一．解答题（共 30 小题） 1． （2015?咸宁）如图，在△ ABC 中，AB=AC，∠A=36°，BD 为角平分线，DE⊥AB，垂 足为 E． （1）写出图中一对全等三角形和一对相似比不为 1 的相似三角形； （2）选择（1）中一对加以证明．\n2． （2015?南京）如图，△ ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 （1）求证：△ ACD∽△CBD； （2）求∠ACB 的大小．\n3． （2015?宁夏）在平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 边上的一点．连结 AE． （1）若 AB=AE，求证：∠DAE=∠D； （2）若点 E 为 BC 的中点，连接 BD，交 AE 于 F，求 EF：FA 的值．\n4． （2015?滨州）如图，已知 B、C、E 三点在同一条直线上，△ ABC 与△ DCE 都是等边三 角形，其中线段 BD 交 AC 于点 G，线段 AE 交 CD 于点 F，求证： （1）△ ACE≌△BCD； （2） = ．\n第 1 页（共 45 页）\n5． （2015?黄石）在△ AOB 中，C，D 分别是 OA，OB 边上的点，将△ OCD 绕点 O 顺时针 旋转到△ OC′D′． （1）如图 1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D 分别为 OA，OB 的中点，证明：①AC′=BD′； ②AC′⊥BD′； （2）如图 2，若△ AOB 为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与 BD′交于点 E，猜想 ∠AEB=θ 是否成立？请说明理由．\n6． （2015?乐山）如图 1，四边形 ABCD 中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，tanA= ． （1）求 CD 边的长； （2）如图 2，将直线 CD 边沿箭头方向平移，交 DA 于点 P，交 CB 于点 Q（点 Q 运动到点 B 停止） ．设 DP=x，四边形 PQCD 的面积为 y，求 y 与 x 的函数关系式，并求出自变量 x 的 取值范围．\n7． （2015?上海）已知，如图，平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，点 E 在边 BC 的延 长线上，且 OE=OB，连接 DE． （1）求证：DE⊥BE； （2）如果 OE⊥CD，求证：BD?CE=CD?DE．\n8． （2015?茂名）如图，Rt△ ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．动点 M 从点 B 出 发，在 BA 边上以每秒 3cm 的速度向定点 A 运动，同时动点 N 从点 C 出发，在 CB 边上以 每秒 2cm 的速度向点 B 运动，运动时间为 t 秒（0＜t＜ （1）若△ BMN 与△ ABC 相似，求 t 的值； （2）连接 AN，CM，若 AN⊥CM，求 t 的值． ） ，连接 MN．\n9． （2015?厦门）如图，在△ ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，若 DE∥BC，AD=3， AB=5，求 的值．\n10． （2015?杭州）如图，在△ ABC 中（BC＞AC） ，∠ACB=90°，点 D 在 AB 边上，DE⊥AC 于点 E． （1）若 = ，AE=2，求 EC 的长；\n（2）设点 F 在线段 EC 上，点 G 在射线 CB 上，以 F，C，G 为顶点的三角形与△ EDC 有 一个锐角相等，FG 交 CD 于点 P．问：线段 CP 可能是△ CFG 的高线还是中线？或两者都 有可能？请说明理由．\n11． （2015?绥化）如图 1，在正方形 ABCD 中，延长 BC 至 M，使 BM=DN，连接 MN 交 BD 延长线于点 E． （1）求证：BD+2DE= BM． （2）如图 2，连接 BN 交 AD 于点 F，连接 MF 交 BD 于点 G．若 AF：FD=1：2，且 CM=2， 则线段 DG= ．\n12． （2015?岳阳）如图，正方形 ABCD 中，M 为 BC 上一点，F 是 AM 的中点，EF⊥AM， 垂足为 F，交 AD 的延长线于点 E，交 DC 于点 N． （1）求证：△ ABM∽△EFA； （2）若 AB=12，BM=5，求 DE 的长．\n13． （2015?淄博）如图，在△ ABC 中，点 P 是 BC 边上任意一点（点 P 与点 B，C 不重合） ， 平行四边形 AFPE 的顶点 F，E 分别在 AB，AC 上．已知 BC=2，S△ ABC=1．设 BP=x，平行 四边形 AFPE 的面积为 y． （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当 x 取何值时，y 有这样的值，并求出该值； 若没有，请说明理由．\n第 4 页（共 45 页）\n14． （2015?大连） 在△ ABC 中， 点 D， E， F 分别在 AB， BC， AC 上， 且∠ADF+∠DEC=180°， ∠AFE=∠BDE． （1）如图 1，当 DE=DF 时，图 1 中是否存在与 AB 相等的线段？若存在，请找出，并加以 证明；若不存在，说明理由； （2）如图 2，当 DE=kDF（其中 0＜k＜1）时，若∠A=90°，AF=m，求 BD 的长（用含 k， m 的式子表示） ．\n15． （2015?湘潭）如图，在 Rt△ ABC 中，∠C=90°，△ ACD 沿 AD 折叠，使得点 C 落在斜 边 AB 上的点 E 处． （1）求证：△ BDE∽△BAC； （2）已知 AC=6，BC=8，求线段 AD 的长度．\n16． （2015?抚顺）在 Rt△ ABC 中，∠BAC=90°，过点 B 的直线 MN∥AC，D 为 BC 边上一 点，连接 AD，作 DE⊥AD 交 MN 于点 E，连接 AE． （1）如图①，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE； （2）如图②，当∠ABC=30°时，线段 AD 与 DE 有何数量关系？并请说明理由； （3）当∠ABC=α 时，请直接写出线段 AD 与 DE 的数量关系． （用含 α 的三角函数表示）\n17． （2015?威海） （1） 如图 1， 已知∠ACB=∠DCE=90°， AC=BC=6， CD=CE， AE=3， ∠CAE=45°， 求 AD 的长． （2）如图 2，已知∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠CED=∠CAE=30°，AC=3，AE=8，求 AD 的长．\n第 5 页（共 45 页）\n18． （2015?赤峰）如图，直线 y=�2x+4 与坐标轴分别交于 C、B 两点，过点 C 作 CD⊥x 轴，点 P 是 x 轴下方直线 CD 上的一点，且△ OCP 与△ OBC 相似，求过点 P 的双曲线解析 式．\n19． （2015?连云港） 如图， 在△ ABC 中， ∠ABC=90°， BC=3， D 为 AC 延长线上一点， AC=3CD， 过点 D 作 DH∥AB，交 BC 的延长线于点 H． （1）求 BD?cos∠HBD 的值； （2）若∠CBD=∠A，求 AB 的长．\n20． （2015?泰安）如图，在△ ABC 中，AB=AC，点 P、D 分别是 BC、AC 边上的点，且 ∠APD=∠B． （1）求证：AC?CD=CP?BP； （2）若 AB=10，BC=12，当 PD∥AB 时，求 BP 的长．\n第 6 页（共 45 页）\n21． （2015?武汉）已知锐角△ ABC 中，边 BC 长为 12，高 AD 长为 8． （1）如图，矩形 EFGH 的边 GH 在 BC 边上，其余两个顶点 E、F 分别在 AB、AC 边上， EF 交 AD 于点 K． ①求 的值；\n②设 EH=x，矩形 EFGH 的面积为 S，求 S 与 x 的函数关系式，并求 S 的最大值； （2）若 AB=AC，正方形 PQMN 的两个顶点在△ ABC 一边上，另两个顶点分别在△ ABC 的另两边上，直接写出正方形 PQMN 的边长．\n22． （2015?邵阳）如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF 来测量操场 旗杆 AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边 DE 与旗杆 顶点 A 在同一直线上，已知 DE=0.5 米，EF=0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG=1.5 米， 到旗杆的水平距离 DC=20 米，求旗杆的高度．\n23． （2015?陕西）晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一 时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两 人在灯下沿直线 NQ 移动，如图，当小聪正好站在广场的 A 点（距 N 点 5 块地砖长）时， 其影长 AD 恰好为 1 块地砖长；当小军正好站在广场的 B 点（距 N 点 9 块地砖长）时，其 影长 BF 恰好为 2 块地砖长．已知广场地面由边长为 0.8 米的正方形地砖铺成，小聪的身高 AC 为 1.6 米， MN⊥NQ， AC⊥NQ， BE⊥NQ． 请你根据以上信息， 求出小军身高 BE 的长． （结 果精确到 0.01 米）\n24． （2015?崇左）一块材料的形状是锐角三角形 ABC，边 BC=120mm，高 AD=80mm，把 它加工成正方形零件如图 1，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB，AC 上． （1）求证：△ AEF∽△ABC； （2）求这个正方形零件的边长； （3）如果把它加工成矩形零件如图 2，问这个矩形的最大面积是多少？\n25． （2015?湖州模拟）如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是边 AD、CD 上的点， ，连接 EF 并延长交 BC 的延长线于点 G． （1）求证：△ ABE∽△DEF； （2）若正方形的边长为 4，求 BG 的长．\n26． （2015?镇江）某兴趣小组开展课外活动．如图，A，B 两地相距 12 米，小明从点 A 出 发沿 AB 方向匀速前进，2 秒后到达点 D，此时他（CD）在某一灯光下的影长为 AD，继续 按原速行走 2 秒到达点 F，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为 1.2 米，然后他将速度提高到原来的 1.5 倍，再行走 2 秒到达点 H，此时他（GH）在同一灯 光下的影长为 BH（点 C，E，G 在一条直线上） ． （1）请在图中画出光源 O 点的位置，并画出他位于点 F 时在这个灯光下的影长 FM（不写 画法） ； （1）求小明原来的速度．