Los profesores de matemática, salvo raras excepciones, tienen en general, acentuada tendencia para el algebrismo árido y enfadoso. En vez de problemas prácticos, interesantes y simples exigen sistemáticamente de sus alumnos, verdaderas charadas cuyo sentido el estudiantes no llega a penetrar. Es bastante conocida la frase de un geómetra famoso que después de una clase en una escuela politécnica, exclamó radiante:"¡Hoy sí que estoy satisfecho! ¡De toda la sala nadie entendió nada!\nLa geometría (Kant)\nLa invención de la matemática\nLa economía de Palo Duro\n¿Cuántos versos tienen "Os Lusíadas"\nLa geometría (Poincaré)\nLa herencia del agricultor\nOrigen del signo más (+)\nLa matemática de los caldeos\nEl molino de Faraday\nAnimales calculadores (Cecil Thiré)\nLa forma del cielo (Aristóteles)\nEl cheque de $100.000\nOrigen del signo menos (-)\nLa geometría (Cuturat)\nCuéntanos Rebière que el zar Iván IV, conocido como el Terrible, propuso una vez un problema a un geómetra de su corte.\nEste era determinar cuántos ladrillos se necesitarían para de la construcción de un edificio ordinario, cuyas dimensiones eran conocidas.\nFrançois Viète, el fundador del álgebra moderna, también fue acusado de cultivar la brujería.\nDurante las guerras civiles en Francia los españoles se servían, para su correspondencia secreta, de un código en que figuraban cerca de 600 símbolos diferentes, periódicamente permutado según cierta regla que sólo los súbditos más íntimos de Felipe lo conocían. Habiendo sido, sin embargo, interceptado un despacho secreto de España, Enrique IV, rey de Francia, resolvió que el genio maravilloso de Viète descifrara el escrito. El geómetra no sólo descifró el documento capturado si no que descubrió la palabra secreta del código español. De ese descubrimiento, los franceses sacaron incalculable ventaja durante dos años.\nLa geometría es una ciencia de todas las especies posible de espacio.\n5. La invención de la Matemática (Descartes)\nEsta afirmación es errónea. La figura constituye una notable ilusión de óptica imaginada por el doctor Frazer.\nTodas las curvas del diseño son círculos perfectos. Un simple compás traerá esa certeza al espíritu del observador.\nEl coleccionista inglés llamado Rhind adquirió un documento antiquísimo encontrado por los árabes entre las ruinas de dos túmulos de faraones. Consistía ese documento, como lo comprobaron los sabios que lo tradujeron, un papiro escrito 20 siglos a. C. por un sacerdote egipcio llamado Ahmés.\nNadie puede imaginar las dificultades que los egiptólogos encontraron para llevar a término la tarea de descifrar el papiro. Al ver el documento todo parece confuso y enmarañado. Bajo un título pomposo, Las reglas para investigar la naturaleza y saber todo lo que existe, todos los misterios, todos los secretos, pero el papiro no es más que un cuaderno de un alumno conteniendo un ejercicio de la escuela.\nEsa es la opinión de un cientista notable, llamado Ravillout, que analizó con mayor cuidado el documento egipcio.\nVamos incluir aquí, a título de curiosidad, un problema del papiro:\nEl papiro de Ahmés, según mostró el profesor Raja Gabaglia, en varios problemas de adición y de substracción aparecen indicadas por signo que representa dos piernas. Cuando esas piernas estaban vueltas hacia la dirección de la escritura, representaban un signo más; cuando estaban orientados en dirección opuesta, indicaban un signo menos. Esos fueron, tal vez, los primeros signos de operaciones usados en matemática.\nY el coleccionista Rhind, por causa de ese papiro, se hizo famoso en matemática sin haber cultivado o estudiado jamás esa ciencia.\nUn avaro, que el pueblo apodaba Palo Duro, movido por la manía mórbida de juntar dinero, resolvió cierta vez, economizar de la siguiente forma: el primer día del mes guardaría en un cofre, un veinte; el segundo día, dos veintes; el tercer día, cuatro veintes; el cuarto día, ocho veintes y así doblando sucesivamente, durante 30 días seguidos.\n¿Cuánto tendría Palo Duro almacenado, de ese modo, cuando terminase el mes? ¿Más de un conto de real? ¿Menos de un conto?\nPara que el lector no se sienta complicado vamos a ser algunos esclarecimientos.\n¿Y al fin de las cuatro semanas?\nUn profesor de matemática propuso ese problema de improviso a un grupo de 50 estudiantes. La solución debería ser dada mentalmente.\nUno de los alumnos respondió luego que la suma no pasaría de $ 500.000.\nOtro estimó en dos contos de real la suma total.\nUn tercero, inspirado por alguna desconfianza sobre el resultado del problema, aseguró que Palo Duro tendría casi 200 contos de real.\n-¡No llega a 100 contos!- Afirmó con seguridad el primer calculista del grupo.\nEn resumen, no hubo ningún estudiante que diese un resultado aproximadamente verdadero.\nAl cabo de 30 días, el avaro habría economizado un número de veintes igual a 1.073.741.823, el número que equivale a la cantidad de 21.474.836.460 centavos. ¡Más de 21.000 contos! ¿El lector no lo cree? Haga entonces las cuentas y verifique que ese resultado es rigurosamente exacto.\nTales de Mileto, célebre astrónomo y matemático griego. Vivió cinco siglos antes de Cristo. Fue uno de los siete sabios de Grecia y fundador de la escuela filosófica denominada Escuela Jónica. Fue el primero en explicar la causa de los eclipses de sol y de luna. Descubrió varias proposiciones geométricas. Murió a los 90 años de edad, asfixiado por la multitud, cuando se retiraba de un espectáculo.\n10. ¿Cuántos versos tienen "Os Lusíadas"?\nComo todos saben las Lusíadas presentan 1102 estrofas y cada estrofa contiene ocho versos. ¿Cuántos versos tienen todo el poema?\nPresentado ese problema cualquier persona responderá con certeza:\n- Esa es una pregunta infantil. Basta multiplicar 1102 por ocho. Las Lusíadas tienen 8816 versos.\nPues esa respuesta, con gran sorpresa para los algebristas, no está correcta. Las Lusíadas, aún teniendo 1102 estrofas con ocho versos cada una presentan 8814 versos y no 8816 como era de esperar.\nLa razón es simple. Hay en ellas dos versos repetidos, y que por lo tanto no pueden ser contados dos veces.\nTodavía hay un nuevo problema sobre el número de versos del célebre poema épico portugués: ¿cuántos versos tiene Camões en las Lusíadas?\nAquel que responda que el inmortal poeta compuso 8114 tratando de acertar ¡yerra redondamente!\nCamões presenta en las Lusíadas apenas 8113 versos pues de los 8114 es preciso descontar un verso de Petrarca, incluido en la estrofa 78 del Canto IX.\nEl espacio es un objeto que el geómetra debe estudiar.\nEl terreno debe estar dividido en 4 partes geométricamente idénticas, cada una con el mismo número de árboles.\nEl empleo del signo más (+) aparece en la Aritmética Comercial de John Widman d'Eger, publicado en Leipzig en 1489.\nLos antiguos matemáticos griegos, como se ve en la obra de Diofanto, se limitaban a indicar la yuxtaposición de las partes, además, un sistema que hoy tenemos, cuando nos referimos a la suma de un número entero con una fracción. Los italianos usaban la letra P como signo para la operación de suma, inicial de la palabra latina plus.\nGuilherme de Almeida, Uno de nuestros más brillantes poetas, tiene su libro encantamiento (p. 57) una linda poesía en la que incluye los siguientes versos:\nCiertos documentos concernientes a matemática de los caldeos datan de 3000 años antes de Cristo, en cambio, los documentos egipcios más antiguos proceden de cerca de 1700 años a. C.\nEs interesante observar que la representación de las ruedas de coche asirios siempre aparecen con seis rayos, diametralmente opuestos.\nLos caldeos adoptaron, y de esto no hay duda alguna, un sistema de numeración que se basa en el número 60, es decir, en la que 60 unidades de un orden de magnitud, hacen una unidad de orden superior siguiente. Y con este sistema sólo se llegó al número 12 960 000, que corresponde a la cuarta potencia de la base 60.\nLa geometría de los caldeos y asirios tenía un carácter esencialmente práctico y era utilizada en trabajos rudimentarios de agrimensura. Sabían descomponer, para la determinación de un área, un terreno irregular en triángulos rectángulos, rectángulos y trapecios. Las áreas del cuadrado (como caso particular de un rectángulo), del triángulo rectángulo y el trapecio fueron correctamente establecidas. Llegaron también (¡3000 años antes de Cristo!) al cálculo del volumen de un cubo, de un paralelepípedo y tal vez, del cilindro.\nEs interesante señalar que en las representaciones de los carros asirios, las ruedas aparecían siempre con seis rayos, opuestos diametralmente y formando ángulos centrales iguales. Eso no lleva a concluir, con toda seguridad, que los caldeos conocían el hexágono regular y sabían dividir la circunferencia en seis partes iguales. Cada una de esas partes de circunferencia era dividida, a su vez, en 60 partes, también iguales (por causa de su sistema de numeración) resultando de ahí la división total de la circunferencia en 360 partes o grados.\nDijo Faraday, el famoso químico: La matemática es como un molinillo de café que muele admirablemente lo que se les da a moler, pero no devuelve nada más que lo que usted le dio.\nLas periódicas inundaciones del célebre río forzaron a los egipcios al estudio de la geometría, puesto que una vez pasado el período de inundación, cuando las aguas retornaban su curso normal, era necesario repartir nuevamente las tierras, desafiando la inteligencia de los "cuervos", para entregar a los señores sus antiguas propiedades perfectamente delimitadas. La pequeña faja de tierra rica y fértil, era disputada por muchos interesados, se hacían mediciones rigurosas con el fin que cada uno, sin perjuicio de otro, le fuese reintegrada su propiedad en la posición exacta.\nPitágoras, matemático y filósofo griego. Nació seis siglos a. C. en la isla de Samos. Fundó en Crotona, en el sur de Italia, una escuela filosófica que llegó a ser notable. Sus discípulos se denominaban pitagóricos. Sobre la vida de Pitágoras hay una infinidad de leyendas.\nMurió en el año 470 a. C., asesinado en Tarento, durante una revolución política.\nEste es el artificio utilizado por Leroy.\nHabiendo verificado que los cuervos nunca vuelven al nido cuando alguien está en la vecindad, se construyó una pequeña choza a una distancia prudente de un nido de cuervos. En el primer día, Leroy mandó que un hombre entrara en la cabaña y observó que los cuervos no se acercaban al nido, hasta que el hombre se retiraba de ella. En el segundo día se repitió la experiencia pero con dos hombres; los cuervos esperaron que los dos hombres abandonasen el improvisado escondrijo. El mismo resultado fue obtenido sucesivamente en los días siguientes, con tres, cuatro y cinco hombres.\nCon seis hombres las cosas no pasaban del mismo modo; los cuervos se equivocaban al contar, para ellos era muy complicado, y volvían al nido cuando la cabaña todavía albergaba algunos de los emisarios de Leroy.\nLos perros y los elefantes son igualmente dotados de una admirable inteligencia. Spencer, filósofo inglés, se refiere en su libro La Justicia, a un perro que contaba hasta tres.\nY Lucas, en sus originalísimas Récréations Mathématiques, nos presenta un caso bastante singular. Se trata de un chimpancé del jardín zoológico de Londres que aprendió a contar hasta cinco.\nLos números gobiernan el mundo (Platón)\nEl zapatero que en ese momento no tenía cambio, mandó a uno de sus empleados para que cambiara en una confitería próxima. Recibido el dinero, dio al cliente el cambio y el par de zapatos que había adquirido.\nMomentos después llegó el dueño de la confitería exigiendo la devolución de su dinero porque el cheque era falso. El zapatero se vio forzado a devolver los $100.000 que había recibido.\nSurge al final una duda: ¿cuál fue el perjuicio que el zapatero tuvo en este complicado negocio?\nLa respuesta es simple y fácil. Mucha gente sin embargo, se sentirá enredada sin saber cómo esclarecer la cuestión.\nEl perjuicio del zapatero fue de 40.000 y un par de zapatos\nEn la obra de Diofanto, entre las abreviaturas que constituían el lenguaje algebraico de ese autor, se encuentra la letra griega Ψ, indicando sustracción. Esta letra era empleada por el famoso geómetra de Alejandría, como señal de operación invertida o truncada.\nPara los indios, como se encuentra en la obra de Bhaskara, el signo de sustracción consistía en un simple punto colocado sobre la cifra que constituye el sustraendo.\nA los alemanes les debemos la introducción del signo - (menos), atribuido a Widman. Piensan algunos autores que el símbolo menos (-), tan extendido y tan simple, corresponde a una forma límite que tendría la letra m cuando se escribe rápidamente.\nAdemás, Viète, considerado como el fundador del álgebra moderna, escribía el signo = entre dos cantidades, cuando quería indicar la diferencia entre ellas.\nLa geometría, en general, todavía pasa por ser la ciencia del espacio.\nLa plancha debe ser cortada conforme indica la línea punteada del dibujo de arriba; los pedazos A y B deberán ajustarse como indica el dibujo abajo.\nBlaise Pascal, a los 16 años de edad, escribe un tratado sobre las cónicas, considerado como uno de los fundamentos de la Geometría moderna.\nEvaristo Galois, a los 15 años, discutía y comentaba las obras de Legendre y Lagrange.\nAlexis Clairaut, se hallaba a los diez años, apto para leer y comprender las obras del marqués de Guillaume François Antoine, marqués de l'Hôpital sobre cálculo.\nJoseph Bertrand, a los once años iniciaba un curso en la Escuela Politécnica y a los 17, recibía el grado de doctor.\nNicolás Henri Abel, noruego, hijo de un pastor protestante, a los 16 años de edad hacía investigaciones sobre el problema de la resolución de ecuaciones de quinto grado. Murió de 26 años.