ROMA (ITALPRESS) – Sono 115 i pazienti Covid 19 positivi ricoverati allo Spallanzani di Roma; di questi, 20 necessitano ancora di supporto respiratorio. In giornata, fa sapere l’Istituto, sono previste ulteriori dimissioni di pazienti asintomatici o paucisintomatici. I pazienti dimessi e trasferiti a domicilio o presso altre strutture territoriali, sono a questa mattina 351.\nROMA (ITALPRESS) – “E’ evidente che ci siamo trovati tutti di fronte a un fatto epocale, uno tsunami che e’ entrato nelle nostre case, che ha stravolto la vita di ciascuno di noi. Lo Stato, le amministrazioni hanno risposto con forza, determinazione a questa onda anomala nelle nostre vite. Anche […]


In diretta. Mariss Jansons dirige i Berliner | Amici della Musica Herbert von Karajan\nla Casa della Musica non si ferma mai. E anche a un passo dall’estate continua a offrirvi il calore della Grande Musica. E di grande temperatura musicale si tratta, quando si parla di un grande direttore come Mariss Jansons. Il grande maestro lettone è considerato uno dei più grandi interpreti al mondo e uno dei pochi capaci di fare davvero la differenza.\nIl concerto che vi proporremo sabato 20 giugno alle 20.30 alla Casa della Musica (via Lampugnani, 80, Desio) è stato trasmesso poche settimane fa in diretta alla Philharmonie di Berlino. Mariss Jansons dirige i Berliner Philharmoniker in un programma interamente russo: il terreno d’elezione di Jansons. Noi lo proporremo in differita per comodità. Ma l’atmosfera, possiamo assicurarvi, sarà quella di una diretta!\nDi grande suggestione i brani proposti: la suggestiva Musica per Archi, Celesta e Percussione di Bela Bartok, e il Concerto per violino numero 2 di Dmitri Shostakovich. Solista: Franz Peter Zimmermann. L’ascolto di ognuno di questi brani sarà come sempre preceduto da un’accurata presentazione che vi permetterà di entrare “dentro” la musica. La qualità suprema degli artisti renderà questo concerto indimenticabile.\nVi invitiamo a questa serata di GRANDE MUSICA!!\nsabato 20 giugno 2015, ore 20.30\nMusica per Archi, Celesta e Percussione\nConcerto per violino numero 2\nFranz Peter Zimmermann, violino\nArticolo precedente: Giacomo Puccini\nTosca, passione e sensualità.\nProssimo articolo: Concerti dal vivo. I Wiener Philharmoniker e Mariss Jansons alla Scala


Il Cannonau di Sardegna Doc 2018 Sanremy della cantina Ferruccio Deiana si presenta di un bel rubino luminoso. Al naso la mora di rovo, richiami di fiori come la rosa e la viola, fieno, spezia nera accennata.\nIn bocca il Cannonau Sanremy è teso e sapido, ma con ritorni riequilibranti della frutta già avvertita al palato. Vino di gran beva. Chiusura asciutta, su ricordi di carruba e un ritorno di tannino elegante.\nAcquistabile presso: Carrefour, Nonna Isa, Superemme\nVignaiolo svizzero evasore totale a Suvereto: vendeva vino all’estero senza fattura (VIDEO)


Il nostro amico momento angolare **/*** | L'Infinito Teatro del Cosmo\nCategorie: Fisica classica\tTags: dinamica forza centripeta momento angolare momento di una forza moto circolare prodotto scalare prodotto vettoriale quantità di moto versori vettori\tScritto da: Vincenzo Zappalà\tCommenti:41\nQuesta rappresentazione simbolica si chiama vettore e le grandezze fisiche che ne fanno uso si chiamano grandezze vettoriali. Lo possiamo applicare a un punto P che potrebbe essere un’entità fisica come ad esempio un corpo di massa m. Tuttavia, ripeto ancora, la grandezza scalare massa è del tutto estranea al vettore, al verso e alla intensità del movimento da lui indicato. Essa dipende solo dalla macchina, ossia -ancora meglio- definisce solo una caratteristica della macchina, qualcosa strettamente legata al suo peso. Al limite, sarà trascinata, in modo “inerte”, dalla grandezza vettoriale. Riflettendo un attimo abbiamo già introdotto la quantità di moto… Ma, ci torneremo sopra a tempo debito.\nLe grandezze vanno definite e capite molto bene, dato che ognuna di esse dice qualcosa di più sul corpo celeste. Senza conoscerle tutte (o quasi) diventerebbe impossibile stabilire che cosa è quel corpo e che cosa è in grado di fare o sta già facendo.\nLe operazioni tra scalari si riducono una sola\nSembra quasi impossibile. Quando si parla di numeri, di “scalari”, le quattro operazioni fondamentali (che poi sono in realtà due dato che somma e differenza e prodotto e divisione sono praticamente la stessa cosa) si usano con pari frequenza e con difficoltà del tutto comparabili. Ed è abbastanza ovvio. Moltiplicare qualcosa vuol dire eseguire un certo numero di volte una somma, così come una divisione non è altro che eseguire un certo numero di volte una differenza. In altre parole, la somma (la differenza è una somma con segno invertito) ci permette di eseguire tutte e quattro le operazioni.\nBen diversa è invece la situazione per i vettori e, di conseguenza, per le grandezze vettoriali. Abbiamo già visto che la somma di vettori è qualcosa di banale, ma ha ben poco a che fare con la somma di due scalari. Coincide solo quando i vettori hanno la stessa direzione.\nSe vi chiedessi: “Come si possono moltiplicare due vettori?”, qualcuno potrebbe pensare che è un po’ come per i scalari, ossia dovremmo sommare tante volte un vettore quanto ci dice l’altro… Che pasticcio… non avrebbe senso…. Insomma, non c’è niente da fare: scordatevi la relazione che c’è tra somma e prodotto nel mondo degli scalari e entrate senza rimpianti e senza idee preconcette nel mondo delle grandezze vettoriali. Lasciate anche alle spalle il prodotto di un vettore per uno scalare. Questa era ancora un’operazione legata al pensiero precedente: si prendeva il modulo del vettore (scalare), si moltiplicava per lo scalare (moltiplicazione “vecchio stampo”) e, solo dopo, il risultato veniva riconsegnato al vettore, che aveva solo guadagnato o perso qualcosa nella sua parte scalare.\nL’abbiamo usata varie volte la volta scorsa, anche trafficando con i simpatici vettori unitari (i versori) e le componenti del vettore di partenza. Insomma, abbiamo solo scherzato… finora.\nIl nuovo mondo, quello più usato nella meccanica classica, si mostra subito per quello che è: i prodotti tra vettori sono due, due operazioni completamente diverse tra loro. No, non siamo entrati nel Paese di Alice, siamo solo nel mondo delle grandezze vettoriali, quelle entità simboliche matematiche che hanno a loro disposizione tre armi diverse per combattere: modulo, direzione e verso, proprio come una spada!\nMoltiplichiamo le spade\nNon abbiate paura, vi capisco benissimo. Vi aspettereste che io scrivessi il prodotto di due vettori e vi dessi il risultato. Qualcosa del genere:\nv u = ?\nMi spiace, non potrei proprio rispondere, perché quella scritta non ha alcun senso! Non ha assolutamente il significato di: “prendi il vettore v e sommalo a se stesso tante volte quanto dice il vettore u”. Anche perché cosa vorrebbe mai dire “tante volte quanto dice il vettore u” se u è un vettore che ha un modulo, una direzione e un verso? Lo potrei fare solo se u fosse uno scalare e allora ricadrei nel caso precedente: moltiplicherei il modulo di v per u e poi alla fine otterrei il vettore di modulo vu e di direzione e verso uguali a quelli di v.\nScusate se ripeto sempre le stesse cose e magari sembra che vi crei confusione. Normalmente, nessuno si cura di fare questi confronti e vi sbatte nel nuovo mondo senza nessuna preparazione mentale. Ne segue che i due mondi (scalare e vettoriale) sembrano due libri diversi e non due capitoli dello stesso libro. Sto solo dicendo cose ultra ovvie, che potrei cancellare tranquillamente, ma penso che il passaggio da operazioni tra scalari, tra scalari e vettori a quelle tra soli vettori abbiano bisogno di un certo intervallo di riflessione.\nAdesso, però, può bastare e chiudiamoci la porta dietro, almeno per un po’.\nLa scrittura di sopra non ha senso, dato che non ha senso un’operazione indefinita tra due spade. Anche nella scherma esistono molti tipi di attacco e difesa. Nella simbologia delle grandezze vettoriali esistono solo due mosse: il prodotto scalare e il prodotto vettoriale. Li chiamiamo prodotti proprio perché hanno bisogno di un’azione reciproca delle due spade. Due attacchi o due difese o una parata e controparata, come preferite. Tuttavia, il concetto è sempre lo stesso: l’operazione prodotto indica un’azione da eseguire e comporta un certo tipo di risultato. Solo in questa definizione di massima si può vedere il ricordo delle operazioni tra scalari. Tuttavia, là si eseguivano solo degli “squallidi” conti, qui invece l’azione è variegata e complessa. Un po’ come una tenzone tra “villici” o tra “cavalieri”.\nFendente e tocco (prodotto scalare)\nDevo ammettere che sono andato a documentarmi sulle azioni della scherma: il fendente è quel colpo che viene portato dall’alto in basso e che finisce col tocco. Direi che spiega abbastanza bene il primo prodotto vettoriale, quello scalare. Quel nome un po’ ambiguo (scalare) dà un po’ di fastidio, ma lo possiamo considerare come il risultato di un colpo vittorioso che annulla l’azione vettoriale e quindi conduce a una banale soluzione scalare. Basta! Vediamo di essere più seri.\nLe due spade (forse per il fendente bisognerebbe dire sciabole, ma gli esperti mi scusino) sono il vettore v e il vettore u. Esse, in generale, fanno un angolo tra di loro, che chiamiamo ϑ, come mostrato in Fig. 10. Non stupitevi se le due spade vanno nello stesso verso… pensatelo come una fuga di chi subisce il colpo. La spada v cerca di colpire e cala il suo fendente verso la spada u. Quali sono i fendenti dei vettori? Presto detto: le sue coordinate, ossia le proiezioni lungo degli assi particolari. In questo caso l’asse scelto non può che essere l’altra spada (u). Cosa fa quindi il nostro vettore v? Costruisce la sua componente scalare, ossia la proiezione del suo modulo, proprio lungo la direzione del vettore u. La chiamiamo vu, ed essa è, ovviamente, uno scalare. Usa il modulo, perché è il modulo che indica la “grandezza” (la violenza, in poche parole) per fare cadere brutalmente la componente sopra la direzione del vettore vittima.\nA questo punto v fa pesare la sua potenza d’azione, che viene quantificata dal prodotto (normale) tra la sua componente (il fendente) e il modulo u del vettore che ha subito il colpo. Insomma, in parole molto più serie: la sua componente moltiplicata per u. Per mantenere la nostra similitudine, potremmo dire che il fendente è quello che è, ma il risultato finale dipende da quanto è “grosso” l’avversario. Più è grosso e più il colpo è pesante e decisivo!\nForse qualcuno si sta stufando di questa trattazione puerile e fatta di ripetitive similitudini. Scusatemi, tra poco ripeterò le cose in modo più serioso. Il motivo è quello di cercare di offrivi un modo avventuroso e divertente per spiegare certi concetti ai più giovani, magari anche bambini. Non è mai troppo presto per capire cosa sono i vettori…\nPossiamo definire l’azione che è stata svolta in un modo un po’ più fisico. Il vettore u ha una sua direzione e verso e quindi possiamo immaginarlo come un “trenino” che trasporta con sé il vettore v, attaccatogli in P. Tuttavia, siamo interessati solo alla parte del vettore v che si proietta sul treno u, ossia alla sua componente vu. Più la componente è grande è più è grande il carico che mettiamo sul treno. Il risultato dell’azione svolta è il prodotto tra il modulo del … treno (u) e il carico parziale di v (la sua componente) inserito su di lui, vu. Dato che uvu è un prodotto normale tra scalari, potremmo anche dire che ci informa sulle condizioni finali del treno. Se vu fosse uguale a 1, avremmo il treno normale di partenza, ma dato che è stato moltiplicato brutalmente per un carico diverso da 1 (pari a vu) il treno deve faticare di più. Il risultato, comunque, è che il peso aggiunto comporta una fatica, un lavoro maggiore. Vedremo tra non molto quanto è azzeccata la parola lavoro.\nSe queste parole in libertà vi hanno annoiato, dimenticatevele e riassumiamo “tecnicamente” cosa abbiamo fatto. Abbiamo costruito la componente vu, del modulo v del vettore v, lungo la direzione di u e poi l’abbiamo moltiplicata per il modulo u del vettore u. Ossia, in termini matematici, il prodotto scalare dei due vettori v e u non è altro che la moltiplicazione delle due grandezze scalari vu e u.