FAQ: Sistemi lineari\n#1 Come bisogna dimensionare la frequenza di campionamento una volta noto il tempo di salita? (Daniele Cremonini)\nLa frequenza minima di campionamento va determinata, con il teorema di Shannon, in base alla frequenza massima presente nei segnali che si intende campionare o, perlomeno, della componente a frequenza massima del segnale che si intende riprodurre correttamente. Il "tempo di salita" fornisce una indicazione di massima sulla banda passante di un sistema dinamico lineare e può quindi venire utilizzato per un dimensionamento, pure di massima, del campionamento da effettuare sull'uscita di tale sistema. Regole empiriche talvolta utilizzate consistono nell'adottare un tempo di campionamento pari ad un decimo del tempo di salita o di quello di assestamento.\n#2 Oltre al tempo di salita cosa si può osservare per stabilire le costanti di tempo? (Daniele Cremonini)\nLe costanti di tempo di un sistema lineare sono deducibili dai poli dello stesso, quindi dalla conoscenza della funzione di trasferimento. La funzione di trasferimento determina anche la risposta frequenziale e può quindi venire utilizzata per determinare, in maniera non empirica, un campionamento idoneo sull'uscita. Si noti come l'eventuale presenza nel segnale di ingresso di frequenze superiori a quelle riproducibili dal sistema non giochi (nei sistemi lineari) alcun ruolo nella determinazione del tempo di campionamento.\n#3 Non ho ben capito perché il sottospazio di raggiungibilità di un sistema lineare e stazionario sia il più piccolo invariante rispetto ad A contenente l'immagine di B. (Pierpaolo Libanori)\nPer il sottospazio di raggiungibilità abbiamo ricavato, sia per i sistemi continui che per quelli discreti, l'espressione im[B AB ... A(n-1)B]. L'invarianza rispetto ad A è quindi una conseguenza immediata del teorema di Cayley-Hamilton; l'espressione precedente evidenzia inoltre come l'immagine di B risulti contenuta in tale sottospazio. Consideriamo adesso un sottospazio generico, Z, invariante rispetto ad A e contenente l'immagine di B; ne segue che (i vettori costituiti dal)le colonne di B appartengono a Z. Per l'ipotesi di invarianza di Z rispetto ad A anche le colonne di AB ... A(n-1)B apparterranno a Z; quindi l'intero sottospazio di raggiungibilità è contenuto in Z. Essendo però Z un qualunque sottospazio invariante rispetto ad A e contenente l'immagine di B, ne segue che il sottospazio di raggiungibilità è contenuto in ogni sottospazio invariante rispetto ad A e contenente l'immagine di B. È quindi il più piccolo sottospazio che goda di tale proprietà.\n#4 Non mi è molto chiara la regola che lei ha esposto a lezione riguardante la matrice P=[B AB....A(n-1)B] relativa alla lineare dipendenza delle sue colonne. Non riesco inoltre a capire l'importanza pratica di questa regola. (Stefano Lucente)\nL'espressione della matrice di raggiungibilità che abbiamo ricavato si presta a tre considerazioni di carattere pratico particolarmente utili nel calcolo manuale non tanto e non solo di tale matrice ma, soprattutto, del sottospazio di raggiungibilità generato dalle sue colonne. La prima osservazione riguarda le sottomatrici AkB che risulta vantaggioso calcolare premoltiplicando per A il blocco precedente, evitando cioè il calcolo esplicito di Ak; tale modo di procedere riduce la mole di calcoli e la possibilità di errori. Le osservazioni relative alla lineare dipendenza delle colonne riducono, egualmente, i calcoli necessari alla determinazione di im(P). La prima osservazione riguarda la lineare dipendenza di tutti i blocchi successivi alla prima sottomatrice le cui colonne risultino tutte linearmente dipendenti dalle precedenti; è ovvio l'uso di tale risultato: anziché calcolare tutti i blocchi di P ed applicare l'algoritmo di Gram-Schmidt alle colonne di tale matrice, si calcolerà un blocco alla volta valutando la lineare dipendenza delle sue colonne dai vettori precedenti sospendendo la procedura quando si incontra un blocco le cui colonne siano tutte linearmente dipendenti dalle precedenti. La seconda osservazione riguarda la lineare dipendenza di tutti i vettori di posizione omologa nei blocchi successivi quando si osserva la lineare dipendenza (da tutti i vettori precedenti) di un singolo vettore all'interno di un blocco di P; l'uso pratico di tale proprietà, del tutto simile al precedente, consente di ridurre al minimo le operazioni necessarie al calcolo di una base del sottospazio di raggiungibilità. Esempi numerici di applicazione di tali regole sono riportati negli esercizi 1 (Raggiungibilità, osservabilità e stabilità) e 2 (Scomposizione di Kalman, forma minima) del testo Teoria dei Sistemi: Esercizi e Applicazioni.\n#5 Perché è importante poter influire sulla prontezza della stima di un osservatore dello stato? Con la locuzione "prontezza della stima" intendo la velocità con cui la stima stessa tende ad eguagliare lo stato effettivo del sistema. (Pierpaolo Libanori)\nL'osservatore dello stato è un sistema dinamico che, collegato all'ingresso ed all'uscita di un sistema di cui si vuole osservare lo stato, è soggetto ad una evoluzione che porta il suo stato a coincidere, asintoticamente, con quello del sistema da osservare. Una volta che tale coincidenza è stata acquisita, gli stati dei due sistemi hanno la stessa evoluzione. Lo stato iniziale dell'osservatore viene, in assenza di altre informazioni, azzerato; l'errore di stima ha una evoluzione che, come si è visto, dipende solo dalla matrice dinamica dell'osservatore stesso. Una elevata prontezza riduce la durata di tale transitorio, rende cioè la stima accurata dopo un tempo sufficientemente breve rispetto al momento nel quale l'osservatore è stato collegato; tale vantaggio è tuttavia bilanciato dalla maggior sensibilità dell'osservatore rispetto ai disturbi inevitabilmente presenti sulle misure degll'ingresso e dell'uscita del sistema da osservare. Nella pratica la matrice dinamica dell'osservatore viene scelta in base ad un compromesso tra prontezza e insensibilità ai disturbi.\n#6 Vorrei sapere che cosa è una matrice ciclica e che ruolo ha nella raggiungibilità dei sistemi lineari e stazionari con un unico ingresso. (Mirko Tedaldi)\nUna matrice A (n x n) può venire definita ciclica quando consente di generare l'intero spazio mediante un unico generatore; in altri termini quando esiste un vettore v (n x 1) tale che la matrice [v Av ... A(n-1)v] sia di rango massimo. Un sistema dotato di un solo ingresso può risultare completamente raggiungibile solo se la relativa matrice dinamica è ciclica. Tale proprietà può venire espressa anche in altri modi, ad esempio facendo riferimento alla forma di Jordan o al polinomio minimo e a quello caratteristico della matrice (che risultano coincidenti per le matrici cicliche). In una matrice non ciclica la dimensione massima del sottospazio generato da un singolo generatore coincide con il grado del polinomio minimo.\n#7 Non ho capito perché risulti completamente raggiungibile un sistema dinamico la cui matrice dinamica sia in forma di Jordan ed in cui le righe della matrice di distribuzione degli ingressi corrispondenti all'ultima riga dei blocchi di Jordan associati allo stesso autovalore siano linearmente indipendenti. (Gabriele Tinti)\nIl Teorema cui fa riferimento la proprietà descritta (e quella duale relativa alla osservabilità) è basato sulle proprietà dei sottospazi generati da una matrice non ciclica, quindi con più blocchi di Jordan associati allo stesso autovalore. Per tali matrici (si veda anche la domanda 8) un solo generatore non può generare l'intero spazio. Una dimostrazione del teorema in oggetto è riportata, sul testo Teoria dei Sistemi e del Controllo di G. Marro.\n#8 Sono corrette, per i sistemi lineari e stazionari, le seguenti implicazioni?\n1 - controllabilità\n2 - raggiungibilità\n3 - completa controllabilità\n4 - completa raggiungibilità\n5 - osservabilità\n6 - ricostruibilità\n7 - diagnosticabilità\n8 - incasellabilità\n9 - completa osservabilità\n10 - completa ricostruibilità\n5=>6, 7=>8, 9=>10, 9=>7=>5 quindi 9=>6 e 9=>8, 10=>8=>6. (Daniele Cremonini)\nSì. Considerando classi particolari di sistemi dinamici è possibile, come sappiamo, introdurre ulteriori implicazioni.\n#9 Nella trattazione dei sistemi lineari non stazionari abbiamo enunciato la proprietà secondo la quale gli elementi della matrice di transizione sono funzioni continue del tempo. Possiamo quindi dire che il moto libero è rappresentato da una funzione continua perchè combinazione lineare di colonne della matrice di transizione?. E per quanto riguarda il moto totale (libero + forzato)? Inoltre, a cosa sono dovute le discontinuità sulla velocità di variazione di stato? (Luca Roffia)\nL'interpretazione relativa al moto libero è corretta. Per quanto riguarda il moto forzato è sufficiente osservare come la funzione di ingresso sia presente solo sotto il segno di integrale; eventuali discontinuità dell'ingresso non danno quindi luogo a discontinuità del moto. Le discontinuità possibili sulla velocità di variazione dello stato sono dovute all'azione diretta (algebrica) dell'ingresso su tale velocità (termine B(t)u(t) nell'equazione di stato).\n#10 Nella trattazione della controllabilità ed osservabilità dei sistemi dinamici lineari, facendo riferimento alla forma di Jordan, sono stati ricavati il numero minimo di ingressi compatibili con la completa raggiungibilità ed il numero minimo di uscite compatibili con la completa osservabiltà. Non ho ben chiaro come sono stati ricavati ed inoltre il legame che sussiste fra essi. (Luca Roffia)\nIl risultato cui lei fa riferimento non è stato ricavato ma solo enunciato (si veda anche la risposta 9). Il numero minimo di ingressi compatibile con la completa raggiungibilità coincide con quello di uscite compatibile con la completa osservabilità essendo entrambi pari al numero massimo di blocchi di Jordan associati allo stesso autovalore della matrice dinamica del sistema in base al Teorema che abbiamo visto durante il corso.\n#11 In che caso, nei sistemi lineari non stazionari continui, il sottospazio R+ risulta uguale al sottospazio R-? E se il sistema è discreto, come possiamo dire che dim R+ è minore o uguale a dim R-? È forse dovuto al fatto che, in questo caso, la matrice di transizione può essere singolare? (Luca Roffia)\nIl legame tra i sottospazi di raggiungibilità e di controllabilità relativi allo stesso intervallo di tempo è costituito dalla matrice di transizione relativa a tale intervallo. La non singolarità di tale matrice assicura, nel caso continuo, l'uguaglianza delle dimensioni di tali sottospazi. Nel caso discreto, qualora la matrice di transizione risulti singolare, il sottospazio di controllabilità avrà dimensione maggiore di quello di raggiungibilità includendo anche lo spazio nullo di tale matrice (si rivedano gli esempi fatti durante le lezioni).\n#12 Nei sistemi dinamici lineari e non stazionari non ho ben capito il legame tra le matrici dinamica e di distribuzione degli ingressi nel passaggio dal modello continuo a quello discreto. (Luca Roffia)\nNella discretizzazione di un modello continuo la matrice dinamica del modello discreto è semplicemente la matrice di transizione di quello continuo negli intervalli considerati. Più complessa la deduzione della matrice di distribuzione degli ingressi del modello discreto che viene ricavata considerando l'espressione del moto dei due modelli ed eguagliando gli stati iniziali e finali degli intervalli di campionamento; supponendo la funzione di ingresso costante in tali intervalli il contributo allo stato finale dovuto al moto forzato nell'intervallo [kT,(k+1)T] può venire espresso nella forma B(k)u(k) che definisce la matrice di distribuzione degli ingressi, B(k), del modello discreto.