\n第 8 页（共 45 页）\n27． （2015?黄冈校级自主招生）如图，已知锐角△ ABC 的面积为 1，正方形 DEFG 是△ ABC 的一个内接正方形，DG∥BC，求正方形 DEFG 面积的最大值．\n28． （2015?青岛模拟）如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC、BD 相交于点 O， 问△ AOB 与△ COD 是否相似？有一位同学解答下： ∵AD∥BC， ∴∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO． ∴△AOD∽△BOC． ∴ ．\n又∵∠AOB=∠DOC， ∴△AOB∽△COD． 请判断这位同学的解答是否正确并说明理由．\n29． （2015?大庆模拟）如图，点 C 为线段 AB 上任意一点（不与 A、B 两点重合） ，分别以 AC、BC 为一腰在 AB 的同侧作等腰△ ACD 和等腰△ BDE，CA=CD，CB=CE，∠ACD 与 ∠BDE 都是锐角且∠ACD=∠BCE，连接 AE 交 CD 于点 M，连接 BD 交 CE 于点 N，AE 与 BD 交于点 P，连接 PC． （1）求证：△ ACE≌△DCB； （2）请你判断△ AMC 与△ DPM 的形状有何关系，并说明理由．\n30． （2015?常州模拟）如图，在正方形 ABCD 中，E 为边 AD 的中点，点 F 在边 CD 上，且 CF=3FD，△ ABE 与△ DEF 相似吗？为什么？\n第 9 页（共 45 页）\n第 10 页（共 45 页）\n【考点】相似三角形的判定；全等三角形的判定． 【分析】 （1）利用相似三角形的性质以及全等三角形的性质得出符合题意的答案； （2）利用相似三角形的判定以及全等三角形的判定方法分别得出即可． 【解答】解： （1）△ ADE≌△BDE，△ ABC∽△BCD；\n（2）证明：∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=72°， ∵BD 为角平分线， ∴∠ABD= ∠ABC=36°=∠A， 在△ ADE 和△ BDE 中 ∵ ，\n∴△ADE≌△BDE（AAS） ； 证明：∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=72°， ∵BD 为角平分线， ∴∠DBC= ∠ABC=36°=∠A， ∵∠C=∠C， ∴△ABC∽△BCD． 【点评】 此题主要考查了相似三角形以及全等三角形的判定， 正确把握判定方法是解题关键． 2． （2015?南京）如图，△ ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且\n第 11 页（共 45 页）\n（1）求证：△ ACD∽△CBD； （2）求∠ACB 的大小．\n【考点】相似三角形的判定与性质． 【分析】 （1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ ACD∽△CBD； （2）由（1）知△ ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD， 然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°． 【解答】 （1）证明：∵CD 是边 AB 上的高， ∴∠ADC=∠CDB=90°，\n∴△ACD∽△CBD； （2）解：∵△ACD∽△CBD， ∴∠A=∠BCD， 在△ ACD 中，∠ADC=90°， ∴∠A+∠ACD=90°， ∴∠BCD+∠ACD=90°， 即∠ACB=90°． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的判定定理 与性质定理． 3． （2015?宁夏）在平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 边上的一点．连结 AE． （1）若 AB=AE，求证：∠DAE=∠D； （2）若点 E 为 BC 的中点，连接 BD，交 AE 于 F，求 EF：FA 的值．\n【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 【分析】 （1）根据平行四边形的对边互相平行可得 AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相 等可得∠AEB=∠EAD，根据等边对等角可得∠ABE=∠AEB，即可得证； （2）由四边形 ABCD 是平行四边形，可证得△ BEF∽△AFD，即可求得 EF：FA 的值． 【解答】证明： （1）在平行四边形 ABCD 中，AD∥BC， ∴∠AEB=∠EAD， ∵AE=AB， ∴∠ABE=∠AEB， ∴∠B=∠EAD， ∵∠B=∠D，\n第 12 页（共 45 页）\n∴∠DAE=∠D； （2）∵四边形 ABCD 是平行四边形，\n∴AD∥BC，AD=BC， ∴△BEF∽△AFD， ∴ ，\n∵E 为 BC 的中点， ∴BE= BC= AD， ∴EF：FA=1：2． 【点评】 此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质． 熟练掌握平行四边形的 性质是解题的关键． 4． （2015?滨州）如图，已知 B、C、E 三点在同一条直线上，△ ABC 与△ DCE 都是等边三 角形，其中线段 BD 交 AC 于点 G，线段 AE 交 CD 于点 F，求证： （1）△ ACE≌△BCD； （2） = ．\n【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 【专题】证明题． 【分析】 （1）由三角形 ABC 与三角形 CDE 都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到 两对边相等，一对角相等，利用等式的性质得到夹角相等，利用 SAS 即可得证； （2）由（1）得出的三角形全等得到对应角相等，再由一对角相等，且夹边相等，利用 ASA 得到三角形 GCD 与三角形 FCE 全等，利用全等三角形对应边相等得到 CG=CF，进而确定 出三角形 CFG 为等边三角形，确定出一对内错角相等，进而得到 GF 与 CE 平行，利用平行 线等分线段成比例即可得证． 【解答】证明： （1）∵△ABC 与△ CDE 都为等边三角形， ∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠ACE=∠BCD， 在△ ACE 和△ BCD 中，\n第 13 页（共 45 页）\n∴△ACE≌△BCD（SAS） ， （2）∵△ACE≌△BCD， ∴∠BDC=∠AEC， 在△ GCD 和△ FCE 中， ， ∴△GCD≌△FCE（ASA） ， ∴CG=CF， ∴△CFG 为等边三角形， ∴∠CGF=∠ACB=60°， ∴GF∥CE， ∴ = ．\n【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及等边三角形 的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 5． （2015?黄石）在△ AOB 中，C，D 分别是 OA，OB 边上的点，将△ OCD 绕点 O 顺时针 旋转到△ OC′D′． （1）如图 1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D 分别为 OA，OB 的中点，证明：①AC′=BD′； ②AC′⊥BD′； （2）如图 2，若△ AOB 为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与 BD′交于点 E，猜想 ∠AEB=θ 是否成立？请说明理由．\n【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质． 【专题】证明题． 【分析】 （1）①由旋转的性质得出 OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，证出 OC′=OD′， 由 SAS 证明△ AOC′≌△BOD′，得出对应边相等即可； ②由全等三角形的性质得出∠OAC′=∠OBD′，又由对顶角相等和三角形内角和定理得出 ∠BEA=90°，即可得出结论；\n（2） 由旋转的性质得出 OC=OC′， OD=OD′， ∠AOC′=∠BOD′， 由平行线得出比例式 得出\n角和定理即可得出∠AEB=θ． 【解答】 （1）证明：①∵△OCD 旋转到△ OC′D′， ∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′， ∵OA=OB，C、D 为 OA、OB 的中点，\n第 14 页（共 45 页）\n∴OC=OD， ∴OC′=OD′， 在△ AOC′和△ BOD′中， ，\n∴△AOC′≌△BOD′（SAS） ， ∴AC′=BD′； ②延长 AC′交 BD′于 E，交 BO 于 F，如图 1 所示： ∵△AOC′≌△BOD′， ∴∠OAC′=∠OBD′， 又∠AFO=∠BFE，∠OAC′+∠AFO=90°， ∴∠OBD′+∠BFE=90°， ∴∠BEA=90°， ∴AC′⊥BD′； （2）解：∠AEB=θ 成立，理由如下：如图 2 所示： ∵△OCD 旋转到△ OC′D′， ∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′， ∵CD∥AB， ∴ ∴ ∴ ， ， ，\n又∠AOC′=∠BOD′， ∴△AOC′∽△BOD′， ∴∠OAC′=∠OBD′， 又∠AFO=∠BFE， ∴∠AEB=∠AOB=θ．\n第 15 页（共 45 页）\n【分析】 （1）分别延长 AD、BC 相交于 E，在 Rt△ ABE 中，由 tanA= ，AB=3，BC=2，得 到 BE=4，EC=2，AE=5，通过等角的余角相等得到∠A=∠ECD，由 tanA= ，得 cosA= ， 于是得到 cos∠ECD= = ，即问题可得； ，得到 ED= ，如图 4，由 PQ∥DC，可知△ EDC～EPQ， ， 由 S 四边形 PQCD=S△ EPQ�S△ EDC， 于是得到 y= PQ?EP � = ， 于是当 Q 点到达 B 点时，\n（2）由（1）可知 tan∠ECD= 得到比例式 � DC?ED= ， 求得 PQ=\n点 P 在 M 点处，由 EC=BC，DC∥PQ，得到 DM=ED= ，于是结论可得． 