Apresentação rio guandu by João Silva 660 views\nO Cesto E A Agua by JNR 412 views\nPortugal Visto de Cima by BiaEsteves 3457 views\nПутешествие в страну добродетелей by Община бахаи Киева 257 views\nComite Rio Paranapanema by Image Nature Comu... 2274 views\nRio piracicaba by Prof. Oliveira An... 8546 views\n1. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO DEPARTAMENTO DO ENSINO SECUNDÁRIO MATEMÁTICA A 10º ANO Cursos Científico-Humanísticos de Ciências e Tecnologias e de Ciências Socioeconómicas Autores Jaime Carvalho e Silva (Coordenador) Maria Graziela Fonseca Arsélio Almeida Martins Cristina Maria Cruchinho da Fonseca Ilda Maria Couto Lopes Homologação 22/02/2001\n2. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a Cursos Gerais de Ciˆncias Naturais, Ciˆncias e Tecnologias, Ciˆncias S´cio-Econ´micas e e e o o 1 Introdu¸˜o ca A Matem´tica aparece, para os Cursos Gerais de Ciˆncias Naturais, Ciˆncias e Tecnologias a e e e Ciˆncias S´cio-Econ´micas, como uma disciplina trienal da componente de Forma¸˜o e o o ca Espec´ ıﬁca a que ´ atribu´ uma carga hor´ria semanal de 4h 30m dividida por aulas de e ıda a 90 minutos ao longo de 33 semanas lectivas. A componente de Forma¸˜o Espec´ ca ıﬁca destina-se a promover uma forma¸˜o cient´ ca ıﬁca e t´cnica s´lida, no dom´ e o ınio do conhecimento do respectivo curso, em que a Matem´tica ´ a e considerada uma das disciplinas essenciais do dom´ ınio do conhecimento respectivo e est´ a concebida de forma a respeitar o princ´ ıpio de continuidade pedag´gica, contrariando a o fragmenta¸˜o e atomiza¸˜o de saberes, facilitando e exigindo uma gest˜o mais integrada ca ca a dos programas. A Matem´tica ´ uma disciplina muito rica que, num mundo em mudan¸a, abrange ideias a e c t˜o d´ a ıspares como as que s˜o utilizadas na vida de todos os dias, na generalidade das a proﬁss˜es, em in´meras ´reas cient´ o u a ıﬁcas e tecnol´gicas mais matematizadas e, ao mesmo o tempo, ´ uma disciplina que tem gerado contribui¸˜es signiﬁcativas para o conhecimento e co humano ao longo da hist´ria. o O programa de Matem´tica ´ organizado por grandes temas. Por um lado, os temas a e matem´ticos tˆm de ser escolhidos de tal modo que competˆncias fundamentais que a a e e aprendizagem matem´tica pode favorecer sejam contempladas. Por outro, eles tˆm de estar a e ligados a necessidades reais e fornecer instrumentos de compreens˜o do real com utilidade a compreens´ ıvel imediata. Devem ainda poder ser motor de compreens˜o da Matem´tica a a como um todo em que cada tema se relaciona com outros e em que a aprendizagem de cada assunto beneﬁcia a aprendizagem de outros. Cada assunto, embora desenvolvido mais detalhadamente dentro da lecciona¸˜o de um tema, deve ser assunto interessante e ca util na abordagem dos diversos temas. ´ Ao longo dos trˆs anos do ensino secund´rio, os estudantes abordar˜o os seguintes temas: e a a n´meros e geometria, incluindo vectores e trigonometria; fun¸˜es reais e an´lise inﬁnitesiu co a mal; estat´ ıstica e probabilidades.\n3. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a 2 A abordagem da Geometria inclui assuntos de geometria sint´tica e m´trica, geometria e e anal´ ıtica e vectorial e trigonometria com as competˆncias de c´lculo num´rico a elas assoe a e ciadas. A abordagem das fun¸˜es reais considerar´ sempre estudos dos diferentes pontos de vista co a - gr´ﬁco, num´rico e alg´brico - sobre tipos simples de fun¸˜es, desde as alg´bricas inteiras a e e co e o ano), passando pelas fraccion´rias e acabando nas transcena (que s˜o as tratadas no 10¯ a dentes - exponenciais e logar´ ıtmicas ou trigonom´tricas. Neste grande tema, ser´ realizada e a uma abordagem ao c´lculo de varia¸˜es e de limites, bem como ao estudo da continuidade, a co sem recurso inicial `s deﬁni¸˜es simb´licas rigorosas. a co o A abordagem da Estat´ ıstica e das Probabilidades completar´ as aprendizagens b´sicas, a a com algumas novas no¸˜es e ferramentas que n˜o podiam ser compreendidas no ensino co a b´sico. O ensino de todos estes temas tem de ser suportado em actividades propostas a a cada estudante e a grupos de estudantes que contemplem a modela¸˜o matem´tica, o ca a trabalho experimental e o estudo de situa¸˜es realistas sobre as quais se coloquem quest˜es co o signiﬁcativas e se fomente a resolu¸˜o de problemas n˜o rotineiros. ca a As quest˜es de l´gica e de teoria de conjuntos s˜o referidas entre os temas transversais, o o a com um determinado desenvolvimento. Procura-se, deste modo, inﬂuenciar os professores no sentido de n˜o abordar estas quest˜es como conte´ do em si, mas de as utilizar a o u quotidianamente em apoio do trabalho de reﬂex˜o cient´ a ıﬁca que os actos de ensino e de aprendizagem sempre comportam, e s´ na medida em que elas vˆm esclarecer e apoiar uma o e apropria¸˜o verdadeira dos conceitos. Como temas transversais consideram-se as formas ca de organizar o pensamento e as actividades de resolu¸˜o de problemas, as aplica¸˜es e a ca co modela¸˜o matem´tica, aspectos da hist´ria da matem´tica, da comunica¸˜o matem´tica ca a o a ca a e da utiliza¸˜o da tecnologia. N˜o podem nem devem ser localizadas temporalmente na ca a lecciona¸˜o e muito menos num determinado ano de escolaridade, antes devem ser aborca dadas a medida que forem sendo necess´rias e ` medida que for aumentando a compreens˜o ` a a a sobre os assuntos em si, considerando sempre o sentido de oportunidade, as vantagens e as limita¸˜es. co Em muitos aspectos, a organiza¸˜o dos temas e as indica¸˜es metodol´gicas integram ca co o informa¸˜es sobre a oportunidade de abordar quest˜es de experimenta¸˜o no ensino da co o ca matem´tica, de integrar o recurso a tecnologia, de abordar conceitos de l´gica e racioc´ a ` o ınio, de incorporar a hist´ria da matem´tica assim como informa¸˜es sobre novos tipos de o a co instrumentos de avalia¸˜o. ca Os inevit´veis problemas das transi¸˜es entre ciclos tornaram necess´rio conceber o 10o ano a co a ¯ de uma nova forma, particularmente nas primeiras semanas de aulas, em que estrat´gias e de recupera¸˜o e de acompanhamento dos jovens devem ter uma grande relevˆncia. Nesse ca a sentido, considera-se um m´dulo inicial no qual se incluem conceitos pr´vios considerados o e verdadeiramente essenciais e estruturantes que dever˜o ser especialmente trabalhados com a os estudantes nas primeiras duas ou trˆs semanas de aulas do 10o ano e sempre que se e ¯ venha a revelar necess´rio. O programa de Matem´tica contempla este m´dulo inicial. a a o Pretende-se que os estudantes sejam colocados perante a resolu¸˜o de problemas escoca lhidos que permitir˜o despistar diﬁculdades e deﬁciˆncias na forma¸˜o b´sica e acertar a e ca a estrat´gias de remedia¸˜o. A estrat´gia assente na resolu¸˜o de problemas evita ainda que e ca e ca os estudantes sem diﬁculdades sejam desgastados em revisita¸˜es expositivas de assuntos co que j´ dominam. a\n4. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a 3 Sempre que o professor detectar nos estudantes lacunas inultrapass´veis em temas de ciclos a anteriores, deve desencadear mecanismos de remedia¸˜o. Os apoios integrados nestes ca mecanismos devem ser organizados de forma diversiﬁcada, n˜o se limitando a meras aulas a de repeti¸˜o. As escolas devem estudar os melhores meios de pˆr em pr´tica um sistema de ca o a apoio e remedia¸˜o, introduzindo mecanismos de avalia¸˜o e regula¸˜o da sua actividade ca ca ca e dos seus resultados, nomeadamente criando condi¸˜es institucionais —- tempo, hor´rios co a compat´ ıveis, designa¸˜o dos professores —- e organizativas —- tempo, constitui¸˜o de ca ca grupos de estudantes/turmas a propor para apoio. 2 Apresenta¸˜o do Programa ca 2.1 Finalidades O ensino da Matem´tica participa, pelos princ´ a ıpios e m´todos de trabalho praticados, e na educa¸˜o do jovem para a autonomia e solidariedade, independˆncia empreendedora, ca e respons´vel e consciente das rela¸˜es em que est´ envolvido e do ambiente em que vive. a co a Genericamente, a Matem´tica ´ parte imprescind´ da cultura human´ a e ıvel ıstica e cient´ ıﬁca que permite ao jovem fazer escolhas de proﬁss˜o, ganhar ﬂexibilidade para se adaptar a a mudan¸as tecnol´gicas ou outras e para sentir-se motivado a continuar a sua forma¸˜o ao c o ca longo da vida. A Matem´tica contribui para a constru¸˜o da l´ a ca ıngua com a qual o jovem comunica e se relaciona com os outros, e para a qual a Matem´tica fornece instrumentos de a compreens˜o mais profunda, facilitando a selec¸˜o, avalia¸˜o e integra¸˜o das mensagens a ca ca ca necess´rias e uteis, ao mesmo tempo que fornece acesso a fontes de conhecimento cient´ a ´ ıﬁco a ser mobilizado sempre que necess´rio. a Finalmente, a Matem´tica ´ uma das bases te´ricas essenciais e necess´rias de todos os a e o a grandes sistemas de interpreta¸˜o da realidade que garantem a interven¸˜o social com ca ca responsabilidade e d˜o sentido a condi¸˜o humana. a ` ca Assim, podemos apresentar como ﬁnalidades da disciplina no ensino secund´rio: a • Desenvolver a capacidade de usar a Matem´tica como instrumento de interpreta¸˜o a ca e interven¸˜o no real; ca • Desenvolver as capacidades de formular e resolver problemas, de comunicar, assim como a mem´ria, o rigor, o esp´ o ırito cr´ ıtico e a criatividade; • Promover o aprofundamento de uma cultura cient´ ıﬁca, t´cnica e human´ e ıstica que constitua suporte cognitivo e metodol´gico tanto para o prosseguimento de estudos o como para a inser¸˜o na vida activa; ca • Contribuir para uma atitude positiva face a Ciˆncia; ` e • Promover a realiza¸˜o pessoal mediante o desenvolvimento de atitudes de autonomia ca e solidariedade; • Contribuir para o desenvolvimento da existˆncia de uma consciˆncia cr´ e e ıtica e interventiva em ´reas como o ambiente, a sa´de e a economia entre outras, formando a u para uma cidadania activa e participativa.\n5. Departamento do Ensino Secund´rio a 2.2 4 Matem´tica A a Objectivos e competˆncias gerais e Valores/Atitudes Desenvolver a conﬁan¸a em c si pr´prio: o Exprimir e fundamentar as suas opini˜es. o Revelar esp´ ırito cr´ ıtico, de rigor e de conﬁan¸a nos seus c racioc´ ınios. Abordar situa¸˜es novas co com interesse, esp´ ırito de iniciativa e criatividade. Procurar a informa¸˜o de ca que necessita. Desenvolver interesses culturais: Manifestar vontade de aprender e gosto pela pesquisa. Interessar-se por not´ ıcias e publica¸˜es relativas ` Maco a tem´tica e a descobertas ciena t´ ıﬁcas e tecnol´gicas. o Apreciar o contributo da Matem´tica para a coma preens˜o e resolu¸˜o de proba ca lemas do Homem atrav´s do e tempo. Desenvolver h´bitos de traa balho e persistˆncia: e Elaborar e apresentar os trabalhos de forma organizada e cuidada. Manifestar persistˆncia na e procura de solu¸˜es para uma co situa¸˜o nova. ca Capacidades/Aptid˜es o Desenvolver a capacidade de utilizar a Matem´tica a na interpreta¸˜o e interca ven¸˜o no real: ca Analisar situa¸˜es da vida co real identiﬁcando modelos matem´ticos que permitam a a sua interpreta¸˜o e resolu¸˜o. ca ca Seleccionar estrat´gias de e resolu¸˜o de problemas. ca Formular hip´teses e prever o resultados. Interpretar e criticar resultados no contexto do problema. Resolver problemas nos dom´ ınios da Matem´tica, da a F´ ısica, da Economia, das Ciˆncias Humanas, ... e Desenvolver o racioc´ ınio e o pensamento cient´ ıﬁco: Descobrir rela¸˜es entre conco ceitos de Matem´tica. a Formular generaliza¸˜es a co partir de experiˆncias. e Validar conjecturas; fazer racioc´ ınios demonstrativos usando m´todos adequados. e Compreender a rela¸˜o enca tre o avan¸o cient´ c ıﬁco e o progresso da humanidade. Conhecimentos Ampliar o conceito n´mero: u de Aperfei¸oar o c´lculo em IR c a e C e operar com express˜es o racionais, com radicais, exponenciais, logar´ ıtmicas e trigonom´tricas. e Resolver equa¸˜es, ineco qua¸˜es e sistemas. co Usar as no¸˜es de l´gica inco o dispens´veis ` clariﬁca¸˜o de a a ca conceitos. Ampliar conhecimentos de Geometria no Plano e no Espa¸o: c Resolver problemas usando modelos f´ ısicos e geom´tricos e (de incidˆncia, paralelismo e e perpendicularidade, sec¸˜es, co a ´reas e volumes). Utilizar vectores em referencial ortonormado. Resolver problemas de trigonometria, incluindo o uso de generaliza¸˜es das no¸˜es co co de ˆngulos, arcos e raz˜es a o trigonom´tricas. e Iniciar o estudo da An´lise a Inﬁnitesimal: Interpretar fen´menos e reo solver problemas recorrendo a fun¸˜es e seus gr´ﬁcos, por co a via intuitiva, anal´ ıtica e usando calculadora gr´ﬁca. a Estudar sucess˜es