IO | Investigación de operaciones | Programación lineal\nсохранитьСохранить «IO» для последующего чтения\nFormulacin y Resolucin de Modelos de P. L.\nEste documento ha sido elaborado pensando en el desarrollo del Programa de Estudios de la asignatura Investigacin de Operaciones (IO) de la Universidad Modular Abierta Centro Universitario Sonsonate y la Universidad Doctor Andrs Bello Regional Sonsonate. Repblica de El Salvador. Con este texto se proporciona a los estudiantes de la Facultad de Ciencias Econmicas las bases para la toma de decisiones en diferentes ambientes gerenciales, a travs de distintos modelos de operaciones aplicados de acuerdo a las necesidades o situaciones que se le presenten en su desarrollo profesional. Facilitando la enseanza a travs de un texto mediado, que pretende sean alcanzados los aprendizajes, por parte del alumno, al final del tema. Esta asignatura (IO) crea una gran interrogante y la pregunta que recibo por parte de ustedes, siempre que la imparto es para qu me sirve la Investigacin de Operaciones? y comento la siguiente ancdota Una de las respuestas que escuche hace aos fue cuando un compaero realizo esta misma pregunta al docente y este le respondi en modo de broma que si no pasas esta asignatura no logras graduarte, porque esta es pre requisito de otra asignatura. Pero la respuesta que te puedo ofrecer a esta interrogante es la siguiente:\nLa IO nos sirve para la toma de decisiones gerenciales y est enfocada a las diversas formas de enfrentar el proceso operacional que se deriva de las actividades de una empresa, tratando de maximizar o minimizar el uso de los recursos y las utilidades de los mismos de acuerdo a sus necesidades.\nAhora escribe tu opinin con respecto a la pregunta para qu me servir la Investigacin de Operaciones? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ LA TOMA DE DECISIONES es un proceso que se inicia cuando una persona observa un problema y determina que es necesario resolverlo procediendo a definirlo, a formular un objetivo, reconocer las limitaciones o restricciones, a generar alternativas de solucin y\nRal Eduardo Trejo Garca\nevaluarlas hasta seleccionar la que le parece mejor, este proceso puede se cualitativo o cuantitativo.\nLuego de conocer la explicacin anterior, menciona cual es la diferencia entre enfoque cualitativo y cuantitativo: ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ La investigacin de operaciones proporciona a los tomadores de decisiones bases cuantitativas para seleccionar las mejores decisiones y permite elevar su habilidad para hacer planes a futuro. En el ambiente socioeconmico actual altamente competitivo y complejo, los mtodos tradicionales de toma de decisiones se han vuelto inoperantes e inadmisibles ya que los responsables de dirigir las actividades de las empresas e instituciones se enfrentan a situaciones complicadas y cambiantes con rapidez que requieren de soluciones creativas y prcticas apoyadas en una base cuantitativa slida. En organizaciones grandes se hace necesario que el tomador de decisiones tenga un conocimiento bsico de las herramientas cuantitativas que utilizan los especialistas para poder trabajar en forma estrecha con ellos y ser receptivos a las soluciones y recomendaciones que se le presenten. En organizaciones pequeas puede darse que el tomador de decisiones domine las herramientas cuantitativas y l mismo las aplique para apoyarse en ellas y as tomar sus decisiones.\nINVESTIGACIN DE OPERACIONES (IO). Las races de la investigacin de operaciones se remontan a muchas dcadas, cuando se hicieron los primeros intentos para emplear el mtodo cientfico en la administracin de una empresa. Sin embargo, el inicio de la actividad llamada investigacin de operaciones, casi siempre se atribuye a los servicios militares prestados a principios de la segunda guerra mundial. Debido a los esfuerzos blicos, exista una necesidad urgente de asignar recursos escasos a las distintas operaciones militares y a las actividades dentro de cada operacin, en la forma ms efectiva.\nSe pueden identificar por lo menos otros dos factores que jugaron un papel importante en el desarrollo de la investigacin de operaciones durante este perodo. Uno es el gran progreso que ya se haba hecho en el mejoramiento de las tcnicas disponibles en esta rea. Despus de la guerra, muchos cientficos que haban participado en los equipos de IO o que tenan informacin sobre este trabajo, se encontraban motivados a buscar resultados sustanciales en este campo; de esto resultaron avances importantes. Un ejemplo sobresaliente es el mtodo simplex para resolver problemas de programacin lineal, desarrollada en 1947 por George Dantzing. Muchas de las herramientas caractersticas de la investigacin de operaciones, como programacin lineal, programacin dinmica, lneas de espera y teora de inventarios, fueron desarrolladas casi por completo antes del trmino de la dcada de 1950. Un segundo factor que dio mpetu al desarrollo de este campo fue el advenimiento de las computadoras. (Visita la pagina http://www.itson.mx/dii/elagarda/apagina2001/PM/uno.html y elabora una presentacin en power point sobre su historia.)\nComo su nombre lo dice, la investigacin de operaciones significa "hacer investigacin sobre las operaciones". Entonces, la investigacin de operaciones se aplica a problemas que se refieren a la conduccin y coordinacin de operaciones (o actividades) dentro de una organizacin. La naturaleza de la organizacin es esencialmente inmaterial y, de hecho, la investigacin de operaciones se ha aplicado de manera extensa en reas tan diversas como la manufactura, el transporte, la constitucin, las telecomunicaciones, la planeacin financiera, el cuidado de la salud, la milicia y los servicios pblicos, por nombrar slo unas cuantas. As, la gama de aplicaciones es extraordinariamente amplia.\nTodas estas caractersticas llevan de una manera casi natural a otra. Es evidente que no puede esperarse que un solo individuo sea un experto en todos lo mltiples aspectos del trabajo de investigacin de operaciones o de los problemas que se estudian; se requiere un grupo de individuos con diversos antecedentes y habilidades. Entonces, cuando se va a emprender un estudio de investigacin de operaciones completo de un nuevo problema, por lo general es necesario emplear el empleo de equipo. Este debe incluir individuos con antecedentes firmes en matemticas, estadstica y teora de probabilidades, al igual que en economa, administracin de empresas, ciencias de la computacin, ingeniera, ciencias fsicas, ciencias del comportamiento y, por supuesto, en las tcnicas especiales de investigacin de operaciones. El equipo tambin necesita tener la experiencia y las habilidades necesarias para permitir la consideracin adecuada de todas las ramificaciones del problema a travs de la organizacin.\nGRUPO INTERDISCIPLINARIO: Una de las principales razones de la existencia de grupos de investigacin de operaciones es que la mayor parte de los problemas de negocios tienen mltiples aspectos es perfectamente razonable que las fases individuales de un problema se comprendan y analicen mejor por los que tienen el adiestramiento necesario en los campos apropiados.\nLA DEFINICIN DE CHURCHMAN, ACKOFF Y ARNOFF: La investigacin de\noperaciones es la aplicacin, por grupos interdisciplinarios, del mtodo cientfico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas (hombre-mquina), a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de la organizacin.\nDe sta definicin se pueden destacar los siguientes conceptos: 1. Una organizacin es un sistema formado por componentes que se interaccionan, unas de estas interacciones pueden ser controladas y otras no. 2. En un sistema la informacin es una parte fundamental, ya que entre las componentes fluye informacin que ocasiona la interaccin entre ellas. Tambin dentro de la estructura de los sistemas se encuentran recursos que generan interacciones. Los objetivos de la organizacin se refieren a la eficacia y eficiencia con que las componentes pueden controlarse, el control es un mecanismo de autocorreccin del sistema que permite evaluar los resultados en trminos de los objetivos establecidos. 3. La complejidad de los problemas que se presentan en las organizaciones ya no encajan en una sola disciplina del conocimiento, se han convertido en multidisciplinario por lo cual para su anlisis y solucin se requieren grupos compuestos por especialistas de diferentes reas del conocimiento que logran comunicarse con un lenguaje comn. 4. La investigacin de operaciones es la aplicacin de la metodologa cientfica a travs modelos matemticos, primero para representar al problema y luego para resolverlo. La definicin de la sociedad de investigacin de operaciones de la Gran Bretaa es la siguiente: 5. La investigacin de operaciones es el ataque de la ciencia moderna a los complejos problemas que surgen en la direccin y en la administracin de grandes sistemas de hombres, mquinas, materiales y dinero, en la industria, en los negocios, en el gobierno y en la defensa. Su actitud diferencial consiste en desarrollar un modelo cientfico del sistema tal, que incorpore valoraciones de factores como el azar y el riesgo y mediante el cual se predigan y comparen los resultados de decisiones, estrategias o controles alternativos. Su\npropsito es el de ayudar a la gerencia a determinar cientficamente sus polticas y acciones. Despus de haber ledo los conceptos anteriores sobre lo que es IO. Elabora tu propio concepto:_________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________\n1. Generalmente se asocian los conceptos de direccin y administracin a las empresas de tipo lucrativo, sin embargo, una empresa es un concepto ms amplio, es algo que utiliza hombres, mquinas, materiales y dinero con un propsito especfico; desde ste punto de vista, se considera como empresa desde una universidad hasta una armadora de automviles. 2. Para tratar de explicar el comportamiento de un sistema complejo, el cientfico debe representarlo en trminos de los conceptos que maneja, lo hace expresando todos los rasgos principales del sistema por medio de relaciones matemticas. A esta representacin formal se le llama modelo. 3. La esencia de un modelo es que debe ser predictivo, lo cual no significa predecir el futuro, pero si ser capaz de indicar muchas cosas acerca de la forma en que se puede esperar que un sistema opere en una variedad de circunstancias, lo que permite valorar su vulnerabilidad. Si se conocen las debilidades del sistema se pueden tomar cursos de accin agrupados en tres categoras: A) Efectuar cambios que lleven a la empresa o parte de ella a una nueva ruta; B) Realizar un plan de toma de decisiones; C) Instalar estrategias que generen decisiones. Cuando se aplica alguno de estos remedios, la investigacin de operaciones nos ayuda a determinar la accin menos vulnerable ante un futuro incierto. 4. El objetivo global de la investigacin de operaciones es el de apoyar al tomador de decisiones, en cuanto ayudarlo a cumplir con su funcin basado en estudios cientficamente fundamentados.\nENFOQUE DE LA INVESTIGACIN DE OPERACIONES:\nSISTEMA REAL VARIABLES RELEVANTES SISTEMA ASUMIDO RELACIONES RELEVANTES MODELO CUANTITATIVO\nLa parte innovadora de la IO es sin duda alguna su enfoque modelstico, producto de sus creadores aunado a la presin de supervivencia de la guerra o la sinerga generada al combinarse diferentes disciplinas, una descripcin del enfoque es la siguiente. (Ver la figura). 1. Se define el sistema real en donde se presenta el problema. Dentro del sistema interactuan normalmente un gran numero de variables. 2. Se seleccionan las variables que norman la conducta o el estado actual del sistema, llamadas variables relevantes, con las cuales se define un sistema asumido del sistema real. 3. Se construye un modelo cuantitativo del sistema asumido, identificando y simplificando las relaciones entre las variables relevantes mediante la utilizacin de funciones matemticas. 