n ? Remarque : Bien évidemment,le mur commun à deux pièces contigües est unique.\nÉlèves participants : Ariane, François, Thomas\nDans le plan, il y a 10 chasseurs de fantômes et 10 fantômes représentés par les points C1, C2, C3, ....... , C10 pour les chasseurs et F1, F2, ......., F10 pour les fantômes. Chaque chasseur vise un fantôme avec son canon à protons pour l'éradiquer d'un seul coup de rayon matérialisé par un segment entre le chasseur et le fantôme. Les chasseurs provoqueront chaque fantôme en des duels en formant 10 segments entre un chasseur et un fantôme. Comme nous le savons tous, il est très dangereux de faire se croiser deux rayons à protons. Comment les chasseurs peuvent-ils s'y prendre pour éradiquer tous les fantôme sans que les rayons ne se croisent ? Est-ce toujours possible ?\nÉlèves participants : Alix, Auxence, Eliott, Florian, Heddie, Hermione, Hugo, Lilian, Lorianne, Lucien, Maelys, Maloe, Marius, Nelson, Nelssy, Samuel, Yann\nSOS Fantômes (suite)\nsuite du 1er exposé\nLe 100ème perd\nÉlèves participants : Roy, Sébastien, Thibault\nA(lexandre) et B(ernadette) jouent aux dés. A possède A pièces de 1 euro tandis que B en possède B. Ils jouent une succession de parties de dés indépendantes, A pariant que l’issue sera paire et B pariant qu’elle sera impaire. Celui qui perd doit donner une pièce à l’autre et on arrête de jouer quand un des deux est ruiné. Quelle est la probabilité que A gagne? Combien de parties en moyenne faut-il jouer avant la fin du jeu?\nÉlèves participants : Antoine, Benjamin, Michaël, Victor\nPrenons un ensemble composé de n paires de cubes, chacune d’une couleur différente des autres paires. Est-il possible de disposer ces cubes en ligne de telle sorte qu’il y ait exactement 1 espace entre les cubes de la couleur 1, 2 espaces entre les cubes de la couleur 2, 3 espaces entre les cubes de la couleur 3, et ainsi de suite ?\nÉlèves participants : Lila, Marie, Marie\nJe dois livrer des bouteilles pour alimenter les fontaines à eau d’un immeuble de bureaux. Ce matin, j’en ai déposé 2 au premier étage, 1 au deuxième, 3 au troisième. Le client s’est plaint : je n’ai pas livré aux bons étages. En réalité, il en faut 3 au quatrième, 1 au cinquième et 2 au sixième étage. J’y retourne. Pas de chance, cet après-midi, l’ascenseur est en panne. Je vais devoir monter ces grosses bouteilles à pied ! Comment faire pour monter ou descendre le moins d’étages possible avec une bouteille sur l’épaule ?\nÉlèves participants : Clarice, Rebecca, Rima, Tatiana\nDans une version simplifiée du jeu télévisé “à prendre ou à laisser”, supposons avoir cent boites contenant une somme de 1, 2, 3 etc jusque 100 euros. Les boites sont mélangées. A chaque manche, vous ouvrez une boite et vous avez deux options: (a) Vous encaissez l’argent repris dans la caisse et le jeu s’arrête. (b) Vous jetez la boite que vous avez en main et vous en choisissez une nouvelle parmi celles qui restent. Disons que vous avez le droit de tirer dix boites. Le problème est de déterminer la meilleure stratégie, c’est-à-dire celle qui vous permet d’espérer gagner le plus possible.\nÉlèves participants : Belgin, Jonathan, Luu\nVous avez 17 bâtonnets et un adversaire en face de vous. A tour de rôle, vous allez devoir retirer 1, 2 ou 3 bâtonnets de la zone de jeu, jusqu’à ce qu’il n’en reste plus qu’un : celui qui est forcé de piocher le dernier bâtonnet perd la partie. Existe-t-il une stratégie qui permettrait de gagner à tous les coups ? Ou bien tout ceci n’est-il que pur hasard ?\nÉlèves participants : Emilie, Ibrahima, Julie\nA chacun sa tour\nSur un échiquier de n × r cases, de combien de manières peut-on placer k tours de sorte qu’aucune n’en menace une autre ?”\nÉlèves participants : Pierre, Quentin\nEtude autour d'un site de rencontres\nÉlèves participants : Alexis, Arnaud, Florent, Gatien, Hadrien\nÉlèves participants : Alessandro, Arnav, Aurélie, Guillaume, Ludovic\nAnalyse stratégique du jeu "Résistance"\nÉlèves participants : Alexandre, Hugo, Laetitia, Lalie, Romain\nUn potager protégé.\nNotre potager est attaqué par des nuisibles ayant des formes bien définies. Saurons-nous protéger notre potager en utilisant un minimum de piège ?\nÉlèves participants : Arthur, Aubin, Aya, Benjamin, Charles, Côme, Cyprien, Gabriel, Léa, Lisa, Morgan, Ranim, Valentin, Yanis, Yuta\nUn surfeur sur son île...\nUn surfeur géomètre s'est installé sur île en forme de triangle équilatéral. Il souhaite trouver l'emplacement idéal pour sa cabane qui minimisera les trajets pour se rendre aux trois plages.\nÉlèves participants : Arthur, Aubin, Aya, Benjamin, Charles, Côme, Cyprien, Gabriel, Lea, Lisa, Morgan, Ranim, Valentin, Yanis, Yuta\nLes chiffres, ça persiste !\nOn se donne un nombre entier positif et on ajoute ses chiffres pour obtenir un nouveau nombre. On continue ainsi de suite jusqu'à obtenir un chiffre. On se donne un nombre entier positif et on multiplie ses chiffres pour obtenir un nouveau nombre. On continue ainsi de suite jusqu'à obtenir un chiffre. Dans chacun des cas, mise en évidence de propriétés et élaboration d'algorithme.\nSujet jumelé avec Lycée L.C. TEYSSIER.\nÉlèves participants : Adrien, Alexia, Aurore, Enzo, Eric, Mathilde, Paul\nLes escargots et leur maison sur le dos\nLa coquille de l'escargot a toujours fasciné les scientifiques tant elle répond à des propriétés géométriques bien précises. Après une recherche sur la vie de l'escargot et en particulier sur l'utilité de sa coquille, sont étudiées successivement la spirale à plusieurs centres, la spirale de Fibonacci et la spirale de Padovan.\nÉlèves participants : Caroline, Emma, Emma, Erine, Lisa, Livia, Lola, Lola, Louise\nChiffronet ou chiffre au nez\nChiffronet est un gentil monstre qui adore dévorer les nombres. Il ne pense qu'à en avaler le plus possible. Chiffronet doit être très prudent : s'il mange deux nombres dont la somme est égale à un autre nombre qu'il a déjà avalé, alors il explose !\nÉlèves participants : Albane, Anais, Emilie, Lucie, Lucie, Olivia, Yeliz\nCe jeu de hasard pur et d'assemblage a été inventé en 1932 à Lyon par Joseph Michel qui s’est inspiré d’un jeu pratiqué dans les bistrots. Il a été primé au concours Lépine en 1934. Après avoir pris connaissance des règles du jeu, des questions se posent : 1.\tPeut-on remplacer dans la règle du jeu la valeur du dé à obtenir (1 ou 6) ? 2.\tEst-il deux fois plus difficile d'obtenir une queue qu'une oreille ? 3.\tArrive-t-il fréquemment que le joueur ne puisse réaliser aucune action à son tour de jeu ? 4.\tQue se passe-t-il si on change le nombre de dés à lancer (2 ou 4 par exemple) ? Pour aller plus loin … Essayez de créer un jeu du même type en remplaçant le corps du cochon par un quadrilatère MATH, puis ses différents attributs par les propriétés caractéristiques d’un parallélogramme.\nSujet jumelé avec Collège Louis Armand.\nÉlèves participants : Amel, Aya, Boris, Ilham, Salma\nOliver Byrne, mathématicien irlandais assez peu connu, publia en 1847 une édition des six premiers livres des « Éléments » d’Euclide, qu’il illustra intégralement d’une manière haute en couleurs. Après avoir étudié deux exemples de démonstration, sauriez-vous les écrire de manière "traditionnelle" ? Sauriez-vous trouver un problème de géométrie plane simple, le résoudre, avec une rédaction illustrée de sa preuve ?\nÉlèves participants : Brahim, Celina, Melisa, Tugba\nCe jeu est inspiré du jeu Ricochet Robots d’Alex Randolph édité par Rio Grande Games. But du jeu : La souris est placée sur la position de départ, elle doit rejoindre la meule de fromage en suivant les lignes et les colonnes du plateau de jeu (10 × 10) mais la souris a un gros problème, elle ne sait pas s’arrêter. Si on choisit de faire partir la souris dans une direction, on doit donc poursuivre le trajet dans cette direction jusqu'à rencontrer un mur. Lorsqu’elle en rencontre un, elle tourne à droite de 90°.