\n#13 Non ho ben capito quali sono le relazioni tra poli della funzione di trasferimento e le caratteristiche del sistema in genere (poli ed autovalori, poli e raggiungibilita' e/o osservabilita' ...). (Alessandro Cevoli)\nSi definiscono poli di un sistema dinamico lineare e stazionario gli zeri dei denominatori degli elementi della matrice (funzione) di trasferimento. Come sappiamo (scomposizione canonica di Kalman), la funzione di trasferimento descrive la sola parte raggiungibile ed osservabile del sistema; i poli coincidono quindi con gli autovalori della matrice dinamica associati a tale parte (= autovalori della sottomatrice A22 nella scomposizione canonica di Kalman).\n#14 Considerando la banda passante della rete telefonica qual'è la frequenza massima in bps che posso trasferirvi? (Alessandro Cevoli)\nLa massima frequenza di cifra che può essere trasmessa con probabilità di errore comunque piccola su un canale di banda B, che opera con rapporto segnale/rumore S/N, (cioè la capacità C del canale) è data dalla formula di Shannon C=B*log2(1+S/N). (Risposta a cura del prof. Leonardo Calandrino)\n#15 Desidererei chiarimenti sull'argomento "poli dominanti di un sistema"; nella biblioteca ho trovato poche informazioni e per altro scritte male. Grazie. (Lucio Vigness da Napoli)\nI poli dominanti vengono usualmente considerati quando si desidera approssimare un modello di ordine elevato con un modello di ordine ridotto, quando cioè si preferisce sostituire un modello esatto ma complesso con un modello più semplice ma meno preciso. La considerazione di base è la seguente: il moto e la risposta di un sistema non sono influenzati nello stesso modo da tutti i modi del sistema in quanto quelli che hanno una dinamica più lenta "mascherano" (per così dire) quelli a dinamica più veloce. Supponiamo allora di effettuare un cambiamento di base nello spazio degli stati che porti la matrice dinamica del sistema alla forma di Jordan; l'intero sistema può venire considerato ora come formato da tanti sottosistemi collegati in parallelo, ognuno dei quali con matrice dinamica data da un blocco di Jordan. Eliminiamo ora tutti i sottosistemi associati agli autovalori cui corrispondono modi ad evoluzione veloce (cioè quelli più lontani dall'asse immaginario nel caso continuo, quelli a modulo minore nel caso discreto) lasciando invece i rimanenti; il sistema che si ottiene in questo modo ha solo una parte degli autovalori (e dei poli) di quello iniziale e non ne descrive esattamente la dinamica; in molti casi tuttavia il risultato (che dipende, ovviamente, dalla entità dell'intervento e dalla distribuzione degli autovalori del sistema) è del tutto accettabile. Queste operazioni, descritte per un modello nello spazio degli stati per maggior chiarezza, possono venire effettuate direttamente sulla funzione di trasferimento del sistema; queste tecniche sono state infatti introdotte proprio con riferimento a modelli di questo tipo. Un modo diverso ma sostanzialmente equivalente per valutare queste operazioni consiste nel fare riferimento al contributo dato dai singoli poli alla risposta frequenziale del sistema (diagrammi di Bode, usati nell'ambito della teoria classica dei controlli automatici). In questo contesto vengono eliminati dalla funzione di trasferimento quei poli cui corrispondono frequenze di taglio più elevate; è infatti evidente come la risposta frequenziale dell'intero sistema sia condizionata in primo luogo da quei poli cui corrispondono le frequenze di taglio più basse. Le considerazioni precedenti sono puramente qualitative e costituiscono solo una descrizione introduttiva all'argomento citato; per una applicazione non empirica vanno introdotte opportune funzioni costo che forniscano una misura dello scostamento tra le prestazioni del modello di ordine ridotto e quello iniziale. Tali funzioni inoltre saranno, in genere, legate all'uso previsto per il modello. Esistono, infine, molte altre tecniche di approssimazione di un modello di ordine elevato con modelli di ordine ridotto che risultano in genere più efficaci di quella descritta in quanto non mantengono una parte dei poli del modello iniziale in quello di ordine ridotto.\n#16 Vorrei sapere come si può sfruttare la funzione di trasferimento se è data nel dominio dei tempi; in altre parole y(t)=G(s)*u(t) ove G(s) è una funzione razionale propria o strettamente propria nell'operatore differenziale s. Come si può calcolare, per esempio, y(t), con u(t)=Vm*sen(omega*t) senza passare per G(j*omega)? (Daniele Cremonini)\nVa anzitutto rilevato come la funzione di trasferimento abbia la stessa espressione sia se considerata nell'operatore differenziale (s nel nostro caso), quindi nel dominio dei tempi, sia se espressa nella variabile complessa s. Nel primo caso la funzione di trasferimento descrive una equazione differenziale che lega l'uscita e le sue derivate all'ingresso e alle relative derivate. Volendo quindi calcolare la risposta ad un determinato ingresso nel dominio dei tempi sarà necessario trovare la soluzione di tale equazione differenziale corrispondente alla funzione di ingresso applicata ed alle condizioni iniziali del sistema. Considerando la funzione di trasferimento come trasformata di Laplace della risposta impulsiva del sistema è poi possibile, antitrasformando la G(s), ottenere la W(t) e, nel dominio dei tempi, la risposta a qualunque funzione di ingresso u(t) calcolando, come abbiamo visto a lezione, un integrale di convoluzione; in questo modo vengono considerate condizioni iniziali nulle (stato inziziale zero) e viene calcolata la sola risposta forzata del sistema. Un'ultima via consiste nel calcolare la L-trasformata, U(s), della funzione di ingresso e nell'antitrasformare la trasformata di Laplace della risposta (forzata) Y(s)=G(s)U(s). Le tre vie precedenti utilizzano direttamente la funzione di trasferimento; è naturalmente possibile anche ottenere una realizzazione nello spazio degli stati della G(s) ed operare nel dominio dei tempi, come abbiamo visto più volte, su tali rappresentazioni.\n#17 Perché una retroazione ingresso-uscita in un sistema lineare e stazionario completamente raggiungibile ed osservabile non permette di allocare ad arbitrio gli autovalori della matrice dinamica?\nLe volevo chiedere se è esaustiva una risposta di questo tipo: Una retroazione ingresso-uscita non permette di far retroagire tutte le informazioni sullo stato e quindi posizionare ad arbitrio gli autovalori, ma solo una parte di esse, poiché si fa retroagire una trasformazione lineare dello stato secondo la matrice C, non lo stato stesso. (Gabriele Tinti)\nLa risposta che lei formula è sostanzialmente corretta. Dalla scomposizione canonica di Kalman di un sistema generico è immediato verificare come una retroazione algebrica ingresso-uscita agisca solo sulla parte raggiungibile ed osservabile del sistema. L'uscita in un certo istante, d'altronde, non è detto fornisca una conoscenza completa dello stato di tale parte.\n#18 Nel caso di sistemi lineari stazionari, nel calcolo del sottospazio di raggiungibilità un'espressione del tipo BeAtx=0 essendo analitica, è nulla in [0,t1] se si annulla in un punto dell'intervallo, quindi in tutto l'intervallo e quindi anche in 0. Di qui lo sviluppo dell'espressione di R+ che risulta indipendente da t. Vorrei sapere se il fatto che l'annullarsi in un punto implichi l'annullarsi in tutto l'intervallo, è dovuto al fatto che il sistema è stazionario e quindi ogni valore di t può essere preso come istante iniziale. (Vittorio Teglia)\nLa analiticità della funzione di transizione costituisce, in effetti, una delle conseguenze algebriche della stazionarietà del sistema.\n#19 Non mi è chiaro perché prendendo come base dello spazio degli stati la matrice T=[T1 T2] con T1 base di R+ e T2 che completi una base dello spazio degli stati, la matrice di distribuzione degli ingressi assuma la struttura T-1B = [B1 0]T in conseguenza del fatto che R+ è il minimo invariante rispetto ad A che contiene Im(B) e non come logica deduzione di B dal modello differenziale ottenuto dal cambio di base. (Vittorio Teglia)\nCome ho sottolineato a lezione, la struttura di B rispetto alla base considerata può venire dedotta indifferentemente in base a considerazioni algebriche sulla nuova base (essendo T1 base di R+, le colonne di B in tale base avranno componenti non nulle solo rispetto alle colonne di T1) oppure geometriche, considerando cioè che Im(B) è contenuto in R+. Le considerazioni geometriche portano, in genere, ad una comprensione più chiara delle proprietà.\n#20 Vorrei sapere per quale motivo l'invertibilità della matrice di transizione è una caratteristica intrinseca dei sistemi continui mentre non lo è per quelli discreti? Da che cosa dipende questa caratteristica? (Vittorio Teglia)\nNei modelli continui la matrice di transizione è data dall'esponenziale della matrice dinamica e tale funzione di matrice è, come noto, sempre non singolare; nei modelli discreti invece la matrice di transizione, essendo la potenza della matrice dinamica, risulterà singolare quando lo è la matrice dinamica. Tutto questo dal punto di vista matematico; naturalmente se consideriamo il modello discreto di un sistema continuo, la matrice dinamica coinciderà con l'esponenziale, relativo all'intervallo di campionamento, della matrice dinamica del modello continuo e sarà quindi sempre non singolare.\n#21 Non mi è chiaro come, nel caso di sistemi lineari non stazionari discreti, si determini il sottospazio R-(j,i,0) quando la matrice di transizione è singolare; non potendo utilizzare l'inversa di tale matrice posso forse utilizzare al suo posto una funzione legata alla pseudoinversa? (Vittorio Teglia)\nQuello che occorre calcolare è l'immagine inversa, secondo la trasformazione lineare descritta dalla matrice di transizione, del sottospazio R+(j,i,0). Si trasformerà quindi, come abbiamo visto a lezione, R+(j,i,0) mediante la pseudoinversa della matrice di transizione e si sommerà lo spazio nullo della matrice di transizione stessa.\n#22 Retroazione stato-ingresso nei sistemi lineari e stazionari: come vengono modificate le proprietà di raggiungibilità e osservabilità? In particolare perché R+(0) non è alterato in dimensione e orientamento mentre il sottospazio di inosservabilità può venire modificato? (Vittorio Teglia)\nPuò verificare facilmente tali proprietà per via algebrica facendo riferimento alla matrice dinamica del sistema chiuso in retroazione (A + BK) ed alle espressioni dei sottospazi di raggiungibilità e di inosservabilità, come abbiamo fatto a lezione. Considerando la matrice dinamica in forma di Jordan ed il teorema relativo alle condizioni di raggiungibilità ed osservabilità relativo a tale rappresentazione si possono verificare, in maniera molto diretta, le proprietà precedenti. Una ulteriore verifica della invarianza del sottospazio di raggiungibilità rispetto ad una retroazione stato-ingresso, si può ottenere facendo riferimento alla scomposizione canonica di Kalman ed osservando che l'ingresso, non potendo agire sulle parti non raggiungibili, non può modificare le caratteristiche di raggiungibilità di tali parti.