4. Se obtiene la solucin al modelo cuantitativo mediante la aplicacin de una o mas de las tcnicas desarrolladas por la IO. 5. Se adapta e imprime la mxima realidad posible a la solucin terica del problema real obtenida en el punto 4, mediante la consideracin de factores cualitativos o no cuantificables, los cuales no pudieron incluirse en el modelo. Adems se ajusta los detalles finales va el juicio y la experiencia del tomador de decisiones. 6. Se implanta la solucin en el sistema real.\nLa investigacin de operaciones obtiene la solucin del problema real indirectamente, y no como normalmente se intentara pasando directamente del problema real a la solucin real.\nHagamos lo siguiente; piensa en un problema que tengas, plantea alternativas para poder solucionarlo y elije la ms viable.\n___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Espero que hayas encontrado una buena respuesta a tu problema; recuerda que la decisin que hoy tomes puede ser la correcta pero para maana no se sabe.\nMETODOLOGA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES DEFINICIN DEL PROBLEMA Y RECOLECCIN DE DATOS\nLa mayor parte de los problemas prcticos con los que se enfrenta el equipo IO estn descritos inicialmente de una manera vaga. Por consiguiente, la primera actividad que se debe realizar es el estudio del sistema relevante y el desarrollo de un resumen bien definido del problema que se va a analizar. Esto incluye determinar los objetivos apropiados, las restricciones sobre lo que se puede hacer, las interrelaciones del rea bajo estudio con otras reas de la organizacin, los diferentes cursos de accin posibles, los lmites de tiempo para tomar una decisin, etc. Este proceso de definir el problema es crucial ya que afectar en forma significativa la relevancia de las conclusiones del estudio . Es difcil extraer una respuesta "correcta" a partir de un problema "equivocado"! Por su naturaleza, la investigacin de operaciones se encarga del bienestar de toda la organizacin, no slo de algunos de sus componentes. Un estudio de IO busca soluciones ptimas globales y no soluciones subptimas aunque sean lo mejor para uno de los componente. Entonces, idealmente, los objetivos que se formulan deben coincidir con los de toda la organizacin. Sin embargo, esto no siempre es conveniente. Muchos problemas interesan nada ms a una parte de la organizacin, de manera que el anlisis sera innecesariamente basado si los objetivos fueran muy generales y si se prestara atencin especial a todos los efectos secundarios sobre el resto de la organizacin. En lugar de ello, los objetivos usados en un estudio deben ser tan especficos como sea posible, siempre y cuando\ncontemplen las metas principales del tomador de decisiones y mantengan un nivel razonable de consistencia con los objetivos de los altos niveles. Las condiciones fundamentales para que exista un problema es que se establezca una diferencia entre lo que es (situacin actual) y lo que debe ser (situacin deseada u objetivo) y adems exista cuando menos una forma de eliminar o disminuir esa diferencia. Los componentes de un problema son: a) el tomador de decisiones o ejecutivo; b) los objetivos de la organizacin; c) el sistema o ambiente en el que se sita el problema; d) Los cursos de accin alternativos que se pueden tomar para resolverlo.\nPara formular un problema se requiere; a) identificar las componentes y variables controlables y no controlables del sistema; b) identificar los posibles cursos de accin, determinados por las componentes controlables; c) definir el marco de referencia dado por las componentes no controlables; d) definir los objetivos que se busca alcanzar y clasificarlos por orden de importancia; e) identificar las interpelaciones importantes entre las diferentes partes del sistema y encontrar las restricciones que existen. FORMULACIN DE UN MODELO MATEMTICO\nUna vez definido el problema del tomador de decisiones, la siguiente etapa consiste en reformularlo de manera conveniente para su anlisis. La forma convencional en que la investigacin de operaciones realiza esto es construyendo un modelo matemtico que represente la esencia del problema. Antes de analizar como formular los modelos de este tipo, se explorar la naturaleza general de los modelos y, en particular, la de los modelos matemticos. El modelo matemtico est constituido por relaciones matemticas (ecuaciones y desigualdades) establecidas en trminos de variables, que representa la esencia el problema que se pretende solucionar. Para construir un modelo es necesario primero definir las variables en funcin de las cuales ser establecido. Luego, se procede a determinar matemticamente cada una de las dos partes que constituyen un modelo: a) la medida de efectividad que permite conocer el nivel de logro de los objetivos y generalmente es una funcin (ecuacin) llamada funcin objetivo; b) las limitantes del problema llamadas restricciones que son un conjunto de igualdades o desigualdades que constituyen las barreras y obstculos para la consecucin del objetivo. Un modelo siempre debe ser menos complejo que el problema real, es una aproximacin abstracta de la realidad con consideraciones y simplificaciones que hacen ms manejable el problema y permiten evaluar eficientemente las alternativas de solucin.\nPor otro lado, existen obstculos que deben evitarse al usar modelos matemticos. Un modelo es, necesariamente, una idealizacin abstracta del problema, por lo que casi siempre se requieren aproximaciones y suposiciones de simplificacin si se quiere que el modelo sea manejable (susceptible de ser resuelto). Por lo tanto, debe tenerse cuidado de que el modelo sea siempre una representacin vlida del problema. El criterio apropiado para juzgar la validez de un modelo es el hecho de si predice o no con suficiente exactitud los efectos relativos de los diferentes cursos de accin, para poder tomar una decisin que tenga sentido. En consecuencia, no es necesario incluir detalles sin importancia o factores que tienen aproximadamente el mismo efecto sobre todas las opciones. Ni siquiera es necesario que la magnitud absoluta de la medida de efectividad sea aproximadamente correcta para las diferentes alternativas, siempre que sus valores relativos (es decir, las diferencias entre sus valores) sean bastante preciso. Entonces, todo lo que se requiere es que exista una alta correlacin entre la prediccin del modelo y lo que ocurre en la vida real.\nOBTENCIN DE UNA SOLUCIN A PARTIR DEL MODELO\nResolver un modelo consiste en encontrar los valores de las variables dependientes, asociadas a las componentes controlables del sistema con el propsito de optimizar, si es posible, o cuando menos mejorar la eficiencia o la efectividad del sistema dentro del marco de referencia que fijan los objetivos y las restricciones del problema.\nLa seleccin del mtodo de solucin depende de las caractersticas del modelo. Los procedimientos de solucin pueden ser clasificados en tres tipos: a) analticos, que utilizan procesos de deduccin matemtica; b) numricos, que son de carcter inductivo y funcionan en base a operaciones de prueba y error; c) simulacin, que utiliza mtodos que imitan o, emulan al sistema real, en base a un modelo.\nMuchos de los procedimientos de solucin tienen la caracterstica de ser iterativos, es decir buscan la solucin en base a la repeticin de la misma regla analtica hasta llegar a ella, si la hay, o cuando menos a una aproximacin.\nEl desarrollo de un modelo matemtico grande es anlogo en algunos aspectos al desarrollo de un programa de computadora grande. Cuando se completa la primera versin, es inevitable que contenga muchas fallas. El programa debe probarse de manera exhaustiva para tratar de encontrar y corregir tantos problemas como sea posible. Eventualmente, despus de una larga serie de programas mejorados, el programador (o equipo de programacin) concluye que el actual da, en general, resultados razonablemente vlidos. Aunque sin duda quedarn algunas fallas ocultas en el programa (y quiz nunca se detecten, se habrn eliminado suficientes\nproblemas importantes como para que sea confiable utilizarlo. Este proceso de prueba y mejoramiento de un modelo para incrementar su validez se conoce como validacin del modelo. Un enfoque ms sistemtico para la prueba del modelo es emplear una prueba retrospectiva. Cuando es aplicable, esta prueba utiliza datos histricos y reconstruye el pasado para determinar si el modelo y la solucin resultante hubieran tenido un buen desempeo, de haberse usado. La comparacin de la efectividad de este desempeo hipottico con lo que en realidad ocurri, indica si el uso del modelo tiende a dar mejoras significativas sobre la prctica actual. Puede tambin indicar reas en las que el modelo tiene fallas y requiere modificaciones. Lo que es ms, el emplear las alternativas de solucin y estimar sus desempeos histricos hipotticos, se pueden reunir evidencias en cuanto a lo bien que el modelo predice los efectos relativos de los diferentes cursos de accin. Cuando se determina que el modelo y la solucin no son vlidos, es necesario iniciar nuevamente el proceso revisando cada una de las fases de la metodologa de la investigacin de operaciones.\nUna solucin establecida como vlida para un problema, permanece como tal siempre y cuando las condiciones del problema tales como: las variables no controlables, los parmetros, las relaciones, etc., no cambien significativamente. Esta situacin se vuelve ms factible cuando algunos de los parmetros fueron estimados aproximadamente. Por lo anterior, es necesario generar informacin adicional sobre el comportamiento de la solucin debido a cambios en los parmetros del modelo. Usualmente esto se conoce como\nanlisis de sensibilidad. En pocas palabras, esta fase consiste en determinar los rangos de variacin de los parmetros dentro de los cuales no cambia la solucin del problema.\nEl paso final se inicia con el proceso de "vender" los hallazgos que se hicieron a lo largo del proceso a los ejecutivos o tomadores de decisiones. Una vez superado ste obstculo, se debe traducir la solucin encontrada a instrucciones y operaciones comprensibles para los individuos que intervienen en la operacin y administracin del sistema. La etapa de implantacin de una solucin se simplifica en gran medida cuando se ha propiciado la participacin de todos los involucrados en el problema en cada fase de la metodologa. Preparacin para la aplicacin del modelo Esta etapa es crtica, ya que es aqu, y slo aqu, donde se cosecharn los beneficios del estudio. Por lo tanto, es importante que el equipo de IO participe, tanto para asegurar que las soluciones del modelo se traduzcan con exactitud a un procedimiento operativo, como para corregir cualquier defecto en la solucin que salga a la luz en este momento. El xito de la puesta en prctica depende en gran parte del apoyo que proporcionen tanto la alta administracin como la gerencia operativa. Es ms probable que el equipo de IO obtenga este apoyo si ha mantenido a la administracin bien informada y ha fomentado la gua de la gerencia durante el estudio. La buena comunicacin ayuda a asegurar que el estudio logre lo que la administracin quiere y por lo tanto merezca llevarse a la prctica. Tambin proporciona a la administracin el sentimiento de que el estudio es suyo y esto facilita el apoyo para la implantacin. La etapa de implantacin incluye varios pasos. Primero, el equipo de investigacin de operaciones de una cuidadosa explicacin a la gerencia operativa sobre el nuevo sistema que se va a adoptar y su relacin con la realidad operativa. En seguida, estos dos grupos comparten la responsabilidad de desarrollar los procedimientos requeridos para poner este sistema en operacin. La gerencia operativa se encarga despus de dar una capacitacin detallada al personal que participa, y se inicia entonces el nuevo curso de accin. Si tiene xito, el nuevo sistema se podr emplear durante algunos aos. Con esto en mente, el equipo de IO supervisa la experiencia inicial con la accin tomada para identificar cualquier modificacin que tenga que hacerse en el futuro. A la culminacin del estudio, es apropiado que el equipo de investigacin de operaciones documente su metodologa con suficiente claridad y detalle para que el trabajo sea reproducible. Poder obtener una rplica debe ser parte del cdigo de tica profesional del investigador de operaciones. Esta condicin es crucial especialmente cuando se estudian polticas gubernamentales en controversia.