\nÉlèves participants : Céline, Samir, Yassine\nDes maths dans la forêt\nAfin d'obtenir des informations concernant leurs parcelles boisées, les forestiers sont amenés à utiliser des instruments de mesure simples, légers et pratiques. Il est proposé dans ce sujet d'en fabriquer et d'en étudier quelques uns. Pour chacun de ces instruments, le fabriquer, l'expérimenter, et en expliquer le fonctionnement.\nÉlèves participants : Ayoub, Enis, Sehra\nSujet jumelé avec Collège Les Hauts de Blémont.\nÉlèves participants : Enza, Romane, Suzon, Thomas\nÉlèves participants : Amine, Christine, Dragan, Emma, Ismaël, Marwah, Maxime, Nicolas, Théo\nÉlèves participants : Joséphine, Lilou, Maëva, Mathéo\nL'échiquier de Bezzel\nEst-il possible de placer 8 reines sur l'échiquier de façon qu'aucune ne soit menacée (pas sur la ligne, ni sur la colonne ni sur les deux diagonales passant par la case qu'une autre reine occupe). Quelle réponse pourriez-vous apporter au joueur d’échec Max Bezzel ? Que se passe-t-il si l’on utilise maintenant un échiquier différent de celui de 8 x 8 couramment utilisé, c’est à dire avec des échiquiers de 1 x 1 ; 2 x 2 ; 3 x 3 ; 4 x 4 ; … ; 12 x 12 ?\nÉlèves participants : Charlotte, Clara, Enzo, Eva, Fantine, Guénolé, Lancelot, Léa, Léa, Léa, Lionel, Marie-Eve, Mayane, Nathan, Océane, Piero, Samuel, Satine, Sofia, Svea\nProblèmes de seaux\nJe dispose de deux seaux sans aucune graduation, l’un de 5L et l’autre de 3L. Comment faire pour obtenir exactement 4L ? Existe-t-il plusieurs solutions ? Peut-on obtenir 2L à partir de deux seaux de 3L et 4L ? Peut-on toujours obtenir un volume donné, à partir de deux seaux de contenances différentes ? Peut-on obtenir n’importe quel volume d’eau compris entre 1 et la valeur du sceau de plus grand contenance à partir de deux seaux de contenances différentes ? Existe-t-il un algorithme qui donne la stratégie gagnante optimale ?\nÉlèves participants : Allan, Célya, Charlotte, Lise\nLe défi de poudlard\nLe défi de Poudlard : Professeur Flitwick vous a demandé de réaliser un exercice qui met en pratique ce que vous venez ďapprendre sur le sortilège de " Wingardium Leviosa " : il vous demande de faire voler une plume dans un carré avec des poteaux cubiques d'une hauteur infini placés à chaque mètre . Pour ce faire, il vous a imposée quelques consignes : - La plume doit revenir à son point de départ. - Elle ne peut pas passer deux fois entre deux mêmes poteaux. - Elle doit passer à côté d'au moins une des faces du poteaux pour qu'il soit " vu " et tous doivent être vus. - Ils ne peuvent faire tourner la plume qu'après un nombre impair de poteaux. - La plume peut tourner deux fois par un même " tournant ".\nÉlèves participants : Alix, Chloé, Clothilde\nOn dispose d'une suite d'au moins 3 nombres dont on calcule les écarts (circulairement). On recommence en calculant les écarts de ces derniers et on continue ainsi de suite tant qu'on n'a pas obtenu des écarts tous nuls. Arrivera-t-on à une ligne de 0 ? Que se passe-t-il si on a 2, 4, 6 ou plus de nombres ?\nÉlèves participants : Alexandre, Matthias, Meunier\nLes combinatoires de BarnaBee\nAu sein d'une ruche, Barnabee l'abeille progresse d'une alvéole à l'autre uniquement de gauche à droite. Pour chaque nouvelle alvéole de la ruche, combien de chemins mènent à cette alvéole à partir de l'alvéole de départ ?\nÉlèves participants : Gilles, Stépan, Yanis\nCe Sudoku, du jamais vu!\nLe célèbre journal PIR2, nous a mandatés, nous, mathématiciens de renom, pour créer un nouveau jeu afin de distraire ses lecteurs. Nous avons pensé à remanier le jeu connu de tous : le Sudoku, de façon à le rendre le plus attrayant et amusant possible. À voir absolument.\nÉlèves participants : Adrien, Arnaud, Eléonore, Marie\nDes opposants à Donald Trump veulent trouver un moyen de l'empêcher de faire son mur. Il leur faut un pays avec une surface définie et des frontières infinies.\nÉlèves participants : Endymion, Ethan, Gilles, Ian, Jean, Thomas\nSoit deux tas de cartes, l'un avec As-2-3-4 de pique (dans cet ordre), l'autre avec 4-3-2-As de coeur (dans cet ordre), déposés côte à côte face cachée. Pour chacune des lettres de MATHENJEANS, le spectateur désigne un tas. On prend alors la première carte de ce tas, et on la place en-dessous du tas. Ensuite, on prend la première carte de chaque tas, et on les place sur le côté, face cachée. On se retrouve alors avec deux tas de 3 cartes, et on répète l'opération MATHENJEANS, puis on prend à nouveau la première carte de chaque paquet, et on les place ensemble sur le côté (séparée des autres). On répète à nouveau l'opération avec les deux tas de 2 cartes restantes, on place les deux cartes du dessus ensemble, et les deux cartes du dessous ensemble. On révèle alors toutes les cartes : les As, les 2, les 3 et les 4 sont à chaque fois ensemble. Pourquoi ? Cela marcherait-il avec un autre mot ? Y a-t-il moyen de faire le même tour en débutant avec deux tas de 5 cartes ?\nÉlèves participants : Claire, Léa, Roxane\nLe jeu des allumettes : une stratégie gagnante ?\nUn jeu d’allumettes Sur une table, des allumettes sont disposées en quatre rangées : la première avec une allumette, la seconde avec trois allumettes, la troisième avec cinq allumettes et la dernière avec sept allumettes. Deux joueurs s’affrontent. À chaque tour, chaque joueur peut prendre autant d’allumettes qu’il le souhaitent. Il doit prendre au moins une allumette et toutes les allumettes qu’il prend doivent se trouver dans la même rangée.Le joueur qui prend la dernière allumette gagne. Existe-t-il une stratégie gagnante pour le premier joueur ? Pour le second ? Que se passe-t-il si on change le nombre de rangées ou le nombre d’allumettes par rangée ? Que se passe-t-il si on change la fin du jeu : celui qui prend la dernière allumette perd. Existe-t-il une nouvelle stratégie gagnante ?\nÉlèves participants : Fabien, Léo-Paul, Rohan\nD’un seul coup de ciseaux\nArriverez-vous à découper une figure polygonale dessinée sur une feuille de papier en un seul coup de ciseaux ? Une figure polygonale est une figure constituée uniquement de segments. Pour faire le découpage, vous n’avez le droit qu’à des pliages et un seul coup de ciseaux. Ce coup de ciseaux doit se faire uniquement en ligne droite !\nÉlèves participants : Ambre, Diego, Gwendoline, Jeanne, Léontine, Nathan, Romain, Zoé\nLa frontière entre les eaux territoriales et les eaux internationales se situe à 12 miles des côtes ou a égale distance des terres en cas de frontières. Comment gérer les frontières dans les différentes situations ? Est-il possible de déterminer le point Némo, à savoir le pôle d'inaccessibilité situé à la plus grande distance de toute terre émergée ?\nÉlèves participants : Anthéa, Raphaël, Simon, Stéphan\nOn dispose d'une suite d'au moins 3 nombres dont on calcule les écarts (circulairement). On recommence en calculant les écarts de ces derniers et on continue ainsi de suite tant qu'on n'a pas obtenu des écarts tous nuls. Arrivera-t-on toujours à une ligne de 0 ? Que se passe-t-il si on a 2,4, ... nombres ?\nÉlèves participants : Eve, Nolan, Sascha, Téo\nL'alcool nuit à la santé\nAprès une soirée bien arrosée, Mr Jeannot tente de rentrer chez lui mais son taux élevé d'alcoolémie lui cause des soucis de motricité : il n'est plus en mesure de décider si son prochain pas se fera en avant ou en arrière. Combien y a-t-il de trajectoires possibles ?\nÉlèves participants : Asmae, Dalex, Noah\nOn dessine un polygone quelconque sur une feuille (concave, convexe, peu importe). Comment peut-on plier la feuille de façon à découper le polygone dessiné avec un seul coup de ciseau ?\nÉlèves participants : Alexandre, Anis, Léanne\nSavoir si un nombre est divisible par 5 est facile : il suffit de vérifier que son dernier chiffre l'est. Idem si on veut diviser par 2 ou par 10. Si on veut diviser par 7 ou par 13 par contre, les choses se compliquent. Pourrait-on changer les règles ? Par exemple, pourrait-on écrire les nombres de telle sorte que pour diviser par 7, il suffit de considérer son dernier chiffre ? Peut-on imposer simultanément plusieurs règles ?