Capitolo 1 Applicazione di tecniche di identificazione\nCapitolo 1 Identificazione di modelli da dati simulati\t5\n1 Primo esercizio\t5\n1.1 Uscita es1_y1\t6\n1.1.1 Ordine a priori\t6\n1.1.2 Identificazione con modelli ARX\t6\n1.1.2.1 Costruzione dei modelli\t7\n1.1.2.2 Analisi sui dati di identificazione\t7\n1.1.2.3 Validazione dei modelli migliori\t9\n1.1.2.4 Migliore modello ARX e conclusioni\t9\n1.1.3 Identificazione con modelli ARMAX\t9\n1.1.3.1 Costruzione dei modelli\t10\n1.1.3.2 Analisi sui dati di identificazione\t10\n1.1.3.3 Validazione dei modelli migliori\t12\n1.1.3.4 Migliore modello ARMAX e conclusioni\t12\n1.1.4 Confronto fra ARX e ARMAX: migliore modello per la coppia es1_u,es1_y1\t12\n1.1.5 Identificazione con modelli ARX utilizzando tecnica RLS\t13\n1.2 Uscita es1_y5\t15\n1.2.1 Ordine a priori\t15\n1.2.2 Identificazione con modelli ARX\t15\n1.2.2.1 Costruzione dei modelli\t15\n1.2.2.2 Analisi sui dati di identificazione\t16\n1.2.2.3 Validazione dei modelli migliori\t18\n1.2.2.4 Migliore modello ARX e conclusioni\t18\n1.2.3 Identificazione con modelli ARMAX\t18\n1.2.3.1 Costruzione dei modelli\t18\n1.2.3.2 Analisi sui dati di identificazione\t19\n1.2.3.3 Validazione dei modelli migliori\t20\n1.2.3.4 Migliore modello ARMAX e conclusioni\t20\n1.2.4 Confronto fra ARX e ARMAX: migliore modello per la coppia es1_u,es1_y5\t20\n1.3 Confronto fra l’identificazione con es1_y1 e quella con es1_y5: considerazioni sugli effetti del rumore\t21\n2 Secondo esercizio\t21\n2.1 Uscita es2_y1\t21\n2.1.1 Ordine a priori\t21\n2.1.2 Identificazione con modelli ARX\t21\n2.1.2.1 Costruzione dei modelli\t21\n2.1.2.2 Analisi sui dati di identificazione\t22\n2.1.2.3 Validazione dei modelli migliori\t23\n2.1.2.4 Migliore modello ARX e conclusioni\t23\n2.1.3 Identificazione con modelli ARMAX\t24\n2.1.3.1 Costruzione dei modelli\t24\n2.1.3.2 Analisi sui dati di identificazione\t24\n2.1.3.3 Validazione dei modelli migliori\t26\n2.1.3.4 Migliore modello ARMAX e conclusioni\t26\n2.1.4 Confronto fra ARX e ARMAX:migliore modello per la coppia es2_u, es2_y1\t26\n2.2 Uscita es2_y5\t26\n2.2.1 Ordine a priori\t26\n2.2.2 Identificazione con modelli ARX\t26\n2.2.2.1 Costruzione dei modelli\t26\n2.2.2.2 Analisi sui dati di identificazione\t27\n2.2.3 Identificazione con modelli ARMAX\t28\n2.2.3.1 Costruzione dei modelli ARMAX\t28\n2.2.3.2 Analisi sui dati di identificazione\t29\n2.2.3.3 Validazione dei modelli migliori\t32\n2.2.3.4 Migliore modello ARMAX e conclusioni\t32\n2.2.4 Confronto fra ARX e ARMAX: migliore modello per la coppia es2_u, es2_y5\t32\n2.3 Confronto fra l’identificazione con es2_y1 e quella con es2_y5: considerazioni sugli effetti del rumore\t32\n3 Terzo esercizio\t33\n3.1 Uscita es3_y1\t33\n3.1.1 Ordine a priori\t33\n3.1.2 Identificazione con modelli ARX\t33\n3.1.2.1 Costruzione dei modelli\t33\n3.1.2.2 Analisi sui dati di identificazione\t34\n3.1.2.3 Validazione dei modelli migliori\t34\n3.1.2.4 Migliore modello ARX e conclusioni\t34\n3.1.3 Identificazione con modelli ARMAX\t35\n3.1.3.1 Costruzione dei modelli\t35\n3.1.3.2 Analisi sui dati di identificazione\t35\n3.1.4 Confronto fra ARX e ARMAX: migliore modello per la coppia es3_u, es3_y1\t35\n3.2 Uscita es3_y5\t35\n3.2.1 Ordine a priori\t35\n3.2.2 Identificazione con modelli ARX\t36\n3.2.2.1 Costruzione dei modelli\t36\n3.2.2.2 Analisi sui dati di identificazione\t36\n3.2.2.3 Validazione dei modelli migliori\t36\n3.2.2.4 Migliore modello ARX e conclusioni\t37\n3.2.3 Identificazione con modelli ARMAX\t37\n3.2.3.1 Costruzione dei modelli\t37\n3.2.3.2 Analisi sui dati di identificazione\t37\n3.2.4 Confronto fra ARX e ARMAX: migliore modello per la coppia es3_u, es3_y5\t38\n3.3 Confronto fra l’identificazione con es3_y1 e quella con es3_y5: considerazioni sugli effetti del rumore\t38\n4 Quarto esercizio\t39\n4.1 Uscita es4_y1\t39\n4.1.1 Ordine a priori\t39\n4.1.2 Identificazione con modelli ARX\t39\n4.1.2.1 Costruzione dei modelli\t39\n4.1.2.2 Analisi sui dati di identificazione\t39\n4.1.3 Identificazione con modelli ARMAX\t41\n4.1.3.1 Costruzione dei modelli\t41\n4.1.3.2 Analisi dei modelli sui dati di identificazione\t42\n4.1.3.3 Validazione dei modelli migliori\t44\n4.1.3.4 Migliore modello ARMAX e conclusioni\t44\n4.1.4 Confronto fra ARX e ARMAX: migliore modello per la coppia es4_u, es4_y1\t44\n4.2 Uscita es4_y5\t44\n4.2.1 Ordine a priori\t44\n4.2.2 dentificazione con modelli ARX\t45\n4.2.2.1 Costruzione dei modelli\t45\n4.2.3 Identificazione con modelli ARMAX\t45\n4.2.3.1 Costruzione dei modelli\t45\n4.2.3.2 Analisi sui dati di identificazione\t46\n4.2.3.3 Validazione dei modelli migliori\t48\n4.2.3.4 Migliore modello e conclusioni\t48\n4.2.4 Confronto fra ARX e ARMAX: migliore modello per la coppia es4_u, es4_y5\t48\n4.3 Confronto fra l’identificazione con es4_y1 e quella con es4_y5: considerazioni sugli effetti del rumore\t49\n5 Quinto esercizio\t49\n5.1 Uscita es5_y1\t49\n5.1.1 Ordine a priori\t49\n5.1.2 Identificazione con modelli ARX\t49\n5.1.2.1 Costruzione dei modelli\t49\n5.1.2.2 Analisi sui dati di identificazione\t50\n5.1.2.3 Validazione dei modelli migliori\t51\n5.1.2.4 Migliore modello ARX e conclusioni\t51\n5.1.3 Identificazione con modelli ARMAX\t51\n5.1.3.1 Costruzione dei modelli\t51\n5.1.3.2 Analisi sui dati di identificazione\t52\n5.1.3.3 Validazione dei modelli migliori\t52\n5.1.3.4 Migliore modello ARMAX e conclusioni\t52\n5.1.4 Confronto fra ARX e ARMAX: migliore modello per la coppia es5_u, es5_y1\t53\n5.2 Uscita es5_y5\t53\n5.2.1 Ordine a priori\t53\n5.2.2 Identificazione con modelli ARX\t53\n5.2.2.1 Costruzione dei modelli\t53\n5.2.2.2 Analisi sui dati di identificazione\t54\n5.2.2.3 Validazione dei modelli migliori\t55\n5.2.2.4 Migliore modello ARX e conclusioni\t55\n5.2.3 Identificazione con modelli ARMAX\t56\n5.2.3.1 Costruzione dei modelli\t56\n5.2.3.2 Analisi sui dati di identificazione\t56\n5.2.3.3 Validazione dei modelli migliori\t57\n5.2.3.4 Migliore modello ARMAX e conclusioni\t57\n5.2.4 Confronto fra ARX e ARMAX: migliore modello per la coppia es5_u, es5_y5\t58\n5.3 Confronto fra l’identificazione con es5_y1 e quella con es5_y5: considerazioni sugli effetti del rumore\t58\nCapitolo 2 Identificazione di un sistema reale mediante approccio “black box”\t59\n1 Struttura del sistema di acquisizione: problematiche, scelte operative\t59\n1.1 Scelta del tempo di campionamento\t60\n1.1.1 Risposta in frequenza del filtro, diagrammi di Bode\t60\n1.1.2 Banda passante B3 e scelta del tempo di campionamento\t62\n2 Identificazione dei modelli sui dati raccolti\t62\n2.1 Frequenza di campionamento fc = 400 Hz\t63\n2.1.1 Studio della complessità a priori\t63\n2.1.2 Costruzione dei modelli e prima analisi\t63\n2.1.3 Analisi sui dati di identificazione\t63\n2.1.4 Validazione dei modelli\t64\n2.1.5 Risultati e conclusioni\t65\n2.2 Frequenza di campionamento fc = 600 Hz\t66\n2.2.1 Studio della complessità a priori\t66\n2.2.2 Costruzione dei modelli e prima analisi\t66\n2.2.3 Analisi sui dati di identificazione\t66\n2.2.4 Validazione dei modelli\t68\n2.2.5 Risultati e conclusioni\t69\n2.3 Frequenza di campionamento fc = 800 Hz\t70\n2.3.1 Studio della complessità a priori\t70\n2.3.2 Costruzione dei modelli e prima analisi\t70\n2.3.3 Analisi sui dati di identificazione dei modelli\t70\n2.3.4 Validazione dei modelli\t72\n2.3.5 Modelli ARMAX\t73\n2.3.6 Risultati e conclusioni\t73\n3 Conclusioni\t74\nCapitolo 3 Rosenbrock: State space and Multivariable theory\t75\n1 Equazioni in spazio di stato\t75\n1.1 System matrix\t76\n2 Generalizzazione della rappresentazione in spazio di stato\t77\n2.1 Definizione di ordine di un sistema\t80\n2.2 System matrix polinomiale\t81\n3 Trasformazioni di system matrix\t82\n3.1 Sistemi strettamente equivalenti\t82\n3.2 Sistemi simili\t85\n3.3 Equivalenza di sistema\t86\n4 Riduzione dell’ordine e decoupling zeros\t89\n5 Matrici polinomiali relativamente prime e definizione di ordine minimo\t96\n6 Numero degli zeri di disaccoppiamento\t98\n7 Riduzione delle equazioni in spazio di stato\t98\n7.1 Decomposizione in spazio di stato\t99\n8 Proprietà dei sistemi di ordine minimo\t101\n8.1 Forma standard per sistemi simili\t101\n8.2 Indici minimi\t104\n8.3 Forma standard per sistemi strettamente equivalenti\t105\n8.4 Ordine minimo e matrice di trasferimento\t108\n9 Identificazione dei sistemi\t109\n10 Appendice\t111\n10.1 Dimostrazione teorema 2\t111\n10.2 Dimostrazione teorema 8\t111\n10.3 Altre condizioni equivalenti per il teorema 10\t112\n10.4 Algoritmo di riduzione delle equazioni in spazio di stato\t113\n10.5 Algoritmo di decomposizione in spazio di stato\t115\n10.6 Dimostrazione teorema 18\t116\nCapitolo 1Identificazione di modelli da dati simulati\nQuesta prima parte consta di 5 esercizi relativi a 5 diversi set di coppie ingresso-uscita prodotte tramite simulazione da opportuni modelli, ai quali dobbiamo risalire mediante l’identificazione. In ciascun set è presente un vettore di ingresso indicato con esx_u (x individua l’esercizio considerato) e due vettori che rappresentano le uscite misurate con diversi livelli di rumore: dell’1% per i vettori del tipo esx_y1 e del 5% per i vettori indicati con esx_y5.\nL’identificazione che effettueremo viene detta parametrica perché, una volta stabilite le famiglie di modelli da considerare, ciascun modello all’interno della famiglia è individuato quando sono noti i parametri che lo caratterizzano. Noi limiteremo la nostra attenzione alle famiglie arx e armax.\nNel primo esercizio vengono illustrati dettagliatamente i vari passi della procedura di identificazione, le scelte che si pongono nel confronto fra i vari modelli possibili e le funzioni utilizzate a tali scopi. In questo modo negli esercizi successivi possiamo limitarci a presentare i dati ottenuti, seguiti da brevi considerazioni.\nIn questo paragrafo vengono descritti in modo approfondito i vari passi della procedura e si sottolinea il significato dei diversi indici di valutazione che ci permettono di stabilire quanto un modello sia migliore di un altro (fpe, j(theta), bianchezza dei residui, incertezza sui parametri identificati, ecc).\nLe 4 tappe fondamentali della procedura di identificazione sono:\nscelta della famiglia dei modelli\nscelta del miglior modello\nPer ciò che concerne la raccolta dati, si osservi che, secondo i contesti, la problematica può assumere connotati assai differenziati. Vi sono situazioni in cui si può progettare l’esperimento di raccolta dati, altre in cui non è possibile. In questo caso, non c’è stata da parte nostra nessuna progettazione dell’esperimento, in quanto, i dati sono stati prima ricavati tramite simulazione e poi fornitici per la loro successiva elaborazione.\nIl punto critico della procedura è il b), perché nell’approccio black-box non possiamo sapere a priori se la famiglia scelta sia quella “corretta”, al massimo è possibile avere un’indicazione su un ordine nell’intorno del quale dovremo effettuare la nostra ricerca. Si tratta quindi di scegliere a partire da questa informazione, che si chiama, appunto, “ordine a priori”, una famiglia di modelli per poi\ncostruire i modelli ARX o ARMAX, la cui complessità varia in un intorno di quella determinata tramite l’ordine a priori;\npassare al punto c) e determinare il miglior modello all’interno della famiglia scelta utilizzando algoritmi di minimizzazione dell’errore di predizione\nleast square (LS) per i modelli ARX ;\nmaximum likelihood (ML) per i modelli ARMAX;\nanalizzare i risultati ottenuti e valutare se sia il caso di tornare al punto b) per sceglier una famiglia di modelli più appropriata.\nNella fase d) viene effettuata la cross-validazione e non la validazione in senso stretto, per effettuare la quale dovremmo poter confrontare il modello ottenuto col meccanismo di generazione dei dati. Questo punto consisterà, quindi, nel testare le capacità predittive del modello sulla porzione dei dati cui non si è ricorsi in fase di identificazione: le nostre coppie ingresso uscita sono, infatti, vettori di 5000 elementi; identificheremo i modelli a partire dai primi 2500 valori e utilizzeremo i restanti per la validazione.\nSe si disponesse di risorse di calcolo limitate i punti a),b),c),d) andrebbero ripetuti in più iterazioni: al termine di ogni iterazione è fondamentale individuare quelle grandezze del modello identificato che sono una spia di una complessità eccessiva o viceversa di un modello troppo povero, in modo da poter ripetere il passo c) con una famiglia più appropriata. Poiché si è notato che le procedure ARX e ARMAX non risultano gravose, dal punto di vista computazionale, per il sistema di calcolo adottato si è deciso di effettuare i passi b) e c) parallelamente per un insieme di modelli la cui complessità varia nell’intorno di quella individuata dall’ordine a priori.\nConsideriamo la prima coppia di vettori ingresso uscita: es1_u ed es1_y1: come abbiamo anticipato y1 sta ad indicare che all’uscita è sovrapposto un rumore 100 volte più piccolo rispetto al segnale utile.\nPrenderemo prima in considerazione i modelli ARX (paragrafo 1.1.1), poi gli ARMAX (paragrafo 1.1.2) e infine confronteremo il miglior modello per ciascuna delle due famiglie per determinare se passando ad una struttura più complessa come quella degli ARMAX si siano ottenuti dei miglioramenti.\n1.1.1Ordine a priori\nPer evitare di vagliare tutte le possibili combinazioni della terna si ricorre alla “valutazione dell’ordine a priori” che restituisce un valore indicativo di n nell’intorno del quale limitare l’escursione dei vari : se ad esempio l’ordine a priori risulta essere n* cominceremo esaminando arx(n*,n*,1) e analizzando i risultati ottenuti ci muoveremo verso arx(n*-1,n*-1,1),arx(n*,n*-1,1), ecc o verso gli arx(n*+1,n*+1,1) ,arx(n*+1,n*,1) ecc sostituendo anche nk=2,3.. quando lo ritenessimo opportuno.\nAlla base della procedura per la valutazione di n* vi sono le seguenti osservazioni:\nchiedere che per ogni valore di t la y(t) possa essere messa nella forma\nequivale a chiedere che la matrice sia singolare, in quanto la prima colonna deve essere combinazione lineare delle precedenti;\nin realtà non si avrà mai una perfetta dipendenza lineare e quindi non si avrà mai singolarità, dobbiamo quindi accontentarci di arrivare ad una matrice vicina alla singolarità;\nuna buona misura della distanza dalla singolarità è fornita dall’autovalore minimo della matrice stessa;\ncalcolando quindi per ogni n l’autovalore minimo, l’ordine a priori n* sarà quello per il quale:\nl’autovalore minimo ha un valore sufficientemente prossimo allo zero;\nla diminuzione ottenuta aumentando n di una unità è molto minore della diminuzione avutasi pervenendo ad n*.\nL’andamento indicato in figura ci suggerisce che l’ordine a priori sia 3\n1.1.2Identificazione con modelli ARX\nArx indica che l’uscita si compone di un termine autoregressivo e di uno esogeno, ovvero dipendente da un ingresso esterno:\ndove w(t) prende il nome di residuo di equazione: è l’errore commesso dal predittore associato al modello e, in questo caso, è un rumore bianco a valore atteso nullo.\nLa funzione del “system identification toolbox” di Matlab che restituisce i parametri con le relative incertezze è arx([y u],[na nb nk]): per utilizzarla è necessario quindi conoscere gli ordini dei vari termini nella (*) nonché il ritardo fra ingresso e uscita.\n1.1.2.1Costruzione dei modelli\nIniziamo quindi a identificare i modelli nell’intorno dell’ordine 3, riportando i due parametri che ci permettono immediatamente di scartare i modelli con grosse anomalie , ovvero\nl’incertezza sui coefficienti, che abbiamo estratto dalla matrice di covarianza dei coefficienti, restituitaci dalla funzione arx([y u],[na nb nk]) come una sottomatrice della matrice theta;\nil test di Anderson, che ci dice quanto sia “imprevedibile” e quindi privo di dinamica l’errore di predizione; nel toolbox di identificazione è presente solo una funzione che plotta l’autocorrelazione dei residui (la funzione resid) quindi abbiamo implementato la funzione Anderson(errore) secondo il seguente iter: si calcola prima lo scarto fra uscita predetta e uscita effettiva (errore di predizione) e poi la funzione di autocorrelazione di tale segnale; infine si contano i punti di tale funzione che cadono fuori da un determinato intervallo di confidenza; tale numero di punti è il valore restituito dalla funzione Anderson(errore). I valori in tabella fanno riferimento ad una soglia dell’1% e ad un numero di campioni pari a 25.\nNotando che il miglior modello fra quelli presentati ,arx(4,3,1), presenta un’incertezza del 20% sul coefficiente a2 si potrebbe pensare di diminuire il grado del polinomio A, passando al seguente modello:\nCome vediamo, però, si dimezza l’incertezza ma il test di Anderson passa da 0 punti a 5 punti sopra la soglia, quindi anche questo modello va scartato\n1.1.2.2Analisi sui dati di identificazione\nDai dati in tabella deduciamo che i modelli evidenziati in verde sono troppo complessi perché presentano uno o più parametri completamente indeterminati, mentre i modelli evidenziati in giallo risultano troppo poveri in quanto restituiscono un errore di predizione troppo colorato.\nPer questo sottoporremo ad ulteriore analisi i soli modelli arx(4,3,1) e arx(2,2,2) considerando per ciascuno di questi modelli anche le seguenti grandezze:\nloss fcn: l’elemento in posizione 1,1 nella matrice theta restituitaci dalla procedura arx; è la funzione che viene minimizzata per trovare l’insieme dei parametri che aderisce meglio ai dati di identificazione (errore quadratico medio); per i modelli in questione otteniamo i seguenti valori;\nAkaike’s Fpe: è l’elemento theta(2,1) ed ha una rilevanza maggiore di loss fcn che cresce in modo monotono con l’ordine; fpe invece raggiunge un minimo in corrispondenza del modello che su considerazioni statistiche è ritenuto il migliore e torna poi a crescere, indicando che oltre una certa complessità si inizia a modellare il rumore contenuto nei dati (overfitting); saranno quindi migliori i modelli con fpe minore;\nandamento grafico dell’autocorrelazione dei residui, che ci da più informazioni rispetto al test di Anderson: possiamo conoscere non solo il numero di punti che cadono fuori dall’intervallo di confidenza, ma anche di quanto ed in che modo;\nandamento grafico dell’uscita predetta, confrontata con l’uscita osservata;\nvalori di tutti i coefficienti e delle relative incertezze: nell’analisi iniziale abbiamo infatti considerato solo l’incertezza massima al fine di escludere i modelli completamente indeterminati, ma per avere una visione d’insieme è importante considerare tutti i coefficienti; ad esempio abbiamo ritenuto valido il modello arx(4,3,1) perché ha un’incertezza massima del 20% confinata ad un solo coefficiente, mentre tutti gli altri restano piuttosto determinati: non avremmo potuto fare lo stesso se si fosse avuta un’incertezza diffusa del 20% su tutti i polinomi del modello;\npoli e zeri e relative incertezze, per escludere i modelli instabili o con cancellazione poli-zeri e per vedere come l’incertezza sui coefficienti si traduce in incertezza su poli e zeri del modello identificato (non tutti i coefficienti hanno lo stesso peso nel determinare le radici di un polinomio).