\nMuchas personas clasifican el desarrollo de la programacin lineal entre los avances cientficos ms importantes de mediados del siglo XX, su impacto desde 1950 ha sido extraordinario. En la actualidad es una herramienta de uso normal que ha ahorrado miles o millones de dolares a muchas compaas o negocios, incluyendo empresas medianas en los distintos pases industrializados del mundo; su aplicacin a otros sectores de la sociedad se est ampliando con rapidez. Una proporcin muy grande de los clculos cientficos en computadoras est dedicada al uso de la programacin lineal. Cul es la naturaleza de esta notable herramienta y qu tipos de problemas puede manejar. Expresado brevemente, el tipo ms comn de aplicacin abarca el problema general de asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera posible (es decir, en forma ptima). Con ms precisin, este problema incluye elegir el nivel de ciertas actividades que compiten por recursos escasos necesarios para realizarlas. Despus, los niveles de actividad elegidos dictan la cantidad de cada recurso que consumir cada una de ellas. La variedad de situaciones a las que se puede aplicar esta descripcin es sin duda muy grande, y va desde la asignacin de instalaciones de produccin a los productos, hasta la asignacin de los recursos nacionales a las necesidades de un pas; desde la seleccin de una cartera de inversiones, hasta la seleccin de los patrones de envo; desde la planeacin agrcola, hasta el diseo de una terapia de radiacin, etc. No obstante, el ingrediente comn de todas estas situaciones es la necesidad de asignar recursos a las actividades eligiendo los niveles de las mismas. La programacin lineal utiliza un modelo matemtico para describir el problema. El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemticas del modelo deber ser funciones lineales. En este caso, las palabra programacin no se refiere a programacin en computadoras; en esencia es un sinnimo de planeacin. As, la programacin lineal trata la planeacin de las\nactividades para obtener un resultado ptimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada (segn el modelo matemtico) entre todas las alternativas de solucin. Aunque la asignacin de recursos a las actividades es la aplicacin ms frecuente, la programacin lineal tiene muchas otras posibilidades. de hecho, cualquier problema cuyo modelo matemtico se ajuste al formato general del modelo de programacin lineal es un problema de programacin lineal. An ms, se dispone de un procedimiento de solucin extraordinariamente eficiente llamado mtodo simplex, para resolver estos problemas, incluso los de gran tamao. Estas son algunas causas del tremendo auge de la programacin lineal en las ltimas dcadas.\nLos trminos clave son recursos y actividades, en donde m denota el nmero de distintos tipos de recursos que se pueden usar y n denota el nmero de actividades bajo consideracin. Algunos ejemplos de recursos son dinero y tipos especiales de maquinaria, equipo, vehculos y personal. Los ejemplos de actividades incluyen inversin en proyectos especficos, publicidad en un medio determinado y el envo de bienes de cierta fuente a cierto destino. En cualquier aplicacin de programacin lineal, puede ser que todas las actividades sean de un tipo general (como cualquiera de los ejemplos), y entonces cada una correspondera en forma individual a las alternativas especficas dentro de esta categora general. El tipo ms usual de aplicacin de programacin lineal involucra la asignacin de recursos a ciertas actividades. La cantidad disponible de cada recurso est limitada, de forma que deben asignarse con todo cuidado. La determinacin de esta asignacin incluye elegir los niveles de las actividades que lograrn el mejor valor posible de la medida global de efectividad. Ciertos smbolos se usan de manera convencional para denotar las distintas componentes de un modelo de programacin lineal. Estos smbolos se enumeran a continuacin, junto con su interpretacin para el problema general de asignacin de recursos a actividades.\nZ = xj = cj = bi = aij =\nvalor de la medida global de efectividad nivel de la actividad j (para j = 1,2,...,n) incremento en Z que resulta al aumentar una unidad en el nivel de la actividad j cantidad de recurso i disponible para asignar a las actividades (para i = 1,2,...,m) cantidad del recurso i consumido por cada unidad de la actividad j\nEl modelo establece el problema en trminos de tomar decisiones sobre los niveles de las actividades, por lo que x1,x2,....,xn se llaman variables de decisin. Los valores de cj, bi y aij\n(para i = 1,2,....,m y j = 1,2,....,n) son las constantes de entrada al modelo. Las cj, bi y aij tambin se conocen como parmetros del modelo.\nFORMA ESTNDAR DEL MODELO\nAhora se puede formular al modelo matemtico para este problema general de asignacin de recursos a actividades. En Datos necesarios para un modelo de programacin lineal que maneja la asignacin de recursos a actividades particular, este modelo consiste en elegir valores de x1,x2,....,xn para:\na11x1 + a12x2 +....+ a1nxn < b1 a21x1 + a22x2 +....+ a2nxn < b2 . . . am1x1 + am2x2 +....+ amnxn < bm X1 0, X2 0, Xn 0.\nPROPORCIONALIDAD La contribucin de cada actividad al valor de la funcin objetivo Z es proporcional al nivel de actividad xj, como lo representa el trmino cjxj en la funcin objetivo. De manera similar, la contribucin de cada actividad al lado izquierdo de cada restriccin funcional es proporcional al nivel de la actividad xj, en la forma en que lo representa el trmino aijxj en la restriccin. En consecuencia, esta suposicin elimina cualquier exponente diferente a 1 para las variables en cualquier trmino de las funciones (ya sea la funcin objetivo o la funcin en el lado izquierdo de las restricciones funcionales) en un modelo de programacin lineal.\nACTIVIDAD Establece que la entrada y salida de un recurso en particular al conjunto de actividades, deben ser la misma cantidad; o sea, que las actividades transforman los recursos y no los crean o destruyen. Esta suposicin garantiza que la contribucin total tanto a la funcin objetivo como a las restricciones, es igual a la suma de las contribuciones individuales. Cuando en un problema dado no se tenga la aditividad puede recurrirse al empleo de otras tcnicas de la programacin matemtica, dependiendo de cada caso en particular. ADITIVIDAD Cada funcin en un modelo de programacin lineal (ya sea la funcin objetivo o el lado izquierdo de las restricciones funcionales) es la suma de las contribuciones individuales de las actividades respectivas. DIVISIBILIDAD Las variables de decisin en un modelo de programacin lineal pueden tomar cualquier valor, incluyendo valores no enteros, que satisfagan las restricciones funcionales y de no negatividad. As, estas variables no estn restringidas a slo valores enteros. Como cada variable de decisin representa el nivel de alguna actividad, se supondr que las actividades se pueden realizar a niveles fraccinales.\nMODELO DETERMINSTICO El modelo de PL involucra nicamente tres tipos de parmetros: Cj, aij y bi; de ah su sencillez y gran aplicacin. Sin embargo, el valor de dichos parmetros debe ser conocido y constante. Cuando el valor de los parmetros tiene un cierto riesgo o incertidumbre, pude utilizarse la programacin paramdica, la programacin estocstica, o realizarse un anlisis de sensibilidad. MODELO ESTTICO En algunos modelos matemticos se han empleado con xito las ecuaciones diferenciales, para inducir la variable tiempo en ellos. En este sentido, puede decidirse que la PL utiliza un modelo esttico, ya que la variable tiempo no se involucra formalmente. Adquiriendo un poco de experiencia en la formulacin de modelos de PL, puede imbuirse la temporabilidad mencionada, con el uso de subndices en las variables. MODELO QUE NO SUBOPTIMIZA\nDebido a la forma que se plantea el modelo de PL, o encuentra la solucin ptima o declara que sta no existe. Cuando no es posible obtener una solucin ptima y se debe obtener alguna, se recurre a otra tcnica ms avanzada que la PL, la cual se denomina programacin lineal por metas. IMPACTO DE LA INVESTIGACIN DE OPERACIONES La investigacin de operaciones ha tenido un impacto impresionante en el mejoramiento de la eficiencia de numerosas organizaciones en todo el mundo. En el proceso, la investigacin de operaciones ha hecho contribuciones significativas al incremento de la productividad dentro de la economa de varios pases. Hay ahora ms de 30 pases que son miembros de la International Federation of Operational Research Societies (IFORS), en la que cada pas cuenta con una sociedad de investigacin de operaciones. RIESGO AL APLICAR LA INVESTIGACIN DE OPERACIONES Al aplicar la I de O al estudio de sistemas y a la resolucin de problemas se corre el riesgo de tratar de manipular los problemas para buscar que se ajusten a las diferentes tcnicas, modelos de algoritmos establecidos en lugar de analizar los problemas y buscar resolverlos obteniendo las soluciones mejores, utilizando los mtodos apropiados, es decir resolver el problema utilizando los mtodos que proporcionan las mejoras soluciones y no buscar ajustar el problema a un mtodo especfico. Para llegar a hacer un uso apropiado de la I de O, es necesario primero comprender la metodologa para resolver los problemas, as como los fundamentos de las tcnicas de solucin para de esta forma saber cundo utilizarlas o no en las diferentes circunstancias.\nLIMITACIONES DE LA INVESTIGACIN DE OPERACIONES\n1. Frecuentemente es necesario hacer simplificaciones del problema original para poder manipularlo y detener una solucin. 2. La mayora de los modelos slo considera un solo objetivo y frecuentemente en las organizaciones se tienen objetivos mltiples. 3. Existe la tendencia a no considerar la totalidad de las restricciones en un problema prctico, debido a que los mtodos de enseanza y entrenamiento dan la aplicacin de esta ciencia centralmente se basan en problemas pequeos para razones de ndole prctico, por lo que se desarrolla en los alumnos una opinin muy simplista e ingenua sobre la aplicacin de estas tcnicas a problemas reales. 4. Casi nunca se realizan anlisis costo-beneficio de la implantacin de soluciones definidas por medio de la I de O, en ocasiones los beneficios potenciales se van superados por los costos ocasionados por el desarrollo e implantacin de un modelo.\nLuego de conocer los pasos a seguir en la resolucin de Problemas de Programacin Lineal (PPL), desarrollaremos el siguiente ejemplo:\nEjemplo: Dos empresas Mineras extraen dos tipos diferentes de minerales, los cuales son sometidos a un proceso de trituracin, con tres grados: alto , medio y bajo. Las compaas han firmado un contrato para proveer de mineral a una planta de fundicin, cada semana, 12 toneladas de mineral de grado alto, 8 toneladas de grado medio y 24 toneladas de grado bajo. Cada una de las empresas tiene diferentes procesos de fabricacin. Mina Coste por da (miles de Euros) X Y 180 160 Produccin (toneladas/da) Alto Medio Bajo 6 3 4 1 1 6\nCuntos das a la semana debera operar cada empresa para cumplir el contrato con la planta de fundicin? Debemos buscar una solucin que minimice el coste de produccin de las empresas, sujeta a las restricciones impuestas por el proceso productivo as como el contrato con la planta de fundicin. Traduccin del problema en trminos matemticos 1. definir las variables 2. las restricciones 3. el objetivo Variables Representan las decisiones que puede tomar la empresa: Dx = nmero de das a la semana que la empresa X produce Dy= nmero de das a la semana que la empresa Y produce Notar que Dx0 y Dy0 Objetivo Como objetivo buscamos minimizar el coste Restricciones Se recomienda primero plantear las restricciones con palabras antes de pasar a su formulacin matemtica.