\nÉlèves participants : David, Elias, Salome, Shannon\nSupposons avoir n personnes. Deux à deux, elles sont amies ou non. Peut-on toujours avoir un groupe de trois amis ou de 3 personnes qui ne sont pas amies ? Si on ajoute la possibilité d'un troisième statut : simple connaissance, a-t-on toujours un groupe de 3 amis/connaissances/inconnus ? Suppose we have n people. Two by two, they are friends or not. Can we still have a group of three friends or 3 people who are not friends? If we add the possibility of a third status: simple acquaintance, do we still have a group of 3 friends / acquaintances / strangers?\nÉlèves participants : Juliette, Matthieu, Thomas\nChangeons les règles / Let's change the rules\nSavoir si un nombre est divisible par 5 est facile : il suffit de vérifier que son dernier chiffre l'est. Idem si on veut diviser par 2 ou par 10. Si on veut diviser par 7 ou par 13 par contre, les choses se compliquent. Pourrait-on changer les règles ? Par exemple, pourrait-on écrire les nombres de telle sorte que pour diviser par 7, il suffit de considérer son dernier chiffre ? Peut-on imposer simultanément plusieurs règles ? Knowing if a number can be divided by 5 is easy: just make sure that the last number of its decimal representation is. Ditto if you want to divide it by 2 or by 10. If we want to divide it by 7 or 13, things get less trivial. Could we change the rules? For example, could we write numbers so that to check divisibility by 7, it is enough to consider the last number? Can we impose several chosen rules simultaneously?\nÉlèves participants : Aloïs, Florent, Thomas\nColoriage de triangles / Coloring of triangles\nOn se donne un triangle ABC et une triangulation (partition du triangle de base composée de triangles). On va colorier les sommets du grand triangle avec trois couleurs (bleu, rouge et vert). Les sommets situés sur un coté du triangle ABC sont coloriés avec l'une des deux couleurs des extrémités de ce côté. Les sommets situés à l'intérieur du triangle ABC sont coloriés avec n'importe quelle couleur. A-t-on un (petit) triangle dont les couleurs des sommets sont différentes ? (pour n'importe quelle triangulation) We give ourselves a triangle ABC and a triangulation (partition of the triangle ABC made of triangles). We will color the vertices of the big triangle with three colors (blue, red and green). The vertices on one side of the triangle ABC are colored with one of the two colors of the two vertices on that side. The vertices inside the triangle ABC are colored using any color. Is there a (small) triangle whose vertices colors are all different? (for any triangulation)\nÉlèves participants : Bastien, Eloïse, Vincent\nLes routes de la ville / The roads of the city\nIl était une fois une ville comptant 10 maisons mais aucune route. Il était fort difficile de se déplacer en temps de pluie car les voitures avaient une fâcheuse tendance à s'embourber. Après de nombreuses plaintes des habitants le bourgmestre se décide enfin à faire construire des routes et demande donc à des experts de préparer un plan de ville sur base de deux principes simples et sains : 1) il faut que n'importe quelles deux maisons soient joignables par la route 2) il faut que cela coûte le moins possible. Si le prix d'une route est linéaire en sa longueur, quelle est la construction optimale ? Once upon a time there was a town with 10 houses but no roads. It was very difficult to go anywhere with the car in rainy weather because cars had an annoying tendency to get bogged down. After many complaints of the inhabitants, the mayor decided to build roads and therefore asked experts to prepare a city plan based on two simple principles: 1)\tit is necessary that any two houses are reachable by the road 2)\tit must cost as little as possible. If the price of a road is linear in its length, what is the optimal construction?\nÉlèves participants : Simon, Valentin, Victor\nUn grand écart / A big gap\nOn dispose d'une suite d'au moins 3 nombres dont on calcule les écarts (circulairement). On recommence en calculant les écarts de ces derniers et on continue ainsi de suite tant qu'on n'a pas obtenu des écarts tous nuls. Arrivera-t-on à une ligne de 0 ? Que se passe-t-il si on a 2,4, ... nombres ? We have a sequence of at least 3 numbers whose gaps (circularly) are calculated. We start again by calculating the differences of these last ones and we repeat the process. On the example below, we eventually get a sequence of gaps all equal to 0. Will this always be the case, whatever the initial numbers we start with? What happens if we have 2, 4, ... numbers?\nÉlèves participants : Timothée, Tom\nA partir de leur définition formelle, calculer le plus précisément possible des nombres tels que π, √2, ϕ,… ?\nÉlèves participants : Ambroise, Diégo, Lionel\nÉtablir le nombre de pochettes de 5 photos à acheter pour remplir un album (panini).\nÉlèves participants : Charles-Édouard, Thassilo\nDans une arithmétique composée de 9 symboles numériques, comment établir des règles de calcul ? En arriver à démontrer les « preuves par 9 » du calcul écrit.\nÉlèves participants : Achille, Arnaud, Henri, Jérémie\nMontrer que tout nombre entier peut être décomposé en une somme d’éléments de la suite de Fibonnaci. Développer les règles du calcul arithmétique dans un tel système.\nÉlèves participants : Brieuc, Bruno, Joël\nPlacer des tireurs à l’arc en entraînement sur un quadrillage, de manière à ce qu’ils ne risquent jamais de se blesser l’un l’autre en sachant qu’ils tirent selon 4 axes devant-derrière, gauche-droite et les deux diagonales.\nÉlèves participants : Léa, Rosine, Valentine, Zora\nL'objectif de cet atelier est de créer des variantes du jeu Dooble (nombre de cartes, nombre de symboles, etc...) tout en s'assurant que le jeu fonctionne toujours selon les mêmes modalités.\nÉlèves participants : Aurore, Emma, Hannah\nOn travaille sur une feuille quadrillée et on met des points aux points d’intersections des lignes. On trace un polygone sur cette feuille de manière à ce que les sommets du polygone se trouvent sur des points. Y a-t-il un lien entre l’aire du polygone et nombre de points du polygone (sur le bord et à l’intérieur) ?\nÉlèves participants : Alissa, Elias, Louis, Martin, Matthieu, Vincent, Ysaline, Ysaline\nLes élèves doivent décrypter des codes proposés par les chercheurs\nÉlèves participants : Lucas, Milo, Romain, Sam, Vicotr\nUn cadre et des clous\nOn accroche un cadre au mur en lui attachant une ficelle dans le dos que l’on fait passer au-dessus de deux clous fixés au mur. Trouver le moyen d’enrouler le fil du cadre autour des clous, pour que dès que l’un des clous tombe, le cadre tombe. Même question avec 3, 4, 5, .... clous.\nÉlèves participants : Arthur, Charles, Juliette, Martin, Rachel\nUn voleur et un policier jouent sur un graphe. Le policier puis le voleur choisit un sommet de départ. Après cela, ils jouent chacun à leur tour en se déplaçant le long des arêtes du graphe. Le policier gagne s’il attrape le voleur, sinon c’est le voleur qui gagne ! Voyez vous des graphes où le policier peut toujours gagner ? Des graphes où le voleur peut s’échapper ? Et si on augmente le nombre de policiers ? Combien de policiers faut-il pour attraper le voleur dans un graphe planaire ?\nÉlèves participants : Clara, Hannah\nLes élèves ont programmé un jeu solitaire; l'objectif est de déterminer un maximum de chemins gagnants.\nÉlèves participants : Romain, Vasco\nLa poste cherche à optimiser la tournée de ses facteurs. Plus précisément, elle cherche à minimiser la distance parcourue par le facteur. Comme point de départ, nous avons modélisé les villes comme des réseaux constitués de rues (arrêtes) qui se croisent aux carrefours (sommets), où le facteur peut changer de direction. Les questions qui se posent sont les suivantes. (1) Comment caractériser (reconnaître) les réseaux dans lesquels le facteur peut suivre une tournée qui passe exactement une fois dans chaque rue? (2) Pour les réseaux qui n’ont pas cette propriété, que peut-on faire pour minimiser la distance parcourue par le facteur ?