\nAbbiamo già capito perché si chiama prodotto scalare di due vettori: si parte da due vettori e si arriva a moltiplicare due scalari, il cui risultato è ancora uno scalare, ovviamente. Prima di scrivere per bene la formula che lo definisce, dobbiamo decidere che simbolo dare al prodotto scalare. Vi sono varie possibilità, basta mettersi d’accordo. Io preferisco rifarmi ai “miei” tempi e uso il simbolo x (il simbolo “antico” della moltiplicazione tra scalari), ma su internet e nei libri troverete anche altre simbologie. La formula che definisce il prodotto scalare (ossia il fendente tra due spade inclinate di un certo angolo tra loro) è, quindi, veramente semplice:\nv x u = vuu … (8) come già avevamo abbondantemente anticipato\nInnanzitutto, troviamo quello che abbiamo detto fin dall’inizio: il prodotto scalare di due vettori è uno scalare ed è dato dal prodotto tra il modulo della componente del primo vettore, lungo la direzione del secondo, e il modulo del secondo.\nSe vi sono sembrato troppo semplice, potrei velocemente complicare le cose e dirvi che il prodotto scalare è una trasformazione che associa a due elementi di un campo vettoriale un elemento di un campo scalare… Parole, parole, che noi possiamo benissimo tralasciare, ma non ci può sfuggire il fatto che usare il significato matematico più generale ci permetterebbe di entrare nelle teorie dei campi … ecc., ecc.\nTorniamo alle nostre spade e cerchiamo di scrivere meglio la (8). Meglio abbondare e disegniamo la Fig. 11 che differisce ben poco rispetto alla Fig. 10.\nSiamo o non siamo in grado scrivere un po’ meglio la componente vu? Direi proprio di sì, l’abbiano già fatto varie volte. In fondo, conosciamo l’angolo tra le due spade e quindi… basta usare quel poco di trigonometria che conosciamo:\nvu = v cos (ϑ)\nv x u = vu cos (ϑ) …. (9)\nIn poche parole, il prodotto scalare di due vettori è il prodotto dei loro moduli moltiplicato per il coseno dell’angolo compreso.\nNon sempre il fendente riesce\nContinuiamo con la similitudine spadaccina… Se il vettore v sbaglia completamente il fendente e lo esegue nel verso opposto (Fig. 12) il risultato sarà un risultato davvero “negativo”. Infatti la sua componente vu è relativa a un vettore v che va in verso opposto rispetto a u e quindi l’angolo ϑ è ottuso. Ricordando che\ncos (180 – ϑ) = - cos (ϑ)\nil prodotto scalare risulta negativo. La formula da applicare è, comunque, sempre la stessa: ci pensa il coseno a darci il segno giusto.\nNon ci credete? Proviamo con un esempio .\nϑ = 60° , v = 2 , u = 5\nv x u = vu cos (60°) = 2･ 5 ･ 0.5 = 5\nϑ = 120°, v = 2 , u = 5\nv x u = vu cos (120°) = vu cos (180°- 60°) = - vu cos (60°) = - 2･ 5 ･ 0.5 = - 5\nPer riallacciarci al caso del treno, potremmo dire che il carico non ben sistemato tende a far rallentare il treno e prima o poi cadrà. Tutta fatica inutile, un lavoro veramente negativo!\nOgnuno può tirare il fendente\nIl prodotto scalare è un’azione di scherma che non ha favoriti ed è del tutto reversibile. In altre parole, il risultato non cambia se l’azione viene svolta da u a scapito di v. Lo vediamo nella Fig. 13.\nPossiamo benissimo costruire la componente di u lungo la direzione di v (è u che porta il fendente) e calcolare il nuovo prodotto scalare, tenendo presente che l’angolo tra di loro rimane lo stesso, ma cambia di segno (ossia diventa – ϑ). Si ottiene:\nu x v = uvv = uv cos (- ϑ) = uv cos (ϑ)\nDobbiamo infatti ricordare che cos (- ϑ) = cos (ϑ).\nUn risultato molto importante, dato che ci permette di scrivere:\nVale, perciò, la proprietà commutativa. Non è cosa tanto ovvia e banale, dato che il prossimo prodotto si comporterà in modo ben diverso… In termini schermistici, qualsiasi dei due vettori tiri il fendente il risultato è esattamente lo stesso.\nSì, lo so, l’ho fatta lunga, ma penso che i vettori meritino un trattamento di favore. Il prodotto scalare non si troverà molto spesso in fisica, ma sicuramente è fondamentale quando si definisce il lavoro di una forza. Anzi, il lavoro è proprio il prodotto scalare di due vettori: la forza che agisce su un punto (o un corpo) e lo spostamento del punto (o del corpo). Pensateci e, prima o poi, ne parleremo.\nSpade incrociate o allineate\nMi soffermo, invece, ancora un po’ sull’utilità del prodotto scalare nel definire la direzione reciproca di due vettori. Riscriviamo il nostro prodotto :\nv x u = vu cos (ϑ)\nQuando questo prodotto diventa uguale a zero? Beh, ci sono solo tre modi per ottenerlo: o va a zero il primo vettore o va a zero il secondo vettore oppure va a zero il coseno. Ovviamente, noi consideriamo vettori non nulli (che spade sarebbero?) e non ci rimane che porre il coseno uguale a zero.\nMa, per quali angoli va a zero il coseno? Presto detto solo per 90° o 270°, ossia per vettori perpendicolari tra loro (a parte il verso). Quindi, possiamo dire che due vettori sono perpendicolari solo e soltanto se il loro prodotto scalare è uguale a zero. E’ vero anche il viceversa, ma spesso si usa il prodotto scalare proprio per risalire alla direzione dei vettori.\nCosa succede, invece, se i due vettori sono paralleli tra loro? Beh… l’angolo diventa 0° (o 180°) e il coseno proprio 1 (o -1). Il prodotto diventa un valore massimo (o minimo) uguale al prodotto dei moduli (uv).\nSe, inoltre, i due vettori fossero proprio uguali tra loro (stessa direzione, stesso verso e stesso modulo), l’ultimo caso darebbe proprio il quadrato del modulo del vettore (vu = vv = v2). In parole schermistiche: se le spade restano perpendicolari vi è un nulla di fatto; se una spada va completamente lungo la direzione dell’avversario si ottiene una poderosa botta dritta.\nVersori e componenti lungo gli assi cartesiani\nL’utilizzo di vettori uguali tra loro, ci fa tornare in mente i versori i e j. Per “piccoli” che siano sono pur sempre vettori! Sapreste dirmi quanto valgono i loro prodotti scalari, ossia:\ni x j =\nj x j =\ni x i =\nPensateci un attimo, prima di proseguire… dato che ho bisogno del risultato per la parte successiva. Avete risposto? Bene… allora sapete che\ni x j = j x i = 0\ni x i = j x j = 1\nA questo punto inserisco la parte più “complicata”, che potete anche saltare, ma che è giusto inserire per gentilezza verso i nostri amici versori. In altre parole, vogliamo calcolare il prodotto scalare di due vettori, attraverso le loro componenti lungo i due assi cartesiani x e y. Dobbiamo farci, ovviamente, aiutare dai due versori degli assi cartesiani, i e j.\nCome sappiamo dalla volta scorsa , possiamo scrivere il vettore v come\ne quello u come:\nIl prodotto scalare diventa:\nv x u = (vx i + vy j) x (ux i + uy j) = vxux i x i + vx uy i x j + vy ux j x i + vy uy j x j …. (10)\ni x j = 0\nj x i = 0\nj x j = 1\nBasta sostituire e la (10) diventa:\nv x u = vxux + vy uy …. (11)\nin altre parole: il prodotto scalare di due vettori è dato dalla somma dei prodotti (normali…) tra le rispettive componenti (scalari) sugli assi cartesiani.\nEvviva lo spazio\nPrima di fare il passo successivo (sicuramente un po’ più impegnativo), lascatemi introdurre la terza dimensione, ossia l’asse z, perpendicolare al piano xy. Purtroppo, il prossimo prodotto, benché eseguito su un piano, ha bisogno della terza dimensione… Tanto vale allora, utilizzarla già adesso e riscrivere la relazione (10) nello spazio a tre dimensioni, dove un vettore ha ora tre coordinate: vx, vy e vz. Essa diventa (non è certo difficile ottenerla):\nu x v = vxux + vy uy+ vz uz …. (12)\nNon sto a fare i conti completi, basta solo ricordare che, se k è il versore relativo all’asse z, avremo:\ni x k = 0\nj x k = 0\nk x k = 1\nDato che l’asse z è perpendicolare sia all’asse x che all’asse y.\nBene, scusate le digressioni sulla scherma e poi gli affondi più impegnativi. Ho cercato di eseguire una trattazione che vada bene un po’ per tutti, dai neofiti ai più esperti. Ognuno, a modo suo, dovrebbe avere compreso il significato di prodotto scalare di vettori.\nNon ci resta, adesso, che passare alla “presa di ferro” o a qualcosa di simile…\nUn'azione dinamica: il prodotto vettoriale\nIl prodotto scalare che abbiamo descritto nell’articolo precedente può essere considerato un’azione “statica”. Mi spiego meglio. Abbiamo proiettato un vettore su un altro (come se avessimo tirato un fendente) e poi ci siamo limitati a valutare il punteggio finale, ossia il prodotto tra la proiezione del primo vettore (componente) e il modulo del secondo. Un colpo e via! Non per niente il risultato è stata una grandezza scalare.\nI vettori, però, sono grandezze dinamiche, in cui la direzione e il verso (la punta della freccia) indicano una propensione al movimento. Nel prodotto scalare, l’unico movimento è stata una proiezione (un fendente) che ha prodotto un numero e niente più. In altre parole: abbiamo calcolato la componente di un vettore lungo la direzione dell’altro vettore e poi ci siamo limitati a moltiplicare due lunghezze che giacevano sulla stessa retta. Il verso dei vettori è solo servito a vedere se il prodotto era positivo o negativo.\nDue vettori per ottenere solo uno scalare… sembra quasi uno spreco. No, no, stiamo attenti a giudicare troppo velocemente le grandezze fisiche, dato che il lavoro, e di conseguenza anche l’energia di cui il lavoro è una differenza, nascono proprio in questo modo. Tuttavia, coloro che amano i colpi di scherma più articolati e dinamici, troveranno pane per i loro denti nel prodotto vettoriale. Ricordiamo ancora che i prodotti tra vettori sono di due tipi: il prodotto scalare (che già abbiamo conosciuto) e il prodotto vettoriale.\nBene, posso subito dire che il risultato di un prodotto vettoriale è ancora un vettore, completamente diverso da quelli di partenza. Essendo un vettore, dobbiamo riuscire a definire molto bene il suo modulo, la sua direzione e il suo verso. Per rimanere ancora un attimo nel campo della scherma, il prodotto vettoriale vede le due spade agire insieme, ognuna con la sua prerogativa. Una cerca di colpire, ma l’altra devia la lama avversaria e il risultato è una lama puntata lontano dal bersaglio: attacco e difesa insomma, una specie di … presa di ferro.\nConcludiamo qua l'ormai troppo “forzato” paragone con la nobile arte della scherma e dedichiamoci a una descrizione più matematica e geometrica. Userò, però, una trattazione che credo sia ben poco seguita sui libri, ma che pone già le basi per il personaggio principale delle nostre “lezioni”: il momento angolare. Normalmente, il prodotto vettoriale si definisce attraverso un paio di regole che vanno più o meno digerite per quello che sono, comportando un certo sforzo mnemonico. Una metodo che a me piace poco… e, quindi, a scapito di una serie più lunga di passaggi, vorrei mettere in luce la dinamicità dell’intera azione.\nAndiamo, quindi, per gradi, cominciando dal modulo del vettore prodotto vettoriale. Questo modulo ha anche un significato geometrico non certo trascurabile, che è spesso usato in geometria superiore.\nUn modulo … perpendicolare\nPer calcolare il modulo possiamo tranquillamente rimanere su un piano. L’operazione da svolgere è mostrata in Fig. 14. Come al solito abbiamo i nostri due vettori v e u. Per il momento, non abbiamo nessun vincolo sul loro ordine di entrata. Per calcolare il modulo entrambi possono svolgere la stessa procedura. Consideriamo, prima, v.\nL’operazione non è molto diversa da quella eseguita nel prodotto scalare, ossia bisogna proiettare il vettore v sul vettore u (ossia tracciare su u la perpendicolare dalla punta di v) in modo da ottenere il solito triangolo rettangolo PHV. La volta scorsa ci eravamo interessati del segmento PH (ricordate?). Questa volta, invece, siamo interessati a VH. Esso è uno scalare, una lunghezza, perpendicolare al vettore u. Le due “spade” formano un angolo retto. Tuttavia, ciò che dobbiamo fare è proprio moltiplicare VH per il modulo di u (u= PU).\nNon sto a perdere tempo a scrivere la moltiplicazione in questo modo, ma aggiungo subito (e lo dovreste sapere bene) che VH non è altro che il modulo di v moltiplicato per il seno dell’angolo compreso tra i due vettori (considerato sempre positivo e compreso tra 0 e 180°), ossia:\nVH = v sin (ϑ)\nPossiamo concludere che il modulo del vettore “prodotto vettoriale” è dato da:\nmodulo prodotto vettoriale = vu sin (ϑ).\nCome avevo già anticipato, possiamo tranquillamente invertire i compiti dei due vettori. Possiamo, infatti, tracciare la perpendicolare dalla punta del vettore u sulla direzione del vettore v, ottenendo così il segmento UK = u sin (ϑ) e poi moltiplicarlo per il modulo v di v. Otteniamo lo stesso risultato di prima, ossia:\nuv sin (ϑ).