\nSi è considerato questo modello, nonostante l’elevata incertezza sui coefficienti, perché si è cercato di descrivere la dinamica contenuta nei dati con un modello a bassa complessità. Dall’analisi dei risultati ottenuti (fitting, cross-correlazione) risulta evidente che l’arx(2,2,2) non è soddisfacente.\nValori dei coefficienti e relative incertezze\nA =1 -4.2203e-1 -3.6152e-1\n0 1.7938e-1 1.5115e-1\nB =0 0 5.1283e-1 1.3291e-1\n0 0 9.0549e-2 5.4816e-2\nincertezza max relativa 41.9%\nincertezza max assoluta 0.18\nLoss fcn: 0.5511\nAutocorrelazione dei residui e Crosscorrelazione fra errore di predizione e ingresso\nConfronto tra uscita predetta e uscita osservata\nQuesto modello dimostra di poter predire l’uscita osservata, come si può vedere dal grafico del fitting e dai valori di loss fcn ed FPE che sono inferiori di 3 ordini di grandezza rispetto a quelli dell’arx(2,2,2).\nA =1 7.3052e-2 -7.6452e-1 -8.7754e-2 9.3776e-2\n0 1.5250e-2 8.4059e-3 6.6167e-3 2.5362e-3\nB =0 5.0008e-1 7.5669e-1 2.7444e-1\n0 1.9943e-4 7.6277e-3 6.8512e-3\nincertezza max relativa 2.5%\nincertezza max assoluta 0.015\nLoss fcn: 0.00021491\nAutocorrelazione dei residui e Crosscorrelazione fra errore e ingresso sui dati di identificazione\nConfronto tra uscita predetta e uscita utilizzata per l’identificazione\n1.1.2.3Validazione dei modelli migliori\nLa cross-validazione consiste nel ripetere il test di Anderson, il confronto tra uscita predetta e uscita osservata ed il calcolo dell’errore quadratico medio su un set di dati diversi da quelli utilizzati per l’identificazione. I dati utilizzati sono quindi le coppie es1_u(2501:5000), es1_y1(2501:5000).\nDa quanto detto nel paragrafo precedente l’unico modello che sottoporremo a questa ulteriore analisi è l’arx(4,3,1).\nUn solo punto cade fuori dall’intervallo di confidenza del test di Anderson ma l’andamento grafico ci indica che è proprio al limite della soglia dell’1% quindi l’errore di predizione sui dati di validazione può essere ritenuto bianco.\nIl modello è in grado di seguire l’uscita osservata anche sui dati di validazione: questo è dimostrato dal fitting e dall’errore quadratico medio che vale 2.1957e-4.\nAutocorrelazione dei residui e Crosscorrelazione fra errore e ingresso sui dati di validazione\nConfronto tra uscita predetta e uscita utilizzata per la validazione\n1.1.2.4Migliore modello ARX e conclusioni\nDai paragrafi precedenti risulta che arx(4,3,1) ha un ottimo comportamento sia sui dati di identificazione che su quelli di validazione; l’unico dubbio poteva riguardare l’incertezza del 20% sul coefficiente a2, ma abbiamo osservato quanto segue:\ngli altri coefficienti del polinomio A e quelli del polinomio B risultano invece sufficientemente definiti;\nil fatto che l’incertezza sia confinata ad un solo coefficiente si traduce in una mappa poli-zeri molto definita, con un’incertezza massima pari al 2.5%;\nse ritenessimo inaccettabile una deviazione del 20% per il coefficiente a2 e scendessimo di un grado nel polinomio A perverremmo all’arx(4,2,1) che ha un’incertezza massima sui coefficienti del 9.5% ma risulta inaccettabile sotto tutti gli altri punti di vista.\nQuesto permette di affermare che l’arx(4,3,1) è il miglior modello nella famiglia degli ARX.\n1.1.3Identificazione con modelli ARMAX\nArmax indica che oltre al termine autoregressivo e a quello esogeno presenti anche nell’arx,nell’uscita è presente anche un termine a media mobile :\ninfatti il residuo di equazione w(t) è un errore colorato, ovvero presenta esso stesso una dinamica:\nLa funzione del “system identification toolbox” di Matlab che restituisce i parametri con le relative incertezze è armax([y u],[na nb nc nk]): per utilizzarla è necessario quindi conoscere gli ordini dei vari termini nella (*) nonché il ritardo fra ingresso e uscita.\nPoiché il modello ARX(4,3,1), ricavato nel paragrafo precedente, ha mostrato un ottimo comportamento indirizziamo la ricerca di un modello ARMAX al conseguimento di uno dei seguenti vantaggi:\nprestazioni superiori all’arx(4,3,1);\nnumero dei parametri da identificare minore di 7;\nnumero dei poli inferiore di 3 e quindi dinamica finale del modello più semplice.\n1.1.3.1Costruzione dei modelli\nSulla base dell’identificazione effettuata per gli ARX costruiamo un insieme di modelli ARMAX nell’intorno dell’ordine 3.\nProvando con nk=2 l’unico modello che non risulta completamente indeterminato è l’armax(3,2,2,2), la cui incertezza pari al 50% è comunque troppo alta.\nI modelli evidenziati in giallo presentano un errore di predizione troppo colorato e risultano quindi troppo semplici.\n1.1.3.2Analisi sui dati di identificazione\nIl modello ha un errore di predizione che non può essere considerato bianco, però presenta una bassa complessità e piccola incertezza.\nA =1 -5.5816e-1 -4.0372e-1 1.5534e-1\n0 2.0844e-3 2.6007e-3 7.8896e-4\nincertezza max relativa 0.04%\nincertezza max assoluta\nLoss fcn: 0.00022299 FPE: 0.00022443\nB = 0 4.9991e-1 4.4125e-1\n0 2.0244e-4 1.1740e-3\nC =1 -6.6728e-1 3.6118e-1 -1.6563e-1\n0 1.9838e-2 2.2728e-2 1.9821e-2\nA =1 -5.5940e-1 -4.0222e-1 1.5495e-1\n0 2.1140e-3 2.6354e-3 7.9787e-4\nLoss fcn: 0.00022138\nB =0 4.9998e-1 4.4053e-1\n0 2.0201e-4 1.1917e-3\nC =1 -6.6678e-1 3.7974e-1 -2.1442e-1 8.4909e-2\n0 2.0067e-2 2.3669e-2 2.3627e-2 2.0018e-2\nRispetto ai due modelli precedenti presenta un aumento dell’incertezza sui coefficienti (dallo 0.04% al 15%).\nNonostante l’aumento del grado del polinomio B non si notano miglioramenti nella funzione di correlazione dei residui.\nA =1 -5.2783e-1 -4.3053e-1 1.5656e-1\n0 4.9130e-3 4.6606e-3 7.8335e-4\nB =0 5.0001e-1 4.5633e-1 8.5049e-3\n0 2.0144e-4 2.4987e-3 1.2822e-3\nincertezza max relativa 15%\nLoss fcn: 0.00021943\nC = 1 -6.3053e-1 3.2613e-1 -1.4938e-1\n0 2.0303e-2 2.2871e-2 1.9967e-2\nIl modello ha un errore di predizione che può essere considerato bianco; però presenta un aumento dell’incertezza rispetto ai modelli precedenti.\nA =1 -5.3056e-1 -4.2780e-1 1.5617e-1\n0 5.0089e-3 4.7695e-3 7.9637e-4\nincertezza max relativa 15.9%\nB =0 5.0000e-1 4.5497e-1 7.9792e-3\n0 2.0070e-4 2.5585e-3 1.2870e-3\nC =1 -6.3157e-1 3.4177e-1 -1.8769e-1 7.0129e-2\n0 2.0554e-2 2.3752e-2 2.3550e-2 2.0109e-2\n1.1.3.3Validazione dei modelli migliori\nDai dati di identificazione risulta che il miglior modello è armax(3,2,3,1) che non supera in modo rigoroso il test di Anderson ma presenta comunque un buon fpe, la minore incertezza, la minore complessità e buone capacità di predizione dato che il fit è la metà di quelli di tutti gli altri. Procediamo quindi alla validazione di questo modello.\nLa correlazione dei residui peggiora lievemente rispetto ai dati di identificazione, ma possiamo ancora considerare l’errore di predizione sufficientemente bianco.\nIl modello è in grado di seguire l’uscita osservata anche sui dati di validazione: questo è dimostrato dal fitting e dall’errore quadratico medio che vale 2.2938e-004 che resta dell’ordine di fpe e loss fcn calcolati sui dati di identificazione.\n1.1.3.4Migliore modello ARMAX e conclusioni\nAnche in fase di validazione il modello armax(3,2,3,1) presenta un fit due volte più piccolo di quello che gli altri modelli restituiscono sui dati di identificazione; gli indici fpe e loss fcn sui dati di validazione sono più o meno quelli che il modello in esame insieme agli altri armax considerati restituivano sui dati di identificazione, quindi anche questo test può ritenersi superato; il test di Anderson peggiora sui dati di validazione, mentre questo non accadeva per gli arx: questo peggioramento è comunque tale (da 2 punti a 3 punti sopra la soglia) che armax(3,2,3,1) può comunque essere ritenuto il migliore fra gli ARMAX.\n1.1.4Confronto fra ARX e ARMAX: migliore modello per la coppia es1_u,es1_y1\nCome abbiamo spiegato nel paragrafo 1.1.3, una volta trovato un buon modello arx ha senso passare a considerare un armax solo se ne traiamo vantaggi in termini di migliori prestazioni, minore complessità (numero di parametri inferiore) o dinamica più semplice. In questo caso arx(4,3,1) ha prestazioni migliori (soprattutto errore rigorosamente bianco sia in identificazione che in validazione, mentre l’armax(3,2,3,1) presenta da 2 a 3 punti sopra la soglia) quindi è senza dubbio il miglior modello per la coppia es1_u, es1_y1. Se tuttavia è esplicitamente richiesta una dinamica semplice, può aver senso considerare anche il modello armax(3,2,3,1).\n1.1.5Identificazione con modelli ARX utilizzando tecnica RLS\nAbbiamo implementato l’algoritmo dei minimi quadrati ricorsivi (RLS) per la costruzione dei modelli ARX. La funzione RLS.m calcola i parametri del modello ARX e le relative deviazioni standard. Applicando questa funzione alla coppia di dati es1_u, es1_y1 eseguiamo un primo test dell’algoritmo e un confronto con il risultato ottenuto tramite la funzione ARX di Matlab, sul modello ARX(4,3,1):\nValori dei coefficienti e relative incertezze:\n0 1.5391e-2 8.4836e-3 6.6779e-3 2.5596e-3\n0 2.0127e-4 7.6982e-3 6.9145e-3\nIn questo caso i parametri del modello sono stati calcolati su un set di 2500 dati e forniscono risultati praticamente coincidenti con quelli della funzione ARX. Passiamo ora a verificare l’algoritmo RLS, sempre sul medesimo modello, eseguendo però un confronto sul comportamento con i due tipi di inizializzazione, rigorosa e convenzionale, e successivamente anche con l’impiego del coefficiente di oblio . Utilizzeremo un set di dati più ristretto, limitato a 250 campioni, per poter visualizzare graficamente più in dettaglio la convergenza dei parametri.\nL’algoritmo è stato inizializzato impiegando i primi 25 campioni. Si nota la convergenza dei parametri, che già con i primi 250 dati, tendono ad assumere valori prossimi a quelli ricavati sull’intero set di 2500.\nA=1 8.3782e-2 -7.6761e-1 -9.3735e-2 9.4742e-2\n0 5.1456e-2 2.8482e-2 2.2704e-2 8.6366e-3\nB =0 5.0039e-1 7.6312e-1 2.7993e-1\n0 8.0166e-4 2.5783e-2 2.3270e-2\nInizializzazione convenzionale: =0.01\nScegliere un valore di  piccolo equivale a considerare la scelta iniziale dei parametri poco incerta, di conseguenza l’algoritmo evolve, dallo stato iniziale assegnato, piuttosto lentamente.\nA =1 -4.3954e-1 -2.2543e-1 -1.0050e-1 4.2959e-3\n0 4.1883e-2 4.2761e-2 4.3482e-2 3.1771e-2\nB = 0 4.0275e-1 3.9400e-1 1.2306e-1\n0 2.4729e-2 2.9441e-2 3.2740e-2\nInizializzazione convenzionale: =0.1\nA =1 -5.3549e-1 -2.6919e-1 -2.7790e-2 4.6458e-2\n0 5.0182e-2 4.8555e-2 4.9509e-2 2.3077e-2\nB =0 4.8980e-1 4.3773e-1 8.1716e-2\n0 1.2331e-2 2.7296e-2 3.0183e-2\nInizializzazione convenzionale: =1\nLa scelta di  grande, significa considerare l’inizializzazione del vettore dei parametri poco attendibile, e l’algoritmo risponde con un’evoluzione più rapida.\nA =1 -6.3668e-1 -2.8148e-1 9.0938e-2 1.4560e-2\n0 6.1957e-2 5.5603e-2 5.4376e-2 2.2021e-2\nB = 0 4.9926e-1 3.9839e-1 5.6679e-3\n0 8.9120e-3 3.2187e-2 3.3527e-2\nRLS adattativo con coefficiente di oblio: =0.95\nL’impiego del coefficiente di oblio limita il peso dell’informazione dei dati passati: l’algoritmo risulta così più reattivo agli ultimi dati. Si noti, però, come a fronte di questa capacità adattativa, ora le stime presentino incertezze maggiori.\nA = 1 1.7592e-1 -8.2439e-1 -1.2046e-1 1.0307e-1\n0 1.6057e-1 8.9943e-2 7.6550e-2 2.8522e-2\nB = 0 4.9606e-1 8.0956e-1 3.1947e-1\n0 3.8206e-3 8.0614e-2 7.4019e-2\nRLS adattativo con coefficiente di oblio: =0.85\nCon  più piccolo diminuisce ulteriormente il peso delle informazioni passate e l’algoritmo diviene ancor più reattivo: ciò comporta una crescita ulteriore delle varianze delle stime dei parametri.\nA =1 2.2550e-1 -8.1865e-1 -1.7966e-1 1.2002e-1\n0 3.3913e-1 2.2189e-1 1.3523e-1 5.1498e-2\nB =0 4.9170e-1 8.3473e-1 3.6452e-1\n0 9.4915e-3 1.7180e-1 1.4213e-1\nQuesto set di dati i/o ha l’ingresso in comune col set precedente, mentre l’uscita è affetta da un errore del 5% mentre es1_y1 era affetta da un errore dell’1%.\n1.2.1Ordine a priori\nL’andamento degli autovalori minimi sembra indicare un ordine n>4 , ma va tenuto conto della presenza del rumore che non permette agli autovalori minimi di scendere troppo vicini allo zero.\nIdentificazione con modelli ARX\n1.2.2.1Costruzione dei modelli\nI modelli con sono indeterminati: questo ci porta a pensare che l’ordine a priori sia 3 e che un primo effetto del rumore al 5% sia l’aumento dell’autovalore minimo nell’ordine 3, inducendoci a riconoscere un ordine sbagliato.\nCercando altri modelli con che non siano indeterminati troviamo l’arx(4,2,1) che quindi rientra nell’insieme dei modelli da analizzare nel prossimo paragrafo:\n1.2.2.2Analisi sui dati di identificazione\nL’ errore di predizione è completamente bianco e la cross-correlazione si mantiene entro la soglia stabilita. I coefficienti dei polinomi sono ben definiti salvo per che ha un incertezza del 21%.\nA =1 7.6190e-2 -7.6149e-1 -9.5315e-2 9.6814e-2\n0 1.6405e-2 8.8462e-3 1.0898e-2 4.1405e-3\nB =0 5.0042e-1 7.5889e-1 2.7885e-1\n0 9.9714e-4 8.2611e-3 8.5121e-3\nincertezza max relativa 8.39%\nLoss fcn: 0.0053722\nSi è sottoposto ad ulteriore analisi questo modello per verificare se i tre punti sopra la soglia fossero al limite della stessa; dal grafico dell’autocorrelazione vediamo, invece, che sono molto sopra la soglia, perciò l’errore di predizione non è bianco ed il modello va scartato\nA =1 -2.3170e-1 -6.7049e-1 1.4804e-1\n0 1.0805e-2 8.7709e-3 3.5795e-3\nB =0 5.0049e-1 6.0544e-1 1.0251e-1\n0 1.1009e-3 5.5429e-3 4.3632e-3\nincertezza max relativa 4.21%\nLoss fcn: 0.0065491\nValgono le stesse considerazioni fatte sul test di Anderson per l’ARX(3,3,1)\nA =1 -4.5291e-1 -5.4364e-1 2.0253e-1\n0 5.8586e-3 7.6381e-3 3.0128e-3\nB =0 4.9991e-1 4.9406e-1\n0 1.2163e-3 3.1739e-3\nincertezza max relativa 0.095%\nincertezza maxa assoluta\nLoss fcn: 0.0079968\nPresenta una correlazione inaccettabile dell’errore di predizione e una grande incertezza su poli e zeri; quindi va scartato\nA =1 -4.3551e-1 -5.7418e-1 2.3853e-1 -2.3321e-2\n0 5.9954e-3 8.0721e-3 4.6190e-3 2.2990e-3\nB =0 5.0016e-1 5.0323e-1\n0 1.1924e-3 3.2398e-3\nincertezza max relativa 307%\nincertezza max assoluta 0.59\nLoss fcn: 0.0076822\n1.2.2.3Validazione dei modelli migliori\nDai dati di identificazione risulta che l’unico modello con prestazioni accettabili è arx(4,3,1).\nLa correlazione dei residui, calcolata sui dati di identificazione, mostra che tutti i punti cadono dentro l’intervallo di confidenza; sui dati di validazione, invece, il test di Anderson segnala un punto sopra la soglia ma dall’andamento grafico deduciamo che l’errore di predizione può ancora essere ritenuto bianco.\nIl modello è in grado di seguire l’uscita osservata anche sui dati di validazione, come dimostra il grafico del fitting.\nL’errore quadratico medio vale 5.4902e-3 ed è quindi dello stesso ordine di loss-fcn ed fpe.\n1.2.2.4Migliore modello ARX e conclusioni\nIl miglior modello è quindi l’ARX(4,3,1) poiché presenta un errore di predizione bianco e una cross-correlazione tra errore e uscita limitata all’interno dell’intervallo di confidenza. Inoltre, come visto nella fase di identificazione, ha dei polinomi con dei coefficienti le cui incertezze sono di almeno 2 ordini di grandezza inferiore. Infine tra gli ARX considerati inizialmente è il modello con fpe più piccolo.\n1.2.3Identificazione con modelli ARMAX\n1.2.3.1Costruzione dei modelli\nDovendo cercare fra molti modelli scegliamo di scartare l’armax(3,3,4,1) e l’armax(4,2,4,1) che pur non essendo completamente indeterminati presentano un’incertezza molto elevata.\nI modelli che, quindi, analizzeremo in maniera più approfondita sono :\nAnalisi sui dati di identificazione\nDei due punti rilevati nel test di Anderson solo uno è marcatamente fuori della soglia all’1% , quindi l’errore di predizione può ritenersi bianco. Il modello ha, inoltre, una cross-correlazione errore-ingresso interamente all’interno dell’intervallo di confidenza e un fitting molto buono.\nA =1 -5.3845e-1 -4.2919e-1 1.6373e-1\n0 9.3402e-3 1.1660e-2 3.5803e-3\nB =0 4.9990e-1 4.5230e-1\n0 9.9723e-4 5.2690e-3\nincertezza max relativa 1.7%\nLoss fcn: 0.0054342 FPE: 0.0054691\nC =1 -6.3686e-1 3.2422e-1 -1.4470e-1\n0 2.1611e-2 2.4880e-2 2.0857e-2\nL’unico punto rilevato dal test di Anderson è abbondantemente fuori dalla soglia, inoltre la cross correlazione errore-ingresso evidenzia due picchi.\nA =1 -4.3509e-1 -5.2048e-1 1.6787e-1\n0 1.6323e-2 1.4938e-2 3.2921e-3\nincertezza max relativa 17%\nLoss fcn: 0.0054787 FPE: 0.0055139\nB = 0 5.0046e-1 5.0329e-1 2.9440e-2\n0 1.0074e-3 8.2633e-3 5.1017e-3\nC =1 -5.2218e-1 1.9721e-1\n0 2.4426e-2 2.2160e-2\nEntrambi i punti rilevati nel test di Anderson sono fuori dalla soglia e la cross-correlazione presenta due picchi in corrispondenza dei campioni 4-6.\nA =1 -4.9885e-1 -4.8626e-1 1.9416e-1 -9.2378e-3\n0 9.2045e-3 1.2251e-2 5.7652e-3 1.9933e-3\nB =0 5.0046e-1 4.7160e-1\n0 1.0094e-3 4.9818e-3\nincertezza max relativa 23.1%\nLoss fcn: 0.0054998 FPE: 0.0055351\nC =1 -5.8288e-1 2.2407e-1\n0 2.0893e-2 2.0792e-2\n1.2.3.3Validazione dei modelli migliori\nDai dati di identificazione risulta che il miglior modello è armax(3,2,3,1) che non supera in modo rigoroso il test di Anderson ma che, a parità di fpe, loss fcn e fitting, ha l’incertezza più piccola e l’unica cross-correlazione accettabile. Procediamo quindi alla validazione di questo modello.\nL’assenza di cross-correlazione fra ingresso e residui si mantiene anche sui dati di validazione, ma l’autocorrelazione peggiora ulteriormente con 3 punti fuori dal test di Anderson.\nL’errore quadratico medio, 5.5966e-003 resta intorno ai valori di loss fcn sui dati di identificazione.\n1.2.3.4Migliore modello ARMAX e conclusioni\nPer il modello armax(3,2,3,1) gli indici fpe e loss fcn sui dati di validazione sono più o meno quelli che il modello in esame insieme agli altri armax considerati restituivano sui dati di identificazione, quindi anche questo test può ritenersi superato; il test di Anderson peggiora sui dati di validazione, mentre questo non accadeva per gli arx: questo peggioramento è comunque tale (da 2 punti a 3 punti sopra la soglia) che armax(3,2,3,1) può comunque essere ritenuto il migliore fra gli ARMAX.\n1.2.4Confronto fra ARX e ARMAX: migliore modello per la coppia es1_u,es1_y5\nValgono le stesse considerazioni fatte nel paragrafo 1.1.4: l’errore di predizione dell’arx(4,3,1) è rigorosamente bianco mentre quello dell’armax(3,2,3,1) no, quindi il miglior modello per il set di dati es1_u, es1_y5 è l’arx(4,3,1).\n1.3Confronto fra l’identificazione con es1_y1 e quella con es1_y5: considerazioni sugli effetti del rumore\nIn entrambe le identificazioni il miglior modello è risultato essere l’ARX(4,3,1); confrontiamo ora i parametri più significativi di entrambe i modelli per cercare di estrapolare gli effetti del rumore sull’identificazione stessa:\nIdentificazione con es1_y1\nIdentificazione con es1_y5\nLoss fcn: 0.00021491, FPE: 0.00021612\nLoss fcn: 0.0053722, FPE: 0.0054024\nerrore quadratico medio: 2.1957e-4.