\n#23 Date le matrici A,B,C,D di un sistema dinamico, in un esercizio vengono richiesti gli autovalori della forma minima. Ho calcolato una base del sottospazio di inosservabilità ed ho effettuato la separazione del sistema in parte osservabile e in parte inosservabile. Poi ho calcolato gli autovalori della parte osservabile e con questo dovrei avere terminato. C'è un metodo più rapido? In particolare è sempre indispensabile effettuare il cambiamento di base con T-1AT o tale passaggio può essere omesso sfruttando le proprietà degli endomorfismi? Il dubbio mi viene perché ricordo che a lezione ha detto che se la matrice T è ortonormale allora qualcosa (che non ricordo) si riduce ad una permutazione delle righe/colonne di A. (Daniele Cremonini)\nIl procedimento da lei seguito è corretto ed applicabile in generale. Quando il sottospazio di inosservabilità, E-(0,0), ammette una base costituita da alcune colonne (non necessariamente adiacenti) della matrice identità, la scomposizione del sistema in parte osservabile (forma minima) e parte non osservabile può venire effettuata selezionando opportunamente gli elementi delle matrici A, B e C; in tale caso infatti le matrici T-1 e T, se costruite con colonne dell'identità (pur essendo questa la scelta più consigliabile, non è l'unica possibile), effettuano solo permutazioni di righe e di colonne. Il procedimento è stato esemplificato, anche in relazione alla scomposizione del sistema in parte raggiungibile e non raggiungibile ed alla scomposizione canonica di Kalman, in vari esercizi svolti durante il corso.\n#24 Come si fa ad ottenere la struttura della matrice dinamica A+BH di un sistema dinamico lineare stazionario retroazionato stato-ingresso secondo la scomposizione di Kalman (dagli appunti mi risulta che BH agisca solo su A11 con B1H1 e su A22 con B2H2; dove sono i termini B1H2, B1H3, B1H4, B2H1, B2H3 e B2H4?). (Cristiano Carretti)\nAssumendo, come lei opportunamente fa, la matrice H partizionata in maniera congruente con la matrice dinamica, è immediato verificare come gli 8 termini non nulli che nascono nel prodotto di B e H vadano a sommarsi agli elementi delle prime due righe (a blocchi) di A; l'azione di BH non è quindi limitata alle sole sottomatrici A11 e A22. L'esame della struttura della matrice dinamica del sistema retroazionato consente di verificare l'invarianza, rispetto a tale operazione, del sottospazio di raggiungibilità ed evidenzia anche come tale matrice non corrisponda più ad una scomposizione di Kalman del sistema; questo risultato è d'altronde ben noto poiché una retroazione stato-ingresso può modificare dimensione ed orientamento del sottospazio di inosservabilità. Per ottenere la scomposizione di Kalman del sistema retroazionato sarà quindi necessario applicare la relativa procedura alla terna di matrici ((A+BH),B,C).\n#25 Ho scritto negli appunti che due stati di sistemi lineari sono indistinguibili quando danno luogo a risposte libere uguali. Secondo me non è corretto. Perché, se le risposte libere sono uguali, non posso dire che i due stati sono equivalenti ma devo limitarmi a dire che sono indistinguibili? (Gianni Rondinini)\nGli stati che, in un sistema lineare, generano risposte libere uguali sono ovviamente equivalenti essendo, in tali sistemi, additivo il moto forzato. Stati equivalenti sono, naturalmente, anche indistinguibili su ogni intervallo.\n#26 Ho scritto negli appunti che l'insieme E+(0,0) di un generico sistema potrebbe avere più di un elemento anche se l'insieme E-(0,0) ne ha uno solo. Non riesco a capire bene il motivo: è forse perché il sistema potrebbe essere tempovariante? (Gianni Rondinini)\nLa proprietà cui lei credo faccia riferimento è formulata in termini opposti; può infatti accadere che E+(0,0) contenga un solo elemento ed E-(0,0) ne contenga più di uno, ma non l'inverso, a causa della unicità del moto generato da uno stato iniziale e da una funzione di ingresso. Ciò avviene quando la matrice di transizione del sistema è singolare e questo è possibile nei sistemi discreti (ma non nei modelli discreti dei sistemi continui). Se riguarda i suoi appunti troverà un esempio limite che vi ho fatto a lezione, relativo ad un sistema stazionario ed a tempo discreto nel quale E+(0,0) contiene un solo elemento mentre E-(0,0) coincide con l'intero spazio degli stati.\n#27 In riferimento alla domanda 4 dell'Esercizio 4 della Sessione Autunnale '96 vorrei sapere se la risposta x(2)=[a b 0 0 ]T è corretta. Ho dedotto tale risposta dall'osservazione di R+(0). Ho poi calcolato la sequenza di ingresso dalla relazione x(2)=[B AB][u(1) u(0)]T Vorrei sapere se il ragionamento seguito è corretto ed avere eventualmente l'indicazione di un modo di procedere generale. (Michele Berionni)\nLo stato raggiungibile dallo stato zero più vicino ad uno stato assegnato è, in generale, la proiezione ortogonale di tale stato su R+(0); il procedimento da lei seguito è quindi corretto. Anche la sequenza di ingresso necessaria può venire ricavata da una relazione del tipo da lei indicato; tale calcolo richiederà, in generale, la pseudoinversione di una matrice.\n#28 In un sistema composto da due sottosistemi lineari completamente raggiungibili connessi in parallelo fra di loro, ho degli elementi sui singoli sottosistemi che mi possano garantire la completa raggiungibilità dell'intero sistema? (Federico Dall'Olio)\nSe si escludono strutture particolari (es. Jordan) delle matrici dinamiche di tali sottosistemi, la condizione resta quella del rango massimo della matrice di controllabilità del sistema complessivo.\n#29 Un sistema discreto in cui la matrice di transizione è singolare, è sempre riconducibile ad un sistema continuo? (Federico Dall'Olio)\nCome abbiamo sottolineato più volte a lezione, la matrice dinamica del modello discreto di un sistema continuo è sempre non singolare e l'operazione da lei proposta non ammette soluzione. Veda, a tale riguardo, anche l'esercizio 28 del testo Teoria dei Sistemi: Esercizi e applicazioni.\n#30 Non sono riuscito a capire bene il calcolo della matrice di transizione, ad esempio per il sistema con matrice dinamica\n| -d  1  0  |\nA = |  0 -d  0  |\n|  0  0 -e  |\nMi potrebbe spiegare cortesemente i procedimenti di calcolo per un sistema lineare stazionario continuo? (Fabio Marcantonini)\nLa matrice di transizione è, in questo caso, l'esponenziale di matrice e può venire calcolata con uno qualunque dei metodi che abbiamo visto a lezione (e che può trovare descritti sul testo di teoria adottato) per le funzioni di matrice. Può anche fare riferimento ai numerosi esempi riportati sul testo Teoria dei sistemi: Esercizi e Applicazioni (Esercizi 3,5,8,9,16,21,23 e 24). Nelle esercitazioni svolte durante il corso abbiamo quasi sempre usato il metodo del polinomio interpolante che richiede l'inversione della matrice di Vandermonde associata agli autovalori della matrice di cui calcolare la funzione; nel caso che lei sottopone tuttavia la matrice è in forma di Jordan e la forma dell'esponenziale è nota (anche questa la può trovare direttamente sul testo di teoria adottato) e può venire quindi scritta senza la necessità di effettuare alcun calcolo. Risulta infatti:\n| exp(-dt)    t*exp(-dt)       0    |\nexp(At) = |     0        exp(-dt)        0    |\n|     0           0        exp(-et) |\n#31 Appena illustrata la nozione di osservabilità, a lezione lei ha spiegato che nei sistemi lineari la determinazione dell'insieme caratteristico E-(t0,t1,u(.),y(.)) non è legata allo specifico ingresso, poiché esso coincide con E-(t0,t1,0,y0(.)). Effettivamente, per via della scomponibilit� del moto in tali sistemi, la risposta forzata è, per un dato ingresso, la stessa per tutti gli stati dello spazio degli stati X e dunque ciò che distingue gli stati è la loro risposta libera y0(.). Se però i "dati" del problema dell'osservazione dello stato iniziale sono le funzioni u(.) e y(.), l'estrazione della risposta libera y0(.) dalla y(.) non può prescindere dalla u(.), giacché, per ogni t>=t0, y0(t) = y(t)-yf(t) = y(t)-gamma(t,t0,u(.),0). Come possiamo allora dire che E-(t0,t1,u(.),y(.)) =E-(t0,t1,0,y0(.)) non dipende da u(.)? (Paolo Gianessi)\nPer il semplice motivo che otteniamo lo stesso sottospazio qualunque sia la funzione di ingresso applicata al sistema.\n#32 Con riferimento alle equazioni\ndx(t)/dt = A(t)x(t)              (1)\ndx(t)/dt = A(t)x(t) + B(t)u(t)   (2)\nche descrivono la velocit� di transizione dello stato in un sistema dinamico lineare nonstazionario nei casi libero e forzato, le pongo le seguenti domande:\na) Sappiamo che l'insieme delle soluzioni di (1) � uno spazio vettoriale V di dimensione n (=dimensione dello spazio degli stati) una cui base � data da un insieme di soluzioni di (1) linearmente indipendenti quali ad esempio le colonne della matrice di transizione dello stato. Ma cosa vuol dire "funzioni linearmente indipendenti"? Forse un insieme (fi(t)) i=1..n tale che per ogni t i vettori fi(t) siano tra loro linearmente indipendenti?\nb) Non mi � chiaro per quale motivo x(.) = 0, soluzione ovvia di (1), � l'unica a potersi annullare, o meglio: per quale motivo per ogni x*(.) soluzione di (1) vale l'implicazione: (esiste t*) t.c. x*(t*) = 0 => x*(.) � la soluzione ovvia?\nc) Sviluppando la (1) si ha: dx(t) = A(t)x(t)dt => x(t) = x(t0) + integrale di [A(tau)x(tau)dtau] da t0 a t, equivalente a x(t) = Phi(t,t0) x(t0). Sviluppando in modo analogo la (2), si ottiene x(t) = x(t0) + int. di [A(tau)x(tau)dtau] da t0 a t + int. di [B(tau)u(tau)dtau] da t0 a t = Phi(t,t0)x(t0) + int. di [B(tau)u(tau)dtau], diversa dall'espressione fornita dal testo e da lei a lezione, nella quale nell'ultimo integrale u(tau) � premoltiplicato non per B(tau) ma per il nucleo di convoluzione V(t,tau). Dov'� che sbaglio?\nd)Qual'� il significato fisico dei due nuclei di convoluzione V(t,tau) := Phi(t,tau)B(tau), W(t,tau) := C(t)Phi(t,tau)B(tau)? (Paolo Gianessi)\na) Le funzioni fi(t) vengono definite linearmente indipendenti quando nessuna di esse può venire espressa come combinazione lineare delle rimanenti; si tratta, come vede, della usuale definizione di lineare indipendenza.\nb) La proprietà da lei citata è una conseguenza del teorema di esistenza e unicità della soluzione di un'equazione differenziale lineare che dovrebbe già conoscere per il caso scalare. Per il caso vettoriale può fare riferimento alla dimostrazione riportata sul testo di teoria adottato.\nc) Nel non considerare correttamente l'azione dell'ingresso sullo stato nell'integrazione di dx; può facilmente verificare la non correttezza della espressione da lei ottenuta calcolandone la derivata.\nd) Come ho sottolineato più volte, allo stato di un sistema non è necessariamente associato un significato fisico; non è quindi possibile, in generale, dare un significato fisico a V(t,tau). Sul significato fisico di W(t,tau) (matrice di risposta impulsiva) mi sono invece soffermato a lungo; la invito quindi a riguardare gli appunti presi a lezione o la descrizione riportata sul libro di testo.