\nAbbiamo dimostrato che possiamo sia usare la proiezione di u su v che quella di v su u, ma il modulo del nostro vettore finale non cambia. In termini pratici, possiamo concludere che il modulo del vettore prodotto vettoriale di due vettori u e v, è dato dal prodotto dei due moduli u e v moltiplicato per il seno dell’angolo compreso. Ricordiamoci che l’angolo deve essere sempre considerato tra 0 e 180° (mai negativo).\nA questo punto, introduciamo il simbolo che identifica il prodotto vettoriale (una v rovesciata) e indichiamo il suo modulo come il vettore compreso tra due barrette verticali. Questa scrittura ci dice che stiamo lavorando con un numero scalare sempre positivo, in particolare con il modulo di quel vettore. In formula:\n|v Λ u| = |u Λ v| = uv sin (ϑ)\nL’uguaglianza iniziale (potere invertire l’ordine dei vettori) l’abbiamo potuta scrivere dato che abbiamo ottenuto lo stesso risultato sia partendo con v che partendo con u. Tuttavia, essa vale SOLO per il modulo e non per il vettore finale: stiamo bene attenti!\nArea di un parallelogramma\nPrima di procedere, guardiamo un attimo che cosa ci permette di calcolare il modulo del prodotto vettoriale. E’ immediato dedurlo attraverso la Fig. 14. Costruiamo il parallelogramma che ha per lati i due vettori, ossia PUTV (lo conosciamo bene… è quello della famosa regola del parallelogramma). Quanto vale l’area di un parallelogramma? Dovreste saperlo tutti: base per altezza. Una base del parallelogramma è sicuramente PV e la su altezza relativa è UK. Ma il prodotto PV per UK non è altro che il modulo del nostro prodotto vettoriale. Lo stesso risultato si ottiene, ovviamente, moltiplicando l’altra base (UP) per la sua altezza (VH), che da nuovamente il modulo del prodotto vettoriale. Concludiamo, dicendo che il modulo del prodotto vettoriale di due vettori v e u è uguale all'area del parallelogramma costruito sui due vettori.\nQuando va a zero il modulo del prodotto vettoriale? Semplicissimo: o quando è zero uno dei due vettori o quando i due vettori hanno la stessa direzione (l’angolo ϑ va a zero e quindi anche il suo seno). Cosa succede, invece, se i due vettori sono perpendicolari? Si ottiene il valore massimo del prodotto (sin (90) = 1) ossia uv: il parallelogramma diventa un rettangolo.\nVettori che girano\nBene, nel caso del prodotto scalare, a questo punto, avevamo già finito… adesso, invece, abbiamo appena cominciato. Ora c’è da stare molto attenti. Qualcuno si aspetterà la regola della “mano destra” e invece la introdurrò solo alla fine. Preferisco usare un approccio molto più istruttivo per il prosieguo verso il momento angolare. Consideriamo la Fig. 15a.\nDa ora in poi dobbiamo sempre stare molto attenti a quale vettore compare per primo nel prodotto vettoriale: non stiamo più trattando gli scalari per i quali va sempre tutto bene…\nIniziamo inserendo il vettore v per primo (v Λ u). Cosa dice esattamente il simbolo Λ ? Diciamolo a parole:\nConsideriamo il primo vettore come un qualcosa libero di ruotare attorno a una “vite” C. Prendiamo il secondo vettore (u) e trasliamolo fino alla punta di v (linea tratteggiata verde). A questo punto lasciamo che il vettore tratteggiato agisca come sa e come deve sul vettore “rotante” v. Il sosia verde di u non agisce tutto su v.\nPer comprendere meglio la sua azione, scomponiamolo secondo due componenti vettoriali (sappiamo farlo benissimo, ricordate la somma dei vettori?): una lungo la direzione di v e una lungo la perpendicolare. Abbiamo i due vettori verdi. Quello diretto lungo CP vorrebbe fare qualcosa, ma non può! Il vettore v può ruotare ma non può allungarsi o restringersi. Insomma, questa componente è del tutto inutile. Ben diversa è la situazione per la componente perpendicolare. Lei è diretta verso l’alto del foglio e può trascinare il vettore v costringendolo a ruotare nel VERSO della freccia curva verde. E’ esattamente la stessa cosa che abbiamo già visto nel moto circolare uniforme. Il vettore componente perpendicolare di u tende ad andare per la sua strada, ma il vettore rigido v lo costringe a ruotare attorno alla vite C.\nNon vogliamo certo fare della cinematica, ma tutto questo discorso ci è servito per capire cosa fa la vite C! Si sta avvitando o svitando? Beh… sta girando in senso antiorario e quindi la vite si svita. In altre parole, la vite si muove verso la direzione perpendicolare al foglio e verso di noi. Bene, questa è la direzione e il verso del vettore prodotto vettoriale.\nAttenzione! Tutto ciò lo abbiamo ottenuto in quanto abbiamo considerato per primo il vettore v, ossia quello tenuto fermo dalla vite e in movimento rotatorio a causa del secondo vettore u. Più sinteticamente, abbiamo calcolato direzione e verso del vettore v Λ u. Questa scrittura possiamo perciò esprimerla come: il primo vettore v subisce l’azione “prodotto vettoriale” da parte del secondo vettore u; o -se preferite- il secondo vettore esegue l’operazione “prodotto vettoriale” su v.\nSì, lo ammetto, la mano destra sarebbe stata molto più semplice (e, infatti, la introdurremo tra poco), ma questa definizione un po’ contorta, ci permette già di vedere l’azione rotatoria di un vettore applicato a una certa distanza da un punto fisso. Il primo passo per il momento di una forza e per il nostro amico momento angolare.\nDato che siamo ostinati, continuiamo e spostiamoci nella Fig. 15b. Ormai sappiamo cosa dobbiamo fare. Il prodotto vettoriale è adesso u Λ v. No, non è la stessa cosa! Non siamo più tra i prodotti scalari o tra moduli, ma tra vettori veri e propri. Dobbiamo, quindi seguire l’ordine delle operazioni. Questa volta il vettore che è fissato alla vite diventa u, mentre è v quello che si sposta e si “scompone”. La componente perpendicolare (l’unica attiva) tende ad andare verso il basso del piano del foglio e a causare una rotazione oraria. In poche parole, la vite si avvita, ossia scende nella stessa direzione di prima, ma si allontana da noi.\nI prodotti vettoriali ottenuti cambiando l’ordine dei due vettori ci indicano la stessa direzione, ma verso opposto. In poche parole, hanno segno opposto. Non vale quindi la proprietà commutativa, ma quella anticommutativa, ossia:\nu Λ v = - v Λ u.\nPer chiarire ancora meglio le idee, disegniamo la Fig. 16, in tre dimensioni, dove si vedono molto bene i due casi appena descritti.\nVoglio anche farvi notare un risvolto che ci sarà utilissimo… a tempo debito. Cambiando l’ordine, cambia il segno, ossia il verso, ma non il modulo (quello è sempre uguale). Riguardiamo le Fig. 15a e b. Il vettore v, che subisce a sinistra, è più corto di u, che subisce a destra. Tuttavia, a sinistra, il vettore verde che fa ruotare v (corto) è più lungo di quello che fa girare, a destra, il vettore u (lungo). In poche parole, su un vettore lungo agisce un vettore corto e viceversa. D’altra parte deve essere così dato che il modulo del vettore prodotto vettoriale deve rimanere uguale. Ridendo e scherzando abbiamo già “sfiorato” la conservazione del momento angolare…\nUsiamo le dita della mano destra\nA questo punto abbiamo capito molte cose e abbiamo anche messo il piede nel terreno della dinamica rotatoria, di cui il momento angolare è uno dei padroni indiscussi. Possiamo permetterci di introdurre la celeberrima regola della mano destra. Come si può fare per sapere immediatamente qual è la direzione e il verso di un prodotto vettoriale? Il dito indice della mano destra deve essere allineato con il primo vettore, il medio con il secondo vettore. Il pollice ci indica direzione e verso del vettore finale (nella Fig. 17, verso l’alto). Noterete facilmente che se invertiamo l’ordine dei due vettori il pollice imita quello degli imperatori romani negli spettacoli dei gladiatori: pollice verso, ossia verso il basso!\nRicapitoliamo il tutto, definendo compiutamente il vettore definito dal prodotto vettoriale:\nEsso è, innanzitutto, un vettore che ha per modulo il prodotto dei moduli moltiplicati per il seno dell’angolo compreso (o -se preferite- ha come modulo l’area del parallelogramma che ha per lati i due vettori). La direzione è sempre perpendicolare al piano individuato dai due vettori. Il verso segue quello del pollice della mano destra.\nNella Fig. 16 i due vettori blu sono proprio i vettori risultanti, invertendo l’ordine dei due vettori nel prodotto vettoriale. La lunghezza dei vettori blu è, ovviamente, il modulo del prodotto vettoriale (uguale per entrambi).\nAvanti i più curiosi …\nBeh… è stato abbastanza faticoso. Chi vuole può fermarsi qui. Gli altri potrebbero però proseguire e mettere in azione i carissimi e simpaticissimi versori degli assi cartesiani x, y, z. E sì, ora devono comparire tutti e tre, per come è stato definito il prodotto vettoriale.\nNoi conosciamo già i versori i e j, relativi agli assi x e y. Chiamiamo k quello relativo all’asse z, come si nota nella Fig. 18.\nPrima di procedere, vi propongo un divertente esercizio. Per verificare se avete digerito bene il prodotto vettoriale. Risolvete i seguenti prodotti vettoriali (eseguiti tra versori):\niΛ j =\njΛ k =\nkΛ i =\nj Λ i =\nkΛ j =\niΛ k =\nLa soluzione la trovate nella Fig. 19 che segue (ma prima pensateci un po’…)\nDopo aver risolto l’esercizio, possiamo determinare le componenti lungo gli assi cartesiani (i moduli dei versori corrispondenti) del vettore prodotto di due vettori, in modo analogo a quanto fatto nell’articolo precedente. Consideriamo il caso più semplice, in cui i due vettori giacciono nel piano x,y.\nv Λ u = (vx i + vy j) Λ (ux i + uy j) = vx i Λ ux i + vy jΛ ux i + vx i Λ uy j + vy jΛ uy j\ni Λ i = j Λ j = 0\nv Λ u = vy jΛ ux i + vx i Λ uy j\nj Λ i =- k\nv Λ u =vx uy k -vy ux k = (vx uy - vy ux)k .... (13)\nCome volevasi dimostrare: è un vettore che ha per modulo (vx uy - vy ux) e per direzione e verso quello del versore k, ossia dell’asse z.\nSolo per gli … infaticabili\nComplicandoci ancora un po’ la vita, si può considerare come piano dei due vettori v e u un piano qualsiasi e non proprio quello x,y. Ciò vuol dire che i due vettori hanno tre coordinate, una per ogni asse cartesiano (z compreso). Segue che:\nu = ux i + uy j+ uz k\ne con un po’ di lunghi, ma banali, passaggi matematici si ha, alla fine:\nv Λ u =(vy uz - vz uy)i + (vz ux – vx uz)j + (vx uy - vy ux)k .... (14)\nLa soluzione di questa espressione completa del prodotto vettoriale si può compattare molto bene attraverso il determinante di un matrice quadrata tre per tre. In generale, le matrici sveltiscono enormemente molti calcoli di geometria analitica. Per gli incontentabili, accennerò anche alle matrici in modo da permettergli di trovare velocemente la relazione (14) e poi anche la (13)...\nAPPENDICE FACOLTATIVA: le matrici\nProvate a risolverlo seguendo quanto indicato precedentemente e otterrete la formula (14) .\nUn piccolo riferimento dantesco non fa mai male... Un modo un po' diverso per avvicinarsi a uno dei "pilastri" della meccanica!\n(Vidi più gente qui che in qualunque altro luogo;\ndivisi in due schiere (avari e spendaccioni), chi in un senso e chi nell’altro,\ncon grandi urla, facevano rotolare in cerchio dei macigni con la forza del loro petto.\nSi scontravano tra loro; e poi, sul luogo stesso dell’urto,\nognuno si voltava, respingendo indietro il peso,\ne gridando all’avversario: “Perché tieni?” e “Perché sperperi?”\nTornavano, infine, movendosi attraverso quel cupo cerchio,\nda ogni direzione ai punti opposti di partenza,\ngridandosi dietro vicendevolmente sempre la stessa infamante cantilena;)\nIn Fisica vi sono sempre molte strade per giungere a uno stesso risultato. In realtà, esse non differiscono concettualmente tra loro, ma esprimono le operazioni eseguite per ottenere una certa grandezza a partire dalle grandezze di partenza. Cambiando le grandezze di partenza possono cambiare le operazioni da eseguire, ma il risultato deve essere sempre lo stesso, anche se espresso secondo grandezze diverse. E’, quindi, solo un modo diverso di vedere le cose, la cui scelta dipende dal problema che si vuole affrontare e dalle grandezze di partenza. Quando parliamo di momento angolare, ad esempio, si pensa subito ai moti rotazionali. Ed è giustissimo. Tuttavia, per definirlo, potremmo sia partire direttamente dai moti rotazionali sia da grandezze lineari.