【解答】解： （1）如图（3） ，分别延长 AD、BC 相交于 E， 在 Rt△ ABE 中， ∵tanA= ，AB=3，BC=2， ∴BE=4，EC=2，AE=5， 又∵∠E+∠A=90°，∠E+∠ECD=90°， ∴∠A=∠ECD， 由 tanA= ，得 cosA= ， ∴cos∠ECD= ∴CD= ； = ，\n第 16 页（共 45 页）\n（2）如图 4，由（1）可知 tan∠ECD= ∴ED= ， 如图 4，由 PQ∥DC，可知△ EDC～EPQ， ∴ ，\n∵S 四边形 PQCD=S△ EPQ�S△ EDC， ∴y= PQ?EP� DC?ED= ∴当 Q 点到达 B 点时，点 P 在 M 点处， 由 EC=BC，DC∥PQ， ∴DM=ED= ， ∴自变量 x 的取值方范围为：0＜x≤ ． � = ，\n【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平移的性质，求函数的解析式，解直角三角 形，正确的作出辅助线是解题的关键． 7． （2015?上海）已知，如图，平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，点 E 在边 BC 的延 长线上，且 OE=OB，连接 DE． （1）求证：DE⊥BE； （2）如果 OE⊥CD，求证：BD?CE=CD?DE．\n第 17 页（共 45 页）\n【分析】 （1）由平行四边形的性质得到 BO= BD，由等量代换推出 OE= BD，根据平行四 边形的判定即可得到结论； （2）根据等角的余角相等，得到∠CEO=∠CDE，推出△ BDE∽△CDE，即可得到结论． 【解答】证明： （1）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴BO= BD， ∵OE=OB， ∴OE= BD， ∴∠BED=90°， ∴DE⊥BE； （2）∵OE⊥CD ∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°， ∴∠CEO=∠CDE， ∵OB=OE， ∴∠DBE=∠CDE， ∵∠BED=∠BED， ∴△BDE∽△DCE， ∴ ，\n∴BD?CE=CD?DE． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，平行四边形的性 质，熟记定理是解题的关键． 8． （2015?茂名）如图，Rt△ ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．动点 M 从点 B 出 发，在 BA 边上以每秒 3cm 的速度向定点 A 运动，同时动点 N 从点 C 出发，在 CB 边上以 每秒 2cm 的速度向点 B 运动，运动时间为 t 秒（0＜t＜ （1）若△ BMN 与△ ABC 相似，求 t 的值； （2）连接 AN，CM，若 AN⊥CM，求 t 的值． ） ，连接 MN．\n第 18 页（共 45 页）\n【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形． 【专题】压轴题；动点型． 【分析】 （1）根据题意得出 BM，CN，易得 BN，BA，分类讨论当△ BMN∽△BAC 时，利\n，解得 t；当△ BMN∽△BCA 时，\n述，△ BMN 与△ ABC 相似，得 t 的值； （2） 过点 M 作 MD⊥CB 于点 D， 利用锐角三角函数易得 DM， BD， 由 BM=3tcm， CN=2tcm， 易得 CD，利用三角形相似的判定定理得△ CAN∽△DCM，由三角形相似的性质得 解得 t． 【解答】解： （1）由题意知，BM=3tcm，CN=2tcm， ∴BN=（8�2t）cm，BA= 当△ BMN∽△BAC 时， ∴ ，解得：t= ； ， ， 或 ； ， =10（cm） ， ，\n当△ BMN∽△BCA 时， ∴ ，解得：t=\n∴△BMN 与△ ABC 相似时，t 的值为\n（2）过点 M 作 MD⊥CB 于点 D，由题意得： DM=BMsinB=3t = （cm） ，BD=BMcosB=3t = t（cm） ，\nBM=3tcm，CN=2tcm， ∴CD=（8� ）cm，\n∵AN⊥CM，∠ACB=90°， ∴∠CAN+∠ACM=90°，∠MCD+∠ACM=90°， ∴∠CAN=∠MCD， ∵MD⊥CB， ∴∠MDC=∠ACB=90°， ∴△CAN∽△DCM，\n第 19 页（共 45 页）\n【点评】本题主要考查了动点问题，相似三角形的判定及性质等，分类讨论，数形结合是解 答此题的关键． 9． （2015?厦门）如图，在△ ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，若 DE∥BC，AD=3， AB=5，求 的值．\n【分析】根据平行线分线段成比例定理得出 【解答】解：∵DE∥BC， ∴ = ，\n∵AD=3，AB=5， ∴ = ．\n【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题难度不大，解题的关键是注意准确应用 平行线分线段成比例定理与数形结合思想的应用． 10． （2015?杭州）如图，在△ ABC 中（BC＞AC） ，∠ACB=90°，点 D 在 AB 边上，DE⊥AC 于点 E． （1）若 = ，AE=2，求 EC 的长；\n第 20 页（共 45 页）\n【考点】相似三角形的判定与性质． 【专题】分类讨论． 【分析】 （1）易证 DE∥BC，由平行线分线段成比例定理列比例式即可求解； （2）分三种情况讨论：①若∠CFG=∠ECD，此时线段 CP 是△ CFG 的 FG 边上的中线； ②若∠CFG=∠EDC，此时线段 CP 为△ CFG 的 FG 边上的高线；③当 CD 为∠ACB 的平 分线时，CP 既是△ CFG 的 FG 边上的高线又是中线． 【解答】解： （1）∵∠ACB=90°，DE⊥AC， ∴DE∥BC，\n∴EC=6； （2）①如图 1，若∠CFG=∠ECD，此时线段 CP 是△ CFG 的 FG 边上的中线． 证明：∵∠CFG+∠CGF=90°，∠ECD+∠PCG=90°， 又∵∠CFG=∠ECD， ∴∠CGF=∠PCG， ∴CP=PG， ∵∠CFG=∠ECD， ∴CP=FP， ∴PF=PG=CP， ∴线段 CP 是△ CFG 的 FG 边上的中线； ②如图 2，若∠CFG=∠EDC，此时线段 CP 为△ CFG 的 FG 边上的高线． 证明：∵DE⊥AC， ∴∠EDC+∠ECD=90°， ∵∠CFG=∠EDC， ∴∠CFG+∠ECD=90°， ∴∠CPF=90°， ∴线段 CP 为△ CFG 的 FG 边上的高线． ③如图 3，当 CD 为∠ACB 的平分线时，CP 既是△ CFG 的 FG 边上的高线又是中线．\n第 21 页（共 45 页）\n【点评】 本题主要考查了平行线分线段成比例定理、 等腰三角形的判定、 三角形的有关概念， 分类讨论，能全面的思考问题是解决问题的关键． 11． （2015?绥化）如图 1，在正方形 ABCD 中，延长 BC 至 M，使 BM=DN，连接 MN 交 BD 延长线于点 E． （1）求证：BD+2DE= BM． （2）如图 2，连接 BN 交 AD 于点 F，连接 MF 交 BD 于点 G．若 AF：FD=1：2，且 CM=2， 则线段 DG= ．\n【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质． 【专题】证明题． 【分析】 （1）过点 M 作 MP⊥BC 交 BD 的延长线于点 P，首先证明△ DEN≌△PEM，得到 DE=PE，由△ BMP 是等腰直角三角形可知 BP= BM，即可得到结论； （2）由 AF：FD=1：2，可知 DF：BC=2：3，由△ BCN∽△FDN，可求出 BC=2，再由 △ DFG∽△BMG 即可求出 DG 的长． 【解答】 （1）证明：过点 M 作 MP⊥BC 交 BD 的延长线于点 P， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BCD=90°，∠DBC=∠BDC=45°， ∴PM∥CN， ∴∠N=∠EMP，∠BDC=∠MPB=45°，\n第 22 页（共 45 页）\n∴BM=PM， ∵BM=DN， ∴DN=MP， 在△ DEN 和△ PEM 中 ， ∴△DEN≌△PEM， ∴DE=EP， ∵△BMP 是等腰直角三角形 ∴BP= BM ∴BD+2DE= BM． （2）解：∵AF：FD=1：2， ∴DF：BC=2：3， ∵△BCN∽△FDN， ∴ 设正方形边长为 a，又知 CM=2， ∴BM=DN=a+2，CN=2a+2 ∴ ，\n解得：a=2， ∴DF= ，BM=4，BD=2 又∵△DFG∽△BMG， ∴ ， ，\n∴ ∴DG= ．\n第 23 页（共 45 页）\n【点评】 本题主要考查了正方形的性质、 全等三角形的判定与性质、 等腰直角三角形的性质、 相似三角形的判定与性质以及勾股定理的综合运用， 运用三角形相似求出正方形的边长是解 决第 2 小题的关键． 12． （2015?岳阳）如图，正方形 ABCD 中，M 为 BC 上一点，F 是 AM 的中点，EF⊥AM， 垂足为 F，交 AD 的延长线于点 E，交 DC 于点 N． （1）求证：△ ABM∽△EFA； （2）若 AB=12，BM=5，求 DE 的长．\n【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质． 【分析】 （1）由正方形的性质得出 AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再 由∠B=∠AFE，即可得出结论；\n第 24 页（共 45 页）\n（2）由勾股定理求出 AM，得出 AF，由△ ABM∽△EFA 得出比例式，求出 AE，即可得出 DE 的长． 【解答】 （1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC， ∴∠AMB=∠EAF， 又∵EF⊥AM， ∴∠AFE=90°， ∴∠B=∠AFE， ∴△ABM∽△EFA； （2）解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5， ∴AM= =13，AD=12，\n∴AE=16.9， ∴DE=AE�AD=4.9． 【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形 的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 13． （2015?淄博）如图，在△ ABC 中，点 P 是 BC 边上任意一点（点 P 与点 B，C 不重合） ， 平行四边形 AFPE 的顶点 F，E 分别在 AB，AC 上．已知 BC=2，S△ ABC=1．