\nRestriccin 1. Refleja el balance entre las limitaciones productivas de la fbrica y el contrato con la planta de fundicin Grado Alto 6Dx+1Dy12 Medio 3Dx+1Dy 8 Bajo 4Dx+6Dy24 Restriccin 2. Das de trabajo disponibles a la semana Dx5 y Dy5 La representacin completa del problema tomara la siguiente forma: Minimizar 180Dx+160Dy Sujeta a: 6Dx+1Dy12 3Dx+1Dy8 4Dx+6Dy24 Dx 5 Dy5 Dx0, Dy0 Procedimiento para encontrar los pares ordenados y graficar: (2, 12) 6x + y 12 (2.67, 8) 6x + y = 12 (6, 4) y=0 6x = 0 (5, 0) 6x = 12 y = 12 (0, 5) x = 12/6 x=2\nPodemos considerar lo siguiente Hemos pasado de la definicin del problema a su formulacin matemtica. Error de especificacin, el error ms frecuente consiste en descuidar las limitaciones (restricciones, caractersticas de las variables, etc.)\nEn el ejemplo anterior: a) Todas las variables son continuas (admitimos fracciones de da) b) Existe un nico objetivo (minimizar los costes) c) El objetivo y las restricciones son lineales Las tres consideraciones anteriores nos llevan a lo que denominamos un problema de Programacin Lineal PL Este nos plantea un PROBLEMA DE DECISIN Hemos tomado una situacin real y hemos construido su equivalente matemtico MODELO MATEMTICO Durante la formulacin del modelo matemtico nosotros consideramos el mtodo cuantitativo que (esperanzadamente) nos permitir resolver el modelo numricamente ALGORITMO.\nEl algoritmo es un conjunto de instrucciones que siguiendo de manera gradual producen una solucin numrica. Llegamos a una nueva definicin de I.O. Ciencia para la representacin de problemas reales mediante modelos matemticos que junto con mtodos cuantitativos nos permiten obtener una solucin numrica a los mismos Dificultades de este tipo de enfoques: Identificacin del problema (debemos ignorar partes o tratar el problema entero) Eleccin del modelo matemtico adecuado as como el algoritmo adecuado para resolverlo (validacin del algoritmo) Dificultades en la implementacin Velocidad (costes) que supone llegar a una solucin Calidad de la solucin Consistencia de la solucin Ahora continuaremos trabajando en el modelo matemtico del ejemplo anterior, aplicando el Mtodo Grafico:\nDESARROLLO: Encontrar los Puntos de Intercepcin entre las ecuaciones que se encuentran dentro de la regin factible: 6x + y 12 A 3x + y 8 6x + y = 12 (-1)3x + y = 8(-1) 6x + y = 12 -3x - y = -8 3x = 4 X= 4/3 X= 1.33 3x + y = 8 3(1.33) + y = 8 4+y=8 y=84 Y=4 4x + 6y 24 (-) 3x + y 8 12x + 18y = 72 -12x - 4y = -32 14y = 40 y =40/14 Y = 2.86 B 3x + y = 8 3x + 2.86 = 8 3x = 8 2.86 3x = 5.14 X = 5.14/3 X = 1.71\n6x + y 12 C y5 6x + y = 12 (-1) y = 5 (-1) 6x + y = 12 - y = -5 6x = 7 X = 7/6 X = 1.17\n4x + 6y 24 x 5 4x + 6y=24 4(5) + 6y = 24 20 + 6y = 24 6y = 24 - 20 6y = 4/6 Y = 0.67\nDeterminacin del Punto ptimo: Minimizar la Funcin Objetivo. Respuesta: (Z Color Amarillo).\n(1.33, 4) (1.71, 2.86) (1.17, 5) (5, O,67) (5, 5)\n180(X) + 160(Y)\n180(1.33) + 160(4) 180(1.71) + 160(2.86) 180(1.17) + 160(5) 180(5) + 160(0.67) 180(5) + 160(5)\n879.4 765.4 1010.6 1007.2 1700\nConceptos y aspectos relevantes que debes tomar en cuenta de la teora del mtodo grfico\nA. En el anlisis cuantitativo, una vez que se ha formulado y construido un modelo lineal para resolver un problema existente, en un sistema cualquiera, es necesario resolverlo. B. La solucin de un modelo lineal muestra siempre un conjunto convexo delimitado por las restricciones del mismo y en el cual, si existe solucin posible, al menos uno de sus puntos extremos es la solucin ptima. Un punto extremo existe en la interseccin de, al menos, dos rectas. C. El mtodo grfico se usa para resolver modelos lineales con dos variables y muestra el conjunto convexo que constituye la denominada regin solucin y el(los) punto(s) s extremo(s) que proporciona(n) la solucin del modelo. D. El Mtodo Grfico permite conocer la base matemtica de la solucin de modelos lineales, los conjuntos convexos, y observar grficamente situaciones que se presentan en modelos de cualquier tamao. Esto ayuda a la comprensin de la Programacin Lineal. E. El proceso para trabajar con el Mtodo Grfico sigue los pasos siguientes: a) Graficar las restricciones como igualdades y luego determinar el rea correspondiente a la desigualdad, sombreando el espacio correspondiente. b) Determinar el rea comn a todas las restricciones. c) Evaluar la Funcin Objetivo en cada punto extremo del espacio de soluciones posibles. El punto o los puntos extremos en el que se obtenga el mejor valor, determinarn la solucin del modelo. F. Existe un procedimiento alterno al punto c), sealado en el Mtodo Grfico, para obtener la solucin del modelo. Este procedimiento alterno consiste en graficar la Funcin Objetivo con un valor arbitrario dentro de la regin solucin. Luego se desplaza paralelamente en la direccin que incremente su valor (si est maximizando) o decrezca su valor (si est minimizando). El punto o los puntos extremos que toque esa Funcin Objetivo antes de salir totalmente fuera de la regin de soluciones posibles determinarn el ptimo, o solucin del modelo. G. Al conjunto convexo de solucin se le llama regin de soluciones posibles, porque todos los puntos de esa regin satisfacen TODAS las restricciones del modelo. H. Un modelo tiene solucin ptima UNICA cuando slo una combinacin de variables proporciona el mejor valor para el objetivo; se reconoce en el grfico porque un nico punto extremo provee el mejor valor del objetivo o un nico punto extremo limita el valor de la recta objetivo.\nI. Un modelo tiene soluciones ptimas ALTERNAS cuando ms de una combinacin de variables proporciona el ptimo valor del objetivo. Se reconoce en el grfico porque ms de un punto extremo proporciona el ptimo valor del objetivo o ms de un punto extremo limita el valor de la recta objetivo. La recta objetivo al desplazarse dentro de la regin solucin cae paralelamente sobre alguna restriccin antes de salir totalmente de la regin solucin. J. Un modelo NO TIENE SOLUCIN POSIBLE cuando no hay alguna\ncombinacin de variables que satisfaga todas las restricciones. Se debe a la presencia de restricciones inconsistentes en el modelo. Se reconocen en el grfico porque no existe ninguna regin comn para todas las restricciones. K. Un modelo tiene SOLUCIN CON VALOR INFINITO cuando hay\ncombinaciones de variables que proporcionan valor infinito para el objetivo y no hay alguna combinacin que limite el valor del objetivo a un valor finito. Esto se debe a la omisin de restricciones importantes, del sistema, en el modelo. Estas restricciones limitaran las variables de decisin a valores factibles. Se reconocen en el grfico porque el espacio de solucin es abierto, no acotado, no limitado y la Funcin Objetivo puede moverse dentro de esa regin hasta el infinito sin que un punto extremo, con valor finito, limite su valor. L. Un modelo tiene ESPACIO DE SOLUCION NO ACOTADO y SOLUCION DE VALOR FINITO cuando existen combinaciones de variables que dan un valor infinito al objetivo pero existe al menos una combinacin de variables que le proporciona un valor finito. Se reconocen en el grfico porque la regin de soluciones posibles es abierta, no limitada pero hay por lo menos un punto extremo que limita el valor del objetivo. M. Un modelo tiene SOLUCION DEGENERADA cuando existen combinaciones de variables que tienen ms de la cantidad normal (una por cada restriccin) de variables con valor cero. Esto se debe a la presencia de restricciones redundantes en el modelo. Ms de la cantidad normal de variables (una por cada restriccin del modelo) debe tomar valor cero para satisfacer a mayor cantidad de restricciones en el PUNTO PTIMO. Se reconocen en el grfico porque ms de dos restricciones cruzan sobre el punto extremo ptimo. N. Una restriccin redundante puede ser removida sin afectar la regin solucin. Cuando la restriccin redundante est sobre el punto extremo ptimo, la solucin es Degenerada. O. Los modelos lineales que son formulados en sistemas cuya solucin tiene valor infinito y los que no presentan solucin posible son casos que no deben existir en el\nmundo real. En los modelos con solucin degenerada, una restriccin redundante en un perodo de planificacin dentro de ese sistema, puede no serlo en otro perodo posterior, por lo tanto es recomendable tener en cuenta esa consideracin.\nPROBLEMAS DE PROGRAMACIN LINEAL:\n1- Un agricultor dispone de 150 acres de tierra frtil para los cultivos A y B. El costo\ndel cultivo A es de $40 el acre, mientras que el cultivo B cuesta $60 la misma superficie. El agricultor tiene un mximo de $7400 disponibles para trabajar la tierra. Cada acre del cultivo A necesita 20 horas de trabajo y cada acre del cultivo B 25 horas. El agricultor dispone de un mximo de 3300 horas de trabajo. Si espera una ganancia de $150 por acre del cultivo A y $200 por acre del cultivo B. Cuantos acres de cultivo debe plantear para maximizar su ganancia? 2- Una compaa fabrica dos productos A y B, en dos maquinas I y II. Se ha determinado que la compaa lograra una ganancia de $3 por cada unidad del producto A y una ganancia de $4 por cada unidad de B. Para fabricar una unidad A se necesitan 6 minutos en la maquina I y 5 minutos en la Maquina II y para una unidad B, 9 minutos en la maquina I y 4 minutos en la maquina II. Se cuentan con 5 horas de tiempo disponible para la maquina I y 3 horas de tiempo disponible para la maquina II en cada turno de trabajo. Cuntas unidades de cada producto se deben producir por turno para maximizar la ganancia de la compaa? 3- Desarrollar los siguientes ejercicios de programacin lineal:\na)Maximizar: Z = 0.5x 0.3y Sujeta a: x y > -2 2x y < 4 2x + y = 8 x,y>0 b) Minimizar: c) Minimizar: C = 2x + y Z = 120x + 80y Sujeta a: Sujeta a: 3x + y > 3 2x + 2y > 16 4x + 3y > 6 4x + y > 20 x + 2y > 2 x- y>0 x <3 0.5x <7 y<3 1/3y < 4 x,y>0\nEl mtodo Simplex es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solucin a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando ms dicha solucin. Partiendo del valor de la funcin objetivo en un vrtice cualquiera, el mtodo consiste en buscar sucesivamente otro vrtice que mejore al anterior. La bsqueda se hace siempre a travs de los lados del polgono (o de las aristas del poliedro, si el nmero de variables es mayor). Cmo el nmero de vrtices (y de aristas) es finito, siempre se podr encontrar la solucin. Vase mtodo Grfico El mtodo Simplex se basa en la siguiente propiedad: si la funcin objetivo, f, no toma su valor mximo en el vrtice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de la cual f aumenta. Deber tenerse en cuenta que este mtodo slo trabaja para restricciones que tengan un tipo de desigualdad "" y coeficientes independientes mayores o iguales a 0, y habr que estandarizar las mismas para el algoritmo. En caso de que despus de ste proceso, aparezcan (o no varen) restricciones del tipo "" o "=" habr que emplear otros mtodos, siendo el ms comn el mtodo de las Dos Fases.\nPara ello se deben cumplir las siguientes condiciones: 1. 2. 3. 4. El objetivo es de la forma de maximizacin o de minimizacin. Todas las restricciones son de igualdad. Todas las variables son no negativas. Las constantes a la derecha de las restricciones son no negativas.\nSi en nuestro modelo, deseamos minimizar, podemos dejarlo tal y como est, pero deberemos tener en cuenta nuevos criterios para la condicin de parada (deberemos parar de realizar iteraciones cuando en la fila del valor de la funcin objetivo sean todos menores o iguales a 0), as como para la condicin de salida de la fila. Con objeto de no cambiar criterios, se puede convertir el objetivo de minimizar la funcin F por el de maximizar\nVentajas: No deberemos preocuparnos por los criterios de parada, o condicin de salida de filas, ya que se mantienen. Inconvenientes: En el caso de que la funcin tenga todas sus variables bsicas positivas, y adems las restricciones sean de desigualdad "", al hacer el cambio se quedan negativas y en la fila del valor de la funcin objetivo se quedan positivos, por lo que se cumple la condicin de parada, y por defecto el valor ptimo que se obtendra es 0.