Viaggio All'Interno Dell'Elettrone | PDF\nIl compianto Professore Claudio Orzalesi ci offre un interessante viaggio all'interno dell'elettrone e dell'atomo, sviluppando le nozioni fornite dalla elettrodinamica quantistica e attraverso i diagrammi di Feynman.\nSalvaSalva Viaggio All&#39;Interno Dell&#39;Elettrone per dopo\nDe broglie e Heisenberg\nVIAGGIO ALL’INTERNO DELL’ELETTRONE.\nBreve guida microturistica, a cura di Claudio A. Orzalesi\nParma, gennaio 1975\n“… Per una frazione di secondo tra la perdita di tutto\nquel che sapevo prima e l’acquisto di tutto quel che\navrei saputo dopo, riuscii ad abbracciare in un solo\npensiero il mondo delle cose com’erano e quello delle\ncose come avrebbero potuto essere, e m’accorsi che\nun solo sistema comprendeva tutto … ”\nNota cautelativa: quanto viene descritto nel seguito è più che altro frutto\ndell’immaginazione; ogni corrispondenza con fatti o proprietà appartenenti al mondo\nreale è, come sempre in fisica teorica, di natura alquanto accidentale e fortuita. Il\ntempo speso a leggere queste note non verrà in alcun caso rifuso. Buon viaggio, e il\ntradizionale augurio “che l’elettrone v’illumini”.\nPer arrivare a parlare di (teoria degli) elettroni, è opportuno premettere una\nSTORIA (TEORICA) DELL’ATOMO\nInventore: Leucippo (impropriamente chiamato Democrito). Per Leucippo, l’atomo\nera fatto come in Fig.1.\nFig. 1. L’atomo di Leucippo.\nPoi venne Newton (in una storia veloce non c’è posto per Lucrezio, il quale peraltro\nconfermò sperimentalmente l’atomo secondo Leucippo). Per Newton, l’atomo era\nfatto così (Fig. 2):\nFig. 2. L’atomo di Newton.\nQuindi, con Newton l’atomo divenne una certezza (teorica, s’intende; il povero Isaac\ns’infervorò talmente all’idea che convinse la Regina Anna a bandire le onde dal\nRegno. L’ottica corpuscolare di Isacco è oggi nota sotto il nome di approssimazione\nIn seguito, i chimici andarono sviluppando il loro modello “a granchio”, v. Fig. 3, dal\nquale poi non riuscirono più a staccarsi, tant’è che ci credono tuttora.\n•Fig. 3. Il modello chimico nell’esempio dell’ossigeno e dell’H2O (acqua).\nPoi venne Lord Kelvin, che inventò l’atomo di J.J. Thomson. In questo modello, vedi\nFig. 4, l’atomo è una patata di carica positiva con dentro una o più impurezze\n(elettroni) con un’uguale carica totale negativa. Problemi: era difficile renderlo\nstabile, e il povero JJ cercò vanamente di “risolvere” il modello in modo\nsoddisfacente (se JJ fosse stato Bohr, della stabilità avrebbe subito imparato a\nFig. 4. L’atomo di Kelvin e JJ.\nPoi un giapponese, Nagaoka, disse che invece l’atomo era come Saturno, e\nRutherford ci credette talmente da fare suo il modello (Fig. 5) specie perché,\nsbagliando, credeva che Nagaoka avesse dimostrato che il modello è stabile.\nFig. 5. L’atomo (di idrogeno) di Nagaoka-Rutherford.\nIntanto, l’atomo continuava ad essere instabile e i raccolti andavano perduti per via\ndelle torrenziali piogge di elettroni sui nuclei. Di fronte alla minaccia di carestia, si\nresero necessari provvedimenti urgenti, e Bohr arrestò il diluvio mediante decreto\nministeriale, dando così inizio a quel processo rivoluzionario che finì per portare alla\nmoderna teoria cipollare. Con leggi ferree, Bohr mise gli elettroni in catene (da allora\nsi parla di elettroni legati) e decretò che l’atomo era proprio come in Fig. 5, solo che\nora era stabile per forza (ma quale forza? D’altronde, e perché no?). Dicesi Bohr, tra\nl’altro, ma in realtà c’era sotto lo zampino di Sommerfeld, che terrorizzava tutti con\nDopo Copernico e Newton, il passaggio da cerchio a ellisse era alla portata anche dei\nfisici più modesti, che poi fecero precedere l’ellisse (e piuttosto velocemente, anche),\ne così si arrivò al modello a gomitolo di filo (Fig. 6).\nFig. 6. L’atomo (di idrogeno) di Bohr-Sommerfeld.\nQuando poi Born cominciò a parlare di principi di quantizzazione, la gente cominciò\na perdere la pazienza e il senso dell’umorismo, senonché Schrödinger e Heisenberg\nelevarono a principio non già il principio di corrispondenza, ma bensì la meccanica\nondulatorio-quantistica. L’entusiasmo divampò: Hilbert si fratturò una caviglia\ndanzando di gioia, a Vienna dovettero chiudere l’Opera perché la gente andava tutta\nquanta al Circolo 1, nelle birrerie di Copenhagen la gente si ubriacava bevendo\navidamente alla Fonte della Verità, e a Bohr fecero un monumento equestre.\nAll’uomo della strada venne spiegato che l’atomo era diventato una via di mezzo tra\nun gomitolo e una patata di Kelvin-JJ ma con le cariche scambiate, e cioè appunto,\ncome anticipato, una cipolla (come ormai viene insegnato su tutti i libri) per cui ogni\nelettrone non è che uno strato della cipolla2. Agli intellettuali, la cipolla che avevano\ncucinata secondo un’antica ricetta di Gottinga, che si dice sia assai complessa, e la\nchiamavano cipolla d’onda.\nLe verifiche della teoria cipollare, purtroppo, non andavano proprio a gonfie vele.\nDopo avere appreso che l’elettrone legato era come uno strato di cipolla, con\ndimensioni lineari di circa 10-8 cm, la gente cercò di determinare la distribuzione di\ncarica sullo strato, e ripeté quindi vari esperimenti di fotoproduzione. Tra questi,\nspiccano l’effetto fotoelettrico (Fig. 7), l’effetto Compton (Fig. 8) e la fotoproduzione\ndi coppie e+e- (Fig. 9).\nÈ il famoso Circolo di Vienna, in cui si riunivano i neopositivisti e Wittgenstein.\nDimostrazione dell’uguaglianza Schrödinger = cipolla (sta’ buono, Erwin, smettila di dimenarti nella tomba!). Per gli\nstati stazionari, la distribuzione (di probabilità) di carica è indipendente dal tempo e, come se non bastasse, il valor\nmedio di p è nullo, e in fondo l’elettrone non irradia perché, grosso modo, non si muove affatto (ripensandoci, questo\nnon può essere vero perché J#0; ma d’altra parte, non è neppure vero che l’elettrone non irradia; anzi, irradia\nmoltissimo, mai fotoni (virtuali) se li becca tutti il protone, ma di questo parleremo un’altra volta. Per uno stato\nstazionario, a parte un po’ di nodi e altre stranezze la ψ*(x)ψ(x) ha un po’ la forma di cipolla (di quelle tonde,\ns’intende, a meno che non vi siano altri fotoni o elettroni nei paraggi.\nFig. 7. L’effetto fotoelettrico.\nFig. 8. L’effetto Compton.\nFig. 9. Annichilazione di fotone in una coppia e+e-.\nDell’ultimo esperimento, in realtà molto posteriore agli altri due, parleremo in\nseguito. Dai primi due, impariamo che l’elettrone interagisce con la luce come se\nfosse un pallino carico puntiforme. E allora, come la mettiamo? L’elettrone legato è,\normai non abbiamo più dubbi, una roba sparpagliata su uno strato di cipolla con un\ndiametro di 10-8 cm, mentre l’elettrone da solo è un oggetto puntiforme (Fig. 10).\nFig. 10. (a) Elettrone legato; (b) L’elettrone com’è visto (dai fotoni).\nLe proprietà di localizzazione di questi due oggetti sono talmente diverse tra loro, che\nsi è tentati di concludere che si tratta di due oggetti diversi, e che l’elettrone legato\nnon è un elettrone3.\nSotto la dittatura di Bohr, questo paradosso e altri venivano passati forzatamente sotto\nsilenzio (chi manifestava dubbi veniva subito bruciato come eretico). Ma intanto,\nAlbert Einstein s’infiltrava subdolamente nei quartieri quantistici e, di soppiatto,\nscriveva su tutte le lavagne\nGrazie a lui, possiamo finalmente dimostrare che, negli atomi, di elettroni proprio\nnon ce n’è neanche uno.\nDimostrazione. Tanto per non creare confusione, scriviamo E = m vc2, così si capisce\nche mv è la massa della particella alla velocità v, e indichiamo invece con m la massa\na riposo, m = (mv)v=0.Per i fotoni, sappiamo che entro buona approssimazione, la\nmassa a riposo è nulla; per gli elettroni, la massa a riposo è di circa 9x10-31 kg, ovvero\n0,51 MeV/c2. Abbiamo: E=mv c2=mc2/(1-v2/c2)1/2 quindi E2- (Ev/c)2= m2c4; definisco\nl’impulso relativistico, p= E v/c2 (cioè mv nel limite nonrelativistico); inoltre, da ora\nin avanti pongo c=1 così non mi dimentico più quant’è la velocità della luce. Allora\n(a) E2 – p2=m2, dove m è una costante caratteristica della particella;\n(b) E≥m, con = se e solo se la particella è in quiete;\n(c) Per un fotone, m=0 cosicché E2γ – p2γ =0, e cioè Eγ = pγ (=hν).\nPer il fotone, Einstein diceva che il fotone “si propaga come un’onda” ma interagisce con la materia “come un\ncorpuscolo”. Ora abbiamo scoperto che l’elettrone “dentro” l’atomo è come un’onda (stazionaria), mentre “fuori” si\npropaga “come un corpuscolo”.\nPer la conservazione dell’energia, l’energia EB dell’elettrone legato è uguale a quella\ndell’elettrone libero e in quiete rispetto al nucleo (e cioè m) meno l’energia di legame\nΔE. Poiché ΔE>0, abbiamo, per l’elettrone legato, EB<m, contrariamente a (b). Se poi\nscriviamo, per l’elettrone legato, EB=mBc2 /(1-v2/c2)1/2 , se mB = m si deve avere che\nvB è immaginaria; poiché, almeno per ora, velocità immaginarie mi fanno ribrezzo,\ndevo concludere che da EB<m segue mB<m, e quindi che l’elettrone legato ha una\nmassa diversa da quella dell’elettrone libero. Ma poiché m è la massa (costante)\ncaratteristica degli elettroni, devo dire che l’elettrone legato non è un elettrone.\nQuindi, NON VI SONO ELETTRONI IN UN ATOMO, q.e.d..\nTra l’altro, abbiamo anche dimostrato che l’effetto fotoelletrico non può avvenire, dal\nmomento che ci si convince facilmente, da (a) – (c), che in un processo siffatto\nl’energia non viene conservata4. E per inciso, con simili considerazioni ci si convince\nanche che il processo di annichilazione (o creazione che dir si voglia) in Fig. 9 non\npuò avvenire neppure lui, per cui cominciamo a sospettare che gli sperimentali ci\nstiano raccontando volgari menzogne. Ma su questi punti torneremo in seguito.\nQueste argomentazioni teoriche, validissime, sono dovute a un signore di Vienna, il\ncui nome è oggi sconosciuto per motivi che vedremo, e che noi chiameremo Herr\nSkeptik, perché sembra che diffidasse di tutto ree di tutti: In particolare, Skeptik\ndiffidava di Compton e dei fisici sperimentali, fino al punto che pretese di dimostrare\nche l’effetto Compton non esiste. Eccovi la dimostrazione data da Skeptik.\nInnanzitutto, per non fare confusione tra elettroni legati – che non sono veri elettroni\nper cui non sappiamo bene come funzionano – ed elettroni veri, e cioè liberi,\nconsideriamo solo elettroni liberi, ché tanto gli sperimentali ci giurano che l’effetto\nCompton avviene benissimo anche con elettroni liberi (Fig. 8, seconda parte). Allora:\nsi comincia con un elettrone e un fotone, e si finisce con un elettrone e un fotone,\nmagari con energie ed impulsi un po’ diversi da quelli di partenza. Se entriamo nei\nparticolari del processo, è chiaro che esso deve avvenire nel modo seguente: in un\nprimo momento, l’elettrone fagocita il fotone e, dopo un po’, scopre che il fotone gli\nè rimasto indigesto, per cui decide di risputarlo fuori. E infatti, ci viene anche detto\nche la lunghezza Compton, λC=h/mc≈2,4x10-10 cm, non è nient’altro, in sostanza, che\nil cammino libero medio percorso dallo “elettrone intermedio” dall’ingestione alla\nsuccessiva espulsione del fotone. E allora, siccome trattasi di un processo in due\ntempi (vedi Fig. 11) invece di studiarlo tutto assieme possiamo studiarci prima il\nprimo tempo (Fig. 12a) e poi il secondo (Fig. 12b).\nFig. 11. L’effetto Compton.\nFig. 12. I due tempi dell’effetto Compton.\nE così, scopro che mi basta l’abc per dimostrare che i due tempi in realtà non possono\navvenire, per cui il Sig. Compton e tutti gli sperimentali annessi e connessi mi hanno\nDimostrazione. Per la conservazione dell’energia-impulso, devo avere E1+Eγ=E’,\np1+pγ=p’, per cui\nda cui sottraendo (so fare anche cose più difficili, ma di solito le faccio di nascosto) e\ntenendo presente (a) e (c) (vedi pagina precedente) ottengo\nMa siccome pγ=Eγ, e │cosθ│≤1, abbiamo 0= E1-p1cosθ e quindi E1-p12≤0,\ncontrariamente alla (a), per cui il processo non deve avvenire, QED.\nTra l’altro, ora si capisce anche perché l’elettrone trovi indigesto il fotone: non può\nForte di queste argomentazioni il sig. Skeptik andò all’Accademia di Berlino e\npresentò la sua\n1. NON VI SONO ELETTRONI NEGLI ATOMI;\n2. GLI ELETTRONI NON INTERAGISCONO CON LA LUCE;\n3. GLI SPERIMENTALI TIRANO A FREGARE.\nQuindi, disse Skeptik, non abbiamo più di che preoccuparci, ché tanto gli elettroni\nnon li possiamo vedere e i vari effetti (fotoelettrico, Compton, ecc.) in realtà non\navvengono, per cui non sussistono contraddizioni.\nLa Teoria Fondamentale suscitò un certo scalpore, subito messo a tacere dalle AA\ncompetenti, e il povero Skeptik finì male davvero: lo diedero in pasto agli\nsperimentali che, permalosi come sono, gli puntarono contro un potente cannone\nLaser, a quei tempi arma segreta del nascente terzo Reich; il povero Skeptik fece\ncome Galileo, e abiurò; ma invano, perché quelli lo polverizzarono lo stesso, tanto\nper essere sicuri che la sua teoria non fosse giusta. Di Skeptik non restò neppure il\nnome. Ma, come vedremo, non fu sacrificato invano.\nNonostante le AA avessero imposto la massima segretezza su tutto l’affare, in alcune\norganizzazioni (clandestine) serpeggiava un generico malcontento, e da più parti si\nmormoravano critiche alla meccanica quantistica. Lo stesso Schrödinger, persona\nassai sensata, cominciò a esprimere dubbi e ad avallare un’ipotesi fatta fin dal 1919\nda un certo Franz Exner. L’ipotesi era la seguente:\n(IPOTESI): L’ENERGIA NON E’ SEMPRE CONSERVATA.\nPoiché le argomentazioni di Skeptik si basavano tutte sulla conservazione\ndell’energia-impulso, quest’ipotesi permetteva di superare tutte le contraddizioni che\na lui costarono la vita. La voce che l’energia potesse non essere conservata venne\nsubito messa a tacere dagli industriali della Rhur5.