\nÉlèves participants : Jana, Leo, Mara, Michèle, Nicki\nLe taquin ou le jeu de 15 est un jeu solitaire en forme de damier composé de 15 petits carreaux numérotés de 1 à 15 qui glissent dans un cadre prévu pour 16. Il consiste à remettre dans l'ordre les 15 carreaux (situation dans laquelle les nombres sont rangés par ordre croissant) à partir d'une configuration initiale. Dans la configuration initiale donnée par le chercheur la pièce 14 et la pièce 15 sont échangées. À partir de cette configuartion initiale, peut-on obtenir la situation dans laquelle les nombres sont rangés par ordre croissant? Si oui, comment procéder ? Sinon, pourquoi ?\nÉlèves participants : Julie, Mika, Tania\nLe Lycée classique de Diekirch tente d’organiser l’allocation des salles de manière optimale, c’est-à-dire en utilisant le plus petit nombre de salles de classe possible. Pour ce faire, chaque enseignant(e) signale chacune de ses leçons en donnant l’heure de début et l’heure de fin de la leçon. Est-il possible de trouver une procédure qui alloue les salles de classes pour chaque leçon en utilisant le moins de salles de classe possible ?\nÉlèves participants : Emmeline, Felix, Matteo, Naomi\nUn allumin d’ordre n ≥ 2 est une figure qu’on peut obtenir en positionnant n−1 allumettes de telle sorte que — les allumettes ne se touchent qu’à leurs extrémités, et la figure n’a qu’un seul morceau, — la figure ne contient aucun cycle (on ne peut pas partir d’un bout d’allumette, suivre les allumettes sans faire demi-tour et aboutir au point de départ) On peut déformer un allumin en déplaçant les allumettes qui le composent, pour autant qu’on ne déconnecte pas les allumettes qui sont connectées. On considère qu’une telle déformation ne modifie pas un allumin. On s’autorise à transformer les allumins à l’aide d’une transformation élémentaire qui consiste à déplacer une allumette. On dit qu’un allumin A est atteignable à partir d’un allumin B si on peut obtenir A en appliquant une suite de transformations élémentaires à B. Les questions qui se posent sont, par exemple : (1) Étant donné un allumin B, quels sont les allumins atteignables à partir de B? (2) Si A est un allumin atteignable à partir de B, comment obtenir A en appliquant à B un nombre minimum de transformations de base à partir de B ? Que vaut ce nombre ?\nÉlèves participants : Jarod, Lynn\nLe jeu Dédé\nOn dispose des quatre dés suivants: nombres sur les faces du dé bleu: 5-1-1-1-5-5 nombres sur les faces du dé rouge: 2-2-2-2-6-6 nombres sur les faces du dé vert: 3-3-3-3-3-3 nombres sur les faces du dé jaune: 4-0-0-4-4-4. Le jeux se déroule à deux joueurs, appelés A et B. Chaque manche se déroule comme suit : (1) le joueur A choisit un dé, (2) ensuite, le joueur B choisit un dé, (3) les deux joueurs lancent leur propre dé, (4) celui dont le dé a la plus haute valeur gagne la manche et reçoit un euro de l’autre joueur. Les questions qui se posent sont les suivantes. (1) Est-ce que le joueur B peut adopter une stratégie qui lui permet de gagner de l’argent en moyenne, après un grand nombre de manches ? (2) S’il adopte une telle stratégie, combien gagne-t-il en moyenne après 10 manches? Après 100 manches ?\nÉlèves participants : Catherine, Tristan\nAnnabelle, Bernard, Coralie et Didier se situent chacun à un sommet d’un carré (ABCD). Comme dans tout bon feuilleton américain, Annabelle aime Bernard qui n’a d’yeux que pour Coralie qui se languit pour Didier qui ne pense qu’à Annabelle. A un instant donné, ils décident, tous en même temps, de se diriger vers l’être qu’ils aiment. En admettant qu’aucun obstacle ne se trouve à l’intérieur du carré, vont-ils se rencontrer? Si oui, quelle sera la trajectoire de chacun? La série marchant tellement bien, la production augmente le nombre de personnages (avec toujours la même idée). Que deviennent les trajectoires ? Et si on en faisait une télé-réalité en mettant des obstacles sur les trajectoires?\nÉlèves participants : Dante, Raphael\nTout le monde a déjà visité un musée ou au moins a regardé le film « Une nuit au musée ». Mais comment surveiller la galerie d’arts? De combien de gardiens a-t-on vraiment besoin et où doit-t-on les placer pour qu’ils aient une bonne vue sur les objets précieux?\nÉlèves participants : Alessia, Lisa, Shana, Thierry\nJouer avec des dés exotiques\nDans la plupart des jeux de société on joue avec des dés cubiques. Mais que se passe-t-il si à la place d’un cube on considère un solide de Platon ? La chance de gagner à un jeu avec un dé « exotique » augmente-t-elle ou diminue-t-elle? Quelles faces vont apparaître le plus souvent resp. le moins souvent ?\nÉlèves participants : Hanane, Marie\nLe mystérieux enlèvement\nUn élève a été enlevé et se réveille dans une salle mystérieuse dotée de 2portes gardées par deux robots: l'un ment et l'autre ne dit que la vérité.En posant une seule question,comment peut-il trouver la porte permettant de sortir de la salle. Passant ensuite de salles en salles,l'élève rencontrera des robots menteurs, des robots répondant de façon aléatoire dans une langue pas toujours connu. L'élève pourra-t-il retrouver la liberté?\nÉlèves participants : Amandine, Clément, Marine, Olivia, PierreEmmanuel\nJeu de pile ou face à deux, je mise un euro et le vainqueur remporte la mise. La partie s'arrête si un des deux joueurs n'a plus d'argent. Je construis alors un graphe donnant l'évolution de ma fortune. Un jour, je démarre avec un euro, au bout de 49 parties, j'ai 20 €. Combien de graphes puis-je construire ?\nÉlèves participants : Amandine, Emma, Lola, Quentin, Théo, Youri\nEt rond et rond petit... éléphant\nLe spirographe, dont le principe remonte à Dürer (1525), est un jeu de dessin où la mine du crayon suit la circonférence d'une roue qui tourne sur une autre roue. Von Neumann a dit "with four parameters I can fit an elephant, and with five I can make him wiggle his trunk". Questions: Y a-t-il des formes que l'on ne peut pas dessiner? Les figures sont-elles toujours fermées? Que peut-on dessiner avec deux, trois, quatyre cercles Inversement comment trouver les cercles permettant de décrire une forme fermée?\nÉlèves participants : Cièle, Jean, Paul, Rémy, Sam, Thomas\nBête comme une boîte d'allumettes?\nPeut-on apprendre à des boîtes d'allumettes à jouer au morpion? Mais d'abord avec le jeu des six pions Les boîtes jouent les noirs, elles couvrent toutes les situations de jeu par un schéma collé sur leur couvercle, elles contiennent des billes indiquant quel mouvements seront choisis au hasard. Au fur et à mesure du jeux, on renforce les stratégies gagnantes en ajoutant ou retranchant les billes. Questions Y a-t-il une stratégie gagnante? Si les boîtes jouent les noirs, combien de boîtes faut-il prévoir pour couvrir toutes les situations de jeu? Combien de billes initialement dans les boîtes? Comment évoluent-elles? Comment étendre ce résultat au jeu du morpion?\nÉlèves participants : Alexis, Anthonin, Clément, Domitille, Matéo, Maxence, Quentin, Timéo\nPour l'Euro 2020 Panini va de nouveau sortir son fameux album de collection des équipes participant au championnat. Combien faut-il acheter de pochettes d'images pour remplir l'album? Existe-il un nombre minimal? De quoi dépend-il? Comment peut-on influencer le nombre de pochettes à collecter? Combien de pochettes à contenu différent existe-il? Autant de questions que de réponses à découvrir au fil de notre recherche.\nÉlèves participants : Adam, Elisabeth, Imane, Samia, Zouhir\nLycée L.C. TEYSSIER\nLes chiffres, ça persiste!\nÉlèves participants : Flo, Louis, Pascal\nFormat d'une feuille de papier\nEtudier le format L/l d'un rectangle; En déduire un code de décomposition d'une fraction d'entiers, puis d'irrationnels\nÉlèves participants : Célestine, Gautier, Lucie, Quentin\nEchiquier de Bezzel\n«En 1848, un joueur d'échecs allemand, Max Bezzel, pose le problème suivant : est-il possible de placer 8 reines sur l'échiquier de façon qu'aucune ne soit « en prise » (sous le feu d'une autre) ? Rappelons qu'une reine menace toutes les cases de la ligne, de la colonne et des deux diagonales passant par la case qu'elle occupe.» Issu du magazine Pour la science(2015) Question : Quelle réponse pourriez-vous apporter au joueur d’échec Max Bezzel ? Prolongement : Que se passe-t-il si l’on utilise maintenant un échiquier différent de celui de 8 x 8couramment utilisé, c’est à dire avec des échiquiers de 1 x 1 ; 2 x 2 ; 3x 3 ; 4 x 4 ; ... ; 12 x 12 ?