设 BP=x，平行 四边形 AFPE 的面积为 y． （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当 x 取何值时，y 有这样的值，并求出该值； 若没有，请说明理由．\n【考点】相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；平行四边形的性质． 【分析】 （1）由平行四边形的性质得出 PF∥CA，证出△ BFP∽△BAC，得出面积比等于相\n似比的平方，得出 S△ BFP=\n） ，即可得出 y 与 x 的函数关系式；\n（2）由� ＜0 得出 y 有最大值，把（1）中函数关系式化成顶点式，即可得出结果． 【解答】解： （1）∵四边形 AFPE 是平行四边形，\n第 25 页（共 45 页）\n∴PF∥CA， ∴△BFP∽△BAC， ∴ =（ ） ，\n∵S△ ABC=1， ∴S△ BFP= ， ），\n（2）上述函数有最大值，最大值为 ；理由如下： ∵y=� +x=� （x�1） + ，� ＜0，\n∴y 有最大值， ∴当 x=1 时，y 有最大值，最大值为 ． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值；熟练 掌握平行四边形的性质，证明三角形相似得出关系式是解决问题的关键． 14． （2015?大连） 在△ ABC 中， 点 D， E， F 分别在 AB， BC， AC 上， 且∠ADF+∠DEC=180°， ∠AFE=∠BDE． （1）如图 1，当 DE=DF 时，图 1 中是否存在与 AB 相等的线段？若存在，请找出，并加以 证明；若不存在，说明理由； （2）如图 2，当 DE=kDF（其中 0＜k＜1）时，若∠A=90°，AF=m，求 BD 的长（用含 k， m 的式子表示） ．\n【考点】相似三角形的判定与性质． 【专题】压轴题． 【分析】 （1）如图 1，连结 AE．先由 DE=DF，得出∠DEF=∠DFE，由∠ADF+∠DEC=180°， 得出∠ADF=∠DEB．由∠AFE=∠BDE，得出∠AFE+∠ADE=180°，那么 A、D、E、F 四点 共圆，根据圆周角定理得出∠DAE=∠DFE=∠DEF，∠ADF=∠AEF．再由\n第 26 页（共 45 页）\n∠ADF=∠DEB=∠AEF，得出∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED，则∠AEB=∠DEF=∠BAE， 根据等角对等边得出 AB=BE； （2）如图 2，连结 AE．由 A、D、E、F 四点共圆，得出∠ADF=∠AEF，由∠DAF=90°， 得出∠DEF=90°，再证明∠DEB=∠AEF．又∠AFE=∠BDE，根据两角对应相等的两三角形 相似得出△ BDE∽△AFE，利用相似三角形对应边成比例得到 利用勾股定理求出 EF= = = ．在直角△ DEF 中，\nDF，然后将 AF=m，DE=kDF 代入，计算即\n可求解． 【解答】解： （1）如图 1，连结 AE． ∵DE=DF， ∴∠DEF=∠DFE， ∵∠ADF+∠DEC=180°， ∴∠ADF=∠DEB． ∵∠AFE=∠BDE， ∴∠AFE+∠ADE=180°， ∴A、D、E、F 四点共圆， ∴∠DAE=∠DFE=∠DEF，∠ADF=∠AEF． ∵∠ADF=∠DEB=∠AEF， ∴∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED， ∴∠AEB=∠DEF=∠DFE=∠BAE， ∴AB=BE； （2）如图 2，连结 AE． ∵∠AFE=∠BDE， ∴∠AFE+∠ADE=180°， ∴A、D、E、F 四点共圆， ∴∠ADF=∠AEF， ∵∠DAF=90°， ∴∠DEF=90°， ∵∠ADF+∠DEC=180°， ∴∠ADF=∠DEB． ∵∠ADF=∠AEF， ∴∠DEB=∠AEF． 在△ BDE 与△ AFE 中， ， ∴△BDE∽△AFE， ∴ = ．\n在直角△ DEF 中，∵∠DEF=90°，DE=kDF， ∴EF= = DF，\n第 27 页（共 45 页）\n【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，四点共圆，圆周 角定理，勾股定理等知识，有一定难度．连结 AE，证明 A、D、E、F 四点共圆是解题的关 键． 15． （2015?湘潭）如图，在 Rt△ ABC 中，∠C=90°，△ ACD 沿 AD 折叠，使得点 C 落在斜 边 AB 上的点 E 处． （1）求证：△ BDE∽△BAC； （2）已知 AC=6，BC=8，求线段 AD 的长度．\n【考点】相似三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题） ． 【分析】 （1）根据折叠的性质得出∠C=∠AED=90°，利用∠DEB=∠C，∠B=∠B 证明三角 形相似即可； （2）由折叠的性质知 CD=DE，AC=AE．根据题意在 Rt△ BDE 中运用勾股定理求 DE，进 而得出 AD 即可． 【解答】证明： （1）∵∠C=90°，△ ACD 沿 AD 折叠， ∴∠C=∠AED=90°， ∴∠DEB=∠C=90°， 又∵∠B=∠B， ∴△BDE∽△BAC； （2）由勾股定理得，AB=10． 由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°． ∴BE=AB�AE=10�6=4， 在 Rt△ BDE 中，由勾股定理得， 2 2 2 DE +BE =BD ， 2 2 2 即 CD +4 =（8�CD） ， 解得：CD=3，\n第 28 页（共 45 页）\n在 Rt△ ACD 中，由勾股定理得 AC +CD =AD ， 2 2 2 即 3 +6 =AD ， 解得：AD= ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，关键是根据 1、折叠的性质：折叠是一种对 称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化， 对应边和对应角相等；2、勾股定理求解． 16． （2015?抚顺）在 Rt△ ABC 中，∠BAC=90°，过点 B 的直线 MN∥AC，D 为 BC 边上一 点，连接 AD，作 DE⊥AD 交 MN 于点 E，连接 AE． （1）如图①，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE； （2）如图②，当∠ABC=30°时，线段 AD 与 DE 有何数量关系？并请说明理由； （3）当∠ABC=α 时，请直接写出线段 AD 与 DE 的数量关系． （用含 α 的三角函数表示）\n【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质． 【专题】压轴题． 【分析】 （1） 首先过点 D 作 DF⊥BC， 交 AB 于点 F， 得出∠BDE=∠ADF， 以及∠EBD=∠AFD， 再得出△ BDE≌△FDA（ASA） ，求出即可； （2） 首先过点 D 作 DG⊥BC， 交 AB 于点 G， 进而得出∠EBD=∠AGD， 证出△ BDE∽△GDA 即可得出答案； （3） 首先过点 D 作 DG⊥BC， 交 AB 于点 G， 进而得出∠EBD=∠AGD， 证出△ BDE∽△GDA 即可得出答案． 【解答】 （1）证明：如图 1，过点 D 作 DF⊥BC，交 AB 于点 F， 则∠BDE+∠FDE=90°， ∵DE⊥AD， ∴∠FDE+∠ADF=90°， ∴∠BDE=∠ADF， ∵∠BAC=90°，∠ABC=45°， ∴∠C=45°， ∵MN∥AC， ∴∠EBD=180°�∠C=135°， ∵∠BFD=45°，DF⊥BC， ∴∠BFD=45°，BD=DF， ∴∠AFD=135°， ∴∠EBD=∠AFD， 在△ BDE 和△ FDA 中\n第 29 页（共 45 页）\n∴△BDE≌△FDA（ASA） ， ∴AD=DE； （2）解：DE= AD， 理由：如图 2，过点 D 作 DG⊥BC，交 AB 于点 G， 则∠BDE+∠GDE=90°， ∵DE⊥AD， ∴∠GDE+∠ADG=90°， ∴∠BDE=∠ADG， ∵∠BAC=90°，∠ABC=30°， ∴∠C=60°， ∵MN∥AC， ∴∠EBD=180°�∠C=120°， ∵∠ABC=30°，DG⊥BC， ∴∠BGD=60°， ∴∠AGD=120°， ∴∠EBD=∠AGD， ∴△BDE∽△GDA， ∴ = ，\n在 Rt△ BDG 中， =tan30°= ∴DE= ，\n（3）AD=DE?tanα； 理由：如图 2，∠BDE+∠GDE=90°， ∵DE⊥AD， ∴∠GDE+∠ADG=90°， ∴∠BDE=∠ADG， ∵∠EBD=90°+α，∠AGD=90°+α， ∴∠EBD=∠AGD， ∴△EBD∽△AGD， ∴ = ，\n在 Rt△ BDG 中， =tanα，则 =tanα，\n第 30 页（共 45 页）\n【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，得出 △ EBD∽△AGD 是解题关键． 17． （2015?威海） （1） 如图 1， 已知∠ACB=∠DCE=90°， AC=BC=6， CD=CE， AE=3， ∠CAE=45°， 求 AD 的长． （2）如图 2，已知∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠CED=∠CAE=30°，AC=3，AE=8，求 AD 的长．\n【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理． 【分析】 （1）连接 BE，证明△ ACD≌△BCE，得到 AD=BE，在 Rt△ BAE 中，AB=6 AE=3，求出 BE，得到答案；\n（2）连接 BE，证明△ ACD∽△BCE，得到\n，求出 BE 的长，得到 AD 的长．\n【解答】解： （1）如图 1，连接 BE， ∵∠ACB=∠DCE=90°， ∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵AC=BC，DC=EC， 在△ ACD 和△ BCE 中， ， ∴△ACD≌△BCE， ∴AD=BE，\n第 31 页（共 45 页）\n∵AC=BC=6， ∴AB=6 ， ∵∠BAC=∠CAE=45°， ∴∠BAE=90°， 在 Rt△ BAE 中，AB=6 ，AE=3， ∴BE=9， ∴AD=9； （2）如图 2，连接 BE， 在 Rt△ ACB 中，∠ABC=∠CED=30°， tan30°= = ，\n∵∠ACB=∠DCE=90°， ∴∠BCE=∠ACD， ∴△ACD∽△BCE， ∴ = = ，\n∵∠BAC=60°，∠CAE=30°， ∴∠BAE=90°，又 AB=6，AE=8， ∴BE=10， ∴AD= ．