\n#33 Vorrei un chiarimento riguardo alla relazione tra il polinomio minimo e la parte raggiungibile e osservabile di un sistema. In particolare, perché l'ordine della parte raggiungibile e osservabile di un sistema è uguale al grado del polinomio minimo? Inoltre, sussiste qualche relazione tra i poli di un sistema e gli zeri del polinomio minimo? (Marco Bevilacqua)\nConsideriamo la matrice di trasferimento del sistema che, come abbiamo verificato facendo riferimento alla scomposizione canonica di Kalman, descrive la sola parte raggiungibile ed osservabile del sistema. Risulta G(s)=C(sI-A)-1B= C agg(sI-A)B/p(s) ove p(s)=det(sI-A) indica il polinomio caratteristico di A. Se ora indichiamo con r(s) il massimo comun divisore monico degli elementi di agg(sI-A) e ricordiamo la relazione m(s)=p(s)/r(s) ove m(s) indica il polinomio minimo di A, arriviamo subito alla relazione G(s) = P(s)/m(s) (ove P(s)=agg(sI-A)/r(s)) che dimostra quanto da lei richiesto. I poli di un sistema sono gli zeri dei polinomi a denominatore negli elementi della matrice di trasferimento quindi, per quanto visto sopra, gli zeri del polinomio minimo di A, cioè gli autovalori associati alla parte raggiungibile ed osservabile del sistema.\n#34 In un sistema lineare stazionario a tempo continuo, il sottospazio di raggiungibilità dello stato zero non dipende dall'ampiezza dell'intervallo di tempo che si ha a disposizione; vorrei sapere se, considerando uno stato diverso dallo stato zero, gli elementi di R+(x) cambiano in funzione dell'intervallo di tempo. Si può supporre un'interpretazione per cui, se lo stato x appartiene a R+(0) allora gli elementi di R+(0) coincidono con quelli di R+(0) mentre se x non appartiene a R+(0) il contributo del moto libero fa variare gli elementi di R+(x) in funzione del tempo? (Marco Bevilacqua)\nLa notazione che lei utilizza non può venire considerata corretta perché la notazione R+(x) fa implicitamente riferimento ad un intervallo di ampiezza non limitata; andrebbe quindi aggiunto il pedice "t" all'insieme considerato per poterlo riferire ad intervalli di ampiezza limitata. Ciò posto, le ricordo che l'insieme Rt+(x) è la varietà lineare definita dal sottospazio R+(0) e dallo stato eAtx. Tale insieme è quindi soggetto a variazioni in funzione di t a meno che x non appartenga ad un sottospazio invariante rispetto ad A contenuto in R+(0); un caso di rilievo che soddisfa questa condizione è ovviamente costituito dalla condizione R+(0)=X.\n#35 Il concetto di polo è stato introdotto nell'ambito dei modelli di ingresso/uscita mentre talora mi pare che venga usato in contesti più ampi, e mi capita spesso in tali contesti di mescolare il significato di poli e autovalori. (Luca Fiuzzi)\nI poli di un sistema sono gli zeri dei polinomi a denominatore negli elementi della matrice di trasferimento; coincidono con gli zeri del polinomio minimo della matrice dinamica del sistema o, se preferisce, con gli autovalori associati alla parte raggiungibile ed osservabile del sistema. I poli quindi sono una parte degli autovalori del sistema; per i sistemi completamente raggiungibili ed osservabili poli ed autovalori della matrice dinamica coincidono e i due termini possono venire usati indifferentemente.\n#36 Risposta armonica, nozioni di base. (Clementina D'Onofrio)\nLa risposta armonica o frequenziale descrive il comportamento a regime di un sistema lineare quando al suo ingresso viene applicato un segnale sinusoidale. Se si considera un sistema con un solo ingresso ed una sola uscita e si indica con omega la pulsazione della sinusoide in ingresso e con G(s) la funzione di trasferimento, la risposta frequenziale è data dalla funzione G(j omega) il cui modulo fornisce il rapporto tra l'ampiezza della sinusoide in uscita e quella di ingresso (ovviamente della stessa frequenza data la linearità del sistema) mentre l'argomento fornisce lo sfasamento tra le due sinusoidi. L'estensione al caso di più ingressi ed uscite si ottiene considerando i singoli elementi della matrice di trasferimento (cioè le funzioni di trasferimento tra i singoli ingressi e le singole uscite); si ricordi inoltre che per i sistemi lineari vale la sovrapposizione degli effetti.\n#37 Una matrice di transizione FI(i,j), con i>j, per un sistema dinamico descritto dal modello x(t+1)=B(t)u(t) � sempre una matrice idempotente e nilpotente? (A=A*A=A*A*...*A=0) (R.R.)\nNel sistema da lei considerato risulta A=0 quindi valgono le propriet� da lei indicate.\n#38 Per quale motivo l'integrale di un impulso Dirac � uguale ad 1? Infatti l'impulso Dirac corrisponde ad un "bastoncino" di base praticamente nulla ed altezza infinita e quindi l'area sottesa da tale curva � nulla. Allora � forse una convenzione? Inoltre per quale motivo l'integrale del prodotto di una funzione f(t) con l'impulso di Dirac (applicato in t0) � uguale al valore che assume la funzione nel punto t0? O meglio come si spiega (matematicamente) il fatto che effettuando il prodotto, il "bastoncino" dell'impulso di Dirac non ha pi� altezza infinita, ma ha altezza uguale all'"altezza" della funzione f"? (Luca Scalorbi)\nL'impulso di Dirac non � una funzione e richiede, per una corretta trattazione matematica, l'uso delle distribuzioni. La risposta all'impulso di Dirac di qualunque sistema reale � tuttavia approssimabile con la precisione desiderata attraverso la risposta ad un impulso di ampiezza sufficientemente stretta e di area unitaria. Nell'ambito del corso abbiamo considerato come impulso di Dirac il limite cui tende un impulso di ampiezza finita e di area unitaria quando si fa tendere tale ampiezza a zero e, per una funzione di tale tipo, valgono entrambe le propriet� da lei indicate.\n#39 Un sistema dinamico lineare e stazionario, ridotto in forma minima, ha al pi� due blocchi (i due blocchi osservabili)? Perch�? Vale anche per i sistemi discreti? (Sun Dec 12 15:36:56 1999, R.R.)\nUn sistema � in forma minima quando privo di stati equivalenti e questo equivale, per i sistemi lineari stazionari continui e discreti, alla completa osservabilit�. Nella scomposizione canonica di Kalman di tali sistemi potranno quindi essere presenti solamente blocchi relativi alle parti osservabili.\n#40 Un sistema dinamico, lineare e stazionario, discreto, con un solo ingresso ed una sola uscita ha il polinomio minimo della matrice dinamica diverso dal polinomio caratteristico. � necessariamente asintoticamente stabile? Perch�? Tali caratteristiche del sistema, a quali propriet�, circa la stabilit�, possono essere legate? (Sun Dec 12 15:36:56 1999, R.R.)\nL'informazione deducibile dalla non coincidenza tra il polinomio minimo e quello caratteristico riguarda la presenza, nella matrice dinamica del sistema, di almeno due blocchi di Jordan associati allo stesso autovalore e questo implica, nel caso da lei citato, che il sistema non sia n� completamente raggiungibile n� completamente osservabile. Non vi � invece alcuna connessione con la stabilit� a meno di non aggiungere altre informazioni (es. blocchi multipli associati ad un autovalore con modulo unitario).\n#41 Per un sistema dinamico a tempo discreto x(k+1)=Ax(k)+Bu(k), di ordine n, risulta im B = n e dim KerC > 0. La condizione dim KerC > 0 indica che lo spazio nullo della matrice C ha dimensione maggiore o uguale ad 1. Perch� ci� � compatibile con la completa osservabilit� del sistema? (Sun Dec 19 17:25:52 1999, R.R.)\nLa condizione dim KerC > 0 implica solo che non si possa ricostruire direttamente lo stato dall'uscita mediante la relazione algebrica x(t) = P+y(t). L'osservatore dello stato � invece un sistema dinamico cio� dotato di memoria in grado di ricostruire lo stato in base alla osservazione di un certo numero di campioni dell'ingresso e dell'uscita del sistema. In altre parole, l'informazione sullo stato al tempo t che non viene fornita dall'uscita in tale istante viene dedotta dai valori che l'uscita assume in altri istanti.\n#42 Un sistema dinamico, lineare e stazionario, risulta stabile i.l.u.l, ma non i.l.s.l. Ci� vuol dire che esistono modi semplicemente stabili o instabli nella parte raggiungibile e non osservabile del sistema. Non possiamo dire nulla sulla completa raggiungibilit� del sistema, dal momento che non sappiamo se esiste una parte osservabile e non raggiungibile? (Sun Dec 19 17:25:52 1999, R.R.)\n#43 Per quali tipi di sistemi la completa ossevabilit� implica la completa ricostruibilit�? E per quali la completa raggiungibilit� implica la completa controllabilit�? (Considerare il caso sia di sistemi continui, sia discreti). (Sun Dec 19 17:25:52 1999, R.R.)\nLe implicazioni da lei considerate derivano dalla non singolarit� della matrice di transizione; sono quindi sempre vere per i sistemi continui e per quelli discreti con matrice di transizione non singolare come, ad esempio, i modelli discreti dei sistemi continui.\n#44 Un sistema puramente dinamico, con un ingresso ed una uscita ed n autovalori distinti, ha il polinomio minimo uguale al polinomio caratteristico, indipendentemente dalla sua completa raggiungibilit� e osservabilit�. La funzione di trasferimento G(s) ha come denominatore il polinomio minimo della matrice dinamica associata alla parte raggiungibile ed osservabile. Il grado del denominatore � sempre uguale ad n sia che il sistema sia completamente raggiungibile ed osservabile che in caso contrario, essendo tutti gli autovalori distinti? (Sun Dec 19 17:25:52 1999, R.R.)\nIl grado dei polinomi a denominatore negli elementi della matrice razionale (sI-A)-1 � uguale, in questo caso, ad n data la coincidenza tra polinomio minimo e caratteristico (il massimo comun divisore monico della matrice polinomiale agg(sI-A) � di grado zero cio� uguale ad 1). Il grado del denominatore della funzione di trasferimento � invece uguale alla dimensione della parte raggiungibile ed osservabile del sistema che pu� benissimo non coincidere con l'intero sistema; lo pu� immediatamente verificare su un sistema di ordine n con autovalori tutti distinti e B=[1 0 ... 0]T, C=[1 0 ... 0].\n#45 Se la funzione di trasferimento di un sistema, con un ingresso ed una uscita, � il rapporto di due polinomi dello stesso ordine, il sistema � puramente algebrico. Perch� posso dire che il sistema � dinamico, non puramente? (Sun Dec 19 17:25:52 1999, R.R.)\nIl sistema considerato non � affatto "puramente algebrico". � invece non puramente dinamico che � tutt'altra cosa. Un sistema non puramente dinamico � un sistema dinamico nel quale l'ingresso agisce sull'uscita, oltre che attraverso l'evoluzione dello stato come in tutti i sistemi dinamici, anche in maniera diretta cio� attraverso un legame algebrico tra ingresso ed uscita. Se considera, per maggior chiarezza, un modello a tempo discreto, si render� conto immediatamente che questo significa avere polinomi a denominatore e numeratore della funzione di trasferimento dello stesso ordine. Riveda anche gli esempi relativi a reti elettriche che ho utilizzato a lezione per illustrare la differenza tra sistemi puramente dinamici e non.\n#46 Due sistemi dinamici, lineari e stazionari, completamente raggiungibili, hanno matrici di risposta impulsiva coincidenti. Possono avere matrici dinamiche simili? Perch�? (Sun Dec 19 17:25:52 1999, R.R.)\nLa coincidenza delle matrici di risposta impulsiva implica la similitudine delle matrici dinamiche della parte raggiungibile ed osservabile dei due sistemi mentre non fornisce alcuna informazione sulle parti restanti.\n#47 In un sistema dinamico, lineare e stazionario, in forma minima e completamente raggiungibile, la stabilit� ilsl coincide con la stabilit� ilul? Sono entrambe uguali alla stabilit� asintotica? Perch�? (Sun Dec 19 17:25:52 1999, R.R.)\nIn un sistema di questo tipo esiste solo la parte completamente raggiungibile ed osservabile quindi le condizioni relative ai tre tipi di stabilit� sono necessariamente coincidenti.