\nSujet jumelé avec Collège Pilâtre de Rozier.\nÉlèves participants : Antoine, Guillaume, Justin, Richard, Romain, Yohann\nComment partager une pizza ?\nQuel est le nombre maximal de morceaux de pizza qui peut être obtenu avec n coupes droites ? Quel est le nombre minimal de morceaux ? Est-ce possible d'obtenir tout nombre de morceaux entre le nombre minimal et le nombre maximal ?\nSujet jumelé avec Athénée de Luxembourg.\nÉlèves participants : Emile, Fynn, Loris, Luca\nPour quels entiers naturel n un carré de côté n admet-il un pavage par des rectangles de dimension 1x3 ? Si un tel pavage n'est pas possible, est-ce que la situation change si on enève une pièce 1 x 1 du carré ? Est-ce-que le choix de la pièce à enlever joue un rôle ?\nÉlèves participants : Maksim, Nick, Pierre\nTrajectoire fermé sur un billard\nOn considère un billard français, c’est-à-dire sans trou, et on suppose que les boules roulent sans frottement et donc ne finissent jamais par s’arrêter. Une trajectoire fermée est la trajectoire d'une boule qui rebondit contre les bandes et revient au même endroit en se dirigeant dans la même direction que celle de départ. Comment faire des trajectoires fermées ? Peut-on faire des trajectoires fermées avec un nombre quelconque de bandes ? Savez-vous comment les boules rebondissent après une bande (c’est-àdire dans quelle direction repartent-elles) ? Arrivez-vous à faire une trajectoire fermée avec 2 bandes, avec 3 bandes, avec 4 bandes ou plus généralement n bandes pour n entier ? Comment savoir si une trajectoire va se refermer ou si elle ne se refermera jamais ?\nÉlèves participants : Alex, Angus, Benedetta, Francesco, Rahul\nLe roi de Vivelesmath se trouve dans la pièce en haut à droite. Il veut retrouver sa dame, la reine, qui est dans le coin opposé. Cependant, avant d'aller la voir, il doit vérifier toutes les portes du château. Afin regagner du temps,il souhaite passer par toutes les portes du château. Afin de gagner du temps, il souhaite passer par toutes les portes et une et une seule fois. Les élèves doivent trouver un chemin pour que le roi pourrait suivre. Existe-t-il un chemin? Si oui est-il unique? Et si la disposition des portes changent, que se passe-t-il?\nÉlèves participants : Marie-Henriette, Sara\nLa taupe savante\nUne taupe à lunettes démarre de la clase 1. En passant dans chaque case, elle lit les indications et choisit ce qui lui convient. Peut-elle parvenir à la dernière case? Si oui, donnez un chemin possible. Si non, expliquez pourquoi? Case 1: Avancez de 3 case 2: Avancez de 1 Case 3: Reculez de 2 Case 4: Avancez de 3, 5 ou 7 Case 5: Avancez de 7 ou 8 Case 6: Avancez de 8 Case 7: Avancez de 1 ou de 6 Case 8: Reculez de 4 ou 7 Case 9: Reculez de 3 ou avancez de 5 Case 10: Avancez de 1 ou 6 Case 11: Reculez de 1 ou 6 Case 1é: Arrivée\nÉlèves participants : Alicia, Carla-Marie, Carla-Marie, Emma, Fantine, Louise\nLa perle de Caroline\nLe collier de Caroline rest formé de 12 perles numérotée de 1 à 12. Caroline a une perle préférée. Pour la trouver, il suffit de réaliser le processus suivant: on enlève la perle 1 et on saute une perle. On retire alors la perle 3. On continue ainsi toujours entassant au-dessus d'une perle présente et on continue selon la même règle jusqu'à ce qu'il ne reste qu'une pièce. Quelle est la préférée de Caroline? Et si on change le nombre de perles?\nÉlèves participants : Julien, Louis, Simon\nOh la jolie terrasse\nOn cherche à paver une terrasse rectangulaire avec des pavés de 2x1 cases et des arbres de 1x1case. La position des arbres est fixée au départ et on cherche à compléter par des pavés de 2x1 cases. Quelles-sont les configurations pour lesquelles le pavage est possible? Celle pour lesquelles il est impossible?\nÉlèves participants : Andreas, Elisa, Emma, Valentine\nLili a décidé d'inventer une nouvelle langue. Dans son monde, l'alphabet ne contient que deux lettres: L et I. Pour fabriquer des mots, elle fixe quelques règles: 1. Le mots d'une seule lettre L est dans le dictionnaire; 2. si un mot de son dictionnaire contient un L, alors le mot obtenu en remplaçant ce L par LILI est aussi dans dictionnaire; 3. si un mot du dictionnaire contient deux I successifs, alors le mot obtenu en les remplaçant par un L appartient aussi au dictionnaire; 4. si dans le dictionnaire, un mot contient deux L successifs, alors le mot obtenu en supprimant ces deux L est également dans le dictionnaire. Est-il possible d'avoir un mot qui contient quatre fois la même lettre de manière successive? Combien démons de 10 lettres y a-t-il dans le langage de Lili?\nÉlèves participants : Jenny, Quentin\nLe professeur Eff a inventé une nouvelle machine! Elle permet d'échanger les esprit de deux personnes. Le problème, c'est que cause des défenses immunitaires du cerveau, l'échange ne fonctionne que dans un seul sens: deux personnes ayant échangé leurs esprits ne peuvent pas faire l'échange contraire. Un groupe de cinq étudiants du Professeur s'amusent à utiliser la machine et mélangent leurs esprits. On essaye de les aider à récupérer leurs esprits respectifs?\nÉlèves participants : Binta, Trina\nNous nous sommes intéressés aux deux tours de magie suivantes. Pour le premier tour de magie le magicien demande à un spectateur d’effectuer secrètement les opérations suivantes. (1) Le spectateur doit choisir un nombre A à quatre chiffres. (2) Il doit créer un nombre B obtenu en mélangeant les chiffres de A. (3) Il calcule le nombre C qui est la différence entre le plus grand nombre entre A et B et le plus petit. (4) Il choisit un chiffre non nul c de C et donne la liste des autres chiffres au magicien. Alors, le magicien est capable de deviner la valeur de c ! Pour le deuxième tour de magie, le magicien demande à un spectateur de mémoriser secrètement une carte d’un paquet de 27 cartes et de lui dire un nombre naturel compris entre 1 et 27, disons n. Par la suite, le magicien distribue les cartes sur trois tas de même taille et demande au spectateur de lui indiquer le tas avec sa carte. Cette opération sera répétée encore 2 fois de plus. Alors, le magicien révèle la carte du spectateur à la n-ième position !\nÉlèves participants : Alyne, Baptiste, Clémence, Jamie, Killian, Léonard, Max\nDes chapeaux en ligne\nDix personnes sont alignées les unes derrières les autres. Chaque personne porte sur sa tête un chapeau qui est soit rouge soit noir, et ne connaît pas cette couleur. Elle ne peut voir que les couleurs des chapeaux des personnes qui sont devant elle (pas derrière). Chacune à leur tour, en commençant par la dernière personne (celle qui voit toutes les autres), elles vont tenter de deviner la couleur de chapeau qu’elles portent. La question posée est : est-ce qu’elles peuvent mettre au point une stratégie au préalable qui assure qu’au moins 9 des 10 personnes devinent correctement la couleur de leur chapeau ? Si oui, quelle est cette stratégie ? Pourquoi fonctionne-t-elle ?\nÉlèves participants : Alexis, Allessandro, Dan\nÉlèves participants : Adrien, Hamza, Lucas\nÉlèves participants : Roland, Salvatore\nRésoudre différents problèmes de pavages du plan à l'aide de dominos 2x1 et 3x1.\nÉlèves participants : Alexandra, Alexandre\nDobble se joue avec des cartes comme celles ci-dessous. A un moment donné, deux cartes sont retournées. Le premier qui trouve le symbole commun gagne. Les cartes d'un jeu de Dobble doivent donc être de telle sorte qu'il y ait exactement un symbole en commun. S'il y a n symboles sur chaque carte :  Quel nombre maximal de cartes contiendrait le jeu Dobble ? Quel serait alors le nombre total de symboles différents ?  Pourriez-vous donner une méthode pour réealiser un tel jeu ?