\nNel frattempo, la voce che qualcosa non andava proprio bene aveva varcato la\nfrontiera ed era giunta all’orecchio di Paolo Adriano Maurizio (Dirac), che propose\nuna nuova teoria, per la quale gli venne dato il premio Bayer, perché da allora\nl’emicrania divenne diffusissima tra i fisici teorici. La teoria di Dirac si evolse in\nmodo drammatico nel dopoguerra, quando Feynman insegnò ai fisici come i disegna,\ne così si arriva ai giorni nostri, per cui tra poco abbandonerò il metodo storico per\nraccontarvi invece le mirabilie della cosiddetta\nIl motivo è abbastanza evidente: la crisi energetica c’era già allora, e se si fosse sparsa la voce che la poca energia\ndisponibile non era neppure conservata, tutti sarebbero certamente scappati ai Tropici, cosicché gli industriali della\nRhur non avrebbero più avuto masse di lavoratori da sfruttare.\nParecchi anni fa, ebbi la fortuna e l’onore di fare una gita con Paolo Adriano\nMaurizio6 al parco di Everglades, in Florida. Quest’uomo era allora un Vecchio\nstupendo, con una figura asciutta e allampanata, lo sguardo penetrante e un’aria\nascetica. Il Vecchio, per motivi che posso solamente indovinare, mi prese a benvolere\ne, mentre osservavamo un alligatore che prendeva il sole, si mise a farmi delle\nconfidenze7. Di fronte a quest’uomo, cui dovevo innumerevoli mal di testa, mi\nsentivo emozionato come uno scolaretto e traboccavo di gratitudine e ammirazione.\nIl Vecchio mi spiegò secondo quali criteri era giunto alla sua famosa equazione. Mi\ndisse che i paradossi di Skeptik altro non erano, a suo parere, che sintomi superficiali\ndi un male che andava alle radici della meccanica quantistica, e cioè del fatto che\nquesta non era stata formulata secondo i sacri principi della Relatività ristretta.\nL’equazione di Schrödinger (anzi, l’intero schema quantomeccanico) andava quindi\nvisto come un’approssimazione alquanto grossolana a una realtà assai più complessa,\ne per avvicinarsi a una descrizione accurata di questa realtà occorreva in primo luogo\nabbandonare nozioni semplicistiche, quali quella di pallino puntiforme e di cipolla. Il\nVecchio riassunse così la sua infinita saggezza:\n1) La scienza tratta solo di cose o eventi (fatti) osservabili;\n2) La consistenza interna di una teoria è altrettanto importante quanto la sua\nconsistenza con i fatti sperimentali;\n3) Occorre insistere nel rendere la formulazione matematica della teoria la “più\nbella “ possibile.\nUn fatto che trovai estremamente interessante era che PAM, nel parlare, usava le\nparole “bellezza” e “semplicità” come se fossero perfettamente intercambiabili.\nInoltre, PAM disse che l’equazione relativistica dell’elettrone è molto più bella\ndell’equazione di Schrödinger e che, se Schrödinger avesse insistito sulla necessità di\navere una bella equazione, sarebbe probabilmente arrivato all’equazione giusta.\nFin dai primissimi anni dell’era quantistica, Dirac si era accorto che la teoria di\nHeisenberg e Schrödinger non forniva una descrizione interamente consistente\ndell’interazione elettromagnetica: in particolare, per avere una descrizione consistente\noccorreva quantizzare anche il campo elettromagnetico, e questo rendeva inevitabile\ntrovare l’accordo con il principio di relatività ristretta.\nSeguendo l’assioma della massima semplicità (bellezza), Dirac cercò e, nel 1928,\ntrovò l’equazione più semplice possibile che mettesse d’accordo la relatività ristretta\nOssia PAM Dirac, 8 agosto 1902 – 20 ottobre 1984. Dirac fu insignito del Premio Nobel nel 1933, insieme ad Erwin\nTra l’altro, è da questa conversazione che ho potuto ricostruire la storia di Skeptik, che viene resa nota qui per la\ncon quanto già si sapeva dell’elettrone. Con sua grande sorpresa, PAM scoperse che\nl’equazione ammetteva soluzioni inattese, che corrispondevano a stati con energia\nnegativa e con carica uguale a quella dell’elettrone. Dapprima, cercò qualche criterio\nin base al quale queste soluzioni potessero venire scartate; non trovandone, affermò\nche queste soluzioni balorde dovevano corrispondere a stati fisicamente realizzabili.\nIl mondo intero prese a ridergli dietro, e quando PAM andava in Istituto aveva\nsempre dietro un codazzo di ragazzini che lo schernivano e gli facevano gli sberleffi\npiù crudeli, perché ormai lo sapevano tutti, che l’energia deve sempre essere non\nnegativa. Il Rettore dell’Università di Cambridge lo chiamò a colloquio privato, e lo\nminacciò di espulsione con ignominia dall’Università. Ma PAM non abiurò, né si\ndiede per vinto. Anzi, si mise a guardar dentro all’equazione con rinnovato\naccanimento, e sene venne fuori con idee ancora più balzane: prese a dire che il vuoto\nera in realtà pieno zeppo di energia negativa, ma ogni tanto aveva dai “buchi” qua e\nlà, e questi buchi dovevano essere particelle di tipo nuovo. Il resto della storia è noto\na tutti: queste nuove particelle (positroni) vennero poi scoperte nel 1932,e da allora si\nsa che c’è l’antimateria.\nLa teoria relativistica dell’elettrone rivela quindi che questa particella, a prima vista\ntanto semplice, racchiude in realtà i segreti di una struttura infinitamente più ricca e\ncomplessa di quanto la gente avesse mai immaginato. La teoria porta a una revisione\ncosì profonda delle nozioni di materia, radiazione, vuoto, ecc., che ne esce addirittura\nun modo nuovo di affrontare i problemi della fisica fondamentale.\nÈ di questa rapida e importante evoluzione delle teorie fisiche che desidero parlarvi, e\ncomincerò con la nozione di\nPARTICELLE REALI E PARTICELLE VIRTUALI.\n“… Ormai la lotta è ingaggiata tra coloro\nche ci sono e vorrebbero essere eterni e\nnoi che non ci siamo e vorremmo esserci,\nnon fosse che per poco …”\nSecondo il principio n° 1 enunciato dal gran Vecchio, dobbiamo innanzi tutto\nchiederci cosa viene osservato nel microcosmo. Andiamo quindi da un amico\nsperimentale e chiediamogli8 cosa vede quando osserva una particella mediante un\nqualsiasi rivelatore (camera a nebbia, a bolle, a scintille, emulsioni, contatori o\nchecchessia). L’amico sperimentale farfuglia qualcosa, e noi che siamo bravi\nDato il pessimo carattere degli sperimentali, per non fare la fine di Skeptik è sempre bene rivolgere le domande con\nriusciamo, a partire dalle sue poche ma confuse idee, a estrarre le seguenti proprietà\nfondamentali di una particella “reale”, e cioè una particella che, a parte le “piccole”\nperturbazioni necessarie per vederla ogni tanto, se ne sta per conto suo.\nUna particella reale è:\nA) un oggetto con certi numeri quantici “interni” ben precisi (carica elettrica,\nipercarica, stranezza se il caso, talvolta forse un certo non so che, uno\n“charme” o un “colore” particolari, ecc., e pure uno spin (momento angolare\nintrinseco) e una certa parità intrinseca, che non sono proprio numeri quantici\ninterni, ma fa lo stesso);\nB) un oggetto localizzato e con un impulso-energia ben definiti 9 in ogni stato\nC) un oggetto con un’energia-impulso che non sono tra loro indipendenti, ma\nlegati dalla relazione E2-p2=m2, dove m ha un valore fisso e caratteristico della\nparticella in questione.\nSe ora ripensiamo ai paradossi di Skeptik, vediamo che questi nascono perché\nsembrano esserci oggetti che soddisfano ad A) ma non a B) né C). Così, ad es.,\nl’elettrone “legato” dentro all’atomo si sparpaglia e quindi viola B), e ha una massa\ndiversa da quella “vera” dell’elettrone, per cui viola anche C); similmente, l’elettrone\n“intermedio” dell’effetto Compton ha esso pure una massa diversa da quella solita, o\npiù propriamente, in entrambi i casi la relazione energia-impulso non è quella in C),\nma bensì quella imposta dalla conservazione dell’energia-impulso a partire dalle\ncondizioni iniziali. L’errore di Skeptik fu quello di voler applicare B) e C) sempre, e\ncioè ogni volta che gli sperimentali e il signor Compton dicevano che si aveva a che\nfare con un elettrone. Siccome questo è un errore, come abbiamo visto, assai\npericoloso, noi lo eviteremo accuratamente (c’è il solito Laser di mezzo) e tuttavia\nnon rinunceremo che in parte alla Teoria Fondamentale di Skeptik. Diremo cioè che,\neffettivamente, l’elettrone legato non è un elettrone vero e proprio, ma un qualcosa\nche potrebbe essere un elettrone o, più propriamente, che può diventare un elettrone\nvero se gli si dà il modo di localizzarsi e di cambiare la sua energia-impulso in modo\nche B) e C) diventino verificati. Allo stesso modo, l’elettrone intermedio dell’effetto\nCompton non è proprio un elettrone di quelli soliti, ma si distingue da questi solo\nperché l’energia-impulso sono un po’ fuori dal cosiddetto iperboloide, o shell di\nmassa, E2 – p2 = m2.\nIn un certo senso, stiamo dicendo che esistono, oltre alle particelle reali solite, delle\naltre particelle a loro molto simili, ma che si trovano in uno stato di realtà un po’\nconfuso, e che anzi non esistono se non in quanto, sotto opportune condizioni,\npossono materializzarsi sotto la forma di particelle reali, per le quali A)-C) valgono\nSempre, beninteso, entro i limiti stabiliti dal principio di indeterminazione.\ntutte, mentre per quelle che “vorrebbero esistere, ma non esistono”, la B) o la C) o\nentrambe sono violate. Per chiarire ulteriormente cosa siano queste particelle-che-un-\npo’-ci-sono-e-un-po’-non-ci-sono, e che chiameremo particelle virtuali, torniamo\nall’effetto Compton su elettroni liberi. Dunque, ripetiamo: in questo processo, si parte\ncon un elettrone e un fotone nello stato iniziale, che prepariamo in anticipo e quindi è\nosservato, e si finisce con un elettrone e un fotone (magari con energia-impulsi un\npo’ diversi da quelli di partenza) nello stato finale, che pure osserviamo\naccuratamente. E questo avviene sempre (a meno di cambiamenti di minore entità10) e\ncioè: ogni volta che noi facciamo una misura, troviamo un elettrone e un fotone nello\nstato, ed entrambe le particelle soddisfano alle relazioni energia-impulso appropriate\n“di mass-shell”, e si ha conservazione dell’energia-impulso dallo stato iniziale a\nQuesto è quanto osserviamo. L’elettrone intermedio non viene mai osservato, e\nl’illazione che il “processo deve avvenire” come in Fig. 11 è, appunto, un’illazione\nche non si presta a verifica sperimentale. Come spesso avviene in meccanica\nquantistica, l’errore che porta a paradossi proviene dall’avere attribuito proprietà (più\no meno sensate, ma ben definite) a un sistema fisico mentre questo non viene\nosservato. Il processo si osservazione, come al solito, “fa precipitare” il sistema in\nuno stato ben definito, e in questo stato, qualunque esso sia, vedo sempre e solo\nparticelle reali. Il parlare di elettrone legato o intermedio o virtuale può essere utile\ndal punto di vista pratico o intuitivo, ma dobbiamo essere attenti a tenere presente che\nsi tratta di oggetti la cui esistenza è puramente matematica, di strumenti che\nadoperiamo per poter calcolare in modo semplice le proprietà osservabili del sistema\nfisico, ma niente di più.\nUn esperimento ideale d’urto può essere descritto come in Fig. 13: dopo aver\npreparato certe particelle in uno stato iniziale │in>, lasciamo che queste entrino in\ninterazione e poi andiamo a vedere cosa c’è nello stato finale, │out >, e lo scopo\ndella teoria è quello di fornire un modo per calcolare l’unica quantità misurabile del\nprocesso, e cioè la probabilità di transizione dallo stato │in> assegnato a qualunque\nstato │out >. E una teoria sarà soddisfacente se, oltre a predire risultati in accordo\ncon i dati sperimentali, soddisferà i criteri 2 e 3 enunciati dal gran Vecchio (il quale,\nper inciso, è spesso ritenuto conservatore dalle giovani leve, che di 3) non si\npreoccupano affatto e spesso lasciano perdere anche 2) e, talvolta, hanno idee molto\nconfuse anche sul 1° principio).\nAllo scopo di rendere la teoria semplice ed efficacie, siamo liberi di introdurre anche\noggetti matematici non direttamente misurabili (quali ad es. la famosa cipolla d’onda\nQuesti cambiamenti sono che, talvolta, nello stato finale si trovano più di un fotone o l’elettrone è accompagnato da\ncoppie e+e-, ecc. Questi cambiamenti rispetto al “Compton puro” sono irrilevanti per la presente discussione, che\nriguarda il più generale esperimento “d’urto” possibile, e cioè l’esperimento più generale possibile.\ne, come vedremo, il campo quantizzato); l’importante è che, alla fine, io riesca a\npredire i correttamente i risultati sperimentali, che la teoria sia concettualmente chiara\ne consistente dal punto di vista “interno” e che essa sia la più semplice possibile\n(entro, ovviamente, i limiti che la Storia inevitabilmente ci pone, per cui tutto questo\nvale sempre in un senso evolutivo).\nFig. 13. Esperimento (teorico) d’urto; il punto interrogativo nella “zona ignota”,\nracchiusa dal circolo, rappresenta la grandezza da calcolare, e cioè la matrice “S” di\ntransizione da │in> a │out>.\nChiarito, una volta per tutte, che le particelle virtuali non si manifestano mai come\ntali, ma solo come particelle reali, e che le particelle virtuali non sono reali, ma\nmatematiche, vediamo a cosa servono e quali sono le loro proprietà.\nInnanzitutto, se abbandoniamo la richiesta E2-p2=m2 per particelle virtuali, e le\nlasciamo libere di avere l’energia-impulso che a loro piace, ci accorgiamo che\npossiamo mantenere tutto il resto della descrizione fenomenologica do elettroni\nlegati, effetto fotoelettrico ed effetto Compton, con buona pace dei nonni (Bohr,\nCompton ecc.) e degli sperimentali. Possiamo anzi fare di più, e immaginare che, ad\nes., l’effetto Compton avvenga proprio come in Fig. 11: basta che ci ricordiamo della\nconservazione dell’energia-impulso in ciascun vertice (Fig. 12a e 12b), cosicché\nl’elettrone intermedio, ora ribattezzato “virtuale”, sta “fuori” dallo shell di massa E 2-\np2 =m2. Quindi, ora abbiamo un modo in di “guardare dentro” alla “zona ignota” in\nFig. 13, vedi Fig. 14. L’importante è di ricordarci che, in realtà, non stiamo affatto\n“guardando”, e cioè osservando fisicamente cosa succede là dentro, ma stiamo\nsemplicemente rappresentando intuitivamente con una linea “virtuale” l’evoluzione\ndel sistema elettrone-fotone tra una osservazione e l’altra.\nFig. 14. L’effetto Compton secondo Dirac e Feynman.