\nSolucin: En la realidad no existen este tipo de problemas, ya que para que la solucin quedara por encima de 0, alguna restriccin debera tener la condicin "", y entonces entraramos en un modelo para el mtodo de las Dos Fases.\nConversin de signo de los trminos independientes (las constantes a la derecha de las restricciones)\nSurge ahora un problema, veamos como queda una de nuestras inecuaciones que contenga una desigualdad "" : a11x1 + a12x2 b1 a11x1 + a12x2 - 1xs = b1 Como todo nuestro modelo, est basado en que todas sus variables sean mayores o iguales que cero, cuando hagamos la primera iteracin con el mtodo Simplex, las variables\nbsicas no estarn en la base y tomarn valor cero, y el resto el valor que tengan. En este caso nuestra variable xs, tras hacer cero a x1 y x2, tomar el valor -b1. No cumplira la condicin de no negatividad, por lo que habr que aadir una nueva variable, xr, que aparecer con coeficiente cero en la funcin objetivo, y sumando en la inecuacin de la restriccin correspondiente. Quedara entonces de la siguiente manera: a11x1 + a12x2 b1 a11x1 + a12x2 - 1xs + 1 xr = b1 Este tipo de variables se les llama variables artificiales, y aparecern cuando haya inecuaciones con desigualdad ("=",""). Esto nos llevar obligadamente a realizar el mtodo de las Dos Fases, que se explicar ms adelante. Del mismo modo, si la inecuacin tiene una desigualdad del tipo "", deberemos aadir una nueva variable, llamada variable de holgura si, con la restriccin si "" 0 . La nueva variable aparece con coeficiente cero en la funcin objetivo, y sumando en las inecuaciones. A modo resumen podemos dejar esta tabla, segn la desigualdad que aparezca, y con el valor que deben estar las nuevas variables.\n- exceso + artificial + artificial + holgura\nUna vez que hemos estandarizado nuestro modelo, puede ocurrir que necesitemos aplicar el mtodo Simplex o el mtodo de las Dos Fases. Vase en la figura como debemos actuar para llegar a la solucin de nuestro problema:.\nTabla C1 Base Pi1 Pi2 ... Pim Z Cb Ci1 Ci2 ... Cim P0 bi1 bi2 ... bim Z0 P1 a11 a21 ... am1 Z1-C1 C2 P2 a12 a22 ... am2 Z2-C2 ... Cn ... Pn ... a1n ... a2n ... ... ... amn ... Zn-Cn\nLos valores de la fila Z se obtienen de la siguiente forma: El valor Z0 ser el de sustituir Cim en la funcin objetivo (y cero si no aparece en la base). El resto de columnas se obtiene restando a este valor el del coeficiente que aparece en la primera fila de la tabla. Se observar al realizar el mtodo Simplex, que en esta primera tabla, en la base estarn las variables de holgura. - Condicin de parada: Comprobaremos si debemos de dar una nueva iteracin o no, que lo sabremos si en la fila Z aparece algn valor negativo. Si no aparece ninguno, es que hemos llegado a la solucin ptima del problema.\n- Eleccin de la variable que entra: Si no se ha dado la condicin de parada, debemos seleccionar una variable para que entre en la base en la siguiente tabla. Para ello nos fijamos en los valores estrictamente negativos de la fila Z, y el menor de ellos ser el que nos de la variable entrante. - Eleccin de la variable que sale: Una vez obtenida la variable entrante, obtendremos la variable que sale, sin ms que seleccionar aquella fila cuyo cociente P0/Pj sea el menor de los estrictamente positivos (teniendo en cuenta que slo se har cuando Pj sea mayor de 0). La interseccin entre la columna entrante y la fila saliente nos determinar el elemento pivote. - Actualizacin de la tabla: Las filas correspondientes a la funcin objetivo y a los ttulos permanecern inalterados en la nueva tabla. El resto deber calcularse de dos formas diferentes:\nNuevo Elemento Fila Pivote = Elemento Fila Pivote actual / Pivote. Para el resto de elementos de filas se calcular: Nuevo Elemento Fila = Elemento Fila Pivote actual - (Elemento Columna Pivote en la fila actual * Nuevo Elemento Fila).\nEn esta primera fase, se realiza todo de igual manera que en el mtodo Simplex normal, excepto la construccin de la primera tabla, la condicin de parada y la preparacin de la tabla que pasar a la fase 2. - Construccin de la primera tabla: Se hace de la misma forma que la tabla inicial del mtodo Simplex, pero con algunas diferencias. La fila de la funcin objetivo cambia para la primera fase, ya que cambia la funcin objetivo, por lo tanto aparecern todos los\ntrminos a cero excepto aquellos que sean variables artificiales, que tendrn valor "-1" debido a que se est minimizando la suma de dichas variables (recuerde que minimizar F es igual que maximizar F(-1)). La otra diferencia para la primera tabla radica en la forma de calcular la fila Z. Ahora tendremos que hacer el clculo de la siguiente forma: Se sumarn los productos CbPj para todas las filas y al resultado se le restar el valor que aparezca (segn la columna que se ste haciendo) en la fila de la funcin objetivo.\nTabla C0 Base Pi1 Pi2 ... Pim Z Cb Ci1 Ci2 ... Cim P0 bi1 bi2 ... bim Z0 C1 P1 a11 a21 ... am1 Z1 C2 P2 a12 a22 ... am2 Z2 ... Cn-k ... Pn-k ... a1n-k ... a2n-k ... ... ... amn-k ... Zn-k ... Cn ... Pn ... a1n ... a2n ... ... ... amn ... Zn\nSiendo Zj = (CbPj) - Cj y los Cj = 0 para todo j comprendido entre 0 y n-k (variables de decisin, holgura y exceso), y Cj = -1 para todo j comprendido entre n-k y n (variables artificiales).\n- Condicin de parada: La condicin de parada es la misma que en el mtodo Simplex normal. La diferencia estriba en que pueden ocurrir dos casos cuando se produce la parada: la funcin toma un valor 0, que significa que el problema original tiene solucin, o que tome un valor distinto, indicando que nuestro modelo no tiene solucin. - Eliminar Columna de variables artificiales: Si hemos llegado a la conclusin de que el problema original tiene solucin, debemos preparar nuestra tabla para la segunda fase. Deberemos eliminar las columnas de las variables artificiales, modificar la fila de la funcin objetivo por la original, y calcular la fila Z de la misma forma que en la primera tabla de la fase 1.\nObtencin de la solucin: Cuando se ha dado la condicin de parada, obtenemos el valor de las variables bsicas que estn en la base y el valor ptimo que toma la funcin que estn en la base mirando la columna P0. En el caso de que estemos minimizando, se multiplicar por "-1" el valor ptimo. Infinitas soluciones: Cumplida la condicin de parada, si se observa que alguna variable que no est en la base, tiene un 0 en la fila Z, quiere decir que existe otra solucin que da el mismo valor ptimo para la funcin objetivo. Si estamos ante este caso, estamos ante un problema que admite infinitas soluciones, todas ellas comprendidas dentro del segmento (o porcin del plano, o regin del espacio, dependiendo del nmero de variables del problema) que define Ax+By=Z0. Si se desea se puede hacer otra iteracin haciendo entrar en la base a la variable que tiene el 0 en la fila Z, y se obtendr otra solucin. Solucin ilimitada: Si al intentar buscar la variable que debe abandonar la base, nos encontramos que toda la columna de la variable entrante tiene todos sus elementos negativos o nulos, estamos ante un problema que tiene solucin ilimitada. No hay valor ptimo concreto, ya que al aumentar el valor de las variables se aumenta el valor de la funcin objetivo, y no viola ninguna restriccin. No existe solucin: En el caso de que no exista solucin, seguro que tendremos que realizar las dos fases, por lo que al trmino de la primera sabremos si estamos en tal situacin. Empate de variable entrante: Se puede optar por cualquiera de ellas, sin que afecte a la solucin final, el inconveniente que presenta es que segn por cual se opte se harn ms o menos iteraciones. Se aconseja que se opte a favor de las variables bsicas, ya que son aquellas las que quedarn en la base cuando se alcance la solucin con estos mtodos. Empate de variable saliente: Se puede nuevamente optar por cualquiera de ellas, aunque se puede dar el caso degenerado y entrar en ciclos perpetuos. Para evitarlos en la medida de lo posible, discriminaremos a favor de las variables bsicas haciendo que se queden en la base. Ante el caso de estar en la primera fase (del mtodo de las Dos Fases), se optar por sacar en caso de empate las variables artificiales. Curiosidad Fase 1: Al finalizar la fase 1, si el problema original tiene solucin, todas las variables artificiales, en la fila Z deben tener el valor "1".\nPivote puede ser 0?: No, ya que siempre se realizan los cocientes entre valores no negativos y mayores que cero.\nInterpretacin grfica del Mtodo Simplex\nLa resolucin de problemas lineales con slo dos o tres variables de decisin se puede ilustrar grficamente, mostrndose como una ayuda visual para comprender muchos de los conceptos y trminos que se utilizan y formalizan con mtodos de solucin ms sofisticados, como por ejemplo el Mtodo Simplex, necesarios para la resolucin de problemas con varias variables. Para ello se puede usar el mtodo Grfico. Aunque en la realidad rara vez surgen problemas con slo dos o tres variables de decisin, es sin embargo muy til esta metodologa de solucin e interpretacin, en la que se vern las situaciones tpicas que se pueden dar, como son la existencia de una solucin ptima nica, de soluciones ptimas alternativas, la no existencia de solucin y la no acotacin. Describimos aqu las fases del procedimiento de solucin del Mtodo Grfico: 1. Dibujar un sistema de coordenadas cartesianas en el que cada variable de decisin est representada por un eje, con la escala de medida adecuada a su variable asociada. 2. Dibujar en el sistema de coordenadas las restricciones del problema (incluyendo las de no negatividad). Para ello, observamos que si una restriccin es una inecuacin, define una regin que ser el semiplano limitado por la lnea recta que se tiene al considerar la restriccin como una igualdad. Si la restriccin fuera una ecuacin, la regin que define se dibuja como una lnea recta. La interseccin de todas las regiones determina la regin factible o espacio de soluciones (que es un conjunto convexo). Si esta regin es no vaca, ir a la fase siguiente. En otro caso, no existe solucin que satisfaga (simultneamente) todas las restricciones y el problema no tiene solucin, denominndose no factible. 3. Determinar los puntos extremos (puntos que no estn situados en segmentos de lnea que unen otros dos puntos del conjunto convexo) de la regin factible (que, como probaremos en la siguiente seccin, son los candidatos a solucin ptima). Evaluar la funcin objetivo en estos puntos y aqul o aquellos que maximicen (o minimicen) el objetivo, corresponden a las soluciones ptimas del problema.\nPara comprender con mayor facilidad la aplicacin de este mtodo puede ver el ejemplo del mtodo Grfico.\nResolver mediante el mtodo simplex el siguiente problema:\nSe consideran las siguientes fases: 1. Convertir las desigualdades en igualdades Se introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones del tipo , para convertirlas en igualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales:\n2x + y + r = 18 2x + 3y + s = 42 3x +y + t = 24\n2. Igualar la funcin objetivo a cero\n3. Escribir la tabla inicial simplex En las columnas aparecern todas las variables bsicas del problema y las variables de holgura/exceso. En las filas se observan, para cada restriccin las variables de holgura con sus coeficientes de las igualdades obtenidas, y la ltima fila con los los valores resultantes de sustituir el valor de cada variable en la funcin objetivo, y de operar tal como se explic en la teora para obtener el resto de valores de la fila: Tabla I . Iteracin n 1 3 2 0 Base P3 P4 P5 Z Cb 0 0 0 P0 18 42 24 0 P1 2 2 3 -3 P2 1 3 1 -2 P3 1 0 0 0\n4. Condicin de parada Cuando en la fila Z no existe ningn valor negativo, se ha alcanzado la solucin ptima del problema. En tal caso, se ha llegado al final del algoritmo. De no ser as, se ejecutan los siguientes pasos. 