\nÉlèves participants : Clarisse , Matteo, Thelma, Valentin , Victoria\nLe professeur Eff a inventé une machine formidable : elle permet à deux personnes d'échanger leurs esprits ! Il y a cependant un petit problème : à cause des défenses immunitaires des cerveaux, il n'est possible de faire l'échange que dans un seul sens. Ainsi, si le professeur Eff et le professeur Ash échangent leurs corps, il ne sera plus possible pour eux d'effectuer directement l'échange inverse pour retourner à la situation de départ. Bien conscient de ce problème, le professeur Eff préfère ne pas utiliser sa machine. Cependant, cinq de ses élèves les plus audacieux décident de ne pas écouter ses conseils et s'échangent quand même leur corps de manière à ce que plus aucun esprit ne soit dans son corps de base. Pourront-ils s'en sortir et finalement retrouver leurs identités ?\nÉlèves participants : Alexandre, Célia, Emile, Julien , Stéphane, Tom\nArchimède et Hérion sur la plage\nAlors qu'ils discutaient sur l'île d'Ortygie, le Tyran Hérion proposa un problème au savant Archimede. Il traça deux points dans le sable et lui dit que la distance entre ces deux points était de valeur 1 et qu'en tracant uniquement des cercles et des droites, il avait réussi à construire tous les nombres rationnels. Il mit alors au défi\nArchimède de construire plus de nombres que lui. Le Tyran dit-il la vérité : peut-on effectivement construire tous les rationnels ? Quant à Archimède, a-t-il une chance de relever le défi\nÉlèves participants : Laura, Renaud, Zoé\nLe plateau de jeu comporte 5 cases avec 9 trous par case (3 lignes 3 colonnes). Au debut, tous les trous contiennent une bille sauf le trou central. Le but du jeu est de n'avoir plus qu'une seule bille sur le plateau. Pour supprimer des billes, il faut que deux billes soient adjacentes et suivies d'un trou vide. La premiere bille \_saute" par-dessus la deuxieme et rejoint le trou vide. La deuxieme bille est alors retiree du plateau. Une bille ne peut sauter qu'horizontalement ou verticalement, et une seule bille a la fois. Et si on change de place le trou vide initial ?\nÉlèves participants : Christophe , Guillaume, Guillaume , Olivier , Yassine\nDefine the Fibonacci word sequence: 0, 01, 010, 01001,....... The Fibonacci curve, properties,....\nSujet jumelé avec Collège Sainte-Véronique.\nÉlèves participants : Ioana Larisa, Malina Elena, Maria Otilia , Stefan, Tudor\nA ball thrown at an given angle in a square billiard table...... The encoding of the trajectory of the ball by a sequence of letters a and b Properties\nÉlèves participants : Ana-Alexia, Ioan Stefan, Ionut-Dragos, Sabina-Malina, Veronica Ioana\nA disc is covered by some smaller identical other 10 cm discs. Which is the maximum diameter? But if we want to cover a polygon?\nÉlèves participants : Anca, Cosmin Stefan, Maria Ilinca , Mihnea, Stefan\nÉlèves participants : Andrei, Bianca, George-Teodor , Iustin, Stefan\nA virus begins to contaminate people. As soon as a healthy individual meets a contaminated one, it has one chance out of six of being contaminated. How will the virus spread within the population?\nÉlèves participants : Andrei Eugen, Ioan Vlad, Ioana Roxana, Radu Lucian, Stefan\nQuelles sont les cases les plus fréquemment visitées? Où faut-il se placer pour avoir le plus de chances de gagner? Quelles stratégies vont permettre de gagner?\nÉlèves participants : Caroline, Christian, Thomas\nÉlèves participants : Emilie, Manon\nÉlèves participants : Lucas, Sam\nmultiplications en chaînes\nÉlèves participants : Alexandre, Roy, Sébastien, Thibault\nÉlèves participants : Romain\nCollège Notre Dame de Tournai\nCet atelier a pour objectif de faire découvrir aux élèves les techniques de cryptographie, des plus élémentaires utilisées dans leurs jeux jusqu'à des techniques professionnelles (si possible !) telles que celles utilisées par l'Internet.\nLe jeu des carrés\nOn part d'un nombre entier naturel. On calcule la somme des carrés de ses chiffres. On obtient un nouvel entier naturel, sur lequel on recommence la même opération, et ce ainsi de suite. Quel est le comportement des entiers qu'on obtient, en réitérant le procédé à l'infini, quel que soit l'entier de départ ?\nÉlèves participants : Endymion, Gilles, Jean, Thomas, Van Renterghem\nUn peu de pizza\nMichelangelo et Donatello, deux des tortues ninjas, se battent sans cesse pour avoir la plus grosse part de pizza. Donatello, le plus gourmand, propose un jeu : il découpe la pizza en autant de parts qu'il le souhaite, pas forcément équitables. Michelangelo peut ensuite choisir la part de son choix puis chacun à son tour ils choisissent une part autour de l'ouverture jusqu'à la dernière. Existe-t-il une découpe qui permettrait à Donatello d'obtenir à coup sûr plus de pizza que Michelangelo ?\nÉlèves participants : Amandine, Arthur, Marie , Mathias, Thomas, Yanis\nUn fan de foot débute sa collection de vignettes Panini FIFA 365. La collection complète comprend n vignettes. On suppose qu'elles ne s'achètent qu'une par une, au hasard. Quel est le nombre de vignettes que ce fan devra acheter en moyenne pour compléter son album ?\nÉlèves participants : Claire, Laura, Léa, Pauline, Roxane, Wendy\nAu secours, plus de papier\nChaque toilette de St Servais est équipée tous les matins de deux rouleaux de papier. Supposons que chaque usager utilise une seule unité de papier toilette lors de son passage. Il existe cependant deux types d'usagers : les jusqu'au-boutistes et les grands-choisiseurs. Les grands-choisisseurs choisissent toujours le rouleau le plus plein tandis que les jusqu'au-boutistes préfèrent choisir le plus entamé. En fonction de la proportion de jusqu'au-boutistes et grands-choisisseurs, quand un rouleau arrive à son terme, qu'en est-il de l'autre ?\nÉlèves participants : Alexandre, François, Simon\nUn prisonnier se trouve au milieu d'un très long couloir étroit. Au fond de ce couloir, se trouve la sortie de la prison. Un gardien joueur lance au prisonnier le dé\nn de s'évader de la prison, le gardien permet au prisonnier de faire des pas à droite et des pas à gauche, mais le prisonnier ne peut jamais marcher droit. Si, partant du centre, le prisonnier fait deux pas à droite (respectivement à gauche), il touche le mur. Peut-il trouver une suite de Gauche et de Droite de sorte qu'il ne touche jamais le mur ? Le premier prisonnier s'étant échappé facilement, le gardien complique son dé\npour le prisonnier suivant : peut-il trouver une suite de Gauche et de Droite de sorte qu'il ne touche jamais et mur, et que si on ne garde qu'un pas sur deux, il ne touche toujours pas le mur ? Le dé\nlancé au troisième prisonnier est le suivant : peut-il trouver une suite de Gauche et de Droite de sorte qu'il ne touche jamais le mur, que si on ne garde qu'un pas sur deux, il ne touche pas le mur, et que si on ne garde qu'un pas sur trois, il ne touche toujours pas le mur ? Et ainsi de suite. Combien de prisonniers pouvez-vous aider ? Tous les prisonniers de la prison pourront-ils s'évader ?\nÉlèves participants : Cyrus, Martin, Téo, Thomas\ndress code à Wall Street\nUn nancier de Wall Street en a marre de porter toujours la même chose. Il se lance un dé\n: réaliser tous les jours un noeud de cravate diérent. Pendant combien de jours pourra-t-il tenir ce challenge, sachant qu'un beau noeud de cravate doit satisfaire au dress-code suivant ?  c'est la partie large de la cravate qu'on manipule  on commence en plaçant la partie large du côté gauche du corps (au dessus ou en dessous de la partie ne)  on passe la partie large alternativement au dessus et en dessous du noeud  on termine en passant la partie large à l'intérieur du noeud pour le fermer\nÉlèves participants : Gaëtan, Kenza, Matthieu\nDans une mare, des nénuphars se sont développés en cercle. Une grenouille s'amuse à sauter d'un nénuphar à l'autre avec un angle constant. Passera-t-elle deux fois par le même endroit ? Visitera-t-elle chaque nénuphar, aussi petit soit-il ?