\nQuesto modo di rispondere al punto interrogativo della Fig. 13 può sembrare\narbitrario, e infatti, in una certa misura, lo è. Potremmo anche rappresentare il\nprocesso virtuale in tutt’altro modo, ad es. come in Fig. 15, dove un demonietto\nattende le particelle al varco, le impasta e ne fa dei tortelli (virtuali) che poi\nvirtualmente cucina a puntino nell’elettrone e fotone finali. Deve trattarsi,\novviamente, di un demonietto bravissimo: deve presentarsi puntualissimo a ogni\nappuntamento tra elettrone e fotone, deve impastarli e cucinarli velocissimo (il tutto\navviene spesso in meno di 10-18 s), e soprattutto deve stare attento a non farsi mai\nvedere, a calcolare ogni azione al miliardesimo di miliardesimo di secondo e ad agire\nin modo causale (cioè, non deve incominciare a impastare le particelle prima che\nqueste arrivino né deve farle ri-uscire cucinate prima di averle impastate) e locale, e\ncioè non deve mai uscire dal ristrettissimo spazio a sua disposizione, dove avviene\nl’interazione. Insomma, deve trattarsi di un virtuosissimo demonietto virtuale, che\nnon sgarra mai. La teoria demoniaca, dovuta a un anonimo impastatore di Coloreto, o\naltre simili teorie più o meno elaborate, andrebbero benissimo, senonché è difficile\nscrivere equazioni semplici e pulite per descrivere il comportamento (virtuale) di\nimpastatori (virtuali): di solito, queste equazioni o vengono fuori tutte sporche di\nfarina (virtuale) o sono appiccicose, e risulta difficile adoperarle per dimostrare che,\ngrazie ad esse, si può dare una descrizione unificata, internamente ed esternamente\nconsistente e “bella” dei processi di interazione elettromagnetica.\nFig. 15. L’effetto Compton secondo l’Anonimo di Coloreto.\nSe invece che all’indaffarato demonietto pensiamo a un elettrone virtuale, e cioè se\nfacciamo tutto nella massima economia, per cui all’oggetto virtuale attribuiamo il\nmaggior numero possibile delle proprietà che siamo abituati ad attribuire alla\nparticella reale, allora le cose diventano belle e pulite, e quindi, secondo il gran\nVecchio, probabilmente corrette. La semplicità della teoria diventa particolarmente\nevidente perché, se insistiamo a lavorare al risparmio, ed evitiamo quindi di\nintrodurre troppi concetti nuovi, scopriamo che possiamo scrivere per le particelle\nvirtuali delle equazioni molto simili a quelle che scriveva Lorentz per l’elettrone\nclassico in interazione con il campo elettromagnetico classico. Insomma, salviamo\nanche il principio di corrispondenza, con tutti gli annessi e connessi, e riusciamo a\ndare una descrizione unificata, mediante equazioni che sono le più belle mai\nconcepite da mente umana (se Maxwell era umano), delle particelle reali e virtuali\nnello stesso tempo. Inoltre, conserviamo l’energia-impulso (fa già un freddo boia, e\nstaremmo freschi altrimenti!) e otteniamo una descrizione relativisticamente\ninvariante, locale e causale, e intuitivamente chiara. Cosa si può desiderare di più?\nUna teoria siffatta è indubbiamente di bellezza ineguagliata, e quindi non c’è di che\nmeravigliarsi se, alla prova dei fatti, si rivela corretta anche nei minimi particolari\ndelle previsioni fisiche che ne derivano.\nLa descrizione unificata del mondo delle cose come sono e di quello delle cose come\npotrebbero avvenire o essere, e cioè del mondo del reale e di quello del virtuale, parte\nNOZIONE DI CAMPO (QUANTIZZATO E RELATIVISTICO, S’INTENDE).\nContrariamente a quanto ci si potrebbe attendere dalla storia dell’atomo, nei campi\nquantizzati non si coltivano patate o cipolle, ma bensì particelle virtuali. Ogni tanto,\nin certuni posti il campo quantistico si eccita, e allora il suo comportamento diviene\nassai singolare. Queste eccitazioni elementari del campo corrispondono alle particelle\nreali. Quindi, mediante il campo quantizzato si arriva a dare un significato per così\ndire quantitativo alla non-esistenza sensibile delle particelle virtuali: infatti, le\nsingolarità avvengono per valori di E e p giacenti sullo “shell di massa”, E 2-p2=m2,\ndelle particelle reali (di massa reale m) cui associamo il campo. In questo modo, il\ncampo ci dice che, in qualche senso, la particella reale ha una probabilità di venire\nosservata che è infinitamente più grande della probabilità di osservare una particella\nLa descrizione unificata del reale e del virtuale, il campo la dà così: fuori dal mass\nshell, il campo descrive particelle virtuali; se però andiamo a vedere sullo shell di\nmassa, e filtriamo accuratamente il campo, allora troviamo che le singolarità del\ncampo lasciano un certo residuo, e questo residuo ci permette di descrivere le\nparticelle reali. Questo procedimento, di considerare il residuo del campo per E 2-\np2=m2, dove m è la massa di una particella fisica nella teoria, si chiama “andare sul\nmass shell” per quella particella.\nIn elettrodinamica, vi sono due tipi di campo: vi è il campo elettromagnetico e vi\nsono i campi che descrivono le particelle cariche, in particolare il campo di elettroni.\nQuesti campi si propagano nello spazio-tempo e, ogni tanto, si trovano abbastanza\nvicini da entrare in interazione in modo percettibile. Di questa interazione\nelettromagnetica non sono osservabili altro che le conseguenze visibili su scala\nmacroscopica, e cioè i cambiamenti dallo stato iniziale (e cioè prima che l’interazione\nabbia luogo) allo stato finale (quello dopo che l’interazione ha avuto luogo). Il campo\ndà anche una descrizione di cosa possa essere accaduto durante l’interazione; ma\ndurante questo lasso di tempo il processo non viene osservato, per cui questa\ndescrizione è, più che altro, un’attenta guida per la nostra intuizione.\nDopo l’esempio dato da Feynman, i campi vengono spesso descritti mediante artistici\ndisegnini astratti: il campo elettromagnetico (virtuale) che si propaga viene descritto\nda una linea ondulata, mentre l’elettrone (virtuale) in viaggio viene descritto da una\nlinea diritta. La descrizione può avvenire sia nello spazio delle descrizioni che nello\nspazio degli impulsi (vedi Fig. 16); sulle linee rappresentanti i “propagatori” dei\ncampi si indica a volte la direzione del moto. Ogni volta che l’elettrone e il fotone\nentrano in interazione, si ha un “vertice elementare” di interazione elettromagnetica,\ncome in Fig. 17: Nel vertice, occorre conservare il flusso di energia-impulso e carica\nelettrica entranti e uscenti, secondo le leggi elementari di Kirchhoff per i circuiti\nelettrici, e cioè: la somma totale delle energie, impulsi e cariche entranti nel vertice\ndeve essere uguale alla somma delle corrispondenti quantità uscenti.\nFig. 16. Propagatori di campo e.m. e di elettrone, (a) nello spazio delle\nconfigurazioni, e (b) nello spazio degli impulsi.\nFig. 17. Il “vertice elementare” di interazione elettromagnetica.\nCiascuno dei disegnini in Fig. 16 e 17 corrisponde a una ben definita espressione\nmatematica11: ad es., il vertice corrisponde, oltre all’imporre le già discusse regole di\nconservazione, all’introduzione di un fattore uguale a e/(4π) 1/2, dove e è la carica\nLe “regole di Feynman”, che definiscono questa corrispondenza, vengono qui spiegate in modo semplificato; in\nparticolare, vengono ignorate le complicazioni dovute al fatto che l’elettrone ha uno “spin” uguale a ½, mentre il\ncampo e.m. ha “spin” uguale a uno (è cioè un campo vettoriale).\ndell’elettrone; quindi, per ogni coppia di vertici si ha un fattore e 2/4π; questa quantità\nè, nel sistema “naturale” in cui c=1 e h/2π = 1, un numero puro uguale a 1/137.\nQuesto numero caratterizza l’intensità dell’interazione elettromagnetica tra cariche\nelementari; esso viene spesso chiamato “la costante di struttura fine” e viene indicato\ncon α. La sua piccolezza è, come vedremo, la chiave dei successi dell’elettrodinamica\nPer il propagatore di campo e.m., si ha l’espressione matematica, per un campo che si\npropaga con energia E e impulso p, data da 1/(E2-p2). In questa espressione, si\nriconosce la singolarità appropriata sul mass shell per il fotone, e cioè per E 2-p2=0.\nSimilmente, il propagatore per il campo di elettroni è dato da 1/(E 2-p2-m2), che\ndiventa singolare sul mass shell dell’elettrone, E2-p2=m2.\nAdoperando propagatori e vertici, possiamo costruire disegni più o meno complicati\ne, con le regolette di Feynman, costruire dal disegno l’espressione matematica che ad\nesso corrisponde. Nel disegno, vi saranno tre tipi di linee: linee “libere”, che non sono\nattaccate ad alcun vertice di interazione, che adoperiamo per descrivere l’evoluzione\ndi particelle libere; linee “esterne”, e cioè linee che sono attaccate a un solo vertice di\ninterazione, che adoperiamo per descrivere le particelle “entranti” e “uscenti” dal\nprocesso id interazione; linee “interne”, che cominciano e finiscono in vertici di\ninterazione e cioè si trovano tra due vertici, che descrivono gli “scambi virtuali”\nmediante i quali la teoria descrive il processo di interazione. Le linee “libere” ci\ninteressano poco, e anzi da ora in poi ci limiteremo a disegni “connessi”, e cioè a\ndisegni in cui, a partire da un qualunque punto su una qualunque linea del disegno, è\npossibile raggiungere qualunque altra linea del disegno senza dover mai uscire dalle\nlinee che formano il disegno. Questi disegni “connessi” descrivono processi in cui\nciascuna linea entrante entra in interazione, direttamente o indirettamente, con tutte le\naltre linee entranti e uscenti dal disegno; la descrizione di processi “sconnessi” è data\nsemplicemente dalla combinazione delle descrizioni dei processi connessi che,\ninsieme, formano l’intero processo sconnesso.\nQuesti disegni fatti a base di propagatori e vertici vengono chiamati “grafici” o\n“diagrammi” di Feynman. In questi grafici, tutte le linee rappresentano la\npropagazione di particelle virtuali; ma mentre le linee interne possono solo essere\nvirtuali, per le linee esterne è possibile “andare sul mass shell” per la corrispondente\nparticella; nel(l’espressione matematica corrispondente al) grafico, troveremo una\nsingolarità, il cui residuo ci dà l’ampiezza di probabilità (associata al grafico)\naffinché avvenga il processo (specificato dalle linee esterne del disegno) tra particelle\nreali entranti e uscenti. La descrizione “esatta” del processo fisico è, forse, data\ndall’insieme di tutti i grafici possibili che hanno linee esterne come nel processo\nspecificato; in realtà, a noi non interessa tanto considerare la possibilità di costruire,\nmediante i grafici di Feynman, una descrizione “esatta”; in effetti, il più delle volte è\nsufficiente considerare pochi grafici per esaurire le necessità del fisico (v. seguito).\nVediamo ora come queste regolette di Feynman funzionano in pratica. Come primo\nesempio, consideriamo ancora l’effetto Compton. Il più semplice grafico di Feynman\nper questo processo è quello in Fig. 18. Voi mi direte: ma noi lo sapevamo già!\nInfatti, la Fig. 18 è identica alla Fig. 11. Questo è vero, le due figure sono identiche;\nma mentre la Fig. 11 indicava una descrizione intuitiva e qualitativa di come il\nprocesso potesse avvenire, il grafico di Feynman in Fig. 18 corrisponde invece a una\nben precisa espressione matematica; se in questa espressione “andiamo sul mass\nshell”, otteniamo una ben precisa formula per l’ampiezza di probabilità affinché\nl’urto tra elettrone e fotone reali avvenga con dati impulsi-energie iniziali e finali.\nAlla prova dei fatti, si scopre poi che questa formula è in accordo quasi perfetto con i\ndati sperimentali, con discrepanze che non superano l’uno per cento.\nFig. 18. Grafico di Feynman per l’effetto Compton. Secondo le regole di Feynman,\nsul grafico si ottiene che l’ampiezza di probabilità affinché il processo avvenga per\nelettroni e fotoni reali negli stati iniziali e finali, è data da (sostanzialmente)\nα/((Eγ+E1)2-(pγ+p1)2-m2), dove α=1/137 è la costante di struttura fine e m è la massa\nL’espressione matematica citata contiene una singolarità in corrispondenza del “mass shell” per l’elettrone virtuale\nintermedio; ma questo non deve preoccuparci perché, come abbiamo imparato da Skeptik, l’elettrone intermedio non\npuò trovarsi sul mass shell qualora le particelle entranti e uscenti siano reali, per cui questa singolarità non è\ncinematicamente accessibile in processi reali. Se così non fosse, ne potrebbero risultare probabilità infinite per\nprocessi fisici, e in tal caso Feynman avrebbe pochi seguaci.\nA questo punto, vorrei ribadire e chiarire ulteriormente alcune considerazioni fatte in\nprecedenza, in particolare a proposito delle Fig. 14 e 15. Le quantità di interesse\nfisico sono le ampiezze di probabilità di transizione, e queste coinvolgono sempre\nsolo particelle reali negli stati iniziale e finale. Per queste quantità, la teoria\ndemoniaca in Fig. 15 deve, per essere minimamente credibile, andare abbastanza\nd’accordo con i dati sperimentali e, quindi, anche con la predizione fisica data dal\ngrafico di Feynman in Fig. 18. Questo grafico definisce però anche una\n“estrapolazione” quando le linee esterne non si trovano sul mass-shell; questa\nestrapolazione dalla regione fisica alla regione virtuale non è direttamente misurabile\ne quindi è almeno in parte arbitraria. Se la teoria demoniaca differisse da quella di\nFeynman solo nella regione virtuale, questo non sarebbe, da solo, un motivo\nsufficiente per preferire Feynman all’anonimo impastatore di Coloreto. Sotto queste\ncondizioni, le nostre preferenze per Feynman sono motivate più che altro da\n“opportunismo”. Questi motivi di opportunità sono però tutt’altro che infondati:\ninfatti, la descrizione data dal grafico di Fig. 18 è, anche fuori dal mass shell, quanto\ndi più semplice si possa immaginare. Inoltre, l’elettrone virtuale ha molte proprietà\n(matematiche) in comune con l’elettrone reale, per cui possiamo usare su di esso gran\nparte della nostra intuizione fisica. Questa semplice e spesso preziosissima guida\nintuitiva mancherebbe invece se adottassimo la descrizione demoniaca 13. Come\nseconda applicazione semplice del metodo di Feynman, consideriamo un processo\nl’urto in cui due elettroni interagiscono tra loro. Il grafico più semplice per\nl’interazione elettrone-elettrone è quello in Fig. 19, che dà una precisa espressione\nmatematica corrispondente alla nozione intuitiva che gli elettroni interagiscono tra\nloro mediante il campo elettromagnetico, e cioè “scambiando tra loro dei fotoni”. Di\nnuovo, se andiamo sul mass shell per le linee esterne otteniamo l’ampiezza di\nprobabilità per l’urto con elettroni reali, e ne risulta un accordo con i dati sperimentali\nche è perfetto a meno dell’uno per cento.