\nUn esempio l’abbiamo già avuto nella definizione del prodotto vettoriale. Esso agisce su vettori lineari, ma il risultato finale è strettamente legato a un qualcosa che definisce una rotazione. Non per niente, abbiamo introdotto il prodotto vettoriale in modo un po’ diverso dal solito, che già introduce una rotazione (vite che si avvita o che si svita…).\nNormalmente, per definire momento angolare, si inizia con parametri legati alla rotazione e quindi si ha una definizione e un’espressione del momento angolare che sembra completamente diverso dalla sua definizione ricavata secondo le leggi del moto lineare. Ma moto lineare e moto rotazionale sono figli della stessa fisica (le leggi della dinamica sono sempre le stesse) e quindi comunque si parta si deve giungere allo stesso risultato. Potremmo, quindi scegliere diversi punti di partenza per arrivare finalmente al nostro attore principale. Noi seguiremo quello che a me sembra più logico e generale e che si rifà alla grandezza fisica che io preferisco in assoluto (ormai lo sapete…): la quantità di moto. Il prodotto vettoriale potrà dare il meglio di sé.\nLa grandezza “primordiale” dell’Universo\nLasciatemi cercare di spiegare la fisica a modo … mio. Non mi dimenticherò certo dei principi della dinamica (essi devono sempre valere), ma si possono introdurre in modi diversi, come già detto precedentemente.\nSappiamo ormai benissimo che un punto P, libero nello spazio, senza alcun legame con il resto del Cosmo, mantiene il suo moto rettilineo uniforme. Possiamo dire che esso percorre sempre lo stesso spazio in un certo intervallo di tempo. Abbiamo imparato a scrivere questa relazione tra spazio e tempo come velocità del punto.\nQualcuno potrebbe dirmi che il punto potrebbe anche stare fermo. Teoricamente è vero e praticamente non cambierebbe il primo principio della dinamica. In questo caso, infatti, il punto percorrerebbe uno spazio ZERO per qualsiasi intervallo di tempo. La definizione di velocità non cambierebbe, dato che risulterebbe una velocità uguale a zero.\nSono cose che abbiamo trattato in matematica, oltre che in fisica… Basta, infatti, ricordare il coefficiente angolare di una retta e cosa diventa nel caso di una retta parallela all’asse delle x (andate a rileggervi la parte sulla retta e vedrete perfettamente come si esprime il primo principio della dinamica: se m è costante il moto è rettilineo e uniforme e la velocità è costante; se m è uguale a zero, la velocità è nulla e la retta diventa una parallela all’asse x…).\nTuttavia, nell’Universo, niente può essere considerato fermo. Se sembra fermo in un certo sistema di riferimento inerziale non lo è più in un altro. Ci conviene quindi assumere che la velocità sia sempre diversa da zero. L’importante è che sia costante.\nAbbiamo introdotto la prima grandezza fondamentale, la velocità v. La scrivo in grassetto perché essa è un vettore, in quanto per essere individuata ha bisogno di un modulo (la sua grandezza scalare), una direzione e un verso. Per non far sembrare inutili le disquisizioni fatte nei capitoli sui vettori (qualcuno avrà detto: “Ma non dovevamo parlare di momento angolare? Perché tante parole sui vettori e sulle loro operazioni?”), possiamo anche dire che a qualsiasi vettore velocità si può associare un versore u, di modulo unitario, al quale viene moltiplicato il modulo v del vettore v. La scrittura:\nè sempre valida e può venire utile quando sono necessari certi calcoli o cambiamenti di sistemi di riferimento, ricordando che u ha componenti i, j e k lungo i tre assi cartesiani. Noi -forse- non ne avremo bisogno, ma è bene tenere sempre a mente che niente di quanto descritto precedentemente è veramente inutile. Il concetto di versore e di componenti di un vettore sono concetti fondamentali da digerire molto bene anche se sembrano un cibo senza … calorie!\nTorniamo al nostro vettore v. Potremmo dire che è la grandezza fisica più importante di tutte. Essa esiste per qualsiasi punto dello spazio ed è l’unica che ha questa caratteristica veramente globale. Un matematico potrebbe anche accontentarsi, dato che lui sa benissimo come definire un punto, per piccolo che sia. Un fisico, invece, non se ne fa niente della velocità se essa non viene applicata a qualcosa di concreto e di reale. Che sia pur piccolo deve avere consistenza materiale. Vi prego di non pensare al fotone che ha una sua velocità ma non è qualcosa di materiale. Siamo in fisica classica e la MQ non ci può interessare, per adesso (e non confondiamo nemmeno velocità di un punto nello spazio, con “velocità” dello spazio stesso… ).\nIl fisico, allora, deve sostituire alla parola “punto”, la parola “corpo”. Per far ciò deve introdurre un’altra grandezza fisica fondamentale che definisca il corpo a cui è associata la velocità.\nNon parlo di caratteristica geometrica, come la posizione nello spazio del corpo P, dato che essa è sempre modificabile cambiando sistema di riferimento e può sempre coincidere con l’origine a un certo tempo t. Ne segue che anche il tempo è di per sé un qualcosa che possiamo far cominciare dove e quando vogliamo. La stessa definizione di velocità ci tranquillizza in questo senso: lei non ha bisogno di un punto di partenza, dato che è una differenza di spazio divisa per una differenza di tempo. Pensateci bene… le differenze eliminano il problema di un’origine.\nAnzi, ormai sappiamo benissimo che la velocità non è altro che la derivata dello spazio fatta rispetto al tempo (v = ds/dt, un rapporto tra un vettore e uno scalare che rimane un vettore). Nel caso di una velocità uniforme, però, la derivata ha poca importanza, dato che rimane costante e non abbiamo bisogno di intervalli piccolissimi e di passaggi al limite. In altre parole, il primo principio della dinamica non ha bisogno di derivate!\nLa grandezza da aggiungere alla velocità non è altro che la massa del corpo.\nCos’è “questa” massa (ben diversa, concettualmente, da quella che nascerà introducendo la forza gravitazionale) che caratterizza così bene un corpo fisico? Potremmo definirla come la resistenza che il corpo oppone al movimento, qualsiasi sia il sistema di riferimento che si stia usando. E’ un gesto di pigrizia. Con una parola più tecnica la possiamo accostare all’inerzia. Un’inerzia rispetto al movimento che viene imposto dalla velocità.\nConsideriamo due corpi che abbiano la stessa velocità. Se il primo deve trascinarsi dietro una massa M molto più grande di m, deve fare una “fatica” ben diversa. Immaginiamo l’Universo come un insieme di corpi di massa diversa, ognuno con un certa velocità. Sembra proprio di essere nell’Inferno dantesco, al capitolo VII, quello degli avari e dei prodighi. Chi è il peccatore che spinge un masso più o meno grande a seconda del peccato? Deve avere un nome, una chiara identificazione fisica. La velocità indica solo il movimento. La massa indica solo quanto sia più o meno pesante la pietra. Ciò che veramente descrive l’azione finale è l’unione di queste due grandezze, ossia la fatica fatta del peccatore. Definiamo così la prima grandezza veramente “attiva” nel Cosmo, quella che tiene conto sia della velocità che della massa da trasportare.\nSe la massa fosse unitaria questa grandezza avrebbe un certo valore. Se la massa fosse il doppio, il peccatore dovrebbe mantenere la stessa velocità con un peso doppio. Ma, analogamente, potrebbe avere la stessa massa ma correre con velocità doppia. E’ facile descrive questa “fatica” come il prodotto tra la massa e la velocità. Più la massa cresce e più la fatica aumenta e lo stesso avviene, a parità di massa, se la velocità aumenta. Se vogliamo che la fatica resti sempre uguale, al crescere della massa dobbiamo diminuire la velocità e viceversa. Ossia, massa e velocità sono inversamente proporzionali.\nBene, basta (per il momento) con i peccatori e torniamo alla dinamica di Newton. Definiamo questa “fatica” come quantità di moto e la scriviamo come moltiplicazione tra la grandezza scalare m e la grandezza vettoriale v.\ndato che vi è un moltiplicazione tra uno scalare e un vettore il risultato deve ancora essere un vettore (lo abbiamo imparato nelle lezioni precedenti), in cui modulo è proprio dato dal prodotto tra lo scalare m e il modulo v, ossia q = mv.\nSe l’Universo fosse stato diverso e non fossero esistite interazioni tra corpi, questa grandezza vettoriale sarebbe stata l’unica, più che sufficiente a descrivere ogni "cosa" del Cosmo. Ogni ipotetica particella di questo strano Universo si sarebbe mossa di moto rettilineo uniforme e non avrebbe mai interagito con nessun’altra particella. La quantità di moto di ogni abitante del Cosmo sarebbe sempre rimasta la stessa. Si sarebbe conservata. La massa è quella che è e lo stesso varrebbe anche per la velocità. Un Universo dominato solo dal primo principio della dinamica.\nIn realtà, se niente viene a disturbare questa situazione “peccaminosa”, ciò capita anche nel nostro Universo. Tuttavia, la pace è di breve durata e anche la quantità di moto è costretta a cambiare, anche se fa di tutto per rimanere sempre uguale a sé stessa. Parliamoci chiaro: la massa non può cambiare e quindi non crea problemi. Le velocità vorrebbe seguire il primo principio della dinamica, ma ecco che arriva il secondo a rompere le uova nel paniere.\nPurtroppo, l’Universo è molto affollato ed esistono quattro interazioni fondamentali. Due di loro agiscono solo per corpi estremamente vicini. Un’altra agisce solo se i corpi assumono una carica elettrica. L'ultima, la più debole, rimane comunque e si fa sentire senza aver paura della distanza. Eh sì, non fosse altro che per la gravità, la nostra quantità di moto avrebbe poche speranze di mantenersi costante. Fortunatamente, i suoi effetti possono essere trascurati per distanza molto grandi e, in prima approssimazione, la fisica può anche divertirsi a mantenere costante la quantità di moto (in certe condizioni). Possiamo, perciò, analizzare la nostra “fatica” da peccatori, come una grandezza costante e che cerca di rimanere tale.\nI peccatori sono tanti\nNel settimo canto dell’Inferno, però, i peccatori si scontrano spesso e volentieri, subendo azioni esterne. Lo stesso capita nell’Universo, attraverso azioni a distanza o per contatto ravvicinato. Come si comporta, allora, la nostra quantità di moto?\nAnalizziamola da vicino e introduciamo, attraverso di lei, il secondo principio della dinamica.\nAccettiamo che un qualche disturbo esterno faccia variare la quantità di moto, ossia la fatica fatta dall’avaro o dal prodigo. Variare rispetto a cosa? Beh… è ovvio, una variazione rispetto al tempo. Variazione rispetto al tempo? Ma sappiamo bene come trattare questa situazione! L’operazione così descritta non è altro che la derivata della quantità di moto rispetto al tempo. Ciò vuol dire che possiamo scrivere:\ndq/dt = d(mv)/dt\nAbbiamo la derivata di un prodotto, dove, però, uno dei due fattori moltiplicativi, la massa m, è uno scalare, ossia un numero che non cambia, una grandezza costante nel tempo (ricordatevi le operazioni con le derivate). La derivata allora diventa:\ndq/dt = m(dv/dt)\nBeh… noi siamo ormai esperti di derivate e di moti nello spazio. Sappiamo benissimo cos’è la derivata della velocità. Essa è l’accelerazione e la indichiamo con a (che è anche, per definizione, la derivata seconda della posizione del corpo P, come già descritto nelle ultime lezioni di matematica: d2s/dt2 = a)\ndq/dt = ma\nLa variazione della quantità di moto non è altro che la massa moltiplicata per l’accelerazione.\nQuesta variazione è un qualcosa che viene a turbare la tranquillità del nostro peccatore e possiamo chiamarla forza, dato che non è certo cosa semplice cambiare la situazione in cui si trova il condannato. Ci vuole qualcosa di molto “robusto”! Il secondo principio della dinamica ci dice, quindi, che la forza è la variazione della quantità di moto e può essere scritta come massa moltiplicata per accelerazione e indicata con F.\nF = ma = m dv/dt = d/dt(mv)\nLa forza è quindi un disturbo esterno che riesce a modificare la quantità di moto di un corpo che non la cambierebbe per nessun motivo al mondo.\nLa quantità di moto fa, però, di tutto per conservarsi e ci riesce anche quando la forza che la modifica agisce attraverso una “brutale” interazione con un altro corpo. Non voglio introdurre concetti come impulso e cose del genere, se no descriveremmo piano piano tutta la fisica…\nBasta fare un esempio che già conosciamo bene attraverso l’effetto Compton (?!) o -meglio- attraverso il gioco del biliardo. Lo ricordiamo brevemente, da un punto di vista concettuale. In tal modo ci scontriamo anche con il terzo principio della dinamica.