\n30. Los grandes geómetras\nPlatón, geómetra y filósofo griego. Nació en Atenas en el año 430 y murió en el año 347 a. C. En un principio estudió en Egipto y más tarde entre los pitagóricos. Introdujo en la geometría el método analítico, el estudio de las secciones cónicas y la doctrina de los lugares geométricos. Llamó a Dios, el Eterno Geómetra, y escribió en el dintel de su escuela: "No entre aquí quien no es geómetra"\nUna resta hecha hace más de mil años\nOrigen del signo de multiplicación (x)\nEl símbolo de los pitagóricos (Rouse Ball)\nLa matemática (Pedro Tavares)\nEl problema de las abejas\nEl uso de las letras en el cálculo (A. Lisboa)\nLa matemática en la literatura, círculos y ejes\nTales y la vieja\nEl fin de la ciencia (Jacobi)\nLa noción del infinito (J. Tannery)\nUn Papa geómetra\nSuperficie y recta\nParadoja geométrica 64 = 65\nUn error de Anatole France\nLos grandes geómetras (Arquímedes)\n1. Una resta hecha hace más de mil años\nVamos a mostrar cómo se hacía, en el año 830, una resta de números enteros. Para que el lector pueda acompañar con facilidad todas las operaciones, emplearemos nomenclatura moderna.\nDel número 12 025 restaremos 3 604.\nLa operación se iniciaba por la izquierda (operación I). Decimos: de 12 restamos 3 y quedan nueve; cancelamos los dígitos considerados y escribimos el resto obtenido encima del minuendo (ver figura).\nContinuamos: de 90 restamos 6 y restan 84. La diferencia obtenida (operación II) es escrita sobre el minuendo, y los dígitos que formaban los términos de la sustracción, aparecen cancelados.\nFinalmente de 8425 restamos 4 y quedan 8421 (operación III) y ésa es la diferencia entre los dos números dados.\nAsí era como Mohamed Ben Musa Alkarismí, geómetra árabe y uno de los sabios más notables del siglo IX, restaba dos números enteros.\n¡Qué cosa tan complicada!\nCualquier persona que observe la ilustración, pensará que de las tres figuras que ahí aparecen, el hombre es el más alto.\n¡Puro engaño! Los tres tienen la misma estatura\n3. Adivinanza matemática\nColoque sobre una mesa, varias cartas como se indica en la figura. Algunas de ellas, tres por ejemplo, son puestas en una línea recta y las otras forman una curva que se cierra sobre la línea recta.\nHecho esto, pida a una persona que piense un número cualquiera y cuente, a partir de A, tantas cartas como unidades tiene ese número; y que a partir de la última carta obtenida, retroceda por el camino indicado por la flecha 2, tantas cartas como fueran las unidades del número pensado.\nVamos a suponer que la persona había pensado, por ejemplo, el número 8. Contamos 8 a partir de A (flecha 1), ella irá a parar a la carta C (siguiendo la flecha 2), ella irá a parar fatalmente a la carta indicada con una cruz.\n4. Origen del signo de multiplicación (x)\nEl signo de multiplicar (x) es relativamente moderno. El matemático inglés William Oughtred, lo empleó por primera vez en el libro Clavis Matematicae, publicado en 1631. Además, en ese mismo año, Harriot, también para indicar el producto a efectuar, colocaba un punto entre los factores.\nEn 1637, Descartes ya se limitaba a escribir los factores acercados y de ese modo abreviado indicaba un producto cualquiera. En la obra de Leibniz se encuentra el signo ^ para indicar la multiplicación; este mismo signo, puesto de modo inverso, indicaba la división.\n5. La plaza cuadrangular\nUn propietario tenía un terreno exactamente cuadrado, ABCD, vendió una cuarta parte a la prefectura, y esa cuarta parte, AGFE también tenía forma de cuadrado.\nLa parte restante debía ser repartida en cuatro partes que fuesen iguales en forma y tamaño.\nLa figura II indica perfectamente la solución.\n6. El símbolo de los pitagóricos (Rouse Ball)\nJámblico, a quien debemos la revelación de este símbolo, refiere que estando en de viaje cierto pitagórico, se enfermó en la posada en la que se había hospedado para pasar la noche. Era pobre y estaba fatigado, más el posadero, hombre bondadoso, le prestó cariñosa asistencia e hizo todo lo posible para restituirle la salud.\nNo obstante, a pesar de su desvelo, el enfermo empeoraba.\nSospechando que iba a morir y sin poder pagarle lo que debía al posadero, el enfermo pidió una tabla y en ella trazó la famosa estrella simbólica. Se presentó con el posadero y le pidió que la pusiera sobre el dintel de la posada de modo que pudiera ser vista por todos los transeúntes, asegurando que algún día su caridad sería recompensada. El estudioso murió, fue enterrado convenientemente y la tabla seguía expuesta de acuerdo a su deseo.\nPasó un largo tiempo cuando un día el símbolo sagrado atrajo la atención de un viajero que pasaba por la posada.\nApenas entró en ella y después de haber oído el relato del posadero, le recompensó generosamente.\nTal es la anécdota de Jámblico. Si le falta veracidad, al menos, es curiosa.\n7. La matemática (Pedro Tavares)\nLa matemática no es un instrumento exclusivamente destinado a dar explicaciones de los fenómenos de la naturaleza, esto es, las leyes naturales. No. Posee también un valor filosófico del que nadie puede dudar; un valor artístico, o mejor, estético, capaz de conferirle el derecho de ser cultivada por sí misma, tal como las numerosas satisfacciones y júbilos que esa ciencia nos proporciona. Ya los griegos poseían, en grado elevado, el sentimiento de la armonía de los números y de la belleza de las formas geométricas.\n8. El problema de las abejas\nAfirma Maeterlink en su famoso libro sobre las abejas, que eso animales, en la construcción de sus alvéolos, resuelven un problema de alta matemática.\nNo nos importa, sin embargo, si el problema es elemental o trascendental; la verdad que para esos pequeños y laboriosos insectos, resuelven un interesantísimo problema por un artificio que llega a deslumbrar la inteligencia humana.\nTodos saben que las abejas construyen sus alvéolos para depositar la miel que fabrica. Esos alvéolos son de cera. La abeja procura, por tanto, obtener una forma de alvéolo que sea la más económica posible, o lo que es lo mismo, que presente el mayor volumen para la menor cantidad de material empleado.\nEs preciso que la pared de un alvéolo sirva también para el alvéolo vecino. Luego, el alvéolo no puede tener forma cilíndrica, pues de lo contrario, la pared sólo serviría para un solo alvéolo.\nLas abejas procuran una forma prismática para sus alvéolos. Los únicos prismas regulares que pueden ser yuxtapuestos sin dejar ningún intersticio son: el triangular, el cuadrangular y el hexagonal. Este último fue el que escogieron las abejas. ¿Y saben por qué? Porque de los tres prismas regulares A, B y C construidos con igual porción de cera, el prisma hexagonal es el que presenta mayor volumen.\nÉse es el problema solucionado por las abejas:\nLa forma que se adoptó fue la siguiente: al fondo de cada alvéolo se construyen con tres rombos iguales.\nEntre todas las células hexagonales, con un fondo formado por tres rombos, determinar la que se construye con la mayor economía de material.\nLa concordancia entre las medidas hechas por Maraldi y los resultados calculados por Koening era increíble. Los geómetras concluirían que las abejas cometían, en la construcción de sus alvéolos, un error de 2' en los rombos de oclusión.\n¡Hecho curioso! Algunos años después (1743) el geómetra Mac Laurin retomó nuevamente el problema y demostró que Koening estaba equivocado y que el resultado correcto eran los valores dados por Maraldi, 109°28' y 70°32', que correspondía exactamente a la construcción de las abejas.\nLa razón estaba pues con las abejas. ¡El matemático Koening había errado!\n9. El uso de las letras en el cálculo (A. Lisboa)\nLos griegos ya empleaban letras para designar números u objetos. Es con ellos que surgen los primeros vestigios del cálculo aritmético efectuado sobre letras. Diofanto de Alejandría (300 a.C.) empleaba las letras como abreviación, pero solo tenía in simbolismo perfectamente sistematizado para una única cantidad, para las potencias hasta la sexta y para los inversos de esas potencias. En general, los griego representaban las cantidades por líneas determinadas por una o dos letras, y pensaban como en geometría.\nLos cálculos sobre letras son mas numerosos en los autores indios que en los griegos. Los árabes de oriente usaron símbolos algebraicos a partir de la publicación de "Aljebr walmukâbala" de Alkarismí (siglo IX) y los árabes de occidente, a partir del siglo XII; en el siglo XV, Alcalsâdi introdujo nuevos símbolos.\nViète no empleaba el término álgebra, pero sí usaba análisis, para designar esta parte de la ciencia matemática donde brilla su nombre.\n10. La matemática en la literatura, círculos y ejes\nEs interesante observar las formas curiosas e imprevistas que los escritores y poetas, indiferentes a las preocupaciones científicas, le dan a las expresiones matemáticas que utilizan. Muchas veces, para no sacrificar la elegancia de una frase, el escritor modifica un concepto puramente matemático, presentándolo bajo un aspecto que está muy lejos de ser riguroso y exacto. Sometido a las exigencias métricas, no dudará tampoco en menospreciar todos los fundamentos de la vieja geometría.\nCiertos escritores inventan, a veces, comparaciones tan atroces, que hacen reír a los que cultivan la ciencia de Lagrange. Veamos por ejemplo, como el señor Elcias Lopes, en su libro "Tela de Araña", describe la tarea complicada de un arácnido: En la medida que las devanaderas se desenrollan, se va tejiendo una filigrana de círculos concéntricos que se solapan, en una notable simetría, y ligados entre sí por una lluvia de rayos convergentes hacia un eje central.\nEste largo párrafo, que parece tan enmarañado como la propia tela, no tiene sentido alguno para un matemático. Aquellos círculos concéntricos sobrepuestos forman una figura que no puede ser definida en Geometría. ¡Y como podríamos admitir círculos concéntricos sobrepuestos con una admirable simetría! El señor Elcias no ignora naturalmente que la araña aplica, en la construcción de su tela, principios de resistencia de materiales relativos a la distribución más económica de fuerzas de un sistema en equilibrio. Y aún más: una araña haciendo figuras homotéticas demuestra perseguir ese "espíritu geométrico" que el naturalista Huber, de Génova, quería atribuir a las abejas. Entonces, una araña sería incapaz de concebir "círculos concéntricos simétricos". Simétricos ¿en relación a qué? ¿con respecto a un punto? ¿a una recta?\nY según el autor de Tela de Araña, los "círculos concéntricos" admiten un eje central (!) hacia el cual convergen rayos.\nA este respecto, pedimos a un profesor de Diseño, que trazase en una hoja de papel una figura formada por "círculos concéntricos que se solapan, en una notable simetría, y ligados entre sí por una lluvia de rayos convergentes hacia un eje central". El profesor confesó desde luego, que era incapaz de hacer esa figura por el simple hecho que no la puede concebir.\nCualquier estudiante bisoño, de primera serie júnior, sabe que un eje no puede ser un punto. La noción de eje es simple, elemental y casi intuitiva. Veamos ahora la definición dada por el ilustre padre Augusto Magne:\nEje es el punto sobre el cual se mueve un cuerpo que gira.\nEl eminente sacerdote y filólogo que formuló esa definición estaba lejos de imaginar que ella podría ser pasada por el crisol del severo rigor matemático. La definición de eje (como si fuera un punto) es completamente equivocada e inaceptable.\n11. Tales y la vieja\nEste es uno de los muchos episodios anecdóticos atribuidos a Tales:\nUna noche paseaba el filósofo completamente absorto en la contemplación de las estrellas y, por no ha prestado suficiente atención al terreno que pisaba, cayó descuidado dentro de un gran hoyo. Una vieja, que casualmente vio en accidente, le dijo, "¿cómo quieres ¡oh sabio! saber lo que pasa en el cielo si no es capaz de saber lo que ocurre en tus pies?\n12. Ilusión óptica\nPedimos al lector que observe con atención la figura de abajo, en la cual aparece un cuadrilátero formado por dos paralelogramos. En cada uno de esos paralelogramos fue trazada una diagonal.\n¿Cuál de las dos diagonales AB y BC es mayor?\nLa figura parece mostrar que AB es mayor que BC\nPuro engaño, que consecuencia de una ilusión óptica. Los segmentos AB y BC son perfectamente iguales.\n13. El fin de la ciencia (Jacobi)\n14. El problema de la piscina\nUn club dispone de una piscina de forma cuadrada, teniendo en cada vértice A, B, C y D un poste de iluminación.\nLa dirección del club resolvió aumentar la piscina tornando la dos veces mayor y sin alterar su forma esto es, conservando la forma de un cuadrado.\nEl aumento debía ser hecho sin alterar la posición de los postes que continuarían junto al borde de la piscina.\nLa figura, el cuadrado MPAS indica el trazado de la nueva piscina después de ampliada.\n15. La noción del infinito (J. Tannery)\n16. Los grandes geómetras\nAristóteles, nació en Macedonia en 384 a.C. fue maestro y amigo Alejandro, y dejó un gran número de obras de historia natural, lógica, física, matemática, política, etc. en nombre de Aristóteles es muchas veces citado como la personificación del espíritu filosófico y cientista. Las obras de Aristóteles, después de su muerte estuvieron desaparecidas durante 200 años.\n17. Disposición curiosa\n18. Un Papa geómetra\nGerbert, geómetra famoso, arzobispo Ravena, subió a la cátedra de San Pedro en el año 999.\nEse hombre reconocido como uno de los más sabios de su tiempo tuvo el nombre de Silvestre II en la serie de los papas. Fue el primero en divulgar en el occidente latino el empleo de los dígitos arábigos.\nFalleció en el año 1003.\n19. Círculos diferentes\nCon la misma apertura del compás trazar cuatro círculos diferentes.\nLa figura de abajo muestra claramente, como se debe proceder para llegar a la solución deseada.\n20. Las noventa manzanas\n21. Superficie y recta\nLos conceptos de "superficie" y de "recta" que los geómetras aceptan sin definición, aparecen en el lenguaje literario como si tuviesen el mismo significado. Del libro Veneno Interior, del apreciado escritor y filósofo Carlos da Veiga Lima, destaquemos el siguiente aforismo:\nel alma es una superficie para nuestra visión, la línea recta para el infinito\nEse pensamiento, analizado el punto de vista matemático, es incomprensible. Si el alma es una "superficie para nuestra visión" no puede ser, en caso alguno, línea recta para el infinito. Los algebristas demuestran realmente, la existencia de una recta cuyos puntos están infinitamente apartados de nuestro universo y que se denomina, por causa de ciertas propiedades, "recta al infinito". Es posible que el Dr. Veiga Lima hubiese querido comparar el alma a esa recta al infinito. En ese caso sin embargo, sería conveniente abandonar la superficie y adaptar el alma a una especie de geometría "filosófica" unidimensional.