\nTanto per indicare come risultati ben noti in fisica elementare vengono ritrovati in\nelettrodinamica quantistica, citerò il fatto che, nello spazio delle configurazioni, per\ngrandi distanze tra i due elettroni il grafico di Fig. 19 dà proprio 14 la legge di\nCoulomb per l’interazione elettrostatica tra cariche uguali a e. Quindi, anche\nUn altro importante vantaggio della teoria di Dirac-Feynman è che, a partire dai pochi elementi indicati in Fig. 17, si\npossono costruire approssimazioni successive via via sempre più precise per i processi di interazione\nelettromagnetica. Come vedremo, l’approccio di Feynman dà una “teoria delle perturbazioni” che fornisce uno\nschema iterativo di approssimazione, in cui le approssimazioni più rozze vengono adoperate per costruire le\napprossimazioni più raffinate, per cui tutto avviene sempre l’importante criterio della massima economia, e si evita di\nintrodurre nuove “leggi” a ogni piè sospinto. Da questo punto di vista, le teorie demoniache sono di una prodigalità\nScritta nello spazio delle configurazioni, l’espressione per il grafico in Fig. 19 sul mass shell è data da e 2 moltiplicato\nper il propagatore di fotone nello spazio-tempo, e cioè 1/(t 2-r2); per grandi r, si ottiene -e2/r2, che è proprio la legge di\nl’elettrostatica classica è contenuta, come caso limite, nella elettrodinamica\nFig. 19. Grafico di Feynman per l’interazione elettrone-elettrone. Per particelle\nesterne reali (sul mass shell) l’ampiezza di probabilità di transizione dallo stato\niniziale a quello finale è data da (sostanzialmente) α/((E1-E’1)2-(p1-p’1)2).\nA questo punto, il lettore attento starà probabilmente pensando: ma come, prima mi è\nstata tanto decantata la bellezza e l’accuratezza della teoria, e ora scopriamo che essa\n“va bene” solo entro l’uno per cento! L’origine di queste piccole discrepanze tra i\ngrafici in Fig. 18 e 19 e i dati sperimentali è nel fatto che questi grafici sono solo i più\nsemplici possibili per i corrispondenti processi di interazione, ma vi sono infiniti altri\ngrafici possibili per gli stessi processi. Ad es., per l’urto elettrone-elettrone, oltre al\ngrafico in Fig. 19 occorrerebbe considerare 15 anche i grafici in Fig. 20 e 21.\nQuando in un grafico di Feynman compare un circuito chiuso, occorre pensare che, sempre mantenendo le leggi di\nconservazione nei vertici, si esegua una somma (integrazione) su tutti i valori possibili per l’energia-impulso delle linee\nche appartengono al circuito chiuso.\nFig. 20. Grafici di Feynman di ordine α2 per l’urto elettrone-elettrone.\nFig. 21. Alcuni grafici di Feynman di ordine α7 per l’urto e-e.\nIl primo grafico in Fig. 20 corrisponde al processo (virtuale) in cui i due elettroni\nprima si scambiano un fotone e poi, mentre sono ancora abbastanza vicini da poter\ninteragire, se ne scambiano un altro. Nel secondo grafico in Fig. 20, un elettrone\n“lancia” verso l’altro il suo messaggio costituito da un fotone, e l’altro elettrone,\nprima di ricevere il messaggio del compagno, ne invia uno anche lui. I grafici in Fig.\n21 corrispondono a simili processi virtuali, in cui vengono scambiati la bellezza di\nsette fotoni virtuali in ciascun grafico. Di grafici del tipo illustrato in Fig. 21 ve ne\nsono ben 7!=3840, e ciascuno corrisponde a una particolare successione temporale\nsecondo cui sono ordinati i vari processi virtuali di emissione e assorbimento di\nIl motivo per cui, in prima approssimazione, avevo ignorato questi grafici a altri più o\nmeno complicati, è che, per ogni fotone scambiato, nell’espressione corrispondente al\ngrafico compare un fattore uguale a α=1/137. Quindi, se tiriamo a indovinare, ci\naspettiamo che i grafici in Fig. 20 siano circa 137 volte più piccoli di quello in Fig.\n19, mentre quelli in Fig. 21 saranno circa 10 12 volte più piccoli di quello in Fig. 19.\nQueste stime approssimative si sono, in pratica, rivelate degne di fiducia in tutti i casi\nin cui si è andati a calcolare in concreto le probabilità di transizione corrispondenti ai\nvari grafici. Per quanto riguarda l’accordo con i dati sperimentali, questo è addirittura\nspettacolare: si ha sempre accordo perfetto, entro i limiti stabiliti dagli esperimenti\npiù accurati. I nostri bravi sperimentali sono arrivati, con tecniche sopraffine, a\neseguire esperimenti-chiave con precisione che va fino a una parte su un milione; da\nquesti esperimenti, si hanno verifiche dell’elettrodinamica fino all’ordine α 4; finora la\nteoria si è sempre dimostrata perfetta fino a quest’ordine, e non si hanno indicazioni\nche essa possa rivelarsi inaccurata negli ordini superiori.\nDal punto di vista pratico, non vi sono quindi dubbi che l’elettrodinamica quantistica\nè la teoria più accurata mai partorita dall’uomo; infatti, allo stato attuale delle cose,\nsiamo in grado di “battere” in precisione anche lo sperimentale più bravo!\nOra che abbiamo acquistato una certa fiducia nella struttura teorica, cerchiamo di\nesplorarla più nei particolari, fino ad addentrarci in quei meandri che sono a tutt’oggi\nInnanzi tutto, torniamo a quei “buchi” teorici che avevano date tante grane al giovane\nDirac. Anziché seguire la linea storica, partiremo dal dato sperimentale che esistono i\npositroni e che essi possiedono massa uguale a quella dell’elettrone, carica uguale ma\ndi segno contrario, uguali “numeri quantici” di spin e parità, e che essi possono,\nentrando in interazione con gli elettroni, “annichilarsi” in radiazione.\nData la sostanziale simmetria perfetta tra elettroni e positroni, noi li descriviamo\nentrambi con lo stesso campo. Cioè: un positrone con impulso p si manifesta come\nuna “assenza” di un elettrone con questo impulso, e noi adoperiamo il campo per\ndescrivere sia la “presenza” di un elettrone che la sua “assenza”; ovviamente,\n“presenza” e “assenza” sono termini relativi, che indicano la presenza o l’assenza di\nuna carica elementare negativa “in più” rispetto al vuoto.\nPer rendere breve una lunga storia, dirò che il propagatore per l’elettrone (Fig. 16)\ndescrive allo stesso tempo la propagazione di un positrone con impulso -p ed energia\nE; similmente, il vertice di interazione in Fig. 17 rappresenta anche l’interazione tra\nun positrone e il fotone, solo che al positrone dobbiamo associare l’impulso iniziale\n-p’ e l’impulso finale -p. Lo stesso vertice descrive l’annichilazione virtuale di una\ncoppia (virtuale) e+e- in un fotone, e se si vuole mettere in risalto quest’aspetto si\nriscrive il vertice come in Fig. 22, in cui il tempo va da sinistra a destra, come al\nsolito, e le linee di elettroni portano cariche opposte tra loro.\nFig. 22. Il vertice d’interazione e.m. per la creazione di una coppia e+e-.\nCome conseguenza di questa “simmetria per coniugazione di carica”, gli stessi grafici\ndi Feynman possono venire adoperati per descrivere l’interazione tra elettroni come\npure l’interazione tra positroni; per l’interazione tra elettroni e positroni, occorre\ncambiare il segno della carica (che è -e per gli elettroni ma è+e per i positroni, o\nviceversa a seconda delle convenzioni adottate) e aggiungere ai grafici di Feynman\ngià considerati per gli elettroni anche i grafici che corrispondono a processi di\nannichilazione e creazione virtuale di coppie. Ad esempio, si ha che: per l’effetto\nCompton, il grafico in Fig. 18 descrive anche l’effetto per i positroni, e non vi sono\ncambiamenti rispetto al caso degli elettroni (la carica cambia segno due volte). Per\nl’urto elastico tra positroni, si hanno ancora i grafici in Fig. 19, 20 e 21, e nulla è\nmutato rispetto al caso dell’urto tra elettroni. Gli stessi grafici in Fig. 19, 20 e 21\ndescrivono anche l’urto elastico tra un elettrone e un positrone, solo che ora si ha un\ncambiamento di segno, rispetto al caso degli elettroni, in tutti i grafici in cui si ha un\nnumero dispari di fotoni virtuali scambiati. Inoltre, l’urto elastico tra e + ed e- può\nanche avvenire mediante un processo di annichilazione virtuale, come è illustrato in\nFig. 23. Si noti che i grafici in questa figura si ottengono da quelli in Fig. 19 e 20 con\nuna rotazione di 90°, e cioè facendo scorrere il tempo, nelle Fig. 19 e 20, dall’alto\nverso il basso anziché da sinistra a destra. Questa relazione tra i grafici “d’urto” e\nquelli “d’annichilazione” è un caso particolare di una legge generale, detta\n“simmetria di crossing”, grazie alla quale se un qualunque grafico, rappresentante un\nprocesso fisico, viene ruotato a piacere di multipli di 90 °, allora esso dà ancora un\ngrafico che rappresenta un processo fisico (anche se non necessariamente per gli\nstessi valori degli impulsi esterni).\nFig. 23. Grafici “d’annichilazione” per l’urto elastico e+e-.\nOra che abbiamo visto qualche grafico per più di una linea interna, possiamo fare\nqualche esperimento ideale per chiarire meglio la struttura della teoria. Questi\nesperimenti li facciamo con uno schermo ideale, rappresentato da una linea\ntratteggiata verticale, che ci porta da un grafico a una quantità osservabile associato\nad esso, e cioè una probabilità di transizione con particelle esterne sul mass shell.\nQuesto schermo (=camera a bolle ideale) lo possiamo porre alla fine del grafico,\ncome in Fig. 24a, oppure “a un tempo precedente”, e cioè quando i due elettroni finali\ndebbono venire creati, come in Fig. 24b. Nell’esperimento in Fig. 24°, vedremmo i\ndue elettroni finali: Nell’esperimento in Fig. 24b, facciamo “precipitare” lo stato\nintermedio di due fotoni dal virtuale al reale, e quindi vediamo due fotoni reali.\nQuesta proprietà di grafici con più di una linea interna è affatto generale, e si chiama\n“unitarietà” dell’operatore di scattering: ogni volta che noi, mediante il nostro\nschermo ideale, andiamo a toglierci la curiosità di vedere cosa succede “durante” il\nprocesso d’urto, troviamo sempre stati osservabili con particelle reali; per un dato\ngrafico, questi stati intermedi sono proprio quelli indicati, dal grafico stesso, dai modi\npossibili di tagliare in due il grafico mediante una linea verticale. Inoltre, il grafico è\nottenibile “sommando” su tutti gli stati intermedi (il che, nell’esempio della Fig. 24,\ncorrisponde a fare una integrazione sugli impulsi-energie per le linee interne).\nDa un punto di vista di principi generali, ogni descrizione di un processo d’urto\ndev’essere tale per cui la probabilità di transizione per un dato processo può essere\nottenuta da una “somma su tutti gli stati intermedi” attraverso cui il sistema può\nevolvere tra lo stato iniziale e lo stato finale. Questa proprietà, di “unitarietà” e di\n“completezza” dell’operatore di scattering, è realizzata nel modo semplice appena\ndescritto dai grafici di Feynman.16\nFig. 24a. Un grafico “di annichilazione” per l’urto e +e-; b: la sua decomposizione di\nSi noti anche che i due “pezzi” del grafico in Fig. 24b sono proprio uguali al grafico\nelementare per l’effetto Compton (Fig. 18), solo che ora il tempo va dall’alto verso il\nbasso, anziché da sinistra verso destra (o meglio: il primo pezzo in Fig. 24b coincide\ncon la Fig. 18 ruotata di 90° in senso orario, mentre il secondo pezzo è ancora la Fig.\n18, ma ruotata in senso antiorario). Abbiamo quindi scoperto un modo di costruire\ngrafici più complicati a partire dai grafici più semplici: basta “attaccare” tra loro i\ngrafici semplici per ottenere grafici più complessi.\nCome applicazione di questa semplice regola di composizione, consideriamo di\nnuovo il “prodotto” di due grafici per l’effetto Compton ruotati di 90°, solo che\nquesta volta, invece di moltiplicare come in Fig. 24b, moltiplichiamo come in Fig.\n25a. Il grafico risultante (Fig. 25b) descrive ora l’interazione tra due fotoni (virtuali o\nreali) mediante la creazione di una coppia virtuale e +e-. Chiaramente, se non vi\nfossero i positroni questo processo d’interazione tra luce e luce non potrebbe\nInutile dire che i brevissimi cenni dati sopra non sono sufficienti neppure per capire di che si tratta; ma purtroppo il\ntempo stringe …\naccadere. Quindi, nel vuoto la luce interagisce con se stessa solo grazie a effetti che\nsono tipicamente quanto-relativistici. Poiché nello stato intermedio in Fig. 25b vi\nsono particelle cariche, mentre negli stati iniziale e finale non ve ne sono, la\ndistribuzione di carica nello stato intermedio sarà, in generale, diversa da quella che\nci si attenderebbe se non si potessero produrre coppie e +e- . Questa situazione è in\ntutto analoga a quella in cui, in un dielettrico, la distribuzione di carica cambia sotto\nl’effetto di un campo e.m., solo che ora “il dielettrico” è il vuoto in cui i fotoni si\npropagano. Nel caso di un volgare dielettrico, i cambiamenti della distribuzione di\ncarica dovuti alla presenza di un campo e.m. vengono chiamati “effetti di\npolarizzazione” del dielettrico. Data la forte analogia con la situazione descritta dalla\nFig. 25b, anche in elettrodinamica quantistica si parla di “polarizzazione” ogni volta\nche si ha creazione, negli stati intermedi, di una o più coppie e +e- che poi si\nriannichilano prima che si arrivi allo stato finale; poiché tutto questo avviene nel\nvuoto, si parla di “polarizzazione del vuoto”.\nFig. 25. a: produzione di una coppia a partire da due fotoni, e successiva\nannichilazione della coppia in due fotoni. b: il grafico di Feynman più semplice per\nSempre a partire dal grafico di Compton “ruotato”, vediamo cosa succede se ad esso\nattacchiamo un’altra linea esterna carica, ad es. una linea di protone come in Fig. 26.