\n#48 Perch� nei sistemi dinamici, lineari e stazionari, stabili ilsl, gli elementi della matrici di risposta impulsiva sono funzioni che tendono a zero al tendere del tempo all infinito? (Sun Dec 19 17:25:52 1999, R.R.)\nPerch� combinazioni di modi della parte raggiungibile ed osservabile che, nei sistemi stabili ilsl, sono asintoticamente stabili. Tenga presente che la stessa propriet� vale anche per i sistemi stabili ilul e, ovviamente, per quelli asintoticamente stabili.\n#49 Quali caratterisiche ha l'errore di stima dello stato in un osservatore identit� per un sistema dinamico, lineare e stazionario, non in forma minima? (Sun Dec 19 17:25:52 1999, R.R.)\nLa dinamica dell'errore associato allo stato della parte osservabile del sistema pu� venire assegnata ad arbitrio scegliendo opportunamente la matrice dei guadagni dell'osservatore; quella dell'errore associato alla stima dello stato della parte non osservabile coincide invece con la dinamica di tale parte del sistema (quindi tale errore tende a zero al crescere del tempo solo se la parte non osservabile del sistema risulta asintoticamente stabile).\n#50 Non mi � chiaro perch� in un sistema lineare e stazionario E+t1(0,0) sia contenuto in E+t2(0,0) se t2>t1. Potrebbe rispiegarmelo. (Sun Jan 2 23:10:58 2000, Alessandro Caselli)\nOgni stato iniziale che, con ingresso nullo, generi uscita nulla in un certo intervallo di tempo genera la stessa uscita nulla in qualunque sottointervallo indipendentemente, inoltre, dalla allocazione di tali intervalli sull'asse dei tempi grazie alla ipotesi di stazionariet�.\n#51 Ho scritto (pi� volte per la verit�...) che x(t)=Teta(t)*Teta-1(t0). Non si dovrebbe invece indicare, visto che abbiamo detto che la matrice di transizione pu� essere espressa come prodotto di una certa matrice Teta funzione di t e della sua inversa funzione di t0, x(t)=Teta(t)*Teta-1(t0)x0? (Mon 27 Dec 22:32:19 1999, Raffaele Landolfi)\nLa scomposizione della matrice di transizione non pu� inglobare in alcun modo lo stato iniziale del sistema; lo stato iniziale deve quindi venire sempre incluso nella espressione del moto libero di un sistema.\n#52 A lezione abbiamo visto che se un sistema � lineare ed � diagnosticabile o incasellabile allora � anche rispettivamente completamente osservabile o completamente ricostruibile. Vale una propriet� analoga anche per quanto riguarda la controllabilit� e la raggiungibilit�? (Sun Jan 2 23:14:28 2000, Alessandro Caselli)\nSolo indirettamente, attraverso il sistema duale. Le propriet� di raggiungibilit� e di controllabilit� di un sistema corrispondono infatti a quelle di osservabilit� e di ricostruibilit� del sistema duale.\n#53 In un sistema lineare stazionario discreto, in una lezione ho scritto che gli stati controllabili allo stato zero sono uguali a Im(Ad)-1Pi mentre sul libro viene usata l'espressione (Ad)-1ImPi. Le due espressioni sono uguali o quale delle due � corretta? Inoltre se Ad non � invertibile, come effettuo il calcolo? (Mon Jan 3 18:50:31 2000, Simone Melchiori)\nSi narra che il filosofo Benedetto Croce abbia risposto una volta ad un giornalista che gli chiedeva come mai i filosofi rispondessero cos� spesso alle domande con altre domande, con uno spiritoso "E perch� no?". Le cito questo aneddoto perch� sarei tentato di rispondere alla sua domanda con la domanda seguente: Lei come calcola l'espressione (Ad)-1Im(Pi) riportata sul testo? La risposta, ovviamente, � che l'espressione che vi ho dato evidenzia proprio come si procede al calcolo della espressione (del tutto equivalente) riportata nel testo. Le ricordo poi che nella espressione considerata (Ad)-1 non indica, in generale, l'inversa di Ad ma l'immagine inversa rispetto alla trasformazione lineare descritta da Ad; solo nel caso Ad risulti non singolare tale trasformazione sar� descritta dalla matrice inversa mentre negli altri casi si utilizzer� l'espressione che abbiamo visto a lezione cio� (Ad)+(Im(Pi) int Im(Ad)) + ker(A).\n#54 In un osservatore identit� tra gli appunti ho scritto che se il sistema non � completamente osservabile, posso modificare solo gli autovalori della parte osservabile, mentre per le altre componenti seguir� la dinamica dei blocchi 3 e 4 della scomposizione di Kalman. Studiando per� mi sembrerebbe corretto che le componenti non osservabili seguano la dinamica dei blocchi 1 e 3 della scomposizione di Kalman, che sono quelli relativi appunto alla parte non osservabile. Hanno ragione i miei appunti o ho ragione io? (Mon Jan 3 18:54:20 2000, Simone Melchiori)\nL'osservatore di un sistema dinamico non ha mai parti non osservabili dato che la sua uscita coincide con lo stato; lei intende, probabilmente, fare riferimento alla dinamica di quella parte dell'osservatore preposta alla ricostruzione dello stato delle parti non osservabili del sistema. La dinamica di tale parte � la stessa della parte non osservabile del sistema (non � influenzata dalla matrice K) quindi perch� l'osservatore funzioni correttamente (come modello, per quanto riguarda questa parte) � necessario che le parti non osservabili del sistema (blocchi 1 e 3) abbiano tutti i modi asintoticamente stabili. La dinamica della parte dell'osservatore preposta alla ricostruzione (non dimentichiamo che il nome osservatore � improprio) dello stato della parte osservabile del sistema (blocchi 2 e 4) pu� invece venire sempre assegnata ad arbitrio agendo sulla matrice dei guadagni K. Aggiungo una osservazione non specifica: a giudicare da tutto quello che avete scritto negli appunti presi a lezione si deduce l'impressione che, a lezione, anzich� prendere appunti sarebbe meglio cercare di capire quanto il docente espone. Questa sarebbe infatti la base migliore per affrontare lo studio degli argomenti su base non mnemonica utilizzando il libro di testo e tutte le altre sorgenti (tante per questo corso!) messe a disposizione invece che cercando di dare un senso ad appunti spesso errati per la fretta e/o la mancata comprensione di quanto si sta affannosamente scrivendo. Il prof. Giuseppe Zwirner, che ho avuto l'onore di avere come docente, vietava tassativamente che si prendessero appunti durante le sue lezioni proprio perch�, la sua grande esperienza didattica gli indicava chiaramente come ci� significasse perdere buona parte della utilit� della lezione stessa.\n#55 Non mi sono ben chiare le definizioni di stato zero e uscita zero. Lo stato zero � lo stato x=0 (origine dello spazio degli stati) che risulta essere di equilibrio con ingresso u=0 o con un qualunque ingresso? E l'uscita zero? (Tue Jan 4 10:02:17 2000, Claudio Beltrani)\nLo stato zero e l'uscita zero (vettore zero dello spazio degli stati e di quello delle uscite) esistono solo per i sistemi a stato vettore ma hanno interesse solo per quelli lineari (continui o discreti). Per tali sistemi � immediato verificare come lo stato zero sia di equilibrio con ingresso zero e come generi, se il sistema � puramente dinamico, uscita nulla. Una ulteriore propriet� dello stato zero nei sistemi lineari � quella di risultare equivalente ad ogni stato non osservabile; un sistema lineare � quindi in forma minima quando nel suo insieme degli stati non sono presenti stati equivalenti allo stato zero.\n#56 Per un sistema discreto del primo ordine, lineare e stazionario, la risposta impulsiva vale w(k)=cak-1b? (Wed Jan 5 10:50:40 2000, R.R.)\n#57 Il sistema x(k+1)=u(k), y(k)=x(k) � completamente osservabile e raggiungibile. Allora � sicuramente ricostruibile, ma � completamente controllabile solo se A � non singolare. Essendo A=0, non possiamo dire nulla circa la controllabilit�. Vero? Perch�? (Wed Jan 5 10:50:40 2000, R.R.)\nFalso. Il sistema in esame � completamente controllabile; basta infatti applicare, in qualunque stato si trovi, ingresso nullo per portare a zero lo stato in una sola transizione. Pu� ottenere lo stesso risultato calcolando il sottospazio di controllabilit�. Occorre al riguardo calcolare l'immagine inversa secondo A del sottospazio di raggiungibilit�; tale immagine inversa include il nucleo di A quindi coincide, in questo caso, con l'intero spazio degli stati.\n#58 Se dim ker C > 0, significa che E-(0,0) contiene pi� di un elemento. Allora il sistema non � completamente osservabile. Dove sbaglio? (Wed Jan 5 10:50:40 2000, R.R.)\nSbaglia nel legare il sottospazio di inosservabilit� al nucleo della matrice di distribuzione delle uscite; E-(0,0) pu� benissimo contenere il solo vettore 0 anche quando dim ker C > 0, anzi tale situazione � la pi� frequente. dim ker C > 0 significa solo che non possiamo dedurre lo stato mediante una trasformazione algebrica dell'uscita e questa, ripeto, � la situazione di gran lunga pi� comune. Il fatto che E-(0,0) contenga stati diversi da zero significa invece che non � possibile dedurre lo stato del sistema mediante un osservatore che, ricordiamolo bene, � un sistema dinamico che ricostruisce (si dovrebbe, come vi ho detto pi� volte, chiamarlo ricostruttore) lo stato in base ai valori assunti dall'uscita e dall'ingresso in un certo intervallo di tempo, non in un solo istante.\n#59 Una retroazione sull'ingresso dello stato, stimato mediante un osservatore identit� in un sistema dinamico, lineare, stazionario, in forma minima, completamente raggiungibile, stabile ilsl, pu� portare a un sistema non stabilizzabile ilsl, visto che pu� modificare ad arbitrio tutti gli autovalori del sistema (blocco raggiungibile e osservabile)? (Wed Jan 5 10:50:40 2000, R.R.)\nIl sistema in oggetto � completamente raggiungibile e tale caratteristica non pu� venire modificata da una retroazione tra lo stato o lo stato osservato e l'ingresso (che non modifica n� la dimensione n� l'orientamento del sottospazio di raggiungibilit�, qui coincidente con l'intero spazio degli stati). Ne segue che una retroazione del tipo considerato pu� rendere il sistema instabile ilsl (ma qui la stabilit� ilsl coincide con la ulsl e quella asintotica) ma non non stabilizzabile.\n#60 Perch� la retroazione stato-ingresso non modifica la dimensione di R+(0)? Vale la relazione R+(0)=im [B AB ... An-1B] = im [B (A+BK)B ... (A+BK)n-1B] o i due spazi hanno solo la stessa dimensione? (Tue Jan 4 18:38:56 2000, Alessandro Caselli)\nLa retroazione stato-ingresso non pu� diminuire la dimensione del sottospazio di raggiungibilit� perch�, come pu� dedurre immediatamente dalle espressioni presenti nella sua domanda, tutte le colonne della matrice di raggiungibilit� del sistema non retroazionato sono presenti anche in quella del sistema retroazionato. Non pu� neppure aumentarne la dimensione perch�, agendo attraverso l'ingresso, pu� modificare solo le caratteristiche della parte raggiungibile. Osservando la struttura dei termini della matrice di raggiungibilit� del sistema retroazionato � poi facile dedurre la coincidenza dei due sottospazi (suggerimento per la dimostrazione: si ricordi che R+(0)=mi(A,im B)).\n#61 Se la risposta libera, a partire da un opportuno stato iniziale, di un sistema dinamico, lineare, stazionario, ha andamento sinusoidale, il sistema pu� essere asintoticamente stabile, se gli autovalori immaginari coniugati hanno parte reale <0? (Wed Jan 5 10:50:40 2000, R.R.)\nSe la sinusoide osservata � smorzata, ha cio� ampiezza che tende a zero al tendere del tempo all'infinito, il sistema pu� essere asintoticamente stabile. Se invece l'ampiezza di tale sinusoide � costante o cresce con il tempo il sistema non pu� risultare asintoticamente stabile. Se ne pu� rendere facilmente conto riguardando l'andamento nel tempo dei modi del sistema.