deﬁnidas o de diferentes formas. Aproxima¸˜o gradual dos ca conceitos de continuidade, derivadas e limites. Aplicar conhecimentos de An´lise Inﬁnitesimal no esa tudo de fun¸˜es reais de co vari´vel real. a continua\n6. Departamento do Ensino Secund´rio a 5 Matem´tica A a Valores/Atitudes Desenvolver o sentido da responsabilidade: Capacidades/Aptid˜es o Desenvolver a capacidade de comunicar: Responsabilizar-se pelas suas iniciativas e tarefas. Avaliar situa¸˜es e tomar co decis˜es. o Comunicar conceitos, racioc´ ınios e ideias, oralmente e por escrito, com clareza e progressivo rigor l´gico. o Interpretar textos de Matem´tica. a Exprimir o mesmo conceito em diversas formas ou linguagens. Usar correctamente o vocabul´rio espec´ a ıﬁco da Matem´tica. a Usar a simbologia da Matem´tica. a Apresentar os textos de forma clara e organizada. Desenvolver o esp´ ırito de tolerˆncia e de coopera¸˜o: a ca Colaborar em trabalhos de grupo, partilhando saberes e responsabilidades. Respeitar a opini˜o dos oua tros e aceitar as diferen¸as. c Intervir na dinamiza¸˜o de ca actividades e na resolu¸˜o de ca problemas da comunidade em que se insere. Conhecimentos Ampliar conhecimentos de Estat´ ıstica e Probabilidades: Interpretar e comparar distribui¸˜es estat´ co ısticas. Resolver problemas envolvendo c´lculo de probabilia dade. Resolver problemas de contagem. Conhecer aspectos da Hist´ria da Matem´tica: o a Conhecer personalidades e aspectos da cria¸˜o e desenca volvimentos de alguns conceitos dentro da Hist´ria da o Matem´tica e sua rela¸˜o a ca com momentos hist´ricos de o relevˆncia cultural ou social. a A subdivis˜o dos Objectivos e Competˆncias Gerais em Valores/Atitudes, Capacidades/ a e /Aptid˜es e Conhecimentos ´ uma caracter´ o e ıstica fundamental do programa de Matem´tica a do Ensino Secund´rio. a Para a generalidade dos cidad˜os e especialmente para aqueles que v˜o utilizar conhecia a mentos matem´ticos secund´rios, conv´m esclarecer que o ensino da Matem´tica n˜o deve a a e a a limitar-se a desenvolver a capacidade de usar as ferramentas do of´ ıcio: s´ ımbolos, regras l´gicas e c´lculos. Se ´ leg´ o a e ıtima a preocupa¸˜o em ensinar a manejar as ferramentas, ela ca n˜o pode prejudicar o essencial da aprendizagem da Matem´tica que deve ser procurado a a ao n´ das ideias. ıvel Muitos problemas foram, s˜o e ser˜o resolvidos sem recurso a nota¸˜es cient´ a a co ıﬁcas e `s a ferramentas de c´lculo tal como a comunidade matem´tica as conhece hoje. Um cidad˜o a a a com forma¸˜o secund´ria necessita mais de no¸˜es que de nota¸˜es para enfrentar as ca a co co situa¸˜es que precise de compreender (e esclarecer) e os problemas que tenha de resolver. co N˜o quer isto dizer que o trabalho com as ferramentas matem´ticas possa ser posto de a a lado no ensino secund´rio, mas antes quer dizer que o uso das ferramentas ´ ensinado a e e aprendido no contexto das ideias e da resolu¸˜o de problemas interessantes, enﬁm em ca situa¸˜es que exijam o seu manejo e em que seja clara a vantagem do seu conhecimento. co Finalmente, as aprendizagens signiﬁcativas em Matem´tica n˜o podem excluir caraca a ter´ ısticas t´ ıpicas do ensino experimental, sendo que as competˆncias adquiridas por via e da Matem´tica devem contribuir para alicer¸ar conhecimentos e formas de pensar sobre a a c ciˆncia experimental. e A Matem´tica nas suas conex˜es com todos os ramos de saber ´ uma contribui¸˜o decisiva a o e ca na cria¸˜o de condi¸˜es para a consciˆncia da necessidade da educa¸˜o e da forma¸˜o ao ca co e ca ca longo da vida, com vista a enfrentar mudan¸as proﬁssionais e as incontorn´veis adapta¸˜es c a co a `s inova¸˜es cient´ co ıﬁcas e tecnol´gicas. o\n7. Departamento do Ensino Secund´rio a 2.3 Matem´tica A a 6 Vis˜o geral dos temas e conte´dos a u ´ E indispens´vel que o professor, al´m de conhecer bem o programa de cada ano que a e vai leccionar, tenha um conhecimento global do programa do ensino secund´rio (para a ter conhecimento das conex˜es estabelecidas entre os diversos temas), bem como uma o perspectiva integradora dos programas dos ciclos do ensino b´sico. a A escolha dos temas foi feita tendo em conta os conte´ dos presentes em anteriores prograu mas e a preocupa¸˜o de algum equil´ ca ıbrio entre as principais areas da Matem´tica: ´ a • C´lculo Diferencial a • Geometria (no plano e no espa¸o) c • Fun¸˜es e sucess˜es co o • Probabilidades (com An´lise Combinat´ria) e Estat´ a o ıstica Os temas cl´ssicos de An´lise, lgebra e Geometria est˜o presentes nestes conte´ dos, ema a a u bora o segundo se encontre distribu´ pelos outros temas. Esta classiﬁca¸˜o deve ser ıdo ca considerada de forma muito relativa, tendo-se sempre em aten¸˜o que, no corpo do proca grama, assumem importˆncia signiﬁcativa tanto t´cnicas espec´ a e ıﬁcas como estrat´gias que, e constituindo uma base de apoio que os estudantes utilizam na sua actividade matem´tica a independentemente do tema, atravessam o programa de forma transversal. Referimo-nos aos temas transversais • Comunica¸˜o Matem´tica ca a • Aplica¸˜es e Modela¸˜o Matem´tica co ca a • Hist´ria da Matem´tica o a • L´gica e Racioc´ o ınio Matem´tico a • Resolu¸˜o de Problemas e Actividades Investigativas ca • Tecnologia e Matem´tica a que, sendo de dif´ quantiﬁca¸˜o, n˜o s˜o por isso menos importantes que os temas antes ıcil ca a a referidos. O programa de cada ano desenvolve-se por grandes temas, a tratar pela ordem indicada no programa. Deve ser feita uma planiﬁca¸˜o adequada de modo que n˜o seja prejudicado ca a o tratamento de nenhum dos temas e sejam integrados os conte´dos do tema transveru sal que se mostrem aconselhados. Tudo o que os temas transversais prop˜em deve ser o abordado sistematicamente ao longo do ciclo. N˜o existem indica¸˜es taxativas sobre a co a sua distribui¸˜o ao longo dos anos, mas o desenvolvimento dos temas e as indica¸˜es ca co metodol´gicas v˜o sugerindo alguns momentos onde os diversos temas transversais podem o a ser explorados. A cria¸˜o de um ambiente prop´ ` resolu¸˜o de problemas deve constica ıcio a ca tuir um objectivo central nas pr´ticas dos professores j´ que a resolu¸˜o de problemas ´ a a ca e\n8. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a 7 um m´todo fundamental e ´ considerada no programa n˜o s´ como indica¸˜o metodol´gica e e a o ca o mas tamb´m como tema. Contribui¸˜o fundamental para o desenvolver a capacidade dos e ca alunos de raciocinar matematicamente e de usar a Matem´tica em situa¸˜es diversas, a a co resolu¸˜o de problemas aparece neste programa tamb´m como motiva¸˜o, como sistema ca e ca de recupera¸˜o e como forma privilegiada para suscitar a comunica¸˜o oral e escrita. ca ca Para cada tema indica-se uma previs˜o do n´mero de aulas necess´rias a sua abordagem a u a ` na lecciona¸˜o. N˜o sendo mais do que uma previs˜o, essa indica¸˜o deve ser encarada ca a a ca com ﬂexibilidade, sem preju´ do peso relativo e da profundidade do tratamento deseızo jado que o n´mero de aulas previsto indicia. O professor deve ter como preocupa¸˜o u ca fundamental abordar e desenvolver, em cada ano, os variados t´picos do programa, pois o eles fornecem m´todos matem´ticos diversiﬁcados e desempenham fun¸˜es diferentes toe a co das imprescind´ ıveis para, em conjunto, contribu´ ırem para a forma¸˜o integral do cidad˜o ca a aut´nomo e livre. Nunca se deve valorizar um conte´do de tal forma que se possa prejuo u dicar irremediavelmente a forma¸˜o em algum dos grandes temas ou no desenvolvimento de ca alguma das capacidades/aptid˜es reportadas na redac¸˜o das ﬁnalidades e dos objectivos o ca gerais deste programa de ensino. As Conex˜es entre os diversos temas s˜o consideradas fundamentais neste programa, para o a que os estudantes possam ver que os temas s˜o aspectos complementares de uma mesma a realidade. Foi dada uma posi¸˜o de destaque ` Geometria e s˜o dadas indica¸˜es que permitem ca a a co que seja retomada em praticamente todos os outros temas do Programa. Nos temas de Geometria procura-se um equil´ ıbrio entre a Geometria por via intuitiva e a Geometria Anal´ ıtica, de modo a desenvolver tanto o racioc´ geom´trico directo como a resolu¸˜o de ınio e ca problemas de geometria por via alg´brica, sem esquecer o desenvolvimento de capacidades e de visualiza¸˜o geom´trica. ca e c Inicia-se o 10o ano com o estudo da Geometria no Plano e no Espa¸o, porque a Geo¯ metria ´, por excelˆncia, um tema formativo no sentido mais amplo do termo que, pela e e resolu¸˜o de problemas apropriados desenvolve variadas capacidades, desde a observa¸˜o ca ca ao racioc´ ınio dedutivo, ao mesmo tempo que deixa perceber verdadeiras conex˜es entre o ´ os v´rios temas da Matem´tica, da lgebra a An´lise e ` Estat´ a a ` a a ıstica. E por isso que ´ e t˜o importante, desde o in´ a ıcio, trabalhar com a Geometria, tentando superar algumas (n˜o todas necessariamente) eventuais diﬁculdades ou lacunas que os estudantes tenham. a Come¸ar por este tema permite o desenvolvimento de capacidades de visualiza¸˜o e rec ca presenta¸˜o atrav´s de ﬁguras que t˜o necess´rias s˜o para o estudo de todos os outros ca e a a a temas. O professor deve aproveitar todas as liga¸˜es entre os temas em cada ano e de co cada ano com os anos anteriores, por forma que o estudante encare a Matem´tica como a um todo integrado e n˜o como um conjunto fragmentado em temas, ao mesmo tempo que a possibilita a amplia¸˜o e consolida¸˜o de cada conceito, sempre que ele ´ retomado. Em ca ca e particular o professor deve estabelecer conex˜es entre os temas de cada ano; o facto de se o recomendar que sejam tratados em momentos separados n˜o pode signiﬁcar que, dado o a primeiro ele seja esquecido e meramente substitu´ pelo segundo. ıdo Este texto ´ constru´ tendo por base 33 semanas lectivas de que se contam um m´ e ıdo ınimo de 30 semanas efectivas de aulas (incluindo avalia¸˜o); tendo em mente que a avalia¸˜o ca ca\n9. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a 8 n˜o se deve circunscrever a aulas especiﬁcamente reservadas a tal nem se deve limitar a a testes escritos (isto ´, que o professor dever´ recorrer a instrumentos diversiﬁcados de e a avalia¸˜o ao longo do ano lectivo integrando-os na aprendizagem matem´tica dos alunos), ca a as aulas reservadas exclusivamente para testes escritos n˜o devem ultrapassar cerca de 5% a das aulas; temos assim um m´ ınimo de 28 semanas de lecciona¸˜o, ou seja, um m´ ca ınimo de 84 aulas (correspondentes a 126 horas).\n10. Departamento do Ensino Secund´rio a 9 Matem´tica A a Quadro Resumo Distribui¸˜o dos temas em cada ano ca 10o ano ¯ Geometria no Plano e no Espa¸o I c 11o ano ¯ Geometria no Plano e no Espa¸o II c 12o ano ¯ Probabilidades e Combinat´ria o Resolu¸˜o de problemas de ca Geometria no plano e no espa¸o. c Geometria Anal´ ıtica. O m´todo cartesiano para ese tudar Geometria no plano e no espa¸o. c Problemas envolvendo triˆngulos. a C´ ırculo trigonom´trico e e fun¸˜es seno, co-seno e tanco gente. Produto escalar de dois vectores e aplica¸˜es. co Intersec¸˜o, paralelismo e ca perpendicularidade de rectas e planos. Programa¸˜o linear (breve ca introdu¸˜o) ca Introdu¸˜o ao c´lculo de ca a probabilidades Distribui¸˜o de frequˆncias ca e e distribui¸˜o de probabilica dades An´lise combinat´ria. a o Fun¸˜es e Gr´ﬁcos. Funco a co ¸˜es polinomiais. Fun¸˜o ca m´dulo. o Fun¸˜es racionais e com co radicais. Taxa de varia¸˜o ca e derivada. Fun¸˜o, gr´ﬁco e represenca a ta¸˜o gr´ﬁca. ca a Estudo intuitivo de propriedades da: – fun¸˜o quadr´tica; ca a – fun¸˜o m´dulo. ca o Fun¸˜es polinomiais (graus co 3 e 4). Decomposi¸˜o de polin´ca o mios em factores. Problemas envolvendo fun¸˜es ou taxa de varia¸˜o. co ca Propriedades das fun¸˜es do co tipo f (x) = a + b/(cx + d) Aproxima¸˜o experimental ca da no¸˜o de limite. ca Taxa de varia¸˜o e derivadas ca em casos simples. Opera¸˜es com fun¸˜es. co co Composi¸˜o e invers˜o de ca a fun¸˜es. co Fun¸˜es exponenciais e co logar´ ıtmicas. Limites e Continuidade. Conceito de Derivada e Aplica¸˜es. co Estat´ ıstica Sucess˜es reais. o Estat´ ıstica - Generalidades Organiza¸˜o e interpretaca ca ¸˜o de caracteres estat´ ısticos (qualitativos e quantitativos). Referˆncia a distribui¸˜es e co bidimensionais (abordagem gr´ﬁca e intuitiva). a Deﬁni¸˜o e propriedades. ca Exemplos (o caso das progress˜es) o Sucess˜o (1 + 1/n)n e pria meira deﬁni¸˜o de e ca Limites: inﬁnitamente grandes e inﬁnitamente pequenos. Limites reais e convergˆncia. e Temas Teoria de limites C´lculo diferencial a Problemas de optimiza¸˜o. ca