\nIn questo processo, un fotone e un protone iniziali interagiscono e danno luogo, nello\nstato finale, a un protone più una coppia e+e-. Questa annichilazione del fotone in una\ncoppia può avvenire sia per particelle reali che per particelle virtuali; si tratta,\nsostanzialmente, del processo descritto in Fig. 10, che qui avviene mediante uno stato\nintermedio che contiene un protone e un elettrone reali e un fotone e un positrone\nvirtuali. Come nel caso dell’effetto Compton, anche l’annichilazione di un fotone\nreale in una coppia reale in Fig. 26 non potrebbe avvenire se tutte le particelle\nintermedie fossero sul mass shell. Un altro possibile meccanismo per\nl’annichilazione, questa volta mediante un effetto Compton virtuale sul protone, è\ndescritto in Fig. 27.\nFig. 26. Produzione di coppia dall’urto fotone-protone, mediante effetto Compton\nvirtuale sull’elettrone. La linea pesante rappresenta, ovviamente, un protone.\nFig. 27. Produzione di coppia dall’urto fotone-protone, mediante effetto Compton\nvirtuale sul protone; il protone intermedio è virtuale, come virtuale è il secondo\nQuivi giunti, penso che abbiamo fatto abbastanza ginnastica con grafici elementari,\nalmeno tanta da poter volgere la nostra attenzione a problemi più complessi e\ninteressanti dei semplici processi d’urto considerati finora. Nel tempo rimastomi,\ncercherò di accompagnarvi fino ai confini attuali della comprensione teorica di due\nquestioni fondamentali, tra loro molto diverse ma ugualmente interessanti. La prima è\nannosissima, anzi vecchia stantìa già da duemila anni, e può venire riassunta nella\ndomanda “cos’è un atomo?”. La seconda è di data più recente (vecchia solo un\nsecoletto circa) e riguarda “com’è fatto un elettrone”. Cominciamo dalla prima\nquestione, e cioè da\nIL PROBLEMA DEGLI STATI LEGATI\nIl lettore astuto non avrà mancato di capire che l’approccio di Feynman\nall’elettrodinamica quantistica non è altro se non uno sviluppo perturbativo,\ndell’operatore che descrive l’urto, in una serie di potenze nella costante di struttura\nfine, α. La piccolezza di α rende, in pratica, molto piccolo il numero dei termini\nimportanti in questa serie, ed è la chiave del successo di tutto il metodo.\nPer quanto sia efficace nel descrivere i processi d’urto, l’approccio perturbativo è\nperò quasi completamente inutile quando si ha a che fare con problemi di stati legati.\nIl motivo di un così misero fallimento è molto semplice: per quanto piccola sia la\nprobabilità di interazione, le particelle legate hanno a disposizione un’eternità,\ndurante la quale si trovano sempre sufficientemente vicine da poter interagire, a meno\nche non intervenga qualche indiscreto agente esterno a interrompere il loro legame.\nQuindi, le particelle legate riescono a interagire tra loro un’infinità di volte, e a poco\nserve “contare” il numero di vertici elementari d’interazione, come si fa in teoria\nIl problema degli stati legati ci costringe quindi a cercare un metodo di\napprossimazione che vada oltre la teoria delle perturbazioni, e questa non è cosa\nfacile da formulare.\nSe ci si accontenta di poco (e cioè di una descrizione intuitiva e grossolana), il\nproblema degli stati legati (e cioè, in pratica, dell’atomo) in elettrodinamica\nquantistica non è poi immensamente difficile: basta infatti tener presente che, nel\nlimite “statico” nonrelativistico, l’interazione elettromagnetica tra particelle cariche si\nriduce all’interazione coulombiana (vedi i nostri commenti al grafico in Fig. 19).\nMediante approssimazioni nonrelativistiche, si riesce quindi a ridurre il problema a\nquello solito della equazione di Schrödinger con potenziale coulombiano, e questo\nporta alla ben nota formula di Balmer per lo spettro dell’atomo di idrogeno.\nTuttavia, non si può restare soddisfatti di questa formulazione, in quanto essa è di\ngran lunga più rozza dei dati sperimentali più accurati, che mettono in luce l’esistenza\ndi strutture “fini” non previste dall’equazione di Schrödinger. Inoltre,\nl’approssimazione coulombiana non getta molta luce sul problema (teorico forse, ma\ncertamente importante) di come trattare gli stati legati in teoria quantorelativistica dei\ncampi; infine, come vedremo in seguito, l’approssimazione coulombiana è\ninaccettabile per motivi di principio, in quanto essa viola una delle proprietà\nfondamentali della interazione elettromagnetica.\nVediamo quindi come il problema degli stati legati possa formularsi in modo\nsoddisfacente nell’ambito dell’elettrodinamica quantistica.\nInnanzi tutto, si fa l’approssimazione di trattare il protone come se fosse una\nparticella priva di una sua particolare struttura interna, e cioè facciamo finta che il\nprotone sia una specie di positrone pesante. In realtà, sappiamo che il protone ha assai\npiù struttura del positrone, in quanto esso subisce direttamente l’effetto delle\n“interazioni forti”, che invece lasciano il positrone quasi del tutto indifferente.\nFortunatamente, però, queste interazioni forti hanno un raggio d’azione molto piccolo\n(circa 10-13 cm), per cui esse si fanno sentire poco sull’elettrone orbitante e quindi\ninfluenzano poco le proprietà dell’atomo. La situazione è quindi grosso modo la\nseguente: il protone è in realtà una struttura assai complessa, con una distribuzione di\ncarica tutt’altro che banale; tuttavia, esso occupa un volume molto piccolo, all’incirca\nuna sferetta di raggio 10-13 cm, per cui l’elettrone orbitante, che si trova a una distanza\nmedia di circa 10-8 cm dal centro della sfera, la “vede” come un puntino senza\nstruttura (come vedreste voi una sferetta di raggio 1 m che orbiti a 100 km da\nParma?). Questa giustificazione intuitiva dell’approssimazione fatta per il protone\npuò sembrare insufficiente; fortunatamente, abbiamo un modo di verificarne la\nvalidità: infatti, la teoria che vogliamo sviluppare si applica indifferentemente a\nprotoni come a positroni; orbene, elettrone e positrone si legano a formare un atomo,\ndetto positronio, che ha una vita media sufficientemente lunga da poterne studiare lo\nspettro e perfino anche la struttura fine17. Dalle eventuali discrepanze tra teoria ed\nesperimenti nel caso del positronio rispetto al caso dell’idrogeno, abbiamo un modo\ndi misurare proprio gli effetti dovuti alla non banale struttura del protone rispetto al\nAnche per capire come venga formulato il problema degli stati legati in teoria dei\ncampi, vale quindi la pena di studiare il problema teorico di come due particelle\ncariche, puntiformi e di masse non necessariamente uguali tra loro, si possano\ncombinare a formare uno stato legato (atomo o particella composta).\nIn primo luogo, cominciamo a chiederci in cosa si distingua una particella composta\nda una particella elementare. Per quanto la risposta possa sembrare ovvia, è difficile\nformularla in modo che abbia veramente senso. Infatti, dal punto di vista delle\nproprietà osservabili dall’esterno non vi sono grandi differenze tra oggetti “composti”\ne oggetti “elementari”, dal momento che entrambi soddisfano alle proprietà discusse\na pag. 9 (v. A-C); a prima vista, anzi, un atomo di idrogeno non è meno elementare\nDal momento che l’elettrone e il positrone possono annichilirsi mutuamente in radiazione, il positronio finisce per\ndecadere, in media dopo 10-7-10-10 secondi.\ndell’elettrone e del protone che “lo compongono”. A conferma di questa elementarità\ndell’atomo sta anche il fatto che, come ci aveva dimostrato Herr Skeptik, non è in\nalcun senso semplice che l’atomo di H è composto da un protone e da un elettrone,\ndal momento che l’elettrone “dentro” non è reale, ma virtuale.\nTuttavia, proprio a partire dalla nozione intuitiva che “in qualche senso” l’atomo è\ncomposto da elettroni e protoni, e dall’osservazione che gli elettroni “dentro” sono\nvirtuali, possiamo formulare un criterio per chiarire in che senso l’atomo di idrogeno\nè composto da un elettrone e da un protone: basta dire che esso è composto da un\nprotone e da un elettrone virtuale. Questo significa che se considero l’urto tra un\nelettrone virtuale e un protone, dev’esserci una probabilità finita che essi si\ncombinino a formare un atomo di idrogeno. Se quindi andiamo a porre il nostro\n“schermo ideale” nel “mezzo” del processo d’urto, dobbiamo vedere la singolarità\ncaratteristica dell’atomo d’idrogeno sul suo mass shell. In termini di disegni, la\nsituazione viene descritta come in Fig. 29.\nFig. 29. L’ampiezza d’urto elettrone virtuale-protone (a), “analizzata” nei suoi stati\nintermedi (b), e il contributo dovuto allo stato intermedio costituito dall’atomo di\nForse mi obietterete che a voi ripugna sentir parlare di “urti” e “probabilità” quando\nsi ha a che fare con particelle esterne virtuali; e, in verità, non potrei darvi\ncompletamente torto. Ma vi è una altro modo di cedere le cose, e cioè di lasciare che\nle particelle esterne diventino reali, mentre lo stato intermedio d’idrogeno è fuori dal\nmass shell (è cioè virtuale, come l’elettrone intermedio nel caso dell’effetto\nCompton). Ma allora mi obiettereste che non è facile separare il contributo dovuto\nall’atomo di H virtuale dal “resto” dei contributi alla ampiezza d’urto elettrone-\nprotone. La separazione è in realtà matematicamente possibile, ad es. continuando\nanaliticamente l’ampiezza per valori immaginari dell’impulso dell’elettrone (v. la\ndiscussione a pag. 4). Ma allora, direte, l’elettrone ridiventa virtuale, e siamo daccapo\n… Calma: il punto è semplicemente che è solo in senso matematico che l’atomo di\nidrogeno è composto di un elettrone e di un protone: dal momento che l’elettrone\n“dentro” è virtuale, in qualche modo questa sua virtualità deve entrarci per forza, a\nmeno di non rinunziare del tutto a descrivere l’atomo come “composto” di un\nelettrone e di un protone.\nBene, in un modo o nell’altro ora sappiamo cosa dobbiamo calcolarci, e cioè i\ncontributi all’ampiezza d’urto elettrone-protone che hanno le singolarità (poli)\ncaratteristiche dello stato intermedio “legato” di idrogeno. Sappiamo inoltre che\nquesti contributi saranno assenti se ci limitiamo a considerare un qualunque numero\nfinito di grafici di Feynman, dal momento che gli stati legati in teoria delle\nperturbazioni non ci sono, fatto questo che potremmo anche verificare esplicitamente\nmediante un’analisi delle proprietà di analiticità dei grafici di Feynman.\nCi si presenta ora il problema di formulare un’approssimazione sensata che ci\npermetta di calcolare questi contributi singolari. A questo scopo, vediamo di\nraccogliere un po’ le idee. Dai successi dell’equazione di Schrödinger, scopriamo\nche l’attrazione coulombiana è, in prima approssimazione, la maggior responsabile\ndella formazione dell’atomo; sappiamo inoltre che l’interazione elementare mediante\nil potenziale di Coulomb è contenuta nel grafico in Fig. 30 (v. pag. 19) e che, di\nqueste interazioni, ne avvengono infinite nello stato legato. L’oggetto che, quindi, si\npresenta come un candidato naturale per la descrizione dello stato legato è\nun’ampiezza d’urto elettrone-protone in cui le due particelle si scambiano tra loro un\nnumero infinito di volte il fotone virtuale della Fig. 30.\nChiaramente, abbiamo a che fare con un oggetto assai complicato, per cui diventa\nimportante trovare un’equazione semplice che lo caratterizzi. Per arrivare a\nquest’equazione semplice, consideriamo prima un oggetto ancora più complicato, e\ncioè l’ampiezza “a scala a pioli”, che è data dalla somma di tutti i grafici di Feynman\ndel tipo, appunto, a scala a pioli, come in Fig. 31. L’oggetto che a noi interessa è, in\nqualche senso, il limite di un grafico a scala, con un numero di pioli che tende\nFig. 30. L’interazione “elementare” tra elettrone e protone.\nFig. 31. L’ampiezza “a scala a pioli” per l’urto elettrone-protone.\nPer l’ampiezza a scala, possiamo scrivere un’equazione semplice che la caratterizza\nin modo completo e univoco. Questa equazione è quella scritta in Fig. 32.\nFig. 32. L’equazione per l’ampiezza a scala.\nInfatti, la soluzione di quest’equazione è proprio data dalla Fig. 31.\nPer descrivere lo stato legato, a noi interessa solo quella parte dell’ampiezza a scala\nche corrisponde a un numero infinito di pioli, per cui dobbiamo omettere dalla Fig.\n32 il “termine inomogeneo” (e cioè il grafico in Fig. 30) che dà luogo ai termini,\nnell’espansione in Fig. 31, con un numero finito di pioli. Per l’ampiezza contenente le\nsingolarità di stato legato, abbiamo dunque l’equazione in Fig. 33.\nFig. 33. L’equazione per l’ampiezza a scala con un numero infinito di pioli.\nIn quest’ampiezza, dobbiamo cercare quei contributi “fattorizzabili” come in Fig.\n29c. Questi termini sono costituiti dal prodotto di una “funzione d’onda” relativa alla\nformazione dello stato legato, per un propagatore di stato legato, per una funzione\nd’onda per la dissociazione dello stato legato nei suoi costituenti. Per la funzione\nd’onda dello stato legato, abbiamo l’equazione in Fig. 34, che segue dall’equaz. In\nFig. 34. L’equazione per la funzione d’onda dello stato legato.\nOra che abbiamo l’equazione tanto desiderata, non ci rimane che risolverla.\nPurtroppo, questo non è un compito facile, dal momento che l’equazione è, in realtà,\nun’equazione integrale con un nucleo singolare. Se ne conoscono però soluzioni\napprossimate, dalle quali è possibile ricavare la beneamata formula di Balmer, con\ntanto di correzioni relativistiche.