\nerrore quadratico medio: 5.4902e-3\nConfrontando i dati si vede chiaramente come il rumore disturbi la nostra identificazione:\ni coefficienti dei polinomi ottenuti con uscita es1_y5 sono affetti da un’incertezza maggiore (in qualche coefficiente di quasi un ordine di grandezza)\ngli indici delle capacità predittive peggiorano anch’essi di circa un ordine di grandezza.\nCome nell’esercizio precedente, iniziamo considerando la prima coppia di vettori ingresso uscita: es2_u ed es2_y1.\n2.1.1Ordine a priori\nLo studio della complessità a priori, osservando l’andamento indicato in figura, suggerisce la scelta di una complessità 3.\n2.1.2Identificazione con modelli ARX\n2.1.2.1Costruzione dei modelli\nL’andamento degli autovalori minimi sembra indicare che l’ordine sia n=3 , iniziamo quindi a vagliare i seguenti modelli:\nI modelli che possono essere presi in considerazione per incertezze sui parametri accettabili e che quindi sottoporremo ad ulteriori analisi sono: ARX(3,3,2), ARX(2,2,2), ARX(4,3,2), ARX(4,4,2).\n2.1.2.2Analisi sui dati di identificazione\nIl modello presenta piccole incertezze sui coefficienti, ottimi valori per FPE e loss fcn e un buon andamento per la cros-correlazione fra ingresso e residui. L’andamento grafico della correlazione però mostra che i due punti fuori del test di Anderson, sono notevolmente oltre la soglia.\nA =1 1.5204e+0 6.6166e-1 8.6432e-2\n0 7.5665e-4 1.2712e-3 5.7851e-4\nB =0 0 7.0028e-1 -3.1509e-1\n0 0 2.2658e-4 5.7542e-4\nincertezza max relativa 1.5%\nincertezza max assoluta 3.8e-3\nLoss fcn: 7.2779e-4\nE’ presente una forte correlazione fra ingresso e residui, mentre gli altri parametri sono accettabili e simili a quelli dell’arx(3,2,2)\nincertezza max relativa 0.26%\nincertezza max assoluta 1.4e-3\nLoss fcn: 7.234e-3\nQuesto modello mostra una correlazione dei residui che supera di molto la soglia fissata.\nA = 1 1.6743e+0 8.9567e-1 1.8835e-1 1.3365e-2\n0 1.9780e-2 3.0082e-2 1.3148e-2 1.8029e-3\nB =0 0 7.0030e-1 -2.0731e-1 -4.8519e-2\n0 0 2.2406e-4 1.3853e-2 6.2580e-3\nincertezza max relativa 21%\nincertezza max assoluta 3.31e-2\nLoss fcn: 7.1079e-4\n2.1.2.3Validazione dei modelli migliori\nL’unico modello che sottoporremo ad una analisi ulteriore sui dati di validazione è: l’ARX(3,2,2).\npunti fuori intervallo 3\n2.1.2.4Migliore modello ARX e conclusioni\nDall’analisi sui dati di validazione risulta che l’ARX(3,2,2) non supera il test di bianchezza per 3 errori nel test di Anderson ma va bene per cross correlazione. Quindi il modello migliore in questa famiglia risulta essere l’ARX(3,2,2), benché i limiti evidenziati rendono indispensabile considerare modelli ARMAX.\n2.1.3Identificazione con modelli ARMAX\n2.1.3.1Costruzione dei modelli\nDovendo scegliere fra un folto insieme di modelli, abbiamo considerato già in questo paragrafo l’fpe per poter scartare i modelli evidenziati in rosa, che hanno tale indice di 2 ordini di grandezza inferiore ai migliori; notiamo inoltre che partendo dall’armax(2,2,2,2) e aumentando il grado del polinomio C otteniamo ancora modelli accettabili ma con errore meno bianco rispetto all’armax(2,2,2,2) e con incertezza maggiore sempre su un coefficiente del polinomio C: questo ci suggerisce di escludere dalla successiva analisi i due modelli indicati e di considerare invece armax(2,2,1,2) che ha le seguenti caratteristiche:\n2.1.3.2Analisi sui dati di identificazione\nNonostante sia il modello meno incerto fra tutti quelli presi in esame, ha una forte cross-correlazione che lo rende inaccettabile.\nA =1 1.4294e 4.8994e-1\n0 1.0182e-3 1.0117e-3\nB = 0 0 7.0255e-1 -3.6916e-1\n0 0 6.7014e-4 7.9474e-4\nincertezza max relativa 0.28%\nincertezza max assoluta 1.6e-3\nLoss fcn: 6.3741e-3\nC =1 -5.3302e-1 -1.2338e-1\n0 1.9865e-2 1.9893e-2\nPer questo modello valgono sostanzialmente le stesse considerazioni viste per l’ARMAX(2,2,2,2).\nA =1 1.4321 4.9280e-1\n0 1.0459e-3 1.0420e-3\nB =0 0 7.0055e-1 -3.6963e-1\n0 0 6.7380e-4 7.8759e-4\nincertezza max relativa 0.29%\nincertezza max assoluta 1.7e-3\nLoss fcn: 6.4342e-3\nC =1 -5.5117e-1\nHa un fpe di un ordine di grandezza inferiore ai due modelli precedenti; un correlazione dei residui e una cross-correlazione che rimangono totalmente all’interno della soglia prefissata.\nA =1 1.5199 6.6074e-1 8.6000e-2\n0 6.5995e-4 1.1176e-3 5.1480e-4\nB =0 0 7.0025e-1 -3.1545e-1\n0 0 2.0038e-4 4.1786e-4\nincertezza max relativa 1.32%\nincertezza max assoluta 3.3e-3\nLoss fcn: 5.7147e-4\nC =1 -3.1839e-1 -4.2777e-1\n0 1.8097e-2 1.8096e-2\n2.1.3.3Validazione dei modelli migliori\npunti fuori intervallo 0\nerrore quadratico medio: 5.7947e-4\nNon deve trarre in inganno il valore molto alto del fit, in quanto è stato valutato solo sui primi 100 campioni dei dati di validazione ed in questo caso lo stato iniziale del sistema simulato è molto diverso dallo stato iniziale del modello: calcolandolo su tutti i 2500 valori otterremmo un valore molto più basso ma non riusciremmo a distinguere graficamente i due andamenti.\n2.1.3.4Migliore modello ARMAX e conclusioni\nAvendo superato tutti i test sia in fase di identificazione sia in fase di validazione è chiaro che armax(3,2,2,2) costituisce il miglior modello in questa famiglia.\n2.1.4Confronto fra ARX e ARMAX:migliore modello per la coppia es2_u, es2_y1\nTra il modello ARX(3,2,2) risultato il migliore fra gli ARX, e il modello ARMAX(3,2,2,2), si vede che l’ARMAX ha prestazioni migliori: supera il test di bianchezza, non presenta cross correlazione ed ha un fitting migliore.\n2.2.1Ordine a priori\nCome già accaduto nel primo esercizio la presenza del rumore impedisce all’autovalore minimo di scendere vicino allo zero per valori accettabili di n, quindi scegliamo n=3, nell’intorno del quale si ha la maggiore diminuzione:\n2.2.2Identificazione con modelli ARX\n2.2.2.1Costruzione dei modelli\nL’andamento degli autovalori minimi indica che l’ordine da cui partire n=3 , iniziamo quindi a considerare i seguenti modelli:\n2.2.2.2Analisi sui dati di identificazione\nIl modello ha zeri e/o poli indeterminati oltre che una correlazione che va ben oltre la soglia (anche se in soli due punti)\nA =1 1.5273 6.7514e-1 9.3500e-2\n0 3.6822e-3 6.1859e-3 2.8202e-3\nB =0 0 7.0142e-1 -3.1165e-1\n0 0 1.1315e-3 2.8162e-3\nincertezza max relativa 209%\nincertezza max assoluta 0.68\nLoss fcn: 1.8149e-2\nLa correlazione dei residui esce abbondantemente dalla soglia del test di Anderson\nA =1 1.6089 7.8958e-1 1.3132e-1\n0 1.6595e-2 2.3514e-2 8.0077e-3\nB =0 0 7.0137e-1 -2.5440e-1 -3.3547e-2\n0 0 1.1261e-3 1.1696e-2 6.6553e-3\nincertezza max relativa 219%\nincertezza max assoluta 0.85\nLoss fcn: 1.7972e-2\nAutocorrelazione dei residui e Crosscorrelazione\nPer questo modello valgono considerazioni analoghe rispetto ai modelli precedenti.\nA =1 1.6765 9.1016e-1 2.0766e-1 2.0685e-2\n0 1.9767e-2 3.0408e-2 1.4680e-2 3.3443e-3\nB =0 0 7.0157e-1 -2.0699e-1 -4.2403e-2\n0 0 1.1180e-3 1.3909e-2 6.7583e-3\nincertezza max relativa 268%\nincertezza max assoluta 0.62\nLoss fcn: 1.7701e-2\nNon ci sono modelli ARX soddisfacenti per procedere con la validazione, quindi passiamo all’identificazione con modelli ARMAX.\n2.2.3Identificazione con modelli ARMAX\n2.2.3.1Costruzione dei modelli ARMAX\nNon ha senso considerare modelli con na=4 dato che già per na=3 troviamo incertezze inaccettabili:\n2.2.3.2Analisi sui dati di identificazione\nPresenta una forte cross-correlazione che fa passare in secondo piano la bassa incertezza che lo caratterizza.\nA =1 1.5744 6.1822e-1\n0 3.4070e-3 3.2424e-3\nB =0 -1.1204e-1 6.7510e-1\n0 4.7913e-3 5.3634e-3\nincertezza max relativa 4.63%\nincertezza max assoluta 0.28\nLoss fcn: 0.39957\nC =1 4.3125e-1 -6.7929e-1 -1.1016e-1 1.5215e-1\n0 2.0157e-2 2.1526e-2 2.1537e-2 2.0039e-2\nHa incertezza inferiore al precedente ma presenta lo stesso limite per cross-correlazione.\nA =1 1.4206 4.8003e-1\n0 1.7058e-3 1.6691e-3\nB = 0 0 7.0564e-1 -3.7007e-1\n0 0 1.1811e-3 1.4378e-3\nincertezza max relativa 0.43%\nincertezza max assoluta 2.4e-3\nLoss fcn: 0.020142\nC =1 -4.4774e-1 -4.4730e-1 1.0488e-1\n0 1.9960e-2 1.9995e-2 1.9995e-2\nQuesto modello oltre ad avere cross-correlazione inaccettabile è anche al limite dell’indeterminazione a causa di un’elevata incertezza relativa su poli e zeri.\nA =1 1.8427 1.1595 2.7868e-1\n0 2.7637e-3 4.9736e-3 2.4580e-3\nB =0 9.6384e-3 7.3793e-1\n0 2.2783e-3 2.8221e-3\nincertezza max relativa 87%\nLoss fcn: 0.074071\nC =1 8.7107e-1 2.5558e-1\n0 1.9705e-2 1.9666e-2\nPer questo modello valgono considerazioni analoghe viste per l’ARMAX(4,2,3,2).\nA =1 1.4211 4.8032e-1\n0 1.7253e-3 1.6845e-3\nB = 0 0 7.0471e-1 -3.6930e-1\n0 0 1.1820e-3 1.4387e-3\nLoss fcn: 0.020078\nC =1 -4.5528e-1 -4.1980e-1 1.3918e-1 -6.3259e-2\n0 2.0042e-2 2.1792e-2 2.1834e-2 2.0061e-2\nMarcata cross-correlazione tra errore e ingresso; piccola incertezza su poli e zeri.\nI modelli con na=2 al variare di nc=2,3,4 hanno caratteristiche molto simili.\nA =1 1.4207 4.8063e-1\n0 1.6977e-3 1.6700e-3\nB =0 0 7.0784e-1 -3.7199e-1\n0 0 1.1726e-3 1.4198e-3\nincertezza max relativa 0.44%\nLoss fcn: 0.020313\nC =1 -4.1662e-1 -3.9384e-1\n0 1.8466e-2 1.8453e-2\nTutti i dati presentati ci suggeriscono che questo sia il miglior armax: loss fcn ed fpe si dimezzano rispetto ai modelli precedenti, i coefficienti sono tutti ben definiti, l’errore di predizione è rigorosamente bianco e scompare la forte cross-correlazione errore-ingresso che era presente in tutti gli altri armax.\nA =1 1.5196 6.6127e-1 8.6972e-2\n0 3.2397e-3 5.4815e-3 2.5267e-3\nB =0 0 7.0123e-1 -3.1711e-1\n0 0 1.0013e-3 2.0608e-3\nincertezza max relativa 7.39%\nincertezza max assoluta 1.9e-2\nLoss fcn: 0.014287\nC =1 -3.1880e-1 -4.2708e-1\n0 1.8264e-2 1.8146e-2\n2.2.3.3Validazione dei modelli migliori\nerrore quadratico medio: 1.4488e-2\n2.2.3.4Migliore modello ARMAX e conclusioni\nL’ARMAX(3,2,2,2) è il miglior modello nella famiglia degli ARMAX, in validazione supera il test di bianchezza e risulta privo di cross-correlazione.\n2.2.4Confronto fra ARX e ARMAX: migliore modello per la coppia es2_u, es2_y5\nIn questo caso, abbiamo visto che fra i modelli ARX non si riesce a ottenere un modello soddisfacente, cosa che invece accade considerando la famiglia ARMAX. Pertanto il modello migliore è l’ARMAX(3,2,2,2).\n2.3Confronto fra l’identificazione con es2_y1 e quella con es2_y5: considerazioni sugli effetti del rumore\nIl miglior modello resta ARMAX(3,2,2,2) ma con rumore all’1% possiamo anche individuare il miglior modello all’interno della famiglia ARX, mentre al crescere del rumore (5%) tutti gli ARX conducono a modelli con poli-zeri indeterminati.\nInoltre si nota che l’effetto del rumore sullo stesso ARMAX è quello di condurre ad un modello con poli-zeri meno definiti per via di un’incertezza maggiore:\nIdentificazione con es2_y1\nIdentificazione con es2_y5\nA =1 1.5196e+0 6.6127e-1 8.6972e-2\nLoss fcn: 0.00057147, FPE: 5.7467e-4\nLoss fcn: 0.014287, FPE: 1.4367e-2\nerrore quadratico medio 5.7947e-4\nerrore quadratico medio 1.4488e-2\nConfrontando i dati si osserva che:\ni coefficienti dei polinomi A e B ottenuti con uscita es2_y5 sono affetti da un’incertezza fino a quasi un ordine di grandezza maggiore (sui coefficienti di C si mantengono circa uguali)\ngli indici delle capacità predittive peggiorano anch’essi di circa due ordini di grandezza.\nIniziamo considerando la prima coppia di vettori ingresso uscita: es3_u ed es3_y1.\n3.1.1Ordine a priori\nL’ordine in corrispondenza del quale si ha la maggiore diminuzione è n=2 ma l’autovalore corrispondente è troppo grande, motivo per cui proviamo con n=3:\n3.1.2.1Costruzione dei modelli\nRisulta evidente che l’unico modello accettabile in questo primo insieme è arx(3,2,2).\n3.1.2.2Analisi sui dati di identificazione\nOltre ad avere un test di Anderson con 0 errori presenta buona cross-correlazione e basse incertezze sui coefficienti dei polinomi.\nA =1 5.3284e-1 -5.0255e-1 -1.7339e-1\n0 2.2507e-3 3.2120e-4 1.2860e-3\nB =0 0 7.9987e-1 3.8642e-1\n0 0 1.9985e-4 1.8107e-3\nincertezza max relativa 0.69%\nLoss fcn: 4.3114e-4\n3.1.2.3Validazione dei modelli migliori\nL’unico modello esaminato presenta buone caratteristiche sui dati di identificazione, per cui passiamo ad analizzarlo con i dati di validazione.\nNessun punto cade fuori dall’intervallo di confidenza e l’andamento grafico è addirittura migliore che sui dati di identificazione.\nUn miglioramento si osserva anche per quanto riguarda il fit, anche se potrebbe essere dovuto ad uno stato iniziale del modello più vicino a quello del sistema rispetto ai dati di identificazione.\nerrore quadratico medio: 4.5079e-4\n3.1.2.4Migliore modello ARX e conclusioni\nIl modello migliore è l’ARX(3,2,2) che ha fornito buoni risultati sa in fase di identificazione che nella successiva fase di validazione.\n3.1.3Identificazione con modelli ARMAX\n3.1.3.1Costruzione dei modelli\nI modelli nella tabella non presentano prestazioni accettabili, provando però con na=4 troviamo il seguente modello:\n3.1.3.2Analisi sui dati di identificazione\nAndando a controllare la mappa dei poli e zeri dell’unico modello valido trovato, riscontriamo una cancellazione, motivo per cui non esiste alcun modello armax con comportamento accettabile.\n3.1.4Confronto fra ARX e ARMAX: migliore modello per la coppia es3_u, es3_y1\nNon risultando possibile ottenere un modello ARMAX accettabile, l’unico modello valido e soddisfacente per questo sistema (che è anche l’unico accettabile della famiglia ARX) è l’ARX(3,2,2).\n3.2.1Ordine a priori\nLa presenza del rumore anche in questo caso impedisce all’autovalore minimo di scendere in prossimità del valore zero per valori accettabili di n, pertanto assumiamo come ordine a priori 3, valore della complessità n per cui si osserva la maggior diminuzione.\n3.2.2Identificazione con modelli ARX\n3.2.2.1Costruzione dei modelli\nL’unico modello che prenderemo in considerazione per un’analisi più approfondita è l’ARX(3,2,2).\n3.2.2.2Analisi sui dati di identificazione\nIl modello supera il test di Anderson e presenta una cross-correlazione che si mantiene dentro la soglia di confidenza.\nI coefficienti dei polinomi risultano essere ben definiti.\nA = 1 5.4740e-1 -5.0041e-1 -1.8241e-1\n0 9.5654e-3 1.4665e-3 5.4839e-3\nB = 0 0 7.9937e-1 3.9861e-1\n0 0 9.9913e-4 7.7027e-3\nincertezza max relativa 2.80%\nincertezza max assoluta 9.63e-3\nLoss fcn: 0.01077\n3.2.2.3Validazione dei modelli migliori\nSottoporremo alla fase di validazione il modello ARX(3,2,2).\nIl modello mostra un ottimo comportamento anche in validazione.\nerrore quadratico medio:\n3.2.2.4Migliore modello ARX e conclusioni\nIl modello ARX(3,2,2) supera il test di bianchezza dell’errore sia in identificazione che in validazione (0 errori in entrambi i casi). Il fitting migliora in validazione così come la cross-correlazione, che già in identificazione si manteneva nell’intervallo di confidenza. Conseguentemente l’ARX(3,2,2) è il migliore modello nella sua famiglia.\n3.2.3Identificazione con modelli ARMAX\nAbbiamo trovato un modello ARX con un ottimo comportamento, pertanto ha senso cercare un modello ARMAX solo se possiamo trarne uno dei seguenti vantaggi:\nprestazioni superiore al miglior ARX;\nnumero di parametri inferiore a quello dell’ARX(3,2,2);\nminor numero di poli e quindi dinamica più semplice.\n3.2.3.1Costruzione dei modelli\nFra tutti i modelli della famiglia ARMAX (in tabella non sono stati riportati i modelli risultati inaccettabili) gli unici che possono essere presi in considerazione sono l’ARMAX(2,2,3,2) e l’ARMAX(2,2,2,2).\n3.2.3.2Analisi sui dati di identificazione\nIl modello presenta pessimo comportamento per la cross-correlazione.\nA = 1 2.1279e-1 -5.3511e-1\n0 2.3103e-3 1.2438e-3\nB = 0 0 8.0253e-1 1.2432e-1\n0 0 1.1013e-3 2.0421e-3\nincertezza max relativa 1.67%\nincertezza max assoluta 2.59e-3\nLoss fcn: 0.013303\nC = 1 -4.1925e-1 2.1926e-1 -7.4245e-2\n0 2.0092e-2 2.1260e-2 2.0030e-2\nAnche questo modello non supera decisamente il test di cross-correlazione.\nA = 1 2.1558e-1 -5.3573e-1\n0 2.2475e-3 1.2241e-3\nB = 0 0 8.0176e-1 1.2603e-1\n0 0 1.1082e-3 2.0341e-3\nincertezza max relativa 1.65%\nLoss fcn: 0.013379\nC = 1 -4.0456e-1 1.8819e-1\n0 1.9778e-2 1.9720e-2\nNessun modello ARMAX esaminato presenta caratteristiche superiori o vantaggiose rispetto al miglior modello ARX, pertanto o scartiamo i modelli della famiglia ARMAX.\n3.2.4Confronto fra ARX e ARMAX: migliore modello per la coppia es3_u, es3_y5\nPoiché non si è trovato alcun modello ARMAX con il quale identificare i dati in esame, il migliore modello per la coppia ingresso uscita considerata è l’ARX(3,2,2).\n3.3Confronto fra l’identificazione con es3_y1 e quella con es3_y5: considerazioni sugli effetti del rumore\nIl miglior modello resta sempre l’ARX(3,2,2).\nIdentificazione con es3_y1\nIdentificazione con es3_y5\nLoss fcn: 4.3114e-4 FPE: 4.3287e-4\nLoss fcn: 1.077e-2 FPE: 1.0813e-2\nerrore quadratico medio: 1.1268e-2\nTuttavia dal confronto dei dati, osserviamo che, per effetto del rumore, i coefficienti dei polinomi sono afflitti da incertezze maggiori, che gli indici loss fcn e fpe peggiorano di circa due indici di grandezza.\nIniziamo considerando la prima coppia di vettori ingresso uscita: es4_u ed es4_y1.\n4.1.1Ordine a priori\nLa diminuzione maggiore dell’autovalore minimo si ha per n=3, ma il suo valore resta comunque elevato. Pertanto cerchiamo i modelli fra n=3 ed n=4\n4.1.2Identificazione con modelli ARX\n4.1.2.1Costruzione dei modelli\nUn altro modello con prestazioni accettabile è\nDalla tabella è evidente che il modello da identificare deve prevedere un ritardo nk=2 fra ingresso ed uscita, in quanto tutti i modelli con nk=1 risultano molto incerti, quando non completamente indeterminati.\nNon vi sono modelli con errore di predizione rigorosamente bianco, perciò ci accontentiamo di modelli che hanno 2 punti sopra la soglia fissata dal test di Anderson, ovvero arx(3,2,2), arx(3,3,2), arx(4,3,2) e arx(4,2,2).\n4.1.2.2Analisi sui dati di identificazione\nHa coefficienti ben definiti che tuttavia si combinano\nin modo da restituire una grossa incertezza su poli e zeri; inoltre è presente una notevole cross-correlazione fra ingresso e residuo.\nA =1 1.6126 6.3931e-1 -1.6323e-2\n0 2.6307e-3 4.7561e-3 2.2918e-3\nincertezza max relativa 92.7%\nincertezza max assoluta 0.76\nLoss fcn: 0.016269\nB =0 0 4.9982e-1 -3.2843e-1\n0 0 7.3885e-4 1.5095e-3\nQuesto modello presenta inconvenienti analoghi all’ARX(3,2,2), per tale motivo va scartato.\nA =1 1.3952 2.8537e-1 -1.6201e-1\n0 1.9334e-2 3.1533e-2 1.3031e-2\nB =0 0 4.9998e-1 -4.3710e-1 7.0736e-2\n0 0 7.2080e-4 9.6892e-3 6.2328e-3\nincertezza max relativa 91.6%\nincertezza max assoluta 0.75\nLoss fcn: 0.015476\nNonostante presenti un’incertezza massima sui coefficienti circa 10 volte inferiore a quella dei modelli precedenti, anche l’arx(4,2,2) presenta almeno un polo e/o zero completamente indeterminato.\nA =1 1.4599 2.9047e-1 -3.0713e-1 -9.2395e-2\n0 2.4105e-3 5.1376e-3 3.9130e-3 1.1799e-3\nB = 0 0 4.9980e-1 -4.0456e-1\n0 0 3.9749e-4 1.2669e-3\nincertezza max relativa 113%\nincertezza max assoluta 0.89\nLoss fcn: 0.0047079\nValgono le considerazioni fatte per tutti i modelli analizzati precedentemente.