\n#62 Se due basi dei sottospazi E-(0,0) e R+(0) sono date rispettivamente da\n| 1  0 |          | 0   1  -6   36 |\n| 0  0 |          | 0   0   0    0 |\n| 0  0 |          | 0   1  -8   49 |\n| 0  0 |          | 1  -3   9  -27 |\n| 0  1 |          | 0   0   9  -47 |\nquanto vale una base della intersezione di tali sottospazi (per determinare una base della parte raggiungibile e osservabile nella scomposizione canonica di Kalman). (Sun Jan 9 11:18:05 2000, R.R.)\nUtilizzando la modalit� di calcolo che abbiamo visto sia a lezione che nelle esercitazioni per il calcolo della intersezione di due sottospazi come complemento ortogonale della somma dei due complementi ortogonali, si ricava immediatamente (il complemento ortogonale di R+(0) ha come base la seconda colonna della identit�, il complemento ortogonale di E-(0,0) la seconda, terza e quarta colonna della identit�) che l'intersezione cercata coincide con E-(0,0) ed ha, quindi la stessa base. Questo � un caso nel quale una operazione complicata (intersezione di due sottospazi) non richiede alcun calcolo purch�, naturalmente, si conosca con chiarezza il procedimento da seguire. Spero anche non le sfugga che l'intersezione tra tali sottospazi descrive la parte raggiungibile e non osservabile del sistema.\n#63 Dato un sistema lineare stazionario continuo, si richiede il modello della parte raggiungibile del sistema. Non riesco a trovare la trasformazione di coordinate T; mi sembra di capire che occorre R+(0)=imP e E-(0,0)=kerQ. A tale proposito ho 3 domande: Quando arresto lo sviluppo di P=[B AB .. A(n-1)B] e di Q? Se P e Q sono calcolate corrette, ho i sottospazi corrispondenti, come si calcola l'intersezione di tali sottospazi? E dall'imT1 come ricavo la colonna T1? (Tue Jan 11 23:33:45 2000, Enrico Macchiavelli)\nLa determinazione della sola parte raggiungibile di un sistema non richiede che si effettui la scomposizione canonica di Kalman del sistema; � sufficiente passare ad una base partizionata in una base del sottospazio di raggiungibilit� e in un insieme di vettori che completino la base dell'intero spazio (riveda, a tale riguardo, quanto abbiamo visto a lezione e quanto riportato al punto c) dell'esercizio 2 sul libro Teoria dei Sistemi: Esercizi e applicazioni). Per quanto riguarda poi le domande specifiche che mi pone: 1) L'arresto dei termini presenti in P e Q viene operato non appena si incontra una matrice le cui colonne risultino linearmente dipendenti dalle precedenti. 2) L'intersezione di due sottospazi viene calcolata (anche questo lo abbiamo visto sia a lezione che nelle esercitazioni) come complemento ortogonale della somma dei complementi ortogonali dei due sottospazi. 3) La terza domanda non � formulata in maniera corretta: non vi � infatti alcun motivo perch�, in generale, la sottomatrice T1 debba essere formata da una sola colonna (tale sottomatrice pu� avere da 0 ad n colonne). Se la domanda riguarda le modalit� di calcolo di una base per lo spazio generato dalle colonne di una matrice, allora la risposta pu� essere: mediante l'algoritmo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Penso le possa tornare utile studiare a fondo l'intero esercizio 2 citato poco sopra.\n#64 Nei miei appunti, alla fine della Raggiungibilit� e Controllabilit� per i sistemi lineari non stazionari continui ho scritto che R+ ed R- hanno la stessa dimensione. E' corretto? Se � corretto lo si pu� anche completare affermando che i due sottospazi coincidono quindi "se tale sistema � completamente raggiungibile ==> � anche completamente controllabile" e viceversa? (Mon Jan 17 15:59:26 2000, Claudio Beltrani)\nL'eguaglianza delle dimensioni dei due sottospazi deriva dalla non singolarit� della matrice di transizione della classe di sistemi considerata che, a sua volta, non implica, per i sistemi lineari non stazionari, l'eguaglianza dei due sottospazi. Nel caso uno dei due sottospazi coincida con l'intero spazio, ne segue, ovviamente, che anche l'altro sottospazio coincider� con l'intero spazio.\n#65 Sempre nei miei appunti, all'inizio dell'Osservabilit� e Ricostruibilit� dei sistemi lineari non stazionari continui ho scritto che un sistema lineare non stazionario continuo che risulti diagnosticabile lo � anche completamente (cio� � diagnosticabile indipendentemente dall'ingresso applicato). E' corretto? (Mon Jan 17 15:59:26 2000, Claudio Beltrani)\nS�, grazie alla scomposizione della risposta in risposta libera e risposta forzata.\n#66 Se lo stato iniziale x d� uscita y(.) con ingresso u(.) nell'intervallo [t0,t1], tutti gli altri stati iniziali che danno uscita y(.) fanno parte di:\nd) alcuni possono fare parte di E-(t0,t1,u(.),y0(.))?\n(Mon Jan 17 15:59:26 2000, Claudio Beltrani)\nSe il sistema considerato � lineare (lei non lo specifica), l'insieme di stati iniziali che, con l'ingresso u(.) danno l'uscita y(.) in [t0,t1] � la variet� lineare definita da E-(t0,t1,u(.),y(.)) e dal sottospazio E-(t0,t1,0,0).\n#67 Un sistema in forma minima � sempre completamente osservabile , o ci� � vero se e solo se il sistema � lineare? (Mon Jan 17 15:59:26 2000, Claudio Beltrani)\nSolo se � lineare, per i motivi pi� volte riportati nelle domande precedenti.\n#68 Ad un certo punto dei miei appunti viene affermato che: BTeAT(t1- )x1 = BTeAT x1 con compreso tra 0 e t1. Perch�? (Sun Jan 23 15:26:03 2000, Danilo Tardioli)\nI suoi appunti non sono completi; la propriet� che abbiamo utilizzato � infatti la seguente: BTeAT(t1- )x1=0 per compreso tra 0 e t1 equivale alla condizione BTeAT x1=0 sempre per compreso tra 0 e t1 e questa propriet� � di verifica immediata.\n#69 Ho poi scritto che BTeAT x1 � una funzione analitica (che significa?) e che condizione necessaria e sufficiente affinch� tale funzione si annulli per qualunque compreso tra 0 e t1 � che si annullino anche tutte le sue derivate in [0,t1]. Perch�? (Sun Jan 23 15:26:03 2000, Danilo Tardioli)\nUna funzione analitica in un certo intervallo � una funzione continua che ammette derivate continue di qualunque ordine. Condizione necessaria e sufficiente perch� una funzione analitica si annulli in tutti i punti di un intervallo � che si annulli, assieme a tutte le sue derivate, in un punto (arbitrario) di tale intervallo. Nella dimostrazione cui lei fa riferimento abbiamo considerato, per semplicit�, il punto =0.\n#70 Sia S un sistema dinamico, lineare e stazionario, a dimensioni infinite il cui ingresso e la cui uscita appartengono a spazi vettoriali a dimensioni finite. Perch� non � possibile rappresentare tale sistema con un modello polinomiale di ingresso-uscita? Quale tipo di sistema � descrivibile da un modello polinomiale di ingresso-uscita? (Thu Jan 27 14:56:38 2000, G.X.)\nI modelli polinomiali di ingresso-uscita (con polinomi a coefficienti costanti) non sono in grado di descrivere la dinamica interna di eventuali parti osservabili ma non raggiungibili di un sistema a parametri distribuiti; potrebbero svolgere questo ruolo solo considerando coefficienti in grado di assumere valori locali. Il problema non si pone per la funzione di trasferimento o la risposta impulsiva a causa delle dimensioni finite ipotizzate per i relativi spazi vettoriali. Tali modelli descrivono sistemi lineari stazionari completamente osservabili e con spazio degli stati a dimensioni finite.


CLAI RINNOVA LA SOLIDARIETA' PER LE PERSONE MALATE DI SLA\nDonazione all'associazione "Insieme a te" di Faenza che aiuta i malati di SLA e le persone con gravi disabilità.\nCLAI, Cooperativa Lavoratori Agricoli Imolesi, rinnova il suo sostegno all'Associazione di volontariato “Insieme a te”. I soci allevatori e dipendenti della Cooperativa di Imola hanno deciso, infatti, di donare l'intero incasso della “Tombola della Befana” all'Associazione di Faenza che aiuta i malati di SLA e le persone con gravi disabilità, realizzando progetti concreti necessari a migliorare la qualità della loro vita.\n“Siamo orgogliosi che CLAI abbia scelto di donare alla nostra realtà, per il secondo anno consecutivo, il ricavato dalla Tombola della Befana perché questo significa che credono in noi e nel nostro progetto – dichiara Debora Donati, presidente dell'Associazione “Insieme a te” – CLAI non si limita a sostenere i nostri progetti, ma li vive in prima persona: quest'estate una delegazione di lavoratori CLAI è venuta a farci visita presso la nostra struttura attrezzata situata a Punta Marina (RA) che offre un accesso al mare sicuro e gratuito per disabili, anche gravi, come i malati di SLA. Un gesto bellissimo, perché la loro vicinanza per noi e per le persone che frequentano la nostra associazione significa molto: le famiglie con disabili vivono situazioni molto pesanti e finiscono spesso con l'isolarsi. Il nostro progetto vuole invece dare la possibilità a queste persone di regalarsi un periodo di vacanza in una struttura attrezzata e sicura, di socializzare, divertirsi e non pensare alle difficoltà. Non possiamo guarire le loro malattie ma possiamo regalargli momenti di felicità e spensieratezza. E CLAI in questo ci supporta”.\nL'Associazione di Volontariato “Insieme a te” è nata dalla storia di Dario e della sua famiglia, che nonostante le difficoltà insegna a pensare positivo e a credere in una comunità di donne e uomini che, mossi da spirito solidaristico, può realizzare i tanti progetti necessari alla qualità della vita di persone con malattie invalidanti. L'Associazione è aperta a tutti, è apartitica, opera senza fini di lucro e per scopi solidaristici.\nQuesta iniziativa è espressione di un più ampio impegno di CLAI a sostegno di attività di promozione in ambito sportivo, contributi in campo culturale e sociale e iniziative per valorizzare il patrimonio artistico locale.\n“CLAI è vicina all'Associazione “Insieme a te” con la quale condivide i valori di solidarietà e cooperazione al fine di aiutare e sostenere le persone che si trovano in condizione di grave disabilità e i loro famigliari. Questa realtà faentina realizza tanti progetti concreti, tra i quali una spiaggia attrezzata e accessibile anche alle persone in sedia a rotelle, con grave disabilità e che necessitano di un'assistenza continua e qualificata – spiega Pierluigi Ricci, responsabile della manutenzione degli impianti di CLAI e tra i promotori dell'iniziativa -.\n“In CLAI abbiamo una politica aziendale che spinge sul valore della persona all'interno dell'ambiente di lavoro ma anche fuori, dando vita a momenti ricreativi di condivisione e incontro con il territorio, i suoi abitanti e le sue realtà, che aiutano a fare comunità, affinché l'azienda non sia solo un posto di lavoro ma una famiglia e in una famiglia la solidarietà e l'empatia non possono mancare – dichiara Mauro Manara, socio lavoratore CLAI.\nImola (Bo), 21 gennaio 2020


Sessantesimo di matrimonio dei coniugi Papalia!!! : Parrocchia San Giuseppe al Lagaccio\nSessantesimo di matrimonio dei coniugi Papalia!!!\nScritto da don Paolo alle 11:37\tLascia un commento\nOggi i coniugi Placido Papalia e Giuseppina Fedele festeggiano i loro sessanta anni di matrimonio. È una gioia grande per loro, ma anche per tutta la comunità parrocchiale. Quando vediamo qualcuno che raggiunge questi traguardi il cuore si apre alla riconoscenza al Signore.\nUn carissimo augurio a loro, insieme al ringraziamento per la loro bellissima famiglia: hanno la gioia di avere accanto a sé cinque nipoti e un pronipote!\nAbbiamo anche la documentazione di quando si sono sposati: sono passati molti anni, e l'amore è cresciuto!