\nAlcuni temerari si sono anzi spinti più avanti, e hanno cercato di calcolare altre\ncorrezioni, dovute a grafici più complessi. Tuttavia, i successi riportati per questa via\nlasciano freddi gli scettici, e con molti buoni motivi. Infatti, l’approssimazione “ a\nscala” viola una delle proprietà fondamentali di tutta l’elettrodinamica, e cioè\nl’invarianza di gauge. Quest’invarianza è ben nota fin dall’elettromagnetismo\nclassico: essa nasce dal fatto che il potenziale vettore e scalare del campo e.m. non è\ndirettamente osservabile, mentre quella che è osservabile è un’opportuna\ncombinazione delle sue derivate (il “rotore” del potenziale vettore). Quindi, il campo\ne.m. può essere assoggettato a trasformazioni, che, se scelte opportunamente, non\ncambiano le grandezze osservabili; queste trasformazioni sono dette “di gauge” e\nl’invarianza di gauge esprime, appunto, il fatto che le predizioni della teoria debbono\nrestare immutate qualora si cambi la scelta del gauge per il campo e.m..\nOccorre quindi, almeno in parte, cambiare strada. Un’altra alternativa abbordabile è\nquella di trattare con un’ampiezza più complicata che non quella a scala, e cioè con\nquell’ampiezza che rappresenta la più economica generalizzazione della scala e che\nsia gauge-invariante. Questìampiezza “a scala generalizzata” contiene non solo i\ngrafici in Fig. 31, ma anche tutti quelli ottenuti da questi facendo “incrociare” tra loro\nin tutti i modi possibili i fotoni virtuali (esempi di grafici di questo genere\n“incrociato” sono già stati considerati in Fig. 21), come in Fig. 35.\nPurtroppo, per quest’ampiezza a scale generalizzata non è possibile scrivere\nun’equazione semplice (si fa per dire) come quella in Fig. 32, per cui bisogna\nricorrere ad altri metodi per calcolarla, sia pure mediante un’approssimazione più o\nmeno grossolana. Una via che è stata tentata con fortuna è quella detta della\n“approssimazione iconale” quantorelativistica, diretta discendente di quell’ottica\ncorpuscolare che era cara a Newton. In questo modo, si è riusciti a riottenere la solita\nformula di Balmer, con correzioni relativistiche, e vi è qualche speranza di poter\nprocedere al calcolo di strutture fini senza dover usare violenza all’invarianza di\nFig. 35. L’ampiezza “a scala generalizzata”.\nRiassumendo: al livello intuitivo, abbiamo più o meno capito quale sia il meccanismo\nche tiene legati l’elettrone e il protone a formare l’atomo d’idrogeno. Questo\nmeccanismo contempla lo scambio di infiniti fotoni virtuali tra le due particelle (cf. la\nnota a piè di pag. 2: “l’elettrone irradia moltissimo, ma i fotoni (virtuali) se li becca\ntutti il protone”). Sappiamo anche come, mediante successive approssimazioni\nnonrelativistiche, questa descrizione sia riconducibile a quella di Schrödinger.\nTuttavia, a un livello più prossimo a quello dei principi generali della teoria, siamo\nancora lontani da una buona descrizione dell’atomo, e cioè una descrizione basata su\nmetodi di approssimazione che non violino i principi generali (di invarianza,\nrelativistica e di gauge, e di causalità e località) su cui si basa la teoria e, al tempo\nstesso, sia in accordo con i dati sperimentali più accurati. Finora quest’accordo è stato\nottenuto solo a prezzo di manipolazioni che, per un motivo o per l’altro, sono\nteoricamente inaccettabili dal punto di vista dei principi generali e, dal punto di vista\nfenomenologico, sono giustificabili solo “col senno di poi”.\nPer il problema degli stati legati, siamo così giunti più o meno alla fine della zona\nteoricamente esplorata; non resta che sperare che i teorici si sforzino di superare\nquesti confini ristretti che, purtroppo, non possono lasciarci soddisfatti18.\nPassiamo ora al secondo “problema fondamentale”, ovvero quello del-\nÈ un po’ spiacevole chiudere l’argomento su una nota che suona così malinconica; purtroppo, ci sarebbe anche da\naggiungere che il problema degli stati legati è uno di quegli “ossi duri” che poco attraggono il fisico teorico alla ricerca\ndel successo facile. D’altra parte, il problema si ripropone, e con difficoltà assai maggiori, anche per le interazioni forti.\nIl non averlo risolto in modo soddisfacente neppure nel caso “semplice” dell’elettrodinamica lascia poche speranze,\nper il momento, di arrivare in modo convincente a una teoria fondamentale della materia nucleare e delle particelle\n“adroniche”, quali il protone e il neutrone.\nLA STRUTTURA DELL’ELETTRONE\nIl problema della struttura dell’elettrone aveva turbato i sonni già degli\nelettrodinamici classici, e in particolare quelli di Lorentz e di Weyl. Il problema, al\nlivello classico, ha due risvolti: da un lato, ci si chiede come stia insieme l’elettrone,\nimmaginato come una sferetta rigida su cui è distribuita uniformemente la carica\nelettrica; dall’altro, ci si chiede come si possa tener conto della reazione dell’elettrone\nal campo elettromagnetico che esso stesso, essendo carico, genera.\nPer la prima domanda, è chiaro che si ha a che fare con un problema di molto\ndifficile: infatti, una sferetta carica classica non sta insieme per via delle repulsioni\nelettrostatiche tra le parti cariche. Per impedire all’elettrone di esplodere, si rende\nquindi necessario di introdurre forze nuove; partendo dalla richiesta che queste forze\nequilibrassero esattamente la repulsione elettrostatica, Lorentz e poi Weyl cercarono\ndi determinare le equazioni caratteristiche di queste forze, e da queste richieste\nottennero un modello classico dell’elettrone. Il modello che ne risultò era una roba\ncomplicatissima, di cui non è stata ancora dimostrata la stabilità in presenza di un\ncampo elettromagnetico. A tutt’oggi, il problema di trovare un modello classico e\ndinamicamente stabile dell’elettrone è completamente aperto.\nDall’altro lato, il problema dell’elettrone classico non si presenta meno difficile:\nsupponiamo, per semplicità, di partire con una carica puntiforme, che non esplode per\nnostro fiat, nel vuoto. Orbene, appena “accendiamo” la carica essa genera un campo\nelettrostatico, per cui essa non si trova più nel vuoto, ma nel campo da se stessa\ngenerato. Se poi siamo partiti non più dal vuoto, ma da un campo e.m. variabile,\nabbiamo un problema dinamico complicatissimo: infatti, la carica si metterà in moto\nvariabile, e genererà quindi un campo variabile, per cui essa non si troverà non più\nnel campo dato inizialmente, ma in un campo variabile che è la somma di quello\niniziale e di quello indotto dalla carica in moto; questo porterà a una nuova velocità\nvariabile per la carica, col che si genererà un nuovo campo e.m. da aggiungere agli\naltri due, e questo porterà a una nuova legge del moto per la carica, e così via, ad\ninfinitum. Ad infinitum in che senso? Nelle equazioni di Maxwell, la risposta della\ncarica al campo e. m. è immediata, non vi sono tempi di rilassamento, per cui tutto il\nprocesso di azione-reazione-azione-… avviene istantaneamente, e non sappiamo\nneppure da che parte cominciare a descriverlo, perché appena diciamo “carica” si\nscatena tutto il putiferio suddetto e non ci si capisce più un accidenti.\nComunque vadano le cose, un fatto risultò subito chiaro agli elettrodinamici classici,\ne cioè che l’elettrone fisico classico non si sarebbe manifestato semplicemente come\nun pallino carico, ma almeno come un pallino “rivestito” dalla sua reazione al campo\nda se stesso generato. In particolare, la massa fisica dell’elettrone non sarebbe stata\nsemplicemente uguale a quella del pallino “nudo”, ma a questa massa sommata alla\nmassa dovuta alla “autointerazione” col campo generato dal pallino; in linguaggio\nmoderno, questo cambiamento della massa si chiama “rinormalizzazione” della\nmassa. Il problema classico della rinormalizzazione è stato affrontato (da Lorentz e\npoi da altri), ma non risolto in modo soddisfacente; in particolare, per un elettrone\npuntiforme classico si ottiene una rinormalizzazione infinita della massa; questo\nportò gli elettrodinamici classici a pensare che il problema della rinormalizzazione\nnon potesse essere risolto senza prima cercare di formulare una teoria in cui\nl’elettrone avesse un’estensione finita, cosicché i due aspetti della teoria classica\ndell’elettrone venivano ad essere collegati tra loro in modo inestricabile.\nVediamo ora come si presenta il problema dell’elettrone in elettrodinamica\nquantistica. Anche qui, abbiamo aspetti analoghi al primo problema classico (com’è\ndistribuita la carica nell’elettrone?) e al secondo (qual è l’effetto delle\nautointerazioni?). Per arrivare a parlare della comprensione attuale di questi\nproblemi, è necessario premettere una breve discussione della “rinormalizzazione”\nnell’ambito della teoria perturbativa di Feynman, e questo richiede un altro po’ di\nginnastica, questa volta con grafici semplici che descrivono meccanismi di\nSappiamo già che i fotoni virtuali ne fanno di tutti i colori, e anzi, che la luce virtuale\nè di colori inimmaginabili, dal momento che essa ha frequenze e impulsi che non\nsoddisfano alla condizione di mass shell per fotoni reali. Non ci meraviglia quindi\nl’idea che la luce virtuale non si propaghi necessariamente con la velocità della luce\n(reale), né che essa possa avere una “massa” che può perfino essere immaginaria (per\ninciso, questo accade per il fotone virtuale scambiato nell’urto elastico tra elettroni).\nTuttavia, ora la luce virtuale ci farà vedere un trucco che, forse, non ci saremmo\naspettati neppure da lei. Il trucco è quello di partire da un elettrone, allontanarsene e\npoi ricaderci su, com’è illustrato dal grafico di Feynman in Fig. 36.\nFig. 36. Grafico di autointerazione per l’elettrone.\nSe il fotone fosse reale, esso, una volta lasciato l’elettrone, se ne allontanerebbe alla\nvelocità della luce, e l’elettrone non avrebbe più modo di riacchiapparlo. Invece,\nnulla impedisce che il processo virtuale in Fig. 36 avvenga, e il grafico corrisponde,\nal solito, a un’espressione calcolabile. Di per sé, il processo in Fig. 36 non\ncorrisponde a un effetto osservabile, in quanto nulla cambia dallo stato iniziale a\nquello finale (del resto, cosa può accadere a un elettrone reale che se ne sta da solo?).\nTuttavia, questo processo virtuale è interessante in quanto esso può comparire come\nparte di un grafico più complesso, ad es. come in Fig. 37, e in tal caso esso avrebbe\neffetti osservabili anche per il processo reale (e cioè con linee esterne reali) descritto\nFig. 37. Grafico per l’effetto Compton, con un processo di autointerazione per\nl’elettrone virtuale intermedio.\nSi noti, per inciso, che il grafico di Fig. 36 è collegato in modo semplice al grafico\nelementare per l’effetto Compton virtuale; infatti, il grafico in Fig. 36 si ottiene\n“cucendo assieme” i due fotoni virtuali dell’effetto Compton. Il procedimento\ninverso, in cui si spezza il fotone virtuale in Fig. 36 per ottenere il grafico elementare\ndell’effetto Compton, è illustrato in Fig. 38.\nFig. 38. La connessione tra l’autointerazione in Fig. 36 e l’effetto Compton.\nOra che abbiamo scoperto una “correzione” al propagatore di elettrone, è facile\ninventarne infinite altre. Ad es., basta iterare la correzione in Fig. 36, come in Fig. 39.\nSe teniamo conto di tutte queste iterazioni, il propagatore corretto sarà dato, in questa\napprossimazione, dalla serie in Fig. 40. Questa è una serie geometrica, la cui somma\nè stata calcolata in Fig. 41.\nFig. 39. Correzioni al propagatore ottenute dall’iterazione della correzione in Fig. 36.\nFig. 40. Serie di correzioni al propagatore.\nFig. 41 Somma delle serie nella figura precedente.\nL’espressione che compare in Fig. 41 si chiama la “self-energia”\ndell’elettrone nell’approssimazione considerata, ed è definita in modo ovvio, come\nmostrato in Fig. 42.\nFig. 42. La self-energia dell’elettrone, all’ordine α.\nA questo punto, vale la pena di dare un’occhiata all’espressione analitica\ncorrispondente all’ultima espressione di Fig. 41: Indichiamo momentaneamente con\nm0 la massa che compare nel propagatore elementare dell’elettrone, cosicché abbiamo\nSe, come avviene in realtà, Σ(E, p) non si annulla per E2-p2=m02, ora il propagatore\ncorretto della Fig. 40 non avrà più la singolarità per E 2-p2=m02,singolarità che è\ninvece presente nel propagatore non corretto. Ma, come sappiamo, la singolarità del\npropagatore corrisponde alla massa della particella associata al campo. Quindi, per\neffetto delle correzioni in Fig. 40 la massa dell’elettrone viene cambiata da m 0 a un\nnuovo valore, che indichiamo con m1 e che è determinato dal punto in cui si annulla il\ndenominatore nell’ultima espressione nella formula (1).\nQuesta “rinormalizzazione” della massa è dunque un effetto delle autointerazioni\ndell’elettrone, e cioè del fatto che l’elettrone interagisce con se stesso mediante il\ncampo e.m. che esso stesso genera. Dobbiamo ora chiederci se , nell’approssimazione\ndescritta dalla Fig. 40, la massa fisica m (quella uguale a 0,51 MeV/c 2, tanto per\nintenderci) vada identificata con m0, che è la massa “nuda”, oppure con m1, che è la\nmassa “vestita” dall’autointerazione considerata in Fig. 40. Chiaramente, la massa\nfisica dell’elettrone va identificata con la massa vestita m 1, non con la massa nuda m0,\nin quanto noi l’elettrone lo vediamo sempre rivestito dalle sue autointerazioni, e la\nmassa nuda non è direttamente misurabile.\nLa discussione della rinormalizzazione della massa si generalizza, senza difficoltà di\nprincipio, dall’ordine α considerato testé a un qualunque ordine finito α n. ad es.,\nall’ordine α2 abbiamo le correzioni al propagatore descritte in Fig. 43; iterando queste\ncorrezioni, come avevamo fatto in Fig. 40, assieme a quelle già considerate in Fig.\n40, si ottiene ancora per il propagatore una serie geometrica, che si può sommare\ncome in Fig. 41, solo che ora la self-energia è data dalla Fig. 44 anziché\ndall’espressione in Fig. 42. Di nuovo, avremo una correzione alla massa\ndell’elettrone, che ora sarà data da m1 + (qualcosa di ordine α2)= m2, ed ora,\nnell’approssimazione definita dall’iterazione dei grafici in Fig. 36 e 43, la massa\nfisica dell’elettrone va identificata con m2.\nA questo punto, il lettore sarà forse un po’ confuso, in quanto sembra che noi si\ncambi la massa dell’elettrone ad ogni piè sospinto, mentre sappiamo che la massa\ndella particella è una costante caratteristica della particella stessa. Ma in realtà, noi\nnon stiamo cambiando affatto la massa fisica dell’elettrone, ma solo la massa “nuda”.