5. Condicin de entrada y salida de la base A. Primero debemos saber la variable que entra en la base. Para ello escogemos la columna de aquel valor que en la fila Z sea el menor de los negativos. En este caso sera la variable x (P1) de coeficiente - 3. Si existiesen dos o ms coeficientes iguales que cumplan la condicin anterior (caso de empate), entonces se se optar por aquella variable que sea bsica. La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote (En color verde). B. Una vez obtenida la variable que entra en la base, estamos en condiciones de deducir cual ser la variable que sale. Para ello se divide cada trmino independiente (P0) entre el elemento correspondiente de la columna pivote, siempre que el resultado sea mayor que cero, y se escoge el mnimo de ellos. En nuestro caso: 18/2 [=9] , 42/2 [=21] y 24/3 [=8] Si hubiera algn elemento menor o igual a cero no se realiza dicho cociente, y caso de que todos los elementos de la columna pivote fueran de sta condicin tendramos una solucin no acotada y terminaramos el problema Ver teora del mtodo Simplex . El trmino de la columna pivote que en la divisin anterior d lugar al menor cociente positivo, el 3, ya que 8 es el menor cociente, indica la fila de la variable de holgura que sale de la base, t (P5). Esta fila se llama fila pivote (En color verde). Si al calcular los cocientes, dos o ms son iguales (caso de empate), se escoge aquella que no sea variable bsica (si es posible). C. En la interseccin de la fila pivote y columna pivote tenemos el elemento pivote, 3. 6. Encontrar los coeficientes de la nueva tabla. Los nuevos coeficientes de la fila pivote, t (P5), se obtienen dividiendo todos los coeficientes de dicha fila entre el elemento pivote, 3, que es el que hay que convertir en 1. A continuacin mediante la reduccin gaussiana hacemos ceros los restantes trminos de su columna, con lo que obtenemos los nuevos coeficientes de las otras filas incluyendo los de la funcin objetivo Z.\nTambin se puede hacer de la siguiente manera: Fila del pivote: Nueva fila del pivote = (Vieja fila del pivote) / (Pivote) Resto de las filas: Nueva fila = (Vieja fila) -(Coeficiente de la vieja fila en la columna de la variable entrante) x (Nueva fila del pivote)\nVieja fila de P4 Coeficiente Nueva fila pivote\n42 2 x 8 =\n0 1 2 2 x x 0 0 = = 0 1\nNueva fila de P4\nVemoslo con un ejemplo una vez calculada la fila del pivote (fila de x (P1) en la Tabla II):\nSe puede observar que no hemos alcanzado la condicin de parada ya que en los elementos de la ltima fila, Z, hay uno negativo, -1. Hay que repetir el proceso: A. La variable que entra en la base es y (P2), por ser la variable que corresponde a la columna donde se encuentra el coeficiente -1. B. Para calcular la variable que sale, dividimos los trminos de la ltima columna entre los trminos correspondientes de la nueva columna pivote: 2 / 1/3 [=6] , 26 / 7/3 [=78/7] y 8 / 1/3 [=8] y como el menor cociente positivo es 6, tenemos que la variable que sale es r (P3). C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 1/3. Operando de forma anloga a la anterior obtenemos la tabla:\nComo en los elementos de la fila Z hay uno negativo, -1, significa que no hemos llegado todava a la solucin ptima. Hay que repetir el proceso: A. La variable que entra en la base es t (P5), por ser la variable que corresponde al coeficiente -1. B. Para calcular la variable que sale, dividimos los trminos de la ltima columna entre los trminos correspondientes de la nueva columna pivote: 6/(-2) [=-3] , 12/4 [=3], y 6/1 [=6] y como el menor cociente positivo es 3, tenemos que la variable que sale es s (P4). C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 4.\nObtenemos la tabla: Tabla IV . Iteracin n 4 3 Base P2 P5 P1 Z Cb 2 0 3 P0 12 3 3 33 P1 0 0 1 0 2 P2 1 0 0 0 0 P3 -1/2 -7/4 -3/4 5/4 0 P4 0 0 0 0 0 P5 0 1 0 0\n1. Inicialmente dibujamos el sistema de coordenadas asociando a un eje la variable x, y al otro la y, como se puede ver en la figura. 2. Marcamos en ellos una escala numrica apropiada de acuerdo con los recorridos de las variables en relacin con las restricciones del problema. A continuacin dibujamos las restricciones. Comenzando con la primera, dibujamos la recta que se obtiene al considerar la restriccin como igualdad. Aparece representada como el segmento que une A con B y la regin que delimita sta restriccin viene indicada por el color AMARILLO. Se repite el proceso de la misma forma con la segunda y tercera restriccin, y delimitan la regin de color AZUL y ROJO respectivamente. La regin factible es la interseccin de las regiones delimitadas por la terna de\nrestricciones y por las condiciones de no negatividad de las variables, es decir, por la regin de valores admisibles limitada por ambos ejes coordenados. La regin factible est representada por el polgono convexo O-F-H-G-C, que aparece de color VIOLETA.\n3. Ya que la regin factible es no vaca (problema factible), procedemos a determinar sus puntos extremos, candidatos a soluciones ptimas, que son los puntos O-F-H-GC de la figura. Finalmente, evaluamos la funcin objetivo (3x + 2y) en esos puntos, resultado que se recoge en la tabla siguiente. Como el punto G proporciona el mayor valor al objetivo Z, tal punto constituye la solucin ptima, que indicaremos x = 3 y = 12, con valor ptimo Z = 33. Punto extremo O C G H F\nCOMPARACION DEL MTODO GRFICO CON EL MTODO SIMPLEX Las sucesivas tablas que hemos construido durante el mtodo simplex van proporcionando el valor de la funcin objetivo en los distintos vrtices, ajustndose, a la vez, los coeficientes de las variables iniciales y de holgura. En la primera iteracin (Tabla I) han permanecido todos los coeficientes iguales, se ha calculado el valor de la funcin objetivo en el vrtice (0,0) que es el valor que contienen las variables bsicas, siendo el resultado 0. Tabla I . Iteracin n 1 3 2 0 Base P3 P4 P5 Z Cb 0 0 0 P0 18 42 24 0 P1 2 2 3 -3 P2 1 3 1 -2 P3 1 0 0 0\nA continuacin se desplaza por la arista (0,0) F, calculando el valor de la funcin Z, hasta llegar a F. ste paso se traduce como la segunda iteracin en el Mtodo Simplex,\naportando la Tabla II, en la que se ha calculado el valor que corresponde al vrtice F(8,0): Z = f(8,0) = 24. Tabla II . Iteracin n 2 3 2 0 Base P3 P4 P1 Z Cb 0 0 3 P0 2 26 8 24 P1 0 0 1 0 P2 1/3 7/3 1/3 -1 P3 1 0 0 0\nSigue por la arista FH, hasta llegar a H, donde se para y despliega los datos de la Tabla III. En sta tercera iteracin se ha calculado el valor que corresponde al vrtice H(6,6): Z = f(6,6) = 30. Tabla III . Iteracin n 3 3 Base P2 P4 P1 Z Cb 2 0 3 P0 6 12 6 30 P1 0 0 1 0 2 P2 1 0 0 0 0 P3 3 -7 -1 3 0 P4 0 1 0 0 0 P5 -2 4 1 -1\nConceptos y aspectos relevantes de la teora de la solucin de Modelos de Programacin Lineal\n1. El Mtodo Simplex es un procedimiento de clculo algebraico, iterativo, para resolver Modelos Lineales de cualquier tamao. 2. El algoritmo Simplex requiere que el Modelo Lineal, para ser solucionado, cumpla las condiciones de Forma Estndar y Sistema Cannico. 3. La Forma Estndar incluye: a) una Funcin Objetivo a optimizar, b) lado derecho de las restricciones con valor positivo, c) variables de decisin no negativas y d) las restricciones deben ser expresadas como igualdades. 4. Para transformar las restricciones en igualdades se deben incorporar las llamadas variables de holgura. 5. Una variable de holgura tiene coeficiente cero en la Funcin Objetivo. Se suman en restricciones del Tipo y se restan en restricciones del Tipo . En trminos matemticos, expresan la diferencia entre el lado izquierdo y el lado derecho de las restricciones. Al igual que las variables de decisin deben ser mayores o iguales a cero.\n6. En trminos del modelo representan la cantidad de recurso no utilizado con relacin a un mximo disponible, o utilizado por encima de un mnimo disponible. Esto es as cuando la restriccin es de un recurso disponible. 7. Cuando la restriccin es de una condicin o requerimiento, representan la cantidad de esa condicin o requerimiento que se obtiene por encima de un mnimo o que se deja de tener con relacin a un mximo. 8. El Sistema Cannico en un Modelo Lineal significa que debe existir una variable bsica en cada restriccin. Esto permite obtener una primera solucin posible que satisface todas las restricciones. 9. Una variable bsica tiene coeficiente 1 positivo en una restriccin y no existe en las dems. 10. Las variables de decisin (estructurales) del modelo y las variables de holgura pueden ser variables bsicas. Cuando ninguna de ellas cumple con la condicin de ser bsica, se incorpora una variable como artificio matemtico, para cumplir con el sistema cannico y a esa variable se le llama variable artificial. 11. Una variable artificial debe tener incorporado un coeficiente muy alto en la Funcin Objetivo, con signo negativo en maximizacin y con signo positivo en minimizacin. Con esto se logra que el procedimiento Simplex las elimine de la solucin en las primeras iteraciones. Estas variables deben valer cero en la solucin ptima del modelo. 12. Una Tabla Simplex es un resumen detallado de toda la informacin del modelo para trabajar ms fcilmente con l. 13. En las Tablas Simplex, el espacio Cx se utiliza para copiar los coeficientes de todas las variables en la Funcin Objetivo. En fila porque ellos conforman un vector fila. Debajo de cada coeficiente se escribe el smbolo correspondiente a la variable de ese coeficiente. En el espacio CB, se copian los coeficientes de las variables correspondientes a las variables que son bsicas en cada restriccin. En el espacio BASE se copian las variables que son bsicas en cada restriccin. Tanto los coeficientes como las variables estn colocadas en el correspondiente nivel de la restriccin en la que se usan como bsicas. Debajo del smbolo de cada variable se escriben los vectores de esas variables en el modelo. Ellos conforman la matriz de coeficientes. En el espacio bi se copian los lados derechos de las restricciones conformando un vector columna, cada solucin posible del modelo se leer en este espacio. 14. El Modelo Lineal en su forma estndar general puede ser escrito en notacin matriz- vectores, como:\nMax Z = cx Sujeto a : ax = b a0 b0\nDonde A es una matriz (mxn); x es un vector columna (nx1); b es vector columna (mx1) y ces un vector fila (1x n). El nmero de variables es n y el nmero de restricciones es m. 15. El Mtodo Simplex funciona, en forma general, de la siguiente forma: Calcula una solucin posible inicial y determina s esa solucin es ptima. Si no lo es, se mueve a un punto extremo adyacente, en el conjunto convexo de soluciones posibles, y calcula la nueva solucin en ese punto. De nuevo determina si esa solucin es o no ptima; si no lo es, repite el proceso anterior. As contina sucesivamente hasta encontrar un punto extremo cuyo valor objetivo no pueda ser mejorado y all concluye, determinando as que ha encontrado la solucin ptima. 16. Para calcular la solucin posible inicial le otorga valor cero a las variables que no son bsicas y resuelve para las otras variables bsicas. Cada solucin posible satisface todas las restricciones. 17. Para determinar si la solucin inicial es ptima, calcula los llamados coeficientes relativos de las variables. Estos valores informan en cuanto variara el objetivo por cada unidad en que se incremente el valor de la variable a la que se refiere ese coeficiente relativo. 18. Si la solucin no es ptima, al moverse a otro punto extremo adyacente en el conjunto convexo, el Mtodo Simplex efecta un intercambio de una variable bsica por una no-bsica. 