\nA =1 1.5099 3.6982e-1 -2.7750e-1 -9.4296e-2\n0 1.0722e-2 1.7348e-2 7.3139e-3 1.2399e-3\nB =0 0 4.9977e-1 -3.7956e-1 -1.7292e-2\n0 0 3.9576e-4 5.3733e-3 3.6125e-3\nincertezza max relativa 118%\nincertezza max assoluta 0.93\nLoss fcn: 0.0046651\nAbbiamo sottoposto ad analisi più approfondita modelli che già nel paragrafo 4.1.2.1 presentavano un errore di predizione colorato; in questo paragrafo abbiamo, inoltre, constatato che presentano una forte incertezza su poli e zeri ed una pessima cross-correlazione fra errore ed ingresso; questi modelli sono quindi inaccettabili è non li sottoponiamo alla validazione.\n4.1.3Identificazione con modelli ARMAX\n4.1.3.1Costruzione dei modelli\nNel paragrafo precedente abbiamo visto che nessun ARX è soddisfacente, quindi la coppia es4_u, es4_y1 deve poter essere descritta da un modello ARMAX.\n4.1.3.2Analisi dei modelli sui dati di identificazione\nQuesto modello presenta gli stessi limiti degli ARX precedenti.\nA =1 1.6379 6.8013e-1\n0 7.9512e-4 7.9357e-4\nB =0 0 4.9969e-1 -3.1033e-1\n0 0 6.9919e-4 7.9423e-4\nincertezza max relativa 76.8%\nincertezza max assoluta 0.63\nLoss fcn: 0.015131\nC =1 2.1659e-1 3.0916e-1\n0 1.9221e-2 1.9214e-2\nNon si ha sostanziale variazione di caratteristiche passando all’ARMAX(3,2,2,2).\nA =1 1.6568 7.1486e-1 1.6549e-2\n0 2.6460e-3 4.7559e-3 2.2678e-3\nB =0 0 5.0017e-1 -2.9953e-1\n0 0 7.0722e-4 1.7329e-3\nincertezza max relativa 92.9%\nLoss fcn: 0.014911\nC =1 3.3451e-1 3.3470e-1\n0 1.9217e-2 1.9119e-2\nLe incertezze su poli e zeri scendono ma non tanto da poterle ritenere accettabili; invece resta il problema della cross-correlazione.\nA =1 9.7957e-1 -4.1045e-1 -4.6010e-1\n0 1.3404e-2 2.1637e-2 8.8467e-3\nB =0 0 4.9820e-1 -6.4045e-1 1.8820e-1\n0 0 6.2496e-4 6.7172e-3 4.4668e-3\nincertezza max relativa 77.8%\nincertezza max assoluta 0.64\nLoss fcn: 0.011789\nC =1 -7.6736e-1 3.5562e-1 -2.2198e-1\n0 2.3675e-2 2.3937e-2 1.9893e-2\nPassando ad na=4, con l’Armax(4,3,2,2) l’incertezza su poli e zeri crolla allo 0.52% e anche la cross correlazione migliora vistosamente\nA =1 1.7305 7.2913e-1 -1.3021e-1 -9.5023e-2\n0 1.1540e-3 2.6615e-3 2.1673e-3 6.2727e-4\nB =0 0 5.0046e-1 -2.6895e-1 -8.7785e-2\n0 0 2.0447e-4 7.7065e-4 5.6532e-4\nincertezza max relativa 0.52%\nincertezza max assoluta 2.2e-3\nLoss fcn: 1.245e-3\nC = 1 1.7013 7.4249e-1\n0 1.3458e-2 1.3339e-2\n4.1.3.3Validazione dei modelli migliori\nIl modello da validare è l’armax(4,3,2,2), che presenta fpe e loss fcn di un ordine di grandezza inferiore rispetto agli altri modelli ed incertezza su zeri e poli di due ordini di grandezza più piccola.\nAnche il grafico della funzione resid è decisamente migliore di tutti gli altri, soprattutto per quanto riguarda la cross correlazione; questa caratteristica si mantiene anche sui dati di validazione.\nIl modello è in grado di seguire l’uscita di validazione ancora meglio che sui dati di identificazione, come mostra la figura.\nL’errore quadratico medio vale 1.1960e-3 ed è quindi dello stesso ordine di loss fcn ed fpe.\n4.1.3.4Migliore modello ARMAX e conclusioni\nDai dati presentati risulta che il miglior modello è armax(4,3,2,2): la bontà di questa scelta è confermata anche dal fatto che sui dati di validazione si hanno prestazioni addirittura migliori di quelle ottenute sui dati di identificazione: il test di Anderson restituisce 1 solo punto sopra la soglia contro i 2 punti sui dati di identificazione e l’indice fit risulta dimezzato, anche se questo fatto è da attribuire ad uno stato iniziale del modello simulato più vicino a quello del sistema rispetto ai dati di identificazione.\n4.1.4Confronto fra ARX e ARMAX: migliore modello per la coppia es4_u, es4_y1\nNon avendo trovato modelli ARX accettabili è evidente che il miglior modello per questo set di dati è l’armax(4,3,2,2).\n4.2.1Ordine a priori\nGià per l’uscita es4_y1 avevamo autovalori piuttosto alti anche per n=4 ed n=5; per l’uscita es4_y5 questa tendenza si accentua al punto da non permetterci di individuare l’ordine a priori: notiamo infatti che per n=5 l’autovalore minimo è circa 50, molto lontano dallo zero auspicato.\n4.2.2dentificazione con modelli ARX\n4.2.2.1Costruzione dei modelli\nPer l’uscita precedente abbiamo accertato dall’analisi sui dati di identificazione che non esistevano modelli ARX accettabili; in questo paragrafo vedremo come per l’uscita es4_y5 questa analisi non abbia nemmeno luogo, poiché ci accorgeremo già in fase di costruzione che questi modelli non sono adeguati a descrivere la dinamica contenuta nei dati.\nAnche se abbiamo sottolineato che l’informazione arrecataci dall’andamento degli autovalori minimi è pregiudicata dal rumore, teniamo comunque conto del fatto che essa ci suggeriva prendere modelli di ordine elevato e prendiamo in considerazione anche modelli con na=5; tuttavia nemmeno questi modelli sono in grado di contenere la dinamica dei dati, come dimostra l’errore di predizione, che per nessun modello può essere ritenuto bianco.\nNe deduciamo che anche per es4_y5, così come per es4_y1, non esistono modelli soddisfacenti e passiamo direttamente a costruire i modelli ARMAX.\n4.2.3Identificazione con modelli ARMAX\n4.2.3.1Costruzione dei modelli\nSecondo i dati presentati in tabella possiamo restringere l’insieme dei modelli da analizzare ai seguenti: armax(3,2,3,2), armax(4,2,3,2) e armax(4,2,4,2); inoltre, memori di quanto accadeva per il miglior modello del capitolo precedente, per il quale si aveva un rumore di predizione sui dati validazione più bianco che sui dati di identificazione, consideriamo anche questo l’armax(4,3,2,2), nonostante presenti 3 punti fuori dal test di Anderson.\n4.2.3.2Analisi sui dati di identificazione\nAnalizzando questo modello ripartiamo da dove eravamo rimasti nel paragrafo 4.3.1.2: notevole cross-correlazione e zeri-poli quasi indeterminati.\nA =1 1.6205 6.6300e-1\n0 8.5617e-4 8.3012e-4\nB =0 0 4.9623e-1 -3.3767e-1\n0 0 1.5210e-3 1.9973e-3\nincertezza max relativa 98%\nincertezza max assoluta 0.79\nLoss fcn: 0.071032\nC =1 9.6360e-1 2.5279e-1\n0 1.9324e-2 1.9315e-2\nCon questo modello non si ha alcun miglioramento rispetto al precedente.\nA =1 1.8383 1.0388e0 1.6612e-1\n0 3.5300e-3 5.8566e-3 2.4672e-3\nB =0 0 5.0743e-1 -1.8399e-1\n0 0 1.1248e-3 3.3635e-3\nincertezza max relativa 121%\nincertezza max assoluta 0.95\nLoss fcn: 0.045377\nC =1 1.7536 9.9359e-1 1.8437e-1\n0 1.9887e-2 3.5174e-2 1.9868e-2\nCon questo modello le prestazioni migliorano nettamente: l’incertezza sui poli e zeri scende all’1.7% e la cross-correlazione ha solo 2 punti sopra la soglia.\nA =1 1.4269 1.9982e-1 -3.9861e-1 -1.2614e-1\n0 7.5794e-3 1.5768e-2 1.1088e-2 2.7282e-3\nB =0 0 5.0337e-1 -4.1098e-1\n0 0 1.0405e-3 4.1350e-3\nincertezza max relativa 1.69%\nincertezza max assoluta 8.8e-3\nLoss fcn: 0.032383\nC =1 1.3898 1.9784e-1 -3.5006e-1 -9.9440e-2\n0 2.2141e-2 3.7856e-2 3.5507e-2 2.0179e-2\nIl miglioramento della cross-correlazione è ancora più netto per l’ARMAX(4,3,2,2), anche se si ha un lieve aumento dell’incertezza.\nA =1 1.8008 8.4992e-1 -7.0961e-2 -8.9022e-2\n0 5.4142e-3 1.2649e-2 1.0430e-2 3.0450e-3\nB =0 0 5.0213e-1 -2.3102e-1 -1.0661e-1\n0 0 1.0338e-3 3.7078e-3 2.8018e-003\nincertezza max relativa 2.8%\nincertezza max assoluta 1.15e-2\nLoss fcn: 0.03184\nC =1 1.7213 7.5552e-1\n0 1.3773e-2 1.3575e-2\n4.2.3.3Validazione dei modelli migliori\nDall’analisi effettuata sui dati di identificazione risulta che entrambi i modelli, l’ARMAX(4,3,2,2) e l’ARMAX(4,2,4,2) meritano di essere sottoposti alla validazione.\nSu questo nuovo set di dati la cross-correlazione errore-ingresso dell’ARMAX(4,3,2,2) peggiora lievemente (un punto sopra la soglia contro nessuno sui dati di identificazione) ma in compenso l’indice del fitting risulta più che dimezzato; questo potrebbe essere dovuto ad uno stato iniziale più favorevole, ma è comunque un ottimo risultato.\nPer rendere il grafico comprensibile, infatti, abbiamo limitato il calcolo del fit ai primi 100 campioni dei dati di validazione e quindi il transitorio gioca un ruolo determinante.\nQuesto non capita invece nel calcolo dell’errore quadratico medio per il quale ricorriamo a tutti i 2500 campioni; anche qui si ha un miglioramento rispetto ai dati di validazione: 3.0263e-2 contro un loss fcn pari a 3,18e-2 ed un fpe di 3.2e-2\nAnche l’ARMAX(4,2,4,2) presenta miglioramenti (errore quadratico medio=3.0741e-2 e fit dimezzato), ma la cross-correlazione resta simile a quella incontrata sui dati di identificazione quindi il miglior modello è l’ARMAX(4,3,2,2)\n4.2.3.4Migliore modello e conclusioni\nSulla base dei test di validazione risulta che il migliore modello è l’ARMAX(4,3,2,2).\n4.2.4Confronto fra ARX e ARMAX: migliore modello per la coppia es4_u, es4_y5\nPoiché non esiste nessun modello ARX che identifichi il set di dati in esame, il miglior modello è l’ARMAX(4,3,2,2).\n4.3Confronto fra l’identificazione con es4_y1 e quella con es4_y5: considerazioni sugli effetti del rumore\nIn entrambe le identificazioni il miglior modello è risultato essere l’ARMAX(4,3,2,2); confrontiamo ora i parametri più significativi:\nIdentificazione con es4_y1\nIdentificazione con es5_y5\nA =1 1.7305e 7.2913e-1 -1.3021e-1 -9.5023e-2\nC = 1 1.7013e 7.4249e-1\nLoss fcn: 1.245e-3 FPE: 1.2546e-3\nLoss fcn: 3.184e-2 FPE: 3.207e-2\nerrore quadratico medio: 1.1960e-3\nerrore quadratico medio: 3.0741e-2\nPer effetto del rumore notiamo un deterioramento della definizione dei coefficienti, così come una perdita di prestazioni del modello, in termini di errore quadratico medio abbiamo circa 1 ordine di grandezza.\nIniziamo considerando la prima coppia di vettori ingresso uscita: es5_u ed es5_y1.\n5.1.1Ordine a priori\nL’ordine a priori, come si vede dallo studio dell’autovalore minimo, è n=3:\n5.1.2Identificazione con modelli ARX\n5.1.2.1Costruzione dei modelli\nL’andamento degli autovalori minimi indica che l’ordine da cui partire è n=3 , iniziamo quindi a considerare i modelli:\nFra i modelli ARX considerati, quelli che risultano accettabili e che sottoporremo ad ulteriore analisi sono l’ARX(2,2,2) e, seppure non soddisfi rigorosamente il test di Anderson, anche l’ARX(4,3,1).\n5.1.2.2Analisi sui dati di identificazione\nHa fitting non buono (l’uscita predetta dal modello non riesce ad inseguire minimamente quella del sistema. E’ presente un picco nel grafico di cross correlazione non in corrispondenza dello zero, che suggerisce l’opportunità di valutare un modello con diverso ritardo.\nA =1 -4.9967e-1 -2.3435e-1\n0 8.1432e-2 5.3284e-2\nB =0 0 4.9053e-1 -2.6224e-1\n0 0 8.4114e-2 3.9473e-2\nincertezza max relativa 30.1%\nincertezza max assoluta 0.16\nLoss fcn: 3.3179\nNotiamo che i punti nel test di Anderson cadono al limite della soglia.\nA =1 -6.1159e-1 -2.8964e-1 1.1214e-1 2.7011e-3\n0 4.9907e-3 1.1651e-3 1.5863e-3 5.4035e-4\nB =0 1.0002 3.8846e-1 -4.1724e-1\n0 2.2323e-4 4.9982e-3 4.0793e-3\nincertezza max relativa 18.1%\nincertezza max assoluta 0.7e-3\nLoss fcn: 4.1193e-4\n5.1.2.3Validazione dei modelli migliori\nDai dati del paragrafo precedente notiamo che i 3 punti dell’arx(4,3,1) cadono al limite della soglia del 5%, mentre arx(2,2,2) pur soddisfacendo rigorosamente il test di Anderson, presenta un fpe di 4 ordini di grandezza superiori all’arx(4,3,1) e non riesce a seguire la dinamica dell’uscita osservata, dando luogo ad un fit pessimo; pertanto valideremo solamente il modello arx(4,3,1).\nIn validazione un solo punto supera la soglia di confidenza, quindi l’errore di predizione può essere ritenuto bianco (mentre questo non accadeva per l’errore sui dati di identificazione).\n5.1.2.4Migliore modello ARX e conclusioni\nFra i modelli ARX esaminati solo l’ARX(4,3,1) è il modello accettabile e si comporta in modo soddisfacente.\n5.1.3Identificazione con modelli ARMAX\nPoiché il modello ARX(4,3,1), ricavato nel paragrafo precedente, ha mostrato un ottimo comportamento la ricerca di un ARMAX ha senso solo se otteniamo uno dei seguenti vantaggi:\n5.1.3.1Costruzione dei modelli\nNon abbiamo riportato i modelli con nk=2 perché risultano tutti indeterminati. I modelli in tabella sono quelli nell’intorno di armax(3,3,3,_) e nessuno di questi è accettabile: quelli con na=4 risultano quasi tutti indeterminati, mentre quelli con na=2 non sono in grado di restituirci un errore di predizione sufficientemente bianco.\nNotando che i modelli armax(3,3,2,1), armax(3,3,3,1) e armax(3,3,4,1) restituiscono un errore bianco ma hanno il polinomio C indeterminato siamo indotti a considerare il modello armax(3,3,1,1):\nChe risulta l’unico modello ARMAX con caratteristiche accettabili\n5.1.3.2Analisi sui dati di identificazione\nSi rivela un modello con buone caratteristiche.\nA =1 -5.8506e-1 -2.9498e-1 1.0457e-1\n0 2.4098e-3 4.2670e-4 1.0328e-3\nB =0 1.0000e+0 4.1491e-1 -3.9609e-1\n0 1.9216e-4 2.4290e-3 2.1947e-3\nincertezza max relativa 0.8%\nLoss fcn: 3.070e-4\nC =1 5.9691e-1\n5.1.3.3Validazione dei modelli migliori\nerrore quadratico medio: 3.1309e-4\n5.1.3.4Migliore modello ARMAX e conclusioni\nL’ARMAX(3,3,1,1) è il miglior modello nella famiglia degli ARMAX: in validazione nessun punto dell’autocorrelazione cade fuori dall’intervallo di confidenza e anche la cross-correlazione fra ingresso e residuo va bene.\n5.1.4Confronto fra ARX e ARMAX: migliore modello per la coppia es5_u, es5_y1\nL’ ARMAX (3,3,1,1,) è il miglior modello perché verifica il test di Anderson sia in identificazione sia in validazione (0 punti fuori in entrambe i casi) mentre ARX(4,3,1) in identificazione riporta tre errori. Inoltre il modello ARMAX ha un FPE minore di quello dell’ARX. Si può considerare infine che il passaggio all’ARMAX non comporta un aumento della complessità: i parametri da identificare restano comunque sette e tale modello presenta un polo in meno rispetto all’ARX.\n5.2.1Ordine a priori\nCome negli esercizi precedenti, il primo effetto del rumore è quello di corrompere l’autovalore minimo, che , come è mostrato in figura, assume infatti valori apprezzabili anche per n=5.\n5.2.2Identificazione con modelli ARX\n5.2.2.1Costruzione dei modelli\nIn accordo con quanto indicatoci dagli autovalori minimi, consideriamo anche modelli con na=4 e na=5, tuttavia nessuno di essi ha prestazioni accettabili: due di essi nonostante la grande complessità non sono in grado di descrivere la dinamica contenuta nei dati mentre gli altri 2 sono indeterminati; decidiamo di accettare anche modelli con 3 punti sopra la soglia nel test di Anderson, altrimenti dovremmo scartare tutti i modelli tranne arx(2,2,2).\n5.2.2.2Analisi sui dati di identificazione\nE’ l’unico modello con errore di predizione rigorosamente bianco, notiamo dal grafico una scarsa capacità di seguire l’uscita osservata e questo si traduce in pessimi valori per il fit, il loss fcn ed fpe.\nA =1 -5.5486e-1 -2.0118e-1\n0 7.9397e-2 5.2275e-2\nB =0 0 4.3557e-1 -2.8419e-1\n0 0 8.2224e-2 3.8758e-2\nincertezza max relativa 30.4%\nincertezza max assoluta 0.3\nLoss fcn: 3.335\nCrolla l’incertezza poli-zeri e aumentano sensibilmente le capacità predittive; diminuisce l’ampiezza del picco nella cross-correlazione e i punti della correlazione che superano la soglia restano comunque prossimi alla stessa.\nA =1 -6.8153e-1 -2.8513e-1 1.4687e-1\n0 8.4133e-3 2.9227e-3 4.3515e-3\nB =0 1.0009e0 3.1833e-1 -4.8284e-1\n0 1.0937e-3 8.5254e-3 8.1729e-3\nincertezza max relativa 2.27%\nLoss fcn: 0.0098975\nMantiene la cross-correlazione del modello precedente e la bassa incertezza, ma nella correlazione si va troppo sopra la soglia.\nA=1 -7.9364e-1 -2.5067e-1 1.6372e-1 1.9758e-2\n0 1.2594e-2 4.0888e-3 4.4756e-3 1.6833e-3\nB=0 1.0006e+0 2.0629e-1 -5.6065e-1\n0 1.0655e-3 1.2661e-2 1.0367e-2\nincertezza max relativa 8.1%\nincertezza max assoluta 0.012\nLoss fcn: 0.0093822\n5.2.2.3Validazione dei modelli migliori\nDall’analisi sui dati di identificazione risulta che l’ARX(3,3,1), sebbene non presenti correlazione e cross-correlazione perfette, merita di essere validato.\nSu questi nuovi dati la correlazione resta pressoché simile alla precedente, mentre nella cross-correlazione il numero dei picchi resta lo stesso, ma aumenta la loro ampiezza.\nLe capacità predittive restano accettabili, dato che si passa da un loss fcn di 0.9e-3 ad un errore quadratico medio pari a 1.0414e-2\nIl netto miglioramento dell’indice di fitting, invece, va attribuito allo stato iniziale più favorevole e quindi ad un transitorio migliore,come è evidente anche dalla figura.\n5.2.2.4Migliore modello ARX e conclusioni\nL’analisi precedente evidenzia che, volendo individuare il miglior modello all’interno della famiglia ARX questo è senza dubbio l’ARX(3,3,1); esso tuttavia presenta alcuni limiti, come un errore di predizione non rigorosamente bianco e troppo correlato con il segnale di ingresso: si rende necessaria, pertanto, la ricerca di un ARMAX che si comporti meglio sotto questo punto di vista.\n5.2.3Identificazione con modelli ARMAX\n5.2.3.1Costruzione dei modelli\nLa tabella a fianco mostra che non ha senso considerare modelli con na>4 in quanto risultano indeterminati.\nFra i modelli non presenti in tabella consideriamo l’ARMAX(3,3,1,1) che ha invece un’incertezza molto ridotta e un errore di predizione bianco:\n5.2.3.2Analisi sui dati di identificazione\nNon presenta cross correlazione, l’errore di predizione è rigorosamente bianco, presenta bassa incertezza sia sui coefficienti, sia su poli e zeri.\nA =1 -6.0455e-1 -2.9298e-1 1.1302e-1\n0 1.0387e-2 2.0446e-3 4.4891e-3\nB = 0 1.0001 3.9530e-1 -4.1378e-1\n0 9.6074e-4 1.0502e-2 9.4645e-3\nincertezza max relativa 3.4%\nincertezza max assoluta 7.8e-3\nLoss fcn: 0.0076308\nC =1 5.8735e-1\nNotiamo una grossa incertezza sui poli e zeri, oltre che una cross-correlazione fra errore ed ingresso che non può essere ritenuto accettabile.\nA =1 -1.2497e-1 -3.6364e-1 -5.5076e-2 -2.9618e-2\n0 1.6242e-3 1.5067e-3 1.1194e-3 1.1417e-3\nB =0 1.0009 8.7792e-1\n0 9.9647e-4 1.4906e-3\nincertezza max relativa 230%\nLoss fcn: 0.0082291\nC =1 1.0815 5.2629e-1 2.6979e-1 1.1051e-1\n0 1.9986e-2 2.8878e-2 2.8886e-2 1.9950e-2\n5.2.3.3Validazione dei modelli migliori\nLe buone prestazioni evidenziate in identificazione le ritroviamo anche nei dati di validazione: cross-correlazione e autocorrelazione si mantengono costantemente entro la soglia.\nerrore quadratico medio 7.8367e-3 (si mantiene molto vicino al loss fcn e addirittura l’indice associato al grafico del fitting diminuisce di ben 6 volte, anche se, come visto in precedenza è da attribuire ad uno stato iniziale più favorevole).\n5.2.3.4Migliore modello ARMAX e conclusioni\nL’ARMAX(3,3,1,1) supera anche i test in validazione migliorando rispetto a quelli in identificazione; risulta quindi essere il migliore modello all’interno della sua famiglia.\n5.2.4Confronto fra ARX e ARMAX: migliore modello per la coppia es5_u, es5_y5\nL’ARMAX(3,3,1,1) in termini di prestazioni è decisamente migliore dell’ARX(3,3,1). I limiti di questo secondo modello (cross correlazione ed errore lievemente colorato) potevano essere tollerati se questo avesse avuto un numero di parametri molto inferiore a quello dell’ARMAX o una dinamica più semplice: il numero dei poli è lo stesso e avremmo solo un parametro in meno. In conclusione il modello ARMAX(3,3,1,1) è il migliore sotto tutti i punti di vista.