\n【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握性质定理 和判定定理是解题的关键，正确作出辅助线是重点． 18． （2015?赤峰）如图，直线 y=�2x+4 与坐标轴分别交于 C、B 两点，过点 C 作 CD⊥x 轴，点 P 是 x 轴下方直线 CD 上的一点，且△ OCP 与△ OBC 相似，求过点 P 的双曲线解析 式．\n第 32 页（共 45 页）\n【考点】相似三角形的判定与性质；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函 数解析式． 【分析】由直线 y=�2x+4 与坐标轴分别交于 C、B 两点，易得 OC=2，OB=4，再分两种情 况①当∠OBC=∠COP 时， △ OCP 与△ OBC 相似， ②当∠OBC=∠CPO 时， △ OCP 与△ OBC 相似分别求出点的坐标，再求出过点 P 的双曲线解析式． 【解答】解：∵直线 y=�2x+4 与坐标轴分别交于 C、B 两点， ∴令 y=0，可得�2x+4=0，解得 x=2，即 C（2，0） ，OC=2， 令 x=0，可得 y=4，即 B（0，4） ，OB=4， ①如图 1，当∠OBC=∠COP 时，△ OCP∽△BOC，\n∴P（2，�1） ， 设过点 P 的双曲线解析式 y= ，把 P 点代入解得 k=�2， ∴过点 P 的双曲线解析式 y=� ， ②如图 2，当∠OBC=∠CPO 时，△ OCP∽△COB，\n第 33 页（共 45 页）\n在△ OCP 和△ COB 中，\n∴△OCP≌△COB（AAS） ∴CP=BO=4， ∴P（2，�4） 设过点 P 的双曲线解析式 y= ，把 P 点代入得�4= ，解得 k=�8， ∴过点 P 的双曲线解析式 y= ． ．\n综上可得，过点 P 的双曲线的解析式为 y=� 或 y=\n【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，待定系数求反比例函数，解题的关键是 分两种情况正确画出图形． 19． （2015?连云港） 如图， 在△ ABC 中， ∠ABC=90°， BC=3， D 为 AC 延长线上一点， AC=3CD， 过点 D 作 DH∥AB，交 BC 的延长线于点 H． （1）求 BD?cos∠HBD 的值； （2）若∠CBD=∠A，求 AB 的长．\n【分析】 （1）首先根据 DH∥AB，判断出△ ABC∽△DHC，即可判断出 出 BH 的值是多少，再根据在 Rt△ BHD 中，cos∠HBD= 少即可．\n第 34 页（共 45 页）\n，求出 BD?cos∠HBD 的值是多\n（2） 首先判断出△ ABC∽△BHD， 推得 所以 AB=3DH；最后根据 【解答】解： （1）∵DH∥AB， ∴∠BHD=∠ABC=90°， ∴△ABC∽△DHC， ∴ =3，\n； 然后根据△ ABC∽△DHC， 推得\n，求出 DH 的值是多少，进而求出 AB 的值是多少即可．\n∴CH=1，BH=BC+CH， 在 Rt△ BHD 中， cos∠HBD= ，\n∴BD?cos∠HBD=BH=4． （2）∵∠CBD=∠A，∠ABC=∠BHD， ∴△ABC∽△BHD， ∴ ，\n∵△ABC∽△DHC， ∴ ，\n∴AB=3DH， ∴ ，\n解得 DH=2， ∴AB=3DH=3×2=6， 即 AB 的长是 6． 【点评】 （1）此题主要考查了相似三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要 明确： 寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形； 或依据基本图形对图形 进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有 时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． （2）此题还考查了直角三角形的性质和应用，要熟练掌握． 20． （2015?泰安）如图，在△ ABC 中，AB=AC，点 P、D 分别是 BC、AC 边上的点，且 ∠APD=∠B． （1）求证：AC?CD=CP?BP； （2）若 AB=10，BC=12，当 PD∥AB 时，求 BP 的长．\n第 35 页（共 45 页）\n【分析】 （1）易证∠APD=∠B=∠C，从而可证到△ ABP∽△PCD，即可得到\nAB?CD=CP?BP，由 AB=AC 即可得到 AC?CD=CP?BP； （2）由 PD∥AB 可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，从而可证到△ BAP∽△BCA， 然后运用相似三角形的性质即可求出 BP 的长． 【解答】解： （1）∵AB=AC，∴∠B=∠C． ∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C． ∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC， ∴∠BAP=∠DPC， ∴△ABP∽△PCD， ∴ = ，\n∴AB?CD=CP?BP． ∵AB=AC， ∴AC?CD=CP?BP； （2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP． ∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C． ∵∠B=∠B， ∴△BAP∽△BCA， ∴ = ．\n∵AB=10，BC=12， ∴ = ， ．\n【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三 角形外角的性质等知识，把证明 AC?CD=CP?BP 转化为证明 AB?CD=CP?BP 是解决第（1） 小题的关键，证到∠BAP=∠C 进而得到△ BAP∽△BCA 是解决第（2）小题的关键． 21． （2015?武汉）已知锐角△ ABC 中，边 BC 长为 12，高 AD 长为 8． （1）如图，矩形 EFGH 的边 GH 在 BC 边上，其余两个顶点 E、F 分别在 AB、AC 边上， EF 交 AD 于点 K． ①求 的值；\n第 36 页（共 45 页）\n【考点】相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；矩形的性质；正方形的性质． 【专题】压轴题． 【分析】 （1）①根据 EF∥BC，可得 ②首先根据 EH=x，求出 AK=8�x，再根据 ，所以 ，据此求出\n= ，求出 EF 的值；然后根据矩形的面积公\n式，求出 S 与 x 的函数关系式，利用配方法，求出 S 的最大值是多少即可． （2）根据题意，设正方形的边长为 a，分两种情况：①当正方形 PQMN 的两个顶点在 BC 边上时； ②当正方形 PQMN 的两个顶点在 AB 或 AC 边上时； 分类讨论， 求出正方形 PQMN 的边长各是多少即可． 【解答】解： （1）①∵EF∥BC， ∴ ∴ 即 ， = 的值是 ． ，\n②∵EH=x， ∴KD=EH=x，AK=8�x， ∵ = ， ， +24，\n∴S=EH?EF= x（8�x）=� ∴当 x=4 时，S 的最大值是 24．\n（2）设正方形的边长为 a， ①当正方形 PQMN 的两个顶点在 BC 边上时， ， 解得 a= ．\n②当正方形 PQMN 的两个顶点在 AB 或 AC 边上时， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=CD=12÷2=6，\n第 37 页（共 45 页）\n∴AB=AC= ∴AB 或 AC 边上的高等于： AD?BC÷AB =8×12÷10 =\n∴ 解得 a= 综上，可得 ．\n【点评】 （1）此题主要考查了相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关 键是要明确：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条 件， 以充分发挥基本图形的作用， 寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角 形． （2）此题还考查了二次函数的最值的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：确定 一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线 顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较 这些函数值，从而获得最值． （3）此题还考查了矩形、正方形、直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟 练掌握． 22． （2015?邵阳）如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF 来测量操场 旗杆 AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边 DE 与旗杆 顶点 A 在同一直线上，已知 DE=0.5 米，EF=0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG=1.5 米， 到旗杆的水平距离 DC=20 米，求旗杆的高度．\n【考点】相似三角形的应用． 【分析】根据题意可得：△ DEF∽△DCA，进而利用相似三角形的性质得出 AC 的长，即可 得出答案． 【解答】解：由题意可得：△ DEF∽△DCA，\n第 38 页（共 45 页）\n解得：AC=10， 故 AB=AC+BC=10+1.5=11.5（m） ， 答：旗杆的高度为 11.5m． 【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，得出△ DEF∽△DCA 是解题关键． 23． （2015?陕西）晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一 时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两 人在灯下沿直线 NQ 移动，如图，当小聪正好站在广场的 A 点（距 N 点 5 块地砖长）时， 其影长 AD 恰好为 1 块地砖长；当小军正好站在广场的 B 点（距 N 点 9 块地砖长）时，其 影长 BF 恰好为 2 块地砖长．已知广场地面由边长为 0.8 米的正方形地砖铺成，小聪的身高 AC 为 1.6 米， MN⊥NQ， AC⊥NQ， BE⊥NQ． 请你根据以上信息， 求出小军身高 BE 的长． （结 果精确到 0.01 米）\n【考点】相似三角形的应用． 【分析】先证明△ CAD～△ MND，利用相似三角形的性质求得 MN=9.6，再证明△ EFB～ △ MFN，即可解答． 