19. Para determinar cual variable no-bsica debe entrar a formar parte de una nueva solucin, como variable bsica, se utiliza como criterio el seleccionar la variable que mejore en mayor cantidad el objetivo. La medida utilizada para aplicar este criterio son los llamados Coeficientes Relativos de las variables. 20. Para determinar cul variable bsica debe salir de una solucin, para pasar a ser variable no bsica, se utiliza como criterio el seleccionar a la variable bsica que se hace cero al introducir la nueva variable bsica. La medida utilizada para aplicar este criterio es el llamado Ratio Mnimo de la variable. Adems de indicar la variable que se hace cero, el Ratio Mnimo informa cul ser el valor de la variable entrante en la nueva solucin. 21. Para calcular una nueva solucin posible efecta operaciones matemticas que transforman el sistema actual de ecuaciones, en un sistema de ecuaciones equivalente. Este es un proceso iterativo. En cada iteracin intercambia una variable bsica por una no-bsica. Los Coeficientes Relativos y los Ratios Mnimos tienen frmulas matemticas para calcularlos. 22. En cada iteracin intercambia una variable bsica por una no-bsica. En cada solucin los Coeficientes Relativos informan si se ha llegado o no al ptimo. Coeficientes Relativos y los Ratios Mnimos tiene frmulas matemticas para calcularlos.\n23. En las Tablas Simplex se reconoce que hay una solucin ptima NICA cuando los coeficientes relativos de variables no-bsica tienen valor > que cero en minimizacin y < que cero en maximizacin. Esto indicara que ninguna de esas variables IGUALARA el valor ptimo encontrado y por lo tanto, es nica. 24. Se reconoce que hay una solucin ptima ALTERNA cuando por lo menos uno de los coeficientes relativos de variables no-bsica tiene valor igual a cero Esto indicara que esa variables IGUALARIA el valor ptimo encontrado y por lo tanto, es alterna. 25. Se reconoce que hay una solucin ptima con valor INFINITO cuando por lo menos uno de los coeficientes relativos de variables no-bsica tiene un valor que indique que la solucin actual puede ser mejorada. Pero al calcular el Ratio Mnimo, ste indica que esa variable puede crecer indefinidamente y por lo tanto tambin el valor del objetivo. 26. Se reconoce que hay una solucin ptima IMPOSIBLE cuando todos los coeficientes relativos indican que la solucin es ptima pero, por lo menos, una variable artificial permanece en la solucin con valor mayor que cero. 27. Se reconoce que hay una solucin ptima DEGENERADA cuando por el nmero de variable bsicas con valor mayor que cero es menor que el nmero de restricciones en el modelo. 28. El Mtodo Simplex estudiado es el Regular, existen variaciones como el Simplex Revisado y numerosos refinamientos que se le han hecho en aplicaciones para computadora. 29. En 1984, el matemtico Narendra Karmakar cre un nuevo algoritmo para solucionar modelos lineales. Este algoritmo permite manejar cantidades enormes de variables y restricciones. AT&T desarroll su implementacin en computadora en 1988 y ha presentado versiones posteriores.IBM agreg variantes al algoritmo en 1990. Mientras tanto, se han elaborado miles de trabajos dirigidos a desarrollar variantes mejoradas del algoritmo. 30. El Mtodo de Karmakar tambin es un algoritmo iterativo, como el Simplex, pero parte de una solucin de prueba, obtenida DENTRO de la regin de soluciones posibles. En cada iteracin se mueve dentro de la regin solucin a una mejor solucin de prueba y as contina hasta obtener la mejor solucin en un punto extremo. La principal diferencia con el Algoritmo Simplex es que trabaja con puntos interiores de la regin solucin y por eso se le llama tambin ALGORITMO DE PUNTOS INTERIORES.\n31. La empresa Delta Airlines con 7000 pilotos que deben manejar 400 aviones y movilizarlos a 166 ciudades en el mundo, ha preferido las ventajas de este algoritmo para usar eficientemente los recursos escasos. 32. Programas de computadora para la solucin de modelos lineales son distribuidos comercialmente. Por lo tanto, la principal atencin debe darse a la definicin del problema y a la determinacin y elaboracin del modelo a usar. Todo ello con el fin de poder aplicar la tcnica e interpretar resultados para tomar decisiones.\nDESARROLLAR POR EL METODO SIMPLEX LOS PROBLEMAS QUE SE PLANTEARON EN PROGRAMACIN LINEAL.\nBIBLIOGRAFIA: La bibliografa existente sobre Investigacin de Operaciones es amplia y extensa, por lo que no se recomendar algn libro de texto en particular. Cada estudiante decidir cul libro considera mejor o ms conveniente, para su aprendizaje. INVESTIGACIN DE OPERACIONES Editorial Prentice Hall, 7 edicin Mxico 2004 HAMDY A. TAHA MANUAL DE INVESTIGACIN DE OPERACIONES FORMULACIN Y RESOLUCIN DE MODELOS DE PROGRAMACIN MATEMATICA EN INGENIERIA Y CIENCIA. Enrique Castillo, Antonio J. Conejo, Pablo Pedregal, Ricardo Garca y Natalia Alguacil 20 de febrero de 2002 http://www.phpsimplex.com/teoria_metodo_simplex.htm#anomalos http://www.google.com.sv/search?hl=es&q=metodo+simplex&lr=&aq=f&oq= http://www.google.com.sv/search?hl=es&q=metodo+simplex+POWER+POINT&lr =\nДокументы, похожие на «IO»


Indicativo y subjuntivo. Un enlace útil para practicar. – ProfeVio\nIndicativo y subjuntivo. Un enlace útil para practicar.\n1 abril, 2014 1 abril, 2014 profemichele Deja un comentario\nOs dejo un enlace a una página de la editorial EDELSA en la que se proponen ejercicios para repasar y practicar el uso del indicativo y del subjuntivo.\nAquí tenéis también las claves.\n3° ABDEL, 3° C, 3° FH, 4° ABDEL, 4° C, clases, DELEDDA 2013/2014, UncategorizedB2, ejercicios, gramática, subjuntivo\n← Traducción museo 4°C\nLeer en voz alta. TAREA de lectura (2). Microrrelatos de 4° C (podcast). →


Petróleo WTI dentro de una zona de rebote\nEl barril de petróleo WTI está oscilando alrededor del nivel Fibonacci de 61.8% en 66.04, donde los toros están tratando de dar por terminado un ciclo bajista iniciado desde el 22 de Mayo y es por ello que proyectamos un rebote que lo lleve a alcanzar niveles más altos. Si logra fracturar esa zona, esperaríamos a un avance hacia el nivel Fibonacci de -23.6% en 75.51.\nNo obstante, todavía existe la posibilidad de una extensión bajista y que el rebote actual sea tan solo una corrección en medio de la caída registrada. Si el soporte ofrecido por el nivel Fibo de 61.8% llega a ceder, esperamos una aceleración bajista hacia el nivel de 61.80. El RSI se mantiene en zona de sobrecompra.


Milow actuará en Madrid el próximo 8 de Noviembre presentando su gira “Less is More” – Planet Events\nMilow actuará en Madrid el próximo 8 de Noviembre presentando su gira “Less is More”\nLa primera fecha confirmada es Madrid y tendrá lugar el próximo 8 deNoviembre en el mítico Teatro Lara.\nMilow, que saltó a la fama debido a su magnífica versión del tema .Ayo Technology. de 50 Cent, Justin Timberlake y Timbaland, estará presentando sus canciones de manera íntima con formato de banda reducido. Más allá de las mastodónticas puestas en escena, el artista revindica lo esencial de la música y reclama el espíritu básico con el tour .Less is More., ofreciendo algo diferente.\nUna oportunidad muy especial de disfrutar de uno de los artistas europeos más reconocidos del panorama musical independiente.\nPreventa de entradas y precio reducido hasta el 1 de Septiembre\nEl club de fans oficial de Milow pone a disposición de sus socios una preventa de entradas exclusiva desde hoy mismo, pudiendo adquirir sus tickets a través de Crowdsurge. El próximo lunes 27 de Agosto,entradas.com abrirá también su canal de venta para el resto de seguidores. Aconsejamos a los fans de Milow que obtengan sus entradas antes del 1 de Septiembre dado que debido a la subida del IVA en las empresas de ocio, el precio de los tickets tendrá un coste mayor.\nManá publica su álbum de grandes éxitos


El misterio de la Misericordia, Pt.1 – Estudios Bíblicos\nEl misterio de la Misericordia, Pt.1\nBien, si tienes una Biblia y espero que así sea, déjame invitarte a abrir conmigo en Rut capítulo 1. Esta mañana empezamos una travesía a través de una de las historias más conmovedoras en toda la Escritura. Tiene todos los elementos de una historia de amor, tragedia, pérdida, triunfo, esperanza, lealtad y romance. Pero esa no es solo una historia de amor esparcida en cuatro capítulos de la Escritura. Es una historia dentro de una historia. Una historia, una parte de una historia más grande, de la cual nosotros también somos parte. Es una historia dentro de una grandiosa historia de redención. Un cuento de cómo Dios está redimiendo a un pueblo para sí mismo trayéndolos de la desesperación al regocijo, del dolor a la esperanza. Y tú y yo nos encontramos en la mitad de esta historia.\nMientras nos acercamos al Libro de Rut, hemos conseguido un par de retos ante nosotros. Primero es el reto de leer esta historia, y vamos a estudiarla durante algunos programas. Así que tenemos un par de opciones de cómo dirigir nuestra lectura estudiando el libro de Rut. Nosotros podemos adelantarnos y mirar lo que sucede en el capítulo 4 así podemos entender completamente el capítulo 1 o podemos movernos lentamente a lo largo de este libro y sentir la tensión que los lectores iniciales sintieron mientras estaban escuchando solo capítulo por capítulo sin conocer el final desde el inicio, y realmente ambas opciones tienen sus ventajas, pero aquí está lo que he decidido que hagamos.\nLo que vamos a hacer en los siguientes programas es que nosotros vamos a avanzar lentamente a través de este libro y hoy vamos a pasar un tiempo solo en el capítulo 1. No vamos a ver lo que está sucediendo en el capítulo 2, 3 y especialmente en el capítulo 4. Ahora puede que algunos de ustedes ya hayan leído Rut antes, y otros tal vez no, o tal vez ha pasado un largo tiempo desde que leíste. Pero hoy quiero animarte a que no seas como aquellos lectores de novelas quienes empiezan una novela e inmediatamente van a las últimas páginas para ver a dónde se está dirigiendo esta cuestión y después regresan al inicio solo para soltar algo parecido a un suspiro de alivio.\nEntonces, lo que voy a hacer es caminar junto a ti para guiarte a través de este libro paso a paso sin mirar adelante. Ahora, una vez que miremos adelante, una vez que descubramos lo que sucede al final, eso nos ayudará a entender lo que hemos visto. Pero quiero que sintamos la tensión y no solo lo que los lectores iniciales escuchan cuando están leyendo este libro, sino lo que estos personajes, las personas en el Libro de Rut estaban sintiendo mientras caminaban a lo largo de esta travesía. Quiero que sintamos el peso de Rut capítulo 1.\nAhora, tenemos que ser cuidadosos. La desventaja ahí es que si hoy solo vamos a pasar tiempo en el capítulo 1, hay una gran posibilidad de que podríamos irnos de aquí totalmente deprimidos y esa nos es la meta, entonces vamos a tratar de manejar eso un poco. Pero la meta es que vamos a tomar esto paso por paso lo cual nos dirige al segundo reto. Estamos leyendo este libro en español y no en su lenguaje original, ya que fue escrito originalmente en hebreo. Y si solo pudiese ponerlo simple, el autor del libro de Rut, del cual no estamos seguros quién es, pero sabemos que es un escritor brillante por los recursos literarios que él o ella utiliza. Quien sea que lo escribió, a lo largo de este trae cosas a la luz que nos perderemos si no somos cuidadosos en la lengua española y muchas cosas que no podemos comprender en la lengua española. Así que lo que vamos a hacer ahora y será un poco diferente a lo que normalmente hacemos en lugar de solo leer a través del capítulo 1 de Rut, es pausar a lo largo del camino.\nY mi meta por la que he orado es que Dios me ayudará a narrarte esta historia y a señalar algunos de los matices en el idioma que ayudarán a aumentar nuestra sensibilidad a ciertas verdades o ciertas figuras o ciertos hechos que nos ayudarán a comprender el sentido de lo que está sucediendo en el Libro de Rut. Entonces, vamos a pasar algún tiempo caminando a través de estos versos y puedes tomar apuntes en una hoja o podrías hacer apuntes en tu Biblia, mientras caminamos verso tras verso, y trata de permitir que esta historia cobre vida como si estuviésemos en medio de ella. Así que aquí está la meta; estudiar el Libro de Rut.