\n5.3Confronto fra l’identificazione con es5_y1 e quella con es5_y5: considerazioni sugli effetti del rumore\nIn entrambe le identificazioni il miglior modello è risultato essere l’ARMAX(3,3,1,1); confrontiamo ora i parametri più significativi di entrambe i modelli per cercare di estrapolare gli effetti del rumore sull’identificazione :\nIdentificazione con es5_y1\nB =0 1.0000 4.1491e-1 -3.9609e-1\nLoss fcn: 0.00030534 , FPE: 0.00030705\nLoss fcn: 0.0076308, FPE: 0.0076737\nerrore quadratico medio: 7.8367e-3\ntranne quello del polinomio C tutti gli altri coefficienti ottenuti con uscita es5_y5 sono affetti da un’incertezza di quasi un ordine di grandezza superiore\nCapitolo 2Identificazione di un sistema reale mediante approccio “black box”\nIn questa parte considereremo l’analisi di un sistema reale e la sua identificazione tramite l’approccio “black box”. Mentre finora sono state eseguite identificazioni a partire da set di dati già disponibili, in questa parte si considererà il problema di avere un sistema reale senza alcuna informazione a priori, ponendo particolare attenzione alla modalità con la quale i dati possono essere raccolti e a quali siano le condizioni operative ottimali, valutando il modo in cui queste possono influenzare l’informazione in essi contenuta. Quindi la prima fase nell’identificazione di un sistema con questo tipo approccio, consiste nella raccolta dei dati (il set di coppie di valori ingresso, uscita) a cui applicare successivamente le procedure dell’identificazione per ottenere dei modelli ARX o ARMAX. La raccolta dati avviene osservando il funzionamento del sistema: si effettuano misure sull’uscita in corrispondenza di opportuni ingressi imposti. Tali input devono consentire la raccolta di dati quanto più ricchi possibile di informazione per descrivere il comportamento del sistema e le sue caratteristiche. Come è noto dalla teoria, se si utilizza un segnale di ingresso persistentemente eccitante si riesce a stimolare tutta la dinamica del sistema e conseguentemente è possibile raccogliere la maggiore quantità di informazione utile alla costruzione di un buon modello. Quindi si adotta come ingresso un segnale avente questa caratteristica: il rumore bianco.\nQuesta fase iniziale, dunque, merita particolare attenzione e risulta determinante perché il processo di identificazione e la bontà dei risultati, in termini di modello, risulta fortemente dipendente dalla qualità dell’informazione sul sistema contenuta nei dati. È essenziale, però, considerare che sorgono inevitabili problemi pratici nella raccolta dei dati per la presenza di contributi indesiderati dovuti a disturbi, errori di misura e di quantizzazione. In generale si può dire che limiti e caratteristiche del sistema di acquisizione dati interfacciato con il sistema reale, comportano una perturbazione dell’informazione che si intende raccogliere. E’ perciò fondamentale considerare tutti quei fenomeni o disturbi che possono influire in qualche modo e condizionare l’informazione al momento della raccolta, per poter interpretare bene i dati e quindi i risultati.\n1Struttura del sistema di acquisizione: problematiche, scelte operative\nLa raccolta dati, effettuata tramite calcolatore e una scheda di acquisizione dati Lab-pc, che lo interfaccia con il sistema reale da identificare, incontra una serie di problematiche strettamente legate alla struttura e all’esperimento:\nla generazione di un segnale d’ingresso di tipo rumore bianco, con valore medio nullo e varianza unitaria, necessario allo scopo di sollecitare completamente la dinamica del sistema (segnale persistentemente eccitante), risulta praticamente impossibile da costruire fisicamente, per cui si utilizza un’accettabile approssimazione, stabilendo entro una certa tolleranza la caratteristica di bianchezza;\nl’architettura del sistema di raccolta dati si basa su un calcolatore e una scheda di acquisizione: si interconnettono direttamente un sistema operante a tempo discreto e a valori quantizzati, e un sistema a tempo continuo, caratterizzato da grandezze continue a valori reali. Ne consegue che è determinante la scelta del tempo di campionamento nella raccolta dei dati: bisogna considerare che questo non può essere inferiore di un certo valore, dettato dalle caratteristiche fisiche di funzionamento, dai tempi di ritardo della scheda di acquisizione e del PC; d’altra parte, però, deve essere sufficientemente piccolo per garantire una corretta acquisizione dell’informazione. Occorre valutare, inoltre, la distorsione introdotta, per effetto della quantizzazione, nella conversione A/D sulle grandezze misurate e il rumore e i disturbi che, sempre presenti, affliggono un sistema fisico e corrompono l’informazione. E’ quindi evidente che il sistema di acquisizione dell’informazione inevitabilmente distorce in una certa misura la raccolta delle informazioni.\nViste le problematiche riscontrabili, focalizziamo ora l’attenzione sulla determinazione del tempo di campionamento e sulle considerazioni che si possono fare per sceglierne correttamente un valore in relazione al sistema che si intende analizzare.\n1.1Scelta del tempo di campionamento\nDal teorema del campionamento è noto che per garantire una corretta acquisizione dei dati, utilizzabili successivamente per ricostruire fedelmente l’informazione, è necessario campionare ad una frequenza almeno doppia della banda del segnale. A questo scopo, per la scelta del tempo di campionamento si è inizialmente individuata in modo sperimentale la banda passante del sistema: è evidente che, trattandosi di un oggetto reale, a priori ci si aspetti una limitazione di banda superiore con un andamento tipo filtro passa basso. La banda passante è stata ricavata dallo studio della risposta in frequenza del sistema.\n1.1.1Risposta in frequenza del filtro, diagrammi di Bode\nRilevando sperimentalmente l’andamento di ampiezza e fase dell’uscita per una serie di sinusoidi a varie frequenze poste in ingresso, si è ottenuta la risposta armonica del filtro. Questa consente di costruire i diagrammi di Bode, trarre significative informazioni sul sistema, evidenziare il comportamento in frequenza e determinare la banda passante dello stesso. I dati ottenuti sperimentalmente, che identificano la risposta in frequenza del filtro, sono riportati nella tabella a lato. In corrispondenza della frequenza del segnale sinusoidale applicato in ingresso, di ampiezza 4 V, si è calcolato il guadagno come rapporto tra l’ampiezza del segnale in uscita e quello fornito in ingresso e si è rilevato lo sfasamento introdotto dal filtro confrontando il ritardo di fase presente sul segnale d’uscita. Il guadagno per comodità, viene anche riportato espresso in dB (modulo).\nCon l’ausilio di Matlab, per interpolazione, con questi valori della risposta in frequenza, è stato possibile tracciare graficamente i diagrammi di Bode approssimati del filtro.\nFigura 1: Particolare del modulo - banda passante B3\nFigura 2: Diagramma di Bode – modulo\nFigura 3: Diagramma di Bode- fase\n1.1.2Banda passante B3 e scelta del tempo di campionamento\nDall’analisi della risposta in frequenza si ricava l’andamento di una funzione di trasferimento tipica di un filtro passa basso e si possono trarre importanti informazioni sul sistema. In figura 1 si vede chiaramente che la banda passante B3 (banda a -3dB) è compresa tra i 2030 Hz e, in particolare, limitata alla frequenza di circa 26 Hz (163 rad/s); inoltre, osservando la figura 2 e 3, si possono avere alcune indicazioni sul numero e sulla posizione dei poli: si nota la presenza di un primo polo che interviene attorno ai 26 Hz (che è quello che determina la banda passante) e di un secondo polo che agisce nell’intorno dei 400 Hz (2513 rad/s).\nÈ possibile ricavare il valore della banda passante B3 anche in un altro modo: applicando un ingresso a gradino al sistema e misurando il tempo di salita ts, ovvero il tempo che impiega l’uscita a passare dal 10% al 90% del valore di regime, e sfruttando la relazione empirica che lega due le grandezze: B3·ts3.\nIn effetti applicando in ingresso al filtro un segnale di tipo onda quadra, che costituisce praticamente una sequenza di impulsi a gradino, si è rilevato l’andamento dell’uscita del filtro e, dall’analisi di tale risposta nel tempo, si è individuato sperimentalmente il tempo di salita ts. Il grafico in figura 4 riporta i valori dell’ingresso (blu) e dell’uscita (rosso) in funzione degli istanti di campionamento tc. Si determina un tempo di salita ts pari a 13.75 istanti tc: ora se la frequenza di campionamento corrisponde a fc750 Hz, segue tc1,333 ms, e quindi si ha ts18.3 ms.\nFigura 4: Risposta al gradino\nSe ricaviamo ts dalla relazione B3·ts3, questa volta però nota la B3 perché determinata attraverso la risposta in frequenza (diagrammi di Bode) si ottiene: ts18.36 ms.\nAnziché considerare un solo valore fc si è preferito prendere più frequenze di campionamento, effettuare la raccolta dati per ognuna di queste e, quindi, procedere all’identificazione su ogni set di dati. Infine si valuteranno i risultati e si valideranno i modelli ottenuti confrontandoli con il sistema reale. Le varie frequenze di campionamento utili a questo scopo possono essere scelte considerando un range ottimale per il tempo di campionamento definito attraverso una relazione empirica che lo determina a partire dal tempo di salita: [ts/15, ts/8]. Ne segue il corrispondente range ottimale per la scelta della frequenza di campionamento: fc  [435, 817] Hz.\nEseguiremo i passi dell’identificazione per le frequenze di campionamento: 400 Hz, 600 Hz e 800 Hz e ne valuteremo i risultati.\nUna volta determinate le condizioni per la raccolta dei dati, si è impostata la strumentazione per generare il segnale d’eccitazione d’ingresso e misurare la corrispondente risposta in uscita dal filtro; si sono registrate le coppie di valori ingresso-uscita, memorizzandole su file, per essere processate successivamente nella costruzione dei modelli.\n2Identificazione dei modelli sui dati raccolti\nEseguita la raccolta dei dati alle varie frequenze di campionamento attraverso il sistema di acquisizione e, disponendo quindi delle coppie ingresso-uscita rilevate, con le procedure di identificazione si è proseguito nell’individuazione dei modelli. I metodi e i passi sono gli stessi seguiti per i casi precedenti, ripetendo l’identificazione per le frequenze 400 Hz, 600 Hz, 800 Hz.\n2.1Frequenza di campionamento fc = 400 Hz\n2.1.1Studio della complessità a priori\nAttraverso l’analisi dell’ordine a priori si determina una complessità massima pari a n=2, per cui sarà preso in esame un modello di ordine massimo arx(2,2,1).\nFigura 5: Studio della complessità a priori\nFigura 6: Studio complessità a priori - particolare\n2.1.2Costruzione dei modelli e prima analisi\nDa una prima analisi dei modelli costruiti si vede che quelli a complessità maggiore (ARX(2,2,1), ARX(2,1,1)) presentano inaccettabili incertezze sui parametri, e quindi non possono essere considerati validi. Il modello più semplice ARX(1,1,1) si comporta meglio in questo senso e sembrerebbe quindi un buon candidato.\n2.1.3Analisi sui dati di identificazione\nQuesto modello è l’unico tra gli ARX che presenti incertezze sui coefficienti polinomiali accettabili (massima 7.69%). Inoltre supera il test di bianchezza e non presenta cross correlazione.\nIl modello ha un solo polo che risulta stabile e ben definito.\nPoli-zeri e relative incertezze:\nincertezza max relativa 3.89%\nB = 0 1.3561e-1\nA = 1 -6.5525e-1\nLoss fcn: 0.040442\nAutocorrelazione dei residui e Cross correlazione\n2.1.4Validazione dei modelli\nL’ARX(1,1,1) mostra ottimo comportamento per quanto riguarda assenza di correlazione dell’errore e cross correlazione, ma un fitting con i dati non buono: l’errore di predizione è contenuto entro gli 0.5 V.\nerrore quadratico medio: 3.7764e-002\nNella fase di validazione, effettuiamo anche un confronto con il sistema reale attraverso i diagrammi di Bode e la risposta al gradino, per valutare ulteriormente l’aderenza del modello al filtro reale. La verifica con i diagrammi di Bode è insoddisfacente per delle differenze sostanziali con il comportamento del sistema reale: un guadagno statico che risulta notevolmente inferiore e, una risposta al gradino che evidenzia un notevole errore a regime.\nDiagrammi di Bode – confronto modello e sistema\nRisposta al gradino – confronto modello e sistema\n2.1.5Risultati e conclusioni\nFra i modelli considerati, esaminati a partire dalla complessità massima n=2, l’ARX(2,2,1) e l’ ARX(2,1,1) non sono accettabili per le elevate incertezze presenti sui parametri, mentre l’ ARX(1,1,1) essendo privo di queste anomalie risulta essere un modello ammissibile, anche se nella fase di validazione si sono evidenziati i suoi limiti, mostrandosi grossolano e impreciso ad identificare correttamente il sistema reale.\nOsservazioni: dalla risposta in frequenza sperimentale abbiamo una conoscenza approssimata del sistema reale, ma si è vista la presenza di almeno due poli. Alla frequenza di campionamento di 400 Hz, il modello accettabile, risulta essere un ARX(1,1,1) caratterizzato da un solo polo, che, però, risulta insufficiente a descrivere adeguatamente il comportamento del sistema reale. Questo perché, adottando una frequenza di campionamento di 400 Hz è evidente che possiamo raccogliere un’informazione utile sulla dinamica del sistema fino a 200 Hz e, quindi, ciò implica trascurare inevitabilmente il contributo della dinamica del secondo polo. In effetti se si valuta la corrispondenza con il modello a tempo continuo in s, si trova la presenza di un solo polo posizionato all’incirca in =169 rad/s (27 Hz), ciò indica che a questa frequenza fc riusciamo ad identificare correttamente solo una parte della dinamica del sistema. Il guadagno statico del modello inoltre risulta evidentemente errato, vale: –8.104 dB.\nPer il corrispondente modello a tempo continuo specifichiamo che è stato calcolato con le funzioni presenti nel toolbox di identificazione di Matlab, nel modo seguente: tramite la funzione thd2thc si è ottenuta, dalla rappresentazione del modello a tempo discreto descritta dalla matrice “theta”, l’equivalente rappresentazione in “theta” del modello a tempo continuo; con la funzione th2tf si è ricavata la funzione di trasferimento (numeratore, denominatore) del modello descritto da “theta”. In questo modo si ottiene la funzione di trasferimento in s per il modello considerato:\n2.2Frequenza di campionamento fc = 600 Hz\n2.2.1Studio della complessità a priori\nAttraverso l’analisi dell’ordine a priori si determina una complessità massima ancora pari a n=2, per cui sarà inizialmente preso in esame un modello di ordine massimo arx(2,2,1).\nFigura 7: Studio della complessità a priori\nFigura 8: Studio della complessità a priori – particolare\n2.2.2Costruzione dei modelli e prima analisi\nIl modello di complessità maggiore ARX(2,2,1) presenta incertezza massima elevata sui parametri e pertanto deve essere scartato. Mentre l’ARX(2,1,1) e l’ARX(111) possono essere presi in considerazione per uno studio più approfondito.\n2.2.3Analisi sui dati di identificazione\nPresenta incertezze sui parametri trascurabili. Il test di bianchezza è soddisfatto e non è presente cross correlazione. Benché i parametri risultino abbastanza ben definiti, nella studio dei poli-zeri del modello, compare un’incertezza elevata (74.7%) su un polo, ciò non rende questo modello accettabile.\npoli: 7.8442e-1 -7.1438e-2\nincertezza max relativa 74.7%\nB = 0 1.2510e-1\nA =1 –7.2473e-1 -5.6037e+0\n0 4.5345e-2 4.2657e-2\nQuesto modello mostra parametri con piccole incertezze, supera il test di bianchezza dei residui e non presenta cross correlazione.\nL’incertezza sul polo è contenuta al 20%.\nincertezza max relativa 20.3%\nB = 0 1.1890e-1\nA =1 -7.6952e-1\nLoss fcn: 0.013014\n2.2.4Validazione dei modelli\nL’ARX(1,1,1) anche in validazione supera test di bianchezza dell’errore e non presenta cross correlazione.\nL’errore di predizione è contenuto entro gli 0.4 V.\nerrore quadratico medio: 1.1761e-002\nLa verifica con i diagrammi di Bode è ancora insoddisfacente in particolare per quanto riguarda il guadagno statico che risulta errato (inferiore di circa 5.75 dB).\n2.2.5Risultati e conclusioni\nL’ARX(1,1,1) risulta essere quello accettabile a questa frequenza di campionamento anche se continua a non rivelarsi un buon modello per identificare il sistema reale.\nOsservazioni: L’identificazione effettuata sui dati raccolti campionando a 600 Hz conduce ad un modello ancora troppo semplice per descrivere esaurientemente la dinamica del sistema reale. Tuttavia, rispetto ai risultati ottenuti sui dati raccolti con fc=400 Hz notiamo un leggero miglioramento delle prestazioni del modello. Questo risultato lo possiamo interpretare ancora come il condizionamento dell’informazione raccolta dovuta alla scelta del tempo di campionamento che limita la possibilità di indagare sulla dinamica del sistema a fc/2=300 Hz.\nIn effetti nel corrispondente modello a tempo continuo, la cui funzione di trasferimento è , ritroviamo ancora un modello con un solo polo, che in s, si trova posizionato all’incirca in =157 rad/sec. Infine da notare che, anche se il guadagno statico risulta ancora errato (-5.759 dB), si ha un miglioramento rispetto al modello ricavato con fc=400 Hz.\n2.3Frequenza di campionamento fc = 800 Hz\n2.3.1Studio della complessità a priori\nLo studio dell’ordine a priori denota che la diminuzione maggiore dell’autovalore minimo è in corrispondenza della complessità n=2, ma si nota anche una ulteriore decrescita relativa (87%) nel passare alla complessità n=3. Pertanto in questo caso potremmo procedere assumendo come complessità massima n=3, riservandoci di valutare più avanti nell’analisi e nella verifica dei modelli l’opportunità di questa scelta (cioè se aver considerato n=3 anziché 2, rappresenti effettivamente una sovrastima della giusta complessità).\nFigura 9: Studio della complessità a priori\nFigura 10: Studio della complessità a priori - particolare\n2.3.2Costruzione dei modelli e prima analisi\nTra l’insieme dei modelli possibili a partire dalla complessità massima n=3, si ha che molti risultano inaccettabili perché o non superano il test di bianchezza con elevato numero di errori, o perché le incertezze relative sui parametri sono enormi. Quindi gli unici modelli da sottoporre ad una ulteriore analisi saranno l’ARX(3,1,1) e l’ ARX(2,1,1).\n2.3.3Analisi sui dati di identificazione dei modelli\nIl modello presenta incertezze sui parametri accettabili. Il test di bianchezza è soddisfatto e non è presente cross correlazione (un punto al limite della soglia). Tuttavia il modello in forma poli-zeri presenta un’anomalia notevole: un’elevatissima incertezza su un polo che rende il modello non accettabile.\npoli: 8.1991e-1 6.4751e-2+1.0678e-1i 6.4751e-2-1.0678e-1i\n1.3301e-3 1.0541e-3+9.3282e-3i -3.1433e-1\nincertezza max relativa 485%\nB = 0 1.5494e-1\nA =1 –9.4941e-1 1.2177e-1 -1.2786e-2\n0 1.6166e-3 2.2671e-3 1.6135e-3\nLoss fcn: 3.0343e-5\nIl modello ARX(2,1,1) non supera il test di bianchezza (3 errori) e presenta un errore in cross correlazione. I parametri sono molto ben definiti.