【解答】解：由题意得：∠CAD=∠MND=90°，∠CDA=MDN， ∴△CAD～△ MND，\n∴MN=9.6， 又∵∠EBF=∠MNF=90°， ∠EFB=∠MFN， ∴△EFB～△ MFN， ∴ ∴ ∴EB≈1.75， ∴小军身高约为 1.75 米． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定及性质，解答此题的关键是相似三角形的判定． ，\n第 39 页（共 45 页）\n【考点】相似三角形的应用；二次函数的应用． 【专题】压轴题． 【分析】 （1）根据矩形的对边平行得到 BC∥EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其他 两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可． （2）根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即△ AEF∽△ABC，\n△ BFG∽△BAD，从而得出边长之比 出正方形的边长；\n（3）分别讨论长方形的长和宽在 BC 上的情况，再根据相应得关系式 【解答】解： （1）∵四边形 EGFH 为矩形， ∴BC∥EF， ∴△AEF∽△ABC； （2）设正方形零件的边长为 a 在正方形 EFGH 中，EF∥BC，EG∥AD ∴△AEF∽△ABC，△ BFG∽△BAD ∴ ∴ 即： 解得：a=48 即：正方形零件的边长为 48； （3）设长方形的长为 x，宽为 y， 当长方形的长在 BC 时， 由（1）知： ∵ ∴当 ， ， ，即 x=60，y=40，xy 最大为 2400\n第 40 页（共 45 页）\n当长方形的宽在 BC 时， ∵ ∴当 ，\n，即 x=40，y=60，xy 最大为 2400，\n又∵x≥y，所以长方形的宽在 BC 时，面积＜2400 综上，长方形的面积最大为 2400． 【点评】本题考查了正方形以及矩形的性质，结合了平行线的比例关系求解，注意数形结合 的运用． 25． （2015?湖州模拟）如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是边 AD、CD 上的点， ，连接 EF 并延长交 BC 的延长线于点 G． （1）求证：△ ABE∽△DEF； （2）若正方形的边长为 4，求 BG 的长．\n【考点】相似三角形的判定；正方形的性质；平行线分线段成比例． 【专题】计算题；证明题． 【分析】 （1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得\n成比例且夹角相等三角形相似，可得△ ABE∽△DEF； （2）根据平行线分线段成比例定理，可得 CG 的长，即可求得 BG 的长． 【解答】 （1）证明：∵ABCD 为正方形， ∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°， ∵AE=ED， ∴ ，\n∵DF= DC， ∴ ∴ ， ，\n∴△ABE∽△DEF； （2）解：∵ABCD 为正方形， ∴ED∥BG， ∴ ，\n第 41 页（共 45 页）\n又∵DF= DC，正方形的边长为 4， ∴ED=2，CG=6， ∴BG=BC+CG=10． 【点评】此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似） 、正方 形的性质、 平行线分线段成比例定理等知识的综合应用． 解题的关键是数形结合思想的应用． 26． （2015?镇江）某兴趣小组开展课外活动．如图，A，B 两地相距 12 米，小明从点 A 出 发沿 AB 方向匀速前进，2 秒后到达点 D，此时他（CD）在某一灯光下的影长为 AD，继续 按原速行走 2 秒到达点 F，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为 1.2 米，然后他将速度提高到原来的 1.5 倍，再行走 2 秒到达点 H，此时他（GH）在同一灯 光下的影长为 BH（点 C，E，G 在一条直线上） ． （1）请在图中画出光源 O 点的位置，并画出他位于点 F 时在这个灯光下的影长 FM（不写 画法） ； （1）求小明原来的速度．\n【考点】相似三角形的应用；中心投影． 【分析】 （1）利用中心投影的定义画图； （2） 设小明原来的速度为 xm/s， 则 CE=2xm， AM=AF�MF= （4x�1.2） m， EG=2×1.5x=3xm， BM=AB�AM=12�（4x�1.2）=13.2�4x，根据相似三角形的判定方法得到\n△ OCE∽△OAM，△ OEG∽△OMB，则 = ，然后解方程解决．\n经检验 x=1.5 为方程的解， ∴小明原来的速度为 1.5m/s． 答：小明原来的速度为 1.5m/s．\n第 42 页（共 45 页）\n【点评】本题考查了相似三角形的应用：从实际问题中抽象出几何图形，然后利用相似比计 算相应线段的长．也考查了中心投影． 27． （2015?黄冈校级自主招生）如图，已知锐角△ ABC 的面积为 1，正方形 DEFG 是△ ABC 的一个内接正方形，DG∥BC，求正方形 DEFG 面积的最大值．\n【考点】相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质． 【分析】过点 A 作 AN⊥BC 交 DG 于点 M，交 BC 于点 N，设 AN=h，DE=x=MN=DG，根 据 DG∥BC，再由△ ADG∽△ABC 即可求出 x 的表达式，再代入求出三角形的面积即可． 【解答】 解： ∵过点 A 作 AN⊥BC 交 DG 于点 M， 交 BC 于点 N， 设 AN=h， DE=x=MN=DG，\n∴ BC?h=1， ∵DG∥BC， ∴△ADG∽△ABC，故 = ，即 = ，\n设正方形的面积为 S，则 S=x =（\n【点评】 本题考查的是相似三角形的判定与性质， 根据题意构造出直角三角形是解答此题的 关键． 28． （2015?青岛模拟）如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC、BD 相交于点 O， 问△ AOB 与△ COD 是否相似？有一位同学解答下： ∵AD∥BC， ∴∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO． ∴△AOD∽△BOC．\n第 43 页（共 45 页）\n【考点】相似三角形的判定；梯形． 【专题】阅读型． 【分析】仔细检查会发现这们同学的做法是错误的，这也是在做题中常会出现的情况．即错\n在由△ AOD∽△BOC 推出\n不能进一步推出△ AOB∽△COD 了， 因此做题时一定要细心， 避免相同或相似错误的出现． 【解答】解：不正确，错误的原因是由△ AOD∽△BOC 得出 正解是：∵△AOD∽△BOC， ∴ ，而就不能进一步推出△ AOB∽△COD 了． ，\n【点评】考查学生对相似三角形的判定方法的掌握情况，要求学生不但要理解更要掌握． 29． （2015?大庆模拟）如图，点 C 为线段 AB 上任意一点（不与 A、B 两点重合） ，分别以 AC、BC 为一腰在 AB 的同侧作等腰△ ACD 和等腰△ BDE，CA=CD，CB=CE，∠ACD 与 ∠BDE 都是锐角且∠ACD=∠BCE，连接 AE 交 CD 于点 M，连接 BD 交 CE 于点 N，AE 与 BD 交于点 P，连接 PC． （1）求证：△ ACE≌△DCB； （2）请你判断△ AMC 与△ DPM 的形状有何关系，并说明理由．\n【考点】相似三角形的判定；全等三角形的判定；等腰三角形的性质． 【分析】 （1）证明∠ACE=∠DCB，根据“SAS”证明全等； （2）由（1）得∠CAM=∠PDM，又∠AMC=∠DMP，所以两个三角形相似． 【解答】 （1）证明：∵∠ACD=∠BCE， ∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE， ∴∠ACE=∠DCB， 又∵CA=CD，CE=CB， 在△ ACE 和△ DCB 中，\n第 44 页（共 45 页）\n， ∴△ACE≌△DCB（SAS） ． （2）解：△ AMC∽△DMP． 理由：∵△ACE≌△DCB， ∴∠CAE=∠CDB， 又∵∠AMC=∠DMP， ∴△AMC∽△DMP． 【点评】本题考查了相似三角形的判定以及性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的 性质，题目的综合性较强，难度不大，解题的关键是熟记各种相似三角形的判定方法以及全 等三角形的各种判定方法． 30． （2015?常州模拟）如图，在正方形 ABCD 中，E 为边 AD 的中点，点 F 在边 CD 上，且 CF=3FD，△ ABE 与△ DEF 相似吗？为什么？\n【考点】相似三角形的判定． 【专题】常规题型． 【分析】先根据正方形的性质得∠A=∠D=90°，AB=AD=CD，设 AB=AD=CD=4a，利用 E\n为边 AD 的中点，CF=3FD，得到 AE=DE=2a，DF=a，则可计算出 于是根据相似三角形的判定方法即可得到△ ABE∽△DEF． 【解答】解：△ ABE 与△ DEF 相似．理由如下： ∵四边形 ABCD 为正方形， ∴∠A=∠D=90°，AB=AD=CD， 设 AB=AD=CD=4a， ∵E 为边 AD 的中点，CF=3FD， ∴AE=DE=2a，DF=a， ∴ ∴ = = =2， ， = =2，\n而∠A=∠D， ∴△ABE∽△DEF． 【点评】 本题考查了相似三角形的判定： 两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形 相似．也考查了正方形的性质．\n第 45 页（共 45 页）\n经典相似三角形练习题(附参考答案) - 相似三角形 一.解答题(共 30 小题)\n相似三角形易出题、易错题(附参考答案) - 相似三角形易出、易错题 一.解答题(共 30 小题) 1.如图,在△ ABC 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2019年11月15日 王东峰：建设自由贸易试验区，是以习近平同志为核心的党中央在新时代推进改革 开放的一项战略举措，彰显了中国支持建设开放型世界经济的坚定 中国银行全球供应链金融，以贸易金融为基础，通过产品集成与业务创新，以结构化 的融资解决方案，协助核心企业整合管理供应链条，助力中小企业发展，与企业共同 2017年10月18日 加快边疆发展，确保边疆巩固、边境安全。坚持陆海统筹，加快建设海洋强国。 （五） 加快完善社会主义市场经济体制。