\nEl plano, siendo el más simple de las superficies, se caracteriza por medio de postulados. Los escritores, que jamás ha leído un Legendre u hojeado un Hadamard, atribuyen al plano propiedades indemostrables para el geómetra. Peregrino Júnior, en su libro Pussanga, dice lo siguiente en la página 168:\n"el paisaje obedece a la monotonía de planos geométricos invariables"\n¿Cómo podríamos definir un plano geométrico invariable? ¿Por su posición en relación a punto fijo determinado o por la propiedad de las figuras sobre él trazadas?\nAdemás, conviene acentuar a pesar de lo poco apropiado del lenguaje que notamos en Peregrino Júnior, no llega a constituir un error en matemática. ¿No vemos, por ejemplo, Euclides da Cunha, escritor e ingeniero, hablar en "círculo irregular" expresión que no tiene sentido para un geómetra?\n22. Paradoja geométrica 64 = 65\nAhora, como el rectángulo de 65 cajas fue formado por las partes en que descompusimos el cuadrado, el número de cajas del rectángulo debe ser precisamente igual al número de cajas del cuadrado. Luego tenemos:\nigualdad que sin duda lleva a un absurdo.\nLa sutileza de ese sofisma consiste en lo siguiente: las partes en que fue descompuesto el cuadrado no conforman precisamente un rectángulo. Por la posición en que debían quedar, esos dos segmentos que forman una supuesta diagonal del rectángulo no son colineales. Hay una pequeña diferencia de ángulo, y entre los dos trazos debía haber un intervalo vacío equivalente precisamente a una caja.\n23. Las cosas son números\nAl mismo tiempo, la geometría se construye; sus progresos incesantes hacen de ella, paulatinamente, en el tipo ideal de ciencia, donde todo es una perfecta inteligencia; por ello Platón escribió a la entrada de su escuela: "no entre aquí quien no es geómetra".\n24. Números perfectos\nAsí por ejemplo, el 28 presenta cinco divisiones menores que 28. Son: 1, 2, 4, 7 y 14.\nLuego, según la definición dada arriba, el 28 pertenece a la categoría de los números perfectos. Y entre los números perfectos ya calculados podemos citar:\n6, 28, 496 y 8128\nsólo conocemos números perfectos pares. Descartes pensaba la posibilidad de determinar números perfectos impares.\n25. Un error de Anatole France\nHay errores que a veces se introducen en las obras literarias más famosas. Anatole France, en el romance Thais (50° ed. p. 279), reveló su completa ignorancia en cosmografía. Vale la pena reproducir las frases del célebre imaginado de "Sylvestre Bonnard":\n—Doux enfant, que vois-tu encore? Paulprotena vainement ses regarás du zenith au nadir, du couchant au levam quand tout á coup ses yeux rencontrérent l'abbé d’Antinoé.”\nY así relataba una proeza impracticable. Todo el mundo sabe que no es posible mover los ojos desde el cenit al nadir, dado que para un observador cualquiera que sea, el nadir se ubica en el hemisferio celeste invisible.\n26. Multiplicación rusa\nEscribimos los dos factores (36 y 13), uno al lado de otro, y un poco apartados:\ndeterminemos la mitad del primero y el doble del segundo, escribiendo los resultados debajo de los factores correspondientes\nProcedamos del mismo modo con los resultados obtenidos; esto es, tomemos la mitad del primero y el doble del segundo:\nVamos a repetir esta misma operación que es, calcular la mitad del número de la izquierda y el doble del número de la derecha. Cómo llegamos un número impar (que nuestro caso es 9), debemos sustraer una unidad y tomar la mitad del resultado. De 9, restando 1 queda 8, cuya mitad es 4. Y así procedemos hasta que llegamos a un término igual a 1 en la columna de la izquierda.\nSumemos los números de la columna a la derecha que corresponden a los números impares de la columna izquierda. (Esos números están marcados con una X). Esa suma será:\nEl resultado ha sido tenido (468) será el producto del 36 por el 13.\nUn ejemplo más: vamos a multiplicar por ese extravagante proceso los números 45 por 32.\n27. Un número grande\nSe denomina actuarial de un número al producto de los números naturales desde 1 hasta ese número.\nAsí por ejemplo, el factor real de 5 está dado por el producto:\nÉsa expresión es indicada abreviadamente por la notación 5!\nDeterminemos los factoriales de algunos números:\n6! = 362 880\nCon el auxilio del símbolo de factoriales podemos escribir expresiones numéricas muy interesantes.\nCalculemos por ejemplo, el factor real de 362.880, esto es, el producto de todo los números desde el 1 hasta 362.880. Ese producto es, como ya sabemos, indicado por la notación\nEse número 362.880 que ahí figura esa factorial de 9; podemos por tanto, su título por el símbolo 9! Tenemos entonces:\n362.880! = (9!)!\nEse número (9!)! que contiene el único dígito, 9, si fuese calculado y escrito con dígitos de tamaño común tendría cerca de 140 km de largo.\n¡Es un número respetable!\n28. El círculo\nPitágoras consideraba el círculo como la figura plana más perfecta, iniciando así, la idea de círculo a la perfección.\n"Devant le mouvement périodique d'un point que décrit un cercle, l'instinct métaphysiques s'est ému il a conçu cet infini fermé qu'est l'Eternel Retour, et l'on ne saurait dégager d'images tournantes la doctrine antique dont Nietzsche s'est naïvement cru le père".\nHay un evidente contraste entre la facilidad con la que se define la circunferencia y la dificultad, hasta ahora, inextricable, que nos enfrentamos cuando tratamos de formular la definición de recta. Y esta disparidad se encuentra en el campo de la investigación geométrica, una característica que debe ser subrayada.\nLa importancia del círculo en las preocupaciones humana puede ser demostrada por una observación de fondo puramente etimológico; son innumerables las palabras escritas en los diccionarios que se derivan del vocablo griego que significa "círculo". Cuando un individuo desocupado tira piedras en un agua tranquila, para admirar los círculos concéntricos que se forman en la superficie, revela sin querer a través de su extraña ciclolatría, una acentuada tendencia de llegar a parecerse a un filósofo pitagórico que pretendía construir el universo, únicamente con círculos.\nNo menos interesante es la observación que sigue del trazado de la recta y del círculo: para trazar un segmento de recta es indispensable una buena regla; por el contrario, con un compás cualquiera rudo y mal hecho que tenga seguridad entre sus patas, podemos obtener una circunferencia perfecta. De ahí la importancia que tiene, desde el punto de vista de de las soluciones, la Geometría del Compás debida al matemático italiano, Reverendo Mascheroni.\nEn la geometría del compás los diversos problemas son resueltos únicamente con el empleo de ese instrumento. "Para enfatizar más la importancia de las construcciones geométricas, basta recordar que los métodos gráficos constituyen hoy un admirable instrumento de cálculo, empleado en física, en astronomía y en todas las ramas de la ingeniería".\n29. Papel mural (Luis Freire)\nEl general Curvino Krukowiski, después de obtenida su reforma y habiéndose retirado a Palibino, con la familia, mandó a forrar de papeles las paredes de su nueva residencia. Como el papel que disponía era insuficiente para forrar las paredes del cuarto de sus dos hijas recurrió a las hojas de un tratado del cálculo infinitesimal por el cual Krukowiski había estudiado esa rama de matemática.\nEse incidente fortuito fue la chispa que encendió una explosión de conceptos de alta matemática, un cerebro genial de mujer: la joven Sofía Curvino, hija del general, volvió toda la proverbial curiosidad de su sexo hacia aquel mundo infinitamente pequeño, y tan infinitamente grande de belleza y sugestiones que adornaban las paredes del cuarto.\nEn aquel original papel mural de su cuarto de joven estaba escrito, trazado, todo un destino en ecuaciones. Sofía ansió el conocerlo, tratando así mismo de comprender la potentísima lengua que los símbolos hablan y que pocos saben realmente interpretar.\n30. Los grandes geómetras (Arquímedes)\nArquímedes, el más célebre de los geómetras vivió tres siglos antes de Cristo. Es admirable la obra que realizó con tan pocos recursos de la ciencia de su época. Produjo memorables trabajos sobre asuntos de aritmética, mecánica, geometría, hidrostática y astronomía. De todas esas ramas de la ciencia, trató con gran maestría "presentando conocimientos nuevos, explorando teorías nuevas, con una originalidad que dio a la geometría el más alto puesto en la historia". Murió en el año 212 a. C., asesinado por un soldado romano.\nLa geometría de Chateaubriand\nProblemas errados (E. Backheuser)\nBlasfemia de un rey\nLa matemática en la literatura, los ángulos\nLa geometría en el amor\nMuerte trágica de algunos matemáticos\nEl problema de la pista\nLas potencias de 11\nOrigen de los signos de relación\nProtágoras y el discípulo\nCon seis palitos\nLa bravata de Arquímedes (J. C. Mello e Souza)\nEl estudio de la matemática (Euclides Rozo)\nLos siete navíos (C. Laisant)\nMultiplicación por la izquierda\nMetamorfosis del número 2\nCurvas y ecuaciones\n1. La geometría de Chateaubriand\nLa imaginación del escritor cuando procura dar vivacidad y colorido una descripción no se preocupa ni aun de las figuras geométricas más simples. La fantasía caprichosa de los literatos de talento no encuentra barrera entre los rigores de la fórmula de matemática. Lleva vamos a coger un curioso ejemplo de la obra admirable de Chateaubriand. Ese célebre escritor francés autor de Genie du Christianisme, al describir el prodigio de un canadiense que encantaba serpientes al sonido de una flauta, dice precisamente lo siguiente:\n"Comenzó entonces, el canadiense a tocar su flauta. La serpiente y su movimiento de sorpresa y tiró su cabeza hacia atrás. A medida que la dominada por el efecto mágico sus ojos perdían la aspereza, la vibraciones de su cola tornábanse más lentas y el ruido que ya emitía disminuía lentamente hasta extinguirse.\nNo es posible que una serpiente repose formando con el cuerpo "círculos concéntricos". Aún más, no hay en geometría una línea que sea, en relación a otra, menos perpendicular. El autor de A tala ignoraba, con certeza, como se define matemática el blanco de una recta con una curva.\nDirán finalmente los admiradores de Chateaubriand: Siendo atrayente el estilo y agradable la descripción ¡qué importa la geometría!\nLlegamos así a un punto en relación al cual no deseamos, en modo alguno, mantener una polémica con el lector.\n2. El problema de los árboles\nEn un terreno de forma cuadrada un propietario quiere construir una casa; en ese terreno existían, plantadas según una disposición regular, 15 árboles.\nLa solución es la indicada en la figura dos\n3. Problemas errados (E. Backheuser)\nComo ejemplo de este caso podemos recordar los famosos problemas sobre "construcción de un muro" o sobre "fábrica de tela" por cierto número de operarios. Preparados sin preocuparse de adaptarlos a la realidad, acaban tornándose ridículos.\nSea por ejemplo: tres operarios hacen un muro de 40 m de largo, 2 m de altura y 25 cm de espesor en 15 días; ¿cuántos días serán necesarios para que cuatro operarios ejecuten un muro de 35 m de largo, 1,5 m de altura y 20 cm de espesor?\nEl resultado aritmético de esa "regla de tres", dará evidentemente, una solución expresada por un número de días inferior a 15. Ahora bien, cualquier albañil se reirá del resultado, porque para hacer un muro de 20 cm en lugar de 25 cm de espesor, gasta mucho más tiempo. La razón es simple, 25 cm es un espesor corresponde al largo de un ladrillo normal; para un espesor de 20 cm, que es un poco menor, es obligatorio quebrar los ladrillos según el espesor deseado, lo que va exigir, para la ejecución de la obra, un tiempo mucho mayor.\nAsí como estos, hay un sinnúmero de otros casos en que el que propone el problema debe documentarse previamente para evitar absurdos sinfín.\n4. Blasfemia de un rey\nSe cuenta que en el siglo XIII, Alfonso el Sabio, rey de Castilla, habían ordenado a los astrónomos árabes que construyeran tablas de los movimientos planetarios, las halló muy complicadas y exclamó: " si Dios, antes de crear el mundo, me hubiese consultado, habría hecho mejor las cosas". No endosamos la blasfemia al rey de Castilla, y repetiremos más modestamente, la frase del gran matemático Galois, que algunas horas antes de su muerte prematura, escribiera en una especie de testamento: "La ciencia es la obra del espíritu humano, que está diseñado principalmente para el estudio del saber, de buscar la verdad, más que para encontrarlo"\nEn el dibujo de abajo aparecen nada menos que seis figuras geométricas. Aquí que las observa con cierta atención será inducido a afirmar que los lados de las figuras que están en la parte superior del cuadro son mayores que los lados de las figuras que se encuentran en la parte inferior.\nExiste, sin embargo, una ilusión óptica que nos conduce a una impresión falsa. Los trapecios dibujados en la figura tienen los grados respectivamente iguales.\n6. La matemática en la literatura, los ángulos\nEntre las figuras geométricas más citadas por los escritores, debemos anotar en primer lugar el "ángulo".\nGracia Aranha, El Viaje Maravilloso, describe un camino que subía una montaña, utiliza figuras geométricas con admirable precisión:\nThéo Filho, en Impresiones transatlánticas, utiliza la expresión "ángulo reentrante", que es una de las más comunes en los literatos:\n"Vista de la esquina más reentrante en primer plano..."\nEn general, los escritores no distinguen un diedro de un ángulo plano. Citemos un ejemplo característico cogido en "El Guaraní" de José de Alencar:\n"...sacó su daga y la clavó en la pared tan profundamente cuanto le permitía la curva que el brazo era obligado a hacer para cubrir el ángulo"\nEsa frase, indicada como ejemplo, sería correcta si el famoso romancero hubiese escrito:\n"que el brazo era obligado a hacer para cubrir el diedro".