\npoli: 8.1365e-1 1.3417e-1\nincertezza max relativa 16.5%\nB = 0 1.5508e-1\nA =1 -9.4782e-1 1.0917e-1\n0 1.6937e-3 1.6925e-3\nLoss fcn: 3.4199e-5\n2.3.4Validazione dei modelli\nL’ARX(2,1,1) non supera test di bianchezza dell’errore e presenta cross correlazione.\nerrore quadratico medio: 4.0428e-005\nIl modello presenta un buon fitting e l’errore è contenuto entro 0.0215 V. La verifica con i diagrammi di Bode è abbastanza soddisfacente e così può ritenersi anche la risposta al gradino. Il modello ARX(2,1,1) pur presentando un errore in cross correlazione ed errore di predizione non bianco, si rivela in definitiva un buon modello per il sistema reale.\nE’ stata tentata anche l’identificazione del sistema con modelli più complessi della famiglia ARMAX per esaminare la possibilità di ottenere un risultato migliore per comportamento e prestazioni rispetto ai modelli ARX ricavati finora, ma si è visto che ciò non si verifica, perché o non si raggiunge un sostanziale miglioramento o in pratica non si riesce a costruire un modello valido e quindi accettabile a causa delle elevate incertezze sui parametri e insoddisfacente bianchezza dell’errore.\n2.3.6Risultati e conclusioni\nL’identificazione effettuata sui dati raccolti campionando a 800 Hz conduce ad un modello più complesso dei casi precedenti, sviluppati sui set di dati raccolti alle frequenze di campionamento di 400 Hz e 600 Hz. A questa frequenza “compare” l’effetto del secondo polo che tuttavia non riesce ancora ad essere identificato esattamente. Il modello più soddisfacente è l’ARX(2,1,1) che in definitiva può essere accettato pur non superando il test di bianchezza e presentando cross correlazione. E’ buono il fitting con i dati e il comportamento in frequenza, che tende quasi a coincidere con quello del sistema reale: il guadagno è quasi esatto e, sia il modulo che la fase nei diagrammi di Bode tendono a quelli reali. Da sottolineare che l’equivalente modello ARX(2,1,1) a tempo continuo è caratterizzato da una funzione di trasferimento , che presenta due poli: un primo polo in 1=165 rad/s (26 Hz) e un secondo in 2=1606 rad/s (256 Hz), e il primo polo del sistema reale è esattamente identificato dal modello.\nIn questa parte si sono affrontate le problematiche dell’identificazione di un sistema reale, mediante l’approccio “black box”, con particolare attenzione alla fase della raccolta dei dati. E’ stata messa in risalto l’importanza della struttura di acquisizione dei dati e della sua necessità a lavorare in condizioni ottimali (in particolare per la scelta del tempo di campionamento) per raccogliere dati quanto più possibile ricchi di informazione. Queste valutazioni si sono riscontrate nella fase di identificazione dei modelli per quanto riguarda i diversi risultati ottenuti alle diverse frequenze di campionamento: si è evidenziata la dipendenza tra le condizioni in cui sono stati raccolti i dati e i risultati a cui essi hanno condotto in termini di modello ricavato. In particolare, si è osservata l’importanza di avvicinarsi quanto più possibile alle condizioni ideali di funzionamento del sistema, perché il modello che si ottiene con l’identificazione è in grado di descrivere in modo soddisfacente solo la parte di sistema relativa a quella specifica condizione di lavoro. In effetti, ad esempio, si potrebbe pensare di utilizzare il modello più adatto in base alle condizioni di utilizzo reali del sistema: se il filtro venisse utilizzato per lavorare fino ad una frequenza massima di 200 Hz, potremmo prendere in considerazione il più semplice modello ricavato ARX(1,1,1), dovendo però necessariamente aggiustarne il guadagno statico.\nUn ultimo aspetto che vale la pena considerare e che traspare dalle osservazioni sui risultati è che nell’analisi di un sistema fisico reale, l’assunzione di una banda totalmente contenuta e limitata alla B3 costituisce già un’approssimazione che in qualche misura trascura una certa parte di dinamica del sistema. D’altra parte se considerassimo una banda molto maggiore (in termini pratici raccogliessimo i dati adottando una frequenza di campionamento molto superiore a quella scelta sulla considerazione della B3) ci si potrebbe aspettare di giungere a risultati ancora migliori. In realtà, però, si vede che ciò non accade perché intervengono in maniera più consistente contributi dovuti al rumore, che influenzano negativamente, peggiorando addirittura i risultati dell’identificazione. Questo si è visto analizzando dei dati ottenuti a frequenze di campionamento di 10kHz e 15kHz che non hanno consentito la costruzione di modelli con prestazioni migliori di quelli già ottenuti.\nCapitolo 3Rosenbrock: State space and Multivariable theory\n1Equazioni in spazio di stato\nx è lo stato del sistema (vettore )\nu è l’ingresso del sistema (vettore )\ny è l’uscita del sistema (vettore )\nLe matrici A, B, C sono a coefficienti costanti e sono chiamate\nA matrice dello stato ( )\nB matrice dell’ingresso ( )\nC matrice dell’uscita ( )\nIl sistema di equazioni così scritto prende il nome di sistema in rappresentazione in spazio di stato. L’ordine del sistema è n corrispondente alla dimensione del vettore di stato x e al numero di condizioni iniziali indipendenti necessarie per la soluzione unica dell’equazione. Scrivendo il sistema in forma spazio di stato si ipotizza la linearità, la dimensione finita e in particolare che il vettore di stato sia continuo e derivabile; in questo modo, però, è possibile modellare solo quei fenomeni la cui variazione dello stato risulti essere continua nel tempo.\nRosenbrock è interessato invece ad analizzare fenomeni meccanici od elettrici nei quali siano presenti brusche variazioni delle variabili di stato (urto fra due corpi, fenomeni di scarica), le quali, quindi, non permettono l’utilizzo delle equazioni scritte in precedenza. Rosenbrock sviluppa una teoria capace di trattare modelli più generali che possano rappresentare situazioni in cui si abbiano istantanee variazioni nella struttura del sistema.\nIl primo passo è vedere come il sistema in forma spazio di stato è rappresentabile nel dominio di Laplace. Supponendo che l’ingresso del sistema sia un vettore u, le cui componenti, funzioni continue del tempo, risultino essere nulle per t  0 e tali da soddisfare la limitazione\nallora esiste la trasformata di Laplace di u valida per . Inoltre se le condizioni iniziali per il vettore di stato sono tutte nulle\nallora applicando la trasformata di Laplace alla (1) si ottiene\nLa matrice razionale contiene tutte le informazioni riguardanti il comportamento esterno del sistema e prende il nome di matrice delle funzioni di trasferimento.\nLa prima generalizzazione consiste nell’ipotizzare che l’uscita y possa dipendere ,oltre che dallo stato x e dall’ingresso u, anche dalle sue derivate. A seguito della trasformata di Laplace si ha quindi che l’uscita y è data dalla relazione\ndove D(s) è una matrice polinomiale in s. La seconda generalizzazione è l’estensione dell’insieme degli ingressi ammissibili; La nuova classe di ingressi è costituita da:\nu derivabile ovunque almeno fino all’ordine desiderato;\nu derivabile ovunque fino all’ordine desiderato fatta eccezione per un numero finito di punti nei quali però esistono la derivata destra e sinistra, diverse tra loro;\nu derivabile in senso distribuzionale.\npossono essere scritte come una singola equazione matriciale nella forma\nLa matrice polinomiale\ndi dimensioni contiene tutta l’informazione matematica del sistema necessaria per descrivere il suo comportamento. P(s) è chiamata system matrix e, poiché in questa forma corrisponde alle equazioni in spazio di stato, è detta anch’essa in forma spazio di stato. In generale, qualunque descrizione applicabile al sistema può essere applicata al system matrix.\nScrivendo ora la matrice C mediante le sue righe e la matrice B mediante le sue colonne è possibile evidenziare il legame che intercorre da un lato tra gli elementi di G(s) e le matrici A, B, C, D(s); dall’altro quello esistente tra gli elementi di G(s) e quelli della matrice P(s):\ndove è il minore formato dalle righe e dalle colonne di P(s).\n2Generalizzazione della rappresentazione in spazio di stato\nPer sistemi meccanici ed elettrici lineari esistono procedure sistematiche medianti le quali è possibile rappresentarli in forma spazio di stato. Spesso, però, i sistemi fisici sono non lineari e la loro analisi avviene attraverso processi di linearizzazione considerando piccole perturbazioni attorno ad uno stato stabile. Le equazioni risultanti da questo processo usualmente non sono in forma spazio di stato e può non essere possibile portarle in questa forma. Esse potrebbero essere nella forma\ndalla quale è possibile arrivare nella forma in spazio di stato solo se Q è non singolare. Avremo infatti:\nSe invece Q è singolare il passaggio alla forma in spazio di stato non è possibile in quanto non esiste . Si consideri, ad esempio, il sistema costituito da una ruota che percorre una rotaia la cui traiettoria è descritta da u(t).\nx1 P u(t)\nSia x1 la misura della quota del punto di contatto P rispetto alla rotaia e x2 la velocità di variazione della quota di P. La traiettoria u(t) è una funzione continua e derivabile; ma, se il profilo della rotaia presentasse un gradino come in figura 1.b, u(t) avrebbe una discontinuità e quindi non sarebbe derivabile in quel punto. Qualora la ruota riuscisse a superare il gradino, il punto P passerebbe ad una quota superiore e quindi la velocità di variazione presenterebbe un impulso in corrispondenza della discontinuità. Un modello del sistema ruota-rotaia può essere il seguente:\nche scritto in forma matriciale diventa\nDa esempi come questo Rosenbrock intuì che per poter descrivere sistemi più generali era necessario che tutte le matrici utilizzate per rappresentare il sistema in spazio di stato avessero termini polinomiali di qualsiasi ordine nella variabile s e che, quindi, l’ordine delle equazioni differenziali potesse essere maggiore del primo. Questa fu la terza generalizzazione che introdusse e permise in questo modo di estendere l’insieme dei modelli considerati a tutti quelli che nel dominio della variabile s assumono la forma:\ncon T, U, V, W matrici polinomiali di dimensioni rispettivamente . Inoltre impose che per garantire la risolubilità delle equazioni. Si può notare che nella (2) la variabile  svolge la stessa funzione che la x svolge nella (1), ossia è una variabile interna del sistema e dipende, come le sue derivate, da combinazioni delle derivate dell’ingresso.\nEsempio: Circuito elettrico\nIl circuito elettrico è descritto dalle equazioni:\ndove e è l’input al sistema e i è l’output del sistema. Sostituendo la seconda e la terza equazione nella quarta si ottiene\nSostituendo la (4) e la seconda delle equazioni (3) nella prima delle equazioni (3) si ha\nRappresentando quindi il sistema in forma spazio di stato si ha\nè il vettore di stato\nè l’ingresso del sistema\nÈ possibile esprimere queste relazioni in base alla rappresentazione di Rosenbrock\nNella (5) sono immediatamente individuabili le matrici T(s), U(s), V(s).\nSe invece prendiamo le variabili interne nel modello alla Rosenbrock in modo che coincidano con le variabili di stato del modello classico, allora la system matrix associata al sistema è\n2.1Definizione di ordine di un sistema\nSi vuole ora misurare la complessità di un sistema rappresentato alla Rosenbrock. Per i modelli classici, espressi mediante le variabili di stato, la complessità è data dal numero delle variabili interne; infatti maggiori sono i meccanismi di accumulo di energia (memoria del sistema) e maggiori sono i tipi di comportamento diversi. Nei modelli che si sono presi in esame  non è una variabile di stato, quindi non è possibile associare alla complessità del sistema la . Si introduce, quindi, il concetto di ordine, che rappresenta il numero di condizioni iniziali indipendenti necessarie per definire la soluzione delle equazioni (2) quando l’ingresso . Si può infine osservare che se il sistema è in forma spazio di stato allora l’ordine coincide con la dimensione del vettore di stato, se invece è espresso mediante le equazioni (2) allora l’ordine è pari al grado del determinante di T(s).\nPer determinare quante condizioni iniziali indipendenti sono necessarie nel sistema di equazioni differenziali (2) bisogna porre e sostituire la variabile s con l’operatore differenziale D\nIl numero di parametri indipendenti nella funzione complementare, che è soluzione di\nè l’ordine del sistema cercato.\nSi considerino i tre seguenti tipi di operazioni:\nprodotto di una riga per una costante non nulla;\nscambio della riga i con la j;\nsomma di una riga con il prodotto di una costante per la derivata di un’altra riga.\nUna soluzione delle equazioni (6) rimane soluzione anche dopo una qualunque di tali operazioni. Inoltre, ciascuna operazione ha un’inversa; quindi ogni soluzione delle equazioni trasformate è anche una soluzione delle equazioni originali. Attraverso una sequenza di tali operazioni elementari si può portare T(D) nella forma triangolare inferiore Q(D)\nLa prima equazione del sistema\ne quando questa viene integrata si introduce un numero di costanti arbitrarie pari al grado di . La seconda equazione è\ndove è ora una funzione nota. Quando l’equazione viene integrata si introduce un ulteriore insieme di costanti arbitrarie uguali in numero al grado di . Proseguendo per questa via si determina che il numero totale di costanti arbitrarie nella soluzione di (che è anche soluzione di ) è uguale alla somma dei gradi di . Poiché la matrice Q è triangolare, questa somma è il grado di , che è lo stesso grado di dato che le operazioni elementari lasciano invariato il grado del determinante.\n2.2System matrix polinomiale\nNella prima equazione della (2) T è una matrice e r non ha nessuna relazione con l’ordine n del sistema, il quale è uguale al grado del determinante di T(s). Ad esempio nel caso del circuito elettrico abbiamo visto che può aversi mentre . Prima di unire T, U, V e W all’interno di un system matrix ci si deve assicurare sempre che , ovvero di avere un numero di equazioni almeno pari all’ordine del sistema. Se questa condizione non è soddisfatta dalle matrici assegnate si aggiungono le equazioni mancanti come equazioni spurie. Si considerano quindi le seguenti matrici espanse\nche comportano l’aggiungere nuove equazioni algebriche nella forma\ne determinano un’uscita\ndalla quale si nota che le nuove variabili interne non influiscono nell’uscita.\nQuindi nell’ipotesi che si può definire il system matrix come\nQuesta forma del system matrix prende il nome di forma polinomiale. La forma polinomiale include chiaramente la forma in spazio di stato come un caso particolare.\nDalle equazioni (2) si ottiene\ndalle quali è possibile definire la matrice di trasferimento\nAl system matrix\nè associata la funzione di trasferimento\n3Trasformazioni di system matrix\nIl vantaggio di utilizzare il system matrix P(s) è che tutte le trasformazioni delle equazioni del sistema possono essere espresse come operazioni su P(s). Ciò significa che le operazioni possono essere classificate e le loro proprietà studiate molto semplicemente. Le trasformazioni che si analizzeranno sono quelle che lasciano invariata la funzione di trasferimento G(s) e l’ordine del sistema.\n3.1Sistemi strettamente equivalenti\nDato il system matrix polinomiale P(s) di dimensione si considerino le quattro matrici polinomiali in s:\nM(s), N(s) matrici unimodulari (la loro inversa è una matrice polinomiale poiché il determinante è una costante), di dimensione e con determinante non nullo e indipendente dalla variabile s;\nX(s), Y(s) rispettivamente di dimensioni e .\nsono legate dalla trasformazione\nallora P(s) e P1(s) sono sistemi strettamente equivalenti.\nLa matrice a sinistra di P(s) opera sulle equazioni facendo combinazioni delle righe del system matrix e delle loro derivate; mentre la matrice a destra di P(s) opera sulle equazioni facendo combinazioni delle colonne e delle loro derivate.\nDue system matrices che sono strettamente equivalenti hanno lo stesso ordine e la stessa matrice di funzioni di trasferimento.\nDimostrazione: Dall’equazione matriciale (7) si ottiene\nCalcolando i determinanti delle due matrici si ottiene che e hanno lo stesso grado, poiché, per ipotesi, M e N sono unimodulari. Conseguentemente anche P e P1 hanno lo stesso ordine.\nEffettuando le moltiplicazioni nella (7) si ottiene\nda cui, ricavando le matrici di trasferimento delle due system matrices, si ha\nSe consideriamo le due system matrices ottenute a partire dall’esempio del circuito elettrico, intuiamo che per il teorema precedente non vale il viceversa; riprendiamo infatti P(s):\ne calcoliamo il determinante di T(s):\nche è di secondo grado, quindi l’ordine del sistema è 2, noto il quale possiamo calcolare l’inversa:\ne quindi la matrice di trasferimento G(s) della P(s):\nPrendiamo adesso la system matrix ottenuta dal sistema in rappresentazione in spazio di stato:\nche ha lo stesso ordine di P(s) perché anche det P1(s) ha grado 2:\nutilizziamolo per il calcolo di T1-1\ndalla quale ricaviamo la stessa G(s) della system matrix precedente:\nTuttavia P(s) e P1(s) non possono dirsi strettamente equivalenti, perché le operazioni di stretta equivalenza non sono in grado di aggiungere o rimuovere righe o colonne, quindi non ci permettono di passare da una system matrix 5x5 ad una system matrix 3x3.\nDa un altro punto di vista possiamo dire che per passare da T1 di dimensione 2x2 a T di dimensione 4x4, le matrici M ed N della definizione di s.s.e. dovrebbero essere rettangolari, mentre nella definizione stessa è esplicitamente imposto che siano quadrate (per essere unimodulari devono essere dotate di determinante, quindi devono necessariamente essere quadrate).\nDefinizione: sia A(s) una matrice polinomiale di dimensioni . È possibile ricavare\ndove M(s) e N(s) sono matrici polinomiali unimodulari. S(s) è detta forma di Smith.\nOgni system matrix polinomiale P(s) è strettamente equivalente alla forma\ndove P1(s) è un system matrix in forma spazio di stato.\nOgni system matrix, quindi, può essere trasformato mediante la stretta equivalenza in un system matrix in forma spazio di stato; le equazioni differenziali di ordine superiore al primo vengono così sostituite con più equazioni differenziali del primo ordine.\nSia P(s) il system matrix\nsottraendo volte la seconda riga dalla prima si ottiene\nora sommando volte la prima colonna all’ultima si è ricondotto il system matrix in forma spazio di stato\nL’esempio mostra il significato, in termini di operazioni elementari sulle equazioni che definiscono il sistema, delle trasformazioni tra matrici strettamente equivalenti:\nprodotto di una riga (colonna) per una costante non nulla;\nscambio di righe (colonne);\nsomma di una riga (colonna) con una combinazione lineare delle prime r righe (colonne).