\nÉlèves participants : Defresne , Innaurato, Philippart de Foy, Stepanenko\nChaque zone carrée contient un immeuble de 10; 20 ou 30 étages. Dans chaque ligne ou chaque colonne se trouvent les trois types d'immeubles. Les nombres donnés indiquent le nombre d'immeubles visibles dans la ligne ou la colonne (un immeuble plus haut cache ceux qui ont moins d'étages que lui). Peut-on retrouver la disposition des neuf immeubles ? Peut-on placer autrement les nombres de 1 à 3 sur les côtés ?\nÉlèves participants : Aline, Clara , Ophélie , Philomène\nLe Professeur E a inventé une nouvelle machine ! Elle permet d'échanger les esprits de deux personnes. Le problème, c'est qu'à cause des défenses immunitaires du cerveau, l'échange ne fonctionne que dans un seul sens : deux personnes ayant échangé leurs esprits ne peuvent pas faire l'échange contraire. Un groupe de cinq étudiants du Professeur s'amusent à utiliser la machine et mélangent leurs esprits. Pouvez-vous les aider à récupérer leurs esprits respectifs ?\nÉlèves participants : Guillaume, Lucie, Quentin, Tom\nPermutations de chiffres\nDeux dieux jumeaux sont nés dans l'Olympe, Bin et Ter. Étant dieux, ils ont des pouvoirs spéciaux. Bin calcule dans la base 2 et Ter dans la base 3. Ils jouent en appliquant des permutations circulaires sur les chires des nombres. Par exemple, Bin(111101) = 111110; Bin(10110) = 01011 = 1011:Les deux Dieux préfèrent quand les nombres diminuent. Par exemple, 7 = 213 ??! T 123 = 5 = 1012 ??! B 0112 = 112 = 3 = 103 ??! T 013 = 1 Quels sont les nombres qui peuvent être transformés en 1 par les jumeaux ? Existe-t-il des nombres qui peuvent devenir arbitrairement grand ?\nÉlèves participants : Augustin, Jeremy, Louise, Philippe\nÉlèves participants : Adrien , Elie , Justine , Mattias\nÉlèves participants : Louise , Pierre-Loup, Thomas\nÉlèves participants : Raphaël, Romain, Téo, Thelma\nÉlèves participants : Eve , Nolan, Sascha\nNombre de l'année\nÉlèves participants : Anthéa, Ayoub, Gabriel\nFibonacci (grands) - Erasmus +\nÉlèves participants : Eloïse, Lisa, Simon, Victor\nbillard (grands) - Erasmus+\nÉlèves participants : Aloïs, Mana, Thomas\nVirus - Erasmus+\nÉlèves participants : Adrien, Louis\nPrison Break - Erasmus+\nÉlèves participants : Can, Tom, Vincent\nComment gagner à la foire - Erasmus+\nÉlèves participants : Bruno, Juliette , Matthieu, Thomas\nQuelles formes couper dans du cuir pour faire un ballon de football, un ballon de rugby, un ballon de volleyball ou un ballon de handbal ? Quelles applications ?\nÉlèves participants : Cédric, Harald, Sacha\nPierre et Marine sont soupçonnés d’avoir dégradé le laboratoire de l’école. La direction les reçoit en entretien particulier et leur annonce les règles suivantes : — Si un des deux dénonce l’autre, il n’est pas puni et le deuxième doit faire des travaux d’intérêts généraux tous les week-ends de l’année. — Si les deux se dénoncent entre eux, ils ont chacun trois weekends de travaux d’intérêts généraux. — Si les deux refusent de se dénoncer, ils ont tous les deux 4h de retenue, par mesure de précaution. Que doit faire Marine pour avoir la plus petite punition possible ? Que se passe-t-il si ce dilemme se répète ? Travailler sur des applications pratiques de ce problème.\nÉlèves participants : Célestin, Nicolas, Vincent\nJe pars du pôle Nord en suivant le méridien de Paris. Une fois arrivé à l’équateur, je tourne à angle droit et suis l’équateur. Une fois arrivé sur le méridien de Pékin, je tourne à angle droit et suis ce méridien jusqu'au pôle Nord. Quel parcours ai-je suivi ? Quelles en sont les propriétés géométriques ? Quelles lois particularisent un tel objet ?\nÉlèves participants : Constantin, Pierre-Alexandre\nLes mathématiques ont peu progressé sous l’empire romain. Développer des règles de calculs qui auraient pu être enseignées aux petits Romains.\nÉlèves participants : Alec, Léopold, Rodolphe\nLes chauffeurs de taxi à New-York doivent suivre le plan en quadrillage de la ville. Comment mesurent-ils la longueur de leurs déplacements ? Que devient un cercle dans ces conditions ?\nÉlèves participants : Christophe, Gudule, Hélène, Laura, Nicolas\nLes complexes ont été construit à partir du nombre imaginaire tel que i² = -1. Comment évoluent les opérations réelles appliquées à ces nombres ? Que faire à partir de l’hypothèse suivante i² = j² = k² = ijk = -1 ?\nÉlèves participants : Adrien, Frédéric, Martin, Rodrigue, Santiago\nModélisation des populations de lapins et de renards en sachant que : — La reproduction des lapins est proportionnelle au nombre de lapins. — La disparition des lapins est liée à la probabilité de rencontrer un renard, proportionnelle au produit du nombre de lapins et du nombre de renards. — ...\nÉlèves participants : Alexandre, Jean-Nicolas\nUn magicien demande à cinq spectateurs de choisir une carte dans un jeu (arrangé) de 32 cartes (les cartes sont choisies en enfilade). En connaissant la suite des couleurs (noir ou rouge) de ces cartes, il parvient à en déterminer la valeur exacte des 5 cartes choisies. Il s’agira de bien analyser le proble?me pour en construire un mode?le, en terme de suite des couleurs des cartes. Il faut ensuite trouver un arrangement des cartes qui rend le tour possible.\nÉlèves participants : Catherine , Charel , Liam, Phoebe , Tania, Tatiana\nÉlèves participants : Alexandre, Mara\nÉlèves participants : Lena, Francine, Julie , Lucie , Mikala , Naomi , Zoé\nÉlèves participants : Francine , Yul\nLe retourné d'un nombre à plusieurs chiffres est le nombre obtenu en inversant l'ordre de ses chiffres. Par exemple, le retourné de 456 est 654. Un nombre palindrome est un nombre qui est égal à son retourné. Bob a créé une machine, la "Bob-machine". Voici comment elle fonctionne: elle ajoute, au nombre qu'on lui donne, son retourné,puis elle recommence jusqu'à obtenir un nombre palindrome. La question qu'on se pose est la suivante : combien d'étapes seront nécessaire pour la Bob-machine s'arrête si on lui donne en entrée le nombre 87? Il y a-t-il un nombre d'étapes nécessaire?\nÉlèves participants : Antoine, Hamza, Naëlle, romain, Walid\nCôt, côt, côt, c'est un oeuf\nOn dispose de quatre opérations: l'addition (+), la soustraction (-), la multiplication (*) et la division (/). On dispose également de quatre 4. Quels nombres peut-on écrire en utilisant les quatre 4 et autant d'opérations et de parenthèses que nécessaire?\nÉlèves participants : Arthur, Ethan, Julien, Nathan, Samuel, William\nOn se place dos à un mur. De combien de façons différentes est-il possible de revenir au mur en faisant exactement trois pas en avant et trois pas en avant et trois pas en arrière, les six déplacements devant être utilisés? Bien sûr, il est impossible de traverser le mur... Que se passe-t-il si on autorise n pas en avant et n pas en arrière?\nÉlèves participants : Clarence, Lisa, Nora, Théa\nÉlèves participants : Aurore, Juline, Morgane, Romane\nCombien faut inviter de personnes pour être sûr que 1-) soit trois personnes se connaissent deux à deux; 2-) soit trois personnes ne se connaissent pas deux à deux. Même question en changeant le nombre de relations (ici, deux) et le nombre de personnes devant satisfaire ces relations (ici, trois).\nÉlèves participants : Alixe, Gabriel, Gilles, Léa, Simon, Valentine, Vincent\nOn décide de placer les nombres nombres entiers positifs dans un tableau de la façon suivante 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 .... Quelle est la ligne et la colonne de 798253?\nÉlèves participants : Arthur, Célia, Charlotte, Harry, maxime, Nathan, Tom\nÉlèves participants : Aline, Andreas, Julien, Louis, Manon\nÉlèves participants : Clémence, Esther, Juliette\nÉlèves participants : Circé, Simon, Valentine\nSujet jumelé avec .\nÉlèves participants : Yasmine\nSujet jumelé avec Athénée Royal Liège 1.\nUn hôtel a un nombre infini d'étages, mais son ascenseur ne permet de monter ou de descendre les étages que par 5 ou 7. Peut-on accéder à tous les étages ? Et si le nombre d'étages est fini ? Et si on remplace 5 et 7 par d'autres nombres ?\nSujet jumelé avec AR Air Pur Seraing.