\nConviene recordar, además, que el poeta Augusto dos Anjos, que en la primera estrofa de uno de sus sonetos, consiguió encajar un diedro perfecto:\n"¡Ah! Quizás por qué razón monstruosa, encerraron siempre en esta red, dentro del ángulo diedro de las paredes.\n7. La geometría en el amor\nA los 17 años de edad, Madame de Staël se educaba en un convento en Francia. Acostumbraba ir a visitar a una niña, que vivía del otro lado de la plaza, a la que daba una de las fachadas del convento.\nUn hermano de esa amiga insistía siempre en acompañarla de regreso a casa y la conducía, caminando por los dos costados de la plaza. Pero como las primeras impresiones causadas por ella iban perdiendo su primitivo ardor, él, gradualmente, y de visita en visita, fue acortando el camino; hasta que por fin tomó la línea más corta, siguiendo exactamente la diagonal de la plaza. Madame de Staël, recordando más tarde este caso, observó: "de este modo, reconocí que su amor fue disminuyendo, en la proporción exacta de la diagonal sobre los dos lados del cuadrado".\nFormuló, entretanto una comparación falsa, errada e inaceptable en geometría.\n8. Grandes geómetras\nEratóstenes, astrónomo griego notable y amigo del célebre Arquímedes. Era poeta, orador, matemático, filósofo y atleta completo. Habiendo quedado ciego como consecuencia de una enfermedad a la vista, se suicidó de disgusto, dejándose morir de hambre.\nVivió en el siglo cuarto a. C.\n9. Las perlas del rajá\nUn rajá dejó para sus hijas cierto número de perlas y determinó que la división fuese hecha del siguiente modo: a la hija mayor le daría una perla y 1/7 de lo que restase; venía después la segunda y tomaría para ella dos perlas y 1/7 de lo que restase; posteriormente la tercera joven tomaría tres perlas y 1/7 de lo que restase. Y así sucesivamente.\nLas hijas más jóvenes fueron a quejarse al juez que por ese sistema complicado de partición serían fatalmente perjudicadas.\nEl juez, según dice la tradición, que era muy hábil en la resolución de problemas respondió de inmediato que las reclamantes estaban engañadas; la división propuesta por el viejo rajá era justa y perfecta.\nY él tenía razón. Hecha la partición cada una de las herederas recibió el mismo número de perlas.\nSe pregunta: ¿cuántas eran las perlas y cuántas hijas tenía el rajá?\nLas perlas eran 36 y debían ser repartidas entre seis personas.\nLa primera hija sacó una perla y 1/7 de 35, esto es, 5; luego obtuvo 6 perlas.\nLa segunda, de las 30 que encontró, sacó dos, más 1/7 de 28, que es 4; luego obtuvo 6 perlas.\nLa tercera, de las 24 que encontró, sacó tres más 1/7 de 21 es 3. Sacó por tanto, 6.\nLa cuarta, de las 18 que encontró, sacó cuatro más 1/7 de 14. Y 1/7 de 14 es 2. Recibió también 6 perlas.\nLa quinta encontró 12 perlas; de esas 12 sacó 5 y 1/7 de siete, esto es 1; luego obtuvo 6.\nLa hija más joven decidió por fin, las seis perlas restantes.\n10. División áurea\n¿En qué consiste la división áurea de un segmento?\nExpliquemos, de modo elemental, ese curioso problema de geometría.\nTomemos un segmento de 80 cm de largo, por ejemplo.\nDividamos ese segmento en dos partes desiguales, teniendo la mayor 60 cm y la menor, 20 cm.\nCalculemos la razón entre el segmento total y la parte mayor; para esto, dividimos 80 por 60, y hallamos:\n80 : 60 = 1,33\nDividiendo la parte mayor (60 cm) por la menor (20 cm), obtenemos:\nNotamos que los resultados no son iguales; el primer cuociente es 1,33 y el segundo, es exactamente 3.\nProcuremos dividir el segmento dado en dos partes, tales que el segmento total (80) dividido por la parte mayor, de el mismo resultado que la mayor dividida por la menor.\nEn el ejemplo propuesto, la solución será obtenida si dividimos el segmento de 80 cm en dos parte midiendo respectivamente 49,3 centímetros y 30,7 cm. Tenemos, y es fácil verificar:\n80 : 49,3 = 1,61\n49,3 : 30,7 = 1,61\nDe ahí la proporción:\nLección: el segmento total es a la parte mayor como la parte mayor es a la menor.\nEn la división áurea, la parte mayor se denomina segmento áureo.\nEl número que expresa la relación entre los segmentos áureos, tiene un valor aproximado de 1618. Ese número, en general, se designa con la letra griega fi (φ).\nEs evidente que si quisiéramos dividir un segmento AB en dos partes desiguales, tendríamos una infinidad de maneras. Hay una, sin embargo, que parece ser más agradable al espíritu, como si tradujese una operación armoniosa a nuestros sentidos. Y la división en media y extrema razón, la sección divina de Lucas Paccioli, también denominada sectio aurea por Leonardo da Vinci.\nEl matemático alemán Zeizing formuló, en 1855, en sus Aetetische Farschungen, el siguiente principio:\n"Hasta hoy", acentúa Joao Ribeiro, " no se consiguió descubrir la razón de ser o el porqué de esa belleza". Zeizing, que llevó adelante muchos y largos estudios, apunta varios interesantes ejemplos que constituyen una elocuente demostración del principio de la sectio aurea.\nEs fácil observar que el título puesto a esta importante obra, divide, en general, el total del libro en media y extrema razón. Lo mismo acontece con la línea de los ojos que divide, en personas bien formadas, el ancho total del rostro en media y extrema razón. Se observa también la sectio divina, en las partes en que las falanges dividen los dedos de las manos.\nLa división áurea también aparece en la música, la poesía, la pintura y aún en la lógica.\nUna relación notable, demostrada en geometría, define el lado del decágono regular como el segmento áureo del radio.\nLa división áurea de la cual Vitruvio percibió rápidamente, surgió para el mundo científico en la obra de Paccioli, Divina Proporción, publicada en Venecia en 1509. Leonardo da Vinci, como una polimorfía de su incomparable talento, se sintió también seducido por el misterio de la llamada simetría geométrica, realzada por la división áurea. El célebre astrónomo alemán Juan Kepler, que formuló las leyes de la gravitación universal, era un verdadero fetichista de la divina proporción. "En la Geometría", decía él, "tengo dos tesoros, uno es el teorema de Pitágoras y el otro es la sectio divina".\nSin los recursos de la matemática, no nos sería posible comprender muchos de los pasajes de las santas escrituras.\nRaros los escritores de renombre que no se han equivocado en matemática. Rui Barbosa, en un vibrante discurso pronunciado en el Senado, dejó escapar esta expresión:\n"esto es, en el juego de esas transacciones, que tan gigantesca suma de valores representan, no mueve la oferta de dinero, sino en la proporción de 8 a 92." (Finanzas y Política de la República, 1892, p. 74.).\nLa relación de ocho a 92 no expresa, como pensaba el águila de la Haya, un porcentaje. El profesor Cecil Thiré, en su compendio de Matemática, dice claramente: "la relación entre números cuando se establece en tanto por ciento, se denomina porcentaje".\n¿Quién podría confundir número con dígito? Y en tanto, Francisco d'Auria, contador notable, escribió en su Matemática Comercial, en la página 82: "... se adoptó en la práctica el 100, como cifra de referencia."\n12. Transformación curiosa\nLa pregunta propuesta pertenece a aquellas que desafían la sagacidad de los más hábiles solucionadores.\nLa solución, es muy simple, y en la dada en la figura de arriba: se prolonga el extremo superior del dígito 3 en forma de un rectángulo; al alcanzar el punto final de cierre se completa el dígito cinco con la pequeña curva superior.\n13. Muerte trágica de algunos matemáticos\nTales de Mileto, asfixiado por la multitud al salir de un espectáculo.\nArquímedes, asesinado por un soldado romano.\nEratóstenes, se suicidó dejándose morir de hambre.\nHipatia, lapidada por un grupo de exaltados durante un motín en Alejandría.\nEvaristo Galois, muerto en un duelo.\nPitágoras, asesinado en Tarento, durante una revolución.\nEn su elogio de Leibniz, Fontenele dice del gran geómetra y filósofo: "le gustaba ver crecer en los jardines de los demás, las plantas cuyas semillas el había proporcionado. Esas semillas eran frecuentemente más apreciadas que las propias plantas; el arte de descubrir en matemática es más precioso que la mayoría de las cosas que se descubren".\n15. Los grandes geómetras\nHiparco, uno de los más eminentes astrónomos griegos, nació en el año 160 a. C. al ser informado de la aparición de una estrella de gran brillo, resolvió componer un catálogo en el cual consiguió reunir 1080 estrellas fijas. Fue primero beneficiar la posición de un punto de la superficie terrestre con el auxilio de la latitud y de la longitud.\n16. El hombre que calculaba (Malba Tahan)\nCierta vez volvía, al paso lento de mi camello, por el camino de Bagdad, de una excursión a la famosa ciudad de Samarra, en las márgenes del Tigris, cuando vi, sentado en una piedra, a un viajero modestamente vestido, que parecía reposar de las fatigas de algún viaje. - Disponíame a dirigir al desconocido el "salam" trivial de los caminantes, cuando con gran sorpresa le vi levantarse y pronunciar lentamente:\n- Un millón cuatrocientos veintitrés mil, setecientos cuarenta y cinco. Sentóse enseguida y quedó en silencio, la cabeza apoyada en las manos, como si estuviera absorto en profunda meditación. Me paré a corta distancia y me puse a observarle como lo habría hecho frente a un monumento histórico de tiempos legendarios.\n- Dos millones, trescientos veintiún mil, ochocientos sesenta y seis. Y así, varias veces, el extravagante viajero, puesto de pie, decía un número de varios millones, sentándose en seguida en la tosca piedra del camino. Sin saber refrenar la curiosidad que me aguijoneaba, me aproximé al desconocido, y después de saludarlo en nombre de Alah (con Él en la oración y en la gloria), le pregunté el significado de aquellos números que sólo podrían figurar en proporciones gigantescas.\n-¡Forastero! – respondió el “Hombre que calculaba”-, no censuro la curiosidad que te llevó a perturbar la marcha de mis cálculos y la serenidad de mis pensamientos. Y, ya que supiste ser delicado al hablar y al pedir, voy a satisfacer tu deseo. Para eso necesito, sin embargo, contarte la historia de mi vida.\nMe llamo Beremís Samir y nací en la pequeña aldea de Khoy, en Persia, a la sombra de la gran pirámide formada por el monte Ararat. Siendo muy joven todavía, me empleé como pastor al servicio de un rico señor Khamat . Todos los días, al salir el Sol, llevaba el gran rebaño al campo, debiendo ponerlo al abrigo, al atardecer. Por temor de extraviar alguna oveja y ser por tal negligencia castigado, contábalas varias veces durante el día. Fui, así, adquiriendo, poco a poco, tal habilidad para contar que, a veces, instantáneamente, calculaba sin error el rebaño entero. No contento con eso, pasé a ejercitarme contando además los pájaros cuando, en bandadas, volaban por el cielo. Volvíme habilísimo en ese arte. Al cabo de algunos meses –gracias a nuevos y constantes ejercicios-, contando hormigas y otros pequeños insectos, llegué a practicar la increíble proeza de contar todas las abejas de un enjambre. Esa hazaña de calculista nada valdría frente a las otras que más tarde practiqué. Mi generoso amo, que poseía, en dos o tres oasis distantes, grandes plantaciones de dátiles, informado de mis habilidades matemáticas, me encargó de dirigir su venta, contándolos yo uno por uno en los cachos. Trabajé así al pie de los datileros cerca de diez años. Contento con las ganancias que obtuvo, mi bondadoso patrón acaba de concederme algunos meses de descanso, y por eso voy ahora a Bagdad pues deseo visitar a algunos parientes y admirar las bellas mezquitas y los suntuosos palacios de esa bella ciudad. Y para no perder el tiempo, me ejercito durante el viaje, contando los árboles que dan sombra a la región, las flores que la perfuman y los pájaros que vuelan en el cielo, entre las nubes. Y señalando una vieja y grande higuera que se erguía a poca distancia, prosiguió:\n- ¡Que maravilla! –exclamé atónito-. ¡Es increíble que un hombre pueda contar todos los gajos de un árbol, y las flores de un jardín! Tal habilidad puede proporcionar a cualquier persona un medio seguro de ganar envidiables riquezas.\n- Vuestra admirable habilidad – expliqué- podría ser empleada en veinte mil casos diferentes. En una gran capital como Constantinopla, o aún en Bagdad, seríais útil auxiliar para el Gobierno. Podríais calcular poblaciones, ejércitos y rebaños. Fácil os sería evaluar las riquezas del país, el valor de las colectas, los impuestos, las mercaderías y todos los recursos del Estado. Yo os aseguro –por las relaciones que mantengo, pues soy bagdalí , que no os sería difícil obtener una posición destacada junto al glorioso califa Al-Motacen (nuestro amo y señor). Podríais, tal vez, ejercer el cargo de visir – tesorero o desempeñar las funciones de Finanzas musulmanas\nBeremís era de genio alegre y comunicativo. Joven aún –pues no tendría veintiséis años-, estaba dotado de gran inteligencia y notable aptitud para la ciencia de los números .\n- ¡Sois inteligente, extranjero! – exclamó el más viejo de los tres hermanos-. Aceptamos vuestro reparto en la seguridad de que fue hecho con justicia y equidad.\n- Pues bien –sugirió el sheik-; juntemos esos panes y hagamos una sociedad única. Cuando lleguemos a Bagdad os prometo pagar con ocho monedas de oro el pan que coma.\n- ¡Por el nombre de Mahoma! –dijo el visir Ibraim, interesado vivamente por el caso-. ¿Cómo justificas, extranjero, tan disparatada forma de pagar 8 panes con 8 monedas? Si contribuiste con 5 panes, ¿por qué exiges 7 monedas? Y si tu amigo contribuyó con 3 panes, ¿por qué afirmas que debe recibir únicamente una moneda?\n- ¡Mac Alah! Ese joven, además de parecerme un sabio habilísimo en los cálculos de Aritmética, es bueno como amigo y generoso como compañero. Tómolo ahora mismo como secretario mío.\n- Poderoso visir –le dijo el “Hombre que calculaba”-, veo que acabáis de hacer, con 29 palabras y un total de 145 letras, el mayor elogio que oí en mi vida, y yo, para agradecéroslo, me veo en la obligación de emplear 58 palabras en las cuales figuran nada menos que 290 letras, el doble de las vuestras, precisamente. ¡Que Alah os bendiga y proteja!