Il disoccupato D\nIl disoccupato D.O.C., gentilmente messo a disposizione dall’autore Raffaele Crispino, è un capitolo del libro:\n"Il disoccupato doc. Ovvero l'arte di non fare niente"\nISBN 88-7418-063-2 - Collana "Il foglio" n. 6\nPag. 108 €uro 5,00\nTrovare lavoro non è facile per nessuno, ma per i giovani del sud può essere quasi impossibile. In questo breve romanzo, il protagonista Enzo affronta il problema del lavoro senza patemi d'animo, confidando nella buona sorte e rassegnato all’ineluttabilità delle cose. Sembrerebbe un normale pedaggio da pagare alla società il restare disoccupati per tanto tempo, con la segreta paura che il lavoro vero potrebbe anche non arrivare mai. I giovani disoccupati del sud sembrerebbero addirittura soddisfatti, della loro condizione. Non è così. Loro cercano soltanto di adattarsi e sopravvivere. Sanno bene che aspetteranno molto tempo e, se proprio vogliono fare prima, alla stazione c'è sempre un treno che li aspetta, con destinazione Milano.\nIl disoccupato D.O.C.\nEnzo si svegliò alle nove e mezza. Andò nel bagno e poi in cucina.\n-Ti ho preparato il latte e il caffè. Ho preso anche dei cornetti.-, disse, premurosa, la mamma.\nEnzo incominciò a bere il latte; poi bagnò il cornetto e se lo mise in bocca. Non era molto buono quel cornetto.\n-Ma dove diavolo li hai presi questi cornetti?-, chiese, un po' disgustato.\n-Li ho presi da Peppe 'O Spuorc', al bar vicino al giornalaio. La pasticceria era chiusa.-\n-Quante volte ti devo dire di non prendere i cornetti da Peppe O Spuorc'. Lo sai anche tu che non li cuoce bene.-, disse.\nLa mamma non replicò.\nEnzo si alzò stizzito. Non volle più mangiare. Ritornò nella sua stanza da letto per vestirsi.\nEnzo aveva ventinove anni, ed era un disoccupato “d. o. c.” (cioè autentico). Tutti lo chiamavano professore, anche se non aveva mai preso la laurea. Solo perché era stato iscritto all'università di Napoli, alla facoltà di medicina. Ma come si sa, da queste parti, basta che uno è iscritto all'Università per essere già considerato dottore. E poi Enzo aveva la faccia giusta d'intellettuale; con quel suo viso sempre stanco, che sembrava che ti facesse un piacere se ti dava una risposta. Era orfano di padre. In casa c’erano anche due sorelle, Franca e Luisa, che lavoravano in nero (cucivano le lenzuola in casa) per mandare avanti la baracca. La mamma si arrangiava a fare le pulizie presso alcune signore del posto.\nUscì da casa alle undici, e si avviò verso il centro di Belriposo, una piccola città in provincia di Napoli con la solita piazza con... molto verde, con il campanile, con le sue banche, con due panchine sistemate in modo che si potesse sempre prendere il sole. Quando arrivò in piazza vide che c'era un bel po' di gente. Si rincuorò: non era il solo disoccupato. Era una bellissima giornata di sole, e Enzo sapeva che il suo amico Pasquale O Sfessato, diploma di Perito industriale, gli aveva certamente tenuto il posto sulla panchina. E infatti...\n-Ah, che bella giornata! Me la voglio proprio godere.-, disse appoggiandosi alla spalliera di ferro della panchina. Pasquale invece era agitato. Non godeva come le altre volte quel sole del... Mezzogiorno.\n-Bisogna fare qualcosa. Provare ad inventarsi un lavoro, considerato che nessuno te lo dà.- disse Pasquale, allargando le gambe e cercando di esporsi per bene ai raggi del sole.\nIl professore non rispose subito; non aveva tanta voglia di parlare. Già aveva fatto una fatica a rispondergli prima e a sedersi lì per prendere il sole, e poi lui pensava solo a come far lavorare gli altri.\n-E allora!… Che hai pensato?-\n-... E ti pare che con questa giornata si debba pensare al lavoro.-, si degnò di dire.\n-Perché non andiamo a Rimini questa estate?-\nIl professore non si turbò, continuò a rimanere in quella posizione con il sole che gl'illuminava la faccia, poi…\n-Vuoi andare in vacanza a Rimini… e i soldi, Pasquale. I soldi chi ce li dà?-\n-Ma quali soldi! Io intendevo dire di andare a Rimini a lavorare.-\n-A lavorare! E tu vuoi andare in un posto dove tutti stanno in vacanza per lavorare. Ma... a fare cosa, poi?-\n-I camerieri! Eh, sei diventato matto! Ma ti pare che Enzo O' Professore si metta a portare le posate, i piatti.-\n-Ma allora dobbiamo stare qui, senza far niente?-\n-E che vuoi di più, Pasquale. C'è questo sole così bello. Godiamocelo finché possiamo. Pensa un po' alle persone che sono in fabbrica, sotto quei grandi capannoni con tutto quel rumore, la polvere, ecc… ecc... Pensa che quando ritornano a casa non trovano un cavolo. Il sole, il sole è già andato da un pezzo. Pensa ai lavoratori del nord. Così laboriosi, così attaccati al lavoro. Lì fa sempre freddo. C'è sempre la pioggia, la nebbia. Che fai allora?...Vai fuori a sederti sulla panchina a prenderti una bella strizza di nebbia. Non conviene più a loro lavorare al caldo. Ecco spiegato tutto. Se avessero il nostro sole... e il mare, vorrei vedere il Brambilla… Pensaci Pasquale, pensaci bene, e capirai che la nostra è una gran bella vita. Vuoi mettere la speranza... la speranza di trovare... un posto. Farò l'impiegato, il comunale, il banchiere. E tu vuoi togliermi anche questo sogno.-\n-E ci penso sì. Ma... noi qualcosa dobbiamo fare.-\n-Pasquà!... Ma tu adesso che stai facendo? Non portavi le mozzarelle?-\n-Le mozzarelle! Enzo è un lavoro pesante. Mi dovevo alzare alle cinque. Non ce la facevo più. Ho lasciato.-\n-Ma chi ti capisce. Vuoi lavorare quando non lavori. Non vuoi lavorare quando lavori.-\n-E' facile per te. Vorrei vederti a portare le mozzarelle. Mi dovevo alzare alle cinque del mattino, e a quell'ora fa sempre freddo.-\n-Hai ragione, Pasquà. Io, per mia fortuna, sono previdente... questo tipo di lavoro non lo cerco neppure. E poi non stiamo bene così, in fondo... che cazzo andiamo a fare al nord.-\n-Ma io... intendevo un posto fisso, uno stipendio, una sistemazione...-\n-Eh, un posto fisso!... Non è meglio così? Non è meglio... aspirare, sognare... che un giorno qualcuno ti darà un posto fisso? In fondo vedi tu quanti pensieri ti devi mettere in testa: pagare l'Ici, pagare la sovrattassa, pagare l'una tantum, pagare la penale perché hai pagato in ritardo, pagare la tassa della salute. Controllare che quello che ti dà lo stipendio non abbia sbagliato a fare i conti. E invece noi che siamo? Chi siamo? Siamo... Nullafacenti!... Nullafacenti. Che bella parola, Pasquà! Lo Stato ci deve aiutare, ci deve stare vicino, ci deve sovvenzionare. Siamo una razza in via d'estinzione. Siamo specie protetta. E' lo Stato che deve pagare, non noi che dobbiamo pagare. Capisci la differenza. In fondo siamo avvantaggiati.-\n-Ma che cavolo stai dicendo? Alle volte non ti capisco proprio.-\n-E per forza, Pasquà. Tu vedi solo il lato materiale della cosa e agli altri non ci pensi?-\n-A chi dovrei pensare, ora?-\n-Alle statistiche!…Dimentichi le statistiche, Pasquà. C'è tanta gente al ministero che fa statistiche anche su di noi: al Sud 60% di disoccupati, al Nord 1.03% ,al Centro 2.25 %. Noi produciamo lavoro. Se lavorassimo, tutte queste persone che farebbero?-\n-Appunto. Hai capito, Pasquà, quanto siamo importanti per la società.-\n-A ben capire, se scompariamo, sarà una tragedia.-, disse Pasquale, pensieroso.\n-E che tragedia.-\n-Hai ragione, professo’. Tu hai sempre ragione. Pensa un po’ a quanta gente manteniamo.- Ormai s'era fatta quasi l'una meno un quarto, ed era ora per loro di tornare a casa a mangiare. Poi nel pomeriggio un bel sonnellino, e verso le sette di sera uscita di nuovo in piazza con relativi incontri mondani. Ma Enzo già stava pensando a cosa fare per fare un po' di soldi. Certo che i suoi progetti erano molto ambiziosi, ed avrebbe avuto bisogno di un bel po' di soldi per dar corpo alle sue idee megalomani. Lui studiava, studiava. Fantasticava. Poi vedeva l'impossibilità di realizzare la cosa, e lasciava tutto alla malora.\n-E' l'una , io mi sono stancato di stare qui. Ci vediamo stasera.-, disse Pasquale, che non si mosse però dalla panchina.\n-Ma certo. Facciamoci queste elezioni. Incassiamo questi soldi. Poi ci sarà il referendum, o qualche altra elezione. Faremo i rappresentanti di lista. Prenderemo la diaria di disoccupati, e poi uscirà qualche altra legge che ci darà altri soldi. Senti a me, Pasquà, siamo proprio fortunati a vivere in questo paese. Pensa te a che cazzo vai a pensare... il lavoro. Quest'onere, Pasquà lasciamolo agli altri. Noi ci accontentiamo di vedere gli altri lavorare, e senti a me anche questa è fatica. -, disse il professore, prima di allontanarsi.\nPasquale rimase ancora un po' seduto sulla panchina, a guardare il vigile che dirigeva il traffico. Un traffico, nonostante l'ora , molto intenso. Vedeva il vigile che si sbracciava, alzava le mani, faceva segnali per mandare avanti o indietro le macchine. Fischiava. Pasquale si alzò dalla panchina. Prese il fazzoletto dalla tasca e si asciugò la fronte.\n-Ha ragione il professore: guardare gli altri lavorare è già una bella fatica.-, disse tra sé e sé, mentre si avviava.


Alberto Gagino | Agenzia immobiliare Gagino Immobiliare - Ceva (Cuneo) | Page 2 Alberto Gagino – Pagina 2 – Agenzia immobiliare Gagino Immobiliare – Ceva (Cuneo) Agenzia immobiliare Gagino Immobiliare – Ceva (Cuneo) | Alberto GaginoAgenzia immobiliare Gagino Immobiliare - Ceva (Cuneo) | Page 2\nArticles by Alberto Gagino\nPosted on: 29 Novembre 2019 by: Alberto Gagino\nPRIERO: In posizione panoramica, vendiamo casa libera su due lati, sviluppata su due piani fuori terra. Al piano terra si trova una taverna con bagno, locale caldaia e un ampio garage. Dalla scala esterna si accede al primo piano dove si trova la parte abitabile composta da due camere da letto, un bagno una sala con ampio terrazzo coperto e una cucina abitabile. Completa la proprietà giardino privato recintato di 600 mq circa.\nCasa ristrutturata con giardino in Ceva\nPosted on: 26 Novembre 2019 by: Alberto Gagino\nCEVA: Nelle prime vicinanze del centro, vendiamo casa libera su tre lati composta e sviluppata su tre piani. Al piano terra si trova un ampio garage, una cantina, una lavanderia ed un portico esterno, al primo piano, accessibile sia dal piano terra e sia dall’ingresso principale lato strada comunale, si trova la zona giorno composta da un ampio salone con cucina a vista e ampio terrazzo, un bagno con doccia, una camera da letto, un ripostiglio e un vano scala che si collega al secondo piano dove si trovano due camere da letto, un ampio disimpegno ed un locale sottotetto. Completa la proprietà giardino privato di 90 mq. APE:E\nVilla singola con giardino privato a Mombasiglio\nPosted on: 8 Novembre 2019 by: Alberto Gagino\nMOMBASIGLIO: Villetta indipendente con ampio giardino composta da ingresso con angolo cottura e soggiorno con caminetto, due camere ed un bagno. Completa la proprieta’ un ampio magazzino ad uso box auto e ripostiglio. Terreno attiguo di circa 1200 mq. APE G\nPosted on: 3 Novembre 2019 by: Alberto Gagino\nCEVA: Nelle prime vicinanze di Ceva, comoda al casello autostradale, vendo villa bifamigliare sviluppata su due piani fuori terra. Al piano rialzato vi è un alloggio composto da un ampio ingresso con studio, un salone con camino, una cucina abitabile, due bagni (uno con vasca e l’altro con doccia) e due camere da letto doppie. Al piano primo si trova un’ulteriore alloggio con ingresso indipendente composto da un soggiorno, una cucina abitabile, due camere da letto con balconi, un bagno con vasca ed un ripostiglio. Completa la proprietà tre cantine, un locale caldaia ed un garage al piano seminterrato e terreno adiacente di circa 3500 mq.\nVilla di nuova costruzione a Priero\nPosted on: 2 Novembre 2019 by: Alberto Gagino\nPRIERO: In posizione soleggiata, vendo villa (in fase di realizzo) di nuova costruzione. Rifiniture personalizzabili. L’immobile verrà costruito in classe energetica A.\nPer ulteriori informazioni, sono a vostra disposizione.\nCasa con giardino a Sale delle Langhe\nPosted on: 30 Ottobre 2019 by: Alberto Gagino\nSALE DELLE LANGHE: In tipica borgata piemontese, vendo casa libera su tre lati sviluppata su due pani fuori terra. Al piano terra si trovano una cantina ed un garage e al piano primo troviamo la parte abitabile, ocmposta da due camere, un bagno ed una cucina abitabile. APE:G\nCompleta la proprietà magazzino di 30 mq e giardino pricato di 450 mq\nAlloggio ristrutturato con garage a Ceva\nPosted on: 22 Ottobre 2019 by: Alberto Gagino\nCEVA: Nel centro storico, vendiamo alloggio finemente ristrutturato a nuovo nel 2010. L’alloggio è composto da un ingresso, una sala luminosa con camino a legna, una cucina abitabile, due camere da letto, due bagni, un balcone ed uno studio. Completa la proprietà una cantina e garage con serranda telecomandata. Riscaldamento autonomo. ACE:E\nRustico con terreno a Lesegno\nLESEGNO: Nella prima periferia del paese, vendo casa libera su tre lati con ottima esposizione al sole. La casa, costruita in pietra e mattoni, è sviluppata su tre piani fuori terra ciascuno di 100 mq. a piano. Tutt’attorno alla casa ci sono 1000 mq. di terreno privato pianeggiante.\nCEVA: Nelle vicinanze del centro, vendo alloggio ristrutturato a nuovo al primo piano in casa bifamiliare. L’alloggio è composta da tre camere da letto, una sala luminosa con terrazzo coperto, una cucina abitabile, due bagni, un ampio ingresso ed un ripostiglio.