\nLes critères de divisibilité (en binaire et autres bases)\nVous connaissez les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5 ... pour des nombres écrits en base 10. Que deviennent ces critères si on travaille dans une autre base ?\nPeut-on toujours écrire une fraction inférieure à 1 comme une somme de fractions distinctes dont les numérateurs sont tous égaux à 1 ? Cette décomposition est-elle unique ? Peut- déterminer le nombre minimum de fractions de la décomposition ?\nécarts entre les nombres\nOn dispose d'une suite d'au moins 3 nombres dont on calcule les écarts. On recommence en calculant les écarts de ces derniers et on continue ainsi de suite tant qu'on n'a pas obtenu des écarts tous nuls. Arrive-t-on à une ligne de 0? Que se passe-t-il si on a 2,4,... nombres?\nCombien peut-on former d'objets en empilant n carrés?\nCréons des routes\nIl était une fois une ville comptant 10 maisons mais aucune route. Il était fort difficile de se déplacer en temps de pluie car les voitures avaient une fâcheuse tendance à s'embourber. Après de nombreuses plaintes des habitants, le bourgmestre se décide enfin à faire construire des routes et demande donc à des experts de préparer un plan de ville sur base de 2 principes simples et sains : 1) il faut que n'importe quelles deux maisons soient joignables par la route; 2) il faut que cela coûte le moins possible\nGéométrie du robot\nNorbert le robot a son monde bien à lui : il ne peut que se déplacer dans deux directions perpendiculaires. Cependant, Norbert a bien étudié ses mathématiques, et ses résultats s'avèrent particuliers...\nQue deviennent les critères de divisibilité lorsqu’on change de base ?\nLe jeu consiste à déplacer des disques de diamètres différents d’un pic de départ à un pic d’arrivée en passant par un pic intermédiaire. Le but est de déplacer tous les disques en un nombre minimum de coups en respectant les règles suivantes : – on ne peut déplacer qu’un seul disque à la fois ; – on ne peut dépacer un disque que sur un disque plus grand, ou sur un emplacement vide. En fonction du nombre de disques, quel est le nombre minimum de coups nécessaires pour parvenir à déplacer tous les disques ?\nUn groupe de n écoles souhaitent se rassembler pour visionner un film. Chaque école contient n types de classes différents et propose à un seul étudiant de chaque type de classes de participer à l’évènement. La salle de cinéma contient n rangées de n sièges. Est-il possible de placer les n 2 étudiants dans la salle de cinéma de sorte que chaque étudiant y soit et que, sur chaque rangée et chaque colonne de sièges, on ne retrouve ni deux écoles identiques, ni deux types de classes identiques ?\nDes plis, en dépit de nos plis, dépliant tous nos plis forment un dragon plutôt qu'une plie.\nCARRE(lages) est une société de pavages spécialisée dans la disposition de pavés carrés dans des pièces carrées. Est-il toujours possible de paver avec un nombre de carrés choisi par le client? Découvrirez-vous la méthode secrète utilisée par cette société? Cette méthode est-elle applicable avec des triangles équilatéraux? A vous de le découvrir...\nMultiplication en chaîne\nOn considère un nombre et on multiplie ses chiffres pour obtenir un nouveau nombre. On recommence le procédé jusqu'à obtenir un nombre avec un unique chiffre que l'on appelle point final. Le nombre d'étapes nécessaires pour que le procédé aboutisse à un point final peut-il être infini ? Peut-il être majorée en fonction du nombre de chiffres ? Peut-il valoir n'importe quel entier ?\nSujet jumelé avec Institut Sacré-Coeur.\nUn ascenseur contrariant\nUn hôtel possède un nombre infini d'étages, mais son ascenseur ne permet de monter ou descendre les étages que par 5 ou 7. Peut-on réserver une chambre à n'importe quel étage? Et si le nombre d'étages est fini? Et si on remplace 5 et 7 par d'autres nombres?\nAvec un jeu de 21 cartes: Etape 1: Posez les cartes, face visible, les unes après les autres sur trois tas A, puis B, puis C, puis A, puis B, ? Demandez à votre interlocuteur dans quel paquet se trouve la carte qu'il a choisie. Rassemblez les trois paquets, en mettant le paquet indiqué au milieu des deux autres. Etape 2: refaire l'étape 1. Etape 3: refaire l'étape 1 (éventuellement sans recomposer le paquet de 21 cartes). A l'issue de l'étape 3, la carte choisie sera toujours la quatrième du paquet indiqué, ou la onzième du paquet recomposé. Comprendre le fonctionnement du jeu. Que se passe-t-il si on prend un nombre différent de cartes? Si on fait 4 tas au lieu de 3?\nUn robot se déplace sur la grille [0,n]² de N² en ligne droite horizontale ou verticale. A chaque obstacle ou bord de la grille, il peut soit faire demi-tour, soit tourner d'1/4 de tour vers la gauche ou vers la droite. Quel est le nombre minimum d'obstacles à placer sur la grille pour que le robot puisse visiter tous les points de la grille? Et si on change les dimensions de la grille?\nPar quoi divise-t-on\nD'où viennent les critères de divisibilités bien connus en base 10 ? Que deviennent-ils si on change de base ?\nColoriage de la carte du monde\nla fin d'une époque²²²\nmultiplications en chaîne\nLe jeu des échelles et des serpents\nConside?rons une version simplifie?e du jeu de socie?te? populaire e?chelles et serpents avec seulement neuf cases. Les joueurs de?marrent de la case 1. A chaque tour, ils lancent une pie?ce, puis ils avancent ou bien d’une case ou bien de deux cases en fonction du re?sultat du lance?. Si un joueur atteint le pied d’une e?chelle, il monte directement en haut de celle-ci. S’il atteint la te?te d’un serpent, il glisse sur celui-ci jusqu’a? sa queue. Question : Combien de coups faut-il en moyenne a? un joueur pour terminer la partie ? Le but du projet est de comprendre le proble?me et de le formaliser a? l’aide d’outils mathe?matiques.\nLe problème du directeur du LCD\nLe directeur du Lyce?e Classique de Diekirch (LCD) de?sire engager des surveillants de fac?on à ce que toutes les salles soient supervise?es pendant les pauses (le couloir compte comme salle). Or le directeur est radin et engager des surveillants coûte très cher. Dès lors, il essaie de minimiser le nombre de surveillants. D’autre part, même si les surveillants ont une vision parfaite de 360 degrés autour d’eux ils sont aussi très fénéants et ils préfèrent donc passer leur pause immobiles et addossés contre un coin du mur au lieu de se promener dans les couloirs. Question : Quel est le nombre minimum de surveillants à engager et où faut-il les positionner ?\tLe but est de formaliser le proble?me en termes mathe?matiques.\nUn robot se déplace sur une grille en ligne droite horizontale ou verticale. A chaque obstacle ou bord de la grille, il peut soit faire demi-tour, soit tourner d'un quart de tour vers la gauche ou vers la droite. Il faut trouver le nombre minimum d'obstacles à placer sur la grille pour que le robot puisse visiter les points de la grille. En suite, il faudrait généraliser pour une grille quelconque.\nUne histoire de fractions\nOn essaye de répondre à la question suivante. "Pour n'importe quels naturels p et q, peut-on toujours écrire p/q=1/m+1/n+1/l+.... avec m,n,l... différents"\nLe tas de billes\nDeux joueurs sont devant un tas de billes. Tour à tour, chaque joueur doit retirer une, deux ou trois billes du tas. Le joueur gagnant est celui qui peut jouer en dernier et le perdant est celui qui ne peut plus jouer. Il faut trouver un stratégie gagnante. En suite, généraliser ce résultat à une variante, par exemple si on change les règles (le nombre de billes qu'un joueur peut retirer), soit, si on ajoute un troisième joueur.\nOn part d'un tas de n cailloux. On sépare ce tas en deux sous-tas, on multiplie les nombres de cailloux de ces 2 tas et on note le résultat obtenu. Ensuite, on répète l'opération pour chaque sous-tas ayant au moins 2 cailloux, et on continue ainsi de suite jusqu'à n'avoir que des tas d'un seul cailloux. Enfin, on additionne tous les nombres obtenus précédemment. En fonction du cheminement choisi, quelles sont les sommes que l'on peut obtenir? Pourquoi?