\nAhora mantén en mente que este es solo uno de los dos libros en la Biblia nombrados por una mujer. El otro es Esther. Bueno, ahí vamos. Tú tienes a Esther y el único libro en el Antiguo Testamento que está nombrado por un no-judío así que eso debería llamar nuestra atención desde el principio. Entonces adentrémonos en Rut capítulo 1, verso 1: “aconteció en los días que gobernaban los jueces, que hubo hambre en la tierra. Y un varón de Belén de Judá fue a morar en los campos de Moab, él y su mujer, y dos hijos suyos.” Bueno, no vamos a ir muy lejos aquí. Detengámonos, pausemos. Al leer la historia estamos buscando ciertos elementos y estos surgen a la superficie desde el primer verso, el tiempo y el espacio. El tiempo: “en los días que gobernaban los jueces” te da una pequeña imagen de la historia del Antiguo Testamento.\nHasta este punto has pasado desde Génesis hasta Deuteronomio lo cual nos da una imagen de la fundación del pueblo de Dios; los patriarcas. Después se desarrolla en el éxodo de Egipto y vagando a través de la Tierra Prometida y llegas al libro de Josué, y Josué dirige al pueblo a la Tierra Prometida y el pueblo de Dios se establece y se asienta ahí.\nBien, llegamos ahora al libro de Jueces, mira el último verso en el libro de Jueces. Es en la página a tu izquierda cuando buscas Rut, el último versículo antes de llegar a Rut, Jueces 21:25. Esto resume todo el Libro de Jueces justo aquí. Jueces 21:25 dice: “En estos días no había rey en Israel; cada uno hacía lo que bien le parecía”. Básicamente el libro de Jueces es un ciclo; no hay rey en la Tierra y todos están haciendo lo que mejor les parece, lo que significa que todos corren desenfrenadamente hacia el pecado entre la gente de Dios en la Tierra Prometida. Esto es antes de los reyes, antes del Rey Saúl, David y Salomón. Lo que tenemos es un tiempo donde todos están siguiendo sus propias reglas. Lo que sucede es que las personas están cautivas en el pecado y como resultado de su entrega al pecado, se encuentran a sí mismos siendo atacados por los enemigos a su alrededor. Ellos claman a Dios por ayuda y lo que Dios hace es levantar un juez para ayudar a librarlos de sus enemigos y el ciclo empieza de nuevo.\nUna vez que ellos son librados, son cautivos del pecado, después son atacados por sus enemigos siendo superados, ellos claman por ayuda y Dios levanta un juez. Esto sucede una y otra vez. Y entonces llegamos al libro de Rut, cuando llegamos a este libro lo que sucede es que estamos un poco deslumbrados por lo que ha sucedido en medio del libro de Jueces. No estamos seguros exactamente en qué parte del libro de Jueces (algunos estudiados piensan que alrededor del capítulo 10 de Jueces), pero lo que sucede es que Rut no está avanzando en la historia en el Antiguo testamento así que, para hablar de esto, hay una pausa aquí en el libro de Jueces y se toma una historia de en medio de ese periodo de tiempo y se lo trae a la luz. Así que en ese tiempo existía una hambruna en la tierra del pueblo de Dios particularmente en Belén, lo cual es particularmente interesante porque Belén significa la “casa de pan”. Y la “casa de pan” no tiene pan. Así que lo que encontramos es al pueblo de Dios en la Tierra Prometida y con hambruna. Solo imagina, la mayoría de nosotros, si no todos nosotros relativamente no estamos familiarizados con la hambruna.\n¿Qué significa estar completamente sin comida y con la duda de qué vas a comer?, ¿qué van a poder comer tus hijos? No hay comida, literalmente estás muriendo de hambre. Nosotros decimos cuando tenemos hambre, estoy muriendo de hambre, pero la realidad es que no tenemos ni idea de lo que morir de hambre significa. Así que, hay hambruna en la tierra de Belén y lo que sucede es que un hombre del pueblo de Dios toma a su familia, le da la espalda a la Tierra que Dios le ha prometido y va a la tierra de Moab.\nMe tomaré un momento para darte un pequeño contexto de Moab. El inicio de los moabitas está en Génesis 19 cuando Lot tuvo una relación de incesto con su hija. Y cuando el pueblo de Dios quería pasar a través de Moab en su travesía vagando en el desierto, los moabitas dijeron no, no pueden venir, entonces surgió una división entre los moabitas y los israelitas.\nY en algún momento de la historia, hubo un punto cuando las mujeres moabitas sedujeron a los israelitas hacia la inmoralidad sexual y todos los tipos de idolatría, entonces Dios hizo descender juicio. Veinticuatro mil personas fueron abatidas y muertas. Moab es un lugar conocido particularmente por la inmoralidad sexual y por la idolatría y la adoración a falsos dioses. Ellos eran enemigos del pueblo de Dios en Israel y aquí es donde este judío lleva a su familia. Al lugar vergonzoso, Moab. Ese es el verso 1, leámoslo nuevamente dice: “aconteció en los días que gobernaban los jueces, que hubo hambre en la tierra. Y un varón de Belén de Judá fue a morar en los campos de Moab, él y su mujer, y dos hijos suyos. El nombre de aquel varón era Elimelec, y el de su mujer, Noemí; y los nombres de sus hijos eran Mahlón y Quelión, efrateos de Belén de Judá. Llegaron, pues, a los campos de Moab, y se quedaron allí”. Ahora ya tenemos lugar, tiempo y personas. El nombre del hombre era Elimelec. Podrías encerrar en un círculo eso y poner una línea a un costado.\nEl nombre Elimelec significa “Mi Dios es Rey” solo piensa acerca de eso. En un día donde no había rey en la tierra la primera imagen de un personaje que tenemos en esta historia es la imagen de un hombre cuyo nombre quiere decir “Dios es Rey”. Su esposa, Noemí, siguiendo a su esposo mientras toma la decisión de dirigir a su familia a Moab con sus dos hijos, Mahlón y Quelión. Ahora vamos a leer los versos 3, 4 y 5 y este es uno de aquellos lugares donde hay un recurso literario breve, sin sentimiento, sin emoción. Lo que leeremos en los versos 3, 4 y 5, no tiene detalles, solo tienes hechos brutos, fríos, duros, uno tras otro. Solo se siente la frialdad en estos siguientes versos. El verso 3 dice: “y murió Elimelec, marido de Noemí, y quedó ella con sus dos hijos, los cuales tomaron para sí mujeres moabitas; el nombre de una era Orfa, y el nombre de la otra, Rut; y habitaron allí unos diez años. Y murieron también los dos, Mahlón y Quelión, quedando así la mujer desamparada de sus dos hijos y de su marido.” (Rut 1:3-5)\nUna pesadilla de diez años resumida en estos tres rápidos versos. Sin detalles, sin historia, sin contexto. Es solo una tragedia construida sobre otra tragedia sobre otra tragedia. Elimelec murió; el hombre quien proveía para ella y la trajo a esta tierra se había ido. No sabemos cómo. No sabemos lo que sucedió, pero ahora ella queda viuda en Moab con dos hijos. Ellos se casaron con mujeres moabitas construyendo sobre la tragedia. ¿Mujeres moabitas? Esto no es cómo Noemí imaginaba a su familia. Ella había escuchado historias de moabitas y ahora sus hijos se habían casado con ellas. Imagina a estas mujeres, quienes se habían satisfecho a sí mismas en la inmoralidad sexual con hombres israelitas y ellas eran quienes ahora estaban en su hogar. «Y habitaron allí unos diez años, y murieron también los dos, Mahlón y Quelión”. No sabemos si ellos murieron al mismo tiempo o en años cercanos el uno del otro, pero de repente Noemí mira a su alrededor y su esposo está muerto, sus dos hijos están muertos y ella está en casa con dos nueras moabitas. Ella ha perdido todo: ha perdido su seguridad, su familia, ha perdido a sus proveedores, ha perdido su esperanza. Y en medio de eso hay una imagen de esperanza, espero que puedas acompañarnos en el siguiente programa y realzar esta imagen completa de la gloria de Dios. Que Dios te bendiga.\nPrevious article ¿Cómo vivimos? Pt.5\nNext article El misterio de la Misericordia. Pt.2


El Arte Popular en la República Mexicana: San Luis Potosí | Asociación de Amigos del Museo de Arte Popular\nEsto es México0 Comentarios4254 views\n“En relación a esto último, San Luis Potosí es una de las regiones culturales más ricas en cuanto a variedad, calidad y esteticidad de piezas artesanales y utilización de materiales”, juzga el maestro Víctor Hugo Vargas, y ejemplifica con una amplia gama: carrizo, varas, palma, ixtle, zapupe, bejuco, otate y otatillo, sotol, barro, madera, lana, algodón, seda, artisela, latón, hierro, plomo, cuero, cartón, cera, trapo.\nLas regiones del altiplano y centro del estado tienen expresiones más mestizas del arte popular, en tanto que la región media, con los indios pames, y la Huasteca, con los tének o huastecos y los náhuas, tienen hermosas artesanías indígenas.\nEn Santa María del Río elaboran rebozos, constituyéndose como la principal producción artesanal del estado.\nEn Santa María del Río elaboran rebozos, constituyéndose como la principal producción artesanal del estado; a ese poblado se le puede considerar la capital nacional de esa prenda mexicanísima, de antiguo origen y prestigio “dado el grado de dificultad, maestría y sensibilidad creativa que acompañan su proceso de fabricación, más si el rebozo es de seda pura”. Pariente muy cercano de las chalinas españolas, se tienen referencias del rebozo mestizo desde 1603. “Al rebozo se le puede considerar patrimonio de México”. A nivel nacional, asombran los múltiples usos que se le dan al rebozo: es abrigo contra el frío; cubre del sol y también lo hace para el recato y para las ceremonias religiosas; permite envolver y cargar a los niños pequeños; asimismo ayuda a transportar objetos en la espalda; se adapta como turbante o especie de sombrero; puede ser falda o enrredo; es prenda ornamental que no desmerece en reuniones de gala o incluso como atuendo de novia.\nLa artesanía pame (Santa Catarina, Rayón, Tamasopo y Ciudad del Maíz) se sustenta en buena medida en el tejido de la palma; notables son las muñecas con pelo de cabellos de elote.\nLa artesanía pame (Santa Catarina, Rayón, Tamasopo y Ciudad del Maíz) se sustenta en buena medida en el tejido de la palma; notables son las muñecas con pelo de cabellos de elote, amén de cestería, máscaras de madera y la alfarería de barro blanco con chapopote. Asimismo hacen sencilla laudería para sus fiestas, como el Día de Muertos y también los funerales, donde se tocan “minuetes” toda la noche de la víspera del entierro. “Cuando velan a los niños preparan pan cubierto con azúcar de colores en horno de piedra, haciendo figuras caprichosas o juguetes en memoria de sus niños difuntos”.\nLa piedra de toque del arte popular huasteco es el atuendo femenino tének, constituido en primer lugar por el quechquémetl, de raíces prehispánicas, bordado en intensos colores rojo, naranja, verde y guinda. “En su tejido se aprecia la estrella o flor de la vida y de la fertilidad, íntimamente ligada al ciclo del maíz y a las estaciones del año”; sus extremos representan los equinoccios y solsticios.\nLa indumentaria de las mujeres continúa con un enrredo negro a modo de falda, una faja, blusa floreada, collares de cuentas y el morral o talega (“regalo de la madrina a la novia y sirve para guardar una jícara para beber agua, una escobeta usada como peine, un documento importante y hasta dinero”). El remate es un tocado hecho con estambres de colores conformando una especie de corona; “según el grosor y número de colores utilizados es la condición de la mujer que los usa: si es una gobernadora de danza, mujer soltera, casada, o una mujer ya de edad con sabiduría y capacidad de discernimiento”.\nEn Tamazunchale tallan máscaras de madera; en Coxcatlán y Tancanhuitz elaboran canastas, floreros y bolsas de palma; en Huehuetlán hacen charolas, azucareras y copas de “palo escrito”.\nArtículo AnteriorEnchiladas Potosinas\nArtículo siguienteLa Virgen de Guadalupe. Dos culturas, dos interpretaciones, una Virgen.\nSS 10 abril, 2014