\nImmaginiamo che il nostro “peccatore” stia subendo una forza costante, ossia che continui a variare la quantità di moto, dato che la forza continua a variare la sua velocità. In questo caso c’è poco da fare… addio alla conservazione della quantità di moto.\nPossiamo esprimere in altro modo questa situazione: la quantità di moto di un corpo non cambia se la forza che agisce sul corpo è nulla. Essere nulla, però, non vuol dire che non ci siano forze… vuole solo dire che la risultante di tutte le forze è nulla.\nLa forza è un vettore e quindi sommando vettorialmente tutte le forze che agiscono sul corpo potremmo ottenere una forza finale uguale a zero (le operazione sui vettori tornano in auge…). Benché in mezzo a un caos terribile la nostra quantità di moto rimane costante. Ci sono mille modi perché ciò avvenga, ma noi ne consideriamo uno semplicissimo (ne abbiamo già parlato, ma è sempre utile ripetere).\nAbbiamo il “peccatore” P che si scontra con il “peccatore” Q, proprio come avviene nel settimo Canto… Cosa succede alla loro quantità di moto? Sono entrambi peccatori, devono soffrire la stessa pena e si sentono parte di un unico sistema… Parliamo seriamente.\nIl primo corpo sbatte contro il secondo, il che vuole anche dire che il secondo sbatte contro il primo. L’operazione di “sbattere” introduce una forza esterna ai nostri due corpi. Entrano in gioco le interazioni dovute al contatto tra due “pezzi” di materia, ma trascuriamone pure le cause. Il primo corpo agisce sul secondo imprimendogli una forza FP. Il secondo, però, non è da meno e risponde con una forza FQ. Il terzo principio della dinamica ci dice che le due forze devono essere uguali e contrarie.\nCosa succede nel momento in cui avviene l’urto? Il corpo P e il corpo Q diventano un corpo solo. Succede solo per un attimo, ma succede. Le due forze di prima agiscono solo se vi è contatto, ossia agiscono solo in quell’istante. In quell’istante possiamo perciò considerare un corpo unico PQ che ha una certa quantità di moto, data dalla somma delle due quantità di moto dei corpi P e Q. Su questo corpo PQ sta agendo una qualche forza esterna di disturbo? In realtà, sì… anzi due, ma UGUALI E CONTRARIE. In altre parole, la loro somma è uguale a ZERO. Il corpo PQ, a seguito dell’urto, non cambia la propria quantità di moto. Quando i due corpi originari P e Q si staccano e ritornano a viaggiare indipendentemente, la somma delle loro quantità di moto deve essere uguale a quella prima dell’urto. Ognuno ha sicuramente mantenuto la sua massa, ma ha cambiato la velocità, e quindi ognuno ha cambiato la sua quantità di moto, ma si è conservata la somma, proprio quella che avevano nel momento del contatto, in cui formavano un unico sistema, e in cui le forze createsi si annullavano per il terzo principio della dinamica. In altre parole, i due corpi hanno cambiato la propria quantità di moto, ma si è conservata quella del sistema che li contiene tutti e due. Questa frase è molto importante, perché ci dice che una certa grandezza si conserva a seconda del sistema che si considera.\nE’ molto meglio vedere la situazione con qualche formulata facile facile..\nIl corpo P ha quantità di moto qP= mPvP. Il corpo Q ha quantità di moto qQ = mQvQ. Nel momento dell’urto possiamo scrivere il terzo principio della dinamica:\nFP = - FQ\nMa il secondo principio della dinamica ci dice chela forza indotta da P è proprio la variazione della quantità di moto di Q\nFP = dqQ/dt\nVale, però, anche il viceversa, ossia la forza indotta da Q è la variazione della quantità di moto di P:\nFQ = dqP/dt\ndqQ/dt = - dqP/dt\ndqQ/dt + dqP/dt = 0 (la somma delle derivate è la derivata della somma…)\nd(qQ +qP)/dt = 0\nSe la derivata di “qualcosa” è zero, il “qualcosa” deve essere costante\nqQ + qP = costante\nmQvQ+ mPvP = costante\nSe la somma rimane costante lo sarà sia prima che dopo l’urto, dato che al momento dell’urto non cambia la quantità di moto del sistema. Si ha quindi la scrittura più comune:\nmQvQ + mPvP = mQvQ’ + mPvP’\ndove v e v’ sono le velocità prima e dopo l’urto.\nInsomma, questa quantità di moto fa di tutto per mantenersi costante anche se subisce scontri violenti. Il corpo singolo non riesce a farlo ma si allea con chi lo urta, in modo da mantenere costante la somma delle loro quantità di moto! Le conseguenze possono essere molto varie e le vedete nel gioco del biliardo e/o delle bocce. Il peccatore che aveva una certo peso e una certa velocità può andare a sbattere contro un altro peccatore che si era, ad esempio, fermato pur avendo la stessa massa da portare (per qualche urto precedente). Ebbene la conservazione della “fatica” (o della quantità di moto) fa sì che chi prima si muoveva si fermi e chi prima era fermo si metta in movimento. Una specie di legge di compensazione della fatica… Un po’ ciascuno non fa male a nessuno.\nOvviamente, non solo il biliardo sfrutta la conservazione della quantità di moto. Tra le infinite applicazioni basta ricordare quella del fucile (o della pistola o di qualcosa del genere).\nIl sistema fucile più proiettile può essere considerato un sistema isolato. Le forze che permettono al proiettile di "uscire" dall'arma da fuoco sono tutte interne al sistema. Pertanto si può applicare il teorema di conservazione della quantità di moto. All'inizio sia il proiettile che il fucile sono fermi, quindi la quantità di moto totale del sistema è uguale a zero. Di conseguenza deve essere uguale a zero anche la quantità di moto finale . Dopo lo sparo vale allora la relazione mF · vF = mP · vP (dove la lettera F vale per il fucile e la P per il proiettile). Notate che vF e vP hanno segno opposto, ma la formula è sempre l'ultima che abbiamo scritto precedentemente. Se conosciamo il peso del fucile e del proiettile e misuriamo il rinculo del fucile, è possibile ricavare la velocità del proiettile (oppure il viceversa). Pensateci sopra e troverete molti altri esempi nella vita di tutti i giorni...\nRibadiamo ancora, però, che quello che conta per stabilire una conservazione di grandezze fisiche è il sistema fisico che si considera. Pensate, ad esempio, alla Terra da sola; alla Terra più la Luna; alla Terra più la Luna e più il Sole; all' intero Sistema Solare; ecc., ecc.\nCiò che si conserva in un sistema può benissimo non conservarsi in un altro. La quantità di moto del proiettile passa da zero a un valore molto alto. Lui da solo non conserva un bel niente, ma il sistema proiettile-fucile sì.\nLa quantità di moto fa parte dei vettori e conosce tutti i loro trucchi\nQualsiasi sia il punto di applicazione P della velocità, il segmento variabile OP moltiplicato per il seno dell’angolo tra la direzione OP e la direzione della velocità rimane sempre uguale! Beh… niente di straordinario, era facile aspettarselo dato che, in fondo, è la distanza tra la retta della velocità e la parallela ad essa che passa per O. Possiamo vedere graficamente questa banale considerazione aggiungendo nella figura un punto P’. Risulta, senza ombra di dubbio, che OP sinϑ = OP’ sinϑ’. La faccenda è sempre la stessa, qualsiasi sia la posizione raggiunta da v con O sempre fermo a osservarla (all’infinito le cose si complicherebbero un po’, ma a noi interessa ben poco dato che vogliamo introdurre qualcosa di fisicamente concreto): un bel legame tra la velocità e il punto.\nr’Λ v = OP’Λ v = (OP + PP’) Λ v = OP Λ v + PP’ Λ v\nAnche la forza ha il suo momento\nIl prodotto vettoriale ci ha fatto conoscere il momento angolare, una grandezza veramente interessante. Essa deriva direttamente dalla quantità di moto, ma ha il privilegio di rimanere costante anche in “alcuni casi” in cui la quantità di moto può essere costretta a variare. E questi sono casi estremamente interessanti in meccanica… Queste situazioni le vedremo meglio tra poco.\nTorniamo al concetto di momento di un vettore. Lo possiamo applicare a qualsiasi vettore e quindi perché non applicarlo a una forza F? In parole povere, tutto il procedimento usato per definire il momento della quantità di moto (ossia il momento angolare) può essere ripetuto per la forza F. Le figure rimangono praticamente le stesse, ma tanto vale riproporle. In Fig. 23 consideriamo il solito punto O e la forza F applicata in P. chiamiamo come al solito r il vettore che unisce O con P.\nEseguiamo il prodotto vettoriale tra r e F e otteniamo il vettore M:\nr Λ F = M\nil cui modulo è ovviamente:\nM = r F sinϑ\nCome ormai sappiamo bene, questo vettore è perpendicolare al piano definito dalla forza e dal punto O e il suo verso segue la regola della vite o della mano destra (come preferite). Per analogia con quanto fatto finora chiamiamo questo vettore momento della forza F.\nAnche per lui potremmo utilizzare le due componenti (radiale e tangenziale) e notare subito che l’unica componente che determina il risultato finale è quella ortogonale al vettore r. In modo perfettamente analogo a quanto ottenuto per il momento angolare, come mostra la Fig. 24.\nRicordiamo ancora un punto fondamentale che vale per qualsiasi “momento”. Ha senso parlare di momento (di un vettore qualsiasi, sia esso una quantità di moto o una Forza) solo se indichiamo, sempre, rispetto a quale punto O si riferisce. Senza punto O non esiste r e quindi non esiste alcun momento…\nCosa vuol dire applicare un momento di una forza al punto O. Da un punto di vista “pratico”, il concetto è abbastanza semplice… Immaginate che r sia veramente collegato fisicamente a P. La forza F imprime un’accelerazione a P e lo fa muovere nella direzione del vettore. Varia di conseguenza l’angolo ϑ e si ottiene una rotazione del vettore r. Una rotazione che avviene attorno a un asse che coincide proprio con il momento della Forza (Fig. 25).\nSe poi obblighiamo r a non allungarsi o ad accorciarsi, otteniamo un moto circolare. Qualcosa di simile a quanto avevamo ottenuto per il momento angolare. In quel caso la velocità era a modulo costante e determinava un moto circolare uniforme. Questa volta è costante il modulo della forza, ossia quello dell’accelerazione. Ne risulta un moto circolare ad accelerazione costante e quindi una velocità variabile anche in modulo. In ogni modo, il momento della forza rimane costante.\nPrima di scrivere il tutto in modo più sintetico attraverso poche e banali formule, vediamo di fare il punto della situazione legando tra loro il momento di una forza e il corrispondente momento della quantità di moto (momento angolare).\nSe applichiamo una forza F a P, di massa m, sappiamo benissimo che facciamo variare la sua quantità di moto, dato che F è proprio la variazione della quantità di moto rispetto al tempo (ricordate?). Se F non è zero, non lo è nemmeno la variazione della quantità di moto. Tutto ciò era stato riassunto dicendo che la quantità di moto si conserva se la risultante delle forze applicate a P è nulla.\nNon ci vuole molto a spostare il ragionamento a momento angolare e a momento di una forza. Un momento angolare rimane costante finché è costante la velocità. Se si applica una forza F alla massa m di P, varia il suo momento angolare, dato che varia il vettore velocità. Ne consegue che un punto P mantiene un momento angolare costante solo se è uguale a zero la risultante dei momenti delle forze che gli sono applicate. Attenzione: non ho detto che è nulla la risultante delle forze che gli sono applicate, ma il momento delle forze.\nPerché…? Farebbe una qualche differenza? Ebbene sì. E’ vero che se la forza fosse uguale a zero, la quantità di moto si conserverebbe e quindi anche il momento angolare, ma è anche vero che sarebbe una condizione troppo restrittiva! Potrebbe anche essergli applicata una forza tale da far variare la quantità di moto, ma, nel contempo, mantenere costante il momento angolare. E’ possibile? Sicuramente sì! Ne abbiamo già visto un caso perfetto: il moto circolare uniforme.\nIn questo caso, su punto P agisce una forza, quella centripeta, ma il momento angolare NON cambia. Si capisce subito, quindi, che per far variare oppure no il momento angolare non possiamo limitarci alle forze, ma introdurre i momenti delle forze. Insomma i vettori seguono i vettori, mentre i prodotti vettoriali seguono i prodotti vettoriali (ossia i momenti seguono i momenti).