\nLa situazione è come segue: la teoria è definita, nell’approccio di Feynman, dallo\nsviluppo perturbativo in serie di potenze di α; cioè, siamo liberi di fissare\narbitrariamente l’ordine in cui desideriamo lavorare, e questo specificherà il grado di\naccuratezza in cui stiamo lavorando. Una volta fissato l’ordine in cui lavoriamo,\npossiamo paragonare la teoria così definita coi dati sperimentali. In particolare,\npossiamo paragonare i parametri che definiscono la teoria all’ordine dato con i\nparametri che definiscono con i parametri che caratterizzano l’elettrone fisico.\nOrbene, la teoria all’ordine dato contiene un parametro m0, che chiamiamo la massa\n”nuda”, che interviene nelle espressioni per i grafici di Feynman come un parametro\nlibero; quello che dobbiamo fare è di calcolarci, in funzione di m 0, la singolarità del\npropagatore di elettrone all’ordine assegnato, e che sarà determinata da m 0 sommata\nalle correzioni a m0 dovute ai contributi di self-energia fino all’ordine dato. Questa\nmassa rinormalizzata va identificata con la massa fisica dell’elettrone, mentre la\nmassa nuda non corrisponde a una quantità direttamente misurabile.\nFig. 43. Due correzioni di ordine al propagatore di elettrone.\nFig. 44. La self-energia all’ordine , nell’approssimazione definita dall’iterazione\ndelle correzioni in Fig. 36 e 43.\nSi potrebbe obiettare che non è bello formulare la teoria in modo che in essa\ncompaiano parametri non misurabili; in effetti, però, è possibile riformulare il tutto in\nmodo che la massa nuda non compare mai, per cui tutto è descritto esclusivamente in\ntermini della massa rinormalizzata. Tuttavia, è più comodo e più semplice adoperare\nil linguaggio antiquato a base di “massa nuda” e “massa vestita”, in quanto esso è il\npiù aderente allo sviluppo storico della teoria e dà un’idea dell’origine fisica della\nrinormalizzazione della massa per effetto delle self-interazioni.\nDal momento che la massa dell’elettrone interviene nella teoria come un parametro\nlibero, che viene determinato dall’esterno come una condizione iniziale dettata dal\ndato sperimentale, la teoria perturbativa non ci permette in alcun modo di predire\nteoricamente quale debba essere la massa fisica dell’elettrone. Tuttavia, la teoria dà\nuna relazione tra la massa fisica e la massa nuda, e cioè quella massa che l’elettrone\navrebbe se fosse spogliato delle sue autointerazioni. Un fatto piuttosto interessante è\nche, in teoria delle perturbazioni, la massa nuda è infinitamente piccola. Questo fatto\nviene spesso descritto dicendo che vi è una rinormalizzazione infinita della massa. A\ncertuni, questa rinormalizzazione infinita ha dato molto fastidio, mentre non vi è\nmotivo di spaventarsi (non siamo più nel caso classico, dove pure la\nrinormalizzazione della massa è infinita per un elettrone puntiforme, e dove sembra\nopportuno cercare una teoria finita con un elettrone esteso; qui la teoria è definita dal\nsuo sviluppo perturbativo, e alla prova dei fatti va benissimo).\nPiuttosto, vale la pena di osservare che la presenza, in teoria delle perturbazioni, di\nuna rinormalizzazione infinita della massa – e cioè l’annullarsi della massa nuda –\nsuggerisce che, forse, l’elettrone avrebbe davvero una massa nulla se non potesse\ninteragire con se stesso. In altre parole, la massa fisica dell’elettrone sarebbe di natura\ncompletamente dinamica, e al “pallino nudo” non andrebbe attribuita una massa\nmeccanica diversa da zero. Già gli elettrodinamici classici sognavano di una teoria in\ncui la massa dell’elettrone fosse di origine puramente dinamica, e il “raggio classico”\ndell’elettrone è ottenuto proprio dall’ipotesi che la massa dell’elettrone sia uguale\nall’energia potenziale elettrostatica del pallino carico.\nTuttavia, per rispondere alla domanda di quale possa essere l’origine della massa\ndell’elettrone non basta accontentarsi delle indicazioni date dall’approccio\nperturbativo; una risposta esauriente la si potrà forse ottenere solo da una teoria più\nraffinata, sulla quale, per ora, possiamo solo “sognare”.\nAbbiamo appena esaminato uno degli effetti delle autointerazioni; ora, ci chiediamo\nquali siano le conseguenze di questa autointerazioni sulla distribuzione della carica\n“dentro” l’elettrone. Quello della distribuzione di carica nell’elettrone è un problema\nche ha due aspetti, il primo dei quali è collegato alla possibilità di autointerazioni\nvirtuali dell’elettrone e ha un semplice analogo nonrelativistico, mentre il secondo\naspetto è connesso alla “polarizzazione del vuoto” ed è quindi collegato al fenomeno,\ntipicamente quantorelativistico, della creazione di coppie e+e-.\nPer misurare la distribuzione di carica nell’elettrone, facciamo un esperimento ideale\nin cui facciamo urtare l’elettrone contro un campo elettromagnetico esterno; ormai, i\nprocessi virtuali non ci fanno più paura, per cui discuteremo simultaneamente il caso\nin cui l’elettrone e il campo esterno sono reali e quello in cui essi sono virtuali. In\nentrambi i casi, la distribuzione della carica è determinata dal modo in cui l’elettrone\nrisponde alle provocazioni del campo e.m., e cioè dalle proprietà del “vertice” o\n“fattore di forma” descritto in Fig. 45.\nFig. 45. Il vertice d’interazione elettromagnetica.\nPer misurare la distribuzione della carica in volumetti sempre più piccoli, basta che\nnoi consideriamo il vertice per impulsi trasferiti sempre più grandi dall’elettrone\niniziale a quello finale. Tutto questo può venire formulato in modo matematicamente\ne fisicamente convincente, ma a noi non occorre nulla di più di una discussione\nqualitativa e intuitiva, per cui ci accontenteremo di “guardare dentro” alla “bolla”\ntratteggiata in Fig. 45. Questa bolla rappresenta la somma di tutti i processi (virtuali)\nd’interazione che coinvolgono le particelle entranti e uscenti dal vertice. Nello\nsviluppo perturbativo, e nell’approssimazione in cui si omettono le “polarizzazioni di\nvuoto” (di cui ci occuperemo in seguito) il vertice ha la rappresentazione data in Fig.\nFig. 46. Il vertice nello sviluppo perturbativo, in assenza di polarizzazioni di vuoto.\nQuesta serie di effetti virtuali “riveste” la distribuzione della carica dell’elettrone:\nall’ordine più basso, si ha la distribuzione “puntiforme” che è data dal vertice\nelementare e che, come sappiamo, corrisponde a una costante nello spazio degli\nimpulsi. Il grafico successivo descrive la correzione dovuta a un’interazione virtuale\ntra l’elettrone entrante e quello uscente, e così via per le correzioni di ordine più\nelevato. Gli effetti fino all’ordine α3 corrispondono a modifiche sperimentalmente\nmisurabili della distribuzione della carica dentro l’elettrone, e le predizioni della\nteoria si rivelano ancora una volta in perfetto accordo con i dati sperimentali più\nI grafici di ordine più elevato non corrispondono a effetti misurabili oggidì, ma per\ncercare di capire quale possa essere la distribuzione “locale” della carica\nnell’elettrone vale la pena di studiare il problema teorico di quale sia il\ncomportamento asintotico, per grandi impulsi trasferiti, della serie completa descritta\nin Fig. 46. Questo comportamento asintotico è stato studiato con svariate tecniche;\npurtroppo, nessuna di esse è sufficientemente rigorosa da permettere di credere\nciecamente nei risultati ottenuti; tuttavia, si sono raggiunte delle indicazioni\nfisicamente interessanti, che vale la pena di discutere brevemente.\nUna prima indicazione è stata ottenuta studiando il comportamento asintotico di\nciascun grafico e poi sommando a tutti gli ordini in α i comportamenti trovati ordine\nper ordine. Con questa tecnica, si è trovato che il vertice in Fig. 46 decresce molto\nrapidamente al crescere dell’impulso trasferito. Per elettroni esterni reali, questa\ndecrescita rapida ha una semplice interpretazione fisica: infatti l’elettrone subisce, nel\npassare dallo stato iniziale allo stato finale, una forte accelerazione; ma l’elettrone\naccelerato ha una forte tendenza a irradiare, come già al livello classico ci insegna la\nvecchia legge di Lorentz. D’altra parte, nel processo in Fig. 46 noi stiamo\ncostringendo l’elettrone a non irradiare, in quanto lo stato finale contiene solo un\nelettrone e nessun fotone. Data la grande probabilità con cui l’elettrone, nel passare\ndall’impulso iniziale a quello finale, irradia, la probabilità che esso esegua il\npassaggio senza irradiare sarà molto piccola; e siccome la prima cresce rapidamente\nal crescere dell’impulso trasferito, la seconda è costretta a decrescere in modo\naltrettanto rapido. In tutto questo ragionamento, ci stiamo riferendo a proprietà\nosservate dell’elettrone, per cui sia l’elettrone che i fotoni irradiati sono reali, e il\nragionamento non vale necessariamente per elettroni virtuali.\nQuesti risultati per l’elettrone reale sono stati confermati anche per altra via, mediante\nla teoria “iconale” delle perturbazioni, che è stata sviluppata proprio qui a Parma.\nInoltre, questo secondo approccio ha permesso di trarre altre indicazioni, questa volta\nper elettroni virtuali. (In questo caso, è stato dimostrato che l’approccio precedente,\nbasato sulla somma dei comportamenti perturbativi, porta a risultati fasulli, in quanto\nessi implicano una nonconservazione della carica elettrica; data la mancanza di rigore\nmatematico del metodo, queste inconsistenze con proprietà esatte della teoria non\nvanno prese con troppo rancore: esse indicano semplicemente che l’approssimazione\nfatta è troppo rozza per essere presa sul serio. Nell’approccio iconale, queste\ndifficoltà non sono presenti).\nNel caso di elettroni esterni virtuali, contrariamente a quanto avviene per elettroni\nreali, la teoria iconale porta al sorprendente risultato che il vertice in Fig. 46 decresce\nmolto lentamente al crescere dell’impulso trasferito; una decrescita lenta è suggerita\nanche da ragionamenti basati su proprietà esatte della teoria, che seguono\ndall’invarianza di gauge.\nVediamo ora quale sia il significato fisico di questi risultati. Come abbiamo detto in\nprecedenza, un vertice costante corrisponde a una struttura puntiforme, ovvero a un\n“cuore duro” per la distribuzione della carica. Quanto più rapidamente il vertice\ndecresce, tanto meno puntiforme e “duro” è l’elettrone, e tanto più “sparpagliata” è la\ndistribuzione di carica nel suo interno. Per l’elettrone reale, abbiamo visto che, per\nquanto l’elettrone nudo è puntiforme, per via delle interazioni virtuali l’elettrone\nrivestito è tutt’altro che puntiforme, e anzi appare come una roba molliccia con una\ndistribuzione sparpagliata della carica. Per l’elettrone virtuale, abbiamo di nuovo una\ndistribuzione puntiforme per l’elettrone nudo; l’effetto delle interazioni virtuali è però\nmeno drastico che nel caso della particella reale, e l’elettrone virtuale vestito\nmantiene, almeno in parte, il suo “cuore duro”, ovvero si ha per l’elettrone virtuale\nuna maggiore localizzazione della carica che non per l’elettrone reale.\nParadossalmente, sembra che, per effetto delle autointerazioni virtuali, siamo giunti a\ncapovolgere la nostra visualizzazione delle proprietà di localizzazione della carica\nnell’elettrone reale e virtuale: nella descrizione data all’inizio, si diceva che\nl’elettrone virtuale nell’atomo era in qualche senso molto meno localizzato che non\nl’elettrone libero e reale; ora sembra che stiamo dicendo il contrario. Occorre però\ntenere presente che ora stiamo studiando elettroni non legati (virtuali e reali) e che\nstiamo studiando, in questi oggetti, la distribuzione di carica su estensioni spaziali\nestremamente più piccole di quelle considerate nel descrivere l’atomo. Infatti, stiamo\nesplorando, per così dire, cosa avviene presso il centro di quella sferetta di raggio\ncirca uguale a 10-13 cm che, sia da Bohr che da Feynman, veniva inizialmente\ndescritta come un puntino materiale.\nGli effetti discussi sono più che altro di interesse teorico, in quanto essi nascono da\ncontributi di ordine elevatissimo in α, e non si fanno sentire che a impulsi trasferiti\nenormi, talmente grandi che, se anche fossero raggiungibili in laboratorio, non\navremmo motivo di credere alle predizioni dell’elettrodinamica pura, in cui vengono\ntrascurati effetti virtuali dovuti alle interazioni forti (ad es., effetti dovuti alla\ncreazione di coppie virtuali protone-antiprotone). Tuttavia, questi risultati possono\nessere interessanti in una descrizione campistica delle interazioni forti; infatti, se\nqueste interazioni hanno una struttura simile a quella dell’interazione\nelettromagnetica, per loro la costante di accoppiamento sarebbe sufficientemente\ngrande da farci aspettare che effetti del tipo descritto siano importanti già alle energia\nattualmente disponibili nei moderni acceleratori.\nAbbiamo così scoperto un’altra possibile differenza tra particella reali e particelle\nvirtuali, e questa volta si tratta di una differenza che sarebbe stato quasi impossibile\nscoprire col solo ausilio dello sviluppo perturbativo di Feynman. Prima di prendere\nsul serio le indicazioni ottenute, data l’arbitrarietà inerente alla descrizione di\nparticelle virtuali bisogna chiedersi se la maggiore “durezza”, dell’elettrone virtuale\nrispetto all’elettrone reale, valga indipendentemente dalla descrizione adottata per\nl’elettrone virtuale. Le indicazioni esistenti sono proprio in senso affermativo, e cioè\nsembra che qualunque sia il modo scelto per descrivere le proprietà dell’elettrone\nfuori dal mass shell, basta che questa descrizione sia consistente con le proprietà\ngenerali dell’interazione elettromagnetica per garantire che l’elettrone virtuale debba\nessere assai più duro dell’elettrone reale.