经济体制改革必须以完善产权制度 2020年6月2日 特别是在疫情严重冲击的特定背景下，加快推进海南自由贸易港建设，是我国应对 挑战、推动经济全球化的重大举措；是以制度型开放为突出重点建立 2020年3月6日 这就让政客们能通过提出简单化的解决方案，比如贸易保护主义、把边界 本着这种 精神，特朗普政府对价值数千亿美元的中国商品加征了关税，政府认为，这将迫使从 服装品牌到制造电子产品的企业把生产搬回美国。 这将有助于加快就业岗位回归 北美的步伐，”美国商务部长威尔伯· 免费下载纽约时报中文网 黑龙江省人民政府办公厅关于印发黑龙江省加快推进社会信用体系建设构建以信用 为 在自由贸易试验区、哈尔滨新区、各类开发区率先实行，在市场主体准入、企业 2020年4月26日 加快建设国家对外文化贸易基地（深圳）公共技术服务平台。 3. 书店”建设，推进 阅读空间与文化创意的融合拓展、电子阅读与纸质阅读的双向延伸。\n2017年10月18日 加快边疆发展，确保边疆巩固、边境安全。坚持陆海统筹，加快建设海洋强国。 （五） 加快完善社会主义市场经济体制。经济体制改革必须以完善产权制度 2020年6月2日 特别是在疫情严重冲击的特定背景下，加快推进海南自由贸易港建设，是我国应对 挑战、推动经济全球化的重大举措；是以制度型开放为突出重点建立 2020年3月6日 这就让政客们能通过提出简单化的解决方案，比如贸易保护主义、把边界 本着这种 精神，特朗普政府对价值数千亿美元的中国商品加征了关税，政府认为，这将迫使从 服装品牌到制造电子产品的企业把生产搬回美国。 这将有助于加快就业岗位回归 北美的步伐，”美国商务部长威尔伯· 免费下载纽约时报中文网 黑龙江省人民政府办公厅关于印发黑龙江省加快推进社会信用体系建设构建以信用 为 在自由贸易试验区、哈尔滨新区、各类开发区率先实行，在市场主体准入、企业 2020年4月26日 加快建设国家对外文化贸易基地（深圳）公共技术服务平台。 3. 书店”建设，推进 阅读空间与文化创意的融合拓展、电子阅读与纸质阅读的双向延伸。 中国-东盟自由贸易区; 中国-巴基斯坦自由贸易区; 中国-新西兰自由贸易区; 中国- 下载排行. Top Downloads. 全球跨境电子商务研究; 泰国南部的伊斯兰极端势力\n《关于进一步加快扶持电子商务发展的意见》政策解读. 一、制定《关于进一步加快扶持电子商务发展的意见》的简要背景. 近年，国家和省、市相继出台鼓励发展电子商务的优惠政策，并要求县（市）、区也出台相关的优惠政策，以扶持电子商务产业的发展。\n分类： 机械电子 大小： 9.85MB 更新时间： 2018-01-09. Protel99se元件库&封装库大全分享给脚本之家的各位朋友，包含Protel常用封装库、Protel常用元件库等比较全面的资料，主要是各大集成芯片厂家元器件的PCB封装库，对电子行业的朋友们来说可是非常有用的 2016年， 淮安 市获南京海关批准跨境贸易电商试点，在综保区内建立淮安跨境电子商务监管中心，同时建成苏北地区重要的跨境电商线下展示展销 人民网北京2月15日电（王仁宏）国务院应对新型冠状病毒感染肺炎疫情联防联控机制今日召开举行新闻发布会，国家外汇管理局副局长宣昌能表示，当前疫情防控进入关键阶段，外汇局系统将以高度责任感和使命感做好相关工作，通过开辟"绿色通道"、加快落实12项贸易投资便利化措施、技术支撑 多部门联合部署 力挺海南自贸港建设加快推进. 6月8日，据国新办举行的《海南自由贸易港建设总体方案》新闻发布会上获悉，国家发展改革委、财政部、商务部、中国人民银行、海关总署等多部门将出台针对性举措，支持海南自贸港建设加快推进。 其中，"零关税"、贸易自由化便利化、跨境资金 6月4日收盘之后，商务部发布关于支持中国（湖北）自由贸易试验区加快发展若干措施的通知。 商务部表示，为深入贯彻落实党中央、国务院关于统筹推进新冠肺炎疫情防控和经济社会发展工作的决策部署，坚持外防输入、内防反弹，发挥自贸试验区全面深化改革和扩大开放试验田作用，激发市场 3分钟了解中国贸易自由化---随着中国经济规模不断扩大、国际化程度持续加深，近年来中国自贸区朋友圈不断扩容。除已签署的自贸协定，多项双边自由贸易谈判也在快速推进，包括中国与斯里兰卡和挪威的自贸谈判，中国－巴基斯坦自贸协定第二阶段谈判。\n2011-10-21 立即下载 13kb 民营对外贸易的经济影响及其发展对策 . 随着民营企业的发展壮大，民营对外贸易正在快速发展，拉动了国民经济增长，推动了所有制结构和产业结构调整，增加了社会就业机会，扩大了国家财政收入和外汇储备，加快了外贸体制改革的步伐。\n1月 3 日下午 4 点钟，管理学院党委书记董波同志在明德楼 30906 ，为本院全体师生党员讲了一堂以中美贸易战的实质与对策为主题的精彩党课。 董书记根据当前国际形式与政策，结合本院专业特色，从中美贸易战的原因、贸易战对中国的影响及中美贸易战对策等三个大方面，为我们生动而详细地解读 合作动态 商务部关于支持中国（湖北）自由贸易试验区 加快发展若干措施的通知 第三届中国国际进口博览会集体签约仪式在上海举行 第127届广交会免收企业参展费 骞芳莉司长线上致辞"全球伙伴"盛典活动 商务部部长钟山同乌兹别克斯坦副总理兼投资和外贸部长乌穆尔扎科夫通电话 重生之国际倒爷最新章节阅读，重生之国际倒爷是一部都市小说,由吹牛小王呀创作,起点提供首发更新。第五百一十六章：销金窝(2019.04.05) 以"新动能、新机遇"为主题，聚焦抢抓京津冀协同发展、雄安新区规划建设、2022年冬奥会筹办、河北自由贸易试验区建设等重大历史机遇，围绕新一轮高水平对外开放、自贸试验区体制机制创新与地方发展、国际投资贸易便利化等内容。\n摘要： 跨境电子商务在全球范围的异军突起不仅改变了外贸企业的传统运行方式,更深刻地影响了中国对外贸易产业链布局。 当前,中国跨境电子商务的发展与世界同步,并初步形成了新业态模式,这既为中国贸易转型提供了新抓手,也对传统贸易下的政府管理体制提出了新需求和新挑战。 深圳迈瑞生物医疗电子股份有限公司2019 年年度报告摘要 2 2、报告期主要业务或产品简介 1）公司主营业务和产品介绍 公司主要从事医疗器械的研发、制造、营销及服务，始终以客户需求为导向，致力于为全球医疗机构 【编者按】2015年11月5日，美国贸易代表办公室（ustr）公布了tpp文本全文，内容超过两千页，包括30个章节以及相关附录。除此之外，ustr还对tpp各章节内容进行了解读。本文选取其对tpp第14章"电子商务"的解读进行全文翻译，以供大家学习参考。 章节综述 一、提升贸易发展质量 （一）支持湖北自贸试验区建设国家外贸转型升级基地，发挥基地对外贸高质量发展的示范带动作用。 （二）发挥自贸试验区创新引领作用，支持武汉跨境电子商务综合试验区建设，积极培育跨境电商等贸易新业态新模式。 本报讯（记者米彦泽）8月4日，副省长王晓东就电子口岸、跨境电商发展问题在石家庄调研，他深入省电子口岸发展股份有限公司、石家庄亿思特进出口贸易有限公司，详细了解电子口岸平台功能和业务流程、跨境电商企业发展等情况，并与跨境电商企业代表深入座谈交流，认真听取有关情况介绍 各省、自治区、直辖市、计划单列市及新疆生产建设兵团商务主管部门： 为贯彻落实《国务院办公厅关于搞活流通扩大消费的意见》（国办发〔2008〕134号）和《国务院办公厅关于加快电子商务发展的若干意见》（国办发〔2005〕2号），现就当前经济形势下进一步加快流通领域电子商务发展提出以下 近日，北京市海淀区中关村软件园二期内部分企业在做好疫情防控的基础上，有序复工复产。图为中关村软件园二期内腾讯


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摘 要 :在《聊斋志异》的外译史上,俄苏的译介取得了很大的成绩,其翻译聊斋小说的历史已近一个半世纪,从单篇译文到选译本,从不同时期的选本到综合本,俄苏几代汉学家一直致力于聊斋小说的翻译和出版,促进了《聊斋志异》在俄罗斯的传播.其中,以瓦米阿列克谢耶夫院士的成就最大,他翻译的聊斋小说忠于原文,译笔高超,被一版再版,在国际汉学界享有盛誉.\n关 键 词 :《聊斋志异》 阿列克谢耶夫 俄译 综述\n汉学有关论文范文集.1868年瓦西里耶夫编选出版的三卷本《中国文选》(Китайская хрестоматия)中选译了五篇聊斋故事:《水莽草》、《阿宝》、《庚娘》、《毛狐》、《曾友于》,1896年出版的《中国文选第一卷注释》(Примечания к первому выпуску китайской хрестоматии)包括六个部分,其中第五部分对以上五篇故事中出现的疑难词汇作了注释,并有相应的汉字脚注.很显然,瓦西里耶夫翻译聊斋小说是出于教学上的需要.后来,瓦西里耶夫在自己的著作《中国文学史资料》(Материалы по истории китайской литературы)和《中国文学史纲要》(Очерк истории китайской литературы)中都提到《聊斋志异》并有简短的评价,他写道:“这些志怪故事不但语言精湛,且以叙事巧妙见长,因此本书非常受尊敬,版本众多.”“这些小说因为语言精美,叙事简练,得到很高的评价”.以编纂《华俄词典》和增补完成卡法罗夫(П.И.Кафаров,1817-1878)未完成的《汉俄合壁韵编》而驰名的 夫(П.С.Попов,1842-1913)是瓦西里耶夫的亲传弟子,他1902年到彼得堡大学任教时仍沿用瓦西里耶夫的大纲和教材,从三年级便开始讲授《聊斋志异》的部分译作.\n Пу Сун-лин. Новеллы [M] перевод с китайского П.Устина и А.Файнгара, М.: Худож. лит., 1961.\n П.М.Устин. Пу Сунлин и его новеллы [M]. М.: Издательство МГУ, 1981.\n论文文献综述是什么 什么是论文文献综述 会计论文文献综述 综述论文题目 mba论文文献综述 营销论文文献综述 物流论文文献综述 著作权论文文献综述 化工论文文献综述 论文文献综述范本