\n17. El problema de la pista\nEl problema es simple y puede ser resuelto con regla y compás.\nTracemos una circunferencia que pase por los puntos A, B y C y que tenga centro en I. Tracemos el radio IF, que pasa por el punto D. Por el punto M, punto medio de DF, y con centro en I, tracemos otra circunferencia.\nEsta circunferencia resolverá el problema propuesto, el trazado de la pista. Hay otras soluciones.\n18. Rectángulo áureo\nPara que un rectángulo sea armonioso, es necesario que la altura sea igual al segmento áureo de la base. El rectángulo que presenta esa notable relación entre sus dimensiones se denomina rectángulo áureo o rectángulo módulo.\nEn el rectángulo áureo, la altura es igual, aproximadamente, al producto de la base por 0,618.\n19. Las potencias de 11\nLas potencias enteras de 11 no dejan de llamar nuestra atención y pueden ser incluidas entre los productos curiosos:\nDisposición no menos interesante presentan los números 9, 99, 999, etc. cuando son elevados al cuadrado:\nEs una curiosa ilusión óptica. En la figura, las curvas parecen ser elipses deformadas. Es sólo un engaño.\nLa Matemática posee una fuerza maravillosa, capaz de hacernos comprender muchos misterios de nuestra Fe.\nEuclides, uno de los más famosos geómetras de la Antigüedad, nació en el año 300 a.C. y murió en 275 a.C. Estudió en Atenas con los sucesores de Platón. Escribió una obra llamada "Los Elementos" que es muy notable. Construyó sus teorías geométricas basado en varias proposiciones (postulados y definiciones) aceptadas sin demostración. El Postulado V, el de las paralelas, fue el que d'Alembert llamó el escándalo de la Geometría\n22. Origen de los signos de relación\nRoberto Record, matemático inglés, tendrá siempre su nombre anotado en la historia de la Matemática, por haber sido el primero en emplear el signo = (igual), para indicar una igualdad. En su primer libro, publicado en 1540, Record colocaba el símbolo Ψ (Fi) entre dos expresiones iguales; el signo igual (=), constituido por dos pequeños trazo paralelos, sólo apareció en 1557. Comentan algunos autores que en los manuscritos de la Edad Media, el signo = aparece como una abreviatura de la palabra est.\nGuillermo Zulander, matemático alemán, indicaba las igualdades, a fines del siglo XVI, por dos pequeños trazos paralelos verticales; hasta entonces aparecía la palabra aequalis, que por extensión, ligaba los dos miembros de la igualdad.\nEl signo > (mayor que) y < (menor que) se deben a Tomás harriot, que contribuyó mucho con sus trabajos al desarrollo del análisis algebraico.\n23. Protágoras y el discípulo\n24. Con seis palitos\nConstruir con seis palitos iguales, cuatro triángulos también iguales.\nNo es posible resolver este problema colocando los seis palitos en un mismo plano. La única solución es la siguiente: colocamos los seis palitos de modo que formen las aristas de un tetraedro regular.\nLos cuatro triángulos pedidos corresponderán a las cuatro caras de ese tetraedro.\n25. La bravata de Arquímedes (J. C. Mello e Souza)\nUn hecho, que Gino Loria atribuye a una leyenda, caracteriza el valor de Arquímedes.\nMandó Hierón de Siracusa construir una embarcación de grandes dimensiones, el que, debido a su considerable peso, no podía ser retirado del astillero para ser botado al mar. Hierón, temeroso de perder todo el esfuerzo empeñado en la construcción, pidió, para solucionar el caso, el auxilio del reconocido e ingenioso Arquímedes.\nSe cuenta que al recibir las felicitaciones del rey, por el éxito de sus esfuerzos, el geómetra respondió, con una frase que encierra una bravata célebre en la ciencia:\n- ¡Dadme un punto de apoyo en el espacio, y yo arrancaré la Tierra del cielo!\n¿Cómo pretendería el célebre siracusano llevar a cabo esta proeza?\nSegún ha calculado Ferguson, en su Astronomía Explicada, un hombre, pesando 80 kilogramos, y con una palanca de 20 quintillones de kilómetros, al cabo de veinte millones de años, haría desplazarse a la tierra en solo 25 milímetros... ¡Nada menos!\n26. El estudio de la matemática (Euclides Roxo)\nPara los griegos, la geometría terminó siendo una ciencia teórica y lógica, que estudiaban casi sólo por la belleza de su estructura.\nModernamente, sin embargo, el estudio de la geometría y de la matemática en general tiene un gran interés práctico por la aplicación de sus verdades a problemas vitales de ingeniería, arquitectura, física y de todas las otras ciencias. Además de este interés práctico, tiene como objetivo, no menos importante, la educación del pensamiento lógico y del raciocinio correcto.\n27. Los siete navíos (C. Laisant)\n- Supongamos que, comenzó diciendo el ilustre geómetras, e infelizmente es una simple suposición, todos los días a mediodía, parte de El Havre hacia Nueva York, un navío y que a la misma hora, sale otro de de la misma compañía, desde Nueva York hacia El Havre. La travesía se hace siempre en siete días, tanto en un sentido como en otro.\n¿Cuántos navíos de esa compañía, siguiendo la ruta opuesta, encontrará en su camino, el buque que parte de El Havre, hoy a mediodía?\nAlgunos de los oyentes respondieron imprudentemente: "Siete". Otros permanecieron silenciosos, como si la pregunta les sorprendiese. No hubo nadie que diera una solución correcta, como la que figura más abajo, de una nitidez perfecta.\nEste episodio, absolutamente auténtico, encierra dos enseñanzas. Nos muestra, en primer lugar, cuánta indulgencia y paciencia debemos tener con los alumnos que no comprenden, a primera vista, las cosas que constituyen novedades para ellos; después, deja en evidencia la gran utilidad de las representaciones gráficas.\nDe hecho, la mayoría de los matemáticos más comunes poseen esta noción, la figura que presentamos, se habría formado espontáneamente en su mente; y seguro que no habrían dudado. Los auditores de Lucas, por el contrario, no pensaban sino en los navíos que debían partir, olvidándose de aquellos que ya venían en camino; pensaban pero no veían.\n28. Multiplicación por la izquierda\nEl ejemplo que damos abajo, la multiplicación de 632 por 517, puede ser realizada mediante ambos métodos.\nVemos, por la disposición de los cálculos, que los productos parciales son los mismos en ambos casos, solo que colocados en orden diferente.\n29. Metamorfosis del número 2\nEl número dos, puede convertirse, por un proceso simple, en un número tres, y además de so, en la letra M también.\nPor lo tanto, sólo es preciso tener un papel blanco y un cuchillo de hoja limpia y reluciente.\nPara efectuar esta curiosa experiencia, basta colocar el cuchillo sobre el 2, precisamente en el centro. La mitad superior reflejada en la hoja, formará el número 3, así como la parte inferior, formará la letra M.\n30. Curvas y ecuaciones\nDecía Taine que una pequeña ecuación contiene la curva inmensa cuya ley traduce. Completando el pensamiento del gran filósofo francés, podemos agregar que una curva, en su sencillez, encierra una infinidad de propiedades; refleja un sinnúmero de fórmulas, sugiere un mundo de transformaciones. Además, la feliz expresión de Sofía Germain, "el álgebra es una geometría escrita y la geometría es un álgebra figurada".\n"El matemático es perfecto", observa Goethe, "solo cuando siente la belleza de la verdad". Así pues, si una ecuación, que traduce cierta ley, viene a revelarnos una propiedad nueva, la curva representativa de esa ecuación realza la incomparable "belleza de ea verdad".\nLa masacre de los judíos\nLos reyes y la geometría\nLa modestia de Sturm\nLa corona de Herón\nLugar para el 6\nElogio a la matemática\nEl problema del ajedrez (Malba Tahan)\nLa fama de Euclides\nOrigen del signo de división (:)\nLa mujer que se sacrificó por la belleza de la ciencia (Luis Freire)\nLa numeración entre los salvajes (Raja Gabaglia)\nLos grandes geómetras (Omar Khayyam)\nUna frase de Euler (Condorcet)\nEl álgebra de los indios (Pierre Boutroux)\nCalculistas prodigios (M. d'Ocagne)\nUn elogio a la matemática\nDualidad: más x, menos x (Pontes de Miranda)\nOrigen de los números fraccionarios (Amoroso Costa)\n1. La masacre de los judíos\nEl historiador Josefo, gobernador de galilea, que resistió estoicamente a los ataques de las legiones de Vespasiano, siendo finalmente vencido, se refugió en una caverna con 40 judíos patriotas. Sitiados por los romanos, decidieron matarse antes que caer en manos de los enemigos. Formaron una ronda, y contaron, 1, 2 y 3, y a todo el que caía número 3, era muerto.\n¿En qué lugar debía estar Josefo, para escapar d esta horrenda matanza?\nDespués de pasar por todo el cuadro, se continúa del mismo modo, sólo considerando aquellos números que no están tarjados, porque ellos pasan a representar a los soldados muertos. Terminado el trabajo, se ve que solo dos judíos escapan de esta muerte atroz, los que se hallaban en las posiciones 16 y 31. Uno de esos lugares escogería para sí el gobernador Josefo, el cual, en lugar de matar a su compañero y luego suicidarse, resolvió entregarse, con todas las garantías, a Vespasiano.\nEsta es una leyenda que parece datar del siglo I de la era cristiana.\n2. Los reyes y la geometría\nPtolomeo Soter, rey de Egipto, fundador de una dinastía notable, resolvió crear en Alejandría un centro de estudios, capaz de rivalizar con las escuelas griegas más notables como las de Platón y Pitágoras.\nMandó a llamar a Euclides y le invitó a ocupar una de las posiciones más elevadas en la nueva escuela.\nUna vez terminada la tarea, Euclides llevó al rey su trabajo. Se auxiliaba de un esclavo que llevaba las numerosas hojas cuidadosamente enrolladas.\nEl monarca, rodeado de sus generales y cortesanos, recibió al geómetra en una audiencia solemne. Sorprendido talvez, por el gran desarrollo que tenía su trabajo, el rey preguntó a Euclides, si no había otro camino más sencillo, menos espinoso, que le permitiera llegar al conocimiento de la geometría.\n- ¡No, príncipe, en matemática no existe ningún caminos especialmente diseñado para los reyes!\n3. La modestia de Sturm\nSturm, cuando se refería al célebre teorema descubierto por él, decía:\n"El teorema, cuyo nombre yo tengo la honra de usar".\n4. Muerte de Hipatia\nOtrora vivió en Alejandría una mujer que se volvió notable por la cultura matemática que poseía. Se llamaba Hipatia, y nació en el año 375 de nuestra era. Consiguió cautivar a un gran número de discípulos, atraídos por su elocuencia, por su talento, por su belleza y virtudes. Esa mujer famosa, que comentó las obras de Diofanto, tuvo un fin trágico: fue asesinada por el populacho exaltado durante un motín ocurrido en las calles de Alejandría.\n5. La corona de Herón\nHierón, rey de Siracusa, en el año 217 a.C. mandó a sus orfebres 10 libras de oro para la confección de una corona que él deseaba ofrecer a Júpiter. Cuando el rey tuvo la obra terminada, verificó que efectivamente pesaba 10 libras, pero el color le sugirió la idea los orfebres habían mezclado el oro con plata. Para despejar la duda, consultó a Arquímedes, matemático famosísimo.\nArquímedes, habiendo hallado que el oro pierde, sumergido en agua, 52 milésimos de su peso, y la plata, 99 milésimos de su peso, determinó el peso de la corona sumergida en agua y halló que era de 9 libras y 6 onzas; con estos tres datos, descubrir la cantidad de plata que tenía la corona.\n¿Quién podrá determinar la cantidad de oro y plata que tiene la corona destinada el dios de dioses?\nHay, en relación a este problema, una leyenda mucho más curiosa>: Se cuenta que Arquímedes pensó mucho tiempo sin poder resolver el problema propuesto por el rey Hierón. Un día, estando en el baño, descubrió el modo de solucionarlo, y entusiasmado, salió corriendo al palacio del monarca, gritando por las calles de Siracusa, ¡Eureka, eureka!, lo que quiere decir ¡lo hallé, lo halle!\n6. Epitafio de Diofanto\nUn problema de la antología griega, presentado bajo la forma curiosa de un epitafio:\nAquí fueron sepultados los restos de Diofanto.\nY los números pueden mostrar,\n¡Oh milagro!, cuan larga fue su vida,\nCuya sexta parte constituyó su hermosa infancia.\nHabía transcurrido además una duodécima parte de su vida,\ncuando de vello cubrióse su barbilla\nQue entregó su cuerpo, su hermosa existencia, a la tierra,\nque duró tan solo la mitad de la de su padre\nY con profunda pena bajó a la sepultura,\nhabiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo!\nDime cuantos años había vivido Diofanto cuando le llegó la muerte\nEn el lenguaje del álgebra, el epigrama de antología, sería traducido por la ecuación de primer grado:\nen la cual, x representa el número de años que vivió Diofanto.\nPtolomeo, célebre astrónomo griego. Nació en Egipto en el siglo II y contribuyó mucho con sus estudios, en el desarrollo de la matemática y la geografía. Admitía que la Tierra era fija y localizada en el centro de nuestro sistema, escribió una obra para probar que el espacio no podía tener más de tres dimensiones.\n8. Muerte de Arquímedes\nArquímedes poseía, dice Marlet, en alto grado, todas las cualidades de un gran guerrero: la seguridad, la decisión. Aparte del caso de la corona de Hierón, el episodio, sin dudas, el más citado de la carrera de Arquímedes fue el del aparato formado por espejos cóncavos, con el cual, por la concentración de los rayos solares, consiguió incendiar los navíos romanos que pasaban cerca de su alcance, haciendo incidir sobre ellos "un rayo ardiente y destruidor".\nLo cierto es que, por tres años, luchó Marcelo en vano contra la resistencia pertinaz de los siracusanos. La fuerza romana no lograba vencer al ingenio de Arquímedes.\nSiracusa sólo fue tomada porque cierto día, ocupados en una fiesta solemne en homenaje a Diana, los habitantes dejaron desguarecido uno de los lados de la muralla. Los romanos, que la víspera habían sufrido un serio revés, se aprovecharon del descuido e invadieron la ciudad, que fue así, tomada y sometida a saqueo.\nUn legionario romano lo encontró y le intimó a comparecer a la presencia de Marcelo. El sabio le pidió que esperase algún momento, para que pudiese concluir la demostración que estaba haciendo.