\nConcludiamo facilmente. Affinché una forza non sia nulla, ma sia nullo il suo momento, è necessaria una sola cosa: che la forza F sia parallela al vettore r, ossia la componente perpendicolare sia uguale a zero. Beh… la forza centripeta è proprio un classico esempio di tale forza, dato che è diretta sempre e comunque verso il punto O.\nCome al solito abbiamo usato tante parole, ma il tutto poteva essere sintetizzato come segue.\ndL/dt = d(r Λ mv)/dt = (dr/dt) Λ mv + r Λ d(mv)/dt\nCome al solito, però, (dr/dt ) Λ mv = 0 (vettori paralleli), e quindi:\nUna formula fondamentale, anche se ovvia nella sua determinazione. Essa dice che il momento di una forza rispetto a un punto O non è altro che la derivata del momento angolare rispetto allo stesso punto O.\nQualsiasi sia F, l’importante è, quindi, ciò che succede a M. Se M è diverso da zero, il momento angolare è costretto a variare e non può rimanere costante. L’unico modo perché L rimanga costate è porre:\nRibadiamo ancora il concetto finale di quanto scritto sia con le parole che con la matematica (ridicola veramente…): il momento angolare di un punto di massa m si conserva se è nullo il momento delle forze che agiscono su di lui. Potrebbero anche essercene cento, ma se il momento risultante è zero, il momento angolare rimane costante.\nNotiamo ancora una volta l’analogia con quanto abbiamo trovato per la quantità di moto: la quantità di moto di un punto di massa m si conserva se è nulla la risultante delle forze che agiscono su di lui. Ovviamente le forze interne si annullano, così come i momenti delle forze interne (i più bravi avranno già capito perché la pattinatrice su ghiaccio deve conservare il momento angolare: la forza che gli fa spostare le braccia è interna al sistema!).\nSaltando un pochino di qua e di là siamo riusciti ad avere un quadro abbastanza generale dei concetti più importanti della dinamica. Abbiamo avuto a che fare con la massa, l’inerzia di un corpo che vuole soltanto muoversi di moto rettilineo uniforme, con la velocità e sua sorella accelerazione (che cerca sempre di farla cambiare). Abbiamo, soprattutto, conosciuto la quantità di moto, quel prodotto tra un vettore e uno scalare che cerca di conservarsi con le unghie e con i denti.\nAbbiamo, però, anche visto che quando la quantità di moto non riesce più a restare costante a causa di una forza che imprime un’accelerazione e , quindi, un cambiamento di velocità, essa si affida a un figliolo ancora più “resistente”: il momento angolare. A lui basta che la forza passi per il centro della rotazione per rimanere costante.\nCiò si riesce a tradurre facilmente dicendo che deve essere nullo il momento della forza che agisce sul corpo. Annullare il momento vuol solo dire, infatti, che la forza deve passare per il centro della rotazione. Una forza perfetta per lo scopo è proprio la forza centripeta. E’ proprio lei che causa la rotazione del corpo attorno a un punto fisso. In poche parole, il corpo se ne andrebbe tranquillamente lungo una retta, in balia della sua sola quantità di moto che resterebbe invariata, ma viene costantemente deviato da questa forza che tende ad attirarlo verso il centro e lo inserisce in una rotazione che mantiene, però, una velocità costante in modulo. Se non può conservarsi la quantità di moto lo riesce a fare il momento angolare.\nSiamo così arrivati a due tipi di movimento abbastanza ben delineati: quello lineare o traslatorio che tende a conservare la quantità di moto e quello rotatorio che tende a conservare il momento angolare. Due moti che hanno molte analogie tra di loro e che adesso andremo a definire sempre meglio\nMomento angolare e quantità di moto sono fratelli\nCominciamo proprio con il momento angolare. Esso è stato definito, in modulo, come:\nL = mvr (il seno è diventato uguale a 1, dato che la velocità è perpendicolare al raggio r)\nDove m è la massa, v il modulo della velocità che è costante (ma non lo è la velocità come vettore) e r è la distanza costante tra il corpo che ruota e il centro della rotazione, come rappresentato semplicemente in Fig. 26.\nStiamo parlando di moto rotatorio e quel valore “v” che indica una velocità tangenziale (legata a un qualcosa che continua a cambiare direzione) comincia a dare fastidio. Siamo, però, in grado di sostituirle una nuova velocità che rimane veramente costante, ossia quella angolare, che dice che l’angolo descritto dal vettore r si muove della stessa quantità nell’unità di tempo. In parole matematiche:\nω = ϑ/t = 2π/T (la velocità è costante e la derivata diventa un semplice rapporto)\nMa, ricordiamo anche che:\nv = 2π r/T = ωr\nL = mr2ω\nIl posto della velocità lineare v è stato preso dalla velocità angolare ω.\nE se il momento angolare, invece che figliolo della quantità di moto, fosse un fratello? Una specie di quantità di moto per i corpi in rotazione attorno a un centro? In fondo, come la quantità di moto si conservava se non intervenivano forze esterne così il momento angolare si conserva se non intervengono momenti di forze esterne. Nel caso di una forza centripeta siamo proprio in questo caso.\nL’inerzia a ruotare\nPrendiamo il coraggio a due mani e scriviamo:\nQualcosa che ricorda perfettamente:\nNon ci resta che definire la grandezza mr2 come fosse l’equivalente della massa per un corpo in rotazione. In parole semplici, essa rappresenta l’inerzia che un corpo ha quando viene messo in rotazione. Come la massa essa cerca di opporsi a quel girotondo senza fine… Per analogia lo chiamiamo momento d’inerzia. E’ un momento in quanto si riferisce a rotazioni, ma rappresenta pur sempre una … inerzia.\nTutto sembra tornare molto bene: la forza è stata sostituita dal momento della forza, la velocità dalla velocità angolare, la massa dal momento d’inerzia e la quantità di moto dal momento angolare (o momento della quantità di moto).\nNon ci vuole molto per scrivere anche la seconda legge della dinamica nel caso dei corpi in rotazione.\nEssa può anche essere scritta come:\nF = q/t (possiamo permetterci di usare il modulo di q che è costante)\nMoltiplicando entrambi i membri per r, si ha:\nFr = M = qr/t = L/t = Iω/t = I aA\nM = IaA\nDove al posto della forza c’è il suo momento, al posto della massa il momento d’inerzia e al posto dell’accelerazione lineare l’accelerazione angolare (ossia ω/t).\nPossiamo anche facilmente dimostrare che l’energia cinetica del moto lineare (E) viene sostituita dall’energia cinetica del moto rotazionale (ER):\nER = ½ m (ωr)2 = ½ m r2ω2 = ½ I ω2\nSi possono riassumere le grandezze lineari e le corrispondenti rotazionali nella Tab. 1\nRiflettiamo sulla conservazione del momento angolare\nVale la pena discutere un po’ più a lungo sul momento angolare, l’eroe della nostra avventura. Scriviamolo di nuovo come modulo (sappiamo benissimo cosa sia in realtà: un vettore perpendicolare al piano della rotazione e con il verso che segue la vite o la mano destra).\nO, per esteso:\nL = m r2ω\nDato che esso si deve conservare, se l’unica forza è quella centripeta, risulta chiaro che se porto la massa m più lontana dal centro (questo spostamento si ottiene con una forza aggiuntiva che passa sempre per il centro e, quindi, ha momento nullo), il raggio r aumenta, ma il momento angolare NON può cambiare. Ne segue che l’unica grandezza che può compensare questo aumento è la velocità angolare. Essa è quindi costretta a diminuire. Se il raggio si accorciasse, succederebbe il contrario: il corpo rivolverebbe più velocemente.\nQualsiasi riferimento al moto planetario NON è casuale! Ricordiamo, infatti, che la forza di gravità é un forza centripeta, così come la tensione di una corda che tiene una pallina a un estremo o del cavo del martello dell’atleta; ma lo è anche l’attrito sulle ruote di una macchina quando curva, la forza di Coulomb tra cariche elettriche di segno opposto, ecc. Ribadisco ancora: “La forza di gravità E’ una forza centripeta, NON UGUAGLIA la forza centripeta! (tanto per mettere bene i puntini sulle “i” … a buon intenditor…)”.\nMa la conservazione del momento angolare ha moltissime altre importanti ripercussioni nel Cosmo. Basta pensare che tutti i corpi che conosciamo ruotano attorno a un qualche punto, spesso il loro centro: le stelle, le galassie, gli ammassi, i pianeti, i sistemi planetari o satellitari, i sistemi doppi, ecc., ecc.. Quello che dobbiamo fare è passare dal moto di un punto attorno a un centro al moto di un corpo o più corpi, più o meno rigidi, attorno ai rispettivi centri. In questo modo scopriremo subito perché la danzatrice sul ghiaccio deve stringere le braccia per ruotare più velocemente e perché una stella di neutroni sembra una trottola impazzita!\nLa rotazione dei corpi\nIl risultato lo otteniamo in modo intuitivamente assai semplice. Basta tenere a mente che il momento angolare di una somma è uguale alla somma dei momenti angolari. Facciamo un esempio molto semplice e pratico in Fig. 27.\nImmaginiamo di avere quattro piccole masse che ruotano solidalmente con velocità angolare ω attorno a un punto C. Posso scrivere immediatamente il momento angolare di una sola particella. Per essa vale:\nL1 = m1r12 ω\nE cosi via per tutte le altre.\nIl momento angolare del sistema formato dalle quattro particelle è uguale alla somma dei singoli momenti angolari, ossia:\nL = (m1r12 + m2r22 + m3r32 + m4r42) ω\nLa somma entro parentesi non è altro che il momento d’inerzia complessivo delle quattro particelle.\nImmaginiamo adesso di considerare un corpo rigido di forma qualsiasi che ruoti attorno a un centro. Esso può essere scomposto in un numero grandissimo di particelle che si comportano come le quattro precedenti. La somma dei loro momenti d’inerzia diventa il momento d’inerzia dell’intero corpo rispetto al centro C. In realtà, si deve far crescere all’infinito il numero delle particelle infinitesimali e attraverso l’operazione di integrale calcolare abbastanza facilmente il momento d’inerzia complessivo del corpo rigido: se le figure geometriche sono semplici è facile determinarne il volume…\nIn letteratura si trovano già calcolati i momenti d’inerzia dei solidi più comuni, quali la sfera, il cubo, il cilindro, un’asta rigida, ecc., anche a seconda dell’asse di rotazione che viene scelto. Per l’astrofisica hanno particolare importanza sia la sfera che il disco (uguale a quello di un cilindro di altezza qualsiasi). Soffermiamoci solo sulla sfera, tanto per fare un esempio.\nIl momento d’inerzia di una sfera che ruoti attorno al suo centro secondo un certo asse di rotazione è dato da\nDove la massa M è la massa della sfera e r il suo raggio.\nDiventa ovvio scrivere il momento angolare di una stella o di un pianeta (supposti sferici):\nL = 2/5 M r2 ω\nSe la stessa è costretta a mantenere la sua massa quasi immutata, ma collassa verso un oggetto di raggio estremamente piccolo, è obbligata a mantenere costante il suo momento angolare L. Infatti, la contrazione del raggio è dovuta a una forza che passa per il centro e che quindi ha momento uguale a zero.\nBasta fare un po’ di conti e si vede facilmente quanto una stella di raggio solare deve aumentare la propria rotazione per mantenere costante il suo momento angolare. Non ci stupiamo, quindi, del fatto che le stelle di neutroni abbiano una rotazione rapidissima!\nCon ragionamenti analoghi si capisce il raggruppamento delle braccia della ballerina (diminuisce il suo momento d’inerzia) e il trasferimento di momento angolare di un pianeta in momento angolare di pianeta più satellite o di stella più pianeti, ecc., ecc.\nBene, il nostro momento angolare e la sua conservazione ha dato il meglio di sé. D’ora in poi sapremo come trattarlo non appena si farà vivo nelle strabilianti avventure dell’Universo.\n29/07/2015 at 07:26\n29/07/2015 at 07:56\nCerco sempre di mantenere le promesse... (quando riesco )\nMantieni le promesse solo quando le richieste vengono da Daniela!!\nche ci vuoi fare Alvy? il fascino femminile esiste sempre...\nEh, lo so Enzo, ma stiamo diventando vecchietti (mi ci metto pure io) ...\n01/08/2015 at 16:41\nMa quale fascino femminile, caro Alvy... secondo me il Prof. è sensibile alle mie richieste perché sa che, nel mio piccolo, mi sto impegnando per lasciare in eredità i suoi insegnamenti alle future generazioni!\nA me sembra che sia MOLTO geloso... Ah la vecchiaia...\nMeno male che tu, cara Dany, sei una persona veramente saggia e ti meriti la geometria non euclidea (sarà vietata la lettura SOLO ad Alvy...). Comunque... avevo già scritto cose importanti nell'articolo sul buco nero disegnato a imbuto... E' basilare prendere dimestichezza con curvature intrinseche ed estrinseche, la chiave di tutto...