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Vol. 9 No. 4 (October 2021)\nDifferential Detection System for Liquid Gate_Graphene Field Effect Transistor Biochemical Sensor\nDOI: 10.12677/JSTA.2021.94029, PDF, HTML, XML, 被引量 下载: 101 浏览: 182 国家自然科学基金支持\n作者: 郝天天, 胡世会, 张 蓉, 贾芸芳*：南开大学电子信息与光学工程学院，天津\n摘要: 基于微控制器的传感器检测系统具有多通道输出与输入、良好的人机交互性、可现场检测等优点，能够最大限度提升传感器的应用空间，因此成为传感器检测系统的主要发展方向之一。本文研制了基于STM32的差分型检测系统，可实现激励电压控制、量程选择、信号差分采集、数据实时显示与存储等功能。以pH敏感型液栅石墨烯场效应晶体管生化传感器为例，对检测结果进行线性拟合，拟合直线的斜率为−1.8，即被测溶液pH每变化1，该检测系统输出电流变化1.8 μA，线性相关系数R2 = 0.94。实验结果表明，该检测系统能够有效检测溶液pH，验证了系统的可行性。\nAbstract: The sensor detection systems based on the micro-controller have the advantages of multi-channel output and input, friendly human-machine interaction and field detection. They can expand the application space of the sensor to the maximum. Thus, they have become one of the main development direction of the sensor detection systems. In this work, a differential detection system based on STM32 is developed, which can realize the control of driving voltage, selection of range measure, acquisition of signal differential detection, real-time data display and storage. We take the pH sensitive liquid gate_graphene field effect transistor biochemical sensor as an example to verify the feasibility of the system. The results of differential detection were linearly fitted, with an slope of −1.8 and a linear correlation coefficient of R2 = 0.94. The pH of solution change of 1 can induce 1.8 μA in the output current of detection system. The experimental results show that the detection system is able to effectively detect the pH of solution.\n文章引用：郝天天, 胡世会, 张蓉, 贾芸芳. 一种用于液栅石墨烯场效应晶体管生化传感器中的差分型检测系统[J]. 传感器技术与应用, 2021, 9(4): 241-246. https://doi.org/10.12677/JSTA.2021.94029\n检测系统是传感器领域研究的重要内容之一，利用电子技术对传感器产生的电压或电流信号进行采集、调理、A/D转换、存储和显示，通常由稳压电源、人机交互模块、传感器激励模块、信号调理、数据采集、存储和显示等模块组成。检测系统的应用非常广泛，例如，以89C51单片机为核心处理单元的环境检测系统，通过连接多种传感器将粉尘、温湿度、烟雾和光照检测于一体，可以实现生活和工作场景中PM2.5的远程监测和报警 ；基于LPC1752微控制器的水质检测系统，利用单片机多通道检测的优势，将基于离子敏选择电极的电位分析法和阳极溶出伏安法相结合，构建了组合式电化学检测系统，成功实现了对水环境中多种重金属离子的在线检测 ；基于STM32的人体脉搏远程医疗监测系统，通过单片机外接串口转WIFI模块，将脉搏传感器的信号远程传递给社区医疗平台，实现了对用户脉搏信息的远程监测，为扩展体温、心电等生理信号的远程监测提供了一定的技术支持 。由此可见，微控制器为核心的检测系统极大的提升了传感器的应用空间，使其能够满足信息化社会对多通道、高通量、现场快速检测的需求。\n液栅石墨烯场效应晶体管(Liquid gate_Graphene Field Effect Transistor, Lg_GFET)是近年来发展起来的一种生化传感器，与传统的硅基离子敏场效应晶体管相比，以石墨烯作为导电沟道，借助石墨烯具有极高载流子迁移率的优势，能够将沟道表面微弱的电荷变化转化为可测的源漏电流变化，具有较高的灵敏度 。它的检测机理在于石墨烯表面修饰不同的生化识别原件能够特异性结合被测生化分子，导电沟道的电流或电导率变化可以反映被测生化分子浓度。例如，将癌胚抗原的抗体通过非共价修饰固定到石墨烯表面，可以检测肿瘤标志物癌胚抗原，源漏电流变化大小可以反应癌胚抗原的浓度 ；将探针DNA静电吸附在石墨烯表面，可以捕获溶液中与探针互补的DNA链，溶液中互补DNA链浓度越高，源漏电流越小 ；在石墨烯表面修饰大肠杆菌抗体，加入大肠杆菌浓度越大，导电沟道电导率变化越大，而加入另一种高浓度菌株不会触发这种响应 。\nFigure 1. Diagram of the framework of the proposed detection system\n由于STM32的D/A转换输出电压存在噪声，影响传感器激励电压的稳定，本文选用七阶巴特沃斯低通滤波器作为D/A转换输出电压的滤波电路，利用Filter Solution软件进行设计，如图1中“七阶巴特沃斯低通滤波器”所示，其中包含两个通道，分别用于STM32双通道D/A转换后Vg、Vds信号的滤波，通频带为1 KHz，通频带增益0 dB，带内纹波0 dB。\nLg_GFET生化传感器需要准确的激励电压(Vg、Vds)，由于STM32的D/A转换输出端口存在一定的阻抗，如果将滤波后的电压直接施加给Lg_GFET生化传感器会产生误差，因此需要进行电压校准。图1中“电压校准电路”由两个并行通道构成，分别用于校准滤波器的两路输出信号(Vg、Vds)；每个通道的电路结构相同，均由增益可调运放与电压跟随器组成，电压跟随器的输出电压作为Lg_GFET的激励信号。其中，增益可调运放中滑动变阻器(RV1, RV2)的阻值在0~20 KΩ范围内可调，从而使得放大器的电压增益范围为0~2倍，电压跟随器起到缓冲作用，使输出电压不受Lg_GFET的影响。以本文中所用的Lg_GFET为例，需要设定Vg、Vds电压数值分别为0.5、0.8 V，分别调整电压校准电路中两个通道的滑动变阻器阻值，使其输出值与设定值相同。\n不同用途Lg_GFET生化传感器的输出电流数量级不同，为了扩大检测系统的应用范围，需要设计可选择量程的I/V转换电路。图1中“I/V转换电路”由两个并行的通道构成，分别用于采集通道1和通道2的Lg_GFET输出电流Id1和Id2，电流由右侧IN1、IN2端进入，经过传感器补偿电阻RV3和RV4、I/V转换从Vout1和Vout2输出。补偿电阻为两个1 KΩ的滑动变阻器，开始检测前调整其阻值，使TFTLCD显示两个通道电流相同。I/V转换电路中开关(SW1, SW2)分别接入电阻100、10、1 KΩ和100 Ω时，可将输入电流转化为放大105、104、103、和102倍的电压，从而实现量程1~10 μA、10~100 μA、0.1~1 mA和1~10 mA电流的检测。\nLg_GFET生化传感器输出电流存在噪声，并且电流经过I/V转换电路噪声被放大，影响电流采集的准确性，所以信号在A/D转换之前需要进行滤波，本文采用二阶有源低通滤波器，滤除高频噪声的同时对滤波器前后级起到缓冲作用，能够使A/D转换采集到的电压信号更加准确 。图1中“二阶有源低通滤波器”输入端接I/V转换电路，输出端接STM32的A/D转换接口。利用Filter Solution软件进行设计，电阻选用10 KΩ，滤波器通频带频率设为1 KHz，通频带增益0 dB，带内纹波1 dB。\n在TFTLCD界面设定电压值分别为0.2、0.4、0.6、0.8、1.0 V时，用万用表分别测试接入Lg_GFET前后电压校准模块的输出电压值，测试结果如图2所示，接入Lg_GFET前后输出电压相同，表明电压校准模块的输出电压不受Lg_GFET的影响，并且电压在0~1 V范围内，实测值与设定值的电压绝对误差小于1 mV，结合实际应用，电压校准模块输出电压稳定、准确。\n以pH敏感型Lg_GFET生化传感器为例，测试了本文检测系统的应用效果，实验设定Vg = 0.5 V、Vds = 0.8 V，使用pH = 7的溶液滴加在通道1的Lg_GFET栅极，pH分别为1、3、5、7、9、11、13的七种溶液依次滴加通道2的Lg_GFET栅极，实验结果如图3所示，通道1输出电流始终保持为15 μA左右，通道2输出电流随被测溶液pH增大而减小，差分结果为通道2输出电流减去通道1输出电流，对差分结果进行线性拟合，方程斜率为−1.8，即被测溶液pH每变化1，该检测系统输出电流变化1.8 μA，线性相关系数R2 = 0.94，说明本文设计的检测系统能有效检测溶液pH。\nFigure 2. The output of the voltage calibration block\nFigure 3. The experimental result of applications for pH sensitive Lg_GFET\n本文以STM32为核心控制单元，TFTLCD为人机交互界面，运放、电阻、电容组成外围电路，构建了多量程差分型检测系统，实现了传感器激励电压的设定、产生、滤波、电压校准，以及传感器输出信号的I/V转换、量程选择、滤波、差分采集、数据显示与存储等功能。对电压校准结果进行了测试，并以pH敏感型Lg_GFET生化传感器为例，对检测结果进行线性拟合，方程斜率为−1.8，即被测溶液pH每增加1，该检测系统输出电流降低1.8 μA，线性相关系数R2 = 0.94。实验证明该系统能够满足Lg_GFET生化传感器的检测需求，有助于传感器的实际应用。\n 杜永峰. 基于PM2.5智能环境检测系统设计与实现[J]. 电子测试, 2020(13): 39-40.\n 岳超, 宛西原, 何航, 李达学. 基于电化学检测方法的水质检测系统设计研究[J]. 自动化与仪器仪表, 2015(1): 4-7.\n 孙松丽, 周军, 瞿志俊, 倪文彬, 闵晨阳. 一种人体脉搏远程医疗监测系统设计与实现[J]. 计算机测量与控制, 2018, 26(3): 18-20.\n 郑超, 卢忠心. 石墨烯场效应晶体管生物传感器在医学检测中的研究进展[J]. 国际检验医学杂志, 2019, 40(3): 364-367.\n Zhou, L., Mao, H.J, Wu, C.Y., Tang, L., Wu, Z.H., Sun, H., Zhang, H.L., Zhou, H.B., Jia, C.P., Jin, Q.H., Chen, X.F. and Zhao, J.L. (2017) Label-Free Graphene Biosensor Targeting Cancer Molecules Based on Non-Covalent Modification. 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