\nMarcelo, que había dado órdenes en el sentido de cuidar la vida de Arquímedes, no ocultó el pesar que sintió al saber la muerte del genial adversario. Sobre la losa de su tumba que erigió, Marcelo mandó grabar una esfera escrita en un cilindro, figura que recordaba un teorema del célebre geómetra.\n9. Lugar para el 6\nTomemos el número 21578943 en el cual figuran todos los dígitos significativos con excepción del seis.\nSi multiplicamos ese número por 6, vamos a obtener un resultado muy interesante. Es un número formado por todos los dígitos, inclusive el propio 6.\n21578943 x 6 = 129473658\nUn curioso de las transformaciones numéricas observó que los dígitos mudaron de posición de modo de permitir que el 6 pudiese aparecer en el producto. Fue, al final, una especie "gentileza" que los dígitos del multiplicando quisieron hacer al dígito único del multiplicador.\n10. Cono truncado\nHay ciertas figuras geométricas completamente olvidada por los escritores y es por eso que no aparecen citadas en los trabajos literarios. La pirámide truncada, por ejemplo, es una forma poco apreciada.\nese mismo escritor, en el libro "Diente de oro" (p. 136), dejó caer de su pluma esta figura interesante: dos cipreses cónicos, paralelos...\nSería interesante observar esas dos figuras crónicas paralelas. El paralelismo, naturalmente se verifica entre los ejes de los dos conos.\n11. Sofisma algebraico\n12. Elogio a la matemática\nSin la matemática, no podría haber astronomía; si los maravillosos recursos de la astronomía, sería completamente imposible la navegación. Y la navegación fue el factor máximo de progreso de la humanidad.\n13. La línea recta\nEncontraremos en los "Elementos" de Euclides, que es la obra clásica de la geometría, las siguientes definiciones.\nLínea es una cantidad solamente larga, esto es, sin ancho ni grosor.\nLínea recta es la que corre derecha de un extremo a otro, sin torcer para ninguna parte.\nEs evidente que las definiciones en livianas no pueden resistir a una crítica medianamente severa, por eso que no satisfacen los requisitos que se exigen para una buena definición. Los conceptos de largo y de ancho, los cuales Euclides utilizó para definir la recta, no pueden ser comprendidos sin que previamente se haya fijado el concepto general de línea.\nMax Dimon, para la definición de la recta adoptó el siguiente enunciado: recta es la curva que se conserva igual en todos sus puntos.\nArquímedes pretendía definir la recta como siendo la distancia más corta entre dos puntos. Ésa definición, enunciada por Legendre, tiene gran aceptación; en tanto la definición arquimediana aparece deformada por el círculo vicioso en el que está presa. ¿Cómo afirmar el concepto de distancia independientemente de la noción de recta?\nLa fijación de realidades iniciales en que se detiene el trabajo del sabio, el principio racional se ejerce siempre bajo la forma negativa, reservando a la experiencia, el papel positivo. Que desde inicio de la especulación geométrica, la experiencia halla intervenido de modo decisivo, es lo que testimonia la definición de recta conservaba en la Parménide de Platón: "se llama recta a la línea cuyo medio está colocado sobre el trayecto entre sus todos los despedidos extremidades".\nEsta definición no es la invención ingeniosa de un teórico, es absolutamente práctica. "A fin de asegurar la rectitud de la línea trazada, sea ya de tal forma que el ojo es la extremidad de la línea como hace un sargento para aliviar sus hombres. Corregidos todos los desvíos que se pudieran apreciar, la línea se reduce a un punto; esta es la recta".\nLeibniz daba para la recta una definición basada en la idea del movimiento: "la recta es una línea tal que basta que inmovilicemos dos puntos para que todo los otros puntos, también queden inmóviles".\nSe citan también, entre las definiciones presentadas para la recta, las siguientes:\n- recta es una línea que es dividida por un punto en dos partes iguales\n- recta es la línea que divide el plano en dos partes que coinciden por superposición\nEsta última, atribuida a leibniz, presenta el grave inconveniente de subordinar la definición de recta al concepto de plano; la otra expresa una propiedad que se observa igualmente en una hélice cilíndrica.\n14. Los dígitos\nEs interesante observar, a través de los documentos antiguos, cómo evolucionan los dígitos antes que llegaran a las formas definitivas que hoy presentan.\nEn la primera línea están representados los dígitos indios que eran usados en el siglo X. El 6 parecía un 5 y el 5 recordaba perfectamente al cuatro moderno. Esos dígitos (4, 5 y 6) se remontan tal vez a 150 años a. C.\nen la segunda línea, encontramos los dígitos árabes que se usaban en el siglo XII. El 7 difiere mucho del árabe moderno pero se aproxima a la forma que tiene actualmente.\nYa en el siglo 15, como podemos observar en la tercera línea, los dígitos tienden a formas más simples; el 8 y el 9 y los tres primeros (1, 2 y 3) aparecen nítidamente con sus trazos bien definidos.\n15. El problema del ajedrez (Malba Tahan)\nCuenta una antigua leyenda que Lahur Sessa ofreció al rey Iodava, señor de Taligana, un juego de ajedrez que él había inventado. El monarca, encantado con el maravilloso presente, quiso dar a Sessa una recompensa.\nY dirigiéndose al joven brahmán le dijo:\n- Quiero recompensarte, mi amigo, por este maravilloso presente de que tanto me ha servido de alivio para viejas angustias. Dime pues, para que yo pueda, por una vez, demostrar cuán grato soy con aquellos que se muestran dignos de premios.\nLas palabras con que el rey traducía el generoso ofrecimiento dejaron a Sessa imperturbable. En su fisonomía serena no se mostró ninguna emoción, ni la más insignificante muestra de alegría o sorpresa. Los visires le observaban atónitos y se miraban entre ellos pasmados frente la apatía de Sessa, de cara a la libre expresión de codicia que se le permitía.\n- ¡Rey poderoso!, exclamó el joven. Nada deseo por el presente que hoy el traje, otra recompensa, más allá de la satisfacción de haber proporcionado al señor de Taligana un pasatiempo agradable y que le viene a aligerar las largas horas de tristeza abrumante. Ya estoy, por lo tanto, sobradamente recompensado y cualquier otra recompensa sería excesiva.\nSonrió desdeñosamente el buen soberano al oír aquella respuesta que reflejaban un desinterés tan raro entre los ambiciosos indios. Y no creyendo en la sinceridad de las palabras de Sessa, insistió:\n- ¡Me causa asombro su simplicidad y su desamor por los bienes materiales! La modestia cuando es excesiva, es como el viento que apaga la antorcha, dejando al viajero en medio de una noche interminable. Para que un hombre pueda vencer los múltiples obstáculos que le presentará la vida, necesita tener un espíritu enraizado en una ambición que le encamine a cualquier ideal. Exijo por tanto, que escojas, sin más demora, una recompensa digna de su valiosa oferta. ¿Quieres una bolsa llena de oro? ¿Deseas una cara repleta de joyas? ¿Ya pensaste en poseer un palacio? ¿Ansías la administración de una provincia? ¡Aguardo respuesta ya que mi promesa está ligada a mi palabra!\n- Recusar vuestro ofrecimiento después de vuestras últimas palabras, respondió Sessa, sería menos una descortesía que una desobediencia al rey. Voy pues a aceptar por el juego que inventé una recompensa que corresponda a vuestra generosidad; no deseo, con todo, mi oro ni tierras ni palacios. Quiero mi pago en granos de trigo.\n-¿Granos de trigo?, exclamó el rey sin ocultar el espanto que le causaba semejante propuesta. ¿Cómo podré pagarte con tan insignificante moneda?\n- nada más simple, dijo Sessa. Me darás un grano de trigo por escaque; dos por el segundo; cuatro por el tercero, ocho por el cuarto y así hasta el último escaque del tablero.\nNo solo el rey sino que también los visires y los venerados brahmanes presentes en el salón, se rieron estrepitosamente al oír la extraña solicitud del tímido inventor. La poca ambición que mostraba aquel pedido, en verdad, era para causar asombro, aún a aquél que menos apego tuviese a los lucros materiales de la vida. ¡El joven brahmán, que habría podido obtener del rey un palacio o una provincia se contentaba con algunos granos de trigo!\n- ¡Insensato!, exclamó el rey. ¿Dónde aprendiste tanto desamor a la fortuna? la recompensa que me pides es ridícula. Bien sabes que en un puñado de trigo hay un número incontable de granos. Debes comprender por lo tanto que con dos o tres medidas de trigo, yo te pagaré holgadamente de acuerdo a su pedido, por los 64 escaques del tablero. Es cierto pues, que pretende es una recompensa que mal llegará a distraer el hambre del último paria de mi reino, por algunos días. El fin, visto que mi palabra fue dada voy a dar las órdenes para que se haga el pago inmediatamente conforme a su deseo.\nMandó el rey a llamar los calculistas más hábiles de la corte y les ordenó que calculasen la porción de trigo que Sessa pretendía.\n- ¿Con cuántos granos de trigo podré cumplir, finalmente, con la promesa hecha al joven Sessa?\n- Rey magnánimo, declaró el más sabio de los geómetras: calculamos el número de granos de trigo que constituirá la recompensa elegida por Sessa, y obtuvimos un número cuya magnitud es inconcebible para la imaginación humana.\nHallamos en seguida, y con la mayor exactitud, a cuántos sacos correspondería ese número total de granos, y llegamos a la siguiente conclusión: la cantidad de trigo que debe entregarse a Lahur Sessa equivale a una montaña que teniendo por base la ciudad de Taligana, fuese 100 veces más alta que el Himalaya. La India entera, sembrados todos sus campos, y destruidas todas sus ciudades, no produciría en un siglo la cantidad de trigo que, por vuestra promesa, debe entregarse al joven Sessa.\n- Medita, ¡oh rey!, sobre la gran verdad que los brahmanes prudentes tantas veces repiten: los hombres más precavidos, eluden no solo la apariencia engañosa de los números sino también la falsa modestia de los ambiciosos. Infeliz de aquel que toma sobre sus hombros los compromisos de honor por una deuda cuya magnitud no puede valorar por sus propios medios. Más previsor es el que mucho pondera y poco promete.\n- Aprendemos menos con las lecciones de los brahmanes que con la experiencia directa de la vida y de sus lecciones diarias, siempre desdeñadas.\nEl hombre que más vive, más sujeto está a las inquietudes morales, aunque no quiera. Hállase, ora triste ora alegre; hoy vehemente, mañana indiferente; ya activo, ya indolente; la compostura, la corrección, alternará con la liviandad. Sólo el verdadero sabio, instruido en las reglas espirituales, se eleva por encima de esas vicisitudes, pasando por sobre todas esas alternativas.\nEsas inesperadas y sabias palabras quedaron profundamente grabadas en el espíritu del rey. Olvidando la montaña de trigo que, si querer, prometiera al joven brahmán, lo nombró su primer ministro.\n16. La fama de Euclides\nla fama que Euclides alcanzó fue incomparable. Basta decir que en nombre de Euclides en su tiempo, menos designaba a la persona del geómetra que al conjunto de sus trabajos científicos. Algunos escritores de la Edad Media llegaron a negar la existencia de Euclides y con el admirable e ingenioso artificio lingüístico, explicaban que la palabra Euclides no pasaba de ser una corrupción de una expresión griega formada por dos palabras que significaban, respectivamente, llave y geometría.\n17. El número 100\nEscribir una expresión igual a 100 y en la cual figura en, sin repetición, los nueve dígitos significativos.\n100 = 91 + 5742/638\nTambién podemos escribir el 100 con cuatro números nueve:\n100 = 99 + 9/9\nEmpleando siete veces el dígito 8, podemos formar una expresión igual al número cien:\n100 = 88 + 8/8 + 88/8\nEn este género hay una infinidad de pequeños problemas numéricos.\n18. Cuadrados mágicos\nTomemos un cuadrado y dividámoslo en 4, 9, 16... cuadrados iguales, los cuales denominaremos casillas.\nEn cada una de esas casillas, coloquemos un número entero. La figura obtenida será un cuadrado mágico cuando la suma de los números que figuran en una columna, o en una línea o sobre una diagonal, es siempre la misma. Ese resultado invariable se denomina constante de cuadrado, y el número de casillas de una línea es el módulo de cuadrado.\nLos números que ocupan las diferentes casillas de un cuadrado mágico deben ser todos diferentes.\nEl diseño original de Acquarone figura un cuadrado mágico de módulo 3 con una constante igual a 15.\nEs oscuro el origen de los cuadrados mágicos. Se cree que la construcción de esas figuras constituía, ya en una época remota, un pasatiempo que tomaba la atención de un gran número de curiosos.\nCuadrado mágico y cuadrado hipermágico\nLos cuadrados mágicos de módulo impar, escribe Rouse Bali, fueron construidos en la India en un período anterior a la era cristiana e introducidos por Moschopoulos, aparecieron en Europa en los primeros años del siglo XV. No pocos astrónomos y físicos de la Edad Media estaban convencidos de la importancia de esos arreglos numéricos. El famoso Cornelio Agripa (1486 - 1535) construyó cuadrados mágicos con los módulos 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, que representaban simbólicamente, los siete astros que los astrólogos de aquellos tiempos denominaban planetas: Saturno, Júpiter, Marte, Sol, Venus, Mercurio y la Luna. Para él el cuadrado con una casilla (módulo 1) teniendo en esa única casilla el número 1, simbolizaba la unidad y la eternidad de Dios, y como el cuadrado con 4 casillas no podía ser construido, él infería de ese hecho la imperfección de los cuatro elementos: el aire, la tierra, el agua y el fuego; posteriormente, añade Rouse Bali, otros escritores afirmaron que ese cuadrado debía simbolizar el pecado original. Agripa, acusado de ejercer hechicería, fue condenado a un año de prisión.\nLos orientales, que observaban todos los hechos corrientes de la vida bajo un prima de superstición, creían que los cuadrados mágicos eran amuletos y servían de protección frente a ciertas molestias. Un cuadrado mágico de plata, colgando del cuello, evitaba el contagio de la peste.