\nStamani ho letto la parte finale di questo articolo e c'è una piccola cosa che non mi torna: scrivi che L=mvr, w=vr quindi L=mwrr\n(scrivo rr al posto di r elevato al quadrato perché non so come fare a mettere gli apici sui commenti e uso w al posto della lettera greca per lo stesso motivo...)\nma se w=vr allora dovrebbe essere L=mw\nPotrebbe, invece, essere w=v/r? In questo caso mi tornerebbe L=mwrr\nCom'è andata la conferenza sulla MQ?\n09/08/2015 at 14:37\nv = ω Λ r,\nv è il vettore velocità periferica (contenuto nel piano di rotazione),\nω è il vettore velocità angolare (parallelo all'asse di rotazione, perpendicolare al piano di rotazione)\nr è il vettore distanza dell'oggetto dall'asse di rotazione (contenuto nel piano di rotazione ed ortogonale a v).\nVale la regola della mano destra.\novviamente hai ragione Dany... dovrei rileggere più attentamente la versione finale (per una migliore comprensione ho anche aggiunto un passaggio in più...). Però, tanto ci sei tu che mi trovi tutti gli svarioni che scrivo!\nDovrebbe essere andata abbastanza bene.... almeno se mi fido di quello che mi hanno detto alla fine. Ho semplificato di molto la trattazione della doppia fenditura e adesso vorrei fare una cosa: chiedere a SMA se può inserire nel circolo la presentazione in PPT, in modo che chiunque la potrebbe usare per spiegarla ad amici e magari anche a insegnanti che potrebbero iniziare a proporla ai ragazzini delle medie... Come sai bene, lo reputerei un fondamentale passo in avanti per una scuola che punta a un futuro che è già oggi.\nBella l'idea della presentazione in PPT della conferenza, speriamo che Sma possa farlo e che sia possibile fare anche il download!\nIn caso contrario, se le dimensioni del file non sono esagerate e se non chiedo troppo, mi piacerebbe poterla avere per e-mail\nSe non sbaglio hai tenuto la conferenza nello stesso luogo in cui nel 1993 Shoemaker in persona aveva annunciato la frantumazione della cometa Shoemaker-Levy e ne aveva mostrato le prime immagini, giusto? Chissà che emozione!\n09/08/2015 at 16:18\nRagazzi mi sto sciogliendo....\n09/08/2015 at 16:27\nDici bene Enzo potremmo "trattarlo" sfruttando questa conoscenza per calcolare massa composizione e vari parametri di corpi celesti elusivi.\nAnch'io... per il caldo... infatti ora vado a farmi un bel bagno in mare!!\n09/08/2015 at 16:33\nNon mi dire che sei quì a Rimini???\ncarissimi... non parliamo di caldo, vi prego!!!\nSì, ho fatto la prima prova a Belgirate e poi la seconda (cambiando qualcosina) a Treiso (città dl barbaresco, non so se mi spiego....).\nVorrei proporvela anche per avere suggerimenti per modificarla ancora in meglio...\nCarissimo Enzo una cortesia quando ne avrai possibilità e naturalmente la voglia,ti chiedo di spendere due parole sull'inerzia e sul principio di Mach.\nSi Enzo proponicela e preparati sarò molto severo\n09/08/2015 at 17:20\nAnche Treiso, località di Barbaresco!!\nUna casualità naturalmente....\nnon amo molto il principio di Mach, ma vedremo cosa si può fare...\nIl principio di Mach?\nNiente di più semplice: MA\nNon fateci caso, dev'essere il caldo ...\nA proposito di caldo, Alvy... sarà per colpa sua che non riesco a capire come funziona la regola della mano destra?! Nessun problema con quella della vite, ma quando provo quella della mano destra, mi sento una deficiente ... ce la fai a spiegarmela?\nNo, Diego, non sono a Rimini: non mi "schiodo" dalla mia Toscana!\nE fai bene beata te !!!\n09/08/2015 at 20:07\nGrazie Enzo per la tua generosità.\n09/08/2015 at 20:19\nCiao Dany, è semplicissimo.\nConsidera le tre dita (della mano destra): pollice, indice e medio.\nDevi disporli in modo tale da formare una terna di "vettori" mutuamente ortogonali.\nUna possibile configurazione:\n- pollice orientato verso di te\n- indice orientato verso l'alto\n- medio orientato verso sinistra.\nIl punto della questione sta proprio qui: orientate le prime due dita, il terzo dito ha l'orientamento obbligato, a meno di ... fratturarlo\nQuella assunta dal terzo dito è la direzione del vettore che si ottiene moltiplicando (vettorialmente) i primi due! (attenzione al verso).\nComunque la fig. 17 dell'articolo è molto chiara. Se ti può aiutare, ingessa la tua mano destra in quella posizione; sarà buona per qualunque prodotto vettore!\nOra ho capito, l'esempio del gesso, combinato con la figura, è illuminante le dita non devono variare la mutua posizione, ma si muovono in solido!\nComunque, sarò "svitata", ma mi viene più naturale pensare alla vite che si avvita o si svita...\n01/09/2015 at 23:34\nBellissimo questo articolo, mi è veramente piaciuto.\n14/09/2015 at 02:39\nSto approfittando dell'assenza di Enzo per rimettermi al passo con articoli che avevo lasciato indietro.\nPer vedere se ho afferrato i concetti, ho provato a sviluppare alcune considerazioni sugli argomenti trattati nell'ultima parte dell'articolone riassuntivo, che spero trovino conferma (ma anche smentita .... d'altronde è così che si impara):\n1. Se rispetto ad un punto O, il Momento di una o più Forze (M) è nullo significa che il Momento angolare L (M= dL/dt) si conserva, ossia rimane costante. Un po' come accadeva con la quantità di moto (q=mv) che si conservava se non vi erano forze esterne che agivano sul corpo o forze che si annullavano l'un l'altra.\n2. Se rispetto ad un punto O, il Momento di una o più Forze (M) è nullo, significa che nessuna Forza agisce sul corpo m oppure che le Forze che agiscono passano per il centro di rotazione, per cui essendo parallele al raggio non influenzano il Momento angolare e il Momento della Forza è nullo. Infatti: L= rmv sin ϑ, ma se ϑ= 0 anche sin ϑ =0, per cui L= 0, ossia tali Forze, dirette verso il centro, non influenzano il Momento angolare, per cui il Momento di tali Forze, rispetto ad O, è nullo...…. M=dL/dt = 0). Per esempio, la Forza centripeta ha sicuramente Momento nullo, rispetto al centro di rotazione O;\n3. Se rispetto ad un punto O, il Momento di una o più Forze (M) è nullo, significa che il Momento angolare (L) si conserva. Considerando la velocità di rotazione ω (che a differenza di quella tangenziale non cambia), il Momento angolare è dato dalla seguente relazione L = mr²ω. Ciò significa che se aumenta il raggio (usando una Forza parallela al raggio per spostare l'oggetto, quindi una Forza con Momento nullo) affinché il Momento angolare si conservi è necessario che la velocità di rotazione ω diminuisca. Ovviamente se il raggio diminuisce per mantenere il momento angolare la velocità deve aumentare (come nella rotazione dei pianeti);\n4. Finché si trattava con la quantità di moto l'Inerzia (la resistenza) di un corpo dipendeva dalla massa, avendo a che fare con il Momento angolare L (L = Iω) la “resistenza” dipende dal prodotto tra la massa del corpo m e il quadrato del raggio, ossia: I = mr². Quindi il Momento d'Inerzia di un corpo in rotazione aumenta sia se la massa è maggiore, ma anche se aumenta il raggio.\n5. In ultimo, una piccola considerazione sulla relazione: M= I ω/t = I aA . Se la velocità angolare ω non varia significa che non subisce alcuna accelerazione, per cui l'Accelerazione angolare aA è uguale a zero e di conseguenza il Momento della Forza M è nullo (la Forza centripeta, per esempio, è ininfluente poiché è parallela al raggio r e non modifica in alcun modo la velocità angolare ω). Se la velocità angolare cambia, si ha un'accelerazione angolare aA, per cui qualche altra Forza (con una componente non diretta verso il centro di rotazione O) sta agendo sul sistema ed ovviamente il Momento M di tale Forza non è nullo.\nDa quest'ultima considerazione mi sorge una domanda.\nSia nella tabellina riassuntiva, sia nei calcoli per trovare la relazione M= I aA . l'accelerazione viene definita come aA = ω/t (anche a=v/t e non dv/dt), perché non viene indicata come d ω/dt (ossia una variazione di velocità angolare in un intervallo di tempo)?\nProvo a spiegarmi meglio, partendo dalla relazione F = dq/dt .\nQuesta volta però pur sapendo che in un moto circolare uniforme il modulo di q non varia, provo a non dare nulla per scontato, per cui, moltiplicando entrambi i membri (della relazione F = dq/dt) per r, si ha:\nF r = r dq/dt\nF r = r d (mv)/dt\nF r = d (r mω r)/dt\nF r = d (r² m ω)/dt\nMa L = mωr², quindi:\nF r = dL/dt\nMa M = dL/dt, quindi:\nF r = M = dL/dt\nDato che L = Iω\nM= d (I ω)/dt\nDato che I = mr² , il prodotto tra due costanti, non cambia nel tempo (ovviamente se il raggio non cambia), per cui:\nM= I dω/dt\nMa dω/dt = aA (variazione velocità angolare al variare del tempo)\nM= I aA\nNel caso del moto circolare uniforme, non vi è alcuna accelerazione angolare, ossia ω rimane costante e quindi dω = 0, per cui il Momento della Forza M è nullo.\nIl mio dubbio è che se utilizzo invece il rapporto ω/t questo non necessariamente è uguale a zero, per esserlo ω dovrebbe essere uguale a zero, per cui il momento M non si annulla.\nse ho capito bene cosa intendi, la risposta è immediata: posso scrivere a = v/t quando a è una costante, ossia la derivata prima della velocità è uguale a zero. Se la variazione della velocità (sia lineare che angolare) è costante, posso indicarla senza il "d". Non confondiamo dv = o con derivata prima uguale a zero (dv/dt = 0)...\n24/08/2016 at 00:32\nCiao Enzo, mi sono riletto questo articolo epico\nUna domanda: quando si parla, per esempio, di trasferimento di momento angolare da pianeta a pianeta+satellite, si suppone che il centro O a cui si riferisce sia sempre lo stesso, al centro del pianeta?\n24/08/2016 at 05:03\nse ho capito bene la domanda, ciò che non deve cambiare è il baricentro del sistema.\nBellissimo sito divulgativo e per conoscere. Complimenti.\n16/03/2017 at 05:32\nSe resti con noi ne saremmo felici!\n06/05/2019 at 17:32\nBellissimo articolo, molto ben fatto soprattutto per neofiti come me. Ho scaricato il pdf e penso lo rileggerò più volte per colmare le mie molte lacune.\nti ringrazio a nome del prof. che lo farebbe senz'altro se non fosse assente per un intervento all'anca (previsto per domani). Ancora non sappiamo se l'assenza sarà limitata a questa settimana o per tutto il mese di maggio (dipende se riuscirà a connettersi col pc durante la riabilitazione in clinica). In ogni caso, se avessi domande da fare, scrivi pure un commento qui e lui ti risponderà non appena possibile.\nUna domanda ingenua sul calcolo del determinante di una matrice. Nel caso 4x4 posso intuire che anche il quarto termine della prima riga va preso negativo come il secondo? E che ciascun termine della prima riga va moltiplicato per le sottostanti matrici 3x3 che mi hai insegnato a calcolare? Stavo pensando a una matrice che includa anche il tempo\nConviene usare il metodo di Laplace, dove i segni si determinano usando la formula ricorrente che puoi trovare qui:\nnon vorrei scrivere un termine sbagliato ed è meglio andare su una pagina ben scritta...\nUn piccolo aneddoto. Il 7 luglio del 1960 Chioggia (mia città natale) partecipò alla notissima trasmissione televisiva “Campanile Sera”, condotto da Mike Bongiorno, Renato Tagliani ed Enzo Tortora, sfidando il paese siciliano di Monreale, che prevalse nella sfida. La gara però venne invalidata per un ricorso presentato dai chioggiotti. Ma quale fu esattamente l'argomento del contendere? Una delle domande del quiz proposto ai contendenti riguardava proprio il momento angolare e il momento vettoriale.\nNon ricordo l'esatto quesito in quanto avevo appena ottenuto la licenza media, ma ricordo che "i nostri" avevano predisposto un team di esperti costituito da studenti universitari (allora molto pochi) guidati da un plurilodato insegnante di matematica e fisica che diede una risposta corretta sebbene non conforme a quanto leggeva Tortora sul suo questionario. Finì che Chioggia fu riammessa per poi perdere definitivamente la settimana successiva.\nComunque per diversi mesi ancora in tutti i caffè (amari) della città si sentì parlare di momento angolare e vettoriale da parte degli individui più disparati e sprovveduti.\nUn'ultima riflessione: se ben ricordo c'era ancora un unico canale nazionale che non trasmetteva 24 ore su 24, ma il livello degli argomenti trattati anche nei programmi pù popolari (vedi Lascia o Raddoppia) era questo e gli ignoranti avevano fin troppo sacro rispetto degli esperti.\nme ne ricordo, caro Albertone, me ne ricordo... comunque altri tempi!