\nBenché si abbia a che fare con regioni, nello spazio degli impulsi, molto diverse da\nquelle importanti per l’atomo, vale la pena di osservare quanto segue: la “durezza”\ndell’elettrone virtuale corrisponde a una sua probabilità di irradiare fotoni reali assai\nminore che per l’elettrone reale (in seguito a un’uguale accelerazione nei due casi);\nquesta proprietà ci ricorda da vicino quella, che aveva tanto sorpreso i padri fondatori\ndella meccanica quantistica, che l’elettrone (virtuale) nell’atomo non irraggia fotoni\n(reali) benché sia soggetto all’accelerazione centripeta.\nNell’ultima parte di questo viaggio, faremo una visitina al vuoto, per cercare di capire\ncome elettroni e fotoni reagiscano ad esso e quali possano essere le conseguenze della\npolarizzabilità del vuoto per quanto riguarda la distribuzione di carica dell’elettrone.\nSappiamo già che i fotoni possono polarizzare il vuoto mediante la creazione di coppi\nvirtuali e+e-. Un esempio di come questo possa avvenire era già stato dato in Fig. 25;\nun esempio ancora più semplice è dato dal grafico in Fig. 47, in cui un fotone virtuale\nsi annichila in una coppia, la quale poi si ricombina nel fotone di partenza.\nFig. 47. Polarizzazione di vuoto di “self-energia” del fotone.\nCome nel caso del propagatore dell’elettrone, anche qui abbiamo a che fare, nel\ngrafico in Fig. 47, con una correzione al propagatore, sol oche questa volta si tratta\ndel propagatore del fotone. Come nel caso dell’elettrone, anche ora la correzione\n“elementare” della Fig. 47 può venire iterata un numero infinito di volte, col che si\nottiene una serie geometrica per il propagatore “corretto” del fotone. La\nrinormalizzazione della massa del fotone avviene come nel caso della\nrinormalizzazione della massa dell’elettrone, e anzi è ora più semplice perché sia la\nmassa nuda che quella vestita sono, per il fotone, nulle. La discussione si generalizza\nsenza difficoltà di principio a casi più complicati, in cui si possono iterare anche\ngrafici più complicati, come ad es. quelli illustrati in Fig. 48.\nFig. 48: Alcuni esempi di grafici di polarizzazione di vuoto di ordine elevato.\nUn effetto importante, dovuto alla possibilità di polarizzare il vuoto, è quello della\nrinormalizzazione della carica dell’elettrone. Per misurare la carica totale\ndell’elettrone, ci basta fare un esperimento di elettrostatica, e cioè fare urtare\nl’elettrone contro un campo elettromagnetico costante, a bassissima velocità iniziale\ndell’elettrone rispetto al campo e con un impulso trasferito, dall’elettrone iniziale a\nquello finale, così piccolo da poterlo ritenere nullo. La risposta dell’elettrone a un\ntrattamento del genere ci dà una misura della sua carica totale (quella che interviene\nnella legge di Coulomb) e questa è ottenuta dal valore del vertice in Fig. 45 per\nimpulsi trasferiti nulli.\nSe non vi fossero polarizzazioni di vuoto, il fotone “statico” si accoppierebbe sempre\nall’elettrone con un vertice elementare, magari rivestito dalle varie interazioni virtuali\ntra l’elettrone iniziale e quello finale, come illustrato in Fig. 46, e da un attento esame\ndella teoria si scopre che, in queste condizioni, la carica totale dell’elettrone vestito\nsarebbe uguale alla carica totale dell’elettrone nudo (localmente, però, la\ndistribuzione della carica per l’elettrone vestito è diversa da quella per l’elettrone\nnudo, come abbiamo già discusso). Data la polarizzabilità del vuoto, abbiamo però\nanche altre correzioni al vertice elementare, quali ad es. quelle ottenute in Fig. 49\ndall’iterazione della correzione al propagatore fotonico in Fig. 47.\nFig. 49. Correzioni al vertice elementare dovute all’iterazione della polarizzazione di\nvuoto in Fig. 47.\nQueste correzioni al vertice cambiano il valore della carica rispetto a quella “nuda”\nche si riferisce al vertice elementare (e che coincide, come accennato, con quella\nassociata al vertice in Fig. 46) e che, per non creare confusione, ora indichiamo con\ne0. La serie di polarizzazioni di vuoto in Fig. 49 modifica nello stesso modo la carica\ntotale associata al vertice in Fig. 46, e cambia la carica dal suo valore “nudo” e 0 a un\nnuovo valore e1. Nell’approssimazione in cui la sola polarizzazione di vuoto ammessa\nè del tipo considerato in Fig. 47, dobbiamo identificare la carica osservata per\nl’elettrone, e, non con e0, ma con la carica rinormalizzata e 1 (dobbiamo cioè porre\ne1=e, dove e è, tanto per intenderci, quella carica tale che e2/4π = 1/137).\nQuesto procedimento di rinormalizzazione della carica elettrica per effetto delle\npolarizzazioni di vuoto è generalizzabile, senza difficoltà di principio, a ordini\narbitrariamente elevati in α, mediante successivi riaggiustamenti della carica nuda e 0.\nCome per la rinormalizzazione della massa, è anche possibile riformulare la teoria in\nmodo che la carica nuda scompaia da tutte le espressioni finali, per cui tutto viene\nespresso in termini della carica vestita. Tuttavia, è di nuovo comodo fare uso del\nlinguaggio, rozzo ma efficace, che descrive la vestizione della carica.\nAnzi, in questo caso cercheremo di spingere la nostra intuizione il più lontano\npossibile, allo scopo di cercare di capire come possa avvenire che la carica venga\nrinormalizzata. Quindi, ci immagineremo il vuoto come un dielettrico volgarissimo,\npieno di coppie staticamente distribuite; dal punto di vista grafico, stiamo\nsemplicemente omettendo di scrivere i propagatori di fotoni virtuali, che sono i\nresponsabili dell’effetto di polarizzazione, e stiamo concentrando l’attenzione\nsull’effetto risultante, in termini della distribuzione della carica. Il vuoto ci apparirà\nquindi, grosso modo, come in Fig. 50.\nFig. 50. Raffigurazione del vuoto come dielettrico.\nPensiamo ora di introdurre nel vuoto un elettrone nudo; esso polarizzerà il mezzo e,\nper via dell’attrazione (repulsione) elettrostatica tra cariche opposte (risp. uguali), il\nvuoto apparirà come in Fig. 51a; dopo un po’, le cariche negative verranno spinte\ngradualmente sempre più lontano, come in Fig. 51b, fino a scomparire del tutto a una\ndistanza infinita, per cui alle fine l’elettrone ci apparirà come in Fig. 51c, circondato\nda una “nuvola” di cariche virtuali positive.\nFig. 51. Effetto di polarizzazione di vuoto dovuto alla presenza dell’elettrone nudo: a-\nil vuoto comincia a polarizzarsi; b- le cariche negative vengono spinte verso\nl’esterno; c- l’elettrone “vestito” dalla sua nuvoletta virtuale.\nDa una distanza sufficientemente grande per cui si possa applicare la legge di\nCoulomb, la Fig. 51c ci apparirà come un puntino carico, con una carica totale uguale\nalla carica nuda più la carica della nuvola che la circonda. Questa carica totale è, in\nvalore assoluto, minore della carica nuda, e coincide con la carica totale osservata per\nl’elettrone, per cui si ha │e│< │e 0│. La rinormalizzazione della carica corrisponde\nquindi all’effetto di “schermatura” che la nuvola virtuale ha sulla carica nuda;\nsiccome e non è nulla, la schermatura avviene in modo completo, ma solo parziale.\nLa situazione descritta trova una semplice analogia in quella che si realizza qualora si\nimmetta in un solido una impurezza carica negativamente: anche in questo caso, il\nsolido si polarizza come in Fig. 51, con le cariche negative che vengono spinte verso\nla superficie del solido. In questo caso, di solito la schermatura è completa, per cui,\nall’interno del solido, la presenza dell’impurezza non comporta una carica in più, ma\nsolo una diversa distribuzione della carica, rispetto al caso in cui l’impurezza è\nIn teoria delle perturbazioni, allo scopo di avere una carica “vestita” finita (come è\nrichiesto per avere accordo con i dati sperimentali) occorre scegliere la carica nuda in\nmodo che essa sia infinitamente grande in valore assoluto. Anche questa\n“rinormalizzazione infinita” ha disgustato più di un valente fisico, più che altro per il\nmodo con cui papà Feynman e i suoi figliocci maltrattavano questi infiniti. In realtà,\nl’intero processo di rinormalizzazione può venire formulato in modo rigoroso dal\npunto di vista matematico, e non vi sono motivi seri per richiedere che la carica nuda,\nche è solo una nostra finzione e non è direttamente osservabile, debba essere finita o\nQuesto non vuol dire che non si debba cercare di chiarire ulteriormente il problema\ndella calcolabilità o osservabilità o meno della carica nuda, e magari anche quello\ndella calcolabilità della carica vestita. In effetti, per la carica vestita, in teoria delle\nperturbazioni essa gioca il ruolo di un parametro arbitrario, che può essere fissato\nsolo facendo ricorso ai “dati iniziali” fornitici con buona grazia dagli sperimentali; la\ncarica dell’elettrone non è quindi calcolabile a partire dall’approccio perturbativo. Per\nla carica nuda, il fatto che essa sia infinita in teoria delle perturbazioni può essere\nsoltanto un modo con cui la teoria, che in fondo è molto buona, ci dice che le stiamo\nponendo una domanda alla quale essa, poverina, non è in grado di rispondere neppure\nin modo approssimativo. È quindi possibile che, in un approccio più raffinato,\nl’elettrodinamica quantistica ci permetta, a dispetto di quanto avviene nello sviluppo\nperturbativo, di calcolare o la carica nuda, o quella vestita, o addirittura entrambe le\nIl problema della calcolabilità o meno della carica nuda è interessante perché, se essa\nrisultasse finita, questo potrebbe corrispondere alla esistenza, in seno all’elettrone, di\nuna struttura del tipo discusso in Fig. 51, con un “cuore” puntiforme nel centro, che\nsopravvive la rivestitura dell’elettrone a causa degli effetti di polarizzazione del\nvuoto. In questo caso, avremmo un punto di partenza per cercare una teoria\nquantorelativistica e nonperturbativa della struttura dell’elettrone. In una teoria\nsiffatta, forse non vi sarebbe posto per costanti di accoppiamento arbitrarie, col che\nanche la carica fisica dell’elettrone potrebbe essere fissata a partire da principi di\nPrima di cercare di tradurre in formule questi nostri sogni, vediamo se abbiamo\nun’intuizione sufficientemente elastica da poter indovinare una possibile risposta alla\ndomanda se la carica nuda possa essere osservata oppure no. A questo scopo,\nchiediamoci come faremmo se volessimo davvero misurare la carica nuda, ammesso\nche essa esista finita. Ovviamente, la prima cosa che ci viene in mente di fare è quella\ndi andare a caccia della carica nuda, ovvero di cercare di raggiungere, mediante un\nfotone virtuale, il centro della Fig. 51c, e, se possibile, di colpire la carica nuda in\nmodo così violento da stanarla dal suo pozzo protettivo formato dalla nuvola virtuale,\nin modo da poterla vedere da sola, nuda e cruda com’è. Quindi, per superare la\nnuvola esterna ci occorre un fotone di quelli durissimi, che non si lasciano abbagliare\ndalle lusinghe delle carichette esterne, ma badano al “sodo”, e cioè vanno diritti verso\nil centro duro della nuvola. Purtroppo, è possibile che quanto più il fotone è duro,\ntanto più esso avrà la tendenza ad essere fragile, e cioè a sfasciarsi in coppie virtuali,\ne quindi a polarizzare il vuoto per proprio conto, col che si blocca da sé la strada per\nraggiungere l’elettrone nudo. Per inciso, questo è proprio quanto avviene in teoria\ndelle perturbazioni, ed è per questo motivo che, in quest’approccio, la carica nuda\nnon è calcolabile.\nPer una volta, quindi, la nostra intuizione non si è rivelata abbastanza potente da\nindicarci una soluzione come più plausibile di un’altra. Per questo motivo, si è\ncercato di affrontare il problema della carica dell’elettrone con mezzi più raffinati, e\nin particolare con la tecnica nota sotto il nome di “gruppo di rinormalizzazione”. In\nquesto modo, si è però riusciti ad ottenere solo una di quelle risposte tipiche degli\nantichi oracoli, che finivano per avere sempre ragione perché confondevano alla\nperfezione il povero interpellante. La risposta è che o la carica nuda è infinita, oppure\nse è finita non è calcolabile a partire dalla carica vestita, per cui in entrambi i casi le\ndue cariche sono tra loro indipendenti.\nA dispetto dell’apparente futilità di questa risposta oracolare, la via del gruppo di\nrinormalizzazione rimane piena di promesse allettanti. Infatti, una delle possibilità\nche essa suggerisce è quella di una teoria in cui le cariche, sia nuda che vestita,\nbenché tra loro indipendenti non possono essere scelte in modo arbitrario, ma\ndebbono essere autovalori fissati di un nuovo e misterioso numero quantico associato\nalla polarizzazione del vuoto. In una teoria siffatta, diventerebbe possibile capire\nl’origine (dinamica?) della quantizzazione della carica elettrica, e forse, ottenere\naddirittura una predizione puramente teorica del valore assoluto della carica osservata\nper l’elettrone. È un po’ come dire che, nel suo primo giorno lavorativo, il creatore\naveva ben poca scelta nel dare la carica all’elettrone: o decideva di dargli la carica\nche poi ha finito col dargli, oppure, in caso contrario o se si fosse sbagliato (seppure\ndi poco!), il fatidico “fiat lux” poteva anche astenersi dal pronunciarlo, perché tanto\ndi luce proprio non ce ne sarebbe stata.\nE con questo, siamo giunti alla fine del nostro microviaggio all’interno dell’elettrone,\nparticella che, come diceva Weyl, è certamente la più semplice tra tutte quelle\nesistenti e che pure, come diceva Lenin, può essere, e anzi si sta rivelando, una fonte\ninesauribile di conoscenza. Nell’accomiatarmi, non mi resta che sperare di\nriincontrarvi in un altro microviaggio, magari all’interno dell’ancor più misterioso e\nPerdonate se, come guida, ho talvolta o spesso lasciato a desiderare; purtroppo,\n“… Di quello che avevo capito allora, ho dimenticato\ntutto. Ciò che vi ho raccontato è quanto posso ricostruire,\naiutandomi nei passaggi lacunosi…”19\nLe citazioni, nella pagina del titolo, a pag. 9 e in questa pagina, sono prese da “Ti con zero”, di Italo Calvino (Einaudi,\n1967). Per ulteriori chiarimenti, il lettore è rimandato alla lettura di questi racconti oppure, a scelta, al corso di\nDocumenti simili a Viaggio All'Interno Dell'Elettrone\nAltro di Alberto Valenti\nCi Sono Molti Modi Di Essere Ebrei\nBibliografia Su Einstein