\nEntre los cuadrados hipermágicos podemos citar lo cuadrados diabólicos. Se denominan así a los cuadrados que continúan siendo mágicos cuando transportamos una columna o una línea de un lado a otro.\nEntre los cuadrados mágicos singulares, podríamos citar los bimágicos y los trimágicos.\nSe denomina bimágico al cuadrado que continúa siendo mágico cuando elevamos todos sus elementos al cuadrado. Trimágico es aquel que no pierde su propiedad cuando elevamos sus elementos al cubo.\nPara la construcción de los cuadrados mágicos hay diversos procesos.\nFermat, famoso matemático francés, hizo también admirables estudio sobre cuadrados mágicos.\nA continuación entregamos un cuadrado mágico muy interesante de origen chino y que parece remontarse a 2800 años antes de Cristo. Es interesante señalar que en ese cuadrado mágico chino, los números no son representados por dígitos, sino que por colecciones de objetos.\n19. Origen del signo de división (:)\nLas formas "a/b" y , indicando la división de a por b se atribuyen a los árabes; Oughtred, en 1631, colocaba un punto el dividendo y el divisor.\nLa razón entre las dos cantidades está indicada por el signo ":", que apareció en 1657 en una obra de Oughtred. El signo "¸", según Rouse Bali, resultó de una combinación de los dos signos existentes, "-" y ":".\n20. La mujer que se sacrificó por la belleza de la ciencia (Luis Freire)\nEl sabio matemático portugués, Gomes Teixeira, en una bella conferencia sobre Mme. de Kovalewski, cuenta que oyó de la esposa de Kownigsberger, el primer profesor de Sofía: "Me decía que Sonja había estado en su casa poco tiempo después de ser coronada por la Academia de Ciencias de París, y que debiendo estar llena de satisfacción y orgullo por haber conseguido una distinción tan elevada, que muchos hombres desean y pocos la consiguen, estaba triste y desalentada, llegando a decir que las mujeres no debían ocuparse de las cosas de la ciencia, que su destino natural es otro, que las matemáticas son mucho más arduas para los cerebros femeninos y, en fin, que la ciencia no le daba la felicidad".\nLe pregunté si era hermosa y si tenía una mirada sugestiva, muy celebrada por sus biógrafos, y me respondió: "Era muy gentil cuando vino a Heidelberg; tenía la fisonomía viva y dulce, ojos maravillosos y lindos cabellos, pero últimamente había perdido muchos de sus encantos a causa de una dolencia nerviosa, resultado de los esfuerzos exagerados que hiciera para vencer las dificultades de las cuestiones tan elevadas que se ocupó; tanto fue así que el rostro se le había arrugado, su aspecto se tornó un poco duro, los ojos habían disminuido de brillo y los cabellos mal peinados habían perdido su antigua belleza".\nY Gomes Teixeira confiesa con sinceridad:\n- Me impresionó lo que oí. Causa dolor ver una mujer de tanto valor, después de haber sacrificado a la ciencia, su belleza, su salud y su alegría y aunque ya está cerca del fin de su vida, se lamenta por no haber sido verdaderamente mujer y exclamar, como un grito de dolor, que la ciencia no le trajo felicidad.\n"La gloria de haber sido la discípula predilecta de Weierstrass la perdió, porque tuvo que subir a regiones elevadas y difíciles de la ciencia, donde el trabajo exigió de ella, meditación profunda y exacta, superior a sus fuerzas físicas.\n"Como un maestro de menor valor, habría trabajado en campos científicos mas modestos, en que su espíritu, lleno de talento e imaginación, habría de cosechar resultados notables sin tan exagerado esfuerzo. (Mayores detalles de la vida de Sonja Kovalewski y su relación con Weierstrass, en http://www.librosmaravillosos.com/grandesmatematicos/capitulo22.html)\n21. La numeración entre los salvajes (Raja Gabaglia)\nLos tamanis del Orinoco tienen nombres de etimología desconocida para los números mas allá de cuatro; ya el número cinco se expresa por una palabra que significa en lengua corriente, mano entera; para indicar seis, emplean la expresión uno de la otra mano; el siete, dos de la otra mano. Y así van formando sucesivamente los números hasta diez, que es designado por las palabras dos manos.\nPara el número once, presentan las dos manos y muestran un pie, enunciando una frase que podríamos traducir uno del pie, y doce sería dos del pie; y así consecuentemente, hasta quince, que corresponderá precisamente a la frase: un pie entero.\nEl número dieciséis tiene una formación interesante, pues es indicado por la frase uno del otro pié; pasando a diecisiete dirían dos del otro pie, y del mismo modo irían formando los otros números enteros, hasta veinte, que es tevin itóto, esto es, un indio.\nEl número siguiente a tevin itóto, o veintiuno, es para los niños del Orinoco, uno de la mano de otro indio.\nUn método semejante es usado entre los groenlandeses, para quienes el numeral cinco es tatdiimat (mano); seis es arfinek ottausek, uno sobre la otra mano; veinte es inuk navdlugo, un hombre completo. Vale la pena citar aquí, como otra curiosidad, la manera que los naturales de Groenlandia expresan el número cincuenta y tres. Ese número es expresado por una frase que literalmente dice: ¡tres dedos del primer pie del tercer hombre!\nEn gran número de tribus brasileñas: cairiris, caraíbas, carajás, coroados guakis, juris, omaguas, tupis, etc. aparecen los dígitos con algunas variantes; los omaguas usan la palabra pua, que significa mano, para expresar también el número 5 y con la palabra puapua indican diez; los juris, con la misma frase indican indiferentemente hombre o cinco. Según Balbi, los guaraníes dicen po-mocoi (dos manos) para diez y po-petei (una manos), para cinco.\nEn Bakahiri hay nombres especiales para designar los números uno, dos y tres; el cuatro es formado por la expresión dos y dos; el cinco, por la expresión que significa dos y dos y uno; análogamente forman el número seis diciendo dos y dos y dos.\nDe ese número (6) en adelante, se limitan a mostrar todos los dedos de la mano (como hacían con los primeros números) y después todos los dedos de los pies, estirándolos lentamente, dedo por dedo, demorándose en el dedo correspondiente al número. Es un ejemplo admirable de un lenguaje donde el gesto indica el número, no habiendo vocablos propios, sino que solo para los tres primeros cardinales.\nAún hay dudas relación a la existencia de vocablos especiales para esos primeros (uno, dos y tres), pues Von den Steinen declara que en su primer viaje oyó el numeral tres expresado por una palabra que significaba, propiamente, dos y uno; pero mas tarde, en 1887, al realizar un segundo viaje, oyó el mismo número (3), indicado por otra forma, pero no consiguió establecer su etimología.\n22. La geometría\n- Una geometría no puede ser más verdadera que otra; solo podrá ser más cómoda (H. Poincaré)\n- La geometría hace que podamos adquirir el hábito de razonar, y ese hábito pude emplearse, entonces, en la búsqueda de la verdad y ayudarnos en nuestra vida (Jacques Bernoulli)\n- Entre dos espíritus iguales, puestos en las mismas condiciones, aquél que sabe geometría es superior al otro y adquiere un vigor especial (Pascal)\n23. Los grandes geómetras (Omar Khayyam)\nLos árabes trajeron, desde el siglo IX al período del Renacimiento, grandes contribuciones al progreso y desarrollo de la matemática.\nPara apreciar correctamente el trabajo de los sabios mahometanos, debemos analizarlo bajo dos prismas distintos. En primer lugar, destacaremos las traducciones que hicieron de las obras antiguas de los grandes filósofos y matemáticos griegos, ya que a través de ellas, iniciadas durante el reinado de Al-Mamum, la Europa cristiana llegó a conocer a los genios de Arquímedes, Ptolomeo, Euclides y Apolonio.\nMás de una página deberíamos, talvez, consagrar en suplemento de esta nota, si nos dispusiéramos a citar los nombres de todos los grandes matemáticos árabes que se distinguieron y que son mencionados en la historia. Sin embargo, juzgamos que sería más interesante dejar aquí algunos trazos biográficos de un algebrista famoso, Omar Khayyam, que es menos conocido como geómetra que como poeta.\nOmar Khayyam nació en Nishapur en Persia, en 1040. Era hijo de un fabricante de tiendas y de ese oficio surge el apellido "Al-Khayyami" que el poeta conservó como un homenaje a la memoria de su padre.\nCuando aún era muy joven, frecuentaba el aula de un maestro de escuela cuya enseñanza se limitaba a hacer que los discípulos recitasen los 114 artículos (suratas) de El Corán. Tuvo en ese curso dos compañeros de su edad, Nizam Al-Mulk y Hasan Ibn Al-Sabbah, con quienes tuvo una muy buena amistad.\nPasaron varios años y el tiempo, como es natural, dio rumbos diferentes a los destinos de los tres compañeros de infancia. La suerte fue favorable a Nizam Al-Mulk, que después de una rápida carrera, fue escogido para ejercer el prestigioso cargo de gran visir del sultán Alp-Arslan.\nEl poder que deslumbra y fascina a los más fuertes no hizo que Nizam Al-Mulk olvidara la palabra empeñada a sus compañeros de infancia. Les mandó a buscar y les ofreció cargos de gran importancia en la corte musulmana.\nOmar Khayyam, que jamás se sentiría movido por la ambición ni por la gloria de las posiciones elevadas, rehusó los ofrecimientos del poderoso visir y se limitó a aceptar un lugar modesto que le permitiese continuar tranquilamente los trabajos literarios y científicos de su predilección.\nPoco tiempo después, era Omar Khayyam señalado como uno de los astrónomos más notables de la corte del sultán Malik Shah I. Elaboró, por orden de ese soberano, una reforma al calendario, que entró en vigor en el año 1079.\nEntre las obras matemáticas de Omar Khayyam, debemos citar: Tratado sobre algunas dificultades de las definiciones de Euclides y las Demostraciones de los teoremas de álgebra. esta última, traducida al francés por F. Woepcke tiene el siguiente título: Memoire de sage excelient Ghyath Eddin Aboul Farth Ornar be Ibrahim Alkhayyami de Nichapour (¡que Dieu sanctifique son âmepecieuse!) sur les demonstrations des problèmes de l'Algêbre.\nOmar Khayyam abordó el estudio de las ecuaciones de segundo grado y también investigó una solución gráfica para las ecuaciones de tercer grado.\nLa obra poética de Omar Khayyam titulada Rubaiyat, fue escrita en persa, pero ya ha sido traducida a casi todos los idiomas. El simbolismo profundo que nos entrega el Rubaiyat nos permite percibir que Omar Khayyam fue un incrédulo envenenado por el más negro pesimismo. En uno de sus rubai:\nCierra tu Corán.\nPiensa libre y serenamente,\nmirando el cielo y la tierra.\nAl pobre que pase,\ndale la mitad de lo que posees.\nNo entristezcas a nadie.\nY escóndete para sonreír\n24. Relatividad (Amoroso Costa)\nSi fuésemos transportados, junto con nuestros instrumentos de medida y con todos los objetos que nos rodean, a otra región del espacio, sin que variasen las distancias entre esos objetos, nada nos revelaría semejante mudanza. Esto es lo que muestra el movimiento de traslación de la Tierra, que solo conocemos por la observación de cuerpos exteriores. La expresión "posición absoluta en el espacio", no tiene sentido alguno y solo se debe hablar de posición de un objeto en relación a otros.\nLo mismo diremos de la expresión "grandeza absoluta".\nSi todos los objetos fuesen simultáneamente aumentados o disminuidos en cierta proporción, lo mismo con nuestro cuerpo y con nuestros instrumentos, nos pasaría desapercibido: el nuevo universo sería indiscernible del antiguo. No debemos considerar sino relaciones entre las grandezas o entre las distancias. Como dice admirablemente Anatole France: "Las cosas en si mismas no son ni grandes ni pequeñas, y cuando nos encontramos con el universo que es enorme, esa idea es puramente humana. Si fuese reducido súbitamente al tamaño de una avellana, pero todas las cosas conservando sus proporciones, no podríamos percibir ese cambio. La estrella Polar encerrada con nosotros dentro de la avellana, gastaría, como en el pasado, cincuenta años para enviarnos su luz".\n25. Amoroso Costa (Luis Freire)\nEra Amoroso Costa un benedictino de la matemática. Sus trabajos son verdaderos modelos de arte del bien decir matemático: precisos, concisos, simples y elegantes, de esa elegancia matemática en que Poincaré veía "un sentimiento de belleza, de armonía de los números y de las formas, y que solo los verdaderos matemáticos saben adivinar".\nPareciera que procuraba reducir todo al mecanismo del verdadero raciocinio matemático apuntado por Poincaré, como siendo "recurrente".\n26. Una frase de Euler (Condorcet)\nEuler dejó Petersburgo y se dirigió a Berlín, para donde le llamara el rey de Prusia. Fue presentado a la reina madre; a esta princesa le gustaba conversar con personas eruditas y las acogía con esa familiaridad noble que denota en los príncipes los sentimientos de una grandeza personal, independiente de sus títulos, y se había convertido en un personaje dentro de esa augusta familia: en tanto, la reina de Prusia que solo conseguía obtener monosílabos de Euler, le reprochaba esa timidez, esa vergüenza, que ella juzgaba no merecer: "¿Por qué no queréis, entonces, hablarme?", le preguntó finalmente. "Mi Señora", respondió el sabio, "porque vengo de un país donde se ahorca a quien habla."\n27. El álgebra de los indios (Pierre Boutroux)\nAl contrario de los sabios griegos, los indios fueron, ante todo, eximios calculistas. De espíritu práctico, no se preocupaban de hacer que las teorías que desarrollaban fuesen rigurosas y perfectas. Para ellos, la verdad, no había una teoría científica en el rigor de la palabra, sólo normas, formulada en versos, y como era muy frecuente, sin demostraciones.\n"Me dice, querida y famosa Lilavati", así se expresaba Bhaskara, "tu que tienes los ojos como las gacelas, dime cuál es el resultado de la multiplicación etc." Y a continuación venía la solución del problema propuesto. Nos presenta Bhaskara, de esa forma, un conjunto de normas que contienen "un método fácil de cálculo, claro, conciso, suave, correcto y agradable de estudio". Una simple colección de indicaciones y fórmulas, he aquí por tanto, lo que era la ciencia para los indios; y por eso mismo fueron grandes algebristas.\n28. Calculistas prodigios (M. d'Ocagne)\nNo pocos fueron los calculadores que se volvieron célebres y cuyos nombres son destacados por los algebristas. Citemos los siguientes: Mathieu Le Coq, que con 8 años de edad deslumbró a los matemáticos en Florencia; Mme. Lingré, que efectuaba operaciones complicadísimas en medio del ruido de una animada conversación; al pastor Dinner; el inglés Jedediah Buxton; el americano Zerah Colburn que fue sucesivamente actor, diácono metodista y profesor de lenguas; el esclavo negro Tom Fuller, de Virginia, quien a fines del siglo XVII, murió con 80 años de edad, sin saber leer ni escribir; Dase, que aplicó sus facultades de calculador, las únicas que talvez poseía, a la continuación de los trabajos de tablas de dos divisores primos de Burckbardt, para los números comprendidos entre 7.000.000 y 10.000.000; el pastor siciliano Vito Mangiaveelle; los rusos Ivan Petrov y Mikail Cerebinakov; Vincker, que fue objeto de experiencias notables en la Universidad de Oxford; Jacques Ivandi; el griego Diamandi y muchos otros.\n29. Un elogio a la matemática\n"Tenemos siempre presente en el pensamiento, aquellas palabras de Lord Balfour, un ensayista incomparable: El éxito futuro de la industria depende de investigaciones abstractas o científicas del presente, y serán los hombres de ciencias que trabajan para fines puramente científicos, sin ningún instinto de aplicación de sus doctrinas, que la humanidad tendrá que pagar, en tiempos futuros. Ya Condorcet observaba: El marinero que debido al cálculo exacto de la longitud, salva del naufragio, debe la vida a una teoría concebida hace ya más de veinte siglos antes por hombres inteligentes que tenían a la vista meras geometrías".\n"Gran privilegio del matemático y esta ligazón íntima y misteriosa entre su sueño, que fuera de él, no le interesa a nadie, y las aplicaciones prácticas de ciencia que aproximan la multitud y que aparentemente no están relacionados. Que ese acuerdo entre las especulaciones matemáticas y la vida práctica se explica por medio de argumentos metafísicos o de teorías biológicas, no importa; es un hecho probado por una experiencia de más de veinte siglos."\n"Esa certeza de profunda utilidad de su obra le permite al matemático entregarse sin reserva, sin remordimiento, a los placeres de la imaginación creadora, no teniendo a la vista mas que su propio ideal de belleza y de verdad. Se asocia al tributo de admiración y de gloria con que la humanidad homenajea a los sabios cuyos descubrimientos son más accesibles y traen alivio inmediato a los sufrimientos; pero sabe que la obra de un Luis Pasteur, de un Pierre Curie presupone los trabajos de los matemáticos de siglos pasados y tiene la esperanza que un Poincaré suscite en el siglo XXI nuevos Luis Pasteur y Pierre Curie".\n"Cuando los geómetras antiguos estudiaron las secciones cónicas, ¿quién se podría haber imaginado que estas curvas desempeñarían, dos mil años después, el papel central en la astronomía? Cuando Pascal y Fermat lanzaban las bases del cálculo de probabilidades, ¿quién se habría imaginado que un día los teóricos considerarían las leyes de la física como de mayor probabilidad, restándole la rigidez a la ley natural, que nos es familiar?\nEn torno de ese mismo tema, Matila C. Ghyka traza interesantes consideraciones:\n""Algo curioso de ver es que esta correspondencia de las especulaciones matemáticas (como punto de partida, las más paradójicas; como normas, las más arbitraria) con un conocido o inexplorado sector de nuestro universo experimental se produce siempre acompañada, a menudo, de una gran utilidad práctica.\nEl ejemplo más conocido, al menos entre los ingenieros, es el cálculo de los números imaginarios o complejos. Durante mucho tiempo fue considerado como meras elucubraciones patológicas, resultó ser la única forma de análisis que puede representar exactamente los fenómenos eléctricos de corrientes alternas, y esto, como teoría y como la aplicación técnica. En una nota al capítulo II, enuncié, a propósito de las geometrías de 4 y 5 dimensiones, la curiosa aplicación de las "hiperpirámides de Pascal" al cálculo de las probabilidades. Además, Emilio Borel (Introducción geométrica a algunas teorías físicas) se sirve de la geometría de 25 dimensiones para abordar problemas de física molecular."\n30. Dualidad: más x, menos x (Pontes de Miranda)\nNúcleos, electrones... +x-x... la dualidad, el par, el equilibrio...equipartición de la energía... repartición homogénea, simétrica... de nivel sexángula...el surgir del pentágono... el milagro de la sección áurea... menor acción... La lucha de la vida contra la monotonía... Una ley contra otra ley... El 2 y el 3...\nLos cristales, la química orgánica...el pentámetro de las flores, el fondo de los mares, el hexapétalo de los lirios... el espejo griego...los vasos griego...kilix.\n(Del libro El Sabio y el Artista)\n31. Origen de los números fraccionarios (Amoroso Costa)\nLos egipcios practicaban con habilidad el cálculo de las fracciones, como nos muestra el famoso manual elaborado por el sacerdote Ahmés en una época en los historiadores la sitúan entre los años 2000 y 1600, y que es parte de la colección Rhind, en el Museo Británico de Londres.\nSe encuentra en ese papiro, anterior a Tales por lo menos diez siglos, una tabla para la descomposición de ciertas fracciones en suma de fracciones cuyos numeradores son iguales a la unidad. Con su auxilio, Ahmés resuelve problemas complicados; aquél por ejemplo, que en lenguaje moderno enunciaríamos en los siguientes términos: "Dividir 100 panes entre 5 personas, en partes con diferencias crecientes iguales, y de modo que la suma de las dos partes menores sea igual al séptimo de la suma de las otras tres."\nLo que caracteriza ese tratado es la ausencia completa de consideraciones teóricas, desarrollando las operaciones sin justificación alguna. Si el libro de Ahmés reproduce, como todo lo hace creer, la educación de los matemáticos egipcios, la aritmética no pasaba de una colección de recetas extremadamente ingeniosas.\nComo se ve, el uso de las fracciones viene de la remota antigüedad. Su teoría, sin embargo, es mucho más reciente y sólo en los tiempos modernos fueron admitidas como verdaderos números. A este respecto, Diofanto es un precursor, cerca del año 300 de nuestra era. Los geómetras clásicos, entre ellos, Euclides, en su teoría de las proporciones, consideraban las fracciones como nombres de relaciones entre números.\nDesarrollado mas tarde en la India, por ahí por el siglo IV, el cálculo de las fracciones fue llevado a Occidente por los árabes.\n32. Frases célebres\nLeibniz. La matemática es la honra del espíritu humano.\nHilbert.En las cuestiones matemáticas no se comprende ni la incerteza ni la duda y tampoco se pueden establecer diferencias entre las verdades a medias y las verdades de alto grado.\nCauchy.Lis signos + y - modifican la cantidad de adelante de la cual son colocados, como un adjetivo modifica el sustantivo.\n Por facilidad de manejo en la red, he decidido dividirlo en secciones, pero manteniendo estrictamente el orden de los artículos, tal como aparecen en el original. N. de T.\n Rebière — Mathématiques e mathématiciens.\n Matemático francés, nacido en 1540 y fallecido en 1603.\n Ver artículo "François Viète" del libro Álgebra, 3º año, de Cecil Thiré y Mello y Souza.\n Conto: moneda no oficial de Brasil, equivalente a un millón de centavos (NT)\n Os Lusíadas, de Luís de Camões, es una epopeyaportuguesa por excelencia publicada por primera vez en 1572, tres años después del regreso del autor de Oriente. Se compone de diez cantos, con número variable de estrofas, que son en su mayoría octavas decasílabas\n El verso del lírico italiano es el siguiente y corresponde al proverbio portugués: "de la mano a la boca se pierde muchas veces la sopa"\n Leer el artículo titulado "Números perfectos" en este mismo libro.\n Del libro Matemática, 1° año, de Cecil Thiré y Mello e Souza.\n H. Vokringer, Les étapes de la physique, 1929, p. 196\n Bhaskara, famoso astrónomo y matemático indio. Vivió en el siglo XII\n CF. Rey Pastor, Elementos de Aritmética, Madrid 1930\n El símbolo de los pitagóricos era un pentágono regular estrellado.\n La adopción de un fondo romboidal, en lugar de uno plano, genera una economía de un alvéolo cada 50 construidos.\n Esa diferencia es tan pequeña que sólo puede apreciarse con el auxilio de instrumentos de precisión.\n Elcias Lopes, "Tela de Araña", p. 12\n Padre Augusto magne SJ, Revista de Filología e Historia, fascículo IV, p. 16\n Artículo del padre Leonel Franca. SJ, en el libro Matemática, 2° año de Thiré y Mello e Souza\n Tostão" era una moneda no oficial de Brasil, que equivalía a 100 reales,\n Eduardo Lucas, Théorie des nombre, 1891, p. 376\n Ese número es supuesto como entero positivo. Según la convención, el factorial de la unidad y el factorial de cero, son iguales a 1\n Montucla, Histoire des Mathématiques, 1 vol. p. 109\n R. Breicard, Del prefacio escrito para el libro Geométrie de Compas, de A. Quemper de Lonasol\n R. Breicard, Op. cit.\n El abad Mascheroni deir Olmo, poeta y matemático, nació en 1730 y falleció en 1800. Mantuvo relaciones de amistad con Napoleón a quien le dedicó no solo su obra matemática principal sino que también muchas de las producciones poéticas que dejó.\n Almeida de Lisboa, Geometría del Compás\n Trozo de un artículo publicado en la Revista Brasileña de Matemática\n Sofía, más tarde, tomó el apellido Kovalewski, y puede ser citada entre los grandes matemáticos del siglo XIX. Conviene leer la biografía de Sofía en el libro Matemática, 2° año, Thiré e Mello e Souza.\n Del libro La Aritmética en la Escuela Primaria\n Gracia Aranha, El Viaje Maravilloso, página 361\n Lucas Paccioli o Lucas de Burgo, monje franciscano, nació en Burgo, en la Toscana, a mediados del siglo XV y murió en Florencia a principios del siglo XVI.\n Leonardo da Vinci (1452 - 1519) célebre artista florentino, autor de la Gioconda y de La Última Cena. Fue escultor, arquitecto, pintor, ingeniero, escritor y músico.\n Joao Ribeiro, Páginas de Estética.\n Maiita C. Ghyka, El Número de oro, 3 ra edición, 1931, Vol. I.\n Cf. Curso de Matemática, 4° año, de Euclides Roxo, Thiré y Mello e Souza\nBagdalí, individuo nacido en Bagdad.\nMusulmán, nombre derivado de Mouslin, “aquel que se resigna a la voluntad de Dios”. Los musulmanes practican la religión de Mahoma y son actualmente unos 240 millones, aproximadamente.\n No pocos fueron los matemáticos que se hicieron notables por la precocidad con que revelaron sus aptitudes: Blas Pascal, a los 16 años escribió un tratado sobre las cónicas; Evaristo Galois a los 15 años comentaba obras de cálculo y análisis; José Bertrand, a los 11 años iniciaba los cursos en la Escuela Politécnica; Nicolás Enrique Abel a los 16 años descubría y demostraba teoremas de Álgebra Superior.\nVisir – ministro –Califa- soberano musulmán. Los Califas decíanse sucesores de Mahoma.\n Del libro Curso de matemática, 3° año, página 13\n A. Rebière, Op. cit. p. 38\n Esos enunciados fueron reproducidos en la traducción portuguesa de los Elementos, publicada en 1735 por el padre Manuel Campos SJ\n La llamada definiciones euclidianas no pasan, al fin y al cabo, de descripciones más o menos imperfectas, basadas en datos intuitivos\n Encontramos en Ugo Amaldi, La retta é quella linea che giace sui suai punti in modo uniforme. Cf. Questioni riguardanti le Matematiche Elementari, 1 vol. p.43.\nQuesta definizione (de Legendre) ebbe il medesimo largo successo degli Elernents de Géometrie. Ma sono sen'zaltro manifesti i difetti che essa presenta, se non é associam ad un opportuno sistema di postulati, i quali determinando, independentemente della retta N concetto di lunghezza, rendendo possibile il confronto, rispeito di lunghezza di linee diverse e siabiliscano l'‘esistenza e 1'ucinita dei minimo, Ugo Amaldi, op. cit. p. 45.\n L. Brunschvicg, Les étapes de la philosophie mathérnatique, 1929, p. 504.\n La línea no podrá ser definida si no por sus propiedades, para la comprensión de las cuales se torna indispensable una apelación a la intuición directa. Cf. C. Conseth, Les Fondements des mathématiques, 1926, p.5.\n Incluimos aquí solo la parte final de un cuento de Malba Tahan, titulado "Recompensa de Sessa", del libro "Leyendas del oasis"\n Habitante de la India, de ínfima condición social, fuera del sistema de las castas.\n Rouse Bali, Récréations mathématiques, II vol, p. 156.\n Para un estudio mas completo, indicamos M. Kraitchik: Trailé des magiques: Gauthier, Villar 1930.\n Marti us, Qloesaria liguarum braslium.\n Según Von den Steinen, que los analizó cuidadosamente, como mas tarde probó el erudito J. Capistrano d’Abreu, estudiando a misma lengua. (Nota de Raja Gabaglia.)\n Califa de Bagdad, hijo del famoso sultán Harun-al-Raschid, tantas veces citados en los cuentos de Las mil y una noches.\n Sobre la fecha de nacimiento de Khayyam, solo hay indicaciones vagas e inciertas Cf. Woepcke. L'Algebre de Omar Khayyam, Paris, 1851, p. IV).\n Al-Khayyami significa "el fabricante de tiendas”. La forma exacta del nombre de Khayyam ha sido objeto de largas discusiones. Resolvimos mantener la forma Omar Khayyam que el escritor inglés Fitzgerald consagró en su célebre traducción.\n Libro sagrado para los musulmanes. Contiene 114 capítulos o suratas, con un total de 6236 versículos.\n Hasan Ibn Al-Sabbah, fue nombrado, a pedido de Nizam, en el lugar del camarista, quien quiso traicionar a su amigo y protector, intrigando con el califa. El indigno Hasan (apellidado “El Viejo de la Montaña) fue el fundador de la orden de los Asesinos.\n Plural de la palabra persa rubai, que significa cuadros\n Hay una traducción al portugués del Dr. Octavio Tarquino de Souza. Al francés, el Rubaiyat mereció un admirable veros de Franz Touseaint.\n Raja Gabaglia (Femando); Trozo de un discurso pronunciado en el Colegio Pedro II. Mello e Souza, Geometría Analítica, p. 132\n Emile Borel, “Sobre Henrique Poincaré”, Revista Brasileña de Matemática, Año 1, n° 12.