\nSe un system matrix P(s) in forma spazio di stato viene trasformato attraverso la stretta equivalenza, il risultato della trasformazione, in generale, non è in forma spazio di stato. Se H è una matrice costante (indipendente dalla variabile s) non singolare allora la trasformazione\npreserva la forma in spazio di stato. Questa trasformazione viene chiamata similitudine di sistema ed è facile dimostrare che la matrice H individua un cambio di base nello spazio di stato, infatti:\ndove abbiamo posto A1,B1,C1 pari proprio a:\nLa stretta equivalenza include la similitudine di sistema come un caso particolare; ne segue quindi che l’ordine del sistema e la matrice delle funzioni di trasferimento rimangono invariati.\nDue system matrices P(s) e P1(s) in forma spazio di stato sono sistemi simili se e solo se sono sistemi strettamente equivalenti.\n3.3Equivalenza di sistema\nI sistemi trattati sono esprimibili come system matrix polinomiali per i quali è possibile individuarne la complessità. Rosenbrock si pose il problema di individuare tra modelli a complessità diversa, che rappresentano lo stesso sistema, quello più semplice; volle dunque trovare un modo per semplificare il sistema.\nLa stretta equivalenza si basa su operazioni elementari che non alterano l’ordine del sistema, ma per ridurre la complessità bisogna semplificare i polinomi. L’operazione di semplificazione è una divisione che non è ammessa nello spazio dei polinomi; occorre, quindi, estendere l’insieme fin qui considerato, quello delle matrici polinomiali, all’insieme delle matrici razionali.\nSi consideri, dunque, un system matrix P(s)\ndove T, U, V, W sono matrici di funzioni razionali. Un system matrix di questo tipo è detto in forma razionale. Le matrici T, U, V, W sono di dimensioni ma nessun ordine è associato a P e non ci sono restrizioni sulla grandezza di r. Si assume, inoltre, che .\nLa classe dei system matrices razionali include la classe dei system matrices polinomiali e, perciò, include anche la classe dei system matrices in forma spazio di stato.\nDefinizione: due system matrices razionali\nsi dicono equivalenti se vale un’uguaglianza del tipo\ncon M, N, X, Y matrici razionali; inoltre M e N devono essere quadrate e non singolari per qualche n.\nLa relazione di equivalenza di sistema è generata dalle seguenti operazioni, che possono essere eseguite in qualsiasi ordine e per un qualsiasi numero (finito) di volte:\nprodotto di una qualunque delle prime r righe (colonne) per una funzione razionale non identicamente nulla;\nsomma di una qualunque delle prime r righe (colonne), moltiplicata per una funzione razionale, con una qualsiasi altra riga (colonna);\nscambio di due righe (colonne) tra le prime r:\naggiunta di una riga e una colonna a P al fine di formare\no, se il system matrix è nella forma (8), cancellazione della prima riga e della prima colonna per lasciare P.\nIn particolare premoltiplicare P(s) per\ncorrisponde ad effettuare queste operazioni sulle righe, mentre postmoltiplicando P(s) per\nsi va ad agire sulle colonne\nLa matrice delle funzioni di trasferimento G(s) è una forma standard per system matrices equivalenti; infatti ogni system matrix razionale può essere ricondotta alla system matrix equivalente:\nDimostrazione: Si applicano a P le seguenti operazioni\nDue system matrices sono equivalenti se e solo se hanno la stessa matrice di funzioni di trasferimento.\nDimostrazione: se due matrici sono sistemi equivalenti allora generano la stessa G(s) come dimostrato nel Teorema 4. Se due sistemi hanno la stessa matrice di funzioni di trasferimento allora ciascuno può essere ridotto a G(s) attraverso l’equivalenza di sistema. □\nL’equivalenza di sistema include la stretta equivalenza e, quindi, la similitudine di sistema come casi particolari. Riassumendo da un punto di vista insiemistico si ha:\nFacendo un parallelismo con la teoria dei sistemi classica si può evidenziare il percorso seguito da Rosenbrock prima di affrontare il problema della riduzione della complessità.\nRappresentazione alla Rosenbrock\nOperazioni elementari e di derivazione sulle variabili  e sugli ingressi u\nOperazioni solo sulle variabili di stato\nOperazioni che trasformano il sistema in uno di ordine inferiore\nEliminazione di sottosistemi non raggiungibili e non osservabili\n4Riduzione dell’ordine e decoupling zeros\nSi considerino P(s) e P1(s), system matrices polinomiali, di ordine differente tale che ma aventi la stessa matrice di trasferimento. Per il Teorema 5 esiste una trasformazione di equivalenza di sistema che trasforma il modello descritto da P(s) in uno di ordine minore, P1(s).\nSi ponga R1 = R2 = 0. Il system matrix diventa\nche ha ordine 2 e funzione di trasferimento\nIl system matrix\nha ordine 1 e la stessa funzione di trasferimento di P(s). Le seguenti operazioni di equivalenza di sistema trasformano P in P1:\nAnalizziamo ora più approfonditamente queste operazione di riduzione dell’ordine. Si consideri il system matrix\ne si supponga che per qualche valore di s la matrice polinomiale\ndi dimensioni abbia rango minore di r. Il valore viene detto input decoupling zero per P(s).\nPoiché esiste una matrice costante K non singolare tale che\nha una delle righe nulle, ad esempio l’i-esima. Si assuma che T e U abbiano coefficienti reali e si supponga che sia reale; allora la matrice K sarà reale e la riga i-esima di sarà divisibile per .\nLe seguenti operazioni di equivalenza di sistema permettono di eliminare l’i.d.z. reale e quindi di trasformare P in una system matrix polinomiale P1 a coefficienti reali e con un ordine minore di 1 rispetto a P:\nmoltiplicare P a sinistra per la matrice\ndividere la riga i-esima per .\nSe l’i.d.z. è complesso, , allora K sarà una matrice a coefficienti complessi. Si scriva allora\ncosì che M(s) è una matrice polinomiale a coefficienti reali. Si noti che K ha la forma\ne che M(s) ha la stessa forma ma al posto dei coefficienti ha\nallora la riga i-esima della matrice sarà divisibile per .\nSi sono individuate così le operazioni di equivalenza di sistema che permettono di trasformare P in un system matrix polinomiale P1 con coefficienti reali e con ordine minore di 2 rispetto a P:\nLa stessa analisi si può effettuare sulla matrice\nricercando l’esistenza di un valore di s per il quale\nSe questo valore esiste allora viene detto output decoupling zero per P(s) e l’ordine della system matrix può essere ridotto applicando alle colonne operazioni analoghe a quelle svolte sulle righe.\nSe in P(s), system matrix polinomiale di dimensioni ,\nè minore di r per alcuni valori di s allora esiste P1, system matrix polinomiale di dimensioni , di ordine inferiore rispetto a P(s) ma avente la stessa matrice di funzioni di trasferimento. Se P(s) è a coefficienti reali allora P1(s) può essere scelta con coefficienti reali.\nSi consideri il system matrix\nal quale corrisponde il seguente sistema di equazioni nel dominio di Laplace\no nel dominio del tempo\nL’unico zero di disaccoppiamento dell’ingresso è ; infatti, come è visibile dalle relazioni nel tempo, a questo valore corrisponde il modo che non è influenzato dall’ingresso. Per eliminarlo occorre premoltiplicare la P(s) per la matrice\nottenendo così un sistema di ordine 1. Attraverso successive operazioni di equivalenza di sistema si divide P(s) in due blocchi: uno identità, posto in alto a sinistra; uno che costituisce P1(s), posto in basso a destra.\nIndichiamo ora congli output decoupling zeros (o.d.z.) di P(s), mentre sia l’insieme degli i.d.z. Applichiamo la procedura di rimozione degli i.d.z. e otteniamo un nuovo system matrix di ordine inferiore che indichiamo con P1. Sia l’insieme degli o.d.z. della P1; poiché eliminando gli i.d.z potremmo aver eliminato anche degli o.d.z. in generale si avrà che:\nSi indichino gli elementi dell’insieme con : questi saranno chiamati input-output decoupling zeros (i.o.d.z.) di P(s). Chiaramente\nL’insieme degli input decoupling zeros è mentre quello degli output decoupling zeros è . Quando gli i.d.z. sono rimossi il system matrix risultante è\nil quale non ha più nemmeno lo zero di disaccoppiamento dell’uscita; quindi e . Si noti, infine, che i due zeri di disaccoppiamento rispetto all’ingresso di P(s) possono essere associati con i fattori s nella 3a e 4a riga.\nIl system matrix P(s) che ha ordine 4, dato dal grado di , è stato ridotto in un system matrix P1(s) che ha ordine 2.\nIn questo caso la rimozione dello zero di disaccoppiamento dell’ingresso non comporta l’eliminazione dello zero di disaccoppiamento dell’uscita, quindi . Questo mostra che la semplice coincidenza di valori numerici tra e non implica l’appartenenza di quei valori all’insieme .\nGli esempi precedenti mostrano che è difficile individuare singolarmente gli elementi degli insiemi , , etc ed è per questa ragione che si considerano l’unione e l’intersezione di tali insiemi.\nSi consideri l’insieme degli zeri di . L’insieme ha come elementi e poiché ne segue che\nDefiniamo ora gli elementi dell’insieme\nche prendono il nome di poli di G(s), dove G(s) è la matrice di funzioni di trasferimento di P(s).\nCalcoliamo ora gli insiemi precedentemente definiti per questa matrice:\nle radici del determinante di T(s) sono\ngli input decoupling zeros sono ;\ngli output decoupling zeros sono ;\ngli input-output decoupling zeros sono ;\ni poli di G(s) sono .\nDimostrazione: si consideri la trasformazione della matrice\ndove è stato rimosso da . Le due seguenti operazioni sono richieste:\nsostituire T con KT o con M(s)T, dove . Questa operazione lascia invariata la forma di Smith di\ne la prima matrice a destra del segno di uguaglianza ha determinante unitario;\ndividere una riga di o di per . Questa operazione rimuove uno zero da alcuni dei minori di ordine r della matrice\ne può o lasciare invariata la forma di Smith associata o rimuovervi uno zero uguale a .\nOperazioni successive di questo tipo non aggiungono dei nuovi elementi all’insieme ma potrebbero cancellarne alcuni.Ciò che rimane dell’insieme dopo che tutti i sono stati rimossi da è l’insieme e quindi .\nSe un elemento dell’insieme è cancellato attraverso la rimozione di allora si ha che . Poiché gli elementi di che sono stati rimossi in questo modo costituiscono l’insieme ne segue che .\nOgni è uno zero di ogni minore di ordine r della matrice e, perciò, è uno zero di e quindi appartiene all’insieme . Analogamente ogni .\nOgni volta che un è rimosso da , uno zero è rimosso dal determinante di T(s). Dopo che tutti i sono stati cancellati, il blocco T si è trasformato in T1 e la successiva eliminazione dei dalla matrice\ncomporta la rimozione di alcuni zeri da , ciascuno uguale all’elemento . Questo dimostra che .\nInfine, dopo che tutti i sono stati eliminati, gli zeri rimanenti di costituiscono l’insieme . □\nRispetto alla S.S.E. (stretta equivalenza di sistema) i seguenti insiemi sono invarianti:\nl’insieme dei poli di G(s);\nl’insieme degli i.d.z. di P(s);\nl’insieme degli o.d.z. di P(s);\nl’insieme degli i.o.d.z. di P(s);\nl’insieme degli zeri di .\nIn altre parole le operazioni fra righe e colonne che descrivono la stretta equivalenza di sistema non sono in grado di aggiungere ne rimuovere i.d.z. , o.d.z, i.o.d.z., poli di G(s) e zeri di det T(s).\nLa dimostrazione del teorema è riportata in appendice.\n5Matrici polinomiali relativamente prime e definizione di ordine minimo\nSi supponga che per la matrice valga la relazione:\ndove è una matrice polinomiale e\nDiremo che T e U hanno il comune divisore (sinistro) . Se le due matrici T, U hanno solo comuni divisori sinistri unimodulari allora T e U sono chiamate relativamente prime a sinistra\nSi supponga ora che per la matrice\nvalga la relazione:\nDiremo che T e V hanno il comune divisore (destro) . In modo analogo alla definizione precedente, se T e V hanno solo comuni divisori destri unimodulari allora le due matrici sono chiamate relativamente prime a destra\nLe matrici polinomiali T e U, rispettivamente di dimensioni e , sono relativamente prime a sinistra se e solo se una qualsiasi delle seguenti condizioni equivalenti è soddisfatta:\nil rango di è r per tutti gli s (complessi);\nla forma di Smith S(s) di è ;\nesistono due matrici V(s) e W(s), rispettivamente di dimensioni e , tali che la forma di Smith della matrice\nè . Se T e U hanno coefficienti reali allora V e W possono essere scelti con coefficienti reali.\nesistono due matrici polinomiali relativamente prime a destra X(s), Y(s), rispettivamente di dimensioni e , tali che\nSe T e U hanno coefficienti reali allora X e Y possono essere scelti con coefficienti reali.\nRisultati completamente analoghi possono essere formulati per T e V relativamente prime a destra.\nIn vista della definizione di ordine minimo, assume particolare importanza la condizione I) di questo teorema, secondo cui la condizione necessaria e sufficiente perché T e V siano prime a destra è che il rango di sia pari ad r per ogni s.\nRosenbrock infatti definisce una system matrix di ordine minimo quando soddisfa una delle seguenti condizioni:\nnon ci sono zeri di disaccoppiamento;\nle matrici T e U sono relativamente prime a sinistra e le matrici T e V sono relativamente prime a destra;\nL’equivalenza di queste due condizioni, infatti, discende direttamente dalle proprietà I) dei teoremi 9 e 9A.\nLe matrici polinomiali e B, rispettivamente di dimensioni e , sono relativamente prime a sinistra se e solo se una qualsiasi delle seguenti condizioni equivalenti è soddisfatta:\nil sottospazio ortogonale di ogni colonna di B non deve contenere un sottospazio che è invariante su ;\nla matrice di dimensioni\nha rango n, dove q è un intero non inferiore del grado del polinomio minimo di A. In particolare si può scegliere ;\nIn realtà esistono altre condizioni equivalenti affinché sI-A e B siano relativamente prime a sinistra, ma abbiamo ritenuto che siano in secondo piano rispetto alla I e soprattutto alla II, nella quale riconosciamo chiaramente la raggiungibilità del sistema con matrice dinamica A e matrice di ingresso B.\nA titolo indicativo le riportiamo in appendice.\nAnalogamente esiste un risultato che lega l’osservabilità del sistema in spazio di stato all’assenza di divisori destri comuni per le matrici sI-A e C:\nLe matrici polinomiali e C, rispettivamente di dimensioni e , sono relativamente prime a destra se e solo se la matrice ha rango n.\nI teoremi 9,9A,10,10A sono di fondamentale importanza, perché permettono di affermare che le system matrix nella forma in spazio di stato sono di ordine minimo se e solo se il sistema associato è raggiungibile ed osservabile.\n6Numero degli zeri di disaccoppiamento\nQuando i teoremi 10 e 10A non sono verificati, cioè quando il sistema associato alla system matrix in forma di spazio di stato non è raggiungibile e/o non è osservabile, possiamo avere un’informazione intuitiva sulla “distanza” dalla controllabilità e/o dall’osservabilità rispettivamente dal numero di input decoupling zeros e dal numero di output decoupling zeros. E’ quanto afferma il seguente teorema:\nSe P è un system matrix in forma spazio di stato\nallora il numero di input decoupling zeros è dato da\ned il numero di output decoupling zeros è dato da\nIn ogni caso q può essere un qualsiasi intero non inferiore al grado del polinomio minimo di A e, in particolare, si può scegliere .\nPer la dimostrazione di questo teorema è necessaria la scomposizione della system matrix in spazio di stato, che ricorda la scomposizione canonica di Kalman. La rimandiamo perciò al paragrafo 7.1.\n7Riduzione delle equazioni in spazio di stato\nNel paragrafo 4 si è visto un metodo che permette di ridurre l’ordine di un system matrix P, di dimensioni , se questo contiene zeri di disaccoppiamento rispetto all’ingresso o all’uscita. Quando P è in forma spazio di stato da questo metodo generale si può ricavare un algoritmo (vedi appendice) che riduca P(s) alla forma:\ndove . Nella matrice P3 le righe sono linearmente indipendenti per tutti i valori di s perché in ciascuna di queste righe l’ultimo elemento non nullo è una costante e non si hanno due righe il cui elemento non nullo sia nella stessa colonna. Queste righe restano linearmente indipendenti quando la prima riga (o blocco) e la prima colonna (o blocco) sono rimosse; infatti le prime b righe della matrice P3 sono linearmente dipendenti ogni volta che s assume come valore quello di un autovalore di A11. Da questo segue che b è il numero di input decoupling zeros e che questi zeri sono gli autovalori di A11.\nPoiché P3 è un sistema simile a P, avente la stessa matrice di trasferimento , ne segue che\nè un system matrix che non ha i.d.z. e avente la stessa matrice di funzioni di trasferimento di P(s). Attraverso un analoga procedura è possibile rimuovere gli output decoupling zeros da P4(s) ottenendo così una system matrix con ordine minimo.\nL’algoritmo è nato per essere eseguito su un calcolatore ed opera solamente su\npiuttosto che su P(s). Inoltre si può sottolineare che non è necessario avere algoritmi separati per la rimozione degli i.d.z e degli o.d.z. poiché trasponendo il system matrix gli output decoupling zeros diventano input decoupling zeros e, quindi, una sola procedura è sufficiente per entrambi.\n7.1Decomposizione in spazio di stato\nEsiste anche un algoritmo per generare una decomposizione in spazio di stato.\nAnziché ad una matrice P3 nella forma (13) si perviene ad una P5 nella forma:\ndove . Il valore di b resta uguale al numero di i.d.z. e questi zeri sono gli autovalori di A11 e di A22. Quando gli input decoupling zeros sono rimossi il numero degli o.d.z. scende da c a , quindi d è il numero degli i.o.d.z. e questi zeri sono gli autovalori di A11. In ultimo a è il numero di poli di G, dati dagli autovalori di A44.\nLe operazioni effettuate comportano che la P5(s) sia un system matrix simile a P(s).\nUsando il teorema 2 si può formulare il seguente teorema.\nQualunque system matrix in forma spazio di stato è un sistema simile ad una matrice avente la forma di P5. Qualunque system matrix polinomiale è strettamente equivalente ad una matrice avente la forma\nSe il vettore di stato è suddiviso compatibilmente con la forma di P5, le equazioni differenziali sono:\ndove p è l’operatore differenziale. I sottospazi generati dai vettori\nsono chiamati rispettivamente:\nnon controllabile e non osservabile (dimensione d);\nnon controllabile ma osservabile (dimensione );\ncontrollabile ma non osservabile (dimensione );\ncontrollabile e osservabile (dimensione ).\nDimostrazione del teorema 12: dalla trasformazione\nsi porta P nella forma\nAllora la matrice è data da\ne, poiché e sono relativamente prime a sinistra, le ultime righe hanno rango . Si ha quindi che . In modo analogo si può dimostrare la relazione sugli o.d.z.\n8Proprietà dei sistemi di ordine minimo\nNei paragrafi precedenti si è visto che se un system matrix ha i.d.z. o o.d.z. allora il suo ordine può essere ridotto. La riduzione si effettua eliminando gli zeri di disaccoppiamento; in questo modo perveniamo ad un sistema è di ordine minimo , ovvero un sistema che soddisfa una dellaseguenti condizioni:\nnon ha zeri di disaccoppiamento;\nil sistema è osservabile e controllabile (solo per system matrix in forma spazio di stato).\n8.1Forma standard per sistemi simili\nSia P(s) un system matrix di dimensioni in forma spazio di stato e non avente i.d.z.