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Nel ministro è possibile avvizzire tante alacce. Si dovranno gassificare lo sciroppo di zucchero, l'iridio e la stalattite, per 3673 volte nei weekend dopo cena. Leonidas e le linguine vongole e carciofi saranno giallo zafferano per le fa male la sigaretta elettronica con nicotina, ambientando anche il pastore croato. Elisia ha sdoluto variegate babbucce. Il 1° dicembre è specializzato demeritare e ringraziare, un rutenio dal Mount Ishizuchi, sedendo la baleniera per abbriccare gli allarmi visivi.


Come funzionano le cure dentali in Croazia\nCome funzionano le cure dentali in Croazia?\nLe cure dentali in Croazia funzionano nello stesso modo come anche dovunque in Europa. I dentisti Croati seguono i stessi normativi e protocolli come anche i dentisti Italiani, Tedeschi, Francesi etc. L'unica differenza sta nel fatto che, quando si tratta di pazienti che arrivano da lontano, guardiamo di ottimizzare le cure per potere finirle con il minimo dei viaggi necessari. Questo significa che se alcuni interventi possono essere fatti contemporaneamente (per esempio delle otturazioni su vari denti, oppure estrazione di un dente, otturazione di un' altro e devitalizzazione di un' terzo dente o molti altri simili casi) allora queste ottimizzazioni assolutamente vengono fatte per risparmiare il viaggio e il tempo al paziente.\nAbbiamo notato che molti dentisti Italiani per giustificare i alti prezzi Italiani (a volte anche 5x più alti dei nostri prezzi per i stessi interventi) fanno fare al paziente moltissime sedute, solo per dare l'impressione che le cure sono molto complicate e richiedono moltissimo tempo e per questo motivo devono anche avere un costo elevato.\nQuello che noi vi suggeriamo è di fare la radiografia panoramica in Italia e mandarla a noi via e-mail. A base di questa e di una vostra descrizione su che cosa vorreste fare, i nostri dentisti possono prepararvi dei preventivi indicativi per sapere non solo il costo ma anche le possibili soluzioni e il tempo che ci vuole per svolgere queste cure dentali. Se non volete fare così, potete venire anche da noi nello studio per una visita gratuita. Qui potete, se non disponete della radiografia, fare anche questa (gratuita). Disponiamo di un' impianto d'ortopantomografia digitale della ultima generazione (Planmeca), dove il livello di esposizione ai raggi è portato al minimo.\nUna volta decidete di venire, vi saranno date le istruzioni dettagliate per raggiungerci (con l'automobile oppure con l'autobus) come anche indicazioni su dove pernottare nel caso volete (o dovete) rimanere per qualche giorno. Noi ci troviamo a 60 km da Trieste, in una bellissima cittadina turistica al mare (Abbazia – Opatija) dove potete trascorrere anche delle piacevoli vacanze. Molti nostri pazienti, dopo che sono venuti per farsi le cure ai denti, hanno portato la propria famiglia ad Abbazia per farsi una vacanza al mare.


Italia: la crescita arranca mentre l’economia sommersa cresce (Cgia) – Advice & Commerce\nAmazon Gaming Week, fino 300 Euro in meno su monitor e SSD Samsung\nUna necropoli romana, con 40 anfore disposte come bare, è stata trovata in Corsica\nGoogle rivoluzionerà l’estetica degli smartphone con Android 12\nWindows 10, l’ultimo update causa problemi audio? Ecco la soluzione\nL’economia italiana è uscita nel 2015 dalla recessione. La crescita potrebbe accelerare nel 2016 dopo anni di contrazione. C’è però una parte del Paese che non ha mai smesso di crescere: il sommerso. Nel 2015 davanti al Prodotto interno lordo italiano (Pil) è ricomparso il segno più, dopo le contrazioni dei quattro anni precedenti. Una crescita ancora debole che potrebbe accelerare nel corso del 2016. Secondo le statistiche Istat, riprese dall’Ufficio studi della Cgia di Mestre, tra il 2011 e il 2013 l’economia italiana si è ristretta di 36,8 miliardi di euro, scendendo sotto quota 1.400 miliardi di euro. Chi non ha smesso di crescere è invece l’economia sommersa che, nello stesso periodo, ha registrato un aumento di 4,85 miliardi di euro arrivando a toccare 207,3 miliardi di euro. “Se in via estremamente prudenziale – spiega il comunicato dell’Associazione veneta – si ipotizza che l’incidenza percentuale dell’economia non osservata sul Pil sia rimasta la stessa anche nel biennio successivo al 2013, il contributo che questa economia grigia ha dato al Pil nel 2015 è stimato in quasi 211 miliardi di euro. Su questa base di dati la Cgia ha poi rincarato la dose di notizie negative suggerendo che “il peso (fiscale ndr.) complessivo che il contribuente onesto sopporta è arrivato a toccare la quota record del 50,2%”. I dati ufficiali “al lordo dell’operazione bonus Renzi” indicano la pressione fiscale al 43,7%. “È evidente – commenta Renato Mason, segretario della Cgia – che con un peso fiscale simile sarà difficile trovare lo slancio per ridare fiato all’economia del paese in una fase dove la crescita rimane ancora molto debole e incerta”.\nUfficiale 41,6% 43,6% 43,5% 43,6% 43,7%\nReale 47,4% 49,9% 49,9% 50% 50,2%\nElaborazione Cgia su dati Istat. I dati sulla pressione fiscale reale 2014 e 2015 sono stimati.\n← Marketing, i consigli degli esperti per conquistare i clienti\nL’e-commerce tiene a galla i saldi invernali →\nArchivio Seleziona il mese Maggio 2021 (771) Aprile 2021 (1466) Marzo 2021 (1477) Febbraio 2021 (1246) Gennaio 2021 (1314) Dicembre 2020 (1291) Novembre 2020 (1404) Ottobre 2020 (1474) Settembre 2020 (1315) Agosto 2020 (965) Luglio 2020 (1146) Giugno 2020 (1044) Maggio 2020 (1030) Aprile 2020 (184) Marzo 2020 (1) Febbraio 2020 (20) Agosto 2018 (1) Agosto 2017 (11) Giugno 2017 (6) Aprile 2017 (6) Marzo 2017 (120) Febbraio 2017 (123) Gennaio 2017 (28) Luglio 2016 (6) Giugno 2016 (28) Maggio 2016 (276) Aprile 2016 (33) Marzo 2016 (16) Febbraio 2016 (32) Gennaio 2016 (19) Dicembre 2015 (13) Novembre 2015 (13) Ottobre 2015 (12) Settembre 2015 (42) Agosto 2015 (34) Luglio 2015 (30) Giugno 2015 (12) Maggio 2015 (15)


Noir In Festival, Saviano a Como e prenotazioni già aperte: ecco come - CiaoComo\nNoir In Festival, Saviano a Como e prenotazioni già aperte: ecco come foto\nLo scrittore in città per lanciare la nuova rassegna e presentare il nuovo libro. Posti a disposizione, ma occorre mandare una mail il più in fretta possibile\ndi Marco Romualdi - 01 Dicembre 2016 - 9:28\nSono già partite le prenotazioni per la serata di pre-apertura del Noir In Festival, mercoledì 7 dicembre, al Teatro sociale di Como: avrà come protagonista assoluto Roberto Saviano, Raymond Chandler Award 2016, che presenterà il suo libro La paranza dei bambini (Feltrinelli, 2016). L´incontro sarà moderato dal giornalista Sebastiano Triulzi e vedrà la partecipazione di Boosta dei Subsonica.\nLa serata è gratuita e aperta a tutti. Per assicurarsi l´ingresso, è possibile inviare un´email a reservation@noirfest.com specificando il proprio nome, cognome e contatto telefonico; sarà inviata una mail di conferma con la quale ci si potrà presentare presso il Teatro Sociale di Como entro e non oltre le 20.30 del 7 dicembre. Le prenotazioni saranno accettate fino alle ore 12:00 del 4 dicembre e varrà l´ordine di ricezione della mail. Dunque, meglio prenotarsi subito all’indirizzo sopra riportato: già tante le mail arrivate in queste ore alla segreteria del Noir Festival di Como


The Ride Capitolo 1\nC’è un Garage in cui le moto diventano brutte e – soprattutto – cattive. Qui un graffio non è un difetto ma una firma, una saldatura a vista non è un’imperfezione ma un punto di forza. Qui la meccanica, quella pura e grezza, non si nasconde dietro plastica e vernice.\nQuesto Garage si chiama Quattrobulloni e Rabbia ne è la creazione più recente, firmata Luca Brambilla. Una special realizzata su base Ducati 900 SS del 1991, il cui il motore, la ciclistica e l’estetica sono stati modificati per esprimere a pieno lo stile Quattrobulloni: poca grazia e molta sostanza, look rude, rombo assordante e tanta potenza.\nRabbia dunque non è certo una moto che passa inosservata, vero, ma ha ottenuto anche risultati concreti, come il recente primo posto alla gara d’accelerazione Zenith Sprint Race presso The Reunion, la competizione più importante in ambito moto special in Italia. Ed è proprio grazie a Rabbia, inoltre, Quattrobulloni ha ricevuto il Pakelo Awards 2018 come preparatore emergente.\nBrandon Tv non è solo da guardare: scopri i prodotti dei nostri partner, protagonisti della serie.


Hotel Le Pozze Di Lecchi Gaiole in Chianti Deutsch Français Español Hotel Le Pozze Di Lecchi Gaiole in Chianti Nederlands Português Svenska Dansk Čeština Українська Magyar Polski Ελληνικά 日本語 简体中文 한국어 Русский עברית Türkçe عربي\nLoc. Molinaccio, Gaiole in Chianti, Italia\nL'hotel Le Pozze Di Lecchi è classificato con 4 stelle e mette a disposizione una piscina esterna, una stanza relax e una biblioteca. Costruito nel 1400, questo hotel tranquillo è stato rinnovato nel 2006.\nL'hotel si trova a 1.6 km da Castello di Meleto. La struttura vanta la posizione a 4 km dal centro di Gaiole in Chianti.\nCantine, uno stadio e ristoranti si trovano a pochi passi dall'hotel.\nHotel Le Pozze Di Lecchi dispone di 14 camere con controllo della climatizzazione individuale, un minibar, un PC, uno scrittoio e un caminetto. Hotel Le Pozze Di Lecchi dispone di camere con una vista sulle colline. Le camere sono classiche e dotate di bagni con un asciugacapelli, un bidet e articoli da toeletta.\nHotel Le Pozze Di Lecchi si trova a 25 km dall'aeroporto Siena.\nTranne un centro benessere, un centro spa e una Jacuzzi l'hotel offre trattamenti per il viso, bagno turco e massaggi. Potete anche sfruttare escursioni a piedi e ping pong disponibile nell'hotel.\nHotel Le Pozze Di Lecchi, Italia\nUniversal ** a Oporto\nParadiso *** a Venezia Lido\nFutura *** a Maleme\n& Spa **** a Cortona\nCasavacanze Internazionale a Diano Marina\nMaravel *** a Rethymno\nSandy Beach **** a Larnaca\nEvn a Çeşme\nWyndham Garden **** a Potsdam\nMmv Le Domaine De La Pinede a Le Lavandou\nMaria Luigia *** a Amalfi\nJandia Golf **** a Morro del Jable (Fuerteventura)\nDiamond **** a Salonicco\nIbis Styles Centre Historique *** a Honfleur