EcoSlim che cos'è? Prezzo. Revisione onesta 2021\nPubblicato da 17-07-2020 Modificato da 17-07-2020\nEcoSlim Dove acquistare – in farmacia?\nEcoSlim è un prodotto efficace per perdere peso. Il farmaco è destinato a uomini e donne. Il prodotto è fabbricato secondo tutti i requisiti di sicurezza per la salute umana. Il prodotto ha un certificato di qualità, questo indica che il farmaco è innocuo per il corpo umano, c’è una conferma dei suoi benefici come perdita di peso. EcoSlim è sviluppato da nutrizionisti. Tali specialisti sanno cosa combinare per ottenere un effetto brucia grassi. Lo strumento elimina l’eccesso di peso in un percorso, mentre non è possibile caricare il corpo con carichi efficaci.\nAl fine di raggiungere il successo nella perdita di peso, il farmaco deve essere assunto secondo i seguenti punti:\nSciogliere 1 compressa in 200 ml di acqua normale;\nSi consiglia di utilizzare il rimedio al mattino a stomaco vuoto. Puoi prenderlo solo una volta al giorno. Un programma di perdita di peso con questo strumento richiede un mese.\nI componenti, quando entrano nel flusso sanguigno, abbattono i grassi, eliminano le tossine e rimuovono gli accumuli attraverso la defecazione. Le sostanze EcoSlim sopprimono la sensazione di fame, il corpo si riempie immediatamente dopo l’assunzione della pillola. Inoltre, si verifica la produzione di sostanze cutanee, quindi diventa più elastica, appare l’elasticità. Pertanto, il corpo diventa in forma.\nEcoSlim contiene solo ingredienti naturali. Le sostanze sono state estratte da una fonte organica, che ha un effetto benefico sulla salute umana.\nComposizione di compresse:\nEstratto di mirtillo rosso artico – elimina il grasso, rinforza i muscoli, rende il corpo più magro;\nEstratti di mirtillo rosso – partecipano alla normalizzazione del tratto digestivo, rimuovono le tossine, mantengono i livelli di zucchero nel sangue, eliminano un attacco di fame;\nMirtillo selvatico – partecipa alla stimolazione della produzione di collagene ed elastina, necessarie durante la prevenzione delle smagliature sul corpo umano;\nEstratto di bacche di Podophyllum: rimuove i liquidi non necessari, elimina la cellulite.\nLe sostanze contenute in EcoSlim consentono di sottoporsi a un efficace programma di perdita di peso, anche se una persona ha malattie congenite. I componenti naturali non avranno effetti negativi sulla salute, nemmeno eliminando l’esacerbazione di alcune patologie.\nData di scrittura dell’articolo: July 17, 2020


La Nigeria spende più di qualsiasi altro Paese africano per spiare i suoi cittadini - (in)sicurezza digitale\nLa Nigeria spende più di qualsiasi altro Paese africano per spiare i suoi cittadini\nSebbene questa fosse una notizia enorme alcuni anni fa, l’azienda tecnologica israeliana NSO Group e il suo sofisticato software di spionaggio Pegasus hanno nuovamente conquistato i titoli dei giornali dopo che Amnesty International ha pubblicato un rapporto in cui affermava che i governi di dozzine di paesi in tutto il mondo avevano acquistato i servizi dell’azienda per mantenere una stretta vigilanza contro rivali politici, giornalisti, attivisti e dissidenti.\nUna delle principali rivelazioni in questo caso riguarda la fuga di un elenco di 50.000 numeri di telefono identificati come potenziali obiettivi dello spyware Pegasus dal 2016. Sebbene non tutti questi utenti di interesse siano stati infettati, le informazioni contenute in questo elenco mostrano che paesi come come Nigeria, Arabia Saudita, India o Marocco sono tra i principali clienti del Gruppo NSO in tutto il mondo.\nIn passato, le organizzazioni di intelligence statali come la National Security Agency (NSA) degli Stati Uniti avevano sviluppato sistemi avanzati per raccogliere informazioni per scopi specifici e utilizzando tutti i tipi di risorse, principalmente registri di ricerca online e attività sui social media. Tuttavia, NSO Group ha aumentato la scommessa sviluppando Pegasus, un potente spyware in grado di estrarre tutti i tipi di informazioni da un dispositivo compromesso, inclusi messaggi di testo, documenti, immagini, video e informazioni di sistema.\nQuesto strumento era stato sviluppato per scopi di sicurezza nazionale, sebbene ciò non impedisse ai governanti di più paesi di iniziare a utilizzare Pegasus per scopi estranei alla sicurezza nazionale. Nel caso della Nigeria, questo strumento è stato utilizzato per anni per compilare elenchi di persone arrabbiate con il governo, arrivando al punto di vessare più attivisti e oppositori politici.\nA tal proposito, l’azienda ha rilasciato un comunicato smentendo categoricamente che le soluzioni sviluppate dai suoi team abbiano lo scopo specifico di spiare le persone di interesse, aggiungendo che tali accuse si basano su teorie non confermate e che provengono da fonti di dubbia veridicità.\nTuttavia, NSO Group sembra entrare in una grave contraddizione non negando i possibili abusi di questa tecnologia e impegnandosi a indagare su queste accuse: “Analizzeremo le accuse credibili sull’uso abusivo delle nostre soluzioni e agiremo in base ai risultati ottenuti. Tra le possibili conseguenze c’è l’interruzione dell’accesso fornito a determinati clienti; lo abbiamo fatto in passato e non esiteremo a implementarlo di nuovo”, afferma una breve dichiarazione dell’azienda.\nArticolo precedente JPMorgan Chase notifica ai clienti la violazione dei dati\nArticolo successivo AT&T Data Breach: in vendita un database di 70 milioni di utenti


Adulti e bambini devono mangiare cinque volte al giorno: colazione, spuntino, pranzo, spuntino e cena. Saltare una delle tappe indicate è "correlato positivamente con un aumentato rischio di obesità, perché la distribuzione giornaliera dei pasti è uno dei fattori che possono contribuire meglio alla qualità della dieta. Cinque occasioni alimentari al giorno sono dunque ideali per una corretta distribuzione di energia e nutrienti".\nA garantirlo è Martina Pirola, biologa nutrizionista e referente della Società Italiana di Pediatria Preventiva e Sociale (SIPPS), che salva gli spuntini dalle false credenze. Una tra tutte è che causino un incremento dell'apporto energetico giornaliero: "Non è così, i due spuntini al giorno non sono un pasto in più, anzi contribuiscono a ridurre il potenziale sovraccarico digestivo e metabolico che può conseguire a un minor numero di pasti più pesanti. Gli spuntini, riducendo il senso di fame, permettono un maggiore controllo dell'appetito. Generalmente lo spuntino di metà mattina apporta un 5% dell'energia e quello di metà pomeriggio un altro 5%".\nE il gelato d'estate può essere considerato un buon alleato come spuntino? "Il gelato non è cibo spazzatura - assicura la nutrizionista - e se si vuole mangiare come spuntino allora meglio se fatto in casa con yogurt e frutta fresca. In questo modo sarà uno spuntino sano e goloso. Se ci riferiamo, invece, ai gelati confezionati, questi sono un'eccezione alla dieta sana ed equilibrata".\nMolto importante, secondo la studiosa, "è evitare di dare i gelati come ricompensa per un comportamento seguito dal bambino, perché così facendo si corre il rischio che siano visti come alimenti più validi rispetto ad altri, oltre a utilizzare il cibo come premio, e si fa passare un messaggio sbagliato".\nAltri esempi di spuntini validi possono essere "la frutta fresca che, con l'apporto di fibra e vitamine - continua Pirola - contribuisce a raggiungere un introito di gruppi alimentari spesso lasciati da parte. Si possono fare spremute o centrifugati o mousses. Anche lo yogurt o il pane e marmellata sono buoni spuntini". Attenzione però agli eccessi: "Se questi break alimentari sono fatti in abbondanza o ricchi in calorie, ma carenti in nutrienti necessari, si correrà il rischio di intercorrere nel sovrappeso e nell'obesità soprattutto in età pediatrica".\nSotto l'ombrellone si potrebbero, inoltre, "privilegiare alimenti freschi per idratarsi adeguatamente, tra cui la frutta e verdure crude come cetrioli e carote. Ci vorrà un po' di creatività per farli mangiare ai bambini ma con un po' di fantasia si riesce. Si può giocare realizzando formine a stella ad esempio".\nNel pranzo estivo, infine, i panini non sono banditi, ma occorre "scegliere il pane integrale e non farcirli in maniera esagerata. Sarebbe perfetto se si riuscisse a introdurre come companatico verdura, quali i pomodori, e una fetta di prosciutto cotto magro".\nCovid, L-Arginina sembra aumentare l’ossigenazione\nAids, in calo le diagnosi di infezione da Hiv\nL’idrossiclorochina aumenta il rischio di disturbi psichiatrici


Esodo, consigli per viaggiare sicuri\nCinture di sicurezza, bambini, animali domestici, bagagli, e una app per ricevere assistenza in caso di necessità. In vista dell'esodo sulle strade e autostrade del Paese, che porterà a un traffico molto intenso fino al 6 maggio, gli esperti dell'Automobile Club d'Italia hanno stilato un elenco di consigli per viaggiare rilassati e sicuri anche in questi giorni.\nLa prima regola è quella di allacciare le cinture, ovviamente anche sui sedili posteriori, e di far viaggiare i bambini sui seggiolini omologati (che vanno acquistati non in base all'età ma al peso e all'altezza). In auto è consentito trasportare animali domestici, purché non creino impedimento alla guida; questo vuol dire che l'amico a quattro zampe andrà sistemato nell'apposito contenitore o nel vano posteriore, che una rete separerà dall'abitacolo. Quanto ai bagagli, devono essere posizionati nel vano di carico o in eventuali altri spazi avendo ben presente che in caso di brusca frenata o di impatto violento gli oggetti non correttamente stivati metteranno in pericolo l'incolumità degli occupanti.\nInfine, scaricando la App Aci Space (disponibile per iOS o Android) è possibile ricevere assistenza dagli addetti del soccorso stradale ACI o chiedere assistenza per la casa e il medico. Con questa App si ha a portata di smartphone il mondo degli sconti per i Soci ACI, ma si possono anche avere informazioni sui luoghi dove parcheggiare, sul benzinaio più vicino e verificare anche i prezzi dei carburanti (in alternativa, numero verde 803.116 o dall'estero 0039 02 66 165 166). Da memorizzare anche altri due numeri utili attivi 24 ore su 24: 06 491115 a cui fa capo il servizio viaggiatori all'estero della Farnesina e 1518 per le informazioni sulla viabilità.