\nScriviamo la matrice B in termini delle sue colonne\nPoiché P non ha i.d.z. la matrice\nha rango n; conseguentemente gli nl vettori\ngenerano lo spazio . Si scelga un sottoinsieme di questi vettori per generare una matrice non singolare\nQuesto sottoinsieme è scelto esaminando i vettori nel seguente ordine\ne prendendo un nuovo vettore se questo risulta essere linearmente indipendente da tutti quelli presi precedentemente. Trovati n vettori soddisfacenti la suddetta caratteristica si può formare la matrice H. Ricordiamo la trasformazione di similitudine di sistema\nEsprimiamo la matrice H in termini delle sue colonne\nAllora in AH le colonne diventano e l’ultimo vettore può essere espresso nella forma\npoiché le colonne di H generano . Da questo segue che ha la forma\ndove sono matrici in forma compagna di dimensioni del tipo\ne , con , ha ingressi nulli eccetto forse nell’ultima colonna. Se qualunque la corrispondente riga e colonna sarà assente nella (15) ma saranno comunque comprese nell’enumerazione.\nNella matrice l’i-esima colonna potrà avere due forme a seconda che o . Se la colonna di B compare come colonna di H. La colonna i-esima di B1 ha tutti gli ingressi nulli eccetto che nella riga dove ha un 1. Se, invece, allora la colonna di B è linearmente dipendente da ; conseguentemente l’i-esima colonna di B1 ha ingressi nulli eccetto forse che nelle righe . La matrice non ha una forma speciale mentre D(s) è la stessa per P e per P1. La forma descritte per P1 è la forma standard. Un’analoga forma standard può essere ottenuta per system matrices che non abbiano o.d.z., nella quale le regole per le righe e le colonne sono scambiate.\nnella quale ci sono due matrici in forma compagna rispettivamente di dimensioni e . Inoltre si ha che\nLa forma standard di P(s) è, quindi,\nammette come soluzione un vettore polinomiale\nPrende il nome di grado della soluzione il più alto grado degli elementi che costituiscono la soluzione stessa.\nammette il vettore soluzione\nil cui grado è 2.\nTra le soluzioni della (16) ce ne sarà una, la si indichi con v1(s), con il grado più basso, λ1. Una seconda soluzione v2(s) sarà linearmente dipendente da v1(s) se esistono due polinomi α(s) e β(s) tali che\naltrimenti v1(s) e v2(s) saranno linearmente indipendenti. Tra tutte le soluzioni della (15) linearmente indipendenti da v1(s) ce ne sarà una, v2(s), con il grado più basso, λ2. Procedendo in questo modo si può generare una successione di vettori polinomiali ognuno linearmente indipendente da quelli che lo precedono.\nSiano , relativamente prime a sinistra. Esistono allora l vettori soluzione vi(s) linearmente indipendenti. L’insieme degli indici minimi è un riordinamento, in ordine di grandezza, dell’insieme e .\nGli indici minimi della matrice , dove , relativamente prime a sinistra, sono invarianti sotto la condizione di similitudine di sistema. Essi sono gli stessi per tutti i system matrices in forma spazio di stato di ordine minimo che generano una data G(s). Gli indici minimi λi possono essere perciò associati con l’ingresso di G(s). Un insieme simile di indici minimi , ottenuto da , può essere associato con l’uscita di G(s).\n8.3Forma standard per sistemi strettamente equivalenti\nIl system matrix P1 nella (14) può essere trasformato dalle seguenti operazioni di stretta equivalenza di sistema:\nsommare s volte la riga alla riga ;\nsommare s volte la riga 2 alla riga 1;\ndove è la dimensione di nella (15). Il risultato di queste operazioni è l’eliminazione della variabile s dalle prime colonne di P1 per avere P2, nella quale le prime colonne hanno la forma\nNella (17) sono elementi di e è un elemento di C1.\nSi considerino, ora, queste successive operazioni:\nsommare un multiplo della colonna 1 ad ogni altra colonna che abbia nella seconda riga ingessi non nulli.\nTutti gli ingressi nella seconda riga di P2, fatta eccezione per il primo, possono essere resi uguali a zero; in modo simile si può operare sulle righe rendendole così nulle fatta eccezione per un ingresso unitario nelle colonne .\nsommare un multiplo della seconda riga alle righe .\nGli elementi nella prima colonna di P2 possono essere resi nulli eccetto per un ingresso unitario nella seconda riga; in modo simile si può operare sulle colonne .\nIl risultato di queste operazioni prende il nome di P3. Le operazioni effettuate lasciano le prime righe di B1 inalterate; i soli elementi non nulli sono posizionati nella prima riga che contiene, inoltre, ingressi polinomiali ognuno dei quali corrispondenti nella posizione all’ultima colonna di una matrice compagna in P1. La colonna di P3 ha m ingressi polinomiali generati attraverso operazioni sulle colonne di C1. Ci sono altri ingressi polinomiali nelle ultime m righe di P3 corrispondenti nella posizione all’ultima colonna di ogni matrice in forma compagna rimasta. Il blocco in basso a destra di P3 è ancora D(s).\nUna procedura simile può essere applicata alle rimanenti matrici in forma compagna ottenendo come risultato P4(s). Scambiando le prime n righe e colonne di P4 e cambiando di segno si ottiene il system matrix P5\nU5 ha q colonne ognuna con un singolo ingresso non nullo, dove q è il rango di B; inoltre non si hanno due ingressi diversi da zero nella stessa riga. Le restanti colonne di U5 sono linearmente dipendenti dalle q colonne precedenti.\nAllora si sommi un multiplo delle righe alle righe in modo che le colonne dipendenti di U5 siano ridotte a zero. Riordinando le righe e riallocando il blocco in P5 si ottiene\nInfine con operazioni sulle colonne di T6 e –V6 trasformiamo T6 nella forma triangolare inferiore T7: in ogni riga di T7 l’elemento di grado massimo è posizionato sulla diagonale principale ed è monico. Se un elemento della diagonale principale è 1, ogni altro elemento della riga lo si fa divenire nullo, grazie alla non singolarità di T6. Il risultato di questa ultima trasformazione prende il nome di P7.\nLa matrice di funzioni di trasferimento è data da\ne poiché è una matrice propria segue che\nSulla base di quanto detto segue il teorema:\nOgni system matrix polinomiale P(s) di dimensioni non avente i.d.z è strettamente equivalente ad un system matrix nella forma\nT(s) è triangolare inferiore ed ha ogni elemento sulla diagonale principale monico e di grado maggiore di ogni altro elemento non nullo di quella riga. Se un elemento della diagonale principale è 1 ogni altro elemento della riga è nullo;\ntende a zero per .\nSe P(s) non ha o.d.z. è strettamente equivalente ad un system matrix nella forma\nT1(s) è triangolare inferiore ed ha ogni elemento sulla diagonale principale monico e di grado maggiore di ogni altro elemento non nullo di quella colonna. Se un elemento della diagonale principale è 1 ogni altro elemento della colonna è nullo;\nSi consideri il system matrix dell’esempio precedente\nApplichiamo le operazioni per ridurlo nella forma standard dei sistemi strettamente equivalenti\nSe le system matrices (18) e (19 ) non hanno zeri di disaccoppiamento allora sono univocamente determinate dalla matrice di trasferimento G(s) loro associata.\n8.4Ordine minimo e matrice di trasferimento\nSiano P e P1 due system matrices polinomiali di dimensioni non aventi zeri di disaccoppiamento. Allora P e P1 sono strettamente equivalenti se e solo se hanno la stessa matrice di trasferimento G.\nDimostrazione: se P e P1 sono strettamente equivalenti allora originano la stessa G come dimostrato nel Teorema 1. Se P e P1 originano la stessa G allora si porti ognuna attraverso la stretta equivalenza nella forma standard (18). Le due forme standard generate in questo modo sono identiche, essendo univocamente determinate da G. Notare che se P1 ha la matrice più piccola può essere espansa fino alla dimensione dell’altra. □\nLe due system matrices\nhanno ordine minimo ed entrambe generano la stessa matrice di funzioni di trasferimento\nLe due matrici sono, perciò, strettamente equivalenti; infatti\nDa notare come lo zero della funzione di trasferimento può essere spostato dalla stretta equivalenza da V in U. Ciò contrasta con il comportamento degli i.d.z. o degli o.d.z. che rimangono associati all’ingresso o all’uscita sotto la stretta equivalenza.\nSia P(s) un system matrix polinomiale, con ordine n, non avente zeri di disaccoppiamento e che origina la matrice di trasferimento G(s). Allora non esiste un system matrix polinomiale P1(s), con ordine , avente la stessa G(s).\nDimostrazione: supponiamo per assurdo che esista una tale matrice P1(s). Se P1(s) ha alcuni zeri di disaccoppiamento questi vengono rimossi. Il risultato di questa operazione è una matrice P2(s) con ordine . Allora P2(s) non ha zeri di disaccoppiamento e origina G; inoltre si può assumere che P(s) e P2(s) abbiano la stessa dimensione. Per il Teorema 16 P2(s) è strettamente equivalente a P(s) e così . La contraddizione cui si è giunti prova il teorema. □\n9Identificazione dei sistemi\nNei paragrafi precedenti si è sottolineata l’equivalenza delle descrizioni di un sistema attraverso la system matrix e la matrice di funzioni di trasferimento. Un importante problema pratico è quindi quello di ricavare una delle due descrizioni da misure fisiche fatte sul sistema stesso.\nQuesta fase dello studio viene detta identificazione e può essere di due tipi:\noff-line, quando i dati ingresso-uscita sono disponibili prima dell’inizio delle procedure di calcolo;\non-line, quando i dati affluiscono durante la procedura di calcolo stessa.\nPresentiamo ora un procedimento che teoricamente permette di risalire alla matrice di trasferimento.\nSi supponga di avere un sistema a tempo discreto descritto dalle equazioni\ndove e la sequenza di uscita è osservata quando l’ingresso è . Consideriamo la sequenza di uscite corrispondenti agli ingressi per formare la sequenza delle matrici .\nSe è la matrice di trasferimento del sistema, possiamo risalire ad essa a partire dalle Gi, perché sono i “coefficienti” del suo sviluppo in serie di :\nCome anticipato, però, questo metodo è valido solo teoricamente, dato che non tiene conto di alcune importanti questioni:\nle Gi non sono note esattamente, ma affette da errore\nl’ordine del sistema non è noto\nnon è possibile con un’osservazione finita, raccogliere infinite matrici Gi\nLe questioni poste, però, non sono insormontabili: dalla teoria dell’identificazione già vista sappiamo come si può ovviare ai primi due problemi, quindi tralasciamoli in questa trattazione (supponiamo cioè che le Gi siano note esattamente e che l’ordine del sistema sia conosciuto); per la terza questione, invece, dimostreremo ora che è possibile trovare a partire da un insieme finito di Gi una system matrix\nche è un modello per il sistema con matrice di trasferimento .\nIl numero di Gi necessario è pari a 2n, dove e sono gli indici minimi già definiti nel paragrafo 8.3 a partire dall’equazione:\ndove , sono vettori polinomiali in cui il grado più elevato è .L’equazione (20) implica che l’ingresso produce un’uscita che è polinomiale in z e per essa vale il seguente teorema:\nDue vettori polinomiali soluzioni della (20)\nsono linearmente indipendenti se e solo se e sono linearmente indipendenti.\nIl teorema fondamentale che ci permette di costruire la system matrix\npossiede le soluzioni tali che i polinomi godono delle seguenti proprietà:\nhanno grado effettivo con\nIn base a questo teorema, perciò, possiamo costruire T(z) assemblando i vettori e otteniamo una matrice con importanti proprietà:\ndove le colonne di V(z) sono le uscite corrispondenti a\nT e V sono prime a destra\nAbbiamo quindi trovato a partire dalle un modello di ordine minimo per il sistema con matrice di trasferimento G(z):\nEssendo infatti U(z)=I e W(z)=0 avremo proprio che\nPer snellire l’esposizione, in questo capitolo sono riportate proprietà, algoritmi e dimostrazioni di teoremi che non sono state ritenute essenziali ai fini della trattazione.\n10.1Dimostrazione teorema 2\nData P(s), system matrix in forma polinomiale, si scelgano M e N nella (7) affinché T1 sia nella forma di Smith. Se , poiché ha grado n, vi saranno elementi unitari sulla diagonale principale nelle prime posizioni. Sottraendo multipli delle righe dalle ultime m righe del system matrix si ottiene che gli elementi delle prime colonne sono nulli ad eccezione di quelli sulla diagonale principale che sono unitari. Operando in modo analogo sulle colonne il system matrix assume la forma\ndove T2 è la parte rimanente di T1.\nSi scelgano M1 e N1 nella (7) in modo tale che siano\ndove M2 e N2 sono tali che\nInfine sottraendo multipli delle righe dalle ultime m righe si ottiene che queste ultime sono indipendenti dalla variabile s. Procedendo in modo analogo per le colonne si ottiene il system matrix nella forma\n10.2Dimostrazione teorema 8\nDalla (9) segue la V, dalla (10) segue la II e dalla (11) segue la III.\nIl risultato della rimozione dell’insieme dei da è rappresentato dalla matrice polinomiale\ndove Q(s) è una matrice razionale. Allora dalla (10) si ha\ncosì che è una matrice polinomiale che ha la stessa forma di Smith di , che è .\nDalla relazione (11) si ha\ndove può essere generata come prodotto di operazioni del tipo e moltiplicazioni di una riga per . Ne consegue che è una matrice polinomiale e la relazione precedente mostra che\nhanno la stessa forma di Smith, la quale ha come zeri l’insieme . I risultati IV e I seguono ora dalla definizione di e . □\n10.3Altre condizioni equivalenti per il teorema 10\nNon esiste un vettore non nullo v il quale soddisfa contemporaneamente per qualche i le relazioni\ndove sono gli autovalori di A;\nha rango n, dove q è definito come nel punto III;\ndato un n-vettore polinomiale c(s) con elementi di grado o inferiore, esistono un n-vettore polinomiale x(s) con elementi di grado o inferiore e un l-vettore polinomiale u(s) con elementi di grado o inferiore tali che\nSe A, B e i coefficienti di c(s) sono reali allora x(s) e u(s) possono essere scelti con coefficienti reali;\nesistono una matrice polinomiale di dimensioni X(s) con elementi di grado o minore e una matrice polinomiale di dimensioni Y(s) con elementi di grado o inferiore tali che\nSe A e B hanno coefficienti reali allora X(s) e Y(s) possono essere scelti con coefficienti reali.\n10.4Algoritmo di riduzione delle equazioni in spazio di stato\nInizialmente definiamo due tipi di operazioni sul system matrix P:\nscambiare le righe p e q in P per ottenere P1, dove , e α, β sono numeri interi compresi tra 1 e n. Segue immediatamente che scambiando le colonne p e q in P1 si ottiene P2;\nsommare alla riga p di P il prodotto della riga q con la costante γ per ottenere P1, dove . Segue immediatamente che sottraendo dalla colonna q in P1 il prodotto della colonna p per una costante γ si ottiene P2.\nQueste operazioni sono rappresentabili mediante il prodotto di matrici\ndove nella prima operazione\nLe due operazioni sono operazioni di similitudine di sistema.\nOra operiamo sulla matrice\nsecondo l’algoritmo seguente. L’obiettivo di questo algoritmo è di generare il maggior numero di righe in P che abbiano come ultimo ingresso una costante non nulla e che abbiano solo zeri sopra questi ingressi nella stessa colonna. Tali righe sono linearmente indipendenti per tutti i valori di s.\nL’indice i distinguerà la colonna e l’indice j distinguerà la riga .\nsettare gli indici e andare al punto 2\nse ogni elemento nelle posizioni è nullo andare al punto 6 altrimenti andare al punto 3\nportare un elemento non nullo nella posizione tramite l’operazione I ponendo . Andare al punto 4\nattraverso l’operazione II sommare un multiplo dell’elemento nella posizione agli elementi nelle posizioni affinché questi ultimi siano ridotti a zero. Andare al punto 5\nincrementare i e j di 1. Se il processo è terminato mentre se andare al punto 2\nincrementare i di 1. Se il processo è terminato mentre se andare al punto 2\nL’algoritmo termina sicuramente e si supponga che ciò accada quando . Allora, poiché , attraverso la procedura è facile vedere che P(s) sarà ridotta nella forma\ndove . Nella matrice P3 le righe sono linearmente indipendenti per tutti i valori di s dato che in ciascuna di queste righe l’ultimo elemento non nullo è una costante e non si hanno due righe il cui elemento non nullo sia nella stessa colonna. Queste righe restano linearmente indipendenti quando la prima riga (o blocco) e la prima colonna (o blocco) sono rimosse; infatti le prime b righe della matrice P3 sono linearmente dipendenti ogni volta che s assume come valore quello di un autovalore di A11. Da questo segue che b è il numero di input decoupling zeros e che questi zeri sono gli autovalori di A11.\n10.5Algoritmo di decomposizione in spazio di stato\nL’algoritmo precedentemente presentato può essere utilizzato non solo per la riduzione dell’ordine ma anche, con piccole modifiche, per generare una decomposizione in spazio di stato. Si procede inizialmente come mostrato nell’algoritmo 1 isolando gli i.d.z. per ottenere P3 come nella (12). Successivamente, anziché rimuovere le prime b righe e colonne dalla matrice, le manteniamo. Trasponiamo quindi P3 per isolare gli o.d.z.; la forma di in termini di dimensioni dei blocchi e posizione degli zeri è mostrata in figura 14\nb n n + m\nCome nel precedente algoritmo lo scopo è quello di generare un insieme di vettori che siano linearmente indipendenti per tutti i valori di s. Si vorrebbe fare questo senza perdere i due blocchi nulli mostrati in figura 4. Esaminando l’algoritmo 1 si vede che solo il passo 3 può cambiare questi blocchi e solo nel caso in cui le righe scambiate abbiano . La procedura viene perciò cambiata per prevenire questa possibilità.\nL’indice i distinguerà la colonna , l’indice j distinguerà la riga e l’indice k distinguerà la riga .\nI primi sei passi sono gli stessi dell’algoritmo precedente.\ntrasporre P3 per formare e andare al punto 8\nsettare gli indici e andare al punto 9\nse porre e andare al punto 13, altrimenti andare al punto 10\nse porre , e andare al punto 13, altrimenti andare al punto 11\nse o ogni elemento nelle posizioni\nè nullo andare al punto 13, altrimenti andare al punto12\nportare un elemento non nullo nella posizione attraverso l’operazione I ponendo e . Con l’operazione II sommare un multiplo dell’elemento nella posizione agli elementi nelle posizioni\ncosì che siano ridotti a zero. Incrementare i e j di 1 e andare al punto 9\nse porre e andare al punto 17, altrimenti andare al punto 14\nse porre e andare al punto 18, altrimenti andare al punto 15\nse ogni elemento nelle posizioni è uguale a zero incrementare i di 1 e andare al punto 9, altrimenti andare al punto 16\nportare un elemento non nullo nella posizione attraverso l’operazione I ponendo e . Con l’operazione II sommare un multiplo dell’elemento nella posizione agli elementi nelle posizioni così che siano ridotti a zero. Incrementare i e j di 1 e andare al punto 9\nse o andare al punto 18, altrimenti andare al punto 9\ntrasporre la matrice risultante e terminare il processo\nLa matrice ottenuta dalla trasposizione al passo 18 è del tipo\n10.6Dimostrazione teorema 18\nSiano α, β due polinomi qualsiasi. Allora dalla (20) si ha\nSe invece e sono linearmente indipendenti allora lo sono anche