Trigonometria e n´meros u complexos. Fun¸˜es seno, co-seno ; co c´lculo de derivadas a Introdu¸˜o hist´rica dos ca o n´meros complexos u Complexos na forma alg´brica e e na forma trigonom´trica; opera¸˜es e e co interpreta¸˜o geom´trica ca e Transversais Comunica¸˜o Matem´tica ca a Hist´ria da Matem´tica o a Resolu¸˜o de Problemas e Actividades Investigativas ca Aplica¸˜es e Modela¸˜o Matem´tica co ca a L´gica e Racioc´ o ınio Matem´tico a Tecnologia e Matem´tica a\n11. Departamento do Ensino Secund´rio a 2.4 Matem´tica A a 10 Sugest˜es Metodol´gicas Gerais o o As ﬁnalidades e objectivos enunciados determinam que o professor, ao aplicar este programa, contemple equilibradamente: • o desenvolvimento de atitudes; • o desenvolvimento de capacidades; • a aquisi¸˜o de conhecimentos e t´cnicas para a sua mobiliza¸˜o. ca e ca Tendo como pressuposto ser o estudante agente da sua pr´pria aprendizagem, prop˜e-se o o uma metodologia em que • os conceitos s˜o constru´ a ıdos a partir da experiˆncia de cada um e de situa¸˜es cone co cretas; • os conceitos s˜o abordados sob diferentes pontos de vista e progressivos n´ a ıveis de rigor e formaliza¸˜o; ca • se estabelece maior liga¸˜o da Matem´tica com a vida real, com a tecnologia e com ca a as quest˜es abordadas noutras disciplinas, ajudando a enquadrar o conhecimento o numa perspectiva hist´rico-cultural. o Neste contexto, destaca-se a importˆncia das actividades a seleccionar, as quais dever˜o a a contribuir para o desenvolvimento do pensamento cient´ ıﬁco, levando o estudante a intuir, conjecturar, experimentar, provar, avaliar e ainda para o refor¸o das atitudes de autonomia c e de coopera¸˜o. Cabe ao professor, de acordo com a realidade da turma, encontrar ca o equil´ ıbrio entre o n´mero de trabalhos individuais, trabalhos de grupo, trabalhos de u projecto e actividades investigativas, a realizar dentro e fora da aula, assim como o espa¸o c para a sua pr´pria interven¸˜o: dinamizando, questionando, fazendo s´ o ca ınteses, facultando informa¸˜o ... ca O programa pretende dar continuidade, sem mudan¸a brusca de n´ c ıvel, as aprendizagens ` o ıvel realizadas no 3o ciclo, agora coincidente com o ensino obrigat´rio, ajustando-se ao n´ de ¯ desenvolvimento e de cultura dos estudantes. Parte-se, quando poss´ ıvel, de problemas e situa¸˜es experimentais para que, com o apoio na intui¸˜o, o estudante aceda gradualmente co ca a ` formaliza¸˜o dos conceitos. S˜o identiﬁcadas situa¸˜es para estabelecer conex˜es entre ca a co o os diversos temas de forma a proporcionar uma oportunidade de relacionar os v´rios a conceitos, promovendo uma vis˜o integrada da Matem´tica. Deu-se prioridade a cria¸˜o a a ` ca de condi¸˜es para uma grande diversidade de tipos de trabalho em Matem´tica, tanto co a de car´cter geral como espec´ a ıﬁcos de cada tema, em detrimento de um aprofundamento que na maioria das vezes ´ ilus´rio se n˜o for cimentado na compreens˜o dos processos e o a a elementares. A utiliza¸˜o obrigat´ria da tecnologia que, al´m de ferramenta, ´ fonte de ca o e e actividade, de investiga¸˜o e de aprendizagem, pretende tamb´m preparar os estudantes ca e para uma sociedade em que os meios inform´ticos ter˜o um papel consider´vel na resolu¸˜o a a a ca de problemas de ´ ındole cient´ ıﬁca. Capacidade de utilizar a Matem´tica a\n12. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a 11 A an´lise de situa¸˜es da vida real e a identiﬁca¸˜o de modelos matem´ticos que permia co ca a tam a sua interpreta¸˜o e resolu¸˜o, constituem uma oportunidade de abordar o m´todo ca ca e cient´ ıﬁco. Em todos os temas do programa de matem´tica (Geometria, Fun¸˜es e Esa co tat´ ıstica) se podem encontrar ferramentas fundamentais de modela¸˜o. O papel da mateca m´tica como instrumento de modela¸˜o da realidade ´ incontorn´vel: um modelo matea ca e a m´tico ´ uma descri¸˜o matem´tica do mundo real. A resolu¸˜o de problemas, meio a e ca a ca privilegiado para desenvolver o esp´ ırito de pesquisa, deve contemplar, al´m de situa¸˜es e co do dom´ ınio da Matem´tica, outras, da F´ a ısica, da Economia, da Geometria Descritiva, ... As actividades de investiga¸˜o revelam-se tamb´m de particular interesse pois constituem ca e um modo privilegiado para refor¸ar uma abordagem do m´todo cient´ c e ıﬁco. Racioc´ ınio dedutivo No ensino secund´rio, o estudante dever´ ser solicitado frequentemente a justiﬁcar procesa a sos de resolu¸˜o, a encadear racioc´ ca ınios, a conﬁrmar conjecturas, a demonstrar f´rmulas o e alguns teoremas. No¸˜es muito elementares de L´gica devem ser introduzidas a meco o ` dida que se revelem uteis ` clariﬁca¸˜o de processos e de racioc´ ´ a ca ınios. A Axiom´tica das a Probabilidades (muito simples) visa dar aos estudantes alguma cultura sobre a constru¸˜o ca hipot´tico-dedutiva de uma Ciˆncia. Alguns problemas de Geometria no Espa¸o podem e e c ser excelentes oportunidades para praticar o racioc´ ınio dedutivo. Capacidades, c´lculo e formalismo a Em cada tema ´ importante encontrar-se um equil´ e ıbrio entre o desenvolvimento signiﬁcativo dos conceitos, capacidades e aptid˜es e o dom´ o ınio do c´lculo. Do mesmo modo, a a introdu¸˜o da l´gica, da linguagem matem´tica e simb´lica, das formas de racioc´ ca o a o ınio cient´ ıﬁco (matem´tico e outros) deve estar presente em todas as ocasi˜es, impregnar o a o quotidiano da aprendizagem matem´tica, sem se transformar num conte´do com valor a u em si mesmo. O grau de formalismo deve sempre ter em conta o n´ ıvel de maturidade matem´tica dos estudantes e deve surgir, se poss´ como necessidade, depois de o proa ıvel fessor ter a certeza que o estudante apropriou verdadeiramente o conceito. Comunica¸˜o ca Tendo em conta a estreita dependˆncia entre os processos de estrutura¸˜o do pensamento e e ca da linguagem, ´ absolutamente necess´rio que as actividades tenham em conta a correc¸˜o e a ca da comunica¸˜o oral e escrita. O estudante deve verbalizar os racioc´ ca ınios e discutir processos, confrontando-os com outros. Deve ser capaz de argumentar com l´gica e recorrer, o sempre que tal for aconselh´vel, a linguagem simb´lica da Matem´tica, a sua precis˜o e ao a ` o a ` a seu poder de s´ ıntese. Esta evolu¸˜o decorrer´ naturalmente da necessidade de comunicar ca a aos outros as suas ideias. Assim, deve ser incentivada com alguma regularidade a realiza¸˜o ca de trabalhos designados genericamente por “composi¸˜es matem´ticas”. A comunica¸˜o co a ca matem´tica (oral ou escrita) ´ um meio importante para que os estudantes clariﬁquem o a e seu pensamento, estabele¸am conex˜es, reﬂictam na sua aprendizagem, aumentem o apre¸o c o c pela necessidade de precis˜o na linguagem, conhe¸am conceitos e terminologia, aprendam a c a ser cr´ ıticos. Cada estudante deve receber do professor est´ ımulo e oportunidades frequentes para falar, escrever, ler e ouvir nas aulas de matem´tica (e fora delas) pois assim a estar˜o a organizar, consolidar e ampliar o seu conhecimento matem´tico. O estudante a a deve possuir oportunidades para expor um tema preparado, a resolu¸˜o de um problema ca\n13. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a 12 ou a parte que lhe cabe num trabalho de grupo. Os trabalhos escritos, individuais ou de grupo, quer sejam pequenos relat´rios, monograﬁas, ..., devem ser apresentados de forma o clara, organizada e com aspecto gr´ﬁco cuidado; recomenda-se que sejam, na medida do a poss´ ıvel, apresentados oralmente perante a turma e discutidos com os colegas e o professor. O trabalho de grupo e em pares favorece a comunica¸˜o matem´tica pois os estudantes ca a ganham em partilhar com os colegas e com o professor os seus m´todos de resolu¸˜o ou e ca as justiﬁca¸˜es dos seus racioc´ co ınios. Perspectiva hist´rico-cultural o Actividades com uma perspectiva hist´rica humanizam o estudo da disciplina, mostrando o a Matem´tica como ciˆncia em constru¸˜o e em constante interac¸˜o com outras ciˆncias. a e ca ca e Proporcionam tamb´m excelentes oportunidades para pesquisa de documenta¸˜o. A ine ca forma¸˜o sobre a g´nese e o percurso de um conceito ao longo dos tempos e a sua rela¸˜o ca e ca com o progresso da humanidade pode fomentar, ou aumentar, o interesse pelo tema em estudo, ao mesmo tempo que constitui uma fonte de cultura. Segundo D. J. Struik, o autor do livro “Hist´ria Concisa das Matem´ticas”, o uso da Hist´ria da Matem´tica na o a o a aula ´ muito importante porque: e • satisfaz o desejo de saber como se originaram e desenvolveram os assuntos em matem´tica; a • o estudo dos autores cl´ssicos pode proporcionar grande satisfa¸˜o por si s´, mas a ca o tamb´m pode ser util no ensino e na investiga¸˜o; e ´ ca • ajuda a compreender a nossa heran¸a cultural, n˜o apenas pelas aplica¸˜es que a c a co matem´tica tem tido, e ainda tem, a astronomia, f´ a ` ısica e outras ciˆncias, mas tamb´m e e pela rela¸˜o que tem tido, e continua a ter, com campos t˜o variados como a arte, a ca a religi˜o, a ﬁlosoﬁa e os of´ a ıcios; • oferece um campo de discuss˜o comum com estudantes e professores de outras ´reas; a a • permite temperar o ensino e as conversas com algumas perip´cias. e Papel do professor Na concretiza¸˜o da metodologia proposta cabe ao professor ser simultaneamente dica namizador e regulador do processo de ensino-aprendizagem, criando situa¸˜es motivadoras co e adoptando uma estrat´gia que implique o estudante na sua aprendizagem e desenvolva e a sua iniciativa. Assume, neste n´ ıvel de ensino, importˆncia fundamental o contrato a pedag´gico a estabelecer com o estudante, na negocia¸˜o e deﬁni¸˜o de consensos para os o ca ca projectos de trabalho, na participa¸˜o activa e respons´vel na gest˜o do processo ensinoca a a aprendizagem. Em particular deve ser fomentado o trabalho de grupo e o trabalho de pares de estudantes. A valoriza¸˜o da vertente formativa da disciplina, s´ pode ser alcan¸ada ca o c fomentando uma atitude positiva do estudante face a Matem´tica. ` a\n14. Departamento do Ensino Secund´rio a 2.4.1 Matem´tica A a 13 Avalia¸˜o ca Avaliar os conhecimentos matem´ticos dos estudantes signiﬁca reunir e analisar dados a sobre o que estes sabem a respeito de conceitos e m´todos matem´ticos. Estes dados e a devem ser utilizados tanto pelos professores como pelos estudantes; os professores dever˜o a utiliz´-los para ajudar os estudantes a adquirir conhecimentos profundos e ideias claras a sobre os conte´dos matem´ticos. Pretende-se que a avalia¸˜o em Matem´tica n˜o se u a ca a a restrinja a avaliar o produto ﬁnal mas tamb´m o processo de aprendizagem e permita que e o estudante seja um elemento activo, reﬂexivo e respons´vel da sua aprendizagem. a O professor n˜o deve reduzir as suas formas de avalia¸˜o aos testes escritos, antes deve a ca diversiﬁc´-las. Deve propor ao estudante um conjunto de tarefas de extens˜o e estilo a a vari´veis, algumas delas individuais e outras realizadas em grupo, de modo que, no cona junto, reﬂictam equilibradamente as ﬁnalidades do curr´ ıculo. S´ assim se contribuir´ para o a promover outras competˆncias e capacidades que se pretendem desenvolver no ensino see cund´rio. Em particular recomenda-se fortemente que, em cada per´ a ıodo, mais do que um dos elementos de avalia¸˜o seja obrigatoriamente uma redac¸˜o matem´tica (sob a ca ca a forma de resolu¸˜o de problemas, demonstra¸˜es, composi¸˜es/reﬂex˜es, projectos, reca co co o lat´rios, notas e reﬂex˜es hist´ricas ou outras) que reforce a importante componente da o o o comunica¸˜o matem´tica (o trabalho pode ser proveniente de um trabalho individual, de ca a grupo, de um trabalho de projecto ou outro julgado adequado). No corpo do programa aparecem muitas referˆncias que poder˜o propiciar a utiliza¸˜o de novos instrumentos de e a ca avalia¸˜o. ca As actividades de aprendizagem dever˜o ser encaradas como tarefas de avalia¸˜o reprea ca sentando, neste caso, o tempo empregue na sua execu¸˜o um claro benef´ para a aprenca ıcio dizagem dos estudantes. O professor pode ﬁcar a conhecer o que os estudantes s˜o caa pazes de fazer perante um problema concreto ou mediante uma proposta de investiga¸˜o. ca Esses dados podem ser utilizados para orientar aprendizagens posteriores que ofere¸am, c aos estudantes, oportunidade de ir integrando as novas aprendizagens de forma positiva e consciente. A realiza¸˜o dessas actividades em trabalho de grupo permite aos estuca dantes adquirir uma certa pr´tica para enfrentar novos problemas ou ideias matem´ticas a a escrevendo e explicando claramente os seus resultados e comunicando as suas observa¸˜es co e solu¸˜es de forma clara, primeiro aos colegas em pequeno grupo, depois a turma e ao co ` professor. A interac¸˜o com outros estimula a apari¸˜o de novos problemas, de novas ca ca ideias e de descobertas adicionais. Os estudantes deparam-se com formas diferentes da sua de resolver problemas e a compreens˜o conceptual ´ mais profunda e duradoura. a e O professor, observando, interpelando os grupos discutindo com os estudantes, receber´ a de imediato grande quantidade de informa¸˜o que se deseja possa ser complementada, ca sempre que poss´ ıvel, com a avalia¸˜o posterior de relat´rios. ca o Mas, ´ claro, os testes escritos, em si mesmos, tˆm aspectos muito positivos e s˜o muito e e a importantes. Eles dever˜o aparecer em momentos de s´ a ıntese e cumprir uma fun¸˜o difeca renciada da dos outros instrumentos. A n´ do Ensino Secund´rio existir´ sempre um ıvel a a certo n´mero de provas de ambito nacional ou regional. Por um lado, o professor deve u ˆ ter em conta na sua avalia¸˜o a existˆncia destas provas (realizando provas de estilos ca e diversiﬁcados, incluindo por exemplo algumas quest˜es de escolha m´ ltipla, que preparem o u os estudantes para enfrentar os momentos de avalia¸˜o global), mas, por outro lado, deve ca dessacraliz´-las pois a verdadeira prepara¸˜o para essas provas ´ feita trabalhando com a ca e\n15. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a 14 regularidade e aﬁnco ao longo do ano. Para garantir um equil´ ıbrio entre as diversas formas de avalia¸˜o recomenda-se fortemente ca que, na classiﬁca¸˜o ﬁnal de um per´ ca ıodo, o peso dos testes escritos n˜o ultrapasse, em regra, a metade do peso do conjunto dos diferentes momentos de avalia¸˜o. ca Recomenda-se tamb´m a utiliza¸˜o de testes em duas fases que permitem o desenvolvie ca mento da persistˆncia na procura de solu¸˜es para situa¸˜es novas, para al´m de cone co co e tribu´ ırem para uma atitude de reﬂex˜o sobre a aprendizagem. Recomenda-se ainda a a procura, nas brochuras de apoio ao programa, de exemplos e reﬂex˜es que ajudem a dio versiﬁca¸˜o dos instrumentos de avalia¸˜o que este programa preconiza. ca ca 2.5 Recursos Todas as Escolas Secund´rias devem dotar-se quanto antes de Laborat´rios de Matem´tica. a o a A did´ctica prevista para a Matem´tica no ensino secund´rio pressup˜e a possibilidade a a a o de uso de materiais e equipamentos diversiﬁcados: • Material de desenho para o quadro e para o trabalho individual (r´gua, esquadro, e compasso, transferidor,...); • Material para o estudo da Geometria no espa¸o (s´lidos geom´tricos, constru´ c o e ıdos em diversos materiais: placas, arames, palhinhas, acetatos, acr´ ılico, pl´stico, “polya dron”, s´lidos de enchimento,...); o • Quadro quadriculado e papel milim´trico; e • meios audiovisuais (retroprojector, acetatos e canetas, diapositivos, v´ ıdeo, ...); • Livros para consulta e manuais; • Outros materiais escritos (folhas com dados estat´ ısticos, ﬁchas de trabalho, ﬁchas de avalia¸˜o, ...); ca Prevˆ-se a possibilidade de recorrer a fontes para fornecimento de dados estat´ e ısticos (autarquias, clubes, hospitais, empresas, institutos, cooperativas,...) incluindo em formato de CD-ROM e na Internet. • Calculadoras gr´ﬁcas com possibilidade de utiliza¸˜o de programas; a ca • Computadores; • Sensores de recolha de dados quer para as calculadoras gr´ﬁcas quer para os coma putadores. Os recursos escolhidos dever˜o ter em vista tanto a sua utiliza¸˜o na pr´pria sala do a ca o Laborat´rio de Matem´tica, como uma utiliza¸˜o de recursos adequados em salas de aulas o a ca ´ indiferenciadas. E considerado indispens´vel o uso de a • calculadoras gr´ﬁcas (para trabalho regular na sala de aula ou para demonstra¸˜es a co com todos os estudantes, usando uma calculadora com “view-screen”); • uma sala de computadores com “software” adequado para trabalho t˜o regular a quanto poss´ ıvel;\n16. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a 15 • um computador ligado a um “data-show” ou projector de v´ ıdeo (para demonstra¸˜es, co simula¸˜es ou trabalho na sala de aula com todos os estudantes ao mesmo tempo). co 2.5.1 Tecnologia N˜o ´ poss´ a e ıvel atingir os objectivos e competˆncias gerais deste programa sem recorrer e a ` dimens˜o gr´ﬁca, e essa dimens˜o s´ ´ plenamente atingida quando os estudantes traa a a oe balham com uma grande quantidade e variedade de gr´ﬁcos com apoio de tecnologia a adequada (calculadoras gr´ﬁcas e computadores). O trabalho de modela¸˜o matem´tica a ca a s´ ser´ plenamente atingido se for poss´ trabalhar na sala de aula as diversas fases do o a ıvel processo de modela¸˜o matem´tica, embora n˜o seja exig´ que sejam todas tratadas sica a a ıvel multaneamente em todas as ocasi˜es; em particular, recomenda-se a utiliza¸˜o de sensores o ca de recolha de dados acoplados a calculadoras gr´ﬁcas ou computadores para, nalgumas a situa¸˜es, os estudantes tentarem identiﬁcar “modelos matem´ticos que permitam a sua co a interpreta¸˜o”. N˜o se trata aqui de substituir o c´lculo de papel e l´pis pelo c´lculo com ca a a a a apoio da tecnologia, mas sim combinar adequadamentee os diferentes processos de c´lculo, a sem esquecer o c´lculo mental. Na express˜o feliz de Miguel de Guzm´n, os estudantes a a a devem ser preparados para um ”di´logo inteligente com as ferramentas que j´ existem”. O a a uso de tecnologia facilita ainda uma participa¸˜o activa do estudante na sua aprendizagem ca como j´ era preconizado por Sebasti˜o e Silva, quando escrevia no ”Guia para a utiliza¸˜o a a ca do Compˆndio de Matem´tica” que ”haveria muit´ e a ıssimo a lucrar em que o ensino . . . fosse . . . tanto quanto poss´ laboratorial, isto ´, baseado no uso de computadores, existentes ıvel e nas pr´prias escolas ou fora destas, em laborat´rios de c´lculo”. O estudante deve contudo o o a ser confrontado, atrav´s de exemplos concretos, com os limites da tecnologia e, caso haja e tempo, pode ser referido o problema da m´quina de Turing, tal como o faz Ian Stewart a quando aborda os limites da computabilidade no seu livro ”Os problemas da Matem´tica”. a Uso de calculadoras gr´ﬁcas a As calculadoras gr´ﬁcas (que s˜o tamb´m calculadoras cient´ a a e ıﬁcas complet´ ıssimas), ferramentas que cada vez mais se utilizar˜o correntemente, devem ser entendidas n˜o s´ como a a o instrumentos de c´lculo mas tamb´m como meios incentivadores do esp´ a e ırito de pesquisa. O seu uso ´ obrigat´rio neste programa. Tendo em conta a investiga¸˜o e as experiˆncias e o ca e realizadas at´ hoje, h´ vantagens em que se explorem com a calculadora gr´ﬁca os seguintes e a a tipos de actividade matem´tica: a • abordagem num´rica de problemas; e • uso de manipula¸˜es alg´bricas para resolver equa¸˜es e inequa¸˜es e posterior conco e co co ﬁrma¸˜o usando m´todos gr´ﬁcos; ca e a • uso de m´todos gr´ﬁcos para resolver equa¸˜es e inequa¸˜es e posterior conﬁrma¸˜o e a co co ca usando m´todos alg´bricos; e e • modela¸˜o, simula¸˜o e resolu¸˜o de situa¸˜es problem´ticas; ca ca ca co a • uso de cen´rios visuais gerados pela calculadora para ilustrar conceitos matem´ticos; a a • uso de m´todos visuais para resolver equa¸˜es e inequa¸˜es que n˜o podem ser e co co a resolvidas, ou cuja resolu¸˜o ´ impratic´vel, com m´todos alg´bricos; ca e a e e\n17. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a 16 • condu¸˜o de experiˆncias matem´ticas, elabora¸˜o e an´lise de conjecturas; ca e a ca a • estudo e classiﬁca¸˜o do comportamento de diferentes classes de fun¸˜es; ca co • antevis˜o de conceitos do c´lculo diferencial; a a • investiga¸˜o e explora¸˜o de v´rias liga¸˜es entre diferentes representa¸˜es para uma ca ca a co co situa¸˜o problem´tica. ca a Os estudantes devem ter oportunidade de entender que aquilo que a calculadora apresenta no seu ´cran pode ser uma vis˜o distorcida da realidade; al´m do mais, o trabalho feito e a e com a m´quina deve ser sempre confrontado com conhecimentos te´ricos, assim como o a o ´ trabalho te´rico deve ser ﬁnalizado com uma veriﬁca¸˜o com a m´quina. E importante o ca a que os estudantes descrevam os racioc´ ınios utilizados e interpretem aquilo que se lhes apresenta de modo que n˜o se limitem a “copiar” o que vˆem. A calculadora vai permitir a e que se trabalhe com um muito maior n´mero de fun¸˜es em que diversas caracter´ u co ısticas, como os zeros e os extremos, n˜o se podem determinar de forma exacta; estas fun¸˜es a co ´ muito s˜o importantes pois aparecem no contexto da resolu¸˜o de problemas aplicados. E a ca importante desenvolver a capacidade de lidar com elementos de que apenas uma parte se pode determinar de forma exacta; ´ importante ir sempre chamando a aten¸˜o dos e ca estudantes para a confronta¸˜o dos resultados obtidos com os conhecimentos te´ricos; sem ca o estes aspectos n˜o se pode desenvolver a capacidade de resolver problemas de aplica¸˜es da a co matem´tica e a capacidade de analisar modelos matem´ticos. Com os cuidados referidos, a a e como experiˆncias em Portugal e noutros pa´ e ıses mostram, a calculadora gr´ﬁca dar´ a a uma contribui¸˜o positiva para a melhoria do ensino da Matem´tica. ca a Uso de computadores O computador, pelas suas potencialidades, nomeadamente nos dom´ ınios da Geometria dinˆmica, da representa¸˜o gr´ﬁca de fun¸˜es e da simula¸˜o, permite actividades n˜o s´ a ca a co ca a o de explora¸˜o e pesquisa como de recupera¸˜o e desenvolvimento, pelo que constitui um ca ca valioso apoio a estudantes e professores, devendo a sua utiliza¸˜o considerar-se obrigat´ria ca o neste programa. V´rios tipos de programas de computador s˜o muito uteis e enquadrama a ´ se no esp´ ırito do programa. Os programas de Geometria Dinˆmica, de C´lculo Num´rico a a e e Estat´ ıstico, de Gr´ﬁcos e Simula¸˜es e de lgebra Computacional fornecem diferentes a co tipos de perspectivas tanto a professores como a estudantes. O n´mero de programas u dispon´ ıveis no mercado portuguˆs aumenta constantemente. e Neste sentido recomenda-se enfaticamente o uso de computadores, tanto em salas onde os estudantes poder˜o ir realizar trabalhos pr´ticos, como em salas com condi¸˜es para se dar a a co uma aula em ambiente computacional (nomeadamente nos Laborat´rios de Matem´tica), o a al´m do partido que o professor pode tirar como ferramenta de demonstra¸˜o na sala de e ca aula usando um “data-show” com retroprojector ou projector de v´ ıdeo. Os estudantes devem ter oportunidade de trabalhar directamente com um computador, com a frequˆncia e poss´ de acordo com o material dispon´ ıvel ıvel. Nesse sentido as escolas s˜o incentivadas a a equipar-se com o material necess´rio para que tal tipo de trabalhos se possa realizar com a a regularidade que o professor julgar aconselh´vel. a Uso da internet\n18. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a 17 Estando todas as Escolas Secund´rias ligadas a Internet o professor n˜o deve deixar de tirar a ` a todo o partido deste novo meio de comunica¸˜o. Na bibliograﬁa ﬁnal s˜o indicados alguns ca a s´ ıtios recomendados; esses s´ ıtios contˆm liga¸˜es para muitos outros de interesse. Para o e co trabalho com os estudantes apresentam-se como exemplos proveitosos os de projectos como ”Pergunta Agora” ou ”Investiga e Partilha” onde os estudantes podem colocar d´vidas ou u partilhar a resolu¸˜o de problemas (os projectos podem ser acedidos a partir da p´gina ca a da APM-Associa¸˜o de Professores de Matem´tica). Como exemplo de um projecto de ca a interesse geral para professores e estudantes e para divulga¸˜o da Matem´tica aponta-se ca a o do projecto ”Atractor-Matem´tica Interactiva” que pode ser visto em: a http://www.fc.up.pt/atractor Deve ser explorada a utiliza¸˜o da Internet como forma de cria¸˜o de uma boa imagem da ca ca Matem´tica. A participa¸˜o em projectos internacionais ´ uma dessas formas. Algumas a ca e possibilidades s˜o a comemora¸˜o do dia do PI, a participa¸˜o no Maior Acontecimento a ca ca de Matem´tica do Mundo e a participa¸˜o na Ca¸a ao Tesouro na Internet; indica¸˜es a ca c co sobre essas actividades podem ser vistas, respectivamente, em: http://www.exploratorium.edu/learning studio/pi/ http://www.nctm.org/about/wlme/ http://softciencias.ccg.pt/\n19. Departamento do Ensino Secund´rio a 3 Matem´tica A a 18 Desenvolvimento do Programa Apresenta-se, para cada ano e para cada grande tema, o desenvolvimento que pretende citar exaustivamente todos os conte´dos obrigat´rios e facultativos. Em alguns casos, por u o se entender necess´rio um esclarecimento particular referem-se objectivos precisos nesse a desenvolvimento dos temas. H´ quem pense que se pode substituir o programa no seu a todo pela lista de itens de conte´do fornecidos no desenvolvimento dos diversos temas. u N˜o ´ assim. As indica¸˜es metodol´gicas que acompanham o desenvolvimento dos temas a e co o esclarecem as quest˜es estrat´gicas da metodologia de ensino e do ”fazer matem´tica”, o e a deﬁnem as formas de abordar os conte´dos, sugerem oportunidades de introduzir outros u conceitos e de estabelecer conex˜es, de utilizar tecnologia, de experimentar, etc., e s´ por o o isso s˜o importantes e imprescind´ a ıveis partes do programa a par dos conte´dos. Podeu mos mesmo dizer que a forma de aprender a fazer matem´tica ´ um conte´do do ensino a e u de Matem´tica. Para al´m disso, as indica¸˜es metodol´gicas s˜o importantes e impresa e co o a cind´ ıveis neste programa j´ que ´ nelas que se estabelecem em pormenor, para al´m da a e e forma de abordagem, a profundidade requerida e o rigor exigido nas formaliza¸˜es dos co conceitos e deﬁni¸˜es, para al´m do tipo de exerc´ co e ıcios e actividades que podem ser propostos aos estudantes. Resumindo, cada conte´do do ensino secund´rio de Matem´tica n˜o u a a a est´ mais do que esbo¸ado no desenvolvimento dos temas; para efeitos deste programa, as a c indica¸˜es metodol´gicas n˜o s˜o simples indica¸˜es e concorrem at´ para a deﬁni¸˜o dos co o a a co e ca conte´dos de ensino. De acordo com o desenvolvimento de cada tema e o grau de prou fundidade a atribuir a abordagem de cada conte´do, faz-se corresponder um determinado ` u n´mero de horas a lecciona¸˜o de cada tema. Embora isso n˜o constitua uma instru¸˜o u ` ca a ca r´ ıgida, ´ uma referˆncia para a planiﬁca¸˜o sugerindo tempos para a abordagem de cada e e ca tema, de modo a que, mesmo com preju´ do aprofundamento deste ou daquele conte´do ızo u espec´ ıﬁco, todos os temas sejam abordados com todos os estudantes. Al´m do mais alguns e t´picos s˜o de tratamento facultativo; estes v˜o indicados com um (*). Estes t´picos n˜o o a a o a signiﬁcam um aumento do programa, mas fornecem uma boa ocasi˜o de propiciar mais a matem´tica a estudantes mais interessados, mesmo que haja apenas um ou dois desses esa tudantes em cada turma. Caso seja julgado conveniente pode indicar-se a estes estudantes o estudo de algum dos t´picos facultativos sob a forma de trabalho de projecto ou eso tudo extra aula. As indica¸˜es metodol´gicas, ao sugerir actividades e preocupa¸˜es a ter, co o co acabam tamb´m por sugerir diversiﬁca¸˜o de tipos de instrumentos e de oportunidades de e ca avalia¸˜o das aprendizagens. ca\n20. Departamento do Ensino Secund´rio a 3.1 Matem´tica A a 19 Temas Transversais Neste programa, assumem importˆncia signiﬁcativa os temas transversais – conceitos, a t´cnicas, m´todos e estrat´gias – de que os estudantes se devem apropriar progressivamente e e e ao longo de todo o ensino secund´rio. a A aprendizagem matem´tica dos estudantes passa por fases intuitivas e informais, mas, a desde muito cedo, mesmo estas n˜o podem deixar de ser rigorosas ou desprovidas de a demonstra¸˜es correctas, bem como n˜o podem passar sem um m´ co a ınimo de linguagem simb´lica. Na aprendizagem da matem´tica elementar dos ensinos b´sico e secund´rio s˜o o a a a a absolutamente necess´rias as demonstra¸˜es matem´ticas, mas estas n˜o podem confundira co a a se com demonstra¸˜es formalizadas (no sentido de dedu¸˜es formais em teorias formais). co co Neste cap´ ıtulo, chama-se a aten¸˜o para alguns assuntos que, n˜o constituindo em si ca a mesmos conte´ dos do programa, s˜o alguma da essˆncia de muitos passos da aprendizagem u a e de diversos assuntos e constituem elementos que ajudam os estudantes a compreender demonstra¸˜es e a racionalizar os desenvolvimentos desta ou daquela teoria. Como se co pode ver pelo corpo do programa, n˜o se pretende que a matem´tica ou matem´ticas sejam a a a introduzidas axiomaticamente, mas pretende-se que os estudantes ﬁquem com a ideia de que as teorias matem´ticas s˜o estruturadas dedutivamente. Defende-se que os conceitos a a fundamentais e as suas propriedades b´sicas sejam motivados intuitivamente, mas defendea se que os alunos possam trabalh´-los at´ chegarem a formula¸˜es matem´ticas precisas, a e co a sem que, em algum momento, se confunda o grau de precis˜o de um conceito matem´tico a a com qualquer grau de ”simboliza¸˜o”. Um conceito matem´tico pode estar completa e ca a rigorosamente compreendido expresso em l´ ıngua natural ou em linguagem matem´tica a ordin´ria que ´ uma mistura de linguagem natural, simbologia l´gica e matem´tica. A a e o a escrita simb´lica das proposi¸˜es matem´ticas h´-de aparecer, se poss´ o co a a ıvel naturalmente, para efeitos de precis˜o, condensa¸˜o, economia e clareza de exposi¸˜o. a ca ca O trabalho com aspectos da Hist´ria da Matem´tica ´ fundamental e deve ser realizado o a e com os mais diversos pretextos. Ao longo do programa d˜o-se algumas pistas para esse a trabalho, que amplia a compreens˜o dos assuntos matem´ticos com os dados da sua g´nese a a e e evolu¸˜o ao longo do tempo. ca Outro trabalho que assume um papel fundamental para o ensino e aprendizagem ´ todo e aquele que esclare¸a conex˜es (aplica¸˜es, modela¸˜o) com outros ramos da ciˆncia. c o co ca e A utiliza¸˜o da tecnologia no ensino da Matem´tica obriga a que, a medida que for sendo ca a ` necess´rio e se justiﬁque, se v´ esclarecendo o funcionamento das calculadoras e coma a putadores e as caracter´ ısticas de cada aplica¸˜o inform´tica util a matem´tica, ao mesmo ca a ´ ` a tempo que se devem revelar e explicar as limita¸˜es da tecnologia dispon´ co ıvel.\n21. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a 20 Desenvolvimento Comunica¸˜o Matem´ca a tica Indica¸˜es Metodol´gicas co o Aplica¸˜es e Modela¸˜o co ca Matem´tica. a Sempre que poss´ ıvel, o professor deve evidenciar aplica¸˜es da co Matem´tica e deve estabelecer conex˜es entre os diversos temas a o matem´ticos do curr´ a ıculo e com outras ciˆncias. Este trabalho n˜o e a deve resumir-se ao enunciado e resolu¸˜o de problemas realistas que ca usam conhecimentos de diversas ciˆncias. Deve ser discutido com os e estudantes o processo de modela¸˜o matem´tica e a sua importˆncia ca a a no mundo actual. Hist´ria da Matem´tica o a A utiliza¸˜o de exemplos hist´ricos ou a referˆncia ` evolu¸˜o de ca o e a ca conceitos matem´ticos ajudar´ os estudantes a apreciar o contribua a to da Matem´tica para a compreens˜o e resolu¸˜o de problemas do a a ca Homem atrav´s do tempo. Algumas situa¸˜es sugeridas: polin´mios e co o em Pedro Nunes, hist´ria do C´lculo Diferencial, hist´ria dos n´meros o a o u complexos. Nas brochuras de apoio ao programa podem ser encontrados muitos exemplos interessantes: origens da geometria (Geometria 10o, pg 34-39), evolu¸˜o das m´quinas de calcular (Fun¸˜es 10o, pg ca a co ¯ ¯ 28), fun¸˜o logar´ ca ıtmica (Fun¸˜es 12o, pg 60-62), a r´gua de c´lculo co e a ¯ (Fun¸˜es 12o, pg 66-69), hist´ria do teorema fundamental da ´lgebra co o a ¯ (Trigonometria e n´meros complexos, pg 79-84), etc. u A comunica¸˜o matem´tica deve ajudar os estudantes a organizar e ca a consolidar o seu pensamento matem´tico; por isso se recomenda em a primeiro lugar a realiza¸˜o regular de ”composi¸˜es matem´ticas”. ca co a Al´m do mais, o estudante deve possuir oportunidades para expor e um tema preparado, a resolu¸˜o de um problema ou a parte que lhe ca cabe num trabalho de grupo. Os trabalhos escritos, individuais ou de grupo, quer sejam pequenos relat´rios, monograﬁas, ..., devem o ser apresentados de forma clara, organizada e com aspecto gr´ﬁco a cuidado; recomenda-se que sejam, na medida do poss´ ıvel, apresentados oralmente perante a turma e discutidos com os colegas e o professor. O trabalho de grupo e em pares favorece a comunica¸˜o ca matem´tica pois os estudantes ganham em partilhar com os colegas a e com o professor os seus m´todos de resolu¸˜o ou as justiﬁca¸˜es e ca co dos seus racioc´ ınios. L´gica e Racioc´ o ınio No¸˜es de l´gica co o Todas as no¸˜es de l´gica e teoria de conjuntos devem ser introco o duzidas ` medida que v˜o sendo precisas ou recorrendo a exemplos a a concretos de mat´ria usada: resolu¸˜o de equa¸˜es e inequa¸˜es, e ca co co propriedades dos m´dulos, propriedades das fun¸˜es, axiom´tica das o co a probabilidades. Alguns pequenos exemplos ligados ao trabalho com IR e suas propriedades podem servir como exemplos de esclarecimento de alguma opera¸˜o l´gica. Ter´ de haver referˆncias simultˆneas a ca o a e a opera¸˜es com condi¸˜es e opera¸˜es com conjuntos bem como ` imco co co a plica¸˜o formal e inclus˜o, para al´m das referˆncias a algumas proca a e e priedades como a transitividade. Assuntos como a lei da convers˜o, a as primeiras leis de De Morgan e os quantiﬁcadores n˜o podem deixar a de aparecer ` medida que forem necess´rios. a a\n22. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a Desenvolvimento No¸˜o de teorema: hip´ca o tese, tese e demonstra¸˜o. ca M´todos de demonstra¸˜o. e ca Reﬂex˜o sobre as heur´ a ısticas de Polya para a resolu¸˜o de problemas. Acca tividades investigativas. 21 Indica¸˜es Metodol´gicas co o No que diz respeito aos m´todos de demonstra¸˜o, eles devem ser e ca referidos ` medida que v˜o sendo usados ou ap´s os estudantes terem a a o j´ utilizado os v´rios m´todos em pequenas demonstra¸˜es informais a a e co (mesmo para conﬁrmar as suas resolu¸˜es de problemas). N˜o est˜o co a a sugeridos explicitamente no corpo do programa, mas todo o estudo da Geometria Anal´ ıtica se baseia numa geometria sint´tica euclidiana, e semi-intuitiva, semi-dedutiva em que se procuram explorar intui¸˜es co espaciais e habilidades dedutivas. O h´bito de pensar correctamente, que ´ o que aﬁnal est´ em causa, a e a deve ser acompanhado do h´bito de argumentar oralmente ou por esa crito e, sempre que poss´ ıvel, os estudantes devem realizar exerc´ ıcios metodol´gicos de descoberta de justiﬁca¸˜es (que n˜o s˜o mais do o co a a que novos problemas, por vezes dentro de outros problemas cuja resolu¸˜o carece de ser comprovada). A indu¸˜o matem´tica deve ca ca a aparecer individualizada como exemplo particular do racioc´ deduınio tivo (quer para provar propriedades de sucess˜es, quer para provar o propriedades combinat´rias, se houver tempo). A abordagem de alo gumas demonstra¸˜es directas e indirectas (e nestas, a demonstra¸˜o co ca por redu¸˜o ao absurdo) ´ inevit´vel. Assumem tamb´m uma grande ca e a e importˆncia demonstra¸˜es utilizando contra-exemplos. a co A organiza¸˜o da heur´ ca ıstica de Polya (de Guzm´n, ou outra) para a a resolu¸˜o de problemas deve aparecer ap´s a resolu¸˜o de v´rios ca o ca a problemas e depois dos estudantes discutirem os procedimentos usados. Elas servir˜o como pano de fundo organizacional do pensamento a para atacar os problemas, de modo a que os estudantes n˜o esque¸am a c ´ qualquer fase importante. E importante que os estudantes se apercebam da necessidade de um plano, e que, sem que eles abandonem a cria¸˜o dos seus pr´prios estilos de organiza¸˜o e a experiˆncia j´ ca o ca e a existente, compreendam que o conhecimento destas heur´ ısticas vai permitir melhor´-los. Estas organiza¸˜es de pensamento s˜o uteis a co a ´ para todos os aspectos da vida e n˜o s´ para a Matem´tica. a o a Sempre que poss´ ıvel, e no desenvolvimento do programa s˜o india cadas oportunidades para isso, os estudantes devem ser envolvidos em actividades de natureza investigativa gen´rica ou ligada a proe blemas de interesse hist´rico. A introdu¸˜o e o desenvolvimento de o ca todos estes temas ´ facilitador do ”desenvolvimento da linguagem e e do simbolismo para comunicar ideias matem´ticas” de modo que a os estudantes ”reﬂictam sobre, e clariﬁquem, o seu pensamento matem´tico no que diz respeito `s no¸˜es e rela¸˜es matem´ticas, a a co co a formulem deﬁni¸˜es matem´ticas e exprimam generaliza¸˜es descoco a co bertas atrav´s de investiga¸˜es, exprimam as no¸˜es matem´ticas e co co a oralmente e por escrito, . . . fa¸am perguntas de clariﬁca¸˜o e de c ca desenvolvimento relacionadas com assuntos matem´ticos que leram a ou ouviram falar e apreciem a economia, o poder e a elegˆncia da a nota¸˜o matem´tica bem como o seu papel no desenvolvimento das ca a ideias matem´ticas.” Estamos em crer que estes temas, inclu´ a ıdos em experiˆncias variadas, s˜o facilitadores de aprendizagens que refor¸am e a c a capacidade de raciocinar logicamente, pelas oportunidades de formular e testar conjecturas e analisar contra-exemplos, de avaliar a validade de racioc´ ınios e de construir demonstra¸˜es. co\n23. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a Desenvolvimento 22 Indica¸˜es Metodol´gicas co o Finalmente, quando for oportuno (as probabilidades e a estat´ ıstica s˜o temas e momentos apropriados na falta de outros momentos) dea vem ser abordadas as diferen¸as entre racioc´ plaus´ e racioc´ c ınio ıvel ınio demonstrativo, ao mesmo tempo que se abordam os diversos tipos de evidˆncia cient´ e ıﬁca. Estas abordagens constituem bases seguras para criar um esp´ ırito cr´ ıtico construtivo capaz de destrin¸ar a qualidade c relativa de cada uma das informa¸˜es que o estudante recebe. co Tecnologia e Matem´tica a A dimens˜o gr´ﬁca constitui uma componente incontorn´vel do traa a a balho matem´tico, pelo que ´ importnate o uso de tecnologia adea e quada (calculadora gr´ﬁca ou computador) a ´ E preciso ter presente que a ”tecnologia” em si n˜o est´ em causa a a como conte´do de ensino, mas que s˜o as aprendizagens que ela pode u a proporcionar que justiﬁcam o seu uso. O recurso ` tecnologia pode a auxiliar os estudantes na compreens˜o de conceitos matem´ticos e a a prepar´-los para usar a matem´tica num mundo cada vez mais tecnoa a l´gico. Como qualquer ferramenta, a tecnologia pode ser utilizada de o um modo mais ou menos rico. Nunca deve ser utilizada como simples substitui¸˜o de racioc´ ca ınios b´sicos, mas sim de modo a enriquecer a a aprendizagem matem´tica, tornando-a mais profunda. a Um estudante dever´ registar por escrito, com os coment´rios jula a gados adequados, as observa¸˜es que ﬁzer ao usar a calculadora co gr´ﬁca, o computador ou outro material, descrevendo com cuidado a as propriedades constatadas e justiﬁcando devidamente as suas conclus˜es relativamente aos resultados esperados (desenvolvendo-se o assim tanto o esp´ ırito cr´ ıtico como a capacidade de comunica¸˜o ca matem´tica). a\n24. Departamento do Ensino Secund´rio a 3.2 Matem´tica A a 23 10o ANO ¯ M´dulo inicial o 9 aulas de 90 minutos Resolu¸˜o de problemas ca O professor dever´ propor neste m´dulo problemas ou actividades aos estudantes que permia o tam consolidar e fazer uso de conhecimentos essenciais adquiridos no 3o ciclo de modo tanto ¯ a detectar diﬁculdades em quest˜es b´sicas como a estabelecer uma boa articula¸˜o entre este o a ca ciclo e o Ensino Secund´rio. Poder´ partir de uma determinada situa¸˜o, de um determinado a a ca tema, procurando evidenciar todas as conex˜es com outros temas tomando como meta o deseno volvimento das competˆncias matem´ticas transversais, isto ´, daquelas que atravessam todos e a e os temas e devem constituir os grandes objectivos de um curr´ ıculo de Matem´tica. a Uma compreens˜o mais profunda da Matem´tica s´ se veriﬁca quando o estudante vˆ as a a o e conex˜es, quando se apercebe que se est´ a falar da mesma coisa encarando-a de diferentes o a pontos de vista. Se os estudantes est˜o a explorar, por exemplo, um problema de geomea tria poder˜o estar a desenvolver a sua capacidade de visualizar, de fazer conjecturas e de as a justiﬁcar, mas tamb´m poder˜o estar a trabalhar simultaneamente com n´meros, calculando e a u ou relacionando areas e volumes, a trabalhar com propor¸˜es na semelhan¸a de ﬁguras ou a ´ co c trabalhar com express˜es alg´bricas. o e Os problemas a tratar neste m´dulo devem integrar-se essencialmente nos temas N´ meros, o u Geometria e lgebra deixando para outra altura os problemas que se integrem no tema Fun¸˜es co ou Probabilidades e Estat´ ıstica. Pretende-se que os problemas a propor ponham em evidˆncia o desenvolvimento de capacidades e de experimenta¸˜o, o racioc´ ca ınio matem´tico (com destaque para o racioc´ a ınio geom´trico) e a e an´lise cr´ a ıtica, conduzindo ao estabelecimento de conjecturas e ` sua veriﬁca¸˜o. a ca A seguir s˜o apresentados enunciados dos problemas que dever˜o ser propostos aos estudantes. a a Esta lista pode ser parcial ou totalmente substitu´ por outra que, em termos gerais, contemple ıda os mesmos conhecimentos e capacidades; esses outros problemas dever˜o, de preferˆncia, ser a e retirados de documentos oﬁciais relativos ao Ensino B´sico. a Unindo os pontos m´dios de um quadril´tero encontramos sempre um paralelogramo? e a Porque ´ que h´ s´ 5 s´lidos plat´nicos? e a o o o Estudo da poss´ semelhan¸a entre garrafas de agua de uma dada marca de 33cl, 50cl, 75cl ıvel c ´ e 1,5l. Como resolveu o matem´tico Pedro Nunes equa¸˜es do primeiro e do segundo graus? Podea co mos identiﬁcar, nos seus escritos, o uso da f´rmula resolvente ou pelo menos de alguns casos o particulares? Que casos Pedro Nunes n˜o considerou ou considerou imposs´ a ıveis? Que n´meros racionais s˜o represent´veis por d´ u a a ızimas ﬁnitas? Qual a dimens˜o do per´ a ıodo de uma d´ ızima inﬁnita peri´dica? o Alguns destes problemas poder˜o ser substitu´ a ıdos, com vantagem, por actividades ou problemas ligados ao mundo real, propostos e planiﬁcados por um grupo de professores do conselho de turma de modo a integrar na sua resolu¸˜o conhecimentos de v´rias disciplinas. ca a Durante este m´dulo inicial, se o professor detectar diﬁculdades no estudante, dever´ o a delinear estrat´gias de supera¸˜o dessas diﬁculdades. Deve fazer com que os estudantes e ca tomem consciˆncia clara das responsabilidades que tamb´m lhes cabem no desenvolvimento e e das suas aprendizagens. Superar diﬁculdades exige estudo e esfor¸o e os jovens devem c entender bem o seu papel neste processo.\n25. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a 24 Tema I - Geometria no Plano e no Espa¸o I c 27 aulas de 90 minutos O ensino da Geometria reveste-se da maior importˆncia devendo desenvolver no estudante a uma intui¸˜o geom´trica e um racioc´ ca e ınio espacial assim como capacidades para explorar, conjecturar, raciocinar logicamente, usar e aplicar a Matem´tica, formular e resolver a problemas abstractos ou numa perspectiva de modela¸˜o matem´tica. Deve ainda desenca a ´ volver no estudante capacidades de organiza¸˜o e de comunica¸˜o quer oral quer escrita. E ca ca aconselh´vel que os estudantes realizem pequenas investiga¸˜es e fa¸am depois relat´rios a co c o utilizando linguagem matem´tica rigorosa (o que n˜o signiﬁca que o estudante deva recora a rer exclusiva ou prioritariamente a linguagem simb´lica). Tanto em geometria plana como ` o em geometria do espa¸o a pr´tica de manipula¸˜o e observa¸˜o de ﬁguras e modelos tem c a ca ca um papel central e decisivo no ensino das no¸˜es matem´ticas que est˜o em jogo, com co a a preju´ absoluto do ponto de vista axiom´tico. O professor deve propor actividades de ızo a constru¸˜o, de manipula¸˜o de modelos e ligadas a problemas hist´ricos fazendo surgir a ca ca o partir do problema e do caminho que se faz para a sua resolu¸˜o uma grande parte dos ca resultados te´ricos que pretende ensinar ou recordar. A explora¸˜o de programas como ca putacionais pode ajudar eﬁcazmente o estudante a desenvolver a percep¸˜o dos objectos ca do plano e do espa¸o e a fazer conjecturas acerca de rela¸˜es ou acerca de propriedades de c co objectos geom´tricos. Devem dar-se a conhecer problemas hist´ricos e propor ao estudante e o a resolu¸˜o de pelo menos um. Ser´ tamb´m conveniente dar a conhecer um pouco da ca a e Hist´ria da Geometria a qual est˜o ligados os nomes dos maiores matem´ticos de todos o ` a a os tempos (Euclides, Arquimedes, Newton, Descartes, Euler, Hilbert, entre muitos outros). Os conhecimentos dos estudantes sobre transforma¸˜es geom´tricas devem ser tidos co e em considera¸˜o para serem utilizados e ampliados na resolu¸˜o de problemas concretos. ca ca Mesmo quando o estudante resolve um problema por via anal´ ıtica o professor deve incentiv´-lo a fazer uma ﬁgura geom´trica de modo a tirar proveito da visualiza¸˜o do problema a e ca e a desenvolver a sua capacidade de representa¸˜o, ou seja, n˜o se deve deixar que o estuca a dante se limite ` resolu¸˜o exclusiva de equa¸˜es e ` utiliza¸˜o de f´rmulas. Para al´m disso a ca co a ca o e o estudante deve descrever sempre com algum detalhe o processo utilizado, justiﬁcando-o adequadamente. Devem apresentar-se aos estudantes problemas que possam ser resolvidos por v´rios proa cessos (perspectiva sint´tica, geometria anal´ e ıtica, transforma¸˜es geom´tricas, utiliza¸˜o co e ca de programas de geometria dinˆmica, perspectiva vectorial ). a Devem explorar-se sempre que poss´ ıvel as conex˜es da Geometria com outras ´reas da o a Matem´tica e o seu desenvolvimento deve prolongar-se noutros temas. a\n26. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a Desenvolvimento Resolu¸˜o de probleca mas de Geometria no plano e no espa¸o c (esta resolu¸˜o de problemas ca tem por objectivo promover o aprofundamento da Geometria partindo da compreens˜o a do plano, do espa¸o e dos c s´lidos geom´tricos) o e Alguns t´picos que poder˜o o a ser estudados na resolu¸˜o ca de problemas ou em investiga¸˜es: co – estudo das sec¸˜es deterco minadas num cubo por um plano; – poliedros obtidos por truncatura de um cubo; – composi¸˜o e decompoca si¸˜o de ﬁguras tridimensionca ais; – um problema hist´rico e o sua liga¸˜o com a Hist´ria da ca o Geometria. Geometria Anal´ ıtica O m´todo cartesiano para e estudar geometria no plano e no espa¸o c Referenciais cartesianos ortogonais e monom´tricos no e plano e no espa¸o. Corresc pondˆncia entre o plano e IR2 , e entre o espa¸o e IR3 . c Conjuntos de pontos e condi¸˜es. co Lugares geom´tricos: circune ferˆncia, c´ e ırculo e mediatriz; superf´ ıcie esf´rica, esfera e e plano mediador. 25 Indica¸˜es Metodol´gicas co o As actividades devem estar ligadas ` manipula¸˜o de modelos a ca geom´tricos e o professor deve insistir para que o estudante exprima e correctamente os seus racioc´ ınios, oralmente e por escrito, atrav´s de e pequenas composi¸˜es. A linguagem matem´tica utilizada deve ser co a rigorosa embora seja de excluir a linguagem formal. Os problemas a propor aos estudantes n˜o devem ser numerosos. Dea ´ vem ser ricos e n˜o se reduzir a propostas fragmentadas. E mais ima portante um problema bem explorado do que muitos tratados apressadamente. Aconselha-se que o professor privilegie, se poss´ atrav´s de peıvel e quenas investiga¸˜es, o estudo do cubo (incluindo as sec¸˜es nele co co determinadas por planos que o intersectem) assim como o estudo de alguns poliedros cujas arestas ou v´rtices est˜o assentes nas suas e a faces. ´ E conveniente que o estudante ﬁque a saber desenhar representa¸˜es co planas dos s´lidos com que trabalha, a descrever a intersec¸˜o do o ca cubo com um plano dado, a saber construir e a desenhar uma representa¸˜o da intersec¸˜o obtida, utilizando as regras da perspectiva ca ca cavaleira (o estudante deve come¸ar por modelar a situa¸˜o, por c ca exemplo, com s´lidos de arestas, com s´lidos transparentes ou de o o qualquer outro modo sugestivo). Compondo e decompondo ﬁguras planas (ou tridimensionais) o estudante deve saber calcular ou relacionar ´reas (ou volumes). a Os problemas devem ser escolhidos de tal modo que possam sugerir outros e permitir abordagens segundo diferentes perspectivas (por exemplo, recorrendo primeiro `s coordenadas e depois aos vectores). a O professor deve propor ao estudante actividades que o levem a sentir a necessidade e vantagem do uso de um referencial, quer no plano quer no espa¸o. c O professor pode fornecer ﬁguras e/ou um referencial numa grelha e pedir a coloca¸˜o da ﬁgura ou do referencial para obter “as melca hores coordenadas” experimentando com v´rias ﬁguras no plano e no a espa¸o. c Ser´ vantajoso que o professor aproveite os problemas com que iniciou a o tema, recorrendo aos modelos j´ utilizados para fazer aparecer a as novas no¸˜es (referencial, coordenadas, vectores, ... ) levando co o estudante a justiﬁcar determinadas proposi¸˜es por mais de um co processo. S´ mais tarde deve recorrer a desenhos em perspectiva. o No plano, o estudante deve descobrir as rela¸˜es entre as coordenadas co de pontos sim´tricos relativamente aos eixos coordenados e `s bissece a trizes dos quadrantes pares e ´ ımpares. No espa¸o, o estudante pode c tamb´m descobrir algumas rela¸˜es entre pontos sim´tricos relativae co e mente aos planos coordenados, aos eixos coordenados e aos planos bissectores dos diversos octantes. . continua\n27. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a Desenvolvimento 26 Indica¸˜es Metodol´gicas co o A circunferˆncia e a superf´ esf´rica devem ser tratadas essene ıcie e cialmente como lugares geom´tricos sem a preocupa¸˜o de fazer e ca m´ltiplos exerc´ u ıcios que envolvam apenas as suas equa¸˜es (a co deﬁni¸˜o de distˆncia entre dois pontos no espa¸o aparecer´, naturalca a c a mente, ligada ` determina¸˜o do comprimento da diagonal espacial a ca de um paralelep´ ıpedo). O mesmo para a mediatriz/plano mediador (neste contexto s´ se deve o trabalhar com equa¸˜es de rectas/planos paralelos a eixos/planos co coordenados ou que sejam bissectrizes/planos bissectores de quadrantes/octantes). (*) Referˆncia ` elipse como e a deforma¸˜o da circunferˆncia. ca e Vectores livres no plano e no espa¸o: c componentes e coordenadas de um vector num referencial ortonormado; vector como diferen¸a de dois pontos. c Colinearidade de dois vectores. Equa¸˜o vectorial da recta no ca plano e no espa¸o. c Equa¸˜o reduzida da ca recta no plano e equa¸˜o ca x = x0 . A equa¸˜o da elipse deve aparecer a partir da circunferˆncia por meio ca e de uma mudan¸a aﬁm de uma das coordenadas. c A soma de vectores, a soma de um ponto com um vector e o produto de um escalar por um vector devem ser abordadas em contexto de resolu¸˜o de problemas. ca Pretende-se que o estudante deduza propriedades de ﬁguras geom´tricas (triˆngulos e quadril´teros) usando vectores e explore e a a a liga¸˜o do c´lculo vectorial com outras ´reas. ca a a A equa¸˜o vectorial da recta surge naturalmente associada ao proca duto de um escalar por um vector e ` colinearidade de dois vectores. a Pretende-se que os estudantes saibam escrever a equa¸˜o vectorial ca de uma recta e assim identiﬁquem pelas suas coordenadas os pontos que lhe perten¸am. c O conhecimento da equa¸˜o reduzida da recta dever´ permitir que ca a o estudante saiba escrever a equa¸˜o de qualquer recta cujo gr´ﬁco ca a lhe seja apresentado, sem para isso ser necess´rio fazer exerc´ a ıcios repetitivos. Tema II - Fun¸˜es e Gr´ﬁcos. Fun¸˜es polinomiais. Fun¸˜o m´dulo. co a co ca o 27 aulas de 90 minutos Os conhecimentos sobre fun¸˜es, indispens´veis para a compreens˜o do mundo em que co a a vivemos, v˜o ser ampliados com base no estudo anal´ a ıtico, num´rico e gr´ﬁco devendo e a privilegiar o trabalho intuitivo com fun¸˜es que relacionam vari´veis da vida corrente, co a da Geometria, da F´ ısica, da Economia ou de outras disciplinas. Em particular faz-se o estudo detalhado de algumas fun¸˜es polinomiais e da fun¸˜o m´dulo e resolvem-se co ca o anal´ ıtica, gr´ﬁca e numericamente algumas equa¸˜es e inequa¸˜es. a co co Este tema tem uma ˆnfase muito grande na liga¸˜o entre as f´rmulas e as representa¸˜es e ca o co geom´tricas. Esta liga¸˜o ´ muito importante para todos os que utilizarem matem´tica. e ca e a A capacidade de as relacionar ´ uma capacidade fundamental para o mundo de hoje e do e\n28. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a 27 futuro e assim este tema dever´ fornecer uma forma¸˜o para a vida toda t˜o b´sica como a ca a a a tabuada. Os estudantes devem reconhecer que o mesmo tipo de fun¸˜o pode constituir um modelo ca para diferentes tipos de situa¸˜es problem´ticas. co a Todas as fun¸˜es devem estar deﬁnidas apenas em intervalos (normalmente abertos); as co fun¸˜es deﬁnidas por dois ou mais ramos (cujo dom´ co ınio ´ um intervalo ou uni˜o de intere a valos) apenas devem ser referidas no caso da fun¸˜o m´dulo ou a t´ ca o ıtulo de exemplo na introdu¸˜o deste tema. ca Ao usar a calculadora gr´ﬁca ou o computador, os estudantes devem observar que poa dem ser apresentadas diferentes representa¸˜es gr´ﬁcas de um mesmo gr´ﬁco, variando as co a a escalas; devem sempre tra¸ar um n´mero apreci´vel de fun¸˜es tanto manualmente em c u a co papel quadriculado ou papel milim´trico como usando calculadora gr´ﬁca ou computae a dor escolhendo o melhor rectˆngulo de visualiza¸˜o; devem ser incentivados a elaborar a ca conjecturas, evitando conclus˜es apressadas, sendo sistematicamente treinados na an´lise o a cr´ ıtica de todas as suas conclus˜es. Devem ainda estudar situa¸˜es em que uma descri¸˜o o co ca qualitativa satisfat´ria do comportamento da fun¸˜o s´ ´ poss´ com um gr´ﬁco m´ltiplo o ca o e ıvel a u (conjunto de gr´ﬁcos em diferentes rectˆngulos de visualiza¸˜o). a a ca Um estudante deve ser confrontado com situa¸˜es em que os erros de aproxima¸˜o conco ca duzam a resultados absurdos. Como forma de evitar muitas situa¸˜es dessas, deve ser feita co a recomenda¸˜o gen´rica de nos c´lculos interm´dios se tomar um grau de aproxima¸˜o ca e a e ca substancialmente superior ao grau de aproxima¸˜o que se pretende para o resultado. ca Pr´-Requisitos: e Os estudantes devem conhecer a fun¸˜o aﬁm; devem poder reconhecer essa fun¸˜o atrav´s ca ca e do gr´ﬁco, esbo¸ar o gr´ﬁco e devem conhecer algumas propriedades (monotonia e zeros a c a de forma apenas intuitiva e usando os conhecimentos de equa¸˜es). Os estudantes devem co o grau e resolver equa¸˜es do 2o grau. Os co saber resolver equa¸˜es e inequa¸˜es do 1¯ co co ¯ estudantes devem conhecer os n´meros reais e representar intervalos de n´meros reais. u u Desenvolvimento Fun¸˜o, gr´ﬁco (gr´ﬁco ca a a cartesiano de uma fun¸˜o em ca referencial ortogonal) e representa¸˜o gr´ﬁca. ca a Indica¸˜es Metodol´gicas co o Para todos os tipos de fun¸˜es devem ser dados exemplos a partir co de quest˜es concretas (tanto de outras disciplinas que os estudantes o frequentem — F´ ısica, Qu´ ımica, Economia, etc. — como de situa¸˜es co reais — por exemplo de recortes de jornais). Particular importˆncia a dever´ ser dada a situa¸˜es problem´ticas, situa¸˜es de modela¸˜o a co a co ca matem´tica e a exemplos de Geometria, devendo retomar-se alguns a exemplos estudados no tema anterior. continua\n29. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a Desenvolvimento Estudo intuitivo de propriedades das fun¸˜es e dos co seus gr´ﬁcos, a tanto a partir de um gr´ﬁco a particular como usando calculadora gr´ﬁca, para as a seguintes classes de fun¸˜es: co i) fun¸˜es quadr´ticas; co a ii) fun¸˜o m´dulo; ca o e recorrendo a: a) an´lise dos efeitos a das mudan¸as de parˆmetros c a nos gr´ﬁcos das fam´ a ılias de fun¸˜es dessas classes (conco siderando apenas a varia¸˜o ca de um parˆmetro de cada a vez); b) transforma¸˜es simples co de fun¸˜es: dada a fun¸˜o, co ca esbo¸ar o gr´ﬁco das fun¸˜es c a co deﬁnidas por y = f(x) + a, y = f(x + a), y = af(x), y = f(ax), y = |f(x)|, com a positivo ou negativo, descrevendo o resultado com recurso ` linguagem das transa forma¸˜es geom´tricas. co e 28 Indica¸˜es Metodol´gicas co o As propriedades sugeridas s˜o: dom´ a ınio, contradom´ ınio, pontos not´veis (intersec¸˜o com os eixos coordenados), monotonia, cona ca tinuidade, extremos (relativos e absolutos), simetrias em rela¸˜o ao ca eixo dos YY e ` origem, limites nos ramos inﬁnitos. Os estudantes a devem determinar pontos not´veis e extremos tanto de forma exacta a como de forma aproximada (com uma aproxima¸˜o deﬁnida a priori) ca a partir do gr´ﬁco tra¸ado na calculadora gr´ﬁca ou computador. a c a No estudo das fam´ ılias de fun¸˜es os estudantes podem realizar peco quenas investiga¸˜es. co O estudo das transforma¸˜es simples de fun¸˜es deve ser feito tanto co co usando papel e l´pis como calculadora gr´ﬁca ou computador; a a a fun¸˜o f tanto pode ser dada a partir de um gr´ﬁco como a parca a tir de uma express˜o anal´ a ıtica. (*) Referˆncia breve ` par´e a a bola, a algumas das suas principais propriedades e a sua ` importˆncia hist´rica. a o Esta referˆncia breve n˜o pressup˜e nenhuma propriedade em particue a o lar mas antes que os estudantes ﬁquem com uma vis˜o culturalmente a mais completa do assunto. Resolu¸˜o de problemas ca envolvendo fun¸˜es polinoco miais (com particular incidˆncia nos graus 2, 3 e 4). e Na resolu¸˜o de problemas deve ser dada ˆnfase especial ` Modeca e a la¸˜o Matem´tica (por exemplo, usando dados concretos recolhidos ca a por calculadoras gr´ﬁcas ou computadores acoplados a sensores adea quados). Deve ser dada ˆnfase especial ` resolu¸˜o de problemas e a ca usando m´todos num´ricos e gr´ﬁcos, nomeadamente quando forem e e a usadas inequa¸˜es. A resolu¸˜o num´rica ou gr´ﬁca deve ser sempre co ca e a confrontada com conhecimentos te´ricos. Deve ser usada a resolu¸˜o o ca anal´ ıtica sempre que a natureza do problema o aconselhar, por exemplo quando for conveniente decompor um polin´mio em factores. O o estudo anal´ ıtico dos polin´mios deve ser suscitado pela resolu¸˜o de o ca problemas e a´ integrado. A resolu¸˜o anal´ ı ca ıtica de problemas deve ser sempre acompanhada da veriﬁca¸˜o num´rica ou gr´ﬁca. ca e a Possibilidade da decomposi¸˜o de um polin´mio ca o em factores (informa¸˜o). ca Decomposi¸˜o ca de um polin´mio em factores em o casos simples, por divis˜o dos a polin´mios e recorrendo ` o a regra de Ruﬃni. Justiﬁca¸˜o ca desta regra. (*) Estudo elementar de polin´mios interpoladores. o\n30. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a 29 Tema III - Estat´ ıstica 15 aulas de 90 minutos Algumas das no¸˜es que se tratam nesta unidade j´ foram abordadas no 3o ciclo e, por co a ¯ isso, ´ poss´ em qualquer altura reinvestir nestes conhecimentos e complet´-los progrese ıvel a sivamente. O estudante dever´ ﬁcar a saber organizar, representar e tratar dados recolhidos em bruto a (ou tabelados) para da´ tirar conclus˜es numa an´lise sempre cr´ ı o a ıtica e sempre consciente ´ importante que o estudo da dos limites do processo de matematiza¸˜o da situa¸˜o. E ca ca Estat´ ıstica contribua para melhorar a capacidade dos estudantes para avaliar aﬁrma¸˜es co de car´cter estat´ a ıstico, fornecendo-lhes ferramentas apropriadas para rejeitar quer certos an´ncios publicit´rios quer not´ u a ıcias ou outras informa¸˜es em que a interpreta¸˜o de dados co ca ou a realiza¸˜o da amostragem n˜o tenha sido correcta. ca a Este tema fornece uma excelente oportunidade para actividades interdisciplinares, individualmente ou em grupo, devendo o professor ao deﬁnir o plano de trabalho com os estudantes incentiv´-los a recorrer ao computador. No ﬁnal, os estudantes devem intera pretar e comunicar os resultados ` turma fazendo uma an´lise cr´ a a ıtica e estando conscientes que modos diferentes de apresentar as conclus˜es podem alterar a mensagem. No estudo o deste tema o estudante deve recorrer ` calculadora gr´ﬁca ou ao computador e as suas a a ` potencialidades para resolver muitos dos problemas. a Pr´-Requisitos: Estat´ e ıstica do 3o ciclo do Ensino B´sico. ¯ Desenvolvimento Estat´ ıstica – Generalidades Objecto da Estat´ ıstica e breve nota hist´rica sobre o a evolu¸˜o desta Ciˆncia; ca e utilidade na vida moderna. Indica¸˜es Metodol´gicas co o Deve-se chamar a aten¸˜o para o papel relevante desempenhado pela ca Estat´ ıstica em todos os campos do conhecimento. Clariﬁca¸˜o de quais os ca fen´menos que podem ser o objecto de estudo estat´ ıstico; exempliﬁca¸˜o ca de tais fen´menos com situa¸˜es da o co vida real, salientando o papel relevante da Estat´ ıstica na sua descri¸˜o. ca continua\n31. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a Desenvolvimento Recenseamento e sondagem. As no¸˜es de popula¸˜o e co ca amostra. Compreens˜o do a conceito de amostragem e reconhecimento do seu papel nas conclus˜es estat´ o ısticas; distin¸˜o entre os estudos e ca conclus˜es sobre a amostra e o a correspondente an´lise soa bre a popula¸˜o. No¸˜es inca co tuitivas sobre as escolhas de amostras, sobre a necessidade de serem aleat´rias, represeno tativas e livres de v´ ıcios de concep¸˜o. ca 30 Indica¸˜es Metodol´gicas co o Sendo a Estat´ ıstica a Ciˆncia que trata dos ”dados”, num procedie mento estat´ ıstico est˜o envolvidas, de um modo geral, duas fases: a uma fase de organiza¸˜o dos dados recolhidos, em que se procura reca duzir, de forma adequada, a informa¸˜o neles contida - Estat´ ca ıstica Descritiva, e uma segunda fase, em que se procura tirar conclus˜es o e tomar decis˜es para um conjunto mais vasto, de onde se recolheram o os dados - Inferˆncia Estat´ e ıstica. Existe, no entanto, uma fase pioneira, que diz respeito ` aquisi¸˜o dos pr´prios ”dados”. Deve-se a ca o real¸ar a importˆncia de, ao iniciar qualquer estudo estat´ c a ıstico, proceder cuidadosamente ao planeamento da experiˆncia que conduz ` e a recolha dos ”dados” que ser˜o objecto de tratamento estat´ a ıstico. Estat´ ıstica Descritiva e Estat´ ıstica Indutiva. Organiza¸˜o e interpreca ta¸˜o de caracteres esca tat´ ısticos (qualitativos e quantitativos) An´lise gr´ﬁca de atribua a tos qualitativos (gr´ﬁcos cira culares, diagramas de barras, pictogramas); determina¸˜o ca da moda; An´lise de atributos quana titativos: vari´vel discreta a e vari´vel cont´ a ınua. Dados agrupados em classes. Vari´vel discreta; fun¸˜o a ca cumulativa. Vari´vel cont´ a ınua: tabelas de frequˆncias (absolutas, e relativas e relativas acumuladas); gr´ﬁcos (histograma, a pol´ ıgono de frequˆncias); e fun¸˜o cumulativa. ca Medidas de localiza¸˜o ca de uma amostra: moda ou classe modal; m´dia; medie ana; quartis. Deve-se chamar a aten¸˜o para o facto de que a organiza¸˜o dos ca ca dados, consiste em resumir a informa¸˜o neles contida atrav´s de ca e tabelas, gr´ﬁcos e algumas medidas, a que damos o nome de ”esa tat´ ısticas”. Nesta fase, em que se substitui todo o conjunto dos dados, por um sum´rio desses dados, devem-se tomar as devidas prea cau¸˜es, pois nem todos os instrumentos de redu¸˜o de dados se co ca aplicam a todos os tipos de dados. Assim, de entre esses processos deve-se ter presente quais os mais adequados e em que situa¸˜es ´ ou co e n˜o convenientes aplic´-los. A t´ a a ıtulo de exemplo referimos o facto de n˜o ter qualquer sentido calcular a m´dia para dados de tipo qualitaa e tivo, mesmo que as diferentes categorias assumidas pela vari´vel em a estudo estejam representadas por n´meros. u continua\n32. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a Desenvolvimento 31 Indica¸˜es Metodol´gicas co o Medidas de dispers˜o de a uma amostra: amplitude; variˆncia; desvio padr˜o; ama a plitude interquartis. Discuss˜o das limita¸˜es a co destas estat´ ısticas. Diagramas de “extremos e quartis” Referˆncia a distribuie co ¸˜es bidimensionais (abordagem gr´ﬁca e a intuitiva) Diagrama de dispers˜o; dea pendˆncia estat´ e ıstica; ideia intuitiva de correla¸˜o; exemca plos gr´ﬁcos de correla¸˜o a ca positiva, negativa ou nula. Coeﬁciente de correla¸˜o e ca sua varia¸˜o em [−1, 1]. ca Deﬁni¸˜o de centro de gravica dade de um conjunto ﬁnito de pontos; sua interpreta¸˜o ca f´ ısica. Ideia intuitiva de recta de regress˜o; sua interpreta¸˜o e a ca limita¸˜es. co Generalizando o estudo de uma unica vari´vel, faz-se uma introdu¸˜o ´ a ca ao estudo dos dados bivariados, insistindo na representa¸˜o gr´ﬁca ca a sob a forma do diagrama de dispers˜o ou diagrama de pontos. a Quando, a partir desta representa¸˜o, se veriﬁcar uma tendˆncia para ca e a existˆncia de uma associa¸˜o linear entre as duas vari´veis em ese ca a tudo, identiﬁca-se uma medida que quantiﬁca o grau de associa¸˜o ca - o coeﬁciente de correla¸˜o, assim como se apresenta um modelo ca matem´tico que permitir´, conhecido o valor de uma das vari´veis, a a a obter uma estimativa para o valor da outra vari´vel. a\n33. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a 32 Bibliograﬁa Abrantes,P.; Ponte, J.P. et al.(1999) Investiga¸˜es matem´ticas na aula e no curr´ co a ıculo. Grupo ”Matem´tica para todos-investiga¸˜es na sala de aula”, Lisboa: Associa¸˜o a co ca de Professores de Matem´tica a Este livros re´ne um conjunto de artigos elaborados no ambito do Projecto u ˆ ”Matem´tica para Todos” a volta da incorpora¸˜o, nas aulas e nos curr´ a ` ca ıculos de matem´tica, de actividades de natureza investigativa realizadas pelos estudantes. a Segundo os organizadores dos volumes (este e seguinte), ”as actividades de investiga¸˜o podem ser inseridas, naturalmente, em qualquer parte do curr´ ca ıculo, representando na verdade um tipo de trabalho que tem um car´cter transvera sal na disciplina de Matem´tica”. De acordo com os organizadores dos livros ”o a trabalho realizado por este projecto conﬁrma as potencialidades da actividade investigativa para a aprendizagem da Matem´tica e d´ muitas pistas sobre o modo a a como ela se pode inserir nas actividades das escolas”. Abrantes, P.; Leal,L. C.; Ponte, J.P. et al.(1996) Investigar para aprender matem´tica. a Grupo ”Matem´tica para todos-investiga¸˜es na sala de aula”, Lisboa: Associa¸˜o a co ca de Professores de Matem´tica. a Ver coment´rio a Investiga¸˜es matem´ticas na aula e no curr´ a co a ıculo. Ara´jo, Paulo Ventura (1998). Curso de Geometria. (Trajectos Ciˆncia, Vol. 5) u e Lisboa: Gradiva ´ E um excelente livro para complementar a forma¸˜o em Geometria de qualca quer professor de Matem´tica do Ensino Secund´rio (e do Ensino B´sico). Escrito a a a numa linguagem muito clara e sugestiva, o autor, ao longo de 26 cap´ ıtulos, vai desde os primeiros axiomas da geometria euclidiana at´ aos surpreendentes meane dros da geometria n˜o euclidiana (em particular a geometria hiperb´lica). A abora o dagem ´ a da chamada geometria m´trica (em que os n´meros reais, para medir e e u distˆncias, s˜o introduzidos muito cedo) que ´ muito mais simples para um prina a e cipiante. O livro tem ainda v´rios cap´ a ıtulos sobre transforma¸˜es geom´tricas. co e S˜o de salientar a deﬁni¸˜o geom´trica rigorosa das fun¸˜es trigonom´tricas, a disa ca e co e cuss˜o da no¸˜o de ´rea, a demonstra¸˜o da f´rmula de Her˜o e uma introdu¸˜o a ca a ca o a ca interessante ` no¸˜o de centro de massa complementada com a recomenda¸˜o de a ca ca leitura do livro A F´ ısica no dia-a-dia (Ed. Rel´gio de gua, 1995) de R´mulo de o o Carvalho. Cara¸a, Bento de Jesus. Conceitos Fundamentais da Matem´tica Col. Ciˆncia c a e Aberta, Vol. 98 (2a ed., 1998). Lisboa: Gradiva ¯ Neste livro, Bento de Jesus Cara¸a (1901-1948) mostra como a Matem´tica c a ´ ”um organismo vivo, impregnado de condi¸˜o humana, com as suas for¸as e e ca c as suas fraquezas e subordinado as grandes necessidades do homem na sua luta ` pelo entendimento e pela liberta¸˜o” ao pˆr em evidˆncia como os fundamentos ca o e da Matem´tica ”mergulham tanto como os de outro qualquer ramo da Ciˆncia, a e na vida real”. Trata-se sem d´vida de um dos melhores livros de Matem´tica u a escritos em l´ ıngua portuguesa onde se pode assistir maravilhado a evolu¸˜o dos ` ca\n34. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a 33 conceitos de n´mero, de fun¸˜o e de continuidade, atrav´s de numerosas disu ca e cuss˜es, reﬂex˜es, notas hist´ricas e teoremas muitas vezes com demonstra¸˜es o o o co pouco vulgares. Departamento de Educa¸˜o B´sica(1999). A Matem´tica na Educa¸˜o B´sica. Lisca a a ca a boa: ME–DEB. Esta publica¸˜o do Departamento de Educa¸˜o B´sica constitui uma imporca ca a tante fonte de informa¸˜o sobre a Matem´tica do ensino b´sico em Portugal ca a a absolutamente necess´ria para quem lecciona no ensino secund´rio. a a Figueira, M´rio R. a Matem´tica, Vol. 5, a S. (1997). Fundamentos de An´lise Inﬁnitesimal Textos de a a ed. Lisboa: Departamento de Matem´tica, FCUL a 2¯ Este ´ um livro de texto para os estudantes da licenciatura em Matem´tica e a mas ´ de leitura acess´ a todos os que procurem uma apresenta¸˜o rigorosa dos e ıvel ca temas elementares de fun¸˜es reais de uma vari´vel real. Come¸a com um estudo co a c do conjunto dos n´mero reais a partir de uma axiom´tica (referindo-se a rela¸˜o u a ca entre Q e R assim como a representa¸˜o decimal e a representa¸˜o geom´trica ca ca e dos reais). O livro cont´m os temas cl´ssicos de fun¸˜es de uma vari´vel com e a co a uma exposi¸˜o muito clara, complementada com bastantes exemplos e exerc´ ca ıcios. Alguns temas menos habituais aparecem ao longo deste volume, como o estudo das desenvolvimentos assimpt´ticos ou a deﬁni¸˜o das fun¸˜es trigonom´tricas a o ca co e partir da no¸˜o de comprimento de arco. ca Grupo de trabalho T3-Portugal APM. (1999) Estat´ ıstica e Calculadoras Gr´ﬁcas. a Grupo de trabalho T3-Portugal APM. Lisboa: APM Esta publica¸˜o cont´m actividades sobre Estat´ ca e ıstica, redigidas tendo em vista uma poss´ ıvel utiliza¸˜o na sala de aula; cont´m ainda coment´rios sobre ca e a as actividades e propostas de resolu¸˜o das mesmas. ca Grupo de trabalho T3-Portugal APM(1999). Geometria com Cabri-G´om`tre. Lise e boa:APM. Esta publica¸˜o cont´m actividades de geometria para utiliza¸˜o na sala de ca e ca aula utilizando o programa de geometria dinˆmica Cabri-G´om`tre II; essas aca e e tividades s˜o graduadas de modo que se tenha um dom´ a ınio progressivo do programa a partir dos procedimentos mais elementares. Os conceitos matem´ticos a envolvidos nas actividades incluem elementos de geometria plana, fractais, c´nicas, o transforma¸˜es geom´tricas e geometria anal´ co e ıtica. Grupo de trabalho T3-Portugal APM. (1999). Modela¸˜o no Ensino da Matem´tica ca a - Calculadora, CBL e CBR. Lisboa: APM. Esta publica¸˜o cont´m actividades de modela¸˜o matem´tica para utiliza¸˜o ca e ca a ca na sala de aula; umas actividades s˜o facilmente realizadas com a ajuda de uma a calculadora gr´ﬁca e as outras necessitam da utiliza¸˜o de sensores para recolha de a ca dados experimentais; s˜o inclu´ a ıdos coment´rios e resolu¸˜es das actividades. Os a co conceitos matem´ticos envolvidos nas actividades incluem fun¸˜es deﬁnidas por a co ramos, regress˜o, optimiza¸˜o, fun¸˜es exponenciais e trigonom´tricas e fun¸˜o a ca co e ca


Artes Mião: 2010\nToda a equipa do Artes Mião deseja-lhe uma óptima passagem de ano e um espétacular ano de 2011! Um especial obrigado a todos aqueles que contribuiram para a nossa causa!\nPublicada por Ana Luisa Alves à(s) 10:17 Sem comentários:\n"Pato 'Tur" (porta-chaves)\nPublicada por Artes Mião à(s) 18:45 Sem comentários:\nPublicada por Artes Mião à(s) 21:39 Sem comentários:\nPublicada por Artes Mião à(s) 20:00 1 comentário:\nPublicada por Artes Mião à(s) 19:38 Sem comentários:\nDescrição: Grandes dimensões, em tecido, com enchimento de esferovite e alguns pormenores\n(VENDIDA. Poderá encomendar uma semelhante, no entanto não é certo que seja com o mesmo padrão de tecido)\nPublicada por Artes Mião à(s) 17:02 Sem comentários:\nAmigos do Artes Mião, a ASAAST estará a recolher ração e outros bens na porta do Continente de Valongo no próximo dia 4/12, das 10h às 23h.\nA associação está sem ração, como tal, o vosso donativo é de extrema importância.\nDivulguem pelos vossos contactos por favor e, se puderem, ajudem!\nPara qualquer esclarecimento: asaastirso@gmail.com\nCom esta iniciativa a ASAAST recolheu cerca de 800 kg de ração!\nPublicada por Helena Pereira à(s) 14:26 Sem comentários:\nPublicada por Artes Mião à(s) 00:32 Sem comentários:\nO Natal está a chegar! Vamos Ajudar!\nOlá amigos do Artes Mião!\nAjudem-nos a divulgar o blog, afixando esta imagem em locais públicos para conseguirmos proporcionar um Natal mais feliz aos peludinhos da ASAAST!\nPublicada por Artes Mião à(s) 09:07 1 comentário:\nAmostra de Artigos 8\n"Anéis Rosa" - 2 miãos (cada)\n"Anéis Vermelhos" - 2 miãos (cada)\n"Patona" (suporte para pulseiras) - 7,5 miãos\n"Mocho Lápis" - 6 miãos\n"Kitty" (pin) - 4 miãos\nPublicada por Ana Luisa Alves à(s) 12:17 Sem comentários:\nEtiquetas: aneis, feltro\nAdopção Bem Sucedida!\nA adopção do gatinho siamês já foi conseguida!\nPublicada por Ana Luisa Alves à(s) 22:00 Sem comentários:\nRecebemos um email com um pedido de ajuda para a adopção urgente de um gatinho siamês de um mês. O gatinho já come sozinho e já está ensinado a usar a caixinha de areia.\nTemos disponibilidade para entregar o gatinho nas seguintes cidades do país:\n-Macedo de Caveleiros\nSe souberem de alguém que esteja interessado, por favor contactem-nos!\nPublicada por Artes Mião à(s) 19:18 1 comentário:\nAmostras de Artigos 2\nAqui estão mais algumas coisinhas:\n"Teddy Panda" (pendente porta-chaves) - 4 miãos\n"Estrela Feliz" - 2,5 miãos\n"Morango Infeliz" - 2,5 miãos\n"Apple Smile" (pendente porta-chaves) - 2,5 miãos\nPublicada por Ana Luisa Alves à(s) 17:05 Sem comentários:\nAmostras de Artigos - 1\n"Árvore de Feltro" - 7 miãos\n"Cócó Sorridente" (pendente porta-chaves) - 3,5 miãos\n"Gota de Sangue" (pendente porta-chaves) - 2,5 miãos\n"Dentinho" (pendente porta-chaves) - 2,5 miãos\nPublicada por Ana Luisa Alves à(s) 14:29 Sem comentários:\nEste projecto está ainda no início, mas esperamos em pouco tempo conseguir reunir um grande número de seguidores, que nos ajudem a atingir os nossos objectivos.\nNeste blog, para além de poderem comprar os nossos artigos, iremos também divulgar todo o processo que está patente num projecto tão ambicioso como este.\nPara começar, será necessário estabelecer quais as associações a que vamos fazer chegar a ração angariada. Pedimos por isso a quem passe por este cantinho do ciberespaço, que divulgue o nosso blog e que sugira associações da zona norte do país (Braga, Porto, Vila Real, Bragança e Viana do Castelo) que precisem de ajudas como a nossa.\nPublicada por Ana Luisa Alves à(s) 13:55 1 comentário: